Giáo trình Cấu trúc dữ liệu 2 - Chương 4: B-Tree - Trương Hải Bằng

Nội dung text: Giáo trình Cấu trúc dữ liệu 2 - Chương 4: B-Tree - Trương Hải Bằng

1. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 CHƢƠNG 4 - B-TREE Đối với cây nhị phân, mỗi node chỉ cĩ một mục dữ liệu và cĩ thể cĩ hai node con. Nếu chúng ta cho phép một node cĩ nhiều mục dữ liệu và nhiều node con thì kết quả là ta được cây nhiều nhánh. Cây 2- 3-4 là cây nhiều nhánh mà mỗi node của nĩ cĩ thể cĩ đến bốn node con và cĩ 3 mục dữ liệu. Để bước đầu làm quen với B-tree chúng ta khảo sát cây 2-3-4. Cây 2-3-4 là cây cân bằng giống như cây đỏ-đen. Tuy nhiên, ít hiệu quả hơn cây đỏ-đen nhưng ngược lại chúng lại dễ lập trình. B-tree là một dạng của cây nhiều nhánh, B-tree đặc biệt hữu dụng đối với việc tổ chức dữ liệu ở bộ nhớ ngồi. Một node trong B-tree cĩ thể cĩ hàng chục thậm chí hàng trăm node con. Chúng ta sẽ thảo luận về bộ nhớ ngồi và B-tree trong phần tiếp theo. 1. CÂY 2-3-4 1.1. Giới thiệu về cây 2-3-4 Chúng ta sẽ xem xét các đặc tính của cây 2-3-4 và mối quan hệ khá gần gũi giữa cây 2-3-4 và cây đỏ-đen. Hình 4.1 trình bày một cây 2-3-4 đơn giản. Mỗi node cĩ thể lưu trữ 1, 2 hoặc 3 mục dữ liệu. Hình 4.1 cây 2-3-4 Các số 2, 3 và 4 trong cụm từ cây 2-3-4 cĩ ý nghĩa là khả năng cĩ bao nhiêu liên kết đến các node con cĩ thể cĩ được trong một node cho trước. Đối với các node khơng phải là lá, cĩ thể cĩ 3 cách sắp xếp sau: Một node với một mục dữ liệu thì luơn luơn cĩ 2 con. Một node với hai mục dữ liệu thì luơn luơn cĩ 3 con. Một node với ba mục dữ liệu thì luơn luơn cĩ 4 con. Như vậy, một node khơng phải là lá phải luơn luơn cĩ số node con nhiều hơn 1 so với số mục dữ liệu của nĩ. Nĩi cách khác, đối với mọi node với số con là l và số mục dữ liệu là d, thì : l = d + 1 Chương 4: B-Tree Trang 1
2. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Hình 4.2. các trường hợp của cây 2-3-4 Với mọi node lá thì khơng cĩ node con nhưng cĩ thể chứa 1, 2 hoặc 3 mục dữ liệu, khơng cĩ node rỗng. Một cây 2-3-4 cĩ thể cĩ đến 4 cây con nên được gọi là cây nhiều nhánh bậc 4. Trong cây 2-3-4 mỗi node cĩ ít nhất là 2 liên kết ,trừ lnode lá (node khơng cĩ liên kết nào). Hình 4.2 trình bày các trường hợp của cây 2-3-4. Một node với 2 liên kết gọi là một 2-node, một node với 3 liên kết gọi là một 3-node, và một node với 4 liên kết gọi là một 4-node, nhưng ở đây khơng cĩ loại node nào là 1-node. 1.2. Tổ chức cây 2-3-4 Các mục dữ liệu trong mỗi node được sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải (sắp xếp từ thấp đến cao). Một đặc tính quan trọng của bất kỳ cấu trúc cây là mối liên hệ giữa các liên kết với giá trị khĩa của các mục dữ liệu. Trong cây tìm kiếm nhị phân, tất cả node của cây con bên trái cĩ khố nhỏ hơn khĩa của node đang xét và tất cả node của cây con bên phải cĩ khố lớn hơn hoặc bằng khĩa của node đang xét. Trong cây 2-3-4 thì nguyên tắc cũng giống như trên, nhưng cĩ thêm một số điểm sau: Tất cả các node con của cây con cĩ gốc tại node con thứ 0 thì cĩ các giá trị khố nhỏ hơn khố 0. Tất cả các node con của cây con cĩ gốc tại node con thứ 1 thì cĩ các giá trị khố lớn hơn khố 0 và nhỏ hơn khố 1. Tất cả các node con của cây con cĩ gốc tại node con thứ 2 thì cĩ các giá trị khố lớn hơn khố 1 và nhỏ hơn khố 2. Chương 4: B-Tree Trang 2
3. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Tất cả các node con của cây con cĩ gốc tại node con thứ 3 thì cĩ các giá trị khố lớn hơn khố 2. Trong tất cả cây 2-3-4, các lá đều nằm trên cùng một mức. Các node ở mức trên thường khơng đầy đủ, nghĩa là chúng cĩ thể chứa chỉ 1 hoặc 2 mục dữ liệu thay vì 3 mục. Lưu ý rằng cây 2-3-4 là cây cân bằng. Nĩ vẫn giữ được sự cân bằng khi thêm vào các phần tử cĩ thứ tự (tăng dần hoặc giảm dần). 1.3. Tìm kiếm Thao tác tìm kiếm trong cây 2-3-4 tương tự như thủ tục tìm kiếm trong cây nhị phân. việc tìm kiếm bắt đầu từ node gốc và chọn liên kết dẫn đến cây con với phạm vi giá trị phù hợp. Ví dụ, để tìm kiếm mục dữ liệu với khố là 64 trên cây ở hình 4.1, bạn bắt đầu từ gốc. Tại node gốc khơng tìm thấy mục khố này. Bởi vì 64 lớn 50, chúng ta đi đến node con 1, (60/70/80)(lưu ý node con 1 nằm bên phải, bởi vì việc đánh số của các node con và các liên kết bắt đầu tại 0 từ bên trái). Tại vị trí này vẫn khơng tìm thấy mục dữ liệu, vì thế phải đi đến node con tiếp theo. Tại đây bởi vì 64 lớn hơn 60 nhưng nhỏ hơn 70 nên đi tiếp đến node con 1. Tại thời điểm chúng ta tìm được mục dữ liệu đã cho với liên kết là 62/64/66. 1.4. Thêm vào Các mục dữ liệu mới luơn luơn được chèn vào tại các node lá . Nếu mục dữ liệu được thêm vào node mà cĩ node con, thì số lượng của các node con cần thiết phải được chuyển đổi để duy trì cấu trúc cho cây, đây là lý do tại sao phải cĩ số node con nhiều hơn 1 so với các mục dữ liệu trong một nút. Việc thêm vào cây 2-3-4 trong bất cứ trường hợp nào thì quá trình cũng bắt đầu bằng cách tìm kiếm node lá phù hợp. Nếu khơng cĩ node đầy nào (node cĩ đủ 3 mục dữ liệu) được bắt gặp trong quá trình tìm kiếm, việc chèn vào khá là dễ dàng. Khi node lá phù hợp được tìm thấy, mục dữ liệu mới đơn giản là thêm vào nĩ. Hình 4.3 trình bày một mục dữ liệu với khố 18 được thêm vào cây 2-3-4. Việc chèn vào cĩ thể dẫn đến phải di chuyển một hoặc hai mục dữ liệu trong node vì thế các khố sẽ nằm với trật tự đúng sau khi mục dữ liệu mới được thêm vào. Trong ví dụ này số 23 phải được đẩy sang phải để nhường chỗ cho 18. Chương 4: B-Tree Trang 3
4. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Hình 4.3 Chèn vào khơng làm tách cây (i) trước khi chèn vào (ii) sau khi chèn vào Tách nút Việc thêm vào sẽ trở nên phức tạp hơn nếu gặp phải một node đầy (node cĩ số mục dữ liệu đầy đủ) trên nhánh dẫn đến điểm thêm vào. Khi điều này xảy ra, node này cần thiết phải được tách ra. Quá trình tách nhằm giữ cho cây cân bằng. Loại cây 2-3-4 mà chúng ta đề cập ở đây thường được gọi là cây 2-3-4 top-down bởi vì các node được tách ra theo hướng đi xuống điểm chèn. Giả sử ta đặt tên các mục dữ liệu trên node bị phân chia là A, B và C. Sau đây là tiến trình tách (chúng ta giả sử rằng node bị tách khơng phải là node gốc; chúng ta sẽ kiểm tra việc tách node gốc sau này): Một node mới và rỗng được tạo. Nĩ là anh em với node sẽ được tách và được đưa vào bên phải của nĩ. Mục dữ liệu C được chuyển vào node mới. Mục dữ liệu B được chuyển vào node cha của node được tách. Mục dữ liệu A khơng thay đổi. Hai node con bên phải nhất bị hủy kết nối từ node được tách và kết nối đến node mới. Một ví dụ về việc tách node trình bày trên hình 4.4. Một cách khác để mơ tả sự tách node là một 4-node được chuyển đổi sang hai 2-nút. Chương 4: B-Tree Trang 4
5. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Chú ý rằng ảnh hưởng của sự tách node là dịch chuyển dữ liệu đi lên về bên phải. Sự sắp xếp lại này nhằm mục đích giữ cho cây cân bằng. Hình 4.4: Tách một nút (i ) Trước khi chèn vào (ii) Sau khi chèn vào Tách node gốc Khi gặp phải node gốc đầy tại thời điểm bắt đầu tìm kiếm điểm chèn, kết quả của việc tách thực hiện như sau: Node mới được tạo ra để trở thành gốc mới và là cha của node được tách. Node mới thứ hai được tạo ra để trở thành anh em với node được tách. Mục dữ liệu C được dịch chuyển sang node anh em mới. Mục dữ liệu B được dịch chuyển sang node gốc mới. Mục dữ liệu A vẫn khơng đổi. Hai node con bên phải nhất của node được phân chia bị hủy kết nối khỏi nĩ và kết nối đến node mới bên phải. Chương 4: B-Tree Trang 5
6. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Hình 4.5 Tách node gốc i) Trước khi thêm vào ii) Sau khi thêm vào Hình 4.5 chỉ ra việc tách node gốc. Tiến trình này tạo ra một node gốc mới ở mức cao hơn mức của node gốc cũ. Kết quả là chiều cao tổng thể của cây được tăng lên 1. Đi theo node được tách này, việc tìm kiếm điểm chèn tiếp tục đi xuống phía dưới của cây. Trong hình 4.5 mục dữ liệu với khố 41 được thêm vào lá phù hợp. Tách theo hướng đi xuống Chú ý rằng, bởi vì tất cả các node đầy được tách trên đường đi xuống nên việc tách node khơng gây ảnh hưởng gì khi phải đi ngược lên trên của cây. Node cha của bất cứ node nào bị tách phải đảm bảo rằng khơng phải là node đầy, để đảm bảo node cha này cĩ thể chấp nhận mục dữ liệu B mà khơng cần thiết nĩ phải tách ra. Tất nhiên nếu node cha này đã cĩ hai con thì khi node con bị tách, nĩ sẽ trở thành node đầy. Tuy nhiên điều này chỉ cĩ nghĩa là nĩ cĩ thể sẽ bị tách ra khi lần tìm kiếm kế tiếp gặp nĩ. Hình 4.6 trình bày một loạt các thao tác chèn vào một cây rỗng. Cĩ 4 node được tách, 2 node gốc và 2 node lá. Thêm vào 70, 30, 50 Thêm 40 Chương 4: B-Tree Trang 6
7. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Thêm vào 20, 80 Thêm vào 25, 90 Thêm vào 75 Thêm vào 10 Hình 4.6 Minh họa thêm một node vào cây 2-3-4 1.5. Cây 2-3-4 và cây Đỏ-Đen Cây 2-3-4 và cây đỏ-đen hầu như là các thực thể khác nhau hồn tồn. Tuy nhiên, ở một ngữ cảnh nào đĩ chúng cĩ sự tương đương với nhau. Cây này cĩ thể chuyển sang cây khác bằng một chương trình với một số quy tắc đơn giản, và thậm chí các thao tác để giữ cho chúng cân bằng cũng tương đương. Các nhà tốn học gọi chúng là đồng đẳng. Bạn cĩ thể sẽ khơng cần chuyển đổi một cây 2-3-4 sang cây đỏ-đen, nhưng sự tương đương của các cấu trúc này đưa ra thêm một quan niệm trên thao tác của chúng và điều này cũng hữu dụng trong việc phân tích tính hiệu quả của chúng. Trong lịch sử thì cây 2-3-4 phát triển trước; Sau đĩ cây đỏ-đen suy ra từ nĩ. 1.6. Chuyển từ cây 2-3-4 sang cây Đỏ-Đen Một cây 2-3-4 cĩ thể được chuyển sang cây đỏ-đen bằng cách áp dụng các luật sau: Chuyển đổi bất kỳ 2-node ở cây 2-3-4 sang node đen ở cây đỏ-đen. Chương 4: B-Tree Trang 7
8. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Chuyển đổi bất kỳ 3-node sang node con C (với hai con của chính nĩ) và node cha P (với các node con C và node con khác). Khơng cĩ vấn đề gì ở đây khi một mục trở thành node con và mục khác thành node cha. C được tơ màu đỏ và P được tơ màu đen. Chuyển đổi bất kỳ 4-node sang node cha P và cả hai node con C1, C2 màu đỏ. Hình 4.7 trình bày các chuyển đổi này. Các node con trong các cây con được tơ màu đỏ; tất cả các node khác được tơ màu đen. Hình 4.8 trình bày cây 2-3-4 và cây đỏ-đen tương ứng với nĩ bằng cách áp dụng các chuyển đổi này. Các đường chấm xung quanh các cây con được tạo ra từ 3-node và 4-nút. Các luật của cây đỏ-đen tự động thoả mãn với sự chuyển đổi này. Kiểm tra rằng: Hai node đỏ khơng bao giờ được kết nối, và số lượng các node đen là như nhau ở mọi đường dẫn từ gốc đến lá (hoặc node con null). Bạn cĩ thể nghĩ rằng một 3-node ở cây 2-3-4 là tương đương với node cha cĩ một node con màu đỏ ở cây đỏ-đen, và một 4-node là tương đương với node cha cĩ hai node con đỏ. Điều này nghĩa là node cha màu đen với node con đen ở cây đỏ-đen khơng biểu diễn một 3-node ở cây 2- 3-4; nĩ chỉ biểu diễn một 2-node với node con 2-node khác. Tương tự, một node cha màu đen với 2 con màu đen khơng biểu diễn cho 4-nút. Hình 4.7 Chuyển đổi từ cây 2-3-4 sang cây đỏ-đen Chương 4: B-Tree Trang 8
9. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Hình 4.8 Cây 2-3-4 và cây đỏ-đen tương ứng Sự tƣơng đƣơng Khơng những cấu trúc của cây đỏ-đen phù hợp với cây 2-3-4, mà các thao tác hoạt động của hai loại cây này cũng tương đương nhau. Trong cây 2-3-4 nĩ được giữ cân bằng bằng việc tách nút. Trong cây đỏ-đen hai phương thức cân bằng là sự lật và quay màu. Việc tách 4-node và lật màu Trong cây 2-3-4 khi bạn tìm xuống điểm chèn cho node mới, bạn tách mỗi 4-node thành hai 2-nút. Trong cây đỏ-đen bạn thực hiện việc lật màu. Làm thế nào mà các thao tác này là tương đương với nhau? Chương 4: B-Tree Trang 9
10. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Hình 4.9 Tách 4-node và lật màu Trong hình 4.9.i trình bày một 4-node trong cây 2-3-4 trước khi bị tách nút; Hình 4.9.ii trình bày tình trạng sau khi tách nút. 2-node (là cha của 4-nút) trở thành 3-nút. Trong hình 4.9.iii. trình bày cây đỏ-đen tương đương với cây 2-3-4 ở hình 4.9.i,. Đường chấm viền quanh sự tương đương của 4-nút. Lật màu đưa đến kết quả cây đỏ-đen ở hình 4.9.iv. Bây giờ các node 40 và 60 là màu đen và 50 là màu đỏ. Kết quả 50 và node cha của nĩ hình thành sự tương đương với một 3-nút, như trình bày bằng đường chấm. Điều này tương tự 3-node định dạng bằng việc tách node trong hình 4.9.ii. Kết quả chúng ta thấy rằng việc tách một 4-node trong quá trình chèn ở cây 2-3-4 là tương đương với việc thực hiện lật màu trong quá trình chèn ở cây đỏ-đen. Tách 3-node và quay Khi một 3-node ở cây 2-3-4 được chuyển sang cây đỏ-đen tương đương của nĩ, cĩ thể cĩ hai sự sắp xếp, như trình bày trong hình 4.8. Cả hai mục dữ liệu cĩ thể trở thành node cha. Tùy thuộc vào node nào được chọn, node con sẽ là node con bên trái hoặc node con bên phải, và độ dốc của đường thẳng nối node cha và node con sẽ ở bên trái hoặc bên phải. Cả hai sự sắp xếp là hợp lệ; Tuy nhiên, chúng khơng tham gia để cân bằng cây. Chúng ta hãy xem xét tình huống trong ngữ cảnh lớn hơn. Hình 4.10-i trình bày cây 2-3-4 cịn hình 4.10-ii, và 4.10-iii trình bày các cây đỏ-đen tương đương được suy ra từ cây 2-3-4 bằng cách áp dụng các luật chuyển đổi ở trên. Sự khác nhau giữa chúng là cách lựa chọn hai mục dữ liệu nào trong 3-node để tạo node cha; Trong hình ii, 80 là node cha, trong hình iii, 70 là node cha. Mặc dù cách sắp xếp này là hợp lệ, bạn cĩ thể thấy rằng cây trong hình ii là khơng cân bằng trong khi cây trong hình iii là cân bằng. Với cây đỏ-đen được cho trong hình ii, Chương 4: B-Tree Trang 10
11. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 chúng ta sẽ quay nĩ sang phải (và thực hiện việc chuyển đổi hai màu) để cân bằng nĩ. Điều đ�ng ngạc nhiên sự quay này cho kết quả chính xác giống như cây trong hình iii. Hình 4.10: 3-node và phép quay Kết quả chúng ta sẽ thấy sự tương đương giữa phép quay trong cây đỏ-đen và sự lựa chọn node nào đã là node cha khi chuyển đổi cây 2-3-4 sang cây đỏ-đen. Mặc dù chúng ta khơng chỉ ra điều này, sự tương đương tương tự cĩ thể nhận thấy khi cần thiết quay hai lần bên trong các node cháu. 1.7. Tính hiệu quả của cây 2-3-4 Tốc độ Trong cây đỏ-đen node trên mỗi mức phải được duyệt trong quá trình tìm kiếm, hoặc tìm kiếm một node đã tồn tại hoặc chèn vào một node mới. Số lượng các mức trong cây đỏ-đen (cây nhị phân cân bằng) là log2(N+1), vì thế thời gian tìm kiếm là tỷ lệ với giá trị này. Chương 4: B-Tree Trang 11
12. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Một node cũng phải được duyệt trong cây 2-3-4, nhưng cây 2-3-4 thì ngắn hơn (cĩ ít mức hơn) so với cây đỏ-đen khi số lượng các mục dữ liệu như nhau. Xem hình 4.8, ở đây cây 2-3-4 cĩ ba mức cịn cây đỏ-đen cĩ năm mức. Cụ thể hơn, trong cây 2-3-4 cĩ đến 4 con trên một nút. Nếu mỗi node là đầy, chiều cao của cây phải tỷ lệ với log4(N). Logarith với cơ số 2 và cơ số 4 khác nhau bởi một thừa số hằng của 2. Kết quả, chiều cao của cây 2-3-4 sẽ thấp hơn một nửa so với chiều cao của cây đỏ-đen, miễn là tất cả các node là đầy. Bởi vì tất cả chúng là khơng đầy, chiều cao của cây 2-3-4 nằm trong khoảng log2(N+1) và log2(N+1)/2. Kết quả là việc giảm chiều cao của cây 2-3-4 sẽ dẫn đến việc giảm một ít thời gian tìm kiếm so với cây đỏ-đen. Mặt khác, cĩ nhiều mục dữ liệu để kiểm tra trong mỗi nút, điều này sẽ tăng thời gian tìm kiếm. Bởi vì các mục dữ liệu trong mỗi node được kiểm tra sử dụng tìm tuyến tính, điều này sẽ nhân thời gian tìm kiếm hơn với một số lượng tỷ lệ với M, số lượng trung bình của các mục dữ liệu trên một nút. Kết quả là thời gian tìm kiếm xấp xỉ M*log4(N). Một vài node chỉ chứa 1 mục dữ liệu, một vài node chứa 2, và một vài node chứa 3. Nếu chúng ta ước lượng trung bình là 2, thời gian tìm kiếm sẽ xấp xỉ là 2*log4(N). Đây là hằng số nhỏ cĩ thể bỏ qua trong biễu diễn độ phức tạp theo ký hiệu Big-O. Kết quả, với cây 2-3-4 số lượng tăng lên của các mục dữ liệu trên node dẫn đến việc hủy chiều cao giảm xuống của cây. Thời gian tìm kiếm của cây 2-3-4 và cây nhị phân cân bằng như cây đỏ-đen là xấp xỉ bằng nhau, và cả hai đều bằng O (log(N)). Yêu cầu lƣu trữ Mỗi node trong cây 2-3-4 lưu trữ 3 tham chiếu đến các mục dữ liệu và 4 tham chiếu đến các node con của nĩ. Khơng gian lưu trữ này cĩ thể được định dạng trong các mảng. Khơng phải tất cả khơng gian lưu trữ này đều được sử dụng. Một node với chỉ một mục dữ liệu sẽ bỏ trống 2/3 khơng gian lưu trữ dữ liệu và một nửa khơng gian đối với các node con. Một node với hai mục dữ liệu sẽ bỏ trống 1/3 khơng gian lưu trữ dữ liệu và 1/4 khơng gian đối với các node con; hay nĩi cách khác nĩ sẽ sử dụng 5/7 của khơng gian cĩ sẵn. Nếu chúng ta chỉ lấy trung bình 2 mục dữ liệu trên một nút, khoảng 2/7 khơng gian lưu trữ bị bỏ. Cĩ thể sử dụng danh sách liên kết thay vì các sử dụng các mảng để lưu trữ các tham chiếu đến node con và dữ liệu, nhưng tổng chi phí của danh sách liên kết so với mảng (với chỉ ba hoặc bốn mục) cĩ thể sẽ khơng làm tăng hiệu quả một cách đáng kể. Cây đỏ-đen chỉ cĩ một vài node cĩ một node con, vì thế hầu hết tất cả các khơng gian lưu trữ cho các tham chiếu của node con đều được sử dụng. Ngồi ra, số mục dữ liệu mà mỗi node chứa đựng lớn nhất chỉ là một mục dữ liệu. Điều này sẽ làm cho cây đỏ-đen hiệu quả hơn cây 2-3-4 trong vấn đề sử dụng bộ nhớ. Trong C++, Java mỗi node lưu trữ các tham chiếu đến các đối tượng thay vì lưu trữ chính đối tượng đĩ, sự khác biệt trong lưu trữ giữa cây 2-3-4 và cây đỏ-đen cĩ thể khơng quan trọng, và việc lập trình về mặt nào đĩ là đơn giản đối với cây 2-3-4. Tuy nhiên, trong các ngơn ngữ khơng sử dụng cách tham chiếu này, sự khác biệt trong hiệu quả lưu trữ giữa cây đỏ-đen và cây 2-3-4 là đáng kể. 2. B-TREE Chương 4: B-Tree Trang 12
13. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Cây 2-3-4 là một ví dụ về cây nhiều nhánh, trong cây nhiều nhánh mỗi node sẽ cĩ nhiều hơn hai node con và nhiều hơn một mục dữ liệu. Một loại khác của cây nhiều nhánh là B-tree, là cây rất hiệu quả khi dữ liệu nằm trong bộ nhớ ngồi. Bộ lưu trữ ngồi tiêu biểu là loại hệ thống đĩa như đĩa cứng mà ta cĩ thể nhìn thấy trên hầu hết các máy tính cá nhân hoặc máy máy chủ. Trong phần này chúng ta sẽ bắt đầu với việc mơ tả các khía cạnh khác nhau trong việc xử lý tập tin. Chúng ta sẽ xem xét cách tiếp cận đơn giản để tổ chức dữ liệu bên ngồi: thứ tự tuần tự. Cuối cùng, chúng ta sẽ thảo luận về B-tree và vấn đề lưu trữ dữ liệu trên bộ nhớ ngồi. Kết thúc chương này là cách tiếp cận khác của lưu trữ ngồi: đánh chỉ số (indexing), đây là cách tiếp cận cĩ thể áp dụng riênge3 hoặc kết hợp nĩ với B-tree. Một cách tiếp cận khác với các khía cạnh khác của lưu trữ ngồi, chẳng hạn như các kỹ thuật tìm kiếm. đĩ là phép băm (hashing) trình bày ở chương 2. Chi tiết của các kỹ thuật lưu trữ ngồi phụ thuộc vào từng hệ điều hành, từng ngơn ngữ, và thậm chí cả về phần cứng sử dụng trong từng việc cài đặt cụ thể. Trong phần này chúng sẽ thảo luận một cách tổng quát hơn so với hầu hết các chủ đề trong cuốn sách này. 2.1.Truy xuất dữ liệu trên bộ nhớ ngồi Các cấu trúc