Bài giảng Mạch điện tử II - Lê Thị Thanh Hoàng

98 trang hapham 340

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Mạch điện tử II - Lê Thị Thanh Hoàng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_mach_dien_tu_ii_le_thi_thanh_hoang.pdf

Nội dung text: Bài giảng Mạch điện tử II - Lê Thị Thanh Hoàng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HCM KHOA ĐIỆN BỘ MÔN. CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 0 BIÊN SOẠN: ThS. LÊ THỊ THANH HOÀNG BÀI GIẢNG. MẠCH ĐIỆN II X(P) 1KΩ X (P) 1 + Y(P) _ R 2 1kΩ C 2kΩ R1 2kΩ TP. HCM Tháng 12 / 2007
LỜI NĨI ĐẦU MẠCH ĐIỆN là một mơn học cơ sở quan trọng đối với sinh viên khối kỹ thuật nĩi chung và sinh viên ngành điện nĩi riêng. Để cĩ thể tiếp tục nghiên cứu chuyên sâu về lĩnh vực điện thì sinh viên phải nắm vững những kiến thức trong mơn học MẠCH ĐIỆN. Ngồi ra mơn học này là cịn là mơn cơ sở để cho sinh viên học tiếp các mơn chuyên ngành khác như mơn Điều Khiển Tự Động, Máy Điện, Lý Thuyết Tín Hiệu Mạch điện II này bao gồm ba chương : Chương I: Phân tích mạch trong miền thời gian Chương II: Phân tích mạch trong miền tần số Chương III : Mạch khơng tuyến tính Chương IV. Đường dây dài Quyển sách này tác giả trình bày các phương pháp phân tích mạch cĩ kèm theo các ví dụ cụ thể và các bài tập được soạn theo từng các chương lý thuyết, để giúp người học cĩ thể giải và ứng dụng vào các mơn học cĩ liên quan. Tác giả đã viết bài giảng này với sự cố gắng sưu tầm các tài liệu trong và ngồi nước, với sự đĩng gĩp tận tình của các đồng nghiệp trong và ngồi bộ mơn, cùng với kinh nghiệm giảng dạy mơn học này trong nhiều năm. Tuy nhiên đây cũng là lần đầu tiên biên soạn bài giảng mạch điện II nên khơng thể tránh khỏi những thiếu sĩt. Tơi rất mong sự đĩng gĩp ý kiến của các đồng nghiệp, của các em sinh viên và các bạn đọc quan tâm đến bài giảng này. Xin chân thành cảm ơn. TP. HCM tháng 12 năm 2007. Thư viện ĐH SPKT TP.HCM -
MỤC LỤC Trang CHƯƠNG : PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN THỜI GIAN (QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ) 1 I.1. KHÁI NIỆM 1 I.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TỐN QUÁ ĐỘ (PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KINH ĐIỂN) 1 I.2.1. Giải bài tốn với điều kiện ban đầu bằng 0 1 I.2.2. Giải bài tốn với điều kiện đầu khác 0 6 a. Mạch cĩ cuộn dây 6 b. Mạch cĩ tụ 8 I.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ LAPLACE GIẢI BÀI TỐN QUÁ ĐỘ 12 I.3.1. Một số kiến thức cơ bản để biến đổi Laplace 12 I.3.2. Định luật Kirchhoff dạng tốn tử 16 I.3.3. Sơ đồ tốn tử Laplace 17 I.3.4. Thuật tốn tính quá trình quá độ bằng phương pháp tốn tử 17 I.3.5. Một số ví dụ về các bài tốn quá độ với các điều kiện ban đầu bằng 0 17 I.3.6. Các bài tốn quá độ với các điều kiện ban đầu khác 0 21 BÀI TẬP CHƯƠNG I 27 CHƯƠNG II: PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ 36 Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - II.1. ĐỊNH NGHĨA HÀM TRUYỀN ĐẠT 36 II.2. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA HÀM TRUYỀN 40 II.2.1. Đặc tuyến logarit - tần số logarit 40 II.2.2. Đặc tuyến biên độ - tần số logarit 41 II.2.3. Đặc tuyến pha tần số Logarit 45 BÀI TẬP CHƯƠNG II 48 CHƯƠNG III: MẠCH PHI TUYẾN 51 III.1. CÁC PHẦN TỬ KHƠNG TUYẾN TÍNH 51 III.1.1. Điện trở phi tuyến 51 III.1.2. Điện cảm phi tuyến (cuộn dây phi tuyến) 51 III.1.3. Điện dung phi tuyến 52 III.2. CÁC THƠNG SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC PHẦN TỬ PHI TUYẾN 53 III.2.1. Điện trở tĩnh và điện trở động 53
III.2.2. Điện cảm tĩnh và điện cảm động 53 III.2.3. Điện dung tĩnh và điện dung động 54 III.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH KTT 54 III.3.1. Phương pháp đồ thị 54 III.3.2. Phương pháp dị 55 III.3.3. Phương pháp giải tích 57 III.4. CÁCH GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ KTT 61 III.4.1. Mắc nối tiếp các phần tử KTT 61 III.4.2. Mắc song song 62 III.4.3. Cách nối các phần tử KTT với nguồn tác động 63 III.4.4. Mạch KTT dịng một chiều 64 III.5. BÀI TẬP CHƯƠNG III (Mục III.4) 67 III.6. CHUỖI FOURIER 69 III.6.1. Chuỗi Fourier lượng giác 69 III.5.2. Chuỗi Fourier dạng phức 70 III.7. BÀI TẬP CHƯƠNG III (Mục III.6) 76 CHƯƠNG IV. ĐƯỜNG DÂY DÀI 78 IV.1. CÁC THƠNG SỐ ĐƠN VỊ CỦA ĐƯỜNG DÂY DÀI 78 IV.1.1. Định nghĩa 78 IV.1.2. Phương trình đường dây dài và nghiệm 79 IV.1.3. Nghiệm của phương trình đường dây dài với tác động sin 80 IV.1.4. Các quan hệ năng lượng trên đường dây dài 83 IV.2. BÀI TẬP CHƯƠNG IV 84 IV.3. QUÁ ĐỘ TRÊN ĐƯỜNG DÂY DÀI 86 Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - IV.3.1. Phương trình tốn tử của ĐDD 86 IV.3.2. Đĩng điện áp vào đường dây hở mạch cuối 86 IV.3.3. Đĩng điện áp vào đường dây tải điện trở 88 IV.3.4. Đồ thị Zig – Zac (giản đồ bounce) 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian CHƯƠNG : PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN THỜI GIAN (QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ) I.1. KHÁI NIỆM Quá trình quá độ là quá trình biến đổi dịng điện ban đầu thành giá trị xác lập. Xét mạch điện như hình vẽ (1.1): K R i(t) E L H ình (1.1) Trong đĩ: K là khĩa dùng đĩng mở mạch điện. Trước khi khĩa K đĩng i = 0 gọi là giá trị ban đầu. E Khĩa K đĩng trong một thời gian dài thì dịng điện đạt đến giá trị xác lập là i = R Quá trình biến đổi từ giá trị ban đầu đến giá trị xác lập được gọi là quá trình quá độ. I.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TỐN QUÁ ĐỘ (PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KINH ĐIỂN) I.2.1. Giải bài tốn với điều kiện ban đầu bằng 0 Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ (1.2): K R i(t) E L Hình (1.2) Tại t = 0 đĩng khố K lại. Tìm cường độ dịng điện i(t) chạy trong mạch điện. Lời giải Khi khĩa K đĩng lại: uR + uL = E (1.1.1) Mà: uR = iR 1
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian di u L thay vào pt(1.1) ta được: L dt di iR L E (1.1.2) dt Vậy ta phải giải phương trình vi phân để tìm i(t). Giả sử i là nghiệm của phương trình: i = itự do + ixác lập (1.1.3) . ixác lập: là dịng điện trong mạch sau khi đĩng (hoặc mở) khố K sau một thời gian dài. Trong mỗi mạch điện cụ thể cĩ một giá trị xác lập. . itự do: là nghiệm của phương trình vi phân cĩ vế phải bằng khơng (phương trình thuần nhất). (Thành phần tự do của điện áp và dịng điện phụ thuộc vào năng lượng tích lũy trong mạch và các thơng số mạch, nĩ khơng phụ thuộc vào hình dạng của nguồn tác động) St Đặt itd = ke Trong đĩ: k: hằng số S: số phức t: thời gian di iR + L = 0 (1.1.4) dt Thay vào: d(kest ) keStR + L = 0 dt keSt (R LS) 0 Thư viện ĐHSt SPKT TP.HCM - Để nghiệm itd 0 ( ke 0 ) R + LS = 0 R S L Rt L itd ke E Mà: ixác lập = R R E t Vậy: i(t) ke L R 2
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Xác định k: Dựa vào điều kiện ban đầu của bài tốn i(0+)= 0 i(0-) i(0+) t0- t0+ t Chưa đĩng Đĩng Đĩng K E E Tại t = 0: i(0) keo 0 k = R R R R E E t E t i(t) e L L (A) 1 e R R R Vậy: . Tại t = 0 i = 0 E . Tại t = i = R i E R Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - 0 L Đặt τ : hằng số thời gian R t E i(t) = 1 e τ R Khi t = 3τ thì i ixác lập (96%) Thời gian quá độ là thời gian để dịng điện đi từ giá trị ban đầu đến giá trị xác lập. 3
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ (1.3): K R i(t) E C uc(t) Hình (1.3) Yêu cầu: Tại t = 0 đĩng khĩa K, tìm uc(t). Lời giải Khi đĩng khĩa K: uR + uc = E (1.2.1) Mà: u R = iR thay vào(1.2.1) du i C C duC dt uc + RC = 0 (1.2.2) dt Đây là phương trình vi phân. Giải phương trình vi phân trên để tìm uc(t). Đặt: uc = uc tự do + uc xác lập (1.2.3) . uc xác lập: là điện áp xác lập trên tụ một thời gian dài sau khi đĩng (hoặc mở) khĩa K. uc xác lập = E (khi tụ đã được nạp đầy) . uc tựThư do: việnlà nghiệm ĐH SPKT của TP.HCMphương -trình vi phân cĩ vế phải bằng khơng. duC uc + RC = 0 (1.2.4) dt St Đặt: uc tự do = ke Vậy: RCd(keSt ) keSt 0 dt Trong đĩ: k: hằng số S: số phức t: thời gian keSt + RCS.keSt = 0 keSt(1 + RCS) = 0 Do keSt 0 nên: 1 (1 + RCS) = 0 S = RC 4
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Phương trình trên là phương trình đặc trưng t RC uc tự do = ke t u(t) = E + k e RC Xác định k: Dựa vào điều kiện ban đầu của bài tốn: uc(0) = 0 Tại t = 0: 0 uc(0) = E + ke = 0 k = – E t u (t) E 1 e RC c Đặt τ = RC: hằng số thời gian của mạch (đơn vị s) t τ Vậy: uc(t) = E(1 – e ) uc khi t = 0 uc(t) = 0 khi t = uc(t) = E E t 0 Theo đề bài ta tìm i(t) t Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - t du d(E E.eRC ) CE E i = C C = C = e RC = e RC dt dt RC R t E i(t) = e τ với  = RC R i E E Tại t = 0 i = R R Tại t = i = 0 t 0 5
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian I.2.2. Giải bài tốn với điều kiện đầu khác 0 a. Mạch cĩ cuộn dây Cho mạch điện như hình vẽ (1.4) R L1 i(t) E K L2 Hình (1.4) Tại t = 0, mở khĩa K. Xác định i(0+). Điều kiện bảo tồn từ thơng: Tổng từ thơng mĩc vịng trong một vịng kín liên tục tại thời điểm đĩng mở:  (0–) =  (0+) (1.1) – Tại t0– (0 ) + Tại t0+ (0 ) Từ thơng = L.i L.i(0–) = L.i(0+) (1.2)  Tại t0-: – –  (0 ) = L1.i(0 ) Thư viện ĐHE SPKT TP.HCM - iL1(0-) = R iL2(0-) = 0  Tại t0+: + + + +  (0 ) = L1.i(0 ) + L2.i(0 ) = (L1 + L2).i(0 ) Mà:  (0–) =  (0+) – + L1.i(0 ) = (L1 + L2).i(0 ) E L1 R Vậy i(0 ) LL1 2 (1.3) 6
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Ví dụ áp dụng: Cho mạch điện như hình vẽ (1.5) 4 Ω L = 1H 1 i(t) E = 12V K L2 = 3H Hình (1.5) Tại t = 0 mở K, tìm i(t). Lời giải Trước khi mở K: E 12 i(0 ) 3A R 4 Tại t0+: L i(0 ) 3 i(0 ) 1 A LL1 2 4 Khi mở K: di iR + (L1 + L2) = E : phương trình vi phân dt Giải phương Thưtrình viện vi phân ĐH SPKT TP.HCM - Đặt i = itd + ixl E ixl = 3 (A) R itd là nghiệm của phương trình vi phân cĩ vế phải bằng 0 di iR + (L1 + L2) = 0 dt St Đặt itd = ke St St d(ke ) ke R + (L1 + L2) = 0 dt St ke [R + (L1 + L2)S] = 0 St R Do ke 0 nên R + (L1 + L2)S = 0 S = LL1 2 R t LL1 2 itd = ke 7
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian R t i(t) = 3 + ke LL1 2 Xác định k: 3 i (0+) = 3 + keo = 4 9 k = 4 t 9 L L Vậy i(t) = 3 e τ với  = 1 2 4 R tquá độ = 3s dịng điện đạt giá trị ổn định. Khi mở khĩa K dịng điện tăng lên 3A (giá trị ixl) i 3 3 4 t 0 Lúc mở K b. Mạch cĩThư tụ viện ĐH SPKT TP.HCM - Cho mạch điện như hình vẽ (1.6) R K a E C1 C2 uc(t) Hình (1.6) Tại t = 0 đĩng khĩa K. Tìm uc(t). Lời giải Trước khi đĩng K: – uc1(0 ) = E – uc2(0 ) = 0 Tại t(0+): 8
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian + + + uc1(0 ) = uc2(0 ) = uc(0 ) Điều kiện bảo tồn điện tích: Điện tích tại 1 đỉnh (nút) liên tục tại thời điểm đĩng mở: q(0+) = q(0–) (1.4) Điện tích tại a ở t(0–) – – – Ở t(0 ): q(0 ) = C1.uc1(0 ) = C1.E + + + + + t(0 ): q(0 ) = C1.uc1(0 ) + C2.uc2(0 ) = (C1 + C2).Uc(0 ) q(0+) = q(0–) + (C1 + C2).Uc(0 ) = C1.E + C1E uc(0 ) = CC1 2 Ví dụ áp dụng: Cho mạch điện như hình vẽ (1.7): K 2 1 1 E C1 F C F 2 2 4 Hình (1.7) Tại t = 0 đĩng K, tìm uc(t). Lời giải + Tìm điều kiệnThư banviện đầu: ĐH SPKT TP.HCM - 1 .10 + C1E 2 20 uc(0 ) = = (V) CC 1 1 3 1 2 2 4 + Khi đĩng K lại ta cĩ: uR + uc = E duc Với C = C1 + C2 ; uR = iR = RC dt duc RC + uc = E : phương trình vi phân dt Giải phương trình vi phân tìm uc Ta đặt: uc(t) = uctd + ucxl Với ucxl = E (điện áp sau khi đĩng khĩa K thời gian dài) Tìm uctd bằng cách cho vế phải của phương trình vi phân bằng 0 9
