Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Biến đổi năng lượng-Kiểm tra tính bảo toàn

Nội dung text: Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Biến đổi năng lượng-Kiểm tra tính bảo toàn

1. 408001 Bi ến đổi n ăng l ượng điện c ơ Gi ảng viên: TS. Nguy ễn Quang Nam 2013 – 2014, HK2 Bài gi ảng 6 1 Bi ến đổi n ăng l ượng – Ki ểm tra tính b ảo toàn
   Bỏ qua t ổn th ất trong t ừ trường, có th ể rút ra quan h ệ đơn gi ản cho h ệ ghép, f ev Σ dλ ( eω) i T dt dW m dt Nh ớ lại ∂W (λ, x) ∂W (λ, x) f e = − m i = m ∂x ∂λ Và chú ý r ằng ∂ 2W ∂ 2W m = m ∂λ∂x ∂x∂λ
   Điều ki ện c ần và đủ để cho h ệ là bảo toàn s ẽ là ∂i(λ, x) ∂f e (λ, x) ∂λ(i, x) ∂f e (i, x) = − hay = ∂x ∂λ ∂x ∂i Bài gi ảng 6 2
2. Hệ th ống 2 c ửa điện và 1 c ửa c ơ
   Với h ệ này ' = λ + λ + e dW m 1di 1 2 di 2 f dx
   Các ph ươ ng trình cho t ừ thông và lực (do điện sinh ra) là ∂W ' ∂W ' ∂W ' λ = m λ = m f e = m 1 ∂ 2 ∂ ∂ i1 i2 x
   Các điều ki ện cho s ự bảo toàn là ∂λ ∂f e ∂λ ∂f e ∂λ ∂λ 1 = 2 = 1 = 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x i1 x i2 i2 i1
   Điều này có th ể mở rộng cho các h ệ có nhi ều c ửa điện và nhi ều c ửa c ơ. Bài gi ảng 6 3 Bi ến đổi n ăng l ượng gi ữa hai điểm
   Nh ớ lại = (λ ) λ + (− e (λ ) ) dWm i , x d f , x dx
   Khi đi từ a đến b trong hình 4.31, độ thay đổi n ăng l ượng lưu tr ữ là λ x W ()()λ , x −W λ , x = b id λ + − b f e dx  m b b m a a ∫λ ∫ a  xa  ∆W = EFE + EFM m a→b a→b a→b Bài gi ảng 6 4
3. Bi ến đổi n ăng l ượng gi ữa hai điểm (tt) Với EFE vi ết t ắt cho “energy from electrical” ( năng l ượng t ừ hệ điện) và EFM vi ết t ắt “energy from mechanical” ( năng lượng t ừ hệ cơ ).
   Để đ ánh giá EFE và EFM, c ần có một đường đi c ụ th ể. Khái ni ệm EFM này có ích trong vi ệc nghiên c ứu s ự bi ến đổi n ăng l ượng theo chu k ỳ của thi ết b ị. Bài gi ảng 6 5 Bi ến đổi n ăng l ượng trong 1 chu k ỳ
   Trong 1 chu k ỳ, khi h ệ th ống tr ở về tr ạng thái kh ởi đầu, dW m = 0. 0 = ∫ id λ − ∫ f e dx = ∫id λ + (− ∫ f e dx )
   Từ hình 4.30, id λ = EFE , và –fedx = EFM . Như v ậy, trong 1 chu kỳ, EFE + EFM = 0 hay EFE + EFM = 0 ∫ ∫ cycle cycle
   Có th ể tính EFE ho ặc EFM trong 1 chu k ỳ. Nếu EFE| cycle > 0, h ệ th ống đang ho ạt động nh ư m ột động c ơ, và EFM| cycle 0. Bài gi ảng 6 6
4. Động h ọc c ủa h ệ tập trung – Hệ kh ối l ượng-lò xo
   Các ph ần t ử tập trung c ủa h ệ cơ : kh ối l ượng (động năng), lò xo (th ế năng ), và bộ đệm (tiêu tán). Định lu ật Newton được dùng cho ph ươ ng trình chuy ển động.
   Xét kh ối l ượng M = W/g được treo trên lò xo có độ cứng K. Ở điều ki ện cân b ằng t ĩnh, tr ọng l ực W = Mg được cân bằng b ởi l ực lò xo Kl, v ới l là độ giãn c ủa lò xo gây ra b ởi kh ối l ượng W. Bài gi ảng 6 7 Động h ọc c ủa h ệ tập trung – Hệ kh ối l ượng-lò xo
   Nếu v ị trí cân b ằng được ch ọn làm g ốc, ch ỉ có lực sinh ra bởi d ịch chuy ển c ần được xem xét. Xét mô hình v ật t ự do trong hình 4.35(c).
