Giáo trình Cơ học lượng tử - Trần Công Phong

314 trang hapham 1980

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học lượng tử - Trần Công Phong", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_hoc_luong_tu_tran_cong_phong.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ học lượng tử - Trần Công Phong

Lê Đình-Trần Công Phong GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ Huế, tháng 8 năm 2011
Lời nói đầu Cơ học lượng tử là bộ môn mở đầu của vật lý lượng tử. Đối tượng nghiên cứu của nó rất rộng rãi, từ những hạt sơ cấp đơn giản như electron, proton đến những hệ vi mô phức tạp như nguyên tử, phân tử. Phạm vi nghiên cứu của cơ học lượng tử còn mở rộng hơn khi tính đến hiệu ứng tương đối tính của các hạt chuyển động với vận tốc lớn. Như vậy, việc nghiên cứu cơ học lượng tử là không thể thiếu được đối với những ai nghiên cứu về vật lý mà nói riêng là sinh viên ngành vật lý. Theo các tài liệu hiện hành, hiện nay đang có nhiều cách khác nhau trong việc trình bày nội dung của cơ học lượng tử. Vấn đề này tùy thuộc vào ý đồ của từng tác giả. Mỗi cách có một ưu, nhược điểm riêng và phụ thuộc vào các kiến thức toán học hỗ trợ tương ứng. Giáo trình này được tổ chức thành 09 chương, bao gồm: -Chương 1 và chương 2 trình bày các cơ sở vật lý và toán học dẫn đến việc hình thành và xây dựng môn cơ học lượng tử. Các tiên đề cơ bản của cơ học lượng tử được trình bày ở chương 3. Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử (phương trình Schrodinger) được đưa vào ở chương 4, trong đó khảo sát cả phần phụ thuộc thời gian và cả phần không phụ thuộc thời gian. Một số bài toán đơn giản có tính kinh điển của cơ học lượng tử cũng được khảo sát chi tiết ở chương này. Chương 5 khảo sát sự biến thiên của các đại lượng động lực theo thời gian, từ đó phân tích sự liên quan giữa tính đối xứng của không-thời gian và các định luật bảo toàn. - Chương 6 trình bày việc ứng dụng cơ học lượng tử để giải quyết bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm, trong đó khảo sát chi tiết năng lượng là hàm sóng của electron trong nguyên tử Hydro. Chương 7 trình bày khái niệm biểu diễn để làm cơ sở cho chương 8 đề cập đến
ii Lời nói đầu khái niệm spin và hệ hạt đồng nhất và nguyên lý loại trừ Pauli. Chương 9 trình bày đại cương về lý thuyết nhiễu loạn để làm cơ sở cho các phép tính gần đúng sau này. Để thuận tiện cho sinh viên trong học tập, cuối mỗi chương là các bài tập áp dụng với các hướng dẫn ngắn gọn về cách giải. Giáo trình này được biên soạn chủ yếu dựa trên bài giảng của các tác giả qua nhiều năm giảng dạy bộ môn này và có tham khảo nhiều tài liệu có liên quan ở trong và ngoài nước. Trong quá trình biên soạn chúng tôi cố gắng trình bày các chương mục một cách ngắn gọn và dễ hiểu, chỉ sử dụng các công cụ toán học cần thiết để giảm biết khó khăn cho sinh viên, đồng thời để nêu bật được các khái niệm vật lý. Tác giả rất mong sự góp ý xây dựng để tập tài liệu này ngày càng hoàn thiện hơn. Huế, tháng 8 năm 2011 Nhóm tác giả
Mục lục Lời nói đầu i Mục lục iii 1 Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử 1 1 Các đặc điểm của vật lý học cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Tính chất hạt của bức xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1 Bức xạ nhiệt và vật đen tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Định luật Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Định luật Rayleigh-Jeans và sự khủng hoảng ở miền tử ngoại. . . 6 2.4 Thuyết lượng tử năng lượng của Planck . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1 Hiệu ứng quang điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Các định luật quang điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 Thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Hiệu ứng Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5 Giả thuyết De Broglie - Tính chất sóng của hạt vật chất . . . . . . . . . 17 5.1 Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 Giả thuyết De Broglie về sóng vật chất . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.3 Thí nghiệm kiểm chứng giả thuyết De Broglie . . . . . . . . . . . 19 6 Hàm sóng của hạt vi mô - Ý nghĩa thống kê của hàm sóng . . . . . . . . 20 6.1 Hàm sóng của hạt tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.2 Ý nghĩa thống kê của hàm sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.3 Sự chuẩn hóa hàm sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.4 Điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7 Bó sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7.1 Bó sóng định xứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2 Bó sóng và hệ thức bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.3 Chuyển động của bó sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 8 Tóm tắt Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9 Bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 iii
iv MỤC LỤC 2 Cơ sở toán học của cơ học lượng tử 36 1 Xác suất và trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.2 Đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3 Trị trung bình trong phép đo một đại lượng ngẫu nhiên . . . . . 38 1.4 Độ lệch ra khỏi trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.5 Trị trung bình của bình phương độ lệch . . . . . . . . . . . . . . 39 2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Ký hiệu Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Một số tính chất của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Chiều và cơ sở của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Toán tử trong cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1 Khái niệm toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Các phép toán trên toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Hàm riêng và trị riêng của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Sự suy biến của trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.6 Toán tử Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.7 Hàm toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.8 Toán tử nghịch đảo và toán tử đơn nguyên . . . . . . . . . . . . 54 3.9 Các tính chất của toán tử Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.10 Điều kiện trực chuẩn của hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.11 Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Các toán tử cơ bản trong học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1 Toán tử tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2 Toán tử xung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 Toán tử năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4 Toán tử momen xung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5 Hệ thức giao hoán giữa các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5 Tóm tắt Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6 Bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 Các tiên đề trong cơ học lượng tử 72 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2 Tiên đề I: Trạng thái và thông tin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3 Tiên đề II: Các đại lượng động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4 Tiên đề III: Tính chất thống kê trong lượng tử . . . . . . . . . . . . . . 75
MỤC LỤC v 4.1 Trường hợp đại lượng động lực có phổ trị riêng gián đoạn . . . . 76 4.2 Trường hợp đại lượng động lực có phổ trị riêng liên tục . . . . . 78 4.3 Trị trung bình trong phép đo một đại lượng động lực . . . . . . . 79 5 Sự đo đồng thời các đại lượng động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.1 Khái niệm hàm riêng chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2 Điều kiện để hai đại lượng động lực đồng thời được xác định . . 82 6 Hệ thức bất định Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1 Độ bất định trong phép đo một đại lượng động lực . . . . . . . . 84 6.2 Hệ thức bất định trong phép đo hai đại lượng động lực . . . . . . 85 6.3 Hệ thức bất định giữa toạ độ và xung lượng . . . . . . . . . . . . 86 7 Tóm tắt Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8 Bài tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4 Phương trình Schrodinder 97 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2 Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . 98 3 Mật độ dòng xác suất-Sự bảo toàn số hạt . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4 Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . 101 5 Các tính chất cơ bản của nghiệm phương trình Schrodinger dừng . . . . 103 6 Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động một chiều . . . . . . . . 103 6.1 Các tính chất của chuyển động một chiều . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2 Chuyển động của hạt tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.3 Giếng thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.4 Ghi chú về trường hợp giếng thế đối xứng . . . . . . . . . . . . . 111 6.5 Giếng thế hình chữ nhạt có chiều sâu hữu hạn . . . . . . . . . . . 114 6.6 Chuyển động qua thế bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.7 Chuyển động qua hàng rào thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.8 Dao động tử điều hòa lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7 Phương trình Schrodinger trong chuyển động 3 chiều . . . . . . . . . . . 133 7.1 Giải phương trình Schrodinger trong trường hợp ba chiều . . . . 134 7.2 Hạt trong giếng thế 2 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.3 Hạt trong giếng thế 3 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.4 Dao động tử điều hòa 3 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8 Tóm tắt Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9 Bài tập Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5 Sự thay đổi các đại lượng động lực theo thời gian 147 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2 Đạo hàm của toán tử theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
vi MỤC LỤC 3 Phương trình chuyển động trong cơ lượng tử. Định lý Erenfest . . . . . 149 4 Tích phân chuyển động và các định luật bảo toàn . . . . . . . . . . . . . 152 4.1 Tích phân chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.2 Tính đối xứng của không gian, thời gian và các định luật bảo toàn 153 5 Tóm tắt Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6 Bài tập Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6 Chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm 162 1 Các đặc điểm của chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm . . . . . 162 1.1 Khái niệm trường xuyên tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 1.2 Toán tử mô-men xung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1.3 Các đặc điểm của hạt chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm170 2 Phương trình Schrodinger của hạt trong trường xuyên tâm . . . . . . . . 171 2.1 Phương trình bán kính và phương trình góc . . . . . . . . . . . . 171 2.2 Khảo sát phương trình bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3 Bài toán nguyên tử Hydro và các ion tương tự . . . . . . . . . . . . . . 174 3.1 Giá trị âm của năng lượng của electron trong nguyên tử . . . . . 174 3.2 Năng lượng và hàm sóng và của electron trong nguyên tử Hydro và các ion tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3.3 Kết luận về bài toán nguyên tử Hydro và các ion tương tự . . . . 178 4 Sự phân bố electron trong nguyên tử Hydro và các ion tương tự . . . . . 180 4.1 Sự phân bố electron theo bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4.2 Sự phân bố electron theo góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5 Tóm tắt Chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6 Bài tập Chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7 Lý thuyết biểu diễn 190 1 Khái niệm về biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 2 Biểu diễn các trạng thái lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 2.1 Biểu diễn năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 2.2 Biểu diễn xung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3 Biểu diễn ma trận của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.1 Trường hợp toán tử Fˆ có phổ trị riêng gián đoạn . . . . . . . . . 196 3.2 Trường hợp toán tử Fˆ có phổ trị riêng liên tục . . . . . . . . . . 198 4 Trị trung bình của một đại lượng động lực dưới dạng ma trận . . . . . . 201 5 Phương trình trị riêng của toán tử dưới dạng ma trận . . . . . . . . . . 202 6 Dạng ma trận của phương trình Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7 Dạng ma trận của phương trình Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8 Sự chuyển biểu diễn - Phép biến đổi đơn nguyên . . . . . . . . . . . . . . 209
MỤC LỤC vii 8.1 Sự chuyển biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.2 Sự chuyển biểu diễn của hàm sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.3 Sự chuyển biểu diễn của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 8.4 Một số tính chất của phép biến đổi unita . . . . . . . . . . . . . . 213 9 Biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg và biểu diễn tương tác . . . 216 9.1 Biểu diễn Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.2 Biểu diễn Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 9.3 Biểu diễn tương tác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 10 Tóm tắt Chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11 Bài tập Chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 8 Spin và hệ hạt đồng nhất 229 1 Mômen động lượng quỹ đạo và mômen từ quỹ đạo . . . . . . . . . . . . 229 2 Sự tách mức năng lượng của nguyên tử Hydro trong từ trường . . . . . 230 3 Mô-men động lượng riêng của electron-spin của hạt vi mô . . . . . . . . 232 3.1 Thí nghiệm Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 3.2 Spin của hạt vi mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4 Toán tử spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 4.1 Toán tử spin và hàm spin của hạt vi mô . . . . . . . . . . . . . . 235 4.2 Spin 1/2 và ma trận Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 4.3 Hàm spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 5 Hệ hạt đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.1 Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất . . . . . . . . . . . 242 5.2 Trạng thái đối xứng và phản đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.3 Hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác . . . . . . . . . 244 5.4 Nguyên lý loại trừ Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 6 Tóm tắt Chương 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 7 Bài tập Chương 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9 Lý thuyết nhiễu loạn 256 1 Khái niệm về lý thuyết nhiễu loạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 2 Nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 2.1 Nhiễu loạn dừng không suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 2.2 Nhiễu loạn dừng có suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 2.3 Ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn dừng . . . . . . . . . . . . . . 268 2.4 Trạng thái cơ bản của nguyên tử Heli và các ion tương tự . . . . 268 2.5 Hiệu ứng Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 3 Nhiễu loạn không dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 4 Sự chuyển dời lượng tử dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn . . . . . . . . . 279
viii MỤC LỤC 4.1 Khái niệm về sự chuyển dời lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . 279 4.2 Xác suất chuyển dời lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 5 Tóm tắt Chương 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 6 Bài tập Chương 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Chỉ mục 303
Chương 1 Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử § MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG • Mục tiêu của chương này là trình bày quá trình hình thành và phát triển của cơ học lượng tử, trong đó lưỡng tính sóng -hạt của vật chất và giả thuyết De Broglie về tính chất sóng của hạt vật chất được khảo sát một cách chi tiết làm cơ sở cho các nghiên cứu tính chất thống kê của cơ học lượng tử. • Sau khi học xong chương này, sinh viên sẽ hiểu được sự hình thành cơ học lượng tử về mặt lịch sử cùng các nội dung cơ bản của nó, sinh viên cũng sẽ nắm được khái niệm hàm sóng của hạt vi mô và tính chất cơ bản của hàm sóng, đồng thời giải được một số bài toán liên quan đến việc chuẩn hoá hàm sóng, xác suất tìm hạt chuyển động trong một không gian đã cho. § 1 CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA VẬT LÝ HỌC CỔ ĐIỂN Cuối thế kỷ 19 vật lý học được xây dựng hầu như hoàn thiện và thường được gọi là vật lý học cổ điển, bao gồm ba ngành chủ yếu, đó là cơ học cổ điển, thuyết điện từ và nhiệt động lực học. Trong vật lý học cổ điển, người ta phân biệt hai dạng vật chất chủ yếu, đó là hạt và sóng. Vật lý học cổ điển cho rằng hạt được đặc trưng bởi năng lượng E và xung lượng ⃗p, trong lúc đó sóng được đặc trưng bởi biên độ và vectơ sóng ⃗k (|⃗k| = 2π/λ) chỉ hướng truyền của sóng. 1
2 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử Hạt và sóng biểu hiện các tính chất hoàn toàn khác nhau, loại trừ lẫn nhau. Dựa vào tính chất của hạt và sóng mà vật lý học cổ điển có bốn đặc điểm sau đây. (1) Tính đối lập giữa hạt và sóng ♢ Hạt là một dạng vật chất có các tính chất chủ yếu sau: + Hạt có vị trí xác định trong không gian tại mọi thời điểm; + Hạt có biên giới xác định, làm hạt tách biệt với các đối tượng vật chất khác; + Hạt có quỹ đạo xác định khi chuyển động. Trong một hệ hạt, mỗi hạt giữ được tính cá thể của mình, nghĩa là chúng ta có thể theo dõi chuyển động của từng hạt riêng rẽ, ngay cả trong trường hợp hệ gồm những hạt đồng nhất như nhau. Đặc trưng chủ yếu của hạt là gây ra hiện tượng va chạm. ♢ Sóng là một dạng vật chất, đó là sự kích thích vật chất, lan truyền trong không gian và mang năng lượng. Nói một cách khác, sóng là sự truyền dao động trong không gian và theo thời gian. Đặc trưng cơ bản của sóng là gây ra hiện tượng giao thoa và nhiễu xạ. Sóng thường gặp nhất là sóng đàn hồi, đó là sự lan truyền dao động cơ học trong môi trường đàn hồi. Sóng điện từ là sự lan truyền của dao động điện từ trong không gian (kể cả trong chân không). Dựa vào dạng của mặt sóng người ta phân biệt sóng phẳng và sóng cầu. Tuỳ theo quan hệ giữa phương dao dộng và phương truyền sóng người ta phân biệt sóng dọc và sóng ngang. Sóng có đặc tính tuần hoàn theo thời gian (đặc trưng bởi chu kỳ T) và không gian (đặc trưng bởi bước sóng λ). Trong vật lý học cổ điển người ta quan niệm hạt và sóng là loại trừ lẫn nhau. Vì hạt có quỹ đạo xác định nên chuyển động của hạt không thể dẫn đến những hiện tượng đặc trưng cho sóng như giao thoa, nhiễu xạ Ngược lại, sóng không thể có những hiện tượng đặc trưng cho hạt như va chạm.
