›
›

Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 7: Dẫm chịu uốn phẳng

pdf 77 trang hapham 1530
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 7: Dẫm chịu uốn phẳng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_suc_ben_vat_lieu_chuong_7_dam_chiu_uon_phang.pdf

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 7: Dẫm chịu uốn phẳng

  1. Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng Tháng 01/2015 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà TânEmail:– ĐHXD tpnt2002@yahoo.comCHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 1
  2. NỘI DUNG CHƯƠNG 7 – DẦM CHỊU UỐN PHẲNG 7.1. Khái niệm – Nội lực 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp 7.6. Phương pháp thông số ban đầu 7.7. Bài toán siêu tĩnh 7.8.* Ảnh hưởng của lực cắt tới độ võng trong dầm chịu uốn Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 2
  3. 7.1. Khái niệm – Nội lực Dầm chịu uốn phẳng là cấu kiện mà dưới tác dụng của ngoại lực, trục dầm thay đổi độ cong. Ví dụ: Dầm (thép, bê tông) trong khung nhà; dầm cầu là các cấu kiện chịu uốn điển hình Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 3
  4. 7.1. Khái niệm – Nội lực Ví dụ về dầm chịu uốn: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 4
  5. 7.1. Khái niệm – Nội lực  Giới hạn nghiên cứu: Dầm với mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng (chữ nhật, chữ I, chữ T, tròn ); mặt phẳng tải trọng trùng với mặt phẳng đối xứng của dầm → Uốn phẳng  Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng chứa tải trọng và trục dầm  Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: Mặt phẳng chứa trục dầm và một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang Uốn xiên Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 5
  6. 7.1. Khái niệm – Nội lực Mái bằng – các thanh dầm gỗ chịu uốn phẳng Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 6
  7. 7.1. Khái niệm – Nội lực Giàn mái gỗ truyền thống – các thanh xà gồ chịu uốn xiên Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 7
  8. 7.1. Khái niệm – Nội lực Ví dụ: Dầm ABCD chịu uốn như hình vẽ. Ta thấy:  Đoạn dầm BC: Mx ≠ 0; Qy = 0 → Chịu uốn thuần tuý  Đoạn dầm AB và CD: Mx ≠ 0; Qy ≠ 0 → Chịu uốn ngang phẳng Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 8
  9. 7.1. Khái niệm – Nội lực Phân loại uốn phẳng:  Uốn thuần tuý phẳng: Mx ≠ 0; Qy = 0  Uốn ngang phẳng: Mx ≠ 0; Qy ≠ 0 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 9
  10. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Thí nghiệm: Uốn dầm như hình vẽ. Trước khi uốn, kẻ trên bề mặt dầm: - Hệ những đường thẳng song song với trục dầm - Hệ những đường thẳng vuông góc với trục dầm → Tạo thành một lưới ô vuông Quan sát biến dạng: - Các đường thẳng song song với trục dầm → các đường cong song song với trục, khoảng cách giữa chúng không đổi - Các đường thẳng vuông góc với trục dầm vẫn thẳng và vuông góc với trục dầm Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 10
  11. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Quan sát biến dạng (tiếp): - Các thớ dọc phía dưới bị kéo giãn ra, các thớ dọc phía trên bị nén co lại → Tồn tại những thớ vật liệu không chịu kéo cũng không chịu nén – thớ trung hoà → Tập hợp của các thớ trung hòa – mặt trung hòa → Trục trung hoà: giao tuyến của mặt trung hoà với mặt cắt ngang Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 11
  12. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 12
  13. 7.2. Dầm chịu uốn thuần túy Các giả thiết về biến dạng: Giả thiết 1: Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng (Bernoulli) Mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng và vuông góc với trục thanh, sau biến dạng vẫn Jacob Bernoulli phẳng và vuông góc với trục thanh. (1654-1705) Giả thiết 2: Giả thiết về các thớ dọc Các lớp vật liệu dọc trục không có tác dụng tương hỗ với nhau (không chèn ép, xô đẩy lẫn nhau). Chú ý: Ứng xử của vật liệu tuân theo Định luật Robert Hooke Hooke (ứng suất tỷ lệ thuận với biến dạng) (1635 -1703) Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 13
  14. 7.2. Dầm chịu uốn thuần túy Công thức tính ứng suất pháp  Ta tìm công thức tính ứng suất pháp tại điểm cách trục trung hòa một khoảng y.  Từ công thức Định luật Hooke: E – Mô-đun đàn hồi kéo-nén của vật liệu (đã biết) εz – Biến dạng dài của thớ dọc tại tung độ y → εz = ? → Pt biến dạng?  Pt biến dạng (pt động học) thể hiện quan hệ giữa εz với:  Khoảng cách y từ điểm đang xét đến trục trung hòa  Bán kính cong của thớ trung hòa ρ Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 14
