Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Chương III: Dao động mạng tinh thể

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Chương III: Dao động mạng tinh thể

1. Chương III DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ
2. I. ĐỘNG LỰC HỌC MẠNG TINH THỂ Những tính chất quan trọng của chất rắn đều liên quan đến dao động mạng tinh thể. Trong tinh thể các nguyên tử này dao động quanh vị trí cân bằng của nĩ (nút mạng). Dao động này được lan truyền trong mạng tinh thể tạo thành sĩng trong mạng tinh thể. Sĩng này phụ thuộc vào 2 yếu tố: Loại lực liên kết trong tinh thể Cấu trúc của mạng tinh thể.
3. Loại lực liên kết thì liên quan tới bản chất của nguyên tử tạo nên tinh thể và sự tương tác giữ chúng. Cấu trúc của tinh thể thì liên quan tới sự sắp xếp của các nguyên tử trong mạng. Mỗi loại tinh thể cho một kiểu dao động riêng gọi là phổ phơnơn của nĩ. Phổ phơ nơn quyết định phần lớn các tính chất quan trọng của chất rắn như: nhiệt dung, độ dẫn nhiệt, hệ số dãn nở nhiệt . Bài tốn dao động mạng tinh thể là một phần quan trọng của vật lý chất rắn.
4. Xét mẫu tinh thể đơn giản nhất là argon  Các nguyên tử argon trung hịa xếp đều đặn với các lớp vỏ điện tử bão hịa vững chắc.  Chúng liên kết với nhau bằng liên kết Van der Waals tác dụng chủ yếu giữa các nguyên tử nằm lân cận gần nhất.  Các quá trình vật lý trong tinh thể này liên quan tới chuyển động nhiệt của các nguyên tử quanh vị trí cân bằng của nĩ.  Theo mẫu Einstein: mỗi nguyên tử trong tinh thể dao động điều hịa trong một giếng thế tạo bởi các lực tương tác của nĩ với các nguyên tử lân cận Thế Lennard - Jones.
5. Giới hạn của mẫu là xét u trong điều kiện nhiệt độ khá i cao. r i  Vị trí của nguyên tử thứ i R trong mạng tinh thể được i xác định bởi véctơ vị trí: O ri Ri ui R = véc tơ xác định vị trí của nút mạng thứ i. i ui = độ dịch chuyển của nguyên tử thứ i. Mi = khối lượng của nguyên tử thứ i. P2 Động năng của mạng là: E = 1 2 = i đ  M i u'i  i 2 l 2M i
6. Gọi U ( ) là thế năng của mạng tinh thể. Hàm này cực ui tiểu khi gốc nguyên tử nằm tại VTCB. ui 0 Khai triển hàm U thành chuỗi Taylor quanh VTCB và coi dao động của nguyên tử là dao động bé. U 1 2U U U0 .ui u u  u  i j i i 0 2 i,j uiuj Uo = thế năng của mạng tinh thể khi các nguyên tử ở nút mạng = const = chọn bằng 0. Và: U .ui 0  u i i 0
7. Vậy thế năng của tinh thể là thế năng dao động điều hịa dạng: 1 2U U u u điềuhòa  i j 2 i,j ui uj U = Uo + Uđiều hịa = Uđiều hịa Phương trình dao động cĩ dạng phương trình dao động điều hịa: U mi u '' = - = F i u i Hay: i ,, 2 ui -  ui Lực tác dụng gây ra dao động của nguyên tử cĩ dạng lực hồi phục: = hằng số lực. Fi ui
