›
›

Bài giảng Lý thuyết tấm và vỏ mỏng (Phần I) - Trần Minh Tú

pdf 106 trang hapham 2690
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết tấm và vỏ mỏng (Phần I) - Trần Minh Tú", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_tam_va_vo_mong_phan_i_tran_minh_tu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết tấm và vỏ mỏng (Phần I) - Trần Minh Tú

  1. LOGONational University of Civil Engineering LÝ THUYẾT TẤM VÀ VỎ MỎNG TRẦN MINH TÚ TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG March 2012 1
  2. Thông tin khóa học  Giảng viên: PGs. TS. TRẦN MINH TÚ  Email: tpnt2002@yahoo.com  Cell phone: 0912101173  Tài liệu học tập  www.tranminhtu.com 1. PGS. TS. Lê Ngọc Hồng - Lý thuyết tấm và vỏ - Bài giảng Cao học 2. Nguyễn Văn Vượng - Lý thuyết đàn hồi ứng dụng 3. Ugural, A. C. Stresses in Plates and Shells. 2nd ed. New York, NY: McGraw-Hill, 1998. ISBN: 0070657696 4. Timoshenko, Stephen P., and S. Woinowsky-Krieger. Theory of Plates and Shells. 2nd ed. New York, NY: McGraw-Hill Companies, 1959. ISBN: 0070647798. 2 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  3. PHẦN I LÝ THUYẾT TẤM MỎNG 3 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  4. Lý thuyết tấm và vỏ mỏng 1 Tổng quan 2 Lý thuyết tấm mỏng 3 Tấm chữ nhật 4 Tấm材料力学课程的tròn 改革与建设 4 Các材料力学课程的phương pháp改革与建设gần đúng và pp số 4 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  5. 5 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  6. 1.Tổng quan 1.1. Định nghĩa: Tấm là vật thể phẳng có chiều cao (thường gọi là bề dày) nhỏ hơn nhiều so với kích thước theo hai phương còn lại. • Nếu bề dày là hằng số thì gọi là tấm có chiều dày không đổi, nếu không thì gọi là tấm có chiều dày thay đổi. 6 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  7. • Mặt phẳng chia đều bề dày tấm gọi là mặt trung bình hoặc mặt trung gian của tấm. Giao tuyến của mặt trung bình với các mặt bên gọi là chu tuyến của tấm. • Sự biến dạng của tấm được biểu thị bằng sự biến dạng của mặt trung bình, do đó mặt này còn được gọi là mặt đàn hồi của tấm. Tấm tròn Tấm tam giác 7 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  8. 1.Tổng quan 8 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  9. 1.Tổng quan 9 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  10. 1.Tổng quan 1.2. Phân loại tấm Tấm đặc Tấm có lỗ khoét 10 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  11. 1.Tổng quan Tải trọng bất đối xứng Tải trọng đối xứng tâm 11 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  12. 1.Tổng quan • Phân loại tấm theo tỉ số h/Lmin 11 - Tấm dày: trạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất hL/  10 5 khối 11 - Màng mỏng: là tấm rất mỏng, độ cứng uốn bằng hL/  không, do vậy chỉ tồn tại các nội lực màng (lực dọc 100 80 và lực cắt) 1 1 1 1 - Tấm mỏng: trạng thái ứng suất là trạng  hL/  10 5 100 80 thái ứng suất phẳng, có thể bỏ qua ứng suất theo phương chiều dày tấm - Tấm mỏng chia làm 2 loại: • Tấm có độ võng bé (tấm cứng): w/h 0,3 – mặt trung bình bị biến dạng 12 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  13. 13 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  14. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 2.1. Các giả thiết • Xét tấm mỏng, chiều dày h, mặt trung bình tấm là mặt phẳng xy, trục z theo phương chiều dày tấm và chiều dương hướng xuống dưới . • Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff – tấm chịu uốn, vật liệu đàn hồi, tuyến tính, độ võng bé) dựa trên các giả thiết sau: 14 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  15. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Giả thiết Kirchhoff 1. Vật liệu đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính 2. Hình dạng hình học ban đầu của tấm là phẳng. 3. Độ võng của tấm w(x,y) là bé so với chiều dày tấm. Như vậy góc xoay của mặt đàn hồi là bé nên bình phương góc xoay << 1. 4. Đoạn thẳng pháp tuyến trước biến dạng là thẳng và vuông góc với mặt trung bình trước, sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình và có độ dài không đổi, 5. Bỏ qua ứng suất pháp sz theo phương chiều dày tấm. 6. Mặt trung bình của tấm không bị giãn khi chịu uốn (remain unstrained) 15 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  16. