›
›

Bài giảng Luận lý toán học - Chương 1: Tổng quan (Phần 3)

ppt 67 trang hapham 580
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Luận lý toán học - Chương 1: Tổng quan (Phần 3)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_luan_ly_toan_hoc_chuong_1_tong_quan_phan_3.ppt

Nội dung text: Bài giảng Luận lý toán học - Chương 1: Tổng quan (Phần 3)

  1. III. Ngữ nghĩa của luận lý mệnh đề Chương 2 ntsơn
  2. Gán thực trị[*] • Môi trường (Environments) Gán thực trị là gán giá trị T (đúng) hoặc F (sai) cho mỗi biến mệnh đề. Những nhà khoa học máy tính gọi việc gán giá trị cho các biến là một môi trường. [*] Sept. 10, 2007 Copyright © Albert R. Meyer, 2007. All rights reserved. lec 2M.17 @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  3. Gán thực trị Thí dụ : công thức P → (Q  R) Môi trường  gán các biến P, Q, R : (P) = T, (Q)= T, (R) = F. Môi trường  gán các biến P, Q, R : (P) = F, (Q)= T, (R) = F. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  4. Diễn dịch • Diễn dịch trong LLMĐ có hữu hạn trường hợp đánh giá. A sai, B đúng A sai, B sai (A  B) → A A sai, B sai A đúng, B đúng A đúng, B sai • Số trường hợp tương ứng với với số dòng của bảng thực trị. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  5. Diễn dịch • Có thể đặc trưng diễn dịch của LLMĐ bằng 1 hàm đánh giá  trên các CTN có trong công thức. Thí dụ : Qui ước CT đúng có giá trị 1 và sai là 0. Công thức (P  Q) → R có diễn dịch I được đặc trưng bằng hàm đánh giá  như sau : (P) = 1, (Q) = 0, (R) = 1. • Để tiện cho việc trình bày, còn sử dụng ký hiệu F thay cho (F). @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  6. Dien dich trên một lớp công thức Chương 2 ntsơn
  7. Thực trị của một công thức • Nếu A = 1, B = 0 và C = 0 thì ((A→B)  (C A)) là đúng hay sai ?. Nếu A = 0, B = 1 và C = 0 thì ((A  B) → C) là đúng hay sai ?. Nếu A = 0, B = 1, C = 0 và D = 1 thì (((A  C)  B) → D) là đúng hay sai.  Cần phải xác định qui tắc đánh giá của các toán tử : , , , →. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  8. Bảng thực trị • P, Q là các công thức nguyên. P Q P PQ PQ P→Q 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 • Tất cả diễn dịch của một công thức trong LLMĐ tướng ứng với các dòng của bảng thực trị. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  9. Bảng thực trị • P → Q, tại sao đ → đ là đ, đ → s là s, s → đ là đ, s → s là đ ???. Thí dụ : P = Trời mưa, Q = Phong mang dù. Tình trạng 1 : Trời mưa và Phong mang dù. Tình trạng 2 : Trời mưa và Phong không mang dù. Tình trạng 3 : Trời không mưa và Phong mang dù. Tình trạng 4 : Trời khôngmưa và Phong khôngmang dù. Nguyên tắc không vi phạm. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  10. Bảng thực trị • Một cách định nghĩa khác, bảng thực trị là một hàm trên tập 2 phần tử đúng, sai ({đ, s}). • Các toán tử luận lý là các hàm :  : {đ, s} → {đ, s}  : {đ, s} {đ, s} → {đ, s}  : {đ, s} {đ, s} → {đ, s} → : {đ, s} {đ, s} → {đ, s} @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  11. Thực trị của một công thức Thí dụ : Tính thực trị của công thức (X → (YZ))  X X Y Z YZ X→(YZ) CT 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  12. Thủ tục số học • Chuyển công thức vào để tính thực trị. (P  Q) = P + Q + PQ trong Z2, (P  Q) = PQ trong Z2, P = 1 + P trong Z2, (P → Q) = 1 + P + PQ trong Z2. • Hệ quả : P + P = 0. P.P = P. P.P = 0. Chú ý ôn phần này -> có thi @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  13. Thực trị của một công thức Thí dụ : tính thực trị của công thức (X → (Y  Z))  X ((X → (Y  Z))  X) = (X → (Y  Z))(X) = (1 + X + X(Y  Z))(X) = (1 + X + X.