Giáo trình Cơ sở dữ liệu và giải thuật (Phần 2)

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở dữ liệu và giải thuật (Phần 2)

1. Chương III Bảng Băm Mục tiêu Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu bảng băm. Bảng băm là cấu trúc dữ liệu được sử dụng để cài đặt KDL từ điển. Nhớ lại rằng, KDL từ điển là một tập các đối tượng dữ liệu được xem xét đến chỉ với ba phép toán tìm kiếm, xen vào và loại bỏ. Đương nhiên là chúng ta có thể cài đặt từ điển bởi danh sách, hoặc bởi cây tìm kiếm nhị phân. Tuy nhiên bảng băm là một trong các phương tiện hiệu quả nhất để cài đặt từ điển. Kiến thức cơ bản cần thiết Để học tốt chương này sinh viên cần phải nắm vững kỹ năng lập trình cơ bản như: - Cấu trúc mảng, danh sách - Các cấu trúc điều khiển, lệnh vòng lặp. - Lập trình hàm, thủ tục, cách gọi hàm. Nội dung Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập tới các vấn đề sau đây: - Phương pháp băm và hàm băm. - Các chiến lược giải quyết sự va chạm. - Cài đặt KDL từ điển bởi bảng băm. I. Phương pháp băm Vấn đề được đặt ra là, chúng ta có một tập dữ liệu, chúng ta cần đưa ra một cấu trục dữ liệu (CTDL) cài đặt tập dữ liệu này sao cho các phép toán tìm kiếm, xen, loại được thực hiện hiệu quả. Trong các chương trước, chúng ta đã trình bày các phương pháp cài đặt KDL tập động (từ điển là trường hợp riêng của tập động khi mà chúng ta chỉ quan tâm tới ba phép toán tìm kiếm, xen, loại). Sau đây chúng ta trình bày một kỹ thuật mới để lưu giữ một tập dữ liệu, đó là phương pháp băm. Nếu như các giá trị khoá của các dữ liệu là số nguyên không âm và nằm trong khoảng [0 SIZE-1], chúng ta có thể sử dụng một mảng data có cỡ SIZE để lưu tập dữ liệu đó. Dữ liệu có khoá là k sẽ được lưu trong thành phần data[k] của mảng. Bởi vì mảng cho phép ta truy cập trực tiếp tới từng thành phần của mảng theo chỉ số, do đó các phép toán tìm kiếm, xen, loại được thực hiện trong thời gian O(1). Song đáng tiếc là, khoá có thể không phải là số nguyên, thông thường khoá còn có thể là số thực, là ký tự hoặc xâu ký tự. Ngay cả khoá là số nguyên, thì các giá trị khoá nói chung không chạy trong khoảng [0 SIZE-1]. Trong trường hợp tổng quát, khi khoá không phải là các số nguyên trong khoảng [0 SIZE-1], chúng ta cũng mong muốn lưu tập dữ liệu bởi mảng, để lợi dụng tính ưu việt cho phép truy cập trực tiếp của mảng. Giả sử chúng ta muốn lưu tập dữ liệu trong mảng T với cỡ là SIZE. Để làm được điều đó, với mỗi dữ liệu chúng ta cần định vị 56
2. được vị trí trong mảng tại đó dữ liệu được lưu giữ. Nếu chúng ta đưa ra được cách tính chỉ số mảng tại đó lưu dữ liệu thì chúng ta có thể lưu tập dữ liệu trong mảng theo sơ đồ Hình III.1. Hình III.1. Lược đồ phương pháp băm. Trong lược đồ Hình III.1, khi cho một dữ liệu có khoá là k, nếu tính địa chỉ theo k ta thu được chỉ số i, 0 <= i <= SIZE-1, thì dữ liệu sẽ được lưu trong thành phần mảng T[i]. Một hàm ứng với mỗi giá trị khoá của dữ liệu với một địa chỉ (chỉ số) của dữ liệu trong mảng được gọi là hàm băm (hash function). Phương pháp lưu tập dữ liệu theo lược đồ trên được gọi là phương pháp băm (hashing). Trong lược đồ II.1, mảng T được gọi là bảng băm (hash table). Như vậy, hàm băm là một ánh xạ h từ tập các giá trị khoá của dữ liệu vào tập các số nguyên {0,1, , SIZE-1}, trong đó SIZE là cỡ của mảng dùng để lưu tập dữ liệu, tức là: h : K Æ {0,1, ,SIZE-1} với K là tập các giá trị khoá. Cho một dữ liệu có khoá là k, thì h(k) được gọi là giá trị băm của khoá k, và dữ liệu được lưu trong T[h(k)]. Nếu hàm băm cho phép ứng các giá trị khoá khác nhau với các chỉ số khác nhau, tức là nếu k1 ≠ k2 thì h(k1) ≠ h(k2), và việc tính chỉ số h(k) ứng với mỗi khoá k chỉ đòi hỏi thời gian hằng, thì các phép toán tìm kiếm, xen, loại cũng chỉ cần thời gian O(1). Tuy nhiên, trong thực tế một hàm băm có thể ánh xạ hai hay nhiều giá trị khoá tới cùng một chỉ số nào đó. Điều đó có nghĩa là chúng ta phải lưu các dữ liệu đó trong cùng một thành phần mảng, mà mỗi thành phần mảng chỉ cho phép lưu một dữ liệu ! Hiện tượng này được gọi là sự va chạm (collision). Vấn đề đặt ra là, giải quyết sự va chạm như thế nào? Chẳng hạn, giả sử dữ liệu d1 với khoá k1 đã được lưu trong T[i], i = h(k1); bây giờ chúng ta cần xen vào dữ liệu d2 với khoá k2, nếu h(k2) = i thì dữ liệu d2 cần được đặt vào vị trí nào trong mảng? Như vậy, một hàm băm như thế nào thì được xem là tốt. Từ những điều đã nêu trên, chúng ta đưa ra các tiêu chuẩn để thiết kế một hàm băm tốt như sau: 57
