›
›

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương II: Tính hệ thanh chịu kéo nén đúng tâm (Phần tử thanh dàn ‐ Truss)

pdf 34 trang hapham 2080
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương II: Tính hệ thanh chịu kéo nén đúng tâm (Phần tử thanh dàn ‐ Truss)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_phuong_phap_so_trong_tinh_toan_ket_cau_chuong_ii_t.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương II: Tính hệ thanh chịu kéo nén đúng tâm (Phần tử thanh dàn ‐ Truss)

  1. 5/30/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Bộ môn Cầu và Công trình ngầm Website: Website: PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: Link dự phòng: ‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 CHƯƠNG II Tính hệ thanh chịukéonénđúng tâm (Phầntử thanh dàn ‐ Truss) 43 1
  2. 5/30/2015 Nội dung chương 2 • 2.1. Bài toán lò xo • 2.2. Phầntử thanh dàn trong mộttrụctọa độ (1D) • 2.3. Phầntử thanh dàn trong hệ tọa độ phẳng (2D) • 2.4. Phầntử thanh dàn trong hệ tọa độ không gian (3D) 44 2.1. Bài toán lò xo • (1). Hệ có mộtlòxo – Xét mộtlòxo có độ cứng K Ox – Coi lò xo là mộtphầntử có 2 1 2 nút ở đầu đượckýhiệulànút i fi fj i j và nút j. u i uj – Giả sử cần tìm quan hệ giữa chuyểnvị nút ui & uj vớicáclực nút fi & fj. => Tách riêng 2 trường hợpsau: 45 2
  3. 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) – Trường hợp(a): cốđịnh tại nút i Ox aa aa i j f jj Ku f jj Ku a a fj fi aa aa ffij fij Ku a a ui uj – Trường hợp(b):cốđịnh tại nút j bb bb i j fii Ku fKuii  b b fj f bb f bbfi ij f ji Ku u b b i uj – Áp dụng nguyên lý chồng chấtlực: ab a b i j fii f   f i Ku j Ku i ab a b fi fj f jj ffKuKu   j j i ui uj 46 Bài toán lò xo (t.theo) a b b b Ox – Do ui = ui + ui = 0 + ui = ui a b a a i j và uj = uj + uj = uj + 0 = uj a f a fj nên có thể viếtlạihệ như sau: i a a ui uj fiij  Ku Ku f jij  Ku Ku  i j b b fj – Như vậy, quan hệ giữalực nút fi u b b và chuyểnvị nút có thểđược i uj viếtdướidạng ma trậnnhư sau: i j KK  ufii   fi fj KK  ufjj ui uj 47 3
  4. 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) • (2). Hệ có nhiềulòxo – Xét hệ gồmcó2 lò xo A và B có độ cứng lầnlượtlàK1 và K2 chịucáclựctại nút như hình vẽ: F 1 2 1 1 2 3 F3 Ox F2 U1 U2 U3 1 1 1 2 2 2 fi 1 2 fj fi 2 3 fj ij ij 1 1 2 2 ui uj ui uj – Lò xo A đượcgọilàphầntử 1; lò xo B đượcgọilàphầntử 2; mỗiphầntử có 2 nút (tại đầui và j củaphầntử) . 48 Bài toán lò xo (t.theo) – Ký hiệutổng thể cho cả hệ: • Toàn hệ có 3 nút được đánh số: 1, 2 và 3 1 2 T F1 1 2 3 F3 • Véc tơ chuyểnvị nút: {U} = {U1, U2, U3} T • Véc tơ lực nút: {F} = {F , F , F } F2 1 2 3 U1 U2 U3 – Ký hiệu địaphương cho từng phầntử: • Mỗiphầntử có 2 nút đượckýhiệulài và j e e e T • Véc tơ chuyểnvị nút củaphầntử thứ “e” là : {u } = {ui , uj } e e e T • Véc tơ lực nút củaphầntử thứ “e” là : {f } = {fi , fj } 1 1 1 2 2 2 fi 1 2 fj fi 2 3 fj ij ij 1 1 2 u 2 ui uj ui j 49 4
