Giáo trình Cơ học môi trường liên tục - Dương Văn Thứ (Phần 2)

89 trang hapham 30

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học môi trường liên tục - Dương Văn Thứ (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_hoc_moi_truong_lien_tuc_duong_van_thu_phan_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ học môi trường liên tục - Dương Văn Thứ (Phần 2)

CHƯƠNG IV CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ CÁC MÔ HÌNH MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 4.1. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN KHỐI LƯỢNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA KHỐI LƯỢNG Một thuộc tính cơ bản của môi trường vật chất là khối lượng. Xét phần MTLT chiếm thể tích V trong không gian với diện tích bao quanh S. Ở thời điểm t nào đó, tổng khối lượng vật chất chứa trong V được tính như sau: m(,t)dV=ρx (4-1) ∫ i V Trong đó ρ(,t)xi là hàm mật độ khối lượng vật chất. Định luật bảo toàn Khối lượng khẳng định rằng: Tổng khối lượng vật chất của phần MTLT chứa trong thể tích V này không đổi theo thời gian trong suốt quá trình chuyển động. dm d =ρ(,t)dV0x = (4-2) ∫ i dt dt V Điều này cũng có nghĩa là, trong một đơn vị thời gian, độ biến thiên khối lượng vật chất chứa trong thể tích V ∂ρ Δ=mdV∫ (a) V ∂t bằng khối lượng vật chất chuyển từ ngoài vào miền đang xét qua bề mặt S. rr Δ=−ρ%m∫ .v.n.dS (b) S ∂ρ Trong đó: là độ biến thiên mật độ khối lượng vật chất theo thời gian. ∂t r v là véc tơ vận tốc chuyển động của phần tử vật chất môi trường. r n là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt ds. Dấu trừ để chỉ lượng vật chất chuyển vào môi trường qua mặt S ngược chiều với véc tơ pháp tuyến ngoài. Áp dụng định lý div (1-21) cho (b) ta có: rr r ∂ρ(v) Δ=−ρ°m∫∫ .v.n.dS =− div( ρ v)dV =− ∫i dV (c) SV V∂xi Theo định luật bảo toàn Khối lượng: Δ=Δm%% m hay Δ−Δ= m m 0 hay: ∂ρ ∂ρ(v) ⎡⎤∂ρ ∂ dV+=+ρ=i dV ( v ) dV 0 (d) ∫∫ ∫⎢⎥i VV∂∂ttxxii V⎣⎦ ∂∂ Vì thể tích V tuỳ ý, nên biểu thức dưới dấu tích phân trong (d) phải bằng không. ∂ρ ∂ ∂ρ ∂ρ ∂vi +ρ=+(v)ii v +ρ= 0 (e) ∂∂ttxxxiii ∂∂ ∂
∂ρ ∂ρd ρ Theo (2-11) +=vi , thay vào (e) được: ∂∂tdtxi dρ ∂v +ρi =0 (4-3) dt ∂xi dρ r hay ở dạng véc tơ +ρdivv = 0 (4-3)’ dt Phương trình (4-3)’ viết ở dạng véc tơ, nên đúng cho mọi hệ toạ độ, còn (4-3) viết trong hệ toạ độ Euler, gọi là phương trình liên tục khối lượng. Phương trình (4-3) cũng có thể nhận được bằng cách biến đổi trực tiếp phương trình (4-2) Phương trình liên tục (4-3) rất quan trọng khi khảo sát môi trường chất lỏng hay chất khí. Đối với chất rắn, do khối lượng rất lớn, sự thay đổi khối lượng coi như không đáng kể, nên phương trình liên tục luôn luôn tự thoả mãn. dρ Trong môi trường không nén được, mật độ vật chất không phụ thuộc thời gian, = 0 , nên dt phương trình liên tục này đơn giản còn: ∂v r i ==0 hay divv 0 (4-4) ∂xi Phương trình liên tục (4-3)’ viết trong toạ độ Lagrange có thể xem trong [4]. 4.2. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG r ur Khi môi trường chuyển động với trường vận tốc v dưới tác dụng của lực khối P và lực mặt uur qn , thì định lý biến thiên động lượng nói rằng: Tại thời điểm t nào đó, tốc độ biến thiên theo thời gian của động lượng đối với phần MTLT chứa trong thể tích V, bằng tổng các lực ngoài tác dụng lên miền xét. d ruruur ρ=vdV PdV + q dS (4-5) ∫∫∫n dt VVS r Trong đó: ∫ρvdV là động lượng tổng cộng của phần môi trường có thể tích V (a) V ur ∫ PdV là tổng lực khối (lực thể tích) tác động trong môi trường. (b) V uur qdS là tổng lực mặt tác động trên mặt bao quanh môi trường. (c) ∫ n S Từ (4-5) ta cũng có thể dẫn ra phương trình chuyển động (3-33). Muốn vậy, trước hết ta chuyển tích phân mặt (c) về tích phân thể tích nhờ định lý div (1-21), sau đó thực hiện các biến đổi toán học thông thường, kết hợp với (4-3) sẽ nhận được (3-33). 4.3. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG Cũng xét phần MTLT như trên, ta có định lý biến thiên mô men động lượng phát biểu như sau: Tốc độ biến thiên theo thời gian của mômen động lượng đối với phần MTLT chứa trong thể
tích V đối với điểm cố định nào đó, bằng tổng mô men, cũng lấy đối với điểm đó, của các lực ngoài tác dụng trên miền xét. d urr urururuur R xxx ρ=vdV R PdV + R qdS (4-6) ∫∫∫n dt VVS ur Trong đó, R là bán kính véc tơ của các điểm thuộc môi trường đối với tâm mô men. urr ∫ R x ρ vdV là mô men động lượng tổng cộng của phần môi trường thể tích V V lấy đối với tâm mô men. urururuur R xx PdV+ R qdS là tổng mô men của lực thể tích và lực mặt lấy đối với ∫∫n VS tâm mô men. Từ (4-6) ta cũng có thể dẫn ra định luật đối ứng của ứng suất tiếp (3-32). 4.4. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG - PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG Trong vật lý học, ta đã được biết một định luật tổng quát về năng lượng, đó là định luật bảo toàn năng lượng, nói rằng: Tổng tốc độ biến thiên theo thời gian của động năng và nội năng của hệ, bằng tổng công cơ học của lực ngoài và công của các dòng năng lượng khác trong một đơn vị thời gian (còn gọi là công suất của lực ngoài và của các dòng năng lượng khác). Các dòng năng lượng khác nói ở đây có thể là nhiệt năng, điện năng, quang năng v v Trong khuôn khổ giáo trình môn CHMTLT, ở đây chúng tôi chỉ nhắc lại nội dung cơ bản của định luật này trong trường hợp liên quan tới cơ năng và nhiệt năng, nhằm phục vụ cho việc giải các bài toán của CHMTLT. Sau đây ta xét một số trường hợp. 4.4.1 Định luật bảo toàn năng lượng cơ học Khi phần MTLT có thể tích V đang khảo sát không thu nhiệt từ môi trường bao quanh, trong hệ chỉ có năng lượng cơ học (cơ năng). Nội năng là năng lượng do biến dạng gây ra, lúc này gọi là năng lượng biến dạng. Trong trường hợp này ta có định luật bảo toàn năng lượng cơ học (cơ năng) phát biểu như sau: Tổng tốc độ biến thiên theo thời gian của động năng và năng lượng biến dạng của môi trường, bằng tổng công cơ học của lực ngoài trong một đơn vị thời gian, (công suất của lực ngoài). dK dEδ A += (4-7) dt dt dt dK Trong đó là tốc độ biến thiên động năng của môi trường. (a) dt dE là tốc độ biến thiên năng lượng biến dạng của môi trường. (b) dt
δA là tổng công suất của lực ngoài: lưc khối và lực mặt (công trong một đơn dt vị thời gian). (c) Để chứng minh (4-7), ta xuất phát từ phương trình chuyển động (3-33). Thật vậy, theo (3- 33): ∂σij dvi +=ρPi (d) ∂xj dt Nhân hai vế của (d) với vi rồi tích phân trên toàn thể tích V của môi trường: ∂σ dv ij vdV+=ρ PvdVi vdV (d)’ ∫∫∫iiii VVV∂xj dt Biến đổi từng tích phân trong (d)’. 22 dvi dv⎛⎞ d v d ³ ρ=ρ=ρ=vdV dV dV K (e) ∫∫i ⎜⎟ ∫ VVdt dt⎝⎠ 2 dt V 2 dt v2 Trong đó động năng của hệ KdV=ρ∫ (f) V 2 ³ Tiếp theo, áp dụng định lý div (1-21) và chú ý tới (2-58) và (3-34) trong đó σωij& ij =0 do σij là ten xơ đối xứng, còn ω&ij là phản đối xứng, ta có ∂σ ⎡⎤ ij ∂ ∂vi ³ vdViijiij=σ−σ⎢⎥() .v dV ∫∫∂∂xx ∂ x VVjj⎣⎦⎢⎥ j ⎡⎤∂ && =σ−σε+ω⎢⎥()ij.v i ij ( ij ij ) dV ∫ ∂x V ⎣⎦⎢⎥j =σv n dS −σε&& dV = q v dS −σε dV (g) ∫∫∫∫ij i j ij ij ni i ij ij SVSV Thay (e) và (g) vào (d)’ rồi chuyển vế, ta được: dv2 ρ+σε=+dV& dV P v dV q v dS hay ∫∫∫∫ij ij i i ni i dtVVVS 2 dK dEδ A += đây là điều phải chứng minh. dt dt dt Trong đó: dK d v2 =ρ∫ dV (4-8) dt dtV 2 dE =σε&dV (4-9) ∫ ij ij dt V δA =+P v dV q v dS (4-10) ∫∫ii nii dt VS
4.4.2 Định luật bảo toàn năng lượng cơ - nhiệt. Định luật nhiệt động lực học thứ nhất - phương trình năng lượng a) Một vài khái niệm về quá trình nhiệt động học của MTLT Khi trong môi trường, ngoài năng lượng cơ học, còn có sự trao đổi nhiệt với môi trường bao quanh, thì trạng thái của môi trường được xác định bởi ngoài một số đại lượng đặc trưng cho động lực học như ứng suất, biến dạng v v , còn có một số đại lượng đặc trưng cho nhiệt động học như nhiệt độ, sự truyền nhiệt, bức xạ nhiệt v v Lúc này, MTLT là một hệ nhiệt động lực. Các đại lượng đặc trưng cho môi trường gọi là các tham số trạng thái, còn các mối quan hệ giữa chúng với nhau gọi là phương trình trạng thái, các tham số được mô tả trong các phương trình này gọi là hàm trạng thái. Nếu các tham số trạng thái không phụ thuộc thời gian, hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực (cân bằng cơ học, cân bằng nhiệt ). Nhiệt độ là tham số trạng thái đặc trưng cho cân bằng nhiệt. Quá trình biến đổi trạng thái của môi trường là một quá trình nhiệt động lực tuân theo các định luật cơ bản của nhiệt động lực học. Trong quá trình này, nếu nhiệt độ không thay đổi, ta có quá trình đẳng nhiệt, nếu hệ không có trao đổi nhiệt với môi trường bao quanh, ta có quá trình đoạn nhiệt như đã đề cập trong mục 4.4.1 ở trên. Quá trình nhiệt động lực có thể thuận nghịch hoặc không thuận nghịch. Quá trình là thuận nghịch, nếu hệ có thể trở lại trạng thái ban đầu, mà trong quá trình đi ngược đó, hệ đi qua tất cả các trạng thái trung gian mà quá trình thuận đã đi qua. Nếu quá trình không thoả mãn yêu cầu trên, ta có quá trình không thuận nghịch. Đối với vật rắn, quá trình biến dạng đàn hồi là thuận nghịch, còn quá trình biến dạng dẻo là không thuận nghịch. Trong quá trình nhiệt động lực, cơ năng và nhiệt năng luôn biến đổi và chuyển hoá lẫn nhau. Định luật bảo toàn cơ - nhiệt năng, còn gọi là định luật nhiệt động lực học thứ nhất phát biểu qui luật chuyển hoá này, nhưng không nói lên được tính thuận nghịch của quá trình. Tính thuận nghịch được thể hiện ở định luật nhiệt động lực học thứ hai khi đề cập tới sự biến đổi entropi của môi trường. b) Định luật nhiệt động lực học thứ nhất – phương trình năng lượng Từ phân tích ở trên ta thấy rằng, khi ngoài cơ năng còn xét thêm nhiệt năng thì định luật bảo toàn năng lượng cơ và nhiệt hay định luật nhiệt động lực học thứ nhất hoàn toàn có được từ định luật bảo toàn cơ năng, bằng cách thêm vào (4-7) lượng nhiệt thu được từ môi trường bao quanh vào môi trường đang khảo sát trong một đơn vị thời gian (còn gọi là công suất nhiệt năng – ký δQ ⎞ hiệu là ⎟ . dt ⎠ dK dE* δ Aδ Q +=+ (4-11) dt dt dt dt Định luật phát biểu:
Tổng tốc độ biến thiên theo thời gian của động năng và nội năng của môi trường, bằng tổng công cơ học của các lực ngoài và năng lương nhiệt trong một đơn vị thời gian (tổng công suất lực ngoài và công suất nhiệt năng). Trong đó: dK δA ³ và tính theo (4-8) và (4-10) dt dt dE* ³ là tốc độ biến thiên nội năng của môi trường được tính như sau: dt Ký hiệu nội năng trong một đơn vị khối lượng là e (còn gọi là mật độ nội năng, hay nội năng riêng), thì nội năng trong một đơn vị thể tích môi trường sẽ là (ρe), khi đó nội năng trong toàn bộ môi trường thể tích V là: EedV* =ρ∫ hay V dE* d de =ρ=ρ∫∫edV dV (4-12) dt dt VVdt δQ ³ là công suất nhiệt năng được tính như sau: dt Nhiệt năng môi trường nhận được do truyền nhiệt và bức xạ. ⎛⎞δQ(c) Tính công suất nhiệt năng do sự truyền nhiệt ⎜⎟ ⎝⎠dt r Ký hiệu c là véc tơ vận tốc truyền nhiệt qua một đơn vị diện tích bề mặt môi trường, tức là r lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích bề mặt trong một đơn vị thời gian; n là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt biên tại điểm xét. Khi đó dòng nhiệt thu được từ môi trường bao quanh vào môi trường đang xét qua bề mặt S của nó trong một đơn vị thời gian do truyền nhiệt là: δQ(c) rr =−∫ cndS. (4-13) dt S Biến đổi (4-13) nhờ định lý div (1-21) ta được: (c) r δQ ∂c j =−∫∫divcdV =− dV (4-13)’ dt VV∂xj Dấu trừ trong (4-13)’ biểu thị hướng dòng nhiệt truyền vào môi trường ngược chiều với pháp tuyến ngoài của bề mặt. ⎛⎞δQ(b) Tính công suất nhiệt năng do bức xạ nhiệt ⎜⎟ ⎝⎠dt Nếu ký hiệu b là hằng số bức xạ nhiệt, là năng lượng nhiệt bức xạ của một đơn vị khối lượng trong một đơn vị thời gian, thì năng lượng nhiệt bức xạ của toàn bộ khối lượng vật chất chứa trong thể tích V của môi trường, trong một đơn vị thời gian sẽ là:
δQ(b) =ρ∫ bdV (4-14) dt V Như vậy, nhiệt năng mà môi trường nhận được trong một đơn vị thời gian do cả truyền nhiệt và bức xạ nhiệt là: δδQQ(c) δ Q (b) ∂c =+=ρ−∫∫bdVj dV (4-15) dt dt dt VV∂xj Thay (4-8), (4-10), (4-12), (4-15) vào (4-11) ta được: dv⎛⎞2 de ∂c ρ+ρ=++ρ−dV dV P v dV q v dS bdVj dV (a) ∫∫∫∫∫∫⎜⎟ ii nii VVVSVVdt⎝⎠ 2 dt ∂xj Sử dụng biểu thức (g) trong mục 4.4.1 ta có: ∂σ qvdS=+σεij vdV& dV (b) ∫∫ni i i ∫ ij ij SV∂xj V Thay (b) vào (a) rồi chuyển vế, và cộng các số hạng dưới dấu tích phân lại, ta được: 2 ⎡⎤dv⎛⎞ de ∂σij ∂c j ⎢⎥ρ+ρ−−−σε−ρ+=⎜⎟ Pvii v i ijij& b dV 0 (c) ∫ dt 2 dt ∂∂xx V ⎣⎦⎢⎥⎝⎠ jj Do thể tích V tuỳ ý nên biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng không. 2 dv⎛⎞ de ∂σij ∂c j ρ+ρ−−−σε−ρ+=⎜⎟ Pvii v i ijij& b 0 (d) dt⎝⎠ 2 dt ∂∂xxjj Bây giờ ta trở lại phương trình chuyển động (3-33), nhân hai vế của nó với vi, rồi chuyển vế, được: ∂σ ij dvi vPviii+−ρ= v0 i hay ∂xj dt 2 ∂σij dv⎛⎞ vPviii+−ρ=⎜⎟ 0 (e) ∂xj dt⎝⎠ 2 Tiếp theo, cộng hai phương trình (d) + (e) rồi chia cho ρ, ta được: de 1 1 ∂c j =σε+−ij& ij b hay dt ρρ∂xj de 1 dq =σε+& (4-16) dt ρ ij ij dt dq 1 ∂c Trong đó =−b j (4-17) dt ρ∂xj gọi là công suất nhiệt đưa vào trong một đơn vị khối lượng của môi trường do cả truyền nhiệt và bức xạ nhiệt, tức là lượng nhiệt đưa vào một đơn vị khối lượng môi trường trong một đơn vị thời gian. 11dε ⋅σ ε& = ⋅σ ij (4-18) ρρij ij ij dt gọi là công suất của ứng suất trên một đơn vị khối lượng của môi trường.