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian duc RC + uc = 0 dt St Đặt uctd = ke thay vào phương trình ta được: RCd(keSt ) keSt 0 dt Trong đĩ: k: hằng số S: số phức t: thời gian keSt + RCS.keSt = 0 keSt(1 +RCS) = 0 Do keSt 0 nên: 1 (1 +RCS) = 0 S = RC Phương trình trên là phương trình đặc trưng. t RC Ta được uc(t) = E + k e Xác định k: Dựa vào điều kiện ban đầu của bài tốn. – – uc1(0 ) = E ; uc2(0 ) = 0 t RC uc(t) = E + k e + 0 0 20 Tại t = 0 uc(0 ) = E + ke = 10 + ke = 3 10 k = – 3 Thư viện ĐH SPKT TP.HCM -  = RC: hằng số thời gian của mạch (đơn vị s) 1 1 3  = RC = 2 = 2 4 2 2t 10 3 Vậy uc(t) = 10 – e (V) 3 uc 10V 20 3 t 0 Lúc đĩng K 10
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Ví dụ: Cho mạch điện như hình vẽ (1.8) 1 K 10 2 5V 1H e(t) Hình (1.8) Cho e(t) = 10cos(10t + 450). Khi K đang đĩng ở vị trí 1, tại t = 0 đĩng K sang vị trí 2. Tìm i(t). Lời giải Trước khi đĩng K sang (2) ta cĩ: E 1 i(0–) = (A) R 2 Khi vừa đĩng sang (2)  i(0+) 1 i(0+) = (A) (do L.i(0–) = L.i(0+), khơng gây đột biến vì chỉ cĩ 1 cuộn dây) 2 Khi đĩng K sang (2) di iR + L = e = 10cos(10t + 450) dt Đặt i = itd + ixl ixl: dịng điện xác lập là dịng điện khi đĩng điện một thời gian dài. Ta cĩ sơ đồ tươngThư viện đương: ĐH SPKT TP.HCM - 10  Ixl E 10450 j10 Tổng trở phức tồn mạch: Z 10 j10 10 2  450  0  E 10 45 1 IXL Z 10 2 450 2 1 ixl = cos10t 2 Xác định itd ta giải phương trình vi phân: 11
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian R t di L –10t iR + L = 0 itd = ke = ke dt 1 i(t) = ke–10t + cos10t 2 Xác định k: Dựa vào điều kiện ban đầu của bài tốn 1 1 i(0+) = ke0 + cos0 = 2 2 k = – 0,207 1 Vậy i(t) = – 0,207e–10t + cos10t 2 I.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ LAPLACE GIẢI BÀI TỐN QUÁ ĐỘ Phương pháp tích phân kinh điển nghiên cứu ở mục trên cĩ ưu điểm là cho thấy rõ hiện tượng vật lý của dịng điện và điện áp quá độ nhưng khơng tiện dùng cho các mạch phức tạp vì vậy việc giải trực tiếp phương trình vi phân sẽ khĩ khăn, khi bậc của phương trình vi phân cao. Phương pháp tốn tử cĩ ưu điểm là ở chỗ, nĩ cho phép đại số hĩa phương trình vi tích phân, với các điều kiện đầu được tự động đưa vào phương trình đại số, do đĩ kết quả nhận được sẽ nhanh hơn trong trường hợp giải trực tiếp. I.3.1. Một số kiến thức cơ bản để biến đổi Laplace Gọi f(t) là hàm gốc, biến thiên theo thời gian t và ta biến đổi thành hàm F(p). F(p) được gọi là hàm ảnh; p: số phức. Biểu thức (1.5) dùng để xác định ảnh của một hàm f(t). L [f(t)]= F()() p f t e pt dt (1.5) Thư viện ĐH0 SPKT TP.HCM - Trong đĩ P là số phức: p =  + j Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace là: Ảnh của đạo hàm gốc: d L [f’(t)] = F(p) = f(t)e pt dt dt 0 (1.6) Dùng cơng thức tích phân phân đoạn ta cĩ: f(t)e pt dt = f(t) e Pt + p f(t)e pt dt = p.F(P) – f(0) (1.7) 0 0 0 Ảnh của đạo hàm gốc bằng hàm ảnh nhân với p. )P(F L f(t)dt P 0 (1.8) Ảnh của tích phân hàm gốc bằng hàm ảnh chia cho p. 12
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Nhờ hai tính chất quan trọng của biến đổi Laplace ta chuyển phương trình vi tích phân theo hàm gốc thành phương trình đại số với ảnh là F(p). BẢNG BIẾN ĐỔI LAPLACE Hàm gốc f(t) Hàm ảnh F(p) 1 1 p 1 e t p 1 1 1 e t p p 1 t t. e 2 p P cost P 2  2  sint P 2  2 1 t p2 n! tn P n 1 1 1 ()e 1t e 2 t (p )( p ) Thư2 viện 1 ĐH SPKT TP.HCM - 2 1 1t 2 t p () 1e 2 e 1 2 (p 1 )( p 2 ) n! tn e t ;n 0,1,2 ()p n 1 1 1 1 (1 t ) e t 2 p() p 2 1 1 (e t t 1) 2 p2 () p p (1 t ) e t ()p 2  e t sin t ()p 2  2 p e t cos t ()p 2  2 13
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian 1 1 (1 cost )  2 p() p2  2 2 p tsin t ()p2  2 2 p2  2 tcos t ()p2  2 2 sin t  sin  t   1 2 2 1 1 2 2 2 22 2 2 1  2 (p 1 )( p  2 ) sin t  sin  t p2 1 1 2 2 2 2 22 2 2 1  2 (p 1 )( p  2 ) cost cos  t p 2 1 2 2 22 2 2 1  2 (p 1 )( p  2 ) 2cos t  2 cos  t p3 1 1 2 2 2 2 22 2 2 1  2 (p 1 )( p  2 ) sint  arctg t p P (p) Ngược lại nếu biết hàm ảnh F(P) = 1 ta cĩ thể tìm được hàm gốc theo cơng P2 (p) thức sau: n P (p ) f(t)  1 K epKt K 1 P'2 (p K ) ' Trong đĩ P2 (PK) là đạo hàm của đa thức P2(p) tại điểm P = PK Thư viện ĐH SPKT TP.HCM -  Sau đây là một số ví dụ cách tìm hàm gốc: Ví dụ 1: Cho hàm ảnh 4 F(p) = p 1 p 2 Hãy tìm hàm gốc f(t). Lời giải Khi gặp hàm phức tạp ta dùng phương pháp phân tích: Bước 1: Phân tích 4 AB p 1 p 2 P 1 P 2 Tìm A: nhân 2 vế cho (P+1) 4 BP 1 A p 2 P 2 Cho P = –1 A = 4 Tìm B: nhân 2 vế cho (P + 2) 14
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian 4 P 2 AB p 1 P 1 Cho P = – 2 B = – 4 Bước 2: Tra bảng f( t ) 4. e t 4 e 2 t Cách 2: Ta cĩ thể tìm A và B bằng cách lấy giới hạn 4 A = lim(P 1).F(P) lim 4 P 1 P 1 P 2 4 B = lim (P 2).F(P) lim 4 P 2 P 2 P 1 Ví dụ 2: 8 FP() PP 2 Hãy tìm hàm gốc f(t). Lời giải Bước 1: Phân tích 8 AB PPPP 2 2 Tìm A: Nhân 2 vế cho p 8BP . A PP 2 2 Cho p = 0 A = 4 Tìm B: Nhân 2 vế cho p + 2 Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - 8 P 2 AB p P Cho p = – 2 B = – 4 Bước 2: Tra bảng f(t) = 4 – 4e–4t Cách 2: ta cĩ thể tìm A và B bằng cách lấy giới hạn 8 A = lim P.F(P) = lim 4 P 0 P 0 P 2 8 B = lim (P 2).F(P) lim 4 P 2 P 2 P Ví dụ 3: 4 FP() PP 1 2 2 Hãy tìm hàm gốc f(t). Lời giải 15
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Bước 1: Phân tích 4 ABC PPP 1 2 2PP 1 2 2 2 Tìm A: nhân 2 vế cho (P+1) 4 BPCP 1 1 A PP 2 2P 2 2 2 Cho P = – 1 A = 4 Tìm C: nhân 2 vế cho (P + 2)2 4 A(P 2)2 B(P 1)(P 2) 2 C(P 1) Cho P = – 2 4 = C (– 2 + 1) C = – 4 Tìm B: nhân 2 vế cho (P + 2)2 2 4 AP 2 BPC 2 p 1 P 1 Đạo hàm P theo 2 vế: 4 AP 2 – B p 1 2 P 1 2 Giá trị ( ) khơng cần quan tâm Cho p = – 2 B = – 4 Bước 2: Tra bảng f(t) = 4.e–t – 4.e–2t – 4t.e–2t Cách 2: ta cĩ thể tìm A, B, và C bằng cách lấy giới hạn Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - 4 A = lim(P 1).F(P) lim 4 P 1 P 1 (P 2) 2 4 C = lim (P 2 )2 .F(P) = lim 4 P 2 P 2 P 1 Tìm B bằng cách nhân 2 vế của phương trình cho (p + 2)2, sau đĩ lấy đạo hàm 2 vế của phương trình và cho p = – 2, ta được: B = – 4. I.3.2. Định luật Kirchhoff dạng tốn tử Định luật Kirchhoff 1 Từ biểu thức  i 0  I(P) 0 (1.9) Định luật Kirchhoff 2 Cho mạch vịng kín gồm R - L - C nối tiếp đặt vào điện áp u ta cĩ: di 1 t u Ri L idt u (0) c dt C 0 Chuyển sang biến đổi Laplace ta được: 16
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian 1 uc (0) U(p) I(p) R PL L.i(0) (1.10) pC p Từ đĩ ta suy ra: u (0) U(P) c Li(0) I(P) = P 1 R PL PC Cơng thức trên tương ứng với sơ đồ tốn tử của hình (1.9) dưới đây: U(p) R I(p) pL L.i(0) 1 PC U )0( C P Hình (1.9) U (0) Trong đĩ: L.i(0) và C đặc trưng cho điều kiện đầu của bài tốn. P Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - I.3.3. Sơ đồ tốn tử Laplace i(t) R Đại số hĩa I(p) R i(t) L Đại số hĩa I(p) Lp 1 i(t) C I(p) CP Đại số hĩa I.3.4. Thuật tốn tính quá trình quá độ bằng phương pháp tốn tử Bước 1: Xác định các điều kiện ban đầu Bước 2: Lập sơ đồ tốn tử, giải sơ đồ tốn tử theo các phương pháp đã biết tìm I(p). Bước 3: Dùng biến đổi Laplace ngược để tìm hàm gốc i(t). I.3.5. Một số ví dụ về các bài tốn quá độ với các điều kiện ban đầu bằng 0 Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ (1.10) 17
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian K 2Ω i(t) 1 10V H 4 Hình (1.10) Tại t = 0 đĩng khố K, tìm i(t). Lời giải Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu Theo đề bài tại t = 0 đĩng khĩa K để tìm i(t). Trước khi khĩa K đĩng thì mạch điện hở. Vì thế các điều kiện ban đầu đều bằng khơng. Bước 2: Biến đổi các thơng số Trước khi muốn giải một bài tốn quá trình quá độ ta phải biến đổi các thơng số về dạng Laplace và đại số hĩa mạch điện (tức là đưa mạch điện về sơ đồ tương đương dưới dạng Laplace). Sơ đồ tương đương Laplace: 2Ω I(P) 10 P 4 P Bước 3: Tính tốn các giá trị theo biến đổi Laplace Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Ta cĩ: Tổng trở của mạch điện là như sau: PP8 ZP( ) 2 4 4 Cường độ dịng điện chạy qua mạch: 10 UP( ) 40 IP() P ZPPP( )8 P ( 8) 4 Bước 4: Phân tích 40 AB = F(P) PPPP( 8) 8 Tìm A và B bằng cách lấy giới hạn 40 A = lim P.F(P) = lim 5 P 0 P 0 P 8 40 B = lim(P 8).F(P) lim 5 P 8 P 8 P 18
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian 40 5 5 Vậy: IP() PPPP( 8) 8 i(t) i( t ) 5 5 e 8t 5(1 e 8 t ) (A) Thời gian quá độ là: 5 t Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ (1.11) K 4Ω i(t) 1 12V F uc(t) 2 Hình (1.11) Yêu cầu: Tại t = 0 đĩng khĩa K, tìm i(t) qua R và uc(t) đặt trên hai đầu tụ điện. Lời giải Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu Tại t = 0 đĩngThư khĩa viện K. ĐH Do SPKT đĩ trướcTP.HCM khi -khĩa K đĩng thì mạch điện trên hở. Vì vậy các điều kiện ban đầu bằng 0. Bước 2: Đại số hĩa mạch điện (tức là đưa mạch điện về sơ đồ tương đương dưới dạng Laplace) 12 u (t) 12 V U(P) c P 1 2 C = F C(p) = 2 P Sơ đồ tương đương: 4Ω I(p) 12 2 Uc(p) p p Bước 3: Tính tốn các giá trị theo biến đổi Laplace Ta cĩ: Tổng trở của mạch 19
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian 2 4PP 2 2(2 1) ZP( ) 4 PPP Cường độ dịng điện chạy trong mạch: U(p) I(P) Z(p) 12 p 12 3 I(p) 2(2p 1) 4p 2 1 p p 2 1 t Vậy i( t ) 3 e2 A Thời gian quá độ: t = 3 = 6s 3 t 0 Tìm uc(t): Ta cĩ: Điện áp đặt trên hai đầu tụ điện 2 12 2 Uc()() P I P   PPP4 2 24 6 1 (4PP 2) ()PP  Thư viện ĐH SPKT TP.HCM2 - Bước 4: Phân tích 6 AB = = F(p) 1 1 ()PP  P P 2 2 Tìm A và B bằng cách lấy giới hạn 1 6 A = lim (P ).F(P) lim 12 1 1 P 2 P P 2 2 6 B = lim P.F(P) lim 12 uc P 0 P 0 1 P 2 12 Vậy A = –12; B = 12 12 12 Uc() t 1 P P 2 1 1 t t Uc( t ) 12 12 e2 12(1 e 2 ) (V) t 0 20
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian I.3.6. Các bài tốn quá độ với các điều kiện ban đầu khác 0 f(t) F(p) df(t) p.F(p) f(0 ) dt i(t) I(p) di(t) p.I(p) i(0 ) dt di L – L  Lp.I(p) – L.iL(0 ) dt a. Cuộn dây - - LiL(0 ) iL(0 ) L Lp L di L – uL = L  UL(P) = Lp.I(p) – L.iL(0 ) dt b. Đối với tụ điện Điện áp ban đầu trên tụ: 1 C Cp + L C _ - uc (0 ) - - uc (0 ) Thư viện ĐH SPKT TP.HCMuc (0 - ) p Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ (1.12) 1 H 5Ω 2 i(t) 7Ω E = 60V K Hình (1.12) Yêu cầu: Tại t = 0 mở khĩa K, tìm cường độ dịng điện i(t) chạy trong mạch điện. 21
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Lời giải Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu Tại t = 0 mở khĩa K, do đĩ trước t = 0 thì mạch điện đang hoạt động. Vậy ta phải xác định điều kiện ban đầu: + Xác định dịng điện đi qua cuộn dây trước khi khĩa K mở ra: 60 i (0 ) 12 (A) L 5 Bước 2: Biến đổi các thơng số Đại số hĩa mạch điện (tức là biến đổi mạch điện về sơ đồ tương đương dưới dạng Laplace) L 60 u(t) = 60 V U(p) = P 1 L P L = H L.p = 2 2 Sơ đồ tương đương: p 5Ω 2 _ 6V + I(p) 60 7Ω p Bước 3: Tính tốn các thơng số theo Laplace Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - P 60 IP( )(5 7) 6 2 P 60 60 6P 6 12(P 10) IP() PP PP24 5 7 PP(24 ) 2 2 Bước 4: Phân tích 12(PAB 10) = F(p) PPPP( 24) 24 Tìm A và B bằng cách lấy giới hạn 12(P 10) A = lim P.F(P) lim 5 P 0 P 0 P 24 12(P 10) B = lim (P 24).F(P) lim 7 P 24 P 24 P Vậy: 12(p 10) 5 7 p(p 24) p p 24 22
