Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do

Nội dung text: Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do

1. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.1 Phương trình vi phân tổng quát: Xét dao động của thẳng có khối lượng phân bố m(z) dọc theo ciều dài thanh. Hệ có bậc tự do bằng vô cùng. Khi chịu lực kích thích bất kỳ thay đổi theo thời gian và có phương nghiêng so với trục thanh. Dao động ngang của thanh được xác định bằng phương trình y = y(z, t) là hàm của tọa độ z của tiết diện ngang và thời gian t biểu thị đường đàn hồi của thanh. Từ các liên hệ vi phân giữa đường hồi y(z, t), mô men uốn M(z, t) và cường độ tải trọng phân bố p(z, t): 2 y(z,t) 2M(z,t) EI(z) = -M(z,t); = p(z,t) z 2 z 2
2. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO  2 2 y(z,t) = - q(z,t) 2 EI(z) 2 p(z,t). z z p(z,t) > 0 có chiều hướng lên 2 y(z,t) z - m(z) * Tải trọng kích thích bố với t 2 cường độ q(z,t) tác dụng vuông góc với trục thanh >0 r(z,t) khi có chiều hướng lên trên. y * Lực quán tính của khối lượng phân bố m(z) hướng theo chiều chuyển động và bằng: * Lực cản r(z,t) ngược  2 y(z,t) chiều với chiều chuyển - m(z) động. t 2
3. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 2 y(z,t) p(z,t) = q(z,t) + m(z) + r(z,t) t 2 Thay p(z, t) vào phương trình đầu tiên, ta thu được phương trình vi phân tổng quát mô tả dao động ngang của thanh:  2 2 y(z,t)  2 y(z,t) 2 EI(z) 2 + m(z) 2 + r(z,t) = -q(z,t) z z t Nếu thanh có khối lượng m phân bố đều: 4 y(z,t)  2 y(z,t) EI(z) + m(z) + r(z,t) = -q(z,t) z 4 t 2
4. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2. Dao động riêng không lực cản: 3.2.1. Trường hợp tổng quát: Trong trường hợp này r(z, t) = 0, q(z, t) = 0, phương trình vi phân của dao động riêng có dạng:  2  2 y(z,t)  2 y(z,t) + = 2 EI(z) 2 m(z) 2 0 z z t Giải phương trình theo phương pháp tách biến số Fourier ta đặt nghiệm dưới dạng chuỗi là tổng các nghiệm riêng: = y(z,t)  yi (z)Fi (t). i-1 Lấy đạo hàm và thay vào phương trình trên:
5.  2 + && = 2 [EI(z) yi (z).Fi (t)] m(z) yi (z)Fi (t) 0. z i=1 i=1 Cho từng số hạng của tổng phương trình trên bằng không, với số hạng thứ i, ta thu được:  2 [EI(z)y (z).F (t)] + m(z) y (z)F&& (t) = 0. z 2 i i i i 2 2 [EI(z).yi (z)] &&  Fi (t) z = - . m(z).yi (z) Fi (t) Vế phải chỉ phụ thuộc vào thời gian t, vế trái phụ thuộc vào z, tỷ số này = const. Ký hiệu dại lượng này 2 là wi có 2 phương trình vi phân với biến số độc lâp:
6. && 2 1) Fi (t) +wi Fi (t) = 0. Dạng giống như phương trình vi phân dao động hệ một bậc tự do, nghiệm của phương trình này là: Fi (t) = Ai sinwit + Bcoswit = ai sin(wit +ji ). Tương ứng với mỗi nghiệm riêng yi(z, t)=yi(z).Fi(t), dao động riêng của thanh thay đổi điều hòa với tần số riêng wi. 2  2 2) [EI(z).y (z)] - m(z).w .y (z) = 0 z 2 i i i Giải phương trình này ta sẽ tìm được hàm yi(z) biểu thị dạng chính thứ i của dao động riêng ứng với tần số wi.
7. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2.1. Trường hợp EI = const : Phương trình vi phân dao động có dạng: 4 y(z,t) m(z) 2 y(z,t) + = 0 z 4 EI t 2 Nghiệm của phương trình cũng được tìm dưới dạng chuỗi: = y(z,t)  yi (z)Fi (t). i-1 Fi (t) = Ai sinwit + Bcoswit = ai sin(wit +ji ).  2 [EI(z).y (z)]- m(z).w 2.y (z) = 0 z 2 i i i
8. mw 2 y IV (z) - k4 y (z) = 0; k4 = i . i i i EI 4 4 Giải phương trình đặc trưng: r – ki = 0 của phương trình trên ta thu được các nghiệm: r1 = ki ; r2 = -ki ; r3 = iki ; r4 = -iki ; i = -1. ki z -ki z yi (z) = a.e + b.e + c.coski z + d.sinki z. ki z -ki z Vì: e = chki z + shki z, e = chki z - shki z Ta thu được các phương trình sau:
9. yi (z) = C1chki z + C2shki z + C3 cos ki z + C4 sin ki z; yi (z) = C1ki shki z + C2kichki z - C3ki sin ki z + C4ki cos ki z; M (z) y (z) = - i C k 2chk z + C k2shk z - C k 2 cos k z - C k 2 sin k z; i EI 1 i i 2 i i 3 i i 4 i i Q (z) y (z) = - i C k3shk z + C k3chk z + C k3 sin k z - C k3 cos k z. i EI 1 i i 2 i i 3 i i 4 i i Dạng chính yi(z) được xem như đường đàn hồi của thanh nên ta có thể xác định các hằng số tích phân Ci theo điều kiện ban đầu. Giả sử z = 0 tương ứng với dạng chính thứ i của dao động, ta có các thông số ban đầu: độ võng yi(0), ’ góc xoay y i(0); mô men uốn Mi(0); lực cắt Qi(0). Thay các giá trị này vào phương trình trên ta thu được:
10. yi (0) = (C1 + C3 ); yi (0) = (C2 + C4 )ki ; 2 3 Mi (0) = -EI(C1 - C3 )ki ; Qi (0) = -EI(C2 - C4 )ki . 1 M (0) 1 y (0) Q (0) = - i = i - i C1 [yi (0) 2 ]; C2 [ 3 ]; 2 ki EI 2 ki ki EI 1 M (0) 1 y (0) Q (0) = + i = i + i C3 [yi (0) 2 ]; C4 [ 3 ]. 2 ki EI 2 ki Ki EI Thay các giá trị của Ci vào phương trình đầu của hệ gồm 4 phương trình , ta có được phương trình xác định chuyển vị tương ứng với dạng chính thứ i của dao động riêng viết theo thông số ban đầu:
11. y (0) M (0) Q (0) = + i - i - i yi (z) yi (0)A1(ki z) A2 (ki z) 2 A3 (ki z) 3 A4 (ki z), ki ki EI ki EI trong đó: 1 1 A (k z) = (chk z + cos k z); A (k z) = (shk z + sink z); 1 i 2 i i 2 i 2 i i 1 1 A (k z) = (chk z - cosk z); A (k z) = (shk z - sink z); 3 i 2 i i 4 i 2 i i Các hàm Aj(kiz) với j = 1, 2, 3, 4 do viện sỹ người Nga A. N. Krưlôv đề xuất nên được gọi là các hàm Krưlôv. Giá trị được tra theo bảng. Các hàm Krưlôv có các tính chất sau:
12. * A1(0) = 1; A2(0) = 0; A3(0) = 0; A4(0) = 0. * Giữa các hàm có sự liên hệ vi phân tuân theo quy tắc vòng tròn như hình vẽ: A2 A1 (ki z) = ki A4 (ki z). A4 (ki z) = ki A3 (ki z). A A1 3 A3 (ki z) = ki A2 (ki z). A2 (ki z) = ki A1(ki z). A4
