Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương I: Giới thiệu chung

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương I: Giới thiệu chung

1. 5/30/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Bộ môn Cầu và Công trình ngầm Website: Website: PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: Link dự phòng: ‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 Tài liệuthamkhảo 1. Cook, R.D., Malkus, D.S., and Plesha, M.E. (1989), Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 3th Ed., John Wiley & Sons, New York. 2. Reddy, J.N. (2006), An Introduction to the Finite Element Method, McGraw Hill, New York. 3. Zienkiewicz, O.C., and Taylor, R.L. (2000), The Finite Element Method, Volumn 1: The Basis; Volumn 2: Solid Mechanics; Volumn 3: Fluid Dynamics, 5th Ed., Butterworth‐Heinemann, Oxford. 2 1
2. 5/30/2015 Phầnmềmhỗ trợ 1. Mathcad 2. Matlab 3. Sap2000 3 CHƯƠNG I Giớithiệu chung 4 2
3. 5/30/2015 Nội dung chương 1 • Khái niệmcơ bảnvề phương pháp số • Phương pháp phầntử hữuhạn • Trình tự phân tích bài toán theo Pp.PTHH • Phân loạiphầntử trong Pp.PTHH • Bậctự do củaphầntử • Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức 5 1.1. Khái niệmcơ bảnvề phương pháp số • Phương pháp số trong tính toán kếtcấulàgì? – Trong tính toán kếtcấu, ngườita dùng các phương pháp tính dẫn đếnviệcmôtả các nghiệmcủa bài toán theo mộttậphợp số; các phương pháp tính đó đượcgọilàcác“phương pháp số” – “Phương pháp số” = “Phương pháp rờirạchóa” • Các p.pháp rờirạchóađượcchia làm 2 nhóm chính: – Nhóm phương pháp rờirạchóavậtlý • Hệ thực đượcthaythế bằng mô hình vậtlýgần đúng mà lờigiảicủanó cũng đượcxácđịnh bằng mộtsố hữuhạncácđạilượng số. – Nhóm phương pháp rờirạchóatoánhọc • Các nghiệmmôtả bởicáchàmtương ứng đượcthaybằng các nghiệm gần đúng biểudiễn qua các hàm xấpxỉ chứamộtsố hữuhạncácđại lượng số. 6 3
4. 5/30/2015 Khái niệmcơ bảnvề phương pháp số (t.theo) • Mộtsố phương pháp số chủ yếu: – (1) Phương pháp phầntử hữuhạn ‐ PTHH – (2) Phương pháp phầntử biên – (3) Lý thuyếttương đương năng lượng – (4) Phương pháp sai phân hữuhạn – (5) Phương pháp sai‐biến phân – Các phương pháp kể trên còn được phân biệttheobảnchấtcủa cách rờirạchóakếtcấu liên tục, ví dụ: • Các phương pháp (1), (2) và (3) đượcxâydựng dựatrêncơ sở củasự rờirạchóavậtlý. • Các phương pháp (4 và (5) dựatrênsự rờirạchóatoánhọc. 7 1.2. Phương pháp phầntử hữuhạn • Giớithiệu chung – Phương pháp phầntử hữuhạn= Pp.PTHH (Finite Element Method = FEM) – Pp.PTHH là phương pháp rấttổng quát và hữuhiệucholờigiải số nhiềulớp bài toán kỹ thuật khác nhau: • Phân tích trạng thái ứng suất, biếndạng trong các loạikết cấu • Giảicácbàitoáncủa lý thuyếttrường như: lý thuyếttruyền nhiệt, cơ họcchấtlỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện‐từ trường 8 4
