›
›

Bài giảng Động lực học công trình - Chương 2: Dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn

pdf 61 trang hapham 1630
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Động lực học công trình - Chương 2: Dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dong_luc_hoc_cong_trinh_chuong_2_dao_dong_cua_he_c.pdf

Nội dung text: Bài giảng Động lực học công trình - Chương 2: Dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn

  1. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) m m M(t) k n y (t) k yn (t) mi yi (t) m2 y2 (t) m1 y1 (t) (a) Xét dao động của khung không trọng lượng mang các khối lượng tập trung (hình a). Chịu các lực kích thích thay đổi theo thời gian. Bỏ qua biến dạng dọc của khung, ta có bài toán dao động có n bậc tự do.
  2. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) P(t) Zk(t) m m M(t) Zn(t) M(t) k n y (t) k yn (t) Rk(t) mi R (t) Rn(t) yi (t) i Zi(t) m 2 R (t) Z (t) y2 (t) 2 2 m1 R (t) 1 Z1(t) y1 (t) (a) (b) Xét tại thời điểm bất kỳ t dưới tác dụng của các lực: * Lực kích thích: M(t), P(t), q(t). & * Lực quán tính: Zk( t ) = -mk .y&k( t ) * Lực cản: Rk(t)
  3. CHƯƠNG 2: 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) P(t) Zk(t) m m M(t) Zn(t) d d M(t) k n k n y (t) k yn (t) Rk(t) mi y (t) Ri(t) Rn(t) Z =1 i Zi(t) di i m2 R2(t) Z (t) y2 (t) 2 d2 m1 R1(t) Z1(t) d1 y1 (t) (a) (b) (c) Gọi dki là chuyển vị khối lượng do Z = 1 tác dụng tĩnh gây ra: DkP(t) chuyển vị khối lượng mk do lực kích thích gây ra. Xem hệ đàn hồi là tuyến tính, chuyển vị là rất nhỏ:
  4. CHƯƠNG 2: 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) P(t) Zk(t) m m M(t) Zn(t) d d M(t) k n k n y (t) k yn (t) Rk(t) mi y (t) Ri(t) Rn(t) Z =1 i Zi(t) di i m2 R2(t) Z (t) y2 (t) 2 d2 m1 R1(t) Z1(t) d1 y1 (t) (a) (b) (c) Phương trình chuyển vị của các khối lượng: yk(t ) = dk1[Z1(t )- R1(t )]+dk2 [Z2(t )- R2(t )]+ + Zkn[Zn( t ) - Rn( t )]+ DkP( t ); k = 1,2,3, ,n
  5. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: yk( t ) + dk1 [ m1&y&1( t ) + R1(t )] + dk2 [ m2 &y&2( t ) + R2(t )] + + + dkn[ mn&y&n( t ) + Rn( t )] - DkP( t ) = 0; k = 1, 2, , n. Đây là phương trình vi phân tổng quát mô tả dao động cưỡng bức có kể đến lực cản của hệ có bậc tự do bằng n.
  6. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng khi không lực cản: Không kể đến lực kích thích và lực cản. Phương trình được viết lại như sau: && m1.dk1.y1(t ) + m2 .dk2 .&y&2(t ) + + mn.dkn.&y&n(t )+ yk (t ) = 0 Nghiệm tổng quát thứ k của phương trình được biểu thị dưới dạng tổng của các nghiệm riêng: n n yk( t ) =  yki( t ) =  yki Fi ( t ) i i=1 yki : các hằng số chưa biết; Fi(t): hàm số phụ thuộc thời gian t, chưa xác định.
  7. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng khi không lực cản: Với một nghiệm riêng thứ i, tại các khối lượng ta có: y ( t ) = y F ( t ), 1i 1i i y y y1i 2i ii yki yni y2i( t ) = y2i Fi( t ), , m 1 mn m2 mi mk yni( t ) = yni Fi( t ). Điều này chứng tỏ tỷ lệ giữa chuyển vị của các khối lượng không phụ thuộc vào thời gian t. Đường cong tạo bởi các tung độ y1i , y2i , là đường cong đàn hồi của dầm và là dạng chính thứ i của dao động riêng.
