›
›

Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 6: Thanh chịu uốn phẳng - Trần Minh Tú

pdf 68 trang hapham 1310
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 6: Thanh chịu uốn phẳng - Trần Minh Tú", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_suc_ben_vat_lieu_1_chuong_6_thanh_chiu_uon_phang_t.pdf

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Chương 6: Thanh chịu uốn phẳng - Trần Minh Tú

  1. SỨC BỀN VẬT LIỆU Trần Minh Tú Đại học Xây dựng National University of Civil Engineering – Ha noi January 2012
  2. Chương 6 THANH CHỊU UỐN PHẲNG
  3. NỘI DUNG Chương 2; SB1 – nghiên cứu ứng suất, biến dạng, chuyển vị trong thanh dưới tác dụng của Kéo (nén) các trường hợp chịu lực cơ bản đúng tâm Chương 5: UỐN Xoắn 6.1. Khái niệm chung 6.2. Uốn thuần túy thanh thẳng 6.3. Uốn ngang phẳng thanh thẳng 3(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
  4. 6.1. Khái niệm chung (1)  Thanh chịu uốn: khi có tác dụng của ngoại lực trục thanh thay đổi độ cong  Dầm: thanh chịu uốn 4(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  5. 6.1. Khái niệm chung (2)  Giới hạn nghiên cứu: Dầm với mặt cắt ngang có ít nhất 1 trục đối xứng (chữ I, T, chữ nhật, tròn, ); mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng của dầm => Uốn phẳng  Mặt phẳng tải trọng: mặt phẳng chứa tải trọng và trục thanh  Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: mặt phẳng chứa trục thanh và 1 trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. 5(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  6. 6.1. Khái niệm chung (3)  Phân loại uốn phẳng F F . Uốn thuần túy phẳng A B C D z . Uốn ngang phẳng a b a V V = F  Ví dụ: thanh chịu uốn A = F D phẳng F Q y . Trên đoạn BC: Mx≠0, Qy=0 F => Uốn thuần túy phẳng M x . Trên đoạn AB,CD: M ≠0, x Fa Fa Qy≠0 => Uốn ngang phẳng 6(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  7. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (1) Uốn thuần túy phẳng 7(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  8. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (2) 1. Định nghĩa: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu trên các mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành phần ứng lực là mômen uốn Mx (hoặc My) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Tải trọng gây uốn: nằm trong mặt phẳng đi qua trục thanh và vuông góc với trục thanh 2. Các giả thiết về biến dạng của thanh a. Thí nghiệm 8(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  9. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (3) mặt cắt ngang thớ dọc Vạch trên bề mặt ngoài của thanh • Hệ những đường thẳng // trục thanh => thớ dọc • Hệ những đường thẳng vuông góc với trục thanh => mặt cắt ngang M M Cho thanh chịu uốn thuần túy phẳng QUAN SÁT • Các đường thẳng // trục thanh => đường cong // trục, khoảng cách giữa các đường cong kề nhau không đổi • Các đường thẳng vuông góc với trục thanh => vẫn thẳng và vuông góc với trục thanh • Các thớ phía trên bị co (chịu nén), các thớ dưới bị dãn (chịu kéo) 9(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  10. Biến dạng của thanh chịu uốn 10(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  11. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (4) GIẢ THIẾT M a. Giả thiết mặt cắt ngang phẳng: M mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng và vuông góc với trục thanh thì sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục Đường Lớp trung hoà b. Giả thiết về các thớ dọc: trong trung hoà quá trình biến dạng các lớp vật liệu dọc trục không có tác dụng tương hỗ với nhau Vật liệu làm việc trong miền đàn hồi Đường Tồn tại lớp trung hoà: gồm các trung hoà thớ dọc không bị dãn cũng không bị co. Đường trung hòa: Giao tuyến của lớp trung hoà với mặt cắt ngang 11(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  12. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (5) 3.Ứng suất trên mặt cắt ngang 1 2 a. Biến dạng dài của thớ dọc a b có khoảng cách y đến thớ c d y dz trung hoà 1 2 Xét vi phân chiều dài của thớ d thớ trung hoà dọc dz = cd. Sau biến dạng 1 2 cd có độ dài là c’d’. a b y c d Biến dạng dài tỉ đối: dz c'' d cd y d d y 1 2  z dz cd d bán kính cong của thớ trung hoà y  z 12(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  13. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (6) b. Quan hệ ứng suất - biến dạng Xét mặt cắt ngang bất kỳ, phân x tố diện tích dA chứa điểm K. x K z Tách phân tố lập phương chứa y dA s điểm K. z y Từ gt 1: góc vuông không thay đổi => t=0 s z K sz Từ gt 2: sx=sy=0 => Trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại duy nhất ứng suất pháp sz Theo định luật Hooke y 1 s E s z E ???? zz 13(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  14. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (7) c. Công thức tính ứng suất pháp x Tải trọng gây uốn nằm trong mặt M x phẳng yOz và vuông góc với x K z trục thanh nên: Nz=My=0 và y dA s Mx≠0. Ta có: z E N s dA ydA 0 y zz AA Đường trung hoà đi qua trọng tâm ydA S 0 x của mặt cắt ngang A E M xs dA xydA 0 yz AA Hệ trục Oxy là hệ trục xydA I 0 xy quán tính chính trung tâm A 14(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  15. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (8) EE M ys dA y2 dA I x z x AA x M x 1 M x x EI x K z y – bán kính cong của thớ trung hoà dA sz y Mx – mô men uốn nội lực EIx – độ cứng của dầm chịu uốn Thay biểu thức của bán kính cong y M x vào biểu thức xác định ứng suất pháp s z E s z y y – tung độ điểm cần tính ứng suất I x Mx>0: căng thớ dưới Mx Để thuận tiện ta thường dùng s z y công thức tính toán thuộc vùng nén I x 15(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  16. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (9) d. Biểu đồ ứng suất pháp . Các điểm càng xa ĐTH thì trị tuyệt đối ứng suất pháp càng lớn . Các điểm nằm trên ĐTH thì có sz=0 . Các điểm nằm trên đường thẳng // ĐTH thì có sz=const => Biểu diễn sự biến thiên của ứng suất pháp theo chiều cao mặt cắt ngang . Biểu đồ ứng suất pháp là đường thẳng đi qua gốc toạ độ => để vẽ được biểu đồ chỉ cần tính ứng suất pháp tại điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang . Đánh dấu (+) để biểu diễn phần ứng suất kéo và dấu (-) biểu diễn phần ứng suất nén 16(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  17. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (10) 17(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  18. 66.2. Uốn thuần túy phẳng (11)  Mặt cắt ngang có hai trục đối xứng smin MMh s xx h/2 max M IWxx2 x MMh x s xx min IW2 h/2 xx z ss smax max min y I W x - mô men chống uốn của mặt cắt ngang x h /2 bh2 3 Ix D 3 Hình chữ nhật: Wx Hình tròn: WD  0,1 6 x D / 2 32 3 Ix D 4 3 4 d Hình vành khăn: WDx 1   0,1 1 với  D / 2 32 D 18(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  19. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (12)  Mặt cắt ngang có 1 trục b s đối xứng min t M n MMxxk x y max s max y max k IWxx x h MM yk xxn z max s min y max n IWxx I I smax W k x W n x y x k x n ymax ymax k y max - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu kéo n y max - khoảng cách xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu nén 19(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  20. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (13) 4. Điều kiện bền Dầm làm bằng vật liệu dẻo max smax , s min   s  s s ; s s Dầm bằng vật liệu giòn max kn min   Ba bài toán cơ bản . Kiểm tra điều kiện bền: M x ssmax   Wx . Xác định kích thước của mặt cắt ngang: M W x x s  . Xác định tải trọng cho phép: MWxx s  20(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  21. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (14)  Mặt cắt ngang có hình dáng hợp lý: . Khả năng chịu lực của dầm lớn nhất . Tiết kiệm vật liệu nhất Dầm bằng vật liệu dòn: mặt cắt ngang hợp lý khi đồng thời thỏa mãn M ss x yk max max  k k Mặt cắt ngang không I x ymax s  k (*) đối xứng qua trục x M yn s  ss x yn max n thoả mãn đk (*) min max  n I x ss Dầm bằng vật liệu dẻo:  kn  yk Mặt cắt ngang có max 1 n hai trục đối xứng ymax 21(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  22. 6.2. Uốn thuần túy phẳng (15)  Để tiết kiệm vật liệu Từ biểu đồ ứng suất, càng xa ĐTH ứng suất càng lớn => đưa vật liệu ra xa ĐTH x x x x y y y y Vật liệu dòn Vật liệu dẻo 22(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  23. 6.3. Uốn ngang phẳng (1) 1. Định nghĩa Thanh gọi là chịu uốn ngang phẳng nếu trên các mặt cắt ngang của nó đồng thời có cặp ứng lực là mômen uốn Mx, lực cắt Qy nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Giả thiết mặt cắt ngang phẳng không còn đúng 23(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  24. Biến dạng thanh chịu uốn ngang phẳng 24(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  25. 6.3. Uốn ngang phẳng (2) Hai thành phần ứng lực Mx => ứng suất pháp Qy => ứng suất tiếp M Ứng suất pháp s x y z I Trong đó x . Mx là mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang . Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm Ox . y là tung độ của điểm tính ứng suất Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng thớ dưới và Mx < 0 khi làm căng thớ trên. 25(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  26. 6.3. Uốn ngang phẳng (3) 2. Ứng suất tiếp: Với mặt cắt ngang dạng hình chữ nhật hẹp b<< h . Ứng suất tiếp tuân theo giả thiết Zuravxki:  Có phương // với phương lực cắt Qy, cùng chiều lực cắt Qy  Phân bố đều trên chiều rộng tiết diện  Ký hiệu tzy  Công thức Zuravxki ??? x Q y y z tzy y 26(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  27. 6.3. Uốn ngang phẳng (*)  Tách phân tố giới hạn F bởi:  Hai mặt cắt ngang cách nhau dz x y  Mặt cắt dọc // và cách z z Oz khoảng y dz y x y x z y y dz Mặt cắt ngang 27(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  28. 6.3. Uốn ngang phẳng (*) Q+dQ Q M+dM M x szph y tzy szph sztr sztr dz y Xét cân bằng phân tố Z 0 t zy 28(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  29. 6.3. Uốn ngang phẳng (4)  Công thức Zuravxki y c QS x §TH yx h t zy y Ibxc Ac b=bc Qy là lực cắt theo phương y tại mặt cắt ngang. Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x. bc chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất AC là phần diện tích bị cắt (là phần diện tích giới hạn bởi chiều rộng mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất và mép ngoài của mặt cắt ngang). c Sx là mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt 29(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  30. 