5. 5/30/2015 Phương pháp phầntử hữuhạn (t.theo) – Nhiềuphầnmềmthương mạiápdụng Pp.PTHH đượcsử dụng phổ biếnnhư: ANSYS, SAP2000, NASTRAN, MIDAS CIVIL, SAMCEF – Để khai thác hiệuquả các phầnmềmPTHH hiệncóhoặccóthể tự xây dựng chương trình tính toán riêng bằng PTHH => cầnphảinắm đượccơ sở lý thuyết, kỹ thuậtmôhìnhhóa và hiểurõbảnchất, cách thứcvàtrìnhtự tính toán của Pp.PTHH. 9 Phương pháp phầntử hữuhạn (t.theo) – Pp.PTHH đượcxâydựng dựatrêný tưởng : Mộtvậtthể hay mộtkếtcấuphứctạpcóthểđượcxâydựng bằng cách ghép nối các hình khối đơngiản. Ví dụ,cóthể mô hình mộthình tròn bằng cách sử dụng N tam giác đềunhư sau: • Diệntíchcủamộthìnhtam giác: “Phầntử” Si 11 SRR sin R2 sin iii22 • Diệntíchcủahìnhtrònđượcmôhình bởiN tam giác: N 12122 2 SSNSNRNii   sin RN sin i 1 22N N 2 • Khi N SRN 10 5
6. 5/30/2015 Phương pháp phầntử hữuhạn (t.theo) • Khái niệmvề Pp.PTHH – Pp.PTHH là mộtphương pháp sốđặcbiệtcóhiệuquảđểtìm dạng gần đúng củamộthàmchưabiếttrongmiềnxácđịnh V củanó. Tuy nhiên, Pp.PTHH không tìm dạng xấpxỉ củahàm cầntìmtrêntoànmiềnV mà chỉ trong từng miềncon Ve (phần tử) thuộcmiềnxácđịnh V. – Bảnchấtcủa pp.PTHH: • Vậtthể hay miềntínhtoánV đượcthaythế bằng mộtsố hữuhạncácmiềncon Ve (đượcgọilàcácphầntử). • Các phầntử chỉđược liên kếtvới nhau tạimộtsốđiểm định trướctrênbiênđượcgọilànút. 11 Phương pháp phầntử hữuhạn (t.theo) • Trong phạmvi mỗiphầntử, đạilượng cầntìmđượclấyxấp xỉ theo dạng mộthàmđơngiảnnàođógọilàhàm xấpxỉ. • Thiếtlậphệ phương trình cân bằng cho mỗiphầntử. • Thiếtlậphệ phương trình cân bằng củatoànhệ kếtcấu bằng cách phốihợpcácphương trình cân bằng củacác phầntử riêng rẽ sao cho vẫn đảmbảo được tính liên tục củatoànbộ kếtcấu(miềnV). • Áp dụng điềukiệnbiên, giảihệ phương trình cân bằng tổng thểđểxác định các ẩnsố. => Trong Pp.PTHH, các đặctrưng củacácphầntửđượcphối hợpvới nhau để đưa đếnmộtlờigiảitổng thể cho toàn hệ 12 6
7. 5/30/2015 Phương pháp phầntử hữuhạn (t.theo) – Tùy theo ý nghĩavậtlýcủahàmxấpxỉ, ngườita chia làm 3 mô hình phân tích sau đây: • Mô hình tương thích: xem chuyểnvị là đạilượng cầntìmtrướcvàhàmxấpxỉ biểudiễngần đúng dạng phân bố của chuyểnvị trong phầntử. Các ẩnsốđược xác định từ hệ phương trình thiếtlậptrêncơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng (nguyên lý biến phân Lagrange). • Mô hình cân bằng: hàm xấpxỉ biểudiễngần đúng dạng phân bốứng suấthoặc nộilực trong phầntử. Các ẩnsốđượcxácđịnh từ hệ phương trình thiếtlậptrên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phầndừng hay nguyên lý biến phân vềứng suất (nguyên lý Castigliano). • Mô hình hỗnhợp: coi chuyểnvị và ứng suấtlàhaiyếutốđộclập riêng biệt. Các hàm xấpxỉ biểudiễngần đúng dạng phân bố củacả chuyểnvị và ứng suấttrong phầntử. Các ẩnsốđượcxácđịnh từ hệ phương trình thiếtlậptrêncơ sở nguyên lý biến phân Reisner. Trong 3 mô hình kể trên, “Mô hình tương thích” đượcáp dụng phổ biến(phầnmềm SAP2000). 13 1.3. Trình tự phân tích bài toán theo Pp.PTHH • Bước1: Rờirạchóamiềnkhảosát – MiềnkhảosátV đượcchia thành các miềncon Ve (hay thành các phầntử) có dạng hình họcthíchhợp. – Sốđiểm nút trong mỗiphầntử không đượclấytùytiệnmà phải tùy thuộcvàohàmxấpxỉđịnh chọn. • Bước2: Chọnhàmxấpxỉ thích hợp – Chọndạng xấpxỉđơngiản đốivớitínhtoánbằng máy tính nhưng phảithỏamãncáctiêuchuẩnhộitụ. – Nên chọnhàmxấpxỉ dạng đathứcvìdễđạohàm, tích phân. – Biểudiễnhàmxấpxỉ theo tậphợpgiátrị và các đạohàmcủa nó tại các nút củaphầntử => là các chuyểnvị, góc xoay tại nút ký hiệulà{u}e. 14 7
