Bài giảng Trường điện từ - Chương 3: Mật độ điện thông, định luật Gauss và định lý Divergence

Nội dung text: Bài giảng Trường điện từ - Chương 3: Mật độ điện thông, định luật Gauss và định lý Divergence

1. Chương 3: MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG, ĐỊNH LUẬT GAUSS, VÀ ĐỊNH LÝ DIVERGENCE 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 1
2. 3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG 1. Định nghĩa: D (C/m2) Mật độđiệnthôngDdo điệntíchQtạoratạiPlà1vectơ cóchiều của điệntrườngEvàcó độ lớnbằngmậtđộđiệntích ρs tạiP. 2 D = eoE (C/m ) (2) 2.Mậtđộđiệnthôngcủađiệntích tại1điểm(FigC3.1) Tronghệtọađộ cầu Q Da= r 4π r2 (1) Figure C3.1 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 2
3. 3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG 3. Mật độ điện thông của điện tích phân bố theo đường (Fig C3.2) TRonghệtọađộ trụ (CCS)dọctheotrụcz ρL:làmậtđộđiệntích ρL Da= ρ (C1) Figure C3.2 2πρ 4. Mật độ điện thông xuyên qua mặt phẳng S (Fig C3.3) ρS :Làmậtđộđiệntíchmặt ρ Da= S 2 N (C2) Figure C3.3 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 3
4. 3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG VD3.1. ĐiệntíchphânbốđềuvớimậtđộρL=8nC/mdọctheo trụcz.Tìm E và D tại điểmPcáchtrụczkhoảng3m. Giải. Điện trường E tại P (r, f, z) là ρ 8´10-9 143.8 E=La==aa(V/m) ρ-12 ρρ 2πεoρρ2π(8.854´10) Tạir=3m, E =47.9 aρ(V/m) Thôngqua E,tatìm D ρ8´´10 991.27310 D=La==aa(C/m)2 22πρρπρρρρ 2 Tạir=3mthì D =0.424aρ (nC/m ) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 4
5. 3.1. Electric Flux Density DRILLPROBLEM3.1. Givena90 mCpointchargelocatedat theorigin,findthetotalelectricfluxpassingthrough: (a)thatportionofthespherer=26cmboundedby0<q<p/2and 0<f<p/2;(b)theclosedsurfacedefinedby r =26cmand z=±26cm;(c)theplanez=26cm. ANSWERS. (a)7.5(mC);(b)60(mC);(c)30(mC) DRILLPROBLEM3.2. Calculate D inrectangularcoordinates atpointP(2,–3,6)producedby:(a)apointchargeQA=55mCat PA (–2,3,–6);(b)auniformlinecharge rSB =20mC/monthe 2 xaxis;(c)auniformsurfacecharge rSC =120mC/m ontheplane z=–5m. 2 ANSWERS: (a) 6.38 ax –9.57 ay + 19.14az (mC/m ); 2 2 (b) –212 ay + 424 az (mC/m ); (c) 60az (mC/m ) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 5
6. 3.2. ĐỊNH LUẬT Gauss 1. Mật độ điện thông Φ a. D đều, S phẳng, D vuông góc với S Φ = DS (C3) Figure C3.4a ! Nếu S làvectơ cóhướng aN,thì độ lớn: Φ = D . S (C4) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 6
7. 3.2. ĐỊNH LUẬT Gauss b.NếuDđều,Sphẳng, D có hướngbấtkỳ. Φ=DNS Φ=DS cosq (C5) Φ = D.S Figure C3.4b !Φ > 0 nếu 0 £q< p/2; !Φ < 0 nếu p/2 < q£p; !Φ = 0 nếu q = p/2 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 7
8. 3.2. Gauss’s Law c. D và S bất kỳ (Fig 3.2) l ChiaSthànhnhiềudiệntích viphândS l aN làvectơ pháptuyếncủaS tạiP. l dS = dSaN làvectơ phầntử mặttạiPcủaS. Figure 3.2 dΦ = DN dS = DdScosq = D . dSaN = D . dS (C6) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 8
9. 3.2. Gauss’s Law 1. Điện thông tổng xuyên qua S theo hướng an: ψ = D× dS (C7) òS 2.NếuSlàmặtkín,vectơ an hướngrangoài: (5) ψψououtt===DDs×.dQS encenc òÑòSS 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 9
10. 3.2. Gauss’s Law Điện tích Q được bỡi những công thức sau: n 〈 QQ=åk (pointcharge) (C8) k=1 (C9) 〈 Q= ρLdL (linecharge) òL (C10) 〈 Q= ρSdS (surfacecharge) òS (C11) 〈 Q= ρvdv (volumecharge) òv Gausscóthể viết D× dS = ρvdv (6) òòSv 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 10