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 2.2. Quan hệ biến dạng – độ cong (pt động học) 2.2.1. Trường chuyển vị - Xét hai điểm A, B trên pháp tuyến của mặt trung bình trước biến dạng - A1, B1 vị trí của A, B sau biến dạng - u0, w0 chuyển vị của A (trên mặt trung bình z=0) - u, w chuyển vị của B (tọa độ z so với mặt t. b) - Theo gt 6: u0 = 0 16 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  17. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Theo định nghĩa uw  xz zx Theo gt 4:  xz 0 uw zx Tích phân hai về theo z ww u u z u z w z 0 xx0 uz 0 x 17 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  18. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tương tự, trong mf yOz: vw  0 yz zy ww v v z v z z 0 yy0 w  z 0 0 z Mà theo gt 6: uv0 o 0 ww0 ww u0, v0, w0 – các tp chuyển vị của u z00;; v z w w (2.1) xy0 điểm trên mặt trung bình 18 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  19. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 2.2.1. Trường biến dạng – Độ cong • Hình vẽ là mặt cắt của tấm //Oxz, y=const trước và sau biến dạng. Đoạn pháp tuyến AB sau biến dạng là A1B1 w - là góc xoay mặt trung  x x bình quanh trục y w - là góc xoay mặt trung  y y bình quanh trục x Thay pt (2.1) vào pt quan hệ chuyển vị - biến dạng: 2w  2 w  2 w  z0;  z 0 ;  2 z 0 (2.2) xx22 y  y xy  x  y • Các đạo hàm bậc hai của độ võng gọi là độ cong 19 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  20. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 2w  0 - Độ cong uốn của mặt đàn hồi dọc theo trục x x x2 2  w0  y - Độ cong uốn của mặt đàn hồi dọc theo trục y y2 2  w0 xy - Độ cong xoắn của mặt đàn hồi đối với trục x và y xy Như vậy có thể viết: x z  x;  y z  y ;  xy 2 z  xy (2.3) 20 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  21. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 2.3. Ứng suất – Các thành phần ứng lực • Chấp nhận giả thiết Kirchhoff, bài toán tấm ba chiều được đưa về bài toán phẳng. Pt vật lý có dạng sau: (2.4) 21 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  22. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Thay các tp biến dạng từ (2.3) vào (2.4): (2.5) 22 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  23. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) • Các ứng lực được xác định từ các thành phần ứng suất theo định nghĩa: (2.6) • Thứ nguyên: [lực/chiều dài] 23 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  24. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Thay (2.5) vào (2.6), ta nhận được: (2.7) - Độ cứng trụ - Độ cứng trụ D của tấm đóng vai trò như độ cứng uốn EI của dầm. Ta thấy D>EI, nên tấm bao giờ cũng cứng hơn dầm có cùng chiều dài nhịp và cùng độ dày - Giải (2.7) với ẩn là đạo hàm bậc 2 của độ võng, thay vào (2.5), nhận được: (2.8) 24 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  25. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) • Chú ý rằng lý thuyết tấm cổ điển bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt trong tấm chịu uốn, nhưng lực cắt thì không bỏ qua, chúng được xác định từ phương trình cân bằng của phần tử tấm • Từ phương trình cân bằng trong LTĐHH, ta nhận được các ứng suất tiếp: (2.9) 25 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  26. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) • Phân bố của các tp ứng suất theo chiều dày: 26 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  27. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 2.4. Phương trình độ võng của tấm trong hệ tọa độ vuông góc Xét cân bằng phân tố tấm Z 0 (2.10a) Mxy 0; M 0 (2.10b,c) Rút Qx, Qy ra, thay vào (2.10a), nhận được: 27 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  28. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Thay giá trị của các tp mô men nội lực từ (2.7) vào ( ): (2.10) => Phương trình vi phân độ võng của tấm (pt Sophie – Germain) (2.10) có thể viết dưới dạng: với: • Độ võng w(x,y) được xác định từ (2.10), từ đó xác định các thành phần ứng suất theo (2.5), (2.9). Khi tích phân (2.10), các hằng số tích phân sẽ xác định từ điều kiện biên 28 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  29. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Thay giá trị các tp mô men từ (2.7) vào (2.10b,c), nhận được giá trị các lực cắt theo độ võng (2.11) Sử dụng (2.11), có thể viết lại biểu thức (2.9) dưới dạng: (2.12) Từ đó: 29 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  30. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 2.5. Điều kiện biên • Khi tích phân pt (2.10), cần phải tính đến các điều kiện biên. Điều kiện biên có thể là động học (liên quan đến chuyển vị và góc xoay), có thể là tĩnh học (liên quan đến lực và mô men) hoặc là hỗn hợp • Xét tấm chữ nhật có hai cạnh song song với hai trục Ox, Oy. Trên mỗi cạnh phải thỏa mãn 2 điều kiện biên 1. Liên kết ngàm – cạnh y = 0 2. Liên kết gối cố định – cạnh x = a hoặc 30 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  31. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 3. Biên tự do – cạnh y = b Theo Poisson: Ba điều kiện biên trên mỗi cạnh là không cần thiết nên Kirchhoff đề xuất kết hợp chúng còn hai điều kiện biên sau: với (*) Vy - Lực cắt hiệu dụng trên 1 đ.v dài: ảnh hưởng của mô men xoắn Myx (cạnh y=b) Có thể biểu diễn lực cắt hiệu dụng này theo chuyển vị: Tương tự, lực cắt hiệu dụng trên cạnh song song với trục x: 31 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  32. Như vậy điều kiện biên (*) biểu diễn theo chuyển vị có dạng: 4. Biên tựa dầm – cạnh x = 0 Chỉ số b – dầm; không chỉ số: tấm Hoặc: 32 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  33. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 5. Biên chéo: Tùy thuộc vào liên kết của biên chéo, ta có những điều kiện biên tương ứng w - Ngàm: w 0; 0 - Khớp: wM 0;u 0 u 6. Biên cong: • Biên cong ngàm • Biên cong tựa khớp • Biên cong tự do: 33 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  34. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 2.6. Năng lượng biến dạng của tấm Thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong vật thể đàn hồi thể tích V ở TTƯS tổng quát (2.13) Theo lý thuyết tấm mỏng có thể bỏ qua xz,,  yz s z (2.14) Thay biểu thứ các tp ứng suất theo độ võng vào (2.14) (2.15) Biểu thức biến dạng là phi tuyến với chuyển vị => không áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng 34 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  35. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 2.7. Các dạng lời giải Giải bài toán tấm uốn thực chất là giải phương trình Sophie- Germain(2.10) để xác định độ võng, từ đó tính được nội lực và ứng suất trong tấm. Các dạng lời giải Lời giải giải tích Lời giải số Nghiệm chính xác Nghiệm gần đúng Nghiệm gần đúng (Exact) (Aproximate) - Dạng kín (closed form) -Dạng chuỗi lượng giác đơn -Dạng chuỗi lượng giác đơn (Vô hạn các số hạng) (Hữu hạn các số hạng) -Dạng chuỗi lượng giác kép -Dạng chuỗi lượng giác kép (Vô hạn các số hạng) (Hữu hạn các số hạng) 35 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  36. 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) u(x) = 2 – x + 3x2 + 4sinnpx - Dạng kín (closed form) Các pp biến phân -Dạng chuỗi lượng giác đơn N u( x ) a sin np x (Hữu hạn các số hạng)  n n 1 NN -Dạng chuỗi lượng giác kép u( x )  amn sin mpp x sin n y (Hữu hạn các số hạng) mn 11 -Dạng chuỗi lượng giác đơn u( x )  an sin np x (Vô hạn các số hạng) n 1 -Dạng chuỗi lượng giác kép u( x ) a sin mpp x sin n y (Vô hạn các số hạng)  mn mn 11 36 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  37. 37 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  38. 38 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  39. 3. Tấm chữ nhật 3.1. Các trường hợp cơ bản của tấm uốn 3.1.1. Dải chữ nhật chịu uốn trụ - Xét dải chữ nhật dài vô hạn theo phương y, chịu tác dụng bởi tải ngang phân bố là hàm chỉ một biến x: p = p(x) - Tất cả các dải chữ nhật song song với trục x, chiều rộng bằng đơn vị đều chịu uốn như nhau - Pt (2.10) trở thành: (3.1) Tích phân (3.1) với p=p0x/a, ta nhận được w – nghiệm pt không vế phải, w – nghiệm riêng h p 39 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  40. 