Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương V: Phần tử hai chiều chịu uốn ngoài mặt phẳng phần tử (tấm chịu uốn)

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương V: Phần tử hai chiều chịu uốn ngoài mặt phẳng phần tử (tấm chịu uốn)

1. 5/30/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Bộ môn Cầu và Công trình ngầm Website: Website: PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: Link dự phòng: ‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 CHƯƠNG V Phầntử hai chiềuchịuuốnngoàimặt phẳng phầntử (tấmchịuuốn) 275 1
2. 5/30/2015 5.1. Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn • Định nghĩa và phân loạitấmchịuuốn – Phầntử tấmchịuuốn đượcgiớihạnbởi2 mặtphẳng song song và cách nhau mộtkhoảng là t (gọilàchiềudàytấm). Tùy theo tỷ số giữabề dày tấm(t) và kích thướcnhỏ nhấtcủamặt phẳng tấm(b) mà ngườita có thể chia tấmchịuuốnlàm2 loại sau: t 1 • Tấmdày: b 5 11t t • Tấmmỏng: và độ võng lớnnhất z 20b 5 max 4 Chú ý: Trường hợpvớitấmmỏng có độ võng z > zmax thì dưới tác dụng củatảitrọng vuông góc vớitấm, các ứng suấttrongtấm bao gồmcảứng suất màng và ứng suấtdo tấmbị uốn=> khi đóphảitínhtoántấmsử dụng lý thuyếttấmcóbiếndạng lớn. 276 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) • Lý thuyếtcổđiểncủa Kirchhoff – Các giả thiết • (1) Các đoạnthẳng vuông góc vớimặt trung bình củatấmvẫncòn thẳng và vuông góc vớimặt trung bình khi chịuuốnvàđộ dài của chúng là không đổi • (2) Khi tấmbị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt • (3) Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc vớimặtphẳng tấm z – Xét tấmchịuuốnbởicác y lực vuông góc vớimặt a phẳng tấmnhư hình vẽ. t Mặtphẳng xy củahệ tọa Mặt trung bình độ trùng vớimặt trung bình x b 277 2
3. 5/30/2015 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Áp dụng các giả thiết, các thành phần chuyểnvị u và v củatấm đượcbiểudiễntheođộ võng q và góc xoay θx , θy củamặt phẳng trung bình như sau: q q  y vz  z x x y q q x uz  z y x q  trong đó: q = q(x,y) là hàm x y q độ võng, tức chuyểnvị theo y phương z củamặtphẳng trung bình. 278 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Khi đó, các thành phầnbiếndạng củamột điểmbấtkỳ thuộc tấm đượctínhnhư sau: 2 uq z y  zzk x x xx 2 x vq z 2  x zzk yyyy  y2 22 2 uv z y  z  q  q  q  x zz 2 zzk  xy y x  y  x  yx xy  xy xy trong đó: kx, ky và kxy lầnlượtlàđộ cong theo phương x, y và hai lần độ xoắn. – Các biếndạng góc εzx = εyz = 0 theo giả thiếtsố (1) – Ứng suấttheophương z là σz = 0 theo giả thiếtsố (3) 279 3
4. 5/30/2015 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Áp dụng định luật Hooke để tìm các thành phần ứng suấtkhác trong phầntử như sau:    xxx 10 10k EzE yyy 22 10   10 k 11   11  k xyxyxy 00  00  22 2q 2q kx 2 2 x   x xx 10 ' 2q zE 2 q 10  'z Với: ky 2 yy  22 y 1  y  1  ' 2 xy 00 2q xy   q 2 kxy 2 2 x y  xy 280 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Nộilựctrongtấm chính là hợplựccủa các thành phần ứng suấttương ứng, do đó: t/2 t/2 t/2 M  zdz M  zdz M  zdz xx yy xy xy t/2 t/2 t /2 – Hoặcviếtlạidướidạng véc tơ như sau: tt/2 /2 t /2    3 22 t xxxzdz'' z dz z dz  'x  tt/2 /2 t /2 12  M x  'x tt/2 /2 t /2 tt33 M  zdz'' z22 dz z dz ''  yy  y  y  yy   tt/2 /2 t /2 12 12 M 3  ' xy tt/2 /2 t /2 t xy 22 zdz'' z dz z dz  'xy xy xy xy 12   tt/2 /2  t /2 281 4
