›
›

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương III: Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén

pdf 44 trang hapham 1440
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương III: Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_phuong_phap_so_trong_tinh_toan_ket_cau_chuong_iii.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương III: Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén

  1. 5/30/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Bộ môn Cầu và Công trình ngầm Website: Website: PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: Link dự phòng: ‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 CHƯƠNG III Tính hệ thanh chịuuốnvàkéonén 109 1
  2. 5/30/2015 Nội dung chương 3 • 3.1. Các ký hiệu và quy ước • 3.2. Phầntử dầm(Beam) • 3.3. Phầntử khung phẳng (Frame‐2D) • 3.4. Phầntử khung không gian (Frame‐3D) 110 3.1. Các ký hiệu và quy ước • Các ký hiệu địaphương 2 – Hệ trụctọa độ địaphương: o123 3 – Biếnsố trong các trục1, 2, và 3 lầnlượtlàx, y, và z 1 – Các chuyểnvị thẳng tại“Núti" i i i theo hệ tọa độ địaphương u 1 , u 2 , và u 3 – Các chuyểnvị xoay tại“Núti" i i i theo hệ tọa độ địaphương u 11 , u 22 , và u 33 – Các lựctácdụng tại“Núti” củaphầntử theo phương củacác i i i trục1, 2, và 3 lầnlượtlà: f 1 , f 2 , và f 3 – Các lựclàmômen tác dụng tại“Núti” củaphầntử theo i i i phương củacáctrục1, 2, và 3 lầnlượtlà: f 11 , f 22 , và f 33 111 2
  3. 5/30/2015 Các ký hiệu và quy ước (t.theo) – Ma trận độ cứng củaphầntử theo hệ tọa độ địaphương: [k] – Véc tơ chuyểnvị nút tại“Nútj” củaphầntử: {uj} – Véc tơ lực nút tại“Nútj” củaphầntử: {fj} – Véc tơ chuyểnvị nút củaphầntử: {u} – Véc tơ lực nút củaphầntử: {f} • Các ký hiệutổng thể – Hệ trụctọa độ tổng thể: OXYZ – Các chuyểnvị thẳng tại“Nútn" theo hệ tọa độ tổng thể bao n n n gồm: U X , U Y , và U Z – Các chuyểnvị xoay tại“Nútn" theo hệ tọa độ tổng thể bao n n n gồm: U XX , U YY , và U ZZ 112 Các ký hiệu và quy ước (t.theo) n – Các lựctácdụng tại“Nútn” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: F X , n n F Y , và F Z – Các lựclàmômen tác dụng tại“Nútn” theo hệ tọa độ tổng n n n thể gồm: F XX , F YY ,vàF ZZ – Ma trận độ cứng củaphầntử theo hệ tọa độ tổng thể: [K] 1 j – Véc tơ chuyểnvị nút của“Nútn” : {Un} Y – Véc tơ lực nút của“Nútn” : {Fn} O – Véc tơ chuyểnvị nút củaphầntử: {U} i X – Véc tơ lực nút củaphầntử: {F} Z 113 3