   Định lu ật Newton: Lực gia t ốc theo chi ều d ươ ng c ủa x bằng v ới t ổng đại s ố tất c ả các l ực tác động lên kh ối l ượng theo chi ều d ươ ng c ủa x . Mx&& = −Kx hay Mx&& + Kx = 0 Bài gi ảng 6 8
5. Hệ kh ối l ượng-lò xo v ới ph ần t ử tiêu tán
   Nếu v ị trí chưa biến d ạng được ch ọn làm g ốc (Hình 4.36), khi đó + ( − ) = My&& = −Ky + Mg My&& + Ky = Mg My&& K y l 0
   Chú ý r ằng Mg = Kl
   Xét kh ối l ượng M được đỡ bởi lò xo (hình 4.37), và một t ổ hợp lò xo-bộ đệm. f(t) là lực áp đặt. x được đo t ừ vị trí cân bằng t ĩnh. M ột b ộ đệm lý t ưởng s ẽ có lực t ỷ lệ với v ận t ốc tươ ng đối gi ữa hai nút, v ới ký hi ệu nh ư trong hình 4.38. Bài gi ảng 6 9 Hệ kh ối l ượng-lò xo v ới ph ần t ử tiêu tán (tt)
   Áp d ụng định lu ật Newton, có th ể vi ết được ph ươ ng trình chuy ển động c ủa v ật t ự do như sau f f(t) f = ( )− − − K1 B1 Mx&& f t f K1 f K 2 f B dx = f ()t − K x − K x − B M 1 2 dt x fK2 Bài gi ảng 6 10
6. Ví dụ 4.17  Vi ết các ph ươ ng trình c ơ h ọc cho h ệ trong hình 4.40. x1 x2 K1x1 K2x K2x K3x2 M1 M2 B x B x B x 1& 1 B2 x& 2 & 3 &2 f1(t) f2(t)
   Định ngh ĩa x2 – x1 = x = ( )+ ( − )+ ( − )− − M1 x&& 1 f1 t K 2 x2 x1 B2 x&2 x&1 B1 x&1 K1 x1 = ( )− ( − )− ( − )− − M 2 x&& 2 f 2 t B2 x&2 x&1 K 2 x2 x1 B3 x&2 K 3 x2 Bài gi ảng 6 11 Mô hình không gian tr ạng thái
   Mô t ả động h ọc hoàn ch ỉnh c ủa h ệ thu được t ừ vi ệc vi ết các ph ươ ng trình cho phía điện và phía c ơ. Các ph ươ ng trình này có liên k ết, và tạo ra m ột h ệ các ph ươ ng trình vi phân b ậc nh ất dùng cho phân tích. H ệ phương tr ình này được coi là mô hình không gian tr ạng thái của h ệ th ống.
   Vd. 4.19: V ới h ệ th ống trong hình 4.43, chuy ển các ph ươ ng trình điện và cơ về dạng không gian tr ạng thái. T ừ thông móc vòng t ừ vd. 4.8, N 2i N 2i N 2i 2 λ = = W ' = + () ()  m () Rc Rg x R x 2R x Bài gi ảng 6 12
7. Mô hình không gian tr ạng thái (tt)
   Ở phía h ệ điện, N 2 di N 2i 2 dx v = iR + − s () 2 () µ R x dt R x 0 A dt
   Ở phía h ệ cơ , d 2 x dx N 2i 2 M + K()x − l + B = f e = − 2 µ 2 () dt dt 0 AR x với l > 0 là điểm cân b ằng t ĩnh c ủa ph ần t ử chuy ển động. Nếu v ị trí của ph ần t ử chuy ển động được đo t ừ vị trí cân bằng, các ph ươ ng trình c ơ có bi ến (x – l) thay vì x. Bài gi ảng 6 13 Mô hình không gian tr ạng thái (tt)
   Quan h ệ trên có được d ưới điều ki ện sau, d 2 (x − l) d(x − l) = = 0 dt 2 dt
   Mô hình không gian tr ạng thái c ủa h ệ th ống là một h ệ 3 ph ươ ng trình vi phân b ậc nh ất. Ba bi ến tr ạng thái là x, dx/dt (hay v), và i. Ba ph ươ ng trình b ậc nh ất có được b ằng cách đạo hàm x, v, và i và bi ểu di ễn các đạo hàm này ch ỉ theo x, v,
   và i, và ngõ vào b ất k ỳ của h ệ th ống. Do đó, các ph ươ ng trình sau cho ta mô hình không gian tr ạng thái, Bài gi ảng 6 14
8. Mô hình không gian tr ạng thái (tt) dx = = ( ) v x&1 f1 x1 , x2 , x3 dt dv 1  − N 2i 2  =  − K()x − l − Bv  x = f (x , x , x ) µ 2 () &2 2 1 2 3 dt M  0 AR x  di 1  N 2i 2  = − iR + v + v x = f (x , x , x ,u) ()  2 () µ s  &3 3 1 2 3 dt L x  R x 0 A  với N 2 L()x = R()x Bài gi ảng 6 15 Các điểm cân b ằng
   Xét ph ươ ng trình x& = f ( x , u ) . N ếu ngõ vào u là không đổi, khi đó bằng vi ệc đặt x& = 0 , s ẽ thu được các ph ươ ng trình đại s ố 0 = f ( x , uˆ ) . Ph ươ ng trình này có th ể có vài nghi ệm, và được g ọi là các điểm cân b ằng t ĩnh .