Phương trình (4-16) biểu diễn định luật nhiệt động lực học thứ nhất cho từng điểm của môi trường, còn gọi là phương trình năng lượng cho một điểm của môi trường, hay phương trình năng lượng địa phương, và phát biểu như sau: Tốc độ biến thiên theo thời gian của nội năng riêng bằng tổng công suất của ứng suất và của nguồn nhiệt đưa vào môi trường trên một đơn vị khối lượng. Công thức (4-16) cũng có thể viết ở dạng 1 de=⋅σε+ d dq (4-19) ρ ij ij c) Qui luật truyền nhiệt Fourier r Vận tốc truyền nhiệt c phụ thuộc vào nhiệt độ. Mối quan hệ này, theo Fourier thì vận tốc truyền nhiệt tỷ lệ với gradien của nhiệt độ tuyệt đối. r c = - k grad T hay các thành phần của nó ∂T ckj =− (4-20) ∂xj Ở đây k > 0 gọi là hệ số truyền nhiệt của môi trường. Cả k và b đều được xác định bằng thực nghiệm. Qui luật truyền nhiệt Fourier (4-20) được dùng nhiều và khá phù hợp với thực tế. 4.4.3 Định luật nhiệt động lực học thứ hai. Bất đẳng thức Clausius – Hàm hao tán a) Khái niệm về entropi của môi trường Trong nhiệt học, khi nghiên cứu các chu trình Carnot, thấy rằng trong một chu trình kín thuận nghịch L của quá trình nhiệt động, ta có đẳng thức: δQ Ñ∫ = 0 (4-21) L T Trong đó T là nhiệt độ tuyệt đối. Như vậy, với quá trình nhiệt động thuận nghịch bất kỳ không kín L, chuyển từ trạng thái A tới trạng thái B, giá trị tích phân: B δδQQ ∫∫= (4-22) ALTT không phụ thuộc đường lấy tích phân L mà chỉ phụ thuộc vào trạng thái đầu A và trạng thái cuối B. Đây chính là cơ sở để xây dựng định luật nhiệt động lực học thứ hai. Trong khi đó, nếu chu trình kín nhưng không thuận nghịch, thì thay cho đẳng thức (4-21), ta có bất đẳng thức (4-23). δQ Ñ∫ ≤ 0 (4-23) L T Để xem xét một quá trình nhiệt động là thuận nghịch hay không thuận nghịch, ta đưa vào một hàm trạng thái mới gọi là entropi của môi trường, kýhiệu là S*, được định nghĩa như sau: Đối với quá trình nhiệt động thuận nghịch, gia số entropi của môi trường giữa hai trạng thái A và B bằng giá trị của tích phân (4-22), nghĩa là B δQ SS −= hay BA∫ A T
δQ SS =+ (4-24) BA∫ L T còn đối với quá trình không thuận nghịch, theo (4-23) thì B δQ SS −≥ hay BA∫ A T δQ SS ≥+ (4-25) BA∫ L T * * Thông thường, ta chọn trạng thái đầu A ở gốc tính toán, khi đó SA ký hiệu là SO . Lúc này, giá trị entropi ở trạng thái bất kỳ của quá trình được xác định chính xác tới một hằng số cộng. Với quá trình thuận nghịch: δQ SS =+ (4-24)’ O ∫ L T Với quá trình không thuận nghịch: δQ SS ≥+ (4-25)’ O ∫ L T Entropi là hàm đơn trị của trạng thái bên trong của hệ nhiệt động lực, là một đặc trưng của quá trình nhiệt động, và có tính chất cộng, nghĩa là, entropi cả một hệ các khối lượng vật chất, bằng tổng entropi của từng khối lượng riêng rẽ. Ký hiệu S là entropi của một đơn vị khối lượng môi trường, còn gọi là mật độ entropi, hay entropi riêng, thì entropi của toàn bộ khối lượng môi trường có thể tích V sẽ là: SSdv* =ρ∫ (4-26) V b) Định luật nhiệt động lực học thứ hai Khi quá trình là thuận nghịch từ (4-24)’ suy ra: δQ dS == hay TdSδ Q (4-27) T còn khi quá trình không thuận nghịch, từ (4-25)’ suy ra: δQ dS ≥≥ hay TdSδ Q (4-28) T Kết hợp cả (4-27) và (4-28) ta có định luật nhiệt động lực học thứ hai khẳng định rằng: Đối với quá trình nhiệt động lực bất kỳ, hiệu số (TdS* − δ Q) là một lượng không âm. TdS* −δ Q ≥ 0 (4-29) Dấu đẳng thức tương ứng với quá trình thuận nghịch, dấu bất đẳng thức tương ứng với quá trình không thuận nghịch. Áp dụng (4-29) cho một đơn vị khối lượng, thì định luật nhiệt động lực học thứ hai sẽ là: TdS−≥ dq 0 (4-30) Trong đó dq tính được từ (4-16): 1 dq=−⋅σε de d (4-31) ρ ij ij
c) Bất đẳng thức Clausius – tiêu chuẩn thuận nghịch Khi nghiên cứu quá trình thuận nghịch, Clausius thấy rằng, điều kiện (4-29) hay (4-30) chưa phải là điều kiện đủ cho một quá trình thuận nghịch, nghĩa là, nếu quá trình là thuận nghịch thì (TdS – dq) = 0, nhưng khi (TdS – dq) = 0 thì quá trình chưa chắc đã thuận nghịch. Sở dĩ như vậy, là do sự phân bố nhiệt trong môi trường không đều làm cho entropi tăng. Để có tiêu chuẩn đủ về tính thuận nghịch của quá trình, dựa vào tốc độ biến thiên của mật độ entropi, Clausius đưa ra bất đẳng thức sau đây, gọi là bất đẳng thức Clausius. dS 1 ∂ ⎛⎞c j −+b ⋅⎜⎟ ≥0 (4-32) dtρ∂xj ⎝⎠ T Dấu bằng ứng với quá trình thuận nghịch, dấu bất đẳng thức ứng với quá trình không thuận nghịch. d) Hàm hao tán Trong CHMTLT, giả sử có thể phân ten xơ ứng suất thành hai ten xơ: (C) (D) σ=σ+σij ij ij (4-33) (C) (D) Trong đó: σij là ten xơ ứng suất bảo toàn, σij là ten xơ ứng suất không bảo toàn, hay còn gọi là ten xơ ứng suất hao tán. Ví dụ, khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng nhớt, có thể phân tích ứng suất thành hai phần: Ứng suất do áp suất và ứng suất do tính nhớt của môi trường. Ngược lại, trong lý thuyết ()®h (d) dẻo, người ta lại phân tích biến dạng thành biến dạng đàn hồi εij và biến dạng dẻo εij . Lúc này phương trình năng lượng (4-16) có dạng de 1 1 dq =σε+σε+(C) &&(D) (4-34) dtρρij ij ij ij dt 1 Trong đó σε(D) & là tốc độ hao tán năng lượng trên một đơn vị khối lượng. ρ ij ij Nếu quá trình là thuận nghịch, thì không có hao tán năng lượng. Khi đó (4-34) kết hợp với (4-30) có dạng: de 1 dq 1 ds =σε+(C) && =σε+(C) T (4-35) dt ρρij ij dt ij ij dt gọi là đồng nhất thức Gibbs. So sánh (4-35) và (4-34) ta được: ds dq 1 T =+σε(D) & (4-36) dt dt ρ ij ij (D) σεij& ij gọi là hàm hao tán, hay là tốc độ hao tán năng lượng trên một đơn vị thể tích của môi (D) trường. Theo (4-30) Tds > dq, suy ra σijε& ij > 0, nghĩa là hàm hao tán xác định dương. 4.5. HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
Bài toán tổng quát của CHMTLT là xác định trường chuyển vị (ui), vận tốc (vi), gia tốc (wi), trường ứng suất (σij), biến dạng (εij), tốc độ biến dạng(ε&ij ) cùng các đại lượng vật lý khác như mật độ khối lượng (ρ), nhiệt độ (T) vận tốc truyền nhiệt (ci) của MTLT có thể tích (V) trong đó có lực thể tích (Pi) tác dụng; diện tích bề mặt bao quanh (S), trên đó có lực mặt (qni) tác dụng trên phần diện tích Sq, và chuyển vị hoặc vận tốc chuyển động đã biết trên phần diện tích Su, đồng thời chịu tác dụng của nhiệt độ. Để tìm nghiệm của bài toán, rõ ràng, phải dựa vào các phương trình biểu diễn các mối quan hệ giữa chúng với nhau cả về mặt động học, cũng như nhiệt động lực học. Các phương trình này đã được nghiên cứu trong các phần trên. Trong không gian Euclide ba chiều vuông góc, các phương trình đó có thể tóm tắt lại như sau: 1, Phương trình liên tục của khối lượng (4-3) ddρρ∂v r +ρi = +ρdivv = 0 (4-37) dt∂xi dt Khi môi trường không nén được: ∂v r i = divv = 0 (4-37)’ ∂xi 2, Phương trình chuyển động (cân bằng động) (3-33) ∂σ ij dvi +=ρPi (4-38) ∂xj dt Phương trình cân bằng tĩnh ∂σij +=P0i (4-38)’ ∂xj 3, Phương trình năng lượng (4-16) de 1 1 ∂c j =⋅σε+−⋅ij& ij b (4-39) dt ρρ∂xj 4, Phương trình truyền nhiệt Fourier (4-20) ∂T ckj =− (4-40) ∂xj 5, Phương trình Cauchy (2-34) 1 ⎛⎞∂u ∂u ε=i + j (4-41) ij ⎜⎟ 2 ⎝⎠∂∂xxji 6, Các phương trình xác định: là các phương trình xác lập mối quan hệ giữa ten xơ ứng suất σij và ten xơ biến dạng εij (hoặc với ten xơ tốc độ biến dạng ε&ij ): σij=σ(εij) (4-42) Các mối quan hệ này phụ thuộc vào môi trường, nên ta sẽ thiết lập chúng khi xem xét các môi trường cụ thể. 7, Ngoài ra còn có các phương trình liên quan tới nhiệt động học khi giải các bài toán về nhiệt, mà ta gọi là phương trình trạng thái, là phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa áp suất
nhiệt động (P*) với mật độ khối lượng (ρ) và nhiệt độ tuyệt đối (T), hay phương trình Calori biểu diễn quan hệ giữa mật độ nội năng (e) với ρ và T. P* = P*(ρ, T) (4-43) e = e(ρ, T) (4-43)’ Hệ các phương trình trên là đủ để lập và giải các bài toán của CHMTLT. Tuy nhiên, khi giải từng bài toán cụ thể, lời giải còn phải thoả mãn các điều kiện riêng của từng bài toán đó, mà ta gọi là điều kiện biên: về lực, về chuyển vị, về nhiệt độ, và điều kiện ban đầu trong bài toán động. Sau đây, ta xét một số MTLT gặp nhiều trong thực tế. 4.6. MÔI TRƯỜNG CHẤT LỎNG Chất lỏng là môi trường không có khả năng chống trượt khi vận tốc chuyển động và vận tốc biến dạng bằng không. ³ Khi chất lỏng đứng yên, mọi mặt cắt đi qua điểm xét đều là mặt chính ứng suất, hơn nữa, * các ứng suất chính đều có cùng một giá trị mà ta gọi là áp suất thủy tĩnh (ký hiệu là P).0 * Áp suất thuỷ tĩnh P0 là đại lượng thuần tuý cơ học, được xác định từ hệ phương trình cân bằng: * ∂P0 −=P0i (4-44) ∂xi và ten xơ ứng suất trong trường hợp này cũng đơn giản: * σij = - P0 δij (4-45) * ⎡⎤−P0 0 0 ⎢⎥* =−⎢⎥ 0 P0 0 (4-45)’ ⎢⎥* ⎣⎦ 0 0 − P0 * ³ Khi chất lỏng chuyển động, trên mặt cắt đi qua điểm xét, ngoài áp suất (ký hiệu là P ) còn có ứng suất tiếp (trượt) do tính nhớt của môi trường gây ra còn gọi là ứng suất nhớt. Mọi chất lỏng thực đều có tính nhớt và nén được. Khi tính toán, người ta thường phân ten xơ ứng suất σij thành hai thành phần: ten xơ ứng suất bảo toàn (liên quan tới áp suất) và ten xơ ứng suất hao tán hay ten xơ ứng suất nhớt (ký hiệu là τij). * σij = -P δij + τij (4-46) Áp suất P* trong chất lỏng, tự nó luôn tồn tại và là đại lượng phải tìm. * * Khi chất lỏng đứng yên, áp suất P chính là áp suất thủy tĩnh P0 . Còn khi chất lỏng chuyển động, áp suất P* còn gọi là áp suất nhiệt động học, và được xác định từ phương trình trạng thái (4-43). Ten xơ ứng suất nhớt τij phụ thuộc vào vận tốc biến dạng ε&ij , quan hệ này cho ta hệ phương trình xác định của môi trường. Trong trường hợp tổng quát ta có thể viết: τij = τ( ε&ij ) (4-47) Dựa vào (4-47), người ta phân chất lỏng thành nhiều loại:
Khi τij = 0 ta có chất lỏng lý tưởng. Khi (4-47) là tuyến tính, ta có chất lỏng nhớt tuyến tính, hay chất lỏng nhớt Newton. Khi (4-47) là phi tuyến, ta có chất lỏng nhớt phi tuyến, hay còn gọi là chất lỏng nhớt Stokes, tất nhiên lúc này bài toán sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Sau đây ta sẽ thiết lập hệ phương trình xác định cho một số mô hình chất lỏng hay dùng. 4.6.1 Chất lỏng lý tưởng Như đã nói, trong chất lỏng lý tưởng, ten xơ ứng suất nhớt, cũng tức là hàm hao tán bằng không với mọi biến dạng và mọi tốc độ biến dạng.Lúc này phương trình xác định có dạng: * σij = -P δij (4-48) Thay (4-48) vào phươngtrình chuyển động (4-38) ta được: * dvi ∂P ρ=−Pi (4-49) dt ∂xi Trong cơ học chất lỏng, người ta hay chọn chuyển vị và biến dạng làm ẩn cơ bản. Khi đó thường kết hợp các phương trình chuyển động (4-49) và phương trình liên tục (4-37) lập thành hệ phương trình để giải bài toán đặt ra. Tuy nhiên hệ phương trình này không kín (4 phương trình và 5 ẩn) nên phải bổ sung thêm phương trình. Ta xét vài trường hợp riêng. a) Chất lỏng lý tưởng Barotrop Chất lỏng lý tưởng Barotrop là chất lỏng lý tưởng mà áp suất P* chỉ phụ thuộc vào mật độ khối lượng: P* = P*(ρ). Như vậy, ta đã có hệ phương trình kín để giải bài toán chất lỏng lý tưởng Barotrop như sau: * ⎧ dvi ∂P ⎪ ρ=− Pi dt ∂x ⎪ i ⎪ dρ ∂v ⎨ +ρ i = 0 (4-50) ⎪ dt ∂xi ⎪ P =ρ P ( ) ⎪ ⎩ b) Chất lỏng lý tưởng không nén được Trong trường hợp này, phương trình liên tục có dạng đơn giản (4-37)’, mặt khác do mật độ ρ không đổi theo thời gian, nghĩa là luôn luôn có trị số bằng giá trị ρo ở thời điểm ban đầu, bài * toán chỉ còn 4 ẩn số là (vi và P ). Hệ kín bốn phương trình trong (4-51) * ⎧ dvi ∂P ⎪ ρ=− Pi ⎪ dt ∂xi ⎨ (4-51) ∂v ⎪ i = 0 ⎪ ⎩ ∂xi là đủ để giải bài toán trong trường hợp này.
4.6.2 Chất lỏng nhớt tuyến tính Newton a) Phương trình xác định Lúc này, quan hệ (4-47) có dạng tuyến tính τij = kijml ε&ml (4-52) Trong đó kijml là các hệ số nhớt của môi trường. Khi kijml là hằng số trong toàn môi trường, ta có chất lỏng thuần nhất. Khi kijml không phải hằng số ta có chất lỏng không thuần nhất. Xét trường hợp chất lỏng nhớt tuyến tính thuần nhất, đẳng hướng, khi đó ten xơ ứng suất nhớt như sau * & * τij = λ θ δij +2μ ε&ij (4-53) Trong đó λ* và μ* là các hệ số nhớt, phụ thuộc vào chất lỏng đang xét và được xác định bằng thực nghiệm. r & θ = ε&ii = divv (4-54) là tốc độ biến dạng thể tích tỷ đối. Đặt (4-53) vào (4-46) ta được phương trình xác định cho chất lỏng nhớt tuyến tính Newton nén được: * * & * σij = -P δij + λ θ δij +2μ ε&ij (4-55) hay dạng khai triển ⎧σ=−+λθ+μεP2 & *& ⎪ 11 11 & * ⎪σ=−+λθ+με22 P2&22 ⎪ ⎪σ=−+λθ+μεP2 & *& 33 33 (4-55)’ ⎨ * ⎪σ=σ=με12 21 2 &12 ⎪σ=σ=με2 * & ⎪ 23 32 23 ⎪ * & ⎩σ=σ=με31 13 2 31 Lúc này ứng suất trung bình sẽ bằng: 1 σ=σ=−+χθP & (4-56) tb3 ii 1 Trong đó χ= ()32 λ+μ (4-56)’ 3 gọi là hệ số nhớt khối. b) Phương trình chuyển động Phương trình chuyển động có được bằng cách thay (4-55) vào (4-38) kết hợp với phương trình Cauchy (4-41) * & dvi ∂∂θP *2 ρ =− +Pvii +() λ +μ +μ∇ (4-57) dt ∂∂xxii
Trong đó ∇2 là toán tử Laplace (1-17). (4-57) còn gọi là phương trình chuyển động Navier-Stokes của chất lỏng nhớt tuyến tính thuần nhất, đẳng hướng, nén được. Các phương trình (4-57) và (4-37) lập thành hệ phương trình không kín gồm bốn phương trình và năm ẩn. Để giải nó ta cũng phải bổ sung thêm phương trình. c) Hàm hao tán Khi chất lỏng chuyển động, sẽ kéo theo sự hao tán năng lượng. Hàm hao tán năng lượng trên một đơn vị thể tích, trong một đơn vị thời gian, ký hiệu là D, theo (4-36) sẽ là: (D) &&* & * && D2=σij ε ij =τε ij ij =( λθδij + μεij) ε ij *2& * D =λθ +2 με&&ij ε ij (4-58) d) Xét trường hợp riêng, khi chất lỏng Newton không nén được r Lúc này, theo (4-37)’: divv = θ&= 0, thay vào (4-55) và (4-57) ta có phương trình xác định và phương trình chuyển động trong trường hợp này đơn giản hơn nhiều. Phương trình xác định * * σij = -P δij +2μ ε&ij (4-59) Phương trình chuyển động Navier-Stokes * dvi ∂P *2 ρ=−++μ∇Pvii (4-60) dt ∂xi Hệ kín gồm phương trình (4-60) và (4-37)’ * ⎧ dvi ∂P *2 ⎪ρ=−++μ∇Pvii ⎪ dt ∂xi ⎨ (4-61) ∂v ⎪ i = 0 ⎪ ⎩∂xi đủ để giải các bài toán về chất lỏng nhớt Newton không nén được. Hàm hao tán trường hợp này có dạng đơn giản: * D =μεε2 &&ij ij (4-58)’ 4.6.3 Khái niệm về dòng chảy dừng, dòng chảy không xoáy và dòng chảy có thế a) Dòng chảy dừng Chuyển động của chất lỏng gọi là dừng nếu các thành phần vận tốc chuyển động không phụ ∂v thuộc thời gian: i = 0. Khi đó: ∂t dvii∂∂ v v i ∂ v i =+vvjj = (4-62) dt∂∂ t xxJJ ∂ Ví dụ, xét chất lỏng lý tưởng Barotrop chuyển động dừng, khi đó phương trình chuyển động có dạng:
* ∂vi ∂P ρ=vPji- (4-63) ∂∂xxJi b) Dòng chảy không xoáy: Dòng chảy, mà ten xơ xoáy vận tốc ( ω&ij ) bằng không ở mọi nơi gọi là dòng không xoáy. ∂v 1 ⎛⎞∂vi j ω=&ij ⎜⎟ − =0 (4-64) 2 ⎝⎠∂∂xxJi Đương nhiên lúc này véc tơ xoáy vận tốc cũng bằng không. ur Ký hiệu véc tơ xoáy vận tốc là Ω , khi đó theo định nghĩa: ur uurur e123 e e ur11 r ∂∂∂ r Ω=rot v = = 0 22∂∂∂xxx123 v123 v v ∂v ∂v Suy ra 3 −=2 0 (a) ∂∂xx23 ∂v ∂v 3 −=1 0 (b) ∂∂xx13 ∂∂vv 21−=0 (c) ∂∂xx12 r Đây chính là điều kiện để tồn tại một hàm ϕ khả vi để vgrad= ϕ , hay ∂ϕ vi = (4-65) ∂xi Hàm ϕ như vậy gọi là thế vận tốc. c) Dòng chảy có thế Dòng không xoáy còn gọi là dòng chảy có thế. Xét trường hợp dòng chảy có thế của chất lỏng không nén được. Phương trình liên tục ∂v i = 0 dẫn tới phương trình Laplace dùng để xác định hàm ϕ. ∂xi 2 ∂vi ∂∂ϕ∂ϕ⎛⎞ 2 ===∇ϕ⎜⎟ = 0 (4-66) ∂∂∂∂∂xxxxxiii⎝⎠ ii hàm ϕ là một hàm điều hoà. Trên đây là các phương trình cơ bản để lập và giải các bài toán đối với chất lỏng. Việc tính toán chi tiết được tình bày trong các giáo trình riêng về cơ học chất lỏng, hay thuỷ lực học. 4.7. MÔI TRƯỜNG CHẤT RẮN Chất rắn thường có mật độ khối lượng lớn, nên phương trình liên tục tự động thoả mãn. Lực liên kết giữa các phần tử vật chất lớn hơn nhiều so với chất lỏng.
