Bài giảng môn học Động lực học kết cấu - Đỗ Kiên Quốc

146 trang hapham 910

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn học Động lực học kết cấu - Đỗ Kiên Quốc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_mon_hoc_dong_luc_hoc_ket_cau_do_kien_quoc.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn học Động lực học kết cấu - Đỗ Kiên Quốc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG HCM KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG BỘ MÔN SỨC BỀN KẾT CẤU PGS.TS. ĐỖ KIẾN QUỐC BÀI GIẢNG MÔN HỌC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU “DYNAMICS OF STRUCTURES” Tài liệu tham khảo 1. Clough R. W., Penzien J., Dynamics of Structures, McGraw-Hill, 1993 (1975). 2. Chopra A. K., Dynamics of Structures, Prentice-Hall, 2001, (1995). 3. Buchhold H., Structural Dynamics for Engineer, Thomas Telford, 1997. 4. Geradin M., Mechnical vibrations and Structural dynamics, Belgian, 1993. 5. Rao S. S., Mechnical Vibrations, Addison-Wesley Publishing Company, 1990.
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 1.1 NHIỆM VỤ MÔN HỌC Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc ) trong kết cấu khi chịu tác dụng của các nguyên nhân động. 1.2 TẢI TRỌNG ĐỘNG Khái niệm: Tải trọng động là tải trọng thay đổi theo thời gian về trị số, phương, vị trí, gây ra ứng suất, chuyển vị cũng thay đổi theo thời gian. Phân loại: - Tải trọng tiền định (Deterministic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật biến đổi theo thời gian P = P(t). Thí dụ: Tải trọng điều hòa, chu kỳ, không chu kỳ, xung được mô tả theo qui luật cho trước. - Tải trọng ngẫu nhiên (Random, Stochastic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật xác suất và các đặc trưng xác suất như giá trị trung
bình, độ lệch chuẩn Thí dụ: tải trọng gió, sóng biển, lực động đất . Bài toán ĐLHKC chịu tải trọng ngẫu nhiên được giải quyết bằng lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Random Vibration Theory). Các thông tin cần tìm bao gồm ứng suất, chuyển vị, cũng mang tính ngẫu nhiên với các đặc trưng xác suất giá trị trung bình, độ lệch chuẩn Nói chung, các tải trọng trong thực tế đều mang tính chất ngẫu nhiên ở mức độ khác nhau, và được xác định bằng phương pháp thống kê toán học. Các quan điểm phân tích động lực học: Phân tích tiền định, phân tích ngẫu nhiên và phân tích mờ (Fuzzy Analysis). 1.3 ĐẶC THÙ CỦA BÀI TOÁN ĐỘNG Bài toán tĩnh: nội lực P Tĩnh được xác định từ sự cân bằng với ngoại lực, không P(t) cần dùng đường đàn hồi nên Động mang tính chất đơn giản. Ứng suất và chuyển vị không phụ thuộc thời gian. q(t)= r y(t)
Bài toán động: ngoại lực bao gồm lực quán tính phụ thuộc vào đường đàn hồi y = y(x,t). Vì vậy, dẫn tới phương trình vi phân, phức tạp về toán học, khối lượng tính lớn, phải bắt đầu từ việc xác định y(x,t). Nhận xét: Bài toán tĩnh (bao gồm cả bài toán ổn định) là trường hợp đặc biệt của bài toán động khi lực quán tính được bỏ qua. 1.4 BẬC TỰ DO CỦA KẾT CẤU Bậc tự do động lực học (Number of dynamics degrees of freedom) của kết cấu là số thành phần chuyển vị phải xét để thể hiện được ảnh hưởng của tất cả các lực quán tính. Bậc tự do được định nghĩa trong sự liên quan đến lực quán tính và do đó liên quan đến khối lượng. Số khối lượng càng nhiều thì càng chính xác nhưng cũng càng phức tạp. Chú ý: Bậc tự do động lực học khác với bậc tự do trong bài toán tĩnh (số chuyển vị nút của kết cấu).
Thí dụ: cho kết cấu như hình P bên, nếu P là tải trọng tĩnh thì số bậc tự do là 3, nếu P là tải trọng động thì số bậc tự do là vô cùng. Trong thực tế, các kết cấu đều có khối lượng phân bố nên có vô hạn bậc tự do, việc giải bài toán rất phức tạp nên tìm cách rời rạc hóa hệ. 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP RỜI RẠC HÓA P(t) (a) m(z) P(t) (b) mm12 m 3 1.5.1 Phương pháp khối lượng thu gọn (Lumped Mass) Thay thế hệ có khối lượng phân bố (a) thành các khối lượng tập trung (b) theo nguyên tắc tương đương tĩnh học. Đây là phương pháp thường được dùng trong hệ kết cấu phức tạp. Khối lượng thường được thu gọn về điểm nút (thí dụ như hệ dàn).
Số bậc tự do của hệ tùy thuộc vào giả thiết về tính chất chuyển vị của hệ và tính chất quán tính của các khối lượng mi. Chẳng hạn, xét hệ (b) là hệ phẳng: Nếu biến dạng dọc trục và mi có quán tính xoay: 9 BTD (3BTD/mass). Nếu coi mi là một điểm (không có quán tính xoay): 6 BTD (2 chuyển vị thẳng/mass). Bỏ qua biến dạng dọc trục nên chỉ có chuyển vị đứng: 3 BTD (1 chuyển vị đứng/mass). Chú ý: Độ phức tạp của bài toán động lực học phụ thuộc vào số bậc tự do. 1.5.2 Phương pháp dùng tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) Giả sử đường đàn hồi là tổ hợp tuyến tính của các hàm xác định ψi(x) có biên độ Zi như sau: ∞ y(x,t) y(x,t) = Z (t)ψ (x) ∑ i i i=1 L (*) ψ1(x) trong đó: ψi(x) : Hàm dạng Z1 (Shape Functions) ixπ ψ (x )== sin in 1,2, , Z2 i L Zi(t) : Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) ψ2(x) Hàm dạng ψi(x) được Z3 tìm từ việc giải phương trình ψ3(x)
vi phân đạo hàm riêng, hoặc do giả thiết phù hợp với điều kiện biên. Khi tính toán thường giữ lại một số số hạng đầu tiên của chuỗi (*) và hệ trở thành hữu hạn bậc tự do (Zi đóng vai trò bậc tự do). 1.5.3 Phương pháp phần tữ hữu hạn (Finite Element Method - FEM) Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp tọa độ suy rộng, trong đó: - Zi là các chuyển vị nút (Tọa độ suy rộng). - ψi(x) là các hàm nội suy (Interpolation Functions) các phần tử - Hàm dạng. Thường các 1 2 3 4 5 hàm nội suy ψi(x) a b c d được chọn giống ψ (c) nhau cho các phần ψ3v(b) 3v tử (ứng với cùng v3=1 một bậc tự do) và là ψ3θ(c) hàm đa thức nên ψ3θ(b) việc tính toán được θ3=1 đơn giản. Đặc biệt, do tính chất cục bộ của các hàm nội suy nên các
phương trình ít liên kết (uncoupled) với nhau làm giảm nhiều khối lượng tính toán. 1.6 CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 1.6.1 Nguyên lý D’Alembert Xét khối lượng mi (i=1,n) chịu tác động của lực Pi(t) có chuyển vị vi(t) và gia tốc vi (t) . Nếu đặt thêm lực quán tính thì khối lượng mi sẽ cân bằng: G G Pi (t ) − m i vi (t ) = 0 (1.1) Nếu hệ có n bậc tự do thì sẽ có n phương trình vi phân chuyển động. 1.6.2 Nguyên lý công khả dĩ Cho khối lượng mi (i=1,n) một chuyển vị khả dĩ δvi , công khã dĩ δW của các lực tác dụng lên m (cân bằng) trên chuyển vị δv phải triệt tiêu: i G G G i ∑[Pi (t)−mivi (t)]δvi = 0 (1.2) Nguyên lí công khả dĩ thích hợp cho hệ phức tạp gồm các khối lượng điểm và khối lượng có quán tính xoay. Các số hạng trong phương trình là các vô hướng (scalar) nên lập phương trình đơn giản so với phương trình vector.
Nếu cho hệ các chuyển vị khả dĩ δvi lần lượt theo các bậc tự do sẽ thu được n phương trình vi phân của chuyển động. Ký hiệu công khả dĩ của ngoại lực Pi(t) là δW, từ (1.2) ta có biến phân công khả dĩ: δW = ∑∑Pi (t)δvi = mvi (t)]δvi (1.3) 1.6.3 Nguyên lý Hamilton (page 344, [1]) Xét hệ gồm các khối lượng mi (i=1, n) có các chuyển vị vi(t) ở hai thời điểm t1 và t2, chuyển vị có các trị số vi(t1) và vi(t2) tương ứng với hai đường biến dạng (b) và (c). Đường biến dạng (d) ứng với t = t1 + ∆t < t2. Đường biến dạng thật tuân theo định luật II Newton. Đường lệch trùng với đường thật tại hai thời điểm t1 và t2: δv1(t1) =δv1(t2) =0 (1.4) Động năng của hệ tại thời điểm t: 1 n 2 T = ∑mi vi = T(vi ) 2 i=1 Biến phân của động năng δT tương ứng với biến phân của chuyển vị δvi: nn∂Tddv δ vmvvδδ== mvi mvv δ δT=∑∑iiiiii ∑ ∑ iii (1.5) ii==11∂Vdtdti i i
Mặt khác, ta có đồng nhất thức: v v v v 1 2 3 4 dd (a) ()vviiδ =+ vv iiδδ v i v i m 1 m 2 m 3 m 4 dt dt Nhân cả hai vế với t=t v (t ) 1 1 1 1 (b) mi và lấy tổng cho t=t Đường Newton (thật) 2 v1 (t 2) v (t) v (t +∆ t) (c) 1 d 1 1 d v thật 1 Đường lệch v(t)+dv t=t +∆ t < t 1 1 v 1 2 d 2 v(t +∆ t) (d) v1 (t1 ) 1 1 v1 (t 2) v(t +D t) 1 1 t t +∆ t t t d v 4 1 1 2 d v3 toàn hệ: d d ∑ (mi vδvi ) = ∑ mi vi δvi + ∑ mi vi δvi dt i i i dt d ∑(miviδvi ) = δT + δW (1.6) dt i Nhân hai vế với dt và lấy tích phân từ t1 đến t2: t2 t2 ∑ mi vi δvi = ∫ (δT + δW )dt t1 t1 Theo trên vì δvi(t1) = δvi(t2) = 0 với mọi i nên vế trái triệt tiêu: t2 ∫ (δT + δW )dt = 0 (1.7) t1 Nếu ngoại lực tác dụng trên hệ gồm lực bảo toàn (lực thế) và lực không bảo toàn (thí dụ lực
ma sát) thì biến phân của công ngoại lực δW được tách ra hai thành phần: δW = δWc + δWnc (1.8) Đối với lực bảo toàn thì công của lực bằng độ giảm thế năng của hệ nên: δWc = -δV (1.9) với δV là biến phân của thế năng. Thế (1.9) vào (1.8): δW = -δV + δWnc (1.10) Thế vào (1.7): t2 t2 ∫∫δ (T −V )dt + δWnc dt = 0 (1.11) t1 t1 Đây là nguyên lý biến phân của Hamilton, trong đó: T: Động năng của hệ. V: Thế năng của hệ, gồm thế năng biến dạng đàn hồi và thế năng của lực bảo toàn. Wnc : Công của lực không bảo toàn (lực cản, ma sát, ngoại lực ) • Ý nghĩa Công thức (1.7) được viết lại: t2 δ ∫ (T +W )dt = 0 (1.12) t1 Như vậy, trong tất cả các đường chuyển động trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 thì đường làm
t2 cho tích phân ∫ (T +W )dt = 0 có giá trị dừng (cực t1 tiểu) là đường chuyển động tuân theo định luật Newton. Bài toán tĩnh T = 0 thì (1.7) trở thành: t2 ∫ δWdt = 0 suy ra δW = 0 hay δ (V −Wnc ) = 0 (1.13) t1 Đây là nguyên lý thế năng cực tiểu trong bài toán tĩnh (Nếu một hệ cân bằng ổn định thì thế năng của hệ cực tiểu). Chú ý: Nguyên lý Hamilton cũng là một phương pháp năng lượng, trong đó không dùng trực tiếp đến lực quán tính và lực bảo toàn. Dùng thích hợp cho hệ phức tạp, khối lượng phân bố. Nhận xét: Cả 3 phương pháp D’Alembert, Virtual Work và Hamilton đều dẫn đến phương trình chuyển động giống nhau (đều cùng mang bản chất định luật II Newton). Phương trình Lagrange Gọi q1, q2, , qn là các tọa độ suy rộng. Trong công thức (1.11) ta có: T = T (q1,q2 , ,qn ,q1,q2 , ,qn )
V = V (q1 , q 2 , , q n ) δWQqQqnc=+11δδ 2 2 ++ Qq n δ n với Qi là lực suy rộng không bảo toàn. Thế vào (1.11): t2 ∂∂∂TTT (δδδqqq++ + + ∫ ∂∂∂qqq11n t1 11n ∂∂TV ∂ V (*) +−−−++δδqqnnnn111 δδδ qQqQqdt ) = 0 ∂∂qqnn1 ∂ q Tích phân các số hạng chứa vận tốc δqi từng phần: t tt22∂∂TT2 ∂∂ T δδqdt =− q() δ qdt ∫∫ii i (1.14) ∂∂qqii ∂∂ tq i tt11t1 Thế vào biểu thức (*): t2 ⎧ n ⎡ ∂ ∂T ∂T ∂V ⎤ ⎫ − ( ) + − + Q δq dt = 0 ∫ ⎨∑ ⎢ i ⎥ i ⎬ (1.15) i=1 ∂t ∂q ∂q ∂q t1 ⎩ ⎣ i i i ⎦ ⎭ Vì δqi là tùy ý nên: ∂ ∂T ∂T ∂V ( ) − + = Q i (1.16) ∂t ∂qi ∂qi ∂qi Đây là phương trình Lagrange, dùng được cho hệ tuyến tính và phi tuyến.
CHÖÔNG 2. HEÄ MOÄT BAÄC TÖÏ DO 2.1 THIEÁT LAÄP PHÖÔNG TRÌNH CHUYEÅN ÑOÄNG 2.1.1 Moâ hình heä moät baäc töï do Single Degree of Freedom system – SDOF Concentrated Properties v(t) Khoái löôïng: m c Ñoä cöùng: k m Heä soá caûn: c p(t) k Löïc kích ñoäng: p(t) Moâ hình SDOFs Chuù yù: Heä moät baäc töï do coù caùc ñaëc tröng phaân boá m, k, c, p(t) ñeàu coù theå ñöa veà moâ hình coù caùc ñaëc tröng vaät lyù taäp trung (heä moät baäc töï do suy roäng). 2.1.2 Caùc phöông phaùp thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng f D f I 2.1.2.1 Nguyeân lyù D’Alembert f S p(t) p(t) + fS + fI + fD =0 Löïc taùc duïng hay mv + cv + kv = p(t) (2.1) 2.1.2.2 Nguyeân lyù coâng khaû dó
Cho khoái löôïng chuyeån vò khaû dó δv. Coâng khaû dó: δW = p(t)δv + fS δv + fI δv + fD δv = 0 hay [−mv − cv − kv + p(t)]δv = 0 vì δv ≠ 0 neân thu ñöôïc gioáng nhö (2.1). 2.1.2.3 Nguyeân lyù Hamilton Ñoäng naêng cuûa heä: 1 Löïc T = mv 2 2 , bieán phaân δT = mvδv f = kv ñoäng naêng s Theá naêng bieán daïng 1 V = kv 2 ñaøn hoài cuûa loø xo: , O 2 v Chuyeån vò bieán phaân δV = kv δv Bieán phaân coâng cuûa löïc khoâng baûo toaøn p(t) vaø fD (töùc laø coâng khaû dó cuûa hai löïc naøy treân chuyeån vò khaû dó δv): δWnc = p(t)δv − cvδv t2 [δ (T −V ) + δW ]dt = 0 Theo nguyeân lyù Hamilton: ∫ nc t1 t2 [mvδv − kvδv −cvδv + p(t)δv]dt = 0 ∫ (2.2) t1 tích phaân töøng phaàn soá haïng thöù nhaát:
tt22 mvδδ vdt=− mv vt2 mv δ vdt ∫∫ t1 tt11 (2.3) 0 t2 theá (2.3), (2.2): ∫[−mv −cv − kv+ p(t)]δvdt=0 (2.4) t1 Nhaän xeùt: Caû 3 phöông phaùp cho cuøng keát quûa vì cuøng döïa treân ñònh luaät quaùn tính cuûa Newton. Trong tröôøng hôïp cuï theå naøy nguyeân lyù D’Alembert laø ñôn giaûn nhaát. 2.1.3 AÛnh höôûng cuûa troïng löïc Phöông trình chuyeån ñoäng: mv + cv + kv = p( t ) + W trong ñoù W laø troïng löôïng cuûa khoái cöùng. Chuyeån vò v goàm toång cuûa chuyeån vò tónh (Static Displacement) ∆st gaây bôûi troïng löôïng W vaø chuyeån vò ñoäng v vv=∆st + , vv = , vv = Thay bieåu thöùc cuûa löïc ñaøn hoài fs = kv = k∆st + kv vaøo phöông trình chuyeån ñoäng:
mv + cv + k∆ st + kv = p(t) + W Maët khaùc W = k∆ st neân phöông trình cuoái cuøng: mv++= cv kv p() t Aûnh höôûng cuûa troïng löïc fS fD k c f f S D f m I (W) fI W ∆ st p(t) W v(t) p(t) v(t) v (t) p(t) Keát luaän: Neáu laáy vò trí caân baèng tónh hoïc do troïng löôïng P = mg gaây ra laøm moác ñeå tính chuyeån vò thì phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng vaãn coù daïng (2.1). Nhö vaäy, troïng löïc khoâng aûnh höôûng ñeán phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng. 2.1.4 AÛnh höôûng cuûa söï rung ñoäng goái töïa vt v fI 0.5f S fD 0.5fS vg(t)