3. 1. Tính được dễ dàng và nhanh địa chỉ ứng với mỗi khoá. 2. Đảm bảo ít xảy ra va chạm. II. Các hàm băm Trong các hàm băm được đưa ra dưới đây, chúng ta sẽ ký hiệu k là một giá trị khoá bất kỳ và SIZE là cỡ của bảng băm. Trước hết chúng ta sẽ xét trường hợp các giá trị khoá là các số nguyên không âm. Nếu không phải là trường hợp này (chẳng hạn, khi các giá trị khoá là các xâu ký tự), chúng ta chỉ cần chuyển đổi các giá trị khoá thành các số nguyên không âm, sau đó băm chúng bằng một phương pháp cho trường hợp khoá là số nguyên. Có nhiều phương pháp thiết kế hàm băm đã được đề xuất, nhưng được sử dụng nhiều nhất trong thực tế là các phương pháp được trình bày sau đây: 1. Phương pháp chia Phương pháp này đơn giản là lấy phần dư của phép chia khoá k cho cỡ bảng băm SIZE làm giá trị băm: h(k) = k mod SIZE Bằng cách này, giá trị băm h(k) là một trong các số 0,1, , SIZE-1. Hàm băm này được cài đặt trong C++ như sau: unsigned int hash(int k, int SIZE) { return k % SIZE; } Trong phương pháp này, để băm một khoá k chỉ cần một phép chia, nhưng hạn chế cơ bản của phương pháp này là để hạn chế xảy ra va chạm, chúng ta cần phải biết cách lựa chọn cỡ của bảng băm. Các phân tích lý thuyết đã chỉ ra rằng, để hạn chế va chạm, khi sử dụng phương pháp băm này chúng ta nên lựa chọn SIZE là số nguyên tố, tốt hơn là số nguyên tố có dạng đặc biệt, chẳng hạn có dạng 4k+3. Ví dụ, có thể chọn SIZE = 811, vì 811 là số nguyên tố và 811 = 4 . 202 + 3. 2. Phương pháp nhân Phương pháp chia có ưu điểm là rất đơn giản và dễ dàng tính được giá trị băm, song đối với sự va chạm nó lại rất nhạy cảm với cỡ của bảng băm. Để hạn chế sự va chạm, chúng ta có thể sử dụng phương pháp nhân, phương pháp này có ưu điểm là ít phụ thuộc vào cỡ của bảng băm. Phương pháp nhân tính giá trị băm của khoá k như sau. Đầu tiên, ta tính tích của khoá k với một hằng số thực α , 0 < α <1. Sau đó lấy phần thập phân của tích α k nhân với SIZE, phần nguyên của tích này được lấy làm giá trị băm của khoá k. Tức là: (Ký hiệu chỉ phần nguyên của số thực x, tức là số nguyên lớn nhất <=x, chẳng hạn ) 58
4. Chú ý rằng, phần thập phân của tích α k, tức là α k - ⎣αk⎦ , là số thực dương nhỏ hơn 1. Do đó tích của phần thập phân với SIZE là số dương nhỏ hơn SIZE. Từ đó, giá trị băm h(k) là một trong các số nguyên 0,1, , SIZE- 1. Để có thể phân phối đều các giá trị khoá vào các vị trí trong bảng băm, trong thực tế người ta thường chọn hằng số α như sau: Chẳng hạn, nếu cỡ bảng băm là SIZE = 1024 và hằng số α được chọn như trên, thì với k = 1849970, ta có: 3. Hàm băm cho các giá trị khoá là xâu ký tự Để băm các xâu ký tự, trước hết chúng ta chuyển đổi các xâu ký tự thành các số nguyên. Các ký tự trong bảng mã ASCII gồm 128 ký tự được đánh số từ 0 đến 127, đo đó một xâu ký tự có thể xem như một số trong hệ đếm cơ số 128. Áp dụng phương pháp chuyển đổi một số trong hệ đếm bất kỳ sang một số trong hệ đếm cơ số 10, chúng ta sẽ chuyển đổi được một xâu ký tựthành một số nguyên. Chẳng hạn, xâu “NOTE” được chuyển thành một số nguyên như sau: “NOTE” Æ ‘N’.1283 + ‘O’.1282 + ‘T’.128 + ‘E’ = 78.1283 + 79.1282 + 84.128 + 69 Vấn đề nảy sinh với cách chuyển đổi này là, chúng ta cần tính các luỹ thừa của 128, với các xâu ký tự tương đối dài, kết quả nhận được sẽ là một số nguyên cực lớn vượt quá khả năng biểu diễn của máy tính. Trong thực tế, thông thường một xâu ký tự được tạo thành từ 26 chữ cái và 10 chữ số, và một vài ký tự khác. Do đó chúng ta thay 128 bởi 37 và tính số nguyên ứng với xâu ký tự theo luật Horner. Chẳng hạn, số nguyên ứng với xâu ký tự “NOTE” được tính như sau: “NOTE” Æ 78.373 + 79.372 + 84.37 + 69 = ((78.37 + 79).37 +84).37 +69 Sau khi chuyển đổi xâu ký tự thành số nguyênbằng phương pháp trên, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp chia để tính giá trị băm. Hàm băm các xâu ký tự được cài đặt như sau: unsigned int hash(const string &k, int SIZE) { unsigned int value = 0; for (int i=0; i< k.length(); i++) value = 37 * value + k[i]; return value % SIZE; } 59
