Giáo trình Cơ học lượng tử - Đinh Phan Khôi

Nội dung text: Giáo trình Cơ học lượng tử - Đinh Phan Khôi

1. đinh phan khôi Bigiảng Cơhọcl−ợngtử (dùng cho cao học) Năm 2009
2. 2 Lờinóiđầu Tập BigiảngCơhọcl−ợngtử nyđ−ợcbiênsoạnnhằmphục vụchoviệcgiảngdạyvhọctậpchuyênđềCơhọcl−ợngtửIthuộc ch−ơngtrìnhcaohọcchuyênngnhQuanghọcvchuyênngnhLí luậnvph−ơngphápdạyhọcVậtlí. Cácvấnđềtrongtậpbigiảngđđ−ợcchọnlọcđểgiảngdạy trongnhữngnămgầnđâychohọcviêncaohọcởTr−ờngĐại học Vinh, Tr−ờng Đại học Đồng Tháp, Tr−ờng Đại học Si gòn v Tr−ờngdựbịđạihọcSầmSơn. Khibiênsoạn,chúngtôiđthamkhảotừcácsáchlíthuyếtv bitậpcủacáctácgiảtrongvngoin−ớccũngnh−từmộtviluận văncaohọcdotácgiảh−ớngdẫn. Tác giả xin chân thnh cám ơn các thầy cô giáo, các đồng nghiệpvcáchọcviêncaohọcđđónggópnhiềuý kiếnquýbáu chotậpbigiảng. Lầnđầubiênsoạn,tậpbigiảngnykhótránhkhỏihạnchế. Tácgiảmongtiếptụcnhậnđ−ợcnhữngýkiếnđónggópcủađộcgiả đểtậpbigiảngđ−ợchonthiện. Vinh,ngy31tháng12năm2009 Tác giả
3. 3 Ch−ơngI:Mởđầu 1.1.Cơhọcl−ợngtửlgì? Cơhọcl−ợngtửllíthuyếtvềcáchiệnt−ợngvquátrìnhvật lítrongthếgiớivimô. Thếgiớivimôlthếgiớicủacáchạtvhệhạtcókíchth−ớc béhơnhoặcbằng10 10 m. Khiđivothếgiớivimô,cácquyluậtvậtlícổđiểnphảiđ−ợc thaythếbằngcácquyluậtl−ợngtử.Cácquyluậtl−ợngtửtổngquát hơnvbaocácquyluậtcổđiểnnh−cáctr−ờnghợpriêng. NhvậtlíSidneyColemantừng nóirằng:nếumộtngn nh triếthọcbỏramộtngnnămđểtìmkiếmnhữngđiềukỳlạnhấtcó thể thì họ cũng không bao giờ tìm thấythứ gì kỳ lạ nh− Cơ học l−ợngtử.Cơhọcl−ợngtửkhóhiểuvìcáchệquảcủanóquákhác th−ờngvgâyngạcnhiên.Nhữngnguyênlýcơbảncủanóđốilập vớinhữngýt−ởnglmnềntảngchotấtcảvậtlíhọcđbiếttr−ớcđó vng−ợcvớikinhnghiệmcủachúngta.Muốnhiểuđ−ợcvậtlíhiện đại,cầnphảithayđổinhữngquanniệmcũ,phảihiểuthếgiớivimô đúngnh−thựctếkháchquan,dùnócókhácvớicáchsuynghĩthông th−ờngcủachúngta. 1.2.Vậtlíhọccổđiển Vậtlíhọccổđiểnlvậtlíhọckhôngkểđếnthuyếtl−ợngtửv thuyếtt−ơngđối.
4. 4 HaicơsởcủavậtlíhọccổđiểnlcơhọcNewtonvlíthuyết điệntừMaxwell. CácđịnhluậtNewtonlcơsởcủatonbộcơhọc.Nếu thêm voph−ơngphápthốngkêthìđócònlcơsởcủanhiệthọc. Hệph−ơngtrìnhMaxwellvềđiệntừtr−ờngbiểudiễnlíthuyết tổngquátchotấtcảcáchiệnt−ợngđiệntừvquanghọc. 1.3.NhữngquanniệmcơsởcủaVậtlíhọccổđiển Vậtlíhọccổđiểnđ−ợcxâydựngdựatrên3quanniệmcơsở: 1)Sựbiếnđổiliêntụccủacácđạil−ợngvậtlí; 2)Nguyênlíquyếtđịnhluậncổđiển; 3) Ph−ơng pháp phân tích tách nhỏ để nghiên cứu các đối t−ợngvậtlí. 1.4.Haiýt−ởngcơbảncủaCơhọcl−ợngtử Cơhọcl−ợngtửđ−ợcxâydựngdựatrên2ýt−ởngcơbản: 1) ýt−ởngl−ợngtửhoá(còngọiltínhgiánđoạnhay tính nguyêntử): Mộtsốđạil−ợngvậtlíliênquanđếnviệcmôtảcácđốit−ợng vimôtrongnhữngđiềukiệnnhấtđịnhcóthểchỉnhậncácgiátrịrời rạcxácđịnh.Tanóichúngbịl−ợngtửhoá. Năng l−ợng của vi hạt ở trạng thái liên kết (ví dụ electron trongnguyêntử)bịl−ợngtửhoá.Nếuelectronchuyểnđộngtựdothì năngl−ợngkhôngbịl−ợngtửhoá.
5. 5 ýt−ởngl−ợngtửhoáđ−ợcPlancknêulênlầnđầutiênvonăm 1900khinghiêncứubứcxạcủavậtđentuyệtđối.Năm1913,Bohr ápdụngýt−ởngl−ợngtửhoánăngl−ợngđểxétcấutạoquangphổ vạchcủanguyêntửhiđrôchomẫuhnhtinhnguyêntử Rutheford nhằmxâydựnglíthuyếtl−ợngtửcũ(báncổđiển). 2) ýt−ởngl−ỡngtínhsónghạt: Năm1905,ýt−ởngnyđ−ợcEinsteinápdụngchobứcxạđiện từđểnghiêncứuhiệnt−ợngquangđiện.Năm1924,DeBrogliemở rộngchomọiđốit−ợngvimô. 1.5.Nhữngmốcthờigianđángghinhớ Năm Tácgiả Hiệnt−ợngvậtlí 1901 Planck Bứcxạcủavậtđen 1905 Einstein Hiệnt−ợngquangđiện 1913 Bohr Líthuyếtl−ợngtửvềphổ 1922 Compton Tánxạcủaphotontrênelectron 1924 Pauli Nguyênlíloạitrừ 1925 DeBroglie Sóngvậtchất 1926 Schrodinger Ph−ơngtrìnhsóng Heisenberg Nguyênlíbấtđịnh 1927 Davissonv Thí nghiệm về tính chất sóng của Germer electron Born Giảithíchýnghĩavậtlícủahmsóng
6. 6 1.6.Cáchmôtảcáchiệnt−ợng 1)Vậtlíhọccổđiển giảthiếtsựđộclậpcủacácquátrìnhvật lívớicácđiềukiệnquansát,coitácđộngcủaquansátkhônglm nhiễuloạnđángkểđếntrạngtháicủahệ. Vật lí học cổđiển chota khảnăngmôtả tuyệtđối, cặn kẽ trạngtháichuyểnđộngcủahệvậtlí. 2) TheoCơhọcl−ợngtử ,khimôtảl−ợngtửcáchiệnt−ợng, cầnphảitínhđếnkhảnănghiệnthựccủaphépđogắnliềnvớicác tínhchấtcủađốit−ợngvimô,đồngthờiphảitínhtớinhiễuloạncủa phépđođốivớitrạngtháicủanó. Sựkhácnhauvềmặtđịnhtínhcủacácđịnhluậtvhiệnt−ợng vimôsovớivĩmôđ−ợcbiểuthịmộtcáchtoánhọc ởchỗtadùng cáctoántử (chứkhôngphảicácconsố!)đểmôtảcácbiếnsốđộng lực.Cáctoántử khôngtuântheoquyluậtgiaohoáncủaphépnhân cácsố. 3)TínhthốngkêcủaCơhọcl−ợngtử Trongcácđiềukiệnbênngoichotr−ớc,kếtquảcủasựt−ơng tácgiữađốit−ợngvimôvớidụngcụđo,tứclkếtquảcủaphépđo, nóichungkhôngthểtiênđoánmộtcáchđơntrịđ−ợc,mchỉvớimột xác suất no đó. Tập hợp các kết quả nh− vậy đ−a đến thống kê t−ơngứngvớiphânbốnhấtđịnhcủaxácsuất.Dođó,phảiđ−ayếu tốxácsuấtvocáchmôtảđốit−ợngvimôvtrạngthái,dángđiệu củachúng. ChúýrằngtrongVậtlíhọccổđiển,xácsuấtđ−ợcđ−avochỉ khiđiềukiệncủabitoánkhôngđ−ợcbiếtđầyđủvkhiphảilấy trungbìnhtheothamsốch−abiết,songởđótađ giảthiếtrằngvề nguyêntắcthìsựtrungbìnhhoálkhôngcầnthiếtvluôncóthể chínhxáchoácácđiềukiệnđểkhẳngđịnhlmộttrongsốcáckết
7. 7 quảkhảdĩđ−ợcxảyrahonton,còncáckếtquảkhácsẽkhôngxảy ra.NguyêntắcquyếtđịnhluậnLaplaceđloạiyếu tố ngẫu nhiên khimôtảdángđiệucủatừngđốit−ợngriêngbiệt. TrongCơhọcl−ợngtử,yếutốngẫunhiêncómặttrongdáng điệucủatừngđốit−ợngvihạtriêngbiệt.Cơhọcl−ợngtửlmộtlí thuyếtthốngkêvềmặtnguyêntắcvxácsuấtlmộttrongnhững đặcđiểmcủanó. 1.7.GiảthuyếtDeBroglie r Mộthạttựdocónăngl−ợng ε vxungl−ợng p t−ơngứngvới r mộtsóngphẳngcótầnsốgóc ω vvéctơsóng k ,thoảmnhệthức r r ε = hω ; p = hk . (1) TheogiảthuyếtDeBrogliethìcáchạtvimôcótínhchấtsóng. 1.8.Giảthuyếtvềphoton r Mộtchùmánhsángcótầnsốgóc ω vvéctơsóng k cóthểcoi r nh−mộtdòngphoton,mỗiphotoncónăngl−ợng ε vxungl−ợng p , thoảmnhệthức r r ε = hω ; p = hk . Theo giảthuyết vềphotonthìbức xạ điện từ (sóng) có tính chấtnh−nhữngdònghạt. KếthợpgiảthuyếtDeBroglievgiảthuyếtvềphoton,tasuy rarằngánhsángcũngnh−cáchạtvimôvừacótínhchấtsónglại vừacótínhchấthạt.Tanóichúngcól−ỡngtínhsónghạt.
8. 8 TheoquanniệmcủaVậtlíhọccổđiểnthìđiềuny khôngthể hiểuđ−ợcvìnótráivớinhậnxétthôngth−ờngtrêncácvậtvĩmô xungquanhta.Muốnhiểuđ−ợcvậtlíhiệnđại,cần phải thay đổi những quan niệm cũ, phải hiểu thế giới vi mô đúng nh− thực tế khách quan, dù nó có khác với cách suy nghĩ thông th−ờng của chúngta. 1.9.Hmsóngcủahạtvậtchất a)Biểudiễntrạngtháicủahạtbằnghmsóng Xéthạttựdocókhốil−ợngnghỉ m t−ơngứngvớisóngphẳng r DeBrogliecótầnsốgóc ω vvéctơsóng k r E r p ω = ; k = . (2) h h r Tađbiếtrằngsóngphẳngcótầnsốgóc ω vvéctơsóng k có r rr thểđ−ợcbiểudiễnbởihmphức ψ (r,t) =ψ 0 exp[− i(ωt − rk )]. Dođó,trạngtháicủahạttựdomtaxétcóthểđ−ợcbiểudiễn r bởihm ψ (r,t) gọilhmsóngcủahạt r  i rr  r ψ (r,t) =ψ 0 exp − ()()()Et − rp = ϕ r . f t . (3)  h  Tasuyrộngcáchbiểudiễntrạngtháicủahạttựdobằnghm sóngvthừanhậnrằngtrạngtháibấtkìcủamộthạtvimôvothời r điểm t cóthểbiểudiễnbởihmsóng ψ (r,t) .Cácthôngtinvềtrạng tháicủahạtchứađựngtronghmsóng.Hmsóngnóichunglmột sốphức. b) ýnghĩavậtlícủahmsóng TheoBorn,bìnhph−ơngmôđuncủahmsóngtỉlệvớimậtđộ xácsuấttìmthấyhạt
9. 9 r r ρ(r,t) ∝ ψ (r,t) 2 . (4) Cáchgiảthíchnyđ−ợcthừanhậnvìkhôngchứamâuthuẫnvề lôgicvdẫntớicáckếtquảphùhợpvớithựcnghiệm. c)Chuẩnhoáhmsóng r Hmsóng ψ (r,t) đ−ợcxácđịnhsaikhácmộthằngsố ψ 0 r rr ψ (r,t) =ψ 0 exp[− i(ωt − rk )]. Bìnhph−ơngmôđuncủahmsóngtỉlệvớimậtđộxácsuấttìm thấyhạt r r ρ(r,t) ∝ ψ (r,t) 2 . r ρ(r,t)lmộtđạil−ợngvậtlícóýnghĩaxácđịnh.Vớimộtgiá trịcủa ψ 0 ,tacómộthệsốtỉlệ A : r r ρ (r , t ) = A ψ (r , t ) 2 . Đểđơngiản,cóthểchọn ψ 0 để A = 1. Khiđó,ψ 0 thoảmnđiềukiệnchuẩnhoá r ∫ ρdV = ∫ψ (r,t) 2 dV =1. (5) ýnghĩavậtlícủađiềukiệnchuẩnhoá:Xácsuấttìmthấyhạt trongtonbộmiền khônggianmhạtcóthểtồn tại bằng 1 (tức 100%).
10. 10 Ch−ơngII:CáctiênđềcủaCơhọcl−ợngtử. Toántử,hmriêngvtrịriêng 2.1.Cácđạil−ợngquansátđ−ợcvcáctoántử a)Tiênđề1 Nộidung: Mỗiđạil−ợngquansátđ−ợchaybiếnsốđộnglực A trongCơhọcl−ợngtửt−ơngứngvớimộttoántử Aˆ saochophépđo A thuđ−ợccácgiátrịđođ−ợc a lcáctrịriêngcủa Aˆ ,nghĩalcác giá trị a l những giá trị m ph−ơng trình trị riêng Aˆϕ = aϕ có nghiệm ϕ . Ta nói ϕ lhmriêngcủatoántử Aˆ t−ơngứngvớitrị riêng a . b)Toántửxungl−ợng Ta hy tìm hm riêng v trị riêng của toán tử xung l−ợng r r pˆ = −ih∇ . Xét hạt chuyển động một chiều trên trục x . Khi đó ta có ∂ pˆ = −ih vph−ơngtrìnhtrịriêngcủatoántửxungl−ợngl x ∂x ∂ − ih ϕ = p ϕ , (1) ∂x x trongđó px lcácgiátrịkhảdĩmtasẽthuđ−ợckhiđothnhphần trêntrục x củaxungl−ợng;hmsóng ϕ(x)t−ơngứngvớimộtgiátrị 2 xácđịnhcủaxungl−ợng (px )lhmm ϕ(x) dx lxácsuấttìmthấy hạt(vớixungl−ợng px )trongkhoảng [x, x + dx].
11. 11 Giả sử hạt tự do (không có điều kiện biên). Khi đó ta có nghiệm  ip x  p ϕ()x = Aexp x  = Aeikx , trong đó số sóng k = . Nh− vậy ϕ(x) l  h  h hmtuầnhontheo x . Tahytìmb−ớcsóng λ : ikx ik (x+λ ) coskλ =1 e = e = coskλ + isin kλ ⇒  ⇒ kλ = 2π , tức l sin kλ = 0 p 2πh h λ = 2π ⇒ p = = (hệthứcDeBroglie). h λ λ Tathấyrằnghmriêngcủatoántửxungl−ợngt−ơngứngvới h trịriêng p cób−ớcsónglb−ớcsóngDeBroglie . λ Vậyhmriêngvtrịriêngcủatoántửxungl−ợngl ikx h ϕk (x) = Ae ; p = k . (2) c)Toántửnăngl−ợng Hˆ Toántửt−ơngứngvớinăngl−ợngltoántửnăngl−ợng hay r r toántửHamilton Hˆ ,trongđó p đ−ợcthaybởi pˆ . Toántửnăngl−ợngcủahạtcókhốil−ợng m trongtr−ờngthế r V (r )l pˆ 2 r h 2 r Hˆ = +V ()r = − ∇2 +V ()r . (3) 2m 2m Ph−ơngtrìnhtrịriêngcódạng r r Hˆϕ(r ) = Eϕ(r ). (4) Đâychínhlph−ơngtrìnhSchrodingerkhôngphụthuộc thời gian.