5. 5/30/2015 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Như vậycácgiátrị nộilựckể trên sẽđượcbiểudiễntheohàm độ võng q(x,y) củaphầntử như sau: 22qq  22   xx M xx ' 10 10 ttE33  2 q  2 q MDyy '1010 22   2  12 12 1  yy  M  ' 11  xy  xy 00 22qq 00 22 22  xyxy  Et3 trong đó: D đượcgọilàđộ cứng trụ củatấmchịuuốn D 12 1  2 10 – DD  10 Nếu đặt:t với[D]t là ma trậncáchệ số 1  00 đàn hồicủatấm 2 chịuuốn 282 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Ta có: 2q 2  x M x 2q M DDk y tt 2   y M xy 2q 2  xy trong đó: {k} đượcgọivéctơđộcong củatấmchịuuốn 22 2T T qq  q kkkk xyxy 222  x yxy  283 5
6. 5/30/2015 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) • Lý thuyếttấmcókể tớibiếndạng trượtcủa Mindlin – Các giả thiết • (1) Các đoạnthẳng vuông góc vớimặt trung bình củatấmtrướcbiến dạng vẫnlàthẳng nhưng không nhấtthiết là vuông góc vớimặtphẳng trung hòa khi biếndạng • (2) Độ võng củatấmlànhỏ, mặt trung bình không bị kéo nén và là mặt trung hòa củatấm khi biếndạng • (3) Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc vớimặtphẳng tấm z y – Xét tấmchịuuốnbởicác lực vuông góc vớimặt t a phẳng tấmnhư hình vẽ. Mặtphẳng xy củahệ tọa Mặt trung bình b độ trùng vớimặt trung bình x 284 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Nếugọi γx là biếndạng trượt trung bình đốivớimặtcắtx = const nào đóthìgócxoayθy tính như sau: q  yx  q x x – Tương tự góc xoay θx bằng: q q   x x y y q trong đó: q = q(x,y) là hàm y độ võng, tức chuyểnvị theo phương z củamặtphẳng trung bình. 285 6
7. 5/30/2015 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Do vậy, các biếndạng trượt trung bình tính như sau: q  xyx q  yxy – Như vậy, so với lý thuyết Kirchhoff, sự khác biệtchỉở giả thiết thứ nhấttứclàbiếndạng trượtkhác0. Nếubỏ qua biếndạng trượtthìta sẽ trở lạingaycáckếtquả của lý thuyết Kirchhoff tứclà: q q  và khi   0 x y y x xy 286 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Các biếndạng trượt x ,  y trong công thứccủa Mindlin có quan hệ với ứng suấttiếptheo xzyz,  định luật Hooke. – Đốivớivậtliệu đẳng hướng thì quan hệ giữabiếndạng  x ,  y với ứng suấtnh xzyz,  ư sau:  xzx  E 10      yz 21  01  y – Các biếndạng trượt đượcgiả thiết là không đổitrênsuốtbề dày tấmnênhợplựccủacácứng suấttiếp này trên 1 đơnvị dài mặtcắt được tính theo các biếndạng trượtnhư sau Qx   xzEt 10  x   t   Qyyzy  21  01   287 7
8. 5/30/2015 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo)  QxxEt 10     QDc  Qyy21  01   Trong đó: • α = 5/6 = hệ số hiệuchỉnh kểđếnsự phân bố bậc2 theo bề dày của biếndạng trượt • t = bề dày tấm E • G mô đun đàn hồitrượt 21  – Như vậy, lựccắt{Q} trong tấm đượcbiểudiễntheobiếndạng trượt. – Mô men {M} trong tấm đượcbiểudiễntheođộ cong {k} giống nhưđã phân tích ở bài toán theo lý thuyếtcủa Kirchhoff. 288 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Vớitấmcóvậtliệu đẳng hướng, mô men {M} và lựccắt{Q} trong tấm đượctínhnhư sau: M x kx 10 00 3 M y Et ky  10 00 2 M xy 12 1  kxy 001  /2 00   00 0Et 10 Q  x x 00 021  01  Qy   y – Hoặcviết ở dạng gọnhơnnhư sau:  M Du 0 kx    T Q  y  0 Dc   289 8