5. III. Các phương pháp giải quyết va chạm Trong mục II.2 chúng ta đã trình bày các phương pháp thiết kế hàm băm nhằm hạn chế xẩy ra va chạm. Tuy nhiên trong các ứng dụng, sự va chạm là không tránh khỏi. Chúng ta sẽ thấy rằng, cách giải quyết va chạm ảnh hưởng trực tiếp đến hiệu quả của các phép toán từ điển trên bảng băm. Trong mục này chúng ta sẽ trình bày hai phương pháp giải quyết va chạm. Trong phương pháp thứ nhất, mỗi khi xảy ra va chạm, chúng ta tiến hành thăm dò để tìm một vị trí còn trống trong bảng và đặt dữ liệu mới vào đó. Một phương pháp khác là, chúng ta tạo ra một cấu trúc dữ liệu lưu giữ tất cả các dữ liệu được băm vào cùng một vị trí trong bảng và “gắn” cấu trúc dữ liệu này vào vị trí đó trong bảng. 1. Phương pháp định địa chỉ mở Trong phương pháp này, các dữ liệu được lưu trong các thành phần của mảng, mỗi thành phần chỉ chứa được một dữ liệu. Vì thế, mỗi khi cần xen một dữ liệu mới với khoá k vào mảng, nhưng tại vị trí h(k) đã chứa dữ liệu, chúng ta sẽ tiến hành thăm dò một số vị trí khác trong mảng để tìm ra một vị trí còn trống và đặt dữ liệu mới vào vị trí đó. Phương pháp tiến hành thăm dò để phát hiện ra vị trí trống được gọi là phương pháp định địa chỉ mở (open addressing). Giả sử vị trí mà hàm băm xác định ứng với khoá k là i, i=h(k). Từ vị trí này chúng ta lần lượt xem xét các vị trí i0 , i1 , i2 , , im , Trong đó i0 = i, im(m=0,1,2, ) là vị trí thăm dò ở lần thứ m. Dãy các vị trí này sẽ được gọi là dãy thăm dò. Vấn đề đặt ra là, xác định dãy thăm dò như thế nào? Sau đây chúng ta sẽ trình bày một số phương pháp thăm dò và phân tích ưu khuyết điểm của mỗi phương pháp. Thăm dò tuyến tính. Đây là phương pháp thăm dò đơn giản và dễ cài đặt nhất. Với khoá k, giả sử vị trí được xác định bởi hàm băm là i=h(k), khi đó dãy thăm dò là i , i+1, i+2 , Như vậy thăm dò tuyến tính có nghĩa là chúng ta xem xét các vị trí tiếp liền nhau kể từ vị trí ban đầu được xác định bởi hàm băm. Khi cần xen vào một dữ liệu mới với khoá k, nếu vị trí i = h(k) đã bị chiếm thì ta tìmđến các vị trí đi liền sau đó, gặp vị trí còn trống thì đặt dữ liệu mới vào đó. Ví dụ. Giả sử cỡ của mảng SIZE = 11. Ban đầu mảng T rỗng, và ta cần xen lần lượt các dữ liệu với khoá là 388, 130, 13, 14, 926 vào mảng. Băm khoá 388, h(388) = 3, vì vậy 388 được đặt vào T[3]; h(130) = 9, đặt 130 vào T[9]; h(13) = 2, đặt 13 trong T[2]. Xét tiếp dữ liệu với khoá 14, h(14) = 3, xẩy ra va chạm (vì T[3] đã bị chiếm bởi 388), ta tìm đến vị trí tiếp theo là 4, vị trí này trống và 14 được đặt vào T[4]. Tương tự, khi xen vào 926 cũng xảy ra va chạm, h(926) = 2, tìm đến các vị trí tiếp theo 3, 4, 5 và 92 được đặt vào T[5]. Kết quả là chúng ta nhận được mảng T như trong Hình III.2. 60
6. Hình III.2. Bảng băm sau khi xen vào các dữ liệu 38, 130, 13, 14 và 926 Bây giờ chúng ta xét xem, nếu lưu tập dữ liệu trong mảng bằng phương pháp định địa chỉ mở thì các phép toán tìm kiếm, xen, loại được tiến hành như thế nào. Các kỹ thuật tìm kiếm, xen, loại được trình bày dưới đây có thể sử dụng cho bất kỳ phương pháp thăm dò nào. Trước hết cần lưu ý rằng, để tìm, xen, loại chúng ta phải sử dụng cùng một phương pháp thăm dò, chẳng hạn thăm dò tuyến tính. Giả sử chúng ta cần tìm dữ liệu với khoá là k. Đầu tiên cần băm khoá k, giả sử h(k)=i. Nếu trong bảng ta chưa một lần nào thực hiện phép toán loại, thì chúng ta xem xét các dữ liệu chứa trong mảng tại vị trí i và các vị trí tiếp theo trong dãy thăm dò, chúng ta sẽ pháthiện ra dữ liệu cần tìm tại một vị trí nào đó trong dãy thăm dò, hoặc nếu gặp một vị trí trống trong dãy thăm dò thì có thể dừng lại và kết luận dữ liệu cần tìm không có trong mảng. Chẳng hạn chúng ta muốn tìm xem mảng trong Hình III.2 có chứa dữ liệu với khoá là 47? Bởi vì h(47) = 3, và dữ liệu được lưu theo phương pháp thăm dò tuyến tính, nên chúng ta lần lượt xem xét các vị trí 3, 4, 5. Các vị trí này đều chứa dữ liệu khác với 47. Đến vị trí 6, mảng trống. Vậy ta kết luận 47 không có trong mảng. Để loại dữ liệu với khoá k, trước hết