Bài giảng Giải thuật và lập trình - Lê Minh Hoàng

pdf

332 trang hapham 180

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải thuật và lập trình - Lê Minh Hoàng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_giai_thuat_va_lap_trinh_le_minh_hoang.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải thuật và lập trình - Lê Minh Hoàng

LÊ MINH HOÀNG BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ: GIẢI THUẬT VÀ LẬP TRÌNH Bài giảng chuyên đề Đại học Sư phạm Hà Nội, 1999-2002
Try not to become a man of success but rather to become a man of value. Albert Einstein
i MỤC LỤC PHẦN 1. BÀI TOÁN LIỆT KÊ 1 §1. NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TỔ HỢP 2 1.1. CHỈNH HỢP LẶP 2 1.2. CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP 2 1.3. HOÁN VỊ 2 1.4. TỔ HỢP 3 §2. PHƯƠNG PHÁP SINH (GENERATION) 4 2.1. SINH CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N 5 2.2. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ 6 2.3. LIỆT KÊ CÁC HOÁN VỊ 8 §3. THUẬT TOÁN QUAY LUI 12 3.1. LIỆT KÊ CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N 12 3.2. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ 13 3.3. LIỆT KÊ CÁC CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP CHẬP K 15 3.4. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH SỐ 16 3.5. BÀI TOÁN XẾP HẬU 18 §4. KỸ THUẬT NHÁNH CẬN 24 4.1. BÀI TOÁN TỐI ƯU 24 4.2. SỰ BÙNG NỔ TỔ HỢP 24 4.3. MÔ HÌNH KỸ THUẬT NHÁNH CẬN 24 4.4. BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH 25 4.5. DÃY ABC 27 PHẦN 2. CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT 33 §1. CÁC BƯỚC CƠ BẢN KHI TIẾN HÀNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIN HỌC 34 1.1. XÁC ĐỊNH BÀI TOÁN 34 1.2. TÌM CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN BÀI TOÁN 34 1.3. TÌM THUẬT TOÁN 35 1.4. LẬP TRÌNH 37 1.5. KIỂM THỬ 37 1.6. TỐI ƯU CHƯƠNG TRÌNH 38 §2. PHÂN TÍCH THỜI GIAN THỰC HIỆN GIẢI THUẬT 40 2.1. GIỚI THIỆU 40 2.2. CÁC KÝ PHÁP ĐỂ ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN 40 2.3. XÁC ĐỊNH ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA GIẢI THUẬT 42 2.4. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN VỚI TÌNH TRẠNG DỮ LIỆU VÀO 45 2.5. CHI PHÍ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN 46
ii §3. ĐỆ QUY VÀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY 50 3.1. KHÁI NIỆM VỀ ĐỆ QUY 50 3.2. GIẢI THUẬT ĐỆ QUY 50 3.3. VÍ DỤ VỀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY 51 3.4. HIỆU LỰC CỦA ĐỆ QUY 55 §4. CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN DANH SÁCH 58 4.1. KHÁI NIỆM DANH SÁCH 58 4.2. BIỂU DIỄN DANH SÁCH TRONG MÁY TÍNH 58 §5. NGĂN XẾP VÀ HÀNG ĐỢI 64 5.1. NGĂN XẾP (STACK) 64 5.2. HÀNG ĐỢI (QUEUE) 66 §6. CÂY (TREE) 70 6.1. ĐỊNH NGHĨA 70 6.2. CÂY NHỊ PHÂN (BINARY TREE) 71 6.3. BIỂU DIỄN CÂY NHỊ PHÂN 73 6.4. PHÉP DUYỆT CÂY NHỊ PHÂN 74 6.5. CÂY K_PHÂN 76 6.6. CÂY TỔNG QUÁT 77 §7. KÝ PHÁP TIỀN TỐ, TRUNG TỐ VÀ HẬU TỐ 79 7.1. BIỂU THỨC DƯỚI DẠNG CÂY NHỊ PHÂN 79 7.2. CÁC KÝ PHÁP CHO CÙNG MỘT BIỂU THỨC 79 7.3. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 79 7.4. CHUYỂN TỪ DẠNG TRUNG TỐ SANG DẠNG HẬU TỐ 83 7.5. XÂY DỰNG CÂY NHỊ PHÂN BIỂU DIỄN BIỂU THỨC 86 §8. SẮP XẾP (SORTING) 87 8.1. BÀI TOÁN SẮP XẾP 87 8.2. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU CHỌN (SELECTIONSORT) 89 8.3. THUẬT TOÁN SẮP XẾP NỔI BỌT (BUBBLESORT) 90 8.4. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU CHÈN 90 8.5. SHELLSORT 92 8.6. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU PHÂN ĐOẠN (QUICKSORT) 93 8.7. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU VUN ĐỐNG (HEAPSORT) 99 8.8. SẮP XẾP BẰNG PHÉP ĐẾM PHÂN PHỐI (DISTRIBUTION COUNTING) 102 8.9. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA THUẬT TOÁN SẮP XẾP (STABILITY) 103 8.10. THUẬT TOÁN SẮP XẾP BẰNG CƠ SỐ (RADIX SORT) 104 8.11. THUẬT TOÁN SẮP XẾP TRỘN (MERGESORT) 109 8.12. CÀI ĐẶT 112 8.13. ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT 119 §9. TÌM KIẾM (SEARCHING) 124 9.1. BÀI TOÁN TÌM KIẾM 124 9.2. TÌM KIẾM TUẦN TỰ (SEQUENTIAL SEARCH) 124 9.3. TÌM KIẾM NHỊ PHÂN (BINARY SEARCH) 124 9.4. CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM (BINARY SEARCH TREE - BST) 125
iii 9.5. PHÉP BĂM (HASH) 130 9.6. KHOÁ SỐ VỚI BÀI TOÁN TÌM KIẾM 130 9.7. CÂY TÌM KIẾM SỐ HỌC (DIGITAL SEARCH TREE - DST) 131 9.8. CÂY TÌM KIẾM CƠ SỐ (RADIX SEARCH TREE - RST) 134 9.9. NHỮNG NHẬN XÉT CUỐI CÙNG 139 PHẦN 3. QUY HOẠCH ĐỘNG 141 §1. CÔNG THỨC TRUY HỒI 142 1.1. VÍ DỤ 142 1.2. CẢI TIẾN THỨ NHẤT 143 1.3. CẢI TIẾN THỨ HAI 144 1.4. CÀI ĐẶT ĐỆ QUY 145 §2. PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG 147 2.1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH 147 2.2. PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG 147 §3. MỘT SỐ BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG 151 3.1. DÃY CON ĐƠN ĐIỆU TĂNG DÀI NHẤT 151 3.2. BÀI TOÁN CÁI TÚI 156 3.3. BIẾN ĐỔI XÂU 158 3.4. DÃY CON CÓ TỔNG CHIA HẾT CHO K 162 3.5. PHÉP NHÂN TỔ HỢP DÃY MA TRẬN 166 3.6. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 170 PHẦN 4. CÁC THUẬT TOÁN TRÊN ĐỒ THỊ 175 §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 176 1.1. ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ (GRAPH) 176 1.2. CÁC KHÁI NIỆM 177 §2. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH 179 2.1. MA TRẬN KỀ (ADJACENCY MATRIX) 179 2.2. DANH SÁCH CẠNH (EDGE LIST) 180 2.3. DANH SÁCH KỀ (ADJACENCY LIST) 181 2.4. NHẬN XÉT 182 §3. CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM TRÊN ĐỒ THỊ 184 3.1. BÀI TOÁN 184 3.2. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM THEO CHIỀU SÂU (DEPTH FIRST SEARCH) 185 3.3. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM THEO CHIỀU RỘNG (BREADTH FIRST SEARCH) 187 3.4. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA BFS VÀ DFS 190 §4. TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ 191 4.1. ĐỊNH NGHĨA 191 4.2. TÍNH LIÊN THÔNG TRONG ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 192
iv 4.3. ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ VÀ THUẬT TOÁN WARSHALL 192 4.4. CÁC THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG MẠNH 195 §5. VÀI ỨNG DỤNG CỦA DFS và BFS 206 5.1. XÂY DỰNG CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ 206 5.2. TẬP CÁC CHU TRÌNH CƠ SỞ CỦA ĐỒ THỊ 209 5.3. BÀI TOÁN ĐỊNH CHIỀU ĐỒ THỊ 209 5.4. LIỆT KÊ CÁC KHỚP VÀ CẦU CỦA ĐỒ THỊ 213 §6. CHU TRÌNH EULER, ĐƯỜNG ĐI EULER, ĐỒ THỊ EULER 216 6.1. BÀI TOÁN 7 CÁI CẦU 216 6.2. ĐỊNH NGHĨA 216 6.3. ĐỊNH LÝ 216 6.4. THUẬT TOÁN FLEURY TÌM CHU TRÌNH EULER 217 6.5. CÀI ĐẶT 218 6.6. THUẬT TOÁN TỐT HƠN 220 §7. CHU TRÌNH HAMILTON, ĐƯỜNG ĐI HAMILTON, ĐỒ THỊ HAMILTON 223 7.1. ĐỊNH NGHĨA 223 7.2. ĐỊNH LÝ 223 7.3. CÀI ĐẶT 224 §8. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 228 8.1. ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ 228 8.2. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 228 8.3. TRƯỜNG HỢP ĐỒ THỊ KHÔNG CÓ CHU TRÌNH ÂM - THUẬT TOÁN FORD BELLMAN 230 8.4. TRƯỜNG HỢP TRỌNG SỐ TRÊN CÁC CUNG KHÔNG ÂM - THUẬT TOÁN DIJKSTRA 232 8.5. THUẬT TOÁN DIJKSTRA VÀ CẤU TRÚC HEAP 235 8.6. TRƯỜNG HỢP ĐỒ THỊ KHÔNG CÓ CHU TRÌNH - SẮP XẾP TÔ PÔ 238 8.7. ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA MỌI CẶP ĐỈNH - THUẬT TOÁN FLOYD 241 8.8. NHẬN XÉT 243 §9. BÀI TOÁN CÂY KHUNG NHỎ NHẤT 248 9.1. BÀI TOÁN CÂY KHUNG NHỎ NHẤT 248 9.2. THUẬT TOÁN KRUSKAL (JOSEPH KRUSKAL - 1956) 248 9.3. THUẬT TOÁN PRIM (ROBERT PRIM - 1957) 253 §10. BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI TRÊN MẠNG 257 10.1. CÁC KHÁI NIỆM 257 10.2. MẠNG THẶNG DƯ VÀ ĐƯỜNG TĂNG LUỒNG 260 10.3. THUẬT TOÁN FORD-FULKERSON (L.R.FORD & D.R.FULKERSON - 1962) 263 10.4. THUẬT TOÁN PREFLOW-PUSH (GOLDBERG - 1986) 267 10.5. MỘT SỐ MỞ RỘNG 273 §11. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHÍA 280 11.1. ĐỒ THỊ HAI PHÍA (BIPARTITE GRAPH) 280 11.2. BÀI TOÁN GHÉP ĐÔI KHÔNG TRỌNG VÀ CÁC KHÁI NIỆM 280 11.3. THUẬT TOÁN ĐƯỜNG MỞ 281 11.4. CÀI ĐẶT 282
v §12. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI VỚI TRỌNG SỐ CỰC TIỂU TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHÍA - THUẬT TOÁN HUNGARI 288 12.1. BÀI TOÁN PHÂN CÔNG 288 12.2. PHÂN TÍCH 288 12.3. THUẬT TOÁN 289 12.4. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI VỚI TRỌNG SỐ CỰC ĐẠI TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHÍA 297 12.5. NÂNG CẤP 298 §13. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI TRÊN ĐỒ THỊ 304 13.1. CÁC KHÁI NIỆM 304 13.2. THUẬT TOÁN EDMONDS (1965) 305 13.3. THUẬT TOÁN LAWLER (1973) 307 13.4. CÀI ĐẶT 309 13.5. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN 313 TÀI LIỆU ĐỌC THÊM 315
vi HÌNH VẼ Hình 1: Cây tìm kiếm quay lui trong bài toán liệt kê dãy nhị phân 13 Hình 2: Xếp 8 quân hậu trên bàn cờ 8x8 19 Hình 3: Đường chéo ĐB-TN mang chỉ số 10 và đường chéo ĐN-TB mang chỉ số 0 19 Hình 4: Lưu đồ thuật giải (Flowchart) 36 Hình 5: Ký pháp Θ lớn, Ο lớn và Ω lớn 41 Hình 6: Tháp Hà Nội 54 Hình 7: Cấu trúc nút của danh sách nối đơn 59 Hình 8: Danh sách nối đơn 59 Hình 9: Cấu trúc nút của danh sách nối kép 61 Hình 10: Danh sách nối kép 61 Hình 11: Danh sách nối vòng một hướng 61 Hình 12: Danh sách nối vòng hai hướng 62 Hình 13: Dùng danh sách vòng mô tả Queue 67 Hình 14: Di chuyển toa tàu 69 Hình 15: Di chuyển toa tàu (2) 69 Hình 16: Cây 70 Hình 17: Mức của các nút trên cây 71 Hình 18: Cây biểu diễn biểu thức 71 Hình 19: Các dạng cây nhị phân suy biến 72 Hình 20: Cây nhị phân hoàn chỉnh và cây nhị phân đầy đủ 72 Hình 21: Đánh số các nút của cây nhị phân đầy đủ để biểu diễn bằng mảng 73 Hình 22: Nhược điểm của phương pháp biểu diễn cây bằng mảng 73 Hình 23: Cấu trúc nút của cây nhị phân 74 Hình 24: Biểu diễn cây bằng cấu trúc liên kết 74 Hình 25: Đánh số các nút của cây 3_phân để biểu diễn bằng mảng 76 Hình 26: Biểu diễn cây tổng quát bằng mảng 77 Hình 27: Cấu trúc nút của cây tổng quát 78 Hình 28: Biểu thức dưới dạng cây nhị phân 79 Hình 29: Vòng lặp trong của QuickSort 94 Hình 30: Trạng thái trước khi gọi đệ quy 95 Hình 31: Heap 100 Hình 32: Vun đống 100 Hình 33: Đảo giá trị k[1] cho k[n] và xét phần còn lại 101 Hình 34: Vun phần còn lại thành đống rồi lại đảo trị k[1] cho k[n-1] 101 Hình 35: Đánh số các bit 104 Hình 36: Thuật toán sắp xếp trộn 109 Hình 37: Cài đặt các thuật toán sắp xếp với dữ liệu lớn 121
vii Hình 38: Cây nhị phân tìm kiếm 126 Hình 39: Xóa nút lá ở cây BST 127 Hình 40. Xóa nút chỉ có một nhánh con trên cây BST 128 Hình 41: Xóa nút có cả hai nhánh con trên cây BST thay bằng nút cực phải của cây con trái 128 Hình 42: Xóa nút có cả hai nhánh con trên cây BST thay bằng nút cực trái của cây con phải 128 Hình 43: Đánh số các bit 131 Hình 44: Cây tìm kiếm số học 131 Hình 45: Cây tìm kiếm cơ số 134 Hình 46: Với độ dài dãy bit z = 3, cây tìm kiếm cơ số gồm các khoá 2, 4, 5 và sau khi thêm giá trị 7 135 Hình 47: RST chứa các khoá 2, 4, 5, 7 và RST sau khi loại bỏ giá trị 7 136 Hình 48: Cây tìm kiếm cơ số a) và Trie tìm kiếm cơ số b) 138 Hình 49: Hàm đệ quy tính số Fibonacci 149 Hình 50: Tính toán và truy vết 152 Hình 51: Truy vết 160 Hình 52: Ví dụ về mô hình đồ thị 176 Hình 53: Phân loại đồ thị 177 Hình 54 180 Hình 55 181 Hình 56: Đồ thị và đường đi 184 Hình 57: Cây DFS 187 Hình 58: Cây BFS 190 Hình 59: Đồ thị G và các thành phần liên thông G1, G2, G3 của nó 191 Hình 60: Khớp và cầu 191 Hình 61: Liên thông mạnh và liên thông yếu 192 Hình 62: Đồ thị đầy đủ 193 Hình 63: Đơn đồ thị vô hướng và bao đóng của nó 193 Hình 64: Ba dạng cung ngoài cây DFS 197 Hình 65: Thuật toán Tarjan "bẻ" cây DFS 199 Hình 66: Đánh số lại, đảo chiều các cung và duyệt BFS với cách chọn các đỉnh xuất phát ngược lại với thứ tự duyệt xong (thứ tự 11, 10 3, 2, 1) 204 Hình 67: Đồ thị G và một số ví dụ cây khung T1, T2, T3 của nó 208 Hình 68: Cây khung DFS (a) và cây khung BFS (b) (Mũi tên chỉ chiều đi thăm các đỉnh) 208 Hình 69: Phép định chiều DFS 211 Hình 70: Phép đánh số và ghi nhận cung ngược lên cao nhất 213 Hình 71: Mô hình đồ thị của bài toán bảy cái cầu 216 Hình 72 217 Hình 73 217 Hình 74 223 Hình 75: Phép đánh lại chỉ số theo thứ tự tôpô 238 Hình 76: Hai cây gốc r1 và r2 và cây mới khi hợp nhất chúng 249
viii Hình 77: Mạng với các khả năng thông qua (1 phát, 6 thu) và một luồng của nó với giá trị 7 257 Hình 78: Mạng G và mạng thặng dư Gf tương ứng (ký hiệu f[u,v]:c[u,v] chỉ luồng f[u, v] và khả năng thông qua c[u, v] trên cung (u, v)) 261 Hình 79: Mạng thặng dư và đường tăng luồng 262 Hình 80: Luồng trên mạng G trước và sau khi tăng 262 Hình 81: Mạng giả của mạng có nhiều điểm phát và nhiều điểm thu 273 Hình 82: Thay một đỉnh u bằng hai đỉnh uin, uout 274 Hình 83: Mạng giả của mạng có khả năng thông qua của các cung bị chặn hai phía 274 Hình 84: Đồ thị hai phía 280 Hình 85: Đồ thị hai phía và bộ ghép M 281 Hình 86: Mô hình luồng của bài toán tìm bộ ghép cực đại trên đồ thị hai phía 285 Hình 87: Phép xoay trọng số cạnh 289 Hình 88: Thuật toán Hungari 292 Hình 89: Cây pha "mọc" lớn hơn sau mỗi lần xoay trọng số cạnh và tìm đường 299 Hình 90: Đồ thị G và một bộ ghép M 304 Hình 91: Phép chập Blossom 306 Hình 92: Nở Blossom để dò đường xuyên qua Blossom 306