Khi lực ngoài còn nhỏ, vật liệu môi trường đối xử đàn hồi, biến dạng lúc này gọi là biến dạng đàn hồi. Khi lực ngoài lớn đến một mức độ nào đó, vật liệu bị chảy dẻo, biến dạng lúc này gọi là biến dạng dẻo. Phương trình xác định trong hai trường hợp, rõ ràng là phải khác nhau. Đối với vật rắn biến dạng, người ta thường gọi phương trình xác định là phương trình vật liệu, hay phương trình vật lý. Khi vật rắn chịu tác dụng đồng thời cả lực ngoài và nhiệt độ, ta có thể xét riêng từng nguyên nhân rồi cộng kết quả lại. Cách làm như vậy gọi là phương pháp cộng tác dụng. 4.7.1 Lý thuyết đàn hồi Lý thuyết tính toán đối với vật rắn khi còn làm việc trong giai đoạn biến dạng đàn hồi gọi là Lý thuyết đàn hồi. Quá trình biến dạng đàn hồi là quá trình thuận nghịch. Phương trình vật liệu lúc này biểu diễn mối quan hệ giữa các thành phần của ten xơ ứng suất và các thành phần của ten xơ biến dạng. σij = σ(εij) hay εij = ε(σij) (4-67) Tuỳ theo quan hệ này là tuyến tính hay phi tuyến mà ta có lý thuyết đàn hồi tuyến tính và lý thuyết đàn hồi phi tuyến. Lý thuyết đàn hồi, đặc biệt là lý thuyết đàn hồi tuyến tính được ứng dụng rộng rãi trong tính toán kết cấu công trình, tính toán các chi tiết máy, vỏ tàu v v nên sẽ được trình bày chi tiết trong các chương sau. 4.7.2 Lý thuyết dẻo - điều kiện dẻo – phương trình vật liệu a) Điều kiện dẻo Đặc điểm của biến dạng dẻo là quá trình σ không thuận nghịch. Có thể mô tả quá trình biến dạng đàn hồi và quá trình biến dạng dẻo trên thí B nghiệm vật rắn chịu kéo (hoặc nén) thuần tuý. σ Ở nhiệt độ bình thường không đổi, quan hệ A giữa lực kéo và biến dạng dãn của mẫu thí σch nghiệm như trên hình 4-1. Khi ứng suất còn nhỏ hơn một giá trị nào đó, gọi là σch, (ứng suất pháp chảy) (ứng với điểm A trên hình vẽ) thì vật liệu ε O đối xử đàn hồi, nghĩa là đường tăng tải (đường εd ε Hình 4-1 liền nét) và đường giảm tải (đường nét đứt) trùng nhau, quá trình là thuận nghịch. Trong quá trình biến dạng không có hao tán năng lượng Khi ứng suất vượt quá σch (đến điểm B chẳng hạn), nghĩa là trong mẫu thí nghiệm đã xuất hiện vùng biến dạng dẻo, sau đó giảm tải thì đường giảm tải không trùng với đường tăng tải, quá trình là không thuận nghịch. Sau khi giảm hết tải, trong hệ vẫn còn một phần biến dạng dư lại gọi là biến dạng dẻo dư. Rõ ràng trong quá trình tăng và giảm tải này có sự hao tán năng lượng
Trường hợp kéo (nén) thuần tuý, bằng thực nghiệm ta xác định được giá trị giới hạn của ứng suất (σch), để khi ứng suất đạt tới giá trị đó sự chảy dẻo của vật liệu bắt đầu xảy ra. Trường hợp chịu lực tổng quát, khi nào trong vật thể xuất hiện biến dạng dẻo đầu tiên. Đây là vấn đề phức tạp, bởi vì có vô số các tổ hợp các thành phần ứng suất có thể xảy ra, nên không thể tiến hành thí nghiệm để tìm ra tổ hợp ứng suất gây ra biến dạng dẻo đầu tiên đó. Trong thực tế, trạng thái mà biến dạng dẻo đầu tiên xuất hiện trong vật thể, người ta phải phán đoán. Các luận cứ đưa ra để phán đoán như vậy ta gọi là điều kiện dẻo. Điều kiện dẻo thường được biểu diễn bằng một hàm, là tổ hợp như thế nào đó các thành phần của ten xơ ứng suất, mà khi tổ hợp đó xảy ra, báo hiệu sự chảy dẻo bắt đầu, đương nhiên đó cũng là giới hạn của trạng thái đàn hồi. f (σij, K) = 0 (4-68) Trong đó K là hằng số xác định đặc trưng dẻo của vật liệu (ví dụ σch) Nếu f < 0 vật thể ở trạng thái đàn hồi Nếu f = 0 vật liệu bắt đầu chảy dẻo. Hàm f (σij, K) gọi là hàm dẻo Vì hàm dẻo hoàn toàn độc lập với hệ toạ độ, nên nó cũng có thể biểu diễn qua các bất biến của trạng thái ứng suất. f (Ii, K) = 0 (4-69) Qua nhiều thí nghiệm người ta thấy rằng (Lode 1926), áp suất thuỷ tĩnh không làm cho vật liệu chảy dẻo. Như vậy, hàm dẻo chỉ liên quan tới các thành phần của ten xơ lệch ứng suất, hoặc các bất biến của nó, nghĩa là điều kiện dẻo có thể có dạng như sau: '' f( I23 ,I ,K) = 0 (4-70) Sau đây là một số điều kiện dẻo hay dùng trong lý thuyết dẻo. Điều kiện dẻo Tresca Tresca (1864), bằng con đường thực nghiệm, đã đưa ra một điều kiện dẻo như sau đây, còn gọi là điều kiện dẻo ứng suất tiếp lớn nhất. 1 f0= τ −τ =() σ −σ −τ = (4-71) max ch2 1 3 ch Điều kiện dẻo Huber – Mises – Hencky Huber (1904), Mises (1913) và Hencky (1924) tuy ở các thời điểm khác nhau, nhưng đã cùng đưa ra một điều kiện dẻo như nhau một cách hoàn toàn độc lập. '2 fI=−τ=2ch 0 (4-72) ' trong đó I2 là bất biến thứ hai của ten xơ lệch ứng suất, còn τch là ứng suất tiếp chảy, có thể xác định từ thí nghiệm xoắn thuần tuý thanh tròn. b) Phương trình xác định - qui luật dẻo Khi vật liệu làm việc trong giai đoạn biến dạng dẻo, phương trình xác định, còn gọi là qui luật dẻo, thường phân thành hai loại: lý thuyết biến dạng dẻo và lý thuyết chảy dẻo. b1 Lý thuyết chảy dẻo (hay lý thuyết số gia biến dạng dẻo) là lý thuyết thiết lập mối quan hệ giữa ten xơ ứng suất với ten xơ tốc độ biến dạng (hay ten xơ số gia biến dạng). Có thể nói
P.Saint-Venant là người đầu tiên đưa ra ý tưởng thiết lập mối quan hệ giữa các biến dạng dẻo với các thành phần ứng suất (1870). Sau đó Lévy (1871), rồi Mises (1913) đã tổng quát hoá quan hệ của Saint-Venant để thiết lập nên qui luật dẻo Lévy – Mises nói rằng: các số gia biến dạng toàn phần tỷ lệ với các ứng suất thu gọn. dεij = dλ Sij (4-73) Trong đó dλ ≥0 là thừa số dẻo, là hàm của ten xơ ứng suất và ten xơ số gia biến dạng dεij. Năm 1925 Prandtl phân tích biến dạng toàn phần thành hai phần: biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo để thiết lập qui luật dẻo: ®h d ε=ε+εij ij ij (4-74) Sau đó Reuss (1930) đã mở rộng quan hệ này để thiết lập nên qui luật dẻo mang tên Prantl – Reuss như sau: dS de=+λij d S (4-75) ij2G ij Lý thuyết Prantl – Reuss được coi là khá hoàn thiện và phù hợp tốt với các kết quả thực nghiệm. Tuy nhiên việc giải toán còn gặp nhiều khó khăn do quan hệ này là phi tuyến. b2 Lý thuyết biến dạng dẻo Hencky (1924) Lý thuyết này thiết lập mối quan hệ trực tiếp giữa ten xơ lệch ứng suất và ten xơ lệch biến dạng dẻo do Hencky đưa ra năm 1924, nhờ vào việc đưa thêm đại lượng mô đuyn dẻo của vật liệu, giúp chuyển bài toán dẻo về bài toán đàn hồi thông thường đơn giản hơn: xem (5-30) SS S ee=+=+®h ed ij ij = ij (4-76) ij ij ij 2G ψ 2G' 111 Trong đó =+ (4-77) 2G' 2G ψ G gọi là mô đuyn đàn hồi trượt của vật liệu, là một hằng số vật liệu, xác định bằng thực nghiệm. (Xem chương 5) ψ, G’ gọi là mô đuyn dẻo của vật liệu, phụ thuộc vào trạng thái ứng suất tại điểm xét. Qui luật dẻo (4-76) cũng có dạng phi tuyến, tuy nhiên việc giải toán có đơn giản hơn lý thuyết của Prantl – Reuss. Hệ các phương trình xác định (4-75) hay (4-76) cùng các phương trình cơ bản trong mục 4.5 cho phép ta giải được các bài toán của lý thuyết dẻo, chi tiết có thể xem trong các giáo trình chuyên sâu về lý thuyết dẻo.
CHƯƠNG V LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.1THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI RIÊNG VÀ THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI BÙ RIÊNG 5.1.1 Thế năng biến dạng đàn hồi riêng trong trường hợp tổng quát – Công thức Green Như đã nói, khi vật thể bị biến dạng do các tác dụng ngoài, trong hệ xuất hiện nội lực, đồng thời cũng tích luỹ một năng lượng mà ta gọi là năng lượng biến dạng. Năng lượng này tồn tại ở dạng thế năng, nên còn gọi là thế năng biến dạng, nghĩa là nó luôn luôn ở trạng thái sẵn sàng sinh công, để khi cất tải, vật thể có thể khôi phục lại hình dạng ban đầu hoàn toàn hoặc một phần. Với vật thể đàn hồi, năng lượng này gọi là năng lượng biến dạng đàn hồi, nó không bị hao tán trong quá trình tích luỹ và giải phóng năng lượng, do đó, sau khi cất hết tải trọng ngoài, vật thể khôi phục lại hoàn toàn hình dạng ban đầu. Về trị số, năng lượng biến dạng đàn hồi (NLBDĐH) bằng công của nội lực thực hiện trên các biến dạng tương ứng. NLBDĐH tích luỹ trong một đơn vị thể tích tại lân cận điểm xét gọi là mật độ NLBDĐH, hay NLBDĐH riêng, hay còn gọi là thế đàn hồi riêng, ký hiệu là W. Theo định nghĩa như trên, ta có: W = ρ.e (5-1) hay dW = ρde (5-1)’ Thay (4-19) vào (5-1)’ với chú ý dq = 0 (không có nhiệt độ) dW = σijdεij (5-2) εεij ij hay W= dW = σ dε= σεd ε (5-2)’ ∫∫ij ij ∫()ij ij 00 Theo (5-2)’ hàm thế đàn hồi riêng W là một hàm của các thành phần biến dạng εij, nên vi phân toàn phần bậc nhất của nó là ∂W dW= dεij (5-3) ∂εij So sánh (5-3) và (5-2) ta rút ra ∂W σ=ij (5-4) ∂εij Các thành phần của ten xơ ứng suất bằng đạo hàm riêng của hàm thế đàn hồi riêng theo thành phần biến dạng tương ứng. (5-4) còn gọi là công thức Green. 5.1.2 Thế năng biến dạng đàn hồi bù riêng trong trường hợp tổng quát – Công thức Castigliano Hoàn toàn tương tự như trên, ta đưa ra khái niệm thế năng biến dạng đàn hồi bù riêng, còn gọi là thế đàn hồi bù riêng cho vật thể đàn hồi phi tuyến bất kỳ, ký hiệu W± , được định nghĩa như sau: ± dW=εij d σ ij (5-5)
σij σij hay WdWd±±==εσ=εσσ d (5-5)’ ∫∫ij ij ∫()ij ij 00 Hàm thế đàn hồi bù riêng W± là một hàm của các thành phần ứng suất, nên vi phân toàn phần bậc nhất của nó sẽ là ± ± ∂W dW=σ d ij (5-6) ∂σij So sánh (5-6) và (5-5) ta có công thức Castigliano ∂W± ε=ij (5-7) ∂σij cho phép xác định các thành phần biến dạng qua hàm thế năng bù riêng. Các công thức Green (5- 4) và Castigliano (5-7) dùng cho vật liệu đàn hồi bất kỳ, tổng quát. Để thấy rõ ý nghĩa của thế năng riêng và thế năng bù riêng, ta xét vật thể đàn hồi phi tuyến chịu kéo (nén) thuần tuý. Quan hệ σ-ε trong trạng thái ứng suất đơn như trên hình (5-1). Khi ứng suất đạt giá trị σo nào đó thì biến σ dạng đạt giá trị εo (ứng với điểm B trên quá trình). B σ Theo (5-2)’ thì thế đàn hồi riêng W có giá trị bằng 0 W diện tích giới hạn giữa đường cong quan hệ σ-ε A 1 d σ εdσ với trục ε, còn thế đàn hồi bù riêng, theo (5-5)’, σ có giá trị bằng diện tích giới hạn giữa đường cong A ε W d σ quan hệ σ-ε với trục σ. Tức là: ε ε ε 0 d ε ° W + W= σoεo Hình 5-1 5.1.3 Trường hợp vật liệu đàn hồi tuyến tính Từ ý nghĩa của hàm thế đàn hồi riêng như trên, khi vật liệu đàn hồi tuyến tính, quan hệ σ-ε 1 là đường thẳng, nên W = W° =σε (5-8) 2 Trường hợp trạng thái ứng suất tổng quát, quan hệ (4-67) có dạng tuyến tính σij = Hijmlεml (5-9) Trong đó Hijml là các hằng số đàn hồi. Hàm thế đàn hồi riêng (5-2)’ là một hàm đẳng cấp bậc hai không có số hạng bậc nhất của các biến εij, nên theo định lý Euler đối với hàm đẳng cấp thuần nhất bậc n, ta có 1W∂ 1 ° W = ε=ij σε= ij ij W (5-10) 22∂εij Có thể thấy rằng (5-10) chính là (5-8) khi áp dụng nguyên lý cộng tác dụng cho trường hợp phức tạp. Dạng khai triển của (5-10) như sau:
1 W=W° = []σ ε +σ ε +σ ε +σ ε +σ ε +σ ε +σ ε +σ ε +σ ε (5-10)’ 2 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33 hoặc do tính đối xứng của σij và εij nên: 1 WW=° =[] σ ε +σ ε +σ ε +σ γ +σ γ +σ γ (5-10)” 2 11 11 22 22 33 33 12 12 23 23 31 31 5.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA TEN XƠ ỨNG SUẤT VÀ TEN XƠ BIẾN DẠNG BÉ – ĐỊNH LUẬT HOOKE 5.2.1 Vật thể dị hướng a) Định luật Hooke mở rộng Khi vật rắn là đàn hồi tuyến tính thuần nhất bất kỳ, quan hệ giữa các thành phần của ten xơ ứng suất với các thành phần của ten xơ biến dạng là quan hệ tuyến tính (5-9). Đây là một hệ gồm 9 phương trình 9 ẩn số. Trong khi đó, σij và εij là các ten xơ hạng hai đối xứng, chỉ có 6 thành phần độc lập: σ11, σ22, σ33, σ12=σ21, σ23=σ32, σ31=σ13, do đó, ta chỉ cần thiết lập mối quan hệ giữa sáu thành phần độc lập của ten xơ ứng suất σij với sáu thành phần độc lập của ten xơ biến dạng εij là đủ. Như vậy, từ nay, thay cho (5-9) ta dùng quan hệ (5-11) sau đây: ⎧⎫σ11 ⎡⎤ a11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 ⎧ε11 ⎫ ⎢⎥ ⎪⎪σ a a a ⎪ε ⎪ ⎪⎪22 ⎢⎥21 22 26 ⎪ 22 ⎪ ⎪⎪σ33 ⎢⎥ a31 a 32 a36 ⎪ε33 ⎪ ⎨⎬= ⎢⎥ ⎨ ⎬ (5-11) ⎪⎪σ12 ⎢⎥ a41 a 42 a 46 ⎪ε12 ⎪ ⎪⎪σ ⎢⎥ a a a ⎪ε ⎪ ⎪⎪23 ⎢⎥51 52 56 ⎪ 23 ⎪ ⎩⎭⎪⎪σ31 ⎢⎥⎣⎦ a61 a 62 a66 ⎩⎭⎪ε31 ⎪ hay {σ=} [a] { ε} (5-11)’ T Trong đó {σ=σ} { 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 23 σ 31} (5-12) là véc tơ gồm các thành phần ứng suất độc lập đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại một điểm. T {}ε=ε {11 ε 22 ε 33 ε 12 ε 23 ε 31} (5-13) là véc tơ gồm các thành phần biến dạng đặc trưng cho trạng thái biến dạng tại một điểm. ⎡⎤ a11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 ⎢⎥ a a a ⎢⎥21 22 26 ⎢⎥ a a a 31 32 36 ⎡⎤ []a = ⎢⎥= ⎣⎦aij ()i,j=1,2, ,6 (5-14) ⎢⎥ a41 a 42 a 46 ⎢⎥ a a a ⎢⎥51 52 56 a a a ⎣⎦⎢⎥61 62 66 66x là ma trận các hằng số đàn hồi của vật liệu đồng nhất, dị hướng. Quan hệ (5-11) gọi là định luật Hooke mở rộng đối với vật rắn đồng nhất, dị hướng, nghĩa là tính chất đàn hồi của vật liệu tại các điểm đều như nhau, nhưng theo các phương là khác nhau.