  4. 5/30/2015 Các ký hiệu và quy ước (t.theo) – Ma trận độ cứng tổng thể củacả hệ kếtcấuchưakể tới điều kiệnbiên: [Ks] – Véc tơ chuyểnvị nút tổng thể củacả hệ kếtcấuchưakể tới điềukiệnbiên: {Us} – Véc tơ lực nút tổng thể củacả hệ kếtcấuchưakể tới điềukiện biên: {Fs} – Ma trận độ cứng tổng thể củacả hệ kếtcấu đãkể tới điềukiện biên: [Ko] – Véc tơ chuyểnvị nút tổng thể củacả hệ kếtcấu đãkể tới điều kiệnbiên: {Uo} – Véc tơ lực nút tổng thể củacả hệ kếtcấu đãkể tới điềukiện biên: {Fo} 114 3.2. Phầntử dầm • Chọn đathứcxấpxỉ và ma trậnhàmdạng j θj = u 33 2 – Khi bỏ qua biếndạng dọc j i vj = u 2 θi = u 33 trục, mọi điểmtrênphần i vi = u 2 J, E tử chỉ tồntại chuyểnvị i j 1 thẳng theo trục2 và L i chuyểnvị xoay quanh u 33 uj trụcsong song vớitrục3. 33 i j u 2 u 2 – Một điểmbấtkỳ có tọa độ x (0 ≤ x ≤ L) trên phầntử sẽ có chuyểnvị thẳng v(x) theo trục2 và chuyểnvị xoay tương ứng quanh trục3 là θ(x) = dv/dx 115 4
  5. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) – Số bậctự do củaphầntử j là 4, do đósố phầntử của θj = u 33 2 véc tơ tham số {a} cũng j i vj = u 2 là 4 và đathứcxấpxỉ là θi = u 33 v = ui bậc3. i 2 J, E i j 1 L i – Ta chọn đathứcxấpxỉ u 33 uj để biểudiễn hàm chuyển 33 i j vị trong phầntử như sau: u 2 u 2 2 3 v(x) = a1 + a2x + a3x + a4x Góc xoay củamặtcắtngangbấtkỳ chính là đạohàmcủav(x) 2 θ(x) = 0 + a2 + 2a3x + 3a4x 116 Phầntử dầm (t.theo) – Thựchiện đồng nhất hàm chuyểnvị tại các chuyểnvị nút: uvvi a ui uj Tại nút i: 21i x 0 33 33 i j dv i ui uj ua33 i 2 2 2 dx x 0 Tại nút j: uj v v a aL aL23 aL 21234j xL j dv 2 uaaLaL33  j 223 3 4 dx xL 117 5
  6. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) i θj = q4 Nếu đặt: qu12 y i qu233 vj = q3 θi = q2 j J, E qu32 vi = q1 j i j x qu433 L q2 q4 thì: qa11 q1 q3 qa22 23 q312 a aL aL 3 aL 4 2 qa42 23 aLaL 3 4 118 Phầntử dầm (t.theo) – Hoặcviếtdướidạng ma trận qa11 10 0 0  qa2201 0 0   hay: qAa    23 e qa331 LL L 2 qa44 012LL 3  Trong đó: 1000 10 0 0 0100 01 0 0 1 3231 A và A 23 22 1 LL L LLLL 2 012LL 3 21 21 LLLL3232 119 6
  7. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) qAa aAq 1 ee      – Hàm chuyểnvị v(x) củadầmcóthểđượcviếtlạinhư sau: vx Px a Px A 1 q Nx q    ee e  trong đó[N(x)]e là ma trậncáchàmdạng củaphầntử dầm: Nx Px A 1 e  1000 0100 23 323 1 Nx 1 x x x N1234 N N N e 22 LLLL 21 21 LLLL3232 120 Phầntử dầm (t.theo) – Như vậy, hàm chuyểnvị v(x) củaphầntử dầmchịuuốnlà: 4 vx  N q N x q e e  ii i 1 x23x trong đó: N 13 2 1 LL23 x23x Nx 2 2 LL2 xx23 N 32 3 LL23 xx23 N 4 LL2 121 7
  8. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) – Vớigiả thiếtmặtphẳng dầmvẫnphẳng và chỉ bị xoay đigócθ dv  dx do đó, chuyểnvị dọctrụclàu có dv dx quan hệ với độ võng v như sau: dv dv dx uy sin  y dx v y dv uy dx 122 Phầntử dầm (t.theo) – Biếndạng dọctrục du d2 v  y dx dx2 vx N q – Hàm chuyểnvị  e e , do đóbiếndạng có thể đượcviếtlạinhư sau: x23x 2 N 13 2 dN 1 LL23  yqBqe 2 ee  dx x23x Nx 2 2 LL2 trong đó: xx23 N 32 3 LL23 dN2 e By xx23  2 N dx 4 LL2 123 8