ix CHƯƠNG TRÌNH P_1_02_1.PAS * Thuật toán sinh liệt kê các dãy nhị phân độ dài n 6 P_1_02_2.PAS * Thuật toán sinh liệt kê các tập con k phần tử 8 P_1_02_3.PAS * Thuật toán sinh liệt kê hoán vị 9 P_1_03_1.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các dãy nhị phân độ dài n 12 P_1_03_2.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các tập con k phần tử 14 P_1_03_3.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k 16 P_1_03_4.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các cách phân tích số 17 P_1_03_5.PAS * Thuật toán quay lui giải bài toán xếp hậu 21 P_1_04_1.PAS * Kỹ thuật nhánh cận dùng cho bài toán người du lịch 26 P_1_04_2.PAS * Dãy ABC 28 P_2_07_1.PAS * Tính giá trị biểu thức RPN 81 P_2_07_2.PAS * Chuyển biểu thức trung tố sang dạng RPN 84 P_2_08_1.PAS * Các thuật toán săp xếp 112 P_3_01_1.PAS * Đếm số cách phân tích số n 143 P_3_01_2.PAS * Đếm số cách phân tích số n 144 P_3_01_3.PAS * Đếm số cách phân tích số n 144 P_3_01_4.PAS * Đếm số cách phân tích số n 145 P_3_01_5.PAS * Đếm số cách phân tích số n dùng đệ quy 145 P_3_01_6.PAS * Đếm số cách phân tích số n dùng đệ quy 145 P_3_03_1.PAS * Tìm dãy con đơn điệu tăng dài nhất 152 P_3_03_2.PAS * Cải tiến thuật toán tìm dãy con đơn điệu tăng dài nhất 154 P_3_03_3.PAS * Bài toán cái túi 157 P_3_03_4.PAS * Biến đổi xâu 161 P_3_03_5.PAS * Dãy con có tổng chia hết cho k 163 P_3_03_6.PAS * Dãy con có tổng chia hết cho k 165 P_3_03_7.PAS * Nhân tối ưu dãy ma trận 169 P_4_03_1.PAS * Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu 185 P_4_03_2.PAS * Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng 188 P_4_04_1.PAS * Thuật toán Warshall liệt kê các thành phần liên thông 195 P_4_04_2.PAS * Thuật toán Tarjan liệt kê các thành phần liên thông mạnh 202 P_4_05_1.PAS * Liệt kê các khớp và cầu của đồ thị 214 P_4_06_1.PAS * Thuật toán Fleury tìm chu trình Euler 218 P_4_06_2.PAS * Thuật toán hiệu quả tìm chu trình Euler 221 P_4_07_1.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê chu trình Hamilton 224 P_4_08_1.PAS * Thuật toán Ford-Bellman 231 P_4_08_2.PAS * Thuật toán Dijkstra 233 P_4_08_3.PAS * Thuật toán Dijkstra và cấu trúc Heap 235
x P_4_08_4.PAS * Đường đi ngắn nhất trên đồ thị không có chu trình 239 P_4_08_5.PAS * Thuật toán Floyd 242 P_4_09_1.PAS * Thuật toán Kruskal 250 P_4_09_2.PAS * Thuật toán Prim 254 P_4_10_1.PAS * Thuật toán Ford-Fulkerson 265 P_4_10_2.PAS * Thuật toán Preflow-push 270 P_4_11_1.PAS * Thuật toán đường mở tìm bộ ghép cực đại 283 P_4_12_1.PAS * Thuật toán Hungari 295 P_4_12_2.PAS * Cài đặt phương pháp Kuhn-Munkres O(k3) 300 P_4_13_1.PAS * Phương pháp Lawler áp dụng cho thuật toán Edmonds 310
BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG ⎣⎦⎢⎥x Floor of x: Số nguyên lớn nhất ≤ x ⎢⎥⎡⎤x Ceiling of x: Số nguyên nhỏ nhất ≥ x P n! nk Số chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử (= ) (n− k)! k n ⎛⎞n Binomial coefficient: Hệ số của hạng tử x trong đa thức (1+x) ⎜⎟ ⎝⎠k n! = Số tổ hợp chập k của n phần tử = k!(n− k)! O.() Ký pháp chữ O lớn Θ(). Ký pháp Θ lớn Ω(). Ký pháp Ω lớn o.() Ký pháp chữ o nhỏ ω(). ký pháp ω nhỏ ai j[ ] Các phần tử trong mảng a tính từ chỉ số i đến chỉ số j n! n factorial: Giai thừa của n = 1.2.3 n b ab↑ a a ab↑↑ a aN b copies of a b loga x Logarithm to base a of x: Logarithm cơ số a của x (logaa = b) lg x Logarithm nhị phân (cơ số 2) của x ln x Logarithm tự nhiên (cơ số e) của x * * loga x Số lần lấy logarithm cơ số a để thu được số ≤ 1 từ x ( loga (a↑↑ b) = b ) * * lg x log2 x * * ln x loge x
PHẦN 1. BÀI TOÁN LIỆT KÊ Có một số bài toán trên thực tế yêu cầu chỉ rõ: trong một tập các đối tượng cho trước có bao nhiêu đối tượng thoả mãn những điều kiện nhất định. Bài toán đó gọi là bài toán đếm. Trong lớp các bài toán đếm, có những bài toán còn yêu cầu chỉ rõ những cấu hình tìm được thoả mãn điều kiện đã cho là những cấu hình nào. Bài toán yêu cầu đưa ra danh sách các cấu hình có thể có gọi là bài toán liệt kê. Để giải bài toán liệt kê, cần phải xác định được một thuật toán để có thể theo đó lần lượt xây dựng được tất cả các cấu hình đang quan tâm. Có nhiều phương pháp liệt kê, nhưng chúng cần phải đáp ứng được hai yêu cầu dưới đây: • Không được lặp lại một cấu hình • Không được bỏ sót một cấu hình Có thể nói rằng, phương pháp liệt kê là phương kế cuối cùng để giải được một số bài toán tổ hợp hiện nay. Khó khăn chính của phương pháp này chính là sự bùng nổ tổ hợp dẫn tới sự đòi hỏi lớn về không gian và thời gian thực hiện chương trình. Tuy nhiên cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, bằng phương pháp liệt kê, nhiều bài toán tổ hợp đã tìm thấy lời giải. Qua đó, ta cũng nên biết rằng chỉ nên dùng phương pháp liệt kê khi không còn một phương pháp nào khác tìm ra lời giải. Chính những nỗ lực giải quyết các bài toán thực tế không dùng phương pháp liệt kê đã thúc đẩy sự phát triển của nhiều ngành toán học.
2 Chuyên đề §1. NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TỔ HỢP Cho S là một tập hữu hạn gồm n phần tử và k là một số tự nhiên. Gọi X là tập các số nguyên dương từ 1 đến k: X = {1, 2, , k} 1.1. CHỈNH HỢP LẶP Mỗi ánh xạ f: X → S. Cho tương ứng với mỗi i ∈ X, một và chỉ một phần tử f(i) ∈ S. Được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của S. Nhưng do X là tập hữu hạn (k phần tử) nên ánh xạ f có thể xác định qua bảng các giá trị f(1), f(2), , f(k). Ví dụ: S = {A, B, C, D, E, F}; k = 3. Một ánh xạ f có thể cho như sau: i 1 2 3 f(i) E C E Vậy có thể đồng nhất f với dãy giá trị (f(1), f(2), , f(k)) và coi dãy giá trị này cũng là một chỉnh hợp lặp chập k của S. Như ví dụ trên (E, C, E) là một chỉnh hợp lặp chập 3 của S. Dễ dàng chứng minh được kết quả sau bằng quy nạp hoặc bằng phương pháp đánh giá khả năng lựa chọn: Số chỉnh hợp lặp chập k của tập gồm n phần tử là nk 1.2. CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP Khi f là đơn ánh có nghĩa là với ∀i, j ∈ X ta có f(i) = f(j) ⇔ i = j. Nói một cách dễ hiểu, khi dãy giá trị f(1), f(2), , f(k) gồm các phần tử thuộc S khác nhau đôi một thì f được gọi là một chỉnh hợp không lặp chập k của S. Ví dụ một chỉnh hợp không lặp (C, A, E): i 1 2 3 f(i) C A E Số chỉnh hợp không lặp chập k của tập gồm n phần tử là: n! P=−− n(n 1)(n 2) (n −+= k 1) nk (n− k)! 1.3. HOÁN VỊ Khi k = n. Một chỉnh hợp không lặp chập n của S được gọi là một hoán vị các phần tử của S. Ví dụ: một hoán vị: 〈A, D, C, E, B, F〉 của S = {A, B, C, D, E, F} i 1 2 3 4 5 6 f(i) A D C E B F ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 3 Để ý rằng khi k = n thì số phần tử của tập X = {1, 2, , n} đúng bằng số phần tử của S. Do tính chất đôi một khác nhau nên dãy f(1), f(2), , f(n) sẽ liệt kê được hết các phần tử trong S. Như vậy f là toàn ánh. Mặt khác do giả thiết f là chỉnh hợp không lặp nên f là đơn ánh. Ta có tương ứng 1-1 giữa các phần tử của X và S, do đó f là song ánh. Vậy nên ta có thể định nghĩa một hoán vị của S là một song ánh giữa {1, 2, , n} và S. Số hoán vị của tập gồm n phần tử = số chỉnh hợp không lặp chập n = n! 1.4. TỔ HỢP Một tập con gồm k phần tử của S được gọi là một tổ hợp chập k của S. Lấy một tập con k phần tử của S, xét tất cả k! hoán vị của tập con này. Dễ thấy rằng các hoán vị đó là các chỉnh hợp không lặp chập k của S. Ví dụ lấy tập {A, B, C} là tập con của tập S trong ví dụ trên thì: 〈A, B, C〉, 〈C, A, B〉, 〈B, C, A〉, là các chỉnh hợp không lặp chập 3 của S. Điều đó tức là khi liệt kê tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k thì mỗi tổ hợp chập k sẽ n! ⎛⎞n được tính k! lần. Vậy số tổ hợp chập k của tập gồm n phần tử là = ⎜⎟ k!(n− k)! ⎝⎠k Lê Minh Hoàng
4 Chuyên đề §2. PHƯƠNG PHÁP SINH (GENERATION) Phương pháp sinh có thể áp dụng để giải bài toán liệt kê tổ hợp đặt ra nếu như hai điều kiện sau thoả mãn: Có thể xác định được một thứ tự trên tập các cấu hình tổ hợp cần liệt kê. Từ đó có thể biết đượccấu hình đầu tiên và cấu hình cuối cùng trong thứ tự đó. Xây dựng được thuật toán từ một cấu hình chưa phải cấu hình cuối, sinh ra được cấu hình kế tiếp nó. Phương pháp sinh có thể mô tả như sau: 〈Xây dựng cấu hình đầu tiên〉; repeat 〈Đưa ra cấu hình đang có〉; 〈Từ cấu hình đang có sinh ra cấu hình kế tiếp nếu còn〉; until 〈hết cấu hình〉; Thứ tự từ điển Trên các kiểu dữ liệu đơn giản chuẩn, người ta thường nói tới khái niệm thứ tự. Ví dụ trên kiểu số thì có quan hệ: 1 , khỏi phải định nghĩa) Ví dụ như quan hệ "≤" trên các số nguyên cũng như trên các kiểu vô hướng, liệt kê là quan hệ thứ tự toàn phần. Trên các dãy hữu hạn, người ta cũng xác định một quan hệ thứ tự: Xét a[1 n] và b[1 n] là hai dãy độ dài n, trên các phần tử của a và b đã có quan hệ thứ tự "≤". Khi đó a ≤ b nếu như Hoặc a[i] = b[i] với ∀i: 1 ≤ i ≤ n. Hoặc tồn tại một số nguyên dương k: 1 ≤ k < n để: a[1] = b[1] a[2] = b[2] ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 5 a[k-1] = b[k-1] a[k] = b[k] a[k+1] < b[k+1] Trong trường hợp này, ta có thể viết a < b. Thứ tự đó gọi là thứ tự từ điển trên các dãy độ dài n. Khi độ dài hai dãy a và b không bằng nhau, người ta cũng xác định được thứ tự từ điển. Bằng cách thêm vào cuối dãy a hoặc dãy b những phần tử đặc biệt gọi là phần tử ∅ để độ dài của a và b bằng nhau, và coi những phần tử ∅ này nhỏ hơn tất cả các phần tử khác, ta lại đưa về xác định thứ tự từ điển của hai dãy cùng độ dài. Ví dụ: 〈1, 2, 3, 4〉 < 〈5, 6〉 〈a, b, c〉 < 〈a, b, c, d〉 'calculator' < 'computer' 2.1. SINH CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N Một dãy nhị phân độ dài n là một dãy x[1 n] trong đó x[i] ∈ {0, 1} (∀i : 1 ≤ i ≤ n). Dễ thấy: một dãy nhị phân x độ dài n là biểu diễn nhị phân của một giá trị nguyên p(x) nào đó nằm trong đoạn [0, 2n - 1]. Số các dãy nhị phân độ dài n = số các số tự nhiên ∈ [0, 2n - 1] = 2n. Ta sẽ lập chương trình liệt kê các dãy nhị phân theo thứ tự từ điển có nghĩa là sẽ liệt kê lần lượt các dãy nhị phân biểu diễn các số nguyên theo thứ tự 0, 1, , 2n-1. Ví dụ: Khi n = 3, các dãy nhị phân độ dài 3 được liệt kê như sau: p(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 x 000 001 010 011 100 101 110 111 Như vậy dãy đầu tiên sẽ là 00 0 và dãy cuối cùng sẽ là 11 1. Nhận xét rằng nếu dãy x = x[1 n] là dãy đang có và không phải dãy cuối cùng cần liệt kê thì dãy kế tiếp sẽ nhận được bằng cách cộng thêm 1 ( theo cơ số 2 có nhớ) vào dãy hiện tại. Ví dụ khi n = 8: Dãy đang có: 10010000 Dãy đang có: 10010111 cộng thêm 1: + 1 cộng thêm 1: + 1 ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯ Dãy mới: 10010001 Dãy mới: 10011000 Như vậy kỹ thuật sinh cấu hình kế tiếp từ cấu hình hiện tại có thể mô tả như sau: Xét từ cuối dãy về đầu (xét từ hàng đơn vị lên), tìm số 0 gặp đầu tiên Lê Minh Hoàng