chúng ta cần áp dụng thủ tục tìm kiếm đã trình bày ở trên để định vị dữ liệu ở trong mảng. Giả sử dữ liệu được lưu trong mảng tại vị trí p. Loại dữ liệu ở vị trí p bằng cách nào? Nếu đặt vị trí p là vị trí trống, thì khi tìm kiếm nếu thăm dò gặp vị trí trống ta không thể dừng và đưa ra kết luận dữ liệu không có trong mảng. Chẳng hạn, trong mảng Hình III.2, ta loại dữ liệu 388 bằng cách xem vị trí 3 là trống, sau đó ta tìm dữ liệu 926, vì h (926) = 2 và T[2] không chứa 926, tìmđến vị trí 3 là trống, nhưng ta không thể kết luận 926 không có trong mảng. Thực tế 926 ở vị trí 5, vì lúc đưa 926 vào mảng các vị trí 2, 3, 4 đã bị chiếm. Vì vậy để đảm bảo thủ tục tìm kiếm đã trình bày ở trên vẫn còn đúng cho trường hợp đã thực hiện phép toán loại, khi loại dữ liệu ở vị trí p chúng ta đặt vị trí p là vị trí đã loại bỏ. Như vậy, chúng ta quan niệm mỗi vị trí i trong mảng (0 <= i <= SIZE-1) có thể là vị trí trống (EMPTY), vị trí đã loại bỏ (DELETED), hoặc vị trí chứa dữ liệu (ACTIVE). Đương nhiên là khi xen vào dữ liệu mới, chúng ta có thể đặt nó vào vị trí đã loại bỏ. Việc xen vào mảng một dữ liệu mới được tiến hành bằng cách lần lượt xem xét các vị trí trong dãy thăm dò ứng với mỗi khoá của dữ liệu, khi gặp một vị trí trống hoặc vị trí đã được loại bỏ thì đặt dữ liệu vào đó. Sau đây là hàm thăm dò tuyến tính int Probing (int i, int m, int SIZE) // SIZE là cỡ của mảng // i là vị trí ban đầu được xác định bởi băm khoá k, i = h(k) // hàm trả về vị trí thăm dò ở lần thứ m= 0, 1, 2, { 61
7. return (i+ m) % SIZE; } Phương pháp thăm dò tuyến tính có ưu điểm là cho phép ta xem xét tất cả các vị trí trong mảng, và do đó phép toán xen vào luôn luôn thực hiện được, trừ khi mảng đầy. Song nhược điểm của phương pháp này là các dữ liệu tập trung thành từng đoạn, trong quá trình xen các dữ liệu mới vào, các đoạn có thể gộp thành đoạn dài hơn. Điều đó làm cho các phép toán kém hiệu quả, chẳng hạn nếu i = h(k) ở đầu một đoạn, để tìm dữ liệu với khoá k chúng ta cần xem xét cả một đoạn dài. Thăm dò bình phương Để khắc phục tình trạng dữ liệu tích tụ thành từng cụm trong phương pháp thăm dò tuyến tính, chúng ta không thăm dò các vị trí kế tiếp liền nhau, mà thăm dò bỏ chỗ theo một quy luật nào đó. Trong thăm dò bình phương, nếu vị trí ứng với khoá k là i = h(k), thì dãy thăm dò là i , i+ 12 , i+ 22 , , i+ m2 , Ví dụ. Nếu cỡ của mảng SIZE = 11, và i = h(k) = 3, thì thăm dò bình phương cho phép ta tìmđến các địa chỉ 3, 4, 7, 1, 8 và 6. Phương pháp thăm dò bình phương tránh được sự tích tụ dữ liệu thành từng đoạn và tránh được sự tìm kiếm tuần tự trong các đoạn. Tuy nhiên nhược điểm của nó là không cho phép ta tìm đến tất cả các vị trí trong mảng, chẳng hạn trong ví dụ trên, trong số 11 vị trí từ 0, 1, 2, , 10, ta chỉ tìm đến các vị trí 3, 4, 7, 1, 8 và 6. Hậu quả của điều đó là, phép toán xen vào có thể không thực hiện được, mặc dầu trong mảng vẫn còn các vị trí không chứa dữ. Băm kép Phương pháp băm kép (double hashing) có ưu điểm như thăm dò bình phương là hạn chế được sự tích tụ dữ liệu thành cụm; ngoài ra nếu chúng ta chọn cỡ của mảng là số nguyên tố, thì băm kép còn cho phép ta thăm dò tới tất cả các vị trí trong mảng. Trong thăm dò tuyến tính hoặc thăm dò bình phương, các vị trí thăm dò cách vị trí xuất phát một khoảng cách hoàn toàn xác định trước và các khoảng cách này không phụ thuộc vào khoá. Trong băm kép, chúng ta sử dụng hai hàm băm h1 và h2: - Hàm băm h1 đóng vai trò như hàm băm h trong các phương pháp trước, nó xác định vị trí thăm dò đầu tiên. - Hàm băm h2 xác định bước thăm dò. Điều đó có nghĩa là, ứng với mỗi khoá k, dãy thăm dò là: h1(k) + m h2(k), với m= 0, 1, 2, Bởi vì h2(k) là bước thăm dò, nên hàm băm h2 phải thoả mãn điều kiện h2(k) ≠ 0 với mọi k. 62