13. Từ phương trình: y (0) M (0) Q (0) = + i - i - i yi (z) yi (0)A1(ki z) A2 (ki z) 2 A3 (ki z) 3 A4 (ki z), ki ki EI ki EI Các phươngtrình góc xoay, mô men uốn : M (0) Q (0) = + - i - i yi (z) yi (0)ki A4 (ki z) yi (0)A1(ki z) A2 (ki z) 2 A3 (ki z); ki EI ki EI 2 Mi (z) = -EIyi (z) = -EIyi (0)ki A3 (ki z) - EIyi (0)ki A4 (ki z) + Qi (0) + Mi (0)A1(ki z) + A2 (ki z); ki 3 2 Qi (z) = -EIyi (z) = -EIyi (0)ki A2 (ki z) - EIyi (0)ki A3 (ki z0 + + Mi (0)ki A4 (ki z) + Qi (0)A1(ki z). EI Tần số dao động riêng: w = k2 i i m
14. Ví dụ 1: Xác định tần số m = const dao động riêng và lập EI = const phương trình cho các l dạng dao động riêng chính tương ứng của dầm như hình vẽ. Giải: Tại z = 0 ta có các thông số ban đầu: ’ yi(0) = 0; y i(0) = ? ; Mi(0) = 0; Qi(0) = ? Thay giá trị ban đầu vào các phương trình đã xét: y' (0) Q (0) = i - i yi (z) A2 (ki z) 3 A4 (ki z), ki ki EI Qi (0) Mi (z) = -EIyi (0)ki A4 (ki z) + A2 (ki z). ki
15. m = const Tại z = l ta có yi(l) = 0, EI = const l Mi(l) = 0 y'(0) Q (0) = i - i yi (l ) A2 (ki l ) 3 A4 (ki l ) = 0 , ki ki EI Qi (0) Mi (l ) = -EIyi (0)ki A4 (ki l ) + A2 (ki l ) = 0 . ki Đây là hệ phương trình thuần nhất. Để các ẩn số khác không nghĩa là dao động của hệ tồn tại thì định thức các hệ số của hệ phương trình phải bằng không:
16. m = const 1 1 A (k l) - A (k l) EI = const k 2 i k3EI 4 i i i = 0 l 1 - ki EIA4 (kil) A2 (kil) ki 1 = 2 - 2 = 2 [A2 (kil) A4 (kil)] 0 ki Thay các hàm Krưlôv vào ta có: 2 2 (shkil + sinkil) - (shkil - sinkil) = 0 shkil.sinkil = 0 Do kil 0 nên shkil 0 sinkil = 0 kil = ip ki = ip/l.
17. 2 2 m = const 2 EI i p EI wi = ki = 2 . EI = const m l m l 3,14162 EI 6,28322 EI *i =1 w = , i = 2 w = , 1 l 2 m 2 l 2 m 9,42482 EI 12,56642 EI *i = 3 w = , i = 4 w = 3 l 2 m 4 l 2 m y' (0) Q (0) = i - i yi (l ) A2 (ki l ) 3 A4 (ki l ) = 0 , ki ki EI A (k l) 2 2 i Qi (0) = yi (0)ki EI A4 (kil)
18. Do kil = 0 nên: m = const EI = const A2(kil) = A4(kil) l 2 Qi (0) = yi (0)ki EI Thay giá trị vừa tìm được vào phương trình sau: y'(0) Q (0) = i - i yi (z) A2 (ki z) 3 A4 (ki z), ki ki EI Ta tìm được phương trình của dạng chính thứ i của dao động riêng: yi (0) yi (0) yi (z) = [A2 (ki z) - A4 (ki z)] = sinki z ki ki
19. ip m = const yi (z) = Ci sin z; EI = const l l y (0) i p Ci = i = 1, y1 = C1 sin z ki l Dạng chính của dao động riêng trong dầm đơn giản có hai đầu khớp là 3p dầm điều hòa theo quy luật i = 3, y3 = C3 sin z l hàm số sin với số nửa 2p bước sóng bằng chỉ số của i = 2, y2 = C2 sin z tần số dao động riêng l tương ứng.