Phöông trình caân baèng löïc: fI + fD + fS = 0 trong ñoù löïc quaùn tính: f I = mvt vôùi vt = v + vg laø toång cuûa v laø chuyeån vò uoán vaø vg laø chuyeån vò goái töïa (maët ñaát). mv + mvg + cv + kv = 0 hay: mv + cv + kv = −mvg ≡ Peff (t) (2.5) Keát luaän: Peff (t) = −mv g laø taûi troïng do rung ñoäng goái töïa. Nhö vaäy söï rung ñoäng cuûa maët ñaát töông ñöông nhö löïc kích ñoäng Peff taùc duïng taïi vaät naëng. 2.1.5 Heä moät baäc töï do suy roäng (Generalised SDOF System) Heä coù ñaëc tröng vaät lyù z(t) x phaân boá (m, EI ), thöïc N t chaát coù voâ haïn baäc töï do. v (x,t) e(t) Neáu coi heä chæ dao ñoäng v(x,t) vôùi moät haøm daïng naøo ñoù l m(x) x thì heä trôû thaønh 1 baäc töï EI(x) do. Tìm caùc ñaëc tröng taäp O chuyeån vò trung cho heä 1 DOF. vg(t) Giaû söû heä chòu rung ñoäng ngang vg(t) cuûa goái töïa (do ñoäng ñaát chaúng haïn). Duøng nguyeân lyù
Hamilton ñeå thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng. Ñaët: v(x,t) = ψ(x) Z(t) (2.6) ψ(x) - Haøm daïng (Shape Function) Z(t)- Toïa ñoä suy roäng (Generalised Coordinate) Ñoäng naêng cuûa heä: l l 1 t 2 T = ∫ m(x)[]v (x,t) dx δT = ∫ m(x)vt (x,t)δvt dx 2 0 0 Theá naêng uoán: l 1 l V = EI(x) v"(x,t) 2 dx δV = EI(x)v"(x,t)δv"dx f ∫ [] f ∫ (2.8) 2 0 0 Ñoä co ngaén cuûa thanh: l 1 2 e(t) = ∫ []v'(x,t) dx 2 0 (2.9) N l V = −Ne = − []v'(x,t) 2 dx Theá naêng löïc doïc: N ∫ 2 0 l δV = −N v'(x,t)δv'dx hay N ∫ (2.10) 0 Vì heä khoâng coù löïc khoâng baûo toaøn (löïc caûn, löïc kích thích) neân: t2 δ (T −V )dt = 0 ∫ (*), vôùi V = Vf + VN t1
Theá (2.7), (2.8) vaø (2.10) vaøo (*): t2 ll l ⎡ t t ⎤ ∫ ⎢∫∫m(x)v (x,t)δv dx − EI(x)v"(x,t)δv"(x,t)dx + N ∫v'(x,t)δv'dx⎥dt = 0 t1 ⎣00 0⎦ z δ z (2.11) t v Duøng caùc lieân heä: v v δ v v(t) = v + g vaø δv(t) =δv v" =ψ " z vaø δv" =ψ"δZ v’ = ψ’Z vaø δv' =ψ 'δZ O vg v=ψZ vaø δv =ψδZ (2.12) Theá (2.12) vaøo (2.11) t2 llll ⎡ 2 2 2 ⎤ ZδZ m(x)ψ dx+δZv (t) m(x)ψdx−ZδZ EI(x)ψ" dx+ NZδZ (ψ') dx dt = 0 ∫⎢ ∫∫∫∫g ⎥ (2.13) t1 ⎣ 0000⎦ l Chuù yù raèng tích phaân ∫ f (x)dx khoâng phuï thuoäc t, 0 neân ñoùng vai troø laø caùc haèng soá khi thöïc hieän tích phaân theo bieán t. Ñeå laøm xuaát hieän caùc thöøa soá δZ trong 2 soá haïng ñaàu, tích phaân töøng phaàn: t tt22dZ t 2 d 2 t 2 t 2 ∫∫ZδδZdt== Z dt ∫ Z () δδδ Z dt =−=− Z Z ∫ Z Zdt ∫ Z δ Zdt (2.14) ttdt t dt t t 11 1t1 1 1 t t2 2 t2 v (t)δZdt = v (t)δZ − v (t)δZdt ∫ g g ∫ g (2.15) t t 1 t1 1 Theá (2.14) vaø (2.15), phöông trình (2.13) trôû thaønh:
t2 m*Z + k *Z − k * Z − p* (t) δZdt = 0 ∫ []G t (2.16) t1 l * 2 m = ∫ m(x)ψ dx : Khoái löôïng suy roäng 0 l k * = ∫ EI(x)(ψ") 2 dx : Ñoä cöùng suy roäng 0 l * 2 kG = N ∫ (ψ ') dx 0 : Ñoä cöùng hình hoïc suy roäng l * pt (t) = −vg (t)∫ m(x)ψdx : Taûi troïng suy roäng 0 Vì δZ baát kyø neân löôïng trong ngoaëc trieät tieâu, thu ñöôïc phöông trình chuyeån ñoäng heä suy roäng: * * * m Z(t) + k Z(t) = pt (t) (2.18) * * * vôùi k = k − kG : Ñoä cöùng suy roäng keát hôïp (2.19) Khi löïc doïc N ñaït trò soá tôùi haïn N = Ncr thì * k = 0. Töø ñoù, suy ra coâng thöùc tính löïc Ncr laø: l ∫ EI(x)(ψ") 2 dx 0 N cr = l 2 (2.20) ∫ (ψ ') dx 0 Ñaây laø coâng thöùc cuûa phöông phaùp Rayleigh. Chuù yù:
Neáu thanh chòu löïc kích thích phaân boá p(x,t) vaø löïc doïc N(x) thì coâng thöùc tính löïc kích thích suy * * roäng (löïc taäp trung) p (t) vaø ñoä cöùng hình hoïc k G laàn löôït laø: l p* (t) = ∫ p(x,t)ψ (x)dx (2.21) 0 l k * = N(x)[ψ '(x)]2 dx G ∫ (2.22) 0 p(x,t) l * 2 C = ∫ c(x)[ψ (x)] dx (2.23) 0 c(x) Thí duï: Example E8.3, page 144, [1] Thieát laäp phöông trình vi phaân dao ñoäng cuûa heä moät baäc töï do suy roäng. z(t) x Cho bieát phöông trình ñöôøng N t ñaøn hoài (haøm daïng ) ñöôïc v (x,t) e(t) choïn nhö sau: v(x,t) πx L m ψ (x) = 1− cos x 2L (a) EI O Giaûi: chuyeån vò vg(t) Aùp duïng (2.17), khoái löôïng vaø ñoä cöùng suy roäng: 2 L L 2 ⎛ πx ⎞ m* = ∫ m()ψ dx = m ∫ ⎜1− cos ⎟ dx = 0.228mL (b) 0 0 ⎝ 2L ⎠
2 L L ⎛ π 2 πx ⎞ π 4 EI k * = EI()ψ" 2 dx = EI ⎜ cos ⎟ dx = ∫ ∫ ⎜ 2 ⎟ 3 (c) 0 0 ⎝ 4L 2L ⎠ 32 L Taûi troïng töông ñöông suy roäng (boû qua daáu tröø): L L ⎛ πx ⎞ P * (t) = v (t) mψdx = mv (t) 1 − cos dx = 0.364mLv (t) g ∫ g ∫ ⎜ ⎟ g (d) 0 0 ⎝ 2L ⎠ Boû qua löïc doïc truïc, phöông trình caân baèng: π 4 EI 0.228mLZ(t) + Z(t) = 0.364mLv (t) 32 L3 g (e) Neáu xeùt löïc doïc N thì ñoä cöùng hình hoïc suy roäng: LL 2 2 2 ⎛ π πx ⎞ Nπ k * = N ψ ' dx = N sin dx = G ∫∫() ⎜ ⎟ (f) 0 0 ⎝ 2L 2L ⎠ 8L π 4 EI Nπ 2 k * = k * − k * = − Ñoä cöùng suy roäng keát hôïp: G 32 L3 8L Vì vaäy taûi troïng tôùi haïn maát oån ñònh thu ñöôïc khi cho ñoä cöùng keát hôïp baèng 0 laø: π 4 EI 8L π 2 EI N = = cr 32L3 π 2 4 L3 (h) Ñaây laø taûi troïng maát oån ñònh thaät söï cho coät console chòu taûi troïng phaân boá ñeàu, bôûi vì haøm daïng ñöôïc ruùt ra töø (a) laø daïng maát oån ñònh thaät cuûa keát caáu. Thay (h) vaøo (f) ta coù theå bieåu dieãn ñoä cöùng hình hoïc bôûi: π 4 EI N k * = G 3 (i) 32L N cr
thay vaøo (e) ta coù phöông trình caân baèng bao goàm aûnh höôûng cuûa löïc doïc truïc laø: π 4 EI ⎛ N ⎞ 0.228mLZ(t) + ⎜1− ⎟Z(t) = 0.364mLv (t) 3 ⎜ ⎟ g (j) 32 L ⎝ Ncr ⎠ Do ñoù, baát kyø hình daïng naøo thoûa maõn ñieàu kieän bieân hình hoïc ñeàu ñöôïc ruùt ra töø haøm daïng ψ(x). x2 ψ(x) = Neáu haøm naøy ñöôïc cho bôûi daïng parabolic L2 Khi naøy ñoä cöùng ñaøn hoài suy roäng trôû thaønh: L 2 L 2 ⎛ 2 ⎞ 4EI * ⎛ 2x ⎞ 4 N k * = EI ⎜ ⎟ dx = k = N ⎜ ⎟ dx = ∫ 2 3 G ∫ 2 0 ⎝ L ⎠ L 0 ⎝ L ⎠ 3 L * * Taûi troïng tôùi haïn ñöôïc ruùt ra töø k = kG laø: 4EI 3L 3EI N = = cr L3 4 L2 (l) giaù trò naøy lôùn hôn 21% so vôùi giaù trò töø (h).
2.2 DAO ÑOÄNG TÖÏ DO 2.2.1 Nghieäm cuûa phöông trình chuyeån ñoäng Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa heä 1 baäc töï do (keå caû suy roäng) coù daïng: mv(t) + cv(t) + kv = p(t) Neáu khoâng coù löïc kích thích p(t) = 0 thì: mv(t) + cv(t) + kv = 0 (a) Nghieäm coù daïng: v(t) = Gest Theá vaøo (a) ta ñöôïc: (ms2 + cs + k) Get = 0 (b) k Ñaët ω 2 = thì (b) daãn tôùi: m c s2 + + ω2 = 0 (c) m (c) laø phöông trình ñaëc tröng, Imaginary e nghieäm s cuûa (c) tuøy thuoäc i ω t 1 vaøo heä soá caûn c. ω t O 1 Real Coâng thöùc Euler: i t e ± ω = cos ω t ± isin ω t
2.2.2 Dao ñoäng töï do khoâng caûn c = 0 Khi ñoù (c) coù nghieäm: s = ± iω do ñoù nghieäm cuûa (a) laø: iωt -iωt v(t) = G1e + G2e hay vieát laïi döôùi daïng thöïc: v(t) = Asinωt + Bcosωt (d) vôùi A, B ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän ban ñaàu: B = v(0) v(0), A = neân: ω v(0) v(t) = sinωt + v(0)cosωt (2.24) ω Coù theå vieát (2.24) döôùi daïng khaùc: v(t) = ρ cos(ωt - θ) (2.24') 2 2 ⎡v(0)⎤ Vôùi bieân ñoä ρ = [v(0)] + vaø pha ban ñaàu ⎣⎢ ω ⎦⎥ v(0) θ = tan-1 (2.25) ωv(0) 2π 1 chu kyø: T = = (2.26) ω f
v(t) v(0) v(0) ρ θ t ω 2π T = ω 2.2.3 Dao ñoäng töï do coù caûn c ≠ 0 2 c ⎛ c ⎞ 2 Nghieäm cuûa (c): s = − ± ⎜ ⎟ −ω (2.27) 2m ⎝ 2m ⎠ Daïng dao ñoäng phuï thuoäc vaøo trò soá cuûa heä soá caûn c (vaøo bieåu thöùc döôùi daáu caên coù daáu döông, aâm hay baèng khoâng) - Caûn tôùi haïn (Critical damping) c = ccr ccr = 2mω thì v(t) 2 ⎛ ccr ⎞ 2 v(0) ⎜ ⎟ −ω = 0 v(0) ⎝ 2m ⎠ c O t s = − cr = −ω 2m
Phöông trình chuyeån ñoäng: -iωt -ωt v(t)=(G1+ G2t)e =[v(0)(1+ωt)+v(0)t]e (2.28) Ñoà thò chuyeån ñoäng coù daïng nhö hình veõ, khoâng coù dao ñoäng. ωD ω - Caûn ít (Underdamping): 1 c < ccr =2mω. c c O 1 Ñaët ξ = = ξ ccr 2mω trong ñoù ξ laø tæ soá caûn (damping ratio). Theá vaøo (2.27): 2 2 s = -ξ ω ± (ξω) −ω = -ξ ω ± iωD 2 vôùi ωD = ω 1−ξ : taàn soá dao ñoäng coù caûn, trong thöïc teá caùc keát caáu coù ξ <20% neân ωD ≈ ω ( vôùi ξ = 0.2 thì ωD = 0.98ω). Phöông trình chuyeån ñoäng: (−ξω + iωD )t (−ξω − iωD )t v(t) = G1 e + G2 e = -ξωt iωDt −iωDt e (G1 e + G2 e ) -ξωt hay v(t) = e (AsinωDt + BcosωDt) = -ξωt ρ e cos(ωDt - θ) (2.29)
trong ñoù: 2 ⎡v(0) + v(0)ξω⎤ 2 ρ = ⎢ ⎥ +[]v(0) ⎣ ω D ⎦ v(0) + v(0)ξω θ = tan-1 (2.30) ω D v(0) v(t) -ξωt ρ e v 0 v 2 π 3 π ωD v 1 ωD O 2π 4 π t ω D ω D Ñoà thò chuyeån ñoäng vôùi v(0) ≠ 0, v(0) = 0. Xaùc ñònh tæ soá caûn ξ: Phöông trình dao ñoäng töï do theo ñieàu kieän ñaàu:
-ξωt v(0) + v(0)ξω v(t)= e ( sinωDt+v(0)cosωDt) (2.31) ω D 2π Chu kyø dao ñoäng coù caûn: T = ωD Theá vaøo (2.29): v ω n = exp(ξωT ) =exp(2πξ ) vn+1 ω D Ñoä giaûm Loga: v ω ω δ = ln n = 2πξ = 2πξ 2 vn+1 ω D ω 1−ξ 2πξ = ≈ 2 πξ , vôùi ξ nhoû. 1−ξ 2 v (2πξ)2 n = eδ = e2πξ =1+2πξ + + ≈1+2πξ vn+1 2! v − v Do ñoù: ξ = n n+1 (2.32) 2πvn+1 v − v v Chính xaùc hôn: ξ = n n+m (töø n = eξωmt ) (2.33) 2mπvn+m vn+m Coâng thöùc (2.32) vaø (2.33) duøng xaùc ñònh tæ soá caûn ξ baèng thöïc nghieäm. Heä soá caûn: c = 2mωξ (2.34)
- Caûn nhieàu (Overdamping) Khi ξ > 1 (c > ccr) thì khoâng coù dao ñoäng, töông töï khi c = ccr ξ caøng lôùn thì chuyeån ñoäng veà vò trí caân baèng caøng chaäm. 2.3 PHAÛN ÖÙNG VÔÙI TAÛI TROÏNG ÑIEÀU HOAØ 2.3.1 Heä khoâng caûn Löïc kích thích: p(t) = p0 sinωt Phöông trình: mv(t) + kv(t) = po sinωt (a) Nghieäm thuaàn nhaát: vh (t) = Asinωt + Bcosωt Nghieäm rieâng daïng (oån ñònh): v p (t) = Gsinωt p 1 ω Theá vaøo (a) ruùt ra:G= o vôùi: β = k 1−β 2 ω Vaäy nghieäm toång quaùt: v(t) = vh (t) + v p (t) = p 1 (2.35) Asinωt + B cosωt + o sinωt k 1− β 2 A, B xaùc ñònh töø ñieàu kieän ban ñaàu. Neáu v(0) = v(0) = 0, deã daøng tìm ñöôïc:
p β 1 A = − o , B = 0 (2.36) k 1− β 2 theá vaøo (2.35) ta ñöôïc: p 1 v(t) = o (sinωt − β sinωt) (2.37) k 1− β 2 Tæ soá phaûn öùng (Response Ratio): v(t) v(t) 1 R(t) = = = (sinωt − β sinωt) p 2 vst o 1− β k Trong thöïc teá, löïc caûn laøm cho soá haïng sau bieán maát sau moät khoaûng thôøi gian ngaén. Khi ñoù heä soá ñoäng (Manification Factor) seõ laø: v(t) 1 MF = st = 2 (2.38) v p(t ) 1− β 2.3.2 Heä coù caûn Phöông trình chuyeån ñoäng: p v(t) + 2ξωv(t) + ω 2v(t) = o sinωt (2.39) m −ξωt Nghieäm toång quaùt: vh (t) =e (AsinωDt +BcosωDt) Nghieäm rieâng: v p (t) = G1 sinωt + G2 cosωt
Theá vaøo (2.39) vaø ñoàng nhaát 2 veá, thu ñöôïc: p 1− β 2 G = o 1 k (1− β 2 ) 2 + (2ξβ ) 2 (2.40) p − 2ξβ G = o 2 k (1− β 2 ) 2 + (2ξβ ) 2 Vì nghieäm quaù ñoä taét raát nhanh, neân heä chæ dao ñoäng theo nghieäm rieâng. Duøng vector quay treân giaûn ñoà Argrand, ta tìm ñöôïc: p −1 2ξβ ρβξωθ=−+o [(122 ) (2 ) 2 ]2 = tan− 1 (2.41) k 1−β 2 vaø phöông trình dao ñoäng oån ñònh: v(t) = ρ sin(ωt −θ ) (2.42) Imaginary t ϖ t Real p 2ξβ ϖ o 2 p 1 − β 2 2 k (1−β ) +(2ξβ) 2 o θ 2 k (1−β ) 2 +(2ξβ) 2 ρ Bieåu dieãn dao ñoäng baèng vectô quay - Heä soá ñoäng (Dynamic Magnification Factor):
ρ 1 D = = (2.43) 2 2 2 po (1− β ) + (2ξβ ) k Khi ω >>ω thì khoâng coù chuyeån ñoäng. k ξ m 4 ξ =0 3 ξ =0.2 D ξ =0.5 2 ξ =0.7 1 =1.0 ξ 0 1 2 3 β Phase Angle 0 180 ξ = 0 ξ = 0.05 ξ = 0.2 ξ = 0.5 ξ = 1 900 0 1 2 3 Frequency ratio β
2.3.3 Söï coäng höôûng (Resonance) ω Khi β = = 1 thì xaûy ra coäng höôûng. Luùc naøy ω heä soá ñoäng theo (2.43) laø: 1 D = (2.44) β =1 2ξ Neáu heä khoâng caûn, töùc laø ξ = 0 thì Dβ=1 → ∝ Ñoái vôùi heä coù caûn ξ khaùc 0, thì Dmax xaûy ra khi: dD = 0 ⇒ β = 1− 2ξ 2 dβ dinh (2.45) 1 D = max 2ξ 1−ξ 2 Nhö vaäy: Dmax khaùc Dβ=1 Tuy nhieân, vôùi heä coù tæ soá caûn ξ beù thì coù theå coi: 1 D ≈ D = (2.46) max β =1 2ξ 2.3.4 Söï coâ laäp dao ñoäng (Vibration Isolation) Söï coâ laäp dao ñoäng caàn thieát trong 2 tröôøng hôïp:
- Thieát bò maùy moùc truyeàn rung ñoäng coù haïi xuoáng keát caáu ñôõ. - Keát caáu ñôõ (bò rung) truyeàn dao ñoäng coù haïi cho thieát bò ôû treân. p(t) = p sinω t v 0 f Phaûn löïc neàn 1. Xeùt motor quay, taïo ra löïc kích ñoäng: p(t) = po sinωt Chuyeån ñoäng oån ñònh (Steady-State Displacement): p v(t) = o Dsin(ωt −θ ) k p Vaän toác: v(t) = o Dω cos(ωt −θ ) k
Löïc ñaøn hoài: f s = kv(t) = po Dsin(ωt −θ ) cp Dϖ f = cv(t) = o cos(ωt −θ ) = Löïc caûn: D k 2ξβpo D cos(ωt −θ ) o Vì fS(t) vaø fD(t) leäch pha 90 , neân bieân ñoä phaûn löïc neàn laø: 1 2 2 2 2 f max = f S max + f D max = po D[1+ ()2ξβ ] Tyû soá truyeàn löïc (Transmissibility Ratio-TR ), ñöôïc ñònh nghóa: f TR = max = D 1+ ()2ξβ 2 po (2.47) − 1 (D = [()1− β 2 + ()2βξ 2 ] 2 ) TR = D neáu ξ = 0 (khoâng caûn) Ñoà thò cho thaáy caùc ñöôøng cong ñeàu: Ñaït cöïc ñaïi taïi β =1 Cuøng ñi qua ñieåm coù β = 2 Vôùi β > 2 thì TR 2 ==> Khoâng neân duøng damper
TR 3 ξ = 0 ξ = 0.2 ξ = 0.25 2 ξ = 0.33 1 β 0 1 2 3 2 Tyû soá truyeàn dao ñoäng Vibra. Transmi. Ratio vt m v (t)=v sinω t g g 2. Xeùt khoái löôïng m, chòu kích ñoäng cuûa goái töïa Chuyeån ñoäng töông ñoái cuûa m so vôùi goái töïa cho bôûi phöông trình: 2 v(t) = vgo β Dsin(ωt −θ )
Chuyeån ñoäng toaøn boä vt baèng toång vector cuûa vg vaø v: 2 vt (t) = vgo 1+ (2ξβ ) Dsin(ωt −θ ) Tyû soá truyeàn: t TR = vmax = D 1+ ()2ξβ 2 (2.48) vgo Tyû soá truyeàn dao ñoäng gioáng nhau cho caû 2 tröôøng hôïp. Chuù yù: Neáu khoâng coù damper thì: 1 TR = (2.49) β 2 −1 Thí duï: Xe ñöôïc moâ hình moät baäc töï do, chuyeån ñoäng v = 72.4km/h. Ñoä cöùng loø xo: 100lb gaây chuyeån vò 0.8 in, ξ=0.4. Coi kích ñoäng ñöùng laø ñieàu hoaø vaø caàu raát nhieàu nhòp.