8. Có thể chứng minh được rằng, nếu cỡ của mảng và bước thăm dò h2(k) nguyên tố cùng nhau thì phương pháp băm kép cho phép ta tìm đến tất cả các vị trí trong mảng. Khẳng định trên sẽ đúng nếu chúng ta lựa chọn cỡ của mảng là số nguyên tố. Ví dụ. Giả sử SIZE = 11, và các hàm băm được xác định như sau: h1(k) = k % 11 h2(k) = 1 + (k % 7) với k = 58, thì bước thăm dò là h2(58) = 1 + 2 = 3, do đó dãy thăm dò là: h1(58) = 3, 6, 9, 1, 4, 7, 10, 2, 5, 8, 0. còn với k = 36, thì bước thăm dò là h2(36) = 1 + 1 = 2, và dãy thăm dò là 3, 5, 7, 9, 0, 2, 4, 6, 8, 10. Trong các ứng dụng, chúng ta có thể chọn cỡ mảng SIZE là số nguyên tố và chọn M là số nguyên tố, M < SIZE, rồi sử dụng các hàm băm h1(k) = k % SIZE h2(k) = 1 + (k % M) 2. Phương pháp tạo dây chuyền Một cách tiếp cận khác để giải quyết sự va chạm là chúng ta tạo một cấu trúc dữ liệu để lưu tất cả các dữ liệu được băm vào cùng một vị trí trong mảng. Cấu trúc dữ liệu thích hợp nhất là danh sách liên kết (dây chuyền). Khi đó mỗi thành phần trong bảng băm T[i], với i = 0, 1, , SIZE – 1, sẽ chứa con trỏ trỏ tới đầu một DSLK. Cách giải quyết va chạm như trên được gọi là phương pháp tạo dây chuyền (separated chaining). Lược đồ lưu tập dữ liệu trong bảng băm sử dụng phương pháp tạo dây chuyền được mô tả trong Hình III.3. Hình III.3. Phương pháp tạo dây chuyền Ưu điểm của phương pháp giải quyết va chạm này là số dữ liệu được lưu không phụ thuộc vào cỡ của mảng, nó chỉ hạn chế bởi bộ nhớ cấp phát động cho các dây chuyền. Bây giờ chúng ta xét xem các phép toán từ điển (tìm kiếm, xen, loại) được thực hiện như thế nào. Các phép toán được thực hiện rất dễ dàng, để xen vào bảng băm dữ liệu khoá k, chúng ta chỉ cần xen dữ liệu này vào đầu DSLK được trỏ tới bởi con trỏ T[h(k)]. Phép toán xen vào chỉ đòi hỏi thời gian O(1), nếu thời gian tính giá trị băm h(k) là O(1). Việc tìm kiếm hoặc loại bỏ một dữ liệu với khoá k được quy về tìm kiếm hoặc loại bỏ trên DSLK T[h(k)]. Thời gian tìm kiếm hoặc loại bỏ đương nhiên là phụ thuộc vào độ dài của DSLK. Chúng ta có nhận xét rằng, dù giải quyết va chạm bằng cách thăm dò, hay giải quyết va chạm bằng cách tạo dây chuyền, thì bảng băm đều không thuận tiện cho sự thực 63
9. hiện các phép toán tập động khác, chẳng hạn phép toán Min (tìm dữ liệu có khoá nhỏ nhất), phép toán DeleteMin (loại dữ liệu có khoá nhỏ nhất), hoặc phép duyệt dữ liệu. Sau này chúng ta sẽ gọi bảng băm với giải quyết va chạm bằng phương pháp định địa chỉ mở là bảng băm địa chỉ mở, còn bảng băm giải quyết va chạm bằng cách tạo dây chuyền là bảng băm dây chuyền. IV. Cài đặt bảng băm địa chỉ mở Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu sự cài đặt KDL từ điển bởi bảng băm địa chỉ mở. Chúng ta sẽ giả thiết rằng, các dữ liệu trong từ điển có kiểu Item nào đó, và chúng chứa một trường dùng làm khoá tìm kiếm (trường key), các giá trị khoá có kiểu int. Ngoài ra để đơn giản cho viết ta giả thiết rằng, có thể truy cập trực tiếp trường key. Như đã thảo luận trong mục III.1, trong bảng băm T, mỗi thành phần T[i], 0 <= i <= SIZE -1, sẽ chứa hai biến: biến data để lưu dữ liệu và biến state để lưu trạng thái của vị trí i, trạng thái của vị trí i có thể là rỗng (EMPTY), có thể chứa dữ liệu (ACTIVE), hoặc có thể đã loại bỏ (DELETED). Chúng ta sẽ cài đặt KDL bởi lớp OpenHash phụ thuộc tham biến kiểu Item, lớp này sử dụng một hàm băm Hash và một hàm thăm dò Probing đã được cung cấp. Lớp OpenHash được khai báo như sau: const int SIZE = 811; enum stateType {ACTIVE, EMPTY, DELETED}; struct Entry { int data; stateType state; } Entry T[SIZE]; void OpenHash(); // khởi tạo bảng băm rỗng. bool Search(int k, Item & I) const; // Tìm dữ liệu có khoá là k. // Hàm trả về true (false) nếu tìm thấy (không tìm thấy). // Nếu tìm kiếm thành công, biếnI ghi lại dữ liệu cần tìm. void Insert(const Item & object, bool & Suc) // Xen vào dữ liệu object. biến Suc nhận giá trị true // nếu phép xen thành công, và false nếu thất bại. void Delete(int k); // Loại khỏi bảng băm dữ liệu có khoá k. bool Find(int k, int & index, int & index1) const; // Hàm thực hiện thăm dò tìm dữ liệu có khoá k. 64