  5. 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) – Quan hệ giữavéctơ lực nút và véc 1 1 1 tơ chuyểnvị nút trong phầntử 1: fi 1 2 fj 11 ij KK11   ufii u 1 u 1  11 i j KK11  ufjj 1 1 • Chú ý: ui = U1 và uj = U2 – Quan hệ giữavéctơ lực nút và véc tơ chuyểnvị nút trong phầntử 2: 2 2 2 22 fi 2 3 fj KK22  ufii  22 ij KK22   ufjj 2 u 2 ui j 2 2 • Chú ý: ui = U2 và uj = U3 50 Bài toán lò xo (t.theo) – Quan hệ giữalực nút và chuyểnvị nút 1 1 1 fi 1 2 fj củaphầntử 1 theo hệ tọa độ tổng thể: ij 1 1 1 K11 KUf0 1 i  u uj i K KUf0 1 11   2 j (a) 000U3  0 – Quan hệ giữalực nút và chuyểnvị nút củaphầntử 2 theo hệ tọa độ tổng thể: 2 2 2 fi 2 3 fj 00 0U1 0 2 ij 0 K222 KU   fi (b) 2 2 2 u ui j 0 K22KU 3  fj 51 5
  6. 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) – Kếthợphệ phương trình (a) và (b) đượchệ phương trình cân bằng củacả hệ lò xo (c): 1 KK11 0 U 1 fi  K KK K U f12 f (c) 112 2 2 ji  2 0 KKU223  fj 1 Ff1 i  U1  12 – Chú ý rằng: FF 2  ffji và UU 2  2 Ff3 j U3 => Hệ phương trình (c) có thể viếtngắngọn thành: [K]{U} = {F} 52 Bài toán lò xo (t.theo) – Phương trình cân bằng củatoànhệ lò xo: [K]{U} = {F} KK11 0 trong đó: K KKKK  112 2 0 K22K [K] đượcgọilàma trận độ cứng củacả hệđượcxâydựng từ ma trận độ cứng củacácphầntử. [K] = ma trận độ cứng tổng thể. 53 6
  7. 5/30/2015 2.2. Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ • Định nghĩa: phầntử thanh dàn là phầntử thanh chỉ chịu lựcdọctrục(kéohoặcnénđúng tâm). – Xét một thanh lăng trụ tiếtdiện không đổi x O i A, E j fi fj ui uj • Chiềudàiphầntử:L L • Diệntíchtiếtdiện: A • Mô đun đàn hồi: E • Chuyểnvị:u = u(x) • Biếndạng: ε = ε(x) • Ứng suất: σ = σ(x) 54 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) • Lựachọnhàmxấpxỉ và xác định ma trậncáchàmdạng x – Mọi điểmtrênphầntử chỉ O tồntại chuyểnvị theo i A, E j fi fj phương củatrụcx là u(x); ui uj L – Nếuchọnhàmxấpxỉ tuyến tính thì phầntử có 2 nút và số bậc tự do củaphầntử là 2, do đósố phầntử củavéctơ tham số {a} cũng là 2. Ta chọn đathứcxấpxỉ như sau: u(x) = a1 + a2xvới0 ≤ x ≤ L a  1 = [P ] {a} ux x 1  (x) a2 55 7
  8. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) uaax – Véc tơ chuyểnvị nút của x x 12 O phầntử: i A, E j fi fj T T ui uj {q}e ={q1 , q2}e = {ui , uj}e L – Thựchiện đồng nhất hàm chuyểnvị tại các chuyểnvị nút: (tại nút i) u u x 0 aaq111   10      u (tại nút j) uLaaL 1 a q   xL 12    2 2e A aq    e 10 1 1 aAq   Với: A 11 e L L 56 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) – Hàm chuyểnvị có thểđượcviếtlạinhư sau a 1 u 1 x1 Pxa PxAq Nxq x     ee  a2 trong đó, [N]e đượcgọilàma trậncáchàmdạng củaphầntử : 10 1 xx NPA 11 x NxNx e x    11 12 LL LL – Đến đây ta có thể biểudiễn đathứcxấpxỉ chuyểnvị dọctrục theo các chuyểnvị nút phầntử như sau: x xxx q1 ux N q11 q q e e  12 LL q2 e L L 57 8
  9. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) – Biểu đồ các hàm dạng và biểu đồ chuyểnvị củaphầntử: 2 x x x ux  N x q1 q q Nx1 1  ii 12 L i 1 LL x Nx 2 L ux Nq y N x y 11 1 N2 x q q Nq 2 1 x 1 22 x Biểu đồ N1 và N2 Biểu đồ củau(x) 58 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) • Định luật Hooke cho bài toán 1 chiều(1‐D) – Quan hệ giữa ứng suấtvàbiếndạng:  E Trong đó,  có thểđượcxácđịnh dựa trên quan hệ giữa chuyểnvị và biếndạng: du  x dx O i A, E j fi fj ui uj L 59 9