  8. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng khi không lực cản: Đạo hàm nghiệm riêng thứ i và thay vào phương trình cơ bản, ta thu được: ( m1d11 - ui ) m2d12 mnd1n m d ( m d - u ) m d D = 1 21 2 22 i n 2n = 0 m1dn1 m2 d n2 ( mndnn - ui ) 1 = Trong đó: ui 2 i Phương trình này được gọi là phương trình tần số hoặc phương trình thế kỷ. Giải hệ này ta thu được các giá trị ui,Từ các giá trị này ta tìm được các tần số dao động riêng i (phổ tần số dao động riêng).
  9. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.3. Dạng chính của dao động riêng: Đạo hàm nghiệm riêng thứ i và thay vào phương trình cơ bản, ta thu được: && [ m1d k1 y1i + m2d k2 y21 + + mnd knyni ] Fi ( t ) + ykiFi ( t ) = 0 F&&(t ) y i = - ki Fi(t ) m1dk1 y1i + m2dk2 y2i + + mndknyni Vế trái phụ thuộc vào thời gian t, vế phải chỉ phụ thuộc vào kết cấu, vị trí và trị số các khối lượng, nên tỷ 2 số này là một hằng số và bằng -i . && 2 Fi ( t ) + i Fi ( t ) = 0 2 [ m1dk1 y1i + m2d k2 y21 + + mnd knyni ] i - yki = 0
  10. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.3. Dạng chính của dao động riêng: Như vậy đối với hệ có n bậc tự do luôn luôn tìm được n giá trị tần số dao động riêng. Ứng với mỗi tần số dao động riêng i có một dạng chính của dao động xác định bằng các chuyển vị y1i, y2i, , yni của các khối lượng. Phương trình dao động của khối lượng thứ k với tần số i có dạng: yki( t ) = yki ai sin(i t + i ) Phương trình dao động tổng quát của khối lượng thứ k: n yk( t ) =  yki ai sin(i t + i ) i=1
  11. Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m1 = m2 = m. Tìm các tần số dao động riêng? m1 m2 Phương trình tần số cho l / 3 l / 3 bài toán 2 khối lượng: l / 3 Z1=1 (d m - u ) d m 11 1 12 2 = 0 d d - 2l / 9 21m1 ( 22m2 u ) Z2=1 2l / 9 2 2 u - u(d11m1 + d22m2 ) + m1m2(d11d22 -d12 ) = 0 3 3 54mll 3 ml3 7l d11 = du22== ;; du12 == d21 = . 1 243162EIEI 2 486486EI EI
  12. Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m1 = m2 = m. Tìm các tần số dao động riêng? m1 m2 Tần số dao động riêng được xác định: l / 3 l / 3 l / 3 Z1=1 2l / 9 Z2=1 1 EI  = = 1 5,69 3 2l / 9 u1 ml m1 m2 1 EI  = = 22 2 3 m1 m2 u2 ml
  13. Ví dụ 2: Tìm các tần số dao EI m1=3m m2=m động riêng và các dạng l l dao động riêng chính của l dầm công xôn trên hình vẽ. Z1=1 ( M 1 ) Cho biết EI = const. 2l Z2=1 Giải: ( M 2 ) Hệ có bậc tự do là 2, dao động không cản, phương trình tần số dao động có dạng: (d m - u ) d m 11 1 12 2 = 0 d21m1 (d22m2 - u ) 2 2 u - u(d11m1 + d22m2 ) + m1m2(d11d22 -d12 ) = 0 Vẽ các biểu đồ mô men uốn đơn vị Z1 = 1, Z2 = 2. Xác định các chuyển vị d11, d12, d21, d22.