Theo (5-14) vật liệu dị hướng có 36 hằng số đàn hồi. Tuy vậy, ta sẽ chứng minh được ma trận [a] đối xứng, nghĩa là chỉ có 21 hằng số đàn hồi độc lập. Để chứng minh điều này, ta xuất phát từ hàm thế đàn hồi riêng W. Thật vậy, nếu ta đạo hàm hai lần W theo hai biến εij nào đó, ví dụ ε11 và ε23, kết hợp với (5- 11), từ (5-10)’ ta được: ∂W1σ11 ==()aa11 ε+ε+ε+ε+ε+ε 11 12 22 aaaa 13 33 14 12 15 23 16 31 tiếp theo ∂ε11 22 2 ∂ W1 a15 ==()a15 (a) ∂ε11 ∂ε 23 22 Bây giờ, ta lại thực hiện hai lần đạo hàm như trên nhưng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là: ∂W1 1 = σ=23()aa 51 ε+ 11 52 ε+ 22 aaaa 53 ε+ 33 54 ε+ 12 55 ε+ 23 56 ε 31 ∂ε23 22 ∂2 W1 = a51 (b) ∂ε23 ∂ε 11 2 Vì phép đạo hàm không phụ thuộc thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta có a15 = a51 (c) Làm tương tự cho các trường hợp còn lại ta được a12 = a21; a13 = a31; a14 = a41; a15 = a51; v v hay tổng quát aij = aji (i,j = 1,2, .,6) (5-15) Ma trận [a] đối xứng. b) Hàm thế đàn hồi biểu diễn qua các thành phần biến dạng Lúc này hàm thế đàn hồi cho vật liệu dị hướng biểu diễn qua biến dạng: 13 WW=° = a ε+2 a εε+ a εε+ε()a ε+ a ε+ a ε + 2211 11 12 11 22 13 33 11 11 14 12 15 23 16 31 13 + aε+2 a εε+ε()a ε+ a ε+ a ε + 2222 22 23 22 33 22 24 12 25 23 26 31 13 + a ε+ε2 ()a ε+ a ε+ a ε + 2233 33 33 34 12 35 23 36 31 2 + a44ε+ε 12 12() a 45 ε+ 23 2a 4631ε+ 2 + a55ε+ 23 2a 56 εε+ 23 31 2 + a66 ε31 (5-16) 5.2.2 Vật thể trực hướng a) Khi vật thể có một mặt phẳng đối xứng đàn hồi, nghĩa là tính chất đàn hồi của vật thể đối xứng qua mặt đó, giả sử là mặt phẳng toạ độ x1x2. Lúc này, nếu đổi chiều trục x3, thì các biến ' dạng góc trong mặt phẳng x1x3 và x2x3 sẽ đổi dấu mà không thay đổi trị số, nghĩa là ε13 = - ε13; ' ε23 = - ε23 (dấu ( ‘ ) là trong hệ toạ độ mới), còn các thành phần biến dạng khác không thay đổi.
Thế đàn hồi W bất biến qua phép biến đổi toạ độ, do đó trong biểu thức của W (5-16), hệ số của các số hạng có thừa số ε13 và ε23 bậc một phải bằng không. Nghĩa là a16 = a26 = a36 = 0 a15 = a25 = a35 = 0 a45 = a46 = 0 Như vậy, khi có một mặt phẳng đối xứng đàn hồi, vật liệu chỉ còn 13 hằng số độc lập. b) Vật thể trực hướng nếu có ba mặt phẳng đối xứng đàn hồi vuông góc nhau như: gỗ, tre, thép cán, các tấm sàn có hệ dầm trực giao v v Nếu chọn ba mặt phẳng đối xứng này làm các mặt phẳng toạ độ, lập luận hoàn toàn như trên, ta có thêm các hằng số bằng không là: a14 = a24 = a34 = a56 = 0 Đối với vật thể trực hướng, chỉ có 9 hằng số đàn hồi độc lập. ⎡⎤ a11 a 12 a 13 0 0 0 ⎢⎥ a a 0 0 0 ⎢⎥22 23 ⎢⎥ a 0 0 0 []a = ⎢⎥33 (5-17) ⎢⎥ ®\x a44 0 0 ⎢⎥ a 0 ⎢⎥55 ⎣⎦⎢⎥ a66 Nhìn vào (5-17), ta thấy hệ phương trình xác định (định luật Hooke) phân thành hai nhóm độc lập: Các ứng suất pháp chỉ liên quan với các biến dạng dài tỷ đối, còn các ứng suất tiếp chỉ liên quan với các biến dạng góc. ⎧σ=11aa 11 ε+ 11 12 ε+ 22 a 13 ε 33 ⎪σ=aa ε+ ε+ a ε ⎪ 22 21 11 22 22 23 33 ⎪ ⎪σ=33aa 31 ε+ 11 32 ε+ 22 a 33 ε 33 ⎨ (5-18) ⎪σ=12a 44 ε 12 ⎪σ=a ε ⎪ 23 55 23 ⎩⎪σ=31a 66 ε 31 c) Nếu các trục toạ độ trùng với các phương chính biến dạng: nghĩa là ε12= ε13= ε23=0, thay vào (5-18) ta được σ12 = σ23 = σ31 = 0, điều này có nghĩa là đối với vật thể đàn hồi trực hướng, biến dạng bé, trục chính biến dạng trùng với trục chính ứng suất. d) Vật thể đối xứng lập phương là vật thể trực hướng, đồng thời tính đối xứng trong ba mặt phẳng đối xứng như nhau, nghĩa là ba trục toạ độ xi có thể đổi chỗ cho nhau mà không làm thay đổi thế đàn hồi riêng. Từ đây suy ra tiếp: a11 = a22 = a33 a12 = a13 = a23 và a44 = a55 = a66 Như vậy, chỉ còn lại 3 hằng số đàn hồi độc lập, giả sử là a11, a12 và a44. Lúc này, hệ phương trình định luật Hooke có dạng đơn giản.
⎧σ=11aa 11 ε+ 11 12( ε+ε 22 33 ) ⎪ ⎪σ=22aa 11 ε+ 22 12() ε+ε 33 11 ⎪ ⎪σ=aa ε+() ε+ε ⎨ 33 11 33 12 11 22 (5-19) ⎪σ=12a 44 ε 12 ⎪σ=a ε ⎪ 23 44 23 ⎪ ⎩σ=31a 44 ε 31 còn hàm thế đàn hồi có dạng ° a11 22 2 22 2 WW== () ε11 +ε 22 +ε 33 + a 12() ε 11 ε 22 +ε 22 ε 33 +ε 33 ε 11 + a 44() ε 12 +ε 23 +ε 31 (5-20) 2 5.2.3 Vật thể đàn hồi tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng Vật thể đồng nhất, đẳng hướng là vật thể mà tính chất đàn hồi như nhau tại mọi nơi và theo mọi phương, tính chất đàn hồi không thay đổi với mọi hệ toạ độ. Để xác định ba hằng số đàn hồi còn lại: a11, a12, a44 ta xuất phát từ hệ toạ độ các trục chính (trục chính ứng suất trùng trục chính biến dạng). Từ (5-20) có a11 222 Wa=() ε123 +ε +ε + 12122331() εε +ε ε +ε ε hay bằng 2 a 2 =11 ()()() ε +ε +ε +aa − εε +ε ε +ε ε (5-21) 2 123 1211122331 Theo các bất biến của trạng thái biến dạng (2-43) ta có: ε1 + ε2 + ε3 = ε11 + ε22 + ε33 = J1 (a) 222 ()εε12 +ε 23 ε +ε 31 ε =J 2 =ε 1122 ε +ε 2233 ε +ε 3311 ε −( ε 12 +ε 23 +ε 31) (b) Thay (a), (b) vào (5-21) ta có hàm W trong hệ toạ độ không trùng với các trục chính a11 2 222 Wa=()() ε11 +ε 22 +ε 33 + 12 −a 11() ε 11 ε 22 +ε 22 ε 33 +ε 33 ε 11 −ε 12 −ε 23 −ε 31 2 a11 22 2 22 2 =() ε11 +ε 22 +ε 33 +aa 12() ε 11 ε 22 +ε 22 ε 33 +ε 33 ε 11 −( 12 −a 11)() ε 12 +ε 23 +ε 31 (5-22) 2 So sánh (5-22) với (5-20) ta được: a44 = (a11- a12) (c) Như vậy, vật thể đồng nhất đẳng hướng chỉ có hai hằng số đàn hồi độc lập. Đặt a12 = λ và a44 = 2G thì a11 = a44 + a12 = (λ+2G) (5-23) Thay (5-23) vào (5-19) ta có định luật Hooke cho vật thể đàn hồi tuyến tính đồng nhất đẳng hướng là:
⎧σ11 =() λ+2G ε11 +λ( ε 22 +ε 33 ) =2G ε11 +λθ ⎪ ⎪σ=22 2G ε+λθ22 ⎪σ=2G ε+λθ ⎨ 33 33 (5-24) ⎪σ=122G ε=γ 12 G 12 ⎪σ=2G ε=γ G ⎪ 23 23 23 ⎩⎪σ=312G ε=γ 31 G 31 hay tổng quát σij = 2Gεij + λθδij (5-24)’ Trong đó λ, G là các hằng số Lamé, G còn gọi là mô đuyn đàn hồi trượt của vật liệu. θ = εii = (ε11 +ε22 +ε33) là biến dạng thể tích tỷ đối Ký hiệu S = σii = σ11 + σ22 + σ33 (5-25) gọi là hàm tổng ứng suất pháp trên ba mặt vuông góc. Cộng ba phương trình đầu của (5-24) được S = (2G + 3λ)θ = Kθ (5-26) gọi là định luật Hooke khối. Trong đó: K = (2G + 3λ) (5-27) gọi là mô đuyn đàn hồi thể tích của vật liệu Giải ngược (5-24) ta có 1 ε=ij () σ−λθδij ij 2G 1 ⎡⎤λ =σ−⎢⎥ij S δij (d) 2G⎣⎦⎢⎥() 2G+λ 3 G2G3()+λ λ Đặt: E = và μ= (5-28) ()λ+G 2G()λ+ hay ngược lại E μE G = và λ= (5-28)’ 21()+μ ()()112+ μ−μ Thay (5-28)’ vào (d) và biến đổi ta được 1+μ μ ε= σ− σ δ (5-29) ij EEij KK ij hay ở dạng khai triển:
⎧ σ μ ε=11 −() σ+σ ⎪ 11 EE22 33 ⎪ σ μ ⎪ε=22 −() σ+σ ⎪ 22 EE33 11 ⎪ σ μ ⎪ε=33 −() σ+σ ⎪ 33 EE11 22 ⎨ (5-29)’ 1+μ σ ⎪ε= σ=12 ⎪ 12 E2G12 ⎪ 1+μ σ ⎪ε= σ=23 ⎪ 23 E2G23 ⎪ 1+μ σ ⎪ε= σ=31 ⎩ 31 E2G31 Các hệ số λ, G, E, K đều có thứ nguyên của ứng suất, còn μ không có thứ nguyên. Tóm lại, ta có ba dạng của định luật Hooke mà trong các phần sau sẽ được sử dụng nhiều là: (5-24) biểu diễn ứng suất qua biến dạng (5-29) biểu diễn biến dạng qua ứng suất (5-26) biểu diễn quan hệ giữa hàm tổng ứng suất pháp và hàm tổng biến dạng dài tỷ đối theo ba phương vuông góc. Hai hằng số E và μ được xác định dễ dàng từ thí nghiệm kéo (nén) các mẫu vật liệu. Ký hiệu phương bị kéo (nén) là phương 1, hai phương còn lại là 2 và 3 thì ta có σ1≠ 0 , σ2 = σ3 = 0, trạng thái ứng suất như thế này ta gọi là trạng thái ứng suất đơn. Đường quan hệ σ1- ε1 cho vật liệu đàn hồi tuyến tính như trên hình Hình 5-2 Từ (5-29) ta có: σ1 σ1 = E ε1 = tgα ε1 hay E = tgα (e) E gọi là mô đuyn đàn hồi của vật liệu trong kéo σ1 (nén) hay còn gọi là mô đuyn đàn hồi Young. Khi phương 1 bị dãn (hay co) do kéo (hay nén) thì ε O α 1 phương ngang (2 và 3) sẽ bị co (hoặc dãn nở), ta có ε1 quan hệ ε2 = ε3 = -με1 (f) Hình 5-2 μ gọi là hệ số nở ngang của vật liệu, hay còn gọi là hệ số poisson. Dấu trừ (-) trong (f) nói rằng, khi phương 1 bị dãn thì phương 2 và 3 bị co và ngược lại. Hệ số poisson biến thiên từ 0 tới 0,5, vật liệu càng có tính đàn hồi lớn, hệ số μ càng lớn. Thép xây dựng thông thường có μ ≈ 0,3 còn E ≈ 2,1.104kN/cm2. Đồng có μ ≈ 0,34 còn E ≈ 1,1.104kN/cm2. Đối với vật thể đàn hồi tuyến tính đồng nhất đẳng hướng, người ta cũng sử dụng quan hệ giữa các thành phần ten xơ lệch ứng suất Sij và ten xơ lệch biến dạng eij. 1 Sij = 2G eij hay eS= (5-30) ij 2G ij đây chính là quan hệ mà Hencky đã sử dụng để thiết lập lý thuyết biến dạng dẻo (4-76) mang tên ông
5.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG BIẾN DẠNG BÉ Bài toán tổng quát được phát biểu như sau: cho vật thể đàn hồi tuyến tính đẳng hướng có mật độ khối lượng ρ, thể tích V và bề mặt bao quanh S ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của lực khối cường độ Pi, lực mặt trên diện tích Sq cường độ qni và chuyển vị đã biết trên bề mặt Su. Yêu cầu xác định trường ứng suất σij, trường chuyển vị ui và trường biến dạng εij phát sinh trong vật thể, với giả thiết vật thể ban đầu ở trạng thái tự nhiên, nghĩa là nếu không có ngoại lực tác dụng thì trong vật thể không có ứng suất cũng như không có biến dạng. Hệ các phương trình cơ bản để giải bài toán nêu trên bao gồm: Với bài toán tĩnh 1, Phương trình cân bằng Navier (3 phương trình) ∂σij +=P0i (5-31) ∂xj 2, Phương trình hình học Cauchy (6 phương trình) 1 ⎛⎞∂u ∂u ε=i + j (5-32) ij ⎜⎟ 2 ⎝⎠∂∂xxji 3, Phương trình liên tục Saint – Venant (6 phương trình) ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ij +=+kl ik jl (5-33) ∂xkl ∂ x ∂∂ xx ij ∂∂ xx jl ∂∂ xx ik 4, Phương trình định luật Hooke ³ Biểu diễn ứng suất qua biến dạng (6 phương trình) σij = 2Gεij + λθδij (5-34) ³ Biểu diễn biến dạng qua ứng suất (6 phương trình) 1+μ μ ε= σ− σ δ (5-35) ij EEij KK ij Bài toán có 15 hàm ẩn (6 thành phần ứng suất, 6 thành phần biến dạng và 3 thành phần chuyển vị) sẽ xác định được từ hệ 15 phương trình độc lập khép kín (3 phương trình cần bằng, 6 phương trình hình học và 6 phương trình định luật Hooke). Với bài toán động, chỉ việc thay phương trình cân bằng (5-31) bằng phương trình chuyển động (4-38), đồng thời phải sử dụng điều kiện ban đầu. Bài toán đàn hồi tuyến tính đề cập ở chương này bao gồm tuyến tính về mặt vật lý (định luật Hooke) và tuyến tính về mặt hình học (phương trình Cauchy) nghĩa là biến dạng bé. 5.4. CÁC CÁCH GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Như đã thấy, 15 ẩn số của bài toán đàn hồi có liên quan với nhau qua các phương trình hình học Cauchy, và các phương trình định luật Hooke. Do đó, trong thực tế, ta không giải đồng thời hệ 15 phương trình chứa 15 hàm ẩn nói trên, mà trước hết ta chọn một số ẩn nào đó làn ẩn cơ bản giải trước, sau đó mới xác định các ẩn còn lại. Nếu lấy chuyển vị làm ẩn cơ bản (3 ẩn): Sau khi có chuyển vị, thay vào (5-32) ta tính được biến dạng, lại thay vào (5-34) sẽ tính ra ứng suất. Cách giải như vậy ta gọi là cách giải theo chuyển vị hay là phương pháp chuyển vị.
Nếu lấy ứng suất làm ẩn cơ bản (6 ẩn) ta có cách giải theo ứng suất hay phương pháp lực. Theo cách này, sau khi có ứng suất, thay vào (5-35) sẽ xác định được biến dạng, lại thay vào (5- 32) sẽ tính ra chuyển vị. Ngoài hai cách trên, trong một số bài toán, người ta lấy một số chuyển vị và một số ứng suất làm ẩn cơ bản lại tỏ ra thuận tiện, đây gọi là cách giải hỗn hợp hay là phương pháp hỗn hợp. Việc chọn phương pháp nào để giải bài toán là phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể, mà người giải phải cân nhắc, xem xét sao cho việc giải toán là đơn giản nhất. 5.4.1 Cách giải theo chuyển vị - Phương trình Lamé Muốn giải theo chuyển vị, trước hết ta phải biểu diễn các phương trình cơ bản theo chuyển vị, mà cụ thể là phương trình cân bằng (5-31). Muốn thế, ta viết định luật Hooke theo chuyển vị nhờ phương trình Cauchy, rồi thay vào phương trình cân bằng. Cụ thể: ⎡⎤ 1 ∂ui ∂u j σij =2G ε ij + λθδ ij = 2G ⎢⎥ + + λθδij 2 ⎣⎦⎢⎥∂∂xxji ⎡⎤ ∂ui ∂u j =++λθδ G ⎢⎥ij thay vµo (5 - 31) ®−îc ⎣⎦⎢⎥∂∂xxji ∂σij ∂ ⎡⎤⎛⎞∂u ∂u j +=PG⎢⎥⎜⎟i + +λθδ+=P 0 hay ∂∂∂∂xxxxii⎜⎟ji jjji⎣⎦⎢⎥⎝⎠ ⎡⎤2 2 ∂ ui ∂ u j ∂θ G ⎢⎥+ +λδij +P0 i = ⎣⎦⎢⎥∂∂xxjj ∂∂xxij ∂ x j ⎡⎤2 ∂∂θ Gu⎢⎥∇+ii θ+λ+=P0 ⎣⎦∂∂xxii 2 2 ∂θ ⎡dui ⎤ Gu∇++λ+=ii() G P 0⎢ 2 ⎥ (5-36) ∂xi ⎣ dt ⎦ (5-36) là phương trình cân bằng viết theo chuyển vị, còn gọi là phương trình Lamé, dùng để giải bài toán đàn hồi theo chuyển vị. Nó là tổng hợp của các phương trình cân bằng, phương trình hình học và định luật Hooke. ³ Xét trường hợp riêng khi lực thể tích là hằng số - là trường hợp thường gặp trong thực tế, khi đó, nếu đạo hàm phương trình Lamé theo biến xi ta được: ∂∂∂θ2 Gu∇+i () G +λ= 0 ∂∂∂xxxiii ∂u ∂θ2 GG∇++λ=2 i () 0 ∂∂∂xxxiii G∇θ+22() G +λ∇θ= 0 hay ∇2 θ = 0 (5-37) Do θ tỷ lệ với hàm tổng ứng suất pháp S, nên suy ra ∇2 S = 0 (5-38) 2 Bây giờ ta tác động toán tử ∇ vào phương trình Lamé.