10. // Nếu thành công, hàm trả về true và biến index ghi lại chỉ // số tại đó chứa dữ liệu. // Nếu thất bại, hàm trả về false và biến index1 ghi lại // chỉ số ở trạng thái EMPTY hoặc DELETED nếu thăm dò // phát hiện ra. Để khởi tạo bảng băm rỗng như sau: for ( int i= 0 ; i < SIZE ; i++ ) T[i].state = EMPTY; Chú ý rằng, các phép toán tìm kiếm, xen, loại đều cần phải thực hiện thăm dò để phát hiện ra dữ liệu cần tìm hoặc để phát hiện ra vị trí rỗng (hoặc bị trí đã loại bỏ) để đưa vào dữ liệu mới. Sử dụng hàm Find ta dễ dàng cài đặt được các hàm Search, Insert và Delete. Trước hết chúng ta cài đặt hàm Find. Trong hàm Find khi mà quá trình thăm dò phát hiện ra vị trí rỗng thì có nghĩa là bảng không chứa dữ liệu cần tìm, song trước khi đạt tới vị trí rỗng có thể ta đã phát hiện ra các vị trí đã loại bỏ, biến index1 sẽ ghi lại vị trí đã loại bỏ đầu tiên đã phát hiện ra . Còn nếu phát hiện ra vị trí rỗng, nhưng trước đó ta không gặp vị trí đã loại bỏ nào, thì biến index1 sẽ ghi lại vị trí rỗng. Hàm Find được cài đặt như sau: bool Find(int k, int & index, int & index1) { int i = Hash(k); index = 0; index1 = i; for (int m= 0 ; m< SIZE ; m++) { int n = Probing(i,m); // vị trí thăm dò ở lần thứ m. if (T[n].state = = ACTIVE && T[n].data= = k ) { index = n; return true; } else if (T[n].state = = EMPTY) { if (T[index1].state != DELETED) index1 = n; 65
11. return false; } else if (T[n].state = = DELETED && T[index1].state!= DELETED) index1 = n; } return false; // Dừng thăm dò mà vẫn không tìm ra dữ liệu // và cũng không phát hiện ra vị trí rỗng. } Sử dụng hàm Find, các hàm tìm kiếm, xen, loại được cài đặt như sau: bool Search(int k) { int ind, ind1; if (Find(k,ind,ind1)) { return true; } else { return false; } } void Insert(int & object, bool & Suc) { int ind, ind1; if (!Find(object, ind, ind1)) if (T[ind1].state = = DELETED || T[ind1].state = = EMPTY) { T[ind1].data = object; T[ind1].state = ACTIVE; Suc = true; } else Suc = false; 66
12. } void Delete(int k) { int ind, ind1; if (Find(k, ind, ind1)) T[ind].state = DELETED; } Trên đây chúng ta đã cài đặt bảng băm địa chỉ mở bởi mảng có cỡ cố định. Hạn chế của cách này là, phép toán Insert có thể không thực hiện được do mảng đầy hoặc có thể mảng không đầy nhưng thăm dò không phát hiện ra vị trí rỗng hoặc vị trí đã loại bỏ để đặt dữ liệu vào. Câu hỏi đặt ra là, chúng ta có thể cài đặt bởi mảng động như chúng ta đã làm khi cài đặt KDL tập động. Câu trả lời là có, tuy nhiên cài đặt bảng băm bởi mảng động sẽ phức tạp hơn, vì các lý do sau: - Cỡ của mảng cần là số nguyên tố, do đó chúng ta cần tìm số nguyên tố tiếp theo SIZE làm cỡ của mảng mới. - Hàm băm phụ thuộc vào cỡ của mảng, chúng ta không thể sao chép một cách đơn giản mảng cũ sang mảng mới như chúng ta đã làm trước đây, mà cần phải sử dụng hàm Insert để xen từng dữ liệu của bảng cũ sang bảng mới V. Cài đặt bảng băm dây chuyền Trong mục này chúng ta sẽ cài đặt KDL từ điển bởi bảng băm dây chuyền. Lớp ChainHash phụ thuộc tham biến kiểu Item với các giả thiết như trong mục IV. Lớp này được định nghĩa như sau: struct Cell { Item data; Cell* next; }; // Cấu trúc tế bào trong dây chuyền. Cell* T[SIZE];// Mảng các con trỏ trỏ đầu các dây chuyền // Các phép toán từ điển: bool Search(int k, Item & I) const; void Insert(const Item & object, bool & Suc); void Delete(int k); Để khởi tạo ra bảng băm rỗng, chúng ta chỉ cần đặt các thành phần trong mảng T là con trỏ NULL. Hàm kiến tạo mặc định như sau: 67
13. for ( int i= 0 ; i< SIZE ; i++ ) T[i] = NULL; Các hàm tìm kiếm, xen, loại được cài đặt rất đơn giản, sau khi băm chúng ta chỉ cần áp dụng các kỹ thuật tìm kiếm, xen, loại trên các DSLK. Các hàm Search, Insert và Delete được xác định dưới đây: bool Search(int k, Item & I) { int i = Hash(k); Cell* P = T[i]; while (P ! = NULL) if (PÆdata.key = = k) { I = PÆdata; return true; } else P= PÆnext; return false; } void Insert(const Item & object, bool & Suc) { int i = Hash(k); Cell* P = new Cell; If (P != NULL) { PÆdata = object; PÆnext = T[i]; T[i] = P; //Xen vào đầu dây chuyền. Suc = true; } else Suc = false; } void Delete(int k) { 68
14. int i = Hash(k); Cell* P; If (T[i] != NULL) If (T[i]Ædata.key = = k) { P = T[i]; T[i] = T[i]Ænext; delete P; } else { P = T[i]; Cell* Q = PÆnext; while (Q != NULL) if (QÆdata.key = = k) { PÆnext = QÆnext; delete Q; Q = NULL; } else { P = Q; Q = QÆnext; } } } Ưu điểm lớn nhất của bảng băm dây chuyền là, phép toán Insert luôn luôn được thực hiện, chỉ trừ khi bộ nhớ để cấp phát động đã cạn kiệt. Ngoài ra, các phép toán tìm kiếm, xen, loại, trên bảng băm dây chuyền cũng rất đơn giản. Tuy nhiên, phương pháp này tiêu tốn bộ nhớ giành cho các con trỏ trong các dây chuyền. 69
