Các phương pháp phân tích động phi tuyến kết cấu theo lịch sử thời gian trong SAP2000 (Phần 1)

Nội dung text: Các phương pháp phân tích động phi tuyến kết cấu theo lịch sử thời gian trong SAP2000 (Phần 1)

1. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐỘNG PHI TUYẾN KẾT CẤU THEO LỊCH SỬ THỜI GIAN TRONG SAP2000 (PHẦN 1) ThS. TRẦN NGỌC CƯỜNG Viện KHCN Xây dựng Tóm tắt: Bài báo này gồm có hai phần, giới hình thành khớp dẻo trong kết cấu, trong khi thiệu những phương pháp phân tích động phi phương pháp phân tích phổ phản ứng dạng dao tuyến theo lịch sử thời gian được tích hợp sẵn động không cho biết được điều này. Một ưu điểm trong phần mềm SAP2000 nhằm giúp những nữa của việc phân tích động, đó là có thể dùng người dùng phổ thông có được những hiểu biết nó để hoàn thiện các phương pháp phân tích cơ bản về đặc điểm của từng phương pháp cũng khác, ví dụ như xây dựng các phổ phản ứng thiết như phạm vi áp dụng của chúng. Với mỗi phương kế hoặc điều chỉnh giá trị hệ số ứng xử q. pháp, bài báo đưa ra các tính chất cơ bản như: Tiêu chuẩn xây dựng thiết kế chống động đất Thuộc họ nội ẩn thức hay ngoại hiển thức, điều của Việt Nam cũng khuyến khích sử dụng kiện ổn định (nếu có), độ chính xác trong kết quả phương pháp động phi tuyến trong phân tích kết tính toán, độ cản nhớt số, từ đó đưa ra phạm vi cấu công trình (mục 4.3.3., [2]). Tuy vậy trong áp dụng đề xuất. Bài báo cũng đưa ra một số ví thực hành, việc thực hiện phân tích động phi dụ tính toán để minh họa và làm rõ tính chất của tuyến hoặc kể cả đơn giản hơn là phương pháp từng phương pháp. đẩy dần còn khó khăn và không phải lúc nào 1. Đặt vấn đề cũng thực hiện được, xét theo cả khía cạnh kỹ Vấn đề phân tích động lực học phi tuyến (gọi thuật lẫn kinh tế, do yêu cầu lớn về nguồn nhân tắt là động phi tuyến) kết cấu công trình chịu tải lực trình độ cao, năng lực máy tính và thời gian trọng động đất theo phương pháp lịch sử thời phân tích [1]. gian (nonlinear time-history analyses) được quan Một trong những cách để áp dụng các phương tâm gần đây vì những ưu điểm của nó như: Khắc pháp phân tích động phi tuyến theo lịch sử thời phục được những nhược điểm của phương pháp gian là sử dụng các phần mềm máy tính được lập phân tích đàn hồi tuyến tính khi thiết kế những trình sẵn. SAP2000 là một phần mềm phân tích công trình có kết cấu đặc biệt, phức tạp (phương kết cấu được sử dụng tương đối rộng rãi ở Việt pháp này yêu cầu kết cấu phải thỏa mãn nhiều Nam. SAP2000 có thể tính toán với cả dạng phi yêu cầu mang tính định lượng theo các điều tuyến vật liệu và phi tuyến hình học (có xét đến khoản trong tiêu chuẩn áp dụng), phân tích chính hiệu ứng P-Δ). SAP2000 phiên bản Advance và xác hơn ứng xử của kết cấu có thể giúp giảm bớt Ultimate cho phép phân tích động phi tuyến theo kích thước tiết diện, làm giảm chi phí đầu tư mà lịch sử thời gian với một số phương pháp được vẫn đảm bảo an toàn khi sử dụng [1]. tích hợp sẵn, gồm có: Newmark, Wilson, So sánh với phương pháp phân tích phổ phản Collocation, Hilber – Hughes – Taylor, ứng dạng dao động (mục 4.3.3.3, [2]), phương Chung&Hulbert. Việc thực hiện tuần tự các bước pháp phân tích động phi tuyến cho phép xét đến để áp dụng các phương pháp này về cơ bản khả năng tiêu tán năng lượng một cách chính xác không quá phức tạp, có thể tham khảo