W=4000lb=1816kG vt v=45miles/h=72,4km/h=20,1m/s maët caàu 1,2in=3,05cm L = 40fl = 12,2m Giaûi 100lb 45.4kG Ñoä cöùng loø xo: k = = = 233.4kG 0.08in 0.203cm cm Chu kyø dao ñoäng töï nhieân cuûa xe: ω 1816 T = 2π = 2π = 0.572(s) k.g 223.4× 9.81 Chu kyø kích ñoäng baèng thôøi gian ñi heát moät nhòp L 12.2 caàu: T = = = 0.606(s) p v 20.1 T 0.572 Tyû soá chu kyø: β = = = 0.994 Tp 0.606 Bieân ñoä dao ñoäng ñöùng cuûa oâtoâ laø:
1 ⎡ 1+ ()2βξ 2 ⎤ 2 t = TR = = vmax vgo vgo ⎢ 2 2 2 ⎥ ⎣()1− β + ()2ξβ ⎦ 1 ⎡ 1+ ()2×.4×0.944 2 ⎤ 2 3.05× ⎢ 2 2 ⎥ = ⎣()()1− 0.944 + 2×0.4×0.944 ⎦ 5.009(cm) Neáu xe khoâng coù damper (ξ = 0) thì: t 1 3.05 vmax = vgo = = 27.69(cm) 1− β 2 1− 0.944 2 lôùn gaáp 5.5 laàn khi coù damper. Ñieàu ñoù noùi leân söï caàn thieát cuûa damper ñeå haïn cheá söï dao ñoäng ñöùng cuûa oâtoâ khi chaïy treân maët ñöôøng löôïn soùng. Baøi taäp 4-3, page-77, [1] Xeùt laïi baøi toaùn treân, nhöng nhòp L = 36 ft = 10.97 m. Xaùc ñònh: a. Toáùc ñoä gaây coäng höôûng cho xe: Tp = T = 0.572 s v = L/Tp = 10.97/0.572 = 19.18 m/s = 69km/h. t b. Bieân ñoä toaøn phaàn vmax cuûa xe khi coäng höôûng:
ϖ T β = = =1 ω Tp 1 ⎡ 1+ ()2ξβ 2 ⎤ 2 t = TR = = vmax vgo vgo ⎢ 2 2 2 ⎥ ⎣()1− β + ()2βξ ⎦ 1 ⎡1+ ()2ξ 2 ⎤ 2 1+ ()2ξ 2 = vgo ⎢ 2 ⎥ = vgo = ⎣ ()2ξ ⎦ 2ξ 1+ ()2×0.4 2 3.05 = 4.88(cm) 2×0.4 c. Bieân ñoä toaøn phaàn khi toác ñoä v = 45mph = 72.4km/h =20.1m/s L 10.97 T = = = 0.546 (s) p v 20.1 T 0.572 β = = = 1.048 (s) T p 0.546 1 ⎡ 1 + ()2βξ 2 ⎤ 2 TR 2 = = ⎢ 2 2 2 ⎥ ⎣()1 − β + ()2βξ ⎦ 1 ⎡ 1 + ()2 × 0.4 ×10.48 2 ⎤ 2 = 1.546 ⎢ 2 2 ⎥ ⎣()()1 − 1.048 + 2 × 0.4 ×1.048 ⎦ t vmax = vgo TR = 3.05×1.546 = 4.72(cm)
2.4 PHAÛN ÖÙNG VÔÙI TAÛI TROÏNG CHU KYØ 2.4.1 Khai trieån taûi troïng thaønh chuoãi Fourier v(t) O t Tp Tp Tp Taûi troïng p(t) coù chu kyø Tp ñöôïc khai trieån chuoãi Fourier: ∞ 2πn ∞ 2πn p(t) = ao + ∑ an cos t + ∑bn sin (2.50) n=1 n=1 Tp Tp vôùi caùc heä soá ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: T 1 p aptdt= () o ∫ Tp 0 T 22p π n apttdt= ( )cos( ) n ∫ TTpp0 (2.51) T 22p πn bpttdt= ( )sin( ) n ∫ TTpp0
2.4.2 Phaûn öùng vôùi taûi troïng chu kyø (tuaàn hoaøn) Khi moät taûi troïng chu kyø ñöôïc phaân tích ra chuoãi Fourier (2.50) thì phaûn öùng cuûa heä ñöôïc xaùc ñònh theo nguyeân lyù choàng chaát. Boû qua nghieäm quaù ñoä, trong tröôøng hôïp heä khoâng caûn, phaûn öùng nhö sau: 2π n - Vôùi soá haïng taûi troïng btn sin( ) thì phaûn öùng Tp cuûa heä theo (2.37) laø: bn 1 vtn ()= 2 sin( ntω1 ) k 1− βn ωn nT nω1 2π vôùi β n = = = ; ω1 = : taàn soá voøng cô ω Tp ω TP baûn cuûa taûi troïng. 2πn - Soá haïng an cos t, phaûn öùng ñöôïc xaùc ñònh Tp töông töï: an 1 vn (t) = 2 cosnω1t k 1− β n - Soá haïng ao - taûi troïng haèng soá, gaây chuyeån vò a tónh:v = o o k
- Phaûn öùng toaøn boä 1⎡ ∞ 1 ⎤ v(t) = ⎢ao +∑ 2 ()an cosnω1t +bn sinω1t ⎥ (2.52) n=1 k ⎣ 1−βn ⎦ 2.4.3 Daïng phöùc cuûa nghieäm theo chuoãi Fourier Coâng thöùc Euler: einx = cos nx + isin nx, e −inx = cos nx − isin nx einx + e −inx Suy ra: cosnx = 2 einx − e −inx sin nx = 2i Taûi troïng: ∞ p(t) = ao + ∑()an cos nω1t + bn sinω1t = n=1 ∞ einx + e−inx einx − e−inx ao + ∑(an + bn ) n=1 2 2i ∞ ⎡ inx ⎛ a − ib ⎞ −inx ⎛ a + ib ⎞⎤ p(t) = a + e n n + e n n (*) o ∑ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ n=1 ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ Duøng (2.51):
Tp an − ibn 1 cn = = ∫ p(t)()cos nω1t − sinω1t dt = 2 T 0 p 1 Tp ∫ p(t)e−inω1t dt Tp 0 Tp an + ibn 1 inω1t c−n = cn = = ∫ p(t)e dt 2 T 0 p 1 Tp n = 0 : co = ∫ p(t)dt = ao Tp 0 Coù theå vieát (*) laïi: ∞ ∞ inω1t −inω1t p(t) = co + ∑cn e + ∑c−n e n=1 n=1 (2.53) ∞ inω1t hay p(t) = ∑cn e −∞ vôùi T 1 p Imaginary c = p(t)e −inω1t dt n ∫ inϖ t e 1 Tp 0 ρ =1 (2.54) nϖ1t Ο Real laø phoå rôøi raïc cuûa heä soá -nϖ1t ρ =1 -inϖ t Fourier. e 1
Chuù yù: inω1t −inω1t ⎢cn⎢ =⎢ c-n⎢ vì laø hai soá phöùc lieân hôïp, e vaø e laø hai soá phöùc lieân hôïp. Do ñoù: inω1t −inω1t cne vaø cne cuõng laø hai soá phöùc lieân hôïp, vaø coù toång laø thöïc (Real). Daïng phöùc cuûa nghieäm: Khi phaân tích taûi troïng ra chuoãi Fourier phöùc (2.53), phöông trình chuyeån ñoäng öùng vôùi moät soá haïng - haøm löïc phöùc ñôn vò (Unit complex forcing function) döôùi daïng: mv(t) + cv(t) + kv(t) = einω1t (2.55) Nghieäm oån ñònh coù daïng: inω1t vn (t) = H (nω1 )e (2.56) Theá vaøo (2.56), (2.55) ta ñöôïc: 1 ω Hn()ωβ== ; 1 1122 (2.57) kn()−+ββξ1121 in + ω Duøng nguyeân lyù choàng chaát taùc duïng: ∞ inω1t v(t) = ∑ H (nω1 )cn e (2.58) −∞
Chuù yù: - H (nω1 )vaø H (−nω1 ) laø soá phöùc lieân hôïp - H (nω1 ) goïi laø haøm truyeàn - Complex frequency response function hay laø Transfer function. 2.5 PHAÛN ÖÙNG VÔÙI TAÛI TROÏNG XUNG 2.5.1 Khaùi nieäm taûi troïng xung (Impulsive Loads) - Laø taûi troïng taùc p(t) duïng trong thôøi gian töông ñoái ngaén, ñoät ngoät. - Phaûn öùng (chuyeån vò chaúng haïn ) lôùn nhaát cuûa heä ñaït ñöôïc trong O t thôøi gian raát ngaén. - Löïc caûn coù vai troø nhoû, haáp thuï ít naêng löôïng cuûa keát caáu. Vì vaäy chæ xeùt heä khoâng coù caûn ñeå ñôn giaûn hoùa.
2.5.2 Xung hình sin p(t) p(t)=p sinω t Xeùt taûi troïng nöûa o soùng hình sin. Phaûn öùng cuûa heä ñöôïc chia ra 2 P0 pha: Cöôõng böùc vaø töï do. π O t1 t t + Phase I: 0 ≤ t ≤ t Phase I Phase II 1 ϖτ1= π Keát caáu chòu taùc duïng cuûa taûi troïng ñieàu hoøa. Ñieàu kieän ban ñaàu: v(0) = v(0) = 0 (traïng thaùi nghæ). Phaûn öùng goàm 2 soá haïng (quaù ñoä vaø bình oån) cho bôûi (2.37) : p 1 v(t) = o (sinωt − β sinωt) (2.59) k 1− β 2 + Phase II: t = t − t1 ≥ 0 Ñieàu kieän ban ñaàu: v(t = 0) = v(t1 ) v(t = 0) = v(t1 ) Theo (2.24): v(t ) v(t ) = 1 sinωt + v(t )cosωt (2.60) ω 1
Tuøy thuoäc vaøo tyû soá t1/ T maø phaûn öùng cöïc ñaïi thuoäc vaøo Phase I hoaëc Phase II. π - Neáu vmax thuoäc Phase I :t ≤ t = (2.59) 1 ω dv(t) p 1 ⇒ = 0 (ω cosωt − ω cosωt) = 0 dt k 1− β 2 Hay cosωt = cosωt ωt = 2πn ± ωt ≤ π ,n = 0,±1,±2, (a) Theá (a) vaøo (2.59) tìm ñöôïc vmax Ñaëc bieät: khi ω = ω, trong (a) laáy daáu (-) vaø n=1 ta coù : 2π ωt = ω 1+ ω - Neáu vmax thuoäc Phase II: khi ω > ω (ω caøng 2π lôùn thì t = caøng nhoû) 1 ω Duøng ñieàu kieän ban ñaàu v(t1) vaø v (t1), ta coù bieân ñoä dao ñoäng töï do (2.25)
p 1 2 o 2 ⎡v(t )⎤ 2 ⎛ π ⎞ ρ = 1 +[]v(t ) = k β⎜2+2cos ⎟ ⎢ ⎥ 1 2 ⎣ ω ⎦ 1−β ⎝ β ⎠ ρk β π Heä soá ñoäng: D = = 2 2(1+ cos ) p0 1− β β 2β π hay D = cos (2.61) 1− β 2 2β p(t) 2.5.3 Xung chöõ nhaät p0 + Phase I: 0 ≤ t ≤ t1 Taûi troïng ñaët ñoät ngoät O t t t vaø giöõ nguyeân khoâng ñoåi 1 trong phase I. Nghieäm Phase I Phase II rieâng cho taûi troïng baäc thang (Step loads) laø chuyeån vò tónh: p v = o p k Nghieäm toång quaùt vôùi ñieàu kieän ñaàu nghæ (rest): p v(t) = o ()1− cosωt (2.62) k + Phase II: t = t − t1 ≥ 0
Dao ñoäng töï do theo (2.60) v(t ) v(t) = 1 sinωt + v(t )cosωt (2.63) ω 1 - vmax thuoäc Phase I : t ≤ t1 dv(t) π T = 0 ⇒ sinωt = 0,ωt = π ,t = = dt ω 2 T Neáu t ≤ t töùc laø t ≥ ⇒ 1 1 2 t 1 heä soá ñoäng D = 2, vôùi 1 ≥ T 2 - vmax thuoäc Phase II: t = t − t1 ≥ 0 Bieân ñoä dao ñoäng: 2 ⎡v(t )⎤ 2 ρ = v = 1 + []v(t ) max ⎣⎢ ω ⎦⎥ 1 poω po 2π vì v(t1) = sinωt = ω sin t k 1 k T 1 1 2 2 po ⎡ 2 2π ⎛ 2 2π ⎞ ⎤ neân:vmax= ⎢sin t1 + ⎜1− cos t1 ⎟ ⎥ k ⎣ T ⎝ T ⎠ ⎦ 1 2 po ⎡ ⎛ 2π ⎞⎤ po πt1 = 2⎜1− cos t1 ⎟ = 2sin k ⎣⎢ ⎝ T ⎠⎦⎥ k T
V πt t 1 Heä soá ñoäng:D = max = 2sin 1 vôùi 1 ≤ (2.64) po T T 2 k p(t) p0 2.5.4 Xung tam giaùc + Phase I: 0 ≤ t ≤ t1, O t t t 1 Phase I Phase II p(t)=po(1- t/t1) P ⎛ t ⎞ o ⎜ ⎟ Nghieäm rieâng: v p (t) = ⎜1− ⎟ k ⎝ t1 ⎠ ÖÙng vôùi ñieàu kieän ban ñaàu nghæ, nghieäm toång quaùt coù daïng: po ⎛sinωt t ⎞ v(t) = ⎜ − cosωt − +1⎟ (2.65) k ⎝ ωt1 t1 ⎠ + Phase II: t ≥ 0 Ñieàu kieän ban ñaàu taïi t = 0, hay t = t1 töø (2.65)
p ⎛sinωt ⎞ v(t ) o ⎜ cos t ⎟ 1 = ⎜ − ω 1 ⎟ k ⎝ ωt1 ⎠ (2.66) p ω ⎛ cosωt 1 ⎞ o ⎜ 1 ⎟ v(t1 ) = ⎜ + sinωt1 − ⎟ k ⎝ ωt1 ωt1 ⎠ Dao ñoäng töï do cuûa Phase II thu ñöôïc baèng caùch theá (2.66) vaøo (2.60) vmax tìm töø ñieàu kieän t v (t) = 0. Vôùi 1 ≤ 0.4 thì v thuoäc Phase I. T max Heä soá ñoäng D cho ôû baûng: t1 0.20 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00 T D 0.66 1.05 1.2 1.42 1.55 1.69 1.76 2.5.5 Phoå phaûn öùng (Response Spectra) Khaùi nieäm: Phoå phaûn öùng laø ñoà thò cuûa heä soá ñoäng ⎛ t ⎞ D theo tyû soá chieàu daøi xung t /T , D = D⎜ 1 ⎟ 1 ⎝T ⎠ YÙ nghóa: Duøng tính chuyeån vò cuûa keát caáu chiuï taùc duïng cuûa xung löïc.
Heä soá ñoäng (Dynamic manification factor), D 2.4 Rectangular 2.0 Half since wave Triangular 1.6 1.2 0.8 0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 t1 Impulse duration Ratio = T Period Chuù yù: Neáu keát caáu chòu chuyeån ñoäng cuûa neàn vg(t), thì töông ñöông vôùi chòu löïc xung pt(t) = -mvg(t), vôùi trò soá lôùn nhaát po = - m vg0. Khi naøy heä soá ñoäng v t vt ñöôïc ñònh nghóa : D = max hoaëc D = max mvg 0 / k vgo Vì vg0 ño ñöôïc neân seõ tính ñöôïc gia toác cöïc ñaïi t cuûa keát caáu vmax
2.5.6 Tính toaùn gaàn ñuùng phaûn öùng do löïc xung Giaû xöû p(t) laø löïc xung p(t) trong thôøi gian t1 raát beù. Heä coù chuyeån vò v(t), caân baèng löïc: dv mv = m = p(t) − kv dt t1 O t1 t m∆v = ∫[]p − kv dt 0 2 Vì v(t1) laø löôïng beù baäc 2 so vôùi t1 : v ~ (t1 ) , neân boû qua. Do ñoù: 1 t1 ∆≈vptdtvtvvt() = ( ) − (0) = ( ) ∫ 11 m 0 v(t1) = 0 vaø v (t1) ñoùng vai troø ñieàu kieän ban ñaàu cuûa Phase II. Dao ñoäng töï do sau khi löïc thoâi taùc duïng: v(t ) v(t ) = 1 sinωt + v(t )cosωt ω 1 1 t1 v(t ) ≈ (∫ p(t)dt)sinωt (2.67) mω 0
Thí duï: Xem E6-3, page 97-98 vaø Baøi Taäp 6-5, page 99 Duøng coâng thöùc gaàn ñuùng, phaân tích phaûn öùng cuûa heä keát caáu moät baäc töï do chòu taûi troïng daïng xung p(t) nhö hình veõ. Bieát caùc ñaëc tröng vaät lyù cuûa heä keát caáu nhö sau: ñoä cöùng k = 51.1 k/in, troïng löôïng W = 2000 k. p(t) p0= 50k t 0.1s 0.1s 0.1s Giaûi: kg Taàn soá voøng: ω = = 3.14rad / s vaø W t1 ∫ p(t)dt = 10kip.s. 0 2π Chu kyø dao ñoäng cuûa heä: T = = 2s. ω
Vì taûi troïng taùc duïng trong thôøi gian ngaén t ( 1 = 0.15), neân duøng coâng thöùc gaàn ñuùng (2.67): T 10(386) vt( )== sinω t 0.614sinω t 2,000(3.14) trong ñoù gia toác troïng tröôøng cho bôûi g = 386in / s 2 Phaûn öùng ñaït cöïc ñaïi khi sinωt = 1, nghóa laø: vmax = 0.614 in. Löïc ñaøn hoài cöïc ñaïi: f S ,max = kvmax = 51.1(06.14) = 31.4kips Giaù trò chính xaùc cuûa chuyeån vò cöïc ñaïi ñöôïc xaùc ñònh töø phöông phaùp tích phaân tröïc tieáp laø 0.604 in. Nhaän xeùt: Nghieäm thu ñöôïc töø phöông phaùp xaáp xæ khaù thích hôïp, sai soá nhoû hôn 2%.