  9. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) khai triểnma trậntínhbiếndạng [B]: 612x 46xxx 612 26 By 23 2 23 2 L L LL L L LL – Ứng suấttạimọi điểmtrêndầmchịuuốn  EEBq  e – Ma trận độ cứng củaphầntử dầm đượcxácđịnh như sau: kBEBdVEBBdFdx  TT      VLFe 124 Phầntử dầm (t.theo) khai triểnma trận độ cứng phầntử [k] như sau: ii jj uu233233 uu i 12 6LL 12 6 u2 22i 462LLL u33 EI 33 k 3 j L 12 6L u2 Đốixứng 2 u j 4L 33 2 ui ui uj j 33 2 2 u 33 1 i j IydF 2 trong đó: 33 là mô men quántínhcủamặtcắtngang F lấy đốivớitrục3 (là trụcz vuông góc vớimặtphẳng chứadầm) 125 9
  10. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) – Do hệ tọa độ tổng thể trùng vớihệ tọa độ địaphương nên: ii jj UUYZZYZZ UU i 12 6LL 12 6 UY 22 EI 462LLL U i Kk 33 ZZ  3 j L 12 6L UY Đốixứng 2 j 4L U ZZ Y Ui Ui Uj j ZZ Y Y U ZZ X i j 126 Phầntử dầm (t.theo) • Ví dụ 3.1. Cho kếtcấudầm liên tụcnhư hình vẽ: P w Eo = 200000MPa 4 Io = 20000mm 1 2 E , 2I 3 1 Eo, Io 2 o o Lo = 4000mm P = 15000N Lo/2 Lo/2 L o w = 4N/mm – Tìm các chuyểnvị và góc xoay tạicácgối – Vẽ biểu đồ mô men uốntronghệ 127 10
  11. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) Hệ có 6 bậctự do: – Bốnbậctự do bằng 0 đãbiếtlà: θ1, v1, v2 và v3 – Hai bậctự do chưabiếtlà: θ2 và θ3 v1 = 0 v2 = 0v3 = 0 θ θ3 θ1 = 0 2 – Quy ướcdấu: 128 Phầntử dầm (t.theo) u ẫ m ử nt ầ ph ố ts ộ ng tra mômen cho m ả B 129 11
  12. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) Xác định lực nút phầntử dựatrênbảng tra nộilựcphầntử mẫu: – Phầntử 1 PL1 P M PL1 g PL 8 8 1 M M g g 8 2 PL M 1 1 P P 1 2 0.5 8 M 0.5 2 2 – Phầntử 2 2 2 w wL wL2 2 2 wL2 M g 12 12 12 3 M g M g 2 2 wL wL wL2 M 0.5 2 2 2 3 24 M 0.5 130 131 12
  13. 5/30/2015 132 133 13
  14. 5/30/2015 134 135 14
  15. 5/30/2015 136 137 15
  16. 5/30/2015 138 139 16
  17. 5/30/2015 140 141 17
  18. 5/30/2015 142 143 18
  19. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) 75N 200Nm 2367N m 1925N 1 2 2 3 100Nm 75N 1925N 5333Nm w P 7500N m 7500N m 5333Nm 5333Nm 1 2 2 3 M 0.5 M 0.5 7500N 7500N 8000N 8000N 144 Thuậttoánsử dụng ma trậnchỉ số [b] để thiếtlậpma trận độ cứng tổng thể [Ko] (1). Tạoma trậnchỉ số nút [b] (2). Xác định sốẩnsố Sas. Begin (3). Tạoma trậnsố không [k] có kích thước là [Sas*Sas] t := t + 1 i := 1 c t := j x := 1 [Ko] := [k] ‐ i <= Spt + t := 0 i := i + 1 x<= t ‐ Đưara[Ko] + {c} := [0,0,0,0] T [kk] := [K] kkkk: i bicc,,, bi bi cc bi c xt c End T xt xt {bi} := [b] (i) x< t ‐ j:= 1 + ‐ kkkkbi,,, bi: bi bi c c j <= 4 cctx cc tx tx + j:= j + 1 ‐ bi j = 0 x := x + 1 + 145 19