6 Chuyên đề Nếu thấy thì thay số 0 đó bằng số 1 và đặt tất cả các phần tử phía sau vị trí đó bằng 0. Nếu không thấy thì thì toàn dãy là số 1, đây là cấu hình cuối cùng Dữ liệu vào (Input): nhập từ file văn bản BSTR.INP chứa số nguyên dương n ≤ 30 Kết quả ra (Output): ghi ra file văn bản BSTR.OUT các dãy nhị phân độ dài n. BSTR.INP BSTR.OUT 3 000 001 010 011 100 101 110 111 P_1_02_1.PAS * Thuật toán sinh liệt kê các dãy nhị phân độ dài n program Binary_Strings; const InputFile = 'BSTR.INP'; OutputFile = 'BSTR.OUT'; max = 30; var x: array[1 max] of Integer; n, i: Integer; f: Text; begin Assign(f, InputFile); Reset(f); ReadLn(f, n); Close(f); Assign(f, OutputFile); Rewrite(f); FillChar(x, SizeOf(x), 0); {Cấu hình ban đầu x=00 0} repeat {Thuật toán sinh} for i := 1 to n do Write(f, x[i]); {In ra cấu hình hiện tại} WriteLn(f); i := n; {x[i] là phần tử cuối dãy, lùi dần i cho tới khi gặp số 0 hoặc khi i = 0 thì dừng} while (i > 0) and (x[i] = 1) do Dec(i); if i > 0 then {Chưa gặp phải cấu hình 11 1} begin x[i] := 1; {Thay x[i] bằng số 1} FillChar(x[i + 1], (n - i) * SizeOf(x[1]), 0); {Đặt x[i+1] = x[i+2] = = x[n] := 0} end; until i = 0; {Đã hết cấu hình} Close(f); end. 2.2. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ Ta sẽ lập chương trình liệt kê các tập con k phần tử của tập {1, 2, , n} theo thứ tự từ điền Ví dụ: với n = 5, k = 3, ta phải liệt kê đủ 10 tập con: 1.{1, 2, 3} 2.{1, 2, 4} 3.{1, 2, 5} 4.{1, 3, 4} 5.{1, 3, 5} 6.{1, 4, 5} 7.{2, 3, 4} 8.{2, 3, 5} 9.{2, 4, 5} 10.{3, 4, 5} Như vậy tập con đầu tiên (cấu hình khởi tạo) là {1, 2, , k}. Cấu hình kết thúc là {n - k + 1, n - k + 2, , n}. Nhận xét: Ta sẽ in ra tập con bằng cách in ra lần lượt các phần tử của nó theo thứ tự tăng dần. Biểu diễn mỗi tập con là một dãy x[1 k] trong đó x[1] < x[2] < < x[k]. Ta nhận thấy giới ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 7 hạn trên (giá trị lớn nhất có thể nhận) của x[k] là n, của x[k-1] là n - 1, của x[k-2] là n - 2 Tổng quát: giới hạn trên của x[i] = n - k + i; Còn tất nhiên, giới hạn dưới của x[i] (giá trị nhỏ nhất x[i] có thể nhận) là x[i-1] + 1. Như vậy nếu ta đang có một dãy x đại diện cho một tập con, nếu x là cấu hình kết thúc có nghĩa là tất cả các phần tử trong x đều đã đạt tới giới hạn trên thì quá trình sinh kết thúc, nếu không thì ta phải sinh ra một dãy x mới tăng dần thoả mãn vừa đủ lớn hơn dãy cũ theo nghĩa không có một tập con k phần tử nào chen giữa chúng khi sắp thứ tự từ điển. Ví dụ: n = 9, k = 6. Cấu hình đang có x = 〈1, 2, 6, 7, 8, 9〉. Các phần tử x[3] đến x[6] đã đạt tới giới hạn trên nên để sinh cấu hình mới ta không thể sinh bằng cách tăng một phần tử trong số các x[6], x[5], x[4], x[3] lên được, ta phải tăng x[2] = 2 lên thành x[2] = 3. Được cấu hình mới là x = 〈1, 3, 6, 7, 8, 9〉. Cấu hình này đã thoả mãn lớn hơn cấu hình trước nhưng chưa thoả mãn tính chất vừa đủ lớn muốn vậy ta lại thay x[3], x[4], x[5], x[6] bằng các giới hạn dưới của nó. Tức là: x[3] := x[2] + 1 = 4 x[4] := x[3] + 1 = 5 x[5] := x[4] + 1 = 6 x[6] := x[5] + 1 = 7 Ta được cấu hình mới x = 〈1, 3, 4, 5, 6, 7〉 là cấu hình kế tiếp. Nếu muốn tìm tiếp, ta lại nhận thấy rằng x[6] = 7 chưa đạt giới hạn trên, như vậy chỉ cần tăng x[6] lên 1 là được x = 〈1, 3, 4, 5, 6, 8〉. Vậy kỹ thuật sinh tập con kế tiếp từ tập đã có x có thể xây dựng như sau: Tìm từ cuối dãy lên đầu cho tới khi gặp một phần tử x[i] chưa đạt giới hạn trên n - k + i. Nếu tìm thấy: Tăng x[i] đó lên 1. Đặt tất cả các phần tử phía sau x[i] bằng giới hạn dưới. Nếu không tìm thấy tức là mọi phần tử đã đạt giới hạn trên, đây là cấu hình cuối cùng Input: file văn bản SUBSET.INP chứa hai số nguyên dương n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 30) cách nhau ít nhất một dấu cách Output: file văn bản SUBSET.OUT các tập con k phần tử của tập {1, 2, , n} SUBSET.INP SUBSET.OUT 5 3 {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 2, 5} {1, 3, 4} {1, 3, 5} {1, 4, 5} {2, 3, 4} {2, 3, 5} {2, 4, 5} {3, 4, 5} Lê Minh Hoàng
8 Chuyên đề P_1_02_2.PAS * Thuật toán sinh liệt kê các tập con k phần tử program Combination; const InputFile = 'SUBSET.INP'; OutputFile = 'SUBSET.OUT'; max = 30; var x: array[1 max] of Integer; n, k, i, j: Integer; f: Text; begin Assign(f, InputFile); Reset(f); ReadLn(f, n, k); Close(f); Assign(f, OutputFile); Rewrite(f); for i := 1 to k do x[i] := i; {x := 12 k (Cấu hình khởi tạo)} repeat {In ra cấu hình hiện tại} Write(f, '{'); for i := 1 to k - 1 do Write(f, x[i], ', '); WriteLn(f, x[k], '}'); {Sinh tiếp} i := k; {Xét từ cuối dãy lên tìm x[i] chưa đạt giới hạn trên n - k + i} while (i > 0) and (x[i] = n - k + i) do Dec(i); if i > 0 then {Nếu chưa lùi đến 0 có nghĩa là chưa phải cấu hình kết thúc} begin Inc(x[i]); {Tăng x[i] lên 1, Đặt các phần tử đứng sau x[i] bằng giới hạn dưới của nó} for j := i + 1 to k do x[j] := x[j - 1] + 1; end; until i = 0; {Lùi đến tận 0 có nghĩa là tất cả các phần tử đã đạt giới hạn trên - hết cấu hình} Close(f); end. 2.3. LIỆT KÊ CÁC HOÁN VỊ Ta sẽ lập chương trình liệt kê các hoán vị của {1, 2, , n} theo thứ tự từ điển. Ví dụ với n = 4, ta phải liệt kê đủ 24 hoán vị: 1.1234 2.1243 3.1324 4.1342 5.1423 6.1432 7.2134 8.2143 9.2314 10.2341 11.2413 12.2431 13.3124 14.3142 15.3214 16.3241 17.3412 18.3421 19.4123 20.4132 21.4213 22.4231 23.4312 24.4321 Như vậy hoán vị đầu tiên sẽ là 〈1, 2, , n〉. Hoán vị cuối cùng là 〈n, n-1, , 1〉. Hoán vị sẽ sinh ra phải lớn hơn hoán vị hiện tại, hơn thế nữa phải là hoán vị vừa đủ lớn hơn hoán vị hiện tại theo nghĩa không thể có một hoán vị nào khác chen giữa chúng khi sắp thứ tự. Giả sử hoán vị hiện tại là x = 〈3, 2, 6, 5, 4, 1〉, xét 4 phần tử cuối cùng, ta thấy chúng được xếp giảm dần, điều đó có nghĩa là cho dù ta có hoán vị 4 phần tử này thế nào, ta cũng được một hoán vị bé hơn hoán vị hiện tại. Như vậy ta phải xét đến x[2] = 2, thay nó bằng một giá trị khác. Ta sẽ thay bằng giá trị nào?, không thể là 1 bởi nếu vậy sẽ được hoán vị nhỏ hơn, không thể là 3 vì đã có x[1] = 3 rồi (phần tử sau không được chọn vào những giá trị mà phần tử trước đã chọn). Còn lại các giá trị 4, 5, 6. Vì cần một hoán vị vừa đủ lớn hơn hiện tại nên ta chọn x[2] = 4. Còn các giá trị (x[3], x[4], x[5], x[6]) sẽ lấy trong tập {2, 6, 5, 1}. Cũng vì tính vừa đủ lớn nên ta sẽ tìm biểu diễn nhỏ nhất của 4 số này gán cho x[3], x[4], x[5], x[6] tức là 〈1, 2, 5, 6〉. Vậy hoán vị mới sẽ là 〈3, 4, 1, 2, 5, 6〉. ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 9 Ta có nhận xét gì qua ví dụ này: Đoạn cuối của hoán vị hiện tại được xếp giảm dần, số x[5] = 4 là số nhỏ nhất trong đoạn cuối giảm dần thoả mãn điều kiện lớn hơn x[2] = 2. Nếu đổi chỗ x[5] cho x[2] thì ta sẽ được x[2] = 4 và đoạn cuối vẫn được sắp xếp giảm dần. Khi đó muốn biểu diễn nhỏ nhất cho các giá trị trong đoạn cuối thì ta chỉ cần đảo ngược đoạn cuối. Trong trường hợp hoán vị hiện tại là 〈2, 1, 3, 4〉 thì hoán vị kế tiếp sẽ là 〈2, 1, 4, 3〉. Ta cũng có thể coi hoán vị 〈2, 1, 3, 4〉 có đoạn cuối giảm dần, đoạn cuối này chỉ gồm 1 phần tử (4) Vậy kỹ thuật sinh hoán vị kế tiếp từ hoán vị hiện tại có thể xây dựng như sau: Xác định đoạn cuối giảm dần dài nhất, tìm chỉ số i của phần tử x[i] đứng liền trước đoạn cuối đó. Điều này đồng nghĩa với việc tìm từ vị trí sát cuối dãy lên đầu, gặp chỉ số i đầu tiên thỏa mãn x[i] x[i]. Do đoạn cuối giảm dần, điều này thực hiện bằng cách tìm từ cuối dãy lên đầu gặp chỉ số k đầu tiên thoả mãn x[k] > x[i] (có thể dùng tìm kiếm nhị phân). Đảo giá trị x[k] và x[i] Lật ngược thứ tự đoạn cuối giảm dần (từ x[i+1] đến x[k]) trở thành tăng dần. Nếu không tìm thấy tức là toàn dãy đã sắp giảm dần, đây là cấu hình cuối cùng Input: file văn bản PERMUTE.INP chứa số nguyên dương n ≤ 12 Output: file văn bản PERMUTE.OUT các hoán vị của dãy (1, 2, , n) PERMUTE.INP PERMUTE.OUT 3 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 P_1_02_3.PAS * Thuật toán sinh liệt kê hoán vị program Permutation; const InputFile = 'PERMUTE.INP'; OutputFile = 'PERMUTE.OUT'; max = 12; var n, i, k, a, b: Integer; x: array[1 max] of Integer; f: Text; procedure Swap(var X, Y: Integer); {Thủ tục đảo giá trị hai tham biến X, Y} var Temp: Integer; begin Temp := X; X := Y; Y := Temp; end; begin Assign(f, InputFile); Reset(f); ReadLn(f, n); Close(f); Lê Minh Hoàng
10 Chuyên đề Assign(f, OutputFile); Rewrite(f); for i := 1 to n do x[i] := i; {Khởi tạo cấu hình đầu: x[1] := 1; x[2] := 2; , x[n] := n} repeat for i := 1 to n do Write(f, x[i], ' '); {In ra cấu hình hoán vị hiện tại} WriteLn(f); i := n - 1; while (i > 0) and (x[i] > x[i + 1]) do Dec(i); if i > 0 then {Chưa gặp phải hoán vị cuối (n, n-1, , 1)} begin k := n; {x[k] là phần tử cuối dãy} while x[k] < x[i] do Dec(k); {Lùi dần k để tìm gặp x[k] đầu tiên lớn hơn x[i]} Swap(x[k], x[i]); {Đổi chỗ x[k] và x[i]} a := i + 1; b := n; {Lật ngược đoạn cuối giảm dần, a: đầu đoạn, b: cuối đoạn} while a < b do begin Swap(x[a], x[b]); {Đảo giá trị x[a] và x[b]} Inc(a); {Tiến a và lùi b, tiếp tục cho tới khi a, b chạm nhau} Dec(b); end; end; until i = 0; {Toàn dãy là dãy giảm dần - không sinh tiếp được - hết cấu hình} Close(f); end. Bài tập: Bài 1 Các chương trình trên xử lý không tốt trong trường hợp tầm thường, đó là trường hợp n = 0 đối với chương trình liệt kê dãy nhị phân cũng như trong chương trình liệt kê hoán vị, trường hợp k = 0 đối với chương trình liệt kê tổ hợp, hãy khắc phục điều đó. Bài 2 Liệt kê các dãy nhị phân độ dài n có thể coi là liệt kê các chỉnh hợp lặp chập n của tập 2 phần tử {0, 1}. Hãy lập chương trình: Nhập vào hai số n và k, liệt kê các chỉnh hợp lặp chập k của {0, 1, , n -1}. Hướng dẫn: thay hệ cơ số 2 bằng hệ cơ số n. Bài 3 Hãy liệt kê các dãy nhị phân độ dài n mà trong đó cụm chữ số "01" xuất hiện đúng 2 lần. Bài 4. Nhập vào một danh sách n tên người. Liệt kê tất cả các cách chọn ra đúng k người trong số n người đó. Bài 5 Liệt kê tất cả các tập con của tập {1, 2, , n}. Có thể dùng phương pháp liệt kê tập con như trên hoặc dùng phương pháp liệt kê tất cả các dãy nhị phân. Mỗi số 1 trong dãy nhị phân tương ứng với một phần tử được chọn trong tập. Ví dụ với tập {1, 2, 3, 4} thì dãy nhị phân 1010 sẽ tương ứng với tập con {1, 3}. Hãy lập chương trình in ra tất cả các tập con của {1, 2, , n} theo hai phương pháp. Bài 6 Nhập vào danh sách tên n người, in ra tất cả các cách xếp n người đó vào một bàn ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 11 Bài 7 Nhập vào danh sách n bạn nam và n bạn nữ, in ra tất cả các cách xếp 2n người đó vào một bàn tròn, mỗi bạn nam tiếp đến một bạn nữ. Bài 8 Người ta có thể dùng phương pháp sinh để liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k. Tuy nhiên có một cách khác là liệt kê tất cả các tập con k phần tử của tập hợp, sau đó in ra đủ k! hoán vị của nó. Hãy viết chương trình liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k của {1, 2, , n} theo cả hai cách. Bài 9 Liệt kê tất cả các hoán vị chữ cái trong từ MISSISSIPPI theo thứ tự từ điển. Bài 10 Liệt kê tất cả các cách phân tích số nguyên dương n thành tổng các số nguyên dương, hai cách phân tích là hoán vị của nhau chỉ tính là một cách. Cuối cùng, ta có nhận xét, mỗi phương pháp liệt kê đều có ưu, nhược điểm riêng và phương pháp sinh cũng không nằm ngoài nhận xét đó. Phương pháp sinh không thể sinh ra được cấu hình thứ p nếu như chưa có cấu hình thứ p - 1, chứng tỏ rằng phương pháp sinh tỏ ra ưu điểm trong trường hợp liệt kê toàn bộ một số lượng nhỏ cấu hình trong một bộ dữ liệu lớn thì lại có nhược điểm và ít tính phổ dụng trong những thuật toán duyệt hạn chế. Hơn thế nữa, không phải cấu hình ban đầu lúc nào cũng dễ tìm được, không phải kỹ thuật sinh cấu hình kế tiếp cho mọi bài toán đều đơn giản như trên (Sinh các chỉnh hợp không lặp chập k theo thứ tự từ điển chẳng hạn). Ta sang một chuyên mục sau nói đến một phương pháp liệt kê có tính phổ dụng cao hơn, để giải các bài toán liệt kê phức tạp hơn đó là: Thuật toán quay lui (Back tracking). Lê Minh Hoàng
12 Chuyên đề §3. THUẬT TOÁN QUAY LUI Thuật toán quay lui dùng để giải bài toán liệt kê các cấu hình. Mỗi cấu hình được xây dựng bằng cách xây dựng từng phần tử, mỗi phần tử được chọn bằng cách thử tất cả các khả năng. Giả sử cấu hình cần liệt kê có dạng x[1 n], khi đó thuật toán quay lui thực hiện qua các bước: 1) Xét tất cả các giá trị x[1] có thể nhận, thử cho x[1] nhận lần lượt các giá trị đó. Với mỗi giá trị thử gán cho x[1] ta sẽ: 2) Xét tất cả các giá trị x[2] có thể nhận, lại thử cho x[2] nhận lần lượt các giá trị đó. Với mỗi giá trị thử gán cho x[2] lại xét tiếp các khả năng chọn x[3] cứ tiếp tục như vậy đến bước: n) Xét tất cả các giá trị x[n] có thể nhận, thử cho x[n] nhận lần lượt các giá trị đó, thông báo cấu hình tìm được 〈x[1], x[2], , x[n]〉. Trên phương diện quy nạp, có thể nói rằng thuật toán quay lui liệt kê các cấu hình n phần tử dạng x[1 n] bằng cách thử cho x[1] nhận lần lượt các giá trị có thể. Với mỗi giá trị thử gán cho x[1] bài toán trở thành liệt kê tiếp cấu hình n - 1 phần tử x[2 n]. Mô hình của thuật toán quay lui có thể mô tả như sau: {Thủ tục này thử cho x[i] nhận lần lượt các giá trị mà nó có thể nhận} procedure Try(i: Integer); begin for 〈mọi giá trị V có thể gán cho x[i]〉 do begin 〈Thử cho x[i] := V〉; if 〈x[i] là phần tử cuối cùng trong cấu hình〉 then 〈Thông báo cấu hình tìm được〉 else begin 〈Ghi nhận việc cho x[i] nhận giá trị V (nếu cần)〉; Try(i + 1); {Gọi đệ quy để chọn tiếp x[i+1]} 〈Nếu cần, bỏ ghi nhận việc thử x[i] := V để thử giá trị khác〉; end; end; end; Thuật toán quay lui sẽ bắt đầu bằng lời gọi Try(1) 3.1. LIỆT KÊ CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N Input/Output với khuôn dạng như trong P_1_02_1.PAS Biểu diễn dãy nhị phân độ dài N dưới dạng x[1 n]. Ta sẽ liệt kê các dãy này bằng cách thử dùng các giá trị {0, 1} gán cho x[i]. Với mỗi giá trị thử gán cho x[i] lại thử các giá trị có thể gán cho x[i+1].Chương trình liệt kê bằng thuật toán quay lui có thể viết: P_1_03_1.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các dãy nhị phân độ dài n program BinaryStrings; const InputFile = 'BSTR.INP'; OutputFile = 'BSTR.OUT'; ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 13 max = 30; var x: array[1 max] of Integer; n: Integer; f: Text; procedure PrintResult; {In cấu hình tìm được, do thủ tục tìm đệ quy Try gọi khi tìm ra một cấu hình} var i: Integer; begin for i := 1 to n do Write(f, x[i]); WriteLn(f); end; procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn x[i]} var j: Integer; begin for j := 0 to 1 do {Xét các giá trị có thể gán cho x[i], với mỗi giá trị đó} begin x[i] := j; {Thử đặt x[i]} if i = n then PrintResult {Nếu i = n thì in kết quả} else Try(i + 1); {Nếu i chưa phải là phần tử cuối thì tìm tiếp x[i+1]} end; end; begin Assign(f, InputFile); Reset(f); ReadLn(f, n); {Nhập dữ liệu} Close(f); Assign(f, OutputFile); Rewrite(f); Try(1); {Thử các cách chọn giá trị x[1]} Close(f); end. Ví dụ: Khi n = 3, cây tìm kiếm quay lui như sau: Try(1) X =1 X1=0 1 Try(2) Try(2) X2=0 X2=1 X2=0 X2=1 Try(3) Try(3) Try(3) Try(3) X3=0 X =1 3 X3=1 X =0 X =1 X3=0 3 3 X3=0 X3=1 000 001 010 011 100 101 110 111 Result Hình 1: Cây tìm kiếm quay lui trong bài toán liệt kê dãy nhị phân 3.2. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ Input/Output có khuôn dạng như trong P_1_02_2.PAS Để liệt kê các tập con k phần tử của tập S = {1, 2, , n} ta có thể đưa về liệt kê các cấu hình x[1 n], ở đây các x[i] ∈ S và x[1] < x[2] < < x[k]. Ta có nhận xét: Lê Minh Hoàng