6.3. Uốn ngang phẳng (5)  Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ nhật c 3 b =b; Ix=bh /12; C C S =y .A => h x C x tmax 2 y c 1 h h b h 2 Sx y y b y 2 2 2 2 4 y C c A b= b 22 12QQyyb h22 6 h h t zy 33. yy y t zy 0 bh. b 2 4 bh 4 2 3Q y 0 t y max 2bh 30(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  31. 6.3. Uốn ngang phẳng (6)  Ứng suất tiếp trên mặt cắt t 1 ngang chữ I d Trong bảng thép định hình, đã h t max cho các kích thước h, b. s, y x d, Ix, Sx – mô men tĩnh của ½ s t tiết diện. Ta có 1 b - Phần bụng: bc=d y C 1 2 Sxx S d. y 2 QSyx y 0 => t Q max y 1 2 Idx t zy S x d. y Id 2 x 2 hh Qy 1 y s =>t1 Sx d s 2 Idx 2 2 31(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  32. Phân bố ứng suất tiếp trên tiết diện chữ I 32(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  33. 6.3. Uốn ngang phẳng (7) 4. Điều kiện bền Xét tiết diện chữ nhật chịu uốn ngang phẳng. Biểu đồ ứng suất trên tiết diện: N smin smin smin Mx h/2 t max C x t max t max tB B z h/2 s sB B t K s B smax max smax y K, N - trạng thái ứng suất đơn C- trạng thái ứng suất trượt thuần túy B- trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt 33(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  34. 6.3. Uốn ngang phẳng (8)  Kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất đơn Mặt cắt ngang nguy hiểm: mặt cắt có mô men uốn lớn nhất (vật liệu dẻo: trị tuyệt đối của mô men lớn nhất, vật liệu giòn: mô men âm và mô men dương lớn nhất) Vật liệu dẻo: max smax , s min   s  Vật liệu giòn: s s ; s s max kn min   34(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  35. 6.3. Uốn ngang phẳng (9)  Kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất trượt thuần túy Mặt cắt nguy hiểm: Mặt cắt có trị tuyệt đối Qy lớn nhất Vật liệu dẻo: t 0 t  - nếu dùng thực nghiệm tìm t0 n max tt s  max   t  - nếu dùng thuyết bền 3 2 s  t  - nếu dùng thuyết bền 4 3 Vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr s s   k tt k max   s 1  n 35(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  36. 6.3. Uốn ngang phẳng (10)  Kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Mặt cắt ngang nguy hiểm: có trị tuyệt đối Mx và Qy cùng lớn Điểm kiểm tra: điểm có ứng suất pháp và ứng suất tiếp cùng lớn (điểm tiếp giáp giữa lòng và đế với mặt cắt ngang chữ I) Dầm bằng vật liệu dẻo: 22 st® ( s z ) 4( t zy ) (TB3) 22 st® ( s z ) 3( t zy ) (TB4) Dầm bằng vật liệu giòn: 11 s s22 4 t  s  22z z zy k 36(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  37. BÀI TẬP – Ví dụ 6.1 (1) ĐỀ BÀI: Cho dầm mặt cắt ngang chữ nhật chịu tải trọng như hình vẽ • Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực • Xác định ứng suất pháp cực đại tại mặt cắt ngang nguy hiểm • Kiểm tra điều kiện bền cho dầm, biết [s]=1,5 kN/cm2 37(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  38. Ví dụ 6.1 (2) BÀI GIẢI: • Giải phóng liên kết và xác định các phản lực FMRRy 0 B : B 40kN D 14kN • Dùng phương pháp mặt cắt • Mặt cắt 1 - 1  FQQy 0 20 kN 11 0 20kN MMM1 0 20kN 0m 1 0 1 0 • Mặt cắt 2 - 2  FQQy 0 20 kN 22 0 20kN MMM2 0 20kN 2.5m 2 0 2 50kN  m • Mặt cắt 3 – 3 QM33 26kN 50kN  m • Mặt cắt 4 – 4 QM44 26kN 28kN  m • Mặt cắt 5 – 5 QM55 14kN 28kN  m • Mặt cắt 6 – 6 QM66 14kN 0 38(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  39. Ví dụ 6.1 (3) • Từ biểu đồ các thành phần ứng lực ta thấy, mặt cắt ngang nguy hiểm tại B có: QMMmax 26kN max B 50kN  m • Ứng suất pháp cực đại 112 2 Wx 66 b h 0.080m 0.250m 63 Q 833.33 10 m kN M 3 max 50  10 N m s max 63 Wx 833.33 10 m M 62 kNm smax 60.0 10 Pa=60MPa=6kN/cm • Ta thấy: smax > [s] => Dầm không thoả mãn điều kiện bền 39(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  