  20. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) • Bài tập3.1. Cho kếtcấudầm liên tụcnhư hình vẽ: P w Eo = 200000MPa 4 Io = 20000mm 1 2 E , 2I 3 1 Eo, Io 2 o o Lo = 4000mm P = 15000N Lo/2 Lo/2 L o w = 4N/mm – Tìm các chuyểnvị và góc xoay tạicácgối – Vẽ biểu đồ mô men uốntronghệ 146 Phầntử dầm (t.theo) • Bài tập3.2. Cho kếtcấudầm liên tụcnhư hình vẽ: P w Eo = 200000MPa 4 Io = 20000mm 1 2 E , 2I 3 k 1 Eo, Io 2 o o o Lo = 4000mm ko = 10kN/m Lo/2 Lo/2 L o P = 15000N w = 4N/mm – Tìm các chuyểnvị và góc xoay tạicácgối – Vẽ biểu đồ mô men uốntronghệ 147 20
  21. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) • Trường hợpphầntử Beam có xét đếnbiếndạng dọc: – Nếukểđếnbiếndạng dọctrục trong phầntử dầmthìmỗi nút thuộcphầntử có số bậctự do là 3 => số bậctự do củaphầntử là 6. – Ma trận độ cứng củaphầntử dầmcóxétbiếndạng dọc được kếthợpgiữama trận độ cứng củaphầntử thanh dàn (chỉ chịu nén) và ma trận độ cứng củaphầntử dầm(chỉ chịuuốn) KK truss K beam 148 Phầntử dầm (t.theo) Y Ui Ui Uj j ZZ Y Y U ZZ KK truss K beam   i U X Uj X i j X ij UUXX i trus s AE 11 U X K  U j L 11 X ii jj UUYZZYZZ UU i 12 6LL 12 6 UY 22 i beam EI 462LLL U K 33 ZZ  3 j L 12 6L UY Đốixứng 2 j 4L U ZZ 149 21
  22. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) Ma trận độ cứng củaphầntử dầm(tronghệ tọa độ địaphương, OXY ≡ o12) có xét đếnbiếndạng dọctrục: iii jj j UUUUUUX Y ZZ X Y ZZ EA EA 00 0 0 U i LL X 12EIEI 6 12 EIEI 6 0 U i L32LLL 32Y 462EIEIEI 0 U i LLL2 ZZ K EA j 00U X L 12EIEI 6 j 32UY LL 4EI Đốixứng U j L ZZ 150 3.3. Phầntử khung phẳng 2D‐Frame • Xét phầntử dầmchỉ chịuuốn trong hệ tọa độ phẳng – Trong hệ tọa độ địaphương o12, chuyểnvị v(x) củaphần tử dầmchịuuốn đượcbiểu diễn qua véc tơ chuyểnvị nút như sau: vx Nx q trong đó: T T qv ii v j j  qqqq1234 151 22
  23. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Trong hệ tọa độ tổng thể OXY j U Y = Q5 các chuyểnvị nút vi và vj có thểđược phân tích thành các thành phầntheo j U X = Q4 hai phương X và Y. i U Y = Q2 Khi đó, nếugọivéc α tơ chuyểnvị nút i X U X = Q1 phầntử trong hệ tọa độ OXY là {Q} thì: iii jjjT QUUUUUU XYZZXYZZ T Q QQQQQQ123456  152 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Quan hệ giữa{q} và {Q} như sau: qQQmQlQ11212 sin cos   qQ23 qQQmQlQ34545 sin cos   qQ46 j U Y = Q5 j U X = Q4 trong đó: i U Y = Q2 α là góc nghiêng giữa α i X trụcphầntử o1 với U X = Q1 trụcnằmngangOX. 153 23