3. Tấm chữ nhật - Điều kiện biên: 40 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  41. 3. Tấm chữ nhật 3.1.2. Tấm chữ nhật chịu uốn thuần túy - Điều kiện biên: 4 cạnh tự do - Mô men phân bố đều trên các cạnh: Mx=m1; My=m2 Phương trình vi phân độ võng (2.10) của tấm trở thành Chọn hàm độ võng thỏa mãn pt trên, có dạng: (*) Các hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên: Mx=m1; My=m2 ( ) Từ (2.7), (*) và ( ) ta nhận được 41 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  42. 3. Tấm chữ nhật Thay C1, C2 vào (*), ta có: Vì trên mọi mặt cắt song song với trục x, và y đều có: => Tấm chịu uốn thuần túy - Trường hợp riêng: m1=m; m2=0 Mặt đàn hồi của tấm có dạng như hình vẽ 42 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  43. 3. Tấm chữ nhật 3.2. Uốn tấm chữ nhật Bài toán uốn tấm dẫn đến tìm nghiệm của pt Sophie-Germain (2.10) thỏa mãn các điều kiện biên. 3.2.1. Phương pháp Navier (chuỗi lượng giác kép) Tấm chữ nhật cạnh a, b, bốn biên tựa khớp chịu tác dụng của tải ngang phân bố đều p(x,y) Điều kiện biên: (*) Giả thiết hàm độ võng , và tải trọng phân bố biểu thị qua chuỗi Fourier thỏa mãn điều kiện biên (*) 43 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  44. 3. Tấm chữ nhật (3.2) (3.3) Các hệ số wmn và pmn cần được xác định - Để tính pmn, nhân 2 vế pt (3.3) với , tích phân 2 lần từ 0-a và 0-b, ta nhận được: 44 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  45. 3. Tấm chữ nhật Dùng công thức: Ta nhận được: (3.4) Thay pt (3,2), (3.3) vào pt (2.10) ta có: Pt này phải đúng với mọi x, y nên: 45 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  46. 3. Tấm chữ nhật Do vậy (3.5) Thay wmn vào (3.2), ta tìm được nghiệm của bài toán: (3.6) Thay (3.6) vào (2.7) và (2.11), ta nhận được: (3.7) Nhược điểm pp Navier: cồng kềnh, chỉ dùng với các biên tựa khớp 46 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  47. 3. Tấm chữ nhật 3.2.2. Phương pháp Levy (chuỗi lượng giác đơn) • Xét tấm chữ nhật cạnh a, b, hai biên đối nhau x=0 và x=a tựa khớp, hai biên khác điều kiện biên tùy ý chịu tác dụng của tải ngang phân bố đều p(x,y) • Điều kiện biên tựa khớp: Điều kiện biên thứ hai thu gọn về dạng: • Levy đã đề xuất tìm nghiệm của pt (2.10) dưới dạng (3.8) thỏa mãn điều kiện biên tựa khớp tại hai cạnh x=0, và x=a 47 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  48. 3. Tấm chữ nhật fm(y) được xác định để thỏa mãn điều kiện biên trên hai cạnh y=±b/2, và pt (2.10) Nghiệm của (2.10) là tổng của nghiệm tổng quát pt không vế phải wh và nghiệm riêng của pt có vế phải wp. Nghiệm tổng quát của pt (2.10) không vế phải chọn dưới dạng: (3.9) Thay (3.9) vào pt: Nhận được: (3.10) Nghiệm của pt này là: (3.11) wh 48 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  49. 3. Tấm chữ nhật (3.12) - Các hằng số tích phân Am, Bm, Cm, Dm xác định từ điều kiện biên trên các cạnh y=±b/2 • Nghiệm riêng của (2.10) xác định bẳng cách giả thiết hàm độ võng và tải trọng có dạng sau: (3.13) trong đó: Thay (3.13) vào (2.10) (3.14) 49 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  50. 3. Tấm chữ nhật Giải pt (3.14), ta nhận được hệ số gm(y), từ đó xác định được nghiệm riêng wp Cuối cùng nhận được hàm độ võng: • Phương pháp Levy sẽ đơn giản hơn nếu sử dụng tính đối xứng của độ võng. Nếu điều kiện biên đối xứng qua trục x, thì hàm độ võng chỉ là hàm của biến y, và ta có: do vậy các hệ số Cm, Dm trong (3.12) bằng không, nghiệm độ võng trở thành: 50 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  51. 3. Tấm chữ nhật 3.3. Tấm trên nền đàn hồi • Bài toán thực tế: móng nhà trên nền đất, mặt đường bê tông cốt thép của đường cao tốc, đường băng sân bay trên nền đất, 51 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  52. 