12. 12 pˆ 2 h 2 Xéthạttựdo: Hˆ = = − ∇2 . (5) 2m 2m Đốivớihạttựdomộtchiều,tacóph−ơngtrìnhtrịriêng h2 ∂ 2 − ϕ()()x = Eϕ x . 2m ∂x2 2mE Đặt k 2 = ( k đ−ợcgọilsốsóng),tacóph−ơngtrình h 2 2 ϕ xx + k ϕ = 0 . Dokhôngcóđiềukiệnbiênnên ϕ(x) = Aeikx + Be−ikx . (6) ϕ(x)lhmriêngcủatoántử Hˆ t−ơngứngvớitrịriêngnăng h 2k 2 l−ợng E = . 2m (hk)chínhlxungl−ợngcủahạttựdovìvớihạttựdothìnăng p 2 h2k 2 l−ợng E = = . 2m 2m Ta nhận thấy rằng hm ϕ(x) = Aeikx + Be−ikx ứng với B = 0 cũng l r hmriêngcủatoántửxungl−ợng pˆ . r Việc2toántử Hˆ v pˆ củamộthạttựdocóchunghmriêngl mộttr−ờnghợpđặcbiệtcủamộtđịnhlítổngquáthơn. r Tiếptheo,tahychứngminhrằngnếu ϕ lhmriêngcủa pˆ thì ϕ cũnglhmriêngcủa Hˆ . r Thậtvậy,do ϕ lhmriêngcủa pˆ nêntacó r pˆϕ = hkϕ . r r pˆ r pˆ hk r (hk)2 Dođó Hˆϕ = (pˆϕ)= ()hkϕ = (pˆϕ)= ϕ , 2m 2m 2m 2m
13. 13 tứcl ϕ cũnglhmriêngcủa Hˆ . Cảnăngl−ợngvxungl−ợngcủahạttựdocócácgiátrịliên tục: h 2k 2 E = ; p = hk ; (7) 2m nghĩalchúngltrịriêngcủabấtcứsốsóng k no. Hmriêngt−ơngứngl ikx ϕk (x) = Ae . Nếuhạttựdoởtrạngtháinythìphépđoxungl−ợng chắc chắnđ−ợcgiátrị hk ,phépđonăngl−ợngchắcchắnđ−ợcgiátrị h2 2 k . 2m Giảsửtađovịtrí x củahạt.Hạtsẽởđâu? Theo Born, khi hạt ở trạng thái đ−ợc mô tả bởi hm sóng ikx ϕk (x) = Ae thìmậtđộxácsuấtliênquantớixácsuấttìmthấy hạt 2 2 trong khoảng [x, x + dx] l ϕk = A = const .Mậtđộxácsuấtcùngbằng mộthằngsốchomọi x .Vậyxácsuấttìmthấyhạtởbấtcứvịtríno, từ x = −∞ tới x = +∞ lnh−nhau. Chúýrằng E v t lcácbiếnbổsung: E.t ≥ h ;nghĩalnếu năngl−ợngbấtđịnhmộtl−ợng E thìthờigiancầnđểđo E sẽbất h h 2k 2 địnhbởi t ≥ .Trongtr−ờnghợpny E = ;suyra E = 0 . E 2m Đểđo E ,taphảichohạtt−ơngtácvớimộtdụngcụđonăng l−ợng,vídụmộttấmnốivớimộtlòxo,đểđoxungl−ợngtruyềnvo tấmkhihạtvavo.Nếuđặttấmtrênh−ớngđicủahạtthìchúngta phảiđợibaolâuđểpháthiệnđ−ợchạt?Câutrảlờiđúngl:không
14. 14 biết!Cóthểchúngtachỉphảiđợitrong10 8s.Cũngcóthểchúngta phảiđợitrong10 10 năm. 2.2.PhépđotrongCơhọcl−ợngtử(Tiênđề2) Nộidung: Phépđobiếnsốđộnglực A thuđ−ợcgiátrị a đ−a ˆ hệvềtrạngthái ϕa ,trongđó ϕa lhmriêngcủatoántử A t−ơng ứngvớitrịriêng a . Vídụ:hạttựdochuyểnđộngmộtchiều.Takhôngbiếthạtở trongtrạngtháino. ởmộtthờiđiểmbấtkì,tađoxungl−ợngcủa h hạtvđ−ợcgiátrị p = k .Phépđonyđ−ahệvềtrạngthái ϕ k .Phép đoxungl−ợngngaysauđóchắcchắnthuđ−ợcgiátrị p = hk . Giảsửtađovịtrícủamộthạttựdovđođ−ợcvịtrí x = x ' .Từ 2tiênđềtasuyra 1)Cómộttoántử xˆ t−ơngứngvớiphépđođ−ợcvịtrí x ; 2) Đo x đ−ợc giátrị x' đ−ahạtvềhmriêngcủatoántử xˆ t−ơngứngvớitrịriêng x' . Tacóph−ơngtrìnhtrịriêng xˆδ (x − x ' ) = x 'δ (x − x ' )(trongbểudiễntoạđộ). Trongđó δ (x − x' )lhmdeltaDirac. 2.3.Tiênđề3 (Thiếtlậpsựtồntạicủahmtrạngtháivmốiliênhệcủanó vớicáctínhchấtcủamộthệ)
15. 15 Nội dung:Trạngtháicủahệởmộtthờiđiểmbấtkỳđ−ợcbiểu diễnbởimộthmtrạngtháihayhmsóng ψ liêntụcvkhảtích. Tấtcả thôngtin liên quan đếntrạngthái củahệ đ−ợc chứa đựng tronghmsóng. r Cụthể,nếuhệởtrạngthái ψ (r,t)thìgiátrịtrungbìnhcủabiến sốđộnglực C bấtkìliênquanvớihệởthờiđiểm t l r C = ∫ψ *Cˆψ rd , (8) r trongđó rd lviphânthểtích. C cònđ−ợcgọilgiátrịkìvọng củabiếnsốđộnglực C . ýnghĩavậtlícủagiátrịtrungbìnhcủabiếnsốđộnglực C : Biếnsốđộnglực C đ−ợcđotrongmộtthínghiệmxácđịnh X . Ng−ờitachuẩnbịmộtsốl−ợng N rấtlớncácphéplặpcủa X .Các r trạngtháiđầu ψ (r 0, )củamọiphéplặpđềunh−nhau. ởthờiđiểm t , đo C trong tất cả các thí nghiệm lặp v thu đ−ợc tập giá trị C1, C2 , CN .Suyra 1 N C = ∑Ci . N i=1 Tiênđề3nóirằnggiátrịtrungbìnhtínhđ−ợctrongthínghiệm bằnggiátrịtrngbìnhchobởitíchphân. C cònđ−ợcgọilgiátrịkìvọngcủabiếnsốđộnglực C vìđó lgiátrịmtakìvọngthuđ−ợctrongbấtcứphépđonocủa C . 2.4.Sựtiếntriểntheothờigiancủahmtrạngthái(Tiênđề 4)
16. 16 r Nộidung: Hmtrạngthái ψ (r,t)củamộthệtiếntriểntheothời giantheoph−ơngtrình ∂ r r ih ψ ()()r,t = Hˆψ r,t . (9) ∂t Đâychínhlph−ơngtrìnhSchrodingerphụthuộcthờigian. Hˆ ltoántửnăngl−ợnghaytoántửHamilton. Toántửnăngl−ợngcủahạtcókhốil−ợng m trongtr−ờngthế r V (r )l pˆ 2 r h 2 r Hˆ = +V ()r = − ∇2 +V ()r . 2m 2m r Giảsử Hˆ khôngphụthuộc t : Hˆ = Hˆ (r ). Trongtr−ờnghợpnytacóthểtìmnghiệmcủaph−ơng trình Schrodingerphụthuộcthờigiannhờkỹthuậttáchbiến: r r ψ (r,t) = ϕ(r )T (t). Kếtquả,tatìmđ−ợcphầnphụthuộcthờigian  − iEt  T ()t = Aexp  .  h  Giảsửtagiảiph−ơngtrìnhSchrodingerkhôngphụthuộcthời gian,thuđ−ợccáchmriêng ϕ n vtrịriêng En : ˆ Hϕ n = Enϕ n . Vớimỗinghiệmriêngnh−thế,cómộtnghiệmriêngt−ơngứng vớiph−ơngtrìnhSchrodingerphụthuộcthờigian. r r  iEnt  ψ n ()()r,t = Aϕ n r exp− , n = 3,2,1 (10)  h  Điềunyphùhợpkhi {ϕn }giánđoạn.
17. 17 Trong tr−ờng hợp {ϕn }liên tục, vídụ hạt tựdochuyểnđộng một chiều, từ ph−ơng trình ph−ơng trình Schrodinger không phụ thuộcthờigian ˆ Hϕ k = Ekϕ k h 2 k 2 tađthuđ−ợchmriêng ϕ (x) = Aeikx vtrịriêng E = . k k 2m Vớimỗinghiệmkhôngphụthuộcthờigiantacómột nghiệm phụthuộcthờigiant−ơngứng i(kx−ωt ) h ψ k (x,t) = Ae ,trongđó ω = Ek .
18. 18 Ch−ơngIII:Hạtchuyểnđộngtronghốthế 3.1.Hạtchuyểnđộngtronghốthế a)Hmriêngvtrịriêng Tađbiếtrằngđốivớihạtchuyểnđộngtựdothìphổtrịriêng h 2k 2 củatoántửnăngl−ợnglliêntục E = vcáchmriêngt−ơng 2m ikx ứngl ϕk (x) = Ae . Bâygiờtahyxéttr−ờnghợphạtchuyểnđộngtrong hố thế mộtchiều V (x) = ∞ khi x ≤ 0 hoặc x ≥ L (miền1); V (x) = 0 khi 0 < x < L (miền2). ˆ Trongmiền1: Với E hữuhạn: H1ϕ = Eϕ Do E, ϕ hữuhạnnênvếphảihữuhạn,suyra ϕ = 0 ; ϕ 2 = 0 ởmiền1. Trongmiền2: h2 ∂2 − ϕ ()()x = E ϕ x . 2m ∂x2 n n n Điềukiệnbiên: ϕ n (0) = ϕn (L) = 0 . 2mE Đặt k 2 = n ,tacónghiệm n h 2 ϕ n (x) = Asin k n x + B cos kn x . Từđiềukiệnbiênsuyra
19. 19 B = 0 ; Asin kn L = 0 hay kn L = nπ ; n = 2,1,0 . Vậyphổtrịriêngvhmriêngrờirạc. L 2 2 ϕ x dx = 1 A = Từđiềukiệnchuẩnhoá ∫ n () tacó . 0 L Vậyhmriêngvtrịriêngcủahạtchuyểnđộngtronghốthếđ nêul h 2 2 2 2 2  nπx  2 k1 h π ϕ n ()x = sin  ; En = n E1 ; E1 = = . L  L  2m 2mL2 2 Tathấyrằngkhi n = 0thì ϕ = 0 ,dođó ϕ = 0 ,hạtkhôngtồntại ởtrạngthái n = 0. b)Thừasốphatuỳý Tađbiếtrằnghmsóng ψ chothôngtinvềhệ: C = ∫ψ *Cˆψdx . Điềukiệnchuẩnhoácủahmsóngl ∫ψ *ψdx = 1. Giátrịcủacácbiểuthứcnóitrênkhôngthayđổid−ớitácdụng củaphépbiếnđổi ψ → eiαψ ,trongđó α lsốthực. Nh−vậyhmsóngđ−ợcxácđịnhchínhxácđếnmộtthừa số pha eiα .Đạil−ợngtuỳýnykhôngảnhh−ởngtớibấtcứkếtquảvật líno. 3.2.KíhiệuDirac
20. 20 TrongCơhọcl−ợngtử,ngoikíhiệutíchphânthôngth−ờng, tacòndùngkíhiệuDirac. Khigặpkíhiệu ψ ϕ ,taphảihiểunh−sau 1)lấyliênhợpphứccủađốit−ợngtrongkhethứnhất: ψ →ψ * ; 2)lấytíchphâncủatích ψ *ψ . Cáctínhchất: Nếu a lsốphức, ψ v ϕ l2hmsaocho +∞ ∫ψ ϕdx < ∞ −∞ thì a) ψ aϕ = a ψ ϕ ; b) aψ ϕ = a* ψ ϕ ; c) ψ ϕ * = ϕ ψ ; d) ( ψ 1 + ψ 2 )(ϕ1 + ϕ2 )= ψ 1 ϕ1 + ψ 1 ϕ2 + ψ 2 ϕ1 + ψ 2 ϕ2 . 3.3.Nguyênlíchồngchập Trởlạibitoánhốthếmộtchiều. Tahyt−ởngt−ợngmộtsốlớncácphéplặpđồngnhấtcủahệ. Tấtcảcáchốthếởcùngtrạngtháibanđầu ψ (x 0, ) . Sau khoảng thời gian t , tất cả các hố thế ở cùng trạng thái ψ (x,t) . Năngl−ợngcủahạttrongmỗihốthếởthờiđiểm t bằngbao nhiêu?
21. 21 Điềuđặcbiệtl:năngl−ợngđotrongcáchốthếgiốngnhau,ở cùngtrạngthái ψ (x,t),khôngnh−nhau! Cáccâuhỏithíchhợphơncóthểđặtral: 1)Năngl−ợngtrungbìnhđođ−ợctrongtấtcảcáchốthếlbao nhiêu? 2)Nếutađonăngl−ợngtrongmộthốthếthìxácsuấtđođ−ợc mộtgiátrịcụthể,vídụ E3 ,lbaonhiêu? Nếuxácsuấttìmthấygiátrị En trongmộtphépđonăngl−ợng l P(En )thìnăngl−ợngtrungbìnhcủatấtcảcácphépđocủatấtcả cácthnhviêncủatậphợpl E = ∑ P(En )En . (1) ∀En Côngthức(1)đúngchomọiđạil−ợngvậtlí.Vídụ: L x = ∫ xP(x)dx . (2) 0 Theotiênđề3: E = ψ Hˆψ . (3) Tahykhaitriểntrạngthái ψ theocáchmriêngcủa Hˆ .Các hmriêngthoảmnph−ơngtrìnhtrịriêng ˆ Hϕn = Enϕn . (4) Đốivớibitoánhốthếsâuvôhạnthì 2  nπx  ϕn ()x = sin  . (5) L  L  Khaitriển ψ theocáchmriêng ϕn ∞ ψ ()()()x,t = ∑bn t ϕn x . (6) n=1
22. 22 NếuviếttheokíhiệuDirac,tacó ∞ ψ = ∑ bnϕn . (7) n=1 Thay(7)vo(3)tacó ˆ * ˆ E = ∑bnϕn H ∑blϕl = ∑ ∑bn bl ϕn Hϕl = n l n l ∞ * * 2 ∑ ∑bn bl El ϕn ϕl = ∑ ∑bn bl Elδnl = ∑ bn En . (8) n l n l n=1 Sosánh(8)v(1)tađ−ợc ∞ 2 ∑ bn En = ∑ P(En )En . (9) n=1 n 2 Vậy bn chínhlxácsuấtđểởthờiđiểm t phépđonăngl−ợng củahạtởtrạngthái ψ (x,t)thuđ−ợcgiátrị En : 2 P(En )= bn . (10) Nếu ψ v ϕn đchuẩnhoáthìcáchệsốcũngđ−ợcchuẩnhoá. Thậtvậy: * 1 = ψ ψ = ∑bnϕn ∑blϕl = ∑ ∑bn bl ϕn ϕl n l n l * 2 = ∑ ∑bn blδnl = ∑ bn , (11) n l n=1 2 tứcl bn lxácsuấttuyệtđối. Nếu ψ v ϕn ch−achuẩnhoáthì b 2 c 2 b 2 c 2 P(E )= n n = n n , (12) n 2 2 ψ ψ ∑ bn cn 2 cn = ϕn ϕn .
23. 23 Trởlạikhaitriển(7): ∞ ψ = ∑ bnϕn . n=1 Nhântráivới ϕn' ,dotínhchấttrựcgiaocủatậpcáchmriêng {ϕn },tacó bn = ϕn ψ . (13) Nh−vậy,hệsố bn lhìnhchiếucủa ψ lênvéctơriêng ϕn . 2 ýnghĩavậtlícủa bn : bn lxácsuấtđonăngl−ợngđ−ợcgiá trị En khihệởtrạngthái ψ . Sựmôtảnóitrênđúngvớibấtcứđạil−ợngvậtlíno. Xéttoántử Fˆ bấtkì. ˆ Fϕn = fnϕn . (14) ởthờiđiểm t ,hệởtrạngthái ψ (x,t) .Hỏixácsuấtđo F đ−ợc giátrị f3 bằngbaonhiêu? Trạngthái ψ ltrạngtháichồngchấtcủacáctrạngtháiriêng của Fˆ .Tagiảsửcáctrạngtháiriêngcủa Fˆ lmộtcơsởcủakhông gianHilbertm ψ xácđịnhtrongđó: ∞ ψ = ∑ bnϕn , (15) n=1 bn = ϕn ψ . Việcgiảthiếtrằngmộttrạngtháibấtkì ψ cóthểđ−ợcbiểu diễnnh−lchồngchấtcủacáctrạngtháiriêngcủamộtđạil−ợng
24. 24 vậtlílcốtlõicủanguyênlíchồngchập.Với {ϕn} v ψ đchuẩn 2 hoáthì P( f3 )= b3 . Chúngtacóthểtómtắtnhữngđiềuvừatrìnhbynóitrêntheo sơđồsauđây: ˆ ˆ trạngthái F =toántửt−ơng Fϕn = fnϕn {fn},{ϕn} ψ ứngvớiđạil−ợng vậtlí F Khi {fn }ltậphợpliêntục P( f n ) =xác ψ = ∑bnϕn suấtđo F ψ = b ϕ → b(n)ϕ(n)dn thì ∑ n n ∫ 2 bn = ϕn ψ đ−ợc fn = bn 2 bn dn = P( f )dn =xácsuất để f nằmtrongkhoảng [ f (n), f (n + dn)] GiảithíchtheokhônggianHilbert: ϕ1 ψ (t + ε ) = ϕ1 ψ (t) ϕ2 ϕ3 ϕ 4 a) b)
25. 25 a)Trạngtháicủahệtr−ớckhiđoởthờiđiểm t , chồng chập ˆ trêncơsở {ϕn}lcácvéctơriêngcủatoántử F .Xácsuấtđo F đ−ợc giátrị fn tỉlệvớihìnhchiếucủa ψ lên ϕn . b)Trạngtháicủahệngaysaukhiđođ−ợcgiátrị f1 .Phépđo đóngvaitrònh−một“bộlọcsóng”.Nólọcratấtcảcácthnhphần ∞ củachồngchập ψ ()()()x,t = ∑bn t ϕn x ,chỉchoquasóng ϕ1 . n=1 TrongkhônggianHilbert, {ϕn }ltậpcácvéctơ, ψ lmộtvéctơ khác. Hệởtrạngthái ψ .Phépđođạil−ợngvậtlí F lmchotrạng thái ψ “rơivo”mộttrongsốcácvéctơriêng ϕn . Ví dụ minh hoạ: Một vi hạt có khối l−ợng m chuyển động tronghốthế1chiềucóbềrộng L .Khi t = 0 ,hạtởtrạngthái 3ϕ + 4ϕ ψ (x )0, = 5 6 , (17) 5 ˆ trongđócáchm ϕn lcáctrạngtháiriêngtrựcgiaocủa H : 2  n πx  ϕ n = sin   . (18) L  L  Hỏitacóthểnóigìvềphépđonăngl−ợng E tạithờiđiểmđó ( t = 0 )? Giải: Tr−ớchết,tahykiểmtratínhchuẩnhoácủahmsóng ψ .Dễthấyrằng ψ ψ = 1.Dođó,hmsóng ψ đchuẩnhoá. Theonguyênlíchồngchập,muốntìmxácsuấtđonăngl−ợng ˆ đ−ợcgiátrị En taphảikhaitriển ψ theocáctrạngtháiriêngcủa H . Bìnhph−ơngbiênđộhệsốkhaitriểncủa ϕn chotaxácsuấtcầntìm.