14 Chuyên đề x[k] ≤ n x[k-1] ≤ x[k] - 1 ≤ n - 1 x[i] ≤ n - k + i x[1] ≤ n - k + 1. Từ đó suy ra x[i-1] + 1 ≤ x[i] ≤ n - k + i (1 ≤ i ≤ k) ở đây ta giả thiết có thêm một số x[0] = 0 khi xét i = 1. Như vậy ta sẽ xét tất cả các cách chọn x[1] từ 1 (=x[0] + 1) đến n - k + 1, với mỗi giá trị đó, xét tiếp tất cả các cách chọn x[2] từ x[1] +1 đến n - k + 2, cứ như vậy khi chọn được đến x[k] thì ta có một cấu hình cần liệt kê. Chương trình liệt kê bằng thuật toán quay lui như sau: P_1_03_2.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các tập con k phần tử program Combination; const InputFile = 'SUBSET.INP'; OutputFile = 'SUBSET.OUT'; max = 30; var x: array[0 max] of Integer; n, k: Integer; f: Text; procedure PrintResult; (*In ra tập con {x[1], x[2], , x[k]}*) var i: Integer; begin Write(f, '{'); for i := 1 to k - 1 do Write(f, x[i], ', '); WriteLn(f, x[k], '}'); end; procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn giá trị cho x[i]} var j: Integer; begin for j := x[i - 1] + 1 to n - k + i do begin x[i] := j; if i = k then PrintResult else Try(i + 1); end; end; begin Assign(f, InputFile); Reset(F); ReadLn(f, n, k); Close(f); Assign(f, OutputFile); Rewrite(f); x[0] := 0; Try(1); Close(f); end. ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 15 Nếu để ý chương trình trên và chương trình liệt kê dãy nhị phân độ dài n, ta thấy về cơ bản chúng chỉ khác nhau ở thủ tục Try(i) - chọn thử các giá trị cho xi, ở chương trình liệt kê dãy nhị phân ta thử chọn các giá trị 0 hoặc 1 còn ở chương trình liệt kê các tập con k phần tử ta thử chọn x[i] là một trong các giá trị nguyên từ x[i-1] + 1 đến n - k + i. Qua đó ta có thể thấy tính phổ dụng của thuật toán quay lui: mô hình cài đặt có thể thích hợp cho nhiều bài toán, khác với phương pháp sinh tuần tự, với mỗi bài toán lại phải có một thuật toán sinh kế tiếp riêng làm cho việc cài đặt mỗi bài một khác, bên cạnh đó, không phải thuật toán sinh kế tiếp nào cũng dễ cài đặt. 3.3. LIỆT KÊ CÁC CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP CHẬP K Để liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k của tập S = {1, 2, , n} ta có thể đưa về liệt kê các cấu hình x[1 k] ở đây các x[i] ∈ S và khác nhau đôi một. Như vậy thủ tục Try(i) - xét tất cả các khả năng chọn x[i] - sẽ thử hết các giá trị từ 1 đến n, mà các giá trị này chưa bị các phần tử đứng trước chọn. Muốn xem các giá trị nào chưa được chọn ta sử dụng kỹ thuật dùng mảng đánh dấu: Khởi tạo một mảng c[1 n] mang kiểu logic boolean. Ở đây c[i] cho biết giá trị i có còn tự do hay đã bị chọn rồi. Ban đầu khởi tạo tất cả các phần tử mảng c là TRUE có nghĩa là các phần tử từ 1 đến n đều tự do. Tại bước chọn các giá trị có thể của x[i] ta chỉ xét những giá trị j có c[j] = TRUE có nghĩa là chỉ chọn những giá trị tự do. Trước khi gọi đệ quy tìm x[i+1]: ta đặt giá trị j vừa gán cho x[i] là đã bị chọn có nghĩa là đặt c[j] := FALSE để các thủ tục Try(i + 1), Try(i + 2) gọi sau này không chọn phải giá trị j đó nữa Sau khi gọi đệ quy tìm x[i+1]: có nghĩa là sắp tới ta sẽ thử gán một giá trị khác cho x[i] thì ta sẽ đặt giá trị j vừa thử đó thành tự do (c[j] := TRUE), bởi khi xi đã nhận một giá trị khác rồi thì các phần tử đứng sau: x[i+1], x[i+2] hoàn toàn có thể nhận lại giá trị j đó. Điều này hoàn toàn hợp lý trong phép xây dựng chỉnh hợp không lặp: x[1] có n cách chọn, x[2] có n - 1 cách chọn, Lưu ý rằng khi thủ tục Try(i) có i = k thì ta không cần phải đánh dấu gì cả vì tiếp theo chỉ có in kết quả chứ không cần phải chọn thêm phần tử nào nữa. Input: file văn bản ARRANGE.INP chứa hai số nguyên dương n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 20) cách nhau ít nhất một dấu cách Output: file văn bản ARRANGE.OUT ghi các chỉnh hợp không lặp chập k của tập {1, 2, , n} ARRANGE.INP ARRANGE.OUT 3 2 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 Lê Minh Hoàng
16 Chuyên đề P_1_03_3.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k program Arrangement; const InputFile = 'ARRANGES.INP'; OutputFile = 'ARRANGES.OUT'; max = 20; var x: array[1 max] of Integer; c: array[1 max] of Boolean; n, k: Integer; f: Text; procedure PrintResult; {Thủ tục in cấu hình tìm được} var i: Integer; begin for i := 1 to k do Write(f, x[i], ' '); WriteLn(f); end; procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn x[i]} var j: Integer; begin for j := 1 to n do if c[j] then {Chỉ xét những giá trị j còn tự do} begin x[i] := j; if i = k then PrintResult {Nếu đã chọn được đến xk thì chỉ việc in kết quả} else begin c[j] := False; {Đánh dấu: j đã bị chọn} Try(i + 1); {Thủ tục này chỉ xét những giá trị còn tự do gán cho x[i+1]} c[j] := True; {Bỏ đánh dấu: j lại là tự do, bởi sắp tới sẽ thử một cách chọn khác của x[i]} end; end; end; begin Assign(f, InputFile); Reset(f); ReadLn(f, n, k); Assign(f, OutputFile); Rewrite(f); FillChar(c, SizeOf(c), True); {Tất cả các số đều chưa bị chọn} Try(1); {Thử các cách chọn giá trị của x[1]} Close(f); end. Nhận xét: khi k = n thì đây là chương trình liệt kê hoán vị 3.4. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH SỐ 3.4.1. Bài toán Cho một số nguyên dương n ≤ 30, hãy tìm tất cả các cách phân tích số n thành tổng của các số nguyên dương, các cách phân tích là hoán vị của nhau chỉ tính là 1 cách. 3.4.2. Cách làm: Ta sẽ lưu nghiệm trong mảng x, ngoài ra có một mảng t. Mảng t xây dựng như sau: t[i] sẽ là tổng các phần tử trong mảng x từ x[1] đến x[i]: t[i] := x[1] + x[2] + + x[i]. ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 17 Khi liệt kê các dãy x có tổng các phần tử đúng bằng n, để tránh sự trùng lặp ta đưa thêm ràng buộc x[i-1] ≤ x[i]. Vì số phần tử thực sự của mảng x là không cố định nên thủ tục PrintResult dùng để in ra 1 cách phân tích phải có thêm tham số cho biết sẽ in ra bao nhiêu phần tử. Thủ tục đệ quy Try(i) sẽ thử các giá trị có thể nhận của x[i] (x[i] ≥ x[i - 1]) Khi nào thì in kết quả và khi nào thì gọi đệ quy tìm tiếp ? Lưu ý rằng t[i - 1] là tổng của tất cả các phần tử từ x[1] đến x[i-1] do đó Khi t[i] = n tức là (x[i] = n - t[i - 1]) thì in kết quả Khi tìm tiếp, x[i+1] sẽ phải lớn hơn hoặc bằng x[i]. Mặt khác t[i+1] là tổng của các số từ x[1] tới x[i+1] không được vượt quá n. Vậy ta có t[i+1] ≤ n ⇔ t[i-1] + x[i] + x[i+1] ≤ n ⇔ x[i] + x[i+1] ≤ n - t[i-1] tức là x[i] ≤ (n - t[i-1])/2. Ví dụ đơn giản khi n = 10 thì chọn x[1] = 6, 7, 8, 9 là việc làm vô nghĩa vì như vậy cũng không ra nghiệm mà cũng không chọn tiếp x[2] được nữa. Một cách dễ hiểu: ta gọi đệ quy tìm tiếp khi giá trị x[i] được chọn còn cho phép chọn thêm một phần tử khác lớn hơn hoặc bằng nó mà không làm tổng vượt quá n. Còn ta in kết quả chỉ khi x[i] mang giá trị đúng bằng số thiếu hụt của tổng i-1 phần tử đầu so với n. Vậy thủ tục Try(i) thử các giá trị cho x[i] có thể viết như sau: (để tổng quát cho i = 1, ta đặt x[0] = 1 và t[0] = 0). Xét các giá trị của x[i] từ x[i - 1] đến (n - t[i-1]) div 2, cập nhật t[i] := t[i - 1] + x[i] và gọi đệ quy tìm tiếp. Cuối cùng xét giá trị x[i] = n - t[i-1] và in kết quả từ x[1] đến x[i]. Input: file văn bản ANALYSE.INP chứa số nguyên dương n ≤ 30 Output: file văn bản ANALYSE.OUT ghi các cách phân tích số n. ANALYSE.INP ANALYSE.OUT 6 6 = 1+1+1+1+1+1 6 = 1+1+1+1+2 6 = 1+1+1+3 6 = 1+1+2+2 6 = 1+1+4 6 = 1+2+3 6 = 1+5 6 = 2+2+2 6 = 2+4 6 = 3+3 6 = 6 P_1_03_4.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các cách phân tích số program Analyses; const InputFile = 'ANALYSE.INP'; OutputFile = 'ANALYSE.OUT'; max = 30; var n: Integer; x: array[0 max] of Integer; Lê Minh Hoàng
18 Chuyên đề t: array[0 max] of Integer; f: Text; procedure Init; {Khởi tạo} begin Assign(f, InputFile); Reset(f); ReadLn(f, n); Close(f); x[0] := 1; t[0] := 0; end; procedure PrintResult(k: Integer); var i: Integer; begin Write(f, n, ' = '); for i := 1 to k - 1 do Write(f, x[i], '+'); WriteLn(f, x[k]); end; procedure Try(i: Integer); var j: Integer; begin for j := x[i - 1] to (n - T[i - 1]) div 2 do {Trường hợp còn chọn tiếp x[i+1]} begin x[i] := j; t[i] := t[i - 1] + j; Try(i + 1); end; x[i] := n - T[i - 1]; {Nếu x[i] là phần tử cuối thì nó bắt buộc phải là n-T[i-1], in kết quả} PrintResult(i); end; begin Init; Assign(f, OutputFile); Rewrite(f); Try(1); Close(f); end. Bây giờ ta xét tiếp một ví dụ kinh điển của thuật toán quay lui: 3.5. BÀI TOÁN XẾP HẬU 3.5.1. Bài toán Xét bàn cờ tổng quát kích thước nxn. Một quân hậu trên bàn cờ có thể ăn được các quân khác nằm tại các ô cùng hàng, cùng cột hoặc cùng đường chéo. Hãy tìm các xếp n quân hậu trên bàn cờ sao cho không quân nào ăn quân nào. Ví dụ một cách xếp với n = 8: ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 19 Hình 2: Xếp 8 quân hậu trên bàn cờ 8x8 3.5.2. Phân tích Rõ ràng n quân hậu sẽ được đặt mỗi con một hàng vì hậu ăn được ngang, ta gọi quân hậu sẽ đặt ở hàng 1 là quân hậu 1, quân hậu ở hàng 2 là quân hậu 2 quân hậu ở hàng n là quân hậu n. Vậy một nghiệm của bài toán sẽ được biết khi ta tìm ra được vị trí cột của những quân hậu. Nếu ta định hướng Đông (Phải), Tây (Trái), Nam (Dưới), Bắc (Trên) thì ta nhận thấy rằng: Một đường chéo theo hướng Đông Bắc - Tây Nam (ĐB-TN) bất kỳ sẽ đi qua một số ô, các ô đó có tính chất: Hàng + Cột = C (Const). Với mỗi đường chéo ĐB-TN ta có 1 hằng số C và với một hằng số C: 2 ≤ C ≤ 2n xác định duy nhất 1 đường chéo ĐB-TN vì vậy ta có thể đánh chỉ số cho các đường chéo ĐB- TN từ 2 đến 2n Một đường chéo theo hướng Đông Nam - Tây Bắc (ĐN-TB) bất kỳ sẽ đi qua một số ô, các ô đó có tính chất: Hàng - Cột = C (Const). Với mỗi đường chéo ĐN-TB ta có 1 hằng số C và với một hằng số C: 1 - n ≤ C ≤ n - 1 xác định duy nhất 1 đường chéo ĐN-TB vì vậy ta có thể đánh chỉ số cho các đường chéo ĐN- TB từ 1 - n đến n - 1. 1 234 5678 1 N 2 3 4 W E 5 6 S 7 8 Hình 3: Đường chéo ĐB-TN mang chỉ số 10 và đường chéo ĐN-TB mang chỉ số 0 Lê Minh Hoàng