§ 1. Các đặc điểm của vật lý học cổ điển 3 (2) Tính tất định của các quy luật Theo vật lý học cổ điển, các tính chất của hạt (hoặc hệ hạt) đều có thể xác định được một cách chính xác. Điều này có nghĩa là cho chính xác vị trí và xung lượng của hạt tại thời điểm ban đầu, đồng thời nếu biết được các lực tác dụng lên toàn hệ và lực tác dụng lên từng hạt trong hệ thì có thể hoàn toàn xác định được trạng thái của hệ tại những thời điểm sau nhờ các phương trình cơ bản của cơ học cổ điển (phương trình Newton, các phương trình Lagrange hoặc phương trình Hamilton ). Như vậy, tất cả các đại lượng động lực trong vật lý học cổ điển đều có giá trị hoàn toàn xác định tại mọi thời điểm, hay nói cách khác phép đo trong vật lý cổ điển là chính xác. Chính vì lý do đó mà các nhà triết học gọi vật lý học cổ điển là có tính tất định (determinism). Đây là một khái niệm triết học thống trị trong khoa học cho đến khi có sự ra đời của cơ học lượng tử. Nếu vũ trụ là tất định thì bất kỳ một hệ quả nào cũng phải có nguyên nhân. Vì vậy tất cả các hiện tượng đều có thể tiên đoán được và giải thích được một cách chính xác bởi các quy luật vật lý. (3) Tính liên tục của các đại lượng động lực Theo vật lý học cổ điển, các quá trình vật lý chỉ có thể diễn ra một cách liên tục. Khi các điều kiện đầu và trường ngoài thay đổi thì các đại lượng vật lý đặc trưng cho hệ thay đổi một cách liên tục. (4) Phép đo không làm nhiễu loạn trạng thái Trong vật lý học cổ điển phép đo thực hiện trên các đối tượng vĩ mô không làm thay đổi trạng thái của hệ đang đo, người ta nói rằng phép đo không làm nhiễu loạn trạng thái của hệ. Vật lý học cổ điển thống trị một cách lâu dài và chắc chắn trong khoa học và tỏ ra rất hoàn chỉnh trong việc giải thích các hiện tượng tự nhiên. Tuy nhiên, đến cuối thế kỷ 19-đầu thế kỷ 20 với sự ra đời của thuyết tương đối trong nghiên cứu các hạt chuyển động với vận tốc lớn và yêu cầu nghiên cứu các hạt
4 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử bên trong nguyên tử và hạt nhân, người ta phát hiện ra rằng vật lý học cổ điển không thể giải thích được các tính chất của nguyên tử và phân tử và sự tương tác của chúng với bức xạ điện từ. Việc nghiên cứu năng lượng của bức xạ nhiệt, các hiện tượng quang điện, hiệu ứng Compton đã đi đến kết luận rằng bức xạ điện từ, ngoài tính chất sóng, còn có có tính chất hạt. Trong lúc đó, các hạt vi mô lại thể hiện tính chất sóng. Từ đó hình thành nên trong vật lý một luận điểm về lưỡng tính sóng-hạt của vật chất. Lưỡng tính sóng hạt này là cơ sở cho các lý thuyết của cơ học lượng tử nói chung. Sau đây ta sẽ khảo sát một số hiện tượng và giả thuyết làm cơ sở cho việc hình thành nên cơ học lượng tử. § 2 TÍNH CHẤT HẠT CỦA BỨC XẠ Trong mục này ta sẽ làm sáng tỏ sự bất lực của vật lý học cổ điển trong việc giải thích một số hiện tượng vi mô như bức xạ nhiệt, hiệu ứng quang điện và hiệu ứng Compton. Các hiện tượng chỉ có thể giải thích được bằng cách đưa ra khái niệm tính chất hạt của bức xạ. 2.1 BỨC XẠ NHIỆT VÀ VẬT ĐEN TUYỆT ĐỐI Bức xạ nhiệt là bức xạ do vật ở nhiệt độ T > 0 K (còn gọi là vật nóng) phát ra. Các vật thông thường ở nhiệt độ phòng T ≈ 300K chủ yếu phát xạ bức xạ hồng ngoại (λmax = 10 mm), đó là bức xạ mà mắt con người không cảm nhận được. Khi nung nóng vật, bức xạ do vật phát ra có bước sóng giảm dần từ bức xạ hồng ngoại đến bức xạ khả kiến. Tuy nhiên, bức xạ do vật thông thường phát ra phụ thuộc không chỉ vào nhiệt độ mà còn phụ thuộc vào các tính chất khác của vật, chẳng hạn như hình dạng của vật, tính chất của bề mặt, bản chất của chất tạo nên vật Nó cũng phụ thuộc vào việc vật phản xạ các bức xạ đến bề mặt của nó nhiều hay ít. Để tránh các khó khăn này người ta thường chọn
§ 2. Tính chất hạt của bức xạ 5 Hình 1.1: Mô hình của một vật đen tuyệt đối vật bức xạ sao cho bề mặt của nó hấp thụ hoàn toàn các bức xạ chiếu đến. Vật như thế được gọi là vật đen tuyệt đối. Trong thực tế không có vật đen tuyệt đối, chỉ ở những khoảng bước sóng nào đó một số vật có thể có những tính chất gần với vật đen tuyệt đối. Chẳng hạn như trong miền bức xạ khả kiến thì bồ hóng và nhung đen có thể coi là vật đen tuyệt đối. Mẫu vật đen tuyệt đối hoàn hảo hơn là một lò kín không trong suốt, thành trong bôi đen và chỉ có một lỗ nhỏ O. Khi lò nguội ánh sáng từ bên ngoài đi vào đi qua lỗ nhỏ vào bên trong lò và khả năng đi ra khỏi lò là rất bé. Thật vậy, cứ mỗi lần phản xạ thành lò hấp thụ một phần năng lượng của bức xạ tới. Sau nhiều lần phản xạ năng lượng của bức xạ tới sẽ mất dần và cường độ bức xạ khi ra khỏi lò rất nhỏ so với cường độ bức xạ tới và có thể xem như bằng không (hình 1.1a). Khi lò nóng, ánh sáng phát ra ở bên trong lọt qua lỗ để ra ngoài, lúc này lò trở thành một nguồn phát bức xạ nhiệt (hình 1.1b). 2.2 ĐỊNH LUẬT STEFAN-BOLTZMANN Năm 1879 bằng thực nghiệm Joseph Stefan đã tìm thấy rằng năng lượng toàn phần của bức xạ đối với một đơn vị diện tích bề mặt của vật đen (còn
6 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử được gọi là mật độ dòng năng lượng hoặc năng suất phát xạ) tỉ lệ với luỹ thừa bậc bốn của nhiệt độ tuyệt đối: Q = σT 4, (1.1) trong đó σ = 5.67 × 10−8Wm−2K−4 là hằng số Stefan-Boltzmann. Biểu thức này được Ludwig Boltzmann chứng minh lý thuyết bằng phương pháp kết hợp giữa nhiệt động lực học và thuyết điện từ của Maxwell. Biểu thức (1.1) được gọi là định luật Stefan-Boltzmann và được các nhà thiên văn học sử dụng để tính độ sáng, bán kính hoặc nhiệt độ hiệu dụng của mặt trời và các sao. 2.3 ĐỊNH LUẬT RAYLEIGH-JEANS VÀ SỰ KHỦNG HOẢNG Ở MIỀN TỬ NGOẠI. Định luật Rayleigh-Jeans diễn tả sự phân bố năng lượng trong phổ của vật đen như là hàm của nhiệt độ. Định luật này có thể viết dưới dạng: 8πν2 u(ν) = k T, (1.2) c3 B trong đó u(ν) là mật độ năng lượng của bức xạ vật đen ứng với một đơn vị tần số ν, c là vận tốc ánh sáng, T Hình 1.2: Phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối. là nhiệt độ tuyệt đối, kB là hằng số Đường liền nét là đường cong thực nghiệm. −23 Boltzmann (kB = 1, 38.10 J/K). Đường đứt nét là đường cong theo công thức Công thức này được thiết lập bởi Raleigh-Jeans Rayleigh năm 1900 trên cơ sở xem các bức xạ điện từ được phát ra trong hốc của vật đen như là một hệ sóng đứng. Ông cho rằng hệ sóng đứng này tương đương với các dao động tử điều hoà cổ điển của các hạt tích điện ở các thành của hốc. Từ năm 1905 đến 1909, J. Jeans
§ 2. Tính chất hạt của bức xạ 7 đã áp dụng phương pháp vật lý thống kê để khảo sát hệ sóng đứng trong hốc của vật đen và thu được phương trình như của Rayleigh. Định luật Rayleigh-Jeans chỉ phù họp với thực nghiệm ở miền tần số thấp (bước sóng dài). Khi tần số tăng lên mật độ năng lượng bức xạ tăng không giới hạn. Sự sai khác giữa lý thuyết và thực nghiệm này bắt đầu từ miền tử ngoại. Hơn nữa nếu lấy tích phân biểu thức (1.2) trên toàn miền biến thiên của tần số ta sẽ được một đại lượng vô cùng lớn. Đây là thất bại đầu tiên của vật lý học cổ điển về việc nghiên cứu bức xạ vật đen, các nhà vật lý gọi sự sai khác này là “sự khủng hoảng ở miền tử ngoại”. Hình (1.2) chỉ phổ phát xạ của vật đen theo công thức Raleigh-Jeans và thực nghiệm. Bế tắc này tồn tại trong suốt một thời gian dài ở cuối thế kỷ 19 và chỉ được giải quyết khi có sự ra đời của thuyết lượng tử năng lượng của Planck năm cuối năm 1900. 2.4 THUYẾT LƯỢNG TỬ NĂNG LƯỢNG CỦA PLANCK Để khắc phục sự khủng hoảng ở vùng tử ngoại gây ra do hệ quả của công thức Raleigh-Jeans mà cơ sở của nó dựa trên sự liên tục của năng lượng của sóng, Planck 1 đã cho rằng năng lượng của bức xạ nhiệt bị hấp thụ hay phát xạ không phải có giá trị bất kỳ mà bao giờ cũng là một bội số nguyên của một lượng năng lượng nguyên tố, được gọi là lượng tử năng lượng. Độ lớn của lượng tử năng lượng tỉ lệ với tần số bức xạ (tỉ lệ nghịch với bước sóng) theo công thức: c ε = hν = h , (1.3) λ trong đó hệ số h = 6, 625.10−34J.s là hằng số tác dụng, sau đó được gọi là hằng số Planck. Về mặt lý thuyết Planck vẫn giữ ý tưởng của Rayleigh coi hệ sóng đứng 1Planck, Max Karl Ernst Ludwig (1858 - 1947): Nhà vật lý người Đức, nghiên cứu về sự phân bố phổ của bức xạ nhiệt và đã đưa ra thuyết lượng tử năng lượng (1900) mà nhờ đó ông được giải Nobel vật lý năm 1918
8 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử trong hốc là các dao động tử nhưng đây là các dao động tử lượng tử. Vì vậy, trong công thức (1.2) số hạng kT là năng lượng trung bình của dao động tử cổ điển được thay bằng năng lượng trung bình của dao động tử điều hoà lượng tử exp(hν/kBT ) − 1. Từ đó công thức Rayleigh-Jeans được thay bằng công thức Planck: ( ) 8πν2 hν u(ν, T ) = 3 hν . (1.4) c e kBT − 1 Từ công thức Planck ta có thể suy ra công thức Rayleigh-Jeans và định luật Stefan-Boltzmann. Thật vậy, ở miền tần số bé hν ≪ kBT thì exp(hν/kBT ) ≡ 1 + hν/kBT , lúc đó công thức (1.4) trở thành công thức (1.2). Ngoài ra, nếu lấy tích phân (1.4) theo toàn bộ miền biến thiên của tần số, ta được ∫ ∫ ( ) ∞ ∞ 8πν2 hν Q(T ) = u(ν, T ) = 3 hν dν. (1.5) 0 0 c e kBT − 1 Tích phân trên được tính bằng cách đặt x = hν/k T và sử dụng tích phân đặc ∫ B ∞ x3 π4 biệt 0 ex−1 dx = 15 , ta được kết quả: Q(T ) = σT 4. (1.6) Đây chính là định luật Stefan-Boltzmann như ở (1.1). Ví dụ 2.1 a) Chứng tỏ rằng cực đại của mật độ năng lượng bức xạ trong biểu thức (1.4) xảy ra đối với bước sóng có dạng λmax = b/T , với T là nhiệt độ, b là một hằng số cần được xác định. b) Dùng hệ thức tìm được từ câu a) để ước tính nhiệt độ trên bề mặt một ngôi sao nếu phổ bức xạ mà nó phát ra có cực đại ở bước sóng 446 nm. Tìm cường độ bức xạ phát ra bởi ngôi sao này. c) Ước tính bước sóng và cường độ của bức xạ phát ra bởi một dây tóc bóng đèn ở nhiệt độ 3300 K. Lời giải
§ 2. Tính chất hạt của bức xạ 9 a) Vì ν = c/λ, nên dν c dν = dλ = dλ. dλ λ2 Mật độ năng lượng bức xạ trong (1.4) có thể biểu diễn dưới dạng phụ thuộc vào bước sóng dν 8πhc 1 u˜(λ, T ) = u(ν, T ) = . dλ λ5 ehc/λkBT − 1 Cực đại của u˜(λ, T ) ứng với ∂u˜(λ, T )/∂λ = 0 cho ta [ ] 8πhc hc ehc/λk_BT −5(1 − e−hc/λk_BT ) + = 0, λ5 λk_BT (ehc/λk_BT − 1)2 từ đó: α = 5(1 − e−α/λ), (1.7) λ trong đó α = hc/kBT . Đặt α/λ = 5 − ε, thay vào (1.7) ta được 5 − ε = 5 − 5e−5+ε. Giải ra ta được ε ≈ 5e−5 = 0, 0337, vì vậy α/λ = 5 − 0, 0337 = 4, 9663. Bước sóng ứng với cực đại của mật độ năng lượng trong công thức (1.4) được tính như sau: hc 1 2898, 9 × 10−6m K λmax = = . (1.8) 4, 9663kB T T Biểu thức này được gọi là định luật dịch chuyển Wein chỉ mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa bước sóng cực đại và nhiệt độ. b) Áp dụng công thức (1.8), ta tính được nhiệt độ bề mặt của sao 2898, 9 × 10−6m K T = ≃ 6500 K. (1.9) 446 × 10−9m Sử dụng định luật Stefan-Boltzmann (1.6) và giả sử rằng ngôi sao phát xạ như một vật đen, ta có thể tính năng suất phát xạ toàn phần tại bề mặt của sao: P = σT 4 = 5, 67 × 10−8 W m−2 K−4 × (6500 K)4 ≃ 101, 2 × 106 W m−2.
10 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử c) Bước sóng cực đại của bức xạ do dây tóc phát ra ở nhiệt độ 3300 K là 2898, 9 × 10−6 m K λ = ≃ 878, 45 nm. max 3300 K Năng suất bức xạ toàn phần là P = σT 4 = 5, 67 × 10−8 W m−2 K−4 × (3300 K)4 ≃ 6, 7 × 106 m−2. § 3 THUYẾT LƯỢNG TỬ ÁNH SÁNG CỦA EINSTEIN 3.1 HIỆU ỨNG QUANG ĐIỆN Hình 1.3: Hình bên trái: Thiết bị dùng để nghiên cứu hiện tượng quang điện. Hình bên phải: Sự phụ thuộc của dòng quang điện vào hiệu điện thế. Hiệu ứng quang điện được trình bày chi tiết ở giáo trình quang học, ở đây chỉ trình bày tóm tắt bản chất của hiện tượng, các quy luật của hiệu ứng quang điện ngoài để có cơ sở đưa ra lý thuyết photon của Einstein nhằm giải thích hiện tượng này. Chùm ánh sáng đơn sắc chiếu vào một đĩa kim loại A sẽ làm giải phóng các electron khỏi bề mặt kim loại. Các electron này (quang electron) sẽ tạo nên dòng điện nếu giữa 2 bản A và B có một hiệu điện thế. Dòng điện đó được gọi là dòng quang điện và được đo bởi điện kế G. Sự phụ thuộc của dòng quang điện vào
§ 3. Thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein 11 hiệu điện thế UAB đặt vào hai bản A,B được mô tả ở hình vẽ trên. Nếu UAB đủ lớn thì dòng quang điện sẽ đạt giá trị giới hạn và được gọi là dòng quang điện bão hòa. Nếu ta đổi dấu của UAB thì dòng quang điện không giảm đột ngột đến giá trị 0, điều này chứng tỏ các quang electron bay ra từ bản A có một vận tốc hữu hạn nào đó. Với vận tốc đó một số electron sẽ dịch chuyển đến bản B mặc dù điện trường giữa A và B lúc này hướng từ A đến B nghĩa là ngược hướng với chuyển động của electron. Với một hiệu điện thế nghịch Uh đủ lớn thì dòng quang điện triệt tiêu. Uh được gọi là hiệu điện thế hãm. Như vậy vận tốc ban đầu cực đại của quang electron liên hệ với hiệu điện thế hãm theo công thức 1 mv2 = eU . (1.10) 2 0max h 3.2 CÁC ĐỊNH LUẬT QUANG ĐIỆN Thực nghiệm đã đưa ra được các định luật sau về hiệu ứng quang điện: • Định luật về giới hạn quang điện: Hiệu ứng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng của ánh sáng tới λ nhỏ hơn một giá trị λ0 = hc/A nào đó được gọi là giới hạn quang điện, với A là công thoát của electron ra khỏi kim loại. • Định luật về dòng quang điện bảo hòa: Cường độ dòng quang điện bảo hòa tỉ lệ với cường độ ánh sáng tới (khi λ ≤ λ0). • Định luật về vận tốc ban đầu của quang electron: Vận tốc ban đầu của quang electron không phụ thuộc vào cường độ ánh sáng tới mà tỉ lệ bậc nhất với tần số ánh sáng tới. Thuyết sóng về ánh sáng không thể giải thích được các định luật này của hiệu ứng quang điện. Theo thuyết này thì năng lượng của ánh sáng là một đại lượng liên tục và tỉ lệ với cường độ sáng, do đó khi năng lượng của ánh sáng
12 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử tới lớn thì electron sẽ nhận được nhiều năng lượng và hiện tượng quang điện sẽ xảy ra không phụ thuộc vào bước sóng ánh sáng tới. 3.3 THUYẾT LƯỢNG TỬ ÁNH SÁNG CỦA EINSTEIN Dựa trên thuyết lượng tử năng lượng của Planck, Einstein 2 cho rằng lượng tử năng lượng không chỉ là một tính chất đặc thù của bức xạ nhiệt của vật đen tuyệt đối mà là tính chất chung của mọi bức xạ điện từ. Năng lượng của sóng điện từ được truyền đi không phải dưới dạng một dòng liên tục mà dưới dạng từng phần tử rất nhỏ gọi là lượng tử. Như vậy có thể coi bức xạ điện từ được cấu tạo từ các hạt rất nhỏ gọi là photon. Mỗi photon ứng với bức xạ tần số có năng lượng: E = hν. (1.11) Vì photon được coi là hạt ánh sáng nên nó có khối lượng và xung lượng. Theo thuyết tương đối khối lượng của photon là: E hν m = = , (1.12) c2 c2 và xung lượng là: hν h p = mc = = . (1.13) c λ Nếu dùng vectơ sóng: 2π ⃗k với |⃗k| = thì (1.13) được viết lại như sau : λ h h ⃗p = ⃗k = ~⃗k với ~ = . (1.14) 2π 2π Bây giờ ta dùng thuyết photon để giải thích các định luật quang điện: 2Einstein, Albert (1879-1955), Người Mỹ gốc Đức, nhà vật lý nổi tiếng thế giới nhờ phát minh ra thuyết tương đối đặc biệt và thuyết tương đối tổng quát. Ông cũng đưa ra thuyết photon liên quan đến bản chất hạt của ánh sáng. Ông được gải Nobel vật lý năm 1921 nhờ công lao đóng góp cho vật lý lý thuyết và đặc biệt là việc phát minh ra thuyết photon để giải thích các định luật của hiệu ứng quang điện.