  14. Ví dụ 2: Tìm các tần số dao EI m1=3m m2=m động riêng và các dạng l l dao động riêng chính của l dầm công xôn trên hình vẽ. Z1=1 ( M 1 ) Cho biết EI = const. 2l Z2=1 3 l.l 2l l ( M 2 ) d = ( M 1 )( M 1 ) = = 11 2EI 3 3EI 2l.2l 2.2l 8l 3 d = ( M 2 )( M 2 ) = = 22 2EI 3 3EI 5l3 d = d = ( M 1 )( M 2 ) = 12 21 6 EI 1 EI EI  = = 0,5345 , 1/ s ;  = 2,5 , 1/ s 1 3 2 3 u1 ml ml
  15. EI m =3m m2=m Xác định các dạng 1 chính của dao động: l l l Z1=1 ( M 1 ) (d11m1 - u1 )y11 + d12m2 y21 = 0 2l Z =1 d 21m1 y11 + (d 22m2 - u1 )y21 = 0 2 ( M 2 ) Cho y11 =1 y21 = 3 1 Tương ứng với 2, cũng thực hiện tương tự như y11=1 y21=3 m1 trên, cho y = 1 ta sẽ tìm 12 m được dạng chính thứ hai 2 của dao động riêng chuyển m2 y22= -1 vị tương ứng tại các khối 2 lượng. y12=1
  16. Ví dụ 3: Tìm các tần số m1 m2 dao động riêng và các 2EI 2EI dạng dao động riêng chính EI 3m EI của khung như hình vẽ. Cho biết EI = 34,8.104 N.m2, 2m 2m 2m 2m 2 m = 1000/g.Ns /m. m1 = 2m, 3,12 Z1=1 5,2 m2 = m. 2,86 2,08 Hệ có hai bậc tự do, 8,97 (M1).1/13 Phương trình tần số có dạng: d - d 3,90 6,24 ( 11m1 ui ) 12m2 Z =1 = 0 0,78 2 d d - 21m1 ( 22m2 ui ) 2,34 9,68 Vẽ các biểu đồ mô men (M2).1/13 uốn đơn vị Z1 = 1 và Z2 = 1.
  17. m m Để xác định các chuyển 1 2 2EI 2EI vị dik ta tạo các trạng thái EI khả dĩ và vẽ các biểu đồ 3m EI o mô men uốn đơn vị (M1 ) o 2m 2m 2m 2m và (M2 ) tương ứng trong hệ cơ bản. P = 1 Áp dụng các nhân biểu đồ: o (M1) 1 0 0,356 d = ( M 1 )( M 1 ) = 11 EI 0 0,4266 P = 1 d = ( M 2 )( M 2 ) = 22 EI 0 0,12 1 d12 = d21 = ( M 1 )( M 2 ) = o EI (M2)
  18. Thay các giá trị tìm m1 m2 được vào phương trình tần 2EI 2EI số ta thu được: EI 3m EI 1 2m 2m 2m 2m 1 = = 65,69 1/ s u1 1 2 = = 99,1 1/ s u2 2p 2p Chu kỳ dao động: T1 = = 0,0956; T2 = = 0,0634 1 2 Với 1 = 65,69, ta có: (d11m1 - u1 )y11 + d12m2 y21 = 0 d21m1 y11 + (d 22m2 - u1 )y21 = 0 Cho y11 = 1 y21 = - 0,6587
  19. m m Dạng chính thứ nhất của 1 2 dao động riêng và chuyển vị 2EI 2EI tương ứng của các khối EI 3m EI lượng như hình vẽ. 2m 2m 2m 2m y11( t ) = y11a1 sin(1t + 1 ) m2 y11( t ) = a1 sin(65,69t + 1 ); m1 m1 y = 0,6587 y21( t ) = y21a1 sin(1t + 1 ) 21 y21( t ) = -0,6587a1 sin(65,69t + 1 );
  20. Tương tự với  = 99,1 1/s: 2 m1 m2 2EI 2EI (d11m1 - u2 )y12 + d12m2 y22 = 0 EI 3m EI d21m1 y12 + (d 22m2 - u2 )y22 = 0 2m 2m 2m 2m Cho y12 = 1 y22 = 3,037 Dạng chính thứ hai của m1 dao động riêng và chuyển vị y12 = 1 y21 = 0,6587 tương ứng của các khối lượng như hình vẽ. y12( t ) = y12a2 sin(2t + 2 ) m y12( t ) = a1 sin(99,10t + 2 ); 1 y12 = 1 y22 = 3,037 y22( t ) = y22a2 sin(2t + 2 ) y22( t ) = 3,037a2 sin(99,10t + 2 );