20. Ví dụ 2: Xác định tần số z dao động riêng của dầm côngxôn mang khối l lượng phân bố đều m và y có độ cứng không đổi EI như hình vẽ. Giải: ’ Tại z = 0 yi(0) = 0, y i(0) = 0, Mi(0) = ?, Qi(0) = ? M (0) Q (0) = - i - i yi (z) 2 A3 (ki z) 3 A4 (ki z)' ki EI ki EI Qi (0) Mi (z) = Mi (0)A1(ki z) + A2 (ki z), ki Qi (z) = Mi (0)ki A4 (ki z) + Qi (0)A1(ki z).
21. Vì tại z = l thì Mi(l) = 0 z và Q (l) = 0 nên: i l y Qi (0) Mi (l ) = Mi (0)A1(ki l ) + A2 (ki l ) = 0 ki Qi (l ) = Mi (0)ki A4 (ki l ) + Qi (0)A1(ki l ) = 0 Để các ẩn số khác không có nghĩa là để dao động tồn tại thì định thức các hệ số của hệ phương trình trên phải bằng không: 1 A (k l) A (k l) 1 i 2 i = ki 0 ki A4 (kil) A1 (kil) 2 A1 (kil) - A2 (kil)A4 (kil) = 0
22. Thay các hàm Krưlôv vào ta thu được phương trình siêu việt để xác định các tần số: D= chkil.cos kil + 1 = 0 Để giải phương trình này ta vận dụng cách thử dần. Cho kil nhiều giá trị khác nhau và tính các giá trị D tương ứng: kil D kil D 0 2 p = 3,14 - 10,57 0,2p = 0,628 1,97 1,2p = 3,770 - 16,56 0,4p = 1,257 1,59 1,4p = 4,399 - 11,63 0,6p = 1,885 - 0,04 1,6p = 5,027 24,67 0,8p = 2,514 - 4,39 Nghiệm k1l 0,6p = 1,885 (chính xác 1,8751) thỏa mãn. k2l = 1,49p = 4,68 (chính xác 4,691).
23. Thực hiện tương tự với những giá trị kil lớn hơn ta thu được: k3l = 7,855; k4l = 10,996. Các tần số dao động riêng: 1,8752 EI 4,69412 EI w = ; w = ; 1 l 2 m 2 l 2 m 7,8552 EI 10,996 2 EI w = ; w = . 3 l 2 m 4 l 2 m Tương tự như phần trước ta cũng thu được các dạng dao động riêng như hình vẽ:
24. z l y y1 (w1) y3 (w3) 0,5001l y2 (w2) 0,7739l 0,8679l
25. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2 Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn q(z)sinqt: Khi không kể đến lực cản, phương trình được viết: 4 y(z,t) m  2 y(z,t) q(z).sinq t + = - 2 z4 EI t EI Do có lực cản nên sau một thời gian dao động riêng sẽ mất đi và chỉ còn dao động thuần cưỡng bức do lực kích thích gây ra. Nghiệm riêng có dạng: y(z,t) = y(z).sinq t Thay vào phương trình trên ta thu được:
26. q(z) mq 2 y IV (z) - k4 y(z) = - , k4 = . EI EI k- hệ số đặc trưng của thanh khi dao động cưỡng bức. Nghiệm thuần nhất yo(z) của phương trình vi phân trên có dạng như sau: yo (z) = C1 A1 (kz) + C2 A2 (kz) + C3 A3 (kz) + C4 A4 (kz) Aj(kz) với j = 1, 2, 3, 4 là các hàm Krưlôv Nghiệm riêng yr(z) phụ thuộc vào tải trọng q(z). Xét trường hợp q(z) = q:
27. q y(z) = C A (kz) + C A (kz) + C A (kz) + C A (kz) + 1 1 2 2 3 3 4 4 k4 EI Tương tự như phần trước, lần lượt lấy đạo hàm và sử dụng các điều kiện ban đầu ở đầu thanh, biến đổi ta thu được các phương trình biên độ chuyển vị, góc xoay, mô men uốn, lực cắt khi thanh dao động: y M Q y(z) = y A (kz) + o A (kz) - o A (kz) - o A (kz) - o 1 k 2 k2 EI 3 k3 EI 4 q - [A (kz) -1] ; k4 EI 1 M Q q y (z) = y kA (kz) + y A (kz) - o A (kz) - o A (kz) - A (kz); o 4 o 1 kEI 2 k2 EI 3 k3EI 4 Q q M(z) = -EIy k2 A (kz) + EIy kA (kz) + M A (kz) + o A (kz) + A (kz); o 3 o 4 o 1 k 2 k2 3 q Q(z) = -EIy k3 A (kz) + EIy k2 A (kz) + M kA (kz) + Q A (kz) + A (kz). o 2 o 3 o 4 o 1 k 2
28. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.4. Dao động cưỡng bức khi hệ chịu tải trọng tập trung : 3.4.1. Dao động riêng: yi(a) EI Xét thanh thẳng có khối m lượng phân bố đều, tiết diện m Zj(t) j không đổi và mang khối a l-a lượng tập trung m đặt tại j l hoành độ a như trên hình vẽ. Khi thanh dao động với tần số wi, đường đàn hồi của thanh xác định theo phương trình yi(z) của dạng chính thứ i. Tại khối lượng mj phát sinh lực quán tính: 2 Z j = mjwi yi (a).