20 Chuyên đề Cài đặt: Ta có 3 mảng logic để đánh dấu: Mảng a[1 n]. a[i] = TRUE nếu như cột i còn tự do, a[i] = FALSE nếu như cột i đã bị một quân hậu khống chế Mảng b[2 2n]. b[i] = TRUE nếu như đường chéo ĐB-TN thứ i còn tự do, b[i] = FALSE nếu như đường chéo đó đã bị một quân hậu khống chế. Mảng c[1-n n-1]. c[i] = TRUE nếu như đường chéo ĐN-TB thứ i còn tự do, c[i] = FALSE nếu như đường chéo đó đã bị một quân hậu khống chế. Ban đầu cả 3 mảng đánh dấu đều mang giá trị TRUE. (Các cột và đường chéo đều tự do) Thuật toán quay lui: Xét tất cả các cột, thử đặt quân hậu 1 vào một cột, với mỗi cách đặt như vậy, xét tất cả các cách đặt quân hậu 2 không bị quân hậu 1 ăn, lại thử 1 cách đặt và xét tiếp các cách đặt quân hậu 3 Mỗi cách đặt được đến quân hậu n cho ta 1 nghiệm Khi chọn vị trí cột j cho quân hậu thứ i, thì ta phải chọn ô(i, j) không bị các quân hậu đặt trước đó ăn, tức là phải chọn cột j còn tự do, đường chéo ĐB-TN (i+j) còn tự do, đường chéo ĐN-TB(i-j) còn tự do. Điều này có thể kiểm tra (a[j] = b[i+j] = c[i-j] = TRUE) Khi thử đặt được quân hậu thứ i vào cột j, nếu đó là quân hậu cuối cùng (i = n) thì ta có một nghiệm. Nếu không: Trước khi gọi đệ quy tìm cách đặt quân hậu thứ i + 1, ta đánh dấu cột và 2 đường chéo bị quân hậu vừa đặt khống chế (a[j] = b[i+j] = c[i-j] := FALSE) để các lần gọi đệ quy tiếp sau chọn cách đặt các quân hậu kế tiếp sẽ không chọn vào những ô nằm trên cột j và những đường chéo này nữa. Sau khi gọi đệ quy tìm cách đặt quân hậu thứ i + 1, có nghĩa là sắp tới ta lại thử một cách đặt khác cho quân hậu thứ i, ta bỏ đánh dấu cột và 2 đường chéo bị quân hậu vừa thử đặt khống chế (a[j] = b[i+j] = c[i-j] := TRUE) tức là cột và 2 đường chéo đó lại thành tự do, bởi khi đã đặt quân hậu i sang vị trí khác rồi thì cột và 2 đường chéo đó hoàn toàn có thể gán cho một quân hậu khác Hãy xem lại trong các chương trình liệt kê chỉnh hợp không lặp và hoán vị về kỹ thuật đánh dấu. Ở đây chỉ khác với liệt kê hoán vị là: liệt kê hoán vị chỉ cần một mảng đánh dấu xem giá trị có tự do không, còn bài toán xếp hậu thì cần phải đánh dấu cả 3 thành phần: Cột, đường chéo ĐB-TN, đường chéo ĐN- TB. Trường hợp đơn giản hơn: Yêu cầu liệt kê các cách đặt n quân xe lên bàn cờ nxn sao cho không quân nào ăn quân nào chính là bài toán liệt kê hoán vị Input: file văn bản QUEENS.INP chứa số nguyên dương n ≤ 12 Output: file văn bản QUEENS.OUT, mỗi dòng ghi một cách đặt n quân hậu ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 21 QUEENS.INP QUEENS.OUT 5 (1, 1); (2, 3); (3, 5); (4, 2); (5, 4); (1, 1); (2, 4); (3, 2); (4, 5); (5, 3); (1, 2); (2, 4); (3, 1); (4, 3); (5, 5); (1, 2); (2, 5); (3, 3); (4, 1); (5, 4); (1, 3); (2, 1); (3, 4); (4, 2); (5, 5); (1, 3); (2, 5); (3, 2); (4, 4); (5, 1); (1, 4); (2, 1); (3, 3); (4, 5); (5, 2); (1, 4); (2, 2); (3, 5); (4, 3); (5, 1); (1, 5); (2, 2); (3, 4); (4, 1); (5, 3); (1, 5); (2, 3); (3, 1); (4, 4); (5, 2); P_1_03_5.PAS * Thuật toán quay lui giải bài toán xếp hậu program n_Queens; const InputFile = 'QUEENS.INP'; OutputFile = 'QUEENS.OUT'; max = 12; var n: Integer; x: array[1 max] of Integer; a: array[1 max] of Boolean; b: array[2 2 * max] of Boolean; c: array[1 - max max - 1] of Boolean; f: Text; procedure Init; begin Assign(f, InputFile); Reset(f); ReadLn(f, n); Close(f); FillChar(a, SizeOf(a), True); {Mọi cột đều tự do} FillChar(b, SizeOf(b), True); {Mọi đường chéo Đông Bắc - Tây Nam đều tự do} FillChar(c, SizeOf(c), True); {Mọi đường chéo Đông Nam - Tây Bắc đều tự do} end; procedure PrintResult; var i: Integer; begin for i := 1 to n do Write(f, '(', i, ', ', x[i], '); '); WriteLn(f); end; procedure Try(i: Integer); {Thử các cách đặt quân hậu thứ i vào hàng i} var j: Integer; begin for j := 1 to n do if a[j] and b[i + j] and c[i - j] then {Chỉ xét những cột j mà ô (i, j) chưa bị khống chế} begin x[i] := j; {Thử đặt quân hậu i vào cột j} if i = n then PrintResult else begin a[j] := False; b[i + j] := False; c[i - j] := False; {Đánh dấu} Try(i + 1); {Tìm các cách đặt quân hậu thứ i + 1} a[j] := True; b[i + j] := True; c[i - j] := True; {Bỏ đánh dấu} end; end; end; begin Lê Minh Hoàng
22 Chuyên đề Init; Assign(f, OutputFile); Rewrite(f); Try(1); Close(f); end. Tên gọi thuật toán quay lui, đứng trên phương diện cài đặt có thể nên gọi là kỹ thuật vét cạn bằng quay lui thì chính xác hơn, tuy nhiên đứng trên phương diện bài toán, nếu như ta coi công việc giải bài toán bằng cách xét tất cả các khả năng cũng là 1 cách giải thì tên gọi Thuật toán quay lui cũng không có gì trái logic. Xét hoạt động của chương trình trên cây tìm kiếm quay lui ta thấy tại bước thử chọn x[i] nó sẽ gọi đệ quy để tìm tiếp x[i+1] có nghĩa là quá trình sẽ duyệt tiến sâu xuống phía dưới đến tận nút lá, sau khi đã duyệt hết các nhánh, tiến trình lùi lại thử áp đặt một giá trị khác cho x[i], đó chính là nguồn gốc của tên gọi "thuật toán quay lui" Bài tập: Bài 1 Một số chương trình trên xử lý không tốt trong trường hợp tầm thường (n = 0 hoặc k = 0), hãy khắc phục các lỗi đó Bài 2 Viết chương trình liệt kê các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử Bài 3 Cho hai số nguyên dương l, n. Hãy liệt kê các xâu nhị phân độ dài n có tính chất, bất kỳ hai xâu con nào độ dài l liền nhau đều khác nhau. Bài 4 Với n = 5, k = 3, vẽ cây tìm kiếm quay lui của chương trình liệt kê tổ hợp chập k của tập {1, 2, , n} Bài 5 Liệt kê tất cả các tập con của tập S gồm n số nguyên {S[1], S[2], , S[n]} nhập vào từ bàn phím Bài 6 Tương tự như bài 5 nhưng chỉ liệt kê các tập con có max - min ≤ T (T cho trước). Bài 7 Một dãy x[1 n] gọi là một hoán vị hoàn toàn của tập {1, 2, , n} nếu nó là một hoán vị và thoả mãn x[i] ≠ i với ∀i: 1 ≤ i ≤ n. Hãy viết chương trình liệt kê tất cả các hoán vị hoàn toàn của tập trên (n vào từ bàn phím). Bài 8 Sửa lại thủ tục in kết quả (PrintResult) trong bài xếp hậu để có thể vẽ hình bàn cờ và các cách đặt hậu ra màn hình. ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 23 Bài 9 Mã đi tuần: Cho bàn cờ tổng quát kích thước nxn và một quân Mã, hãy chỉ ra một hành trình của quân Mã xuất phát từ ô đang đứng đi qua tất cả các ô còn lại của bàn cờ, mỗi ô đúng 1 lần. Bài 10 Chuyển tất cả các bài tập trong bài trước đang viết bằng sinh tuần tự sang quay lui. Bài 11 Xét sơ đồ giao thông gồm n nút giao thông đánh số từ 1 tới n và m đoạn đường nối chúng, mỗi đoạn đường nối 2 nút giao thông. Hãy nhập dữ liệu về mạng lưới giao thông đó, nhập số hiệu hai nút giao thông s và d. Hãy in ra tất cả các cách đi từ s tới d mà mỗi cách đi không được qua nút giao thông nào quá một lần. Lê Minh Hoàng
24 Chuyên đề §4. KỸ THUẬT NHÁNH CẬN 4.1. BÀI TOÁN TỐI ƯU Một trong những bài toán đặt ra trong thực tế là việc tìm ra một nghiệm thoả mãn một số điều kiện nào đó, và nghiệm đó là tốt nhất theo một chỉ tiêu cụ thể, nghiên cứu lời giải các lớp bài toán tối ưu thuộc về lĩnh vực quy hoạch toán học. Tuy nhiên cũng cần phải nói rằng trong nhiều trường hợp chúng ta chưa thể xây dựng một thuật toán nào thực sự hữu hiệu để giải bài toán, mà cho tới nay việc tìm nghiệm của chúng vẫn phải dựa trên mô hình liệt kê toàn bộ các cấu hình có thể và đánh giá, tìm ra cấu hình tốt nhất. Việc liệt kê cấu hình có thể cài đặt bằng các phương pháp liệt kê: Sinh tuần tự và tìm kiếm quay lui. Dưới đây ta sẽ tìm hiểu phương pháp liệt kê bằng thuật toán quay lui để tìm nghiệm của bài toán tối ưu. 4.2. SỰ BÙNG NỔ TỔ HỢP Mô hình thuật toán quay lui là tìm kiếm trên 1 cây phân cấp. Nếu giả thiết rằng ứng với mỗi nút tương ứng với một giá trị được chọn cho x[i] sẽ ứng với chỉ 2 nút tương ứng với 2 giá trị mà x[i+1] có thể nhận thì cây n cấp sẽ có tới 2n nút lá, con số này lớn hơn rất nhiều lần so với dữ liệu đầu vào n. Chính vì vậy mà nếu như ta có thao tác thừa trong việc chọn x[i] thì sẽ phải trả giá rất lớn về chi phí thực thi thuật toán bởi quá trình tìm kiếm lòng vòng vô nghĩa trong các bước chọn kế tiếp x[i+1], x[i+2], Khi đó, một vấn đề đặt ra là trong quá trình liệt kê lời giải ta cần tận dụng những thông tin đã tìm được để loại bỏ sớm những phương án chắc chắn không phải tối ưu. Kỹ thuật đó gọi là kỹ thuật đánh giá nhánh cận trong tiến trình quay lui. 4.3. MÔ HÌNH KỸ THUẬT NHÁNH CẬN Dựa trên mô hình thuật toán quay lui, ta xây dựng mô hình sau: procedure Init; begin 〈Khởi tạo một cấu hình bất kỳ BESTCONFIG〉; end; {Thủ tục này thử chọn cho x[i] tất cả các giá trị nó có thể nhận} procedure Try(i: Integer); begin for 〈Mọi giá trị V có thể gán cho x[i]〉 do begin 〈Thử cho x[i] := V〉; if 〈Việc thử trên vẫn còn hi vọng tìm ra cấu hình tốt hơn BESTCONFIG〉 then if 〈x[i] là phần tử cuối cùng trong cấu hình〉 then 〈Cập nhật BESTCONFIG〉 else begin 〈Ghi nhận việc thử x[i] = V nếu cần〉; Try(i + 1); {Gọi đệ quy, chọn tiếp x[i+1]} 〈Bỏ ghi nhận việc thử cho x[i] = V (nếu cần)〉; end; end; end; ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 25 begin Init; Try(1); 〈Thông báo cấu hình tối ưu BESTCONFIG〉; end. Kỹ thuật nhánh cận thêm vào cho thuật toán quay lui khả năng đánh giá theo từng bước, nếu tại bước thứ i, giá trị thử gán cho x[i] không có hi vọng tìm thấy cấu hình tốt hơn cấu hình BESTCONFIG thì thử giá trị khác ngay mà không cần phải gọi đệ quy tìm tiếp hay ghi nhận kết quả làm gì. Nghiệm của bài toán sẽ được làm tốt dần, bởi khi tìm ra một cấu hình mới (tốt hơn BESTCONFIG - tất nhiên), ta không in kết quả ngay mà sẽ cập nhật BESTCONFIG bằng cấu hình mới vừa tìm được 4.4. BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH 4.4.1. Bài toán Cho n thành phố đánh số từ 1 đến n và m tuyến đường giao thông hai chiều giữa chúng, mạng lưới giao thông này được cho bởi bảng C cấp nxn, ở đây C[i, j] = C[j, i] = Chi phí đi đoạn đường trực tiếp từ thành phố i đến thành phố j. Giả thiết rằng C[i, i] = 0 với ∀i, C[i, j] = +∞ nếu không có đường trực tiếp từ thành phố i đến thành phố j. Một người du lịch xuất phát từ thành phố 1, muốn đi thăm tất cả các thành phố còn lại mỗi thành phố đúng 1 lần và cuối cùng quay lại thành phố 1. Hãy chỉ ra cho người đó hành trình với chi phí ít nhất. Bài toán đó gọi là bài toán người du lịch hay bài toán hành trình của một thương gia (Traveling Salesman) 4.4.2. Cách giải Hành trình cần tìm có dạng x[1 n + 1] trong đó x[1] = x[n + 1] = 1 ở đây giữa x[i] và x[i+1]: hai thành phố liên tiếp trong hành trình phải có đường đi trực tiếp (C[i, j] ≠ +∞) và ngoại trừ thành phố 1, không thành phố nào được lặp lại hai lần. Có nghĩa là dãy x[1 n] lập thành 1 hoán vị của (1, 2, , n). Duyệt quay lui: x[2] có thể chọn một trong các thành phố mà x[1] có đường đi tới (trực tiếp), với mỗi cách thử chọn x[2] như vậy thì x[3] có thể chọn một trong các thành phố mà x[2] có đường đi tới (ngoài x[1]). Tổng quát: x[i] có thể chọn 1 trong các thành phố chưa đi qua mà từ x[i-1] có đường đi trực tiếp tới (1 ≤ i ≤ n). Nhánh cận: Khởi tạo cấu hình BestConfig có chi phí = +∞. Với mỗi bước thử chọn x[i] xem chi phí đường đi cho tới lúc đó có < Chi phí của cấu hình BestConfig?, nếu không nhỏ hơn thì thử giá trị khác ngay bởi có đi tiếp cũng chỉ tốn thêm. Khi thử được một giá trị x[n] ta kiểm tra xem x[n] có đường đi trực tiếp về 1 không ? Nếu có đánh giá chi phí đi từ thành phố 1 đến thành phố x[n] cộng với chi phí từ x[n] đi trực tiếp về 1, nếu nhỏ hơn chi phí của đường đi BestConfig thì cập nhật lại BestConfig bằng cách đi mới. Sau thủ tục tìm kiếm quay lui mà chi phí của BestConfig vẫn bằng +∞ thì có nghĩa là nó không tìm thấy một hành trình nào thoả mãn điều kiện đề bài để cập nhật BestConfig, bài toán Lê Minh Hoàng
26 Chuyên đề không có lời giải, còn nếu chi phí của BestConfig 3->2->4->1 1 2 1 2 3 Cost: 6 1 3 2 1 2 1 1 4 1 2 3 1 2 4 2 4 3 4 3 4 4 P_1_04_1.PAS * Kỹ thuật nhánh cận dùng cho bài toán người du lịch program TravellingSalesman; const InputFile = 'TOURISM.INP'; OutputFile = 'TOURISM.OUT'; max = 20; maxC = 20 * 100 + 1;{+∞} var C: array[1 max, 1 max] of Integer; {Ma trận chi phí} X, BestWay: array[1 max + 1] of Integer; {X để thử các khả năng, BestWay để ghi nhận nghiệm} T: array[1 max + 1] of Integer; {T[i] để lưu chi phí đi từ X[1] đến X[i]} Free: array[1 max] of Boolean; {Free để đánh dấu, Free[i]= True nếu chưa đi qua tp i} m, n: Integer; MinSpending: Integer; {Chi phí hành trình tối ưu} procedure Enter; var i, j, k: Integer; f: Text; begin Assign(f, InputFile); Reset(f); ReadLn(f, n, m); for i := 1 to n do {Khởi tạo bảng chi phí ban đầu} for j := 1 to n do if i = j then C[i, j] := 0 else C[i, j] := maxC; for k := 1 to m do begin ReadLn(f, i, j, C[i, j]); C[j, i] := C[i, j]; {Chi phí như nhau trên 2 chiều} end; Close(f); end; procedure Init; {Khởi tạo} begin FillChar(Free, n, True); Free[1] := False; {Các thành phố là chưa đi qua ngoại trừ thành phố 1} X[1] := 1; {Xuất phát từ thành phố 1} T[1] := 0; {Chi phí tại thành phố xuất phát là 0} ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 27 MinSpending := maxC; end; procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn xi} var j: Integer; begin for j := 2 to n do {Thử các thành phố từ 2 đến n} if Free[j] then {Nếu gặp thành phố chưa đi qua} begin X[i] := j; {Thử đi} T[i] := T[i - 1] + C[x[i - 1], j]; {Chi phí := Chi phí bước trước + chi phí đường đi trực tiếp} if T[i] '); WriteLn(f, 1); WriteLn(f, 'Cost: ', MinSpending); Close(f); end; begin Enter; Init; Try(2); PrintResult; end. Trên đây là một giải pháp nhánh cận còn rất thô sơ giải bài toán người du lịch, trên thực tế người ta còn có nhiều cách đánh giá nhánh cận chặt hơn nữa. Hãy tham khảo các tài liệu khác để tìm hiểu về những phương pháp đó. 4.5. DÃY ABC Cho trước một số nguyên dương N (N ≤ 100), hãy tìm một xâu chỉ gồm các ký tự A, B, C thoả mãn 3 điều kiện: Có độ dài N Hai đoạn con bất kỳ liền nhau đều khác nhau (đoạn con là một dãy ký tự liên tiếp của xâu) Lê Minh Hoàng