§ 3. Thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein 13 Chùm ánh sáng tới bề mặt kim loại được coi là một chùm photon. Khi một hạt photon va chạm với một electron thì nó sẽ truyền toàn bộ năng lượng của mình cho electron. Electron sử dụng năng lượng này để làm hai việc: một là tự giải phóng mình, nghĩa là thoát khỏi lực liên kết của tinh thể kim loại, sau đó bay ra khỏi kim loại với một vận tốc ban đầu nào đó. Định luật bảo toàn năng lượng cho ta: hc mv2 hν = = W + 0max . (1.15) λ 2 Từ công thức này ta thấy hiệu ứng quang điện chỉ xảy ra khi hc/λ ≥ W , hay λ ≤ hc/W . Như vậy, hiệu ứng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng của ánh sáng tới λ nhỏ hơn giá trị hc/W (được đặt là λ0). Đây chính là nội dung của định luật quang điện I. Theo quan điểm lượng tử thì cường độ ánh sáng tới bề mặt kim loại được xác định bởi số photon tới trong một đơn vị thời gian, trên một đơn vị diện tích. Như vậy số quang electron sẽ tỉ lệ với số photon tới, điều đó có nghĩa là cường độ dòng quang điện tỉ lệ với cường độ ánh sáng tới, đây là nội dung của định luật quang điện II. Từ 1.15 ta suy ra: mv2 hc E = 0max = − W. (1.16) K 2 λ Như vậy động năng ban đầu cực đại của quang electron không phụ thuộc vào cường độ ánh sáng tới mà phụ thuộc vào bước sóng của nó, đây là nội dung của định luật quang điện thứ 3. Ví dụ 3.1 Hai chùm tia UV có bước sóng là 80 nm và 110 nm chiếu vào bề mặt của kim loại chì, các electron quang điện được tạo ra có động năng cực đại lần lượt là 11,390 eV và 7,154 eV. a) Ước tính giá trị bằng số của hằng số Planck b) Tính công thoát của chì.
14 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử Lời giải: Theo công thức (1.16), ta có: EK1 = hc/λ1 − W và EK2 = hc/λ2 − W , từ đó: hc(λ2 − λ1) EK1 − EK2 = , λ1λ2 hay: E − E λ λ h = K1 K2 1 2 c λ2 − λ1 Thay các giá trị các đại lượng đã cho vào phương trình trên, ta tính được giá trị của h là 6, 627 × 10−34 Js. b) Công thoát của kim loại được tính từ công thức: hc W = − EK1, λ1 tính ra ta được: W = 6, 627 × 10−19 = 4, 14 eV. § 4 HIỆU ỨNG COMPTON Tính chất hạt của ánh sáng còn được thể hiện rõ rệt ở hiện tượng mà Compton 3 đã phát hiện năm 1923 khi quan sát sự tán xạ của tia X lên tinh thể graphite. Compton đã cho 1 chùm tia X đơn sắc có bước sóng λ chiếu vào tinh thể graphite thì thấy rằng sau khi đi qua chất này chùm tia X bị tán xạ. Kết quả thí nghiệm cho thấy rằng chùm tia tán xạ có bước sóng λ′ lớn hơn bước ′ sóng của tia tới. Độ chênh lệch bước sóng ∆λ = λ − λ = λC(1 − cos θ) chỉ phụ thuộc vào góc θ giữa phương của tia tới và tia tán xạ (góc tán xạ): ∆λ = λC(1 − cos θ), (1.17) −12 trong đó λC = 2, 43 10 m là một hằng số được xác định từ thực nghiệm. Sự thay đổi bước sóng của tia X sau khi bị tán xạ không thể giải thích được trên quan điểm sóng. Thực vậy, nếu xem tia X là sóng có bước sóng λ thì khi 3Compton, Arthur Holly (1892-1962), Nhà vật lý học người Mỹ nghiên cứu về tia X và đã tìm ra hiệu ứng mang tên mình năm 1923. Hiệu ứng Compton khẳng định rằng bức xạ điện từ có lưỡng tính sóng hạt, đó là một lý thuyết cơ bản của cơ học lượng tử. Ông được giải Nobel vật lý năm 1927
§ 4. Hiệu ứng Compton 15 tán xạ lên electron của tinh thể, năng lượng của sóng làm cho electron dao động và phát ra sóng điện từ có cùng bước sóng với sóng tới. Hiệu ứng Compton chỉ có thể giải thích trên quan điểm thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein. Coi chùm tia X tới không phải là sóng mà là một dòng hạt photon có năng lượng E = hν và xung lượng | ⃗p | = hν/c. Khi photon va chạm với một electron thì photon tới truyền một phần năng lượng của mình cho electron, do đó photon tán xạ có năng lượng E′ λ. Bây giờ ta sẽ tính độ dịch chuyển ∆λ của sóng tán xạ. Hình 1.4 chỉ sơ đồ va Hình 1.4: Tán xạ Compton của photon (năng lượng hν, xung lượng ⃗p) với electron tự do đứng yên. Sau va chạm photon bị tán xạ một góc θ với năng lượng hν′. chạm của một photon với một electron. Giả sử ban đầu electron đứng yên. Năng lượng và xung lượng của photon trước va chạm là E = hc/λ và p = h/λ, sau va chạm là E′ = hc/λ’ và p ′ = h/λ’. Năng lượng và xung lượng của electron 2 2 trước tán xạ là m0c và 0, sau tán xạ là mc và ⃗pe . Khi áp dụng định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng, ta được: hc hc ′ + m c2 = + mc2, (1.18) λ 0 λ′ ′ ⃗p = ⃗pe + ⃗p . (1.19)
16 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử Từ (1.18) ta được: h2c2 2h2c2 (mc2)2 = (λ2 + λ′2) − 2 ′2 ′ λ λ λλ (1.20) 2hm c3 + 0 (λ − λ′) + (m c2)2. λλ′ 0 Biểu thức (1.19) cho ta sơ đồ sau: ′ Vì ⃗pe = ⃗p − ⃗p , nên ta suy ra: 2 2 ′2 ′ h ′2 2 ′ ⃗pe⃗pe = p +p −2⃗p⃗p = (λ +λ −2λλ cos θ) e λ2λ′2 Mặt khác, theo thuyết tương đối: 2 2 mc = pec + m0c . Bình phương hai vế của hệ thức này rồi thay vào (1.20) ta được: 2 2 2 2 3 h c 2 ′2 2h c 2hm0c 2 2 (λ + λ ) − + + (m0c ) λ2λ′2 λλ′ λλ′ 2 2 h c ′2 2 ′ 2 2 = (λ + λ − 2λλ cos θ) + (m0c ) , λ2λ′2 do đó: ′ λ − λ = ∆λ = (h/m0c)(1 − cos θ). Như vậy, công thức (1.17) đã được chứng minh trên cơ sở xem chùm tia X là một dòng hạt photon. Độ dịch chuyển Compton ∆λ chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ θ mà không phụ thuộc vào bước sóng của bức xạ tới. Ví dụ 4.1 Chứng minh rằng trường hợp tán xạ không đàn hồi giữa electron và photon thì photon không bị hấp thụ do định luật bảo toàn năng - xung lượng. Lời giải: Giả sử trước va chạm electron đứng yên. Định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng có dạng: ~ω + E0 = E(p), (1.21) ~ω = p, (1.22) c
§ 5. Giả thuyết De Broglie - Tính chất sóng của hạt vật chất 17 2 trong đó E0 = mec là năng lượng nghỉ của electron. Năng lượng của electron chuyển động có dạng: √ 2 2 2 E(p) = c mec + p . (1.23) Bình phương hai vế của (1.21), (1.22) và để ý đến (1.23), ta được: 2 2 2 2 2 ~ ω + 2mec ~ω = c p , (1.24) ~2ω2 = c2p2. (1.25) Khi me ≠ 0 thì hai biểu thức này mâu thuẩn nhau. Vì vậy ta có thể kết luận rằng tán xạ không đàn hồi giữa một photon và một electron tự do là không xảy ra, nghĩa là electron tự do không thể hấp thụ photon. § 5 GIẢ THUYẾT DE BROGLIE - TÍNH CHẤT SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT 5.1 LƯỠNG TÍNH SÓNG HẠT CỦA ÁNH SÁNG Như vậy, ta có thể coi photon có các tính chất sau: không có khối lượng nghỉ, chuyển động với vận tốc ánh sáng, nó có thể tác dụng như là một hạt nhưng lại dịch chuyển như một sóng, nó có thể chịu sức hút của trọng lực mặc dầu không có khối lượng nghỉ. Một câu hỏi hắc búa khó trả lời nhất là ánh sáng thực ra là hạt hay sóng. Các hiện tượng thực nghiệm về giao thoa, nhiễu xạ cho thấy ánh sáng là sóng, trong lúc đó hiệu ứng quang điện và hiệu ứng Compton chứng tỏ rằng ánh sáng là hạt. Vì vậy ta phải đi đến kết luận rằng rằng ánh sáng không phải là hạt mà cũng không phải là sóng mà nó vừa là hạt vừa là sóng. Việc thể hiện tính chất hạt hoặc tính chất sóng phụ thuộc vào đối tượng mà ánh sáng tác dụng. Các thí nghiệm về giao thoa, nhiễu xạ phát hiện tính chất sóng, trong lúc thí nghiệm về hiện tượng quang điện phát hiện tính chất hạt của ánh sáng. Như vậy ta đi đến kết luận về lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng. Ta không thể nói bức tranh sóng hay bức tranh hạt là đúng mà cả hai đều cần thiết cho
18 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử việc mô tả đầy đủ các hiện tượng vật lý và trong thực tế chúng bổ sung cho nhau. 5.2 GIẢ THUYẾT DE BROGLIE VỀ SÓNG VẬT CHẤT Lưỡng tính sóng-hạt đã đề cập ở phần (5.1) liệu có phải chỉ là tính chất riêng của ánh sáng (sóng điện từ nói chung) hay đó là tính chất chung cho mọi đối tượng vật chất. Trong luận án tiến sĩ của mình năm 1924, De Broglie đã đưa ra một giả thuyết táo bạo rằng các hạt vật chất cũng có tính chất sóng4. Ông cho rằng một hạt vật chất bất kỳ khối lượng m chuyển động với xung lượng ⃗p thì tương ứng với một sóng có bước sóng λ, liên hệ với xung lượng theo hệ thức: h h λ = = . (1.26) |⃗p| mv Sau này ta gọi sóng tương ứng với hạt vật chất là sóng De Broglie và bước sóng trong công thức (1.26) được gọi là bước sóng De Broglie. Áp dụng công thức (1.26) ta có thể tính được bước sóng De Broglie ứng với các vật khác nhau, ví dụ: (1) Chiếc xe khối lượng 1000 kg, chuyển động với vận tốc 100 m/s thì bước sóng De Broglie là 6, 6 × 10−39 m. (2) Viên đạn khối lượng 10 g, vận tốc 500 m/s thì bước sóng De Broglie là 1, 3 × 10−34m. (3) Hạt bụi có khối lượng 10−6 g, vận tốc 1 cm/s thì λ = 6, 6 × 10−23 m. √ (4) Electron có năng lượng 1eV thì xung lượng là p = 2mT = 5, 4 × 10−25 kgm/s, bước sóng De Broglie tương ứng là 1, 2 × 10−9 m = 1,2 nm. Ta nhận thấy rằng bước sóng tính ở 3 ví dụ đầu tiên có giá trị quá bé để có thể quan sát được bằng thực nghiệm. Chỉ có ở ví dụ 4 thì bước sóng electron có cùng bậc với khoảng cách các nguyên tử trong tinh thể nên ta có thể quan sát được bằng thực nghiệm nhờ hiện tượng nhiễu xạ electron lên tinh thể. 4De Broglie dược tặng giải Nobel Vật lý năm 1929 về công trình này và là người đầu tiên nhận giải Nobel nhờ luận án tiến sĩ.
§ 5. Giả thuyết De Broglie - Tính chất sóng của hạt vật chất 19 5.3 THÍ NGHIỆM KIỂM CHỨNG GIẢ THUYẾT DE BROGLIE Giả thuyết De Broglie về tính sóng của hạt vi mô được kiểm chứng nhờ hai thí nghiệm độc lập nhau, một của Davisson và Germer ở Mỹ (1926) 5 và một của G. P. Thomson ở Anh (1927)6. Davisson và Germer đã sử dụng sự nhiễu Hình 1.5: (a): Mô hình nhiễu xạ electron lên tinh thể. (b): Sơ đồ thí nghiệm Davisson-Germer: electron đập vào bề mặt tinh thể Nickel một góc ϕ, máy thu electron, đặt đối xứng với nguồn phát electron để đo số electron tán xạ. xạ của electron lên bề mặt tinh thể Nickel và quan sát được sự giao thoa của chùm electron phản xạ từ bề mặt tinh thể. Điều đó chứng tỏ electron có tính chất sóng, đồng thời thí nghiệm cũng đã tính được bước sóng của electron có giá trị cỡ 0, 167 nm (hình 1.5). Thomson đã nghiên cứu sự truyền electron qua một màng mỏng kim loại. Nếu electron xử sự như các hạt thì trên màn hứng chùm electron ló ta sẽ được một ảnh mờ. Nhưng trên thực tế Thomson đã thu được trên màn một hình ảnh nhiễu xạ, điều này chứng tỏ chùm electron đi qua màng kim loại có tính chất 5Davisson, Clinton Joseph (1881-1958), nhà vật lý người Mỹ đã có nhiều đóng góp trong việc nghiên cứu sự nhiễu xạ của electron lên tinh thể. Ông được giải Nobel Vật lý năm 1937 cùng với nhà vật lý người Anh G. P. Thomson 6Thomson, Sir George Paget (1892-1975), nhà vật lý người Anh, người đã chứng minh được tính chất sóng của electron và cùng Davisson chia giải Nobel năm 1937. Điều thú vị là G. P. Thomson, người chứng minh tính chất sóng của electron là con của J. J Thomson (Thomson, Sir Joseph John (1856-1940)), người chứng minh tính chất hạt của electron. Cả hai cha con đều được giải Nobel, cách nhau 31 năm.
20 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử sóng (hình 1.6). Hình 1.7 cho ta hình ảnh nhiễu xạ của electron so với nhiễu xạ tia X qua một tấm kim loại mỏng. Hình 1.6: Sơ đồ thí nghiệm Thomson. Hình 1.7: (a) Hình ảnh nhiễu xạ tia X qua một tấm nhôm mỏng. (b) Hình ảnh nhiễu xạ electron qua một tấm nhôm mỏng § 6 HÀM SÓNG CỦA HẠT VI MÔ - Ý NGHĨA THỐNG KÊ CỦA HÀM SÓNG 6.1 HÀM SÓNG CỦA HẠT TỰ DO Theo giả thuyết De Broglie, một hạt vật chất (mức độ vi mô) thì tương ứng với một sóng được mô tả bởi hàm sóng Ψ(⃗r, t). Một cách tổng quát Ψ(⃗r, t) là một hàm phức, đơn trị, liên tục của toạ độ không gian ⃗r và thời gian t. Việc tìm hàm sóng ứng với hạt vi mô là một nhiệm vụ cơ bản của cơ học lượng tử.