9. 5/30/2015 Khái niệmcơ bảnvề tấmchịuuốn (t.theo) – Các thành phầnnộilựctrongtấmchịuuốn 290 5.2. Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác • Phầntử tấmdạng tam giác theo lý thuyếtKirchoff – Xét mộtphầntử tấmmỏng dạng tam giác chịuuốntronghệ tọa độ địaphương xyz như hình vẽ sau: y y q q9 0,b x k qq7 k k z q q b k 8 y k i j qq4 j x qq1 i q q5 a,0 y 0,0 i j j a q x q 2 q q y q3 i q6 x i x j • Mỗi nút thuộcphầntử có 3 bậctự do => phầntử có 9 bậctự do. T qq  q  q  qqqqqqqqqT e i xi yi j xj yj k xk yk  123456789 291 9
10. 5/30/2015 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) – Do phầntử tam giác có 9 bậctự do nên hàm độ võng q(x,y) đượcxấpxỉ hóa bằng 1 đathứcchứa9 tham số. a aaaaaaaaaT e 123456789  – Ngoài ra, để đảmbảotínhđẳng hướng hình học, hàm đathức xấpxỉ của độ võng có dạng như sau: 223223 q xy, a12 ax ay 3 ax 4 axy 5 ay 6 ax 7 a 8 xy xy ay 9 – Nhậnxét:đây là loạiphầntử không tương thích • Giả sử có 2 phầntử liềnkề có chung biên là ij thì độ dốctại các nút i và j là như nhau đốivớicả 2 phầntử nhưng có thểđộdốc là khác nhau tại các điểmkhácdọctheocạnh biên chung ij (sẽ chứng minh tính không tương thích củaphầntử tấmtam giác chịuuốn ở phầnsau). • Mặcdùphầntử tam giác là phầntử không tương thích nhưng vẫncho ra kếtquả tốtvàđượcsử dụng rộng rãi trong thựctế. 292 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) – Hàm xấpxỉđộvõng có thể biểudiễndướidạng ma trận quen thuộcnhư sau: qxy ,, Pxy a Trong đó: [P(x,y)] = ma trậncácđơnthức: 223223 P xy,1 x yx xyy x xy xy y và {a} là véc tơ tham số: a aaaaaaaaaT e 123456789  – Chuyểnvị tại các nút đượcbiểudiễndướidạng véc tơ {q}e T  qq  q  q  q  q qq ij q q k e yx  y  x  y  x  ijk ijk 293 10
11. 5/30/2015 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) – Thựchiện đồng nhất chuyểnvị nút vớigiátrị của hàm chuyển vị tại các nút.  qi q y i 10 000000 0 q1 a1 q q 01000000 0 a 2 2 x i q 00100000 0 a 3 3 q j 100000aa23 a q4 a4 q qq 0102aa 0032 0 0 aHxya , e  5  5  y q j 2 a 6 00 10aa 00 0 6 q q 23 a 7 10bbb 0 0 00 7 x j q 2 a 8 010 0bb 00 0 8 q q k 2 a 9 00 100 2003bb 9 q y k q  x k 294 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) – Nghịch đảocủama trận[H] là ma trận[H]‐1 This image cannot currently be displayed. y 0,b k b i j x 0,0 a,0 a trong đó: c = b ‐ a 295 11
12. 5/30/2015 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) – Như vậysaukhithựchiện đồng nhấtcácbậctự do củaphần tử vớigiátrị hàm chuyểnvị tại nút ta có thể tìm đượcvéctơ tham số {a} như sau: qHxya , aHq 1 ee      – Thay {a} vào công thứchàmđộ võng ta có: qxy,, Pxy a Pxy , H 1 q N xy , q    ee  trong đó[N] là ma trậncáchàmdạng 1 N PxyH ,    NNNNNNNNN123456789 1 Sau khi thựchiện phép nhân ma trậnta P xy,  H được các hàm dạng Ni như sau: 296 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) 3322 Nxyxy 1 2233 1 abab22 33 2111a Nx x2322 xyx xyxy 2 a bc a2 bc bc b 21 1 1 N y xy y232 y x y xy 2 3 ac b b2 ac ac 32 32 Nxx 23 Nyy 23 4 aa23 7 bb23 11 a 11 Nxx 23 N xyxyxy 22 5 aa2 8 bc bc bc b 11 11 Nxyxyxy 22 Ny 23 y 6 ac ac ac 9 bb2 297 12