8. 5/30/2015 Trình tự phân tích bài toán theo Pp.PTHH • Bước3: Xây dựng ma trận độ cứng phầntử [k]e và véc tơ tảiphầntử {f}e : – Đây là bướcxâydựng phương trình cân bằng củaphầntử bằng cách sử dụng các phương pháp như: trựctiếp, sử dụng nguyên lý biến phân, hoặcphương pháp biến phân, – Phương trình cân bằng phầntử có dạng: [k]e ∙ {u}e = {f}e • Bước4: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể [K] và véc tơ lực nút tổng thể {F} : – Ghép nốicácphầntử trên cơ sở mô hình tương thích để được phương trình cân bằng tổng thể: – Phương trình tổng thể có dạng: [K] ∙ {U} = {F} 15 Trình tự phân tích bài toán theo Pp.PTHH • Bước5: Áp đặt điềukiệnbiên: – Sử dụng điềukiệnbiêncủa bài toán để gạch bỏ những đại lượng liên quan đến các chuyểnvị nút có giá trị bằng 0 – Phương trình tổng thểđãxétđến điềukiệnbiênđượcthu gọnhơnvàcódạng như sau: [Ko] ∙ {Uo} = {Fo} • Bước6: Giảihệ phương trình đạisố [Ko] ∙ {Uo} = {Fo} – Với bài toán tuyếntínhviệcgiảihệ phương trình trên là đơn giản. • Nghiệmtìmđược chính là các chuyểnvị nút chưabiết{Uo}. 16 8
9. 5/30/2015 Trình tự phân tích bài toán theo Pp.PTHH – Với bài toán phi tuyến thì nghiệmsẽđạt đượcsaumộtchuỗi các bướclặpmàsaumỗibướcma trận độ cứng [Ko] hoặcvéc tơ lực nút {Fo} có thể thay đổi. • Nếu[Ko] thay đổi=> là bài toán phi tuyếnvậtlý • Nếu{Fo} thay đổi=> là bài toán phi tuyếnhìnhhọc • Bước7: Hoàn thiện: – Từ kếtquả tìm được là các chuyểnvị nút, tiếptụctìmứng suất, chuyểnvị, hay biếndạng củatấtcả các phầntử. 17 1.4. Phân loạiphầntử trong Pp.PTHH • Phầntử 1 chiều(1‐D) => có dạng thanh – Phầntử bậcnhất • Đạilượng khảosátbiếnthiênbậcnhất – Phầntử bậchai • Đạilượng khảosátbiếnthiênbậc2 – Phầntử bậcba • Đạilượng khảosátbiếnthiênbậc3 – – Phầntử bậcn có (n+1) nút 18 9
10. 5/30/2015 Phân loạiphầntử trong Pp.PTHH (t.theo) • Phầntử 2 chiều(2‐D) => có dạng tấmhìnhtam giác – Phầntử bậcnhất – Phầntử bậchai – Phầntử bậcba – 19 Phân loạiphầntử trong Pp.PTHH (t.theo) • Phầntử 2 chiều(2‐D) => có dạng tấmhìnhtứ giác – Phầntử bậcnhất – Phầntử bậchai – Phầntử bậcba – 20 10
11. 5/30/2015 Phân loạiphầntử trong Pp.PTHH (t.theo) • Phầntử 3 chiều(3‐D) => có dạng khốitứ diện – Phầntử bậcnhất – Phầntử bậchai – Phầntử bậcba – 21 Phân loạiphầntử trong Pp.PTHH (t.theo) • Phầntử 3 chiều(3‐D) => có dạng khốilụcdiện – Phầntử bậcnhất – Phầntử bậchai – Phầntử bậcba – 22 11
12. 5/30/2015 1.5. Bậctự do củaphầntử • A>. Bậctự do củaphầntử 1 chiềubậcnhất: – (1). Phầntử thanh lò xo (Spring) hoặc thanh dàn (Truss) • Phầntử chỉ chịukéohoặcnénđúng tâm (N11) • Nếu các nút chỉ di chuyểntrongtrụctọa độ địaphương Ou, mỗi nút thuộcphầntử có 1 bậctự do => phầntử có 2 bậctự do • Nếu các nút chỉ di chuyểntrongmặtphẳng OXY, mỗi nút thuộcphầntử có 2 bậctự do => phầntử có 4 bậctự do • Nếu các nút di chuyểntrongkhônggian3 chiềuOXYZ, mỗi nút thuộc phầntử có 3 bậctự do => phầntử có 6 bậctự do. Y Y O X O X Ou Z 23 Bậctự do củaphầntử (t.theo) – (2). Phầntử thanh dầm(Beam) bậcnhất • Phầntử chỉ chịuuốnM33 và cắtV22 • Nếu các nút chỉ di chuyểntrongtrụctọa độ địaphương Ov và xoay quanh trục vuông góc vớimặtphẳng Ouv, mỗi nút thuộcphầntử có 2 bậctự do => phầntử có 4 bậctự do v 2 O u 1 3 24 12