  15. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Biến dạng dài của một thớ dọc Xét một thớ dọc cách trục trung hoà một khoảng y: → Biến dạng dài εz tỷ lệ bậc nhất với khoảng cách đến trục trung hoà Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 15
  16. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Công thức tính ứng suất pháp • Giả thiết 1 → τ = 0 • Giả thiết 2 → σx = σy = 0 → Trên mặt cắt ngang chỉ có một thành phần ứng suất pháp σz Tĩnh học: Định luật Hooke: Động học: Do tải trọng thẳng đứng, nằm trong mặt phẳng zOy → Nz = 0 ; My = 0 ; Mx ≠ 0 sinh ra ứng suất pháp σz Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 16
  17. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Công thức tính ứng suất pháp Tĩnh học: Định luật Hooke: Động học: Trục trung hoà x cũng là trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang dầm. Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 17
  18. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Công thức tính ứng suất pháp Tĩnh học: Định luật Hooke: (Độ cong của dầm) Động học: EIx – Độ cứng uốn của dầm Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 18
  19. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Trục trung hoà – Phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Ứng suất pháp σz phân bố bậc nhất theo khoảng cách y đến trục trung hoà và đạt cực trị tại các mép biên của dầm. Để thuận lợi cho việc tính toán, người ta thường áp dụng công thức kỹ thuật:  Lấy dấu “+” nếu điểm đang xét thuộc vùng chịu kéo  Lấy dấu “–” nếu điểm đang xét thuộc vùng chịu nén Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 19
  20. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng Xét mặt cắt ngang hình chữ nhật: – Mômen chống uốn của mặt cắt ngang Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 20
  21. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng Mômen chống uốn của một số mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng thường gặp: Mặt cắt ngang hình chữ nhật: Mặt cắt ngang hình tròn đặc: Mặt cắt ngang hình vành khuyên: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 21
  22. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Mặt cắt ngang có 1 trục đối xứng – Các mômen chống uốn của mặt cắt ngang Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 22
  23. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Mặt cắt ngang là thép hình Tra bảng các giá trị kích thước; Ix; Wx Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 23
  24. 7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý Điều kiện bền Đối với vật liệu dẻo: Đối với vật liệu giòn: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 24
  25. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Thí nghiệm: Uốn dầm như hình vẽ. Trước khi uốn, kẻ trên bề mặt dầm: - Hệ những đường thẳng song song với trục dầm - Hệ những đường thẳng vuông góc với trục dầm → Tạo thành một lưới ô vuông Quan sát biến dạng: - Sau biến dạng, ô vuông trở thành ô bình hành → có biến dạng góc - Mặt cắt ngang không còn phẳng → giả thiết về mặt cắt ngang phẳng của Bernoulli không còn chính xác Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 25
  26. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 26
  27. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Ứng suất trên mặt cắt ngang Trên mặt cắt ngang có hai thành phần ứng lực:  Mômen uốn Mx → Ứng suất pháp σz  Lực cắt Qy → Ứng suất tiếp τzy Công thức tính ứng suất pháp Mx – Mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang Ix – Mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm Ox y – Tung độ của điểm tính ứng suất Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng các thớ dưới của dầm; Mx < 0 khi làm căng các thớ trên của dầm Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 27
  28. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Công thức tính ứng suất tiếp Với mặt cắt ngang hình chữ nhật hẹp (b<<h), ứng suất tiếp tuân theo giả thiết Zhuravskii: • Có phương song song với lực cắt Qy, cùng chiều lực cắt Qy Dmitrii Ivanovich Zhuravskii • Phân bố đều trên bề rộng mặt cắt ngang (1821 -1891) Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 28
  29. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Công thức tính ứng suất tiếp Xét cân bằng của một phân tố vô cùng bé được tách ra từ đoạn dầm dài dz: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 29
  30. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Công thức tính ứng suất tiếp – Công thức Zhuravskii Qy – Lực cắt trên mặt cắt ngang tại điểm đang xét Ac – Phần diện tích bị cắt c c Sx – Mômen tĩnh của diện tích A đối với trục Ox Ix – Mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm Ox bc – Chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 30