15. VI. Hiệu quả của các phương pháp băm Trong mục này, chúng ta sẽ phân tích thời gian thực hiện các phép toán từ điển (tìm kiếm, xen, loại) khi sử dụng phương pháp băm. Trong trường hợp xấu nhất, khi mà hàm băm băm tất cả các giá trị khoá vào cùng một chỉ số mảng để tìm kiếm chẳng hạn, chúng ta cần xem xét từng dữ liệu giống như tìm kiếm tuần tự, vì vậy thời gian các phép toán đòi hỏi là O(N), trong đó N là số dữ liệu. Sau đây chúng ta sẽ đánh giá thời gian trung bình cho các phép toán từ điển. Đánh giá này dựa trên giả thiết hàm băm phân phối đều các khoá vào các vị trí trong bảng băm (uniform hashing). Chúng ta sẽ sử dụng một tham số α , được gọi là mức độ đầy (load factor). Mức độ đầy α là tỷ số giữa số dữ liệu hiện có trong bảng băm và cỡ của bảng, tức là: trong đó, N là số dữ liệu trong bảng. Rõ ràng là, khi α tăng thì khả năng xảy ra va chạm sẽ tăng, điều này kéo theo thời gian tìm kiếm sẽ tăng. Như vậy hiệu quả của các phép toán phụ thuộc vào mức độ đầy α . Khi cỡ mảng cố định, hiệu quả sẽ giảm nếu số dữ liệu N tăng lên. Vì vậy, trong thực hành thiết kế bảng băm, chúng ta cần đánh giá số tối đa các dữ liệu cần lưu để lựa chọn cỡ SIZE sao cho α đủ nhỏ. Mức độ đầy α không nên vượt quá 2/3. Thời gian tìm kiếm cũng phụ thuộc sự tìm kiếm là thành công hay thất bại. Tìm kiếm thất bại đòi hỏi nhiều thời gian hơn tìm kiếm thành công, chẳng hạn trong bảng băm dây chuyền chúng ta phải xem xét toàn bộ một dây chuyền mới biết không có dữ liệu trong bảng. D.E. Knuth (trong The art of computer programming, vol3) đã phân tích và đưa ra các công thức đánh giá hiệu quả cho từng phương pháp giải quyết va chạm như sau. Thời gian tìm kiếm trung bình trên bảng băm địa chỉ mở sử dụng thăm dò tuyến tính. Số trung bình các lần thăm dò cho tìm kiếm xấp xỉ là: Tìm kiếm thành công Tìm kiếm thất bại Trong đó α là mức độ đầy và α < 1. Ví dụ. Nếu cỡ bảng băm SIZE = 811, bảng chứa N = 649 dữ liệu, thì mức độ đầy là Khi đó, để tìm kiếm thành công một dữ liệu, trung bình chỉ đòi hỏi xem xét 3 vị trí mảng, vì 70
16. Thời gian tìm kiếm trung bình trên bảng băm địa chỉ mở sử dụng thăm dò bình phương (hoặc băm kép). Số trung bình các lần thăm dò cho tìm kiếm được đánh giá là Tìm kiếm thành công Tìm kiếm thất bại Phương pháp thăm dò này đòi hỏi số lần thăm dò ít hơn phương pháp thăm dò tuyến tính. Chẳng hạn, giả sử bảng đầy tới 80%, để tìm kiếm thành công trung bình chỉ đòi hỏi xem xét 2 vị trí mảng, Thời gian tìm kiếm trung bình trên bảng băm dây chuyền. Trong bảng băm dây chuyền, để xen vào một dữ liệu mới, ta chỉ cần đặt dữ liệu vào đầu một dây chuyền được định vị bởi hàm băm. Do đó, thời gian xen vào là O(1). Để tìm kiếm (hay loại bỏ) một dữ liệu, ta cần xem xét các tế bào trong một dây chuyền. Đương nhiên là dây chuyền càng ngắn thì tìm kiếm càng nhanh. Độ dài trung bình của một dây chuyền là (với giả thiết hàm băm phân phối đều). Khi tìm kiếm thành công, chúng ta cần biết dây chuyền có rỗng không, rồi cần xem xét trung bình là một nửa dây chuyền. Do đó, số trung bình các vị trí cần xem xét khi tìm kiếm thành công là Nếu tìm kiếm thất bại, có nghĩa là ta đã xem xét tất cả các tế bào trong một dây chuyền nhưng không thấy dữ liệu cần tìm, do đó số trung bình các vị trí cần xem xét khi tìm kiếm thất bại là α . Tóm lại, hiệu quả của phép toán tìm kiếm trên bảng băm dây chuyền là: Tìm kiếm thành công Tìm kiếm thất bại α 71
17. Hình III.6. Số trung bình các vị trí cần xem xét trong tìm kiếm thành công. Các con số trong bảng ở Hình III.6, và thực tiễn cũng chứng tỏ rằng, phương pháp băm là phương pháp rất hiệu quả để cài đặt từ điển. Bài tập 1. Hãy cài đặt hàm băm sử dụng phương pháp nhân mục II.2. 2. Hãy cài đặt hàm thăm dò sử dụng phương pháp băm kép. 3. Giả sử cỡ của bảng băm là SIZE = s và d1, d2, , ds-1 là hoán vị ngẫu nhiên của các số 1, 2, , s-1. Dãy thăm dò ứng với khoá k được xác định như sau: i0 = i = h(k) im = (i + di) % SIZE , 1 ≤ m ≤ s –1 Hãy cài đặt hàm thăm dò theo phương pháp trên. 4. Cho cỡ bảng băm SIZE = 11. Từ bảng băm rỗng, sử dụng hàm băm chia lấy dư, hãyđưa lần lượt các dữ liệu với khoá: 32 , 15 , 25 , 44 , 36 , 21 vào bảng băm và đưa ra bảng băm kết quả trong các trường hợp sau: b. Bảng băm được chỉ mở với thăm dò tuyến tính. c. Bảng băm được chỉ mở với thăm dò bình phương. d. Bảng băm dây chuyền. 5. Từ các bảng băm kết quả trong bài tập 4, hãy loại bỏ dữ liệu với khoá là 44 rồi sau đó xen vào dữ liệu với khoá là 65. 6. Bảng băm chỉ cho phép thực hiện hiệu quả các phép toán tập động nào? Không thích hợp cho các phép toán tập động nào? Hãy giải thích tại sao? 72