29. Với : mw 2 k4 EI k4 = i w 2 = i i EI i m EI Z = k4 m .y (a). j i m j i Lực quán tính Zj(t) được xem như điều kiện gián đoạn về tải trọng tại z = a khi dùng phương pháp thông số ban đầu đã xét ở phần trước. Sau khi lập các phương trình cho từng đoạn thanh, sử dụng các điều kiện biên để thiết lập phương trình xác định thông số k. Từ đó suy ra tần số dao động riêng.
30. Với 0 z a, các phương trình chuyển vi, mô men uốn động trong đoạn I: y (0) Q (0) I = i - i yi (z) A2 (ki z) 3 A4 (ki z); ki ki EI I Qi (0) Mi (z) = -ki EIyi (0)A4 (ki z) + A2 (ki z). ki Biên độ lực quán tính tại khối lượng mj: EI y (0) Q (0) = 4 i - i Z j ki mj[ A2 (kia) 3 A4 (kia)]. m ki ki EI
31. Xét đoạn II với a z l , cho z1 = z – a : II I Z j yi (z) = yi (z) + 3 A4 (ki z1 ) ki EI yi (0) mj = [A2 (ki z) + ki A2 (kia)A4 (ki z1 )]- ki m Qi (0) mj - 3 [A4 (ki z) + ki A4 (ki a)A4 (ki z1 )]; ki EI m II I Z j Mi (z) = Mi (z) - A2 (ki z1 ) ki EI m = -EIk y (0)[A (k z) + k j A (k a)A (k z )]+ i i 4 i i m 2 i 2 i 1 Qi (0) mj + [A2 (ki z) + ki A4 (kia)A2 (ki z1 )]. ki m
32. Khi z = l ta có các điều kiện biên bên phải: y(l) = 0, M(l) = 0, do vậy: II yi (0) mj yi (l) = [A2 (kil) + ki A2 (kia)A4 (kib)]- ki m Q (0) m - i + j = 3 [A4 (kil) ki A4 (kia)A4 (kib)] 0; ki EI m m M II (z) = -EIk y (0)[A (k l) + k j A (k a)A (k b) + i i i 4 i i m 2 i 2 i Qi (0) mj + [A2 (kil) + ki A4 (kia)A2 (kib)] = 0. ki m Với b = l – a; Tương tự như phần trước ta xác định các thông số ki, sau đó tìm ddwwocj tần số dao động riêng tương ứng.
33. CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.4. Dao động cưỡng bức khi hệ chịu tải trọng tập trung : 3.4.2. Dao cưỡng bức chịu lực kích động tuần hoàn: Tương tự như phần trước, tại khối lượng mj phát sinh lực quán tính: Zj(t) = Zjsinq t với biên độ 2 Zj = mjq y(a). Biên độ của lực quán tính Zj và của tải trọng Po được xem điều kiện gián đoạn về tải trọng tại z = a và vị trí đặt lực P0sinqt khi áp dụng các phương trình đã biết cho từng đoạn thanh. Quá trình tính toán đến khi hoàn tất hoàn toàn tương tự.