3. Tấm chữ nhật • Khó khăn chính: mô tả toán học một cách chính xác mô hình nền đàn hồi. Có nhiều mô hình được đề xuất, đơn giản nhất là mô hình nền Winkler – dựa trên giả thiết: phản lực nền q(x,y) biểu diễn bởi: k là hệ số nền với thứ nguyên [lực/chiều dài2] • Khi tấm đặt trên nền đàn hồi, ngoại lực theo phương thẳng đứng bào gồm tải trọng phân bố trên bề mặt tấm p(x,y) và phản lực q(x,y) Phương trình vi phân độ võng của tấm trở thành: Hoặc dưới dạng: 52 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  53. 3. Tấm chữ nhật – Bài tập tự giải • Tấm chữ nhật kích thước axb tựa khớp trên chu vi, chịu tác dụng của tải trọng ngang phân bố đều p0. Hãy xác định độ võng, các thành phần mô menvà ứng suất cực trị 53 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  54. 3. Tấm chữ nhật – Bài tập tự giải • Tấm chữ nhật kích thước axb tựa khớp trên chu vi, chịu tác dụng của tải trọng ngang thủy tĩnh pz= p0x/a . Hãy xác định độ võng, các thành phần mô menvà ứng suất cực trị 54 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  55. 55 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  56. 4. Tấm tròn 56 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  57. 4. Tấm tròn 4.1. Các quan hệ tronghệ toạ độ cực Y y x r cos y rsin r x2 y2  arctg x  r     cos  r sin y y r y  r r   X  r     sin  cos x x r x  r r   2  2 1  1  2 1  1  2 cos 2  sin 2  2sin cos 2 2 2 2 2 x r r r r  r  r r 2 2 1  1 2 1  1 2 sin2  cos2  2sin cos 2 2 2 2 2 y r r r r  r  r r 2 2 1  1 2 1  1 2 sin cos cos2  sin2  2 2 2 2 xy r r r r  r  r r 57 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  58. 4. Tấm tròn • Phương trình vi phân độ võng tấm trong hệ tọa độ cực: (4.1) (4.6) 58 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  59. 4. Tấm tròn • Các ứng lực (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) 59 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  60. 4. Tấm tròn • Các thành phần ứng suất (4.8) • Điều kiện biên - Biên ngàm (r=a) (4.9) - Biên khớp (r=a) (4.10) - Biên tự do (r=a) (4.11) • Thế năng biến dạng đàn hồi (4.12) 60 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  61. 4. Tấm tròn 4.2. Tấm tròn chịu uốn đối xứng tâm • Khi tải trọng và liên kết của tấm tròn không phụ thuộc vào góc j, thì độ võng, ứng suất và nội lực chỉ là hàm của r => đối xứng tâm (4.13) (4.14) • Phương trình vi phân độ võng (4.15a) (4.15b) 61 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  62. 4. Tấm tròn Vì rằng: Nên (4.15) trở thành: (4.16) Nghiệm của (4.16) là tổng của nghiệm tổng quát pt không vế phải wh và nghiệm riêng của pt có vế phải wp. 62 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  63. 4. Tấm tròn Các hằng số tích phân C1, C2, C3 xác định từ điều kiện biên • Chẳng hạn tấm chịu tải p0 vuông góc phân bố đều trên bề mặt, biên tựa đơn 63 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  64. 4. Tấm tròn – Bài tập tự giải 64 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  65. 4. Tấm tròn – Bài tập tự giải 65 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  66. 4. Tấm tròn – Bài tập tự giải 66 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  67. 4. Tấm tròn – Bài tập tự giải 67 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  68. 68 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  69. 69 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  70. 5. Tấm trực hướng và tấm gia cường • Trong tất cả các ví dụ đã xét, các vật liệu nghiên cứu được xem là đẳng hướng (tính chất vật liệu tại một điểm theo mọi phương là như nhau. Vật liệu dị hướng có tính chất vật liệu phụ thuộc theo phương. Vật liệu dị hướng tổng quát nhất có ma trận các hằng số đàn hồi đối xứng, gồm 21 hằng số độc lập. Chẳng hạn: gỗ tự nhiên, gỗ dán, composite cốt sợi, Các vật liệu này gọi là dị hướng tự nhiên. Ngoài ra tính dị hướng còn có thể được tạo ra do cấu tạo: lượn sóng, gia cường bằng các gân, • Vật liệu trực hướng có ba mặt phẳng đối xứng đàn hồi vuông góc với nhau từng đôi một, lúc này các hằng số đàn hồi độc lập chỉ còn 9. 5.1. Các hệ thức cơ bản • Xét tấm chiều dày không đổi, vật liệu trực hướng, các phương trực hướng trùng với hai phương x, y. Quan hệ ứng suất – biến dạng của vật liệu trực hướng có dạng: (5.1) 70 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  71. 