((Y) + Z + (Y)Z))(X) = (1 + X + X(Y) + XZ + X(Y)Z)(X) = (X) + (X)X + (X)X(Y) + (X)XZ + (X)X(Y)Z = (X) + 0 + 0.(Y) + 0.Z + 0.(Y)Z = (X) = 1 + X. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  14. Phương pháp số học loại bỏ những công thức nguyên không ảnh hưởng dến việc tính thực trị @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  15. Cây phân tích • Đánh giá công thức nhờ cây phân tích. Thí dụ : Đánh giá công thức (X → (Y  Z))  X, với X, Y, Z lần lượt có giá trịs đ, s, đ.  s đ →  đ đ X  X đ đ  Z đ s Y @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  16. Phân loại công thức • I là diễn dịch của công thức X. X hằng đúng  (I) X = 1, trong I. X hằng sai  (I) X = 0, trong I. X khả đúng  (I) X = 1, trong I. X khả sai  (I) X = 0, trong I. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  17. Phân loại công thức Nhận xét : – Phủ định của một công thức hằng đúng là công thức hằng sai. – Công thức hằng đúng được gọi là tautology. – (X hằng đúng)  ((I) X = 1, trong I) ?. – (X hằng sai)  ((I) X = 0, trong I) ?. – (X khả đúng)  ((I) X = 1, trong I) ?. – (X khả sai)  ((I) X = 0, trong I) ?. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  18. Công thức tương đương – Công thức X và Y tương đương nếu đồng bộ trong việc đánh giá thực trị đối với mọi diễn dịch. Lấy diễn dịch I của X và Y. Nếu X đúng trong I thì Y cũng đúng trong I và ngược lại. Nếu X sai trong I thì Y cũng sai trong I và ngược lại. Ký hiệu X = Y. • Hai CT tương đương có cùng số CTN hay không ? @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  19. Mô hình • Mô hình I của công thức F là diễn dịch I của F và F = 1 trong I. Chú ý : Diễn dịch = interpretation, valuation (tiếng Anh). Mô hình = model (tiếng Anh). Một số tài liệu dùng từ model cho khái niệm diễn dịch. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  20. Các công thức tương đương 1. (F) = F 2. F  G = (F → G)  (G → F) 3. F → G = F  G 4. F → G = G → F 5. (F  G) = (F)  (G) (DeMorgan) 6. (F  G) = (F)  (G) (DeMorgan) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  21. Hằng đúng • Tất cả các công thức sau là hằng đúng ngoại trừ công thức 1 là hằng sai. 1. (F  F) hằng sai 2. (F  F) 3. F → (F  G) 4. (F  G) → F 5. ((F→ G)  F) → G 6. ((F→ G)  G) → F @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  22. Hằng đúng 7. ((F→G)  (G→H)) → (F→H) (tính truyền) 8. ((F→G)  (F→G)) → F (phản chứng) 9. (F→G) → ((F  H)→(G  H)) 10. (F→G) → ((F  H) → (G  H)) 11. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  23. Hằng đúng • Chứng minh ((F→ G)  F) → G hằng đúng Lấy diễn dịch I, nếu F đúng trong I, nếu G đúng trong I, CT đúng trong I, nếu G sai trong I , CT đúng trong I, nếu F sai trong I, nếu G đúng trong I , CT đúng trong I, nếu G sai trong I , CT đúng trong I, Vậy CT hằng đúng. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  24. Lưỡng nguyên • Lưỡng nguyên (literal) là CTN hoặc phủ định CTN. Thí dụ : A, B, C là các công thức nguyên. A, B, C, A, B, C là các lưỡng nguyên. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  25. Diễn dịch • Diễn dịch được cho dưới dạng tập hợp các lưỡng nguyên. Thay vì viết F1 = , , Fn =  ( = 1 hoăc  = 0) thì viết là {signF1, , signFn}. Nếu  là 1 thì signFi là Fi. Nếu  là 0 thì signFi là Fi. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  26. Diễn dịch Thí dụ : F = (A → B) → (B  C) Diễn dịch I = {A, B, C} nghĩa là A = 1, B = 1, C = 1. Diễn dịch J = {A, B, C} nghĩa là A = 1, B = 0, C = 0. Diễn dịch K = {A, B, C} nghĩa là A = 0, B = 0, C = 0. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  27. Dạng chuẩn giao - CNF • Conjunctive normal form (CNF) có dạng : (P1 Pn)1   (Q1 Qm)p, với n, m, p 1, và Pi, Qi là các lưỡng nguyên. Thí dụ : F = (P  R)  (Q  S  T)  Q. G = P  Q  (R) H = (P  R  S) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  28. Dạng chuẩn giao - CNF • Các bước chuyển về dạng CNF Thí dụ : F = (A → B) → (B  A) = (A → B)  (B  A) = (A  B)  (B  A) = (A  B)  (B  A) = (A  (B  A))  (B  (B  A)) = (A  B  A)  (B  B  A) = (B  A) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  29. Dạng chuẩn giao - CNF • CNF có thể được xây dựng từ bảng thực trị. Thí dụ : F = (A  B) → (A  B) A B F 1 1 1 1 0 0 (A  B) 0 1 0 (A  B) 0 0 1 có CNF là F = (A  B)  (A  B) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  30. Dạng chuẩn giao - CNF Thí dụ : Công thức F có bảng thực trị : A B C F 1 1 1 1 1 1 0 0 (A  B  C) 1 0 1 1 1 0 0 0 (A  B  C) 0 1 1 1 0 1 0 0 (A  B  C) 0 0 1 1 0 0 0 1 có CNF là F = (A  B  C)  (A  B  C)  (A  B  C) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  31. Dạng chuẩn giao - CNF • Nhận xét : ❖ Mọi công thức có thể chuyển về dạng chuẩn CNF. ❖ Dạng chuẩn giao không duy nhất. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  32. Mệnh đề • Mỗi khối (P1   Pn)i của CNF được gọi là 1 mệnh đề. Thí dụ : F = (P  R)  (Q  S  T)  Q F có 3 mệnh đề : (P  R), (Q  S  T) và mệnh đề Q. H = (P  R  S) có 1 mệnh đề là chính nó. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  33. Mệnh đề • Mệnh đề có 1 lưỡng nguyên được gọi là mệnh đề đơn vị. Thí dụ : F = (P  R)  (Q  S  T)  Q F có Q là mệnh đề đơn vị Q . @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  34. Mệnh đề • Mệnh đề rỗng là mệnh đề không có lưỡng nguyên nào. • Nhận xét : Với mọi công thức X, X  hđ = X (hđ, công thức hằng đúng). X  hs = X (hs, công thức hằng sai).  Mệnh đề rỗng là công thức hằng sai. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  35. Dạng chuẩn hội - DNF • Disjunctive normal form (DNF) đối ngẫu với CNF. Thí dụ : F = (P  R)  (Q  S  T)  Q. G = (P  Q  (R)) H = P  R  S @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  36. Horn clause • Dạng Horn : giao của các mệnh đề Horn. Mệnh đề Horn là mệnh đề chỉ có 1 lưỡng nguyên dương (positive literal). Thí dụ : (A  B)  (C  D  E) thường được viết dưới dạng H = (B → A) và ((C  E) → D) • Dạng Horn gồm các cấu trúc điều kiện có hậu quả là một công thức nguyên và nguyên nhân là giao các công thức nguyên. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  37. Dạng chuẩn giao - CNF • CT (dạng CNF) là hằng đúng nếu tất cả mệnh đề chứa Ť hoặc có 1 cặp lưỡng nguyên đổi dấu. Ngược lại, là khả sai (falsiable). • CT (dạng DNF) là hằng sai nếu tất cả thành phần giao chứa ⊥ hoặc có 1 cặp lưỡng nguyên đổi dấu. Ngược lại, là khả đúng (SATisfiable). Nhận xét : Biến đổi về dạng DNF (CNF) tốn kém cả về thời gian và không gian. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  38. Dạng NNF[*] • Công thức ở dạng NNF(negation normal form) khi công thức không chứa toán tử → : 1. Thay “→” dùng (X → Y) = (X  Y). 2. Khai triển toán tử  dùng X = X, dùng (X  Y) = (X  Y) dùng (X  Y) = (X  Y). [*] Logic and Proof - Computer Science Tripos Part IB Michaelmas Term Lawrence C Paulson - Computer Laboratory University of Cambridge lcp@cl.cam.ac.uk @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  39. Dạng NNF Thí dụ : F = (A → B) → (B  A) F = (A → B)  (B  A) (thay →) F = (A  B)  (B  A) (thay →) F = (A  B)  (B  A) (khai triển ) [*] Logic and Proof - Computer Science Tripos Part IB Michaelmas Term Lawrence C Paulson - Computer Laboratory University of Cambridge lcp@cl.cam.ac.uk @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  40. Từ NNF đến CNF[*] • Đẩy  vào trong, dùng F  (G  H) = (F  G)  (F  H) • Đơn giản hóa : – Xóa mệnhđề chứa 2 lưỡngnguyên trái dấu. eg : (F  G  F)  (H  K) = H  K. – Xóa mệnh đề chứa mệnh đề khác. eg : (H  K  F)  (H  K) = H  K. – Thay (F  G)  (F  G) bằng G. [*] Logic and Proof - Computer Science Tripos Part IB Michaelmas Term Lawrence C Paulson - Computer Laboratory University of Cambridge lcp@cl.cam.ac.uk @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  41. Hệ quả luận lý • Nếu mọi mô hình của F cũng là mô hình của H thì H được gọi là hệ quả luận lý của F. Ký hiệu F ╞═ H. • F là KB, được gọi là tiền đề và H được gọi là kết luận. • Logical Consequence = Entailment = Hệ quả luận lý (HQLL). @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  42. Hệ quả luận lý • Để chứng minh H là hệ quả luận lý của F : – Liệt kê tất cả diễn dịch. – Chọn các diễn dịch là mô hình của F. – Kiểm tra xem các mô hình này có còn là mô hình của H hay không. Hệ quả luận lý F ╞═ H thỏa thỏa Tập các Diễn dịch Tập con Tập các Diễn dịch @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  43. Hệ quả luận lý Thí dụ : {A, B} ╞═ A  B {A, B} ╞═ A  B {A, B} ╞═ A → B {A, A  B} ╞═ A → B {A  B, A  B} ╞═ A {A  B, A  B} ╞═ B {A  B, A  B} ╞═ A → B {B, A → B} ╞═ A  B @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  44. Hệ quả luận lý • Kiểm tra X → Y, X ╞═ Y. X Y X → Y X ╞═ Y 1 1 1 1 1 1 0 0 1 Không là mô hình của KB 0 1 1 0 Không là mô hình của KB 0 0 1 0 Không là mô hình của KB @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  45. Ký hiệu hằng đúng • Ký hiệu công thức H là hằng đúng : ╞═ H Ký hiệu ╞═ H có nghĩa là  ╞═ H. Hệ thống { F1, , Fn }╞═ H  { F1, , Fn }  {CTHằngđúng}╞═ H  F1,   , Fn  CTHằngđúng ╞═ H Do đó khi { F1, , Fn } =  thì CTHằngđúng╞═ H. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  46. Công thức hằng đúng • Nếu F ╞═ H thì công thức (F → H) hằng đúng. • Một công thức hằng đúng : F ╞═ H  ╞═ (F → H) F ╞═ H  ╞═ ( F  H) ( F1, , Fn ╞═ H )  (F2, , Fn ╞═ F1 → H) ( F ╞═ H và H ╞═ K ) → (F ╞═ K) (truyền) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  47. Lý thuyết chứng minh[7] • Bảng thực trị xác định ngữ nghĩa, trong khi các hệ thống chứng minh được gọi là lý thuyết chứng minh (proof theory). • Hệ thống chứng minh được gọi là đúng đắn (sound) nếu mọi sequent (F ├─ H) phát sinh (F → H) là hằng đúng. Vì vậy tiên đề phải là hằng đúng và mọi luật suy diễn sẽ phát sinh hằng đúng. • Hệ thống chứng minh phát sinh mọi hằng đúng được gọi là đầy đủ (complete). @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  48. Soundness & Completeness • Tương quan giữa 2 khái niệm ├─ và╞═ H. ├─ F H ╞═ Định lý (soundness). Nếu F├─ H thì F╞═ H. Định lý (completeness). Nếu F╞═ H thì F├─ H. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  49. Soundness • Thủ tục để có F├─ H được gọi là sound nếu có F├─ H thì F╞═ H. • Một số trường hợp, thủ tục có tính sound không tìm thấy lời giải, mặc dù lời giải tồn tại (*). (*) Description Logics Deduction in Propositional Logic Enrico Franconi, franconi@cs.man.ac.uk @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  50. Completeness • Thủ tục để có F├─ H được gọi là complete nếu F╞═ H thì có F├─ H. • Một số trường hợp, thủ tục có tính complete nói có thể tìm thấy lời giải, mặc dù lời giải không tồn tại (*). (*) Description Logics Deduction in Propositional Logic Enrico Franconi, franconi@cs.man.ac.uk @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  51. Soundness & Completeness • Bảng thực trị cung cấp một thủ tục có tính sound và complete để kiểm tra tính khả đúng, hằng đúng và hệ quả luận lý trong LLMĐ. • Tìm tính khả đúng, hằng đúng và hệ quả luận lý trong LLMĐ là loại decidable problems. (*) Description Logics Deduction in Propositional Logic Enrico Franconi, franconi@cs.man.ac.uk @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  52. Bài tập Chương 2 : Luận lý mệnh đề Chương 2 ntsơn