22 ∂ 2 GuG∇∇i +() +λ ∇θ= 0 hay ∂xi Vì ∇2 θ = 0 nên 22 ∇∇u0i = (5-39) Kết luận: Trong bài toán tĩnh đàn hồi tuyến tính dẳng hướng, khi lực thể tích là hằng số, thì hàm tổng biến dạng dài tỷ đối θ, và hàm tổng ứng suất pháp S là những hàm điều hoà, còn các chuyển vị ui là các hàm song điều hoà. Các kết luận này có ý nghĩa quan trọng khi giải toán. Nó giúp ta phán đoán sơ bộ dạng nghiệm của bài toán nhằm tìm ra lời giải nhanh chóng hơn. Hoàn toàn tương tự, khi vật liệu là trực hướng hay dị hướng, ta sử dụng các phương trình định luật Hooke (5-19), (5-18) hay (5-11). Phương pháp chuyển vị được dùng nhiều khi giải các bài toán uốn tấm sẽ được trình bày kỹ ở chương 8, hay bài toán dầm chịu uốn. 5.4.2 Cách giải theo ứng suất – Phương trình Beltrami - Michell Theo cách giải này, ba phương trình cân bằng (5-31) là chưa đủ để xác định sáu ẩn số ứng suất. đây là bài toán siêu tĩnh. Để giải bài toán này, ta phải bổ sung thêm phương trình, thông thường là phương trình tương thích về biến dạng. Như vậy, trước hết phải biểu diễn phương trình tương thích Saint – Venant theo ứng suất. Thay (5-35) vào phương trình liên tục (5-33) kết hợp với phương trình cân bằng (5-31) ta được phương trình tương thích Saint – Venant biểu diễn qua ứng suất. 2 ∂P 2 1S∂μ∂∂PPkij ∇σij + + δij + + =0 (5-40) ()11+μ ∂xxij ∂ −μ ∂ xk ∂ x j ∂ x i (diễn giải chi tiết quá trình biến đổi có thể xem trong giáo trình lý thuyết đàn hồi chuyên sâu như [5, 6, 11] ) Khi lực thể tích là hằng số, (5-40) có dạng đơn giản: 2 2 ∂ S ()10+μ ∇ σij + = (5-41) ∂∂xxij hay dạng tường minh:
2 ⎧ 2 ∂ S ⎪()10+μ ∇ σ11 +2 = ∂x ⎪ 1 ⎪ 2 2 ∂ S ⎪()10+μ ∇ σ22 +2 = ⎪ ∂x2 ⎪ ∂2S ⎪ 2 ()10+μ ∇ σ33 +2 = ⎪ ∂x3 ⎨ (5-41)’ ∂2S ⎪()10+μ ∇2 σ + = ⎪ 12 ∂∂xx ⎪ 12 ⎪ ∂2S ()10+μ ∇2 σ + = ⎪ 23 ∂∂xx ⎪ 23 2 ⎪ 2 ∂ S ⎪()10+μ ∇ σ31 + = ⎩ ∂∂xx31 Cộng ba phương trình đầu của (5-41) ta có dạng khác của điều kiện tương thích về biến dạng khi lực thể tích là hằng số (tương tự 5 – 38) ∇=2S0 (5 – 41)” Hệ phương trình (5-40) còn gọi là phương trình Beltrami – Michell gồm 6 phương trình, đủ để giải 6 thành phần ứng suất. Nó cũng là tổng hợp của các phương trình tương thích, phương trình cân bằng và định luật Hooke. Tác động toán tử Laplace vào phương trình (5-41) với chú ý ∇2 S = 0, ta cũng rút ra được kết luận như ở phần trước: Khi lực thể tích là hằng số, các nghiệm ứng suất, biến dạng, chuyển vị đều là hàm song điều hoà. 4 4 4 ∇ σij = 0 ; ∇ εij = 0 ; ∇ ui = 0 (5-42) 5.5. ĐIỀU KIỆN BIÊN – NGUYÊN LÝ SAINT-VENANT - ĐIỀU KIỆN ĐẦU 5.5.1 Điều kiện biên Khi giải bài toán đàn hồi, nghiệm của nó phải thoả mãn các điều kiện ràng buộc trên biên. Các ràng buộc này sẽ là các điều kiện để xác định các hằng tích phân. Có hai loại điều kiện biên: a) Điều kiện biên về lực Đó là phương trình điều kiện biên (3-34) tại các điểm trên biên Sq σijnj = qni (5-43) b) Điều kiện biên về chuyển vị trên biên Su Nghiệm chuyển vị của bài toán phải thỏa mãn các điều kiện chuyển vị đã biết (hay đạo hàm của nó) trên biên Su. o uuii= (5-43)’ 5.5.2 Nguyên lý Saint – Venant Việc giải bài toán biên nói chung là khó khăn và phức tạp. Ở nhiều bài toán đàn hồi (như các bài toán về thanh, tấm, vỏ v v ) hầu như không thể tìm được nghiệm thoả mãn hết mọi điều kiện biên, đặc biệt là khi trên biên có lực tập trung tác dụng. Nhằm giảm bớt khó khăn ta có thể
làm “mềm hoá” điều kiện biên về lực bằng cách áp dụng nguyên lý Saint – Venant, là nguyên lý về hiệu ứng cân bằng cục bộ về lực, nói rằng: Khi miền đặt tải trọng nhỏ hơn mọi kích thước của vật thể, thì trạng thái ứng suất và biến dạng tại những điểm xa nơi đặt lực thay đổi rất ít khi ta thay hệ lực này bằng hệ lực khác tương đương. Hệ lực tương đương ở đây được hiểu là hệ lực có cùng véc tơ lực chính và véc tơ mômen chính. Ví dụ thanh có mặt cắt ngang F bằng hằng số, chịu hai hệ lực tương đương như trên hình (5- 3), trạng thái ứng suất trong hai trường hợp này chỉ khác nhau ở vùng hai đầu thanh gần nơi đặt lực, càng xa hai đầu thanh, trạng thái ứng suất càng giống nhau. Ta sẽ áp dụng cụ thể nguyên lý P = q.F P = q.F này khi giải một số bài toán ở các chương sau. q q H.5-3 5.5.3 Điều kiện đầu Khi giải bài toán động, ngoài điều kiện biên ta phải sử dụng thêm điều kiện đầu, vì các đại lượng cần tìm phụ thuộc cả toạ độ không gian và thời gian. Điều kiện đầu thường biểu diễn ở dạng: Tại thời điểm ban đầu t = to (hay to = 0) có dịch chuyển u = uto vận tốc v = vto (5-44) 5.6. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG Khi giải bài toán đàn hồi theo cách giải chuyển vị, ta phải giải hệ phương trình vi phân Lamé (5-36). Còn khi giải theo ứng suất, ta phải giải hệ phương trình vi phân Beltrami – Michell. Đây là các hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng phức tạp, bởi vậy người ta phải áp dụng nhiều cách giải khác nhau tuỳ thuộc từng bài toán. Sau đây là một số phương pháp giải thường dùng. 5.6.1 Phương pháp giải thuận Phương pháp thuận là phương pháp tích phân trực tiếp hệ phương trình vi phân cơ bản nói trên, kết hợp với điều kiện biên để xác định các hằng tích phân. Đây là phương pháp dễ hiểu, rõ ràng về mặt lý thuyết, song ứng dụng lại rất hạn chế, chỉ giải được những bài toán rất đơn giản, ví dụ bài toán chỉ phụ thuộc một biến. 5.6.2 Phương pháp giải ngược Ngược lại với phương pháp thuận, ở phương pháp giải ngược ta phải giả thiết trước các hàm ẩn. Mỗi lần giả thiết hàm ẩn, ta phải thay vào và kiểm tra xem nó có thoả mãn các phương trình cơ bản hay không? Nếu thoả mãn, đó chính là nghiệm cần tìm; nếu không ta phải giả thiết lại các hàm ẩn khác. Cứ làm như thế cho đến khi nào thoả mãn thì dừng. Phương pháp thật đơn giản,
song khối lượng tính toán rất lớn vì thông thường phải giả thiết rất nhiều lần mới tìm ra nghiệm của bài toán, thậm chí không tìm được. Thông thường người ta hay sử dụng phương pháp này để xây dựng một số bài toán mẫu đơn giản, để khi gặp bài toán phức tạp, hoặc tương tự, ta có thể phân tích bài toán phức tạp thành nhiều bài toán đã có sẵn theo nguyên tắc cộng tác dụng. 5.6.3 Phương pháp giải nửa ngược Saint – Venant Đây là phương pháp hay dùng trong kỹ thuật, nó khắc phục được những khó khăn về mặt toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp ngược. Cũng như phương pháp ngược, phương pháp nửa ngược cũng giả thiết trước các hàm ẩn, nhưng chỉ một phần là tường minh, còn một phần là chưa biết: thường là các hệ số, hoặc một số hàm nào đó. Phần chưa biết này sẽ được xác định khi ta buộc các hàm ẩn đã giả thiết phải thoả mãn các điều kiện của bài toán bao gồm các phương trình cơ bản và các điều kiện biên. Việc chọn dạng ban đầu của hàm ẩn có thể dựa vào kết quả của các bài toán tương tự, dựa vào điều kiện biên, dựa vào kinh nghiệm v v . 5.6.4 Các phương pháp giải bằng số Việc tìm nghiệm của bài toán dưới dạng các hàm số liên tục bằng các phương pháp nói trên không phải lúc nào cũng thuận tiện, thậm chí nhiều trường hợp không thể làm được. Trong khi đó ta lại có thể xác định được giá trị bằng số của hàm nghiệm tại một số điểm trong vật thể, từ đó nội suy cho các điểm còn lại. Lời giải như vậy gọi là lời giải số, và đương nhiên là gần đúng. Phương pháp tìm lời giải số gọi là phương pháp số. Các phương pháp số thường dùng hiện nay có phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn. Trong chương sau chúng tôi sẽ trình bày vắn tắt nội dung cơ bản của hai phương pháp này. Nội dung chi tiết và ứng dụng của nó vào các bài toán cụ thể được trình bày trong giáo trình riêng: Các phương pháp số trong tính toán kết cấu. 5.7 ĐỊNH LÝ KIRCHHOFF VỀ SỰ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐÀN HỒI Có nhiều cách giải một bài toán đàn hồi song các lời giải này có trùng nhau không? Kirchhoff đã trả lời câu hỏi này bằng định lý duy nhất nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi phát biểu như sau: Nếu vật thể ban đầu ở trạng thái tự nhiên, cân bằng dưới tác dụng của các lực ngoài thì trong vật thể chỉ tồn tại duy nhất một hệ nghiệm. Định lý được chứng minh bằng phương pháp phản chứng. * Giả sử có hai hệ nghiệm khác nhau, ký hiệu là σij và σij , ta sẽ chứng minh hai hệ nghiệm * này trùng nhau, nghĩa là [σij - σij ] = 0 (a) Thật vậy, vì cả hai đều là nghiệm, nên cùng phải thoả mãn hệ phương trình cân bằng (5- 31) và phương trình điều kiện biên (5-43). ∂σij +=P0i ∂xj * (b) ∂σij +=P0i ∂xj
σ=ij nqj ni (c) * σ=ijnq j ni Trừ hai phương trình (b) và hai phương trình (c) cho nhau ta được * ∂σij ∂σ ij ∂ * −=() σ−σ=ij ij 0 (d) ∂∂∂xxxjjj * và (σ−σij ij)n0 j = (e) * Theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có thể xem hiệu (σij −σij ) trong (d) và (e) như là một hệ ứng suất mới trong vật thể không có lực ngoài tác dụng. Theo giả thiết hệ ở trạng thái tự nhiên, * nghĩa là khi không có lực ngoài tác dụng thì trong vật thể không có ứng suất, như vậy σij -σij = 0, đây là điều phải chứng minh. 5.8. CÁC NGUYÊN LÝ VỀ CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG Có thể nói các nguyên lý về công và năng lượng có vai trò quan trọng trong cơ học, cả về mặt lý thuyết cả về mặt thực hành. Nó là cơ sở lý thuyết cho nhiều phương pháp tính giải tích, gần đúng và tính số. Trong khuôn khổ giáo trình này, chỉ đề cập tới một vài nguyên lý tổng quát quan trọng nhất liên quan tới trường biến dạng - chuyển vị khả dĩ và trường ứng suất khả dĩ được áp dụng trong lý thuyết đàn hồi. 5.8.1 Công khả dĩ và công bù khả dĩ Công sinh ra do lực có thật thực hiện trên chuyển dời tưởng tượng ra gọi là công khả dĩ (công ảo, công không có thật), ký hiệu là δT. Ngược lại, công sinh ra do lực tưởng tượng thực hiện trên chuyển dời có thật gọi là công bù khả dĩ, ký hiệu là δT° . Chuyển vị mà ta tưởng tượng r ra gọi là chuyển vị khả dĩ (chuyển vị ảo, chuyển vị không có thật), ký hiệu là δ u , còn lực tưởng ur tượng gọi là lực khả dĩ (lực không có thật), ký hiệu là δ P . Như vậy, trong công khả dĩ, giữa lực và đường đi không liên quan gì với nhau, nên có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng khi tính công khả dĩ. Đối với vật rắn biến dạng, ngoài công khả dĩ ngoại lực, còn có công khả dĩ nội lực, là công do hệ nội lực (ứng suất) thực hiện trên các biến dạng khả dĩ tương ứng, ký hiệu là δA, và tương tự, cũng có công bù khả dĩ nội lực, là công do hệ nội lực (ứng suất) khả dĩ thực hiện trên các biến dạng có thật tương ứng, ký hiệu là δA° . 5.8.2 Nguyên lý chuyển vị khả dĩ Xét một vật rắn biến dạng có thể tích V, diện tích bề mặt S, ở trạng thái cân bằng tĩnh dưới tác dụng của lực thể tích Pi, lực mặt qni trên diện tích Sq, đồng thời trong hệ xuất hiện hệ ứng suất σij thoả mãn điều kiện cân bằng. Tiếp theo ta tưởng tượng một hệ chuyển vị, biến dạng khả dĩ δui và δεij thoả mãn các điều kiện động học. Theo phân tích ở trên, ta có: Công khả dĩ ngoại lực: δ=T P δ udV + q δ udS (5-45) ∫∫ii nii VSq Công khả dĩ nội lực:
δ=σδεAdV (5-46) ∫ ij ij V ta có nguyên lý chuyển vị khả dĩ, hay còn gọi là nguyên lý công khả dĩ của Lagrange nói rằng: Điều kiện cần và đủ để hệ ở trạng thái cân bằng là tổng công khả dĩ nội lực bằng công khả dĩ các ngoại lực. δA = δT hay σδεdV = P δ u dV + q δ u dS (5-47) ∫∫∫ij ij i i ni i VVSq (5-47) chính là điều kiện cân bằng ở dạng năng lượng. Để chứng minh nguyên lý này, ta sử dụng định lý div (1-21) kết hợp với phương trình cân bằng (5-31) để biến đổi vế trái (5-47) thành vế bên phải. Chi tiết có thể xem trong [6,11] 5.8.3 Nguyên lý lực khả dĩ o Xét vật rắn biến dạng như trên với các điều kiện biên chuyển vị ui trên biên Su, đồng thời trong hệ xuất hiện trường chuyển vị, biến dạng ui, εij thoả mãn các điều kiện động học. Tiếp theo, tưởng tượng một trường ứng suất khả dĩ δσij thoả mãn các điều kiện cân bằng và tương ứng là hệ phản lực khả dĩ δqni trên biên Su. Theo trên ta có: Công bù khả dĩ của các phản lực (ngoại lực) δ=TuqdS° o δ (5-48) ∫ i ni Su Công bù khả dĩ nội lực δ=εδσAdV° (5-49) ∫ ij ij V Nguyên lý lực khả dĩ, hay còn gọi là nguyên lý công bù khả dĩ nói rằng: δ=δAT° ° hay εδσdV = uo δ q dS (5-50) ∫∫ij ij i ni VSu (5-50) chính là cách phát biểu điều kiện tương thích dưới dạng năng lượng. Trong công thức biểu diễn nguyên lý chuyển vị khả dĩ và lực khả dĩ, cũng như quá trình chứng minh, không liên quan tới tính chất của vật liệu, do dó hai nguyên lý này đúng cho vật rắn biến dạng bất kỳ. 5.8.4 Các nguyên lý cực trị của vật thể đàn hồi tuyến tính Hai nguyên lý tổng quát về công trên đây, khi áp dụng cho vật thể đàn hồi tuyến tính sẽ dẫn tới hai nguyên lý cực trị đó là nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần và nguyên lý cực tiểu thế năng bù. Xét vật thể đàn hồi tuyến tính ở cân bằng dưới tác dụng của lực thể tích Pi và lực mặt qni như miêu tả ở các phần trước. Đối với vật thể đàn hồi tuyến tính, định luật Hooke tổng quát có dạng tuyến tính (5-9) σij = Hijmlεml −1 hay εij=σ()H ijml ml (5-51)