  31. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang Mặt cắt ngang hình chữ nhật: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 31
  32. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang Mặt cắt ngang hình chữ I: Trong bảng thép định hình đã cho sẵn các kích thước h; b; d; s và các giá trị Ix; Sx (của ½ tiết diện so với trục Ox) Phần bụng: Phần cánh: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 32
  33. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Điều kiện bền Xét dầm tiết diện chữ nhật chịu uốn ngang phẳng. Ta có phân bố ứng suất trên tiết diện dầm: A, B – Trạng thái ứng suất đơn O – Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý C, D – Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 33
  34. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Điều kiện bền Tương tự, với dầm có tiết diện chữ I chịu uốn ngang phẳng, phân bố ứng suất trên tiết diện dầm như sau: A, B – Trạng thái ứng suất đơn O – Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý C, D – Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 34
  35. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng  Điều kiện bền ứng suất pháp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất đơn): Với vật liệu dẻo: Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối của mômen uốn lớn nhất Với vật liệu giòn: Nếu mặt cắt ngang dầm có 2 trục đối xứng, kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối của mômen uốn lớn nhất Nếu mặt cắt ngang dầm chỉ có 1 trục đối xứng (ví dụ: mặt cắt chữ T), cần kiểm tra tại 2 mặt cắt ngang có mômen dương và mômen âm lớn nhất Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 35
  36. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng  Điều kiện bền ứng suất tiếp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý): Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối của lực cắt lớn nhất Với vật liệu dẻo: : Dùng thực nghiệm tìm τo : Dùng thuyết bền 3 : Dùng thuyết bền 4 Với vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 36
  37. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng  Điều kiện bền hỗn hợp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt): Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối mômen uốn và lực cắt cùng tương đối lớn Điểm cần kiểm tra: điểm tiếp giáp giữa bụng và cánh của tiết diện (ví dụ: điểm K trên tiết diện chữ I) Với vật liệu dẻo: : Dùng thuyết bền 3 : Dùng thuyết bền 4 Với vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 37
  38. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Ví dụ 7.1: Cho dầm bằng gang mặt cắt ngang hình chữ T chịu tải trọng như hình vẽ. 1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn. 2. Kiểm tra bền cho dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp, biết 2 2 [σ]k=4kN/cm ; [σ]n=12kN/cm . GIẢI: 1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn Xác định phản lực liên kết: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 38
  39. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn Sử dụng phương pháp mặt cắt: Đoạn AB: Đoạn BC: Đoạn CD: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 39
  40. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn Ta có biểu đồ lực cắt và mômen uốn như hình vẽ 2. Kiểm tra bền cho dầm Mặt cắt chữ T có 1 trục đối xứng → Cần kiểm tra tại B (mặt cắt có mô-men âm lớn nhất) và tại C (mặt cắt có mô-men dương lớn nhất) Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 40
  41. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Kiểm tra bền cho dầm • Trọng tâm của mặt cắt ngang: Oy là trục đối xứng Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 41
  42. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Kiểm tra bền cho dầm • Mômen quán tính chính trung tâm: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 42
  43. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Kiểm tra bền cho dầm • Xét mặt cắt ngang tại B: Mặt cắt B Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 43
  44. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Kiểm tra bền cho dầm • Xét mặt cắt ngang tại C: Mặt cắt B Mặt cắt C Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 44
  45. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Kiểm tra bền cho dầm • Áp dụng điều kiện bền: Vậy, dầm thỏa mãn điều kiện bền. Mặt cắt B Mặt cắt C Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 45