26. 26 3 4 Trongbitoánny, b = , b = , b = 0 với n ≠ 5 hoặc6. 5 5 6 5 n Vậyxácsuất P(En )đo E tại t = 0 đ−ợc En l 9 16 P()E = = 36% , P()E = = 64% , P(E ) = 0 với n ≠ 5 hoặc6. 5 25 6 25 n Cácgiátrịnăngl−ợngl π 2h2 E = n2E , E = . n 1 1 2mL2 Mặcdầutrạngthái ψ (x 0, )lchồngchậpchínhxáccủacáctrạng tháiriêngđ−ợcxácđịnhrõrngcủacácđạil−ợng vật lí đ−ợcđo nh−ngtakhôngbiếtchínhxácphépđosẽthuđ−ợckếtquảno. Đâylđiềukhôngcósựt−ơngtựtrongcơhọccổđiển. Mọisựbấtđịnhtrongcơhọccổđiểnldosốliệu ban đầu khôngchínhxác. TrongCơhọcl−ợngtử,mặcdầutrạngtháibanđầu ψ (x 0, )đ−ợc môtảchínhxáctuyệtđốisongtakhôngthểbiếtchắcchắnphépđo sẽđ−ahệvềtrạngtháiriêng ϕn no. Tuynhiên,mỗikhi E đđ−ợcđovnăngl−ợng E5 đ−ợctìm thấythìtabiếtchắcchắnrằngtrạngtháicủahệngaysauphépđođó l ϕ5 . Nguyênlíchồngchậpyêucầuchúngtagiảthiếtrằnggiữacác trạngtháicótồntạicácmốiliênhệđặcbiệtsao chomỗikhihệở trongmộttrạngtháihontonxácđịnhthìchúngtacóthểxemnh− nócũngđangmộtphầnởtrongmỗimộttrongsố2hoặcnhiềuhơn cáctrạngtháikhác.Trạngtháibanđầuphảiđ−ợcxemxétnh−lkết quả của một dạng chồng chập của 2 hoặc nhiều hơn 2 trạng thái khác,theomộtcáchthứckhôngthểtiếpnhậnđ−ợctheocácýt−ởng cổ điển.
27. 27 Ch−ơngIV:Daođộngtửđiềuho 4.1.Daođộngtửđiềuhomộtchiều Mộtvihạtcókhốil−ợng m chuyểnđộngtrongtr−ờngcóthế K năng V = x2 . 2 ToántửHamiltoncủahạtl pˆ 2 K Hˆ = + x2 . (1) 2m 2 Từđó,ph−ơngtrìnhSchrodingermôtảchuyểnđộngcủahạtcó dạng: h2 ∂2ϕ(x) K − + x2ϕ()()x = Eϕ x . (2) 2m ∂x2 2 Ta tìm hm riêng v trị riêng của toán tử Hamilton bằng ph−ơngphápđạisố,dựavocáctoántửsinhvhuỷ. Tađịnhnghĩacáctoántử β  piˆ  + β  piˆ  aˆ ≡  xˆ +  , aˆ ≡  xˆ −  , (3) 2  mω0  2  mω0  trongđó mω β 2 ≡ 0 . (4) h Dễthấyrằng aˆ ≠ aˆ + ,dođó aˆ khôngphảiltoántửécmít.Từ hệthứcgiaohoángiữatoántửtoạđộvtoántửxungl−ợng [xˆ, pˆ ] = ih , tachứngminhđ−ợchệthứcgiaohoángiữa aˆ v aˆ + :
28. 28 [aˆ,aˆ + ]= .1 (5) Từbiểuthứcđịnhnghĩacủa aˆ v aˆ + ,tasuyra aˆ + aˆ + mω aˆ − aˆ + 1 0 ˆ h  +  xˆ = ; pˆ = ; H = ω0 aˆ aˆ +  . (6) 2β i 2β  2  Nh−vậybitoántìmtrịriêngcủa Hˆ trởthnhbitoántìmtrị riêngcủatoántử Nˆ = aˆ + aˆ . ˆ Giảsử ϕn lhmriêngcủatoántử N t−ơngứngvớitrịriêng n : Nˆϕ = nϕ n n . (7) ˆ Chotoántử N tácđộnglên (aˆϕn ),tacó ˆ + + + Naˆϕn = aˆ aaˆˆ ϕn = (aaˆˆ −1)aˆϕn = aˆ(aˆ aˆ −1)ϕn = ˆ = aˆ(N −1)ϕn = aˆ(n −1)ϕn = (n −1)aˆϕn . (8) ˆ Hệthứctrênchothấyrằng aˆϕn lhmriêngcủatoántử N ứng vớitrịriêng n −1,nghĩal: aˆϕ n = ϕ n−1 (ta đ bỏ qua thừa số chuẩn hoá). T−ơngtự, aˆϕ n−1 = ϕ n−2 .Vìlídođó,toántử aˆ đ−ợcgọiltoántử huỷ. Chứngminht−ơngtự,tađ−ợc: ˆ + + Naˆ ϕ n = (n +1)aˆ ϕ n , (9) + ˆ + aˆ ϕn lhmriêngcủatoántử N ứngvớitrịriêng n +1: aˆ ϕ n = ϕ n+1 . T−ơngtự, + aˆ ϕ n+1 = ϕ n+2 . Toántử aˆ + đ−ợcgọiltoántửsinh.
29. 29 Do Hˆ ltổngcácbìnhph−ơngcủa2toántửécmítnên H ≥ 0 . Khihệởtrongtrạngtháiriêng ϕn thì 1 1 Hˆϕ = hω (Nˆ + )ϕ = hω (n + )ϕ . (10) n 0 2 n 0 2 n Từđó: 1 ϕ Hˆϕ = hω (n + ) ≥ 0 . (11) n n 0 2 1 Suy ra trị riêng n phảithoảmn điềukiện n ≥ − . Mọi trạng 2 1 tháiriêngcủa Hˆ t−ơngứngvớitrịriêng n < − phảibằng0.Vớidao 2 độngtửđiềuho,nhữngtrạngtháinh−thếkhôngtồntại.Điềukiện nyđ−ợcđảmbảonếutađặt aˆϕ 0 = 0 . Từđó: aˆϕ0 = ϕ −1 = ,0 aˆϕ −1 = ϕ −2 = 0 . (12) Ngoira: ˆ + Nϕ0 = aˆ aˆϕ0 = 0 = .0 ϕ0 , (13) ˆ ˆ + + + + + + Nϕ1 = Naˆ ϕ0 = aˆ aaˆˆ ϕ0 = aˆ (aˆ aˆ +1)ϕ0 = aˆ ϕ0 = ϕ1 = .1 ϕ1 (14) Nh−vậy,chỉsố n ,đánhdấuhmriêng ϕn ,lsốnguyên. Trởlạiph−ơngtrìnhtrịriêng 1 1 Hˆϕ = hω (Nˆ + )ϕ = hω (n + )ϕ , (15) n 0 2 n 0 2 n tasuyratrịriêngnăngl−ợngcủadaođộngtửđiềuhol:
30. 30 h  1  En = ω0 n +  , n = 2,1,0 (16)  2  Tacónhậnxétrằngcácmứcnăngl−ợngcủadaođộngtửđiều h hocáchđềunhau;khoảngcáchgiữacácmứcl ω0 . Đểtìmhmriêngcủadaođộngtửđiềuho,tađặt mω ζ 2 ≡ 0 x 2 ≡ β 2 x 2 . (17) h Khiđó,cáctoántử aˆ v aˆ + códạng β  piˆ  β  h ∂  1  ∂  aˆ ≡  xˆ +  =  x +  = ξ +  , (18) 2  mω0  2  mω0 ∂x  2  ∂ξ  + β  piˆ  β  h ∂  1  ∂  aˆ ≡  xˆ −  =  x −  = ξ −  . (19) 2  mω0  2  mω0 ∂x  2  ∂ξ  Ph−ơngtrìnhSchrodingermôtảchuyểnđộngcủahạttrởthnh  2E   2E  2aˆ + aˆ +1− ϕ = ϕ +  − ξ 2 ϕ = 0 . (20)  h  ξς  h   ω0   ω0  Hmsóngởtrạngtháicơbản ϕ0 thoảmn aˆϕ 0 = 0 , hay,mộtcácht−ơngđ−ơng 1  ∂  ξ + ϕ0 = 0 . (21) 2  ∂ξ  Ph−ơngtrìnhnycónghiệm ξ 2 − 2 ϕ0 (ξ ) = A0 .e . (22) Từđiềukiệnchuẩnhoátasuyra 1 − 4 A0 = π . Vậy
31. 31 1 ξ 2 − − 4 2 ϕ0 (ξ ) = π .e . (23) Nếuviếttheobiến x thì 1 2 2 2 ξ ()βx 2 ()βx − −  β  4 − 2 2   2 ϕ0 (x) = B0 .e = B0 .e =   e . (24)  π  Từbiểuthứccủa ϕ0 tasuyrađ−ợcbiểuthứccủacáctrạngthái riêngcònlại: + ϕ1 = aˆ ϕ0 , 1 + 1 + 2 ϕ 2 = aˆ ϕ1 = (aˆ ) ϕ0 , 2 2 1 + n ϕ n = (aˆ ) ϕ0 . (25) n! Nếuviếttheobiến ξ thì: n ξ 2 −  ∂  2 ϕ n (ξ ) = An ξ −  e . (26)  ∂ξ  n Tađbiếtrằngtoántửviphânbậc n , (aˆ + ) ,tácđộnglênhm ξ 2 − mũ e 2 ,chotacùnghmmũđó,nhânvớiđathứcbậc n theo ξ : n ξ 2 ξ 2 − −  ∂  2 2 ξ −  e = H n (ξ )e . (27)  ∂ξ  Vậyhmriêngcủadaođộngtửđiềuhol ξ 2 − 2 ϕn (ξ ) = An.H n (ξ).e . (28) Trongđóhệsốchuẩnhoá 1 − n 2 An = (2 n! π ) ,
32. 32 cònđathức H n (ξ ) lnghiệmcủaph−ơngtrìnhHermite H "(ζ ) − 2ζH (' ζ ) + 2nH (ζ ) = 0 n n n (29) vđ−ợcgọilđathứcHermitebậc n . 4.2.Daođộngtửđiềuho2chiều Đốivớidaođộngtửđiềuho2chiều,toántửHamiltoncủahệ 2 pˆ 2 pˆ K K Hˆ (x, y) = x + y + x2 + y2 (30) 2m 2m 2 2 đ−ợctáchthnh2phầnđộclập Hˆ (x) v Hˆ (y) ,t−ơngứngvớidaođộng tửđiềuhomộtchiềutheoph−ơng x v y . Dođó,từnghiệmcủabitoándaođộngtửđiềuhomộtchiều đxétởphầntrên,tasuyranghiệmcủabitoándaođộngtửđiều ho2chiềunh−sau: ξ 2 +η 2 − Hmriêng: ϕ (ξ,η) = A .H (ξ )H (η).e 2 , (31) n1n2 n1n2 n1 n2 Trịriêng: E = hω (n + n +1), (32) n1n2 0 1 2 trongđó: mω mω ζ 2 ≡ 0 x 2 ≡ β 2 x 2 , η 2 ≡ 0 y 2 ≡ β 2 y 2 , (33) h h H (τ ) llđathứcHermitebậc n (biến τ = ξ,η ). A lhệ sốchuẩn n n1n2 hoá. Tacónhậnxét:Cáchmriêngt−ơngứngvớitrịriêng năng ' ' l−ợng En n códạngtích ϕ ' ϕ ' saocho n1 + n2 = n1 + n2 .Nh−vậytrạng 1 2 n1 . n2 thái riêng t−ơng ứng với trị riêng năng l−ợng E bị suy biến bội n1n2 n1 + n2 +1.
33. 33 Ch−ơngV:Bitoántrịbanđầu. Hmcủatoántử 5.1.Lờigiảibitoántrịbanđầu.Hmcủatoántử Ph−ơng trìnhSchrodinger cho ta lời giảiđối vớibi toán trị r ban đầu: Biết trịban đầu của hm trạng thái ψ (r 0, ), hy xác định r ψ (r,t) . Xéttr−ờnghợpnăngl−ợngcủahệkhôngphụthuộcthờigian. Ph−ơngtrìnhSchrodingercódạng ∂ r r ih ψ ()r,t = Hˆψ (r,t) . (1) ∂t i Nhân2vếvới − rồichuyểnvế h ∂ r iHˆ r ψ ()r,t + ψ ()r,t =0. (2) ∂t h Nhântráivới  itHˆ  ˆ −1   U = exp  (3)  h  Tađ−ợc ∂   itHˆ  r  exp ψ ()r,t = 0. (4)   h   ∂t     Lấytíchphântheo t từ0đến t ,suyra  itHˆ  r r   exp ψ ()r,t ψ (r 0, )=0. (5)  h 
34. 34 Nhânvới Uˆ ,tađ−ợc r  itHˆ  r r   ˆ ψ (r,t)= exp− ψ ()r 0, = Uψ (r 0, ). (6)  h   itHˆ   itHˆ  ˆ −1   ˆ   Toántử U = exp  lnghịchđảocủatoántử U = exp−  .  h   h  Uˆ −1 lhmcủatoántử Hˆ ,cũngltoántử.Nóđ−ợcđịnhnghĩa theochuỗiTaylo 2  itHˆ  itHˆ 1  itHˆ  ˆ −1     U = exp  =1+ +   + (7)  h  h !2  h  UˆUˆ −1 = Iˆ ltoántửđơnvị. r Giảsửtrongnghiệm ψ (r,t) nóitrêntachọntrạngtháibanđầu ˆ lmộthmriêngcủa H .Gọihmđól ϕn : r r ψ n (r 0, ) = ϕn (r ) ˆ Hϕn = Enϕn . ˆ Khiđó,theomộtđịnhlíquenthuộc,do ϕn lhmriêngcủa H ˆ ứngvớitrịriêng En nên ϕn cũnglhmriêngcủa f (H )ứngvớitrị riêng f (En ).Dođó ˆ r  itH  r  itE  r −iω t r ψ r,t = exp− ϕ r exp − n ϕ r e n ϕ r n ()   n ()=   n ()= n ( ), (8)  h   h  h trongđó ωn = En . r r r r r r r r ψ (r 0, ) = ϕ (r ) ⇒ A = ψ *(r 0, )Aˆψ (r 0, ) rd = ϕ * (r )Aˆϕ (r ) rd ; n n t =0 ∫ n n ∫ n n r r * r r r ψ (r,t) = e−iωntϕ (r ) ⇒ A = ψ (r,t)Aˆψ (r,t) rd = n n t >0 ∫ n n * r r r * r r r = e+iωnte−iωnt ϕ (r )Aˆϕ (r ) rd = ϕ (r )Aˆϕ (r ) rd = A . (9) ∫ n n ∫ n n t=0
35. 35 Nh−vậykìvọngcủabấtcứbiếnsốđộnglựcnocũnglhằng sốnếuởbấtcứthờiđiểmnohệcũngltrạngtháiriêngcủatoántử năngl−ợng.Vìvậy,cáctrạngtháiriêngcủatoántửnăngl−ợngđ−ợc gọilcáctrạngtháidừng. r r −iωnt ψ n (r,t) = e ϕn (r )ltrạngtháidừng. 5.2.Sựtiếntriểncủahmtrạngtháitheothờigian Tr−ớchếttahynhắclạibitoántrịbanđầu:Biếttrịbanđầu r r củahmtrạngthái ψ (r 0, ),hyxácđịnh ψ (r,t) . Tađbiếtkếtquảl r  itHˆ  r   ψ (r,t)= exp− ψ ()r 0, .  h  Thựchiệnkhaitriển 2  itHˆ  itHˆ 1 t 2Hˆ exp−  =1 +   2  h  h 2! h ˆ Chohmmũnytácđộnglênmộthmriêng ϕn của H ,tađ−ợc  itHˆ   itE  exp− ϕ = exp − n ϕ   n   n .  h   h  Xétbitoánhạtchuyểnđộngtronghốthế1chiều. Banđầu,hạtởtrongmộttrạngtháiriêngcủacủatoántửnăng l−ợng Hˆ củahệ ψ n (x 0, ) = ϕn (x). ở thờiđiểm t sauđó  itHˆ  ψ x,t = exp− ϕ x e −iωntϕ x n ()   n () = n ( ),  h 
36. 36 h 2 trongđó ωn = En = n E1 . ˆ Trạngtháiriêngphụthuộcthờigian ψ n (x,t)của H ltrạngthái dừng. Trịtrungbìnhcủabấtcứbiếnsốđộnglựcnocũngkhôngđổi theothờigiannếutạimọithờiđiểmhệltrạngtháiriêngcủa Hˆ . Tínhchấtquantrọngcủatrạngtháidừngl:giátrịtrungbình củabấtcứbiếnsốđộnglựcno(mtoántửcủanókhôngphụthuộc t−ờngminhvothờigian)cũnglhằngsốtrongtrạngtháidừng. Vídụ: Xéttrạngtháiriêngứngvới n = 5  i25E1t  2  5πx  ψ 5 (x,t) = exp−  sin .  h  L  L  25E Trạngthái ψ daođộngvớitầnsố 1 .Cảphầnthựcvphần 5 h ảo của ψ 5 (x,t) l sóng dừng. Trị trung bình của năng l−ợng trong trạngtháinylhằngsố,bằng 25E1 . Bâygiờ,giảsử ψ (x 0, ) khôngphảilmộttrạngtháiriêngcủa Hˆ . Đểxácđịnhsựtiếntriểntheothờigiancủa ψ (x 0, ) ,taápdụng nguyênlíchồngchậpvviết ψ (x 0, ) d−ớidạngtổhợptuyếntínhcủa cáctrạngtháiriêngcủa Hˆ : ψ (x 0, ) = ∑bnϕn (x); n bn = ϕn (x)ψ (x 0, ) . Suyra  itHˆ   itHˆ  ψ (x,t)= exp−  b ϕ ()x = b exp− ϕ ()x =  h ∑ n n ∑ n  h  n   n n   −iωnt = ∑bne ϕ n (x); n
37. 37 h 2 trongđó ωn = En = n E1 . Nh−vậy,mỗibiênđộthnhphần bnϕn daođộngvớitầnsốgóc riêngt−ơngứng ωn . Mộtvídụcụthể:Trạngthái 2 sin(2πx / L)+ 2sin(πx / L) ψ (x 0, ) = L 5 lchồngchậpcủa2trạngtháiriêng ϕ2 v ϕ1 ; 2 1 b = ; b = ; b = 0 (∀n ≠ 2,1 ). 1 5 2 5 n Trạngtháicủahệtại t > :0 2 e−iω2t sin(2πx / L)+ 2e−iω1t sin(πx / L) ψ (x,t)= . L 5 Cácnghiệmphụthuộcthờigiannyliênquanvớicácquansát thựcnghiệmnh−thếno? Taviếtlại ψ (x,t) = ∑bn (t)ϕn (x); n bn (t)gồmcảthừasốphụthuộcthờigiandạngmũ: −iω nt bn (t)= e bn . Nếuđonăngl−ợng E tại t > 0sẽthuđ−ợcnhữnggiátrịno,với xácsuấtbằngbaonhiêu? Tacó 2 E = ∑ bn ()t En ; n 2 4 1 P()E = b ()t ⇒ P()E = ; P()E = ; P(E ) = 0 (∀n ≠ 2,1 ). n n 1 5 2 5 n
38. 38 Nh−vậy,vớitrạngtháibanđầuđcho,ởthờiđiểmbấtkì t > 0, 4 xácsuấtđonăngl−ợngđ−ợc E l ;xácsuấtđonăngl−ợngđ−ợc 1 5 1 E = 4E l . 2 1 5 Giátrịtrungbìnhcủanăngl−ợngtại t > 0l −iω2t −iω1t ˆ −iω2t ˆ −iω1t ( e ϕ2 + 2e ϕ1 )(H e ϕ2 + H 2e ϕ1 ) E = = t >0 5 E + 4E 8 2 1 = E = E . 5 t =0 5 1 Tứclgiátrịtrungbìnhcủanăngl−ợngkhôngphụ thuộcthời gian. Tổngquát,tacóthểchứngminhrằng: Vớimộthệcôlậpthì 1)xácsuấttìmthấymộtgiátrịnăngl−ợng En khôngphụthuộc thờigian. 2)giátrịtrungbìnhcủanăngl−ợng E khôngphụthuộcthời gian. Thậtvậy 2 2 +iωnt −iωnt * P()En = bn ()t = e e bn bn = bn ; 2 2 E = ∑ bn ()t En = ∑ bn En ; n n khôngphụthuộcthờigian.