Lúc này trong hệ có thế năng nội lực tính được từ (5-10) và thế năng ngoại lực. Thế năng nội lực bằng: 1 WdV=σε dV ∫∫2 ij ij VV 1 =ε H ε dV ∫ ij ijml ml 2 V 1 −1 hoặc =σHdV σ (5-52) ∫ ij() ijml ml 2 V Thế năng ngoại lực bằng: −−P u dV q u dS (5-53) ∫∫ii nii VSq (thế năng ngoại lực có trị số bằng công ngoại lực nhưng trái dấu). Thế năng toàn phần của hệ, ký hiệu là J bằng: 1 J=εε− H dV P u dV − q u dS (5-54) 2 ∫∫∫ij ijml ml i i ni i VVSq J gọi là phiếm hàm thế năng (hay phiếm hàm năng lượng) của hệ, bao gồm thế năng biến dạng và thế năng ngoại lực. Nguyên lý cực tiểu thế năng nói rằng, vật thể đàn hồi tuyến tính ở trạng thái cân bằng thì phiếm hàm thế năng có giá trị dừng, nghĩa là biến phân của phiếm hàm thế năng bằng không. δJ = 0 (5-55) Nếu vật thể ở trạng thái cân bằng ổn định thì thế năng toàn phần có giá trị cực tiểu. J = min ! (5-56) Tương tự, ta có phiếm hàm thế năng bù như sau: % 1 −1 o J=σij() H ijml σ ml dV − ui qni dS (5-57) 2 ∫∫ VSu và nguyên lý cực tiểu thế năng bù nói rằng, vật thể đàn hồi tuyến tính ở trạng thái biến dạng tương thích thì thế năng bù có giá trị cực tiểu %Jmin= ! (5-58) Trình bày chi tiết các nguyên lý này có thể tìm thấy trong [4, 11, ] BÀI TẬP CHƯƠNG 5 5.1. Cho ten xơ ứng suất tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính: ⎡⎤ 4 2 1 KN σ=⎢⎥ 2 3 0 ij ⎢⎥cm2 ⎣⎦⎢⎥ 1 0 -4 ⎛⎞12 2 hãy xác định biến dạng dài tỷ đối theo phương n,,⎜⎟− ⎝⎠33 3 5.2. Cho ten xơ biến dạng tại một điểm
⎡⎤ 2 3 0 ε=⎢⎥ 3 -2 0. 10-2 ij ⎢⎥ ⎣⎦⎢⎥ 0 0 2 hãy xác định các ứng suất chính, ứng suất tiếp chính của trạng thái ứng suất tại đó. Biết KN E=μ 2.104 ; = 0,25 cm2 5.3. Cho trường chuyển vị trong vật thể: 333 xx12x3 u=== A ; u A ; u A với r = xixi 123rrr222 Hãy xác định các biến dạng tại điểm P (1, 1, 1). 5.4. Kiểm tra các biến dạng sau có thể là nghiệm của một bài toán đàn hồi tuyến tính hay không? Vì sao? ⎡⎤22 xx31( + x 2) xxx 123 0 ⎢⎥ 2 1) ⎢⎥ xxx123 x2 x 3 0 ⎢⎥ ⎢⎥ 0 0 0 ⎣⎦ ⎡⎤22 ()xx12+ xx 12 0 ⎢⎥ 2 2) ⎢⎥ xx12 x2 0 ⎢⎥ ⎢⎥ 0 0 0 ⎣⎦
CHƯƠNG VI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 6.1. KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN PHẲNG VÀ PHÂN LOẠI Bài toán phẳng là bài toán mà trong đó các đại lượng nghiên cứu chỉ xảy ra trong một mặt phẳng, chẳng hạn mặt phẳng x1, x2 ; khi đó các đại lượng nghiên cứu chỉ phụ thuộc vào 2 biến x1, x 2 mà không phụ thuộc vào biến x3. Với định nghĩa như vậy, ta có 2 loại bài toán phẳng: bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng. Dưới đây ta sẽ lần lượt xem xét hai loại bài toán này. 6.1.1 Bài toán ứng suất phẳng Xét một lát mỏng hay một vật thể hình lăng trụ có bề dầy rất nhỏ so với 2 kích thước còn lại, có 2 mặt bên tự do và chịu tác dụng của tải trọng trên biên x2 x2 với giả thiết là phân bố đều theo bề dầy p và nằm trong mặt phẳng của lát mỏng. Lát mỏng được đặt trong hệ tọa độ q2 vuông góc ox1x2x3 (Hình 6-1). q1 P x3 Vì 2 mặt bên của lát mỏng là tự do 2 O nên không có ứng suất, hay x1 P1 σ 33 =;0 σ 31 =σ 32 = 0 . Do chiều dày lát rất bé, do vậy sự thay đổi của các ứng suất nói trên theo bề dầy là không đáng t kể, nên ta có thể xem gần đúng các ứng suất này trong lát mỏng cũng bằng Hình 6-1 không, hay σ 33 =σ 31 =σ 32 = 0 . Các ứng suất còn lại σ 11,,σ 22σ 12 đều nằm trong cùng mặt phẳng xx12, chúng không phụ thuộc vào tọa độ x3 mà chỉ phụ thuộc vào tọa độ xx12, , nghĩa là: σ=σ11 11(,xx 1 2 ); σ=σ 22 22 (,xx 1 2 ); σ=σ=σ 12 21 12(,xx 1 2 ) Cần lưu ý rằng, trong trường hợp này tuy ứng suất pháp σ 33 = 0 , nhưng biến dạng dài : 1 μ ε=[ σ − μ ( σ + σ )] = − (σ + σ ) ≠ 0 33 E 33 11 22 E 11 22 do đó chuyển vị u(312xx , )theo phương x3 cũng khác không. Như vậy, ở bài toán này chỉ có ứng suất thoả mãn định nghĩa bài toán phẳng, ta gọi nó là bài toán ứng suất phẳng. 6.1.2 Bài toán biến dạng phẳng Xét một lát mỏng giống như ở trên, có 2 mặt bị kẹp giữa hai vách được coi như cứng tuyệt đối (Hình 6-2). Ta thấy rằng do 2 mặt bên bị kẹp cứng nên chuyển vị theo phương x3 bằng không,
kéo theo biến dạng dài ε 33 = 0 . 1 2 2 Từ ε=[ σ − μ ( σ + σ )] = 0 x x 33 E 33 11 22 p suy ra: σ = μ(σ + σ )≠ 0 33 11 22 Lúc này các biến dạng ε ,,ε ε và các 11 22 12 chuyển vị u1, u 2 chỉ xẩy ra trong mặt phẳng Hình 6-2 P2 xx , chúng không phụ thuộc vào tọa độ x , O 12 3 x1 x3 P1 mà chỉ phụ thuộc vào toạ độ x1 và x2 , nghĩa là: ε=ε11 11(,xx 1 2 ); ε=ε22 22(,xx 1 2 ); ε12=ε 21 =ε 12(,xx 1 2 ) t Bài toán như vậy gọi là bài toán biến dạng phẳng. x2 x2 γ3h σ33 1 x1 x3 1 x1 Hình 6-3 Lưu ý rằng, trong thực tế rất ít khi gặp trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán biến dạng phẳng, song có thể xem gần đúng các bài toán đập chắn nước, tường chắn đất, các đường hầm, tuy nen dẫn nước là bài toán biến dạng phẳng. Đây là những vật thể hình lăng trụ có chiều dài thường rất lớn và chịu các lực không thay đổi dọc theo chiều dài của chúng. Do tính đối xứng của bài toán (mọi mặt cắt ngang đều là mặt phẳng đối xứng), do đó các mặt cắt ngang không có dịch chuyển theo phương trục, nên khi tính toán, người ta thường tách ra một lát có chiều dày bằng đơn vị (thường là 1m) để xét như trên hình 6-3, đây là bài toán biến dạng phẳng. 6.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Trong chương 2,3 và chương 5 chúng ta đã thiết lập được các phương trình cơ bản của bài toán trong không gian 3 chiều vuông góc xi. Bây giờ chúng ta sẽ viết các phương trình cơ bản nói trên cho bài toán phẳng. Lúc này chỉ số i,j chỉ lấy 2 giá trị 1 và 2. 1. Phương trình vi phân cân bằng Navier-Stokes: Từ (3-33) ta có:
∂σij +=ρPwii ( i, j=1,2) (6 - 1) ∂x j ⎧∂σ11 ∂σ 12 ⎪ ++=ρPw11 ⎪ ∂∂xx12 Dạng tường minh: ⎨ (6 – 1’) ∂σ ∂σ ⎪ 21+ 22 +=ρPw ⎪ 22 ⎩ ∂∂xx12 Trong đó P1 và P2 là thành phần lực khối theo phương các trục tọa độ xx12. Trong trường hợp hệ ở trạng thái cân bằng tĩnh, vế phải của (6-1) bằng không 2. Phương trình điều kiện biên về lực (Cauchy) ⎧σ+σ=11nnq 1 12 2 n1 Từ (3-35) ta có: ⎨ (6 – 2) ⎩σ+σ=21nnq 1 22 2 n2 (trong đó: n1 và n2 là các côsin chỉ phương của pháp tuyến n trên mặt biên đang xét; qn1 và qn2 là các thành phần của ngoại lực trên mặt biên theo phương toạ độ x1 , x2 ). 3. Phương trình hình học Cauchy: 1 ⎛⎞∂u ∂u Từ (2-34) ta có: ε=i + j ( i,j=1,2) (6 – 3) ij ⎜⎟ 2 ⎝⎠∂∂xxji ⎧ ∂u1 ⎪ε=11 ⎪ ∂x1 ⎪ ⎪ ∂u2 ⎨ε=22 Ở dạng tường minh: ⎪ ∂x2 (6 – 3’) ⎪ 11⎛⎞∂∂uu ⎪ 21 ε=12⎜⎟ + =γ 12 ⎩⎪ 22⎝⎠∂∂xx12 Trong đó γ 12 là biến dạng góc trong mặt phẳng ( x1 , x2 ). 4. Phương trình liên tục về biến dạng Saint Venant: Trong bài toán phẳng đang xét thì phương trình liên tục Saint Venant (2-56) chỉ còn lại 1 phương trình. Từ (2-56) ta có: 22 2 2 ∂ε11 ∂ε 22 ∂ε12 ∂γ12 22+=2 = (6- 4) ∂∂xx21∂xx12∂∂∂ xx 12 5. Phương trình vật liệu (vật lý) - Định luật Hooke a/ Đối với bài toán ứng suất phẳng: Từ (5-29) ta có thể viết phương trình biểu diễn biến dạng qua ứng suất như sau:
⎧ 1 ε=() σ−μσ ⎪ 11 E 11 22 ⎪ ⎪ 1 ⎨ε=22 () σ−μσ22 11 1 E ; hoặc γ=2 ε = σ (6 – 5) ⎪ 12 12 G 12 ⎪ σ12 (1+μ ) ⎪ε=12 = σ12 ⎩ 2G E Hoặc viết dưới dạng ma trận: {ε}= [a]−1{ σ} (6 – 5’) ⎡1 μ 0 ⎤ 1 trong đó, []a −1 = ⎢μ 1 0 ⎥ (6 – 5’’) E ⎢ ⎥ ⎣⎢0 0 2(1+ μ )⎦⎥ Từ (5-14) ta cũng có thể viét phương trình biểu diễn ứng suất qua biến dạng là: ⎧ E ⎪σ=112G ε+λθ= 11 2 () ε+με11 22 ⎪ 1−μ ⎪ E ⎨σ=22 2G ε+λθ=22 2 () ε+με22 11 (6 – 6) ⎪ 1−μ ⎪ E ⎪σ=122G ε=γ= 12 G 12 ε12 ⎩ (1+μ ) Hoặc viết dưới dạng ma trận: {σ}= [a]{ε} (6 – 6’) ⎡ ⎤ ⎢1 μ 0 ⎥ E ⎢ ⎥ trong đó, []a = μ 1 0 (6 – 6’’) 1− μ 2 ⎢ ⎥ ⎢ 1− μ ⎥ ⎢0 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦ b/ Đối với bài toán biến dạng phẳng: Như đã biết trong bài toán biến dạng phẳng, ta có biến dạng dài theo phương x3 bằng không. 1 Từ điều kiện: ε=[] σ − μ( σ + σ ) = 0, suy ra: 33 E 33 11 22 σ 33 = μ()σ 11+ σ 22 (a) Thay σ 33 =μ()σ 11 + σ 22 vào biểu thức thứ nhất của (5-29’), rút gọn ta được: 1 μ ε = (σ − σ ) (b) 11 E 11 1− μ 22 1− μ 2 E μ Nếu đặt E * = và μ * = (6 – 7) 1− μ 2 1− μ 1 Ta có ε=( σ − μ* σ ) (c) 11 E * 11 22
Biến đổi tương tự cho các phương trình còn lại, cuối cùng ta được hệ phương trình biểu diẽn các diến dạng qua các ứng suất như sau: ⎧ 1 ε=() σ−μσ* ⎪ 11E* 11 22 ⎪ ⎪ 1 * ⎨ε=22* () σ−μσ 22 11 ⎪ E (6-8) * ⎪ σ12 (1+μ ) ⎪ε=12 = σ12 ⎩ 2G E 1 E * Hay γ= σ ; trong đó G * = (6-8’) 12 G * 12 2(1+ μ * ) Ngược lại ta cũng có thể biểu diễn các ứng suất qua các biến dạng như sau: * ⎧ E * ⎪σ=11*2 () ε+με 11 22 ⎪ 1−μ * ⎪ E * ⎨σ=22 *2 () ε+με22 11 (6-9) ⎪ 1−μ ⎪ * * E ⎪σ=12G γ= 12 * ε12 ⎩⎪ (1+μ ) Nếu so sánh (6-8), (6-9) với (6-5) và (6-6), ta thấy phương trình định luật Hooke trong bài toán biến dạng phẳng có dạng hoàn toàn giống như bài toán ứng suất phẳng. Điều này có nghĩa là có thể sử dụng các phương trình vật liệu (6-5) và (6-6) đã thiết lập cho bài toán ứng suất phẳng để giải bài toán biến dạng phẳng, trong đó các hằng số E , μ , G phải được thay bằng các hằng số E* , μ* , G* tính theo công thức (6-7), (6-8). Điều này cũng rất thuận tiện khi lập trình trên MTĐT. 6. 3. GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT – HÀM ỨNG SUẤT AIRY( 1862) Ta giới hạn giải bài toán ở trạng thái cân bằng tĩnh, lực khối là hằng số hoặc bằng không. Đây là trường hợp hay gặp trong thực tế. Vì ở trạng thái cân bằng tĩnh nên lực khối thường là trọng lượng bản thân (hay dung trọng) của vật. Trong trường hợp này như đã trình bày ở chương 5, khi giải bài toán đàn hồi tuyến tính theo ứng suất, lời giải phải thoả mãn phương trình vi phân cân bằng Navier (6-1’), đồng thời phải thoả mãn điều kiện tương thích về biến dạng dưới dạng ứng suất (5-41) hay (5-41’), trong trường hợp bài toán phẳng sẽ có dạng: 2 2 ∇S = ∇(σ11 + σ 22 ) = 0 (6-10) Trong đó toán tử Laplace trong không gian 2 chiều x1 x2 là: 22 2 ⎛⎞∂∂ ∇=⎜⎟22 + (6-11) ⎝⎠∂∂xx12 Ngoài ra, lời giải còn phải thoả mãn mọi điều kiện biên của từng bài toán cụ thể.
Theo lý thuyết phương trình vi phân thì nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cân bằng tĩnh không thuần nhất (6-1’) bao gồm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cân bằng tĩnh thuần nhất và một nghiệm riêng nào đó của phương trình vi phân cân bằng tĩnh không thuần nhất (6-1’): 0 σij= σ ij + σ ij (a) 0 Trong đó: ³ σ ij là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất sau: ∂σ0 ij = 0 (b) ∂x j 00 ⎧∂σ11 ∂σ 12 ⎪ + = 0 ⎪ ∂∂xx12 Hay dưới dang khai triển: ⎨ (b’) ∂σ00 ∂σ ⎪ 21+ 22 = 0 ⎪ ⎩ ∂∂xx12 ³ σ ij là một nghiệm riêng nào đó của phương trình vi phân (6-1). Khi lực khối P1, P2 là hằng số, nghiệm riêng của (6-1) có thể lấy một trong các dạng: ⎧σ=−11P. 1x 1 ⎪ ⎪⎧σ=σ=11 22 0 ⎪⎧σ=σ=−11 22P. 1xx 1 − P. 2 2 ⎨σ=−22P. 2x 2 ; ⎨ ; ⎨ (6-12) ⎪ ⎪σ=−12P. 1xx 2 − P. 2 1 ⎪σ=12 0 σ=0 ⎩ ⎩ ⎩⎪ 12 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất (b) có thể tìm được như sau: Từ hệ phương trình (b’) ta có thể viết lại: 0 ⎧∂σ11 ∂ 0 ⎪ =−σ(12 ) (c1 ) ⎪ ∂∂xx12 ⎨ ∂σ0 ∂ ⎪ 22 =−σ(0 ) (c ) ⎪ 21 2 ⎩ ∂∂xx22 Từ (c1) ta thấy phải tồn tại một hàm A(xi) khả vi nào đó sao cho: 0 ∂A(xi ) 0 ∂A(xi ) σ=11 ; và σ=−12 (d1) ∂x2 ∂x1 Tương tự, từ (c2) ta thấy phải tồn tại một hàm B(xi) khả vi nào đó sao cho: 0 ∂B(xi ) 0 ∂B(xi ) σ=22 ; và σ=−21 (d2) ∂x1 ∂x2 0 0 ∂A(xxii )∂ B( ) Do σ12 = σ 21 nên ta có: = (e) ∂∂xx12
Từ (e), ta lại thấy phải tồn tại một hàm ϕ()xi khả vi nào đó để có: ∂ϕ()xi ∂ϕ()xi A(xi ) = ; và B(xi ) = (f) ∂x2 ∂x1 Thay (f) vào (d1) và (d2) ta được: 2 2 2 0 ∂ϕ()xi 0 ∂ϕ()xi 0 ∂ϕ()xi σ=11 2 ; σ=22 2 ; σ=−12 (6-13) ∂x2 ∂x1 ∂xx12∂ Thay (6-13) và (6-12) vào (a) ta được nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân cân bằng tĩnh không thuần nhất (6-1) biểu diễn qua hàm ϕ()xi như sau: 2 ⎧ ∂ϕ()xi ⎪σ=11 +σ 11 x 2 ⎪ ∂ 2 ⎪ 2 ⎪ ∂ϕ()xi ⎨σ=22 2 +σ22 (6-14) ⎪ ∂x1 ⎪ 2 ∂ϕ()xi ⎪σ=−12 +σ12 ⎩⎪ ∂∂xx12 Nghiệm (6-14) là lời giải của một bài toán đàn hồi phẳng nào đó nếu nó thoả mãn điều kiện tương thích về biến dạng (6-10). Thay (6-14) vào (6-10) ta được: 22 22∂ϕ ∂ϕ 222 ∇σ+σ=∇()()()()011 22 22 + +∇σ+σ=∇∇ϕ11 22 xi = (6-15) ∂∂xx12 444 22 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Hay ở dạng tường minh: ∇∇ϕ=4224 +20 + = (6-15’) ∂∂∂∂xxxx1122 Hàm ϕ()xi là hàm song điều hoà và điều kiện (6-15) còn được gọi là điều kiện tương thích của hàm ϕ()xi . Một hàm ϕ()xi khả vi và thoả mãn phương trình song điều hoà (6-15) mà từ đó có thể các tính được các ứng suất σ ij theo (6-14) gọi là hàm ứng suất Airy (lời giải này do Airy tìm ra năm 1862). Tóm lại việc giải bài toán đàn hồi theo ứng suất dẫn đến việc giải phương trình vi phân (6-15). Qua chứng minh ta thấy rằng, nghiệm của phương trình vi phân (6-15) thoả mãn đồng thời cả ba hệ phương trình: phương trình vi phân cân bằng, phương trình liên tục và cả phương trình vật liệu. Có thể giải phương trình (6-15) bằng phương pháp thuận, phương pháp ngược, hay phương pháp nửa ngược như đã trình bày ở chương 5( đề mục 5.6). Khi giải theo phương pháp nửa ngược, người ta thường giả thiết hàm ứng suất dưới dạng chuỗi đa thức hoặc chuỗi lượng giác. Để giả định hàm ϕ(,xx12 )người ta có thể dựa vào việc phân tích thứ nguyên, hoặc dựa vào lời giải đã có của Sức bền vật liệu,v v. Chú ý rằng khi ta thêm vào hoặc bớt đi một hàm bậc nhất đối với x1 và x2 (dạng abc)xx12+ + vào hàm Airy thì chúng sẽ không làm thay đổi gía trị các ứng suất thu được từ biểu thức (6-14), vì rằng các ứng suất cần tìm đều là đạo hàm riêng bậc 2 của hàm ϕ(,xx12 )đối với x1 và x2 .