  21. Phương trình dao động tổng quát của các khối lượng: y1 ( t ) = y11 a1 sin(1t + 1 ) + y12 a2 sin(2t + 2 ) = = a1 sin(65,69.t + 1 ) + a2 sin(99,1.t + 2 ) y2 ( t ) = y21 a1 sin(1t + 1 ) + y22 a2 sin(2t + 2 ) = = -0,6587 a1 sin(65,69.t + 1 ) + 3,037 a2 sin(99,1.t + 2 ) Các đại lượng a1, 1, a2, 2, được xác định theo điều kiện ban đầu của dao động ở thời điểm t = 0. & y1( t ) = y1(0 ); y1( t ) = v1(0 ); & y2(t ) = y2(0 ); y2( t ) = v2( 0 )
  22. * Cách sử dụng tính đối xứng của hệ trong dao động: Đối với những hệ đối xứng mang các khối lượng có giá trị và vị trí được bố trí đối xứng, hệ sẽ dao động tương ứng với hai loại dao động chính sau: • Dạng dao động đối xứng tương ứng với các lực quán tính tác dụng đối xứng. • Dạng dao động phản xứng tương ứng với các lực quán tính tác dụng phản xứng
  23. 1) Biện pháp biến đổi hệ về sơ đồ nửa hệ tương đương: m / 2 2 m / 2 m1 m2 m1 m1 m1 2 l l l l l Đối xứng Phản xứng m1 m2 m1 m1 m2//2 m1 m2//2 m3 m3 m3 m3 m4 m4 m4 m4 m6 m5 m6 m6 m6 m5 l l l l
  24. 2) Biện pháp sử dụng chuyển vị kép: • Dạng dao động đối xứng: y1 yk yn-1 yn yn-1 yk y1 Biểu thị chuyển vị tại m 1 m1 mk mk cặp khối lượng có vị trí mn-1 mn mn-1 đối xứng theo chuyển vị l l kép: Z =1 Z1=1 1 Yk (t) = 2yk (t), k = 1,2 (n-1) Khối lượng mn không (M 1) Zk=1 Z =1 có chuyển vị kép. yn(t). k Các cặp khối lượng (M k) đối xứng phát sinh các Zn=1 cặp lực quán tính đối xứng (M n)
  25. Gọi d (i k, k n): ik y1 yk yn-1 yn yn-1 yk y1 chuyển vị đơn vị ứng với vị trí và phương của các cặp lực quán tính l l đối xứng Zi(t) do cặp lực đối xứng Z = 1 tác dụng k Z =1 Z1=1 1 tĩnh tạ mk. Gọi dim : chuyển vị đơn (M 1) Zk=1 Z =1 vị ứng với vị trí và k phương của các cặp lực (M k) quán tính đối xứng Zi(t) Z =1 do lực Zn = 1 tác dụng n tĩnh tạ vị trí mn . (M n)
  26. Chuyển vị kép của khối lượng thứ k được viết dưới dạng: && && Yk (t) = [- m1 y1(t)]d k1 + [- m2 y2(t)]d k2 + + && [- mn-1 yn-1(t )]d k(n-1) + [- mn&y&n(t)]d kn m1 m2 Y (t) = - 2&y& (t)d - 2&y& (t)d - k 2 1 k1 2 1 k2 mn-1 - 2&y& - (t)d - - m 2&y& (t)d 2 n 1 k(n 1) n n kn m1 && m2 && mn-1 && d Y (t) + d Y (t) + + d - Y - (t) + 2 k1 1 2 k2 2 2 k(n 1) n 1 && + mnd kn yn (t) + Yk (t) = 0
  27. m1 && m2 && mn-1 && d Y (t) + d Y (t) + + d - Y - (t) + 2 k1 1 2 k2 2 2 k(n 1) n 1 && + mnd kn yn (t) + Yk (t) = 0 Phương trình này giống như phương trình vi phân dao động của hệ có n bậc tự do, phương trình này chỉ khác là chuyển vị được thay thế bằng chuyển vị kép trừ chuyển vị khối lượng thứ mn. Phương trình xác định tần số dao động riêng ứng với dạng dao động đối xứng:
  28. m1 m2 mn-1 mn ( d - u ) d d - d 2 11 i 2 12 2 1(n 1) 2 1n m1 m2 mn-1 mn d ( d - u ) d - d 2 21 2 22 i 2 2(n 1) 2 2n m1 m2 mn-1 mn d - d - ( d - - - u ) d - 2 (n 1)1 2 (n 1)2 2 (n 1)(n 1) i 2 (n 1)n m1 m2 mn-1 mn d d d - ( d - u ) 2 n1 2 n2 2 n(n 1) 2 nn i Giải phương trình này ta thu được n giá trị của phổ tần số dao động riêng ứng với n dạng dao động riêng đối xứng.