39. 39 Ch−ơngVI:Líthuyếtnhiễuloạn 6.1.Giớithiệu Ph−ơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Hˆϕ = Eϕ chỉchonghiệmchínhxáctrongmộtsốíttr−ờnghợp. Trongmộtsốtr−ờnghợpkhác,tacóthểviết ˆ ˆ ˆ H = H 0 + H ', ˆ trongđóhmriêngvtrịriêngcủa H0 cóthểtìmđ−ợcchínhxácv ˆ ˆ H 'bésovới H 0 .Líthuyếtchophéptìmhmriêngvtrịriênggần ˆ ˆ đúngcủa H từhmriêngvtrịriêngcủa H0 gọillíthuyếtnhiễu ˆ ˆ loạn.Khiđó, H 0 gọiltoántửHamiltonkhôngnhiễuloạn, H 'gọil toántửHamiltonnhiễuloạn. Cácbitoánnhiễuloạnđ−ợcchiathnh3nhóm: 1)nhiễuloạnkhôngphụthuộcthờigian,khôngsuybiến, 2)nhiễuloạnkhôngphụthuộcthờigian,suybiến, 3)nhiễuloạnphụthuộcthờigian. Sauđâychúngtasẽlầnl−ợtkhảosátcácbitoánnóitrên.
40. 40 6.2.Nhiễuloạnkhôngphụthuộcthờigian,khôngsuybiến a)Độnhỏcủanhiễuloạn Tagiảthiết: ˆ ˆ + H 'bésovới H0 , +trạngtháiriêngvnăngl−ợngriêngcủa Hˆ khôngkhácnhiều ˆ sovớicủa H 0 . )0( )0( Gọi {ϕn }, {En } v {ϕn }, {En }lầnl−ợtlhmriêngvtrịriêng ˆ ˆ của H v H 0 ,tứcl ˆ ˆ ˆ Hϕn = (H0 + H ')ϕn = Enϕn , ˆ )0( )0( H0ϕn = En ϕn . Tacóthểviết )0( ϕn = ϕn + ϕn , )0( En = En + En , trongđó )0( ϕn lbổđínhnhỏvo ϕn , )0( En lbổđínhnhỏvo En . Để l−u ý Hˆ 'bé,taviết Hˆ ' =: λ Hˆ ',trongđó λ lthamsốvô cùngbé. Khiđóph−ơngtrìnhtrịriêngcủa Hˆ trởthnh ˆ ˆ (H0 + λ H ')ϕn = Enϕn . (1) b)Khaitriểnnhiễuloạn ˆ Trạngtháiriêngvnăngl−ợngriêngcủa H0 đbiết.
41. 41 )0( Do ϕn → ϕn khi λ →0nêntatìmnghiệmcủaph−ơngtrình(1) d−ớidạngchuỗi )0( )1( 2 )2( ϕn = ϕn + λ ϕn + λ ϕn + )0( )1( 2 )2( En = En + λ En + λ En + (2) Thay(2)vo(1)vviếtlạicácsốhạngtheosốmũ λ : ˆ )0( )0( )0( [H0ϕn − En ϕn ]+ ˆ )1( ˆ 0( ) 0( ) )1( )1( 0( ) + λ [H 0ϕ n − H 'ϕ n − E n ϕ n − E n ϕ n ]+ 2 ˆ )2( ˆ )1( )0( )2( )1( )1( )2( )0( + λ [H0ϕn − H 'ϕn − En ϕn − En ϕn − En ϕn ]+ + =0. (3) Ph−ơngtrình(3)códạng F )0( + λF )1( + λ2F )2( + λ3F )3( + =0. Đểph−ơngtrìnhnyđúngvớimọi λ bấtkìbéthì F )0( = F )1( = F )2( = =0. Từ(3)tasuyra ˆ )0( )0( )0( a) H0ϕn = En ϕn , ˆ )0( )1( )1( ˆ )0( b) (H 0 − En )ϕn = (En − H ')ϕn , ˆ )0( )2( )1( ˆ )1( )2( )0( c) (H0 − En )ϕn = (En − H ')ϕn + En ϕn , (4) ˆ )0( )3( )1( ˆ )2( )2( )1( )3( )0( d) (H0 − En )ϕn = (En − H ')ϕn + En ϕn + En ϕn . )0( ởgầnđúngbậcthấpnhất,ph−ơngtrình(4a)chonghiệm {ϕn } )0( ˆ v {En }lhmriêngvtrịriêngcủa H 0 . Cácph−ơngtrìnhkháccótínhchất:vếtráikhôngđổid−ớitác )1( )1( )0( dụngcủaphépbiếnđổi ϕn → ϕn + a ϕn ,trongđó a lhằngsốbất
42. 42 )1( )1( )1( )0( kì.Vídụ:nếugiải(4b)đ−ợcnghiệm ϕn v En thì ϕn + a ϕn v )1( En cũnglnghiệm. Đểloạibỏtínhchấtđó,taphảithêmđiềukiệnrngbuộc:Mọi )0( )0( bổđínhvo ϕn trong(2)đềutrựcgiaovới ϕn : (s) )0( ϕ n ϕ n =0(với s = 0 v ∀n ). (5) TrongkhônggianHilbert,hệthứcnynóirằng ϕn trựcgiao )0( với ϕn . )0( ϕn ϕn ϕ n (s) Điềunygiúptaxácđịnh ϕn . ˆ )1( Trởlại(4b) : H 0 tácđộnglên ϕn nênnghiệmcóthểthuđ−ợc )1( thông qua khai triển của ϕn theo chồng chất của các trạng thái ˆ riêngcủa H 0 : )1( )0( ϕn = ∑cni ϕi . (6) i Thay(6)vo(4b) ˆ )0( )0( )1( ˆ )0( (H 0 − En ) ∑cni ϕi = (En − H ')ϕn . i )0( Nhântráivới ϕ j tađ−ợc )0( )0( )1( (E j − En )cnj + H ' jn = En δ jn . (7) ˆ )0( H ' jn lyếutốmatrậncủa H 'trongbiểudiễn {ϕn } )0( ˆ )0( H ' jn ≡ ϕ j H ' ϕn .
43. 43 c)Bổđínhhạng1 Với j ≠ n ,ph−ơngtrình(7)chocáchệsố {cnj },khithayvo(6) chotabổđínhhạng1vo ϕn : H 'in cni = )0( )0( ; (8) En − Ei )1( H 'in )0( )0( ϕn = ∑ )0( )0( ϕi + cnn ϕn . i≠n En − Ei (s) ởđây,tagiảthiếtrằngmọibổđính {ϕn }nằmtrongkhônggian )0( Hilbertđ−ợckhaitriểnbởicáchmsóngkhôngnhiễuloạn {ϕn }. Hệsố cnn thuđ−ợctừ(5): cnn =0. Với j ≠ n ,(7)chotabổđínhhạng1vonăngl−ợng En : (1) En = H 'nn (9) (đólcácyếutốchéocủa Hˆ '). Thay(8)v(9)vo(2)vđặt λ =1tasuyra )0( H 'in )0( a) ϕn = ϕn + ∑ )0( )0( ϕi , i≠n En − Ei )0( b) En = En + H 'nn . (10) Từ(10a)tasuyra:đểkhaitriển(2)cónghĩathì hệ số khai triểnphảirấtbésovới1: )0( )0( H 'in << En − Ei , tứclcácyếutốmatrậncủa Hˆ 'phảibésovớiđộchênhlệchgiữa cácmứcnăngl−ợngkhôngnhiễuloạnt−ơngứng. T−ơngtự,từ(10b)tasuyra )0( H'nn << En ,
44. 44 tứclcácyếutốchéocủa Hˆ 'phảibésovớimứcnăngl−ợngkhông nhiễuloạnt−ơngứng. d)Bổđínhhạng2 Giải(4c). ˆ )2( )2( Do H 0 tácđộnglên ϕn nêntacóthểkhaitriển ϕn theocác ˆ trạngtháiriêngcủa H0 : )2( )0( ϕn = ∑ d ni ϕ i . (11) i Thay(11)vo(4c) )0( )0( ˆ )1( )0( )0( )1( )1( )2( )0( ∑ Ei dni ϕi + H ' ϕn = En ∑dni ϕi + En ϕn + En ϕn . i i )0( Nhântráivới ϕ j tađ−ợc )0( )0( )0( ˆ )1( )2( )1( )0( )1( (E j − En )d nj + ϕ j H ' ϕn = En δ jn + En ϕ j ϕn , (12) ˆ )0( H ' jn lyếutốmatrậncủa H 'trongbiểudiễn {ϕn }. Với j = n tasuyra ˆ )2( )0( ˆ )1( )0( H 'H 'in )0( H'ni H 'in En = ϕn H ' ϕn = ∑ ϕn )0( )0( ϕi = ∑ )0( )0( . i≠n En − Ei i≠n En − Ei Do Hˆ 'écmítnên 2 )2( H 'ni En = ∑ )0( )0( (13) i≠n En − Ei (tađápdụngkếtquả cnn =0). Thay(13)vo(2),kếthợpvới(9)tasuyrabổđínhhạng2chonăng l−ợng En 2 )0( H 'ni En = En + H 'nn + ∑ )0( )0( . (14) i≠n En − Ei
45. 45 Tiếptheo,tatínhbổđínhhạng2chohmsóng ϕn . Taphảixácđịnhcáchệsố dni trong(11).Cáchệsốnyđ−ợc thutrựctiếptừ(12). Với j ≠ n ,từ(12)tasuyra )0( )0( )0( ˆ H 'kn )0( (En − E j )d nj = ϕ j H '∑ )0( )0( ϕk k ≠n En − Ek H ' H ' ϕ )0( kn ϕ )0( nn j ∑ )0( )0( k . k ≠n En − Ek Trongtổngthứ2,chỉcósốhạng k = j "sốngsót". Mọisốhạngtrongtổng1tồntại. Dođó 1  H ' jk H 'kn  H 'nn H ' jn d nj =   − . )0( )0( ∑ )0( )0(  )0( )0( 2 E − E k ≠n E − E n j  n k  ()En − E j Do(5)tasuyra d nn= 0 . Vậyhmsóng ϕn tínhtớibổđínhhạng2l )0( ϕn = ϕn +  H ' H ' H ' H ' H '  +  in − nn in + ik kn ϕ )0( . (15) ∑)0( )0( )0( )0( 2 ∑ )0( )0( )0( )0( i i≠n E − E k ≠n E − E E − E  n i ()En − Ei (n i )(n k ) 6.3.Nhiễuloạnphụthuộcthờigian ˆ Lúcđầu,hệkhôngnhiễuloạnlmộttrạngtháiriêng của H 0 . Sauđó,ta“bật”nhiễuloạn Hˆ '(t). Tahytínhxácsuấtđểsauthờigian t diễnrasựchuyểnsang ˆ trạngtháiriêngkháccủa H 0 .
46. 46 ToántửHamiltontonphần r r r ˆ ˆ ˆ H (r,t)= H 0 (r )+ λH '(r,t), (16) trongđó λ vôcùngbé. ˆ Trạngtháiriêngphụthuộcthờigiancủa H0 đ−ợcviếtnh−sau r r iωn t ψ n (r,t) = ϕn (r )e , ˆ )0( h H 0ϕn = En ϕn ≡ ωnϕn . (17) Giảsửtạithờiđiểm t > 0 ,hệởtrạngthái r r ψ (r,t)= ∑cn (t)ψ n (r,t) . (18) n 2 Theonguyênlíchồngchấtthì cn lxácsuấtmphépđotìm thấyhệởtrạngthái ψ n tạithờiđiểm t .Tahytính cn . r ψ (r,t)lnghiệmcủaph−ơngtrình h ∂ψ ˆ ˆ i = (H 0 + λH ')ψ . (19) ∂t r r rd ψ * r,t Thay(18)vo(19)rồinhântráivới ∫ k ( )tađ−ợc dc h k i = λ ∑ k H ' n cn . (20) dt n (20)lchuỗivôhạncácph−ơngtrìnhđốivớicáchệ số {ck (t)}. Khi λ →0,cáchệsố {ck (t)}lhằngsố.Dođótatìmcáchệsố {ck (t)} d−ớidạng (0) (1) 2 (2) ck (t)= ck + λ ck (t)+ λ ck (t) + (21) Thay(21)vo(20)vcânbằngcácsốhạngcùngluỹthừacủa λ :
47. 47 h & (0) i ck =0, h & (1) )0( i ck = ∑ H 'kncn , n h & (2) )1( i ck = ∑ H 'kncn , (22) n h & (s+1) (s) i ck = ∑ H 'kncn . n Tr−ờnghợpđặcbiệt,banđầuhệlmộttrạngtháiriêng xác r ˆ định ψ l (r,t)của H0 .Với(18),khi t → −∞ ,tacó r r r ψ (r,t)~ ψ l (r,t)= ∑δnlψ n (r,t), n (0) cn (− ∞)= δ nl , (23) (“banđầu”cónghĩal t = −∞ ). Thayvoph−ơngtrìnhthứ2của(22)(bỏchỉsốtrên (0)v (1)) h & i ck (t)= ∑ H 'kncn (− ∞)= H 'kl . (24) n Với n ≠ l , cn (− ∞)=0,nghiệmbậc1của ck (t)chobởi 1 t r c (t)= H ' ()r t', dt' ; ( k ≠ l ). (25) k h ∫ kl i −∞ r r Nếu Hˆ '(r,t)= Χˆ (r ). f (t) thì yếu tố ma trận của Hˆ trở thnh (áp dụng(17)) r r ˆ ˆ iωkl t iωklt H 'kl (t) ≡ ψ k H '(r,t)ψ l = ϕk Χ(r )ϕl e f (t)= X 'kl e f (t) (26) trongđó h h ωkl ≡ (ωk − ωl )= Ek − El , )0( (bỏquachỉsốtrên của Ek v El ).