  53. Lập bảng thực trị Cho các công thức sau : 1. (P  Q)  ((P  Q)) 2. (P → Q) → (Q → P) 3. (P → Q) → (Q → P) 4. P  (P → Q) 5. (P  (Q → P)) → P 6. P  (Q → P) 7. (P  Q)  (P  Q)  ((P → Q)) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  54. Tương quan giữa các toán tử So sánh các công thức sau : 1. (P → (Q)) và (P  Q) 2. (P → Q) và (P  Q) Nhận xét gì về sự liên hệ của các toán tử ? @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  55. Tương quan giữa các toán tử Viết ra các công thức sau chỉ dùng → và  : 1. (P  Q)  (Q → P) 2. (P  Q)  ((P  Q)) 3. P  (P → Q) 4. (P  (Q → P)) → P 5. P  (Q → P) 6. (P  Q)  (P  Q)  ((P → Q)) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  56. Dùng thủ tục số học Tính các công thức : 1. (P  Q)  ((P  Q)) 2. (P → Q) → (Q → P) 3. (P → Q) → (Q → P) 4. P  (P → Q) 5. (P  (Q → P)) → P 6. P  (Q → P) 7. (P  Q)  (P  Q)  ((P → Q)) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  57. Sự tương đương Chứng minh sự tương đương của các công thức : 1. (P → Q) → (P  Q) = (P → Q)  (Q → P) 2. P  Q  (P  Q) = P  Q  (P  Q) 3. (P → Q)  (P → R) = (P → (Q  R)) 4. P  (P → (P  Q)) = P  Q  (P  Q) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  58. Hằng đúng - Hằng sai Xác định tính hằng đúng, hằng sai của các công thức : 1. (S) → S 2. (S  T)  T 3. (S→T)→ (T→ S) 4. P  (P → Q) 5. (P  (Q → P)) → P 6. P  ((P → Q)) 7. ((A  B)  (A  C)) → (B  C). @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  59. Mô hình Tìm một mô hình cho mỗi công thức : 1. (S) → S 2. (S  T)  T 3. (S→T)→ (T→ S) 4. P  (P → Q) 5. (P  (Q → P)) → P 6. P  ((P → Q)) 7. ((A  B)  (A  C)) → (B  C). @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  60. Mô hình Diễn dịch nào : I1 = {S} I2 = {S, T} I3 = {A, B, C} I4 = {S, T, A, B, C, P, Q} là mô hình của các công thức sau : 1. (S) → S 2. (ST)  T 3. P  (P → Q) 4. (P → Q) → (Q → P) 5. ((A  B)  (A  C)) → (B  C). @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  61. Dạng chuẩn CNF Chuyển thành dạng CNF 1. (P → Q) 2. (P  Q)  (P  Q) 3. (P  Q) → R 4. (P  Q)  (P  Q) 5. (P → Q) → R 6. P → ((Q  R) → S) 7. P  (P  Q  R) 8. (P → Q)  (P  Q) 9. (P  Q)  (P  Q). @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  62. Hằng đúng - Hằng sai Chứng minh các công thức sau đây là hằng đúng, hằng sai, hay khả đúng khả sai : 1. (S) → S 2. (ST) T 3. (S→T)→(T→ S) @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  63. Mô hình Tìm một mô hình I cho công thức F. F = ((AB)  B) → A Mở rộng I để nó cũng là mô hình của G. G = ((AC)  C) → A. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  64. Hệ qủa luận lý Chứng minh K là hệ quả luận lý của hệ thống {F1, F2, F3, F4} : F1 = J → P  T, F2 = K  Q → J, F3 = T → A, F4 = P  A. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  65. Hệ qủa luận lý Công thức nào là hệ quả luận lý của hệ thống {A, B, A→ C } 1. A B. 2. A  B. 3. B → C. 4. (A  B)  C. @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  66. Hằng đúng Công thức nào sau đây là hằng đúng : 1. (x → x) 2. (x  x) 3. (((P → Q)  (P → Q)) → Q) 4. (A → (B → A)) 5. ((A  B) → (B → A)) 6. ((P  Q)  (Q → P)) 7. (((X → Y) → X) → Y). @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn
  67. Hết slide @Nguyễn Thanh Sơn ntsơn