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian i(t) 5 7e t42 (A) Cho t = 0 i = 12 (A) i t = i = 5 (A) 12 5 t 0 Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ (1.13) 1 H 5 Ω 2 i(t) 7Ω 60V K Hình (1.13) Yêu cầu: Tại t = 0 đĩng khĩa K, tìm cường độ dịng điện i(t) chạy trong mạch điện? Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Lời giải Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu Tại t = 0 đĩng khĩa K, do đĩ trước t = 0 thì mạch điện đang hoạt động. Vì vậy ta phải xác định điều kiện ban đầu. Cường độ dịng điện chạy qua mạch khi khĩa K chưa đĩng lại: 60 i (0 ) 5 (A) L 12 Bước 2: Biến đổi các thơng số Đại số hĩa mạch điện (đưa về mạch điện tương đương dưới dạng Laplace) 60 u(t) 60 U(p) p 1 P L = H L.p = 2 2 1 5 U (0 ) i (0 ).L 5 (V) LL 2 2 23
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Mạch điện tương đương dưới dạng Laplace: 5 p V 5Ω 2 2 _ + - I(p) L.iL(0 ) 60 p Bước 3: Tính tốn các thơng số theo Laplace p 60 5 I(p) 5 2 p 2 60 5 120 5p p 2 2p 5(p 24) I(P) P 10 p p(p 10) 5 2 2 Bước 4: Phân tích 5(PAB 24) F(p) = PPPP( 10) 10 Tìm A và B bằng cách lấy giới hạn 5(P 24) A = lim P.F(P) lim 12 P 0 P 0 P 10 5(P 24) B = lim (P 10).F(P) lim 7 P 10 P 10 P Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Vậy: i 5(P 24) 12 7 P(P 10) P P 10 12 i(t) 12 7e 10t (A) 5 t 0 24
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ (1.14) 2Ω i(t) K 1 12V F uc(t) 2 Ω 4 Hình (1.14) Tại t = 0 mở khĩa K, tìm cường độ dịng điện i(t) chạy trong mạch và điện áp uc(t) đặt lên hai đầu tụ điện. Lời giải Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu Tại t = 0 mở khĩa K do đĩ trước t = 0 thì khĩa K đĩng, vì vậy ta phải xác định điều kiện ban đầu: 12 i(0 ) 3 (A) 2 2 – – uc(0 ) = i(0 ).2 = 6 (V) Bước 2: Đại số hĩa mạch điện (biến đổi mạch điện về sơ đồ tương đương dưới dạng Laplace) 12 u(t) 12 U(p) p 1 4 C F C(p) 4 p Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Sơ đồ tương đương: 2Ω I(p) 4 12 p p 6 p Bước 3: Tính tốn các thơng số theo Laplace 4 12 6 I(p) 2 p p p 2p 4 6 I(p) p p 25
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian 6 3 I(p) 2p 4 p 2 Vậy: i( t ) 3 e 2t (A) Tìm uc(t): 3 4 6 12 6 Uc() P  (PPPPPP 2) ( 2) Bước 4: Phân tích 12 AB F(p) = PPPP( 2) 2 Tìm A và B bằng cách lấy giới hạn 12 A = lim P.F(P) lim 6 P 0 P 0 P 2 uc 12 B = lim (P 2).F(P) lim 6 12 P 2 P 2 P Vậy: 12 6 6 6 6 12 6 6 PPPPPPPP( 2) 2 2 2t 2t t uc (t) 12 6e 6(2 e ) (V) Bài 4: Cho mạch điện như hình vẽ (1.15) 1Ω 6Ω3 Ω Thư viện ĐHi(t) SPKT TP.HCMi R- 1 20V K F 10 Hình (1.15) Yêu cầu: Tại t = 0 đĩng khĩa K, tìm cường độ dịng điện iR(t) chạy trong mạch điện. Lời giải Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu Tại t = 0 đĩng khĩa K, do đĩ trước t = 0 thì khĩa K mở. Vì vậy ta phải xác định điều kiện ban đầu. 20 i(0–) = = 2(A) 10 – uc(0 ) = 2.3 = 6(V) “Điện áp trên tụ điện bằng điện áp trên điện trở 3Ω” 26
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Bước 2: khi đĩng khĩa k ta cĩ Sơ đồ tốn tử Laplace 1 10 CFCP () 10 P 6Ω 10 I (P) p R 3Ω 6 p Bước 3: Tính tốn các thơng số theo Laplace Dựa vào phương trình lưới để giải 10 6 IPZ( )( ) PP 6.3 6 với Z = 2Ω 3 6 3 IP() P 2P 10 P 5 P Vậy cường độ dịng điện chạy qua điện trở 3 : 6 3.6 2 I (p) I(p)  R 9 (p 5).9 p 5 5t iR (t) 2e (A) Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài 1.1: Cho mạch điện như hình vẽ (1.16) K i(t) i1(t) 4Ω 24V 12 Ω 8H Hình (1.16) Yêu cầu: Tại t = 0 đĩng khĩa K tìm cường độ dịng điện i1(t) chạy trên điện trở 12Ω. Đáp số: Cường độ dịng điện chạy trên điện trở 12Ω là i1(t) = 2 (A) 27
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Bài 1.2: Cho mạch điện như hình vẽ (1.17) K 10 Ω i(t) i1(t) 5Ω 5Ω 100V 5H Hình (1.17) Tại t = 0 đĩng khĩa K, tìm cường độ dịng điện i(t) chạy trong mạch. 5 4 t Đáp số: i(t) 8 e 3 (A) 3 Bài 1.3: Cho mạch điện như hình vẽ (1.18) K 1Ω i(t) + -t 1 v = 2te F uc(t) 2Ω _ 2 Hình (1.18) Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Yêu cầu: –t Tại thời điểm t = 0 tìm uc(t) với V = 2te (v). -3t -2t -2t Đáp số: uc(t) = 4e – 4e + 4t.e (v) Bài 1.4: Cho mạch điện như hình vẽ (1.19) K 3 Ω 6H i(t) u(t) = 30e-0,5t Hình (1.19) Yêu cầu: Tại t = 0 đĩng khĩa K, tìm cường độ dịng điện i(t) chạy trong mạch. Cho biết: u(t) = 30e–0,5t (V) 28
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian 1 t Đáp số: i(t) 5t.e 2 (A) Bài 1.5: Cho mạch điện như hình vẽ (1.20) K 1Ω i(t) + -2t 1 v = e F uc(t) 2Ω _ 2 Hình (1.20) Yêu cầu: Tại t = 0 đĩng khĩa K, tìm điện áp uc(t) đặt trên tụ điện. –2t –3t –2t –3t Đáp số: uc(t) = 2e – 2e = 2(e – e ) (V) Bài 1.6: Cho mạch điện như hình vẽ (1.21) K 3 Ω 3Ω 5Ω R = 2Ω 60V Thư viện ĐH SPKT TP.HCM3 Ω- Hình (1.21) Yêu cầu: Tại t = 0 đĩng khĩa K, hãy tìm điện áp đặt trên điện trở R = 2Ω. 40 Đáp số: u (t) (V) R 3 Bài 1.7: Cho mạch điện như hình vẽ (1.22) K 2Ω 2Ω i(t) + 1 uc(t) F 10V 2Ω _ 2 Hình (1.22) 29
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Yêu cầu: Tại t = 0 đĩng khĩa K, tìm uc(t). 2 2 t t 3 3 Đáp số: uc(t) = 5 – 5e = 5(1 – e ) (V) Bài 1.8: Cho mạch điện như hình vẽ (1.23) K 10H 150Ω 150V 75Ω uR(t) 50Ω Hình (1.23) Yêu cầu: Tại t = 0 mở khĩa K, tìm điện áp uR(t) đặt lên điện trở R = 75 Ω. –10t Đáp số: uR(t) = – 150e (V) Bài 1.9: Cho mạch điện như hình vẽ (1.24) Ω 2 Ω K 12 iR(t) 32V Thư viện ĐH SPKT TP.HCM12Ω - 2H 8Ω uR(t) Hình (1.24) Yêu cầu: Tại t = 0 mở khĩa K, tìm điện áp uR(t) trên điện trở R = 8 Ω. –3t Đáp số: uR(t) = – 12e (V) 30
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Bài 1.10: Cho mạch điện như hình vẽ (1.25) 5Ω K 1 F iR(t) 16 12V 6Ω 30Ω 3Ω Hình (1.25) Yêu cầu: Tại t = 0 mở khĩa K, tìm iR(t). 1 Đáp số: i (t) e 2t (A) R 8 Bài 1.11: Cho mạch điện như hình vẽ (1.26) 1H 4Ω i(t) 1 12V K F 4 Hình (1.26) Yêu cầu: Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Tại t = 0 mở khĩa K, tìm cường độ dịng điện i(t) chạy trong mạch. Đáp số: i(t) = 3e–2t + 6t.e–2t (A) Bài 1.12: Cho mạch điện như hình vẽ (1.27) 1 H 2 Ω 2 4Ω i(t) 4Ω 1 H 24V 4 K Hình (1.27) Yêu cầu: Tại t = 0 mở khĩa K, tìm cường độ dịng điện i(t) chạy trong mạch. Đáp số: i(t) = 4 + e–8t (A) 31
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Bài 1.13: Cho mạch điện như hình vẽ (1.28) 15Ω 8Ω 4Ω K u R 100V 1F 3Ω 2Ω Hình (1.28) Yêu cầu: Tại t = 0 mở khĩa K, tìm điện áp uR(t) đặt trên điện trở 2 Ω. 1 8 t Đáp số: u (t) e 10 (V) R 3 Bài 1.14: Cho mạch điện như hình vẽ (1.29) 2Ω K 1 F iR(t) 2 4Ω 4H e(t) = 20sin(t +900) (V) Hình (1.29) Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Yêu cầu: Tại t = 0 mở khĩa K. Xác định và vẽ dạng dịng điện iR(t). –t Đáp số: iR(t) = 2,5e (A) Bài 1.15: Cho mạch điện như hình vẽ (1.30) K 2Ω 2H iR(t) 1 4Ω F uc(t) 4 e(t) = 20sin(t +900) (V) Yêu cầu: Hình (1.30) Tại t = 0 mở khĩa K. Xác định và vẽ dạng dịng điện iR(t) và điện áp uC(t). –t –t Đáp số: iR(t) = 2,5e (A) và uc(t) = 10e (V) 32
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Bài 1.16: Cho mạch điện như hình vẽ (1.31) 2 K i(t) iL(t) 1 1 5Ω 5Ω H 2 j(t) = 20cos10t (A) Hình (1.31) Yêu cầu: Tại t = 0 khĩa K chuyển từ vị trí 1 → 2. Xác định và vẽ dạng dịng điện i(t). Đáp số: i(t) = 5e–5t (A) Bài 1.17: Cho mạch điện như hình vẽ (1.32) 2Ω 2Ω R R ic(t) K 1 C F uc(t) 8 e(t) = 20cos4t (V) Hình (1.32) Tại t = 0 mở K. Xác định và vẽ dạng dịng điện ic(t) và điện áp uc(t). Thư viện –2tĐH SPKT TP.HCM –2t- Đáp số: ic(t) = – 2,5e (A) ; uc(t) = 10e (V) Bài 1.18: Cho mạch điện như hình vẽ (1.33) Hình (1.33) 33
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Tại t = 0, khĩa K chuyển từ vị trí 1 sang vị trí 2. Hãy xác định và vẽ dạng sĩng của R dịng điện i1(t), i2(t), i3(t), biết e(t) = 2E0cost,  = , E0 > 0. L R R t t E0E 0 L E0 L Đáp số: i1(t) = e = (1 e ) (A) R R R 2R 2R t t E0E 0 L E0 L i2(t) = e = (1 e ) (A) 2R 2R 2R R 2R R 2R t t t t 3E0 E0 L E0 L E0 3 L 1 L i3(t) = i1(t) + i2(t) = e e = ( e e ) (A) 2R R 2R R 2 2 Bài 1.19: Cho mạch điện như hình vẽ (3.34) Hình (1.34) Hãy xác định và vẽ dạng dịng điện i(t) trong mạch trên khi – ∞ SPKT0 và  TP.HCM = - L RC R E R t Đáp số: i(t) = (1 t ). e L (A) 3R L E hay i(t) = (1 – t)e –t (A) 3R Bài 1.20: Cho mạch điện như hình vẽ (1.35) K 1 2 i(t) 25 100V 50V 0,01H Hình (1.35) 34
Chuong I Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian Yêu cầu: Tại t = 0 chuyển khĩa K từ vị trí 1 sang vị trí 2. Tìm cường độ dịng điện i(t) chạy trong mạch. Đáp số: i(t) 4 6e 2500t (A) Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - 35
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số CHƯƠNG II: PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ Hàm truyền đạt Trong mục I.3 ta đã nĩi đến việc áp dụng phương pháp tốn tử để phân tích quá trình quá độ trong mạch TTD. Như vậy với tất cả các phương pháp đã học, ta cĩ thể xác định được tất cả các dịng điện và điện áp trên các phần tử mạch, ở mọi trạng thái của mạch. Trong thực tế đơi khi người ta khơng quan tâm đến tồn bộ mạch, mà chỉ chú ý đến một bộ phận nào đĩ. Trong trường hợp như vậy người ta tìm ra một cách khác để mơ tả mạch, trong đĩ chỉ chú ý đến các đại lượng mà ta cần tìm và quan hệ của nĩ với nguồn tác động. Mạch trong trường hợp này được xét với khái niệm “tác động - đáp ứng” (hay là nhân quả), cũng đồng nghĩa với khái niệm truyền đạt “Vào - Ra”. II.1. ĐỊNH NGHĨA HÀM TRUYỀN ĐẠT Giả thiết rằng, tại t = 0 mạch được tác động bởi nguồn áp hay nguồn dịng (ký hiệu là hàm x(t), và đại lượng cần xét là dịng hoặc áp ở đầu ra ký hiệu là y(t)). Với x(t) và y(t) xuất hiện trên các cực của mạch (Hình vẽ II.1.a, b, c). x(t) y(t) Mạch TTD Hình II.1.a i(t) Hai cực u1(t) Hình II.1.b i1(t) i2(t) Bốn cực u1(t) u2(t) Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Hình II.1.c Khi điều kiện đầu bằng 0, hàm truyền đạt được định nghĩa như sau: Y(p) W(p) = X(p) Trong đĩ: Y(p) = L[y(t)] X(p) = L[x(t)] Hàm truyền đạt là một hàm đặc trưng cho các tính chất của mạch, một khi đã biết W(P) ta cĩ thể tìm được đáp ứng của mạch đối với một tác động bất kỳ theo biểu thức sau: Y(p) = W(p).X(p) y(t) = L–1[Y(p)] Để quan hệ giữa x(t) và y(t) là đơn trị, thì điều kiện quan trọng là điều kiện đầu phải bằng 0. 36
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số Hàm truyền của 2 cực là trở kháng hay dẫn nạp tùy theo các đại lượng vào ra được chọn là dịng hay áp. Khi x(t) = u(t) và y(t) = i(t), thì hàm truyền của 2 cực sẽ là dẫn nạp. I(p) W(p) = = Y(p) U(p) Khi x(t) = i(t) và y(t) = u(t), thì hàm truyền của 2 cực sẽ là trở kháng: U(p) W(p) = = Z(p) I(p) (Chú thích: Từ “hàm truyền đạt” hay “truyền đạt” thường được dùng cho mạng hai cửa (4 cực) vì nĩ mang ý nghĩa truyền đạt tín hiệu. Khi dùng cho 2 cực, nĩ chỉ cĩ ý nghĩa là trở kháng hay dẫn nạp của 2 cực đĩ). Ví dụ1: Cho mạch điện như hình vẽ (2.1) R u1(t) C u2(t) Hình (2.1) u1(t): tín hiệu vào của mạch (x(t)) u2(t): tín hiệu ra của mạch (y(t)) Y(p) Tính hàm truyền W(p) = X(p) Lời giải Bước 1: Đưa mạchThư việnvề sơ ĐH đồ SPKT tốn tửTP.HCM Laplace - R 1 U1(p) U2(p) Cp Ta cĩ: X(p) = U1(p) Y(p) = U2(p) Bước 2: Xác định hàm truyền đạt áp: 1 U (p) = U (p). CP 2 1 1 R CP 37