2.6 PHAÛN ÖÙNG VÔÙI TAÛI TROÏNG TOÅNG QUAÙT 2.6.1 Tích phaân Duhamel cho heä khoâng caûn p(t) p( τ) O O t t- τ τ d τ Phaûn öùng dv(t) sau khi chòu xung p( τ )d τ Xeùt taûi troïng baát kyø p(t). Xeùt thôøi ñieåm t = τ , theo (2.67) ta coù : p(τ )dτ dv(t) = sinω(t −τ ) (2.68) mω vôùi t > τ t = t −τ Ñaây laø dao ñoäng töï do cuûa heä sau khi chòu xung löïc p(τ )dτ ; dv(t) khoâng phaûi laø ñoä thay ñoåi cuûa chuyeån vò v trong thôøi gian dτ . Toaøn boä lòch söû taûi troïng coù theå xem nhö bao goàm söï noái tieáp cuûa caùc xung löïc ngaén, moãi xung löïc taïo ra moät phaûn öùng vi phaân theo (2.68). Phaûn
öùng toaøn boä laø do choàng chaát cuûa caùc xung löïc taïo ra, neân: 1 t - Duhamel Integral v(t) = ∫ p(τ)sinω(t −τ)dτ (2.69) mω 0 1 Kyù hieäu: h(t −τ ) ≡ sinω(t −τ ) (2.70) mω thì (2.69) coù daïng: - Tích phaân cuoän (Convolution Integral) t v(t) = ∫ p(τ )h(t −τ )dτ (2.71) 0 Haøm h(t −τ ) ñöôïc coi nhö phaûn öùng vôùi xung löïc ñôn vò. Neáu ôû thôøi ñieåm t = 0 (löïc baét ñaàu taùc duïng), keát caáu coù ñieàu kieän ban ñaàu khaùc khoâng: v(0) ≠ 0,v(0) ≠ 0 thì (2.69) phaûi keå theâm dao ñoäng töï do: v(o) v(t) = sinωt + v(o)cosωt + ω (2.72) 1 t ∫ p(τ )sinω(t −τ )dτ mω 0
2.6.2 Tích phaân baèng phöông phaùp soá cho Duhamel Integral Duøng coâng thöùc löôïng giaùc: sin(ωt − ωτ ) = sinωt cosωτ − cosωt sinωτ Phöông trình (2.69) vieát laïi: 1 t v(t) = sinωt ∫ p(τ )cosωτdτ − mω 0 1 t cosωt ∫ p(τ )sinωτdτ mω 0 v(t) = A(t)sinωt − B(t)cosωt (2.73) y( τ) y y y o 1 2 y n O t t τ ∆τ = n Noùi chung A(t) vaø B(t) ñöôïc tích phaân baèng soá. Chaúng haïn, coù theå vieát laïi:
1 t 1 t A(t) = ∫ p(τ )cosωτdτ = ∫ y(τ )dτ mω 0 mω 0 y(τ ) Phöông phaùp Simpson Chia t ra n phaàn (n chaün) t ∆τ = khi ñoù: n t ∆τ ∫ y(τ)dτ = ()y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + +1yn 0 3 2.6.3 Phaûn öùng cuûa heä coù caûn Trong (2.31) duøng ñieàu kieän ban ñaàu do xung p(τ )dτ löïc p(τ )dτ taïo ra :v(o) = 0, v(0) = , ta coù: m −ξω(t−τ ) ⎡ p(τ )dτ ⎤ dv(τ ) = e ⎢ sinωD (t −τ )⎥,t ≥τ (2.74) ⎣ mωD ⎦ t 1 −ξω (t−τ ) v(t) = ∫ p(τ )e sinω D (t −τ )dτ (2.75) mω D 0 Töông töï heä khoâng caûn, ta coù: 1 −ξω (t−τ ) h(t −τ ) = e sinω D (t −τ ) (2.76) mω D v(t) = A(t)sinω D t − B(t)cosω D t (2.77)
1 t eξωτ A(t) = ∫ p(τ ) ξωt cosωDτdτ mω 0 e D (2.78) 1 t eξωτ B(t) = ∫ p(τ ) ξωt sinω Dτdτ mω D 0 e A(t) vaø B(t) ñöôïc tính baèng soá, chaúng haïn phöông phaùp Simpson. 2.6.4 Phaân tích phaûn öùng trong mieàn taàn soá (Frequency Domain) - YÙ nghóa: Phaân tích phaûn öùng trong mieàn taàn soá coù öu ñieåm hôn trong mieàn thôøi gian khi ñaàu vaøo laø baát kyø, khoâng tuaàn hoaøn (chu kyø môû roäng ra ∞). Ñaëc bieät laø vôùi ñaàu vaøo (input) ngaãu nhieân. - Coâng thöùc: Ñeå tieän theo doõi, vieát laïi (2.53) vaø 2π (2.54): (ω1 = : taàn soá cô baûn cuûa taûi troïng). Tp ∞ ∞ inω1t iωnt p(t) = ∑cn e = ∑cn e (a) n=−∞ n=−∞ Tp Tp 2 2 1 −inω1t 1 −iω nt cn = ∫ p(t)e dt = ∫ p(t)e dt (b) T T Tp − p Tp − p 2 2
2π 1 ∆ω Ñaët:∆ω ≡ ωn+1 −ωn = ω1 = ⇒ = (c) Tp Tp 2π 1 ∆ω cn ≡ c(ωn ) = c(ωn ) (d) Tp 2π ∞ ∆ω iωnt Theá (d) vaøo (a): p(t) = ∑ c(ωn )e (a’) n=−∞ 2π khi Tp → ∞ thì ∆ω → dω (theo (c)), do ñoù (a’) ∞ 1 iω nt vieát laïi: p(t) = ∫ c(ωn )e dω 2π −∞ Tp 2 −iωnt Theá (d) vaøo (b): c(ωn ) = Tp cn = ∫ p(t)e dt phoå Tp − 2 lieân tuïc cuûa heä soá Fourier. ∞ −iωnt cho Tp → ∞: c(ωn ) = ∫ p(t)e dt (2.80) −∞ Phöông trình (2.79) vaø (2.80) laø caëp bieán ñoåi Fourier (Fourier Transform Pair) Ñieàu kieän toàn taïi bieán ñoåi Fourier: ∞ ∫ p(t) dt = Q < ∞ −∞
Töông töï nhö (2.58) phaûn öùng cuûa heä bieåu dieãn bôûi phöông trình: 1 ∞ v(t) = ∫ H (ω )c(ω )eiωt dω (2.81) 2π −∞ Haøm truyeàn: 1 1 H (ω ) = = − ω 2 m + iωc + k k(−β 2 + 2iβξ +1) ω vôùi β = (2.82) ω 2.7 PHAÂN TÍCH PHAÛN ÖÙNG CUÛA KEÁT CAÁU PHI TUYEÁN 2.7.1 Khaùi nieäm Keát caáu phi tuyeán: Phöông trình chuyeån ñoäng laø phöông trình vi phaân phi tuyeán. Yeáu toá phi tuyeán coù theå naèm trong quan heä giöõa löïc - chuyeån vò, trong heä soá caûn, do chuyeån vò lôùn hoaëc thay ñoåi sô ñoà tính trong quaù trình chuyeån vò. Chaúng haïn, phaûn öùng cuûa moät toøa nhaø (building) do ñoäng ñaát maïnh gaây ra hö hoûng nghieâm troïng. Sô ñoà tính thay ñoåi trong quaù trình bò hö hoûng. Khoâng duøng ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình tuyeán tính.
Caùc caùch giaûi quyeát - coù hai caùch: - Phöông phaùp giaûi tích: Tìm nghieäm giaûi tích cuûa phöông trình vi phaân phi tuyeán. Do khoù khaên veà toaùn hoïc, neân chæ giaûi ñöôïc nhöõng phöông trình gaàn tuyeán tính (aù tuyeán ), öùng vôùi caùc baøi toaùn vaät lyù töông ñoái ñôn giaûn. Theo Chopra [2] thì keát quaû cuûa phöông phaùp giaûi tích khoâng thoõa maõn cho phi tuyeán baát kyø. - Phöông phaùp soá: Tìm nghieäm döôùi daïng soá (nghieäm rôøi raïc) coù theå xeùt ñeán moïi yeáu toá phi tuyeán, vôùi quy luaät phöùc taïp voán coù cuûa baøi toaùn. Phöông phaùp tích phaân töøng böôùc (Step- by-Step Integration) cuûa Newmark ñöôïc coi laø phöông phaùp maïnh (powerful), töông ñoái ñôn giaûn, ñoøi hoûi ít khoái löôïng tính toaùn, nhöng cho keát quaû toát. 2.7.2 Phöông trình soá gia cuûa caân baèng (Incremental Equation of Equilibrium) Xeùt heä SDOF nhö hình veõ caùc ñaëc tröng m, k, c vaø p(t) coù theå laø caùc ñaïi löôïng suy roäng. Giaû thieát k(v) vaø c(v) laø caùc haøm phi tuyeán.
v(t) c f (t) D f (t) m I p(t) p(t) k f (t) S (b) (a) Theo nguyeân lyù D′Alembert, phöông trình caân baèng cuûa caùc löïc taùc duïng leân heä ôû thôøi ñieåm t: f I (t) + f D (t) + f S (t) = p(t) (a) ÔÛ thôøi ñieåm t + ∆t (∆t beù): f I (t + ∆t) + f D (t + ∆t) + f S (t + ∆t) = p(t + ∆t) (b) Laáy (b)-(a): ∆f I (t) + ∆f D (t) + ∆f S (t) = ∆p(t) (2.83) Soá gia cuûa caùc löïc xaùc ñònh nhö sau: ∆f I (t) = f I (t + ∆t) − f I (t) = m∆v(t) ∆f D (t) = f D (t + ∆t) − f D (t) ≈ c(t)∆v(t) ∆f S (t) = f S (t + ∆t) − f S (t) ≈ k(t)∆v(t) ∆p(t) = p(t + ∆t) − p(t) (2.84)
Heä soá caûn c(t) Ñoä cöùng k(t) fD(v) fs(v) ∆f Di ∆fs ∆v ∆v ∆v v v v ∆ i+1 i vi+1 v i v fs ∆fs c) Vaän toác d) Chuyeån vò Taûi troïng p(t) p(t) p(t+ ∆ t) ∆ p(t) p(t) ∆ t O t t+ ∆ t t (e) Trong ñoù c(t) vaø k(t) laø ñoä doác tieáp tuyeán ôû ñaàu moãi thôøi ñoaïn ∆t (ñoä doác caùt tuyeán khoâng xaùc ñònh ñöôïc vì chöa bieát ñöôïc trò cuûa f D (t + ∆t) vaø f S (t + ∆t) ôû thôøi ñieåm t + ∆t):
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ c(t) ≈ ⎜ D ⎟ , k(t) ≈ ⎜ S ⎟ (c, k = const neáu ⎝ ∂v ⎠t ⎝ ∂v ⎠t dao ñoäng tuyeán tính) (2.85) Theá (2.84) vaøo (2.83): m∆v(t) + c(t)∆v(t) + k(t)∆v(t) = ∆p(t) (2.86) ñaây laø phöông trình soá gia caân baèng cuûa baøi toaùn ñoäng löïc hoïc. Coù 3 aån trong (2.86). Caàn bieåu dieãn ∆v(t), ∆v(t) theo ∆v(t). Trong ñoù ∆v(t) laø bieán cô baûn ñöôïc tìm tröôùc. 2.7.3 Tích phaân töøng böôùc Giaû thieát: Caùc tính chaát cuûa heä nhö k, c laø haèng soá trong moãi ∆t. Gia toác bieán ñoåi baäc 1 ⇒ v baäc 2 , v baäc 3. Gia toác Vaän toác v v v Chuyeån vò ∆ v(t) ∆ v(t) ∆ v(t) v(t) v(t) v(t) baäc 2 baäc 3 t t+ ∆ t t t+ ∆ t t t+ ∆ t
Soá gia cuûa vaän toác vaø chuyeån vò ñöôïc tính bôûi caùc phöông trình sau: ∆t ∆v(t) = v(t)∆t + ∆v(t) (a) 2 ∆t 2 ∆t 2 ∆v(t) = ∆v(t)∆t + v(t) + ∆v(t) (b) 2 6 Choïn ∆v(t) laø aån soá cô baûn. Giaûi (b) cho ∆v(t) vaø theá vaøo (a) tính ñöôïc ∆v(t), theå hieän nhö sau: 6 6 ∆v(t) = ∆v(t) − v(t) − 3v(t) (c) ∆t 2 ∆t 3 ∆t ∆v(t) = ∆v(t) − 3v(t) − v(t) (d) ∆t 2 Chuù yù raèng ∆v(t) laø aån soá cô baûn. Theá (c) vaø (d) vaøo (2.86) ta ñöôïc: 6 6 m⎡ ∆v(t) − v(t) − 3v(t)⎤ + ⎣⎢∆t 2 ∆t ⎦⎥ 3 ∆t c(t)⎡ ∆v(t) − 3v(t) − v(t)⎤ + k(t)∆v(t) = ∆p(t) ⎣⎢∆t 2 ⎦⎥ ~ ~ hay:k (t)∆v(t) = ∆~p(t) ⇒ ∆v(t) = ∆~p(t) / k (t) (2.87) ~ 6 3 vôùi k (t) = k(t) + m + c(t) (2.88a) ∆t 2 ∆t
⎡ 6 ⎤ ⎡ ∆t ⎤ ∆~p = ∆p(t) + m v(t) + 3v(t) + c(t) 3v(t) + v(t) ⎣⎢∆t ⎦⎥ ⎢⎣ 2 ⎦⎥ (2.88b) Chuù yù: Phöông trình (2.87) töông töï nhö phöông trình caân baèng tónh. Tính chaát ñoäng ñöôïc keå do hieäu öùng ~ quaùn tính vaø caûn trong caùc soá haïng k (t) vaø ∆~p(t). Theá ∆v(t) cuûa (2.87) vaøo (d) seõ tìm ñöôïc ∆v(t). Ñieàu kieän ban ñaàu cuûa böôùc tính tieáp theo: v(t + ∆t) = v(t) + ∆v(t) (e) v(t + ∆t) = v(t) + ∆v(t) 2.7.4 Toùm taét trình töï tính Trong moãi böôùc thôøi gian (Time Step) ∆t, trình töï tính goàm: 1. Ñieàu kieän ban ñaàu v(t)vaø v(t) ñöôïc bieát, töø böôùc tính tröôùc ñoù hoaëc ñieàu kieän ban ñaàu cuûa baøi toaùn, töùc laø v(0)vaø v(0). 2. Xaùc ñònh c(t) vaø k(t) cho böôùc tính töø ñoà thò vaø tính fD(t) vaø fS(t).
3. Ñieàu kieän ban ñaàu veà gia toác xaùc ñònh bôûi phöông trình caân baèng löïc: 1 v(t) = []p(t) − f (t) − f (t) (2.89) m D S ~ 4. Soá gia cuûa ∆~p(t)vaø ñoä cöùng k (t) ñöôïc tính töø (2.88). 5. Soá gia chuyeån vò ∆v(t) vaø soá gia vaän toác ∆v(t) xaùc ñònh töø (2.87) vaø (d). 6. Chuyeån vò v(t + ∆t) vaø vaän toác v(t + ∆t) tính theo (e). Böôùc tính tieáp theo ñöôïc laëp laïi nhö treân. Ñoái vôùi keát caáu tuyeán tính, phöông phaùp tính naøy cuõng duøng ñöôïc vaø vieäc tính ñôn giaûn hôn. Vaán ñeà chính xaùc cuûa phöông phaùp Ñoä chính xaùc cuûa phöông phaùp phuï thuoäc vaøo ñoä lôùn ∆t. Coù 3 yeáu toá phaûi xeùt khi choïn ∆t: 1. Möùc ñoä (Rate) bieán ñoåi cuûa taûi troïng p(t). 2. Ñoä phöùc taïp cuûa tính chaát phi tuyeán cuûa ñoä cöùng vaø heä soá caûn. 3. Chu kyø dao ñoäng T cuûa heä.
vôùi quy luaät p(t) töông ñoái ñôn giaûn thì ∆t phuï thuoäc vaøo T. T Thöôøng ∆t ≤ cho keát quaû ñaùng tin caäy. 10 Thí duï: Xem E8-1, page 124, [1]. Ví duï naøy duøng ñeå minh hoïa cho kó thuaät giaûi tay aùp duïng phöông phaùp töøng böôùc ñöôïc moâ taû ôû treân ñoái vôùi dao ñoäng phi tuyeán, tính toaùn phaûn öùng cuûa khung ñaøn hoài deûo moät baäc töï do chòu taûi troïng thay ñoåi nhö hình veõ. Khi phaân tích söû duïng böôùc thôøi gian 0.1s thì chöa ñaït ñoä chính xaùc cao, tuy nhieân giaù trò cuûa phaûn öùng ñoäng cuõng thoûa maõn muïc ñích phaân tích. v(t) 2 f m = 0.1 kip.sec /in s 1.2in vmax p(t), kips 6kips c = 0.2 kip.sec/in k = 5 kips/in v 6kips Inelastic displacement p(t), kips 8 Elastoplastic stiffness 7 Load history 5 5 3 2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t, s
Trong keát caáu naøy, heä soá caûn ñöôïc giaû thieát vaãn laø haèng soá, vì vaäy ñaây laø baøi toaùn phi tuyeán ñoä cöùng (ñoä cöùng thay ñoåi trong quaù trình chuyeån ñoäng). ~ 6 3 k (t) = k(t) + m + c = 66 + k(t) ()0.1 2 0.1 trong ñoù k(t) coù giaù trò 5 kips/in ñoái vôùi ñoaïn ñaøn hoài hoaëc baèng 0 ñoái vôùi ñoaïn deûo. Vì vaäy soá gia cuûa taûi troïng laø: ⎛ 6m ⎞ ⎛ 0.1 ⎞ ∆~p(t) = ∆p(t) + ⎜ + 3c⎟v + ⎜3m + c⎟v = ⎝ 0.1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ∆p(t) + 6.6v + 0.31v Soá gia cuûa vaän toác ñöôïc cho bôûi: ∆v = 30∆v − 3v − 0.05v Nghieäm ñöôïc theå hieän treân ñoà thò sau:
CHÖÔNG 3. HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 3.1 THIEÁT LAÄP PHÖÔNG TRÌNH CHUYEÅN ÑOÄNG 3.1.1 Löïa choïn baäc töï do YÙ nghóa: thöïc teá keát caáu thöôøng laø heä phaân boá, coù voâ haïn baäc töï do. Ñöa veà sô ñoà moät baäc töï do chæ thích hôïp trong moät soá tröôøng hôïp ñaëc bieät, khi heä haàu nhö chæ dao ñoäng vôùi moät daïng nhaát ñònh. Ñeå thu ñöôïc keát quaû chính xaùc hôn, ta phaûi ñöa heä keát caáu veà heä rôøi raïc nhieàu baäc töï do. Soá baäc töï do ñöôïc choïn döïa vaøo baøi toaùn cuï theå. Caùc caùch choïn baäc töï do: coù hai caùch - Choïn bieân ñoä dao ñoäng taïi moät soá ñieåm rôøi raïc: bao goàm phöông phaùp doàn khoái löôïng vaø phaàn töû höõu haïn (FEM) ñeå rôøi raïc hoùa. - Choïn toïa ñoä suy roäng, laø bieân ñoä cuûa moät soá kieåu (pattern) bieán daïng cuûa heä. 3.1.2 Phöông trình caân baèng ñoäng Ñeå ñôn giaûn ta xeùt heä lieân tuïc nhö hình veõ, vôùi caùc baäc töï do laø chuyeån vò taïi caùc ñieåm 1, 2, 3, , N.
p(x,t) 1 m(x) 2 i Ν EI(x) chieàu döông chuyeån vò chuyeån vò v2(t) v (t) vi(t) v (t) 1 N f m Ii i pi(t) chieàu döông fDi cuûa löïc fSi vi(t) Taïi moãi ñieåm (nuùt) coù caùc löïc taùc duïng: taûi troïng pi(t), löïc quaùn tính fIi, löïc caûn fDi, vaø löïc ñaøn hoài fSi. Phöông trình caân baèng nuùt i: fIi + fDi + fSi = pi(t) , i = 1, 2, 3, , N Daïng ma traän: [fI] + [fD] + [fS] = [p(t)] (3.1) trong ñoù: ⎧ f ⎫ ⎧ p1(t) ⎫ ⎧ f ⎫ ⎧ f D1 ⎫ S1 I1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f ⎪ p2 (t)⎪ f ⎪ f D2 ⎪ ⎪ S 2 ⎪ ⎪ I 2 ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ [f ] = ⎨ ⎬ , [f ]= # , [f ]= # , [p(t)] = # I ⎪ # ⎪ D ⎪ ⎪ S ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f ⎪ ⎪ f ⎪ ⎪p (t)⎪ ⎩ f IN ⎭ ⎩ DN ⎭ ⎩ SN ⎭ ⎩ N ⎭ - Löïc ñaøn hoài Duøng nguyeân lí coäng taùc duïng, ta coù: fSi = ki1v1 + ki2v2 + + kiNvN vôùi i = 1,N
vôùi kij laø löïc taïi nuùt i do chuyeån vò vj = 1 gaây ra. Chuù yù: Löïc ñaøn hoài caân baèng vôùi löïc nuùt nhaèm duy trì ñöôøng ñaøn hoài (ngöôïc chieàu vôùi löïc nuùt). Daïng ma traän: f ⎧ S1 ⎫ ⎡ k11 k12 " k1N ⎤ ⎧v1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ fS 2 ⎪ k21 k22 " k2N ⎪v2 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎪ # ⎪ ⎢ " " " " ⎥ ⎪ # ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ fSN ⎭ ⎣kN1 kN 2 " kNN ⎦ ⎩vN ⎭ (3.2) hay: [fS] = [K][v] (3.3) [K] goïi laø ma traän cöùng (Stiffness Matrix). - Löïc caûn- keát quaû töông töï nhö löïc ñaøn hoài ⎧ v ⎫ ⎧ f D1 ⎫ ⎡ c11 c12 " c1N ⎤ 1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ f D2 ⎪ c c " c ⎪v2 ⎪ ⎨ ⎬ ⎢ 21 22 2N ⎥ ⎨ ⎬ ⎪ # ⎪ = ⎢ " " " " ⎥ ⎪ # ⎪ (3.4) ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ f DN ⎭ ⎣cN1 cN 2 " cNN ⎦ ⎩vN ⎭ vôùi cij laø löïc taïi nuùt i do v j = 1 gaây ra, goïi laø heä soá aûnh höôûng caûn. hay: [fD ]= [C][ v ] (3.5) trong ñoù: [C] laø ma traän caûn (Damping Matrix) - Löïc quaùn tính
f ⎧ v1 ⎫ ⎧ I1 ⎫ ⎡ m11 m12 " m1N ⎤ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ f I 2 ⎪ m m " m ⎪v2 ⎪ ⎨ ⎬ ⎢ 21 22 2N ⎥ ⎨ ⎬ ⎪ # ⎪ = ⎢ " " " " ⎥ ⎪ # ⎪ (3.6) ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ f IN ⎭ ⎣mN1 mN 2 " mNN ⎦ ⎩vN ⎭ vôùi mij : löïc taïi nuùt i do vj = 1 gaây ra, laø heä soá aûnh höôûng khoái löôïng, hay: [fI ]= [M][v] (3.7) trong ñoù: [M] laø ma traän khoái löôïng (Mass Matrix) Heä N phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng: [M][v] + [C][v] + [K][v] = [p(t)] (3.8) Phöông trình treân laø phöông trình mang tính chaát toång quaùt cuûa baøi toaùn ñoäng löïc hoïc. Tuøy thuoäc vaøo [p(t)] maø ta coù caùc tröôøng hôïp phaân tích ñoäng löïc hoïc cuûa heää: Phaân tích dao ñoäng töï do, Phaân tích phaûn öùng cuûa heä vôùi taûi troïng ñoäng nhö taûi gioù, ñoäng ñaát, soùng bieån 3.1.3. AÛnh höôûng cuûa löïc doïc (neùn) Löïc doïc laøm taêng theâm chuyeån vò nuùt, neân seõ coù vai troø nhö löïc nuùt taùc duïng theo chieàu cuûa chuyeån vò nuùt, kyù hieäu bôûi ma traän [fG]. Khi naøy phöông trình caân baèng nuùt (3.1) trôû thaønh:
[fI] + [fD] + [fS] - [fG] = [p(t)] (3.9) Löïc nuùt [fG] töông ñöông vôùi vai troø cuûa löïc doïc, ñöôïc bieåu dieãn bôûi caùc heä soá cöùng hình hoïc (Geometric - Stiffness Coefficients) nhö sau: ⎧ fG1 ⎫ ⎡kG11 kG12 " kG1N ⎤ ⎧ v1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ fG 2 ⎪ kG21 kG22 " kG2 N ⎪v2 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ (3.10) ⎪ # ⎪ ⎢ " " " " ⎥ ⎪ # ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ fGN ⎭ ⎣kGN1 kGN 2 " kGNN ⎦ ⎩vN ⎭ vôùi kGij laø löïc taïi nuùt i do vj = 1 gaây ra, coù aûnh höôûng cuûa löïc doïc hay: [fG] = [KG][v] (3.11) trong ñoù: [KG] laø ma traän cöùng hình hoïc (Geometric - Stiffness Matrix) Phöông trình (3.9) trôû thaønh: [M][v] + [C][v] + [K][ v] – [KG][v] = [p(t)] (3.12) hay: [M][v] + [C][v] + [K ][ v] = [p(t)] (3.13) vôùi: [K ] = [K] – [KG] laø ma traän ñoä cöùng toång hôïp (Combined Stiffness Matrix) Nhö vaäy, löïc doïc laøm giaûm ñoä cöùng cuûa keát caáu (laøm cho keát caáu meàm ñi).