  10. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng (Phương pháp 1) – Chuyểnvị u biến đổituyếntínhdọctheotrục thanh và chuyển vị của1 điểmbấtkỳ thuộcphầntử là: x x ux 1 uij u L L – Biếndạng đượctínhnhư sau: uu  ji L L – Ứng suất đượctínhtheobiếndạng: E  E L 60 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) – Ứng suất trong thanh dàn còn đượctínhtheolựcdọcF: F  A – Do đó: EF AE  FK L A L AE trong đó: K là độ cứng của thanh dàn. L  Như vậy, thanh dàn làm việcgiống như mộtlòxo có độ cứng K 61 10
  11. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) – Khi đó, quan hệ giữalực nút và chuyểnvị nút củaphầntử thanh dàn cũng tương tự như phầntử lò xo, tứclà: x O KK  ufii   i A, E j KKufjj   fi fj ui uj L Hoặcviếtcáchkhácnhư sau: AE 11  ufii   L 11  ufjj 62 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng (Phương pháp 2) – Chuyểnvị u biến đổituyếntínhdọctheotrục thanh và chuyển vị của1 điểmbấtkỳ thuộcphầntử là: ui x x ux  N  1 uij u u j L L – Ma trậncáchàmdạng: x x N 1 LL – Biếndạng là đạohàmcủa chuyểnvị theo biếnx du d uuuiii   11  xN     B dx dx uuujjj L L   63 11
  12. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) – Ma trận[B] đượcgọilàma trậntínhbiếndạng dN  dxx 11 1 B 111  dx dx L L L L L – Ứng suất trong phầntử ui   xExEB   u j – Xét thế năng biếndạng trong phầntử : 11TTT UdVuBEBudV       22ee VVee 64 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) 1 T T hay : Uu   BEBdVu   2 Ve – Xét công củacáclực nút 11 1T Wfufuuf   22ii j j 2 – Theo định luậtbảotoànnăng lượng: U = W, do đó 11TT T uBEBdVuuf      22 Ve 65 12
  13. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) T nên: B EBdV u f hay: Ku  f     e Ve 1 – Vậyma trận độ cứng củaphầntử là: B 11 L T K BEBdV e   Ve LL11 11 1 K E11 Adx AE 11 dx e  2  00LL 11 L AE 11 K e L 11 66 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.1. Cho các thanh dàn làm từ vậtliệucómôđun đàn hồiE – Thanh dàn 1 có chiềudài2L, diệntíchtiếtdiệnA – Thanh dàn 2 có chiềudàiL, diệntíchtiếtdiện2A – LựcP tác dụng tại nút số 2. Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và 2 nếubiết: 1 A, E2A,2 E E = 200000MPa P A = 100mm2 1 2 3 L = 1000mm 2L L P = 100000N 67 13
  14. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) 68 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) 69 14
  15. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) 70 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) 71 15
  16. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.2. Cho các thanh dàn làm từ vậtliệucómôđun đàn hồiE – Thanh dàn 1 có chiềudài2L, diệntíchtiếtdiệnA – Thanh dàn 2 có chiềudàiL, diệntíchtiếtdiện2A – LựcP tác dụng tại nút số 2. Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và 2 nếubiết: 1 A, E2A,2 E E = 200000MPa P A = 100mm2 1 2 3 L = 1000mm 2L L P = 100000N 72 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) 73 16
  17. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) 74 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) 75 17
  18. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) 76 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) 77 18