những tài và đầy đủ hơn là chỉ thông qua một hệ số ứng xử liệu chỉ dẫn việc phân tích này trong phần Trợ q, đặc biệt với những hệ kết cấu nhà cao tầng giúp (Help) của chương trình, hoặc tham khảo hoặc các hệ kết cấu phức tạp mà tiêu chuẩn các video chỉ dẫn tính toán trên trang web chính chưa đề cập hết. Hơn nữa, phân tích động phi thức của hãng CSI [3]. Tuy nhiên, người tính tuyến có thể cho biết chính xác vị trí và thời điểm toán có thể gặp khó khăn trong việc lựa chọn Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 3
2. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG phương pháp và các tham số tính toán. Do vậy, (4) Phải có độ chính xác cấp 2 (sai số lấy đến bài báo hướng đến những người sử dụng thông (Δt)2). thường bằng cách tổng hợp và giúp người dùng Bài báo sẽ bám theo bốn tiêu chí này để đánh nắm được một số những đặc điểm cơ bản nhất giá các phương pháp tính. của các phương pháp phân tích động phi tuyến 2.1 Ngoại hiển thức, nội ẩn thức theo lịch sử thời gian, nhằm tăng hiệu quả sử Theo [6], những phương pháp thuộc họ ngoại dụng SAP2000. Trên cơ sở đó, bài báo có một số hiển thức (explicit) là những phương pháp có nội dung chính như sau: dạng: Di+1 =f D,D,D,D i i  i  i-1 (1) trong đó, giá trị (chuyển vị, vận tốc, gia tốc ) Phần 1: của bước thứ (i+1) có thể được tính trực tiếp từ - Tóm lược một số kiến thức cơ bản trong các giá trị của các bước trước đó. Những phân tích động phi tuyến theo lịch sử thời gian; phương pháp thuộc họ nội ẩn thức (implicit) có - Giới thiệu các phương pháp phân tích được dạng: tích hợp sẵn trong SAP2000 và các tính chất của D =f D ,D  ,D,  (2) i+1i+1 i+1 i chúng; trong đó, giá trị của bước thứ (i +1) không chỉ liên - Đưa ra một số khuyến nghị sử dụng cho một quan đến các giá trị của các bước trước đó mà số trường hợp tính toán. còn liên quan đến giá trị của chính bước hiện tại, Phần 2: (dự kiến đăng trong số tiếp theo của do vậy, để tính cần giải phương trình để tìm ra tạp chí) nghiệm. Phương pháp thường dùng để giải phương trình được áp dụng trong SAP2000 là - Giới thiệu một số ví dụ tính toán bằng phương pháp tính lặp Newton Raphson và SAP2000 nhằm làm rõ các đặc điểm của các Newton Raphson cải tiến (Modified Newton phương pháp tính. Raphson). 2. Các khái niệm cơ bản Những ưu điểm và nhược điểm của hai họ Để đánh giá một phương pháp phân tích, phương pháp này có thể chỉ ra như sau [7]: người ta dựa vào một vài tiêu chí khác nhau. Với họ phương pháp ngoại hiển thức: Theo Hilber, Hughes và Taylor [4], những yêu . Ưu điểm: cầu cơ bản của một phương pháp phân tích phi - Ít mất công tính toán hơn trong một bước; tuyến theo lịch sử thời gian bao gồm: - Thuật toán đơn giản, logic, dễ áp dụng với (1) Phải không có điều kiện ổn định với hệ kết kết cấu phi tuyến; cấu tuyến tính; - Cần ít dùng bộ nhớ máy tính hơn khi tính (2) Hệ số tiêu tán số học (numerical toán (so sánh với họ nội ẩn thức tính bằng vòng dissipation) - khái niệm này tương đương với hệ lặp Newton Raphson); số cản nhớt số (numerical damping ratio) sẽ - Thích hợp để thử các thuật toán mới vì viết được nhắc đến trong bài báo này - có thể được các đoạn mã chương trình máy tính đơn kiểm soát bằng các tham số thay vì kiểm soát giản hơn; bằng bước thời gian. Ngoài ra, phải có khả năng - Độ tin cậy và chính xác cao hơn. tính toán