28 Chuyên đề Có ít ký tự C nhất. Cách giải: Không trình bày, đề nghị tự xem chương trình để hiểu, chỉ chú thích kỹ thuật nhánh cận như sau: Nếu dãy X[1 n] thoả mãn 2 đoạn con bất kỳ liền nhau đều khác nhau, thì trong 4 ký tự liên tiếp bất kỳ bao giờ cũng phải có 1 ký tự "C". Như vậy với một dãy con gồm k ký tự liên tiếp của dãy X thì số ký tự C trong dãy con đó bắt buộc phải ≥ k div 4. Tại bước thử chọn X[i], nếu ta đã có T[i] ký tự "C" trong đoạn đã chọn từ X[1] đến X[i], thì cho dù các bước đệ quy tiếp sau làm tốt như thế nào chăng nữa, số ký tự "C" sẽ phải chọn thêm bao giờ cũng ≥ (n - i) div 4. Tức là nếu theo phương án chọn X[i] như thế này thì số ký tự "C" trong dãy kết quả (khi chọn đến X[n]) cho dù có làm tốt đến đâu cũng ≥ T[i] + (n - i) div 4. Ta dùng con số này để đánh giá nhánh cận, nếu nó nhiều hơn số ký tự "C" trong BestConfig thì chắc chắn có làm tiếp cũng chỉ được một cấu hình tồi tệ hơn, ta bỏ qua ngay cách chọn này và thử phương án khác. Input: file văn bản ABC.INP chứa số nguyên dương n ≤ 100 Output: file văn bản ABC.OUT ghi xâu tìm được ABC.INP ABC.OUT 10 ABACABCBAB "C" Letter Count : 2 P_1_04_2.PAS * Dãy ABC program ABC_STRING; const InputFile = 'ABC.INP'; OutputFile = 'ABC.OUT'; max = 100; var N, MinC: Integer; X, Best: array[1 max] of 'A' 'C'; T: array[0 max] of Integer; {T[i] cho biết số ký tự "C" trong đoạn từ X[1] đến X[i]} f: Text; {Hàm Same(i, l) cho biết xâu gồm l ký tự kết thúc tại X[i] có trùng với xâu l ký tự liền trước nó không ?} function Same(i, l: Integer): Boolean; var j, k: Integer; begin j := i - l; {j là vị trí cuối đoạn liền trước đoạn đó} for k := 0 to l - 1 do if X[i - k] <> X[j - k] then begin Same := False; Exit; end; Same := True; end; {Hàm Check(i) cho biết X[i] có làm hỏng tính không lặp của dãy X[1 i] hay không} function Check(i: Integer): Boolean; var l: Integer; begin ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 29 for l := 1 to i div 2 do {Thử các độ dài l} if Same(i, l) then {Nếu có xâu độ dài l kết thúc bởi X[i] bị trùng với xâu liền trước} begin Check := False; Exit; end; Check := True; end; {Giữ lại kết quả vừa tìm được vào BestConfig (MinC và mảng Best)} procedure KeepResult; begin MinC := T[N]; Best := X; end; {Thuật toán quay lui có nhánh cận} procedure Try(i: Integer); {Thử các giá trị có thể của X[i]} var j: 'A' 'C'; begin for j := 'A' to 'C' do {Xét tất cả các giá trị} begin X[i] := j; if Check(i) then {Nếu thêm giá trị đó vào không làm hỏng tính không lặp} begin if j = 'C' then T[i] := T[i - 1] + 1 {Tính T[i] qua T[i - 1]} else T[i] := T[i - 1]; if T[i] + (N - i) div 4 < MinC then {Đánh giá nhánh cận} if i = N then KeepResult else Try(i + 1); end; end; end; procedure PrintResult; var i: Integer; begin for i := 1 to N do Write(f, Best[i]); WriteLn(f); WriteLn(f, '"C" Letter Count : ', MinC); end; begin Assign(f, InputFile); Reset(f); ReadLn(f, N); Close(f); Assign(f, OutputFile); Rewrite(f); T[0] := 0; MinC := N; {Khởi tạo cấu hình BestConfig ban đầu rất tồi} Try(1); PrintResult; Close(f); end. Nếu ta thay bài toán là tìm xâu ít ký tự 'B' nhất mà vẫn viết chương trình tương tự như trên thì chương trình sẽ chạy chậm hơn chút ít. Lý do: thủ tục Try ở trên sẽ thử lần lượt các giá trị 'A', 'B', rồi mới đến 'C'. Có nghĩa ngay trong cách tìm, nó đã tiết kiệm sử dụng ký tự 'C' nhất nên trong phần lớn các bộ dữ liệu nó nhanh chóng tìm ra lời giải hơn so với bài toán tương ứng tìm xâu ít ký tự 'B' nhất. Chính vì vậy mà nếu như đề bài yêu cầu ít ký tự 'B' nhất ta cứ lập chương trình làm yêu cầu ít ký tự 'C' nhất, chỉ có điều khi in kết quả, ta đổi vai trò 'B', 'C' cho Lê Minh Hoàng
30 Chuyên đề nhau. Đây là một ví dụ cho thấy sức mạnh của thuật toán quay lui khi kết hợp với kỹ thuật nhánh cận, nếu viết quay lui thuần tuý hoặc đánh giá nhánh cận không tốt thì với N = 100, tôi cũng không đủ kiên nhẫn để đợi chương trình cho kết quả (chỉ biết rằng > 3 giờ). Trong khi đó khi N = 100, với chương trình trên chỉ chạy hết hơn 3 giây cho kết quả là xâu 27 ký tự 'C'. Nói chung, ít khi ta gặp bài toán mà chỉ cần sử dụng một thuật toán, một mô hình kỹ thuật cài đặt là có thể giải được. Thông thường các bài toán thực tế đòi hỏi phải có sự tổng hợp, pha trộn nhiều thuật toán, nhiều kỹ thuật mới có được một lời giải tốt. Không được lạm dụng một kỹ thuật nào và cũng không xem thường một phương pháp nào khi bắt tay vào giải một bài toán tin học. Thuật toán quay lui cũng không phải là ngoại lệ, ta phải biết phối hợp một cách uyển chuyển với các thuật toán khác thì khi đó nó mới thực sự là một công cụ mạnh. Bài tập: Bài 1 Một dãy dấu ngoặc hợp lệ là một dãy các ký tự "(" và ")" được định nghĩa như sau: i. Dãy rỗng là một dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu 0 ii. Nếu A là dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu k thì (A) là dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu k + 1 iii. Nếu A và B là hay dãy dấu ngoặc hợp lệ với độ sâu lần lượt là p và q thì AB là dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu là max(p, q) Độ dài của một dãy ngoặc là tổng số ký tự "(" và ")" Ví dụ: Có 5 dãy dấu ngoặc hợp lệ độ dài 8 và độ sâu 3: 1. ((()())) 2. ((())()) 3. ((()))() 4. (()(())) 5. ()((())) Bài toán đặt ra là khi cho biết trước hai số nguyên dương n và k. Hãy liệt kê hết các dãy ngoặc hợp lệ có độ dài là n và độ sâu là k (làm được với n càng lớn càng tốt). Bài 2 Cho một bãi mìn kích thước mxn ô vuông, trên một ô có thể có chứa một quả mìn hoặc không, để biểu diễn bản đồ mìn đó, người ta có hai cách: Cách 1: dùng bản đồ đánh dấu: sử dụng một lưới ô vuông kích thước mxn, trên đó tại ô (i, j) ghi số 1 nếu ô đó có mìn, ghi số 0 nếu ô đó không có mìn Cách 2: dùng bản đồ mật độ: sử dụng một lưới ô vuông kích thước mxn, trên đó tại ô (i, j) ghi một số trong khoảng từ 0 đến 8 cho biết tổng số mìn trong các ô lân cận với ô (i, j) (ô lân cận với ô (i, j) là ô có chung với ô (i, j) ít nhất 1 đỉnh). Giả thiết rằng hai bản đồ được ghi chính xác theo tình trạng mìn trên hiện trường. Về nguyên tắc, lúc cài bãi mìn phải vẽ cả bản đồ đánh dấu và bản đồ mật độ, tuy nhiên sau một thời gian dài, khi người ta muốn gỡ mìn ra khỏi bãi thì vấn đề hết sức khó khăn bởi bản đồ đánh dấu đã bị thất lạc !!. Công việc của các lập trình viên là: Từ bản đồ mật độ, hãy tái tạo lại bản đồ đánh dấu của bãi mìn. ĐHSPHN 1999-2004
Bài toán liệt kê 31 Dữ liệu: Vào từ file văn bản MINE.INP, các số trên 1 dòng cách nhau ít nhất 1 dấu cách Dòng 1: Ghi 2 số nguyên dương m, n (2 ≤ m, n ≤ 30) m dòng tiếp theo, dòng thứ i ghi n số trên hàng i của bản đồ mật độ theo đúng thứ tự từ trái qua phải. Kết quả: Ghi ra file văn bản MINE.OUT, các số trên 1 dòng ghi cách nhau ít nhất 1 dấu cách Dòng 1: Ghi tổng số lượng mìn trong bãi m dòng tiếp theo, dòng thứ i ghi n số trên hàng i của bản đồ đánh dấu theo đúng thứ tự từ trái qua phải. Ví dụ: MINE.INP MINE.OUT 10 15 80 0 3 2 3 3 3 5 3 4 4 5 4 4 4 3 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 5 5 4 5 4 7 7 7 5 6 6 5 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 4 3 5 4 3 5 4 4 4 4 3 4 5 5 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 4 2 4 4 5 4 2 4 4 3 2 3 5 4 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 3 2 5 4 4 2 2 3 2 3 3 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 2 3 2 3 3 5 3 2 4 4 3 4 2 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 2 3 2 4 3 3 2 3 4 6 6 5 3 3 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 6 4 5 2 4 1 3 3 5 5 5 6 4 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 4 6 5 7 3 5 3 5 5 6 5 4 4 4 3 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 4 4 4 2 3 1 2 2 2 3 3 3 4 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 Lê Minh Hoàng
PHẦN 2. CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT Hạt nhân của các chương trình máy tính là sự lưu trữ và xử lý thông tin. Việc tổ chức dữ liệu như thế nào có ảnh hưởng rất lớn đến cách thức xử lý dữ liệu đó cũng như tốc độ thực thi và sự chiếm dụng bộ nhớ của chương trình. Việc đặc tả bằng các cấu trúc tổng quát (generic structures) và các kiểu dữ liệu trừu tượng (abstract data types) còn cho phép người lập trình có thể dễ dàng hình dung ra các công việc cụ thể và giảm bớt công sức trong việc chỉnh sửa, nâng cấp và sử dụng lại các thiết kế đã có. Mục đích của phần này là cung cấp những hiểu biết nền tảng trong việc thiết kế một chương trình máy tính, để thấy rõ được sự cần thiết của việc phân tích, lựa chọn cấu trúc dữ liệu phù hợp cho từng bài toán cụ thể; đồng thời khảo sát một số cấu trúc dữ liệu và thuật toán kinh điển mà lập trình viên nào cũng cần phải nắm vững.
34 Chuyên đề §1. CÁC BƯỚC CƠ BẢN KHI TIẾN HÀNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIN HỌC 1.1. XÁC ĐỊNH BÀI TOÁN Input → Process → Output (Dữ liệu vào → Xử lý → Kết quả ra) Việc xác định bài toán tức là phải xác định xem ta phải giải quyết vấn đề gì?, với giả thiết nào đã cho và lời giải cần phải đạt những yêu cầu gì. Khác với bài toán thuần tuý toán học chỉ cần xác định rõ giả thiết và kết luận chứ không cần xác định yêu cầu về lời giải, đôi khi những bài toán tin học ứng dụng trong thực tế chỉ cần tìm lời giải tốt tới mức nào đó, thậm chí là tồi ở mức chấp nhận được. Bởi lời giải tốt nhất đòi hỏi quá nhiều thời gian và chi phí. Ví dụ: Khi cài đặt các hàm số phức tạp trên máy tính. Nếu tính bằng cách khai triển chuỗi vô hạn thì độ chính xác cao hơn nhưng thời gian chậm hơn hàng tỉ lần so với phương pháp xấp xỉ. Trên thực tế việc tính toán luôn luôn cho phép chấp nhận một sai số nào đó nên các hàm số trong máy tính đều được tính bằng phương pháp xấp xỉ của giải tích số Xác định đúng yêu cầu bài toán là rất quan trọng bởi nó ảnh hưởng tới cách thức giải quyết và chất lượng của lời giải. Một bài toán thực tế thường cho bởi những thông tin khá mơ hồ và hình thức, ta phải phát biểu lại một cách chính xác và chặt chẽ để hiểu đúng bài toán. Ví dụ: Bài toán: Một dự án có n người tham gia thảo luận, họ muốn chia thành các nhóm và mỗi nhóm thảo luận riêng về một phần của dự án. Nhóm có bao nhiêu người thì được trình lên bấy nhiêu ý kiến. Nếu lấy ở mỗi nhóm một ý kiến đem ghép lại thì được một bộ ý kiến triển khai dự án. Hãy tìm cách chia để số bộ ý kiến cuối cùng thu được là lớn nhất. Phát biểu lại: Cho một số nguyên dương n, tìm các phân tích n thành tổng các số nguyên dương sao cho tích của các số đó là lớn nhất. Trên thực tế, ta nên xét một vài trường hợp cụ thể để thông qua đó hiểu được bài toán rõ hơn và thấy được các thao tác cần phải tiến hành. Đối với những bài toán đơn giản, đôi khi chỉ cần qua ví dụ là ta đã có thể đưa về một bài toán quen thuộc để giải. 1.2. TÌM CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN BÀI TOÁN Khi giải một bài toán, ta cần phải định nghĩa tập hợp dữ liệu để biểu diễn tình trạng cụ thể. Việc lựa chọn này tuỳ thuộc vào vấn đề cần giải quyết và những thao tác sẽ tiến hành trên dữ liệu vào. Có những thuật toán chỉ thích ứng với một cách tổ chức dữ liệu nhất định, đối với những cách tổ chức dữ liệu khác thì sẽ kém hiệu quả hoặc không thể thực hiện được. Chính vì vậy nên bước xây dựng cấu trúc dữ liệu không thể tách rời bước tìm kiếm thuật toán giải quyết vấn đề. ĐHSPHN 1999-2004
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 35 Các tiêu chuẩn khi lựa chọn cấu trúc dữ liệu Cấu trúc dữ liệu trước hết phải biểu diễn được đầy đủ các thông tin nhập và xuất của bài toán Cấu trúc dữ liệu phải phù hợp với các thao tác của thuật toán mà ta lựa chọn để giải quyết bài toán. Cấu trúc dữ liệu phải cài đặt được trên máy tính với ngôn ngữ lập trình đang sử dụng Đối với một số bài toán, trước khi tổ chức dữ liệu ta phải viết một đoạn chương trình nhỏ để khảo sát xem dữ liệu cần lưu trữ lớn tới mức độ nào. 1.3. TÌM THUẬT TOÁN Thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các quy tắc nhằm xác định một dãy thao tác trên cấu trúc dữ liệu sao cho: Với một bộ dữ liệu vào, sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác đã chỉ ra, ta đạt được mục tiêu đã định. Các đặc trưng của thuật toán 1.3.1. Tính đơn nghĩa Ở mỗi bước của thuật toán, các thao tác phải hết sức rõ ràng, không gây nên sự nhập nhằng, lộn xộn, tuỳ tiện, đa nghĩa. Không nên lẫn lộn tính đơn nghĩa và tính đơn định: Người ta phân loại thuật toán ra làm hai loại: Đơn định (Deterministic) và Ngẫu nhiên (Randomized). Với hai bộ dữ liệu giống nhau cho trước làm input, thuật toán đơn định sẽ thi hành các mã lệnh giống nhau và cho kết quả giống nhau, còn thuật toán ngẫu nhiên có thể thực hiện theo những mã lệnh khác nhau và cho kết quả khác nhau. Ví dụ như yêu cầu chọn một số tự nhiên x: a ≤ x ≤ b, nếu ta viết x := a hay x := b hay x := (a + b) div 2, thuật toán sẽ luôn cho một giá trị duy nhất với dữ liệu vào là hai số tự nhiên a và b. Nhưng nếu ta viết x := a + Random(b - a + 1) thì sẽ có thể thu được các kết quả khác nhau trong mỗi lần thực hiện với input là a và b tuỳ theo máy tính và bộ tạo số ngẫu nhiên. 1.3.2. Tính dừng Thuật toán không được rơi vào quá trình vô hạn, phải dừng lại và cho kết quả sau một số hữu hạn bước. 1.3.3. Tính đúng Sau khi thực hiện tất cả các bước của thuật toán theo đúng quá trình đã định, ta phải được kết quả mong muốn với mọi bộ dữ liệu đầu vào. Kết quả đó được kiểm chứng bằng yêu cầu bài toán. 1.3.4. Tính phổ dụng Thuật toán phải dễ sửa đổi để thích ứng được với bất kỳ bài toán nào trong một lớp các bài toán và có thể làm việc trên các dữ liệu khác nhau. Lê Minh Hoàng