  29. • Dạng dao động phản xứng: mk mn-1 m1 y1 yk yn-1 Xét hệ mang khối y y m n-1 k y1 lượng tập trung bố trí n m m1 m n-1 như bài toán đã xét, k khi hệ dao động theo l l dạng phản xứng như hình vẽ. Z1=1 Z =1 Thực hiện như (M1) 1 phần trên, phương trình tần số của dao Zk=1 động phản xứng: Zk=1 (M k )
  30. m m m ( 1 d - u ) 2 d n-1 d 2 11 i 2 12 2 1(n-1) m1 m2 mn-1 d ( d - u ) ( d - 2 21 2 22 i 2 2(n 1) m m m 1 d 2 d ( n-1 d - u ) 2 (n-1)1 2 (n-1)2 2 (n-1)(n-1) i Giải phương trình này ta sẽ thu được n – 1 giá trị của thông số ui và từ đó suy ra n – 1 gía trị tần số dao động riêng ứng với n – 1 dạng dao động riêng phản xứng.
  31. Ví dụ 4: Xác định các tần số và các dạng dao động riêng tương ứng cho hệ được cho như hình vẽ. Cho biết EA=16 3 EI/ d 2 EA= EA= EA EA EA EA EI 30o 30o EI m2 = m m1 = m m2 = m d d d d d d d d Đây là hệ đối xứng, các khối lượng bố trí đối xứng. Ta dùng biện pháp biến đổi về nửa hệ tương đương:
  32. * Dạng dao động đối xứng: m1 = m/2 Ta có sơ đồ tương đương. 30o m2 = m Hệ có 2 khối lượng tập d d d d trung m1 = m/2 và m2=m, bậc tự do của hệ bằng 2: N = 4 Z = 1 (d11m1 - ui ) + d12m2 = 0 N = 4 + + 1 d21m1 + (d 22m2 - ui) = 0 d d (M 1) Các biểu đồ mô men Z = 1 uốn và biểu đồ lực dọc 2 trong các dây văng do Z1 = 1 và Z2 = 1 gây ra (M 2) như hình vẽ. d/2
  33. Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ để tính các chuyển vị dik: 8d 3 d = (M1)(M 1) + (N1)(N1) = , 11 3EI d 3 d = (M 2)(M 2) = , 22 6EI d 3 d = d = (M1)(M2) = - , 12 21 3EI Thay vào và giải hệ phương trình ta thu được 2 giá trị u1 và u3 Các tần số dao động riêng: 1 EI 1 EI 1 = = 0,8515 3 ; 3 = = 2,8767 3 u1 md u3 md
  34. Xác định các dạng chính của dao động riêng Tương ứng với 1 ta có u1. Thay vào phương trình: (d11m1 - u1 )y11 + d12m2 y21 = 0 Chọn y11 = 1 ta suy ra y21= -0,1375. Chuyển vị khối lượng k ứng với 1 như hình vẽ: m = m y =1 2 11 m2 = m y21=0,1375 1 m1 = m
  35. Xác định các dạng chính của dao động riêng Tương ứng với 3 ta có u3. Thay vào phương trình và Chọn y13 = 1 ta suy ra y23= 0,6375. Chuyển vị khối lượng k ứng với 3 như hình vẽ: m = m y =1 2 11 m2 = m y21=0,1375 1 m1 = m y23=3,6375 y13=1 y23=3,6375 m1 = m m2 = m m2 = m 3
  36. * Dạng dao động phản xứng: m1 = m/2 Sơ đồ tính toán như 30o hình vẽ. m2 = m d d d d Trên hệ có 2 khối lượng: m1= m/2 và m2= m. khối lượng m1 đặt trên gối tựa nên không tham gia dao động. Hệ có một bậc tự do. Tần số dao động 2 được xác định theo công thức: 1 2 = m2d33
  37. m = m/2 Xác định d33 ta vẽ 1 biểu đồ mô men uôn và 30o lực dọc trong các dây m2 = m văng do Z3 = 1 gây ra tại d d d d khối lượng m2. Nhân biểu đồ ta thu được: N =1/2 N =1/2 dv dv 3 3 d = 3 3 + 3 3 33 (M )(M ) (N )(N ) + + d/8 Z3=1 d 3 d = 33 (M ) 8EI 3d/8 3 1 EI  = = 2 2,8284 3 m2d33 md
  38. Dạng Do động phản xứng được vẽ như hình vẽ: m2 = m y22=1 y22=1 m = m m = m 1 2 2
  39. Ví dụ 5: Xác định các tần m = m số dao động riêng cho trên 1 EI m1= m dầm như hình vẽ, EI=const: l/2 l/2 l/2 l/2 * Dạng phản xứng: Hệ đối xứng,các khối lượng bằng nhau và bố trí đối xứng. Để giải bài toán này ta vận dụng biện pháp sử dụng các chuyển vị kép. m Phương trình tần số: ( 1 d -u ) = 0 2 11 1 Để xác định chuyển vị d11 ta cần vẽ biểu đồ mô men uốn do các cặp lực phản xứng Z1 = 1 gây ra.