với trường hợp không có hệ số tiêu tán; . Nhược điểm: (3) Hệ số tiêu tán số học không được ảnh - Có điều kiện ổn định, do vậy nhiều trường hưởng quá lớn đến các dạng dao động hợp số bước tính toán yêu cầu rất lớn. bậc thấp. Bên cạnh đó, khi so sánh với họ phương pháp Ngoài ra, còn một tiêu chí khác được chấp nội ẩn thức, những ưu điểm của họ phương pháp nhận tương đối rộng rãi trong nhiều tài liệu, ví dụ ngoại hiển thức là nhược điểm của họ nội ẩn như [5], đó là: thức và ngược lại. 4 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016
3. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG . Ưu điểm: Do có điều kiện ổn định nên phương pháp ngoại hiển thức thường được dùng để giải các - Không có điều kiện ổn định nên giá trị bước bài toán thuộc dạng 1. Thông thường giá trị bước thời gian có thể lớn hơn nhiều lần so với họ thời gian được chọn thỏa mãn điều kiện ổn định phương pháp ngoại hiển thức. thì điều kiện về độ chính xác cũng tự động được . Nhược điểm: thỏa mãn. Với các bài toán động lực học, thường chiếm đa số trong các bài toán về xây dựng, - Chương trình tính toán thường lớn và phức phương pháp nội ẩn thức thường được chọn do tạp, ví dụ như khi sử dụng phương pháp tính lặp không có điều kiện ổn định. Trong trường hợp Newton Raphson; này, bước thời gian tính toán không chọn theo - Độ tin cậy kém hơn; điều kiện ổn định mà chọn theo yêu cầu về độ chính xác trong kết quả tính. - Tốn nhiều dung lượng xử lý hơn. 2.3 Sai số tương đối của chu kỳ 2.2 Phạm vi áp dụng của mỗi phương pháp Để đánh giá độ chính xác trong kết quả của Theo [8], các bài toán động lực học công trình mỗi phương pháp phân tích động phi tuyến, khái được chia làm hai dạng chính: niệm sai số tương đối của chu kỳ (relative period error) được sử dụng và được tính bằng: - Dạng 1 là các bài toán dạng truyền sóng (wave propagation problems), ví dụ như khi công T-T PE = (3) trình chịu tác động va chạm hoặc các vụ nổ. T Trong dạng này, ảnh hưởng của các dạng dao trong đó: động tần số cao đến tổng thể công trình là đáng PE là ký hiệu của sai số tương đối của chu kỳ kể và ta cần phải quan tâm đến hiệu ứng của các (Period Error). sóng ứng suất. Thời gian bị ảnh hưởng của công T là chu kỳ dao động của hệ kết cấu tính bằng trình thường là ngắn. phương pháp phân tích phi tuyến theo lịch sử thời Dạng 2 là các bài toán động lực học (structural gian. dynamics problems), được định nghĩa là những T là chu kỳ dao động thực. bài toán không nằm trong dạng 1, ví dụ như khi Sai số tương đối của chu kỳ được mô tả như tác động của động đất. Trong dạng này, lực quán trong hình 1 [9]. Việc tính toán các thông số này tính đóng vai trò quan trọng trong ứng xử tổng thường phức tạp và cần sử dụng đến máy tính. thể của công trình, công trình chịu ảnh hưởng Sai số tương đối của chu kỳ càng nhỏ thì kết quả của các dạng dao động bậc thấp là chủ yếu. tính sẽ càng chính xác. 2πξ d T/2 T T t Hình 1. Các thông số đánh giá độ chính xác của phương pháp tính 2.4 Hệ số cản nhớt số thêm vào đó, với các bài toán động lực thuộc Các phương pháp phân tích phi tuyến theo dạng 2 thì ảnh hưởng của các dạng dao động lịch sử thời gian hiện tại thường cho kết quả bậc cao với tổng thể kết cấu là không đáng kể, do không chính xác với các dạng dao động bậc cao, vậy hệ số cản nhớt số (algorithmic damping ratio Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 5
4. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG hoặc numerical damping ratio) có tác dụng làm Phương pháp Newmark [10] là phương pháp tắt nhanh chóng ảnh hưởng của các dạng dao được biết đến rộng rãi nhất trong tất cả các động bậc cao trong khi không làm ảnh hưởng phương pháp phân tích động phi tuyến theo lịch đến độ chính xác của các dạng dao động bậc sử thời gian. Phương trình mô tả phương pháp thấp. Một phương pháp tính được đánh giá là tốt này được viết như sau: Ma + Cv + Kd = F nếu nó có khả năng kiểm soát và điều chỉnh hệ i+1 i+1 i+1 i+1 số cản nhớt số bằng cách thay đổi các tham số 2 Δt tính toán. Trong mỗi phương pháp được giới d = d + Δtv+ 1-2βa+2βa (4) i+1 i i i i+1 thiệu ở mục 3, các giá trị này đều được đưa ra 2 làm cơ sở so sánh. v = v + Δt 1- γ a + γa i+1 i i i+1 3. Các phương pháp phân tích Có rất nhiều cách để lựa chọn các hệ số β và γ cho phương pháp này, tuy nhiên có 4 cách lựa 3.1 Phương pháp Newmark chọn được biết đến rộng rãi nhất như sau: Bảng 1. Các phương pháp thường dùng trong họ phương pháp Newmark Điều kiện ổn định Hệ số cản Tên thường gọi bằng tiếng Anh Kiểu β γ (*) nhớt số Average Acceleration Method (AAM) Nội ẩn thức 1/4 ½ Không Không Linear Acceleration Method Nội ẩn thức 1/6 ½ crit 2 3  3,464 Không Fox-Goodwin Method Nội ẩn thức 1/12 ½ crit 6  2,449 Không Newmark Explicit Method (NEM) Ngoại hiển thức 0 ½ Không crit 2 (*) Điều kiện ổn định của phương pháp được tính theo công thức: hay   t 2 / T t crit , với T là chu kỳ dao động lớn nhất của hệ kết cấu. Điều kiện ổn định còn phụ thuộc vào độ t/ T crit / 2 cản nhớt vật lý của hệ kết cấu, ở đây xét với trường hợp không có cản nhớt vật lý (ξ = 0). Hình 2. Sai số tương đối của chu kỳ ứng với trường hợp γ =1/2 Trong 4 phương pháp này thì hai phương Newmark có thể có hệ số cản nhớt số với γ > 1/2, pháp AAM và NEM thường được dùng nhiều tuy nhiên nó sẽ làm giảm độ chính xác của kết hơn. Tất cả các phương pháp này đều không có quả tính từ bậc 2 xuống bậc 1 nên trường hợp hệ số cản nhớt số (thực tế là phương pháp này thường ít được quan tâm). Sau này, chúng 6 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016
5. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG được điều chỉnh cải tiến để đưa thêm hệ số cản Tích phân một lần nữa từ công thức nhớt số vào như phương pháp HHT sẽ nói ở mục (6) để thu được vec-tơ chuyển vị: 0. Sai số tương đối của chu kỳ của cả 4 phương 2  3 pháp này được trình bày trong hình 2. Hình 2 cho d =d+v+a+ a -a (7) t+ t t tt+ Δt t 2 6 Δt thấy nếu xét về độ chính xác trong kết quả tính Ở thời điểm t+(Δt), ta có: toán thì trường hợp β = 1/12 cho kết quả chính Δt v = v + a + a (8) xác hơn cả, tuy nhiên, nó lại có điều kiện ổn định. t t t+ Δt2 t+ Δt Trường hợp β = ½ thường được dùng do nó 2 Δt không có điều kiện ổn định. Với β = 0, dù có điều d = d + Δt v + a + 2a (9) t+ Δt t t6 t+ Δt t kiện ổn định nhưng lại hay được dùng để đối Thay các công thức (5), (6) và (7) vào phương chiếu kết quả vì nó là phương pháp ngoại hiển trình chuyển động cơ bản với  = θ(Δt), ta có: thức. Ma + Cv +Kd = F (10) t+θ Δt t+θ Δt t+θ Δt t+θ Δt 3.2 Phương pháp Wilson Theta Giải phương trình (10) với một ẩn duy nhất Giả thiết cơ bản của phương pháp Wilson chưa biết là at+θ(Δt), sau đó