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số 1 U (P) 1 W(p) = 2 CP = U (P) 1 1 RCP 1 R CP Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ (2.2) R1 = 9kΩ R2 = 1kΩ u1(t) u2(t) C = 0,1F 1 Hình (2.2) Tính hàm truyền đạt áp W(p). Lời giải Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ tốn tử Laplace R1 9kΩ R 1kΩ 2 U1 (P) U2 (P) 1 CP Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Ta cĩ: X(p) = U1(p) Y(p) = U2(p) Bước 2: Xác định hàm truyền đạt áp 1 R U (P) 2 1 R CP W(P) = 2 CP = 2 U (P) 1 1 (R R )CP 1 RR 1 2 1 2 CP 1 10 4 P Vậy W(P) = 1 10 3 P 38
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số Ví dụ 3: Cho mạch điện như hình vẽ (2.3) R1 C R u1 (t) 2 u2 (t) Hình (2.3) Tính hàm truyền W(p). Lời giải Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ tốn tử Laplace R1 1 R U (P) CP 2 2 U1 (P) Bước 2: Xác định hàm truyền đạt áp R U (P) 2 .U (P) 2 1 1 R Thư viện1 ĐH SPKT TP.HCM - R CP 2 1 R 1 CP U (P) R (R CP 1) W(p) = 2 2 1 U1 (P) R1 R 2 CP R 2 R 1 Ví dụ 4: Cho mạch điện như hình vẽ (2.4) R1 u (t) C R 2 u1 (t) 2 Hình (2.4) Tính hàm truyền W(p) 39
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số Lời giải Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ tốn tử Laplace R1 1 U (P) R U (P) 1 CP 2 2 Bước 2: Xác định hàm truyền đạt áp 1 R 2 CP 1 R 2 R U (P) 2 R CP 1 W(p) = 2 CP = 2 U (P) 1 R 1 R R 2 2 CP 1 R R2 CP 1 1 1 R 2 CP R W(p) = 2 R1 R 2 CP R 2 R 1 II.2. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA HÀM TRUYỀN II.2.1. Đặc tuyến logarit - tần số logarit Trong thực tếThư người viện taĐH thường SPKT TP.HCMquan tâm - đến đặc tuyến biên độ W(j); bởi vì nĩ dễ đo lường và nĩ cho ta biết nhiều tính chất của mạch đối với tần số. Khái niệm về Bel và Decibel bel B decibel dB 1b = 10db Là đơn vị để đo mức tăng giảm của tín hiệu P vào Pra P lg ra [b] Pvào 1b Pr = 10 PV P 10 lg ra [db] Pvào + 10db Pr = 10 PV 40
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số + 20db Pr = 100 PV 0db Pr = PV PV – 10db Pr = 10 PV – 20db Pr = 100 2 2 Pr Ur Pr U r U r 10lg = 10lg db = 20lg (db) PV UV PV U V U V Thơng thường đặc tuyến tần số được viết dưới dạng: 1 1 W(p) = hay W(j) = 1 TP 1 Tjω Trong đĩ: p = j Tj: số phức Modun W(j) Argumen () II.2.2. Đặc tuyến biên độ - tần số logarit (Giản đồ Bode) Ví dụ ta khảo sát sự biến thiên của hàm truyền: 1 W(j) = 1 Tjω 1 20lg W(j) = 20lg = 20lg1 – 20lg Tj +1 (dB) Thư viện1 TjĐHω SPKT TP.HCM - 1 - Khi  > T >> 1 Tj +1 T T Vậy 20lg W(j) – 20lgT (– 20db/dec) Giải thích: dec decade (10 lần tần số) (– 20db/dec) giảm 20db khi tần số tăng 10 lần Tại 0 – 20lgT = – 20lgT0 = – xdb Tại  = 100 – 20lgT = – 20lgT.10.0 = – 20lgT.0 – 20lg10 = – x – 20db 41
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số Đặc tuyến biên độ tần số logarit: db 1 10 T T  0 20db – 20db/dec Ví dụ1: Cho hàm truyền: K W(p) = với K, T: hằng số 1 TP p = j. Hãy vẽ đặc tuyến biên độ - tần số logarit Lời giải: Ta cĩ: K W(j) = 1 Tjω K 20lg W(j) = 20lg = 20lgK – 20lg Tj +1 1 Tjω 1 - Khi  > T >> 1 Tj +1 T T Vậy 20lg W(j) 20lgK – 20lgT (– 20db/dec) db 10 20lgK T  0 1 20db T – 20db/dec 42
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số CÁC BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ (2.5) 1KΩ u1(t) u2(t) C = 0,1F Hình (2.5) Tính W(p); Vẽ đặc tuyến biên độ - tần số logarit (giản đồ Bode): 20lg W(j) Tìm lại giá trị C để tín hiệu vào tần số 105 khơng bị suy giảm. Lời giải Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ tốn tử Laplace R 1 U (P) U (P) 1 CP 2 Bước 2: Xác định hàm truyền đạt áp 1 U (P) 1 1 1 W(P) = 2 CP = = U (P) 1 1 RCP 1 103.10 7P 1 10 4 P 1 R CP Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - 1 W(j) = Với p = j 10 4 (jω) 1 Bước 3: Vẽ đặc tuyến biên độ - tần số logarit (giản đồ Bode) 20lg W(j) = – 20lg 10–4 (j) +1 1 - Khi  > T >> 1 Tj +1 T T 20lg W(j) = – 20lgT (dB) (– 20 dB/dec) 43
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số Đặc tuyến biên độ tần số logarit: db 1 10 10 4 T T  0 Dải thơng 20db – 20db/dec 1 1 1 1 Ta cĩ: ω > 105 C > T >> 1 Tj +1 T T 20lg W(j) = 20lgK + 20lgT (dB) (20 dB/dec) Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - dB + 20dB/dec 20lgK  1 T Ví dụ 3: Cho hàm truyền: K(T2 P 1) W(p) = Với K, T1, T2: hằng số; T1 > T2. T1 P 1 K(T jω 1 ) W(j) = 2 T1 jω 1 Vẽ đặc tuyến biên độ - tần số logarit (giản đồ Bode) 44
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số Lời giải Ta cĩ: 20lg W(j) = 20lgK + 20lg (T2j+1) – 20lg (T1j+1) 1 1 - Khi  > 1; T2 > 1; T2 >> 1 T1j +1 T1; T2j +1 T2 T1 T2 20lg W(j) = 20lgK – 20lgT1 + 20lgT2 (0db/dec) dB 20lgK 10 1 T T 1 2  1 T1 – 20db/dec II.2.3. Đặc Thưtuyến viện pha ĐH tần SPKT số LogaritTP.HCM - Đặc tuyến pha tần số logarit: () = arg(W(j)) = W(j) Ví dụ 1: Khảo sát hàm truyền đạt K W(p) = với K, T: hằng số TP 1 K W(j) = Tjω 1 Vẽ đặc tuyến pha - tần số logarit: () 1 - Khi  > T >> 1 Tj +1 Tj T K W(j) = = Tjω 2 45
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số db (độ) 1 20lgK T   0 1 0 - 20db/dec T 2 Ứng dụng: vẽ đặc tuyến pha tần số của mạch điện hình vẽ (2.6) 1KΩ u1(t) C = 1F u2(t) Hình (2.6) db 1 1 W(p) = với K, T: hằng số 103 TP 1 10 3 P 1  1 W(j) = Tjω 1 – 20db/dec 103  – Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - 4 – 2 Ví dụ 2: Cho hàm truyền đạt W(p) = K(Tp + 1) với K, T: hằng số W(j) = K(Tj + 1). Vẽ đặc tuyến pha - tần số logarit: (). Lời giải 1 - Khi  > T >> 1 Tj +1 Tj T W(j) = KTj = 2 46
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số db 20lgK  1 T 2  Ví dụ 3: Cho hàm truyền K(T2 P 1) W(p) = Với K, T1, T2: hằng số; T1 > T2 T1 P 1 K(T jω 1 ) W(j) = 2 T1 jω 1 Vẽ đặc tuyến pha - tần số logarit: () Lời giải 1 1 - Khi  > 1; T2 > 1; T2 >> 1 T1j +1 T1; T2j +1 T2 T1 T2 20lg W(j) = 20lgK – 20lgT1 + 20lgT2 (0db/dec) KT jω W(j) = 2 = 0 T1 jω 47
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số db 1 1 20lgK T1 T2  1 1 T T 1 2  0 π 2 BÀI TẬP CHƯƠNG II Bài 2.1: Cho hàm truyền K(T1P 1) W(p) = Với K, T1, T2: hằng số; T1 > T2 T2 P 1 K(T jω 1) W(j) = 1 T2 jω 1 Vẽ đặc tuyến biên độ và đặc tuyến pha - tần số logarit (giản đồ Bode). Bài 2.2: Cho mạch điện như hình vẽ (2.7) R1 Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Cho R1 = R2 = 1K; C = 0,1F. a) Tính hàm truyền W(P). C b) Vẽ đặc tuyến biên độ - tần số logarit u1(t)R u2(t) 2 (giản đồ Bode): 20lg W(j) Vẽ đặc tuyến pha - tần số logarit. Hình (2.7) Bài 2.3: Cho mạch điện như hình vẽ (2.8) R1 Cho R1 = R2 = 1K, C= 0,1F. a) Tính hàm truyền W(P). b) Vẽ đặc tuyến biên độ - tần số u1(t) C R2 u2(t) logarit (giản đồ Bode): 20lg W(j) Vẽ đặc tuyến pha - tần số logarit. Hình (2.8) 48
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số Bài 2.4: Cho mạch điện như hình vẽ (2.9) R1 = 9kΩ Cho R1 = 9K; R2 = 1K; C= 0,1F. a) Tính hàm truyền W(P). R = 1kΩ 2 b) Vẽ đặc tuyến biên độ - tần số logarit u (t) u (t) 1 2 (giản đồ Bode): 20lg W(j) C1 = 0,1F Vẽ đặc tuyến pha - tần số logarit. Hình (2.9) Bài 2.5: Cho mạch điện như hình vẽ (2.10) a) Tính hàm truyền W(P). R1 = 1kΩ b) Vẽ đặc tuyến biên độ - tần x(t) x1(t) số logarit (giản đồ Bode): + y(t) 20lg W(j) _ Vẽ đặc tuyến pha - tần số C = 0,1F logarit. R2 = 1kΩ 9kΩ 1kΩ Hình (2.10) Bài 2.6: Cho hàm truyền sau: K W(P) = Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - (T1 P 1)(T 2 P 1) K W(j) = (T1 jω 1)(T 2 jω )1 Vẽ đặc tuyến biên độ - tần số logarit (giản đồ Bode): 20lg W(j) Bài 2.7: Cho mạch điện như hình vẽ (2.11) Cho C = 1F. x(t) 1kΩ x1(t) a) Tính hàm truyền W(P). + y(t) _ b) Vẽ đặc tuyến biên độ - tần số R2 logarit (giản đồ Bode): 20lg W(j) và đặc tuyến pha - tần số logarit: () 1kΩ R1 C 2kΩ 2kΩ c) Tín hiệu vào cĩ  = 104 rad/s cĩ qua được mạch khơng? Hình (2.11) 49
Chuong II Chương II. Phân tích mạch trong miền tần số Bài 2.8: Cho mạch điện như hình vẽ (2.12) a) Vẽ đặc tuyến biên độ - tần số 9kΩ x(t) x1(t) logarit (giản đồ Bode): + y(t) _ 20lg W(j) và đặc tuyến pha - R1 tần số logarit: () R2 1kΩ b) Tín hiệu vào cĩ  = 105 rad/s cĩ qua được mạch khơng? 9kΩ 1kΩ C = 0,01µF Hình (2.12) Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - 50
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến CHƯƠNG III: MẠCH PHI TUYẾN III.1. CÁC PHẦN TỬ KHƠNG TUYẾN TÍNH Các phần tử KTT được sử dụng để tạo nên các quá trình KTT, mà mạch tuyến tính khơng thể tạo ra được như các quá trình chỉnh lưu, điều chế, tách sĩng, tạo dao động Mạch KTT là mạch cĩ chứa ít nhất một phần tử KTT, hoặc về mặt tốn học cĩ thể nĩi rằng, mạch KTT được mơ tả bằng phương trình vi phân phi tuyến. Các phần tử KTT nĩi chung khơng cĩ biểu diễn giải tích thuận tiện, nĩ thường được mơ tả bằng các đặc tuyến (đặc trưng) thực nghiệm, được cho dưới dạng các quan hệ dịng điện - điện áp đối với điện trở, từ thơng - dịng điện đối với cuộn dây và điện tích - điện áp đối với tụ điện. III.1.1. Điện trở phi tuyến Ký hiệu: R i + _ u Điện trở phi tuyến được xác định bởi quan hệ giữa dịng điện và điện áp: u = fR(i) (3.1) hay I = R(u) (3.2) –1 trong đĩ fR, R là các hàm liên tục trong khoảng (–∞, +∞) và R = fR (hàm ngược). Các đặc tuyến được mơ tả bởi các phương trình (3.1) và (3.2) sẽ đi qua gốc tọa độ và nằm ở gĩc phần tư thứ nhất và thứ ba. u i (2) Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - (1) i u 0 0 Hình 3.1a Hình 3.1b Nếu điện trở cĩ đặc tuyến (1) mà khơng cĩ (2), ta gọi nĩ là phần tử phụ thuộc dịng (R thay đổi theo i). Nếu điện trở KTT cĩ đặc tuyến (2) mà khơng cĩ (1), thì nĩ là phần tử phụ thuộc áp (R thay đổi theo v). Trong trường hợp phần tử phi tuyến cĩ cả hai đặc tuyến (dịng là hàm đơn trị của áp và ngược lại) thì đĩ là phần tử phi tuyến khơng phụ thuộc. Các điện trở khơng tuyến tính thực tế thường gặp là các bĩng đèn dây tĩc, các diode điện tử và bán dẫn III.1.2. Điện cảm phi tuyến (cuộn dây phi tuyến) Ký hiệu: L i + u _ 51
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Điện cảm phi tuyến được cho bởi đặc tuyến quan hệ giữa từ thơng và dịng điện cĩ dạng: d  = fL(i) (3.3) và u = (3.4) dt Trong đĩ fL là hàm liên tục trong khoảng (–∞, +∞), đi qua gốc tọa độ (, i) và nằm ở gĩc phần tư thứ nhất và thứ ba. Ngồi ra phương trình (3.3) cịn được biểu diễn dưới dạng: –1 i = L() với L= fL (3.5)  i 0 III.1.3. Điện dung phi tuyến Ký hiệu: C i _ + u Điện dung phi tuyến được đặc trưng bởi quan hệ KTT (khơng tuyến tính) giữa điện tích và điện áp trên tụ điện. dq q = fc(u) (3.6) và i = (3.7) dt Trong đĩThư fc là viện hàm ĐH liên SPKT tục TP.HCM trong khoảng - (–∞, +∞), cĩ đạo hàm liên tục khắp nơi, đi qua gốc tọa độ (q, u) và nằm ở gĩc phần tư thứ nhất và thứ ba. q u 0 Tùy thuộc vào điều kiện làm việc, người ta phân biệt các đặc tuyến của các phần tử KTT thành các loại sau: - Đặc tuyến tĩnh được xác định khi đo lường phần tử KTT làm việc với các quá trình biến thiên chậm theo thời gian. - Đặc tuyến động được đo lường khi các phần tử KTT làm việc với quá trình điều hịa. 52