36 Chuyên đề 1.3.5. Tính khả thi Kích thước phải đủ nhỏ: Ví dụ: Một thuật toán sẽ có tính hiệu quả bằng 0 nếu lượng bộ nhớ mà nó yêu cầu vượt quá khả năng lưu trữ của hệ thống máy tính. Thuật toán phải chuyển được thành chương trình: Ví dụ một thuật toán yêu cầu phải biểu diễn được số vô tỉ với độ chính xác tuyệt đối là không hiện thực với các hệ thống máy tính hiện nay Thuật toán phải được máy tính thực hiện trong thời gian cho phép, điều này khác với lời giải toán (Chỉ cần chứng minh là kết thúc sau hữu hạn bước). Ví dụ như xếp thời khoá biểu cho một học kỳ thì không thể cho máy tính chạy tới học kỳ sau mới ra được. Ví dụ: Input: 2 số nguyên tự nhiên a và b không đồng thời bằng 0 Output: Ước số chung lớn nhất của a và b Thuật toán sẽ tiến hành được mô tả như sau: (Thuật toán Euclide) Bước 1 (Input): Nhập a và b: Số tự nhiên Bước 2: Nếu b ≠ 0 thì chuyển sang bước 3, nếu không thì bỏ qua bước 3, đi làm bước 4 Bước 3: Đặt r := a mod b; Đặt a := b; Đặt b := r; Quay trở lại bước 2. Bước 4 (Output): Kết luận ước số chung lớn nhất phải tìm là giá trị của a. Kết thúc thuật toán. Begin Input: a, b No b > 0 ? Output a; Yes r := a mod b; a := b; b := r End Hình 4: Lưu đồ thuật giải (Flowchart) Khi mô tả thuật toán bằng ngôn ngữ tự nhiên, ta không cần phải quá chi tiết các bước và tiến trình thực hiện mà chỉ cần mô tả một cách hình thức đủ để chuyển thành ngôn ngữ lập trình. Viết sơ đồ các thuật toán đệ quy là một ví dụ. Đối với những thuật toán phức tạp và nặng về tính toán, các bước và các công thức nên mô tả một cách tường minh và chú thích rõ ràng để khi lập trình ta có thể nhanh chóng tra cứu. Đối với những thuật toán kinh điển thì phải thuộc. Khi giải một bài toán lớn trong một thời gian giới hạn, ta chỉ phải thiết kế tổng thể còn những chỗ đã thuộc thì cứ việc lắp ráp vào. ĐHSPHN 1999-2004
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 37 Tính đúng đắn của những mô-đun đã thuộc ta không cần phải quan tâm nữa mà tập trung giải quyết các phần khác. 1.4. LẬP TRÌNH Sau khi đã có thuật toán, ta phải tiến hành lập trình thể hiện thuật toán đó. Muốn lập trình đạt hiệu quả cao, cần phải có kỹ thuật lập trình tốt. Kỹ thuật lập trình tốt thể hiện ở kỹ năng viết chương trình, khả năng gỡ rối và thao tác nhanh. Lập trình tốt không phải chỉ cần nắm vững ngôn ngữ lập trình là đủ, phải biết cách viết chương trình uyển chuyển, khôn khéo và phát triển dần dần để chuyển các ý tưởng ra thành chương trình hoàn chỉnh. Kinh nghiệm cho thấy một thuật toán hay nhưng do cài đặt vụng về nên khi chạy lại cho kết quả sai hoặc tốc độ chậm. Thông thường, ta không nên cụ thể hoá ngay toàn bộ chương trình mà nên tiến hành theo phương pháp tinh chế từng bước (Stepwise refinement): Ban đầu, chương trình được thể hiện bằng ngôn ngữ tự nhiên, thể hiện thuật toán với các bước tổng thể, mỗi bước nêu lên một công việc phải thực hiện. Một công việc đơn giản hoặc là một đoạn chương trình đã được học thuộc thì ta tiến hành viết mã lệnh ngay bằng ngôn ngữ lập trình. Một công việc phức tạp thì ta lại chia ra thành những công việc nhỏ hơn để lại tiếp tục với những công việc nhỏ hơn đó. Trong quá trình tinh chế từng bước, ta phải đưa ra những biểu diễn dữ liệu. Như vậy cùng với sự tinh chế các công việc, dữ liệu cũng được tinh chế dần, có cấu trúc hơn, thể hiện rõ hơn mối liên hệ giữa các dữ liệu. Phương pháp tinh chế từng bước là một thể hiện của tư duy giải quyết vấn đề từ trên xuống, giúp cho người lập trình có được một định hướng thể hiện trong phong cách viết chương trình. Tránh việc mò mẫm, xoá đi viết lại nhiều lần, biến chương trình thành tờ giấy nháp. 1.5. KIỂM THỬ 1.5.1. Chạy thử và tìm lỗi Chương trình là do con người viết ra, mà đã là con người thì ai cũng có thể nhầm lẫn. Một chương trình viết xong chưa chắc đã chạy được ngay trên máy tính để cho ra kết quả mong muốn. Kỹ năng tìm lỗi, sửa lỗi, điều chỉnh lại chương trình cũng là một kỹ năng quan trọng của người lập trình. Kỹ năng này chỉ có được bằng kinh nghiệm tìm và sửa chữa lỗi của chính mình. Có ba loại lỗi: Lỗi cú pháp: Lỗi này hay gặp nhất nhưng lại dễ sửa nhất, chỉ cần nắm vững ngôn ngữ lập trình là đủ. Một người được coi là không biết lập trình nếu không biết sửa lỗi cú pháp. Lỗi cài đặt: Việc cài đặt thể hiện không đúng thuật toán đã định, đối với lỗi này thì phải xem lại tổng thể chương trình, kết hợp với các chức năng gỡ rối để sửa lại cho đúng. Lê Minh Hoàng
38 Chuyên đề Lỗi thuật toán: Lỗi này ít gặp nhất nhưng nguy hiểm nhất, nếu nhẹ thì phải điều chỉnh lại thuật toán, nếu nặng thì có khi phải loại bỏ hoàn toàn thuật toán sai và làm lại từ đầu. 1.5.2. Xây dựng các bộ test Có nhiều chương trình rất khó kiểm tra tính đúng đắn. Nhất là khi ta không biết kết quả đúng là thế nào?. Vì vậy nếu như chương trình vẫn chạy ra kết quả (không biết đúng sai thế nào) thì việc tìm lỗi rất khó khăn. Khi đó ta nên làm các bộ test để thử chương trình của mình. Các bộ test nên đặt trong các file văn bản, bởi việc tạo một file văn bản rất nhanh và mỗi lần chạy thử chỉ cần thay tên file dữ liệu vào là xong, không cần gõ lại bộ test từ bàn phím. Kinh nghiệm làm các bộ test là: Bắt đầu với một bộ test nhỏ, đơn giản, làm bằng tay cũng có được đáp số để so sánh với kết quả chương trình chạy ra. Tiếp theo vẫn là các bộ test nhỏ, nhưng chứa các giá trị đặc biệt hoặc tầm thường. Kinh nghiệm cho thấy đây là những test dễ sai nhất. Các bộ test phải đa dạng, tránh sự lặp đi lặp lại các bộ test tương tự. Có một vài test lớn chỉ để kiểm tra tính chịu đựng của chương trình mà thôi. Kết quả có đúng hay không thì trong đa số trường hợp, ta không thể kiểm chứng được với test này. Lưu ý rằng chương trình chạy qua được hết các test không có nghĩa là chương trình đó đã đúng. Bởi có thể ta chưa xây dựng được bộ test làm cho chương trình chạy sai. Vì vậy nếu có thể, ta nên tìm cách chứng minh tính đúng đắn của thuật toán và chương trình, điều này thường rất khó. 1.6. TỐI ƯU CHƯƠNG TRÌNH Một chương trình đã chạy đúng không có nghĩa là việc lập trình đã xong, ta phải sửa đổi lại một vài chi tiết để chương trình có thể chạy nhanh hơn, hiệu quả hơn. Thông thường, trước khi kiểm thử thì ta nên đặt mục tiêu viết chương trình sao cho đơn giản, miễn sao chạy ra kết quả đúng là được, sau đó khi tối ưu chương trình, ta xem lại những chỗ nào viết chưa tốt thì tối ưu lại mã lệnh để chương trình ngắn hơn, chạy nhanh hơn. Không nên viết tới đâu tối ưu mã đến đó, bởi chương trình có mã lệnh tối ưu thường phức tạp và khó kiểm soát. Việc tối ưu chương trình nên dựa trên các tiêu chuẩn sau: 1.6.1. Tính tin cậy Chương trình phải chạy đúng như dự định, mô tả đúng một giải thuật đúng. Thông thường khi viết chương trình, ta luôn có thói quen kiểm tra tính đúng đắn của các bước mỗi khi có thể. 1.6.2. Tính uyển chuyển Chương trình phải dễ sửa đổi. Bởi ít có chương trình nào viết ra đã hoàn hảo ngay được mà vẫn cần phải sửa đổi lại. Chương trình viết dễ sửa đổi sẽ làm giảm bớt công sức của lập trình viên khi phát triển chương trình. ĐHSPHN 1999-2004
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 39 1.6.3. Tính trong sáng Chương trình viết ra phải dễ đọc dễ hiểu, để sau một thời gian dài, khi đọc lại còn hiểu mình làm cái gì?. Để nếu có điều kiện thì còn có thể sửa sai (nếu phát hiện lỗi mới), cải tiến hay biến đổi để được chương trình giải quyết bài toán khác. Tính trong sáng của chương trình phụ thuộc rất nhiều vào công cụ lập trình và phong cách lập trình. 1.6.4. Tính hữu hiệu Chương trình phải chạy nhanh và ít tốn bộ nhớ, tức là tiết kiệm được cả về không gian và thời gian. Để có một chương trình hữu hiệu, cần phải có giải thuật tốt và những tiểu xảo khi lập trình. Tuy nhiên, việc áp dụng quá nhiều tiểu xảo có thể khiến chương trình trở nên rối rắm, khó hiểu khi sửa đổi. Tiêu chuẩn hữu hiệu nên dừng lại ở mức chấp nhận được, không quan trọng bằng ba tiêu chuẩn trên. Bởi phần cứng phát triển rất nhanh, yêu cầu hữu hiệu không cần phải đặt ra quá nặng. Từ những phân tích ở trên, chúng ta nhận thấy rằng việc làm ra một chương trình đòi hỏi rất nhiều công đoạn và tiêu tốn khá nhiều công sức. Chỉ một công đoạn không hợp lý sẽ làm tăng chi phí viết chương trình. Nghĩ ra cách giải quyết vấn đề đã khó, biến ý tưởng đó thành hiện thực cũng không dễ chút nào. Những cấu trúc dữ liệu và giải thuật đề cập tới trong chuyên đề này là những kiến thức rất phổ thông, một người học lập trình không sớm thì muộn cũng phải biết tới. Chỉ hy vọng rằng khi học xong chuyên đề này, qua những cấu trúc dữ liệu và giải thuật hết sức mẫu mực, chúng ta rút ra được bài học kinh nghiệm: Đừng bao giờ viết chương trình khi mà chưa suy xét kỹ về giải thuật và những dữ liệu cần thao tác, bởi như vậy ta dễ mắc phải hai sai lầm trầm trọng: hoặc là sai về giải thuật, hoặc là giải thuật không thể triển khai nổi trên một cấu trúc dữ liệu không phù hợp. Chỉ cần mắc một trong hai lỗi đó thôi thì nguy cơ sụp đổ toàn bộ chương trình là hoàn toàn có thể, càng cố chữa càng bị rối, khả năng hầu như chắc chắn là phải làm lại từ đầu(*). (*) Tất nhiên, cẩn thận đến đâu thì cũng có xác suất rủi ro nhất định, ta hiểu được mức độ tai hại của hai lỗi này để hạn chế nó càng nhiều càng tốt Lê Minh Hoàng
40 Chuyên đề §2. PHÂN TÍCH THỜI GIAN THỰC HIỆN GIẢI THUẬT 2.1. GIỚI THIỆU Với một bài toán không chỉ có một giải thuật. Chọn một giải thuật đưa tới kết quả nhanh nhất là một đòi hỏi thực tế. Như vậy cần có một căn cứ nào đó để nói rằng giải thuật này nhanh hơn giải thuật kia ?. Thời gian thực hiện một giải thuật bằng chương trình máy tính phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố. Một yếu tố cần chú ý nhất đó là kích thước của dữ liệu đưa vào. Dữ liệu càng lớn thì thời gian xử lý càng chậm, chẳng hạn như thời gian sắp xếp một dãy số phải chịu ảnh hưởng của số lượng các số thuộc dãy số đó. Nếu gọi n là kích thước dữ liệu đưa vào thì thời gian thực hiện của một giải thuật có thể biểu diễn một cách tương đối như một hàm của n: T(n). Phần cứng máy tính, ngôn ngữ viết chương trình và chương trình dịch ngôn ngữ ấy đều ảnh hưởng tới thời gian thực hiện. Những yếu tố này không giống nhau trên các loại máy, vì vậy không thể dựa vào chúng khi xác định T(n). Tức là T(n) không thể biểu diễn bằng đơn vị thời gian giờ, phút, giây được. Tuy nhiên, không phải vì thế mà không thể so sánh được các giải 2 thuật về mặt tốc độ. Nếu như thời gian thực hiện một giải thuật là T1(n) = n và thời gian thực hiện của một giải thuật khác là T2(n) = 100n thì khi n đủ lớn, thời gian thực hiện của giải thuật T2 rõ ràng nhanh hơn giải thuật T1. Khi đó, nếu nói rằng thời gian thực hiện giải thuật tỉ lệ thuận với n hay tỉ lệ thuận với n2 cũng cho ta một cách đánh giá tương đối về tốc độ thực hiện của giải thuật đó khi n khá lớn. Cách đánh giá thời gian thực hiện giải thuật độc lập với máy tính và các yếu tố liên quan tới máy tính như vậy sẽ dẫn tới khái niệm gọi là độ phức tạp tính toán của giải thuật. 2.2. CÁC KÝ PHÁP ĐỂ ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN Cho một giải thuật thực hiện trên dữ liệu với kích thước n. Giả sử T(n) là thời gian thực hiện một giải thuật đó, g(n) là một hàm xác định dương với mọi n. Khi đó ta nói độ phức tạp tính toán của giải thuật là: Θ(g(n)) nếu tồn tại các hằng số dương c1, c2 và n0 sao cho c1.g(n) ≤ f(n) ≤ c2.g(n) với mọi n ≥ n0. Ký pháp này được gọi là ký pháp Θ lớn (big-theta notation). Trong ký pháp Θ lớn, hàm g(.) được gọi là giới hạn chặt (asymptotically tight bound) của hàm T(.) O(g(n)) nếu tồn tại các hằng số dương c và n0 sao cho T(n) ≤ c.g(n) với mọi n ≥ n0. Ký pháp này được gọi là ký pháp chữ O lớn (big-oh notation). Trong ký pháp chữ O lớn, hàm g(.) được gọi là giới hạn trên (asymptotic upper bound) của hàm T(.) Ω(g(n)) nếu tồn tại các hằng số dương c và n0 sao cho c.g(n) ≤ T(n) với mọi n ≥ n0. Ký hiệu này gọi là ký pháp Ω lớn (big-omega notation). Trong ký pháp Ω lớn, hàm g(.) được gọi là giới hạn dưới (asymptotic lower bound) của hàm T(.) ĐHSPHN 1999-2004