8. II. DAO ĐỘNG MẠNG CỦA MẠNG MỘT CHIỀU GỒM MỘT LOẠI NGUYÊN TỬ Xét trường hợp mạng một chiều gồm:  Các nguyên tử cùng loại cĩ khối lượng M nằm trên cùng một đường thẳng  Chúng chỉ tương tác với các nguyên tử gần nhất.  Khoảng cách giữa các nguyên tử gần nhất là a. ( n -2)a (n-1)a na (n +1)a (n+2)a u(na)
9. ( n -2)a (n-1)a na (n +1)a (n+2)a u(na) Xét nguyên tử thứ i ở vị trí nút R = na. Độ dịch chuyển của nút này là u(na). Thế năng trong trường hợp này cĩ dạng: 1 1 U u (na) u [ (n 1) a]  2 u(na) u [( n 1) a] 2 2 2
10. U = - [2u(na) – u[(n+1)a] –u[(n-1)a] (1) Mu”(na) = - U u(na) Do tính tuần hồn mạng và coi tinh thể là một chuỗi dài vơ hạn chứa N nguyên tử áp dụng điều kiện biên Born- von Karman: u[(N+1)]a = u(a) ; u (0) = u (Na) Đặt : i(kna - t) u (na,t) = uoe (2) Điều kiện biên dẫn tới: 2 n eikNa = 1 k = ; Với n N a N
11. Từ (1) và (2) ta suy ra được: M2ei(kna - t) = - [ 2 - e-ika – eika ] ei (kna - t) = - 2 ( 1 – coska) ei (kna - t) ,, 2 uk = - 2 ( 1 – coska) u = -  u M k k Trong đĩ: 2 = 2 (1 – coska) = 4 sin2( ka ) M M 2 ka (k) = 2 sin( ) M 2
12. NHẬN XÉT Điều kiện phải thỏa của  > 0 và hàm sin là hàm tuần hồn cĩ chu kỳ 2 . Vậy các dao động mạng đều nhận được khi: ka 1 sin 1 2 ka - 2 2 2 - k Vùng Brillouin a a Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của  theo k gọi là đường cong tán sắc.
13.  Tần số gĩc  (k) là một hàm tuần hồn theo k. Bất kì 1 giá trị nào của véctơ sĩng nằmkngồi vùng Brillouin đều cĩ thể tìm thấy một giá trị của  trùng trong vùng Brillouin. Vì vậy chỉ cần khảo sát trong vùng Brillouin.  (k)  Khi ka << 1 thì: 4k  ka (k) tỉ lệ tuyến m M tính với k (k)  k sĩng đàn hồi trong mơi trường liên tục k O a a  Khi k = thì: hàm  (k) cĩ tiếp tuyến nằm ngang a  (k) khơng cịn tuyến tính với k Sự tán sắc
14. III. DAO ĐỘNG MẠNG CỦA MẠNG MỘT CHIỀU GỒM HAI LOẠI NGUYÊN TỬ Xét trường hợp mạng một chiều, trong đĩ chứa 2 loại nguyên tử khối lượng M1 và M2 cĩ hằng số lực bằng nhau. Coi các nguyên tử chỉ tương tác với các nguyên tử gần nhất. Khoảng cách giữa các nguyên tử gần nhất là a. M1 [(n-1)a] M2 [(n-1)a] M1 (na) M2(na) M1 [(n+1)a] M2 [(n+1) a] ( n -1)a (n-1)a na na (n+1)a (n+1)a u1(na) u2(na)
15. Đối với nguyên tử thứ nhất: Thế năng trong trường hợp này cĩ dạng: 1 2 1 2 U = [u1(na) u2(na)] + {[ u1(na) u2[(n 1)a)]} 2 2 i(kna- t) Trong đĩ: u1(na) = u01e i(kna- t) u2(na) = u02e Phương trình dao động cĩ dạng: ,, U M1 u1 ,, u1 2 M1u1 = M1 u1 = -2 .u1 + 2 cos ka.u2 2 (2 - M1 ) u1 - 2 coska u2 = 0 (1)