5. Tấm trực hướng và tấm gia cường Ex, Ey, nx, ny – mô đun đàn hồi Young và hệ số Poisson theo các phương x, y G – mô đun đàn hồi trượt: và: (5.1) có thể biểu diễn dưới dạng: (5.2) Thay pt (2.2) vào (5.2) (5.3) 71 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  72. 5. Tấm trực hướng và tấm gia cường Thay pt (5.3) vào (2.6) (5.4) trong đó: là độ cứng uốn và độ cứng xoắn của tấm trực hướng (5.5) 72 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  73. 5. Tấm trực hướng và tấm gia cường Phương trình vi phân độ võng (2.10) trở thành: (5.6) Biểu thức thế năng biến dạng đàn hồi: (5.7) Biểu thức (5.6) và (5.7) có thể áp dụng cho cả hai trường hợp trực hướng tự nhiên và trực hướng cấu tạo của vật liệu tấm 5.2. Xác định độ cứng của tấm trực hướng cấu tạo Để giải pt (5.6), cần phải xác định các độ cứng uốn và xoắn của tấm trực hướng tự nhiên và trực hướng cấu tạo. Các mô đun đàn hồi Ex, Ey, G và hệ số Poisson nx, ny của vật liệu tấm trực hướng tự nhiên được xác định từ thực nghiệm 73 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  74. 5. Tấm trực hướng và tấm gia cường Các độ cứng uốn và xoắn của tấm trực hướng cấu tạo được xác định một cách gần đúng bằng phương pháp chuyển đổi tương đương Các độ cứng (5.5) của tấm trực hướng tương đương được xấp xỉ bởi các biểu thức tùy thuộc vào cấu tạo của tấm: a. Tấm gia cường bằng các gân hai phía có khoảng cách như nhau theo một phương 74 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  75. 5. Tấm trực hướng và tấm gia cường b. Tấm gia cường bằng các gân một phía có khoảng cách như nhau theo một phương trong đó I là mô men quán tính của tiết diện chữ T tương ứng với một khoảng gân quanh trục đối xứng (phần bôi đen). C là độ cứng xoắn của một gân E là mô đun đàn hồi của tấm phẳng, E’ là mô đun đàn hồi của gân. n là hệ số Poisson của tấm phẳng 75 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  76. 5. Tấm trực hướng và tấm gia cường c. Tấm gia cường bằng các gân hai phía có khoảng cách như nhau theo hai phương c. Tấm lượn sóng hình sin với: - Độ dài không gấp của một bước sóng 76 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  77. 77 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  78. 6. Lý thuyết tấm dày • Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhof chỉ phù hợp với tấm mỏng, khi chiều dày tấm tăng lên thì lý thuyết này không còn thích hợp. Để khắc phục những hạn chế của lý thuyết tấm mỏng, cần thiết phải có những điều chỉnh thích hợp trên cơ sở lý thuyết tấm Kirchhoff. • Thực nghiệm trên tấm dày cho thấy rằng tính toán theo lý thuyết tấm mỏng cho kết quả về độ võng thấp hơn , tần số dao động riêng và lực tới hạn ổn định cao hơn. Sự khác nhau này là do ảnh hưởng của lực cắt. Hiện nay có nhiều lý thuyết tấm đã được phát triển dùng để tính toán các tấm dày (h/L=1/10-1/5): Levy, Reisssner, Mindlin, Reddy, 78 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  79. 6. Lý thuyết tấm dày 6.1. Lý thuyết Reissner Reissner giả thiết: chuyển vị thay đổi bậc nhất theo chiều dày tấm; pháp tuyến của tấm ban đầu là thẳng vuông góc với mặt trung bình, sau biến dạng vẫn thẳng, nhưng không còn vuông góc với mặt trung bình 79 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  80. 6. Lý thuyết tấm dày Góc xoay của pháp tuyến với mặt trung bình biểu thị bởi: (6.1) Phương trình vi phân độ võng có dạng: (6.2) Điều kiện biên ngàm: (6.3) Điều kiện khớp: (6.4) Điều kiện tự do: (6.5) 80 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  81. 6. Lý thuyết tấm dày 6.2. Lý thuyết Mindlin 6.2. 1. Giả thiết - Pháp tuyến sau biến dạng vẫn thẳng mặc dù không còn vuông góc với mặt trung bình - Ứng suất pháp theo phương chiều dày là bé nên biến dạng dài tỉ đối theo phương chiều dày có thể bỏ qua (z = 0) 81 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  82. 6. Lý thuyết tấm dày 6.2. 2. Trường chuyển vị Mindlin giả thiết trường chuyển vị có dạng: uxyz(,,) uxy0 (,,0) zx (,,) xyz (6.6) vxyz(,,) vxy0 (,,0) z y (,,) xyz w( x , y , z ) w0 ( x , y ,0) với x(x,y), y(x,y) là góc xoay của pháp tuyến quanh trục y, x. 6.2. 