dữ liệu mà chúng ta đã thảo luận từ trước đến giờ đa số dựa trên lưu trữ dữ liệu trong bộ nhớ chính (thường gọi là RAM, viết tắt của Random Access Memory). Tuy nhiên, trong một vài tình huống, số lượng dữ liệu được xử lý là quá lớn để cùng một lúc đưa vào bộ nhớ chính. Trong trường hợp này các kiểu lưu trữ khác nhau là cần thiết. Thường các tập tin trên đĩa cĩ dung lượng lớn hơn nhiều so với bộ nhớ chính; điều này là đúng bởi vì giá thành khá rẻ của chúng trên một đơn vị lưu trữ. Tất nhiên, các tập tin trên đĩa cũng cĩ thuận lợi khác: đĩ là khả năng lưu trữ lâu dài của chúng. Khi bạn tắt máy (hoặc nguồn điện bị hư), dữ liệu trong bộ nhớ chính sẽ bị mất. Các tập tin trên đĩa cĩ thể lưu lại dữ liệu vơ thời hạn khi nguồn điện bị tắt. Tuy nhiên, sự khác biệt chủ yếu là về kích cỡ mà chúng ta cần lưu ý ở đây. Bất lợi của việc lưu trữ ngồi là sự truy xuất chậm hơn so với bộ nhớ chính. Sự khác biệt về tốc độ này cĩ thể được giải quyết bằng các kỹ thuật khác nhau để làm tăng tính tính hiệu quả của chúng. Một ví dụ trong việc lưu trữ ngồi đĩ là giả sử bạn viết một chương trình cơ sở dữ liệu để xử lý dữ liệu trong danh bạ điện thoại của một thành phố cĩ kích thước trung bình; cỡ 500,000 mục. Mỗi mục bao gồm tên, địa chỉ, số điện thoại, và các dữ liệu khác mà một cơng ty điện thoại thường sử dụng. Giả sử mỗi mục được lưu trữ như là một mẫu tin với kích thước 512 byte. Kết quả kích của tập tin là 500,000*512=256,000,000 byte, vào khoảng 256 mêgabyte. Chúng ta giả sử rằng với lượng dữ liệu này là quá lớn so với bộ nhớ chính của một máy tính nào đĩ, nhưng sẽ trở nên rất nhỏ để lưu trữ trên ổ đĩa. Kết quả là bạn cĩ một số lượng lớn dữ liệu trên đĩa. Làm thế nào bạn cấu trúc nĩ để thực hiện các tính năng thơng dụng mong muốn: tìm kiếm, chèn, xố nhanh? Cĩ 2 vấn đề cần xem xét: Việc truy cập dữ liệu trên đĩa chậm hơn nhiều so với truy cập trên bộ nhớ chính. Thứ hai là việc truy cập nhiều mẫu tin cùng một lúc. Truy xuất chậm Chương 4: B-Tree Trang 13
14. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Bộ nhớ chính của máy tính làm việc với tín hiệu điện tử. Bất kỳ byte nào cũng cĩ thể truy cập nhanh như các byte khác, với một phần nhỏ của micro giây (bằng 1/1,000,000 của giây). Để truy cập một phần cụ thể dữ liệu trên ổ đĩa, đầu đọc/ghi trước tiên phải dịch chuyển đến rãnh phù hợp. Điều này được thực hiện bởi một mơ tơ, hoặc thiết bị tương tự: đây là hoạt động cơ khí chiếm vài milli giây (bằng 1/1,000 của giây). Kết quả là, thời gian truy cập ổ đĩa thường vào khoảng 10 milli giây. Điều này cĩ nghĩa là chậm hơn 10,000 lần so với truy cập bộ nhớ chính. Sự phát triển của kỹ thuật đã giảm thời gian truy xuất đĩa theo thời gian, nhưng thời gian truy xuất bộ nhớ chính giảm xuống nhanh hơn so với truy cập đĩa, vì thế sự chênh lệch giữa thời gian truy xuất bộ chính và ổ đĩa sẽ ngày càng lớn trong tương lai. Truy xuất khối (block) Một khi đã định vị đúng vị trí và tiến trình đọc (ghi) bắt đầu, ổ đĩa cĩ thể chuyển một lượng lớn dữ liệu vào bộ nhớ chính một cách nhanh chĩng và chính xác. Để làm được việc này và cũng nhằm đơn giản cơ chế điều khiển ổ đĩa, dữ liệu được lưu trữ trên đĩa thành các nhĩm gọi là block, pages, allocation units, hoặc một vài tên gọi khác tuỳ thuộc vào hệ điều hành. ở đây chúng ta sẽ gọi chúng là khối (block). Kích cỡ của khối biến đổi tuỳ thuộc vào từng hệ điều hành. Kích thước của ổ đĩa với các yếu tố khác, thường là luỹ thừa của 2. Đối với ví dụ về danh bạ điện thoại như nêu ở trước, giả sử một khối cĩ kích thước là 8,192 byte (213). Kết quả là cơ sở dữ liệu danh bạ điện thoại sẽ cần 256,000,000 byte chia cho 8,192 byte trên một khối, nghĩa là sẽ cĩ 31,250 khối. Chương trình sẽ hiệu quả khi nĩ yêu cầu thao tác đọc hoặc ghi với kích thước là bội số của kích thước khối. Nếu muốn đọc 100 byte, hệ thống sẽ đọc một khối 8,192 byte và chỉ lấy 100 byte, số cịn lại sẽ khơng dùng đến. Hoặc nếu muốn đọc là 8,200 byte, hệ thống sẽ đọc 2 khối hay 16,384 byte nhưng chỉ lấy hơn một nửa của số byte này (8,200). Vì thế bạn phải tổ chức chương trình sao cho tại mỗi thời điểm nĩ chỉ làm việc trên một khối dữ liệu, điều này sẽ làm tối ưu sự truy xuất. Giả sử kích thước mỗi mẫu tin của danh bạ điện thoại là 512 byte, bạn cĩ thể lưu 16 mẫu tin thành một khối (8,192 chia cho 512), như trình bày ở hình 4.11. Vì thế, để tính hiệu quả đạt đến mức tối đa bạn phải đọc 16 mẫu tin tại mỗi thời điểm (hoặc là một bội số của 16). Kích thước mỗi mẫu tin thường là bội số của 2. Điều này làm cho số lượng tồn bộ của chúng sẽ luơn luơn vừa với một khối. Kích thước trình bày trong ví dụ danh bạ điện thoại của mẫu tin, khối, chỉ là minh họa; Chúng sẽ biến đổi phụ thuộc vào số lượng và kích thước của mẫu tin và các ràng buộc về phần cứng và phần mềm khác. Khối thường chứa đựng hàng trăm mẫu tin, và các mẫu tin này cĩ thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn 512 byte. Một khi đầu đọc/ghi định vị đúng vị trí (như đã trình bày ở trên), việc đọc một khối rất nhanh, chỉ tốn vài milli giây. Vì thế, việc truy cập ổ đĩa để đọc hoặc ghi mỗi khối sẽ khơng phụ thuộc vào kích thước của khối. Điều này cĩ nghĩa là khối càng lớn thì càng cĩ hiệu quả khi bạn đọc hoặc viết một mẫu tin đơn (giả sử bạn sử dụng tất cả các mẫu tin trong khối). Chương 4: B-Tree Trang 14
15. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Thứ tự tuần tự Cĩ một cách để sắp xếp dữ liệu danh bạ điện thoại của tập tin trên đĩa đĩ là sắp xếp tất cả mẫu tin theo một vài khĩa nào đĩ, giả sử sắp theo thứ tự alpha của họ. Nếu vậy thì mẫu tin của Joseph Aardvark là mẫu tin đầu tiên, v.v. Điều này như trình bày trong hình 4.12. Tìm kiếm Để tìm kiếm trên một tập tin cĩ thứ tự tuần tự theo họ, cụ thể là Smith, bạn cĩ thể sử dụng thuật tốn tìm kiếm nhị phân. Bạn bắt đầu bằng việc đọc 1 khối các mẫu tin từ chính giữa của tập tin. 16 mẫu tin trong khối được đọc cùng một lúc vào một vùng đệm cĩ kích thước 8,192 byte của bộ nhớ chính. Hình 4.11 Khối và mẫu tin Hình 4.12 Thứ tự tuần tự Chúng ta đã biết, tìm kiếm nhị phân trong bộ nhớ chính sẽ cần khoảng log2N lần so sánh, với 500,000 mục sẽ cần khoảng 19 lần. Nếu mỗi lần so sánh, giả sử chiếm khoảng 10 micro giây thì việc tìm kiếm chiếm trên 190 micro giây, hay 2/10,000 giây. Chương 4: B-Tree Trang 15
16. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Tuy nhiên, chúng ta đang xử lý dữ liệu lưu trên đĩa. Bởi vì mỗi lần truy cập đĩa là quá tốn thời gian, nên sẽ rất quan trọng để tập trung vào giải quyết câu hỏi là cần thiết phải truy cập ổ đĩa bao nhiêu lần hơn là câu hỏi cĩ bao nhiêu mẫu tin lưu trên đĩ. Thời gian để đọc một khối các mẫu tin sẽ lớn hơn nhiều so với thời gian để tìm kiếm trên 16 mẫu tin của 1 khối trong bộ nhớ chính. Việc truy xuất đĩa chậm hơn nhiều so với truy cập trên bộ nhớ, nhưng tại một thời điểm chúng ta truy cập một khối, và cĩ một vài khối xa hơn các mẫu tin. Trong ví dụ của chúng ta cĩ 31,250 khối. Log2 của số này vào khoảng 15, vì vậy theo lý thuyết chúng ta cần thiết phải truy cập đĩa 15 lần để tìm kiếm mẫu tin ta muốn. Trong thực tế con số này cĩ thể giảm xuống bởi vì chúng ta đọc 16 mẫu tin một lần. Trong giai đoạn đầu của việc tìm kiếm nhị phân nĩ khơng giúp cho ta cĩ nhiều mẫu tin trong bộ nhớ bởi vì việc truy cập kế tiếp ở đoạn xa của tập tin. Tuy nhiên, khi chúng ta tìm gần tới mẫu tin mong muốn, mẫu tin kế tiếp mà chúng ta cần cĩ thể đã nằm trong bộ nhớ bởi vì nĩ là một phần nằm trên khối gồm 16 mẫu tin. Điều này cĩ thể giảm số lần so sánh xuống 2 lần hoặc nhiều hơn nữa lần. Kết quả chúng ta cần khoảng 13 lần truy cập đĩa (15-2), khi 10 milli giây trên một lần truy cập thì chiếm khoảng 130 milli giây, hay 1/7 giây. Điều này chậm hơn nhiều so với việc truy cập trong bộ nhớ, nhưng nĩ khơng quá tồi. Thao tác thêm vào và loại bỏ Việc thêm vào và loại bỏ một mục dữ liệu từ tập tin cĩ thứ tự tuần tự khơng hiệu quả. Vì dữ liệu là cĩ thứ tự, cả 2 thao tác trên đều yêu cầu dịch chuyển trung bình khoảng một nữa các mẫu tin, và vì thế sẽ dẫn đến dịch chuyển một nữa các khối. Dịch chuyển mỗi khối địi hỏi cần phải cĩ 2 lần truy cập đĩa, 1 lần dùng để đọc và một lần dùng để ghi. Một khi điểm cần chèn được tìm thấy, khối chứa đựng điểm này sẽ được đọc vào buffer bộ nhớ. Mẫu tin trước đĩ của khối được lưu lại, và một lượng các mẫu tin thích hợp sẽ được đẩy lên để nhường chổ cho mẫu tin mới cần chèn vào. Sau đĩ, nội dung của vùng đệm sẽ được ghi lại đĩa. Kế đĩ, khối thứ 2 được đọc vào vùng đệm. Mẫu tin trước đĩ của nĩ cũng lưu lại, tất cả các mẫu tin khác được đẩy lên, và mẫu tin ở khối trước đĩ được chèn vào phần đầu của vùng đệm. Sau đĩ, nội dung của vùng đệm được ghi trở lại đĩa. Tiến trình này tiếp tục cho đến khi tất cả các khối mà vượt quá điểm chèn được ghi lại hết. Giả sử rằng cĩ 31,250 khối, chúng ta phải đọc và ghi chúng (trung bình khoảng) 15,625 lần, mà mỗi lần đọc và ghi chiếm khoảng 10 mili giây, do đĩ sẽ địi hỏi nhiều hơn 5 phút để thực hiện việc chèn một đầu vào đơn giản. Điều này là khơng thể thực thi nếu cĩ hàng ngàn các tên để thêm vào danh bạ điện thoại. Một rắc rối khác nữa đối với thứ tự tuần tự đĩ là nĩ chỉ làm việc nhanh với một khĩa. Tập tin của chúng ta được sắp xếp bởi tên. Nhưng giả sử rằng muốn tìm kiếm một số điện thoại cụ thể, sẽ khơng thể sử dụng được thuật tốn tìm kiếm nhị phân, bởi vì dữ liệu được sắp xếp bởi trường tên. Điều này dẫn đến phải duyệt tồn thể tập tin, từng khối một, sử dụng truy cập tuần tự. Điều này yêu cầu đọc đĩa trung bình khoảng một nữa các khối, chiếm khoảng 2.5 phút, hiệu suất này quả thật khơng thể chấp nhận được đối với một sự tìm kiếm đơn giản. Cần thiết phải cĩ phương pháp tổ chức lưu dữ liệu trên đĩa hiệu quả hơn. 2.2. B-TREE Chương 4: B-Tree Trang 16
17. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Chúng ta đã biết cây là một cách tiếp cận hồn chỉnh để tổ chức dữ liệu trong bộ nhớ. Như vậy cây cĩ làm việc tốt với hệ thống tập tin hay khơng? B-tree là cấu trúc dữ liệu phù hợp cho việc lưu trữ ngồi do R.Bayer và E.M.McCreight đưa ra năm 1972. Bên trong mỗi nút, dữ liệu được xếp thứ tự một cách tuần tự bởi khố, như trong cây 2-3-4. Thực ra, cấu trúc của B-tree tương tự như cây 2-3-4, ngoại trừ cĩ nhiều mục dữ liệu trên một node và nhiều liên kết đến node con hơn. Bậc của B-tree là số các node con mà mỗi node cĩ thể cĩ. 2.2.1. Định nghĩa B-Tree: Một B-tree bậc n cĩ các đặc tính sau: i) Mỗi node cĩ tối đa 2*n khố. ii) Mỗi node ( khơng là node gốc) co ít nhất là n khố. iii) Mỗi node hoặc là node lá hoặc cĩ m+1 node con (m là số khố của trang này) Ví dụ: Hình 4.13. B-tree bậc 2 cĩ 3 mức Khai báo: typedef struct { int numtree; // số cây con của node hiện hành int Key[Order]; // mảng lưu trữ 3 khố của node int Branch[Order]; // các con trỏ chỉ đến các node con } NodeType; typedef struct Nodetype *NODEPTR // con trỏ node NODEPTR *Root // con tro node goc 2.2.2. Các phép tốn trên B-Tree Tìm kiếm Chương 4: B-Tree Trang 17
18. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Hình 4.14 Xét node trong hình 4.14, khố cần tìm là X. Giả sử nội dung của node nằm trong bộ nhớ. Với m đủ lớn ta sử dụng phương pháp tìm kiếm nhị phân, nếu m nhỏ ta sử dụng phuơng pháp tìm kiếm tuần tự. Nừu X khơng tìm thấy sẽ cĩ 3 trường hợp sau xảy ra: i) Ki numtrees-1 int nodesearch (NODEPTR p, int k) { int i; for(i=0; i numtrees �1 && p->key[i] < k; i++); return (i); } Phép tốn nodesearch được dùng để tìm khĩa k cĩ trong nút p hay khơng. Nếu khĩa k khơng cĩ trong nút p thì phép tốn này trả về vị trí giúp chúng ta chọn nút con phù hợp của p để tiếp tục tìm khĩa k trong nút con này. Phép tốn SEARCH: Tìm khĩa k trên B-Tree. Con trỏ p xuất phát từ gốc và đi xuống c�c nh�nh c�y con phù hợp để tìm khĩa k cĩ trong một nút p hay khơng Nếu cĩ khĩa k tại nút p trên cây: Biến found tra về giá trị TRUE Hàm search() trả về con trỏ chỉ nút p cĩ chứa khĩa k Biến position trả về vị trí của khĩa k cĩ trong nút p này Nếu khơng cĩ khĩa k trên cây: lúc này p=NULL và q(nút cha của p) chỉ nút lá cĩ thể thêm khĩa k vào nút này được. Biến found trả về giá trị FALSE Hàm search() trả về con trỏ q là nút lá cĩ thêm nút k vào Biến position trả về vị trí cĩ thể chèn khĩa k vào nút lá q này NODEPTR search(int k, int *pposition, int *pfound) Chương 4: B-Tree Trang 18
19. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 { int i; NODEPTR p, q; q = NULL; p = Root; while (p !=NULL) { i = nodesearch (p, k); if(i numtress�1 && k == p->key[i]) //tim thay { *pfound = TRUE; *pposition = i; // vi trí tìm thay khoa k return(p); // node co chua khoa k } q = p; p = p ->Branch[i]; } /*Khi thoat khoi vong lap tren la khong tim thay, luc nay p=NULL, q la node la co the them khoa k vao node nay, position la vi tri co the chen khoa k*/ *pfound = FALSE; *pposition = i; return (q); //tra ve node la } Phép Duyệt: Duyệt các khĩa của B-Tree theo thứ tự từ nhỏ đến lớn-bằng phương pháp đệ qui void traverse(NODEPTR proot) { int i; if(proot == NULL) //dieu kien dung return; else // de qui { /* vong lap duyet nhanh cay con Branch[i] va in khoa key[i] cua node proo*/ for(i = 0; i numtress-1; i++) { traverse (proot ->Branch[i]); printf ("%8d", proot -> key[i]); } //duyet nhanh cay con cuoi cung cua node proot traverse (proot -> Branch[proot -> numtrees-1]); } } Thêm vào : Trước khi đưa ra giải thuật thêm một phần tử mới vào B-Tree, ta xem tình huống cụ thể qua các ví dụ sau : Ví dụ 1: - Thêm x=22 vào B-Tree ở hình 4.15a. Khĩa 22 chưa cĩ trong cây. Nhưng khơng thể thêm vào node C vì node C đã đầy. -Do đĩ tách node C thành hai node : node mới D được cấp phát và m+1 khĩa được chia đều cho 2 node C và D, và khĩa ở giữa được chuyển lên node cha A : Hình 4.15b Chương 4: B-Tree Trang 19
20. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Hình 4.15 a Hình 4.15 b Như vậy, việc thêm một khĩa mới vào B-Tree cĩ thể gây ra việc tách node và việc tách node cĩ thể lan truyền ngược lên node cha, trong trường hợp đặc biệt lan truyền đến tận gốc của B-Tree Ví dụ 2 : Xem quá trình tạo B-Tree từ dãy các khĩa sau : 20; 40 10 30 15; 35 7 26 18 22; 5; 4 13 46 27 8 32; 38 24 45 25 Sau khi thêm vào khĩa 30 : Hình 4.16 a Khi thêm vào 15 thì node này bị đầy, do đĩ trường hợp này tạo thành 2 node mới : phần tử ở giữa là 20 bị đẩy lên tạo thành một node mới, các phần tử cịn lại chia cho 2 node : node cũ chứa 10, 15 và node mới thứ 2 chứa 30,40 Hình 4.16 b Thêm vào các khĩa 35, 7,26 và 18. Đến khi thêm khĩa 22 cũng cĩ sự đầy node dẫn đến việc tách node: Chương 4: B-Tree Trang 20
21. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Hình 4.16 c Thêm vào 5 cũng cĩ sự đầy node (node đang chứa 4 kh�a 7, 10, 15, 18) dẫn đến việc tách node : Hình 4.16 d Thêm vào các khĩa 42, 13, 46, 27 và 8. Đến khi thêm 32 cĩ sự tách node : Hình 4.16 e Thêm vào 38, 24 va 45. Thêm 25 vào cĩ sự tách node và cho thấy sự lan truyền tách node ngược lên về phía gốc : 25 thêm vào node (22, 24 26, 27) làm node này bị tách và 25 được đưa lên node cha (10, 20, 30, 40) làm node này bị tách thành 2 node và khố 25 được đưa lên thành node gốc mới Hình 4.16 f Phép tốn INSERT Thêm khĩa k vào vị trí position của nút lá s (s và position do phép tốn search() trả về) Nếu nút lá s chưa đầy: gọi phép tốn insnode để chèn khĩa k vào nút s Nếu nút lá s đã đầy: tách nút lá này thành 2 nút nửa trái và nửa phải void insert (NODEPRT s, int k, int position) { NODEPRT nd, nd2, f, newnode; int pos, newkey, midkey; //khoi đong cac tri truoc khi vao tron vong lap tach cac node day nd nd = s; Chương 4: B-Tree Trang 21
22. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 newkey = k; newnode = NULL; // vi nd la node la nen gan newnode la NULL pos = position; f = father (nd); // Vong lap tach cac node day nd while (f != NULL && nd -> nemtrees == ODER) { split(nd, newkey, newnode, pos, &nd2, &midkey); // Gan lai cac tri sau lan tach node truoc nd = f; newkey = midkey; newnode = nd2; pos = nedesearch (f, midkey); f = father (nd); } // Truong hop node nd chua day va nd khong phai la node goc if(nd - > numtrees Branch[0] = nd; Root -> Branch[1] = nd2; } Khi thêm một khĩa vào B-Tree chúng ta cĩ thể viết như sau: printf("\n Noi dung khoa moi: "); scanf("%d", &k); // truong hop B-Tree bi rong khi tao node goc if(Root == NULL) Root = makeroot(k); else { s = search(k, &pos, &timthay); if(timthay) printf("Bi trung khoa, khong them khoa %d vao B-Tree đuoc", k); else insert (s, k, pos); } Phép tốn SPLIT: Tách node đầy nd, phép tốn này được gọi bởi phép tốn INSERT nd là nút đầy bị tách, sau khi tách xong nút nd chỉ cịn lại một nửa số khĩa bên trái newkey, newnode và pos là khĩa mới, nhánh cây con và vị trí chèn vào nút nd Nút nd2 là nút nửa phải cĩ được sau lần tách, nút nd2 chiếm một nửa số khĩa bên phải Midkey là khĩ ngay chính giữa sẽ được chèn vào nút cha void split (NODEPTR nd, int newkey, NODEPTR newnode, int pos, NODEPTR *pnd2, int *pmidkey) { Chương 4: B-Tree Trang 22
23. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 NODEPTR p; P = getnode(); //cap phat node nua phai /*truong hop chen newkey va newnode vao node nua phai*/ if(pos > Ndiv 2) { copy(nd, Ndiv 2+1, ORDER � 2, p); insnode (p, newkey, newnode, pos-Ndiv 2 -1); nd->numtrees = Ndiv 2+1; /*so nhanh cay con con lai cua node nua trai*/ *pmidkey = nd -> key[Ndiv2]; *pnd2 = p; return; } // truong hop newkey la midkey if(pos == Ndiv2) { copy(nd, Ndiv2, ORDER-2, p); nd->numtrees = Ndiv 2+1; /*so nhanh cay con con lai cua node nua trai*/ /*Dieu chinh lai node con dau tien cua node nua phai*/ p -> Branch[0] = newnode; *pmidkey = nd -> key[Ndiv2]; *pnd2 = p; return; } /* Truong hop chen newkey va newnode vao node nua trai*/ if(pos numtrees = Ndiv 2+1; /*so nhanh cay con con lai cua node nua trai*/ *pmidkey = nd -> key[Ndiv2 - 1]; insnode(nd, newkey, newnode, pos); *pnd2 = p; return; } } Phép tốn INSNODE Chèn khĩa newkey vào vị trí pos của nút chưa đầy p,và chèn nhánh cây con newnode vào vị trí bên phải cuả khĩa newkey void insnode (NODEPTR p, int newkey, NODEPTR newnode, int pos) { int i; /*doi cac nhanh cay con va cac khoa tu vi tri pos tro ve sau xuong mot vi tri*/ for(i = p->numtress � 1; i >= pos+1; i ) { p -> Branch[i+1] = p -> Branch[i]; p -> key[i] = p -> key[i - 1]; } // gan khoa newkey vao vi tri pos p -> key[pos] = newkey; // Gan nhanh newnode la nhanh cay con ben phai cua khoa newkey p -> Branch[pos + 1] = newnode; //tang so nhanh cay con cua node p len 1 p -> numtrees +=1; } Chương 4: B-Tree Trang 23
24. Trương Hải Bằng – Cấu trúc dữ liệu 2 Phép tốn COPY Chép các khĩa (và nhánh cây con) từ vị trí first đến vị trí fast của nút nd (nút nửa trái) sang nút nd2 (nửa nút phải) . Phép tốn này được gọi bởi phép tốn split void copy(NODEPTR nd, int first, int last, NODPTR nd2) { int i; // copy cac khoa tu node nd qua node nd2 for(i = first; i key[i-first] = nd -> key[i]; // copy các nhanh cay con tu node nd qu nd2 for(i = first; i con[i-first] = nd -> Branch[i]; nd2 ->numtrees = last - first +2 // so nhanh cay con cua node nd2 } Chương 4: B-Tree Trang 24