11. 3.2. Gauss’s Law ĐịnhluậtGauss: ĐiệnthôngtổngthoátrakhỏiSbằng điệntích tổngchứatrongS. Chứng minh định luật Gauss Q D==aarr; dS dS 4π a2 Điện thông tổng thoát ra khỏi mặt cầu S Q D ×=dS dS òòSS4π a2 QQ =dS==SQ 44ππaa22òS hay Φout = Qc (Gauss’s Law) 16/01/2013Figure 3.3 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 11
12. 3.2. Gauss’s Law DRILL PROBLEM 3.3. Given the Electric Flux Density 2 2 D = 0.3 r ar (nC/m ) in free space: (a) Find E at point P (r = 2, q = 25o, f = 90o) (b) Find the total charge within the sphere r = 3 (c) Find the total elctric flux leaving the sphere r = 4 ANSWERS. (a) 135.5 ar (V/m); (b) 305nC; (c) 965nC DRILL PROBLEM 3.4. Calculate the total electric flux leaving the cubical surface formed by the six planes x, y, z =±5, if the charge distribution is: (a) two point charges: 0.1 mC at (1, –2, 3) and 1/7mC at ( –1, 2, –2) (b) a uniform line charge of p (mC/m) at x = –2, y = 3. (c) a uniform surface charge of 0.1 (mC/m2) on the plane y = 3x ANSWERS (a) 0.243 mC; (b) 31.4 mC; (c) 10.54 mC 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 12
13. 3.3. Áp dụng định luật Gauss: DùngdịnhluậtGauss để tìm D,rồisuyra E 1.ChiaSra2phần § S┴ trên đó D vuônggócvớiS(D//dS), thì D.dS =D.Ds § S// trên đóDsongsongvớiS(D┴dS),thì D.dS =0 2.TrênS┴biên độ củaDlà:D=constant Áp dụng định luật Gauss: DD×dSS=×d=DdS==DSQ^ òSòòSS^^ QQ Suyra D==and DaN (C12) SS^^ aN là vectơ pháp đơn vị của S ^ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 13
14. 3.3. Application of Gauss’s Law VD3.1. Cho điệntíchQtrongtọađộ cầu(FigC3.3).Dùng ĐL Gausstìm D và E tạiP(r, q, f). GIẢI. QQQ D === 2 SS^ 4π r Q D==Daarr 4π r2 D Q Ea== 2 r εo 4πεor Figure C3.3 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 14
15. 3.3. Application of Gauss’s Law VD3.3. Dùng ĐLGauss để tìm điện trường đo điệntíchphânbốđềuvớimật độρLtrên đườngthẳngvôtận. GIẢI. Chọn đườngthẳngmang địệntích là2trụcz.ChọnmặtGauss đặcbiệtlà mặttrụ trònxoay,bánkính ρ vàchiều caoL. ĐiểmP(r, f,z) D = Dr (r)ar Figure 3.4 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 15
16. 3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD Here S = S , and S = S US ^ 2 II 1 3 Using (C12), we have: QLρρLL DD=ρ=== SL^ 22πρπρ ρ D==DaaL ρρρ2πρ ρL EE==ρ 2περo ρL E==Eρaaρρ 2περo 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 16
17. 3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD VD3.4. Xétmộtcáp đồngtrụcgồmhaimặttrụđồngtrụcdàivô tậnbánkínhavàb(0 aorb ì rL ï ar (a ρ or ρ>b) îï 0 where rL =2parSlàmậtđộđường Figure 3.5 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 17
18. 3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD EXAMPLE3.2. Chomộtcáp đồngtrụcL=50cm,a=1mmand b=4mm,Q=30nC.Tìm rSa, rSb, D and E. SOLUTION -9 Qa 30´10 2 · ρµSa ===9.55(Cm/) 2πaL 2π(10-3)(0.5) -9 Qb -´3010 2 · ρµSb ===-2.39(Cm/) 2πbL 2π(4´10-3)(0.5) ·In the region 1 4mm, D and E are zero 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 18
19. 3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD DRILLPROBLEM3.5. Apointchargeof0.25mCislocatedat r=0,anduniformsurfacechargedensitiesarelocatedasfollows: 2mC/m2 at r = 1cm, and –0.6mC/m2 at r = 1.8cm. Calculate D at: (a) r = 0.5cm; (b) r = 1.5cm; (c) r = 2.5cm (d)Whatuniformsurfacechargedensityshouldbeestablishedat r=3cmtocause D =0atr=3.5cm? ANSWERS 2 2 (a) 796 ar (mC/m ) ; (b) 977 ar (m C/m ) 2 2 (c) 40.8 ar (mC/m ); (d) –28.3 (m C/m ) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 19