  24. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Hoặcbiểudiễn quan hệ {q}e và {Q}e dướidạng ma trận: Q1 ml0000 Q 2 qTQ  001000 Q3     qTQ   000 ml 0 Q4 41 46 61 000001q '5  q '6 [T] đượcgọilàma trậnbiến đổitrụctọa độ, trong đó l và m là các cosin chỉ phương củatrụcphầntử o1 trong hệ tọa độ tổng thể. ml0000 sincos0 0 0 0 001000 0 0 1 0 0 0 T 000 ml 0 0 0 0 sincos0 000001 0 0 0 0 0 1 154 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Tương tự, quan hệ giữalực nút trong hệ tọa độ địaphương {f}e và lực nút trong hệ tọa độ tổng thể {F}e dướidạng ma trận: f  TF   41 46 61 – Xét phương trình cân bằng PT trong hệ tọa độ địaphương: kq  f kT  Q  T F TkTQTTFTT         T TkTQFT      KTkT      155 24
  25. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Ma trận độ cứng phầntử dầmtronghệ tọa độ tổng thể OXY là [K]beam đượcxácđịnh như sau: K beam TkT T   trong đó: [k] là ma trận độ cứng phầntử dầmtrongtọa độ o12 ii jj uu233233 uu i 2 12 6LL 12 6 u2 i j 22i u 2 u 2 j 462LLL u u 33 EI 33 33 k 3 j L 12 6L u2 i 1 u 33 i j Đốixứng 2 j 4L u33 156 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Thựchiện các phép nhân ma trận: K beam TkT T    Ta đượcma trận độ cứng củaphầntử dầmtronghệ tọa độ tổng thể OXY như sau: ii i j j j UUX YZZX U U U YZZ U 22i 12mlmLmmlmLm 12 6 12 12 6 U X 12lLllmlLl22 6 12 12 6 i UY 22i beam EI 46LLmLlL 6 2U ZZ K 3 2 j L 12mlmLm 12 6 U X 2 j 12lLl 6 UY Đốixứng 2 j 4L U ZZ 157 25
  26. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Nhớ lạima trận độ cứng tổng thể củaphầntử thanh dàn trong hệ tọa độ tổng thể OXY: ii jj UUUUX YXY 22i llmllm UX 22i truss EA lm m lm m U l cos K Y L llmllm22U j m sin X lm m22 lm m j UY 158 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) hoặcviếtlạidướidạng tổng quát như sau: iii j jj UUUX YZZX U UU YZZ 22 i llm00 l lm U X i 22U mlmm00 Y i truss EA 00 00U K ZZ  2 j L llm0 U X m 2 0 U j Y Đốixứng j 0 U ZZ j U Y j U X i l cos U Y m sin α X i U X 159 26
  27. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Phầntử khung phẳng (2D‐Frame) – Là phầntử chịu kéo (nén) và uốn đồng thời; • Mỗiphầntử khung phẳng có 2 nút; • Mỗi nút thuộcphầntử có 3 bậctự do j U Y Trong hệ tọa độ tổng thể OXY các chuyểnvị nút bao gồm: Uj i X + Chuyểnvị ngang U X i Ui + Chuyểnvịđứng U Y Y i + Chuyểnvị xoay U ZZ = θi Ui Trong hệ tọa độ địaphương o12 X các chuyểnvị nút bao gồm: i + Chuyểnvị dọctrục thanh: u 1 i + Chuyểnvị thẳng góc vớitrục thanh: u 2 i + Chuyểnvị xoay u 33 = θi 160 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Các chuyểnvị tại nút củaphầntử sẽ gây ra 2 nhóm biếndạng độclập trong phầntử, cụ thể như sau: j U Y • Phầntử bị biếndạng dọctrụcbởi các chuyểnvị dọctrục thanh: j U X i j T {u 1 , u 1} (truss) i U Y • Phầntử bị biếndạng uốnbởicác i chuyểnvị thẳng góc vớitrục thanh U X và các chuyểnvị xoay: i j T {u 2 , θi ,u2 , θj} (beam) – Do vậy, ma trận độ cứng phầntử khung phẳng (2D‐Frame) trong hệ tọa độ tổng thể OXY là [K] đượcxácđịnh như sau: KK  truss K beam 161 27