48. 48 Cuốicùng,tacódạngcụthểhơncủa ck (t): X ' t c (t)= kl eiωkl t' f ()t' dt'. (27) k h ∫ i −∞ Cáchệsốnyxácđịnhảnhh−ởngcủanhiễuloạnlêntrạngthái đầu ψ l . Xácsuấtđểhệchuyểntừtrạngtháiđầu ψ l tớimộttrạngthái ˆ riêng ψ k kháccủa H 0 tạithờiđiểm t l 2 t 2 2 X ' P = c = kl eiωkl t' f ()t' dt' . (28) l→k k h ∫ i −∞
49. 49 Ch−ơngVII:Cácnguyêntửmộtelectron 7.1. Mộtsốkháiniệmcơsở r a)Mômenxungl−ợngtonphần J Tabiếtrằngmômenxungl−ợngtonphần củahệ(chẳnghạn r r nguyêntửhoặcelectron)cócảmômenquỹđạo L vmômenspin S r đ−ợckýhiệul J . v) r) r) J = L + S . (1) v) Toántử J cócácthnhphần ) ) ) ) ) ) ) ) ) J x = Lx + S x ; J y = Ly + S y ; J z = Lz + S z . (2) Toántửbìnhph−ơngmômenxungl−ợngtonphầnl ) ) ) ) Jˆ 2 = L2 + S 2 + 2LS . (3) r) r) L−uýrằng L v S giaohoán. b)Liênkết L − S Cácelectronriêngrẽtrongnguyêntửcócảmômenquỹđạov mômen spin.Trongcácnguyên tửnhẹ,cácvéctơ mômen quỹ đạo củacácelectronriêngrẽliênkếtđểtạothnhvéctơmômenquỹđạo r L tonphầnvcácvéctơmômenspinriêngrẽliênkếtđểtạothnh r véctơmômenspin S tonphần.Sauđó2véctơtonphầnnyliên r kếtvớinhautạothnhvéctơmômenxungl−ợngton phần J . Đây chínhlsơđồliênkếtRusselSaundershayliênkết L − S . Cáctrạngtháiriêngtrongbiểudiễnnylcáctrạngtháiriêng đồngthờicủa4toántửgiaohoán
50. 50 ) ) ) ) 2 2 2 {J , J z , L , S }. (4) Có6cặptoántửtrongtậpnygiaohoánvớinhau: ) ) ) ) ) a) [L2 + S 2 + 2L.S, L2 ] = 0, ) ) ) ) ) b) [L2 + S 2 + 2L.S, S 2 ] = 0 , ) ) 2 c) [J , J z ] = 0 , ) ) ) ) ) 2 2 d) [L , J z ] ≡ [L , Lz + S z ] = 0 , ) ) ) ) ) 2 2 e) [S , J z ] ≡ [S , Lz + S z ] = 0 , ) ) f) [L2 , S 2 ] = 0 . (5) Cácph−ơngtrìnhtrịriêngliênhệvớicáctoántửgiaohoán(4) l ) 2 h 2 J jm j ls = j( j + )1 jm j ls , ) h J z jm j ls = m j jm jls , ) 2 h 2 L jm jls = (ll + )1 jm j ls , ) 2 h 2 S jm j ls = s(s + )1 jm j ls . (6) Vớimỗigiátrịxácđịnhcủa j thì m j nhậncácgiátrịnguyên từ − j đến + j . ) ) Cómộttoántửgiaohoánvớicả4toántử(4),đól L.S : ) ) 1 ) ) ) L.S jm ls = (J 2 − L2 − S 2 ) jm ls = j 2 j h2 = []j( j + )1 − (ll + )1 − s(s + )1 jm ls . (7) 2 j Trongbiểudiễn L − S , l v s xácđịnh.Tahytìmcácgiátrị r khảdĩcủa j t−ơngứngvớicácgiátrịnynycủa l v s .Do J l
51. 51 r r tổngcủa2véctơ L v S nêntasuyra j nhậncácgiátrịnguyên,từ giátrịcựcđại jmax = l + s đếngiátrịcựctiểu jmin = l − s ,nghĩal (l + s) ≥ j ≥ l − s , hay j = l + s,l + s − ,1 l + s − 2, , l − s + ,1 l − s . Với s < l cótổngcộng 2( s + )1 giátrịcủa j t−ơngứngvớicác giátrịnăngl−ợngkhácnhaucủanguyêntử.  1  Vớicácnguyêntửgồmmộtelectron  s =  ,mộttrạngtháivới  2  l xác định tách thnh một l−ỡng tuyến t−ơng ứng với 2 giá trị 1 1 j = l + v j = l − .Cáctrạngtháinyđ−ợckíhiệul 2 2 2s+1 L j trongđó Lbiểuthịchữcáit−ơngứngvớigiátrịmômenxungl−ợng quỹđạo l theosơđồ l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L S P D F G H I K L M N Các trạng thái của l−ỡng tuyến P của nguyên tử gồm một electronđ−ợckíhiệul 2 2 P1/2 , P3/2. Cáctrạngtháicủal−ỡngtuyếnFl 2 2 F 7/2 , F 5/ 2. Đốivớicácnguyêntửgồm2electron,sốl−ợngtửspin ton phầnhoặcbằng0hoặcbằng1.Cácgiátrịnychínhlcácgiátrị 1 của s tonphầnt−ơngứngvớiphépcộnghaispin .Haigiátrịny 2
52. 52 của s tạo nên2 loạiphổ. Chẳng hạn, vớiHe, giátrị s = 0 cho ta chuỗiđơntuyến 1S, 1P, 1D ;còngiátrị s = 1chotachuỗiđơntuyến 3S, 3P, 3D Cácgiátrịcủa j đốivớicáctrạngthái 3D l j = 3,2,1 , 3 3 3 t−ơngứngvớicáctrạngthái D 1, D2, D3. Mộtcáchtổngquát,trạngtháibấtkỳvới l > 1sẽtrởthnhtam tuyến j = l + ,,1 ll −1. 3 Độbộiứngvớitr−ờnghợp s > l l 2l +1.Nếu s = v l = 1tacó3 2 5 3 1 giátrịcủa j : j = , , .Kíhiệuchotrạngtháinyvẫnl 4P , 2 2 2 5/2,3/2,1/2 trongđósố4đặctr−ngcho 2( s + )1 ,mặcdầuthựctếđộbộil 2l +1. c)T−ơngtácspinquỹđạo T−ơng tác giữa spin của electron hoá trị v tr−ờng Coulomb xuấthiệndochuyểnđộngcủaelectrontrongtr−ờngCoulomb.Tađ biếtrằng,theothuyếtt−ơngđốihẹp,khing−ờiquansátchuyểnđộng r r vớivậntốc v cắtngangcácđ−ờngsứccủađiệntr−ờngtĩnh E thì tronghệquychiếugắnvớing−ờiquansátcótừtr−ờng r r r B = − βγ ì E , (8) trongđó r r v β ≡ , γ −2 ≡ 1− β 2 . (9) c Tronggầnđúngbậc1theo β thì r r v r β = − ì E . (10) c v Do đó, nếu một electron chuyển động với xung l−ợng p cắt r ngangđiệntr−ờng E thìelectronsẽchịutácđộngcủatừtr−ờng
53. 53 r r p r p = − ì E . (11) mc r r 1 r r 1 Năngl−ợngt−ơngtácgiữa v B l V = − .B .Hệsố lhệ 2 2 sốbổchínhThomas,môtảhiệuứngt−ơngđốitínhbổsungdosự giatốccủaelectron. 7.2.Khảosátbitoánnguyêntửmộtelectron a)Xâydựngmôhình Trongphầnnytakhảosátt−ơngtácgiữaspincủa electron hoátrịtrongcácnguyêntửgồmmộtelectront−ơng tácvớitr−ờng Coulomb tạo bởi hạt nhân v các electron còn lại của nguyên tử. Trongcácnguyêntửnh−vậy,taxâydựngmộtmôhình,coitấtcả cácelectron, trừ mộtelectron, bịđóngkín trong vỏ. Các electron “nằmtrongnhân”ny,cùngvớihạtnhân,tạonênmộtđiệntr−ờng xuyêntâm,tácđộnglênelectronhoátrị. Ngoira,mômenxungl−ợngquỹđạovmômenspincủa vỏ đóngbằng0,bởivậymômenxungl−ợngcủa nguyêntử đ−ợc xác định bởi electron hoá trị. Năng l−ợng t−ơng tác giữa spin của electronvtừtr−ờng(11)l r r 1 r r 1 r  v r  1 r r H '= − .B = . ì E  = − .(E ì p). (12) 2 2  c  2 mc Takhảosátbitoántronghệtoạđộcầu.Tronghệtoạđộny, s E chỉcómộtthnhphầnkháckhông,đólthnhphầnxuyêntâm, haithnhphầncònlạiđềubằng0: d E = − Φ(r) (13) r dr trongđó Φ(r) lthếCoulombtĩnhcủaelectronhoátrị.
54. 54 r E r E r E Cácelectron “nhân”có r r E L = S = 0 . E Điệntíchcủa nhânl + e r r E E r E s Thaybiểuthứctrêncủa E = (Er 0,0, )vo(12)tacó 1 1 1 d  r r r H '=  Φ(r)()r ì p . . (14) 2 mc r dr  Tađbiếtmốiliênhệgiữamômenspinvmômenquỹđạotừ l r  e  r =  S (15)  mc  v r r r r ì p = L . (16)
55. 55 Từ3hệthứctrêntasuyra e 1 d  ) ) ) ) H '= Φ(r) L.S ≡ f (r)L.S . (17) 2m2c 2 r dr  b)Hmsónggầnđúng Bỏ qua t−ơng tác LS, toán tử Hamilton của nguyên tử một electroncódạng ) ) ) ) p 2 p 2 L2 H = +V (r) = r + +V (r) , (18) 0 2m 2m 2mr 2 r trong đó V = eΦ , L l mômen quỹ đạo của electron hoá trị, pr l thnhphầnxuyêntâmcủaxungl−ợngcủaelectronhoátrị. ) Các trạng thái riêng của H 0 có dạng nghiệm của bi toán ) nguyêntửhiđrô.Chúngđ−ợcsuyratừcáctrạngtháiriêngcủa L2 v cácnghiệmcủaph−ơngtrìnhviếtchophầnphụthuộc r ) 2 2  pr h (ll + )1   + 2 + V (r)R(r) = ER(r) . (19)  2 2r  Nếu kể cả t−ơng tác spin – quỹ đạo (17), ta có toán tử Hamiltontonphần ) ) ) ) ) p 2 L2 ) ) H = H + H '= r + +V (r) + f (r).L.S . (20) 0 2m 2mr 2 ) ) ) ) Viếtlạitích L.S theo Jˆ 2 , L2 , S 2 (theoph−ơngtrình(3)),tacó ) ) ) ) f (r) ˆ 2 2 2 H = H 0 + [J − L − S ]. (21) 2 ) ) ) ) 2 2 2 Trongphầntr−ớctađchứngtỏrằng {J , J z , L , S }tạothnhmột ) tậpcáctoántửgiaohoán.Docáctoántửnycũnggiaohoánvới H0 ) nêncáctrạngtháiriênggầnđúngcủa H cóthểđ−ợcviếtd−ớidạng
56. 56 ϕ = nl jm j ls , (22) trong đó nl biểu diễnthnh phần xuyêntâmcủa các trạng thái ) riêngcủa H0 : ) H 0 nl = En nl . (23) Với nguyên tử hiđrô, nl l nghiệm của ph−ơng trình xuyên tâm  h 2  1 d 2  h 2 (ll + )1 Ze 2  −  r  + − + E R = 0. (24)   2  2   2  r dr  2r r  CácnghiệmđóchínhlcácđathứcLaguerre. ) ) Thay(22)voph−ơngtrìnhSchrodinger H ϕ = E ϕ ,trongđó H đ−ợcxácđịnhtheo(21),tacó  h 2  3 En + f (r) j( j + )1 − (ll + )1 −  ϕ = E ϕ . (25)  2  4 Cácnghiệmd−ớidạngtích(22)khôngphảiltrạng tháiriêng ) ) của H (nghĩal H ϕ ≠ hằngsố. E ϕ ).Nh−ngdobổđínhspin–quỹ đạovo En bésovới En nêncácnghiệm(22)lnghiệmgầnđúngcủa ) ) H .Tacóthểtìmcácnghiệmgầnđúngcủa H bằngcáchtínhgiátrị ) kỳvọngcủa H trongcáctrạngtháiny: h 2  3 Enlj = ϕ H ϕ = En + j( j + )1 − (ll + )1 − f (r) . (26) 2  4 nl 1 Vớimỗigiátrịcủa l , j cóthểnhận2giátrị l ± nênmỗigiá 2 trịriêngcủa năngl−ợng ứng với một giátrịxác định của l tách thnhmộtl−ỡngtuyếnkhikểtớit−ơngtácspin–quỹđạo. Haigiátrịt−ơngứngcủanăngl−ợngl:
57. 57 2 (+) h E nlj ≡ E 1 = En + l f , j =l + nl 2 2 2 (−) h E nlj ≡ E 1 = En − (l + )1 f . (27) j=l− nl 2 2 Tasửdụngbiểuthứchmsóngcủanguyêntửhiđrôvgiảsử Ze 2 thếnăng V códạngthếCoulomb V = − ,trongđó Z lsốnguyên r tửhiệudụng. Thaybiểuthứcthếnăngnóitrênvobiểuthứccủa f (r) tađ−ợc 1 1 dV Ze 2 1 f (r) = = , (28) 2m 2c 2 r dr 2m 2c 2 r 3 2 Ze 2 ∞ R (r) f = nl r 2 dr , nl 2 2 ∫ 3 2m c 0 r 2 h2 (me4Z 2 2/ h2n2 ) f = . (29) 2n nl  1  mc2 l + ()l +1 l  2  c)Cấutrúctinhtếcủahiđrô Từbiểuthứctrịriêngnăngl−ợngcủanguyêntửhiđrô 2 m(Ze2 ) E = (30) n 2h 2n2 vbiểuthức(29)tasuyra h 2 2 f 2n En (Zα ) 1 nl = = , (31) E  1  mc2 n  1  n ll + ()l +1 ll + ()l +1  2   2  trongđó α lhằngsốcấutrúctinhtế e 2 1 α = = , α 2 = ,5 33.10 −5 . hc 137,037
58. 58 Cuốicùng,thay(31)vo(27)tađ−ợchaigiátrịt−ơngứngcủa năngl−ợngl: 2 (+)  1 (Zα )  E nlj = En 1−  ,  ()2l +1 (l + )1 n  2 (−)  1 (Zα )  E nlj = En 1+  . (32)  l 2( l + )1 n 
59. 59 Ch−ơngVIII:Cơhọcmatrận 8.1.Cơsởvbiểudiễn a)Cơhọcmatrận Trong A biểudiễn,cáctrạngtháiđ−ợcmôtảtheomộtcơsỏ tạobởicáchmriêngcủa Aˆ . Trongmọibiểudiễntađềucóthểbiểudiễncáctoántửvhm sóngd−ớidạngmatrận.Khiđó,cácph−ơngtrìnhtoántửtrởthnh các ph−ơng trình ma trận. Ví dụ, ph−ơng trình toán tử ψ '= Fˆψ trở thnhph−ơngtrìnhmatrậntrongđócáchm ψ v ψ 'đ−ợcviếtnh− cácvéctơcộtvtoántử Fˆ đ−ợcviếtnh−mộtmatrậnvuông. b)Cơsở CáchmsóngliênquantớimộtbitoánCơhọcl−ợngtửnhất địnhphảithoảmnmộtsốđiềukiện. Vớimỗibitoánvmỗitậpcácđiềukiện,tacómột không gianhmxácđịnh. Xétmộtbitoáncụthể.Gọi Hlkhônggianhmliênquan. Giảsửtậpcáchm Β = {ϕ1, ϕ2 , } lmộtcơsởcủa H.Vídụ: Hạttronghốthế1chiềusâuvôhạn: 2  πx 2πx 3πx  Β = sin ,sin ,sin ,  ; L  L L L  Electronchuyểnđộngtrongnguyêntửhiđrô:
60. 60 m Β = {Rnl (r)Yl (θ,ϕ)}; Hạtchuyểnđộngtựdotronghệtoạđộcầu: m Β = {Jl (kr)Yl (θ,ϕ)}. Do Β lmộtcơsởcủa Hnênmọihm ψ trong Hcóthểkhai triểntheocáchmcơsở ϕn ψ = ∑ϕnan , n hay,mộtcácht−ơngđ−ơng, ψ = ∑ ϕ n ϕ n ψ . (1) n Cáchệsốkhaitriển an lhìnhchiếucủa ψ lêncácvéctơcơsở. Docáchệsốkhaitriển {an}t−ơngđ−ơngvới ψ nêntacóthể viếtph−ơngtrìnhliênquanvới ψ nh−lph−ơngtrìnhliênquanvới {an}. Xétph−ơngtrình ψ = Fˆψ ' hay ψ = Fˆ ψ ' . (2) Khaitriểnvếphảicủa(2)theo(1)vnhântráivới ϕq ˆ ϕq ψ = ∑ ϕq F ϕn ϕn ψ ' , (3) n hay,mộtcácht−ơngđ−ơng, aq =∑ Fqna'n , (4) n trongđó ˆ Fqn ≡ ϕq F ϕn (5)
61. 61 đ−ợcgọilbiểudiễnmatrậncủatoántử Fˆ trongcơsở Β hayyếu tốmatrậnnối ϕq với ϕ n . Ph−ơngtrình(4)liênquanchỉcáchệsốkhaitriển {aq }, {a'n}vyếutố matrận {Fqn }t−ơngđ−ơngvớiph−ơngtrình(2)liênquancáchmsóng ψ , ψ ' vtoántử Fˆ .Ph−ơngtrình(4)đ−ợcgọilph−ơngtrìnhmatrận.Cóthểviết ph−ơngtrìnhđód−ớidạng  a   F F L  a '  1   11 12   1  L a2  =  F21 F22  a2 ' . (6)        M   M M   M  Trongph−ơngtrìnhtrên,hmsóng ψ đ−ợcbiểudiễnbởivéctơcột bêntrái,hmsóng ψ 'đ−ợcbiểudiễnbởivéctơcộtbênphải  a   a '  1   1  ψ → a2  , ψ ' → a2 ' , (7)      M   M  ˆ còntoántử F đ−ợcbiểudiễnbởimatrận Fqn  F F L  11 12  ˆ L F =  F21 F22  . (8)    M M  Sựvôhạnchiềucủacácph−ơngtrìnhmatrậnnylhệquảcủasựvô hạnchiềucủakhônggianHilbert. c)Sựchéohoácủatoántử Giảsử Β lmộtcơsởtrựcgiaotạobởicáchmriêngtrựcgiao củatoántửécmít Gˆ ˆ Gϕn = gnϕn . (9) Khiđó,cácyếutốmatrậncủa Gˆ l ˆ Gqn = ϕq G ϕn = gn ϕq ϕn = gn δqn , (10)
62. 62 hay,mộtcácht−ờngminh,  g 0 0 L  1  L  0 g2 0  Gˆ = .  0 0 g L  3     M M M  Nh−vậy,matrậncủamộttoántửtrongmộtcơsởtạobởicác hmriêngcủatoántửấylmatrậnchéo. (n) Véctơcộtbiểudiễncáchmriêng ϕn lcáchệsố {aq }trongkhai triển (n) ϕn = ∑aq ϕq . (11) q Nhântrái(11)với ϕ p tađ−ợc (n) (n) δ pn = ∑aq δ pq = ap ; q (n) a p =δ pn . (12) Nh−vậybiểudiễnmatrậncủahmriêng ϕn lmộtvéctơcột vớimộtthnhphầnkhác0duynhấtởkhethứ n : 1 0  a (1)     a (2)     1   1  ()1 0 ()2 1 ϕ → a = ; ϕ → a  = ; 1 2 0 2 2 0  M     M             M   M  0 0     0  (3)   (4)    a1 0 a1     0 ϕ → a ()3  =1 ; ϕ → a ()4  =  . (13) 3 2   4 2 1  M   M    0       0  M     M  Ph−ơngtrìnhtrịriêng(9)đ−ợcviết
63. 63 ϕ Gˆ ϕ ϕ ϕ ∑ p q q n = gn ϕ p ϕn , q hay (n) (n) ∑Gpqaq = gnap . (14) q Chẳnghạn,với a(3) 0 0  g 0 0 L      1  0 0 L      0 g2 0  1 = g 1 . (15)  0 0 g L   3    3    0 0  M M M       M   M  Độdi(bìnhph−ơng)củavéctơ ψ l 2 2 ψ = ψ ψ =∑ ψ ϕq ϕq ψ =∑ aq . (16) q q Độdicủacácvéctơcơsởtrựcgiao {ϕn}l 2 (n) 2 ϕn =∑ aq =1. q Vídụ,trongbiểudiễnmatrận, 0   0 0 ϕ 2 = ϕ ϕ → (0 0 0 1 0 K)   =1. (18) 4 4 4 1   0    M  ˆ Giảsửtoántử G chéotrongcơsở {ϕn}: Gqn = gnδqn , (19) hay,mộtcácht−ơngđ−ơng, ˆ ϕ p G ϕn = gn ϕq ϕn . (20)
64. 64 Nhântrái(20)với ∑ ϕq : q ˆ ∑ ϕq ϕ p G ϕn = gn ∑ ϕq ϕq ϕn , (21) q q hay ˆ ˆ I (G ϕn − gn ϕn )=0, (22) nghĩal ˆ G ϕn = gn ϕn . (23) Nh−vậy,nếutoántử Gˆ lchéotrongcơsở Β thì Β tạobởicác véctơriêngcủa Gˆ . Bitoántìmtrịriêngcủamộttoántửt−ơngđ−ơngvớibitoántìm mộtcơsởchéotoántửđó.