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 41 Hình 5 là biểu diễn đồ thị của ký pháp Θ lớn, Ο lớn và Ω lớn. Dễ thấy rằng T(n) = Θ(g(n)) nếu và chỉ nếu T(n) = O(g(n)) và T(n) = Ω(g(n)). c .g(n) 2 c.g(n) T(n) T(n) T(n) c.g(n) c1.g(n) n n n n n n0 0 0 T(n)= Θ(g(n)) T(n)= Ο(g(n)) T(n)= Ω(g(n)) Hình 5: Ký pháp Θ lớn, Ο lớn và Ω lớn Ta nói độ phức tạp tính toán của giải thuật là o(g(n)) nếu với mọi hằng số dương c, tồn tại một hằng số dương n0 sao cho T(n) ≤ c.g(n) với mọi n ≥ n0. Ký pháp này gọi là ký pháp chữ o nhỏ (little-oh notation). ω(g(n)) nếu với mọi hằng số dương c, tồn tại một hằng số dương n0 sao cho c.g(n) ≤ T(n) với mọi n ≥ n0. Ký pháp này gọi là ký pháp ω nhỏ (little-omega notation) Ví dụ nếu T(n) = n2 + 1, thì: 2 T(n) = O(n ). Thật vậy, chọn c = 2 và n0 = 1. Rõ ràng với mọi n ≥ 1, ta có: T(n)=n22 +1≤ 2n =2.g(n) T(n) ≠ o(n2). Thật vậy, chọn c = 1. Rõ ràng không tồn tại n để: n1n22+ ≤ , tức là không tồn tại n0 thoả mãn định nghĩa của ký pháp chữ o nhỏ. Lưu ý rằng không có ký pháp θ nhỏ Một vài tính chất: Tính bắc cầu (transitivity): Tất cả các ký pháp nêu trên đều có tính bắc cầu: Nếu f(n) = Θ(g(n)) và g(n) = Θ(h(n)) thì f(n) = Θ(h(n)). Nếu f(n) = O(g(n)) và g(n) = O(h(n)) thì f(n) = O(h(n)). Nếu f(n) = Ω(g(n)) và g(n) = Ω(h(n)) thì f(n) = Ω(h(n)). Nếu f(n) = o(g(n)) và g(n) = o(h(n)) thì f(n) = o(h(n)). Nếu f(n) = ω(g(n)) và g(n) = ω(h(n)) thì f(n) = ω(h(n)). Tính phản xạ (reflexivity): Chí có các ký pháp "lớn" mới có tính phản xạ: f(n) = Θ(f(n)). f(n) = O(f(n)). f(n) = Ω(f(n)). Tính đối xứng (symmetry): Chỉ có ký pháp Θ lớn có tính đối xứng: Lê Minh Hoàng
42 Chuyên đề f(n) = Θ(g(n)) nếu và chỉ nếu g(n) = Θ(f(n)). Tính hoá vị đối xứng (transpose symmetry): f(n) = O(g(n)) nếu và chỉ nếu g(n) = Ω(f(n)). f(n) = o(g(n)) nếu và chỉ nếu g(n) = ω(f(n)). Để dễ nhớ ta coi các ký pháp Ο, Ω, Θ, ο, ω lần lượt tương ứng với các phép so sánh ≤, ≥, =, . Từ đó suy ra các tính chất trên. 2.3. XÁC ĐỊNH ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA GIẢI THUẬT Việc xác định độ phức tạp tính toán của một giải thuật bất kỳ có thể rất phức tạp. Tuy nhiên độ phức tạp tính toán của một số giải thuật trong thực tế có thể tính bằng một số qui tắc đơn giản. 2.3.1. Qui tắc bỏ hằng số Nếu đoạn chương trình P có thời gian thực hiện T(n) = O(c1.f(n)) với c1 là một hằng số dương thì có thể coi đoạn chương trình đó có độ phức tạp tính toán là O(f(n)). Chứng minh: T(n) = O(c1.f(n)) nên ∃c0 > 0 và ∃n0 > 0 để T(n) ≤ c0.c1.f(n) với ∀n ≥ n0. Đặt C = c0.c1 và dùng định nghĩa, ta có T(n) = O(f(n)). Qui tắc này cũng đúng với các ký pháp Ω, Θ, ο và ω. 2.3.2. Quy tắc lấy max Nếu đoạn chương trình P có thời gian thực hiện T(n) = O(f(n) + g(n)) thì có thể coi đoạn chương trình đó có độ phức tạp tính toán O(max(f(n), g(n))). Chứng minh T(n) = O(f(n) + g(n)) nên ∃C > 0 và ∃n0 > 0 để T(n) ≤ C.f(n) + C.g(n), ∀n ≥ n0. Vậy T(n) ≤ C.f(n) + C.g(n) ≤ 2C.max(f(n), g(n)) (∀n ≥ n0). Từ định nghĩa suy ra T(n) = O(max(f(n), g(n))). Quy tắc này cũng đúng với các ký pháp Ω, Θ, ο và ω. 2.3.3. Quy tắc cộng Nếu đoạn chương trình P1 có thời gian thực hiện T1(n) =O(f(n)) và đoạn chương trình P2 có thời gian thực hiện là T2(n) = O(g(n)) thì thời gian thực hiện P1 rồi đến P2 tiếp theo sẽ là T1(n) + T2(n) = O(f(n) + g(n)) Chứng minh: T1(n) = O(f(n)) nên ∃ n1 > 0 và c1 > 0 để T1(n) ≤ c1.f(n) với ∀ n ≥ n1. T2(n) = O(g(n)) nên ∃ n2 > 0 và c2 > 0 để T2(n) ≤ c2.g(n) với ∀ n ≥ n2. Chọn n0 = max(n1, n2) và c = max(c1, c2) ta có: Với ∀ n ≥ n0: ĐHSPHN 1999-2004
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 43 T1(n) + T2(n) ≤ c1.f(n) + c2.g(n) ≤ c.f(n) + c.g(n) ≤ c.(f(n) + g(n)) Vậy T1(n) + T2(n) = O(f(n) + g(n)). Quy tắc cộng cũng đúng với các ký pháp Ω, Θ, ο và ω. 2.3.4. Quy tắc nhân Nếu đoạn chương trình P có thời gian thực hiện là T(n) = O(f(n)). Khi đó, nếu thực hiện k(n) lần đoạn chương trình P với k(n) = O(g(n)) thì độ phức tạp tính toán sẽ là O(g(n).f(n)) Chứng minh: Thời gian thực hiện k(n) lần đoạn chương trình P sẽ là k(n)T(n). Theo định nghĩa: ∃ ck ≥ 0 và nk > 0 để k(n) ≤ ck(g(n)) với ∀ n ≥ nk ∃ cT ≥ 0 và nT > 0 để T(n) ≤ cT(f(n)) với ∀ n ≥ nT Vậy với ∀ n ≥ max(nT, nk) ta có k(n).T(n) ≤ cT.ck(g(n).f(n)) Quy tắc nhân cũng đúng với các ký pháp Ω, Θ, ο và ω. 2.3.5. Định lý Master (Master Theorem) Cho a ≥ 1 và b >1 là hai hằng số, f(n) là một hàm. T(n) là một hàm xác định trên tập các số tự nhiên được định nghĩa như sau: T(n) = aT(n/b) + f(n) Ở đây n/b có thể hiểu là ⎣n/b⎦ hay ⎡n/b⎤. Khi đó: Nếu f(n)= O() nlogb a−ε với hằng số ε>0, thì T(n)=Θ( nlogb a ) Nếu f(n)=Θ() nlogb a thì T(n)=Θ( nlogb a lgn) Nếu f(n)=Ω() nlogb a+ε với hằng số ε>0 và a.f (n / b)≤ c.f (n) với hằng số c < 1 và n đủ lớn thì T(n)=Θ() f(n) Định lý Master là một định lý quan trọng trong việc phân tích độ phức tạp tính toán của các giải thuật lặp hay đệ quy. Tuy nhiên việc chứng minh định lý khá dài dòng, ta có thể tham khảo trong các tài liệu khác. 2.3.6. Một số tính chất Ta quan tâm chủ yếu tới các ký pháp "lớn". Rõ ràng ký pháp Θ là "chặt" hơn ký pháp O và Ω theo nghĩa: Nếu độ phức tạp tính toán của giải thuật có thể viết là Θ(f(n)) thì cũng có thể viết là O(f(n)) cũng như Ω(f(n)). Dưới đây là một số cách biểu diễn độ phức tạp tính toán qua ký pháp Θ. Nếu một thuật toán có thời gian thực hiện là P(n), trong đó P(n) là một đa thức bậc k thì độ phức tạp tính toán của thuật toán đó có thể viết là Θ(nk). Lê Minh Hoàng
44 Chuyên đề Nếu một thuật toán có thời gian thực hiện là logaf(n). Với b là một số dương, ta nhận thấy logaf(n) = logab.logbf(n). Tức là: Θ(logaf(n)) = Θ(logbf(n)). Vậy ta có thể nói rằng độ phức tạp tính toán của thuật toán đó là Θ(log f(n)) mà không cần ghi cơ số của logarit. Nếu một thuật toán có độ phức tạp là hằng số, tức là thời gian thực hiện không phụ thuộc vào kích thước dữ liệu vào thì ta ký hiệu độ phức tạp tính toán của thuật toán đó là Θ(1). Dưới đây là một số hàm số hay dùng để ký hiệu độ phức tạp tính toán và bảng giá trị của chúng để tiện theo dõi sự tăng của hàm theo đối số n. lgn n nlgn n2 n3 2n 0 1 0 1 1 2 1 2 2 4 8 4 2 4 8 16 64 16 3 8 24 64 512 256 4 16 64 256 4096 65536 5 32 160 1024 32768 2147483648 Ví dụ: Thuật toán tính tổng các số từ 1 tới n: Nếu viết theo sơ đồ như sau: Input n; S := 0; for i := 1 to n do S := S + i; Output S; Các đoạn chương trình ở các dòng 1, 2 và 4 có độ phức tạp tính toán là Θ(1). Vòng lặp ở dòng 3 lặp n lần phép gán S := S + i, nên thời gian tính toán tỉ lệ thuận với n. Tức là độ phức tạp tính toán là Θ(n). Dùng quy tắc cộng và quy tắc lấy max, ta suy ra độ phức tạp tính toán của giải thuật trên là Θ(n). Còn nếu viết theo sơ đồ như sau: Input n; S := n * (n - 1) div 2; Output S; Thì độ phức tạp tính toán của thuật toán trên là Θ(1), thời gian tính toán không phụ thuộc vào n. 2.3.7. Phép toán tích cực Dựa vào những nhận xét đã nêu ở trên về các quy tắc khi đánh giá thời gian thực hiện giải thuật, ta chú ý đặc biệt đến một phép toán mà ta gọi là phép toán tích cực trong một đoạn chương trình. Đó là một phép toán trong một đoạn chương trình mà số lần thực hiện không ít hơn các phép toán khác. Xét hai đoạn chương trình tính ex bằng công thức gần đúng: ĐHSPHN 1999-2004
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 45 xx2ni xn x ex ≈+ 1 + + + =∑ với x và n cho trước. 1! 2! n!i0= i! {Chương trình 1: Tính riêng từng hạng tử rồi cộng lại} {Tính hạng tử sau qua hạng tử trước} program Exp1; program Exp2; var var i, j, n: Integer; i, n: Integer; x, p, S: Real; x, p, S: Real; begin begin Write('x, n = '); ReadLn(x, n); Write('x, n = '); ReadLn(x, n); S := 0; S := 1; p := 1; for i := 0 to n do for i := 1 to n do begin begin p := 1; p := p * x / i; for j := 1 to i do p := p * x / j; S := S + p; S := S + p; end; end; WriteLn('exp(', x:1:4, ') = ', S:1:4); WriteLn('exp(', x:1:4, ') = ', S:1:4); end. end. Ta có thể coi phép toán tích cực ở đây là: Ta có thể coi phép toán tích cực ở đây là: p := p * x / j; p := p * x / i; Số lần thực hiện phép toán này là: Số lần thực hiện phép toán này là n. 0 + 1 + 2 + + n = n(n - 1)/2 lần. Vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán là Θ(n). Vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán là Θ(n2) 2.4. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN VỚI TÌNH TRẠNG DỮ LIỆU VÀO Có nhiều trường hợp, thời gian thực hiện giải thuật không phải chỉ phụ thuộc vào kích thước dữ liệu mà còn phụ thuộc vào tình trạng của dữ liệu đó nữa. Chẳng hạn thời gian sắp xếp một dãy số theo thứ tự tăng dần mà dãy đưa vào chưa có thứ tự sẽ khác với thời gian sắp xếp một dãy số đã sắp xếp rồi hoặc đã sắp xếp theo thứ tự ngược lại. Lúc này, khi phân tích thời gian thực hiện giải thuật ta sẽ phải xét tới trường hợp tốt nhất, trường hợp trung bình và trường hợp xấu nhất. Phân tích thời gian thực hiện giải thuật trong trường hợp xấu nhất (worst-case analysis): Với một kích thước dữ liệu n, tìm T(n) là thời gian lớn nhất khi thực hiện giải thuật trên mọi bộ dữ liệu kích thước n và phân tích thời gian thực hiện giải thuật dựa trên hàm T(n). Phân tích thời gian thực hiện giải thuật trong trường hợp tốt nhất (best-case analysis): Với một kích thước dữ liệu n, tìm T(n) là thời gian ít nhất khi thực hiện giải thuật trên mọi bộ dữ liệu kích thước n và phân tích thời gian thực hiện giải thuật dựa trên hàm T(n). Phân tích thời gian trung bình thực hiện giải thuật (average-case analysis): Giả sử rằng dữ liệu vào tuân theo một phân phối xác suất nào đó (chẳng hạn phân bố đều nghĩa là khả năng chọn mỗi bộ dữ liệu vào là như nhau) và tính toán giá trị kỳ vọng (trung bình) của thời gian chạy cho mỗi kích thước dữ liệu n (T(n)), sau đó phân tích thời gian thực hiện giải thuật dựa trên hàm T(n). Khi khó khăn trong việc xác định độ phức tạp tính toán trung bình (bởi việc xác định T(n) trung bình thường phải dùng tới những công cụ toán phức tạp), người ta thường chỉ đánh giá độ phức tạp tính toán trong trường hợp xấu nhất. Lê Minh Hoàng
46 Chuyên đề Không nên lẫn lộn các cách phân tích trong trường hợp xấu nhất, trung bình, và tốt nhất với các ký pháp biểu diễn độ phức tạp tính toán, đây là hai khái niệm hoàn toàn phân biệt. Trên phương diện lý thuyết, đánh giá bằng ký pháp Θ(.) là tốt nhất, tuy vậy việc đánh giá bằng ký pháp Θ(.) đòi hỏi phải đánh giá bằng cả ký pháp O(.) lẫn Ω(.). Dẫn tới việc phân tích khá phức tạp, gần như phải biểu diễn chính xác thời gian thực hiện giải thuật qua các hàm giải tích. Vì vậy trong những thuật toán về sau, phần lớn tôi sẽ dùng ký pháp T(n) = O(f(n)) với f(n) là hàm tăng chậm nhất có thể (nằm trong tầm hiểu biết của mình). 2.5. CHI PHÍ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN Khái niệm độ phức tạp tính toán đặt ra không chỉ dùng để đánh giá chi phí thực hiện một giải thuật về mặt thời gian mà là để đánh giá chi phí thực hiện giải thuật nói chung, bao gồm cả chi phí về không gian (lượng bố nhớ cần sử dụng). Tuy nhiên ở trên ta chỉ đưa định nghĩa về độ phức tạp tính toán dựa trên chi phí về thời gian cho dễ trình bày. Việc đánh giá độ phức tạp tính toán theo các tiêu chí khác cũng tương tự nếu ta biểu diễn được mức chi phí theo một hàm T(.) của kích thước dữ liệu vào. Nếu phát biểu rằng độ phức tạp tính toán của một giải thuật là Θ(n2) về thời gian và Θ(n) về bộ nhớ cũng không có gì sai về mặt ngữ nghĩa cả. Thông thường, Nếu ta đánh giá được độ phức tạp tính toán của một giải thuật qua ký pháp Θ, có thể coi phép đánh giá này là đủ chặt và không cần đánh giá qua những ký pháp khác nữa. Nếu không: Để nhấn mạnh đến tính "tốt" của một giải thuật, các ký pháp O, o thường được sử dụng. Nếu đánh giá được qua O thì không cần đánh giá qua o. Ý nói: Chi phí thực hiện thuật toán tối đa là , ít hơn Để đề cập đến tính "tồi" của một giải thuật, các ký pháp Ω, ω thường được sử dụng. Nếu đánh giá được qua Ω thì không cần đánh giá qua ω. Ý nói: Chi phí thực hiện thuật toán tối thiểu là , cao hơn Bài tập Bài 1 Có 16 giải thuật với chi phí lần lượt là g1(.), g2(.), , g16(.) được liệt kê dưới đây n 100 2100 , (2)lg n , n,2 n!, 3n , ∑ k , lg* n , lg(n!) , 1, lg* (lg n) , ln n , n,lg(lg n) (lg n)lg n , 2,n k1= n 1 nlgn, ∑ k1= k Ở đây n là kích thước dữ liệu vào. (Ta dùng ký hiệu lgx chỉ logarithm nhị phân (cơ số 2) của x chứ không phải là logarithm thập phân theo hệ thống ký hiệu của Nga. Hàm lg*x cho giá trị bằng số lần lấy logarithm nhị phân để thu được giá trị ≤ 1 từ số x. Ví dụ: lg*2 = 1, lg*4 = 2, lg*16 = 3, lg*65536 = 4 ) ĐHSPHN 1999-2004
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 47 Hãy xếp lại các giải thuật theo chiều tăng của độ phức tạp tính toán. Có nghĩa là tìm một thứ tự gi[1], gi[2] , gi[16] sao cho gi[1] = O(gi[2]), gi[2] = O(gi[3]), , gi[15] = O(gi[16]). Chỉ rõ các giải thuật nào là "tương đương" về độ phức tạp tính toán theo nghĩa gi[j]=Θ(gi[j+1]). Đáp án: 100 1, 2100 lg* n , lg* (lg n) n 1 ln n , ∑ k1= k (2)lg n nlgn, lg(n!) n n,2 ∑ k k1= (lg n)lg n , nlg(lg n) 2n 3n n! Bài 2 Xác định độ phức tạp tính toán của những giải thuật sau bằng ký pháp Θ: a) Đoạn chương trình tính tổng hai đa thức: m m-1 n n-1 P(x) = amx + am-1x + + a1x + a0 và Q(x) = bnx + an-1x + + b1x + b0 Để được đa thức p p-1 R(x) = cpx + cp-1x + + c1x + c0 if m 0) and (c[p] = 0) do p := p - 1; b) Đoạn chương trình tính tích hai đa thức: m m-1 n n-1 P(x) = amx + am-1x + + a1x + a0 và Q(x) = bnx + an-1x + + b1x + b0 Để được đa thức p p-1 R(x) = cpx + cp-1x + + c1x + c0 p := m + n; for i := 0 to p do c[i] := 0; for i := 0 to m do for j := 0 to n do Lê Minh Hoàng