§ 6. Hàm sóng của hạt vi mô - Ý nghĩa thống kê của hàm sóng 21 Đối với một hạt chuyển động tự do khối lượng m, xung lượng ⃗p, năng lượng E = p2/2m thì sóng tương ứng là sóng phẳng đơn sắc được mô tả bởi hàm sóng dạng: ⃗ − i − Ψ(⃗r, t) = Aei(k⃗r ωt) = Ae ~ (⃗p⃗r Et), với ω = E/~;⃗k = ⃗p/~, (1.27) trong đó biên độ A của hàm sóng được xác định bởi A2 = |Ψ(⃗r, t)|2 = Ψ(⃗r, t)∗Ψ(⃗r, t). (1.28) Sóng có hàm sóng dạng (1.27) được gọi là sóng De Broglie cho hạt tự do. 6.2 Ý NGHĨA THỐNG KÊ CỦA HÀM SÓNG Theo cách giải thích của Born 7 thì bình phương môđun của hàm sóng tỉ lệ với mật độ xác suất tìm hạt tại điểm xác định bởi toạ độ ⃗r và ở thời điểm t. Gọi W là xác suất tìm hạt ở trong phần tử thể tích −−→ ∆V bao quanh điểm M có bán kính vectơ ⃗r = OM, lúc đó mật độ xác suất tìm hạt ρ được xác định như sau: ∆W dW ρ(⃗r, t) = lim = , ∆V →0 ∆V dV trong đó ∆W là xác suất tìm hạt trong phần tử thể Hình 1.8: Phần tử thể tích tích ∆V bao quanh điểm M (Hình 1.8). ∆V bao quang điểm M có bán kính vectơ ⃗r Theo giải thích của Born thì ta có: dW ρ(⃗r, t) = ∼ |Ψ(⃗r, t)|2. (1.29) dV 7Born, Max (1882-1970), sinh tại Ba Lan, học đại học tại Đức. Năm 1933 ông di cư qua Anh và làm việc tại đại học Cambridge. Ông có nhiều đóng góp trong việc nghiên cứu vật lý lý thuyết. Max Born chia giải Nobel cùng với Walter Bothe (Đức) năm 1954
22 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử 6.3 SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG Như vậy ta thấy rằng theo ý nghĩa thống kê của hàm sóng thì: ρ ∼ |Ψ(⃗r, t)|2. Ta có thể viết: ρ = C|Ψ(⃗r, t)|2. (1.30) Để đơn giản ta thường chọn hệ số C = 1. Lúc đó ρ = |Ψ(⃗r, t)|2. Xác suất tìm hạt trong toàn bộ không gian là: ∫ ∫ W = ρ(⃗r, t)dV = |Ψ(⃗r, t)|2dV. (1.31) V V Do xác suất này bằng đơn vị nên ta có điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng như sau: ∫ |Ψ(⃗r, t)|2dV = 1. (1.32) V Hàm sóng thỏa mãn điều kiện (1.32) được gọi là hàm sóng đã chuẩn hoá. Nếu hệ số C trong (1.30) khác đơn vị thì ta nói hàm sóng chưa được chuẩn hoá. Lúc đó điều kiện (1.32) trở thành ∫ ∫ W = ρ(⃗r, t)dV = C |Ψ(⃗r, t)|2dV = 1. (1.33) V V Từ đó: 1 C = ∫ . (1.34) | |2 V Ψ(⃗r, t) dV Như vậy, xác suất tìm hạt trong phần tử thể tích dV là: + trường hợp hàm sóng đã chuẩn hoá: dW = |Ψ(⃗r, t)|2dV ; (1.35) + trường hợp hàm sóng chưa chuẩn hoá: |Ψ(⃗r, t)|2dV dW = ∫ . (1.36) | |2 V Ψ(⃗r, t) dV
§ 6. Hàm sóng của hạt vi mô - Ý nghĩa thống kê của hàm sóng 23 6.4 ĐIỀU KIỆN TIÊU CHUẨN CỦA HÀM SÓNG Hàm sóng trong cơ lượng tử phải thỏa mãn các điều kiện sau: (1) Hàm sóng phải giới nội: đây là một yêu cầu để cho tích phân trong (1.32) hội tụ. (2) Hàm sóng phải đơn trị: điều đó có nghĩa là ứng với mỗi hàm sóng thì chỉ có một xác suất tìm hạt. (3) Hàm sóng phải liên tục: điều này ứng với việc định nghĩa mật độ xác suất ρ = |Ψ(⃗r, t)|2 là một hàm liên tục. (4) Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục: yêu cầu này được rút ra từ điều kiện của phương trình mà hàm sóng phải thỏa mãn (sẽ xét chi tiết ở chương IV). Ví dụ: 6.1: Một hạt chuyển động trên trục x ứng với hàm sóng: 2 2 Ψ(x, t) = Aeiωte−x /2a . Hãy xác định hệ số A từ điều kiện chuẩn hoá. Lời giải: Một cách tổng quát ta xem khoảng biến thiên của x là −∞ < x < +∞. Điều kiện chuẩn hoá là: ∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞ 2 2 2 2 1 = Ψ∗Ψdx = A2 e−iωte+iωte−x /a dx = A2 e−x /a dx. −∞ −∞ −∞ ∫ √ ∞ −αx2 Sử dụng tích phân Poisson I0 = −∞ e dx = (π/α), ta tính được: 1 A = √ √ . a π 1 − 2 2 Hàm sóng chuẩn hoá là: Ψ(x, t) = √ √ eiωte x /2a . a π Ví dụ: 6.2: Cho hàm sóng có dạng: e−iEt/~ Ψ(r, t) = C , r2
24 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử trong đó r ≥ R. Tính xác suất tìm hạt trong lớp cầu R ≥ r ≥ 2R. Lời giải: Ta sử dụng hệ toạ độ cầu, trong đó phần tử thể tích có dạng: dV = r2dr sin θdθdϕ. Điều kiện chuẩn hoá là: ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ r2 π 2π | |2 | |2 Ψ(r, t) dV = C 4 dr sin θdθ dϕ V ∫R r 0 0 ∞ 2 2 1 4πC = 4πC 2 dr = = 1. R r R √ Từ đó hằng số chuẩn hoá C là: C = R/4π. Xác suất tìm hạt trong lớp cầu R ≥ r ≥ 2R là: ∫ ∫ ( ) 2R 2R dr 1 1 1 | |2 2 − Ψ(r, t) 4πr dr = R 2 = R = . R R r R 2R 2 § 7 BÓ SÓNG Trong vật lý cổ điển, một hạt hoàn toàn định xứ trong trong gian, Vị trí và vận tốc của nó có thể xác định được đồng thời. Trong cơ lượng tử tính chất sóng của hạt được mô tả bởi hàm sóng. Tuy nhiên, hàm sóng không định xứ. Nếu hàm sóng triệt tiêu khắp nơi, ngoại trừ lân cận hạt hoặc lân cận “quỹ đạo cổ điển” của hạt thì ta có thể dùng nó để mô tả hạt. Điều này có nghĩa hạt định xứ bên trong một miền không gian nào đó có thể được mô tả bởi một sóng có biên độ lớn trong miền đó và bằng không ở bên ngoài miền đó. Một hàm sóng định xứ được gọi là bó sóng (wave packet). Như vậy, bó sóng gồm một nhóm các sóng có bước sóng khác nhau rất ít, có pha và biên độ được chọn sao cho chúng tạo ra các cực đại giao thoa ở một miền nhỏ của không gian và cực tiểu giao thoa ở những nơi khác. Vì vậy để mô tả vị trí của hạt vi mô ta dùng khái niệm bó sóng.
§ 7. Bó sóng 25 7.1 BÓ SÓNG ĐỊNH XỨ Bó sóng định xứ có thể được tạo ra bằng cách chồng chất các sóng có bước sóng gần nhau ở trong cùng một miền không gian. Về mặt toán học, sự chồng chất này có thể được biểu diễn bằng phép biến đổi Fourier. Ta xét trường hợp bó sóng biểu diễn hạt chuyển động một chiều theo trục x. Bó sóng ta xét là chồng chất của các sóng phẳng đơn sắc: ∫ ∞ Ψ(x, t) = ϕ(k)ei(kx−ωt)dk. (1.37) −∞ Trước hết ta xét bó sóng tại thời điểm t=0, ∫ ∞ 1 ikx Ψ(x, 0) ≡ ψ0(x) = √ ϕ(k)e dk, (1.38) 2π −∞ trong đó ϕ(k) là biến đổi Fourier của ψ0(x), ∫ ∞ 1 −ikx ϕ(k) = √ ψ0(x)e dx. (1.39) 2π −∞ Hệ thức (1.38) và (1.39) chứng tỏ rằng ϕ(k) xác định ψ0(x) và ngược lại. Bó sóng (1.38) có dạng phụ thuộc vào x, có một cực đại tại x=0. Tương tự bó sóng (1.39) cũng có một cực đại tại k=0. Hình 1.9 chỉ một loại bó sóng tiêu biểu có tính định xứ. Ý nghĩa vật lý của bó sóng được giải thích như sau: Bình phương mô-đun của hàm ψ0(x) cho ta mật độ xác suất tìm hạt tại điểm x, trong lúc đó bình phương mô-đun của hàm ϕ(k) cho ta mật độ xác suất để đo độ lớn của vectơ sóng của hạt, đại lượng P (k)dk = |ϕ(k)|2dk cho ta xác suất tìm hạt có vectơ sóng nằm trong khoảng từ k đến k + dk. 7.2 BÓ SÓNG VÀ HỆ THỨC BẤT ĐỊNH 1. Hệ thức bất định Heisenberg Như đã đề cập ở phần 1 của chương này, các quy luật trong cơ học cổ điển có tính tất định, nghĩa là nếu ta biết được tọa độ ban đầu, vận tốc ban đầu và
26 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử 2 1/4 −x2/a2 ik x Hình 1.9: Hai sóng định xứ: (a) ψ0(x) = (2/πa ) e e 0 và (b) ϕ(k) = − 2 − 2 (a2/2πa2)1/4e a (k k0) /4. tất cả các lực tác dụng lên hạt thì ta sẽ xác định được vị trí và vận tốc của hạt tại một thời điểm t bất kỳ bằng định luật II Newton. Ngược lại với vật lý học cổ điển, trong thế giới vật lý vi mô, do hạt có tính chất sóng và được đặc trưng bởi một sóng không định xứ, nên hạt trải rộng trong không gian mà không định xứ được. Như vậy, khái niệm cổ điển về tọa độ chính xác, xung lượng chính xác và quỹ đạo xác định của hạt mất hết ý nghĩa trong cơ học lượng tử. Đây là bản chất của hệ thức bất định do Heisenberg đưa ra năm 1927. Hệ thức bất định Heisenberg chỉ ra rằng: “Nếu xung lượng của hạt đo được với một độ không chính xác (độ bất định) ∆px thì tọa độ của nó không thể đo chính xác hơn một lượng ∆x = ~/(2∆px)”. Trong trường hợp 3 chiều, hệ thức bất định Heisenberg được biểu diễn bởi: ~ ~ ~ ∆x∆p ≥ ; ∆y∆p ≥ ; ∆z∆p ≥ . (1.40) x 2 y 2 z 2 Ví dụ: a) Một neutron chuyển động với vận tốc 5 × 106m/s thì độ bất định về vận tốc là: ~ ~ 1, 05 × 10−34 Js ∆x ≥ ≃ = = 6, 4 × 10−15 m. −27 6 −1 2∆px 2mnv 2 × 1, 65 × 10 kg × 5 × 10 ms Độ bất định này tương ứng với kích thước của hạt nhân.
§ 7. Bó sóng 27 b) Một người khối lượng 50 kg chuyển động với vận tốc 2 m/s thì độ bất định về vị trí là ~ ~ 1, 05 × 10−34 Js ≥ ≃ × −36 ∆x = −1 = 0, 5 10 m 2∆px 2mnv 2 × 50 kg × 2 ms Độ lớn của ∆x trong trường hợp nhỏ đến mức vượt quá mọi sự đo đạc của con người, vì vậy có thể bỏ qua. Vì vậy, ta có thể nói rằng độ bất định về tọa độ và xung lượng chỉ quan trọng đối với hạt vi mô. 2. Bó sóng và hệ thức bất định Ta sẽ chứng minh rằng độ rộng của bó sóng ψ0(x) và độ rộng của biên độ ϕ(k) của nó không độc lập nhau và phụ thuộc tỉ lệ nghịch với nhau. Điều này liên quan trực tiếp đến hệ thức bất định Heisenberg (1.40). Để đơn giản ta chọn bó sóng có dạng Gauss như sau: ( ) ( ) 1/4 2 1/4 2 − 2 2 a − 2 − ψ (x) = e x /a eik0x, ϕ(k) = e a (k k0)/4. (1.41) 0 πa2 2π 2 2 Như đã chỉ ở Hình 1.9, đồ thị |ψ0(x)| cực đại tại x=0, đồ thị |ϕ(k)| cực đại tại k = k0. Ta định nghĩa nửa độ rộng ∆x và ∆k tương ứng với nửa cực đại của 2 đường cong này. Như vậy, khi x thay đổi từ 0 đến ±∆x và k thay đổi từ 2 2 −1/2 k0 đến k0 ± ∆k thì các hàm |ψ0(x)| và |ϕ(k)| giảm một lượng e : | ± |2 | ± |2 ψ( ∆x, 0) −1/2 ϕ(k0 ∆k) −1/2 2 = e , 2 = e . (1.42) |ψ(0, 0)| |ϕ(k0)| Kết hợp hệ thức trên với (1.41), ta được: e−2∆x2/a2 = e−1/2e−a2∆k2/2 = e−1/2, hay a 1 ∆x = , ∆k = . (1.43) 2 a Vì vậy 1 ∆x∆k = , vì ∆k = ∆p /~ nên ∆x∆p = ~/2. (1.44) 2 x x Hệ thức này cho thấy rằng nếu độ rộng của bó sóng trong không gian tọa độ là bé thì trong không gian xung lượng độ rộng này lớn và ngược lại. So sánh
28 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử hệ thức này với hệ thức bất định Heisenberg (1.40) ta thấy rằng bó sóng dạng Gauss cho một đẳng thức mà không phải là bất đẳng thức. Thực ra, hệ thức (1.44) là giới hạn thấp nhất của bất đẳng thức Heisenberg (1.40). Tất cả các dạng bó sóng khác cho giá trị lớn hơn của tích ∆x∆px. Như vậy có thể kết luận rằng giá trị của độ bất định của tọa độ và xung lượng phụ thuộc vào dạng của bó sóng, trong đó dạng bó sóng Gauss có giá trị thấp nhất. 7.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA BÓ SÓNG Bây giờ ta sẽ khảo sát sự thay đổi của bó sóng theo thời gian Ψ(x, t) khi biết bó sóng ban đầu Ψ(x, 0) hoặc biên độ ϕ(k). Muốn vậy, ta phải tính tích ∫ phân ϕ(k)ei(kx−ωt)dk trong (1.37), trong đó ta phải xác định tần số ω và biên độ ϕ(k). Ta sẽ thấy rằng dạng của bó sóng phụ thuộc chủ yếu vào sự phụ thuộc của tần số vào số sóng (ω(k)). 1. Sự truyền của bó sóng trong trường hợp không biến dạng Ta xét trường hợp không tán sắc khi tần số ω = v0k. Bó sóng (1.37) trở thành: ∫+∞ 1 − Ψ(x, t) = √ ϕ(k)eik(x v0t)dk. (1.45) 2π −∞ So sánh với biểu thức (1.38) ta được: Ψ(x, t) = ψ0(x − v0t); (1.46) Từ (1.46) ta thấy dạng của bó sóng tại thời điểm t giống như tại thời điểm ban đầu. Như vậy bó sóng chuyển động với vận tốc không đổi mà không bị biến dạng. Bây giờ ta xét trường hợp có sự tán sắc của môi trường, nghĩa là sóng có tần số khác nhau có vận tốc khác nhau. Giả sử rằng biên độ ϕ(k) cực đại tại k = k0 thì ϕ(k) = g(k − k0) khác không trong miền ∆k = k − k0. Thực hiện
§ 7. Bó sóng 29 khai triển Taylor tần số ω theo số sóng k tại lân cận của k0, ta được: 2 dω(k) 1 2 d ω(k) ω(k) = ω(k0) + (k − k0) + (k − k0) + ··· dk 2 dk2 k=k0 k=k0 (1.47) 2 = ω(k0) + (k − k0)vg + (k − k0) α + ··· , 2 dω 1 d ω trong đó vg = dk và α = 2 dk2 . k=k0 k=k0 Thay (1.47) vào (1.37) với ϕ(k) = g(k − k0), ta được: ∫+∞ 1 2 ik0(x−vpht) i(k−k0)(x−vgt) −i(k−k0) αt+··· Ψ(x, t) = √ e g(k − k0)e e dk, (1.48) 2π −∞ trong đó vph = ω(k)/k là vận tốc pha và vg = ω(k)/dk là vận tốc nhóm. Vận tốc − pha là vận tốc truyền pha của một sóng điều hòa đơn eik0(x v)pht, vận tốc nhóm là vận tốc chuyển động của nhóm các sóng tạo nên bó sóng. Việc tính dạng của bó sóng Ψ(x, t) ở biểu thức (1.48) phụ thuộc vào giới hạn các số hạng khai triển trong biểu thức (1.47). Nếu giới hạn ở số hạng tuyến tính (k − k0)vgt ta sẽ có trường hợp phép gần đúng tuyến tính. Nếu giới hạn ở số 2 hạng bậc hai (k − k0) αt ta được phép gần đúng bậc hai. a) Phép gần đúng tuyến tính: Bó sóng (1.48) trở thành: ∫ 1 +∞ ik0(x−vpht) i(k−k0)(x−vgt) Ψ(x, t) = √ e g(k − k0)e dk. (1.49) 2π −∞ Biểu thức này được viết lại như sau: ik0(x−vpht) −ik0(x−vgt) Ψ(x, t) = e ψ0(x − vgt)e , (1.50) trong đó ψ0 là bó sóng ban đầu ∫ 1 +∞ i(x−vgt)q+ik0(x−vgt) ψ0(x − vgt) = √ g(q)e dq, (1.51) 2π −∞ trong đó ta đã đặt q = k − k0. Biểu thức (1.50) cho ta điều kiện: 2 2 |Ψ(x, t)| = |ψ0(x − vgt| (1.52)
30 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử Hệ thức (1.50) và (1.52) biểu diễn bó sóng có đỉnh chuyển động với vận tốc nhóm vg, trong lúc đó các sóng thành phần dịch chuyển bên trong hình bao với vận tốc pha vph. Như vậy vận tốc nhóm đại diện cho vận tốc của hạt. Từ hệ thức (1.50) ta thấy rằng kích thước của bó sóng không thay đổi trong quá trình truyền sóng, nghĩa là bó sóng lan truyền trong không gian mà không bị biến dạng. 2. Sự truyền của bó sóng trong trường hợp biến dạng 2 Bây giờ ta giới hạn ở số hạng bậc hai, (k − k0) αt, trong hàm e mũ của biểu thức (1.48). Điều này dẫn đến − Ψ(x, t) = eik0(x vpht)f(x, t), (1.53) trong đó f(x, t) biểu diễn hình bao của bó sóng, được cho bởi biểu thức: ∫ +∞ 1 − − 2 f(x, t) = √ g(q)eiq(x vgt)e iq αtdq, (1.54) 2π −∞ với q = k − k0. Giả sử ta xét bó sóng Gauss có biên độ được cho bởi biểu thức: 2 1/4 2 2 ϕ(k) = (a /2π) exp[−a (k − k0) /4], độ rộng ban đầu của bó sóng là ∆x0 = a/2 và ∆k = ~/a. Thay ϕ(k) vào (1.53), ta được ( ) ∫ [ ( ) ] 1 a2 1/4 +∞ a2 ik0(x−vpht) 2 Ψ(x, t) = √ e exp iq(x − vgt) − + iαt q dq. 2π 2π −∞ 4 (1.55) Từ (1.55) ta tính được mật độ phân bố của bó sóng: { } 1 (x − v t)2 |Ψ(x, t)|2 = √ exp − g , (1.56) 2π∆x(t) 2[∆x(t)]2 trong đó ∆x(t) là độ rộng của bó sóng tại thời điểm t: √ √ 2 2 2 a 16α 2 α t ∆x(t) = 1 + 4 t = ∆x0 1 + 4 . (1.57) 2 a (∆x0)
§ 8. Tóm tắt Chương 1 31 √ 2 2 4 Ta thấy độ rộng của bó sóng sau thời gian t tăng lên một thừa số 1 + α t /(∆x0) so với giá trị ban đầu ∆x0 = a/2. Tóm lại, một hạt định xứ tại một nơi nào đó trong không gian được biểu diễn không phải bởi một sóng De Broglie đơn giản có tần số và bước sóng xác định mà bằng một bó sóng. Hình bao của bó sóng di chuyển với vận tốc nhóm. Vận tốc của hạt thì bằng vận tốc nhóm của bó sóng tương ứng với hạt đó. § 8 TÓM TẮT CHƯƠNG 1 • Sự khủng hoảng ở miền tử ngoại khi nghiên cứu bức xạ nhiệt dẫn đến sự ra đời của thuyết lượng tử năng lượng của Planck. Đây là lý thuyết đầu tiên của vật lý đề cập đến tính gián đoạn của các đại lượng động lực • Thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein ra đời nhằm giải quyết sự bế tắc của vật lý học cổ điển về việc giải thích hiện tượng quang điện, trong đó khái niệm hạt ánh sáng (photon) đóng vai trò rất quan trọng trong nghiên cứu tương tác bức xạ với vật chất. • Việc nghiên cứu bức xạ nhiệt, hiệu ứng quang điện và hiệu ứng Compton đưa đến việc đưa ra khái niệm lưỡng tính sóng-hạt của sóng điện từ. • Tính chất sóng của hạt vật chất được đặc trưng bởi một hàm sóng Ψ(⃗r, t). Hàm sóng này phải thoả mãn các điều kiện tiêu chuẩn, đó là đơn trị, liên tục và giới nội và thường được chuẩn hóa. • Một hạt định xứ được biểu diễn bằng một bó sóng, là chồng chất của nhiều sóng đơn lẻ có bước sóng gần nhau. Khái niệm bó sóng liên quan đến độ bất định trong phép đo tọa độ và vận tốc của hạt vi mô, được phát biểu bởi Heisenberg năm 1927.