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến - Đặc tuyến xung được xác định khi phần tử làm việc với các quá trình đột biến theo thời gian. III.2. CÁC THƠNG SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC PHẦN TỬ PHI TUYẾN III.2.1. Điện trở tĩnh và điện trở động Điện trở phi tuyến cĩ đặc tuyến u = fR(i), cĩ điện trở tĩnh được định nghĩa bởi tỉ số giữa điện áp và dịng điện tại điểm làm việc M(uo, Io) trên đặc tuyến tĩnh (hình 3.2a). U R o I M Điện trở động của phần tử phi tuyến được định nghĩa bởi đạo hàm của điện áp theo dịng điện tại điểm làm việc (hình 3.2b). du R đ di M Điện trở tĩnh được minh họa trên hình 3.2a, nĩ bằng tg . Với là gĩc được tạo nên giữa cát tuyến OM với trục i. Điện trở động là tg. Với  là gĩc giữa đường tiếp tuyến tại điểm M với trục i (hình 3.2b). Cả điện trở tĩnh và động đều phụ thuộc vào điểm làm việc trên đặc tuyến của phần tử phi tuyến, nĩ là hàm của dịng điện. u u uo u M o M Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - α  i i 0 I o 0 Io Hình 3.2a Hình 3.2b Ro = Ro(i) Rđ = Rđ(i) Chú ý: Với một số phần tử KTT, trong một khoảng biến thiên nào đĩ của dịng điện và điện áp, điện trở động của nĩ cĩ thể nhận giá trị âm, cịn giá trị của điện trở tĩnh thì luơn luơn dương. III.2.2. Điện cảm tĩnh và điện cảm động Điện cảm phi tuyến (KTT) cĩ đặc trưng  = fL(i). Điện cảm tĩnh là tỉ số giữa từ thơng và dịng điện tại điểm làm việc M(o, Io) (hình 3.3a). Φ Lo I M 53
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Điện cảm động Lđ được định nghĩa bởi đạo hàm của từ thơng theo dịng điện tại điểm làm việc M (hình 3.3b). d Lđ di M   o o M M  i i 0 0 Io Io Hình 3.3a Hình 3.3b III.2.3. Điện dung tĩnh và điện dung động Điện dung phi tuyến (KTT) cĩ đặc tuyến q = fc(u) cĩ các thơng số tĩnh và động được định nghĩa như sau: q Co u M dq Cđ du M Các thơng số tĩnh và động của điện dung phi tuyến đều phụ thuộc vào điểm làm việc của phần tử. Khi đã biết giá trị điện dung động Cđ(u) ta cĩ thể xác định dịng điện đi qua nĩ: dqThưdq việndu ĐH SPKTdu TP.HCM - i = = Cđ(u) dt du dt dt Các thơng số tĩnh được dùng để mơ tả phần tử KTT tại điểm làm việc tĩnh M(qo,uo), cịn các thơng số động dùng để mơ tả phần tử KTT tại điểm làm việc tĩnh, cĩ nguồn tác động biến thiên theo thời gian. III.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH KTT III.3.1. Phương pháp đồ thị Nội dung của các phương pháp này là dựa vào các đặc tuyến của các phần tử KTTđể tìm ra đáp ứng của mạch dưới dạng đồ thị, khi đã biết tác động ở đầu vào. Trên hình (3.4a) là đặc tuyến vơn - ampe của một phần tử KTT nào đĩ, nếu đặt vào nĩ một điện áp biến thiên theo thời gian trên hình (3.4b), thì đáp ứng dịng điện ở trên phần tử cĩ thể xác định bằng phương pháp đồ thị. 54
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến )c )a i t ,t t4 o 4 t o i(t) t1,t3 t1 t3 t t 2 2 u 0 t 0 to t1 t2 t3 t4 )b 0 t u o to t1 t1 t2 t2 Hình 3.4 t3 t3 t4 t4 t u(t) Từ hình vẽ, ta cĩ thể xác định giá trị của u(t) tại những thời điểm đã chọn và sau đĩ dĩng lên đặc tuyến của phần tử KTT, từ đĩ cĩ thể vẽ được dạng của dịng điện theo thời gian hình (3.4c). Phương pháp đồ thị cho ta kết quả định tính, dễ sử dụng trong trường hợp nguồn tác động cĩ dạng đơn giản. Trong trường hợp phân tích cần kết quả chính xác cần phải áp dụng phương pháp giải tích. III.3.2. Phương pháp dị Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ (3.5) R I Thư viện1 ĐH SPKT TP.HCM - Phần tử khơng tuyến tính được cho từ đặc tuyến thực nghiệm theo bảng (3.1)sau. U = 10V R2 = 2 Hãy tìm I. I (A) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Hình (3.5) U(v) 1 2 2,5 3 3.5 4 4,5 Bảng (3.1) Lời giải Lập bảng: n I UR1 UR2 = IR2 U = UR1 + UR2 So sánh với 10 1 0,5 1 1 2 Khác 2 1 2 2 4 Khác 3 1,5 2,5 3 5,5 Khác 4 2 3 4 7 Khác 5 2,5 3,5 5 8,5 Khác 6 3 4 6 10 = 10 55
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Vậy I = 3 (A). I = (A) Đọc UR1 UR2 = IR2 U = U1 + U2 I = I + I S U = 10V Đ In I Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ (3.6) R3 = 2 Phần tử khơng tuyến tính được cho + I I2 I1 từ đặc tuyến thực nghiệm theo bảng Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Hãy tìm I, I1, I2. U = 4V R2 R1 _ I (A) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Hình (3.6) U(v) 1,5 2 2,5 3 3.5 4 4,5 Lập bảng: Số UR1 UR1 U = UR3 So sánh I1 I2 I = I1 + I2 UR3 = IR3 lần n (đọc) R 2 + UR1 với 4V 1 0,5 1,5 0,75 1,25 2,5 4 = 4V 2 1 2 1 2 4 6 Khác 3 1,5 2,5 1,25 2,75 5,5 8 Khác 4 2 3 1,5 3,5 7 10 Khác 5 2,5 3,5 1,75 4,25 8,5 12 Khác 6 3 4 2 5 10 14 Khác 56
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Vậy I = 1,25 (A); I1 = 0,5 (A); I2 = 0,75 (A). Start I1 = (A) Đọc UR1 I1 = I1 + I1 U R1 I2 = R 2 I = I + I 1 2 UR3 = IR3 U = UR1 + UR3 U - 4  S Đ ln I III.3.3. Phương pháp giải tích  Biểu diễn gần đúng đặc tuyến bằng đa thức nguyên Giả thiết Thưphần viện tử KTTĐH SPKT được TP.HCM cho bởi - đặc tuyến i = f(u) cĩ được từ thực nghiệm hoặc từ các nhà sản xuất hình (3.7). Phần tử KTT cĩ điểm làm việc được chọn là M(u0, I0). Cĩ thể biểu diễn gần đúng đặc tuyến của phần tử KTT bằng khai triển Taylor tại điểm làm việc M như sau: 2 n i = a0 + a1(u – u0) + a2(u – u0) + + an(u – u0) (3.3.1) Các hệ số an được xác định bởi: a0 = i(u0) a1 = i’(u0) i"(uo ) a2 = (3.3.2) 2! )n( i (u0 ) an = n! Trong thực tế tùy theo mức độ chính xác yêu cầu, người ta sẽ hạn chế bậc của đa thức (3.3.1). Biểu thức (3.3.2) là cơng thức xác định các hệ số khai triển Taylor trong trường hợp hàm f(u) đã xác định. Đối với các phần tử KTT, hàm f(u) thường được cho bằng đặc tuyến thực nghiệm, do đĩ để xác định các hệ số an cũng phải tiến hành bằng thực nghiệm. 57
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Ví dụ khi hạn chế đa thức (3.3.1) ở bậc hai, ta cần phải xác định ba hệ số a0, a1, a2. để tìm ba hệ số này, ngồi điểm làm việc M, ta cần chọn thêm hai điểm A, B trên đặc tuyến của phần tử KTT hình (3.7). Cách xác định như vậy được gọi là phương pháp ba tung độ. Ta sẽ thiết lập ba phương trình mơ tả đặc tuyến của phần tử KTT tại ba điểm chọn là: a0 = I0 2 a0 + a1(uA – u0) + a2(uA – u0) = IA 2 a0 + a1(uB – u0) + a2(uB – u0) = IB (3.3.3) Từ ba phương trình (3.3.3) ta sẽ tìm ra ba giá trị của a0, a1, a2. i IA A I0 M IB B u uB u0 uA Hình 3.7  Biểu diễn đặc tuyến bằng đường gãy khúc (phương pháp tuyến tính hĩa từng đoạn) Trong thực tế phân tích mạch KTT, nhiều trường hợp phải thay thế đặc tuyến của phần tử KTT bằng những đoạn thẳng, điều đĩ hồn tồn là để làm đơn giản việc phân tích và biểu diễn kết quả. Phương pháp này được gọi là phương pháp tuyến tính hĩa đặc tuyến của phần tử KTT. Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Để thực hiện việc tuyến tính đặc tuyến, hãy xét một phần tử KTT cĩ đặc tuyến u=fR(i) liên tục và khả vi tại lân cận điểm làm việc M(u0, I0) hình (3.8). Hàm u = f(i) cĩ thể khai triển thành chuỗi Taylor tại điểm M(u0, I0): 1 2 u = f(i) = f(I0) + f’(I0)(i – I0) + f”(I0)(i – I0) + (3.3.4) 2 Nếu giới hạn đa thức ở bậc nhất, thì một cách gần đúng ta chỉ sử dụng hai số hạng đầu tiên của chuỗi (3.3.4), tức là: u f(I0) + f’(I0)(i – I0) (3.3.5) Tại điểm M(u0, I0) ta cĩ: f(I0) = u0 du f'(I0 ) R đ di M Nên biểu thức (3.3.5) cĩ thể viết lại dưới dạng: u = u0 + Rđ(i – I0) hay u Rđ.i + E (3.3.6) 58
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Trong đĩ Rđ là điện trở động của phần tử KTT tại điểm làm việc, cịn E được xác định theo biểu thức: E = u0 – Rđ.I0 (3.3.7) Biểu thức (3.3.6) chính là phương trình đường thẳng tiếp tuyến với đặc tuyến u=f(i) tại điểm M và cắt trục điện áp tại điểm E được xác định theo biểu thức (3.3.7). u M U 0 E i 0 I0 Hình 3.8 Từ những phân tích trên đây cĩ thể thấy rằng, đặc tuyến của phần tử KTT ở lân cận điểm làm việc cĩ thể được làm gần đúng bằng một đoạn thẳng. Điều đĩ cĩ nghĩa là ta đã thay thế một phần tử KTT bằng một hai cực tuyến tính trên hình (3.9). E Rđ R i i đ u u Hình 3.9 Hình 3.10 Việc làm Thưđúng viện trên ĐH đây SPKT được TP.HCM sử dụng - trường hợp khi phần tử KTT cĩ tác động là nguồn dịng gồm hai thành phần: i = I0 + i với I0: là thành phần một chiều tại điểm làm việc M. i: là thành phần xoay chiều thỏa mãn điều kiện Imax< I0 Khi đĩ hạ áp trên phần tử KTT cũng sẽ bao gồm hai thành phần: u = u0 + u Trong đĩ u là thành phần xoay chiều của điện áp tại điểm làm việc M. Từ pt (3.3.6) ta cĩ thể viết: u = Rđ.i 3 u 2 Ví dụ: Cho i k 1 với k, E là hằng số E Khai triển i(u) thành chuỗi Taylor ở lân cận u0 = 0. Lời giải a0 = i(u0) = i(0) = k 59
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến 1 3 k u 2 i'  1 2 E E 3k a1 = i’(u0) = i’(0) = 2E 1 3 k u 2 i"  1 4 E 2 E i"(0) 3k a 2 2! 8E 2 3k 3k Vậy i(u) k u u2 2E 8E 2 + Nhận xét: - Xấp xỉ i(u) = a0 - Khi tín hiệu dao động với biên độ nhỏ quanh giá trị u0 ta chỉ cần khai triển ở bậc 1: i(u) = a0 + a1(u – u0) - Khi tín hiệu dao động với biên độ lớn quanh giá trị u0 thì bậc của phương trình khai triển tăng lên để đảm bảo tính chính xác.  Phương pháp xác định hệ số của chuỗi Taylor bằng đồ thị Ví dụ: Cho đặc tuyến vơn - ampe được xác định bằng đặc tuyến thực nghiệm theo bảng sau: v - 0,3 - 0,2 - 0,1 0 0,1 0,2 0,3 i 2,22 2,42 2,62 2,38 3,04 3,26 3,49 Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Δ i 2 2 2,1 2,1 2,2 2,3 Δ u Đọc i’ 2 2,04 2,09 2,16 2,25 Δ i' 0,4 0,5 0,7 0,9 Δ u Đọc 0,46 0,6 0,78 i” 4.0 3.0 i, miliampe 2.0 - 0,3 - 0,2 - 0,1 0 0,1 0,2 0,3 u, volt 60
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến 2.3 u u 2.2 i/ 2.1 2.0 - 0,3 - 0,2 - 0,1 0 0,1 0,2 0,3 u, volt 1,0 0,8 u 2 i/ 2 0,6 0,4 - 0,3 - 0,2 - 0,1 0 0,1 0,2 0,3 u, volt - Viết khai triển Taylor của i(v) ở lân cận u0 = 0 a0 = i(u0) = 2,83 a1 = i’(u0) = 2,09 i"(u0 ) a2 = = 0,3 2! i(u) = 2,83 + 2,09.u + 0,3.u2 - Viết khai triển chuỗi Taylor của i(u) ở lân cận u0 = 0,1 a0 = i(u0) = 3,04 a1 = i’(u0) = 2,16 i"(u0 ) a2 = = 0,39 Thư2! viện ĐH SPKT TP.HCM - i(u) = 3,04 + 2,16(u – 0,1) + 0,3(u – 0,1)2 III.4. CÁCH GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ KTT III.4.1. Mắc nối tiếp các phần tử KTT Sơ đồ nối tiếp hai điện trở KTT cĩ đặc tuyến lần lượt là u1 = fR1(i) và u2 = fR2(i). Mạch tương đương của cách nối tiếp hai phần tử là mạch trên hình (3.11b). i i u1 u u u2 Hình 3.11b Hình 3.11a 61
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Áp dụng định luật Kirchhoff 2 ta cĩ: u = u1 + u2 = fR1(i) + fR2(i) = fR(i) Bởi vì dịng điện trong mạch nối tiếp là như nhau, nên khi vẽ các đặc tuyến của các phần tử KTT trên cùng một hệ trục tọa độ (u, i), ta cĩ thể xác định điện áp trên từng phần tử tương ứng với từng giá trị của dịng điện. Nối các điểm cĩ cùng dịng điện và điện áp bằng tổng điện áp trên từng phần tử ta sẽ được đặc tuyến của cả hệ thống. u u = fR(i) u = f (i) R2 u = fR1(i) i III.4.2. Mắc song song i i i2 i1 u u Hình 3.12.a,b. Nối song song hai điện trở KTT Mạch nối song song hai điện trở KTT cĩ đặc tuyến lần lượt là i1 = R1(u) và i2 = Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - R2(u) được cho trên hình (3.12.a). Hãy xác định đặc tuyến tổng hợp I = R(u) của điện trở KTT tương đương trên hình (3.12.b). Áp dụng định luật Kirchhoff 1 ta cĩ: i = i1 + i2 = R1(u) + R2(u) = R(u) Với mạch nối song song, điện áp trên các phần tử là như nhau. Do đĩ, khi vẽ các đặc tuyến vơn - ampe của các phần tử KTT trên cùng một hệ trục tọa độ (u, i), tại các giá trị khác nhau của u, ta sẽ tìm được giá trị của I trên cả hệ thống. Dịng qua phần tử tương đương sẽ bằng tổng các dịng thành phần. i i = R(u) i2 = R2(u) i1 = R1(u) u 0 u1 u2 u3 62