40. Ví dụ 6.2 (1) Cho dầm mặt cắt ngang thép chữ I chịu tải trọng như hình vẽ. Biết ứng suất cho phép của thép [s]=16 kN/cm2. Hãy chọn số hiệu mặt cắt ngang thép theo điều kiện bền ứng suất pháp của dầm. 40(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  41. Ví dụ 6.2 (2) • Xác định phản lực liên kết tại A và D  MVAD 5m 60kN 1.5m 50kN 4m 0 VD 58.0kN  FVyA 58.0kN 60kN 50kN=0 VA 52.0kN • Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn nội lực. Q QVAA 52.0kN kN QQSB A q 60kN QB 8kN • Mô men lớn nhất tại: M kNm Q = 0 => z = 2,6 m. M S( AE ) 67.6kNm max Q 58 66 Mmax 41(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  42. Ví dụ 6.2 (3) 3 • Điều kiện bền theo ứng suất pháp của Thep Wx [mm ] dầm: I 27 371 MM max max I 27a 407 ssmax   Wx Wx s  I 30 472 M 67.6kN m W max I 30a 518 min s  16kN/cm2 I 33 597 422.5 10 6 m 3 422.5c m 3 • Chọn số hiệu thép từ bảng tra I30 42(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  43. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (1) F 1. Khái niệm chung z Đường đàn hồi: Đường B cong của trục dầm sau K khi chịu uốn L K’ Trọng tâm mặt cắt ngang của K dầm v(z) K - trước biến dạng K’ – sau biến dạng K’ u(z) KK’ – chuyển vị của trọng tâm mặt cắt ngang v(z) - chuyển vị đứng Biến dạng bé: u(z) độ võng: y(z)=> u(z) - chuyển vị ngang Độ võng của dầm chịu uốn là chuyển vị theo phương thẳng đứng của trọng tâm mặt cắt ngang 43(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  44. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (2) F z K B K’ L - Tại K’ dựng tiếp tuyến t với đường đàn hồi, đường vuông góc với tiếp tuyến t tại K’=> - Mặt cắt ngang dầm sau biến dạng tạo với mặt cắt ngang dầm trước biến dạng góc => góc xoay z Góc xoay: góc hợp bởi mặt cắt ngang dầm trước và sau biến dạng Biến dạng bé: (z) = tg = y’(z) => Đạo hàm bậc nhất của độ võng là góc xoay 44(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  45. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (3) 2. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi •Gt: Khi chịu uốn vật 1 Mz() x liệu thanh làm việc EIx trong miền đàn hồi: '' Mzx () 1yz "( ) y •Hình học giải tích: EIx 3 yz"( ) Biến dạng bé (1 y '2 ) 2 z z M>0 M<0 M yz''( ) 0 M yz''( ) 0 Mz() yz"( ) x - Phương trình vi phân gần đúng đường đ n h i EIx à ồ 45(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  46. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (4) 3. Các phương pháp xác định đường đàn hồi a. Phương pháp tích phân trực tiếp Từ phương trình vi phân gần đúng lấy tích phân lần thứ nhất ta được góc xoay. dy M z x dz C dz EIx Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng Mx y(z) dzC.dzD EIx 46(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  47. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (5) trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định nhờ vào điều kiện biên chuyển vị . Điều kiện liên tục: P A B yy C CC CC 47(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  48. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (5b) Nhược điểm: cồng kềnh về mặt toán học khi dầm gồm nhiều đoạn, do phải giải hệ phương trình để xác định các hằng số tích phân (2n phương trình 2n ẩn số khi dầm gồm n đoạn) 48(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  49. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (6) VD 6.4.1: Xác định độ võng tại F EI đầu tự do của dầm công-xôn B chịu tác dụng của tải tập trung z L-z như hình vẽ L Ta có: M F L z M (z) F L z F L z) Fz 2 y'' (z) x z dz C Lz C EI EI 2 EIxx EI xx F z23 z y z L Cz D Điều kiện biên 2 EIx 2 6 FL B zL zC 0 0 0 2EIx FL3 z 0 y 0 D 0 yB y z L 3EIx 49(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  50. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (7) b. Phương pháp tải trọng giả tạo Liên hệ vi phân giữa các thành Liên hệ vi phân giữa độ võng, góc phần ứng lực và tải trọng phân bố xoay và mô men uốn nội lực d2 M dQ d2 y d M x 2 qz() 2 dz dz dz dz EI x My Q M qz() x EI x 50(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  51. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (8) .Dùng kỹ năng tìm lực cắt và mômen uốn nội lực khi biết tải trọng phân bố để áp dụng vào bài toán tìm góc xoay và độ võng. . Tưởng tượng chọn một dầm không có thực - gọi là dầm giả tạo và đặt tải trọng phân bố giả tạo Mx qgt (z) EIx vào nó. Lực cắt và mômen uốn ở dầm giả tạo do tải trọng giả tạo gây ra tại mặt cắt ngang nào đó chính là góc xoay và độ võng ở dầm thực ban đầu tại mặt cắt ngang đó do tải trọng thực gây ra. Quy tắc để chọn dầm giả tạo như sau 51(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  52. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (9)  Dầm giả tạo phải có chiều dài bằng chiều dài của dầm thực.  Liên kết phải sao cho điều kịên biên về nội lực tại các liên kết trên dầm giả tạo phải phù hợp với điều kiện biên về chuyển vị trên dầm thực tại các vị trí đó. y=0 y=0 Mgt =0 Mgt =0 0 0 Qgt 0 Qgt 0 y=0 y=0 Mgt =0 Mgt =0 0 0 Qgt 0 Qgt 0 y=0 Mgt =0 Mgt =0 y=0 y=0 Mgt =0 0 Qgt 0 Qgt 0 0 0 Qgt 0 52(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  53. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (10) Các bước thực hiện: Vẽ biểu đồ mô men uốn trên dầm thực. Chia tung độ biểu đồ cho độ cứng EI để có trị số của tải trọng giả tạo. Nếu Mx>0 thì qgt 0 (chiều hướng lên) Thay thế liên kết trên dầm thực bằng các liên kết trên dầm giả tạo theo mẫu. Tính Qgt và Mgt trên dầm giả tạo tại những mặt cắt ngang cần xác định độ võng và góc xoay trên dầm thực. 53(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  54. Bài tập - Ví dụ 6.4.1 (1) P Ví dụ 6.2: Cho dầm có liên kết và chịu A B tải trọng như hình vẽ. Xác định độ võng tạitiết diện đặt lực P L/2 L/2 Giải: M Bước1: Vẽ biểu đồ mô men uốn nội lực Bước 2: Xác định liên kết trên dầm giả PL tạo, tải trọng giả tạo, M>0 nên tải trọng 4 A B giả tạo hướng xuống M PL qgt PL EIxx4 EI 4EI VAgt mgt VBgt Bước 3: Xác định nội lực trên dầm giả A tạo tại tiêt diện cần tìm độ võng và góc P xoay L/2 gt PL23 L PL L 1 L PL PL2 VAgt VV y Mgt . . . . Agt Bgt 16EIx 16EJx 2 4EJ x 2 2 2 48EJ x 54(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  55. Bảng tính diện tích một số hình đơn giản 55(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  56. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (10) Phương pháp tải trọng giả tạo chỉ có ưu thế khi biểu đồ mô men uốn trên dầm thực là các diện tích dễ xác định trọng tâm và dễ tính diện tích. e. Phương pháp thông số ban đầu để xác định đường đàn hồi Xét dầm chịu uốn ngang phẳng gồm n đoạn, đánh số thứ tự 1,2, ,i, i+1, ,n từ trái sang phải. Độ cứng mỗi đoạn là E1I1, E2I2, , EnIn. Xét hai đoạn kề nhau thứ i và i+1 có liên kết dạng đặc biệt sao cho độ võng và góc xoay tại đây có bước nhảy , tại mặt cắt ngang giữa hai đoạn có lực tập trung và mô men tập trung, đồng thời lực phân bố cũng có bước nhảy 56(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  57. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (11) Fa qi F0 q q i+1 0 M M 0 a n 1 2 i i+1 z y0 0 z=a y(a) i y(a) i+1 y (a) y a i (a) i+1  Bằng các phép biến đổi toán học (khai triển Taylor hàm độ võng tại z=a), sử dụng quan hệ vi phân giữa các thành phần ứng lực và tải phân bố, ta nhận được công thức truy hồi của hàm độ võng (hàm độ võng trên đoạn thứ i+1 được xác định khi biết hàm độ võng trên đoạn thứ i) 57(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  58. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (12)  Khi độ cứng của dầm EI=const trên cả chiều dài yi 1()()() z y i z y a a z a 1 (z a )2 ( z a ) 3 ( z a ) 4 ( z a ) 5 M Q q q' a a a a EI 2! 3! 4! 5!  Với MMaa qa q i 1()() a q i a ''' QQaa qa q i 1()() a q i a  độ võng đoạn thứ nhất 2 3 4 5 1 z z z' z y1( z ) y 0 0 z M 0 Q 0 q 0 q 0 EI 2! 3! 4! 5! 58(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  59. 6.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn (13) '  Các thông số y 0 , 0 , M 0 , Q 0 , q 0 , q 0 , gọi là các thông số ban đầu và được xác định từ điều kiện biên.  Chú ý: . Chiều dương của mô men tập trung, lực tập trung, tải trọng phân bố như hình vẽ. . Nếu liên kết giữa hai đoạn thứ (i) và (i+1) là khớp treo thì ya 0 . Nếu hai đoạn thứ (i) và (i+1) là liền nhau thì yaa 0 . Ví dụ 59(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  60. Bài tập – Ví dụ 6.4.2 (1) q 2 Ví dụ 6.4.2: P=4qa M=qa Dùng phương pháp thông A B C D số ban đầu, xác định độ 1 2 3 võng tại C và góc xoay tại D của dầm chịu tải trọng như a V a a V hình vẽ. B D 2a Bài giải: 3a 1. Xác định phản lực 11 9 z = 0 z = a z = 2a VB qa VD qa y 0 y 0 4 4 y0 0 a a 2. Lập bảng thông số ban đầu 0 0 a 0 a 0 M 0 M 0 0 Ma 0 a Tìm yC => hàm độ võng y2 Q0 0 QVaB QPa Tìm D => hàm góc xoay y3’ qq0 qqa qa 0 , , , q0 0 qa 0 qa 0 60(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  61. Ví dụ 6.4.2 (2) Công thức truy hồi: yi 1()()() z y i z y a a z a 1 (z a )2 ( z a ) 3 ( z a ) 4 ( z a ) 5 M Q q q' a a a a EI 2! 3! 4! 5! z = 0 z = a z = 2a y 0 y 0 . Xét đoạn 1(AB): 0 ≤ z ≤ a y0 0 a a 0 0 a 0 a 0 qz4 M 0 M 0 y (z) y z 0 Ma 0 a 1 o o 24EI x Q0 0 QVaB QPa qq qq q 0 . Xét đoạn 2 (BC): a ≤ z ≤ 2a 0 a a , , , q0 0 qa 0 qa 0 4 4 3 qz q(z a) V(zB a) y2 (z) y o o z 24EIx 24EI x 6EI x 61(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  62. Ví dụ 6.4.2 (3) yi 1()()() z y i z y a a z a 1 (z a )2 ( z a ) 3 ( z a ) 4 ( z a ) 5 M Q q q' a a a a EI 2! 3! 4! 5! z = 0 z = a z = 2a y 0 y 0 . Xét đoạn 3 (CD): 2a ≤ z ≤ 3a y0 0 a a 0 0 a 0 a 0 M 0 M 0 0 Ma 0 a Q0 0 QVaB QPa q0 0 qqa qa 0 , , , q0 0 qa 0 qa 0 4 4 3 3 qz q(z a) V(zB a) P(z 2a) y3 (z) y o o z 24EIx 24EI x 6EI x 6EI x 62(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  63. Ví dụ 6.4.2 (4) Ta có phương trình độ võng trên từng đoạn: qz4 y1 (z) y o o z 24EIx 4 4 3 qz q(z a) V(zB a) y2 (z) y o o z 24EIx 24EI x 6EI x 4 4 3 3 qz q(z a) V(zB a) P(z 2a) y3 (z) y o o z 24EIx 24EI x 6EI x 6EI x y0, 0 ??? 63(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  64. Ví dụ 6.4.2 (5) . Để xác định 2 thông số ban đầu là y0 và 0 ta xét điều kiện liên kết của dầm: z = a => y1(z=a) = 0 z = 3a => y3(z=3a) = 0 . Từ hai phương trình độ võng y1(z) và y3(z), áp dụng điều kiện biên: 5qa4 qa3 yo o 24EIx 6EIx . Từ đó tính được: 7qa4 yC2 y (z 2a) 24EIx qa3 D3 y' (z 3a) 6EIx 64(71) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering
  65. 6.5. Bài toán siêu tĩnh (1) 65(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  66. 6.5. Bài toán siêu tĩnh (2) 66(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  67. Câu hỏi ??? 67(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009
  68. Thank You 68(71) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering July 2009