20. 3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: In Fig 3.6: l Cho điểmbấtkỳP(x,y,z). l D =Dxoax +Dyoay +Dzoaz là mật độđiện thông tạitạiP. l DSlà1hộpchữ nhậtnhỏ, cóchiềudài là Dx, Dy,và Dz. l Dv=DxDyDzlà thể tích hộpchữ nhật nhỏ. l DSlà mặtphẳngkín baobọcDv l DQlàtổng điệntích chứatrong Dv l rv làmậtđộđiệntíchtạiP l DΦlàthônglượng thoátrakhỏihìnhhộp DS Figure 3.6 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 20
21. 3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: ÁpdụngdịnhluậtGauss(5),thônglượngthoátrakhỏi DS bằngtổng điệntíchchứatrong Dv æö¶Dx ¶Dy ¶Dz Dy=D×dS=DQv»ç÷++D (7) òDS èø¶x¶¶yy Ápdụng ĐLGausschomặtkín DSbaoquanhthể tích Dv vàcho kếtquả gần đúng ở côngthức(7): æö¶Dx ¶Dy ¶Dz Điện tích trong thể tích DDQvv»ç÷++´D (8) èø¶x¶¶yz 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 21
22. 3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: EXAMPLE3.3. Tìmtổng điệntíchtrongmộtthể tích10–9m3,tại gốctọađộ,nếucho: –x –x 2 D = e siny ax – e cosy ay + 2z az (C/m ) SOLUTION. Trước tiên ta tìm 3 thành phần trong (8): ¶D¶D¶D x=-e xxsiny;y==eysin;2z ¶x¶¶yz Tổng điệntíchtrongthể tích DvtạiP(x,y,z)là: DQ = 2 Dv Tại gốc tọa độ, nếu Dv = 10–9m2, thì chúng ta có DQ = 2nC. 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 22
23. 3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: DRILL PROBLEM 3.6. In free space, let 4 2 4 2 3 2 D = 8xyz ax + 4x z ay + 16x yz az (pC/m ) (a) Find the total electric flux passing through the rectangular surface (z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3), in the az direction. (b) Find E at (P (2, –1, 3). (c) Find an approximate value for the total charge contained in an incremental sphere located at P (2, –1, 3) and having a volume of 10–12 (m3). ANSWERS (a) 1365 (pC) (b) –146.4ax + 146.4ay –195.2az (V/m) (c) –2.38 ×10–21 (C) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 23
24. 3.5. Divergence Từ (7) có: ¶D¶D¶DQDDψ D× dS xS+y +z»==òD ¶x¶y¶zDvDDvv ¶Dx¶Dy¶DQzDDψ (9) or ++=lim==lim ρv ¶x¶y¶zDvv®00DDvvD® Chúng ta có thể viết (9) dưới dạng 2 phương sau: ¶D ¶D ¶DD ψ D× dS · xS+y +z==limlim òD (10) ¶x¶y¶zDvv®00DDvvD® ¶D ¶D ¶D · x+y+=zρ ¶x¶¶yzv (11) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 24
25. 3.5. Divergence 1. Định nghĩa: Nếu A là một trường vectơ, thì divergence của A tại điểm P được định nghĩa là: A ×dS òdF (13) divA ==lim ÑDS D®v0 Dvdv ! Divergence của vectơ A bằng thông lượng thoát ra khỏi một mặt kín nhỏ trên đơn vị thể tích khi thể (C13) tích này co lại và tiến tới không. divA trong hệ trục tọa độ vuông góc ¶A ¶Ay ¶A divA =x ++z (C14) ¶x¶¶yz 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 25
26. 3.5. Divergence 2. Divergence trong RCS, CCS, và SCS. ¶D¶D¶D divRD=x++y z() (15) ¶x¶¶yz 11¶¶¶DD divD=(ρDC)++φ z() (16) ρ¶ρρ ρφ¶¶z 1¶¶2 11¶Dφ divD=(rDr)++(sinθDSθ)() (17) r2¶rrrsin趶θsinθφ · Nếu divD > 0 tại P thì P là điểm nguồn của D · Nếu divD < 0 tại P thì P là điểm giếng của D 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 26
27. 3.5. Divergence VD 3.4. Tìm divD tại gốc tọa độ –x –x D = e sinyax –e cosyay + 2zaz GIẢI. Sử dụng công thức (15): ¶D ¶D ¶D divD =x ++y z ¶x¶¶yz = –e–xsiny + e–xsiny + 2 = 2 Giátrị củadivD làhằngsố2.NếuđơnvịcủaDlàC/m2,thì đơn vị củadivD làC/m3. Đâylà mật độđiệntíchkhối, kháiniệm nàysẽđượchọctrongphầntới. 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 27