   Trong các h ệ th ống ít chi ều, có th ể dùng đồ th ị. Trong các hệ bậc cao, thường c ần dùng các k ỹ thu ật tính s ố để tìm nghi ệm. Chú ý các đại l ượng có ký hi ệu g ạch d ưới là các vect ơ. Bài gi ảng 6 16
9. Các điểm cân b ằng (tt)
   Với vd. 4 .19, đặt các đạo hàm b ằng 0 cho ta v e = 0 e = i vs R 2 N 2 (i e ) − K()x − l = = − f e ()i e , x µ 2 () 0 AR x xe có th ể tìm b ằng đồ th ị bằng cách tìm giao điểm c ủa –K(x – l) và –fe(i e, x) . Bài gi ảng 6 17 Tích phân s ố
   Hai lo ại ph ươ ng pháp: tường minh và ng ầm định. Ph ươ ng pháp Euler là dạng t ường minh, d ễ hi ện th ực cho các h ệ th ống nh ỏ. V ới các h ệ lớn, ph ươ ng pháp ng ầm định tốt h ơn nh ờ tính ổn định s ố của nó. = ( ) ( ) =
   Xét ph ươ ng trình x& f x,u x 0 x 0 với x, f, và u là các vect ơ.
   Th ời gian tích phân s ẽ được chia đều thành nh ững b ước ∆t (Hình 4.45). Bài gi ảng 6 18
10. Tích phân s ố (tt)
    Trong m ỗi b ước th ời gian t ừ tn đến tn+1 , bi ểu th ức tích phân được coi là không đổi b ằng giá tr ị ứng v ới th ời điểm tr ước đó tn. Như v ậy, tn+1 tn+1 ∫ x&()t dt = ∫ f ()x,u dt tn tn ( )− ( ) = ( − ) ( ( ) ( )) x tn+1 x tn tn+1 tn f x tn ,u tn = ∆ []()() () t f x tn ,u tn Bài gi ảng 6 19 Ví dụ 4.21  Tính x(t) ở t = 0,1, 0,2, và 0,3 giây, bi ết r ằng 2 x& = −(t + 2)x x(0) = 1
    Có th ể ch ọn ∆t = 0.1 s . Công th ức t ổng quát để tính x(n+1) là (n+1) = (n) + ∆ [ ( (n) )] = x x t f x ,tn n 2,1,0 ,
    Tại t 0 (0) = ( (0) ) = −( + ) 2 = − x 1 f x ,t0 0 2 1 2 (1) = (0) + ∆ [ ( (0) )]= + ×(− ) = x x t f x ,t0 1 1,0 2 8,0 Bài gi ảng 6 20
11. Ví dụ 4.21 (tt)
    Tại t 1 = 0,1 s ( ) 1 = ( (1) )= −( + ) 2 = − x 8,0 f x ,t1 1,0 2 8,0 ,1 344 (2) = (1) + ∆ [ ( (1) )]= + ×(− ) = x x t f x ,t1 8,0 1,0 ,1 344 ,0 6656
    Tương tự, ( ) x 3 = ,0 5681 ( ) x 4 = ,0 4939 Bài gi ảng 6 21 Ví dụ 4.22  Tìm i(t) bằng pp Euler. R = (1 + 3i 2) Ω, L = 1 H, và v(t) = 10t V. di di L + iR = v()t + i(1+ 3i 2 ) = v()t i(0) = 0 dt dt
    Đặt i = x, và v(t) = u dx ( ) = −(1+ 3x 2 )x + u()()t = f x,u,t x(0) = 0 = x 0 dt (n+1) = (n) + ∆ ( (n) (n) ) x x tf x ,u ,tn n = 2,1,0 , ( ) (0) = (0) = ( (0) (0) ) = ⇒ 1 = x 0 u 0 f x ,u ,t0 0 x 0 ( ) (1) = 1 = ( (1) (1) )= −( + 2 ) + = x 0 u 0,25 f x ,u ,t1 1 0 0 0,25 0,25 ( ) ( ) ⇒ x 2 = x 1 + ( ,0 025 )(0,25) = ,0 00625 Bài gi ảng 6 22