  40. Áp dụng nhân biểu đồ: m1= m EI m1= m 3 l l/2 l/2 l/2 l/2 d = (M1)(M1) = 11 24EI l/4 Z1 = 1 EI  = 6,928 1 3 l/4 Z = 1 ml (M 1) 1 Dạng dao động phản m = m xứng của dầm tương ứng 1 với tần số riêng  được 1  minh họa như hình vẽ. m1= m 1
  41. * Dạng đối xứng: m2= m EI m2= m Phương trình tần số: l/2 l/2 l/2 l/2 m ( 2 d -u ) = 0 2 22 2 3l/16 Z2= 1 Z2 = 1 14l 3 d22 = (M2)(M2) = 768EI 5l/32 5l/32 (M 2) EI  = 10,474 m1= m 2 ml3 m1= m 1 Dạng dao động:
  42. * Tính chất trực dao của các dạng chính của dao động riêng y (t) y1i(t) 2i yki(t) yni(t) Hai véc tơ được gọi m m1 m m n là trực giao khi tích vô 2 k hướng của hai véc tơ Z (t) Z (t) Z (t) Z (t) bằng không. 1i 2i ki ni Xét dạng chính thứ i của dao động riêng. Chọn các điều kiện ban đâu sao cho phương trình chuyển động tại khối lượng mk tương ứng với dạng chính thứ i là: yki (t) = yki sinit Lực quán tính phát sinh tại khối lượng mk: 2 Zki (t) = mki yki sinit
  43. y (t) y2i(t) y (t) y (t) Tương tự đối với 1i ki ni m1 mn dạng chính thứ j của dao m2 mk động riêng: Z1i(t) Z2i(t) Zki(t) Zni(t) =  Zkj(t) ykj (t) ykj sin jt Znj(t) m k mn Lực quán tính phát y1j(t) y2j(t) sinh tại khối lượng m : m ynj(t) k m1 2 ykj(t) 2 Zkj (t) = mkj ykj sinjt Z (t) 1j Z1j(t) Định lý tương hổ về công khả dĩ của ngoại lực: n n  2   =  2   (mk i yki sin it ykj sin jt) (mk j ykj sin jt yki sin it) k=1 k=1
  44. Do vậy mới mọi thời điểm ta đều có: n 2 2 (i - j ) mk .yki.ykj = 0 k=1 n Do   nên: I j  mk .yki.ykj = 0 k=1 Biểu thức này thể hiện tính chất trực giao của các dạng chính của dao động riêng. Kết quả này không phụ thuôc vào điều kiện ban đầu
  45. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.4. Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn P(t) = P.sinq t: Trong thực tế khi tính dao động công trình ta thường đưa lực kích thích về dạng gần đúng là hàm điều hòa hoặc phân tích lực P(t) theo chuỗi Fourier rồi lấy một vài số hạng đầu. Do vậy việc nghiên cứu dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn là một bài toán cơ bản trong động lực học công trình. Lực kích thích có thể là mô men tập trung M(t), lực tập trung P(t), tải trọng phân bố q(t) được ký hiệu chung là P(t) và được xem là có cùng tần số P(t)=P.sinq t.
  46. CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.4. Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn P(t) = P.sinq t: Đối với hệ có bậc tự do bằng n, khi tần số q của lực kích thích bằng một trong những giá trị i nào đó của phổ tần số dao động riêng thì trong hệ sẽ phát sinh hiện tượng cộng hưởng. Trong thực tế, tần số của lực kích thích thường nhỏ hơn tần số dao động riêng của công trình nên thường chỉ cần quan tâm đến tần số cơ bản 1 để kiểm tra khả năng xãy ra cộng hưởng. • Kiểm tra xãy ra cộng hưởng • Xác định nội lực và các chuyển vị động.