65. 65 Ch−ơngIX:Biểudiễnnăngl−ợng Tađbiếtrằngtrongbiểudiễnnăngl−ợng,toántử Hamilton códạngchéo.Biểudiễnnybaogồmmộtcơsởđ−ợc tạo bởi các hmriêngcủatoántử Hˆ . 9.1.Hốthế1chiềusâuvôhạn Đốivớibitoánmộthạtchuyểnđộngtronghốthế1chiềusâu vôhạn,cơsởmtrongđótoántử Hˆ códạngchéol: 2  πx 2πx 3πx  Β = sin ,sin ,sin ,  . (1) L  L L L  Dạngmatrậncủatoántử Hˆ trongbiểudiễnnyl 1     4 0   9  Hˆ = E   . (2) 1   2   0 n      9.2.Daođộngtửđiềuho1chiều Vớidaođộngtửđiềuhomộtchiều,cơsởmtrongđótoántử Hˆ códạngchéol: ξ 2 − 2 Β = e {}A1H1(ξ ), A2H 2 (ξ ), A3H3 (ξ), = {1 , 2 , 3 , }. (3)
66. 66 Tadễdngtìmđ−ợcdạngcủacáctoántửtrongbiểudiễnny nh−sau: a)Toántửnăngl−ợng Hˆ Dạngmatrậncủatoántử Hˆ trongbiểudiễnnyl  1     2  3  0   2  ˆ h  5  H = ω0   . (4)  2    2n +1  0   2      b)Toántửtoạđộ xˆ vtoántửxungl−ợng pˆ Tínhbiểudiễnmatrậncủatoántửtoạđộ xˆ vtoántửxung l−ợng pˆ củadaođộngtửđiềuhomộtchiềutrongbiểudiễn năng l−ợng,với k v n lcácsốnguyênkhôngâm,tathuđ−ợc: 1 1 1 + 1   2 2 n xˆ k = n aˆ + aˆ k = k δ n,k−1 + ()k +1 δ n,k +1  , (5) 2β 2β   1 1 mω0 + mω0   2 2 n pˆ k = n aˆ − aˆ k = k δ n,k −1 − ()k +1 δ n,k+1  . (6) 2iβ 2iβ   Từđó,dạngmatrậncủacáctoántửtoạđộvxungl−ợnglần l−ợtl:  0 1 0 0 0     1 0 2 0 0    1 0 2 0 3 0 xˆ =   ; (7) 2β  0 0 3 0 4     0 0 0 4 0     
67. 67  0 1 0 0 0    − 1 0 2 0 0    mω 0 − 2 0 3 0 pˆ = 0   . (8) 2iβ  0 0 − 3 0 4     0 0 0 4 0      c)Cáctoántửsinh,huỷ T−ơng tự, tính biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, huỷ trongbiểudiễnnăngl−ợng,lầnl−ợttathuđ−ợc: 1 1 2 2 ank = n aˆ k = k n k −1 = k δ n,k −1 , (9) 1 1 + + 2 2 a nk = n aˆ k = ()k +1 n k +1 = ()k +1 δ n,k +1 . (10) Dạngmatrậncủacáctoántửsinhvhuỷlầnl−ợtl:  0 0 0 0 0     1 0 0 0 0   0 2 0 0 0  aˆ + =   ; (11)  0 0 3 0 0     0 0 0 4 0      0 1 0 0 0    0 0 2 0 0    0 0 0 3 0 aˆ =  . (12) 0 0 0 0 4    0 0 0 0 0     
68. 68 d)Toántửsố ˆ h  + 1  ˆ + Cùng với toán tử Hamilton H = ω0 aˆ aˆ + ,toántử số N = aˆ aˆ  2  cũngcódạngchéotrongbiểudiễnnăngl−ợng:  0 0 0 0 0  0 1 0 0 0       1 0 0 0 0  0 0 2 0 0     0 2 0 0 0  0 0 0 3 0 (Nˆ )=      0 0 3 0 0  0 0 0 0 4       0 0 0 4 0  0 0 0 0 0          0 0    1   2  =   . (13)  3        0 n
69. 69 Ch−ơng10:HìnhthứcluậnDirac 10.1.Véctơtrạngthái Trạngtháicủavihạtvtoántửlhaikháiniệmcơsởtrong Vậtlýl−ợngtử.Diracđđềxuấtmộthìnhthứcluậnchínhxácv thuậntiệnchoviệcthựchiệncáctínhtoántrongVậtlýl−ợngtửv viếtcácbiểuthứcVậtlýl−ợngtử.TheokíhiệuDirac,mộtvậtthể tuântheoVậtlýl−ợngtử(thuầnkhiết)cóthểđ−ợcmôtảhonton bằngvéctơtrạngtháicủanó.Cácvéctơtrạngtháigồmhailoại:bra vkét.Cácvéctơnychứađựngcácthôngtinđồngnhấtvlcác véctơliênhợptrongkhônggianHilbert H.Kétvéctơđ−ợcviếtl ψ ,trongđóchỉsố ψ xácđịnhtrạngthái.Véctơliênhợpcủakét đ−ợcgọilbravđ−ợcviếtl ψ . Mộttrạngtháicóthểđ−ợckhaitriểntheotổhợptuyến tính củacáctrạngtháikhác: ψ = ∑cn ϕ n . (1) n trongđó cn lsốphức.Tanóirằngtrạngthái ψ lchồngchấtcủa cáctrạngthái ϕn .Tíchvôh−ớngcủa2véctơtrạngtháiđ−ợcviết nh−sau: (ψ , ϕ ) = ψ ϕ . (2) Véctơ liên hợp ψ lliênhợpécmít củakétvéctơt−ơngứng ψ . Liênhợpécmítđ−ợckíhiệul“+” vlmộttoántử tuyến tính. ) Liênhợpcủamộtsốvô h−ớng c , toán tửtuyếntính A v két ψ
70. 70 ) t−ơngứngl c* , A+ , ψ ,trongđó“ * ”kíhiệuphéplấyliênhợpphức. Chúýrănghailầnlấyliênhợpliêntụcthìkhửnhau. Khimộttíchvôh−ớngcủacáctoántửhaytrạngtháiđ−ợclấy liênhợpthìcả2thừasốđ−ợclấyliênhợpvthứ tựt−ơnghỗcủa chúngbịđảong−ợc: ϕ ψ + = ψ ϕ . (3) Trongtr−ờnghợpđặcbiệt,vìtíchvôh−ớnglmộtsốphức,ta cóthểđơngiảnhoábiểuthức: ψ ϕ = ϕ ψ * . (4) Khilấyliênhợpmộttíchcónhiềuhơnhaithừasố,tachỉviệc ápdụngliêntiếpquytắcnóitrên: ) + ) + ) ( ϕ Aψ ) = ψ ( ϕ A) = ψ A+ ϕ . (5) Khác với các véctơ trong không gian Rn, thừa số nhân của véctơtrạngtháikhôngcóýnghĩa.Dođó ψ v cψ ,trongđó c lsố phức khác 0 ,biểudiễncùngmộttrạngthái.Theoquy−ớc(vđể đơngiảnhoáviệcdiễntảxácsuấtcủavéctơtrạngthái),tadùngcác véctơtrạngtháiđchuẩnhoá,nghĩal ψ ψ = 1. (6) Bởivậy,mỗitrạngtháit−ơngứngvớimộtvéctơtrạngtháiduynhất (khôngkểmộtthừasốphatầmth−ờng). Xácsuấttìmthấyhạt(đ−ợcmôtảbởivéctơtrạngthái ψ ) ở trạngthái φn đ−ợctínhtheocôngthức 2 0 ≤ ψ φn ≤ 1. (7) Haitrạngtháiđ−ợcgọiltrựcgiaonếu
71. 71 ψ φ = 0 (8) vhaitrạngtháiđ−ợcgọilđồngnhấtnếu ψ ϕ = 1. (9) Giảsửtấtcảcáctrạngtháitrongtập {φn }trựcgiao.Vớinhững điềukiệnnhấtđịnh,mộttrạngtháibấtkỳcóthểđ−ợcbiểudiễntheo tổhợpcủacáctrạngtháicơsởny.Khiđótập {φn }lmộtcơsở trựcgiaođủ.Từ(1)v(7)tathấyrằngxácsuấttìmthấyhạtởtrạng 2 thái φn l cn ,nghĩalbằngbìnhph−ơngmôđuncủahệsốkhai triểncủatrạngtháicủahạt. 10.2.Cáctrạngtháisố Vođầuthếkỉ20cácnhvậtlípháthiệnrarằng phổphátxạ nhiệtđiệntừcóthểđ−ợcgiảithíchnếutagiảsửrằngtr−ờngđiệntừ bịl−ợngtửhoátheocácđơnvịnăngl−ợng hν ,trongđó h lhằngsố Planckv ν ltầnsố.Nhậnxétnysauđóđ−ợcbổsungbởisựquan sáthiệuứngquangđiện. Sau đó, đơn vịl−ợng tử của năng l−ợng điện từ đ−ợc gọi l photon.Vìnăngl−ợnglđạil−ợngquansátđ−ợcnênnóliênquan vớimộttoántửécmítvmộttậphợpđủcáctrạngthái riêng. Do  1  năngl−ợngcủacáctrạngtháinh−thếđ−ợcviếtl n + hν ,trongđó  2  n = 2,1,0 lsốl−ợngtửnăngl−ợngđiệntừtrongmode,nêncáctrạng tháiriêngcủanăngl−ợngđiệntừth−ờngđ−ợcviết l {n }vđ−ợc gọilcáctrạngtháisốhoặctrạngtháiFock. Trạngthái 0 ltrạngtháiđiệntừcơsởvth−ờngđ−ợcxeml trạngtháichânkhông.
72. 72 Docáctrịriêngkhôngsuybiếnnêncáctrạngtháisốtrựcgiao. Ngoira,vìcáctrạngtháilchuẩnhoánêntacó: m n = δ mn . (10) Cơsởgồmcáctrạngtháisốlmộtcơsởđủvthuậntiệnđể khaitriểncáctrạngtháikhácnhaucủatr−ờngđiệntừ. 10.3.Toántửtuyếntính Độnglựchọccủatấtcảcácđạil−ợngvậtlícủacáchạthayhệ hạttuântheoVậtlýl−ợngtửđ−ợcmôtảbởitácđộngcủacáctoán tửtuyếntính.Toántửth−ờngđ−ợckíhiệubằngmộtchữcáicódấu “^”.Nóichung,khimộttoántửtácđộnglênmộttrạngtháisẽcho tamộttrạngtháikhác: ) Aψ = ψ ' . (11) Thứtựgiữamộttoántửvmộttrạngthái,cũngnh−thứtựgiữa cáctoántửkhácnhaulquantrọngvìđạisốtoán tử không giao hoán.Toántửtácđộnglênkéttừbênphảivtácđộnglênbratừbên trái.Tachỉcầnđịnhnghĩatácđộngcủamộttoántử(vliênhợpcủa nó)lênkétvìtácđộngcủatoántửliênhợplênbrađ−ợcđịnhnghĩa bởibiểuthức + ψ Aˆ + ≡ (Aˆ ψ ) . (12) Tíchngoicủa2trạngthái ψ v φ đ−ợcđịnhnghĩal ψ φ . (13) Tíchngoicủa2trạngthái ψ v φ lmộttoántử,khácvớitích tronglmộtsốphức. ) Toántửđồngnhất I đ−ợcđịnhnghĩal
73. 73 Iˆψ = ψ (14) vớimọi ψ thuộc H. Tacóthểviếttoántửđồngnhấtởdạngcụthểhơn nh− sau: Nếutậphợpcáctrạngthái {φn }biểudiễnmộtcơsởtrựcgiaođầyđủ thìtoántửđồngnhấtcóthểviếtd−ớidạng ˆ I ≡ ∑ φn φn . (15) n Dotácđộngcủatoántửcoinh−đ−ợcbiếtnếubiết tác động củatoántửlênmỗitrạngtháicơsởnênmọitrạng tháicóthểđ−ợc diễntảnh−ltổngcáctíchngoi.Nghĩalnếu ˆ A φn = ∑ amn φm (16) m thì ˆ A = ∑ amn φm φn . (17) m,n Toántửtuyếntínhthoảmn ˆ ˆ ˆ A(c1 ψ 1 + c2 ψ 2 ) = c1 Aψ 1 + c2 Aψ 2 . (18) Ngoira (Aˆ + Bˆ)ψ = Aˆ ψ + Bˆ ψ . (19) Toántửnghịchđảocủatoántử Aˆ ,đ−ợckíhiệul Aˆ −1 vđ−ợc địnhnghĩal AˆAˆ −1 = Aˆ −1 Aˆ = Iˆ . (20) Toántử Uˆ đ−ợcgọilunitanếutoántửliênhợpcủanóbằng toántửnghịchđảocủanó,nghĩal Uˆ + = Uˆ −1 hay UˆUˆ + = Uˆ +Uˆ = 1. (21) Giaohoántửcủacáctoántử Aˆ v Bˆ đ−ợcđịnhnghĩal
74. 74 [Aˆ, Bˆ]≡ AˆBˆ − BˆAˆ . (22) Nếugiaohoántửbằng0thìcáctoántửgiaohoán. Từđịnh nghĩa giaohoántửtasuyrarằngmọitoántửgiaohoánvớichínhnóv giaohoánvớitoántửđồngnhất.Từđịnhnghĩagiaohoántửtasuy ra [Bˆ, Aˆ]= −[Aˆ, Bˆ]. (23) Nếuhaitoántử Aˆ v Bˆ khônggiaohoánthìnóichung AˆBˆ ψ ≠ BˆAˆ ψ . (24) Tuynhiênngaycảkhi Aˆ v Bˆ khônggiaohoán,tavẫncóthểtìm thấycáctrạngtháixácđịnhmkhiđógiaohoántửbằng0.Đạisố khônggiaohoánlmchovậtlýl−ợngtửphongphúhơnvềmặthiện t−ợng luận so với vật lý cổ điển, nh−ng tính toán phức tạp hơn. Ngoira,cáctoántửkhônggiaohoánđ−ợcdùngđể biểudiễncác đạil−ợngvậtlídẫntớicáckháiniệmbổsungvbấtđịnhtrongvật lýl−ợngtử. ˆ Trạngtháiriêng En vtrịriêng λn củatoántử A thoảmn ˆ A En = λn En (25) trongđó λn nóichunglphức. Mọiđạil−ợngvậtlíquansátđ−ợcđềut−ơngứngvớimộttoán tửécmít.Địnhnghĩacủatoántửécmítl Oˆ + = Oˆ . (26) Điềunydẫntớikếtquảrằngcáctrịriêngcủatoán tử écmít l thực.Ngoira,cáctrạngtháiriêngứngvớicáctrịriêngkhácnhau ltrựcgiao.Nếutấtcảcáctrịriêngđềukhôngtrùngnhauthìtập hợptấtcảcáctrạngtháiriêngđchuẩnhoá { En }xácđịnhmộtcơsở trựcgiaođủ.Tađbiếtrằngcáctrạngtháisố,lcáctrạngtháiriêng
75. 75  1  củatoántửnăngl−ợng(écmít) hν nˆ +  tạonênmộtcơsởtrựcgiao  2  đủbaogồmcácvéctơtrạngthái. Khiđomộtđạil−ợngvậtlít−ơngứngvớitoántửécmít Oˆ tasẽ thuđ−ợcmộttrongsốcáctrịriêngcủatoántửnh−lđầuracủa máyđo.Xácsuấtthuđ−ợcmộtgiátrịcụthể λn khiđotrạngthái ψ l 2 Pn = En ψ . (27) Dođó,kếtquảđocủamộttrạngtháicụthểnóichunglkhôngxác định.Tuynhiên,nếuphépđothuđ−ợckếtquảl λn thìtrạngthái củahệ“rơi”votrạngtháiriêng En .Phépđotrạngtháingaysauđó chắcchắnthuđ−ợckếtquả λn . Dokếtquảphépđotrongvậtlýl−ợngtửnóichung l không xácđịnhnênvậtlýl−ợngtửphảiđ−ợcmôtảmộtcáchthốngkê.Giá trịkìvọngcủamộttoántử,khitrạngtháil ψ ,l ˆ ˆ 2 2 A ≡ ψ Aψ = ∑ Pnλn =∑ En ψ λn =∑ cn λn (28) n n n Trongđótađápdụng(26)v cn ≡ En ψ lhệsốkhaitriển củavéctơtrạngtháitrongcơsởtrạngthái { En }. Khitínhmộtbiểuthứccódạng ψ Aˆ φ tacóthểchotoántử Aˆ tácđộngvềbênphảilên φ rồisauđólấytíchvôh−ớngcủa ψ với kếtquảthuđ−ợc.Tacũngcóthểchochotoántử Aˆ tácđộngvềbên tráilên ψ rồilấytíchvôh−ớngcủakếtquảnyvới φ .Kếtquảthu đ−ợc,nóichunglmộtsốphức,sẽnh−nhautronghaitr−ờnghợp. Toántửmậtđộ ρˆ lmộttoántửquantrọngtrongvậtlýl−ợng tử.Đốivớitrạngtháithuầnkhiết,toántửmậtđộđơngiảnchỉltích