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến III.4.3. Cách nối các phần tử KTT với nguồn tác động Trong phân tích mạch KTT nhiều khi cũng cần phải xây dựng đặc tuyến tổng hợp của mạch mắc nối tiếp hoặc song song của điện trở KTT với nguồn áp hoặc dịng. i i u1 u1 u u E E Hình 3.13.a,b. Mắc nối tiếp của nguồn áp với điện trở KTT Hãy xét mạch mắc nối tiếp trên hình (3.13.a,b) của nguồn áp một chiều cĩ sức điện động E với điện trở KTT cĩ đặc tuyến u1 = f1(i) trên hình (3.14). Với các mạch trên hình 4.1.a,b ta cĩ các phương trình: u = u1 + E = f1(i) + E u u = u1 – E = f1(i) – E i 0 Hình 3.14. Đặc tuyến u.i của điện trở KTT Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Đồ thị của các phương trình được vẽ trên hình (3.15.a,b). u u E i i 0 0 -E Hình 3.15.a,b. Đặc tuyến tổng hợp Từ các đồ thị trên hình (3.15.a,b) cho thấy, việc mắc nối tiếp nguồn áp một chiều sẽ làm dịch chuyển đặc tuyến của phần tử KTT dọc theo trục áp một đoạn là E. Ví dụ: Hãy tìm đặc tuyến tổng hợp của mạch mắc nối tiếp của nguồn áp một chiều cĩ sức điện động E với một điot bán dẫn hình (3.16). Đặc tuyến của điot bán dẫn được làm gần đúng bằng hai đoạn thẳng như trên hình (3.17). 63
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến i i i i = d(u) f (i) f (i) d d u u E E u 0 Hình 3.17. Đặc tuyến Diode bán dẫn Hình 3.16.a,b Với mạch trên hình (3.16.a,b) ta cĩ thể viết: (a) u = f(i) + E (b) u = – f(i) – E Đồ thị dịng và áp của các mạch trên hình (3.16) cĩ dạng như trên hình (3.18.a,b). i i – E 0 u u E 0 Hình 3.18.a,b Đặc tuyến tổng hợp Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - III.4.4. Mạch KTT dịng một chiều Khi mạch bao gồm các điện trở tuyến tính, nguồn áp, nguồn dịng và một điện trở KTT, người ta thường áp dụng phương pháp nguồn tương đương Thevenin và Norton để tìm đặc tuyến tổng hợp của mạch. Để xác định các thơng số của nguồn tương đương, phần tử KTT được tách ra khỏi mạch, phần mạch tuyến tính cịn lại sẽ được thay thế bằng nguồn tương đương cĩ các thơng số được xác định như sau: Với nguồn áp Thevenin - Điện áp E là điện áp trên các cực A, B hở mạch - Điện trở tương đương RAB là điện trở tuyến tinh của hai cực thụ động nhìn từ hai cực A, B. Mạch tuyến A u tính B 64
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến i i IG RAB u u J GAB E Hình 3.19.a,b Với nguồn dịng Norton - Dịng điện J là dịng qua các cực A, B ngắn mạch. 1 - Điện dẫn GAB = R AB Với mạch trên hình, khi đã biết giá trị của nguồn E, đặc tuyến của điện trở KTT i= (u) và giá trị RAB, ta cĩ thể tiến hành phân tích mạch KTT bằng phương pháp đồ thị. Dịng điện và điện áp trên các phần tử sẽ được xác định như sau: E = RABi + u (4.4.1) E U hay i = (4.4.2) R AB Đặc tuyến của phần tử KTT là: i = (u) (4.4.3) Khi cân bằng 2 vế của phương trình (4.4.2) và (4.4.3) ta được: E U (u) = (4.4.4) R AB Phương trìnhThư viện(4.4.4) ĐH cĩ SPKT thể TP.HCMđược giải - bằng phương pháp đồ thị, khi ta vẽ chúng trên cùng một hệ tọa độ (u, i) (Hình 3.20.a). Giao điểm của đường thẳng (4.4.2) với đặc tuyến (4.4.3) là nghiệm của phương trình (4.4.4). Tọa độ của giao điểm M sẽ cho biết dịng điện qua phần tử KTT và hạ áp trên nĩ. Hạ áp trên phần tử tuyến tính là: uRAB = E – u (4.4.5) Bằng cách làm tương tự, ta cĩ thể phân tích đối với mạch trên hình (3.19b). Các phương trình mơ tả mạch: J – GABu = i (4.4.6) J i hay u = (4.4.7) G AB Khi đã biết đặc tuyến của phần tử KTT: u = f(i) (4.4.8) Cân bằng các vế phải của phương trình (4.4.7) và (4.4.8) ta cĩ: J i f(i) = (4.4.9) G AB 65
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Nghiệm của pt (4.4.9) là giao điểm của đường thẳng (4.4.7) và đặc tuyến (4.4.8), tọa độ của điểm M cho biết hạ áp trên các cực của mạch và dịng điện đi qua phần tử KTT (hình 3.20b). Dịng qua điện dẫn GAB là: IG = J – i i u i = (u) u = f(i) E J R G M M I U u i 0 U E 0 I J Hình 3.20.a,b R1 Ví dụ: Cho mạch KTT như hình vẽ (3.21) i Hãy dùng phương pháp đồ thị để tìm R3 điện áp và dịng điện qua điện qua điện J A trở KTT và cơng suất tiêu hao trên nĩ. R R2 u Biết J = 7 [mA]; R1 = 200Ω R = 600Ω; R2 = 800Ω; R3 = 300Ω, và đặc B tuyến dịng áp của điện trở KTT theo Hình 3.21 bảng sau: u[V] 0,1 0,32 0,6 1,1 2 2,8 i[mA] 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Lời giải Thay thế phần mạch tuyến tính nhìn từ hai cực A, B bằng nguồn dịng tương đương Norton trên hình (3.22). R R 2 RR 2 JJAB = J = 3 [mA] RR2 3 RR2 3 RR2 RR 3 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 RR 1 RR2 3 (R R1)R 2 RR3 R 1R 3 R 2R 3 RR 2 R 1R 2 RAB = R3 = = 700Ω RRR 1 2 RRR 1 2 A I JAB RAB u B Hình 3.22 66
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Dịng và áp trên điện trở KTT sẽ được xác định bằng phương pháp đồ thị. Dựa trên sơ đồ tương đương hình (3.22) và các thơng số vừa xác định ta cĩ phương trình: u = (JAB – I)RAB (4.4.10) Trên cùng một hệ trục toạ độ (u, i) ta vẽ đặc tuyến của phần tử KTT và phương trình đường thẳng (4.4.10). Giao điểm M cĩ tọa độ xác định từ đồ thị M chính là hạ áp và dịng điện trên điện trở KTT. u[V] 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 M 0.5 i[mA] 0.5 1.0 3.0 1.5 I 2.0 2.5 III.5. BÀI TẬP CHƯƠNG III (Mục III.4) Bài 3.1: Người ta mắc nguồn áp E = 100V vào hai cực nối tiếp của điện trở tuyến tính R = 200Ω và điện trở KTT cĩ đặc trưng cho ở bảng (3.3) sau: Bảng (3.3) u[V] 0 10 20 30 40 50 60 I[A] 0 0,23 0,30 0,34 0,37 0,395 0,42 Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Hãy xác định dịng qua nhánh và áp trên mỗi phần tử bằng phương pháp đồ thị. Đáp số: I = 0,34[A]; u = 31[V] Bài 3.2: Phần tử khơng tuyến tính cĩ đặc trưng: u[V] 0 100 200 300 400 500 I[mA] 0 0,06 0,16 0,28 0,60 2,0 được nối với điện trở R1 = 0,4[M Ω], cả hệ thống được mắc nối tiếp với R2 = 0,1[M Ω] và nguồn áp E = 500[V]. Hãy xác định điện áp trên phần tử KTT và dịng điện qua mỗi phần tử của mạch trên hình 3.23. 67
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến R I2 2 I I1 E R1 u Hình 3.23 Đáp số: u= 365[V], I = 0,44[mA]; u 365 I1 = = = 0,91[mA]; R1 4,0 I2 = I + I1 =0,44 + 0,91 = 1,35[mA] Bài 3.3: Cho mạch trên hình vẽ (3.24) với các số liệu: E1 = 64[V]; E3 = 10[V] R1 = 8[Ω]; R2 = 24[Ω] I1 I2 I3 E1 E3 R2 R1 Rf Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Hình 3.24 Đặc trưng của phần tử KTT được cho dưới dạng bảng (3.4): I[A] 0 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 u[V] 0 36 45 50 55 57 Hãy xác định các dịng điện I1, I2, I3. Đáp số: I3 = 0,85[A] và u = 32,9V UCD = E3 + u = 10 + 32,9 = 42,9 V U CD I2 = =1,78[A]; R2 I1 = I2 + I3 = 1,78 + 0,85 = 2,64[A]; Bài3. 4: Cho mạch điện trên hình(3.25) với J = 2,5[A], E = 60[V] và phần tử KTT cĩ đặc trưng: 68
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến u = 5I3 Hãy xác định dịng điện và điện áp trên phần tử KTT. I u 60 J 30 30 E Hình 3.25 Đáp số: I = 1[A]; u = 5[V] Bài 3.5: Cho mạch trên hình (2.26) với giá trị của nguồn áp E = 30[V], R = 20 và đặc trưng của các phần tử KTT: 2 I1 = 0,01u1 + 0,003u1 R 2 I2 = 0,04u2 + 0,002u2 I I2 1 E Rf1 Rf2 u Hình 3.26 Hãy xác định điện áp u và dịng qua nhánh I1, I2 (với u >0) Đáp số: u = 10VThư viện ĐH SPKT TP.HCM - 2 I1 = 0,01.10 + 0,003.10 = 0,4 A I2 = 0,04.10 + 0,002.100 = 0,6 A III.6. CHUỖI FOURIER III.6.1. Chuỗi Fourier lượng giác Một tín hiệu được gọi là tuần hồn nếu nĩ thỏa mãn điều kiện: f(t) = f(t + nT) ; với n: là số nguyên Trong đĩ T là chu kỳ lặp lại của tín hiệu, tần số tương ứng với chu kỳ T được 2π gọi là tần số cơ bản của tín hiệu, nĩ được xác định theo biểu thức sau: ω 0 T [rad/s]. Một tín hiệu tuần hồn với chu kỳ T, thỏa mãn điều kiện Dirichlet, sẽ được biểu diễn bằng chuỗi Fourier lượng giác cĩ dạng như sau: f(t) = a0 + (an cosnω 0t b n sin nω 0 )t (3.6.1) n 1 69
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Chuỗi (3.6.1) bao gồm một số hạng khơng phụ thuộc thời gian và tổng vơ hạn các hàm điều hịa cĩ tần số bằng n lần tần số cơ bản. Các hệ số a0, an, bn được gọi là các hệ số khai triển Fourier và được xác định theo các cơng thức sau: t T 1 0 a0 = f(t)dt (3.6.2) T t0 t T 2 0 an = f(t)cosnω dt , trong đĩ n = 1, 2, 3 (3.6.3) T 0 t0 t T 2 0 bn = f(t)sin nω dt (3.6.4) T 0 t0 Thành phần a0 khơng phụ thuộc thời gian, biểu thị giá trị trung bình của hàm f(t) trong 1 chu kỳ, nĩ cịn được gọi là thành phần 1 chiều của tín hiệu. Các hệ số an, bn là biên độ của các thành phần cosin và sin tương ứng với các tần số n0. Hay ta cĩ thể viết: 1 f(t) = a0 + a1 cost + a2 cos2t + a3 cos3t + 2 + b1 sint + b2 sin2t + b3 sin3t + 1 chiều Sĩng cơ Hài bậc 2 Hài bậc 3 bản Sĩng tổng khơng sin Sĩng tổng khơng sin ThưSĩng viện cơ ĐH bản SPKT TP.HCM - cơ bản Sĩng hài bậc 3 Sĩng hài bậc 3 Sĩng hài bậc 1 (sĩng cơ bản): sĩng sin tần số  Sĩng hài bậc 3: sĩng sin tần số 3  Nhận xét: Một dạng sĩng tuần hồn bất kỳ cĩ thể được phân tích thành tổng những dạng sĩng hình sin cĩ tần số khác nhau. III.6.2. Chuỗi Fourier dạng phức Tín hiệu tuần hồn f(t) cịn cĩ thể được biểu diễn bằng chuỗi phức Fourier cĩ dạng sau: ω  jn 0t f(t) = Fn e (3.6.5) n 70
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến  Trong đĩ Fn được gọi là hệ số khai triển Fourier và được xác định bởi biểu thức: t T 1 0 F f(t)e jnω0t dt (3.6.6) n T t 0 Với một tín hiệu f(t) thực ta luơn cĩ:     FFn n và arg Fn = – arg F n hay: ω ω  ω  ω  jn 0t  jn0 t  j(argFn n 0t) j(argF n n 0 )t Fn e + F n e = Fn  e e    = 2 Fn cos(nω 0t argF n ) = Cncos(n0t + n) (3.6.7)   Với Cn = 2 Fn và n = arg Fn (3.6.8) F0 = C0 = a0 an jb n F = ; an = F + F ; bn = j( F – F ) n 2 n n n n (3.6.9) C a2 b2 F = n = n n n 2 2 arg F = n = n – (3.6.10) n 2 Từ biểu thức (3.6.5) cĩ thể thấy rằng, chuỗi phức Fourier bao gồm hai chuỗi vơ hạn các vectơ liên hiệp phức đối với trục thực và quay ngược chiều nhau với vận tốc gĩc n0. Tổng hình học của mỗi cặp vectơ liên hiệp phức tại mọi thời điểm sẽ cho ta thành phần hài thứ n hình (3.27). Nĩi cách khác, thành phần hài thứ n bao gồm hai thành phần, cĩ hình chiếu trên trục thực bằng nhau, quay ngược chiều nhau với Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - vận tốc bằng n0. Jm 2π ω  0 T Fn Re 2π  ω F n 0 0 T fn(t) 2π T ω C 2 F n n t Hình 3.27 71
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Ví dụ 1: Phân tích dạng sĩng sau thành chuỗi Fourier, cĩ biên độ là 1; chu kỳ 2 . 1 f(t) = a0 + a1cost + a2cos2t + a3cos3t + + b1sint + b2sin2t + b3sin3t 2 + v f(x) = 1 0 < x < f(x) = – 1 < x < 2 1 t 0 2 - 1 Lời giải 1 f(x) = a0 + a1cosx + a2cos2x + + b1sinx + b2sin2x + 2 1 2 an = f(x).cosnxdx 0 1 2π an = 1.cosnxdx (-1)cosnxdx 0 π 1 π 2π 1 an = (sin nx sin nx ) = (2sin n x  sinn2 ) n 0 π n Ta thấy an = 0 với n = 0, 1, 2 (a1, a2, , an = 0) + Xác định a0: 1 2 1 2 a0 = Thư f(x).cos0xdx viện ĐH SPKT = TP.HCM f(x).dx - 0 0 1 2π = 1.dx (-1)dx = 0 0 π + Xác định bn: 1 2 bn = f(x).sinnxdx 0 2π 1 1 π 2π bn = 1.sinnxdx -sinnxdx = ( cosnx cosnx ) 0 π 0 π n 1 = {1 – 2cosn + cosn2 } n Khi n lẻ: 4 bn = n 4 4 4 b1 = ; b3 = ; b5 = 3 5 72
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Khi n chẵn: bn = 0 4 1 1 Vậy f(t) = (sint + sin3t + sin5t + ) 3 5 1 Khi T = 1ms f = = 1000Hz  = 2 f = 2000 T  Nhận xét: - Chuỗi Fourier là tổng các dạng sĩng hình sin cĩ tần số từ thấp đến cao. - Biên độ sĩng hài bậc càng cao thì càng nhỏ.  Phổ tần số: Phổ tần số cho ta biết biên độ các sĩng hài 4 1 1 f(t) = (sint + sin3t + sin5t + ) 3 5 b 4 Số lần tần số 0 1 3 5 7 cơ bản Ví dụ 2: PhânThư tích viện dạng ĐH sĩng SPKT sau TP.HCM thành chuỗi- Fourier: f(x) x f(x) = – < x < 1 t - 0 2 - 1 Tính hệ số chuỗi Fourier. Lời giải Tính an: 1 x 1 a = .cosnxdx = x.cosnxdx n  73