thế vào công thức Theta [11] đó là gia tốc của hệ kết cấu thay đổi (8) và (9) ta thu được các giá trị chuyển vị, vận tuyến tính trong khoảng thời gian từ thời điểm t tốc, gia tốc ở thời điểm t+(Δt). Khảo sát phương đến thời điểm t + θ(Δt) với θ ≥ 1 và θ được xác pháp này, ta thu được khoảng tối ưu cho giá trị θ định dựa vào việc tối ưu hóa độ ổn định và độ là 1,37 ≤ θ ≤ 1,4, trong khoảng giá trị này phương chính xác của kết quả tính toán. Gọi  là khoảng pháp này không có điều kiện ổn định. Lưu ý rằng, thời gian tính thời điểm t đến thời điểm đang xét, với θ = 1, phương pháp này sẽ trở thành phương θ t θ với 0 ≤  ≤ (Δ ), ≥ 1; như vậy trong khoảng thời pháp Newmark tương ứng với trường hợp β = gian từ t đến thời điểm t+θ(Δt), ta có: 1/6 và γ = ½, khi đó nó sẽ có điều kiện ổn định.  a = a + a - a (5) Sai số tương đối của chu kỳ, hệ số cản nhớt t+ t Δt t+ Δt t số ứng với các trường hợp θ = 1,37 và 1,4 được Tích phân công thức (5) để có vec-tơ vận tốc thể hiện trong hình 3. Sai số tương đối của chu như sau: kỳ của phương pháp Wilson Theta và hình 4,  2 trong khi các tính chất của phương pháp được v = v + τa + a - a (6) t+ t tt+ Δt t 2 Δt thể hiện trong bảng 2. Bảng 2. Các giá trị tham số θ và các tính chất của phương pháp Wilson Theta Giá trị  Kiểu Điều kiện ổn định Hệ số cản nhớt số 1,37 Nội ẩn thức Không Có 1,4 Nội ẩn thức Không Có 1,0 (*) Nội ẩn thức Có Có (*): Với θ = 1, phương pháp này sẽ trở thành một trường hợp của phương pháp Newmark, liệt kê ở đây chỉ để tham khảo Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 7
6. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Hình 3. Sai số tương đối của chu kỳ của phương pháp Wilson Theta Hình 4. Độ cản nhớt số của phương pháp Wilson Theta 1 1 3.3 Phương pháp collocation nữa, đó là  12 2   1 , tuy nhiên trong trường hợp này lại yêu cầu có điều kiện ổn định. Phương pháp collocation là sự kết hợp của Khoảng giá trị để phương pháp này thỏa mãn hai phương pháp Newton và Wilson Theta với không có điều kiện ổn định và có độ chính xác phương trình mô tả được viết như sau [12]: cấp 2 là (xem hình 5): Ma + Cv + Kd = F 2 i+θi +θ i+θ i+θ θ 2θ -1 γ =1 θ 1 β (12) 2 3 a = 1- θ Ma + θMa 2 θ +1 4 2θ -1 i+θ i i+1 (11) F = 1- θ F + θF Các giá trị β và θ được lựa chọn lựa chọn theo i+θ i i+1 điều kiện tối ưu hóa độ chính xác của kết quả và 2 2 θ Δt giá trị độ cản nhớt số, cách lựa chọn này thực d = d + θΔtv+ 1-2βa+2βa i+θi i2 i i+θ hiện như sau: giá trị γ cố định bằng ½ để phương pháp có độ chính xác cấp hai, tương v = v + θ Δt 1- γ a + γa i+θi i i+θ ứng với mỗi giá trị β sẽ tìm lấy một giá trị θ sao Với θ = 1, phương pháp này trở thành phương cho sai số của kết quả là nhỏ nhất và độ cản nhớt pháp Newmark, còn với β = 1/6 và γ = ½, phương số là lớn nhất. Một số cặp giá trị (β, γ, θ) được pháp này trở thành phương pháp Wilson Theta. khuyến nghị lựa chọn trong bảng 3. Với các giá trị Điều kiện để phương pháp này có độ chính xác cấp hai là γ = ½. Để có độ chính xác trong kết tham số khác có thể được lựa chọn bằng cách quả lên đến cấp 3 thì cần thêm một điều kiện nội suy tuyến tính giữa các giá trị đã cho. 8 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016
7. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Hình 5. Vùng giá trị không có điều kiện ổn định của phương pháp collocation (γ = ½) Bảng 3. Các cặp giá trị tham số khuyến nghị sử dụng cho phương pháp collocation Hệ số cản nhớt β γ θ Kiểu Ghi chú số Trở thành phương pháp ¼ 0.25 1 Nội ẩn thức Không AAM 0.24 0.25 1,021712 Nội ẩn thức Có 0.22 0.25 1,077933 Nội ẩn thức Có 0.20 0.25 1,159772 Nội ẩn thức Có 0.18 0.25 1,287301 Nội ẩn thức Có Trở thành phương pháp 1/6 0.25 1,420815 Nội ẩn thức Có Wilson Theta Nhìn chung, với những yêu cầu sử dụng thông 3.4 Phương pháp Hilber – Hughes – Taylor thường thì phương pháp này không dễ sử dụng, (HHT) việc lựa chọn các cặp giá trị tham số khó hơn so Hilber, Hughes và Taylor đã đề xuất một với các phương pháp khác, do đó không khuyến nghị lựa chọn phương pháp này trong tính toán. phương pháp tính mới, trong đó đưa thêm vào hệ Bài báo cũng không trình bày kỹ hơn về phương số α để điều chỉnh hệ số cản nhớt số tính toán, pháp này, nếu bạn đọc quan tâm có thể tham điều mà họ phương pháp Newmark không làm khảo tài liệu [12, pp. 114-119]. được [4]. Phương pháp này được viết như sau: Ma + 1+ α Cv - αCv + 1+ α Kd - αKd = 1+ α F - αF i+1 i+1 i i+1 i i+1 i 2 Δt d = d + Δtv+ 1-2βa+2βa (13) i+1 i i2 i i+1 v = v + Δt 1- γ a + γa i+1 i i i+1 2 Giá trị α khuyến nghị nằm trong khoảng [-1/3, 1- 2α 1- α 0], trong đó với α = 0 thì phương pháp này trở γ = β = (14) 2 4 thành phương pháp AAM (thuộc họ phương pháp Giá trị α càng giảm thì hệ số cản nhớt số càng Newmark). Các giá trị β, γ được lựa chọn căn cứ tăng. Với trường hợp α = 0, nó không có hệ số theo α như sau: Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 9
8. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG cản nhớt số, tương tự như với phương pháp trường hợp này, đây chính là phương pháp AAM. AAM như đã nói ở mục 0. Một số cặp giá trị α, β, γ và các tính chất của chúng được trình bày Phương pháp này được chọn là phương như trong bảng 4 để thuận tiện cho người sử pháp tính mặc định trong SAP2000 với hệ số dụng. mặc định α = 0, β = 0,25 và γ = 0,5. Trong Bảng 4. Các giá trị thông số đầu vào thông dụng cho phương pháp HHT Hệ số cản nhớt Giá trị α Kiểu β γ Điều kiện ổn định số -1/3 Nội ẩn thức 0,444 0,833 Không Có -1/6 Nội ẩn thức 0,340 0,667 Không Có 0 Nội ẩn thức 0,25 0,5 Không Không Ghi chú: Trong SAP2000, người dùng chỉ cần nhập giá trị α, giá trị β, γ sẽ do chương trình tự động tính toán. Sai số tương đối của chu kỳ, hệ số cản nhớt số ứng với các trường hợp α khác nhau được thể hiện trong hình 6 và hình 7. Ta thấy rằng, muốn có được hệ số cản nhớt số thì ta phải giảm độ chính xác, độ cản nhớt số càng tăng thì độ chính xác trong kết quả giảm xuống. Hình 6. Sai số tương đối của chu kỳ của phương pháp HHT Hình 7. Hệ số cản nhớt số của phương pháp HHT 10 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016
9. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 3.5 Phương pháp Chung&Hulbert Phương pháp Chung & Hulbert [13], đôi khi còn được gọi là phương pháp hệ số α (α-method), là phương pháp tổng quát bao hàm cả phương pháp Newmark và HHT, được viết như sau: 1- α Ma Ma+1-αCv +αCv+1-αKd +αKd=1-αF +αF m i+1m i i+1 i i+1 i i+1 i 2 Δt d = d + Δtv+ 1-2βa+2βa (15) i+1 i i2 i i+1 v = v + Δt 1- γ a + γa i+1 i i i+1 Hai giá trị αm , α, β và γ được xác định dựa vào điều kiện ổn định, độ chính xác và sai số của kết quả tính. Dễ thấy rằng, với αm = 0, phương pháp này sẽ trở