32 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử § 9 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1. Dùng công thức De Broglie hãy tính bước sóng kết hợp với: a) Viên bi khối lượng 0,01 kg chuyển động với vận tốc 10 m/s b) Hạt electron có năng lượng 1 MeV c) Electron có vận tốc 108 cm/s 2. Một hạt khối lượng m bị buộc phải chuyển động trên một đoạn thẳng dài L. Dựa vào tính chất sóng của hạt, chứng minh rằng hạt đó chỉ có thể có các giá trị năng lượng gián đoạn và tính các năng lượng đó. 3. Trạng thái của một hạt được mô tả bởi hàm sóng x2 ψ(x) = A exp [− + ikx] trong đóA, a, k là các hằng số. 2a2 a) Hãy xác định A từ điều kiện chuẩn hoá b) Hãy xác định x để mật độ xác suất tìm hạt có giá trị lớn nhất c) Tìm xác suất để hạt nằm trong khoảng từ −a đến +a trên trục x. Cho ∫ √ 1 −X2 biết tích phân: 0 e dX = 0, 42 π. 4. Tìm biến đổi Fourier đối với { A(a − |k|), |k| ≤ a ϕ(k) = 0, |k| > a, trong đó a là hằng số dương, A là thừa số chuẩn hoá cần phải xác định. 5. Tìm dạng Ψ(x, 0) của bó sóng tương ứng với sóng có dạng 2 2 ϕ(k) = A exp[−a (k − k0) /4], trong đó A là hệ số chuẩn hoá cần phải tìm. Tính xác suất tìm hạt trong miền −a/2 ≤ x ≤ a/2.
§ 9. Bài tập Chương 1 33 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 1. a) Dùng công thức λ = h/p = h/mv, tính ra λ = 6, 625.10−33m. b) Dùng các công thức của thuyết tương đối: 2 2 4 2 2 2 E = m0c + p c và E = m0c + T, ta suy ra √ 2m c2 h 1 p = (T/c) 1 + 0 ⇒ λ = √ , T 2m0T T 1 + 2 2m0c tính ra ta được λ = 8, 7.10−13 m. c) Vận tốc của electron v = 108 cm/s = 106 m/s ≪ c = 3.108 m/s. Đây là trường hợp phi tương đối tính. Tính ra, ta được: λ = 7, 27.10−10m 2. a) Hàm sóng tương ứng với hạt phải triệt tiêu khi x ≤ 0 và x ≥ L. b) ở bên trong đoạn [0, L] bước sóng phải thỏa mãn điều kiện: L = nλ/2. c) Từ công thức De Broglie: λ = h/p ⇒ p = h/λ = nh/2L d) Coi hạt ở trong miền đang xét không chịu tác dụng của ngoại lực. Năng lượng của hạt chính là động năng: 1 n2h2 E = T = mv2 = p2/2m ⇒ E = ; n = 1, 2, 3 2 n 8mL2 ∫∞ 3. a) Dùng điều kiện chuẩn hoá ψ∗ψdx = 1. Hay: −∞ ∫ ∞ 2 2 |A|2 e−x /a dx = 1 −∞ và tích phân Poisson ∫+∞ ∫ √ +∞ 2n −αx2 −αx2 π I2n = x e dx ⇒ I0 = e dx = , −∞ α −∞
34 Chương 1. Cơ sở vật lý của cơ học lượng tử 1 tính ra, ta được: A = √ √ . a π b) Mật độ xác suất tìm hạt ρ = |ψ|2 = A2e(−x2/a2). Khảo sát cực đại của dρ hàm số ρ(x) bằng cách lấy đạo hàm theo x rồi cho bằng 0 ( dx = 0), ta thấy ρ có cực đại khi x = 0. c) Xác suất tìm hạt trong khoảng [-a, +a] là: ∫+a 2 2 W = |A|2 e−x /a dx. −a Dùng phương pháp đổi biến số: đặt X = x/a, lúc đó tích phân trên trở thành: ∫ ∫ +1 +1 2 2 W = a|A|2 e−X dX = 2a|A|2 e−X dX −1 0 ∫1 √ Sử dụng tích phân: e−X2 dX = 0, 42 π, ta tính ra ta được: 0 W = 0, 84. +∫∞ 4. Sử dụng điều kiện chuẩn hoá: |ϕ(k)|2dk = 1. Tính ra ta được: A = √ −∞ 3/(2a3). Biến đổi Fourier của ϕ(k) là: +∫∞ ψ (x) = √1 ϕ(k)eikxdk 0 2π [−∞ ] √ ∫0 ∫a = √1 3 (a + k)eikxdk + (a − k)eikxdk 2π 2a3 [−a 0 ] √ ∫0 ∫a ∫a = √1 3 keikxdk − keikxdk + a eikxdk . 2π 2a3 −a 0 −a Tính ra ta được: ( ) 4 ax ψ (x) = sin2 . 0 x2 2 Đồ thị của hàm ϕ(k) và ψ0(x) được biểu diễn ở hình 1.10 5. Điều kiện chuẩn hoá: ∫+∞ ∫+∞ 2 2 2 − a (k−k )2 1 = |ϕ(k)| dk = |A| e 2 0 dk. −∞ −∞
§ 9. Bài tập Chương 1 35 Hình 1.10: Đồ thị của hàm ϕ(k) và ψ0(x) . Tính tích phân trên bằng cách đặt z = k−k0 và sử dụng tích phân Poisson, ta được: A = (a2/2π)1/4 . Bó sóng tương ứng với hàm ϕ(k) chuẩn hoá là: ∫+∞ ( ) ∫+∞ 2 1/4 1 1 a a2 2 ikx − (k−k0) +ikx ψ0(x) = √ ϕ(k)e dk = √ e 4 dk. 2π 2π 2π −∞ −∞ Để áp dụng được tích phân Poisson cho trường hợp này, ta biến đổi số hạng ở hàm e mũ như sau: [ ] a2 a ix 2 x2 − (k − k )2 + ikx = (k − k ) − − + ikx. 4 0 2 0 a a2 Ta sẽ tính được: ( )1/4 2 − 2 2 ψ (x) = e x /a eik0x, 0 πa2 ik0x trong đó e là pha của ψ0(x). Xác suất tìm hạt trong miền −a/2 ≤ x ≤ a/2 là: +∫a/2 √ +∫a/2 ∫+1 2 2 −2x2/a2 1 −X2/2 2 W = |ψ0(x)| dx = e dx = √ e dX ≃ . πa2 2π 3 −a/2 −a/2 −1
Chương 2 Cơ sở toán học của cơ học lượng tử § MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG • Mục tiêu của chương này là khảo sát các công cụ toán học cần thiết cho việc nghiên cứu cơ học lượng tử. Việc khảo sát này chỉ giới hạn ở những khái niệm cơ bản cần thiết để xây dựng nên cơ lượng tử, trong đó toán tử Hermite và không gian Hilbert là hai công cụ quan trong nhất. Ngoài ra, một số kiến thức cơ sở về xác suất và trị trung bình cũng được đề cập để làm cơ sở cho việc khảo sát tính chất thống kê trong cơ lượng tử. • Sau khi học xong chương này, sinh viên sẽ nắm được khái niệm không gian Hilbert và toán tử Hermite; giải được các bài toán liên quan đến phương trình trị riêng của toán tử, tính được các giao hoán tử cơ bản trong cơ học lượng tử. § 1 XÁC SUẤT VÀ TRỊ TRUNG BÌNH 1.1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Một biến cố ngẫu nhiên (random event) được định nghĩa là một hiện tượng, một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra. Chẳng hạn như việc tìm thấy phân tử A trong một bình chứa khí tại một thời điểm nào đó là một biến cố ngẫu nhiên. Các quan sát thực nghiệm liên quan đến các biến cố ngẫu nhiên được gọi là các phép thử (trial). Người ta định nghĩa xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là tỉ số giữa số lần thử n mà biến cố đã cho xuất hiện trên tổng số 36
§ 1. Xác suất và trị trung bình 37 lần thử N, với N đủ lớn: n w(A) = khi N đủ lớn. (2.1) N Về mặt toán học, ta có thể viết n w(A) = lim . (2.2) N→∞ N Theo định nghĩa (2.2), w(A) phải thỏa mãn điều kiện: 0 ≤ w(A) ≤ 1, (2.3) trong đó khi w = 0 thì biến cố không thể xảy ra, khi w = 1 thì biến cố chắc chắn xảy ra. 1.2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Một đại lượng có thể lấy các giá trị với các xác suất nhất định thì được gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến số ngẫu nhiên (random variable). Các đại lượng ngẫu nhiên có thể có giá trị gián đoạn hoặc liên tục. + Trường hợp đại lượng A có giá trị gián đoạn thì xác suất để khi đo A ta được một giá trị ak nào đó là nk wk(ak) = lim , (2.4) N→∞ N trong đó nk số lần đo được giá trị ak, N là tổng số lần đo. + Trong trường hợp đại lượng ngẫu nhiên A có giá trị liên tục thì ta chỉ nói đến mật độ xác suất để đại lượng A có một giá trị nhất định a nào đó, với định nghĩa như sau: ∆w dw ρ(a) = lim = , (2.5) ∆a→0 ∆a da trong đó ∆w là xác suất để A có giá trị trong khoảng từ a đến a + ∆a.
38 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử Hình 2.1: Minh hoạ về xác suất (a) và mật độ xác suất (b). 1.3 TRỊ TRUNG BÌNH TRONG PHÉP ĐO MỘT ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Giả sử biến ngẫu nhiên A có thể có: - Giá trị a1 với xác suất w1 (giá trị a1 xuất hiện n1 lần trong N lần thử), - Giá trị a2 với xác suất w2 (giá trị a2 xuất hiện n2 lần trong N lần thử), - Giá trị ak với xác suất wk (giá trị ak xuất hiện nk lần trong N lần thử). Ta định nghĩa giá trị trung bình trong phép đo đại lượng A là: a n + a n + a n + A = 1 1 2 2 3 3 (2.6) N Khi N → ∞ thì theo định nghĩa ở (2.4), (2.6) trở thành: ∑N A = akwk. (2.7) k=1 Nếu A có giá trị liên tục thì: ∫ A = aρ(a)da. (2.8) a Tích phân lấy trên toàn bộ miền biến thiên giá trị của A. Liên quan đến trị trung bình, người ta còn định nghĩa trị trung bình của bình phương của một biến ngẫu nhiên (trị toàn phương trung bình) như sau: ∑N 2 2 A = akwk. (2.9) k=1
§ 1. Xác suất và trị trung bình 39 Trong trường hợp A có giá trị liên tục thì: ∫ A2 = a2ρ(a)da. (2.10) a Một cách tổng quát ∑N ∫ n n n n A = ak wk, hoặc A = a ρ(a)da. (2.11) k=1 a 1.4 ĐỘ LỆCH RA KHỎI TRỊ TRUNG BÌNH Độ lệch ra khỏi giá trị trung bình trong phép đo một đại lượng ngẫu nhiên A được định nghĩa như sau: ¯ (∆A)k = ak − A đối với trường hợp A có giá trị gián đoạn ∆A = a − A¯ đối với trường hợp A có giá trị liên tục Như vậy, ta thấy độ lệch ra khỏi giá trị trung bình có thể dương, âm hoặc bằng không. Khi (∆A)k > 0 ta nói giá trị đo được ak lớn hơn giá trị trung bình, ngược lại khi (∆A)k < 0 ta nói giá trị đo được ak nhỏ hơn giá trị trung bình. ¯ Trường hợp (∆A)k = 0 ứng với khi đo A có giá trị chính xác ak = A. Điều cần lưu ý là nếu lấy giá trị trung bình của độ lệch thì ta được giá trị không (0). Thật vậy, ta xét trường hợp phổ liên tục: ∫ ∫ ∫ ∆A = a − A¯ = ρ(a)(a − A¯)da = ρ(a)da − A ρ(a)da = A¯ − A¯ = 0 a a a Bạn đọc có thể chứng minh tương tự trong trường hợp phổ gián đoạn. 1.5 TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BÌNH PHƯƠNG ĐỘ LỆCH Trị trung bình của bình phương độ lệch hay thăng giáng toàn phương trung bình (còn gọi là phương sai) trong phép đo đại lượng ngẫu nhiên A được định
40 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử nghĩa như sau (xét trường hợp phổ gián đoạn): ∑ ( ) 2 − ¯ 2 2 − ¯ ¯ 2 (∆A) = (ak A) = ak 2akA + (A) wk ∑ k∑ ∑ 2 − ¯ ¯ 2 = akwk 2A akwk + (A) wk k k k = A2 − 2(A¯)2 + (A¯)2 = A2 − (A¯)2 (2.12) Bạn đọc có thể chứng minh tương tự trong trường hợp phổ liên tục. § 2 KHÔNG GIAN HILBERT 2.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH Không gian tuyến tính (còn gọi là không gian vectơ) bao gồm tập hợp X mà các phần tử là các vectơ ψ, ϕ, χ, . . . và trường số K của các số vô hướng α, β, γ, . . . trong đó có trang bị hai phép tính: a) Phép cộng vectơ với vectơ: Tương ứng với hai vectơ ψ và ϕ của tập X là một phần tử của X được gọi là tổng của ψ và ϕ. Phép cộng toán tử thỏa mãn các tính chất sau: • ψ + ϕ = ϕ + ψ (tính chất giao hoán), • (ψ + ϕ) + χ = ψ + (ϕ + χ) (tính chất kết hợp), • ψ + 0 = ψ (phần tử trung hoà), • ψ + (−ψ) = 0 (phần tử đối). b) Phép nhân vectơ với một số vô hướng: Tương ứng với một phần tử ψ của tập V và một số α thuộc một trường số K là một phần tử αψ cũng thuộc tập hợp V. Phép nhân có các tính chất sau: • Phân bố đối với phép cộng: α(ψ + ϕ) = αψ + αϕ; (α + β)ψ = αψ + βψ,
§ 2. Không gian Hilbert 41 • Kết hợp đối với phép nhân với số vô hướng: α(βψ) = (αβ)ψ), • Đối với mỗi ψ tồn tại một số vô hướng bằng đơn vị và một số vô hướng bằng không sao cho: 1ψ = ψ và oψ = ψo = o. Như vậy, một tập V cùng với một trường số K có trang bị hai phép toán thoả mãn các tính chất như trên thì tạo thành một không gian tuyến tính. Nếu K là trường số thực thì ta có không gian tuyến tính thực, ngược lại nếu K là trường số phức ta có không gian tuyến tính phức. 2.2 KHÔNG GIAN HILBERT Không gian Hilbert là một không gian tuyến tính phức, trong đó có trang bị một tích vô hướng thỏa mãn các tính chất sau: 1. (ψ, ϕ)∗ = (ϕ, ψ), 2. (ψ, ϕ + χ) = (ψ, ϕ) + (ψ, χ), (2.13) 3. (αψ, βϕ) = α∗β(ψ, ϕ), 4. (ψ, ψ) ≥ 0 và chỉ bằng không khi ψ = 0. Tính chất 4 trong (2.13) được gọi là tính chất xác định dương của tích vô hướng. 2.3 KÝ HIỆU DIRAC Như đã trình bày ở Chương I, tính chất sóng của hạt vi mô được mô tả bởi một hàm sóng. Theo một tiên đề sẽ trình bày ở Chương III thì hàm sóng này là một phần tử của không gian Hilbert và thường được gọi là vectơ trạng thái. Dirac đã đưa ra các ký hiệu sau: - Vectơ trạng thái ψ được ký hiệu bằng |ψ⟩ và được gọi là vectơ ket, hoặc đơn giản là ket. Ket là các phần tử của không gian Hilbert H. Như vậy, tương ứng với một ket |ψ⟩ là một bra ⟨ψ| và ngược lại: a|ψ⟩ ↔ a∗⟨ψ|.