3.2 XAÙC ÑÒNH CAÙC MA TRAÄN TÍNH CHAÁT 3.2.1 Tính chaát ñaøn hoài 3.2.1.1 Ñoä meàm cuûa keát caáu f f ij f 2j jj f f 1j Nj 1 2 3 j Ν p j Goïi: fij laø chuyeån vò taïi i do pj = 1 gaây ra. Taäp hôïp caùc fij (i = 1,N) taïo neân ñöôøng ñaøn hoài do pj = 1 gaây ra (hình veõ). Chieàu döông cuûa chuyeån vò vaø löïc theo chieàu döông cuûa truïc toïa ñoä. Chuyeån vò taïi ñieåm i do caùc löïc pj (j = 1,N) theo nguyeân lyù coäng taùc duïng: vi = fi1p1 + fi2p2 + + fiN pN i = 1, N Daïng ma traän:
⎧ v1 ⎫ ⎡ f11 f12 " f1N ⎤ ⎧ p1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪v2 ⎪ f 21 f 22 " f 2N ⎪ p2 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ (3.15) ⎪ # ⎪ ⎢ " " " " ⎥ ⎪ # ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩vN ⎭ ⎣ f N1 f N 2 " f NN ⎦ ⎩ pN ⎭ hay: [v] = [f][p] (3.16) trong ñoù: [f] : Ma traän ñoä meàm cuûa keát caáu (Flexibility Matrix) [p]: Ma traän taûi troïng nuùt, coù cuøng chieàu döông vôùi chuyeån vò nuùt. Löïc ñaøn hoài caân baèng löïc nuùt [p] = [fS], (3.16) trôû thaønh: [v] = [f][fS] (3.17) p=k j jj p=k p=k p=k i ij N Nj 1 1j f f S2 S1 fS3 v=1j 1 i j Ν v1 v2 v3 p p p vj=1 1 2 3 1 i j Ν k k k k 1j ij jj Nj
3.2.1.2 Ñoä cöùng cuûa keát caáu Heä soá cöùng kij (ñöôïc minh hoïa treân hình veõ) laø caùc löïc nuùt do chuyeån vò vj = 1 gaây ra (caùc chuyeån vò khaùc vi = 0, vôùi i ≠ j). kij chính laø phaûn löïc taïi nuùt neáu ñaët theâm caùc lieân keát. Thöôøng ma traän ñoä cöùng [K] ñöôïc suy ra töø ma traän ñoä meàm [f] hoaëc duøng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (FEM). 3.2.1.3 Caùc khaùi nieäm cô sôû - Theá naêng bieán daïng: (baèng coâng ngoaïi löïc) N 1 1 T 1 T U = ∑ pi vi = [ p ][v] = [v ][ p] (3.18) 2 i=1 2 2 Theo (3.16) vaøo (3.18) ta ñöôïc: 1 U = [ pT ][ f ][ p] (3.19) 2 Hoaëc theá (3.3) vaøo (3.18), vôùi chuù yù raèng [p] = [fS]: 1 U = [vT ][K][v] (3.20) 2 Vì U > 0 neân suy ra: [vT][K][v] > 0 vaø [pT][f][p] > 0 (3.21) [K] vaø [f] thoûa (3.21) vôùi moïi [v], [p] ≠ 0 neân laø caùc ma traän xaùc ñònh döông (Positive Definite), khoâng suy bieán vaø nghòch ñaûo ñöôïc.
Thieát laäp quan heä [K], [f], (3.3): [fs] = [K].[v] -1 hay [K ][fs] = [v] Maët khaùc (3.17): [v] = [f].[fs] suy ra: [f] = [K-1] hoaëc [K] = [f-1] (3.22) Thöôøng xaùc ñònh ma traän cöùng thoâng qua ma traän meàm theo (3.22). - Ñònh lyù Betti: “Coâng khaû dó cuûa löïc ôû traïng thaùi (a) treân chuyeån vò ôû traïng thaùi (b) baèng coâng khaû dó cuûa löïc ôû traïng thaùi (b) treân chuyeån vò ôû traïng thaùi (a)” T T [pa ] [vb] = [pb ] [va] (3.23) T T T T T hay [pa ][f][pb] = {[pb ][f][pa]} = [pa ] [f ] [pb] suy ra: [f] = [fT] Ma traän ñoái xöùng (3.24) Moät caùch töông töï, ma traän cöùng ñoái xöùng: K = KT (3.25) Traïng thaùi (a) va 1 va2 va3 1 2 3 p p p a1 a2 a3 v v v Traïng thaùi (b) b 1 b2 b3 p p p b1 b2 b3
3.2.1.4 Thieát laäp ma traän ñoä cöùng baèng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (FEM) Heä ñöôïc quan nieäm goàm nhieàu phaàn töû noái vôùi nhau taïi moät soá höõu haïn nuùt. Tính chaát cuûa heä ñöôïc tìm baèng caùch choàng chaát caùc phaàn töû moät caùch thích hôïp. Xeùt phaàn töû daàm thaúng coù 2 nuùt nhö hình veõ: Coù hai baäc töï do moãi nuùt: bao goàm chuyeån vò thaúng vaø goùc xoay. Haøm daïng ψi(x) chæ chuyeån vò vi = 1 gaây ra, coøn caùc chuyeån vò nuùt khaùc ñeàu baèng 0. Haøm ψi(x) phaûi thoûa maõn ñieàu kieän bieân, nhöng thöôøng choïn haøm chuyeån vò trong daàm coù ñoä cöùng EI = const do chuyeån vò nuùt vi = 1 gaây ra. Ñoù laø caùc haøm ña thöùc Hermit baäc ba nhö sau: 2 3 v(x) ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ v v2 1 v v4 ψ1(x) = 1 - 3 ⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ (a) 3 b x ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ a EI(x) L x 2 ψ (x) ψ3(x) = x(1- ) (b) 1 L va =v1 =1 2 3 ψ (x) x x 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ θ =v =1 ψ2(x) = 3 ⎜ ⎟ - 2⎜ ⎟ (c) a 3 1 ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ x 2 ⎛ x ⎞ ψ4(x) = ⎜ −1⎟ (d) (3.26) L ⎝ L ⎠
Duøng boán haøm noäi suy naøy, chuyeån vò cuûa daàm xaùc ñònh theo caùc chuyeån vò nuùt: v(x) = ψ1(x) v1+ ψ2(x) v2 + ψ4(x) v3 + ψ4(x) v4 (3.27) trong ñoù: ⎧v1 ⎫ ⎧va ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪v2 ⎪ ⎪vb ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (3.27’) θ ⎪v3 ⎪ ⎪ a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩v4 ⎭ ⎩θb ⎭ Heä soá cöùng cuûa phaàn töû laø caùc phaûn löïc nuùt do chuyeån vò nuùt gaây ra. Ñeå ñôn giaûn ta xeùt phaàn töû daàm nhö hình veõ. Heä soá k13, töùc laø phaûn löïc pa treân hình veõ ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: δ v(x)= ψ (x) δ v1 1 (chuyeån vò khaû dó) δ v = δ v1 (x) a ψ 1 3 θ a =v 3 =1 k13 = pa =p Duøng nguyeân lí coâng khaû dó: WE = paδva = k13δv1 '' Momen do θa = 1 gaây ra laø: M(x) = EI(x)ψ 3 (x) L '' '' Coâng khaû dó cuûa noäi löïc: WI= δv1 ∫EI(x)ψ1 (x)ψ3 (x)dx 0
L '' '' Cho WI =WE suy ra: k13 = ∫EI(x)ψ1 (x)ψ3 (x)dx (3.28) 0 Toång quaùt hoùa: L '' '' kij = ∫EI(x)ψi (x)ψ j (x)dx: Ñoä cöùng suy roäng (3.29) 0 vì kij = kji neân ma traän ñoä cöùng ñoái xöùng. Vôùi daàm coù ñoä cöùng ñeàu EI = const, ta coù: ⎧ f S1 ⎫ ⎡ 6 −6 3L 3L ⎤ ⎧v1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ f S 2 ⎪ 2EI −6 6 −3L −3L ⎪v2 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ (3.30) f 3 2 2 ⎪ S 3 ⎪ L ⎢3L −3L 2L L ⎥ ⎪v3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 2 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ f S 4 ⎭ ⎣3L −3L L 2L ⎦ ⎩v4 ⎭ Neáu daàm coù ñoä cöùng EI(x) thay ñoåi thì (3.30) laø gaàn ñuùng. Ñoä chính xaùc seõ cao hôn, neáu chia daàm ra caùc phaàn töû nhoû hôn. Heä soá ñoä cöùng kij cuûa keát caáu baèng toång caùc heä soá cöùng töông öùng cuûa caùc phaàn töû noái vaøo nuùt. Chaúng haïn, neáu caùc phaàn töû m, n, p cuøng noái vaøo nuùt i thì heä soá cöùng cuûa keát caáu taïi nuùt i laø: (m) (n) ( p) kii = kii + kii + kii (3.31) (m) (n) ( p) trong ñoù kii , kii ,kii laø heä soá cöùng cuûa phaàn töû ñaõ bieán ñoåi sang heä toïa ñoä chung(töø toïa ñòa phöông).
Thí duï: Xeùt heä nhö hình veõ, goàm 3 phaàn töû noái taïi 2 nuùt. Boû qua bieán daïng doïc truïc, heä coù 3 baäc töï do: v1, v2 vaø v3 Caùc heä soá ñoä cöùng cuûa heä ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch laàn löôït cho caùc chuyeån vò cöôõng böùc ñôn vò vi = 1 vaø coäng löïc nuùt öùng vôùi caùc phaàn töû. Ma traän ñoä cöùng keát caáu: v 2 v3 v1 4EI L EI EI 2L k21 k31 k22 k k11 32 v1=1 k12 4EI 4EI v2=1 EI EI EI EI 2EI 2EI 2EI k = (6x2) k = (3L) k = (3L) 11 L3 21 L3 31 L3 2EI 2x4EI 2EI k = k = (2L2 ) + 2x(2L2 ) = (6L2 ) 33 22 L3 (2L)3 L3 2x4EI 2EI k = (2L2 ) = (2L2 ) 32 (2L)3 L3
⎧ f S1 ⎫ ⎡12 3L 3L ⎤⎧v1 ⎫ ⎪ ⎪ 2EI ⎪ ⎪ f = ⎢3L 6L2 2L2 ⎥ v ⎨ S 2 ⎬ 3 ⎢ ⎥⎨ 2 ⎬ ⎪ ⎪ L 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ f S 3 ⎭ ⎢⎣3L 2L 6L ⎦⎥⎩v3 ⎭ Chuù yù: Baøi toaùn ñoäng löïc hoïc cuûa heä phaân boá thöôøng ñoøi hoûi nhieàu baäc töï do hôn so vôùi baøi toaùn tónh, do aûnh höôûng cuûa löïc quaùn tính. Tuy nhieân, khi ñaõ choïn caùc baäc töï do cho baøi toaùn ñoäng roài thì vieäc xaây döïng ma traän cöùng gioáng nhö tröôøng hôïp baøi toaùn tónh. 3.2.2 Tính chaát khoái löôïng 3.2.2.1 Ma traän khoái löôïng thu goïn (Lumped Mass Matrix) mm1 2 m3 1 2 3 Ta xem khoái löôïng phaân boá cuûa caùc phaàn töû ñöôïc thu goïn veà caùc nuùt theo nguyeân taéc tónh hoïc, ta coù heä goàm caùc khoái löôïng taäp trung. Ma traän khoái löôïng thu goïn laø ma traän ñöôøng cheùo:
⎡m1 0 " 0 ⎤ ⎢ 0 m # ⎥ [M] = ⎢ 2 ⎥ (3.32) ⎢ # % 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 " 0 mN ⎦ trong ñoù: mij = 0 vôùi i ≠ j, vì gia toác taïi khoái löôïng naøo chæ gaây ra löïc quaùn tính taïi khoái löôïng ñoù. 3.2.2.2 Ma traän khoái löôïng töông thích (Consistent - Mass Matrix) v(x) v v 1 v 2 v 4 a 3 b x m(x) L δ v(x)= ψ (x) δ v 1 1 (chuyeån vò khaû dó) δ v = δ v f (x) a 1 1 Ι θ =v =1 a 3 m =p 13 a Xeùt phaàn töû daàm coù hai baäc töï do moãi nuùt. Duøng caùc haøm noäi suy ψi(x) nhö ma traän cöùng. Giaû söû daàm chòu taùc duïng cuûa gia toác goùc baèng ñôn vò taïi nuùt a, v3 = θa = 1, gia toác chuyeån ñoäng ngang cuûa daàm laø:
v(x) = v3ψ 3 (x) (3.33) Löïc quaùn tính: f I (x) = m(x)v(x) = m(x)v3ψ 3 (x) (3.34) Cho daàm chòu chuyeån vò khaû dó δv(x) = ψ1(x) δv1. Caân baèng coâng khaû dó cuûa löïc nuùt vaø löïc quaùn L tính, ta coù: paδva = ∫ f I (x)δv(x)dx 0 L hay m13 = ∫ m(x)ψ 1 (x)ψ 3 (x)dx 0 L KL suy roäng mij = ∫m(x)ψi (x)ψ j (x)dx (3.35) 0 vì mij = mji, neân ma traän töông thích ñoái xöùng. - Neáu daàm coù khoái löôïng phaân boá ñeàu thì ta coù: ⎧ f I1 ⎫ ⎡ 156 54 22L −13L⎤ ⎧v1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ f I 2 ⎪ mL 54 156 13L −22L ⎪v2 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ (3.36) 420 2 2 ⎪ f I 3 ⎪ ⎢ 22L 13L 4L −3L ⎥ ⎪v3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 2 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ f I 4 ⎭ ⎣−13L −22L −3L 4L ⎦ ⎩v4 ⎭ Ma traän khoái löôïng cuûa keát caáu cuõng ñöôïc “choàng chaát’’ töø ma traän cuûa phaàn töû, töông töï nhö ma traän cöùng.
Thí duï Thaønh laäp ma traän khoái löôïng cho keát caáu nhö hình veõ theo hai phöông phaùp. Quaù trình tính caùc heä soá khoái löôïng ñöôïc chæ roõ treân caùc hình veõ. m11= 4 m L m22 = m33 = 0 1.5 m L v2 v2 v3 1.5 m L v3 v1 v1 1.5 m 0.5 m L 0.5 m L L m m 0.5 m L 0.5 m L 2L m21 m22 m31 v1 =1 m32 m11 m12 =1 v2 = 1 Ma traän khoái löôïng thu goïn: ⎡840 ⎤ mL [M] = ⎢ 0 ⎥ 210 ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0⎦⎥
m22 = m33 = 0 vì giaû thieát raèng khoái löôïng thu goïn khoâng coù quaùn tính xoay, töùc laø caùc gia toác goùc taïi nuùt khoâng gaây ra momen quaùn tính. Ma traän khoái löôïng töông thích: mL mL m = (156x2) +1.5mx2L = 768 11 420 210 mL mL m = m = (22L) = 11L 21 31 420 210 mL 1.5mx2L mL m = m = 4L2 + 4(2L) 2 = 26L2 22 33 420 420 210 1.5mx2L mL m = (−3)x(2L) 2 = (−18L) 2 32 420 210 ⎡786 11L 11L ⎤ mL [M] = ⎢11L 26L2 −18L2 ⎥ ⎢ ⎥ 210 2 2 ⎢⎣11L −18L 26L ⎦⎥ Nhaän xeùt Baøi toaùn ñoäng löïc hoïc öùng vôùi ma traän khoái löôïng thu goïn ñôn giaûn hôn vì: - [M] thu goïn daïng ñöôøng cheùo, trong khi [M] töông thích coù nhieàu heä soá khaùc 0 ôû ngoaøi ñöôøng cheùo. Caùc heä soá cuûa [M] thu goïn öùng vôùi caùc chuyeån vò xoay cuõng baèng 0, caøng laøm cho baøi toaùn ñôn giaûn hôn.