  46. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Ví dụ 7.2: Cho dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu tải trọng như hình vẽ. Biết ứng suất cho phép của thép [σ]=16kN/cm2. Tìm các ứng suất pháp cực trị tại điểm K trên mặt cắt ngang ở chính giữa đoạn AB. GIẢI: Xác định phản lực liên kết: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 46
  47. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Sử dụng phương pháp mặt cắt: Đoạn AB: Đoạn BC: Đoạn CD: Ta có biểu đồ lực cắt và mômen uốn như hình vẽ. Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 47
  48. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Xét mặt cắt ngang ở chính giữa đoạn AB: Ứng suất pháp tại điểm K: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 48
  49. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Xét mặt cắt ngang ở chính giữa đoạn AB: Ứng suất tiếp tại điểm K: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 49
  50. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Trạng thái ứng suất tại điểm K được xác định bởi các giá trị: Các ứng suất pháp cực trị tại điểm K: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 50
  51. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Ví dụ 7.3: Dầm công-xôn mặt cắt ngang chữ I chịu tải trọng như hình vẽ, q=5kN/m; a=1m. Biết [σ]=16kN/cm2, hãy chọn số hiệu mặt cắt ngang cho dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp. GIẢI: Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn: Sử dụng phương pháp mặt cắt từ phải qua trái: Đoạn CB: Đoạn BA: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 51
  52. 7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng Tiết diện nguy hiểm là tiết diện tại ngàm A: Áp dụng công thức điều kiện bền: Tra bảng → Chọn I-No24a có Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 52
  53. 7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay  Đường cong y(z) của trục dầm sau khi chịu uốn được gọi là đường đàn hồi.  Xét mặt cắt ngang tại điểm có hoành độ z:  K – trọng tâm của mặt cắt ngang trước biến dạng  K’ – trọng tâm của mặt cắt ngang sau biến dạng v(z) – chuyển vị đứng KK’ – chuyển vị của trọng tâm mặt cắt ngang u(z) – chuyển vị ngang Biến dạng bé → u(z) << v(z) → KK’ ≈ v(z) → v(z) = y(z) : độ võng của dầm chịu uốn Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 53
  54. 7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay  Chuyển vị thẳng đứng y(z) của trọng tâm mặt cắt ngang được gọi là độ võng của dầm chịu uốn.  Góc hợp bởi mặt cắt ngang của dầm trước và sau biến dạng φ(z) được gọi là góc xoay của dầm chịu uốn.  Biến dạng bé → φ(z) ≈ tan φ = y’(z) → Đạo hàm bậc nhất của độ võng là góc xoay. Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 54
  55. 7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi Đã có công thức xác định độ cong của dầm chịu uốn: Mặt khác, theo hình học giải tích: Vậy, ta có: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 55
  56. 7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi Từ hình vẽ, ta thấy y’’ và Mx luôn ngược dấu nhau Đây là phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 56
  57. 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp Từ phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi: Góc xoay Độ võng Trong đó, C và D là các hằng số tích phân, được xác định nhờ vào các điều kiện biên. Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 57
  58. 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp Các điều kiện biên về độ võng và góc xoay của (a) Dầm đơn giản; (b) Dầm công-xôn; (c) Dầm có mút thừa và (d) Điều kiện liên tục (a) (b) (c) (d) Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 58
  59. 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp Nhược điểm của phương pháp: cồng kềnh về mặt toán học khi dầm gồm nhiều đoạn, do phải giải hệ phương trình để xác định các hằng số tích phân (2n phương trình, 2n ẩn số nếu dầm gồm n đoạn). Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 59
  60. 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp Ví dụ 7.4: Tìm độ võng và góc xoay tại đầu tự do của dầm công-xôn có độ cứng EIx chịu tải trọng như hình vẽ. GIẢI: Ta có biểu thức của mômen uốn: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 60
  61. 7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp Điều kiện biên: Chuyển vị và góc xoay tại đầu tự do: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 61
  62. 7.6. Phương pháp thông số ban đầu Biểu diễn phương trình đường đàn hồi đoạn thứ (i) qua phương trình đường đàn hồi của đoạn thứ (i-1): Ghi chú: chiều dương của mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố như trên hình vẽ Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 62