  47. 2.4.1. Biểu thức nội lực, chuyển vị: Do có lực cản nên sau một khoảng thời gian dao động riêng của hệ sẽ biến mất, hệ sẽ dao động bình ổn và dao động cùng với chu kỳ và tần số của lực kích thích. Đại lượng Phương trình dao động Lực kích thích thứ j Pj (t) = Poj sinq t Chuyển vị tại k lượng mi y i (t) = ai sinq t Z (t) = -m &y& (t) = Lực quán tính tại mi i i i 2 2 miq ai sinq t = miq yi (t) Nội lực tại tiết diện k Sk(t) = Sk sinq t Chuyển vị tại tiết diện k Dk(t) = D k sinq t
  48. Ở mọi thời điểm, hệ chịu tác dụng của lực quán tính và lực kích thích đặt tại các khối lượng. Theo nguyên lý cộng tác dụng, nội lực tại tiết diện k bất kỳ: Sk (t) = Sk1Z1(t) + Sk2Z2 (t) + + SknZn (t) + SkP (t) Ở trạng thái biên độ (thời điểm xảy ra biên độ): Sk = Sk1Z1 + Sk2Z2 + + SknZn + SkP Sk1 - nội lực tại tiết diện thứ k do lực Zi = 1 tác dụng tĩnh tại vị trí khối lượng mi; Zi – biên độ lực quán tính tại khối lượng mi; SkP – nội lực tại tiết diện thứ k do biên độ lực kích thích P0i tác dụng tĩnh trên hệ.
  49. Tương tự, ta có biểu thức xác định biên độ chuyển vị động tại tiết diện k: đ đ Dyk = Dk = d k1Z1 +d k2Z2 + +d knZn + DkP dki – chuyển vị đơn vị tại tiết diện k do lực Zi = 1 tác dụng tĩnh tại khối lượng mi; DkP – chuyển vị tại tiết diện k do biên độ lực kích thích P0i tác dụng tĩnh trên hệ. Để áp dụng các biểu thức đã nói ở trên ta cần phải xác định được biên độ của các lực quán tính Zi.
  50. 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: Khi chịu lực kích thích P(t) =Psinqt, chuyển vị khối lượng mk ở thời kỳ bình ổn có dạng: y k(t) = ak sinq t Lực quán tính tại khối lượng mk: 2 2 Zk (t) = -mk &y&k (t) = mkq ak sinq t = mkq yk (t). Z (t) = k yk (t) 2 . mkq
  51. 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: Không kể đến lực cản, phương trình chuyển động của khối lượng mk có dạng: yk (t) = d k1Z1(t) +d k2Z2 (t) + +d kkZk (t) + +d knZn (t) + DkP (t) Phương trình chuyển động của khối lượng thứ k: 1 d k1Z1 +d k2Z2 + + (dkk - 2 )Zk + +dknZn + DkP = 0 mkq Lần lượt cho k = 1, 2, , n ta thu được hệ phương trình:
  52. 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: 1 d - +d + +d + D = ( 11 2 )Z1 12Z2 1nZn 1P 0, m1q 1 d + d - + +d + D = 21Z1 ( 22 2 )Z2 2nZn 2P 0, m2q 1 d +d + + d - + D = n1Z1 n2Z2 ( nn 2 )Zn nP 0. mnq •Zi > 0Đây, chiềulà hệlựcphươngquán tínhtrìnhhướngchínhtheotắcchiềuđể xácgiảđịnhđịnhbiên độ của các lực quán tính Zi với i = 1, 2, , n. • Zi <0, chiều lực quán tính ngược với chiều giả định
  53. 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: Nếu chọn trước các giá trị m0, d0 và đặt: mk d ki DkP 2 1 mk = , d ki = , DkP = ,q = , mo d o d o mod ouq (d11 - uq / m1)Z1 +d12Z2 + +d1nZn + D1P = 0, d 21Z1 + (d 22 - uq / m2 )Z2 + +d 2nZn + D2P = 0, d n1Z1 +d n2Z2 + + (d nn - uq / mn )Zn + DnP = 0.