42 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử - Theo đại số tuyến tính thì tương ứng với không gian Hilbert H là không gian Hilbert đối ngẫu Hd. Các phần tử trong không gian đối ngẫu này được gọi là bra và lý hiệu là ⟨ψ|. Cần chú ý rằng nếu |ψ⟩ và |ϕ⟩ đều là phần tử của cùng một không gian Hilbert thì tích |ψ⟩|ϕ⟩ và ⟨ψ|⟨ϕ| không tồn tại. Tuy nhiên, nếu |ψ⟩ và |ϕ⟩ thuộc về hai không gian Hilbert khác nhau thì tích ⟨ψ|⟨ϕ| được viết dưới dạng ⟨ψ| ⊗ ⟨ϕ|, biểu diễn một tích tenxơ của |ψ⟩ và |ϕ⟩. Từ ký hiệu của Dirac về bra và ket, tích vô hướng trong không gian Hilbert được ký hiệu dưới dạng bra-ket như sau: (ψ, ϕ) → ⟨ψ|ϕ⟩. Trong trường hợp hàm sóng phụ thuộc toạ độ thì tích vô hướng có dạng: ∫ ⟨ψ|ϕ⟩ = ψ∗(⃗r, t)ϕ(⃗r, t)dV. (2.14) V Tích vô hướng này thoả mãn các tính chất như ở (2.13). Ta có thể giải thích ý nghĩa vật lý của tích vô hướng như sau: Tương tự như tích vô hướng của các vectơ trong không gian vectơ thông thường, trong đó A.⃗ B⃗ biểu diễn hình chiếu của vectơ B⃗ lên vectơ A⃗, tích vô hướng ⟨ψ|ϕ⟩ cũng biểu diễn hình chiếu của ϕ lên ψ. Nếu tích phân (2.14) phân kỳ thì tích vô hướng ⟨ψ|ϕ⟩ không tồn tại. Như vậy, ta phải chọn lựa hàm sao cho tích vô hướng hữu hạn. Một hàm như thế được gọi là hàm bình phương khả tích. Hàm trạng thái mà chúng ta đang xét là hàm bình phương khả tích thoả mãn điều kiện này nhờ điều kiện chuẩn hoá: ∫ ⟨ψ(⃗r, t)|ψ(⃗r, t)⟩ = |ψ(⃗r, t)|2dV = 1. (2.15) V 2.4 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 1. ⟨ψ|ϕ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩∗ 2. Đối với một vectơ |ψ⟩ bất kỳ thuộc không gian Hilbert, chuẩn (norm) ⟨ψ|ψ⟩ là thực và dương. Chuẩn ⟨ψ|ψ⟩ bằng không khi và chỉ khi |ψ⟩ = 0. Nếu |ψ⟩ là chuẩn hóa thì ⟨ψ|ψ⟩ = 1.
§ 2. Không gian Hilbert 43 3. Bất đẳng thức Schwarz: Với hai vectơ bất kỳ của không gian Hilbert, ta có thể chứng minh rằng: |⟨ψ|ϕ⟩|2 ≤ ⟨ψ|ψ⟩⟨ϕ|ϕ⟩. (2.16) Nếu |ψ⟩ và |ϕ⟩ phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là |ψ⟩ = α|ϕ⟩, với α là một vô hướng, thì bất đẳng thức này trở thành đẳng thức. Bất đẳng thức (2.16) tương tự như hệ thức sau đây trong không gian Euclide thực: |A.⃗ B⃗ |2 ≤ |A⃗|2|B⃗ |2. 4. Bất đẳng thức tam giác: Với hai vectơ bất kỳ của không gian Hilbert, ta có thể chứng minh rằng: √ √ √ ⟨ψ + ϕ|ψ + ϕ⟩ ≤ ⟨ψ|ψ⟩ + ⟨ϕ|ϕ⟩. (2.17) Nếu |ψ⟩ và |ϕ⟩ phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là |ψ⟩ = α|ϕ⟩, với α là một vô hướng, thì bất đẳng thức này trở thành đẳng thức. Bất đẳng thức (2.17) tương tự như hệ thức sau đây trong không gian Euclide thực: |A⃗ + B⃗ | ≤ |A⃗| + |B⃗ |. Ví dụ 2.1: Xét các trạng thái |ψ⟩ = 3i|ϕ1⟩ − 7i|ϕ2⟩ và |χ⟩ = −|ϕ1⟩ + 2i|ϕ2⟩, trong đó ϕ1 và ϕ2 thoả mãn điều kiện trực chuẩn. a) Tính |ψ + χ⟩ và ⟨ψ + χ|. b) Tính tích vô hướng ⟨ψ|χ⟩ và ⟨χ|ψ⟩ Lời giải a) |ψ + χ⟩ = |ψ⟩ + |χ⟩ = (3i|ϕ1⟩ − 7i|ϕ2⟩) + (−|ϕ1⟩ + 2i|ϕ⟩) = (−1 + 3i)|ϕ1⟩ − 5i|ϕ2⟩. Từ biểu thức này ta được ∗ ∗ ⟨ψ + χ| = (−1 + 3i) ⟨ϕ1| + (−5i) ⟨ϕ2| = (−1 − 3i)⟨ϕ1| + 5i⟨ϕ2|.
44 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử b) Vì ⟨ϕ1|ϕ1⟩=⟨ϕ2|ϕ2⟩ = 1, ⟨ϕ1|ϕ2⟩ = ⟨ϕ2|ϕ1⟩ = 0, nên tích vô hướng là: ⟨ψ|χ⟩ = (−3i⟨ϕ1| + 7i⟨ϕ2|)(−|ϕ1⟩ + 2i|ϕ2⟩) = (−3i)(−1)⟨ϕ1|ϕ1⟩ + (7i)(2i)⟨ϕ2|ϕ2⟩ = −14 + 3i, ⟨χ|ψ⟩ = (−⟨ϕ1| − 2i⟨ϕ2|)(3i|ϕ1⟩ − 7i|ϕ2⟩) = (3i)(−1)⟨ϕ1|ϕ1⟩ + (−7i)(−2i)⟨ϕ2|ϕ2⟩ = −14 − 3i. Ta thấy rằng ⟨ψ|χ⟩ chính là liên hiệp phức của ⟨χ|ψ⟩. 2.5 CHIỀU VÀ CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN HILBERT 1. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Ta gọi tập N vectơ khác không ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu nghiệm của phương trình ∑N aiϕi = 0 (2.18) i=1 là a1 = a2 = . . . aN = 0. Nếu tồn tại một tập các số vô hướng khác không sao cho một trong các vectơ của tập N (chẳng hạn ϕn) có thể biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác: ∑n−1 ∑N ϕn = aiϕi + aiϕi, (2.19) i=1 i=n+1 thì tập {ϕi} được gọi là phụ thuộc tuyến tính. 2. Chiều của không gian Chiều của không gian là số tối đa các vectơ độc lập tuyến tính thuộc không gian đó. Nếu số tố đa này là N thì ta nói không gian có N chiều. Trong không gian N chiều mọi vectơ ψ bất kỳ có thể khai triển thành tổ hợp tuyến tính: ∑N ψ = aiϕi. (2.20) i=1
§ 2. Không gian Hilbert 45 3. Cơ sở của không gian Ta định nghĩa cơ sở của không gian là tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính thuộc không gian đó. Ta ký hiệu tập các vectơ cơ sở ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN là {ϕi}. Để thuận tiện ta chọn các vectơ cơ sở thoả mãn các điều kiện sau: - Điều kiện trực chuẩn: Các vectơ cơ sở trực giao với nhau, nghĩa là tích vô hướng của chúng bằng không: ⟨ϕi|ϕj⟩ = 0. - Điều kiện chuẩn hoá: Mỗi vectơ cơ sở có chuẩn bằng đơn vị: ⟨ψi|ψi⟩ = 1. Hai điều kiện này được gộp lại thành một và được gọi là điều kiện trực chuẩn, thoả mãn hệ thức: ⟨ϕi|ϕj⟩ = δij, (2.21) trong đó δij là ký hiệu Kronecker, được định nghĩa như sau: { 1 khi i = j δij = (2.22) 0 khi i ≠ j Ví dụ 2.2: Tập các vectơ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? (a) A⃗ = (3, 0, 0), B⃗ = (0, −2, 0), C⃗ = (0, 0, −1) (2.23) (b) A⃗ = (6, −9, 0), B⃗ = (−2, 3, 0). Lời giải (a) Ba vectơ A⃗ = (3, 0, 0), B⃗ = (0, −2, 0), C⃗ = (0, 0, −1) là độc lập tuyến tính, vì ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a1A + a2B + a3C = 0 ⇒ 3a1⃗i − 2a2⃗j − a3k = 0 nên 3a1 = 0, −2a2 = 0, −a3 = 0, suy ra a1 = a2 = a3 = 0. (b) Hai vectơ A⃗ = (6, −9, 0), B⃗ = (−2, 3, 0) là phụ thuộc tuyến tính, vì ⃗ ⃗ nghiệm của a1A + a2B = 0 ⇒ (6a1 − 2a2)⃗i + (−9a1 + 3a2)⃗j = 0 là a1 = a2/3. Như vậy A⃗ = −3B⃗ .
46 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử § 3 TOÁN TỬ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 3.1 KHÁI NIỆM TOÁN TỬ Trong toán học, ta định nghĩa toán tử là một phép toán tác dụng lên một hàm nào đó và biến hàm này thành hàm khác. Ta gọi Aˆ là toán tử tác dụng lên hàm ψ và biến hàm này thành hàm ϕ, điều này được biểu diễn bằng phương trình: Aψˆ = ϕ. (2.24) Nếu sử dụng ký hiệu Dirac thì ta có thể viết: Aˆ|ψ⟩ = |ϕ⟩. (2.25) Trong giáo trình này toán tử được ký hiệu bằng dấu (∧) ở trên đầu. Nếu phép toán là phép nhân thông thường thì không cần dấu (∧), ví dụ: ϕ(x) =xψ ˆ (x) ≡ xψ(x). 3.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TOÁN TỬ 1. Tổng của hai toán tử Ta gọi Sˆ là tổng của toán tử Aˆ và Bˆ nếu ta có: Sψˆ = (Aˆ + Bˆ)ψ = Aψˆ + Bψˆ (2.26) 2. Tích của hai toán tử và Giao hoán tử Toán tử Πˆ được gọi là tích của 2 toán tử Aˆ và Bˆ khi ta có: Πˆψ = (AˆBˆ)ψ = Aˆ(Bψˆ ) (2.27) Phép nhân toán tử có tính kết hợp, nghĩa là: Aˆ(BˆCˆ) = (AˆBˆ)Cˆ. Nói chung tích của 2 toán tử không có tính giao hoán, nghĩa là trong phép nhân toán tử thứ tự của toán tử là quan trọng, tích AˆBψˆ không nhất thiết phải bằng BˆAψˆ . Tuy nhiên, ta chú ý đến một trường hợp riêng khi (AˆBˆ)ψ = (BˆAˆ)ψ nghĩa là
§ 3. Toán tử trong cơ học lượng tử 47 (AˆBˆ − BˆAˆ) = 0. Lúc đó ta nói hai toán tử Aˆ và Bˆ giao hoán với nhau. Ta ký hiệu: AˆBˆ − BˆAˆ = [A,ˆ Bˆ] (2.28) và được gọi là giao hoán tử của Aˆ và Bˆ. Khi [A,ˆ Bˆ] ≠ 0 thì Aˆ và Bˆ không giao hoán, ngược lại khi [A,ˆ Bˆ] = 0 thì Aˆ và Bˆ giao hoán. Có thể chứng minh các tính chất sau của giao hoán tử [A,ˆ Bˆ]: (1) Phản đối xứng: [A,ˆ Bˆ] = −[B,ˆ Aˆ], (2) Giao hoán với một số vô hướng a: [A,ˆ a] = 0, (3) Phân phối đối với phép cộng: [Aˆ + B,ˆ Cˆ] = [A,ˆ Cˆ] + [B,ˆ Cˆ], (4) Phân phối đối với phép nhân: [AˆB,ˆ Cˆ] = [A,ˆ Cˆ]Bˆ + Aˆ[B,ˆ Cˆ], (5) Đồng nhất Jacobi: [A,ˆ [B,ˆ Cˆ]] + [B,ˆ [C,ˆ Aˆ]] + [C,ˆ [A,ˆ Bˆ]] = 0. Ví dụ 3.1: d Toán tử Aˆ = x và Bˆ = có giao hoán không? dx Lời giải: + Ta lần lượt cho tích AˆBˆ rồi BˆAˆ tác dụng lên hàm ψ(x): dψ(x) AˆBψˆ (x) = x , dx d dψ(x) BˆAψˆ (x) = (xψ(x)) = ψ(x) + x . dx dx Trừ hai biểu thức này vế theo( vế ta được: ) dψ(x) dψ(x) (AˆBˆ − BˆAˆ)ψ(x) = x − ψ(x) + x = −ψ(x). dx dx ˆ ˆ − d Như vậy: [A, B] = 1, điều đó có nghĩa là 2 toán tử x và dx không giao hoán. 3.3 HÀM RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ Nếu tác dụng của toán tử Aˆ lên hàm ψ chỉ đơn giản là phép nhân hàm này cho một số vô hướng a: Aψˆ = aψ. (2.29) Lúc đó ta nói rằng ψ là hàm riêng của toán tử Aˆ, còn a là trị riêng của Aˆ. Tập hợp các trị riêng của Aˆ được gọi là phổ trị riêng. Phương trình (2.29) được gọi
48 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử là phương trình cho trị riêng và hàm riêng của toán tử hay gọi tắt là phương trình trị riêng. Ta phân biệt hai trường hợp: a) Phổ trị riêng của Aˆ là gián đoạn, nghĩa là có các giá trị khả dĩ a1, a2 aN , lúc đó phương trình (2.29) có thể viết như sau: Aψˆ i = aiψi, chỉ số i lấy một trong các giá trị 1, 2, 3 . . , N (2.30) b) Phổ trị riêng của Aˆ là liên tục, nghĩa là a có giá trị biến thiên liên tục, lúc đó phương trình (2.29) trở thành: ˆ Aψa = aψa. (2.31) Trong trường hợp này ta nói hàm riêng phụ thuộc vào trị riêng như một thông số. Ví dụ 3.2: a) Giả sử rằng f(x) và g(x) là hai hàm riêng của toán tử Aˆ với trị riêng a. Chứng tỏ rằng một tổ hợp tuyến tính bất kỳ của f(x) và g(x) cũng là hàm riêng của Aˆ với cùng trị riêng a. b) Kiểm tra rằng f(x) = exp(x) và g(x) = exp(-x) là hàm riêng của toán tử d2/dx2 với cùng một trị riêng. Hãy xây dựng hai tổ hợp tuyến tính của f và g là hàm trực giao trong khoảng (-1,1). Lời giải: a) Giả sử: Afˆ (x) = af(x) và Agˆ (x) = ag(x). Đặt h(x) = αf(x) + βg(x), ta được Ahˆ (x) = Aˆ(αf + βg) = α(Afˆ ) + β(Agˆ ) = α(af) + β(ag) = a(αf + βg) = ah. b) Ta có: d2f d2 d = (ex) = (ex) = ex = f = 1.f, dx2 dx2 dx d2g d2 d = (e−x) = (e−x) = e−x = g = 1.g. dx2 dx2 dx