76. 76 ngoi của véctơ trạng thái, nghĩa l ρˆ = ψ ψ . Toán tử mật độ có dạngđốixứng,thuậntiệncóviệcápdụngtrongđạisốtoántử.Giá trịkỳvọngcủamộttoántửl Aˆ = Tr{ψ ψ Aˆ}. (29) Tr kíhiệuviệclấyvếtvđ−ợctínhbằngcáchkhaitriểntrạng thái ψ theomộtcơsởtrựcgiaođủbấtkỳvlấytổngtheocácphần tửchéo: ˆ ˆ 2 Tr{ψ ψ A}= ∑ En ψ ψ A En = ∑ cn λ . (30) n n Cóthểchứngminhđ−ợcrằng Tr{ρˆ}= 1 (31) v Tr{AˆBˆCˆ}= Tr{BˆCAˆˆ }. (32) 10.4.Toántửsinhvhuỷ Dùngcơsởtrạngtháisố {n }tacóthểđịnhnghĩatoántửhuỷ aˆ nh−sau: aˆ 0 = 0 , (33) aˆ n = n n −1 , n = 3,2,1 (34) T−ơngtự,toántửsinh aˆ + đ−ợcđịnhnghĩa: aˆ + n = n +1 n +1 , ∀n . (35) Tacũngcóthểđịnhnghĩatoántửsinhtheotíchngoicủacác trạngtháisố:
77. 77 ∞ aˆ + ≡ ∑ n +1 n +1 n . (36) n=0 Cáctoántửsinhvhuỷlkhácnhauvkhôngphải ltoántử écmít.Cáctoántửnykhôngt−ơngứngvớibấtcứđạil−ợngvậtlí notrongquanghọcl−ợngtử.Tuynhiên,cóthểchứngminhđ−ợc rằng các toán tử đ−ợc tạo bởi tích của chúng, aˆ + aˆ v aaˆˆ + , đều l écmít. ápdụngcácđịnhnghĩanóitrêncủacáctoántửsinhvhuỷ, tadễdngchứngminhđ−ợc rằng aˆ + aˆ n = n n .Từđó,toántử năng  1  l−ợngcủamộtmodephảil Eˆ = hν aˆ + aˆ +  .Toántử nˆ = aˆ +aˆ đ−ợcgọi  2  ltoántửsố.Tacóthểdùngtoántửsinhvhuỷ đểdiễntả(hoặc sinh)mộttrạngtháitừchânkhông: n (aˆ + ) n = 0 . (37) n! Do {n }lmộttậpcơsởđầyđủnênmọitrạngthái ψ bấtkìcó thểđ−ợcsinhratừchânkhông: n ∞ ∞ (aˆ + ) ψ = ∑cn n =∑cn 0 . (38) n=0 n=0 n! Tathấyrằng [aˆ, aˆ + ] n = aaˆˆ + n − aˆ + aˆ n = (n + )1 n − n n = n (39) vớimọi n ,nghĩal [aˆ, aˆ + ] = Iˆ = 1. (40) Dođó,cáctoántửécmít aaˆˆ + v aˆ + aˆ liênhệvớinhautheohệ thức aaˆˆ + = aˆ + aˆ +1. ýnghĩacủacáctoántử aaˆˆ + v aˆ + aˆ trong Quang họcl−ợngtửl: Toántử aˆ + aˆ t−ơngứngvớimộtphépđosốphoton (hoặcnăngl−ợng)bởimộtmáyđohấpthụtrongkhi đótoántử aaˆˆ + t−ơngứngvớicùngphépđobởimộtmáyđophátxạ.Máyđophátxạ
78. 78 nhạyngaycảvớitrạngtháichânkhông(bởiphátxạtựphát)trong khiđómáyđohấpthụkhôngcóđặcđiểmđó. 10.5.Cáctoántửcầuph−ơng Bằngcáchtổhợptuyếntínhcáctoántửsinhvhuỷtacó 2 toántửcầuph−ơng 1 aˆ ≡ (aˆ + aˆ + ), (41) 1 2 1 aˆ ≡ (aˆ − aˆ + ). (42) 2 2i Cáctoántửcầuph−ơng aˆ1 v aˆ2 lécmítvt−ơngứngvớiphép đocácthnhphầnđồngphavng−ợcphacủatr−ờngđiện.Đểlm rõđiềuny,tahynhìnvokíhiệu(phức)cổđiểncủatr−ờngđiện. Mộttr−ờngđiện(bănghẹp)vớitầnsốgóc ω đ−ợckíhiệul E −iωt . Tuy nhiên, điện tr−ờng thực đ−ợc cho bởi Re{E −iωt }= Re{E}cos(ωt) + Im{E}sin(ωt). Do đó, điện tr−ờng đ−ợc tách một cách duy nhất theo các thnh phần cầu ph−ơng thay đổi chậm * * Re{E}= (E + E ) 2/ v Im{E}= (E − E )/(2i) .Cáctoántửt−ơngứngl aˆ1 v aˆ2 vcáctoántửnyt−ơngứngvớimộtphépđohomodynehonhảo. Vìđiệntr−ờnglmộtđạil−ợngquansátđ−ợcvcógiátrịliên tụcnêncáctrịriêngcủacáctrạngtháiriêngt−ơngứngcóphổliên tục. + Do aˆ1 v aˆ2 ltổhợptuyếntínhcủacáctoántử aˆ v aˆ nên mọitoántửđ−ợctạobởicáctổhợpcủa aˆ v aˆ + cóthểđ−ợcbiểu diễn theo aˆ1 v aˆ2 .Tacóthểchứngminhđ−ợcrằngtoántửnăng ˆ ˆ 2 2 l−ợng E cóthểđ−ợcviếtd−ớidạng E = hν (aˆ1 + aˆ2 ).Cáctoántửcầu + ˆ ph−ơng aˆ1 v aˆ2 khônggiaohoán.Từhệthức [aˆ, aˆ ] = I = 1tatínhđ−ợc giaohoántửcủacáctoántửcầuph−ơng aˆ1 v aˆ2 :
79. 79 i []aˆ ,aˆ = . (43) 1 2 2 10.6.Trạngtháikếthợp Mặcdùtoántử aˆ khôngphảilécmítsongnócómộttậpđủ cáctrạngtháiriêngkếthợp.Trạngtháikếthợpđ−ợckíhiệul α , trong đó α lmộtsốphức.Ph−ơngtrìnhđịnhnghĩacủatrạng thái kếthợpl aˆ α = α α (44) trongđó α lsốphức. Biểuthứckhaitriểntheotrạngtháisốcủatrạngtháikếthợpl 2 α n − ∞ α α = e 2 ∑ n . (45) n=0 n! Cáctrạngtháikếthợpứng với α = 2,1 phảiđ−ợc đánh sốsao chocóthểphânbiệtvớicáctrạngtháisố 1 , 2 Tuynhiên,từbiểu thứckhaitriểncủa α ,tathấyrằng α = 0 biểudiễntrạngtháicơbản củatr−ờngđiệntừ,tứcltrạngtháichânkhông. Xácsuấttìmthấy n photontrongtrạngtháikếthợp α l 2 2 α n 2n 2 − 2 α 2 α − α Pn = n α = e = e . (46) n! n! Nh−vậysốphotonđếmđ−ợctuântheothốngkêPoisson.Từđóta chứngminhđ−ợcgiátrịkìvọngvđộlệchcủasốphotonl nˆ = (nˆ)2 = α 2 , (47) trongđótoántử nˆ đ−ợcđịnhnghĩal nˆ ≡ nˆ − nˆ .
80. 80 ánhsángtừmộtnguồnlasertốtthôngth−ờnggầnnh−ởtrạng tháikếthợpvớinhữngkhoảngthờigianđobéhơnthờigiankếthợp củalaser. Từcáchệthứcgiaohoánđbiết,kếthợpvớikết quả: nếu aˆ α = α α thì α aˆ + = α α * ,tacóthểsuyragiátrịkìvọngcủacác toántử aˆ1 v aˆ2 nh−sau: aˆ1 = Re{α}; aˆ2 = Im{α} (48) 1 v aˆ 2 = aˆ 2 = ; (49) 1 2 4 đốivớitrạngtháikếthợp α . 10.7.Modevtrạngthái.Trạngtháiđamode Việcphânbiệtmodevtrạngtháilquantrọng.Modemôtả cácmodedaođộng,quaycủamộtsốhệ,trongkhiđó véctơ trạng tháimôtảsựkíchthíchcủacácmodeny.Vớitr−ờngđiệntừ,các modeđ−ợcchobởinghiệmcủacácph−ơngtrìnhMaxwell (v các điềukiệnliênquan),trongkhicáctrạngtháiđ−ợcchobởinghiệm củaph−ơngtrìnhSchrodinger(vcácđiềukiệnbanđầu).Mỗimode cómộtkhônggianHilbertt−ơngứngvtoántửt−ơngứngduynhất. Chođếnnaytamớilmviệcvớicáctrạngtháiđơnmode.Đểmôtả cáctrạngthái đamode,chẳnghạnmộtmodeđiệntừ ở trạng thái chânkhông 0 ,vmộtnguyêntửhaimứcởtrạngtháikíchthích e , taviết: 0 ⊗ e = e ⊗ 0 = ,0 e (50) trongđó ⊗ lkíhiệutíchtensorv ,0 e lkíhiệuđơngiảncủatích tensorcủacáctrạngthái.Khiviếtbraliênhợpvớitrạngtháiny,
81. 81 thứ tự kí hiệu của các mode th−ờng không thay đổi. Do đó ,0 e + = ,0 e .Giảsửrằngmodeđiệntừcómộtsốtoántửliênhợp Eˆ v nguyên tử có toán tử Aˆ . Vì Eˆ v Aˆ tác động lên các không gian Hilbertkhácnhaunênchúnggiaohoán.Ngoira EˆAˆ 0 ⊗ e = (Eˆ 0 )⊗ (Aˆ e ). (51) Nếucácmodelt−ơngtự,chẳnghạnhaimodeđiệntừ t−ơng tự,chỉkhácnhauvềmặtkhônggian,thìchúngth−ờngcócùngtập cáctoántửt−ơngứng.Trongtr−ờnghợpnynóichungcầnphảikí hiệuchỉsốcáctoántửđểchỉrõtoántửnotácđộnglênmodeno. 10.8.Cáctrạngtháiv−ớngvíu Tổhợptuyếntínhlmộtkháiniệmcơbảntrongvậtlýl−ợng tử. ởphầntr−ớctađđềcậpđếncáctrạngtháichồngchập. Tuy nhiên,sựkếthợpcủacáctrạngtháiđamodevcáctrạngtháichồng chậpdẫntớihệquảrằngCơhọcl−ợngtửlmộtlíthuyếtkhôngđịnh xứ. Giảsửchúngtacó2modeđiệntừnằmtrongtrạngtháichồng chập của một trạng thái không photon (trạng thái chân không) v mộttrạngtháimộtphoton.Tacóthểbiểudiễntrạngthái đó d−ới dạng 1 (()0 + 1 / 2)⊗ (()0 + 1 / 2) = ()0,0 + 0,1 + 1,0 + 1,1 . (52) 2 Ta thấy rằng trạng thái chung l tích tenxơ của 2 trạng thái đơn mode.Dođó,nếutađosốphotoncủamodethứnhấtthìxácsuấtđo đ−ợc0photonl 1 ,vtrongtr−ờnghợpnytrạngtháisaukhiđo 2 trởthnh
82. 82 0 ⊗ ( 0 + 1 )/ 2 . (53) Trongcáctr−ờnghợpcònlạitasẽđođ−ợcsốphotoncủamode thứnhấtbằng1vtrạngtháisẽrơivềtrạngthái 1 ⊗ ( 0 + 1 )/ 2 . Ta thấyrằngtrạngtháicủamodethứhaikhôngbịảnhh−ởngbởiđầura củaphépđocủamodethứnhất. Cómộtkhảnăngkhácđểtạonênmộttrạngtháichồngchập mởđócócả2modeđềultrạngtháichồngchậpcủacáctrạng thái0v1photon,đóltrạngthái ( 0,1 + 1,0 )/ 2 . (54) Trạngtháinykhôngthểbiếnđổiđ−ợcthnhmộttrạng thái tíchcủa2mode.Trạngtháinh−thếđ−ợcgọiltrạngtháiv−ớngvíu. Nếutađosốphotoncủamodethứnhấtthìtrongmộtnửasốtr−ờng hợptasẽđođ−ợc0photon.Trongtr−ờnghợpnytrạngtháichung sẽrơivotrạngthái 1,0 .Nếu,ng−ợclại,tađomodethứnhấtchứa 1photonthìtrạngtháichungsẽrơivotrạngthái 0,1 . Nh− vậy, trạngtháisaukhiđocủamodethứhaiphụthuộckết quả đo của modethứnhất.Sựbiếnđổitrạngtháiltứcthời.Vìvậy,ngaycảkhi 2 mode bị tách xa nhau bởi các khoảng cách lớn, trạng thái của modethứhaisẽphảnứngtứcthờivớisự“sụpđổ”củatrạngtháicủa mode thứ nhất. Do đó vật lí l−ợng tử đ−ợc xem l một lí thuyết khôngđịnhxứ.Ngoira,docáctrạngtháisaukhiđo 1,0 v 0,1 l trựcgiaonêntrạngtháichung(54)đ−ợcgọiltrạng thái có mức v−ớngvíulớnnhất. V−ớngvíutạonêncốtlõicủangnhkhoahọcmớilthôngtin l−ợngtử.Ng−ờitachorằngv−ớngvíucóthểđ−ợcápdụngđểgiải quyếtmột số nhiệmvụ nh−chuyểnvận l−ợng tử, tính toán l−ợng tử lnhữngnhiệmvụkhôngthểthựchiệnđ−ợcnếu dùngcácđối
83. 83 t−ợngcổđiển.Ng−ợclại,trongmáytínhl−ợngtử, khôngthểtránh khỏiviệctạoracáctrạngtháiv−ớngvíuvìtấtcảcácthuậttoántính toánl−ợngtửđềuápdụngnguyênlíchồngchập(chẳnghạncáccổng CNOT)đểtănghiệusuấttínhtoánsovớicácmáytínhcổđiển.Bởi vậy,việctạora,nhânvphânloạicáctrạngtháiv−ớngvíulvấnđề trungtâmcủaquanghọcl−ợngtửtronghngchụcnămqua. 10.9.Cáctrạngtháithuầnkhiếtvtrộnlẫn Nóichung,luôncósựt−ơngtácgiữacácmode,dùtacómuốn haykhôngmuốn.Tath−ờngphảiđốimặtvớisựthực lkhôngthể điềukhiểnhoặcđomộtsốlớncácmodevình−tađthấyởphần trên,vậtlíl−ợngtửllíthuyếtkhôngđịnhxứ,nghĩaltrạngthái của một số mode phụ thuộc trạng thái của một hoặc nhiều mode khác. Trongtr−ờnghợpnycómộtcáchđểgiảiquyếtvấn đềđól viếttoántửmậtđộcủatonhệvloạicáctrạngtháikhôngmong muốn.Điềunygiúptacóđ−ợcmộtcáchmôtảđúngvềđầuracủa mộtchuỗiphépđohoặctácđộnglênhệ,hiểutheonghĩatrungbình tậphợp. Giảsửrằngtaquantâmđếnmodethứhaitrong(52).Trong tr−ờnghợpnytoántửmậtđộcủahệtrởthnh ˆ ˆ Tr1{ρ}= ∑ n1 ρ n1 = ( 0 0 + 1 0 + 0 1 + 1 1 +) 2/ (55) n trongđóchỉsố 1nóirằngtachỉlấyvếtmộtphần(theomodethứ nhất).Tathấyrằngtoántửmậtđộnycóthểđ−ợc viếtd−ớidạng tíchngoicủamộtkétvbraliênhợpcủanó: ρˆ = ( 0 + 1 )( 0 + 1 ) .2/
84. 84 Dođótanóitrạngtháilthuầnkhiết.Đâylhệquảcủaviệc2mode kếthợpkhôngv−ớngvíu.Toántửmậtđộcủamọitrạngtháithuần khiếtđềuthoảmn Tr{ρˆ 2 }=1.Tadễdngchứngminhđ−ợcrằng(55) thomnhệthứcny. Nếulấyvếtmodethứnhấtcủatrạngthái(54)tathuđ−ợckết quả: 1 1 ˆ Tr1{}ρ = ∑ n1 ()0,1 0,1 + 0,1 1,0 + 1,0 0,1 + 1,0 1,0 n1 = ()0 0 + 1 1 .(56) n 2 2 Trạngtháinykhôngthểviếtđ−ợcthnhtíchngoicủamộtkétv braliênhợpcủanóvđ−ợcgọiltrạngtháikếthợp. Tacóthểgiảithíchđiềunynh−sau:Vềmặtnguyêntắc,tacó thểbiếttrạngtháicủamodethứhaitrêncơsởphépđocủamodethứ nhất.Nếutabỏquathôngtinnythìtrạngtháiđ−ợcmôtảbởimột sựtrộnlẫnthốngkêcủatrạngthái 0 v 1 .Dễthấyrằngđốivới trạngtháiny Tr{ρˆ}= 1(điềunyđúngchomọitrạngthái,cảthuần 1 khiếtvtrộnlẫn)nh−ng Tr{ρˆ 2 }= < 1.Bấtđẳngthứcnyldấuhiệu 2 nhậnbiếtcủamộttrạngtháitrộnlẫn. 10.10.Sựtiếntriểntheothờigian Tađthấyrằngmộttrạngtháicóthểthayđổinh− lhệquả củaphépđo.Tuynhiên,ngaycảkhitrạngtháikhôngchịutácđộng từbênngoithìnócũngtiếntriểnvềmặtđộnglựchọc.Toántửbiểu diễnsựtiếntriểnlunita,nghĩaltacóthểxemsựtiếntriểnnh−l một phép quay của véctơ trạng thái trong không gian Hilbert. Từ địnhnghicủatoántửunita,tacóthểchứngminh đ−ợcrằngnorm củavéctơtrạngtháiđ−ợcbảotond−ớitácdụngcủaphépbiếnđổi