thành phương pháp HHT, và với cả αm = 0 và α = 0, phương pháp này trở thành phương pháp Newmark. Để phương pháp này không có điều kiện ổn định, các giá trị αm , α, β và γ được kiến nghị lựa chọn như sau: 2p -1 p 1 1 3 - p α = α = β = γ = m 2 (16) p +1 p +1 p +1 2 p +1 Giá trị p nằm trong khoảng [0, 1]. Với p = 1, phương pháp này không có hệ số cản nhớt số (trở thành phương pháp Newmark), p càng nhỏ sẽ cho hệ số cản nhớt số càng tăng, p = 0,5 sẽ trở thành phương pháp HHT tương ứng với α = -1/3. Một số trường hợp tính của phương pháp Chung&Hulbert được thể hiện trong, sai số tương đối của chu kỳ và hệ số cản nhớt sô được thể hiện trong hình 8 và hình 9. Bảng 5. Giá trị đầu vào của một số trường hợp tính của phương pháp Chung&Hulbert Điều kiện ổn Hệ số cản Giá trị p Kiểu α α β γ m định nhớt số 1 Nội ẩn thức 0,5 0,5 0,25 0,5 Không Không 0,5 Nội ẩn thức 0 1/3 0,444 0,833 Không Có 0 Nội ẩn thức -1,0 0 1,0 1,5 Không Có Hình 8. Sai số tương đối của chu kỳ của phương pháp Chung&Hulbert Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 11
10. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Hình 9. Hệ số cản nhớt số của phương pháp Chung&Hulbert 4. Lựa chọn các phương pháp tính Để dễ hình dung và so sánh các phương pháp tính, từ đó lựa chọn một phương pháp tính thích hợp, sai số tương đối của chu kỳ và độ cản nhớt số của các phương pháp được in chung trong hình 10 và hình 11. Các phương pháp được lựa chọn so sánh được ký hiệu như sau: - AAM: phương pháp Newmark với β = 0,25, γ = 0,5; - HHT: phương pháp Hilber – Hughes – Taylor với α = -1/3; - WIL: phương pháp Wilson Theta với θ = 1,4; - C&H: phương pháp Chung&Hulbert với p = 0. Hình 10. So sánh độ sai số tương đối của chu kỳ giữa các phương pháp tính 12 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016
11. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Hình 11. So sánh hệ số cản nhớt số giữa các phương pháp tính Từ hình 10 và hình 11, ta có thể đưa ra một số 5. Kết luận kết luận sau: Bài báo (phần 1) đã tóm lược một số đặc điểm - Sai số của phương pháp C&H là cao nhất, của các phương pháp phân tích phi tuyến theo do vậy phương pháp này thường không được lựa lịch sử thời gian trong SAP2000. Với mỗi phương pháp, có thể đánh giá tính chất của nó qua các chọn để tính toán. Với phương pháp tính chất như: nội ẩn thức hay ngoại hiển thức, Chung&Hulbert, khoảng giá trị 0 ≤ p < 0,5 thường điều kiện ổn định, độ chính xác trong kết quả tính, ít được lựa chọn do sai số lớn. hệ số cản nhớt số. Bài báo đã đưa ra những - Độ chính xác của phương pháp AAM là cao trường hợp tính toán cơ bản nhất với mỗi nhất, do vậy trong những trường hợp tính không phương pháp làm cơ sở để sử dụng tính toán với yêu cầu có độ cản nhớt số, phương pháp này SAP2000. Trong các phương pháp được thiết lập thường được lựa chọn để tính toán. Để dễ nhớ, sẵn trong SAP2000, phương pháp có thể chọn phương pháp HHT và gán hệ số α = Chung&Hulbert có thể bao quát gần như đủ hết 0, trường hợp này phương pháp HHT sẽ tương các trường hợp còn lại (trừ phương pháp Wilson ứng với phương pháp AAM. Đây chính là trường Theta). Tuy nhiên, phương pháp nên lựa chọn sử hợp tính mặc định của SAP2000. dụng là phương pháp HHT do các tính chất của - Trong trường hợp cần có độ cản nhớt số, nó được kiểm soát duy nhất với một thông số. Tất