3. Trường biến dạng u u  w u w  ox z  2  (o  ) xx x  x  x xz xzx  z  x x (6.7) v v  w v w  o z y  2  (o  ) yy y  y  y yz yzy  z  y y uvuvo  o  x  y xy 2 xy ( ) z ( ) y  x  y  x  y  x 82 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  83. 6. Lý thuyết tấm dày 6.2. 4. Các thành phần ứng suất - Ứng lực 83 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  84. 6. Lý thuyết tấm dày • Lực màng N s x h xx (6.8) N(,) x y Ny s yy dz 0 Nxy s xy • Lực cắt h Qx s xz Q(,) x y dz (6.9) Qy 0 s yz • Mô men uốn và mô men xoắn M s x h xx (6.10) M(,) x y My z s yy dz h M xys xy 84 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  85. 6. Lý thuyết tấm dày 6.2. 5. Các phương trình cân bằng cho bài toán tĩnh N N x xy 0 xy NN xy y 0 xy Q Q x y q 0 (6.11) xy M M xx xy Q 0 xyx MM xy yy Q 0 xyy 85 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  86. 6. Lý thuyết tấm dày 6.2.6. Các phương trình cân bằng theo chuyển vị: (6.12) k – hệ số hiệu chỉnh cắt 86 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  87. 6. Lý thuyết tấm dày 6.2. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (6.13) với yx(x,y), yy(x,y) là góc xoay của pháp tuyến quanh trục y, x. với fx(x,y), fy(x,y) là góc vặn xoắn của pháp tuyến quanh trục y, x. (6.14) (6.15) 87 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  88. 88 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  89. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn • Lời giải chính xác cho dạng nghiệm giải tích như trình bày các phần trước chỉ giới hạn với các bài toán: dạng hình học của tấm, tải trọng tác dụng và điều kiện biên đơn giản. Với các bài toán phức tạp hơn về hình dạng, tải trọng và điều kiện biên thì nhận được lời giải giải tích là khó khăn hơn nhiều, nhiều trường hợp là không thể. • Trong trường hợp này lời giải gần đúng được sử dụng rộng rãi. Phương pháp gần đúng có thể chia làm hai nhóm chính 1. Phương pháp gián tiếp: pp sai phân hữu hạn, pp phần tử biên, pp Galerkin 2. Phương pháp trực tiếp: pp phần tử hữu hạn, pp Ritz 89 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  90. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn 7.1. Phương pháp sai phân hữu hạn Là phương pháp số gần đúng để giải các phương trình vi phân. Bằng cách thay các đạo hàm trong pt vi phân bằng tỉ số các lượng hữu hạn, nên việc giải pt vi phân được thay thế bằng việc giải các pt đại số. Như vậy ta đã thay việc tìm các ẩn số dưới dạng hàm giải tích bằng việc tìm giá trị của chúng tại một số hữu hạn các điểm. Bản chất pp sai phân hữu hạn dựa trên: • Chia mặt trung bình thành các lưới hình chữ nhật, hình tam giác, hoặc hình khác tùy theo dạng hình học của tấm – gọi là lưới sai phân hữu hạn và các điểm nút. • Phương trình vi phân trong miền xác định tấm thay thế bằng các pt sai phân hữu hạn tại các mắt lưới bằng các biểu thức sai phân • Điều kiện biên thể hiện qua các biểu thức sai phân tại các nút lưới nằm trên biên 90 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  91. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn 91 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  92. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn Đạo hàm của hàm f(x) tại điểm xi định nghĩa bởi: (7.1) Có thể viết: với: (7.2) Biểu thức (7.2) gọi là xấp xỉ thứ nhất trước và sau của đạo hàm bậc nhất hàm f(x) tại xi Thực tế còn sử dụng: (7.3) Biểu thức (7.2) và (7.3) gọi là toán tử sai phân của đạo hàm bậc nhất, tương tự với các đạo hàm bậc cao: 92 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  93. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn (7.4) (7.5) (7.6) Các hệ số của toán tử sai phân đối với hàm một biến f(x) thể hiện trên hình vẽ (b) 93 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  94. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn Sử dụng xấp xỉ bậc hai, đạo hàm tại điểm bất kỳ trên biên cong có thể nội suy qua các điểm trước và sau của lưới sai phân: (7.7) Giả sử có hàm hai biến F(x,y), trong trường hợp này lưới được chia thành các bước sai phân Dx, Dy theo hai phương x, y. Chia lưới với: Các đạo hàm của F(x,y) được xấp xỉ bởi các toán tử sai phân (7.3) – (7.5) 94 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  95. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn Chẳng hạn đối với nút trung tâm “k”, ta có: (7.8) Từ (6.8), ta tính được toán tử Laplace của hàm F: (7.9) Do vậy toán tử Laplace kép của hàm F: (7.10) 95 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  96. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn BẢNG CÁC HỆ SỐ DÙNG CHO TOÁN TỬ SPHH LƯỚI VUÔNG 96 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  97. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn Áp dụng cho phương trình vi phân độ võng tấm (pt Sophie-Germain) 20wk 8 wwww abcd 2 wwww efgh wwww lmni p(,) x y D4 D Viết các pt tương tự cho tất cả n nút lưới nằm bên trong tấm ta nhận được n pt đại số tuyến tính chứa n ẩn số độ võng w tại các nút, và cả một số giá trị của w tại các nút nằm trên biên của tấm, tại những nút nằm ngoài tấm cách biên một bước sai phân. Những trị số w trên và ngoài biên xác định từ điều kiện biên 97 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  98. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn a. Điều kiện biên khớp Ta có: b. Điều kiện biên ngàm 98 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  99. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn c. Biên tự do 99 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
  100. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn 7.2. Phương pháp Ritz-Timoshenko Là phương pháp trực tiếp để giải các bài toán biến phân - là phương pháp gần đúng để tìm nghiệm trên cơ sở các nguyên lý công và năng lượng Biểu thức năng lượng biến dạng tính theo độ võng (2.5): Công ngoại lực: W q( x , y ). w ( x , y ) dA A Năng lượng toàn phần: D 2 w  2 w  2 w  2 w  2 w   2 1 n q . w dA 2 x2  y 2  x  y  x 2  y 2 A  (7.11) 10 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 0
  101. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn Giả sử hàm độ võng biểu thị dưới dạng một tổng các số hạn hữu hạn: (7.12) Trong đó hàm fi(x,y) phải thỏa mãn các điều kiện biên, đồng thời chứa đủ các thông số tùy ý mà khi lấy biến phân các hàm này thì không làm mất các liên kết động hình học đặt lên tấm: Thay (7.12) vào (7.11) ta được hàm bậc hai của các hệ số Ci. Ta phải chọn các hệ số này sao cho Π đạt giá trị cực tiểu, tức là: (7.13) Đây là hệ phương trình tuyến tính bậc nhất có n ẩn số Ci. Giải hệ phương trình này ta tìm được các hệ số Ci, rồi thay vào (7.12) ta nhận được biểu thức độ võng 10 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 1
  102. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn 7.2. Phương pháp Bubnov - Galerkin Là phương pháp gần đúng để giải các các phương trình vi phân dựa trên cơ sở tính chất của các hàm trực giao Theo định nghĩa hai hàm yykk(xx ). ( ) là trực giao trong khoảng [a,b] nếu: b yy(x ). ( x ) dx 0 (7.14) kk a Giả sử có họ hàm liên tục trong khoảng [a,b], ta đều có: j0(),x j 1 (), x j 2 (), x , jkn (), x j 1 (), x , j () x (7.15) Nếu lấy tích phân hai hàm bất kỳ của (7.15) trong khoảng [a,b] ta đều có: b jj(x ). ( x ) dx 0 thì (7.15) gọi là một hệ các hàm trực giao k 1 a mxp nxp Chẳng hạn các hàm sin và sin trực giao trong khoảng [0,a] vì a a 10 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 2
  103. 7. Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn a mpp x n x 0 khi m n sin sin 0 aa 1 khi m=n Sử dụng các tính chất trên, Galerkin đã đưa ra phương pháp giải gần đúng các phương trình vi phân 10 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 3
  104. PHỤ LỤC 10 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 4
  105. TÀI LiỆU THAM KHẢO 1. PGS. TS. Lê Ngọc Hồng - Lý thuyết tấm và vỏ - Bài giảng Cao học 2. Nguyễn Văn Vượng - Lý thuyết đàn hồi ứng dụng 3. Ugural, A. C. Stresses in Plates and Shells. 2nd ed. New York, NY: McGraw- Hill, 1998. ISBN: 0070657696 4. Timoshenko, Stephen P., and S. Woinowsky-Krieger. Theory of Plates and Shells. 2nd ed. New York, NY: McGraw-Hill Companies, 1959. ISBN: 0070647798. 10 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 5
  106. LOGO 10 Tran Minh Tu - 6 tpnt2002@yahoo.com