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến 1 1 x = cosnx sinnx  2 n n 1 1 1 a = cosn cosn ) ( sinn sinn n  2 n n n 0 an = 0 1 x a0 = .dx = 0 1 x 1 Tính b : b = .sinnxdx = x.sinnxdx n n  1 1 x 1 = sinnx cosnx = sin n n cosn  2  n n n 2 n lẻ: bn = n 2 2 2 b1 = ; b3 = ; b5 = 3 5 2 n chẵn: bn = n 1 1 1 b2 = ; b4 = ; b6 =   2 1 1 1 Vậy f(t) = (sint – sin2t + sin3t – sin4t + )    b Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - 2 2 4 6 Số lần tần 0 1 3 5 số cơ bản Nhận xét: Biên độ sĩng hài càng cao thì bậc càng nhỏ Ví dụ 3: Phân tích dạng sĩng sau thành chuỗi Fourier. v 10 0 x )x(f giả sử T = 0,628ms 0 x 2 10 t 0 T 74
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến Lời giải 1 f(x) = a0 + a1cosx + a2cos2x + + b1sinx + b2sin2x + 2 1 2 an = f(x).cosnxdx 0 2π 1 10 π an = 10.cosnxdx (0)cosnxdx = sin nx 0 0 π n 10 = sin n n Ta thấy an = 0 với n = 0, 1, 2 (a1, a2, , an = 0) + Xác định a0: 1 2 1 2 1 2π a0 = f(x).cos0xdx = f(x).dx = 10.dx (0)dx = 10 0 0 0 π + Xác định bn: 1 2 bn = f(x).sinnxdx 0 1 10 π bn = 10.sinnxdx = ( cosnx ) 0 0 n 10 = {1 – cosn } n Khi n lẻ: 20 bn = nThư viện ĐH SPKT TP.HCM - 20 20 20 b1 = ; b3 = ; b5 = 3  Khi n chẵn: bn = 0 1 f(x) = a0 + a1cosx + a2cos2x + + b1sinx + b2sin2x + 2 20 1 1 Vậy f(t) = 5 + (sint + sin3t + sin5t + ) 3 5 1 Khi T = 0,628ms f = = 1592,36Hz  = 2 f = 10000 rad/s T 20 1 1 Vậy v(t) = 5 + (sin10000t + sin30000t + sin50000t + ) 3 5 75
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến III.7. BÀI TẬP CHƯƠNG III (Mục III.6) Bài 3.6: Cho sĩng chỉnh lưu bán kỳ như sau: v 1 π t π π 3π 2 2 2 Hãy phân tích dạng sĩng trên thành chuỗi Fourier. 1 π 2 2 2 Đáp số: f(t) = (1 + cost + cos2t – cos4t + cos6t + ) π 2 3 15 35 Bài3. 7: Cho sĩng chỉnh lưu tồn kỳ như sau: v 1 t π π π 3π 2 2 2 Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Hãy phân tích dạng sĩng trên thành chuỗi Fourier. 2 2 2 2 Đáp số: f(t) = (1 + cos2t – cos4t + cos6t + ) π 3 15 35 Bài 3.8: Hãy phân tích dạng sĩng sau thành chuỗi Fourier: f(x) 2 t -2 0 2 4 Đáp số: 76
Chuong III Chương III. Mạch phi tuyến 2 1 2 1 f(t) = – 2sint – sin2t – sin3t – sin4t – sin5t – sin6t + 3 2 5 3 Bài 3.9: Khai triển chuỗi Fourier của dạng sĩng sau: f(x) 4 t - 0 2 3 - Đáp số: 4 4 4 2 2 f(t) = – cost – cos3t – cos6t + 2sint + sin3t + sin5t π 9π 25π 3 5 Bài 3.10: Khai triển chuỗi Fourier của dạng sĩng sau: f(x) 2 t - 2 8 8 8 Đáp số: f(t) = – cost – cos3t – cos5t Thư việnπ ĐH SPKT9π TP.HCM - Bài 3.11: Khai triển chuỗi Fourier của dạng sĩng sau: f(x) 2 1  t - 2 - 0 2 3 2 2 2 Đáp số: f(t) = – (sint + sin3t + sin5t) 2 π 3 5 77
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài CHƯƠNG IV ĐƯỜNG DÂY DÀI IV.1. CÁC THƠNG SỐ ĐƠN VỊ CỦA ĐƯỜNG DÂY DÀI IV.1.1. Định nghĩa : x = 0 i x = l u x x Hình 4-1 Sơ đồ đường dây dài Điện cảm đơn vị của đường dây dài, biểu thị năng lượng tích lũy trong từ trường của đoạn dây cĩ độ dài 1m, ký hiệu L0 và cĩ đơn vị [H/m]. Điện dung đơn vị của đường dây, biểu thị năng lượng tích lũy trong điện trường giữa các dây dẫn cĩ độ dài 1m, được ký hiệu là C0 và cĩ đơn vị là [F/m]. Điện trở đơn vị của đường dây biểu thị tổn hao nhiệt trong các dây dẫn, cĩ độ dài 1m, được ký hiệu là r0 và cĩ đơn vị [/m] Điện dẫn rị đơn vị giữa các dây dẫn biểu thị tổn hao nhiệt trong điện mơi của đoạn dây cĩ độ dài 1m, được ký hiệu là G0 và cĩ đơn vị [S/m]. Các thơng số đơn vị được nêu trên đây được gọi là các thơng số sơ cấp của đường dây dài. Cách xác định các thơng số đơn vị: Đường dây Song hành Đồng trục Thơng số Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - L0 μ d μ r ln ln 2 r  r1 C0 ε  ε d r ln ln 2 r r1 r0 1 μ 0 fρ 1 1 μ 0 fρ r r1r 2 4 G0 .C0.tg .C0.tg Zc 120 d 60 r ln ln 2 r ε r ε r r1 r : bán kính dây dẫn d : khoảng cách giữa 2 dây r1: bán kính dây dẫn trong của đường dây đồng trục r2 : bán kính dây dẫn ngồi của đường dây đồng trục : điện trở suất của dây dẫn 78
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài  : gĩc tổn hao điện mơi  = r0 ;  = r0 Zc : trở kháng đặc tính. 1 9 0 = .10 [F/m] ; hằng số điện mơi của chân khơng 26 r : hằng số điện mơi của mơi trường -7 2mm 0 = 4 .10 [H/m] : độ từ thẩm của chân khơng 10m r : độ từ thẩm của mơi trường m 11m m Hình 4-2 Ví dụ 1: Một đường dây đồng trục làm bằng đồng, cĩ hằng số điện mơi r = 2,4 ; tg = 10-4, -7 0 = 4 .10 . Đường dây làm việc ở tần số f = 100MHz, cĩ kích thước hình học như trên hình 2 và điện trở suất = 1,75.10-8.m. Hãy xác định các thơng số đơn vị của đường dây đồng trục. Giải: Điện trở đơn vị đối với dịng điện xoay chiều : 1 1 μ fρ 1 1 4 .10 7 .10 8 .1,75.10 8 r = 0 = = 0,627 [.m] 0 3 3 r1r 2 4 10 5.10 4 Điện cảm đơn vị : μ r2 -7 -7 L0 = ln = 2.10 .ln5 = 3,219.10 [H/m]  r1 Điện dung đơn vị 9  ε 2,4.10 -11 C0 = = = 8,284.10 [F/m] r 18ln5 ln 2 r1 Điện dẫnThư rị đơnviện vị ĐH SPKT TP.HCM - 8 -11 -4 -6 G0 = .C0.tg = 2 .10 .8,284.10 .10 = 5,205.10 [S/m] IV.1.2. Phương trình đường dây dài và nghiệm : Bởi vì các thơng số của đường dây dài phân bố dọc theo chiều dài của nĩ, nên điện áp và dịng điện được xác định dọc theo đường dây. i(x,t) i(x Δx,t) b c + L0Δx + r0Δx iΔ u(x,t) G0Δx C0 Δx u(x Δx,t) _ _ a d x Δx Hình4- 3 79
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài Hình 4-3 là sơ đồ tương đương của đoạn dây cĩ độ dài x, được xét ở khoảng cách so vơi đầu đường dây là x. Theo định luật Kirchhoff 2 ta cĩ : i(x,t) u(x,t) = r0 x.i(x,t) + L0 x + u(x + x, t) (4.1) t u(x Δx,t) u(x,t) i(x,t) = r0i(x, t) + L0 (4.2) Δ x t u(x,t) i(x,t) = r0i(x, t) + L0 (4.3) x t Tại nút c theo định luật Kirchhoff 1 ta cĩ : i(x, t) = i + i(x + x, t) (4.4) Trong đĩ : u(x Δx,t) i = G0 x u(x + x, t) + C0 x t Sử dụng khai triển Taylor u(x + x, t) ở lân cận x: u(x,t) u(x + x, t) = u(x, t) + x + x u(x,t) 2 i = G0 x u(x, t) + G0 Δ x + x 2 2 u(x,t)  )t,x(u 2 C0 x + C0 Δx + t x t Khi bỏ qua các đại lượng tương ứng với x2 ta được : u(x,t) i = G0 x u(x, t) + C0 x (4.5) t Thay (4.5) vào (4.4) ta cĩ : i(x,t) u(x,t) = G0u(x, t) + C0 (4.6) x t Từ kết quả phân tích trên ta cĩ hệ phương trình cơ bản của đường dây dài như sau : Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - u(x,t) i(x,t) = r0i(x, t) + L0 (4.7a) x t i(x,t) u(x,t) = G0u(x, t) + C0 (4.7b) x t IV.1.3. Nghiệm của phương trình đường dây dài với tác động sin Giả sử tại x = 0 cĩ đặt nguồn tác động sin tần số , trong khoảng thời gian t( - , + ). Đồng thời cũng giả thiết rằng điện áp và dịng điện tại một điểm x bất kỳ trên đường dây [0,1] cũng là sin cùng tần số với nguồn tác động, cịn biên độ và gĩc pha tùy thuộc vào khoảng cách x. Khi giả thiết như vậy ta cĩ thể phân tích đường dây dài theo phương pháp biên độ phức.  u(x, t) UU φ u  i(x, t) II φ i Thay vào (4.7) ta sẽ được phương trình ĐDD ở trạng thái xác lập sin : 80
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài dU(x) = ( r0 + jL0).  )x(I (4.8a) dx  )x(Id = (G0 + jC0). U(x) (4.8b) dx Vi phân phương trình (4.8a) và thay (4.8b) vào ta sẽ được : d2 U(x) – ( r0 + jL0) (G0 + jC0). U(x) = 0 (4.9) dx2 Đặt  = (r0 jωL 0 )(G 0 jωC) 0 (4.10) Phương trình (4.9) trở thành : d2 U(x)  2 U(x) = 0 (4.11) dx2 Tiến hành tương tự cho dịng điện, ta sẽ cĩ : d2  I(x)  2  )x(I = 0 (4.12) dx2 Nghiệm của hệ (4.11) và (4.12) cĩ dạng: U(x) = Ae-x + Bex (4.13a)  )x(I = Ce-x + Dex (4.13b) Trong bốn hằng số A, B, C, D chỉ cĩ 2 hằng số là độc lập bởi vì các nghiệm (4.13a, b) đồng thời cũng là nghiệm của (4.8) Khi thay (4.13) vào (4.8) ta cĩ : A B C = ; D = – (4.14) Zc Zc Trong đĩ : (r jω L ) Zc = 0 0 (4.15) (G0 jω C 0 ) Zc : được gọi là trở kháng sĩng (hay trở kháng đặc tính) của đường dây dài. Khi thay Thư(4.14) viện vào ĐH (4.13) SPKT taTP.HCM được : -  -x x   U(x) = Ae + Be = Ut (x) + Ufx (x) (4.16a)  A -x B x   )x(I = e – e = It (x) + Ifx (x) (4.16b) Zc Zc  -x - x -jx Ut (x) = Ae = Ae .e (4.17a)  x x x Ufx (x) = Be = Be .ej (4.17b)  A -x A - x -jx It (x) = e = e .e (4.18a) Zc Zc  B x B x x Ifx (x) = e = e . ej (4.18b) Zc Zc Hệ phương trình (4.16a, b) chính là nghiệm tổng quát của ĐDD ở trạng thái xác lập Sin. Hệ số  cĩ thể viết lại  = + j Trong đĩ, phần thực được gọi là hệ số suy giảm đơn vị, đối với đường dây dài thực tế nĩ là một số khơng âm. = Re  0 81
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài Phần ảo  được gọi là hệ số di pha đơn vị, đĩ là một số luơn luơn dương  = Im  > 0 Các hằng số A, B cĩ thể được xác định với các điều kiện bờ tại x = 0. Khi thay x = 0 (4.17) ta cĩ :   Ut (0) A U t1   Ufx (0) B U fx1 Với các hằng số A, B vừa được xác định trên đây, ta cĩ thể viết quá trình thời gian của các đại lượng ut(x, t), ufx(x, t), it(x, t) , ifx(x, t) như sau : - x ut(x, t) = U 1t e cos(t - x + 1) x ufx(x, t) = U fx1 e cos(t + x + 2) U 1t - x it(x, t) = e cos(t - x + 1) Zc U fx1 x ifx(x, t) = e cos(t + x + 2) Z c trong đĩ : φ  j 1 Ut1 U t1 e φ  j 2 Ufx1 U fx1 e 1 = 1 - arg Zc 2 = 2 - arg Zc Sĩng ut(x, t) lan truyền trên đường dây dọc theo chiều tăng của x nên được gọi là sĩng điện áp tới. Tốc độ lan truyền của nĩ được gọi là tốc độ pha, là tốc độ dịch chuyển các điểm cùng pha, được xác định theo phương trình : t - x + 1 = const Tốc độ pha : x x ω v = 2 1 t2 t 1 β Sĩng ufx(x,Thư t)viện cĩ ĐH biên SPKT độ tăngTP.HCM hàm - mũ theo khoảng cách x, cịn dịch pha thì giảm. Như vậy sĩng này sẽ dịch chuyển từ cuối đường dây theo chiều x giảm, với vận tốc pha, và được gọi là sĩng phản xạ. it(x, t) : là sĩng dịng điện tới ifx(x, t) : là sĩng dịng điện phản xạ. Theo lý thuyết trường điện từ, tốc độ lan truyền của sĩng trong điện mơi được xác định theo cơng thức : 1 1 v = = με ε0 μ 0 ε r μ r Tốc độ của ánh sáng trong chân khơng là : 1 c = = 3.108 (m/s) ε0 μ 0 Nên tốc độ của sĩng điện áp và dịng điện : c v = εr μ r 82
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài Nếu chấp nhận dây dẫn làm đường dây là các vật liệu khơng phải sắt từ ( tức là r = 1), và mơi trường giữa các dây dẫn là khơng khí, thì tốc độ pha v = c. Nếu mơi trường giữa các dây dẫn là điện mơi, cĩ hằng số r > 1 thì v < c. 4 Ví dụ 2: Ở đầu đường dây tại x = 0, cĩ đặt 1 nguồn áp e1(t) = 100cos10 t [v]. Giả thiết rằng trên đường dây chỉ cĩ sĩng tới, hãy xác định các quá trình thời gian của i1(t) ở -5 đầu đường dây, điện áp u2(t), dịng điện i2(t) ở cuối dây và tốc độ pha v. Biết = 3.10 [Np/m]; l = 10[km];  = .10-4 [rad/m]; Zc = 250.ej45 [] Lời Giải Áp dụng phương pháp biên độ phức cho đường dây ở trạng thái xác lập sin. Theo giả thiết trên đường dây chỉ cĩ sĩng tới, thì tại một điểm bất kỳ x ta cĩ :    γ x U(x) Ut (x) U t1 e     γ x U 1t γ x I(x) It (x) I t1 e e Z c Ở đầu đường dây, tại x = 0:    0 U(x 0) Ut1 E 1 100  0 (V)    U 1t 100 0 I(x 0) I 1t 0 400  45 [mA] Z c 250 45 Ở cuối đường dây, tại x = l:    γ l α l jβ l U(x1)U t2 U 2 Ee 1 Ee1 e = 100e-0,3e-j = 74,1  1800 [V]     γ l E1 α l I(x l) It2 I 2 I 1 e e Zc = 400.e-0,3e- j (180+45) = 296,3 2250 [mA] Vậy : 4 0 u2(t) = 74,1cos(10 t – 180 ) [V] 4 0 i2(t) = 296,3 cos(10 t – 225 ) [mA] Tốc độ phaThư của viện sĩng ĐH SPKTlan truyền TP.HCM : - ω 104 1 v = .108 = 0,318.108 [m/s] β 10 4 IV.1.4. Các quan hệ năng lượng trên đường dây dài : P1 = cơng suất cung cấp từ nguồn cho ĐDD P2 = cơng suất cung cấp cho tải pđd = p1 – p2 = cơng suất tiêu hao trên đường dây Pt(x) = cơng suất của sĩng tới Pfx(x) = cơng suất của sĩng phản xạ 1 2 P1 = I Re Z  2 1 v 1 2 P2 = I Re Z  2 2 2 1 2 Pt = I (x) Z 2 t c 83