- Duøng [M] thu goïn coù theå loaïi boû caùc chuyeån vò xoay, nhöng duøng [M] töông thích thì khoâng theå loaïi boû ñöôïc. 3.2.3 Tính chaát caûn Heä soá caûn cuûa phaàn töû ñöôïc xaùc ñònh bôûi FEM, cho bôûi coâng thöùc: L cij = ∫ c(x)ψ i (x)ψ j (x)dx Heä soá caûn suy roäng (3.37) 0 trong ñoù: c(x) - tính chaát caûn phaân boá cuûa phaàn töû. Ma traän caûn keát caáu cuõng ñöôïc choàng chaát töø ma traän caûn cuûa phaàn töû, töông töï ma traän ñoä cöùng hoaëc ma traän khoái löôïng. Tuy nhieân, ñeå xaùc ñònh haøm c(x) trong thöïc teá thì khoâng laøm ñöôïc. Thöôøng tính caûn cuûa keát caáu xaùc ñònh bôûi thöïc nghieäm baèng tæ soá caûn ξ. 3.2.4 Taûi troïng Neáu taûi troïng taùc duïng treân phaàn töû thì phaûi thay theá baèng taûi troïng nuùt töông ñöông, duøng khaùi nieäm löïc suy roäng. Coù hai phöông phaùp:
3.2.4.1 Taûi troïng nuùt töông ñöông tónh hoïc p(x,t) F(t) q(x,t) pi(t) pj(t) Löïc nuùt töông ñöông Xem nhö taûi troïng ñaët treân daàm phuï coù maét truyeàn löïc ñaët taïi nuùt. Löïc truyeàn vaøo nuùt seõ thay theá cho taûi troïng ñaët treân phaàn töû. Nhö vaäy khoâng truyeàn moâ men taäp trung vaøo nuùt. 3.2.4.2 Taûi troïng nuùt töông thích p(x,t) p b p 3 4 a p p 1 2 L δ v(x)= ψ (x) δ v 1 1 δ v = δ v a 1 Taûi troïng suy roäng
Taûi troïng nuùt ñöôïc tính theo nguyeân lí chuyeån vò khaû dó, duøng caùc haøm noäi suy ψi(x). Thí duï: L p1(t) = ∫ p(x,t)ψ 1 (x)dx 0 L Taûi troïng suy roäng pi(t) = ∫ p(x,t)ψ i (x)dx (3.38) 0 Neáu taûi troïng coù daïng phaân ly (tröôøng hôïp naøy thöôøng gaëp trong thöïc teá) p(x,t) = χ(x)ζ(t) thì löïc nuùt suy roäng trôû thaønh: L pi(t) = ζ(t) ∫ χ(x)ψ i (x)dx (3.39) 0 Chuù yù raèng, vôùi caùc haøm noäi suy ψi(x) (i = 1,4) ta coù 2 löïc nuùt vaø 2 moâ men nuùt taïi 2 ñaàu daàm. 3.2.5 Ñoä cöùng hình hoïc Ñoä cöùng hình hoïc v v v N i j x theå hieän khuynh höôùng O i j v - v j i N fGj = i laøm taêng chuyeån vò uoán L i N v - v i i j N cuûa löïc neùn N. Heä soá f Gi = i L i N i i v cöùng hình hoïc chính laø j vi löïc nuùt do N taïo ra. Giaû Li
thieát raèng löïc neùn N do taûi troïng tónh gaây ra laø chuû yeáu; phaàn do löïc ñoäng gaây ra coù theå boû qua ñöôïc. Vì vaäy, coi N khoâng ñoåi trong quaù trình dao ñoäng. (Neáu N(t) thay ñoåi theo thôøi gian thì [KG] cuõng thay ñoåi theo thôøi gian. Baøi toaùn trôû neân phi tuyeán). Xaáp xæ tuyeán tính: 1 BTD/nuùt Giaû söû löïc doïc trong phaàn töû i laø Ni. Coi phaân töû i thaúng thì löïc nuùt fGi vaø fGj ñöôïc xaùc ñònh theo löïc neùn Ni treân hình veõ. Vieát laïi daïng ma traän: ⎧ f Gi ⎫ N ⎡ 1 −1⎤⎧vi ⎫ ⎨ ⎬ = i ⎨ ⎬ (3.40) f ⎢ ⎥ v ⎩ Gj ⎭ li ⎣−1 1 ⎦⎩ j ⎭ Ma traän cöùng hình hoïc cuûa keát caáu daàm: f ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ G1 ⎡N N N ⎤ v ⎪ ⎪ 0 + 1 − 1 0 0 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎢ l l l ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 0 1 1 ⎥ ⎪ ⎪ N N N N ⎪ ⎪ ⎢ 1 1 2 2 ⎥ v ⎪fG2 ⎪ − + − 0 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ l1 l1 l2 l2 ⎥⎪ ⎪ (3.41) ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥⎨ ⎬ Ni−1 Ni−1 Ni Ni ⎪ ⎪ ⎢ 0 − + − ⎥⎪v ⎪ ⎪ ⎪ l l l l ⎪ i ⎪ fGi ⎢ i−1 i−1 i i ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ N N N ⎥⎪ ⎪ 0 0 − N−1 n−1 + n ⎪f ⎪ ⎢ ⎥⎪v ⎪ Gn ⎣ Ln−1 Ln−1 Ln ⎦ n ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ coù daïng 3 veät cheùo. Vieát daïng kí hieäu: [ fG ] = [K G ][v] (3.42)
+ Ñoä cöùng hình hoïc töông thích: Duøng khaùi nieäm phaàn töû höõu haïn, ta thu ñöôïc coâng thöùc: Bieåu ñoà N(x) PG3 b PG4 a P PG1 G2 L ' ' kGij = ∫o N()x ψ i (x)ψ j (x)dx (3.43) Neáu phaàn töû coù löïc doïc N(x) = N = const, duøng caùc haøm noäi suy tröôùc ñaây, ta thu ñöôïc ma traän cöùng hình hoïc phaàn töû: ⎧ fG1 ⎫ ⎡ 36 −36 3L 3L ⎤⎧v1 ⎫ ⎪ f ⎪ ⎢−36 36 −3L −3L⎥⎪v ⎪ ⎪ G2 ⎪ N ⎢ ⎥⎪ 2 ⎪ ⎨ ⎬ = 2 2 ⎨ ⎬ (3.44) ⎪ fG3 ⎪ 30L ⎢ 3L −3L 4L − L ⎥⎪v3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 2 2 ⎥⎪ ⎪ ⎩ fG4 ⎭ ⎣ 3L −3L − L 4L ⎦⎩v4 ⎭ ⎡ 36 − 36 3L 3L ⎤ ⎢ ⎥ N − 36 36 − 3L − 3L [K e ] = ⎢ ⎥ G 30L ⎢ 3L − 3L 4L2 − L2 ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ 3L − 3L − L 4L ⎦ e [KG ] laø ma traän ñoä cöùng cuûa phaàn töû (ñoái xöùng).
e Ma traän [KG] cuûa keát caáu suy ra töø [KG ] töông töï nhö [K], [M]. 3.2.6 Löïa choïn caùch thieát laäp ma traän tính chaát Coù 2 caùch tính gaàn ñuùng caùc ma traän khoái löôïng, ñoä cöùng hình hoïc, taûi troïng: - Phöông phaùp sô caáp chæ xeùt chuyeån vò thaúng. - Phöông phaùp töông thích xeùt caû chuyeån vò thaúng vaø chuyeån vò xoay. Veà nguyeân taéc, phöông phaùp töông thích cho ñoä chính xaùc cao hôn, vì xeùt ñaày ñuû vaø heä thoáng hôn caùc phaàn naêng löôïng lieân quan ñeán söï laøm vieäc ñoäng cuûa keát caáu. Tuy nhieân, trong thöïc teá thì ñoä chính xaùc cuûa phöông phaùp töông thích khoâng troäi bao nhieâu so vôùi phöông phaùp sô caáp, nhöng khoái löôïng tính toaùn thì lôùn hôn nhieàu. Ñieàu ñoù chöùng toû chuyeån vò xoay cuûa nuùt ñoùng vai troø keùm quan troïng so vôùi chuyeån vò thaúng. Phöông phaùp sô caáp deã daøng hôn, vì caùc ma traän xuaát phaùt deã tính hôn vaø soá baäc töï do phaûi xeùt cuõng ít hôn. Neáu phöông phaùp thu goïn khoái löôïng ñöôïc duøng vôùi ma traän cöùng thieát laäp baèng FEM (töùc laø
keå ñeán baäc töï do chuyeån vò xoay) thì coù theå loaïi tröø caùc chuyeån vò xoay naøy trong phöông trình chuyeån ñoäng. Khi ñoù ma traän cöùng cuõng ñöôïc ruùt goïn laïi, goïi laø Static Condensation (kích thöôùc ma traän cöùng thu nhoû laïi). Ñeå minh hoïa, ta vieát laïi phöông trình (3.2) trong ñoù ñaõ saép xeáp laïi caùc chuyeån vò thaønh 2 nhoùm: vt laø thaønh phaàn chuyeån vò thaúng vaø vo laø thaønh phaàn chuyeån vò xoay. Phöông trình chuyeån ñoäng ñöôïc vieát laïi daïng ma traän chia khoái (ma traän con): ⎡[K tt ] [K tθ ]⎤⎧{}vt ⎫ ⎧{f St }⎫ ⎧{f St }⎫ ⎢ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (3.45) ⎣[Kθt ] [Kθθ ]⎦⎩{}vθ ⎭ ⎩{}f Sθ ⎭ ⎩ {}0 ⎭ Trong ñoù {f Sθ }= {0}, töùc laø caùc moment nuùt ñaøn hoài baèng 0, neáu taùc ñoäng treân heä chæ laø löïc chöù khoâng coù moment taäp trung ñaët ngay taïi nuùt. Trong (3.45) coù theå bieåu dieãn caùc chuyeån vò xoay {vθ } theo chuyeån vò thaúng {vt }: −1 {}vθ = −[Kθθ ] [Kθt ]{vt } (3.46) Phöông trình thöù nhaát cuûa ma traän con töø (3.45): [K tt ]{vt }+ [K tθ ]{vθ } = {f St } −1 [[K tt ] −[K tθ ][Kθθ ] [Kθt ]]{vt }= {f St }
hay [K t ]{vt }= {f St } (3.47) −1 trong ñoù [K t ] = [[K tt ] −[K tθ ][Kθθ ] [Kθt ]] (3.48) laø ma traän ñoä cöùng töông öùng vôùi chuyeån vò thaúng (ma traän cöùng ruùt goïn). Nhö vaäy, caùc chuyeån vò xoay trong FEM coù theå loaïi tröø vaø soá baäc töï do thöïc söï phaûi giaûi quyeát giaûm xuoáng. Ñoù laø öu ñieåm lôùn cuûa phöông phaùp khoái löôïng thu goïn. v2 v3 v1 Thí duï: 4EI L EI EI 2L Trong thí duï treân, ta coù: ⎧ f s1 ⎫ ⎡12 3L 3L ⎤ ⎧v1 ⎫ ⎪ ⎪ 2EI ⎢ 2 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ f s2 ⎬ = 3L 6L 2L ⎨v2 ⎬ L3 ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ f s3 ⎭ ⎣⎢3L 2L 6L ⎦⎥ ⎩v3 ⎭ 2EI ⎡6L2 2L2 ⎤ 4EI ⎡3 1⎤ [K ] = = θθ 3 ⎢ 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ L ⎣2L 6L ⎦ L ⎣1 3⎦
−1 L ⎡ 3 −1⎤ [Kθθ ] = ⎢ ⎥ 32EI ⎣−1 3 ⎦ Bieåu dieãn chuyeån vò xoay theo chuyeån vò thaúng (3.46): ⎧v ⎫ − L ⎡ 3 −1⎤ 2EI ⎡3L⎤ 3 ⎡1⎤ v 2 v v θ = ⎨ ⎬ = - ⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎥ 1=- ⎢ ⎥ 1 ⎩v3 ⎭ 32EI ⎣−1 3 ⎦ L ⎣3L⎦ 8L ⎣1⎦ Ma traän cöùng ruùt goïn theo (3.48): ⎛ ⎡ 3 ⎤⎞ 2EI ⎜ ⎢ ⎥ 2EI 39 K = ⎜12 − []3L 3L 8L = t L3 ⎢ 3 ⎥ L3 4 ⎜ ⎢ ⎥ ⎝ ⎣8L⎦⎠ 3.3 DAO ÑOÄNG TÖÏ DO KHOÂNG CAÛN 3.3.1 Phaân tích taàn soá dao ñoäng Töø phöông trình (3.8), phaân tích dao ñoäng töï do neân vectô taûi troïng ngoaøi p(t) = 0, ta coù: [M ]{v(t)}+ [C]{v(t)}+ [K]{v(t)} = {0} Boû qua thaønh phaàn löïc caûn [C]= [0] [M ]{v(t)}+ [K]{v(t)} = {0} (3.49) Do tính chaát tuaàn hoaøn neân choïn nghieäm coù daïng: {v(t)} = {vˆ}sin(ωt +θ ) (3.50) trong ñoù: {v(t)}-theå hieän daïng dao ñoäng; {}vˆ - laø bieân ñoä dao ñoäng.
{}v(t) = −ω 2 {}vˆ sin(ωt +θ ) Thay vaøo (3.49) treân ta coù: − ω 2 [M ]{}vˆ sin(ωt +θ ) + [K]{vˆ}{}sin(ωt +θ ) = 0 hay: [[K] − ω 2 [M ]]{vˆ} = {0} (3.51) Vì {vˆ} ≠ 0, neân ñònh thöùc cuûa ma traän vuoâng N x N phaûi trieät tieâu: det[[K] − ω 2 [M ]] = 0 (3.52) Ñaây laø phöông trình ñaïi soá baäc N, do ñoù coù N 2 2 2 nghieäm ω1 , ω 2 , , ω N . Lyù thuyeát ma traän chöùng minh: ma traän vuoâng thöïc, ñoái xöùng vaø xaùc ñònh döông coù caùc trò rieâng thöïc vaø döông. Vectô taàn soá rieâng nhö sau: ⎧ω1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ω2 ⎪ {}ω = ⎨ ⎬ (3.53) ⎪ # ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ω N ⎭ Töø ωi ta seõ tìm ñöôïc chu kì hay taàn soá dao ñoäng töï nhieân cuûa coâng trình: 1 T = 2π/ω vaø f = T
Thí duï (E12-1) Tính taàn soá rieâng cuûa khung saøn cöùng: khoái löôïng vaø ñoä cöùng nhö hình veõ (a). Caùc heä soá cöùng tính treân hình veõ (b). 2 1,0 kip.s /in v1 K = -600 K = 0 v1 =1 K 11 = 600 12 13 k 600 in 1,5 K = - 600 K = 1800 K 23 = -1200 21 v =1 22 v2 2 1200 K 33 = 3000 2,0 K 31 =0 K 32 = -1200 V 3=1 v3 1800 (a) (b) Caùc ma traän cuûa khung: ⎡1,0 0 ⎤ [M ] = ⎢ 1,5 ⎥ (kip.s2/in) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 2,0⎦⎥ ⎡ 1 −1 0 ⎤ [K] = 600⎢−1 3 − 2⎥ (kip.s/in) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 − 2 5 ⎦⎥ Phöông trình ñaëc tröng (3.52):
⎡ 1 −1 0 ⎤ ⎡1,0 0 ⎤ [K] − ω 2 [M ] = 600⎢−1 3 − 2⎥ − ω 2 ⎢ 1,5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 − 2 5 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 2,0⎦⎥ ⎡1− B −1 0 ⎤ = 600⎢ −1 3 −1,5B − 2 ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 − 2 5 − 2B⎦⎥ ω 2 vôùi B = 600 B3 – 5,5B2 + 7,5B – 2 = 0 Nghieäm laø: B1 = 0,351 B2 = 1,61 B3 = 3,54 ⎧ω1 ⎫ ⎧14,5⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Do ñoù: [ω] = ⎨ω2 ⎬ = ⎨31,1⎬ (rad/s). ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ω3 ⎭ ⎩46,1⎭ 3.3.2 Phaân tích hình daïng mode cuûa dao ñoäng Töø phöông trình (3.51), öùng vôùi moãi taàn soá ωn ta coù moät vectô rieâng {vˆn }. Nhöng vì ñònh thöùc (3.52) trieät tieâu, neân haïng cuûa ma traän chæ coøn N-1, do ñoù chæ coù N-1 thaønh phaàn cuûa {vˆ} ñoäc laäp. Thöôøng choïn thaønh phaàn ñaàu tieân {vˆ1n }= 1, khi ñoù vectô chuyeån vò trôû thaønh:
⎧vˆ1n ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪vˆ2n ⎪ ⎪vˆ2n ⎪ {}vˆn = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪ # ⎪ ⎪ # ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩vˆNn ⎭ ⎩vˆNn ⎭ (n) 2 Ñaët: [E ] = [K] −ωn [M ] (3.53) Phöông trình (3.51) ñöôïc vieát laïi: (n) (n) (n) ⎡e11 e22 " e1N ⎤⎧ 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎢ (n) (n) (n) ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ e e " e ⎪vˆ2n ⎪ ⎪0⎪ ⎢ 21 22 2 N ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (3.54) ⎢ # # " # ⎥⎪ # ⎪ ⎪#⎪ ⎢ (n) (n) (n) ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣eN1 eN 2 " eNN ⎦⎩vˆNn ⎭ ⎩0⎭ Vieát laïi (3.54) daïng kí hieäu duøng ma traän con: (n) (n) ⎡ e11 [E10 ]⎤ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎢ (n) (n) ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎣[E01 ] [E00 ]⎦ ⎩{}vˆ0n ⎭ ⎩{}0 ⎭ Töông ñöông vôùi 2 phöông trình: [E (n) ] + [E (n) ][vˆ ] = {0} 01 00 0n (a) (n) (n) e11 + [E10 ][vˆ0n ] = 0 Giaûi heä phöông trình (a) treân ta ñöôïc: (n) −1 (n) {}vˆon = −[E00 ] [E01 ] (3.55) Daïng dao ñoäng (mode shape) thöù n ñöôïc ñònh nghóa bôûi vectô (khoâng thöù nguyeân)
⎧φ1n ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪φ2n ⎪ 1 ⎪vˆ2n ⎪ [φn ] = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (3.56) # # ⎪ ⎪ vˆkn ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩φNn ⎭ ⎩vˆNn ⎭ vôùi vˆkn laø thaønh phaàn (chuyeån vò) moác ñeå so saùnh. Ma traän daïng dao ñoäng (Mode shape matric) laø taäp hôïp cuûa N vectô daïng dao ñoäng: ⎡φ11 φ12 " φ1N ⎤ ⎢ ⎥ φ21 φ22 " φ2 N [φ]= [[φ1] [φ2] [φN]] = ⎢ ⎥ (3.57) ⎢ # # " # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣φN1 φN 2 " φNN ⎦ Nhö vaäy khi xaùc ñònh ñöôïc [φi] ta seõ bieát ñöôïc hình daïng dao ñoäng cuûa mode thöù i. Thí duï (E12-2) Xeùt laïi thí duï tröôùc, tìm caùc daïng chính cuûa dao ñoäng. Laáy chuyeån vò treân cuøng baèng 1. Hai chuyeån vò taàng döôùi cuûa mode n tìm theo (3.55): ⎧θ 2n ⎫ ⎡3 − 1,5Bn − 2 ⎤ ⎧−1⎫ ⎨ ⎬ = - ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎩θ3n ⎭ ⎣ − 2 5 − 2Bn ⎦ ⎩ 0 ⎭ 2 ωn vôùi Bn = 600
Keát quaû nhö hình veõ. 1.000 1.000 1.000 0.644 -0.601 -2.570 2.470 0.300 -0.676 Mode 1 Mode 2 Mode 3 ω =14.5 ω =31.1 ω =46.1 1 2 3 3.3.3 Phaân tích taàn soá theo ma traän meàm Nhieàu baøi toaùn duøng ma traän meàm [f] tieän hôn ma traän cöùng [K]. Khi ñoù caàn xaùc ñònh taàn soá rieâng theo [f]. Phöông trình (3.51) ñöôïc vieát laïi vaø bieán ñoåi nhö sau: [[K] − ω 2 [M ]]{vˆ} = {0} (3.51) 1 Nhaân 2 veá [f]: [ [ f ][K] −[ f ][M ]]{}vˆ = {}0 ω 2 vì [ f ] = [K]−1 neân [ f ][K] = [I], ta coù: 1 [ [I] −[ f ][M ]]{}vˆ = {}0 (3.58) ω 2
do {vˆ} ≠ 0, neân phöông trình taàn soá: 1 det[ [I] −[ f ][M ]] = 0 (3.59) ω 2 3.3.4 AÛnh höôûng cuûa löïc hoïc 3.3.4.1 Dao ñoäng töï do Phöông trình dao ñoäng (3.49) keå ñeán ñoä cöùng hình hoïc coù daïng: [M ]{v(t)}+ [K]{v(t)}−[K G ]{v(t)} = {0} (3.60) hay [M ]{}v(t) + [K ]{v(t)} = {0} Phöông trình taàn soá: det[[K ] − ω 2 [M ]] = 0 (3.61) Löïc doïc laøm cho keát caáu bò “meàm” hôn, neân caùc taàn soá rieâng cuõng thaáp hôn. Keát caáu thöôøng laøm vieäc baát lôïi hôn döôùi taùc duïng cuûa taûi troïng ñoäng trong thöïc teá. Töông öùng, caùc daïng dao ñoäng chính (mode shapes) cuõng bò thay ñoåi do löïc doïc. 3.3.4.2 Taûi troïng tôùi haïn (gaây maát oån ñònh) Khi löïc doïc ñaït giaù trò tôùi haïn N0 thì keát caáu khoâng dao ñoäng (ω = 0). Löïc quaùn tính cuõng trieät tieâu. Phöông trình (3.60) trôû thaønh:
[K]{v(t)}−[K G0 ]{v(t)} = {0} (3.60’) [KG0 ] - Ma traän cöùng hình hoïc, öùng vôùi löïc doïc N0(x), vôùi caùc heä soá xaùc ñònh bôûi: L ' ' k ij G0 = ∫0 No(x) ψi (x) ψj (x)dx (3.62) N (x) Goïi tham soá taûi troïng (load factor) λ = 0 (3.63) G N(x) vôùi N(x) laø löïc doïc do taûi troïng ñang xeùt gaây ra thì ij ij ta coù: kG0 = λG kG do ñoù: [K G0 ] = λG [K G ] (3.64) Theá (3.64) vaøo (3.60’): [[K] − λG [K G0 ]]{v(t)} = {0} (3.65) vì {v(t)} ≠ {0} neân phöông trình xaùc ñònh tham soá taûi troïng λG det[K] − λG [K G0 ] = 0 (3.66) 1 Taûi troïng tôùi haïn thaáp nhaát öùng vôùi λG = min laø coù yù nghóa thöïc teá. Daïng maát oån ñònh töông öùng 1 vôùi vector chuyeån vò v1, ñöôïc tìm baèng caùch theá λG vaøo (3.65).