16. Đối với nguyên tử thứ hai: Thế năng trong trường hợp này cĩ dạng: 1 2 1 2 U = [u2(na) u1(na)] + {[ u2(na) u2[(n 1)a)]} 2 2 ,, U M2 u2= - u ,, 2 2 M2u2 = M2 u2 = -2 .u2 + 2 cos ka.u1 2 -2 coska u1 + (2 - M2 ) u2= 0 (2) Để tìm  ta giải hệ phương trình (1) và (2): 2 (2 -M1 )u1 - 2 coska.u2 = 0 2 - 2 coska.u1+ (2 -M2 )u2 = 0
17. giải phương trình định thức: 2 M 2 2 cos ka 1 = 0 2 2 cos ka 2 M2 Phương trình cĩ nghiệm: 2 2 2 1 1 1 1 4sin ka  = M1 M 2 M1 M 2 M1.M 2 +2 1 1 - - Khi k = 0: sinka = 0: = 2 ;  = 0 M 1 M 2 2 2 - Khi k = : sinka =1 : +2 = ; -2 = 2a M 2 M 1
18. NHẬN XÉT  (k) Đồ thị của + và - cho thấy: + + Đối với nghiệm - :  k 0: -(k)  k dao - động ââm học (vì nĩ tương tự như dao động sĩng dài trong k mơi trường liên tục đàn hồi) O Nhánh âm 2a 2a + Đối với nghiệm +: Khi k  0: nhánh + nằm xa nhánh - Khi k tăng: nhánh + tiến gần nhánh - dao động quang học Nhánh quang
19.  Nếu thay đổi khối lượng nguyên tử sẽ làm xuất hiện các biên mới của vùng tại điểm 2a  Khi qua các biên này tần số  (k) thay đổi một cách gián đoạn tạo thành một khe .  Tương tự nếu xét mạng dao động một chiều gồm 3 nguyên tử: k O M M M thì ta sẽ 1 2 3 a 2a 2a a cĩ 3 nhánh dao động: 1 nhánh âm học và 2 nhánh quang học.
20. TỔNG QUÁT  Trường hợp mạng một chiều cĩ n nguyên tử khác loại sẽ cĩ n nhánh dao động mạng, trong đĩ: 1 nhánh âm học và (n-1) nhánh quang học Trường hợp mạng 3 chiều cĩ 1 loại nguyên tử, dao động mạng sẽ cĩ 3 nhánh âm, trong đĩ: 1 nhánh âm dọc và 2 nhánh âm ngang  Trường hợp mạng ba chiều cĩ n nguyên tử khác loại sẽ cĩ 3n nhánh dao động mạng, trong đĩ: 3 nhánh âm học và 3(n-1) nhánh quang học
21. IV. CÁC PHƠNƠN Tính chất của Trường điện từ + Tính chất sĩng: sĩng điện từ đặc trưng bởi bước sĩng  + Tính chất hạt: các lượng tử = phơtơn Mỗi phơtơn sẽ mang một năng lượng và một động lượng xác định: hc  = = , P k  Trong đĩ:  = tần số gĩc k = véc tơ sĩng của sĩng điện từ.
22. Tương tự, ta cĩ thể coi mạng tinh thể dao động ngồi tính chất sĩng nĩ cịn cĩ tính chất hạt, những hạt đĩ gọi là phơnơn. Mỗi phơnơn sẽ mang một năng lượng và một xung lượng: hc ( q ) = =   ( q ), P q  Trong đĩ  = tần số gĩc q= véc tơ sĩng của sĩng dao động mạng. Trong phép gần đúng dao động điều hịa, các phơnơn coi như chuyển động tự do tạo thành khí phơnơn lý tưởng.
23. Trong mạng tinh thể cĩ thể cĩ nhiều phơnơn ở cùng một trạng thái lượng tử ( cùng ). q Khí phơnơn tuân theo phân bố Bose – Einstein, tức là số phơnơn trung bình cĩ năng lượng trung bình ( )ở điều kiện cân bằng nhiệt ở nhiệt độ T là: 1 Năng lượng của dao động mạng nq (q) là tổng năng lượng của các k T e B 1 phơnơn: E (q)n(q)  q Với n(q) = số phơnơn cĩ véctơ sĩng và năng lượng( q ). Khác với các electron và nguyên tử là các phơnơn khơng tồn tại ngồi tinh thể mà liên hệ chặt chẽ với cấu trúc tinh thể.