§ 3. Toán tử trong cơ học lượng tử 49 Như vậy cả hai hàm exp(x) và exp(−x) đều là hàm riêng của toán tử d2/dx2 với trị riêng đều bằng 1. Tổ hợp tuyến tính trực giao đơn giản nhất là: 1 1 1 1 sinh x = (ex − e−x) = (f − g) và cosh x = (ex + e−x) = (f + g). 2 2 2 2 3.4 SỰ SUY BIẾN CỦA TRỊ RIÊNG Ta khảo sát một trường hợp quan trọng khi xét bài toán trị riêng của toán tử. Nếu một hàm riêng chỉ ứng với một trị riêng thì ta nói toán tử Aˆ có trị riêng không suy biến. Trường hợp ngược lại nếu một trị riêng tương ứng với s > 1 hàm riêng thì ta nói Aˆ có trị riêng suy biến, s được gọi là bậc (bội) suy biến. ˆ Trong trường hợp toán tử A có trị riêng ai suy biến thì phương trình (2.30) được viết lại như sau: Aψˆ if = aiψif , với f = 1, 2, 3 s. (2.32) 3.5 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH Toán tử Aˆ được gọi là tuyến tính nếu và chỉ nếu, với mọi vectơ ψ1 và ψ2 thuộc không gian Hilbert và các số phức bất kỳ c1 và c2, ta có: ∑ ∑ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A(c1ψ1 + c2ψ2) = c1Aψ1 + c2Aψ2; hay tổng quát hơn A ciψi = ciAψi i i Ví dụ, ta có thể chứng minh toán tử đạo hàm “d/dx” là toán tử tuyến tính, các toán tử “log”, “ exp ” không phải là toán tử tuyến tính. 3.6 TOÁN TỬ HERMITE a) Toán tử liên hợp Hermite: Toán tử Aˆ† 1 gọi là liên hợp Hermite với toán tử Aˆ nếu và chỉ nếu, với hai 1Dấu được † được gọi là dấu dag, từ chữ dagger của tiếng Anh, nghĩa tiếng Việt là dao găm, dấu chữ thập
50 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử hàm bất kỳ ψ và ϕ trong không gian không gian Hilbert ta có: ∫ ∫ ψ∗AϕdVˆ = (Aˆ†ψ)∗ϕdV. (2.33) V V Nếu viết theo ký hiệu Dirac thì: ⟨ψ|Aϕˆ ⟩ = ⟨Aˆ†ψ|ϕ⟩ (2.34) g Cần lưu ý: Aˆ† = (Aˆ∗), trong đó dấu (∼) chỉ sự chuyển vị (chỉ xét trong trường hợp toán tử được biểu diễn dưới dạng ma trận). Các tính chất của toán tử liên hợp Hermite: (Aˆ†)† = A,ˆ (2.35) (aAˆ†)† = a∗Aˆ†, (2.36) (Aˆn)†) = (Aˆ†)n, (2.37) (Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ)†) = Aˆ† + Bˆ† + Cˆ† + Dˆ †, (2.38) (AˆBˆCˆDˆ)†) = Dˆ †Cˆ†Bˆ†Aˆ†, (2.39) (AˆBˆCˆDˆ|ψ⟩)†) = ⟨ψ|Dˆ †Cˆ†Bˆ†Aˆ†. (2.40) b) Toán tử tự liên hợp (toán tử Hermite): Aˆ được gọi là toán tử tự liên hợp hay toán tử Hermite khi Aˆ† = Aˆ. Như vậy, điều kiện để toán tử Aˆ là toán tử Hermite xuất phát từ (2.33) là: ∫ ∫ ψ∗AϕdVˆ = (Aψˆ )∗ϕdV hay ⟨ψ|Aϕˆ = ⟨Aψˆ |ϕ⟩ (2.41) V V Ví dụ 3.3: d d Toán tử và toán tử i có phải là toán tử Hermite không? dx dx Lời giải: d a) Nếu toán tử là toán tử Hermite thì ta có hệ thức: dx ∫ ∫ +∞ d +∞ d ψ∗ ϕdx = ψ∗ϕdx. (2.42) −∞ dx −∞ dx
§ 3. Toán tử trong cơ học lượng tử 51 Ta biến đổi vế trước bằng cách sử dụng tích phân từng phần: ∫ ∞ ∫ ∞ + dϕ +∞ + dψ∗ ψ∗ dx = ψ∗ϕ − ϕ dx. −∞ dx −∞ −∞ dx +∞ Vì hàm sóng triệt tiêu ở vô cùng nên số hạng ψ∗ϕ = 0, từ đó −∞ ∫ ∫ +∞ dϕ +∞ dψ∗ ψ∗ dx = − ϕ dx. (2.43) −∞ dx −∞ dx So sánh (2.43)với (2.42), ta thấy toán tử d/dx không phải là toán tử Hermite. d b) Nếu toán tử i là toán tử Hermite thì ta có hệ thức: dx ∫ ∫ +∞ d +∞ d ψ∗(i )ϕdx = (i ψ)∗ϕdx. (2.44) −∞ dx −∞ dx Vế trước của (2.44) là: ∫ ∫ +∞ dϕ +∞ dϕ ψ∗(i )dx = i ψ∗ dx. −∞ dx −∞ dx Tích phân ở vế sau của (2.44) chính là vế trước của (2.42). Biến đổi tương tự như phần a) ta được: ∫ ∫ ∫ +∞ dϕ +∞ dψ∗ +∞ dϕ ψ∗(i )dx = −i ϕ dx = (i ψ)∗dx. (2.45) −∞ dx −∞ dx −∞ dx d Như vậy, toán tử i là toán tử Hermite. dx Ví dụ 3.4: a) Chứng minh rằng tổng của hai toán tử Hermite là toán tử Hermite b) Giả sử Aˆ là toán tử Hermite và α là một số phức. Với điều kiện nào thì của α thì αAˆ là Hermite? c) Khi nào thì tích hai toán tử Hermite là Hermite d) Chứng tỏ rằng toán tử tọa độ (xˆ = x) và toán tử Hamilton Hˆ = −(~2/2m)d2/dx2 + V (x) là Hermite. Lời giải:
52 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử a) Nếu toán tử tổng Aˆ + Bˆ là Hermite thì ta có hệ thức: ⟨ψ|Aˆ + Bˆ|ϕ⟩ = ⟨(Aˆ + Bˆ)ψ|ϕ⟩ Ta có: ⟨ψ|(Aˆ + Bˆ)ϕ⟩ = ⟨ψ|Aϕˆ ⟩ + ⟨ψ|Bϕˆ ⟩ = ⟨Aψˆ |ϕ⟩ + ⟨Bψˆ |ϕ⟩ = ⟨(Aˆ + Bˆ)ψ|ϕ⟩. Vậy tổng của 2 toán tử Hermite cũng là toán tử Hermite. b) Nếu toán tử αAˆ là Hermite thì ta có hệ thức: ⟨ψ|αAϕˆ ⟩ = ⟨(αAˆ)ψ|ϕ⟩ Ta có: ⟨ψ|αAϕˆ ⟩ = α⟨ψ|Aϕˆ ⟩ = α⟨Aψˆ |ϕ⟩ = ⟨α∗Aψˆ |ϕ⟩. Như vậy, để cho αAˆ là toán tử Hermite thì ta phải có α∗ = α, nghĩa là α là một số thực. c) Nếu toán tử tích AˆBˆ là Hermite thì ta có hệ thức: ⟨ψ|AˆBϕˆ ⟩ = ⟨(AˆBˆ)ψ|ϕ⟩. Vì Aˆ và Bˆ là toán tử Hermite nên: ⟨ψ|AˆBˆ|ϕ⟩ = ⟨Aψˆ |Bϕˆ ⟩ = ⟨BˆAψˆ |ϕ⟩. Như vậy để toán tử tích AˆBˆ là Hermite thì ta phải có AˆBˆ = BˆAˆ, nghĩa là hai toán tử Aˆ và Bˆ phải giao hoán với nhau. d) Để chứng tỏ toán tử tọa độ (xˆ = x) và toán tử Hamilton Hˆ = −(~2/2m)d2/dx2 + V (x) là Hermite ta chứng minh hai hệ thức sau: ⟨ψ|xϕˆ ⟩ = ⟨xψˆ |ϕ⟩ và ⟨ψ|Hϕˆ ⟩ = ⟨Hψˆ |ϕ⟩ Ta có: ⟨ψ|xϕˆ ⟩ = ⟨ψ|xϕ⟩ = ⟨xψ|ϕ⟩ = ⟨xψˆ |ϕ⟩. Vậy xˆ là toán tử Hermite. ∫ ( ) ∞ ~2 d2 ⟨ψ|Hϕˆ ⟩ = ψ∗ − + V ϕdx 2m dx2 −∞ ∫ ∫ ~2 ∞ 2 ∞ − ∗ d ϕ ∗ = ψ 2 dx + ψ V ϕdx. 2m −∞ dx −∞
§ 3. Toán tử trong cơ học lượng tử 53 Lấy tích phân từng phần hai lần số hạng thứ nhất ở vế phải của biểu thức trên, ta được: ∫ ∫ ∞ 2 ∞ 2 ∗ ∗ d ϕ d ψ ψ 2 dx = 2 ϕdx. −∞ dx −∞ dx Từ đó, nếu V(x) là thực thì ta có: ∫ ( ) ∞ ~2 2 ∗ ⟨ | ˆ ⟩ − d ψ ⟨ ˆ | ⟩ ψ Hϕ = 2 + V ψ ϕdx = Hψ ϕ . −∞ 2m dx Vậy Hˆ là toán tử Hermite. 3.7 HÀM TOÁN TỬ Gọi F (Aˆ) là hàm của toán tử Aˆ. Nếu Aˆ là toán tử tuyến tính, ta có thể khai triển Taylor hàm F (Aˆ) thành chuỗi luỹ thừa của Aˆ: ∑∞ ˆ ˆn F (A) = anA , (2.46) n=0 aAˆ trong đó an là hệ số khai triển. Một ví dụ về hàm toán tử là hàm e . Hàm này có thể khai triển như sau: ∞ ∑ a a2 a3 eaAˆ = n Aˆn = Iˆ+ aAˆ + Aˆ2 + Aˆ3 + ··· (2.47) n! 2! 3! n=0 Sau đây là một số tính chất của hàm toán tử: (1) Nếu Aˆ giao hoán với Bˆ thì Bˆ sẽ giao hoán với hàm toán tử của Aˆ, nghĩa là [B,ˆ F (Aˆ)] = 0 (2) F (Aˆ) giao hoán với Aˆ và một hàm bất kỳ của Aˆ, nghĩa là [A,ˆ F (Aˆ)] = 0, [F (Aˆ),G(Aˆ)] = 0. (3) Liên hiệp Hermite của F (Aˆ) là [F (Aˆ)]† = F ∗(Aˆ†). Nếu Aˆ là toán tử Hermite thì F (Aˆ) không nhất thiết là Hermite. F (Aˆ) là Hermite nếu và chỉ nếu F là hàm thực và Aˆ là Hermite. Ví dụ † † † † ∗ † (eaAˆ)† = eAˆ , (eiAˆ) = e−iAˆ , (eiaAˆ) = e−iα Aˆ , (2.48)
54 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử trong đó α là một số phức. ∑ n (4) Nếu Aˆ là Hermite thì khai triển của hàm toán tử F (Aˆ) = anAˆ là n Hermite nếu và chỉ nếu hệ số an là thực. 3.8 TOÁN TỬ NGHỊCH ĐẢO VÀ TOÁN TỬ ĐƠN NGUYÊN a) Toán tử nghịch đảo: Ta gọi Aˆ−1 là nghịch đảo của toán tử tuyến tính Aˆ nếu ta có hệ thức Aˆ−1Aˆ = AˆAˆ−1 = I,ˆ (2.49) trong đó Iˆ là toán tử đơn vị, đó là phép toán không làm thay đổi hàm khi nó tác dụng: Iˆ|ψ⟩ = |ψ⟩. b) Thương của 2 toán tử: Giả sử có tồn tại toán tử Bˆ−1 là nghịch đảo của Bˆ, thương của hai toán tử là: Aˆ Iˆ Iˆ = Aˆ = AˆBˆ−1 và Aˆ = Bˆ−1A.ˆ (2.50) Bˆ Bˆ Bˆ Như vậy, chia một toán tử Aˆ cho một toán tử Bˆ thì tương đương với nhân Aˆ cho Bˆ−1. Nói chung AˆBˆ−1 ≠ Bˆ−1Aˆ. c) Toán tử đơn nguyên: Một toán tử Uˆ được gọi là đơn nguyên (unitary) nếu nghịch đảo của nó bằng liên hợp của nó: Uˆ † = Uˆ −1 hay UˆUˆ † = UˆUˆ −1 = Iˆ. Ta có thể chứng minh rằng tích của hai toán tử đơn nguyên cũng là toán tử đơn nguyên: Thật vậy: (UˆVˆ )(UˆVˆ )† = (UˆVˆ )(Vˆ †Uˆ †) = Uˆ(Vˆ Vˆ †)Uˆ † = UˆUˆ † = I,ˆ hay (UˆVˆ )† = (UˆVˆ )−1. 3.9 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ HERMITE Toán tử Hermite khảo sát trong cơ học lượng tử có các tính chất sau: a) Tính chất 1: Trị riêng của toán tử Hermite là thực. ˆ Chứng minh: Ta xét toán tử A có trị riêng ai (không suy biến) ứng với hàm
§ 3. Toán tử trong cơ học lượng tử 55 riêng ψi thoả mãn phương trình trị riêng: ˆ Aψi = aiψi (2.51) ˆ ∗ Ta chứng minh rằng nếu A là Hermite thì trị riêng ai là thực, nghĩa là ai = ai. Theo định nghĩa của toán tử Hermite: ˆ ˆ ⟨ψi|Aψi⟩ = ⟨Aψi|ψi⟩ (2.52) Thay phương trình trị riêng (2.51) vào (2.52) ta được: ⟨ | ⟨ | ⟩ − ∗ ⟨ | ⟩ ψi aiψi = aiψi ψi , hay (ai ai ) ψi ψi = 0 ⟨ | ⟩⟩ ∗ Vì ψi ψi 0 nên ta được ai = ai . Vậy ai là một số thực. b) Tính chất 2: Các hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt của toán tử Hermite thì trực giao với nhau. Chứng minh: Ta xét toán tử Aˆ có hai trị riêng phân biệt ai, aj tương ứng ˆ với hai hàm riêng ψi, ψj, với i ≠ j. Ta chứng minh rằng nếu A là Hermite thì ψi, ψj trực giao nhau, nghĩa là ⟨ψi|ψj⟩ = 0. Theo định nghĩa của toán tử Hermite: ⟨ψi|Aψˆ j = ⟨Aψˆ i|ψj⟩ Thay phương trình trị riêng tương ứng với 2 trị riêng ai, aj vào ta được: ⟨ | ⟨ | ⟩ − ∗ ⟨ | ⟩ ψi ajψj = aiψi ψj hay (aj ai ) ψi ψj = 0 Vì ai ≠ aj nên ⟨ψi|ψj⟩ = 0. Điều này chứng tỏ hai hàm riêng ψi, ψj trực giao. c) Tính chất 3: Các hàm riêng của toán tử Hermite thì lập thành một hệ cơ sở trực chuẩn và đầy đủ cho không gian Hilbert các hàm sóng. Nếu Aˆ là toán tử Hermite thì các hàm riêng {ψi} của nó sẽ lập thành một hệ cơ sở trực chuẩn và đầy đủ. Nghĩa là một hàm bất kỳ trong không gian Hilbert có thể khai triển thành tổ hợp tuyến tính của các {ψ }. Ta chứng minh rằng ∑ ∑ i nếu ψ = ciψi và ϕ = bjψj thì Aˆ là toán tử Hermite, nghĩa là: i j
56 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử ⟨ψ|Aϕˆ ⟩ = ⟨Aψˆ |ϕ⟩. (2.53) Chứng minh: Thay các khai triển của hàm ψ và hàm ϕ vào vế trái của (2.53), ta được: ∑ ∑ ∑ ∑ ˆ ˆ ˆ ⟨Aψ|ϕ⟩ = ⟨A ciψi| bjψj⟩ = ⟨ ciAψi| bjψj⟩ ∑i ∑j ∑i j ⟨ | ⟩ ∗ ∗ ⟨ | ⟩ = ciaiψi bjψj = ci ai .bj ψi ψj ∑i ∑ j ∑i,j ∗ ∗ ∗ ∗ = ci ai ( bjδi,j) = ci ai bi i j i ∑ ⟨ | ˆ ⟩ ∗ ∗ Tương tự ta có thể chứng minh được vế phải: ψ Aϕ = ci biai . Như vậy, hai i vế của phương trình (2.53) trùng nhau, nên Aˆ là toán tử Hermite. 3.10 ĐIỀU KIỆN TRỰC CHUẨN CỦA HÀM RIÊNG • Trường hợp toán tử có phổ trị riêng gián đoạn: + Phương trình trị riêng: Aψˆ i = aiψi (2.54) + Điều kiện trực chuẩn: ⟨ψi|ψi⟩ = δij (2.55) + Khai triển theo hàm riêng: ∑ ψ = ciψi (2.56) i • Trường hợp toán tử có phổ trị riêng liên tục: + Phương trình trị riêng: Aψˆ a = aψa (2.57) + Điều kiện trực chuẩn: ′ ⟨ψa|ψa′ ⟩ = δ(a − a ) (2.58)