13. 5/30/2015 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) – Các biếndạng trong tấmbaogồm3 thành phần: 2q  2   x  xxk 2q  zk z e yy  2  y  k xy  xy 2q 2 xy – Do: qxy,, Pxy a Pxy , H 1 q N xy , q    ee  nên biếndạng có thểđượcbiểudiễntheovéctơ chuyểnvị nút {q}e như sau: 298 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo)  2 Pxy, H 1 q  e 2 2q  Pxy , 2 2 x 2 x x 2 1 2  Pxy, H q 2  q  e  Pxy , 1  zz z Hq e  22  2  e yy  y 2 2 1 2  q  Pxy , H  q  Pxy , 2  e 2 xy 2  xy xy  – Hoặccóthể viếtgọnlạinhư sau:  Bq ee   trong đó[B] đượcgọilàma trậntínhbiếndạng BzLH    1 299 13
14. 5/30/2015 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) 2  Pxy , 2 x 2 0002006xy 2 0  Pxy , L 000002 0 2xy 6  2 y 000020 04xy 4 0  2 Pxy , 2  xy 300 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng – Ma trận độ cứng củaphầntử tấmuốndạng tam giác xác định như sau: T K BDBdV  e  V – ThayBzLH    1 vào phươngtrìnhtrênta có: T K zL A 11 D zL A dV  e    V t/2 T K zdz2 H 11 LT D L H dA e   tA/2 301 14
15. 5/30/2015 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) – Do [H]‐1 chỉ chưacáchằng số => có thểđưa[H]‐1 ra ngoài dấu tích phân như sau: t/2 T K zdz2 H 11 LT D L H dA e   tA/2 3 t 11T T KHLDLdAH e     12 A vớiA là diệntíchphầntử. – Ta có thể viết[K]e ở dạng gọnhơnnhư sau: 11T K HIHvới ILDLdA T e        t   A 302 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) ILDLdA  T     – Ma trận[D]t trong công thức t đượcgọi A là ma trậncáchệ sốđàn hồicủatấmchịuuốn: 10 DD  10 t 1  00 2 tE3 vớilàD độ cứng trụ củatấm 12 1  2 303 15
16. 5/30/2015 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) – Khi tính tích phânILDLdA T cầnlưuý:      t   A y 0,b ab k dA A Là diệntíchtam giác phầntử b i j A 2 x 0,0 a,0 a ab2 xdA S Là mô men tĩnh củatam giác phầntử vớitrụcy y A 6 ab3 xdA2 J Là mô men quántínhcủatam giác phầntử vớitrụcy y A 12 ab22 xydA J Là mô men quántínhlytâmcủatam giác phầntử xy A 8 đốivớihệ trụcxy 304 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) T – Thựchiệntínhtíchphân ILDLdA được:      t   A 0 00 Đốixứng 000 00012ab D Iab 000 0 61  6 00012 ab 0 12 ab 00012ab223 0 1218 ab ab 000 II II I 84 85 86 87 88 22223223 00012ab 0 1227 ab a b 6 a b 3 a b 18 ab trong đó: 22 22 22 I84 4 ab a b I85 41  ab ab I84 4  ab a b 22 3 Iababab 2322 33 22 I87 96ab ab 88 305 16
17. 5/30/2015 Phầntử tấmchịuuốndạng tam giác (t.theo) – Sau khi tính đượcma trận[I]sẽ xác định đượcma trận độ cứng củaphầntử tam giác chịuuốntronghệ tọa độ địa phương như sau: T kHIH 11 e    – Để xác định ma trận độ cứng [K]e củaphầntử trong hệ tọa độ tổng thể (OXYZ) cầnsử dụng ma trận chuyểnhệ trụctọa độ [T]e như sau: K TkTT eeee     306 17