  19. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.3. Cho các thanh dàn làm từ vậtliệucómôđun đàn hồiE – Thanh dàn 1 có chiềudài2L, diệntíchtiếtdiệnA – Thanh dàn 2 có chiềudàiL, diệntíchtiếtdiện2A – LựcP tác dụng tại nút số 2. Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và 2 nếubiết: E = 200000MPa 1 A, E2A,2 E A = 100mm2 P L = 1000mm 1 2 3 P = 100000N 2L L ∆ ∆ = 5mm 78 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) Lờigiảichovídụ 2.3. 1 A, E2A,2 E Phân tích bài toán P như sau: 1 2 3 2L L ∆ – Tăng dầngiátrị của lựcP từ 0 lên đến 100000N. – Ban đầukhiP chưalớn, nút 3 củaphầntử 2 chưachạmvào gốiphải, hệ làm việcgiống như trong ví dụ 2.2. • Khi tăng P lên đếngiátrị P1=50000N, nút 3 củaphầntử 2 bắt đầuchạmvàogốiphải. Ứng suất giai đoạn1 trong các phầntử như sau: σ1_gđ1 = 500MPa và σ2_gđ1 = 0MPa 79 19
  20. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn trong trụctọa độ (t.theo) – Tiếptụctăng P 1 A, E2A,2 E cho đếngiátrị P P2 = 100000N, 1 2 3 2L L ∆ hệ làm việcgiống bài toán củavídụ 2.1. • Ứng suất giai đoạn2 trong các phầntử như sau σ1_gđ2 = 100MPa và σ2_gđ2 = ‐200MPa – Sau cùng ứng suấttíchlũytrongcácphầntử (khi lựcP đạttới giá trị P2 = 100000N) là tổng ứng suấtcủacả 2 giai đoạn: σ1 = σ1_gđ1 + σ1_gđ2 = 600MPa và σ2 = σ2_gđ1 + σ2_gđ2 = ‐200MPa 80 Các ký hiệu địaphương – Hệ trụctọa độ địaphương: o123 – Các chuyểnvị “Nút i" theo hệ 2 i i i tọa độ địaphương u 1 ; u 2 ; u 3 – Các lựctácdụng tại“Núti” của 3 phầntử theo hệ tọa độ địa i i i 1 phương: f 1 ; f 2 ; f 3 – Ma trận độ cứng củaphầntử theo hệ tọa độ địaphương: [k] – Véc tơ chuyểnvị nút tại“Nútj” củaphầntử: {uj} – Véc tơ lực nút tại“Nútj” củaphầntử: {fj} – Véc tơ chuyểnvị nút củaphầntử: {u} – Véc tơ lực nút củaphầntử: {f} 81 20
  21. 5/30/2015 Các ký hiệutổng thể – Hệ trụctọa độ tổng thể: OXYZ n – Các chuyểnvị “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao gồm: U X ; n n U Y ; U Z n – Các lựctácdụng tại“Nútn” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: F X ; n n F Y ; F Z – Ma trận độ cứng củaphầntử theo hệ tọa độ tổng thể: [K] 1 – Véc tơ chuyểnvị nút của“Nútn” : {Un} j – Véc tơ lực nút của“Nútn” : {Fn} Y – Véc tơ chuyểnvị nút củaphầntử: {U} O – Véc tơ lực nút củaphầntử: {F} i X Z 82 Các ký hiệutổng thể (t.theo) – Ma trận độ cứng tổng thể củacả hệ kếtcấuchưakể tới điều kiệnbiên: [Ks] – Véc tơ chuyểnvị nút tổng thể củacả hệ kếtcấuchưakể tới điềukiệnbiên: {Us} – Véc tơ lực nút tổng thể củacả hệ kếtcấuchưakể tới điềukiện biên: {Fs} – Ma trận độ cứng tổng thể củacả hệ kếtcấu đãkể tới điềukiện biên: [Ko] – Véc tơ chuyểnvị nút tổng thể củacả hệ kếtcấu đãkể tới điều kiệnbiên: {Uo} – Véc tơ lực nút tổng thể củacả hệ kếtcấu đãkể tới điềukiện biên: {Fo} 83 21
  22. 5/30/2015 2.3. Phầntử thanh dàn trong hệ tọa độ phẳng • Phầntử thanh dàn trong không gian 2 chiều(2‐D) – Xét nút i Hệ tọa độ Hệ tọa độ địaphương tổng thể 1, 2X, Y i U Y Y i U X i i i i u 1 , u 2 U X , U Y X Nút có 1 bậc Nút có 2 bậc O tự do tự do – Chú ý là trong “hệ tọa độ địaphương”, chuyểnvị nút theo i “phương 2” là u 2 không ảnh hưởng tớinộilựccủa thanh dàn. 84 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) – Xét chuyểnvị tại nút i ta có: uUii cos U i sin 1 XY uUii sin U i cos 2 XY i U Y Y i U X Nếu đặt l = cosθ và m = sinθ thì các chuyểnvị theo hệ tọa độ địaphương X O có thểđượcviếtnhư sau: i i U X  ulm1  i  ii UY uU1   lm X i hoặc:   U  ii i X uU2 ml Y  uml2  i  UY hoặc: uTUii   85 22