§ 3. Toán tử trong cơ học lượng tử 57 + Khai triển theo hàm riêng: ∫ ψ = caψada, (2.59) a trong đó δ(a − a′) là hàm Delta-Dirac (xem phần phụ lục). 3.11 TOÁN TỬ CHIẾU 1. Tích trong và tích ngoài a) Tích trong: Tích vô hướng của bra ⟨ϕ| và ket |ψ⟩ được gọi là tích trong (inner product): ∫ ⟨ϕ|ψ⟩ = ϕ∗ψdV. (2.60) V Tích trong của |ψ⟩ và ⟨ϕ| là một số thực dương. Điều này tương tự như tích của số phức và liên hiệp phức của nó, hoặc tích vô hướng của 2 vectơ thông thường là một số vô hướng. Tích trong của bra ⟨ψj| và ket |Aψˆ i⟩ là ⟨ψj|Aˆ|ψi⟩ hoặc đơn giản là ⟨j|Aˆ|i⟩. b) Tích ngoài: Tích ngoài (outer product) của bra ⟨ϕ| và ket |ψ⟩ là |ψ⟩⟨ϕ|. Tích ngoài đóng vai trò như một toán tử. Nếu ta cho tích ngoài tác dụng lên ket |χ⟩ ta sẽ nhận được biểu thức |ψ⟩⟨ϕ|χ⟩. Như vậy, toán tử |ψ⟩⟨ϕ| tác dụng lên |χ⟩ và chuyển |χ⟩ thành một ket tỉ lệ với |ψ⟩. 2. Toán tử chiếu ˆ Ta định nghĩa toán tử chiếu (projection operator) Pi là tích ngoài của ket |ψi⟩ và bra ⟨ψi| tương ứng: Pˆi ≡ |ψi⟩⟨ψi| ≡ |i⟩⟨i|. (2.61) Nếu tác dụng toán tử này lên một ket |ϕ⟩ bất kỳ: Pˆi|ϕ⟩ = |i⟩⟨i|ϕ⟩ ta được một ket tỉ lệ với |i⟩ với hằng số tỉ lệ là tích vô hướng (tích trong) ⟨ψi|ϕ⟩. Toán ˆ tử Pi được gọi là toán tử chiếu vì nó chiếu |ϕ⟩ lên phương của ψi. Toán tử ˆ2 ˆ ˆ | ⟩⟨ | ⟩⟨ | | ⟩⟨ | ˆ | ⟩ Pi = PiPi = i i i i = i i = Pi, trong đó các ket i là chuẩn hoá. Tương ˆn ˆ | ⟩ tự, ta có thể chứng minh rằng Pi = Pi. Điều này có nghĩa là hình chiếu của ϕ
58 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử | ⟩ ˆ ˆ2 lên i là giống nhau cho dù thực hiện một phép chiếu (Pi), hai phép chiếu (Pi ) ˆn hay nhiều phép chiếu (Pi ) liên tiếp nhau. Ví dụ 3.5: Chứng tỏ rằng toán tử Pˆi = |ψi⟩⟨ψi| là toán tử chiếu nếu |ψi⟩ thoả mãn điều kiện chuẩn hoá. Lời giải: Ta thấy rằng toán tử |ψi⟩⟨ψi| là toán tử Hermite vì ˆ2 | ⟩⟨ | 2 | ⟩⟨ | | ⟩⟨ | | ⟩⟨ | ⟩⟨ | Pi = ( ψi ψi ) = ( ψi ψi )( ψi ψi ) = ψi ψi ψi ψi . | ⟩ ⟨ | ⟩ ˆ2 ˆ Vì vậy, nếu ψi chuẩn hoá thì ψi ψi = 1, nên Pi = Pi. Nói tóm lại, nếu trạng thái ⟨i| là chuẩn hoá thì tích |i⟩⟨i| là một toán tử chiếu. § 4 CÁC TOÁN TỬ CƠ BẢN TRONG HỌC LƯỢNG TỬ Ta sẽ tìm dạng của các toán tử cơ bản diễn tả các đại lượng động lực (biến động lực) cùng với các trị riêng và hàm riêng tương ứng. Vì hàm sóng đang xét là hàm phụ thuộc biến số toạ độ nên dạng của các toán tử tìm được sẽ là các phép toán của toạ độ, lúc đó ta nói ta xét dạng của toán tử trong biểu diễn toạ độ hay x-biểu diễn. Để tìm dạng của các toán tử trong cơ lượng tử ta sử dụng “Nguyên lý tương ứng” có nội dung như sau: “Hệ thức giữa các toán tử trong cơ lượng tử có dạng như hệ thức giữa các đại lượng trong cơ học cổ điển” 4.1 TOÁN TỬ TỌA ĐỘ Trong tọa độ Descartes, toán tử tọa độ được biểu diễn như sau: ⃗rˆ =x ˆ⃗i +y ˆ⃗j +z ˆ⃗k Trước hết cần lưu ý rằng trong x-biểu diễn thì: xˆ = x, và Uˆ(ˆx) = U(x), nghĩa là các toán tử này tác dụng lên hàm ψ(x) chỉ đơn giản là phép nhân thông thường. Ta chỉ cần xét một thành phần của toán tử toạ độ, chẳng hạn thành
§ 4. Các toán tử cơ bản trong học lượng tử 59 phần trên trục x. Phương trình trị riêng của toán tử xˆ là: xψˆ (x) = xψ(x) (2.62) Áp dụng tính chất của hàm delta: (x − x0)δ(x − x0) = 0, ta có thể viết: xδ(x − x0) = x0δ(x − x0) Vì trong x-biểu diễn, xˆ = x nên: xδˆ (x − x0) = x0δ(x − x0) (2.63) So sánh với phương trình trị riêng (2.62) ta thấy toán tử xˆ có hàm riêng δ(x−x0) ứng với trị riêng x0. Từ (2.63) ta thấy rằng trị riêng của xˆ là một đại lượng liên tục. Tóm lại, trong trường hợp 3 chiều toán tử toạ độ ⃗rˆ có: a) Dạng: ⃗rˆ = ⃗r b) Trị riêng: ⃗r = ⃗r0 − − 2 c) Hàm riêng: ψ⃗r0 (⃗r) = δ(⃗r ⃗r0), với δ(⃗r ⃗r0) là hàm Delta-Dirac 4.2 TOÁN TỬ XUNG LƯỢNG (1) Dạng của toán tử xung lượng Có nhiều cách để xác định dạng của toán tử xung lượng (momentum). Ở đây ta sẽ xuất phát từ móc Poisson cổ điển {pj, qk} = δjk. Theo nguyên lý tương ứng thì trong cơ học lượng tử móc Poisson có dạng: {pˆj, xˆk} = δjk. 2Xem phần phụ lục
60 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử Hay: (i/~)[p ˆj, xˆk] = δjk ⇒ [(i/~)p ˆx, xˆ] = 1. (2.64) Ta có thể chứng minh được hệ thức giao hoán sau: [ ] d , x = 1. (2.65) dx Từ (2.64) và (2.65), ta tìm được dạng của toán tử pˆx: d d d (i/~)p ˆ = → pˆ = (~/i) = −i~ . x dx x dx dx Tổng quát cho trường hợp 3 chiều ta có dạng của toán tử xung lượng: ( ) ˆ ∂ ∂ ∂ P⃗ = −i~∇ = −i~ ⃗i + ⃗j + ⃗k (2.66) ∂x ∂y ∂z (2) Hàm riêng và trị riêng của toán tử xung lượng Phương trình trị riêng của toán tử pˆx là: pˆxψ(x) = pxψ(x) Thay dạng của pˆx vào, ta được dψ(x) −i~ = p ψ(x) dx x Phương trình này có nghiệm: ~ ψ(x) = Ce(i/ )pxx (2.67) Vì x biến thiên liên tục nên giá trị của px cũng liên tục. Từ đó ta đi đến kết luận trị riêng của toán tử pˆx là liên tục. Để tìm hàm riêng chuẩn hoá, ta dùng điều kiện chuẩn hoá: ∫ ∞ ∗ ′ ψ ′ (x)ψ (x)dx = δ(p − p ). px px x x −∞ từ đó, ta được ( ) ∫ ∞ ′ i − ′ px − p ′ | 2| ~ (px px)x | 2| x − C e dx = C 2πδ = δ(px px). −∞ ~
§ 4. Các toán tử cơ bản trong học lượng tử 61 Do tính chất của hàm delta: δ(ax) = (1/|a|)δ(x) nên ta tính được hệ số chuẩn √ hóa C = 1/ 2π~. Tóm lại, toán tử xung lượng pˆx có: − ~ ∂ (1) Dạng: pˆx = i ∂x , (2) Trị riêng: px có giá trị liên tục, ~ (3) Hàm riêng: ψ (x) = √ 1 e(i/ )(pxx). px 2π~ Trong trường hợp 3 chiều thì: ˆ (1) Dạng: P⃗ = −i~∇, (2) Trị riêng: P⃗ có giá trị liên tục, (3) Hàm riêng: 1 ~ 1 ~ ⃗ ψ (⃗r) == e(i/ )(pxx+pyy+pzz) = e(i/ )P .⃗r. P⃗ (2π~)3/2 (2π~)3/2 4.3 TOÁN TỬ NĂNG LƯỢNG Trong cơ học cổ điển năng lượng toàn phần biểu thị qua xung lượng và tọa độ của hạt, được gọi là hàm Hamilton và có dạng: (P⃗ )2 H(⃗r, ⃗p) = + Uˆ(⃗r) 2m Trong cơ học lượng tử, hàm Hamilton tương ứng với toán tử Hamilton hay còn gọi là Hamiltonian (theo tiếng Anh) hay Hamiltonien (theo tiếng Pháp): ˆ P⃗ 2 Hˆ = + Uˆ(⃗r) (2.68) 2m ˆ Thay dạng của P⃗ vào (2.68) và để ý rằng Uˆ(⃗r) = U(⃗r) ta được ~2 Hˆ = − ∆ + U(⃗r) (2.69) 2m Phương trình trị riêng của toán tử năng lượng là: Hψˆ (⃗r) = Eψ(⃗r) (2.70)
62 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử Thay dạng của toán tử Hˆ ở (2.69) vào phương trình trên, ta được phương trình trị riêng của năng lượng dưới dạng phương trình vi phân bậc 2: 2m ∆ψ(⃗r) + [E − U(⃗r)]ψ(⃗r) = 0, (2.71) ~2 trong đó, toán tử Laplace có dạng tùy thuộc vào hệ tọa độ khảo sát. Chẳng hạn nếu xét trong hệ tọa độ Descartes 3 chiều thì: ∂2 ∂2 ∂2 ∆ = + + . ∂x2 ∂y2 ∂x2 Như vậy, dạng của toán tử năng lượng phụ thuộc vào dạng của thế năng, nghĩa là phụ thuộc vào trường thế mà trong đó hạt chuyển động. Từ đó, trị riêng và hàm riêng của toán tử cũng phụ thuộc vào tính chất của chuyển động của hạt. Việc giải phương trình cho trị riêng và hàm riêng của toán tử năng lượng là một bài toán cơ bản của cơ học lượng tử. Trong đa số trường hợp, ta chỉ xét bài toán một chiều (theo trục x): d2ψ(x) 2m + [E − U(x)]ψ(x) = 0. (2.72) dx2 ~2 4.4 TOÁN TỬ MOMEN XUNG LƯỢNG Theo học cổ điển mômen xung lượng của hạt được xác định bởi: L⃗ = ⃗r × P.⃗ (2.73) Trong hệ tọa độ Descartes, các thành phần của L⃗ là: Lx = ypz − zpy, Ly = zpx − xpz, (2.74) Lz = xpy − ypx. Trong cơ học lượng tử, toán tử mômen xung lượng có dạng: ˆ ˆ L⃗ = ⃗rˆ × P.⃗ (2.75)
§ 4. Các toán tử cơ bản trong học lượng tử 63 Các thành phần của toán tử mômen xung lượng trong hệ tọa độ Descartes có dạng: ˆ Lx = ypˆz − zpˆy, ˆ Ly = zpˆx − xpˆz, (2.76) ˆ Lz = xpˆy − ypˆx. Thông thường, khi khảo sát mô-men xung lượng người ta thường dùng hệ toạ độ cầu (r, θ, ϕ) trong đó ta xét hai toán tử cơ bản, đó là toán tử hình chiếu mô-men xung lượng lên trục z (Lˆz) và toán tử mô-men xung lượng toàn phần (hay là toán tử bình phương mô-men) (Lˆ2). 1) Toán tử Lˆz ˆ a) Dạng của toán tử Lz: Trong hệ toạ độ cầu, toán tử này có dạng: ∂ Lˆ = −i~ . (2.77) z ∂ϕ b) Trị riêng và hàm riêng: Phương trình trị riêng của Lˆz là: ˆ Lzψ(ϕ) = Lzψ(ϕ). (2.78) ˆ Thay dạng của Lz vào (2.78): dψ(ϕ) −i~ = L ψ(ϕ). (2.79) dϕ z Giải phương trình vi phân bậc nhất này ta được hàm riêng là: ~ ψ(ϕ) = Ce(i/ )Lzϕ. Để xác định trị riêng ta dùng điều kiện đơn trị của hàm sóng: ψ(ϕ) = ψ(ϕ + 2π). Từ đó: (i/~)Lz2π i2πm e = 1 = e ⇒ Lz = m~, với m = 0, ±1, ±2, ±3
64 Chương 2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử ˆ Như vậy, hàm riêng của Lz có thể viết lại như sau: imϕ ψm(ϕ) = Ce . √ Dùng điều kiện chuẩn hoá ⟨ψm|ψm⟩ = 1, ta tìm được hệ số C = 1/ 2π. Tóm lại, trong hệ toạ độ cầu toán tử hình chiếu mô-men xung lượng lên trục z có: ˆ − ~ ∂ (1) Dạng: Lz = i ∂ϕ , (2) Trị riêng: Lz = m~ có giá trị gián đoạn: Lz = 0~, ±1~, ±2~, ±3~ , 1 imϕ (3) Hàm riêng: ψm(ϕ) = √ e . 2π 2) Toán tử bình phương mômen xung lượng a) Dạng của toán tử Lˆ2: Trong hệ toạ độ cầu toán tử này có dạng: ˆ2 2 L = −~ ∆θ,ϕ, (2.80) với ∆θ,ϕ là phần góc của toán tử Laplace trong hệ toạ độ cầu và có dạng như sau: [ ] 1 ∂ ∂ ∂2 ∆θ,ϕ = sin θ (sin θ ) + . (2.81) sin2 θ ∂θ ∂θ ∂2ϕ Phương trình trị riêng của toán tử Lˆ2 có dạng: Hình 2.2: Minh hoạ hình học quan hệ giữ độ lớn của vectơ mômen xung lượng và hình chiếu của nó lên trục z.
§ 5. Tóm tắt Chương 2 65 2 2 −~ ∆θ,ϕψ(θ, ϕ) = L ψ(θ, ϕ). (2.82) Ở đây ta chưa giải phương trình này (xem cách giải ở chương VI) mà chỉ đưa ra kết quả về trị riêng và hàm riêng của nó: b) Trị riêng: √ L2 = ~2ℓ(ℓ + 1) hay L = ~ ℓ(ℓ + 1), (2.83) trong đó ℓ có các giá trị khả dĩ là 0, 1, 2, 3 c) Hàm riêng: imϕ ψ(θ, ϕ) = Yℓm(θ, ϕ) = Pℓm(cos θ)e , (2.84) trong đó Pℓm(cos θ) được gọi là đa thức Legendre liên kết (xem phần phụ lục). 4.5 HỆ THỨC GIAO HOÁN GIỮA CÁC TOÁN TỬ Các hệ thức giao hoán cần nhớ (a) [ˆxj, xˆk] = 0 (b) [ˆpj, pˆk] = 0 − ~ ~ ∂f(x) (c) [ˆpj, xk] = i δjk (d) [f(x), pˆx] = i ∂x (e) [Lˆj, xˆk] = i~ϵjkℓxˆℓ (f) [Lˆj, pˆk] = i~ϵjkℓpˆℓ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 (g) [Lj, Lk] = i~ϵjkℓLℓ (h) [Lj, L ] = 0 Trong các hệ thức trên ϵjkℓ được gọi là tensor Levi-Civital. Tensor này có giá trị bằng 0 khi có ít nhất 2 chỉ số trùng nhau và có giá trị bằng ±1 khi 3 chỉ số phân biệt nhau. Cụ thể như sau: { +1, khi các hoán vị của j, k, ℓ tuân theo chiều kim đồng hồ ϵjkℓ = −1, khi các hoán vị của j, k, ℓ tuân theo chiều kim đồng hồ § 5 TÓM TẮT CHƯƠNG 2 • Khái niệm xác suất trong phép đo một đại lượng động lực là rất quan trọng để mô tả tính chất thống kê trong cơ lượng tử. Xác suất để đo đại