Maát oån ñònh vôùi taûi troïng ñieàu hoaø Xeùt taûi troïng taùc duïng coù daïng: p(t) = po sinωt trong ñoù: ω laø taàn soá cuûa taûi troïng taùc duïng. Phöông trình caân baèng dao ñoäng khoâng caûn: mv+ kv − kG v = po sinωt Phöông trình naøy coù nghieäm: v(t) = vˆsinωt v(t) = −ω 2vˆsinωt Thay caùc nghieäm naøy vaøo treân ta coù: 2 −ω mvˆ + kvˆ − kG vˆ = po Ñoä cöùng ñoäng cuûa heä ñöôïc ñònh nghóa bôûi: k ≡ k −ω 2 m Thay vaøo bieåu thöùc treân vaø bieåu dieãn ñoä cöùng hình hoïc laø moät haøm cuûa heä soá taûi troïng λG , ta coù: k − λG kGo vˆ = po Neáu bieân ñoä taùc duïng cuûa taûi troïng tieán daàn ñeán 0 thì phaûn öùng (chuyeån vò) vaãn coù theå khaùc 0 neáu ñònh thöùc cuûa ma traän vuoâng baèng 0. Vì vaäy ñieàu kieän maát oån ñònh ñoái vôùi keát caáu chòu taûi troïng ñieàu hoaø laø: k − λG kGO = 0 Khi taûi troïng thoâi taùc duïng, phöông trình taùc duïng coù theå vieát:
2 k − ω m − λG kGO vˆ = 0 Ta thaáy söï toå hôïp cuûa taûi troïng maát oån ñònh λG vaø taàn soá dao ñoäng ω 2 seõ thoûa maõn phöông trình trò rieâng. Nhö vaäy khi chòu taûi troïng ñieàu hoaø öùng vôùi moät taàn soá naøo ñoù thì heä coù theå maát oån ñònh ngay caû khi bieân ñoä löïc baèng 0. 3.3.5 Ñieàu kieän tröïc giao (Orthogonality) 3.3.5.1 Caùc ñieàu kieän cô baûn Phöông trình dao ñoäng (3.51) vieát laïi cho taàn soá ωn vaø ωm (giaû thieátωn ≠ωm ) 2 [K] {}vˆn =ωn [M] {vˆn} (3.67) 2 [K] {}vˆm =ωm [M] {vˆm} (3.68) T Nhaân tröôùc {}vˆm cho (3.67): T 2 T {}vˆm [K] {}vˆn =ωn {vˆm} [M] {vˆn} (3.69) Chuyeån trí (3.69) caû hai veá, chuù yù [K]T =[K], [M]T =[M] vì chuùng ñoái xöùng: T 2 T {}vˆn [K] {}vˆm =ωn {vˆn} [M]{vˆm} (3.70) T Nhaân tröôùc {}vˆn cho (3.68): T 2 T {}vˆn [K] {}vˆm =ωm {vˆn} [M]{vˆm} (3.71)
2 2 T Töø (3.70), (3.71) suy ra: (ωm −ωn ) {vˆn }{}[M ] vˆm = 0 Vì ωn ≠ωm neân ta coù ñieàu kieän tröïc giao ñaàu tieân: T {}vˆn [M ]{vˆm }= 0 (3.72) Theá (3.72) vaøo (3.71) suy ra ñieàu kieän thöù 2: T {}vˆn [K]{vˆm }= 0 (3.73) Bieåu dieãn ñieàu kieän tröïc giao theo mode, ta coù: {}φ T [M ] {}φ = 0 m ≠ n n m (3.74) T m ≠ n {}φn [K] {}φm = 0 Chuù yù: Ñieàu kieän tröïc giao chæ duøng cho 2 mode coù taàn soá khaùc nhau: ωn ≠ωm 3.3.5.2 Chuaån hoùa theo ma traän khoái löôïng Vector bieân ñoä {vˆn } ñöôïc chuaån hoùa theo ma ˆ traän khoái löôïng thaønh {φn } thoûa maõn ñieàu kieän: ˆ T ˆ {}φn [M ] {}φn = 1 (3.75) T Goïi {}vˆn [M ] {}vˆn = M n = scalar. Thì vector chuaån hoùa seõ laø: ˆ {φn } = {}vˆn M n (3.76) ˆ ˆ Khi ñoù ma traän vuoâng {φ} goàm N vector {φn } seõ thoûa maõn: T {φˆ} [M ]{φˆ}= I (3.71)
ˆ Caùc vector {φn } ñöôïc goïi laø caùc vector tröïc chuaån (Orthonormal). 3.4 PHAÂN TÍCH PHAÛN ÖÙNG ÑOÄNG Phöông phaùp duøng ñeå phaân tích phaûn öùng ñoäng ñöôïc duøng laø phöông phaùp choàng chaát mode. Noäi dung chính cuûa phöông phaùp naøy laø bieán heä dao ñoäng coù heä n phöông trình vi phaân thaønh daïng heä ñoäng coù n phöông trình vi phaân taùch rôøi. Ñeå duøng phöông phaùp treân ta phaûi tìm hieåu toïa ñoä chuaån, sau ñoù thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi cuûa heä khoâng caûn vaø coù caûn. 3.4.1 Toïa ñoä chuaån (Normal Coordinates) v 11 v 12 v 13 v1 v2 v 21 v 22 v23 = + + + v v 31 v v 33 3 32 v =φ Y v 1= φ 1 1 v = φ 2 2 v 3= φ 3 3 Y 2 Y Y
Vectô chuyeån vò [v] cuûa heä N baäc töï do coù theå taïo ra baèng caùch toå hôïp tuyeán tính cuûa N vectô cô sôû ñaõ bieát naøo ñoù. Tuy nhieân, neáu choïn caùc vectô cô sôû laø caùc daïng chính (Mode Shapes) cuûa dao ñoäng töï do thì seõ coù nhieàu öu ñieåm do tính tröïc giao cuûa chuùng. Caùc daïng chính ñoùng vai troø töông töï nhö caùc haøm löôïng giaùc cuûa chuoãi Fourier, vaø chuyeån vò cuûa heä coù theå xaáp xæ khaù toát vôùi moät soá soá haïng cuûa chuoãi. Xeùt daàm console nhö hình veõ ñeå minh hoïa. Vectô chuyeån vò öùng vôùi haøm daïng [φn] laø [vˆn ] xaùc ñònh bôûi coâng thöùc: [vˆn ] = [φn] Yn (t) (3.78) trong ñoù: Yn(t) laø bieân ñoä (toïa ñoä suy roäng) öùng vôùi haøm daïng [φn] Chuyeån vò toaøn phaàn [v] ñöôïc phaân tích thaønh toång caùc daïng chính nhö sau: N [v]=[φ1]Y1 + [φ2]Y2+ +[φn]Yn = ∑[φn ][Yn ] (3.79) n=1 Daïng ma traän: [v] = [φ ] [Y(t)] [φ ]: ma traän vuoâng cuûa caùc daïng chính.
[Y] : veùc tô caùc toïa ñoä suy roäng, cuõng ñöôïc goïi laø caùc toïa ñoä chuaån. Caùc thaønh phaàn Yn cuûa vectô [Y] coù theå tìm deã daøng nhôø tính tröïc giao cuûa caùc haøm daïng nhö sau: T Nhaân 2 veá cuûa (3.79) vôùi [φn] [M]: T T [φn] [M][v] = [φn] [M] [φ][Y] (3.80) T aùp duïng tính tröïc giao [φi] [M][φj] = 0 vôùi i ≠ j, veá phaûi (3.80) ñöôïc trieån khai: T T T [φn] [M][φ][Y]=[φn] [M][φ1][Y1]+[φn] [M][φ2][Y2] + T T + [φn] [M][φn][Yn] = [φn ] [M ][φn ][Yn ] (3.81) Theá (3.81) vaøo (3.80): T T [φn] [M][v] = [φn] [M][φn][Yn] T [φn ] [M ][v] hay Yn = T (3.82) [φn ] [M ][φn ] Nhö vaäy, moãi toïa ñoä chuaån Yn, n =1 N, ñeàu ñöôïc xaùc ñònh theo (3.82) 3.4.2 Phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi (uncoupled) cuûa heä khoâng caûn Phöông trình chuyeån ñoäng khoâng caûn cuûa heä nhieàu baäc töï do:
[M ][v] + [K][v] = [ p(t)] (3.83) Theá [v] = [φ][Y] töø (3.79) vaøo (3.83): [M ][φ][Y] + [K][φ][Y] = [ p(t)] (3.84) T Nhaân tröôùc 2 veá cho [φn] : T T T [φn ] [M ][φ][Y ] + [φn ] [K][φ][Y ] = [φn ] [ p(t)] (3.85) Do tính tröïc giao neân ta coù: T T T [φn ] [M ][φn ]Yn +[φn ] [K][φn ]Yn = [φn ] [ p(t)] (3.86) Ñaët caùc kí hieäu môùi: T M n = [φn ] [M ][φn ] T K n = [φn ] [K][φn ] (3.87) T Pn (t) = [φn ] [ p(t)] laàn löôït goïi laø: khoái löôïng, ñoä cöùng vaø taûi troïng suy roäng cho daïng dao ñoäng chính thöù n. Phöông trình (3.86) ñöôïc vieát laïi: M nYn (t) + K nYn (t) = Pn (t) (3.88) Ñaây laø phöông trình dao ñoäng cho heä moät baäc töï do cho daïng chính n. Töø phöông trình ñieàu kieän tröïc giao (3.67): 2 [K][vˆn ] = ωn [M ][vˆn ]
Theá [vn ] = [φn ]Yn vaøo vaø ñôn giaûn ñi Yn cho 2 veá: 2 [K][φn ] = ωn [M ][φn ] (3.89) T Nhaân tröôùc [φn] cho 2 veá cuûa (3.89): T 2 T [φn ] [K][φn ] = ωn [φn ] [M ][φn ] 2 hay: Kn = ωn Mn (3.90) Nhö vaäy, vieäc duøng toïa ñoä chuaån ñaõ bieán heä N phöông trình vi phaân dao ñoäng cuûa heä coù N baäc töï do veà daïng goàm N phöông trình vi phaân taùch rôøi nhau. ÖÙng vôùi moãi daïng dao ñoäng chính thì phaûn öùng ñoäng cuûa heä ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch choàng chaát caùc phaûn öùng cuûa caùc daïng chính (mode). Phöông phaùp ñöôïc goïi laø phöông phaùp choàng chaát mode (Mode Superposition Method). 3.4.3 Phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi cuûa heä coù caûn + Thieát laäp phöông trình Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa heä coù caûn: [M ][v] + [C][v] + [K][v] = [ p(t)] (3.91) Bieán ñoåi töông töï nhö tröôøng hôïp khoâng caûn:
[φ ]T [M ][φ][Y] +[φ ]T [C][φ][Y] +[φ ]T [K][φ][Y ] n n n T = [φn ] [ p(t)] (3.92) Giaû thuyeát ma traän caûn [C] cuõng coù tính chaát laøm tröïc giao caùc daïng chính töông töï nhö ma traän [M] vaø [K], töùc laø: T [φn] [C] [φm] = 0, vôùi m ≠ n (3.93) Phöông trình (3.92) trôû thaønh: M nYn + CnYn + K nYn = Pn (t) (3.94a) 2 1 hay Yn + 2ξ nωnYn + ωn Yn = Pn (t) (3.94b) M n T M n = [φn ] [M ][φn ] K = [φ ]T [K][φ ] vôùi: n n n (3.95) T Cn = [φn ] [C][φn ] = 2ξ nωn M n T Pn (t) = [φn ] [ p(t)] ( ξn laø tæ soá caûn cuûa mode thöù n). + Ñieàu kieän tröïc giao cuûa ma traän caûn Ñeå thu ñöôïc phöông trình chuyeån ñoäng daïng taùch rôøi (3.94a,b) cho caùc dao ñoäng chính, ma traän caûn [C] phaûi thoûa maõn ñieàu kieän tröïc giao.
Rayleigh chöùng minh raèng, neáu ma traän caûn [C] coù daïng: [C] = a0[M] + a1[K] (3.96) vôùi a0, a1 laø caùc haèng soá, seõ thoûa ñieàu kieän tröïc giao (3.93) Vieäc xaùc ñònh caùc heä soá cuûa ma traän caûn [C] raát khoù khaên. Trong thöïc teá, thöôøng ngöôøi ta choïn giaù trò cuûa tæ soá caûn ξn (ñöôïc suy ra töø ñieàu kieän coäng höôûng) tuøy vaøo loaïi vaät lieäu vaø daïng keát caáu (Thí duï: keát caáu theùp thöôøng laáy ξ = 2%, BTCT ξ = 3%). Sau ñoù tính Cn theo caùc coâng thöùc treân (3.95). 3.4.4 Toùm taét phöông phaùp choàng chaát daïng Pheùp bieán ñoåi sang toïa ñoä chuaån ñaõ bieán heä N phöông trình vi phaân lieân quan vôùi nhau thaønh N phöông trình taùch bieät. Ñoù chính laø öu ñieåm cô baûn cuûa phöông phaùp choàng chaát mode. Ngoaøi ra, do tính hoäi tuï cao neân thöôøng duøng chæ caàn choàng chaát moät soá mode coù taàn soá thaáp. Trình töï phöông phaùp nhö sau:
Böôùc 1: Phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng cuûa heä vôùi caùc toïa ñoä hình hoïc: [M ][v] + [C][v] + [K][v] = [ p(t)] Böôùc 2: Phaân tích daïng chính vaø taàn soá, boû qua aûnh höôûng cuûa löïc caûn ñoái vôùi daïng chính vaø taàn soá, ta coù phöông trình trò rieâng ([K] - ω2[M])[v] = [0] Töø ñoù xaùc ñònh ñöôïc ma traän daïng chính [φ] vaø vectô taàn soá [ω ]. Böôùc 3: Khoái löôïng vaø taûi troïng suy roäng M = [φ ]T [M ][φ ] n n n T Pn (t) = [φn ] [ p(t)] Böôùc 4: Phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi (uncoupled) 2 1 Yn + 2ξ nωnYn + ωn Yn = Pn (t) M n Böôùc 5: Phaûn öùng cuûa daïng chính vôùi taûi troïng Phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa heä moät baäc töï do coù caûn. Coù theå tìm nghieäm baèng tích phaân Duhamel:
t 1 −ξnωn (t−τ ) Yn (t) = ∫ Pn (τ )e sinωDn (t −τ )dτ M nωDn 0 2 ωDn = ωn 1−ξ n - taàn soá dao ñoäng coù caûn. Phöông trình treân aùp duïng cho tröôøng hôïp ñieàu kieän ban ñaàu t = 0 thì Yn(0)=Yn (0) = 0. Coù theå giaûi phöông trình treân baèng phöông phaùp soá. Böôùc 6: Dao ñoäng töï do cuûa daïng chính Neáu ñieàu kieän ban ñaàu Yn(0) ≠ 0, Yn (0) ≠ 0 thì phaûn öùng cuûa daïng chính phaûi coäng theâm phaàn dao ñoäng töï do coù caûn sau: ⎡Y (0)+Y (0)ξ ω −ξnωnt n n n n Yn (t) = e ⎢ sinωDnt+ Yn(0)cosωDnt ] ⎣ ωDn Caùc trò soá Yn(0) vaø Yn (0) xaùc ñònh theo vectô chuyeån vò vaø vaän toác ban ñaàu [v(0)] vaø [v(0)]: [φ ]T [M ][v(0)] Y (0) = n n M n (3.97) • [φ ]T [M ][v(0)] n Yn (0) = M n Böôùc 7: Chuyeån vò trong toïa ñoä hình hoïc
Duøng nguyeân lí choàng chaát: [v(t)] = [φ][Y(t)] = [φ1][Y1(t)] + [φ2][Y2(t)] + + [φn][Yn(t)] Thöôøng duøng moät soá mode coù taàn soá thaáp nhaát, vôùi hai lí do: - Chuoãi treân thöôøng hoäi tuï nhanh, neân chæ caàn ít soá haïng laø ñuû chính xaùc (daøn khoan: 1, daøn caàu: 3 ÷ 5, caàu daây vaêng: < 20). - Mode taàn soá cao keùm tin caäy, do söï gaàn ñuùng sô ñoà tính cuûa keát caáu. Thí duï: Daàm ñôn giaûn ñöôïc thay baèng khoái löôïng taäp trung. Mode caøng cao thì caøng sai leäch nhieàu vaø keùm tin caäy hôn. Heä thaät Sô ñoà gaàn ñuùng Mode 1 Mode 2 Mode 3
Böôùc 8: Löïc ñaøn hoài Löïc ñaøn hoài ñeå duy trì söï bieán daïng cuûa keát caáu, ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc: [fS(t)] = [K][v(t)] = [K][φ][Y(t)] = [K][φ1][Y1(t)] + [K][φ2][Y2(t)] + + [K][φn][Yn(t)] 2 2 =ω1 [M][φ1][Y1(t)] + ω2 [M][φ2][Y2(t)] + + 2 ω n [M][φn][Yn(t)] 2 Daïng ma traän: [fs(t)] = [M][φ] [ω n Yn(t)] (3.98) trong ñoù: 2 ⎧ω1 Y1 (t)⎫ ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ω2 Y2 (t)⎪ [ω n Yn(t)] = ⎨ ⎬ (3.99) ⎪ # ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩ωn Yn (t)⎭ Böôùc 9: Noäi löïc vaø öùng suaát Trong moãi dao ñoäng chính (mode), noäi löïc vaø öùng suaát trong moät phaàn töû tæ leä vôùi toïa ñoä chuaån Yn(t). Chaúng haïn, öùng suaát cuûa phaàn töû khi dao ñoäng vôùi mode n coù daïng: σn = αnYn(t) , vôùi αn laø heä soá tæ leä (3.100)
Duøng nguyeân lí choàng chaát cho caùc mode: σ = α1Y1(t) + α2Y2(t) + + αnYn(t) (3.101) Caùc toïa ñoä chuaån Yn(t) ñoùng vai troø nhö chuyeån vò cöôõng böùc, töông öùng vôùi caùc sô ñoà bieán daïng [φn]. Coâng thöùc cho noäi löïc cuõng coù daïng töông töï nhö coâng thöùc (3.101) nhöng αn laø heä soá tæ leä töông öùng cho noäi löïc ñang xeùt. Thí duï minh hoïa Xeùt keát caáu ñaõ thí duï ôû muïc 3.3. (E12-1 Trang 178, [1]). Caàn xaùc ñònh phaûn öùng cuûa keát caáu do taûi troïng xung hình sin nhö sau: ⎧ p1 (t) ⎫ ⎧1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p (t) = 2 (500Kips) cos π t, ⎨ 2 ⎬ ⎨ ⎬ 2t1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ p3 (t)⎭ ⎩3⎭ vôùi t1 = 0.025 vaø - t1/2 < t < t1/2 Giaûi Ma traän khoái löôïng vaø ñoä cöùng ñöôïc cho bôûi: ⎡1,0 0 ⎤ [M ] = ⎢ 1,5 ⎥ (kip.s2/in) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 2,0⎦⎥
⎡ 1 −1 0 ⎤ [K] = 600⎢−1 3 − 2⎥ (kip.s/in) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 − 2 5 ⎦⎥ Keát quaû cuûa taàn soá voøng vaø daïng chuaån: ⎧14.5⎫ ⎧1 ⎫ ⎧1 ⎫ ⎧1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ω = ⎨31.1⎬,φ1 = ⎨0.644⎬,φ2 ⎨− 0.601⎬,φ3 = ⎨− 2.57⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩46.1⎭ ⎩0.3 ⎭ ⎩− 0.676⎭ ⎩2.47 ⎭ Vì taûi troïng xung raát ngaén neân coi phaûn öùng cuûa moãi daïng chính laø dao ñoäng töï do coù heä soá dao ñoäng Dn xaùc ñònh theo Fig. 6-6 trang 29: P0n Yn (t) = Dn sinω1t (a) K n T M n = [φn ][m]φn ] (b) 2 K n = M nωn (c) ⎧1⎫ T ⎪ ⎪ P0n = [φn ]⎨2⎬(500) (d) ⎪ ⎪ ⎩2⎭ Duøng coâng thöùc (b) ta thu ñöôïc khoái löôïng suy roäng nhö sau:
⎧M 1 ⎫ ⎧1.80 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨M 2 ⎬ = ⎨2.455⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩M 3 ⎭ ⎩23.10⎭ Duøng (c) thu ñöôïc vector ñoä cöùng suy roäng: K 2 2 ⎧ 1 ⎫ ⎧M 1 ω1 ⎫ ⎧ 1.80 x14.5 ⎫ ⎧379 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪M ω 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨K 2 ⎬ = ⎨ 2 2 ⎬ = ⎨2.455 x31.1 ⎬ = ⎨2372 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪M 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩K 3 ⎭ ⎩ 3 ω3 ⎭ ⎩23.10 x 46.1 ⎭ ⎩49100⎭ Vector taûi troïng suy roäng: ⎧P1 ⎫ ⎧500 ⎫ ⎧1444 ⎫ ⎪ ⎪ T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨P2 ⎬ = [φ] ⎨1000⎬ = ⎨− 777⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩P3 ⎭ ⎩1000⎭ ⎩400 ⎭ Tæ soá chu kyø / chieàu daøi xung: ⎧t1 ⎫ ⎪ T1 ⎪ ⎧ω1 ⎫ ⎧0.046⎫ ⎪t ⎪ 0.02 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 = ω = 0.099 ⎨ T ⎬ ⎨ 2 ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ 2 ⎪ 2π ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ω3 ⎭ ⎩0.147⎭ ⎪t3 ⎪ ⎩⎪ T3 ⎭⎪ ⎧D1 ⎫ ⎧0.18⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Ñoà thò Fig. 6.6 heä soá ñoäng: ⎨D2 ⎬ = ⎨0.39⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩D3 ⎭ ⎩0.57⎭ Theá caùc ñaïi löôïng thu ñöôïc vaøo (a):
⎧Y1 (t)⎫ ⎧0.686sin14.5t ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨Y2 (t)⎬ = ⎨− 0.128sin 31.1t⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩Y3 (t)⎭ ⎩0.005sin 46.1t ⎭ Chuyeån vò taïi moät ñieåm naøo ñoù ñöôïc xaùc ñònh theo nguyeân lyù coäng taùc duïng. Giaû söû tính chuyeån vò taïi taàng 2: 3 v2 (t) = ∑φ2nYn (t) = 0.644× 0.686sin14.5 + n=1 (−0.601)× (−0.128)sin31.1t + (−2.57)(0.005)sin 46.1t = 0.442sin14.5 + 0.077sin 31.1t − 0.013sin 46.1t vaø löïc ñaøn hoài taùc duïng taïi taàng 2: 3 2 f S 2 (t) = ∑m2ωn Yn (t)φ2n = n=1 139sin14.5t +112sin31.1t − 41sin 46.1t Chuù yù caùc heä soá trong bieåu thöùc löïc ñaøn hoài taét daàn chaäm hôn so vôùi chuyeån vò.