  23. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn –truss (t.theo) – Tương tự, xét chuyểnvị tại nút j ta có quan hệ jj j uU1 XYcos U sin jj j uU2 XYsin U cos j U Y j U X uUjj lm  1 X hoặc: jj  uU2 ml Y  hoặc: uTUjj  trong đó, đượT cgọilàma trận chuyển  lm T ml 86 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) – Chuyểnvị của2 nút (i và j) củaphầntử thanh theo hệ tọa độ địaphương có thểđượcviếtnhư sau: ii uU1 lm00 X  ii uU ml 00 2 Y  jj 00lm uU1 X jj uU2 00 ml Y  T 0 hoặc:uTU  trong đó T  0 T – Tương tự công thức chuyểncholực nút từ “hệ tọa độ tổng thể” sang “hệ tọa độ địaphương” như sau: fTF  87 23
  24. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) – Quan hệ giữa chuyểnvị nút và lực nút trong hệ tọa độ địa o phương: 1 ii i j EA 11 uf11    fj jj fi A , E 1 L 11  uf11  1 ui uj 1 L 1 Hoặccóthể viếtlạihệ phươngtrìnhtrênnhư sau: EA EA uufiji LL111 EA EA uufijj LL111 EA EA uuii 00 u j uf ji LL12 1 21 ii j j 000 uuu121 0 u 2 0 hoặc: PT(*) EA EA uuii00 u j uf jj LL12 1 21 ii j j 000 uuu121 0 u 2 0 88 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) Như vậy, quan hệ giữa chuyểnvị nút và lực nút trong hệ tọa độ o địaphương: 1 i j ii fj EA 11 uf11  fi A , E 1 1 ui uj j  j  1 L 1 L 11  uf11  Có thểđượcviếtlạidựatrênhệ phương trình PT(*) như sau: i i 10 10 u1 f1  i EA 0000 u 0 2   10 1 0 j j L u1 f1 j 0000 u2 0 hoặc: ku f 89 24
  25. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) Do: uTU  vàfTF  nhưđã phân tích ở phầntrên phương trìnhku f có thể viếtlại thành: kTU TF Nếu nhân cả 2 vế củaphương trìnhkTU TF vớima trận chuyểntrícủama trận T là ma trận TT (và chú ý rằng: TT T = I là mộtma trận đơnvị) ta đượcphương trình mớinhư sau: TkTUTT TTF TkTU T F Hay: KU F trong đógKTkT T ọilàma trận độ cứng củaphầntử thanh dàn theo hệ tọa độ tổng thể. 90 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) – Ma trận độ cứng [K] theo tọa độ tổng thểđượctínhnhư sau: ii jj UUUUXY XY 22 i llmllm U X 22i EA lm m lm m UY KTkTT 22 j L llmllmU X 22U j lm m lm m Y trong đó, l và m là các cosin chỉ phương đượctínhnhư sau: i XXji U Y l cos Y Ui L X YY m sin ji X L O 91 25
  26. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) – Biếndạng trong phầntử thanh dàn đượctínhdựa trên chuyển vị nút trong hệ tọa độ địaphương như sau: o 1 uuji 1 ui  i j 11 1 j  11 f 1  j  fi A , E 1 ui uj LL u1 1 L 1 Có thể tính theo chuyểnvị nút uUii  lm 1 X trong hệ tọa độ tổng thể: ii  uU2 ml Y  uUjj  lm i 1 X  jj  U X uU ml 2 Y  1 lm00 U i  11  Y 00lm j L  U X j UY 92 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) => Biếndạng trong phầntử theo chuyểnvị nút trong hệ tọa độ tổng thể: i U X  i 1 UY  lmlm j  L U X j UY – Ứng suất trong thanh dàn đượctínhtheobiếndạng:  E i U X  i E UY  Elmlm j  L U X j UY 93 26