13. 5/30/2015 Bậctự do củaphầntử (t.theo) – (3). Phầntử khung (Frame) bậcnhất Y • Nếu các nút di chuyểntrongmặtphẳng OXY và xoay quanh trục vuông góc vớimặtphẳng X OXY, mỗi nút thuộcphầntử có 3 bậctự do O => phầntử có 6 bậctự do. Phầntửđượcgọi là phầntử khung phẳng. Phầntử chịuuốn 2 M33, cắtV22 và kéo nén N11. 1 3 • Nếu các nút di chuyểntrongkhônggian3 chiềuOXYZ, mỗi nút thuộcphầntử có 6 bậc tự do => phầntử có 12 bậctự do. Phầntử Y đượcgọilàphầntử khung không gian. Phần tử chịuuốnM33, M22, cắtV33, V22, kéo nén O N11, và xoắnM11. X Z 25 Bậctự do củaphầntử (t.theo) • B>. Bậctự do củaphầntử 2 chiềubậcnhất: U2 – (1). Phầntử tấmphẳng (Plane) U1 • Phầntử chỉ chịu kéo nén trong bài toán ứng suất phẳng hoặcbiếndạng phẳng. • Mỗi nút thuộcphầntử có 2 bậctự do là U1 và U2 – (2). Phầntử kiểu màng (Membrane) U2 U1 R3 • Phẩntử chỉ chịukéonénvàxoắntrongmặtphẳng, (không có chuyểnvị thẳng vuông góc vớimặtphẳng và không có chuyểnvị xoay ngoài mặtphẳng) • Mỗi nút thuộcphầntử có 3 bậctự do là U1, U2 và R3 26 13
14. 5/30/2015 Bậctự do củaphầntử (t.theo) – (3). Phầntử tấmuốn(Plate) Uu3  z R1  x • Phầntử chỉ chịuuốn ngoài mặtphẳng, không R2   y có chuyểnvị thẳng theo 2 phương trong mặt phẳng và xoay trong mặtphẳng. • Mỗi nút củaphầntử có 3 bậctự do là U3, R1 và R2. – (4). Phầntử vỏ (Shell) Uu1  x Uu2  y • Phầntử chịu kéo nén, uốn, xoắn. Uu3  z R1   • Mỗi nút củaphầntử có 6 bậctự x R2   do là U1, U2, U3, R1 R2 và R3. y R3  z 27 Bậctự do củaphầntử (t.theo) Phầntử vỏ (Shell) thựcchấtlàsự kếthợpcủaphầntử tấmuốn (Plate) vớiphầntử màng (Membrane). 28 14
15. 5/30/2015 Bậctự do củaphầntử (t.theo) • C>. Bậctự do củaphầntử 3 chiềubậcnhất – Phầntử khối (Solid) • Mỗi nút thuộcphầntử có 3 bậctự do U1, U2, U3. 29 1.6. Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức • Khi chọnbậccủa đathứcxấpxỉ cầnxétcácyêucầusau: – (1) Các đathứcxấpxỉ phảithỏamãnđiềukiệnhộitụ tứclàkhi số phầntử tăng lên, kích thướcphầntử giảm đithìkếtquả sẽ hộitụđếnnghiệm chính xác. Muốnvậyhàmue phảithỏamãn: • Liên tục trong phầntử Ve (điềunàyluônđúng vớixấpxỉ là đathức) • Bảo đảmtồntại trong phầntử trạng thái đơnvị (hằng số) và các đạo hàm riêng củanóđếnbậccaonhất mà phiếmhàmI(u) đòi hỏi. Iu Fxuuu , , ', '', u r dx V • Trên biên phầntử, ue và các đạo hàm củanóđếncấp(r‐1) là liên tục. – (2) Các đathứcxấpxỉđượcchọn sao cho không làm mấttính đẳng hướng hình học. Muốnvậy, các đathứccần đượcchọn dựatrêntam giác Pascal cho bài toán 2 chiềuvàdựatrên tháp Pascal cho bài toán 3 chiều. 30 15
16. 5/30/2015 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) • Tam giác Pascal cho bài toán 2 chiều 31 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) • Tháp Pascal cho bài toán 3 chiều – (3) Số tham số của đathứcxấpxỉ phảibằng số bậctự do của phầntử. 32 16