Chöông 4. HEÄ VOÂ HAÏN BAÄC TÖÏ DO 4.1 THIEÁT LAÄP PHÖÔNG TRÌNH CHUYEÅN ÑOÄNG 4.1.1 Dao ñoäng uoán cuûa daàm p(x,t) v(x,t) x EI(x), m(x) x dx L p(x,t) Q ∂M M M+ dx ∂x fI O ∂Q Q + dx dx ∂x H.4.1. Dao ñoäng uoán daàm Xeùt daàm thaúng nhö hình H.4.1. Taùch phaân toá xeùt caân baèng: ∂Q ∑Y = 0 Q + pdx − (Q + dx) − f dx = 0 (4.1) ∂x i vôùi löïc quaùn tính phaân boá
∂ 2 v f dx = mdx (4.2) i ∂t Theá (4.2) vaøo (4.1) ta ñöôïc: ∂Q ∂ 2 v = p − m (4.3) ∂x ∂t 2 ∑ M O = 0 boû qua voâ cuøng beù baäc cao cuûa p vaø fi: ∂M M + Qdx − (M + dx) = 0 (4.4) ∂x ∂M hay = Q (4.5) ∂x Ñaïo haøm rieâng 2 veá vôùi x daãn tôùi: ∂ 2 M ∂ 2 v + m = p (4.6) ∂x 2 ∂t 2 ∂ 2 ∂ 2 v ∂ 2 v hay (EI ) + m = p (4.7) ∂x 2 ∂x 2 ∂t 2 trong ñoù caùc ñaïi löôïng EI vaø m thay ñoåi theo x. Neáu uoán daàm xeùt ñeán aûnh höôûng löïc doïc: ∂ 2 ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v (EI ) + N + m = p (4.8) ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂t 2 4.1.2 Dao ñoäng doïc cuûa thanh
Thanh coù caùc ñaëc tröng thay ñoåi, chòu löïc kích ñoäng q(x,t). Xeùt caân baèng löïc cuûa phaân toá: ∂ 2u( x,t ) m( x ) dx ∂t 2 N(0,t) ∂N N(L,t) N+ dx N(x,t) ∂x EA(x), m(x) x u(x,t) x dx q(x,t) L dx H.4.2. Dao ñoäng doïc thanh ∂ 2u(x,t) N(x,t) + m(x) dx − ∂t 2 (4.9) ⎡ ∂N(x,t) ⎤ N(x,t) + dx − q(x,t)dx = 0 ⎣⎢ ∂x ⎦⎥ Ta coù: ∂u(x,t) N(x,t) =σ(x,t)A(x) = ε(x,t)EA(x) = EA(x) (4.10) ∂x Theá vaøo (4.9) ta ñöôïc: ∂ 2u(x,t) ∂ ⎡ ∂u(x,t)⎤ m(x) − EA(x) = q(x,t) (4.11) ∂t 2 ∂x ⎣⎢ ∂x ⎦⎥ 4.2 PHAÂN TÍCH DAO ÑOÄNG TÖÏ DO
4.2.1 Dao ñoäng uoán töï do cuûa daàm Xeùt caùc ñaïi löôïng EI, m = const, p(x,t) = 0. Phöông trình (4.7) trôû thaønh: ∂ 4 v(x,t) ∂ 2 v(x,t) EI + m = 0 (4.12) ∂x 4 ∂t 2 m hay: v IV (x,t) + v(x,t) = 0 (4.13) EI Nghieäm choïn daïng phaân ly bieán soá nhö sau: v(x,t) = φ(x)Y (t) (4.14) vôùi φ(x) - haøm daïng, Y (t)- bieân ñoä. Theá (4.14) vaøo (4.13) ta ñöôïc: m φ IV (x)Y (t) + φ(x)Y(t) = 0 (4.15) EI Chia hai veá bôûi φ(x)Y (t), (4.15) trôû thaønh: φ IV (x) m Y(t) + = 0 (4.16) φ(x) EI Y (t) φ IV (x) m Y(t) hay = − (4.17) φ(x) EI Y (t) Phöông trình (4.17) chöùng toû 2 veá khoâng phuï thuoäc vaøo x vaø t, töùc laø baèng moät haèng soá: φ IV (x) m Y(t) = − = a 4 (4.18) φ(x) EI Y (t) Töø ñaây daãn tôùi 2 phöông trình vi phaân thöôøng:
Y(t) + ω 2Y (t) = 0 (4.19a) φ IV (x) − a 4φ(x) = 0 (4.19b) a 4 EI vôùi ω 2 = (4.20) m Phöông trình (4.19a) coù nghieäm: Y (t) = Acosωt + B sin ωt (4.21) hay bieåu dieãn theo ñieàu kieän ban ñaàu Y (0) vaø Y(0) thì Y(0) Y (t) = Y (0) cosωt + sinωt (4.22) ω Phöông trình (4.19b) ñöôïc giaûi baèng caùch choïn nghieäm daïng: φ(x) = Ge sx (4.23) Theá vaøo (4.19b) daãn tôùi: (s 4 − a 4 )Ge sx = 0 (4.24) Töø ñoù ta tìm ñöôïc: s1,2 = ±ia, s3,4 = ±a (4.25) Nghieäm toång quaùt cuûa (4.19b) coù daïng: iax −iax ax ax φ(x) = G1e + G2 e + G3e + G4 e (4.26) vôùi G1, G2, G3, G4 laø caùc haèng soá phöùc. Phöông trình (4.26) coù theå vieát laïi daïng thöïc cho caùc soá haïng: φ(x) = A1 cos(ax) + A2 sin(ax) + A3 cosh(ax) + A4 sinh(ax) (4.27)
caùc haèng soá Ai ñöôïc tìm töø ñieàu kieän bieân cuûa daàm. Thí duï: E18.1, p 379-381. 4.2.2 Dao ñoäng doïc töï do cuûa thanh Xeùt thanh coù ñaëc tröng EA, m haèng soá. Khi q(x,t) = 0 thì phöông trình (4.11) coù daïng: ∂ 2u(x,t) ∂ 2u(x,t) m − EA = 0 (4.28) ∂t 2 ∂x 2 Taùch bieán: u(x,t) = φ(x)Y (t) (4.29) Phöông trình (4.28) vieát laïi döôùi daïng: φ II (x) m Y(t) = = −c 2 (4.30) φ(x) EA Y (t) Töø ñoù daãn tôùi hai phöông trình: Y(t) + ω 2Y (t) = 0 (4.31a) φ II (x) + c 2φ(x) = 0 (4.31b) c 2 EA vôùi ω 2 = (4.32) m Phöông trình (4.31a) coù nghieäm gioáng (4.21). Phöông trình (4.31b) coù nghieäm nhö sau: φ(x) = C1 cos(cx) + C2 sin(cx) (4.33)
Thí duï: E 18.5, p 392-393. Chuù yù: Caùc mode dao ñoäng φm (x) vaø φn (x) coù tính tröïc giao, töùc laø thoaû maõn ñieàu kieän: L ∫φm (x)φn (x)m(x)dx = 0 (4.34) 0 4.3 PHÖÔNG PHAÙP ÑOÄ CÖÙNG ÑOÄNG LÖÏC HOÏC (the Dynamic direct Stiffness Method - DSM) 4.3.1 YÙ nghóa Trong chöông 3 ñaõ duøng haøm ña thöùc Hecmit ñeå xaáp xæ ñöôøng ñaøn hoài vaø daãn tôùi phöông phaùp ñoä cöùng tónh hoïc (Static dirrect Stiffness Method). Phöông phaùp naøy keùm chính xaùc vì haøm daïng khoâng keå ñeán löïc quaùn tính. Treân cô sôû haøm daïng (4.27) laø nghieäm chính xaùc cuûa daàm khi dao ñoäng, coù theå duøng ñeå laøm haøm daïng, töø ñoù daãn tôùi phöông phaùp ñoä cöùng ñoäng löïc hoïc, ñöôïc coi laø chính xaùc. Ñaëc ñieåm cuûa phöông phaùp naøy laø caùc heä soá cöùng phuï thuoäc vaøo taàn soá, phöông phaùp naøy hieän nay ñöôïc duøng trong baøi toaùn ngöôïc chaån ñoaùn coâng trình.
4.3.2 Ma traän ñoä cöùng uoán ñoäng löïc Xeùt daàm tieát dieän ñeàu, khoâng chòu löïc taùc duïng, phöông trình chuyeån ñoäng cuûa noù cho bôûi (4.13): m v IV (x,t) + v(x,t) = 0 (a) EI Chuyeån vò cöôõng böùc coù daïng: vi = vi0 sinωt (4.35) vôùi vi0 laø bieân ñoä chuyeån vò bieân vi . Chuyeån vò taïi moät ñieåm baát kyø cuûa daàm coù daïng: v(x,t) = φ(x)sin ωt (4.36) Phöông trình (a) ñöôïc vieát: φ IV (x) − a 4φ(x) = 0 (4.37) mω 2 trong ñoù: a 4 = (4.38) EI Nghieäm cuûa phöông trình (4.37) coù daïng: φ(x) = A1 sin(ax) + A2 cos(ax) + A3 sinh(ax) + A4 cosh(ax) (4.39) a phuï thuoäc vaøo taàn soá cöôõng böùc ω , khaùc vôùi a phuï thuoäc vaøo taàn soá töï nhieân ω theo (4.20).
Ñeå cho tieän veà sau, ta kí hieäu ñôn giaûn: mω 2 mω 2 a 4 = hoaëc tuyø theo daïng dao ñoäng EI EI cöôõng böùc hoaëc töï do ñöôïc xeùt tôùi. Töø (4.27) ta ruùt ra phöông trình ma traän: ⎡ φ ⎤ ⎢φ′ ⎥ ⎡ sin ax cos ax sinh ax cosh ax⎤⎡ A ⎤ ⎢ ⎥ 1 a ⎢ cos ax − sin ax cosh ax sinh ax⎥⎢A ⎥ ⎢φ′′⎥ = ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢− sin ax − cos ax sinh ax cosh ax⎥⎢A3 ⎥ ⎢a ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢φ′′′⎥ ⎣− cos ax sin ax cosh ax sinh ax⎦⎣A4 ⎦ ⎣⎢a 3 ⎦⎥ (4.40) Bieåu dieãn chuyeån vò thaúng vaø xoay hai ñaàu thanh, ta coù: ⎡vi ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ φ x=0 0 0 A L ⎢ L ⎥ ⎢ L L ⎥⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ v j 1 s c S C A2 ⎢ ⎥ = ⎢ φ x=L ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ L ⎥ ⎢L ⎥ ⎢ L L L L ⎥⎢A3 ⎥ ′ ⎢θ i ⎥ ⎢− θ x=0 ⎥ ⎢ − a 0 − a 0 ⎥⎢ ⎥ ⎣A4 ⎦ ⎢ ⎥ ⎢− θ ′ ⎥ ⎢− ac as − aC − aS⎥ ⎣θ j ⎦ ⎣ x=L ⎦ ⎣ ⎦ (4.41)
s ≡ sin aL S ≡ sinh aL trong ñoù: c ≡ cos aL C ≡ cosh aL Phöông trình ma traän (4.41) coù theå vieát döôùi daïng kí hieäu ngaén goïn: v = Wη (4.42) Chuyeån vò vaø noäi löïc hai ñaàu thanh ñöôïc minh hoïa treân H.4.3 Mi Vi θi Vj vi θj vj Mj L x i j H.4.3 chuyeån vò vaø löïc nuùt Maët khaùc, noäi löïc vaø ñöôøng ñaøn hoài ñaàu thanh coù quan heä: ⎡Vi L⎤ ⎡ Lφx′′′=0 ⎤ ⎡−aL 0 aL 0 ⎤⎡A1 ⎤ ⎢V L⎥ ⎢− Lφ′′′ ⎥ ⎢acL −asL −aCL −aSL⎥⎢A ⎥ ⎢ j ⎥ = EI⎢ x=L ⎥ = EIa2 ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢Mi ⎥ ⎢ φx′′=0 ⎥ ⎢ 0 −1 0 1 ⎥⎢A3 ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ′′ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ j ⎦ ⎣ −φx=L ⎦ ⎣ s c − S −C ⎦⎣A4 ⎦ (4.43)
hay: S = Uη (4.44) Töø (4.42) ta coù: η = W −1v (4.45) Theá (4.45) vaøo (4.44) nhaän ñöôïc: S = UW −1v (4.46) Ma traän ñoä cöùng ñoäng löïc cuûa ñoaïn daàm ñoùng vai troø trung gian giöõa löïc nuùt vaø chuyeån vò nuùt, vì vaäy theo (4.46) ta coù: K(a) = UW −1 (4.47) Ñoä cöùng laø haøm cuûa tham soá taàn soá a vì caû U vaø W ñeàu phuï thuoäc vaøo a. Thöïc hieän pheùp tính theo (4.47) ta thu ñöôïc: ⎡ vi ⎤ V L ⎡ i ⎤ ⎡ γ − γ − β − β ⎤⎢ L ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ V j L EI − γ γ β β v j ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ (4.48) ⎢ M i ⎥ L ⎢− β β α α ⎥⎢ L ⎥ ⎢ ⎥ θ M ⎢ ⎥⎢ i ⎥ ⎣ j ⎦ ⎣− β β α α ⎦⎢ ⎥ ⎣θ j ⎦ sC − cS S − s α = λ α = λ d d sS C − c β = λ 2 β = λ 2 trong ñoù: d d (4.49) sC + cS S − s γ = λ3 γ = λ3 d d d = 1 − cC λ = aL
Trong tröôøng hôïp tónh hoïc λ = 0 ta coù caùc heä soá cöùng sau: γ 0 = γ 0 = 12, β 0 = β 0 = 6, α 0 = α 0 = 4 Ñoà thò caùc heä soá cöùng ñoäng löïc theo tham soá taàn soá λ cho treân H.4.4. γ 0 = γ 0 = 12, β 0 = β 0 = 6, α 0 = α 0 = 4 Thí duï: E 20-1, p 350-353. 10 20 9 18 β γ 8 16 β 7 14 α 6 12 5 10 4 8 3 6 2 4 1 α 2 0 0 -1 -2 γ β -2 -4 β -3 -6 -4 -8 -5 -10 -6 -12 -7 -14 -8 -16 -9 -18 -10 -20 1 2 3 λ 5 6 123λ 5 6 H.4.4. Heä soá ñoä cöùng ñoäng löïc
Thí duï: Phaân tích dao ñoäng doïc töï nhieân cuûa daàm coâng son khoái löôïng vaø ñoä cöùng phaân boá ñeàu nhö hình veõ. EA, m = const x O L Mode 1 Mode 2 Mode 3 Nghieäm cuûa baøi toaùn dao ñoäng doïc truïc thanh: φ(x) = C1 cos(cx) + C2 sin(cx) Hai ñieàu kieän bieân cuûa daàm coâng son laø: Taïi x = 0 φ(0) = 0 Chuyeån vò baèng khoâng Taïi x = L N(0) = AEφ′(L) = 0 Löïc doïc baèng khoâng
Thay vaøo phöông trình treân, nhaän ñöôïc: C = 0 1 N(0) = AEφ′(L) = AEC2 c cos(cL) = 0 Töø ñaây cos(cL) = 0 2n −1 cL = π 2 2n −1 1 hay c = π n 2 L Do ñoù phöông trình dao ñoäng ñöôïc vieát nhö sau: 2n −1 x φ (x) = C sin( πc ) n 2 2 L Taàn soá dao ñoäng laø c 2 EA 2n −1 EA ω = n = π n m 2 mL2 Caùc daïng dao ñoäng ñöôïc theå hieän nhö treân hình veõ. Thí duï: Phaân tích dao ñoäng uoán töï nhieân cuûa daàm ñôn giaûn khoái löôïng vaø ñoä cöùng phaân boá ñeàu nhö hình veõ. Nghieäm cuûa baøi toaùn dao ñoäng uoán thanh nhö sau: φ(x) = A1 cos(ax) + A2 sin(ax) + A3 cosh(ax) + A4 sinh(ax)
EI, m = const x O L Mode 1 Mode 2 Mode 3 Boán ñieàu kieän bieân cuûa daàm ñôn giaûn laø: Taïi x = 0 φ(0) = 0 Chuyeån vò baèng khoâng M (0) = EIφ′′(0) = 0 Moâ men baèng khoâng Taïi x = L φ(L) = 0 Chuyeån vò baèng khoâng M (L) = EIφ′′(L) = 0 Moâ men baèng khoâng Aùp duïng ñieàu kieän bieân taïi x = 0 vaøo phöông trình treân, nhaän ñöôïc: A1 = A3 = 0 Töông töï, taïi x = L
φ(L) = A2 sin(aL) + A4 sinh(aL) = 0 2 φ′′(L) = a (−A2 sin(aL) + A4 sinh(aL)) = 0 Töø ñaây 2A4 sinh(aL) = 0 Vì haøm hyperbolic luoân khaùc khoâng neân A4 phaûi baèng khoâng. Vaäy phöông trình dao ñoäng ñöôïc vieát nhö sau: φn (x) = A2 sin(ax) Taïi x = L A2 sin(aL) = 0 aL = nπ 1 hay a = nπ n L Do ñoù phöông trình dao ñoäng ñöôïc vieát nhö sau: x φ (x) = A sin(nπ ) n 2 L EI Taàn soá dao ñoäng laø ω = nπ 2 n mL4 Caùc daïng dao ñoäng ñöôïc theå hieän nhö treân hình veõ. Thí duï 3: Xeùt heä khung chòu moâ men taùc duïng taïi nuùt, caùc ñaëc tröng veà ñoä cöùng vaø khoái löôïng cuûa töøng thanh a, b, c nhö treân hình veõ. Boû qua aûnh höôûng
doïc truïc (xem heä coù moät baäc töï do laø chuyeån vò xoay taïi nuùt). Duøng phöông phaùp ñoä cöùng ñoäng löïc hoïc xaùc ñònh chuyeån vò xoay taïi nuùt cuûa heä. EI M (t) = M sin(ωt); ω 2 = (2.8) 4 0 mL4 M(t) EI, m EI, m a O b c L 16EI/25 25m/16 L 1.5L Ñoä cöùng ñoäng cuûa heä: EI EI 16EI k = k + k + k = α + α + α a b c L a 1.5L b 25L c vôùi α a ,α b,α c ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông trình (4.49) thoâng qua taàn soá cuûa löïc kích thích. 2 4 sC − cS 4 ω mL α = λ trong ñoù (aL) = d a EI Cho töøng phaàn töû a, b, c ta xaùc ñònh ñöôïc:
(aL) a = 2.8; (aL) b = 3.5; (aL) c = 4.2 Töø H.4.4 suy ra ñöôïc α a = 3.338;α b = 2.00;α c = −2.90 (Coù theå aùp duïng coâng thöùc (4.49) ñeå tính) Thay vaøo phöông trình treân, xaùc ñònh ñöôïc ñoä EI cöùng ñoäng cuûa heä: k = 2.68 L M L Chuyeån vò taïi nuùt seõ laø: v = k −1M (t) = 0 sin ωt 2.68EI Chuù yù: EI Neáu ω 2 = (2.89) 4 (taàn soá löïc kích thích mL4 baèng taàn soá rieâng cuûa heä) thì (aL) a = 2.89; (aL) b = 3.66; (aL) c = 4.34 . Ñoä cöùng cuûa heä luùc naøy laø k = 0 .