cả các trường hợp tính với các phương pháp nên sử dụng phương pháp HHT ứng với α < 0 do đều thuộc họ nội ẩn thức, duy nhất một trường dễ nhớ (chỉ cần nhập một giá trị α, SAP2000 sẽ hợp tính của phương pháp Newmark thuộc họ tự tính với các giá trị β, γ còn lại). ngoại hiển thức, nhưng phương pháp này không - Khi tính toán với hệ kết cấu phức tạp, có được khuyến nghị sử dụng do có điều kiện ổn nhiều bậc tự do và có tính phi tuyến cao, nên định, chỉ dùng để so sánh kết quả hoặc để giải chọn phương pháp HHT với hệ số α <0 (ví dụ: α các bài toán dạng truyền sóng, dạng này ít gặp = -0,1, -0.2 hoặc -0.33), vì việc loại bỏ ảnh hưởng trong xây dựng. của các dạng dao động có tần số cao sẽ làm tăng Phần 2 tiếp theo của bài báo sẽ giới thiệu một khả năng hội tụ của kết quả tính toán khi chương số ví dụ tính toán để làm rõ các tính chất của trình dùng thuật toán tính lặp. phương pháp này. Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 13
12. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG TÀI LIỆU THAM KHẢO Procedures,” trong Computational Methods for Transient Analysis, North Holland, Elsevier [1] Nguyễn Hồng Hải (2015), “Nghiên cứu sự làm Science Publisher B.V, 1983, p. 55. việc của nhà cao tầng bê tông cốt thép có tầng cứng chịu tác động của động đất ở Việt Nam”, [8] R. D. Cook, D. S. Malkus và M. E. Plesha, Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng, Hà Nội, Concepts and applications of finite element 2015. analysis, Madison, Wisconsin: John Wiley & Son, 1988. [2] TCVN9386:2012, “Thiết kế công trình chịu động đất”, Bộ Khoa học Công nghệ, Hà Nội, 2012. [9] T. J. Hughes, The Finite Element Method, [3] I. Computers and Structures, “SAP2000 Watch Toronto, Canada: General Publishing Company and Learn,” [Trực tuyến]. Available: Ltd., 1987. [10] Newmark, N.M., “A method of computation for atch-and-learn. [Đã truy cập 1 1 2016]. strutural dynamics,” Journal of Engineering [4] Hilber, H.M., Hughes, T.J.R. and Taylor, R.L., Mechanics Division, ASCE, tập 85, pp. 67-94, “Improved numerical dissipation for time 1959. integration algorithms in structural dynamics.,” [11] Bathe, K.J. and Wilson, E.L., “Stability and Earthquake Engineering and Structural accuracy analysis of direct integration Dynamics, tập 5, pp. 283-292, 1977. methods.,” Earthquake Engineering and [5] X. Zhou và K. Tamma, “Algorithms by design Structural Dynamics. Vol.1, pp. 283-291, 1973. with illustrations to solid and structural [12] Belytschko, T. and Hughes, T.J.R., mechanics/dynamics,” International Journal for Computational methods for transient analysis., Numerical Methods In Engineering, tập 66, pp. North-Holland, 1983. 1738-1790, 2006. [13] J. Chung and G.M. Hulbert., “A time integration [6] Robert D. Cook, David S. MalKus, Michael E. algorithm for structural dynamics with improved Plesha, “Finite Elements in Dynamics and numerical dissipation: The generalized-α Vibrations,” trong Concepts and Applications of method,” Journal of Applied Mechanics, pp. Finite Element Analysis, Madison, Wisconsin, 60:371-375, 1993. John Wiley & Sons, 1988, p. 396. Ngày nhận bài: 21/11/2015. [7] T. Belytschko, “An Overview of Semidiscretization and Time Integration Ngày nhận bài sửa lần cuối: 01/01/2016. 14 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016