  54. 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: Tiếp tục biến đổi ta thu được hệ phương trình với các ẩn số là các chuyển vị yt: (d11m1 - uq )y1 +d12m2 y2 + +d1nmn yn + uq D1P = 0, d 21m1 y1 + (d 22m2 - uq )y2 + +d 2nmn yn + uq D2P = 0, d n1m1 y1 +d n2m2 y2 + + (d nnmn - uq )yn + uq DnP = 0. D Nghiệm của hệ phương trình này là: y = k k D
  55. 2.4.2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính: (m1d11 - uq ) m2d12 mnd1n md (m d - u ) m d D = 1 21 2 22 q n 2n m1d n1 m2d n2 (mnd nn - uq ) Dk là định thức suy ra từ định thức D bằng cách thay cột thứ k bằng cột các số hạng tự do với dấu ngược lại.
  56. Ví dụ 6: Vẽ biểu đồ mô P(t) = Posinq t men uốn động cho dầm chịu lực kích thích P(t) = m = m P sinqt như hình vẽ. Cho 1 m2 = m o l/3 l/3 l/3 biết m = 1,02 kNs2/m, l = 6 4 2 m, EI = 1864.10 kNcm , Po = 5 kN, q = 0,61 1/s. Giải: Hệ có hai bậc tự do. Tìm tần số dao động riêng. Phương trình tần số có dạng: (m d -u ) m d 1 11 i 2 12 = 0 m1d 21 (m2d 22 -ui )
  57. Các biểu đồ mô men P(t) = Posinq t uốn đơn vị do Z1 = 1, Z2 = 1 và biểu đồ do biên độ P o m1 = m m2 = m tác dụng tĩnh được vẽ như l/3 l/3 l/3 hình vẽ. 4l 3 Z1 = 1 2l/9 l/9 (M ) d = d = (M )(M ) = 1 11 22 1 1 243EI 7l 3 d12 = d 21 = (M1 )(M2 ) = 486EI l/9 Z2 = 1 2l/9 (M2) Chọn: m =m =1;d = d =1 Po = 5kN t 1 2 11 22 (M P ) d12 = 7 /8 6,667 3,333
  58. Thay vào phương P(t) = Posinq t trình tần số ta thu được: m = m (1- u ) 7 / 8 1 m2 = m i = 0 l/3 l/3 l/3 7 /8 (1- ui ) u1 =1,875;u2 = 0,125 Trong cách tính toán đưa về không thứ nguyên thì 2 ui dược xác định: ui = 1/modo i 1 243EI  = = = 1 3 52,35 1/ s mod ou1 1,875m4l 1 243EI  = = = 2 3 202,4 1/ s mod ou2 0,125m4l
  59. Tần số dao động cưỡng bức: q = 0,61 = 0,6.52,35 = 31,4 1/s Hệ phương trình chính tắc xác định biên độ của các lực quán tính: (d11 - uq / m1)Z1 +d12Z2 + D1P = 0, d 21Z1 + (d 22 - uq / m2 )Z2 + D2P = 0. D P d 4l 3 243EI D = 1P = o 11 = = 1P 5 . 3 5 d o d o 243EI 4l D P d 7l 3 243EI D = 2P = o 21 = = 2P 5 . 3 4,375 d o d o 243EI 4l 1 1 243EI = = = uq 2 2 3 5,2152 q modo q m 4l
  60. Thay vào hệ phương trình trên ta thu được: (1- 5,2151)Z1 + 0,875Z2 + 5 = 0 0,875Z1 + (1- 5,2152)Z2 + 4,375 = 0 Z1 =1,464 kN; Z2 =1,342 kN Biểu đồ mô men uốn động được vẽ theo biểu thức: đ t (MP ) = (M1)Z1 + (M2 )Z2 + (MP )
  61. Hệ số động tại mỗi tiết P(t) = Posinq t diện được xác định theo công thức: Kđ = Mid / MiP m1 = m m2 = m l/3 l/3 l/3 Hệ số này đạt giá trị lớn nhất tại tiết diện đặt P +Z =5+1,464 kN khối lượng m : K = o 1 2 d,max q = 31,4 1/s Z =1,342 kN 6,095/3,333=1,83 2 Nếu chọn q = 50 1/s  , 1 9,513 6,095 kNm đ hệ sẽ dao động trong miền (MP ) cộng hưởng. Thực hiện Po+Z1=5+2ọn5,98 q = 50 1/s kN tính toán tương tự ta sẽ vẽ Z2=25,65 kN được biểu đồ mô men uốn động ứng với giá trị đã chọn. Kđ = 16,4 58,41 đ 54,85 (MP )