17. 5/30/2015 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) • Phầntử mộtchiều(1‐D) – Xấpxỉ tuyếntính(phầntử bậcnhất) u(x) = a1 + a2x – Xấpxỉ bậc2 (phầntử bậc2) 2 u(x) = a1 + a2x+ a2x – Xấpxỉ bậc3 (phầntử bậc3) 2 3 u(x) = a1 + a2x + a3x + a4x – 33 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) – Xấpxỉ bậcn (phầntử bậcn) 2 n u(x) = a1 + a2x + a3x + + an+1x a1  a2 uxxxa 1 2 n hay x 3   an 1 hay u(x) = [P(x)] {a} với: [P(x)]= ma trậncácđơnthức {a} = véc tơ các tham số 34 17
18. 5/30/2015 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) • Phầntử hai chiều(2‐D) – Xấpxỉ tuyến tính cho phầntử tam giác (bậcnhất) u(x, y) = a1 + a2x + a3y a1  hay uxya xy, 1 2  a3 hay u(x,y) = [P(x,y)] {a} với: [P(x)] = ma trậncácđơnthức {a} = véc tơ các tham số 35 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) – Xấpxỉ bậc2 cho phầntử tam giác (phầntử bậc2) 2 2 u(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4x + a5y + a6xy a1  a2 hay uxyxyxya 1 22 xy, 3    a6 hay u(x,y) = [P(x,y)] {a} với: [P(x)] = ma trậncácđơnthức {a} = véc tơ các tham số 36 18
19. 5/30/2015 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) – Xấpxỉ tuyến tính cho phầntử 2D hình chữ nhật(bậcnhất) u(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4xy a1  a2 hay uxyxy xy, 1  a3 a4 hay u(x,y) = [P(x,y)] {a} với: [P(x)] = ma trậncácđơnthức {a} = véc tơ các tham số 37 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) – Xấpxỉ tuyến tính cho phầntử 2D hình chữ nhật(bậchai) 2 2 2 2 2 2 u(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4x + a5y + a6x y + a7xy + a8x y a1  a 2 a3 222 222 a4 hay uxyxyxyxyxyxy 1  xy, a 5 a 6 a7 a8 38 19
20. 5/30/2015 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) • Phầntử ba chiều(3‐D) – Xấpxỉ tuyến tính cho phầntử tứ diện(bậcnhất) u(x,y,z) = [P(x,y,z)] {a} a1  a2 hay uxyz xyz,, 1  a3 a4 T hoặc: uxyzaaaa xyz,, 1  1234 39 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) Như vậy, 1 điểmbấtkỳ thuộcphầntử Solid dạng tứ diệnsẽ có 3 chuyểnvị theo 3 phương (1), (2), và (3) đượcxácđịnh dựa vào các hàm xấpxỉ tuyếntínhu(1) ; u(2) ; và u(3) như sau: (1) T uxyzaaaa xyz,, 1 1234 (2) T uxyzaaaa xyz,, 1 5678 (3) T uxyzaaaa xyz,, 1 9101112 Chú ý rằng: tổng số tham số củacácđathứcxấpxỉ là 12, đúng bằng số bậctự do củaphầntử Solid dạng tứ diện. 40 20
21. 5/30/2015 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) – Xấpxỉ tuyến tính cho phầntử lụcdiện(bậcnhất), chuyểnvị theo mộtphương nào đóchẳng hạnphương : u(x,y,z) = [P(x,y,z)] {a} a1  a 2 a3 a4 hay: u 1 x y z xy yz zx xyz  xyz,, a 5 a 6 a7 a8 41 Chọnhàmxấpxỉ dạng đathức (t.theo) Một điểmbấtkỳ thuộcphầntử Solid dạng lụcdiệnsẽ có 3 chuyểnvị theo 3 phương (1), (2), và (3) đượcxácđịnh dựavào các hàm xấpxỉ tuyếntínhu(1) ; u(2) ; và u(3) như sau: (1) T u xyz,, 1 x y z xy yz zx xyz a1234 a a a a 5678 a a a (2) T u xyz,, 1 x y z xy yz zx xyz a910111213141516 a a a a a a a (3) T u xyz,, 1 x y z xy yz zx xyz a17 a 18 a 19 a 20 a 21 a 22 a 23 a 24 Tổng số tham số củacácđathứcxấpxỉ là 24, đúng bằng số bậc tự do củaphầntử Solid dạng lụcdiện. 42 21