  28. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Ma trận độ cứng phầntử khung phẳng 2D‐Frame trong hệ tọa độ tổng thể OXY là : iiij jj UUUUUUX YZZX Y ZZ 12IIII 12 6 12 12 II 6 22 22 U i AlmAlmmAlm 22 2 Almm 2 X LLLL LL 2212II 6 12 I 22 12 II 6 U i Aml 222 l AlmAml l Y LL L LL 66II U i E 42Im lI ZZ K LL L j 2212I 12II 6 U X Al 2 m A 2 lm m L LL j 2212II 6 UY Aml 2 l Đốixứng LL U j 4I ZZ 162 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) 12I Hoặccóthể viếtgọnhơnbằng cách đặt B L2 iiij jj UUUUUUX YZZX Y ZZ 22 BL 22 BL i Al Bm A B lm m Al Bm A B lm m U X 22 22 BL 22 BL U i AmBl l ABlmAmBl l Y 22 BL BL U i E 42ImlI ZZ K 22 L j 22 BL U X AlBm ABlm m 2 j BL UY AmBl22 l 2 Đốixứng U j 4I ZZ 163 28
  29. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Trình tự giải bài toán khung phẳng – (B1). Tính các ma trận độ cứng phầntử (theo hệ tọa độ tổng thể) cho từng phầntử [K]e – (B2). Xây dựng ma trậnchỉ số nút [b] – (B3). Sử dụng ma trậnchỉ số nút [b] để thiếtlậpma trận độ cứng tổng thể củahệđãkể tới điềukiệnbiên[Ko] – (B4). Tính các véc tơ lực nút {F}e cho từng phầntử theo hệ tọa độ tổng thể – (B5). Sử dụng ma trậnchỉ số nút [b] để thiếtlậpvéctơ lực nút tổng thể {Fo} đãkể tới điềukiệnbiên 164 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B6). Giảihệ phương trình: [Ko] {Uo} = {Fo} để tìm các chuyểnvị nút chưabiết{Uo} theo hệ tọa độ tổng thể – (B7). Từ các chuyểnvị nút {Uo} và các chuyểnvị nút bằng 0 đã biết(theođiềukiệnbiêncủa bài toán), thiếtlậpvéctơ chuyển vị nút củatừng phầntử theo hệ tọa độ tổng thể {Q}e – (B8). Tính các giá trị nộilựctại nút củaphầntử (do riêng các chuyểnvị nút gây ra) theo công thứcsau: {Fu}e = [K]e{Q}e – (B9). Tính các giá trị nộilựctại nút củaphầntử do riêng tải trọng cụcbộ tác dụng lên các phầntử củahệ cơ bảngâyra: {Fp}e = ‐ {F}e 165 29
  30. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B10). Các giá trị nộilựccuối cùng tại nút củaphầntử (theo hệ tọa đôtổng thể) là tổng của2 nguyên nhân trên và bằng: {MV}e = {Fu}e + {Fp}e Các giá trị củavéctơ {MV}e thựcchấtchỉ là các lựcngang, lực đứng và mô men tại2 nút củaphầntử theo hệ tọa độ tổng thể i FX  i FY i FZZ MV e j  FX F j Y j FZZ 166 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B11). Vẽ biểu đồ mô men và lựccắttrongcácphầntử Do các giá trị củavéctơ {MV}e là các nộilựctại các nút của phầntử trong hệ tọa độ tổng thể => Để vẽđượccácbiểu đồ nộilựccần quy đổicácgiátrị nộilựctrênvề hệ tọa độ địa phương củaphầntử. Tiến hành làm như sau: ii N lF XY mF  i V ii i mFXY  lF M i i FZZ mv e  jj  N j lF XY mF j j V j mF  lF XY M j j FZZ 167 30