  27. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) 3 • Ví dụ 2.4. Cho hệ dàn phẳng như hình vẽ P2 2 – Thanh dàn 1 và 2 có cùng chiều P1 dài L, diệntíchtiếtdiệnA và mô Y 2 1 đun đàn hồicủavậtliệuE. – LựcP1 và P2 tác dụng tại nút số 2. X 1 Tìm chuyểnvị tại nút 2 và tìm ứng suấttrongmỗi thanh dàn nếu biết: E = 200000MPa P1 = 10000N A = 100mm2 P2 = 30000N L = 1000mm 94 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) 95 27
  28. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) 96 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) 97 28
  29. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) 98 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) 99 29
  30. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) 100 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) 101 30
  31. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn – truss (t.theo) • Bài tập2.1. Cho hệ dàn phẳng như hình vẽ P 2 – Thanh dàn 1 và 2 có cùng chiều 2 3 dài L, diệntíchtiếtdiệnA. L 1 – Thanh dàn 3 có chiềudàiL 2 3 và diệntíchtiếtdiệnlà A 2 1 – LựcP tác dụng tại nút số 2. X Yêu cầu: E = 200000MPa 1. Tìm các chuyểnvị nút và các phản A = 600mm2 lựctại nút. L = 1000mm 2. Tìm ứng suấttrongmỗi thanh dàn? P = 10000N 102 2.4. Phầntử thanh dàn không gian • Phầntử thanh dàn trong không gian 3 chiều(3‐D) – Xét một thanh dàn trong hệ tọa độ tổng thể OXYZ – Mỗi nút thuộcphầntử có 3 bậctự do là 3 chuyểnvị thành phầntheo3 phương X, Y và Z – Véc tơ chuyểnvị phầntử trong hệ tọa độ tổng thể: 1 {U} = {Ui , Ui , Ui , Uj , Uj , Uj ,}T X Y Z X Y Z j Y – Trong hệ tọa độ địaphương o123 (trục1 là trụcphầntử nốii và j), véc tơ O chuyểnvị: i X {u} = {ui , uj }T 1 1 Z 103 31
  32. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn không gian (t.theo) – Quan hệ giữa{u} và {U} thông qua ma trậnbiến đổi[T] {u} = [T] {U} lmn000 với T 000lmn trong đó: l, m và n là các cosin chỉ phương của đường nối nút i và j trong hệ tọa độ tổng thể OXYZ XX YY ZZ lmn ji;; ji ji L LL 22 2 LXXYYZZ ji ji ji 104 Phầntử thanh dàn không gian (t.theo) • Véc tơ chuyểnvị nút trong hệ tọa độ địaphương: i j T {u} = {u 1, u 1} • Véc tơ chuyểnvị nút trong hệ tọa độ tổng thể: i i i j j j T {U} = {U X, U Y, U Z, U X, U Y, U Z,} • Ma trậnbiến đổi[T] : lmn000 T 000lmn i U X  i UY Vậy: ii  uU1 lmn000 Z uTU    hay:   jj 000lmn  uU1 X U j Y j U Z 105 32
  33. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn không gian (t.theo) i – Tương tự, quan hệ giữa{f} và {F} như sau: FX  i FY ii  f1 lmn000FZ f  TF  hay:   jj 000lmn  f1 FX F j Y j FZ Trong đó: • Véc tơ lực nút trong hệ tọa độ địaphương: i j T {f} = {f 1, f 1} • Véc tơ lực nút trong hệ tọa độ tổng thể: i i i j j j T {F} = {F X, F Y, F Z, F X, F Y, F Z,} • Ma trậnbiến đổi[T] : lmn000 T 000lmn 106 Phầntử thanh dàn không gian (t.theo) – Tìm ma trận độ cứng phầntử trong hệ tọa độ tổng thể [K] • Xét phương trình cân bằng củaphầntử trong hệ tọa độ địaphương ku  f • Do uTU    và f  TF  • Vậynên: kTU    T F  TT TkTUTTF T             KTkT   T TkTUF       107 33
  34. 5/30/2015 Phầntử thanh dàn không gian (t.theo) Vậy: ma trận độ cứng phầntử trong hệ tọa độ tổng thể [K] đượctínhtừ ma trận độ cứng địaphương [k] [K] = [T]T [k] [T] llmlnl22 lmln 22 mmnlmm mn AE nlnnmn22 hay: K 2 L llmln mmn2 Đốixứng 2 n 108 34