28. 3.5. Divergence DRILLPROBLEM3.7. Ineachofthefollowingparts,finda numericalvaluefordivD atthepointspecified: 2 2 2 2 (a) D = (2xyz –y) ax + (x z –2xy) ay + x yaz (C/m ) at PA (2, 3, –1) 2 2 2 2 2 2 (b) D = 2rz sin f ar + rz sin2f af + 2r zsin f az (C/m ) o at PB (r = 2, f = 110 , z = –1). 2 (c) D = 2rsinqcosfar + rcosqcos faq–rsinfaφ (C/m ) o o at PC (r = 1.5, q = 30 , f = 50 ) ANSWERS: (a) –10.00 (C/m3); (b) 9.06 (C/m3); (c) 1.29 (C/m3) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 28
29. 3.6. Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh) Divergence đượcxác định: Dy ò D× dS divD==limlim ÑDS (18) Dvv®00DDvvD® ¶D ¶D ¶D divD =x ++y z ¶x¶¶yz (19) divD = ρv (20) · (18) là định nghĩa của divergence. · (19)là côngthức để xác định divergencecủamộtvectơ · (20)làcôngthức(11) đượcviếtlà từ mới divD 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 29
30. 3.6. Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh) Công thức (20), ĐL Gauss có: Dy=DQ DyDQ Chia 2 vế cho Dv = DDvv Cho thể tích Dv tiến dần về 0 DyDQ lim= lim Dvv®00DDvvD® Hoặc divD = rv (20) l ĐâylàPhươngtrình Maxwell thứ nhất trong4phươngtrình Maxwell, vàcòngọilà dạng điểmcủaĐLGauss. l ĐLGaussgọilà dạngtíchphân của phươngtrìnhMaxwell. 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 30
31. Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh) VDC3.5. Kiểmtraphươngtrình Maxwellthứ nhất từ giátrị divD domộtđiệntíchQđặttạigốcOtạora. GIẢI. Mật độ điện thông theo công thức (1), có thể viết: D = Drar + Dqaθ + Dfaf (C15) Q Với Dr = ; D =0; D =0 4π r2 q f Sử dụng (17) để tính divD tại điểm P(r, q, f): 1¶¶2 11¶Dφ divD =(rDDr ) ++(θ sin)θ r2 ¶rrrsin趶θsinθφ 1 dQæö ==ç÷0 (ifr¹0) r2 dr èø4π Vậy rv = 0 khắp mơi, ngoại trừ ở gốc O thì nó bằng vô cùng 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 31
32. 3.6. Maxwell’s First Equation (Electrostatics) DRILLPROBLEM3.8. Ineachofthefollowingparts, determine an expression for the volume charge density associatetwiththe D field: 4xy22x22xy (a) D=ax+-aayz zzz2 (b) D =zsinfar +zcosfaf + rsinfaz (c) D =sinqsinf ar +cosqsinf aq +cosfaf ANSWERS. 4y (a)()xz22+ ; (b)0; (c)0 z3 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 32
33. 3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence 1. Toán tử Ñ:Ta định nghĩa toán tử del Ñ là toán tử vectơ ¶¶¶ Ñ =aaa++ (21) ¶xx¶¶yzyz KhilàmtoánvớitoántửÑ,cứxemnónhư một vectơ bình thường với điềukiệnthaytoánnhânvôhướngbỡicác đạohàm riêngtương ứng. æö¶¶¶ Ñ ××D=ç÷aax+y+az(Dxax++DDyaayzz) èø¶x¶¶yz ¶¶¶ ¶Dx ¶Dy ¶Dz =(DDDx)++(yz)()=++ ¶x¶¶yz ¶x¶¶yz ¶D ¶D ¶D Vậy divDD=Ñ× =x ++y z (16) ¶x¶¶yz 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 33
34. 3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence 2. Định lý Divergence Từ ĐL Gauss và phương trình Maxwell, ta có: DD×dS =Q=ρvdv=×Ñ dv ÑòSòòvv Địnhlý Divergence DD××dS = Ñ dv (22) ÑòòSv 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 34
35. 3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence VD3.5. Kiểmtra địnhlýdivergence đốivớitrườngvectơ 2 2 D =2xyax +xay(C/m ),vlàhìnhhộpxác địnhbỡi6mặtx=0 và1, y =0và2, z =0và3. GIẢI 323 · D×dS =2ydydz==4dz 12 ÑòSò0òò00 321 · Ñ × Ddv=2ydv==2ydxdydz 12 òvvòò0òò00 ¶ ¶ Với Ñ.D = (2xy) + (x 2 ) = 2y ¶x ¶y 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 35
36. 3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence DRILL PROBLEM 3.9 Given the field 2 D =6rsin(f/2)ar +1.5rcos(f/2)af (C/m ), evaluatebothsidesofthedivergencetheoremfortheregion boundedbythefivesurfaces: r =2, f =0, f = p,z=0andz=5 ANSWERS: 225; 225 Chapter 3. Quizzes 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 36