Dưới đây ta sẽ trình bày lời giải của một số bài toán đàn hồi phẳng tiêu biểu trong hệ toạ độ vuông góc dựa vào hàm ứng suất Airy. 6. 4. HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG ĐA THỨC Khi chọn chuỗi đa thức làm hàm ứng suất, từ điều kiện tương thích (6-15) ta thấy tất cả các đa thức bậc 2 và bậc 3 đều là hàm ứng suất. Còn các đa thức từ bậc 4 trở lên thì chỉ các hàm nào thoả mãn (6-15) mới là hàm ứng suất Airy. Ví dụ xét đa thức bậc 6 sau đây: 543345 ϕ=()xxxxxxxxxxxi1211212212 a + b + c + d + e + f (a) Trong đó a,b,c,d,e,f là các hệ số nào đó chưa biết. Ta thử xét xem có thể lấy hàm ϕ()xi ở trên làm hàm ứng suất được không. Muốn vậy ta phải kiểm tra điều kiện tương thích (6-15). Thay hàm ϕ()xi từ (a) vào (6-15) ta có: 4 ∇ϕ(xxxi ) = 5!a 12 + 4!b + 4!e + 5!f112 xxxx = 5!(a + f )12 + 4!(b + e) (b) Qua (b) ta thấy rằng, nếu các hệ số a, f, b, e là tuỳ ý thì hàm ϕ()xi không phải là 4 4 hàm ứng suất (vì ∇ϕ()xi ≠ 0). Còn muốn hàm ϕ()xi là hàm ứng suất thì ∇ϕ()xi phải bằng không với mọi xi tuỳ ý, có nghĩa là từ (b) ta có: a + f =0 (c) b + e =0 (d) Tóm lại, muốn hàm ϕ()xi ở trên là hàm ứng suất thì chỉ các hệ số c và d là tuỳ ý, còn 4 hệ số còn lại a, f, b, e phải thoả mãn điều kiện ràng buộc (c) và (d). Những ràng buộc này kết hợp với các điều kiện biên của bài toán sẽ giúp ta xác định được tất cả các hệ số chưa biết trong hàm ứng suất ϕ()xi khi giải bài toán bằng phương pháp nửa ngược Saint Venant. 6.4.1 Bài toán dầm công son chịu lực tập trung ở đầu tự do Xét một dầm Công son có chiều dài l , mặt cắt ngang hình chữ nhật có chiều rộng bằng 1 đơn vị chiều dài, chiều cao bằng 2c và chịu một lực tập trung P ở đầu tự do như trên hình 6-4. Dầm được đặt trong hệ toạ độ vuông góc xi như trên hình vẽ. Hãy xác định trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng và chuyển vị của dầm trong trường hợp bỏ qua lực thể tích trong dầm. Rõ ràng đây là bài toán ứng suất phẳng. 1. Tính các ứng suất: Ta sẽ giải bài toán này theo phương pháp nửa ngược, với việc giả thiết hàm ứng suất dựa vào lời giải của Sức bền vật liệu đã biết: Theo Sức bền vật liệu ta có: 2 M P()xx1i∂ϕ l σ=σ=x1112xx = 2 = 2 JJ ∂x2 ∂ϕ2 ()x c σ=σ==0 i (a) x3 x 222 ∂x 2 1 c x1 P x2 x2 1 Hình 6-4
c 2 QS− P 22 ∂ϕ()xi σ=σ==xx12 12.(c)c −=−x 2 J2Jb ∂xx12∂ Phân tích các quan hệ trong (a) ta thấy, nếu giả thiết quy luật biến đổi của ứng suất trong dầm giống như lời giải của Sức bền vật liệu thì trong hàm ứng suất phải chứa số 3 2 hạng xx12 để đảm bảo quy luật bậc 2 theo xx12 trong σ 11 ; bậc 2 theo x2 trong σ 12 ; và chứa số hạng xx12 để đảm bảo có số hạng hằng số trong σ 12 và không làm thay đổi quy luật của σ 11 và σ 22 . Như vậy ta có thể giả thiết hàm ϕ()xi dưới dạng tổng quát như sau: 3 ϕ=()xxxxxi1212 A + B (trong đó A,B là 2 hệ số chưa biết) (b) Ta dễ dàng thấy được hàm ϕ()xi ở trên là hàm ứng suất Airy vì nó thỏa mãn điều 4 kiện tương thích ∇ϕ()xi =0. Thay (b) vào (6-14) ta có các biểu thức của ứng suất: 2 2 2 ∂ϕ()xi ∂ϕ()xi ∂ϕ()xi 2 σ=112 =6Axx 1 2 ; σ=22 2 =0 ; σ12 =− =−3Ax2 − B (c) ∂x2 ∂x1 ∂∂xx12 Để xác định các hằng số A và B ta dựa vào 6 điều kiện biên về lực trên 3 biên sau: ⎧σ 22 = 0 ⎨ + Tại biên dưới (x2 =c) có: ⎩σ 21 = 0 (d1) và (d2) ⎧σ 22 = 0 ⎨ + Tại biên trên (x2 =-c) có: ⎩σ 21 = 0 (d3) và (d4) ⎧σ 11 = 0 ⎨ + Tại biên trái (x1 = 0) có: ⎩σ 12 = 0 (d5) và (d6) Ta nhận thấy rằng, trong 6 điều kiện biên trên chỉ có 3 điều kiện biên (d1), (d3) và (d5) là tự thoả mãn; 2 điều kiện biên (d2) và (d4) là trùng nhau (vì hàm σ 12 là hàm chắn theo biến x2); còn điều kiện biên (d6) không thoả mãn. Ta thử biến đổi điều kiện biên (d6) theo nguyên lý Saint Venant bằng cách thay lực tập trung P bằng hệ lực phân bố tương đương tiếp xúc với biên trái; lúc này điều kiện biên (d6) trở thành: c σ dPx =− (d7) ∫ 12 2 −c Thay σ 12 từ biểu thức (c) vào (d7) rồi tích phân ta được: 2Ac3 + 2 Bc = P (d7’) Giải hệ phương trình (d7’) và (d2) ( hoặc d4), ta được: P 3P A = − ; B = 4c3 4c (e) Thay (e) vào (c), kết quả ta được các biểu thức của ứng suất như sau:
⎧ 3P P σ=−xx =− xx ⎪ 11 2c3 12 J 12 ⎪ x3 ⎪ ⎨σ=22 0 ⎪ (f) 3P22 3P P 2 ⎪σ=12 xx2 − =−(c −2 ) ⎪ 4c3 4c 2J ⎩ x3 Nếu so sánh (f) với (a), ta thấy lời giải Sức bền vật liệu và lời giải Lý thuyết đàn hồi là chính xác và trùng khớp nhau tại vùng cách xa đầu tự do của dầm; còn tại đầu tự do, lời giải là không chính xác vì ta đã phải biến đổi điều kiện biên, hay nói cách khác là tại đầu tự do không thoả mãn điều kiện biên về lực. 2. Tính biến dạng: Thay (f) vào phương trình vật liệu (6-15) ta được: σ11 P ε= =− xx (g1) 11EEJ 1 2 μσ11 μP ε=− = xx (g2) 22 EEJ1 2 2 σ12 Pc P 2 γ= =− + x (g3) 12 G2GJ2GJ2 3. Tính chuyển vị: Thay (g) vào phương trình hình học (6-3’’) rồi tích phân, được: PP u(xxxxxxxx )=ε d =−d =−2 +f( ) 1i∫∫ 111 EJ 121 2EJ 12 12 μPPμ u(xxxxxxxx )=ε d =d =2 +f( ) (h) 2i∫∫ 222EJ 122 2EJ 12 21 Trong đó: f(12x )là hàm chứa biến x2. f(21x )là hàm chứa biến x1. Các hàm f(12x ) và f(21x )được xác định từ đièu kiện sau: Thay u1 , u2 tính theo (h) vào biểu thức tính γ 12 trong (6-3’’) phải cho kết quả đúng bằng γ 12 trong biểu thức (g3), cụ thể: 2 ∂∂u12 u PPPP22df12 (xx ) μ df21 ( ) 2c γ=12 + =−xx1 + +2 + = x2 − ∂∂xx21212EJ dx 2EJ dx 2GJ 2GJ Thực hiện chuyển vế và nhóm các số hạng theo x1 và x2, ta được: 2 ⎡⎤df21 (xx ) PP22⎡df 12 ( ) ⎛⎞μ PP ⎤c ⎢⎥−++−=−xx12⎢⎜⎟ ⎥ (i) ⎣⎦dxx12 2EJ⎣ d⎝⎠ 2EJ 2GJ ⎦ 2GJ Ta nhận thấy, vế trái của biểu thức (i) là tổng của 2 biểu thức , trong đó một biểu thức chỉ phụ thuộc vào biến x1, và một biểu thức chỉ phụ thuộc vào biến x2; còn vế phải là một hằng số. Điều này chứng tỏ rằng, mỗi biểu thức ở vế trái cũng phải bằng một hằng số nào đó, chẳng hạn D và H, nghĩa là: df21 (x ) P 2 −=x1 D d2EJx1
df12 (x ) ⎛⎞μPP 2 +−⎜⎟x2 =H (j) d2EJ2GJx2 ⎝⎠ Pc 2 và DH+ = − (k) 2GJ Tích phân các phương trình vi phân hàm 1 biến (j) ta được: P f(xxx )=++3 D N 216EJ 1 1 ⎛⎞PPμ 3 f(12xxx )=−⎜⎟2 ++HL 2 (m) ⎝⎠6GJ 6EJ Thay (m) vào (h), ta có các biểu thức của chuyển vị: PPP23⎛⎞μ u(112xx , )= −+−++ xx12 ⎜⎟x2HL x 2 2EJ⎝⎠ 6GJ 6EJ μPP u(xx , )= xx23+++ xDN x (h’) 2122EJ 12 6EJ 1 1 Các hằng số tích phân D, H, L, N phải thỏa mãn điều kiện (k) và các điều kiện về chuyển vị. Để tiện so sánh với lời giải của SBVL, ở đây ta cũng dùng các dièu kiện biên như đã`dùng trong SBVL ( Hình 6-5). + Tại trọng tâm mặt cắt sát ngàm ( xx12= l ,0)= , các thành phần chuyển vị u1= u 2 = ,0 nghĩa là: P x1 =l l u01 = (n1) x2 =0 x1 Pl 3 x1 =l u02 = (n2) x2 =0 3EJ u2 + Tại mặt cắt ngàm, trục dầm x2 x2 =0 không bị xoay nên có: ∂u2 = 0 (n3) Hình 6-5 ∂x1 Thay (h’) vào (n1), (n2), (n3), kết hợp với (k) ta có 4 phương trình để xác định 4 hằng số D, H, L, N. Kết quả giải 4 phương trình này ta được: 2 2 2 ⎧ Pl Pl Pc ⎪D = − ; H = − ⎪ 2EJ 2EJ 2GJ ⎨ (o) P 3 ⎪L = 0 ; N = l ⎩⎪ 3EJ Thay 4 hằng số tìm được vào (h’), ta có các biểu thức cuối cùng của chuyển vị là: 22 PPPPPc23⎛⎞μ ⎛⎞l u(112xx , )=− xx 12 +⎜⎟ −x 2 +⎜⎟ − x 2 2EJ⎝⎠ 6GJ 6EJ⎝⎠ 2EJ 2GJ μPPPPll23 u(xx , )=+−+ xx23 x x (p) 2122EJ 12 6EJ 1 2EJ 1 3EJ Phân tích lời giải chuyển vị trong biểu thức (p) ta thấy rằng, khi bị biến dạng các mặt cắt ngang của dầm không còn phẳng như Becnoulli đã giả thiết trong SBVL. Tuy vậy
phương trình đường đàn hồi của trục dầm (đường trục võng) của 2 lời giải SBVL và Lý thuyết đàn hồi vẫn trùng khớp nhau: PPll23 P u = xx3 −+ (q) 2 x =0 11 2 6EJ 2EJ 3EJ 6.4.2 Bài toán đập( hay tường chắn) mặt cắt tam giác chịu áp lực thủy tĩnh - Lời giải Le’vy 1898) O Xét một đập hay tường chắn mặt cắt ngang hình tam giác không bị giới x1 hạn về phía dưới. Giả sử sườn phải OB β α là sườn tự do, còn sườn trái OA chịu n q = γnx2cosα áp lực thủy tĩnh γ n (hoặc áp lực đất) P như trên hình 6-6. Ngoài ra đập còn 1 P = γđ B P2 chịu lực thể tích, hay trọng lượng riêng A γ của đập ( đ ) được giả thiết là phân bố 2 x đều trong đập. Chọn hệ toạ độ Oxx 12 sao cho gốc O trùng với đỉnh đập, trục Hình 6-6 x2 trùng với sườn trái của đập, do vậy các thành phần lực thể tích P1 , P2 sẽ là: P1 = γ đ sinα , P2 = γ đ cosα (a) Để phân tích ứng suất trong đập, ta thấy rằng các ứng suất σ ij trong đập là hàm số phụ thuộc vào các đại lượngγ n ,γ đ , góc α, β , và toạ độ xi của các điểm trong đập. Để tìm các ứng suất σ ij ta phải biết hàm ứng suất Airy ϕ()xi . Ở đây ta sẽ giả định hàm ứng suất Airy ϕ()xi theo phương pháp nửa ngược và dựa vào việc phân tích thứ nguyên như sau: 2 Thứ nguyên của ứng suất là [Lực]/[chiều dài] ; còn thứ nguyên của γ n ,γ đ là [ Lực]/[chiều dài]3 và là các hằng số; α, β là các đại lượng không thứ nguyên. Để đảm bảo điều kiện cân bằng về thứ nguyên trong biểu thức của các ứng suất, thì ứng suất phải có dạng sau đây: σ(xidn ) = [ChiÒu dµi]γ + [ ChiÒu dµi]γ (b) Do γ n ,γ đ là hằng số, nên theo (b) ứng suất σ ij phải là hàm bậc nhất đối với biến chiều dài xi. Kết luận này cũng nhận được từ lời giải của SBVL. Theo (6-14’) ta thấy bậc của hàm ứng suất cao hơn bậc của ứng suất là 2, nên hàm ứng suất ϕ()xi sẽ phải là hàm bậc 3 đối với xi và giả sử có dạng như sau: 32 2 3 ϕ=+++(,xx12 ) A x 1 B xx 12 C xx 12 D x 2 (c) Hàm ϕ(,xx12 )trong biểu thức (c) là hàm bậc 3 nên là hàm ứng suất Arry. Thay (c) vào (6-14), kết hợp với hệ nghiệm riêng trong (6-12), ta được các biểu thức của ứng suất như sau:
∂ϕ2 σ=11 2 −P.11xx − P. 22 = 2C x 1 + 6D xxx 2 − P. 11 − P. 22 ∂x2 ∂ϕ2 σ=22 2 −P1 .xx 1 − P 2 . 2 = 6A xxxx1 + 2B 2 − P 1 . 1 − P 2 . 2 (d) ∂x1 ∂ϕ2 σ=−12 +=−02B2Cxx1 − 2 ∂∂xx12 Để các biểu thức tính ứng suất (d) là nghiệm của bài toán đã cho thì nó phải thỏa mãn hết mọi điều kiện biên về lực của bài toán. Đây chính là các điều kiện để xác định các hằng số A,B,C,D chưa biết. Các điều kiện biên của bài toán bao gồm: + Trên sườn trái OA (phương trình x1=0) ta có: σ=−γαx cos (e) 11x1 = 0 n 2 σ=0 (f) 12x1 = 0 + Trên sườn phải OB (phương trình x1= x2 tg β ) ta có: ( σ+σ.n .n ) == q 0 (g) 11 1 12 2xx12=β tg n1 (.nσ+σ .n) == q 0 (h) 21 1 22 2xx12=β tg n2 Trong đó: n1, n2 là cosin chỉ phương của pháp tuyến n của sườn phải OB, với 0 ncos(,n)cos11==βx , n22= cos(x ,n)=+β=−β cos(90 ) sin (i) Thay các ứng suất từ (d) vào 4 phương trình (e, f, g, h), kết hợp với liên hệ (a) ở trên , ta giải ra được 4 hàng số A,B,C,D: 1 ⎡ ⎛ cosα sinα ⎞ 2cosα ⎤ A = γ ⎜ +sinα − 2 ⎟ − γ ⎢ đ ⎜ 2 ⎟ n 3 ⎥ 6 ⎣ ⎝ tgβ tg β ⎠ tg β ⎦ 1 ⎛ sinα cosα ⎞ B = ⎜γ + γ ⎟ (j) ⎜ đ n 2 ⎟ 2 ⎝ tgβ tg β ⎠ C = 0 1 D =(γ − γ )cos α 6 đ n Thay 4 hằng số A,B,C,D vừa tìm được từ (j) vào (d), cuối cùng ta được biểu thức của các ứng suất trong đập trọng lực mặt cắt tam giác, chịu áp lực thủy tĩnh như sau: σ=−γ11(cossin) nxx 2 α+γđ 1 α ⎡⎤⎛⎞cosαα sin 2cos α⎡ ⎛⎞sin αcos α⎤ σ=γ22 ⎢⎥đ ⎜⎟ −2c23 −γn1xx +γ⎢ đ ⎜⎟ −os α+γn22⎥ ⎣⎦⎝⎠tgββtgββ tg ⎣ ⎝⎠tg tg β⎦ ⎛⎞sinαα cos σ=−γ12 ⎜⎟đ +γn12 x (6-16) ⎝⎠tgβ tg β Trường hợp riêng khi sườn trái của đập thẳng đứng (Hình 6-7); Khi đó với góc α = 0 , P1=0, P2 =γ đ nên từ (6-16) ta có:
σ=−γ11 nx 2 ⎛⎞⎛⎞12 1 σ=γ22 ⎜⎟⎜⎟đ −γn1n32xx +γ −γđ 2 (6-17) ⎝⎠⎝⎠tgβ tg ββtg 1 σ=−γ x 12 ntg2β 1 Các lời giải (6-16) và (6-17) sẽ được sử dụng để phân tích ứng suất trong đập trọng lực thuộc môn học chuyên ngành Thuỷ công. Xét các ứng suất tại mặt cắt có tung độ x2=h=const, ta thấy ứng suất σ 11 là hằng số, còn các ứng suất σ 22,σ 12 là hàm bậc nhất đối với x1. Các biểu đồ ứng suất σ 11,,σ 22σ 12 trên mặt cắt có x2=h như trên hình 6-7. Phân tích lời giải này của Le’vy ta thấy rằng, kết quả tính toán là chính xác đối với những mặt cắt đủ xa so với 2 vai đập, và tại những điểm cách xa đỉnh và xa đáy đập Lời giải có độ chính xác kém ở vùng gần đỉnh đập và ở sát đáy x1 đập vì tại đó ứng suất còn phụ thuộc vào biến dạng của nền. P1 q = γnx2 P2 x2 σ11 σ 22 σ12 Hình 6-7 6.4.2 Bài toán đập (hay tường chắn) mặt cắt chữ nhật chịu áp lực thủy tĩnh Xét một đập chắn nước (hay tường chắn đất) mặt cắt chữ nhật bề rộng bằng đơn vị và không bị giới hạn về phía dưới như trên hình 6-8. Giả sử a a sườn phải tự do, còn ở sườn trái đập O chịu áp lực thủy tĩnh phân bố bậc nhất x1 theo chiều cao đập. Ngoài ra đập còn σ22 chịu lực thể tích (hay dung trọng riêng γnx2 γ đ ) phân bố đều trong đập. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxx12 sao cho gốc O trùng với đỉnh đập, trục x2 là trục đối xứng 2 x
của mặt cắt. Hình 6-8 Ta biết rằng khi đập chỉ chịu trọng lượng bản thân phân bố đều trong đập (γ đ ) thì lời giải Lý thuyết đàn hồi và lời giải của SBVL là trùng khớp nhau, nghĩa là: σ 11 = 0 ; σ=−γ22 dx 2 ; σ 12 = 0 (a) Bây giờ ta chỉ còn phải giải bài toán đã cho trong trường hợp đập chỉ chịu áp lực thủy tĩnh mà thôi. Để tính các ứng suất, ta cũng giả định hàm ứng suất Airy dựa vào lời giải của SBVL và dựa vào việc phân tích thứ nguyên như sau: Theo SBVL thì biểu thức của mô men uốn và lực cắt tai mặt cắt bất kỳ cách đỉnh đập một khoảng x2 là: 1 xxγ 3 1 γ x 2 M =γxx 2n2 = ; Q.=γxx =n2 (c) 236n2 2 22n2 2 a 22− x Với chú ý : b1,S==c 1 có thể tính ra các ứng suất: cx 2 σ 11 = 0 M γ xx3 σ=xx =n2 1 =f(3 ,x ) (d) 22 J6J1 1 2 1 Q.S γ−xx22(a 2 ) σ= =n2 1 =f(xx22 , ) 12J.b 4J 2 2 1 Ta nhận thấy rằng các ứng suất đều là hàm bậc 4 đối với x1 và x2; σ 22 là hàm lẻ đối với x1 và x2; còn σ 12 là hàm chẵn đối với x1 và x2; và để đảm bảo điều kiện biên tại đỉnh đập: σ=22 0 , nên ta có thể biểu diễn σ 22 dưới dạng sau: x2 =0 32 σ=22x 2(A x 1 + B xx 12 + C xx 12 + D x 1 ) (e) Trong đó A,B,C,D là các hệ số chưa biết, sẽ được xác định từ các điều kiện biên Từ (e) ta có thể tích phân 2 lần theo x1 để tìm ra hàm ϕ(,xx12 )như sau: ϕ=σ++(,xx ) d x d x x f()f() x x (f) 12∫∫ 1 221 112 22 Trong đó: f(12x ) là hằng số đối với x1 và là hàm bậc 5 đối với x2. f(22x )là là hằng số đối với x1 và là hàm bậc 6 đối với x2. Ta có thể chọn chúng dưới dạng sau: 54 3 2 f(12xxxxxx )=++++ E 2 F 2 G 2 H 2 I 2 654 32 f(22xx )=+ J 2 K xx 2 + L 2 + M x 2 + N x 2 (g) Từ (f) và (g), tính các đạo hàm riêng cấp 4 của ϕ(,xx12 )theo x1 và x2, ta được: ∂ϕ4 4 = 6Axx12 ∂x1
∂ϕ4 212B4C22=+xx12 x 1 (h) ∂∂xx12 4 ∂ϕ 2 4 =++++120Exx12 2F xx 12 360J x 2 120K x 2 2L x 2 ∂x2 Thay (h) vào phương trình song điều hoà (6-15), hay buộc ϕ(,xx12 )là hàm ứng suất Arry ta được phương trình sau đây: 2 xx12(6A++ 12B 120E) +x1 (4C + 24F) + 360Jx2 + 120K x2 + 24L = 0 (i) Phương trình (i) được thoả mãn với mọi x1 và x2 khi và chỉ khi: ⎧ABE+2 + 20 = 0 ⎪ ⎨CF+6 = 0 (j) ⎪ ⎩JKL= = = 0 Từ hàm ứng suất ϕ(,xx12 )đã chọn, ta có thể tính được các ứng suất σ 11,,σ 22σ 12 theo (6-14) như sau: ⎧ 2 3 ∂ϕ 33Cx1 2 ⎪σ=11 2 =Bxx1 2 + + x1(20E x 2 + 12F x2 + 6G x2 + 2H) + (6Mx2 + 2N) ⎪ ∂x2 3 ⎪ 2 ⎪ ∂ϕ 332 ⎨σ=22 2 =ABCDx1 x 2 + xx 12 + xx 12 + xx 12 (618)− ⎪ ∂x1 ⎪ ∂ϕ2 ⎛⎞A3Bxxx422 D x2 ⎪ 112241 32 σ=−12 =−⎜⎟ + +C5xx1 2 + +E4x2 +F3 x2 +G2 x2 +HI x2 + ⎩⎪ ∂∂xx12 ⎝⎠42 2 Để xác định 11 hệ số chưa biết (A,B,C,D,E,F,G,H,I,M,N) ở trên ta dựa vào các điều kiện biên sau đây: + Trên sườn trái (phương trình x1 = −a ) ta có 2 điều kiện biên: σ=−γ11 nx 2 x1 =−a σ=12 0 (k) x1 =−a + Trên sườn phải-sườn tự do (phương trình x1 = +a ) ta có 2 điều kiện biên: σ=11 0 (k) x1 =a σ=12 0 (l) x1 =a + Trên đỉnh đập (phương trình x2 = 0 ; −aa≤≤+x1 ) ta có 2 điều kiện biên: σ=22 0 (m) x2 =0 σ=21 0 (n) x2 =0 + Tại mặt cắt 1-1 ( x2 = a , −≤aax1 ≤+) ta có 2 điều kiện biên:
a 1 σ=γdax 2 (o) ∫ 12 1 n −a 2 a 1 σ=−γxxda3 (p) ∫ 22 1 1 n −a 6 Thay các ứng suất theo (6-18) vào các điều kiện biên (k), (l), (m), (n), (o), (p) ta nhận thấy có 7 trong số 8 điều kiện biên trên đều thoả mãn, trừ điều kiện biên (n) là không thỏa mãn mà thôi. Để khắc phục, ta biến đổi điều kiện biên này theo Saint-Venant: +a σ=12 d0x1 (q) ∫ x2 =0 −a Từ 8 điều kiện biên trên, kết hợp với 3 phương trình (j), ta giải ra được 11 hằng số chưa biết trong các biểu thức của ứng suất là: CEFHN= = = = = 0 γ γ 3γ A =n ; B = −n ; D = − n (r) 2a 3 4a 3 10a γ γ a γ G =n ; I = n ; M = − n 8a 40 12 Thay 11 hằng số vừa giải được vào (6-18), ta có lời giải của ứng suất là: 3 ⎛⎞1 3xx11 σ=γ11 nx 2 ⎜⎟ −+ − 3 ⎝⎠24a4a γn ⎛⎞336 2 σ=22 3 ⎜⎟ −xx12 +2a x 1 x 2 − xx 12 (6-19) 4a ⎝⎠5 2 γn 22⎛⎞ 22a σ=123 ()a3 −xxx 1⎜⎟ − 2 + 1 − 8a ⎝⎠5 Nếu so sánh lời giải (6-19) với lời giải của Sức bền Vật liệu ta thấy: Ở những mặt cắt càng xa đỉnh đập (x2 càng lớn bao nhiêu) thì giá trị các ứng suất (σ 22,σ 12 ) nhận được từ 2 lời giải trên càng ít sai khác bấy nhiêu. Chẳng hạn xét giá trị của σ 22 : + Tại điểm có toạ độ xx12=−a, = a , thì: - Lời giải của lý thuyết đàn hồi cho kết quả: σ 22 = 0,05γ n a - Lời giải của Sức bền vật liệu cho kết quả: σ 22 = 0,25γ n a (sai khác nhau 5 lần) + Tại điểm có toạ độ xx12=−a, = 10a , thì: - Lời giải của lý thuyết đàn hồi cho kết quả: σ 22 = 248γ n a - Lời giải của Sức bền vật liệu cho kết quả: σ 22 = 250γ n a (sai khác nhau chỉ 0,8%)
6.5. HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG CHUỖI LƯỢNG GIÁC Xét dầm tường có chiều dài l , mặt cắt ngang hình chữ nhật có kích thước b x h, trong đó bề rộng b không đổi và rất nhỏ so với kích thước l và h. Dầm có 2 mặt bên tự do, mặt trên và dưới của dầm chịu tác dụng của các tải trọng phân bố theo quy luật bất kỳ dọc theo chiều dài l và giả thiết phân bố đều theo bề rộng b của mặt cắt. Tuỳ theo số lượng gối tựa của dầm người ta phân chia dầm tường thành 2 loại: Dầm tường đơn (dầm chỉ có 2 gối ở 2 đầu) và dầm tường liên tục (dầm có các gối tựa trung gian ngoài 2 gối tựa ở đầu). Dưới đây là lời giải của bài toán dầm tường đơn. Để giải bài toán dầm tường Filon và Ribiere đã kiến nghị chọn hàm ứng suất dưới dạng chuỗi lượng giác, bởi lẽ nếu chọn hàm ứng suất có dạng đa thức như đối với bài toán đập sẽ gặp khó khăn trong trường hợp này, vì trong bài toán dầm tường quy luật phân bố của tải trọng là khá phức tạp ∞ ϕ=(,)xx1 2∑[] f()sin m x 2 α+α m1 x g()cos m x 2 m1 x ( 6-20) m1= Trong đó f(m2xx ),g() m2là các hàm chỉ phụ thuộc vào biến x2, còn α m là các hằng số. Để ϕ(xx12 , ) trong (6-20) là hàm ứng suất, nó phải thoả mãn đièu kiện tương thích (6-15). Thay (6-20) vào (6-15) ta rút ra điều kiện: 42''(IV) α−α+=mmf(xxx 2 ) 2 mm f( 2 ) f m ( 2 ) 0 (a) 42''(IV) α−α+=mmg(xxx 2 ) 2 mm g( 2 ) g m ( 2 ) 0 (b) Nghiệm các phương trình vi phân (a) và (b) là: fm (xxxxxxx 2 )=α+α+ A m sh m2 B m ch m2 C m2 sh α+ m2 D m2 ch α m2 (c) gm (x 2 )= E m shα+ m2 x F m ch α+ m2 xxxxx G m2 sh α+ m2 H m2 ch α m2 (d) Thay (c) và (d) vào (6-20) ta được hàm ứng suất AIRY dưới dạng chuỗi lượng giác: ∞ ϕ=α(xx1 , 2 )∑ sinm1 x (A m sh α+α+α+α m2 x B m ch m2 x C m2 x sh m2 x D m2 x ch m2 x ) m1= ∞ + ∑cos(EshFchGshHch)αα+α+α+αm1x m m2 x m m2 xxxxx m2 m2 m2 m2] (6-21) m1= Trong đó Am, B m , C m , , Hm ( m = 1,2, ,∞ ) là các hằng số và sẽ được xác định từ các điều kiện biên về lực của bài toán. Dưới đây ta xẽ vận dụng lời giải tổng quát này để giải bài toán dầm tường đơn. Hãy xét dầm tường đơn được tựa 2 ở 2 đầu như trên hình 6-9. Do 2 mặt x t1(x1) q1(x1) đầu dầm tự do, ta có: ∂ϕ2 () σ= =0 x1 x10= 2 (a) ∂x Ro Rλ h 2 x10= x 1 t2(x1) q2(x1) λ
∂ϕ2 () σ= =0 (b) x1 x1=l ∂x 2 2 x1=l Để đảm bảo điều kiện biên này, ta phải có: EFGHm= m = m =m = 0 mπ α m = (c) Hình 6-9 l Thay (c ) vào (6-21) ta có: ∞ mmππ m π m π m π ϕ=(xx12 , )∑ sinx1m (A sh x 2m+ B ch x 2m2 + C x sh x 2 + D m2 x ch x 2 ) (6-22) m1= ll l l l Từ ( 6-22) có thể tính được các ứng suất và xác định các hằng số Am, Bm. Cm, Dm từ 4 điều kiện biên còn lại là: ∂ϕ2 + Tại biên trên (x2 = h): σ=22 ()x =h =− q() 1x 1 (d) x2 =h 2 2 ∂x1 ∂ϕ2 σ=−21 ()x =h =− t() 1x 1 (e) x2 =h 2 ∂∂xx12 ∂ϕ2 + Tại biên dưới (x2 = 0): σ=22 ()x =0 =− q() 2x 1 (f) x2 =0 2 2 ∂x1 ∂ϕ2 σ=−21 ()x =0 =− t() 2x 1 (g) x2 =0 2 ∂∂xx12 h + Tại biên trái (x1 = 0): σ dRx =− (h) ∫0 12 2 0 h + Tại biên trái (x1 = ): σ=dRx (i) l ∫0 12 2 l Khai triển cụ thể (d), (e), (f), (g) ta được: ππππππ2 ∞ mmhmhmhmh m2 sinxx (A sh B ch C hsh D hch ) q ( ) −+2 ∑ 1m m+ m+ m=− 11 (j) lllllm1= l ππππππ∞ mm mhmmh −+∑ mcosx1m ((A D m )ch+ (Bm+ C m )sh lllm1= ll l mmhmmhππππ ++Chch Dhsh ) =− t(x ) (k) llllmm11 ππ2 ∞ m msin2 xx B q( ) −=2 ∑ 1m− 2 1 (l) llm1= πππ∞ mm −+∑ mcosxx1m ((A D m )=− t 21 ( ) (m) lllm1= Để xác định được các hằng số Am, Bm. Cm, Dm ( m=1,23, ), ta tiến hành khai triển Fourier các tải trọng q1(x1), q2(x 1), t1(x 1), t2(x 1) ở vế phải, rồi đồng nhất 2 vế ta sẽ xác định các hằng số Am, Bm. Cm, Dm :
mhππ mh mh π mh π 2l l mπx A sh++ B ch C hsh + D hch =−q (xx )sin1 d (n) mmm m 22∫ 11 1 ll l lm π 0 l mππππ mh m mh mh πππ mh mh mh πππ mh mh A ch+++++ B sh C (sh ch ) D (ch sh ) llllmmm lllm lll 2 l mπx =− t(xx )cos1 d (o) ∫ 11 1 mπ 0 l 2l l mπx Bq()=− xxsind1 (p) m21122∫ m π 0 l m2π l mπx AD+= t()cosdxx1 (q) mm∫ 21 1 llmπ 0 Thay các hằng số Am, Bm. Cm, Dm vào hàm ứng suất, ta có thể tính được các ứng suất σ11,,σ 22σ 12 trong dầm tường đơn. BÀI TẬP CHƯƠNG 6 x2 32 2 6-1. Cho ϕ=++(,xx12 ) a x 1 b xx 12 c xx 12 ( trong đó a,b,c là các hằng số) C D Yêu cầu: 2d 1. Hàm ϕ(,xx12 )đã cho có phải là hàm A B 1 x ứng suất Airy không, vì sao? 4d 2. Nếu đúng, hãy tính các ứng suất và Hình 6-1 xác định tải trọng trên biên của vật cho trên hình 6-1. 32 2 3 6-2. Cho hàm ϕ=+++(,xx12 ) a x 1 b xx 12 c xx 12 d x 2 (a,b,c,d là các hằng số). Yêu cầu: 1. Hàm ϕ(,xx12 )đã cho có phải là hàm ứng suất Airy không, vì sao? 2. Nếu đúng, hãy tính các ứng suất và xác định tải trọng trên biên của vật cho trên hình 6-1. Xét riêng cho các trường hợp sau: 1/ Chỉ có a ≠ 0 ; 2/ Chỉ có b ≠ 0 ; 3/ Chỉ có c ≠ 0 ; 4/ Chỉ có d ≠ 0
6-3. Cho hàm x2 32 2 3 ϕ=+++(,xx12 ) a x 1 b xx 12 c xx 12 d x 2. ( trong đó a,b,c,d là các hằng số) Yêu cầu: 1. Hàm ϕ(,xx )đã cho có phải là hàm 12 30o ứng suất Airy không, vì sao? 1 x1 qk= x 2. Nếu đúng, hãy xác định các ứng suất 112 q2 = kx1 tổng quát của bài toán đàn hồi phẳng? Hình 6-3 3. Hãy xác định ứng suất của bài toán đàn hồi phẳng cho trên hình 6-3. 6-4. Cho hàm x2 22 2353 q 2 ϕ=abxxxxxxx1121222 + + c + de + . x Yêu cầu: 1. Nó có phải là hàm ứng suất Airy O h x1 x3 không, vì sao? 2. Nếu đúng, hãy xác định các biểu l 1 thức tổng quát của ứng suất? 3. Hãy xác định ứng suất của bài toán cho Hình 6-4 trên hình 6-4. 6-5. Cho các biểu thức ứng suất: ⎛⎞xxx212 σ=11 Aarctg⎜⎟ − − +C x xx22+ ⎝⎠1 12 ⎛⎞xxx O σ=Aarctg −212 + +B 22 ⎜⎟22 x2 ⎝⎠x1 xx12+ 2 x β σ=−A 2 12 22 xx12+ p Yêu cầu: 1. Chúng có phải là nghiệm của bài toán đàn hồi phẳng không, vì sao? 2. Nếu đúng, hãy xác định các biểu x1 thức ứng suất của bài toán phẳng cho trên hình 6-5. Hình 6-5