  31. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Hoặccóthể biểudiễndướidạng véc tơ như sau: mv T MV ee  trong đó, [T] là ma trận chuyểntừ hệ tọa độ tổng thể sang hệ tọa độ địaphương: lm00 00 ml00 00 X XYY 001000 lm j iji; T LL 000lm 0 22 L XXji YY ji 000 ml 0 000001 168 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) w “Nộilực trong khung” bằng “Nộilựcdo tảitrọng cụcbộ tác dụng lên khung bị chốttại nút” cộng với“Nộilực trong khung do các chuyểnvị nút gây ra” 169 31
  32. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Ví dụ 3.2. w P Cho hệ khung phẳng như hình vẽ 2 2 E 3 2Io – Phầntử 1 và 2 có cùng chiều Lo 1 E dài Lo và mô đun đàn hồiEo Io – Mô men quántínhcủaphần 1 tử 1 là Io, củaphầntử 2 là 2Io Lo Yêu cầu: Eo = 200000MPa 2 1. Tìm các chuyểnvị nút và các phản Ao = 6000mm I = 500000mm4 lựctại nút. o Lo = 4000mm 2. Vẽ biểu đồ mô men uốn. P = 15000N w = 3N/mm 170 171 32
  33. 5/30/2015 172 173 33
  34. 5/30/2015 174 175 34
  35. 5/30/2015 Xem giải thích ở cuốivídụ ! 176 177 35
  36. 5/30/2015 178 179 36
  37. 5/30/2015 180 181 37
  38. 5/30/2015 182 183 38
  39. 5/30/2015 184 Giảithíchcáchtạoma trậnKof iiij jj UUUUUUX YZZX Y ZZ 12IIII 12 6 12 12 II 6 22 22 U i AlmAlmmAlm 22 2 Almm 2 X LLLL LL 2212II 6 12 I 22 12 II 6 U i Aml 222 l AlmAml l Y LL L LL 66II U i E 42Im lI ZZ K LL L j 2212I 12II 6 U X Al 2 m A 2 lm m L LL j 2212II 6 UY Aml 2 l Đốixứng LL U j 4I ZZ 185 39
  40. 5/30/2015 Giảithíchcáchtạoma trậnKof Nmm/ 2 N dd 11 1 mm2 ij mm mm Nmm/ 2 N dd 12 2 mm2 ij mm mm Nmmmm/ 24 dd 13333 N ij mm mm Nmm/ 2 N dd 22 4 mm2 ij mm mm Nmmmm/ 24 dd 23366 N ij mm mm Nmm/ 2 dd 33 33 1089 mmNmm4  ij mm 186 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Bài tập3.3. Cho hệ khung phẳng như hình vẽ 4 Yêu cầu: Eo o 1. Tìm các chuyểnvị nút và các phản Io 60 lựctại nút. P 2. Vẽ biểu đồ mô men uốn. w 2 Eo 3 2Io Eo = 200000MPa L A = 6000mm2 o Eo o I 4 o Io = 500000mm 1 Lo = 4000mm P = 15000N w = 3N/mm Lo 187 40
  41. 5/30/2015 3.4. Phầntử khung không gian 3D‐Frame • Định nghĩaphầntử khung không gian 3D‐Frame – Là phầntử dầmthẳng có tiếtdiện không đổimàtrênmặtcắt ngang củanócóthể tồntại các thành phầnnộilựcsau: • LựcdọcN1 • Mô men uốntrong2 mặtphẳng quán tính chính là M22 và M33 • Mô men xoắntheotrụccủadầmM11 • Lựccắttheo2 trục chính củamặtcắtnganglàV22 và V33. • Chú ý: Do ảnh hưởng củabiếndạng cắtlàtương đốinhỏ nên thường đượcbỏ qua => khi đó, trong ma trận độ cứng củaphầntử sẽ không có thành phần liên quan đếnbiến dạng cắt. 188 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) – Các thành phầnnộilực trong phầntử khung không gian theo hệ tọa độ địaphương 2 1 V22 2 M11 3 M33 1 M22 N11 V33 M33 3 V22 i j f111 N f111 N i j N11 fV222 f222 V i j fV333 f333 V M11 i j f11 M 11 f11 M 11 V33 f i M f j M M22 22 22 22 22 i j f33 M 33 f33 M 33 189 41
  42. 5/30/2015 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) – Các chuyểnvị nút củaphầntử theo hệ tọa độ địaphương j 2 u 2 j u 11 1 j u 33 3 j j u j u 3 1 u 22 i u 2 i j i uq11 uq17 u 1 i j uq22 uq28 i i u 11 u 33 i j uq33 uq39 ui 3 i j i uq uq u 22 11 4 11 10 uqi uqj 22 5 22 11 i j uq33 6 uq33 12 190 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Véc tơ chuyểnvị nút củaphầntử 3D‐Frame – Mỗi nút thuộcphầntử có 6 bậctự do => phầntử 3D‐Frame có 12 bậctự do. – Véc tơ chuyểnvị nút phầntử theo hệ tọa độ địaphương {q}e q qqqqqqqqqq q q T e 123456789101112  trong đó: • q1 và q7: là các chuyểnvị dọctrụcphầntử (trục1) và chỉ gây biếndạng dọctrục thanh • q4 và q10: là các góc xoắn quanh trụccủaphầntử (trục 11) và chỉ gây biếndạng xoắn trong thanh • q2 và q8: là các chuyểnvị thẳng theo phương trục2 => gây uốntrongmặtphẳng o12 191 42
  43. 5/30/2015 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • q6 và q12: là các góc xoay quanh trục33 => gây uốntrong mặtphẳng o12 • q3 và q9: là các chuyểnvị thẳng theo phương trục3=> gây uốntrongmặtphẳng o13 • q5 và q11: là các góc xoay quanh trục 22=> gây uốntrong mặtphẳng o13 – Như vậy, 12 chuyểnvị nút này gây ra 4 nhóm biếndạng độc lập nhau • Có thể xét riêng rẽ các nhóm biếndạng • Ma trận độ cứng [k]e củaphầntử 3D‐Frame có kích thước (12x12) sẽđượcthiếtlậptừ 4 ma trậncon tương ứng với4 nhóm biếndạng kể trên. 192 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Xây dựng ma trận độ cứng phầntử khung không gian [k]e theo hệ tọa độ địaphương  Ma trận độ cứng của bài toán biếndạng dọctrục: Là ma trận độ cứng củaphầntử dàn (Truss) trong tọa độ trục: qq17 AE 11 K e L 11  Ma trận độ cứng của bài toán biếndạng xoắn: Tương tự nhưđốivới bài toán biếndạng dọctrụcta có • Phầntử chịuxoắncũng chỉ có 2 bậctự do => có thể giả thiếthàmgócxoắnlàđathứcbậcnhất θx(x) = a1 + a2x 193 43
  44. 5/30/2015 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Hàm góc xoắn đượcnộisuytheocácbậctự do q4 và q10 q  x NNq4 x    x q10 trong đó: [N] = ma trậncáchàmdạng x x N 1 L L • Trên mặtcắtngangcủaphầntử chỉ tồntạibiếndạng góc γyz và ứng suấttiếp τyz d  r x (r = khoảng cách từ tâm yz dx đến điểmkhảosát)  yz G  yz 194 44