85. 85 unita,nghĩalnếutrạngthái ψ đđ−ợcchuẩnhoátiếntriểnmột cáchunitatớitrạngthái φ = Uˆ ψ thì φ φ = ψ Uˆ +Uˆ ψ = ψ Iˆψ = ψ ψ =1. (57) Ngoira,phépquayunitacủamộttậpcáctrạngtháitrựcgiao luônbảotontínhtrựcgiaocủatập.Nếu ψ m v ψ n lhaivéctơ trạngtháibấtkỳtrongtậpthomn ψ m ψ n = 0 thìcáctrạngtháimới ˆ ˆ φm = U ψ m v φn = U ψ n thoảmn ˆ + ˆ ˆ φm φn = ψ m U U ψ n = ψ m I ψ n = ψ m ψ n = 0 . (58) Có2cáchxemxétchínhkhikhảosátsựtiếntriển theo thời giancủamộthệl−ợngtử.Theocáchthứnhất,tagiảsửrằngmọi toántửkhôngphụthuộcthờigianvgắnsựtiếntriểnvềmặtđộng lực học theo thời gian vo trạng thái. Đó l cách biểu diễn Schrodinger.Theocáchthứhai,taxemtrạngtháikhôngphụthuộc thờigianvgắnsựtiếntriểntheothờigianvotoántử.Đólbiểu diễnHeisenberg. a)BiểudiễnSchrodinger Ph−ơngtrìnhSchrodingerviếttheokíhiệuDiraccódạng d ih ψ (t) = Hˆ ψ (t) (59) dt ởđâytagiảthiếtrằngtóantử Hˆ khôngphụthuộct−ờngminhvo thờigian.Tíchphânph−ơngtrìnhtrêntathuđ−ợc ψ (t) = exp(− iHˆt / h)ψ )0( = Uˆ (t)ψ )0( . (60) Trongph−ơngtrìnhtrên,hmcủatoántửđ−ợcđịnhnghĩatheo khaitriểnTaylorcủanó: 2 − iHˆt (− iHˆt) exp()− iHˆt / h = 1+ + + (61) 1!h 2!h 2
86. 86 Do Hˆ ltoántửécmít(dođócótrịriênglthực)nêncóthể ˆ chứngminhđ−ợcrằngtoántử exp(− iHt / h)lunita.Nh−vậy,sựtiến triểntheothờigiancủamộttrạngtháitrongbiểu diễnSchrodinger ˆ bịchiphốibởitoántửunita exp(− iHt / h).Nếutrạngtháibanđầul trạngtháitrộnlẫn,ng−ờitadùngtoántửmậtđộđểmôtatrạngthái. Khiđóph−ơngtrìnhchuyểnđộngt−ơngứngđốivớimatrậnmậtđộ l ρˆ(t) = Uˆρˆ )0( Uˆ + (62) vthomn dρˆ(t) ih = [Hˆ , ρˆ(t)]. (63) dt b)BiểudiễnHeisenberg Trongbiểudiễnnytachocáctoántửphụthuộcthờigiancòn cáctrạngtháikhôngphụthuộcthờigian.Điềuny lmchotấtcả cácgiátrịkìvọng(lcácgiátrịđođ−ợc)phụthuộcvothờigian mặcdùcáctrạngtháikhôngphụthuộcthờigian. Xuấtpháttừsựtiếntriểntheothờigiancủa ρˆ trongbiểudiễn dρˆ(t) Schrodinger ih = [Hˆ , ρˆ(t)],tasuyragiátrịkìvọngcủamộttoántử dt Aˆ bấtkì,trongmộttrạngtháivớitoántửmậtđộ ρˆ đ−ợctínhtheo côngthức ˆ ˆ ˆ ˆ + ˆ ˆ + ˆ ˆ ˆ A (t) = Tr{ρˆ(t)A}= Tr{U (t)ρˆ )0( U (t)A}= Tr{ρˆ )0( U (t)AU (t)}= Tr{ρˆ H AH (t)},(64) trong đó toán tử Aˆ không phụ thuộc thời gian v toán tử mật độ trongbiểudiễnHeisenbergđ−ợcđịnhnghĩa ˆ ˆ + ˆ ˆ AH (t) = U (t)AU(t) , (65) ˆ + ˆ ρˆ H = U (t ) ρˆ (t )U (t ) = ρˆ )0( . (66)
87. 87 Dođó,trongbiểudiễnHeisenbergtoántửmậtđộkhôngphụ thuộcthờigian.ToántửHamiltoncũngkhôngphụthuộcthờigianvì ˆ ˆ + ˆ ˆ ˆ + ˆ ˆ ˆ H H (t) = U (t)HU (t) = U (t)U (t)H = H . (67) Ph−ơng trình Schrodinger trong biểu diễn Heisenberg có thể viếtd−ớidạng: dAˆ (t) h H ˆ ˆ i = [AH (t ,) H ]. (68) dt HaibiểudiễnSchrodingervHeisenberglt−ơngđ−ơngnhau. Trongmộtbitoáncụthể,tacóthểtuỳýchọnbiểudiễnnothích hợpnhất. 10.11.Dịchchuyểnpha Sựdịchchuyểnphachẳngquachỉlmộtsựdịchchuyểnthời gian.Bởivậy,toántửHamiltonđdịchchuyểnpha cũng chính l toántửHamiltontựdocủamode.Nếumodelmộtdaođộngtửđiều hocủatr−ờngđiệntừthìtoántửHamiltonđdịchchuyểnphal  1   1  Hˆ = hωaˆ + aˆ +  = hωnˆ +  , (69)  2   2  trongđó ω = 2πν ; ν ltầnsốquanghọc.Thôngth−òng,năngl−ợngở điểm0l 1 th−ờngbịbỏquatrongph−ơngtrìnhdonóluônchomột 2 sựdịchchuyểnphacốđịnhchomọitrạngtháivbởivậycóthểloại bỏ.Toántửdịchchuyểnphaunitavphụthuộcthờigianđ−ợccho bởi Hˆ −i t Uˆ (t) = e h = e−iω nt ˆ . (70) Bởivậytrạngtháisốtiếntriểnd−ớidạng −iω nt ˆ −iωtn ψ n (t) = e n = e n . (71)
88. 88 Nh−ng, nh− ta đ nói, các trạng thái chỉ khác nhau một sự dịch chuyểnphatoncụclt−ơngđ−ơng.Bởivậy,cáctrạngtháisốbất biếnd−ớitácdụngcủaphépdịchchuyểnpha.Tuynhiên,mộttrạng tháitổngquát ∞ ψ )0( = ∑cn n (72) n=0 bịảnhh−ởngbởimộtphépdịchchuyểnphavsựtiếntriểntheothời giancủanól: ∞ −iωtn ψ (t) = ∑cn .e n . (73) n=0 Nếutrạngthái ψ (t) lmộttrạngtháikếthợpthì(73)cóthể đ−ợcđơngiảnhoá.Trongtr−ờnghợpny e−iω nt ˆ α = e−iωtα .
89. 89 Ch−ơngXI:Cơhọcl−ợngtử: Sựbấtđịnhcónguyêntắc, nhữngsựbấtđịnhcóýnghĩaquantrọng vnguyênlýbấtđịnh ∗∗∗ Vbạncóthểtựhỏi Tôiđúng? Tôisai TalkingHeads Cơhọcl−ợngtử,vốnkhácth−ờngnh−chínhnó,đlm thay đổimộtcáchcơbảncáchthứccácnhkhoahọcnhìnthếgiới.Phần lớncủakhoahọchiệnđạiđpháttriểntừcơhọcl−ợngtử:cơhọc thốngkê,vậtlíhạt,hoáhọc,vũtrụhọc,sinhhọcphântử,sinhhọc tiếnhoá,địachấthọc(thôngquaviệcxácđịnhniênđạitheophóng xạ)đềuđ−ợcphátminhhoặclmthayđổinh−lkếtquảcủasựphát triểncủacơhọcl−ợngtử.Nhiềutiệníchcủathếgiớihiệnđại,chẳng hạnmáyvitính,đầuđọcDVD,cáccamerakỹthuậtsốkhôngthểtrở thnhhiệnthựcnếukhôngcótransistorvcáclinhkiệnkỹthuậtm sựpháttriểncủachúngphụthuộcvocáchiệnt−ợngl−ợngtử. Tôikhôngrõliệutôiđthựcsựcảmthấymôncơhọcl−ợngtử khó hiểu nh− thế no khi tôi đầu tiên học nó ở tr−ờng đại học. Nh−ng mi tới khi tôi dạy cơ học l−ợng tử nhiều năm sau đó v nghiêncứucẩnthậnthôngqualogiccủacơhọcl−ợngtửthìtôimới ∗Dịchtừcuốnsách: CácchiềubiếndạngLmsángtỏnhữngbímậtvềcácchiềuẩncủavũtrụ của LisaRandall.
90. 90 thựcsựthấynórấttuyệtvời.Mặcdầubâygiờchúngtadạycơhọc l−ợngtửnh−mộtphầncủach−ơngtrìnhvậtlí,nh−ng,ng−ợclại,nó thựcsựgâysốc. Câuchuyệncủacơhọcl−ợngtửminhchứngmộtcách đẹpđẽ vềsựtiếnhoácủakhoahọc.Cơhọcl−ợngtửbanđầuđđ−ợcthực hiệnvớitinhthầnxâydựngmôhình–nótậptrungvocácquansát khôngthểgiải thích đ−ợc ngay cảtr−ớc đóng−ời ta đ từng xây dựng một lý thuyết cơ bản. Cả các tiến bộ về lý thuyết v thực nghiệmđềudiễnranhanhvdữdội.Cácnhvậtlíđpháttriểncác lýthuyếtl−ợngtửđểgiảithíchcáckếtquảthựcnghiệmmvậtlícổ điểnkhôngthểgiảithíchđ−ợc.Vlýthuyếtl−ợng tử,đếnl−ợtnó, lạiđềxuấtcácthínghiệmtiếptheonhằmkiểmchứngcácgiảthiết. Cầncóthờigianđểcácnhkhoahọclựachọnýnghĩađầyđủ củacácquansátthựcnghiệmny.Việc“nhậpkhẩu”cơhọcl−ợngtử lquáquyếtliệtđốivớihầuhếtcácnhkhoahọcnênhọkhócóthể chấpnhậnnóngaylậptức.Cácnhkhoahọcđtừngthểhiệnsự khôngtint−ởngcủahọtr−ớckhihọcóthểchấpnhậncáckiếnthức củacơhọcl−ợngtử,vốnquákhácsovớicáckháiniệmcổđiểnquen thuộc.Ngaycảmộtsốnhtiênphongcủalýthuyết,chẳnghạnMax Planck,ErwinSchrodingervAlbertEinsteinch−abaogiờthựcsự chuyểnsangcáchsuynghĩatheocơhọcl−ợngtử.Einsteintừngphát biểusựphảnđốicủamìnhtrongmộtcâunóinổitiếng:“Chúakhông chơitròxúcxắcvớivũtrụ”.Hầuhếtcácnhkhoahọcdầndầnchấp nhậnsựthực(nh−chúngtahiệnđanghiểunó),nh−ng không phải ngaylậptức. Bảnchấtsâusắccủacáctiếnbộvềkhoahọcvođầuthếkỷ 20đtácđộngvovănhoáhiệnđại.Nhữngnềntảng cơbản của nghệthuật,vănhọcvhiểubiếtcủachúngtavềtâmlýđthayđổi mạnhmẽtrongthờigianđó.Mặcdầumộtsống−ờigắnnhữngthuộc
91. 91 tínhnyvớisựchấnđộngvtnphácủaChiếntranhthếgiớilầnthứ nhất nh−ng các nghệ sĩ, chẳng hạn nh− Wassily Kandinsky đ sử dụngsựthựcrằngnguyêntửbịbắnpháđểchứngminhýt−ởngrằng mọithứcóthểthayđổi,vdođó,trongnghệthuật,mọithứđềucho phép. Kandinsky mô tả phản ứngcủa ông đốivới nguyên tử hạt nhân:“Sựsụpđổcủamôhìnhnguyêntử,trongtâmhồn tôi cũng t−ơngđ−ơngnh−sựsụpđổcủatonthếgiới.Độtnhiênnhữngbức t−ờngdynhấtsụpđổ.Tôikhôngngạcnhiênnếumộthònđábiến mất tr−ớc mắt tôi trong không khí, chảy thnh n−ớc, v trở nên khôngquansátđ−ợc” ∗. PhảnứngcủaKandinskyhơicựcđoan.Quyếtliệtnh− những kiếnthứccơbảncủacơhọcl−ợngtử,nócũngdễbịv−ợtquákhiáp dụngvo bốicảnhkhôngphảikhoahọc.Tôithấyví dụ khó chịu nhấtlnguyênlýbấtđịnhbịlạmdụng.Nóth−ờngbịápdụngmột cáchkhôngthíchhợpđểbochữamộtcáchhìnhthứcchonhữngsự khôngchínhxác.Trongch−ơngnychúngtasẽthấyrằngnguyênlý bấtđịnhthựcralmộtphátbiểurấtchínhxácvề cácđạil−ợngđo đ−ợc.Ngoiranólmộtphátbiểuvớinhiềuứngdụng đángngạc nhiên. Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu cơ học l−ợng tử v những nguyênlýcơbảnlmnórấtkhácvớivậtlícổđiểnxuấthiệntr−ớc đó.Cáckháiniệmmớivkỳlạchúngtasẽgặpbaogồmsựl−ợngtử hoá,hmsóng,l−ỡngtínhsónghạtvnguyênlýbấtđịnh.Ch−ơng nytrìnhbysơl−ợcnhữngýt−ởngcơbảnđóvgiớithiệusơl−ợc vềlịchsửcủanhữngýt−ởngđó. Sựsốcvsựsợhi ∗TheoGeraldHoltonvStephenJ.Brush, Vậtlíhọc,Sựphiêul−ucủaconng−ời,từCopernicustớiEinsteinv xahơnnữa (Piscataway,NJ:RutgersUniversityPress,2001).
92. 92 NhvậtlíhạtSidneyColemantừngnóirằngnếumộtngnnh triếthọcbỏramộtngnnămđểtìmkiếmnhữngđiềukỳlạnhấtcó thểthìhọcũngkhôngbaogiờtìmthấythứgìkỳlạnh−cơhọcl−ợng tử.Cơhọcl−ợngtửkhóhiểuvìcáchệquảcủanóquákhácth−ờng vngạcnhiên.Nhữngnguyênlýcơbảncủanóđốilậpvớinhữngý t−ởnglmnềntảngchotấtcảvậtlíhọcđbiếttr−ớcđó–vng−ợc vớikinhnghiệmcủachúngta. Mộtlýdolmchocơhọcl−ợngtửquákhóhiểulchúng ta khôngđ−ợctrangbịvềmặttâmlýđểtiếpnhậnbản chấtl−ợngtử củavậtchấtvánhsáng.Cáchiệuứngl−ợngtửth−ờngtrởnênđáng kểởcáckhoảngcáchkhoảngmộtangstrom,lkíchcỡcủanguyên tử.Khikhôngcónhữngdụngcụđặcbiệt,chúngtachỉcóthểnhìn thấynhữngkíchcỡlớnhơnnhiều.Ngaycảcácđiểmảnhcủamn hìnhmáytínhhoặctivicóđộphândảicaocũngth−ờngquánhỏđể chúngtaquansát. Ngoi ra chúng ta chỉ thấy những tập hợp nhiều nguyên tử, nhiềuđếnmứcvậtlícổđiểnlấnátcáchiệuứngl−ợngtử.Chúngta cũngchỉth−ờngtiếpnhậnnhiềul−ợngtửánhsáng.Mặcdầumột máythuquangtrongmắtlđủnhạyđểtiếpnhậncác đơn vị nhỏ nhấtcóthểcủaánhsáng–cácl−ợngtửriêngbiệt–songmắtth−ờng xửlýquánhiềul−ợngtửđếnmứcbấtcứhiệuứngl−ợngtửkhảdĩ nocũngbịlấnátbởitínhchấtcổđiểndễquansáthơn. Nếucơhọcl−ợngtửlkhógiảithíchthìcómộtlýdorấthợp lý.Cơhọcl−ợngtửtổngquáthơncơhọccổđiểnvbaocáctiên đoáncổđiểnnh−cáctr−ờnghợpriêng,nh−ngđiềung−ợclạikhông đúng.Trongnhiềutìnhhuống–chẳnghạnkhiliênquantớicácvật thểlớn–cáctiênđoáncủacơhọcl−ợngtửphùhợp với các tiên đoántừcơhọcNewtoncổđiển.Nh−ngkhôngcókhoảngkíchcỡm ởđócơhọccổđiểnsẽsinhracáctiênđoánl−ợng tử.Bởivậy,khi