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài 1 2 Pfx = I (x) Z 2 fx c IV.2. BÀI TẬP CHƯƠNG IV Bài 4.1: Xác định các thơng số sơ cấp của đường dây trên khơng khơng tổn hao cĩ tổng trở sĩng Z = 600 Lời Giải 5 1 Z = 600 = LC0/ 0 và v = 3.10 km/s = LC0 0 Z 600 Suy ra L0 = = 2,0mH/km v 300.103 1 1 1 C0 = 5 F/km = 5,5nF/km Zv0 600.3.10 180 - Bài 4.2: Đường dây cáp dài l = 80km cĩ các thơng số sau: r0 = 11,4/km, L0 = 0,6.10 3 -9 -6 H/km, C0 = 38.10 F/km, g0 = 0,8.10 S/km. Ở các tần số f1 = 300Hz và f2 = 2400Hz, xác định tổng trở sĩng Z, hệ số tắt dần , hệ số pha , tốc độ pha v và thời gian lan truyền t1 và t2 của sĩng trên tồn chiều dài của đường dây. Giải thích nguyên nhân làm méo tín hiệu. Lời Giải Ở tần số f1 = 300Hz cĩ: -3 j50 40' Z0 = 11,4 + j2 300.0,6.10 = 11,5e /km -6 -3 6j 890 20' Y0 = 10 ( 0,8 + j2 300.38.10 ) = 71,6.10 e S/km j410 50' Z = Z0/ Y 0 400 e  -3 -1  = ZY0 0 = 10 (19,5 + j21,3)km Suy ra = 0,0195 neper/km;  = 0,0213 rad/km Thưω viện ĐH SPKT TP.HCM - Tốc độ pha v = = 89000km/s. Thời gian lan truyền của sĩng t1 = 9.10 s β Ở tần số f2 = 2400Hz cĩ: j380 30' 6j 900 Z0 = 14,5e /km ; Y0 = 572.10 e S/km j 250 45' Z = Z0/ Y 0 159 e  -1  = ZY0 0 = (0,0394 + j0,082)km Do đĩ: = 0,0394 neper/km;  = 0,082 rad/km; Tốc độ pha v = 183.000km/s. -4 Thời gian lan truyền của sĩng t2 = 4,37.10 s Nguyên nhân tắt dần của biên độ tín hiệulà do sự khác nhau của hệ số tắt dần ở các tần số f1 và f2. Nguyên nhân của sự biến dạng pha là do tốc độ pha khác nhau khi sĩng lan truyền cĩ tần số là f1 và f2. Bài 4.3: Khi đo tổng trở đầu vào của đường dây dài l = 50km ở tần số f = 800Hz cĩ các 0 0 kết quả sau: Z v, nm 4620  53 35' ; Z v, hm 386  42 26' . Tính các thơng số đường dây, tổng trở đầu vào (ứng với các thơng số) của đường dây dài 100km khi hở mạch và ngắn mạch. Lời giải: 84
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài Tổng trở sĩng của đường dây: 3 0 Z = ZZv,, nm. v hm = 1,34.10 - 5 35’  Hệ số lan truyền được xác định như sau: Z thl = v, nm 2,31 – j 2,55 Z v, hm 1 thγl 0 e2γl 5,1 e j 203 20' 1 thγl j2 π 2030 20' 2l = ln1,5 + = 0,41 + j3,54 360 0 γ 35,5.10 3 ej 83 20' km 1 Thơng số của đường dây Z = r0 + jL0 = 11 + j46,2 γ g jωC = (0,475 + j25). 10-6 Z 0 0 Do đĩ: r0 = 11/km; L0 = 46,2 -3 -6 L0 9,1. 10 H; g0 = 0,475. 10 S/km -6 -9 C0 = 25. 10 S/km; C0 = 5.10 F/km Với l = 100km ta cĩ: l2 = 0,41 + j3,54 sh2.0,41 j sin 2.3,54 0 th(0,41 + j3,54) = 0,57e j37 50' ch2.0,41 cos2.3,54 Tổng trở đầu vào của đường dây khi hở mạch Z Z 2,35.103  43 0 25'  v, hm thγl Và khi ngắn mạch: 0 Zv,nm = 76332 15’  Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Bài 4.4: Để xác định các thơng số sơ cấp của đường dây trên khơng khơng tổn hao dài 3m, đã tiến hành đo tổng trở đầu vàoở trạng thái ngắn mạch là Znm 290 ở tần số 10MHz. Xác định các thơng số sơ cấp và thứ cấp của đường dây. Đáp số: L0 = 1,33mH/km; C0 = 8,3nF/km Z = 400;  = 12grad/m Bài 4.5: Đường dây trên khơng với dây dẫn bằng đồng cĩ đường kính d = 3m, khoảng cách giữa các dây dẫn là D = 200mm, xác định điện cảm L0 và điện dung C0 trên một km của đường dây. -3 Đáp số: L0 = 1,95. 10 H/km -9 C0 = 5,7. 10 F/km 85
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài IV.3. QUÁ ĐỘ TRÊN ĐƯỜNG DÂY DÀI : IV.3.1. Phương trình tốn tử của ĐDD u(x,t) i(x,t) = R0i(x, t) + L0 (4.19 a) x t i(x,t) u(x,t) = G0u(x, t) + C0 (4.19 b) x t Khi thực hiện biến đổi Laplace phương trình (4.7a,b) ta được : dU(P) - = r0I(P) + PL0I(P) – L0.IL(0 ) (4.20a) dx dI(P) - = G0U(P) + PC0U(P) – C0Uc(0 ) (4.20b) dx Trong trường hợp các điều kiện đầu bằng khơng, ta cĩ thể đưa về dạng phương trình vi phân cấp hai như sau: d2 U() P  2UP( ) 0 (4.21) dx 2 Với: 2  (P ) ( R0 PL 0 )( G 0 PC 0 ) (4.22) = gọi là độ chắn sĩng tốn tử của ĐDD Dịng điện: 1 dU() P I(P) = (4.23) ()R PL dx Bằng cách sử dụng các điều kiện bờ: U(P) x = 0 = U1(P) (4.24a) I(P) x = 0 = I1(P) (4.24b) Và ký hiệu: R PL Thư Zc viện= ĐH0 SPKT 0 TP.HCM - (4.25) G0 PC 0 Ta cĩ nghiệm tốn tử của phương trình ĐDD U(P) = U1(P)Chx – Zc(P)I1(P)Shx (4.26a) UP1 () I(P) = Shx + I1(P)Chx (4.26b) ZPc () Việc phân tích nghiệm trong trường hợp tổng quát là tương đối khĩ khăn. Do đĩ, ta chỉ nêu ra một vài trường hợp cho cho việc tìm hiểu quá trình quá độ xuất hiện trên ĐDD và chỉ giới hạn bài tốn khảo sát trên đường dây dài khơng tổn hao. IV.3.2. Đĩng điện áp vào đường dây hở mạch cuối Cho đường dây trên hình 4-4: 86
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài Hình 4-4 E Ta cĩ: I2(P) = 0; U1(P) = P L0 Đường dây khơng tổn hao nên: (P) = P LC0 0 ; Zc = = Rc C0 Từ (4.26) ta suy ra: U1 ()() P Sh P I1(P) = Rc Ch () P l Ch xl Sh xSh l Và: U(P) = U1(P) Ch l E Ch ()() l x LP U(P) = (4.27) P Ch l PM() P Để tìm quá trình thời gian tại một điểm x so với đầu đường dây ta phải tìm biến đổi ngược L -1 của (4.27). Sau khi biến đổi ta cĩ được: 2k 1 2k 1 t  cos 1 x cos 2 2 4 k l L0 C 0 u2(t) = E 1  1  (4.28) k 0 2k 1  Cuối cùngThư ta việncĩ quá ĐH trình SPKT điện TP.HCM áp tại - cuối đường dây (x=l) là: 2k 1 t  cos 2 4 k l L0 C 0 u2(t) = E 1  1  ; t > 0 k 0 2k 1  Tốc độ pha trên đường dây khơng tổn hao là v = 1/ LC0 0 Do đĩ: l/ LC0 0 chính là thời gian sĩng điện áp lan truyền hết đường dây. Khi ký hiệu Td = l/ LC0 0 ta cĩ: 2k 1 t  cos 4 k 2 Td u2(t) = E 1  1  ; t > 0 (4.29) k 0 2k 1  87
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài t Cĩ thể tìm được: u2(t) = 0; với 0 0 nên: E -PTd -2PTd 2 -4PTd 3 -6PTd U2(P) = (1 + n )e {1 – n e + n e – n e + } P 2 2 2 2 E = (1 + n ){e-PTd – n e-3PTd + n 2 e-5PTd – n3 e-7PTd + } P 2 2 2 2 88
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài Biến đổi Laplace để tìm u2(t) ta cĩ: 2 u2(t) = E(1 + n2){1(t – Td) – n21(t – 3Td) + n2 1(t – 5Td) - } = E[1(t – Td) + n21(t – Td) - n21(t – 3Td) + ] j j (j 1) = E  (1) n2 1 t (2 j 1) Td  n 2 1  t (2 j 1) Td   (4.31) j 0 Với -1 < n2 < 0, quá điện áp được vẽ trên hình 4-6: u2(t) E t/Td 0 1 3 5 7 Hình 4-6: Điện áp tại cuối đường dây tải điện trở. IV.3.4. Đồ thị Zig – Zac (giản đồ bounce) Từ biểu thức (4.31) cĩ thể thấy quá trình điện áp ở cuối đường dây (hay tại một điểm bất kỳ 0 x  1) là kết quả của sự xếp chồng sĩng tới và sĩng phản xạ từ hai đầu đường dây. ut ufx it ifx ZC Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Pt Pfx Hình 4-7: Các thành phần sĩng tới và sĩng phản xạ. Từ hình 4-7, ta thấy: u = ut + ufx (4.32) 1 i = it – ifx = (ut – ufx) (4.33) Z c u 2 u 2 P = Pt – Pfx = t fx (4.34) Z c Z c Cho một mơ hình đường dây điện trở như sau: 89
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài Ta giả sử rằng khơng tồn tại áp và dịng trên đường dây tại: t < 0; tại t = 0+, trên đường dây chỉ cĩ sĩng điện áp tới. Trở kháng vào của đường dây cĩ giá trị bằng trở kháng sĩng. Như vậy, điện áp tới tại đầu đường dây: 1 Z c ut1 = E (4.35a) RZ1 c 1 E it1 = (4.35b) RZ1 c Sau khoảng thời gian Td = 1/v, sĩng tới đi đến tải và bị phản xạ. Ta cĩ: 1 1 ufx2 u t 2 . n2 (4.36) 1 1 1 i fx2 u fx2 (4.37) Z c RZ2 c Với: n2 = RZ2 c Sau đĩ, sĩng phản xạ sẽ truyền ngược về đầu đường dây, và xuất hiện phản xạ tại t = 2Td, để tạo ra sĩng tới lần thứ hai lan truyền về phía tải. Điện áp và dịng tại đầu đường dây khi cĩ thêm thành phần sĩng tới lần thứ hai được viết: 1 1 2 Thư u =viện ut1 ĐH+ u SPKTfx1 u tTP.HCM1 - (4.38) 1 1 1 2 i = ()ut1 u fx1 u t1 (4.39) Z c 2 Trong đĩ: ut1 là sĩng tới tại điểm đầu đường dây lần thứ hai. Theo điều kiện biên tại đầu đường dây: 1 1 2 R1 1 1 2 u = E – R1i ut1 u fx1 u t1 = E - ()ut1 u fx1 u t1 Z c 2 R1 1 R1 1 R1 ut1 1 u fx1 1 E ut1 1 Z c Z c Z c Dựa vào (4.35a) ta viết lại: 2 R1 1 R1 1 1 ut1 1 u fx1 1 ; ut1 u fx1. n1 (4.40) Z c Z c RZ1 c Với: n1 = (4.41) RZ1 c 90
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài Quá trình trên cứ tiếp tục như thế, các giá trị sĩng tới và sĩng phản xạ được xác định lần lượt như trên hình 4-8: x = 0 x = 1 x 1 ut 1 Td u fx 2Td 2 ut 3Td 2 u fx 4Td 3 ut 5Td Hình 4-8: Quá trình xuất hiện sĩng tới và phản xạ trên ĐDD Ví dụ 3: Cho đường dây tải tải điện trở sau: Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - Với: R1 = 40, R2 = 120, Zc = 60, E = 100V. Hãy xây dựng đồ thị Zig – Zac của điện áp và dịng điện? Lời Giải: Ta cĩ sĩng tới tại đầu đường dây: 60 u1 100. 60 V t1 60 40 60 i1 1A t1 60 Hệ số phản xạ tải: 120 60 1 n 2 120 60 3 Hệ số phản xạ nguồn: 40 60 1 n 1 40 60 5 91
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài Từ đĩ ta xây dựng đồ thị Zig – Zac của điện áp và dịng điện như sau: n1 = - 1/5 n = 1/3 n1 = - 1/5 n = 1/3 2 2 60V 1A 60V 1 Td Td 20 1/3 2Td 80 2Td 2/3 - 4 - 1/15 76 3Td 9/15 3Td - 4/3 - 1/45 4Td 224/3 4Td 28/45 4/15 2/225 5Td 5Td Các mũi tên trên các đồ thị này biểu diễn hướng truyền của sĩng. Từ đồ thị Zig – Zac, ta cĩ thể xác định được hai đồ thị quan trọng sau đây: a. Đồ thị biểu diễn áp và dịng theo thời gian t Áp và dịng chính là sự xếp chồng của các sĩng tới và sĩng phản xạ. Ta kẻ đường thẳng cĩ tọa độ x ( tượng trưng cho một điểm đang xét), và cắt đồ thị Zig – Zac tại các điểm, cho biết thời điểm mà điện áp hay dịng điện cĩ sự biến thiên đột ngột do cĩ sự khác nhau về số lượng sĩng tới và sĩng phản xạ. Hình 4-9 biểu diễn điện áp tại đầu đường dây (x = 0) và tại cuối đường dây (x = l) theo thời gian. u(x = 0)vThư viện ĐH SPKT TP.HCM - = l)v 80 76 3376/45 60 1124 224/3 15 t t 0 0 2Td 4Td 6Td Td 3Td 5Td Hình 4-9: Biểu diễn áp tại đầu vào và cuối đường dây theo thời gian. b. Đồ thị biểu diễn áp và dịng theo khoảng cách x Từ đồ thị Zig – Zac, ta cũng cĩ thể dựng được các đồ thị biểu diễn sự biến thiên của áp hay dịng trên đường dây theo khoảng cách x tại một thời điểm bất kỳ. Bằng 92
Chuong IV Chương IV. Đường dây dài cách kẻ đường thẳng song song với trục x, đi qua trục thời gian tại thời điêm khảo sát. Đường thẳng này cắt đồ thị Zig – Zac tại một điểm cĩ tọa độ x0 cho ta hai bên đường dây của x0 cĩ phân bố áp hoặc dịng khác nhau do cĩ sự khác nhau của số sĩng tới và sĩng phản xạ. Hình 4-10a cho phân bố áp trên đường dây tại thời điểm t = 2,5Td và hình 4-10b cho ta phân bố dịng trên đường dây tại thời điểm t = 4/3Td. i (t =4/3Td)A u (t =2,5Td)v 80 76 1 2/3 x 1 x 0 1/2 1 21/3 a) b) Hình 4-10: Biểu diễn áp dịng theo khoảng cách Thư viện ĐH SPKT TP.HCM - 93
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PHẠM THỊ CƯ - LÊ MINH CƯỜNG - TRƯƠNG TRỌNG TUẤN MỸ, Mạch Điện II, Trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh, 2002. [2] DAVID E. JOHNSON - JOHNNY R. JOHNSON - JOHN L. HILBURN, Electric Circuit Analysis, Prentice Hall, 1989. [3] DAVID IRWIN J., Basic Engineering Circuit Analysis, Prentice Hall, 1996. [4] JOHN WILEY & SONS, Inc., Electric Engineering Circuits, 1963. [5] NGUYỄN QUÂN., Lý Thuyết Mạch, Trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh, 1993. [6] PHƯƠNG XUÂN NHÀN - HỒ ANH TÚY, Lý Thuyết Mạch, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1993. [7] SANDER K.F., Electric Circuit Analysis, Addison Wesley, 1992. Thư viện ĐH SPKT TP.HCM -