  63. 7.6. Phương pháp thông số ban đầu Khi độ cứng của dầm EI = const trên toàn bộ chiều dài, khai triển hàm Δy(z) theo chuỗi Taylor tại điểm z = a ta có: Trong đó, các thông số Δya; Δφa; ΔMa; ΔQa; Δqa; lần lượt là bước nhảy của độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố tại điểm có hoành độ z = a của dầm. Phương trình đường đàn hồi y1(z) của đoạn dầm đầu tiên: Trong đó, y0; φ0; M0; Q0; q0; lần lượt là giá trị độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố tại điểm có hoành độ z = 0 của dầm. Đây là các thông số ban đầu, được xác định nhờ các điều kiện biên. Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 63
  64. 7.6. Phương pháp thông số ban đầu Ví dụ 7.5: Dùng phương pháp thông số ban đầu, xác định độ võng tại C và góc xoay tại D của dầm chịu tải trọng như hình vẽ. GIẢI: Xác định phản lực liên kết: Lập bảng thông số ban đầu: z = 0 z = a z = 2a y0 Δya = 0 Δy2a = 0 φ0 Δφa = 0 Δφ2a = 0 M0 = 0 ΔMa = 0 ΔM2a = 0 Q0 = 0 ΔQa = VB ΔQ2a = –P q0 = –q Δqa = q Δq2a = 0 q’0 = 0 Δq’a = 0 Δq’2a = 0 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 64
  65. 7.6. Phương pháp thông số ban đầu Phương trình đường đàn hồi đoạn 1 (AB): Phương trình đường đàn hồi đoạn 2 (BC): z = 0 z = a z = 2a y Δy = 0 Δy = 0 Phương trình đường đàn hồi đoạn 3 0 a 2a (CD): φ0 Δφa = 0 Δφ2a = 0 M0 = 0 ΔMa = 0 ΔM2a = 0 Q0 = 0 ΔQa = VB ΔQ2a = –P q0 = –q Δqa = q Δq2a = 0 q’0 = 0 Δq’a = 0 Δq’2a = 0 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 65
  66. 7.6. Phương pháp thông số ban đầu Để xác định 2 thông số ban đầu y0 và φ0, ta xét đến điều kiện liên kết của dầm: Từ đó ta tính được: z = 0 z = a z = 2a y0 Δya = 0 Δy2a = 0 φ0 Δφa = 0 Δφ2a = 0 M0 = 0 ΔMa = 0 ΔM2a = 0 Q0 = 0 ΔQa = VB ΔQ2a = –P q0 = –q Δqa = q Δq2a = 0 q’0 = 0 Δq’a = 0 Δq’2a = 0 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 66
  67. 7.7. Bài toán siêu tĩnh  Hệ siêu tĩnh là hệ mà ta không thể xác định được hết các phản lực liên kết và nội lực trong hệ nếu chỉ nhờ vào các phương trình cân bằng tĩnh học.  Số ẩn số > Số phương trình cân bằng → Cần viết thêm phương trình bổ sung → Phương trình tương thích về biến dạng Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 67
  68. 7.7. Bài toán siêu tĩnh Ví dụ 7.6: Cho dầm chịu lực như hình vẽ. Xác định các phản lực gối tựa; vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn cho dầm. GIẢI: Cách 1: Áp dụng phương pháp thông số ban đầu Coi phản lực tại B là ngoại lực, ta z = 0 có: y0 = 0 φ0 = 0 M0 = –MA Lập bảng thông số ban đầu: Q0 = VA q0 = –q q’0 = 0 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 68
  69. 7.7. Bài toán siêu tĩnh Phương trình đường đàn hồi của dầm: Áp dụng điều kiện biên: z = 0 y0 = 0 φ0 = 0 M0 = –MA Q0 = VA q0 = –q q’0 = 0 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 69
  70. 7.7. Bài toán siêu tĩnh Cách 2: Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng Phân tích dầm đã cho như hình vẽ, ta có: Ta đã có kết quả: Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 70
  71. 7.7. Bài toán siêu tĩnh Ta có biểu đồ lực cắt và mômen uốn như hình vẽ. Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 71
  72. 7.7. Bài toán siêu tĩnh Ví dụ 7.7: Cho dầm chịu lực như hình vẽ. Xác định các phản lực gối tựa, biết: a=1m; q=10kN/m; F=2qa; M=1,5qa2; độ cứng uốn của dầm là EI=2×107kNcm2. GIẢI: Giả sử chiều phản lực tại A như hình vẽ, coi phản lực tại B là ngoại z = 0 z = a lực, ta có: y0 = 0 Δya = 0 φ0 = 0 Δφa = 0 M0 = –MA ΔMa = –M Lập bảng thông số ban đầu: Q0 = VA ΔQa = F q0 = –q Δqa = q q’0 = 0 Δq’a = 0 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 72
  73. 7.7. Bài toán siêu tĩnh Phương trình đường đàn hồi đoạn 1: Phương trình đường đàn hồi đoạn 2: z = 0 z = a y0 = 0 Δya = 0 φ0 = 0 Δφa = 0 M0 = –MA ΔMa = –M Q0 = VA ΔQa = –F q0 = –q Δqa = q q’0 = 0 Δq’a = 0 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 73
  74. 7.7. Bài toán siêu tĩnh Áp dụng điều kiện biên: Với: → VB có chiều ngược với chiều giả thiết (hướng xuống dưới) Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 74
  75. 7.7. Bài toán siêu tĩnh Độ võng, góc xoay của một số dầm cơ bản Sơ đồ dầm Phương trình đường đàn hồi Độ võng Góc xoay Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 75
  76. 7.7. Bài toán siêu tĩnh Độ võng, góc xoay của một số dầm cơ bản Sơ đồ dầm Phương trình đường đàn hồi Độ võng Góc xoay Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 76
  77. SỨC BỀN VẬT LIỆU 1 Thank you for your attention Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng E-mail: tpnt2002@yahoo.com Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 77