18. 7. Giả sử khoá tìm kiếm là từ tiếng Anh. Hãy đưa ra ít nhất 3 cách thiết kế hàm băm. Bình luận về các cách thiết kế đó theo các tiêu chuẩn hàm băm tốt. 73
19. Chương IV Một số phương pháp thiết kế thuật giải cơ bản Mục tiêu Sau khi học xong chương này, sinh viên nắm được một số phương pháp thiết kế giả thuật cơ bản, cài đặt và vận dụng để giải một số bài toán thực tế. Kiến thức cơ bản cần thiết Để học tốt chương này sinh viên cần phải nắm vững kỹ năng lập trình cơ bản như: - Các cấu trúc điều khiển, lệnh vòng lặp. - Lập trình hàm, thủ tục, cách gọi hàm. - Lập trình đệ qui và gọi đệ qui. Nội dung Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp thiết kế giải thuật cơ bản như sau: - Phương pháp chia để trị - Phương pháp quay lui - Phương pháp tham lam I. Phương pháp chia để trị 1. Mở đầu Ý tưởng: Có lẽ quan trọng và áp dụng rộng rãi nhất là kĩ thuật chia để trị. Nó phân rã bài toán kích thước n thành các bài toán nhỏ hơn mà việc tìm lời giải của chúng là cùng một cách. Lời giải của bài toán lớn được xây dựng từ lời giải của các bài toán con này. Ta có thể nói vắn tắt ý tưởng chính của phương pháp này là: chia dữ liệu thành từng miền nhỏ, giải bài toán trên các miền đã chia rồi tổng hợp kết quả lại. Mô hình Nếu gọi D&C(ℜ ) với ℜ là miền dữ liệu là hàm thể hiện cách giải bài toán theo phương pháp chia để trị thì ta có thể viết: Void D&C(ℜ ) { 74
20. If(ℜ đủ nhỏ) Giải bài toán Else { Chia ℜ thành ℜ 1, , ℜ m; For(j=1; j cuối) Return 0; Else { giữa = (đầu + cuối)/2; If(x == a[giữa]) Return 1; Else if(x > a[giữa]) 75
21. TKNP(a, x, giữa +1, cuối); Else TKNP(a, x, đầu, giữa-1); } Độ phức tạp của thuật toán Trường hợp tốt nhất: ứng với trường hợp tìm thấy x trong lần so sánh đầu tiên. Ta có: Ttốt (n) = O(1) Trường hợp xấu nhất: độ phức tạp là O(lgn). Thật vậy, nếu gọi T(n) là độ phức tạp của thuật toán, thì sau khi kiểm tra điều kiện (x == a[giữa]) không thỏa và gọi đệ quy thuật toán này với dữ liệu giảm đi một nửa, thỏa mãn công thức truy hồi: T(n) = 1+T(n/2); n>=2 và T[1]=0. 3. Bài toán Min-Max Phát biểu bài toán Tìm min-max trong đoạn a[l r] của mảng a[1 n] Ý tưởng Tại mỗi bước chia đôi đoạn cần tìm rồi tìm min, max của từng đoạn, sau đó tổng hợp kết quả lại. Nếu đoạn chia chỉ có một phần tử thì min = max và bằng phần tử đó. Ví dụ minh họa: J 1 2 3 4 5 6 7 8 a[j] 10 1 5 0 9 3 15 19 Tìm giá trị min, max trong đoạn a[2 7]. Ki hiệu: MinMax(a,l,r,Min, Max) cho Min, Max trong đoạn a[l r]. MinMax(a,2,7,Min,Max) cho Min=0, Max=15 trong đoạn a[2 7] Mô tả thuật toán Input: a[l r] (l<=r) Output: Min = min(a[l] a[r]) Max = max(a[l] a[r]) Mô tả: MinMax(a,l,r,Min,Max) If(l==r) 76
22. { Min = a[l]; Max = a[l]; } Else { MinMax(a,l,(l+r)/2,Min1,Max1) MinMax(a,(l+r)/2,r,Min2,Max2) If(Min1 2 ⎪ T(n) = ⎨1;n = 2 ⎪ ⎩0;n = 1 Với n = 2k, thì: k −1 T(n) = 2 + 2T(n/2) = 2+ 22 + 22T(n/22) = = 2k-1T(2)+ ∑ 2i = i=1 k −1 = ∑ 2i – 2k-1 = 2k+1 – 2k-1 - 2 = 3n/2 – 2. i=1 Vậy T(n) ∈O(n). 4. Thuật toán QuickSort Phát biểu bài toán Sắp xếp một mảng không có thứ tự thành một màng có thứ tự xác định,chẳng hạn tăng hoặc giảm. Ý tưởng Chọn ngẫu nhiên một phần tử x. Duyệt dãy từ bên trái (theo chỉ số i) trong khi ai < x. 77
23. Duyệt dãy từ bên phải (theo chỉ số j) trong khi aj > x. Đổi chỗ a[i] và a[j] nếu hai phía chưa vượt qua nhau, tiếp tục quá trình duyệt và đổi chỗ như trên trong khi hai phía còn chưa vượt qua nhau (tức là i =x với m = i n (dãy con cao); ah = x với h = j+1 i-1. Vì vậy phương pháp này còn gọi là sắp xếp phân hoạch ak x am Tiếp tục phân hoạch cho phần trái và phần phải cho đến khi các phân hoạch chỉ còn lại một phần tử là sắp xếp xong. Mô tả thuật toán: Input: a[l r] Output: a[l r] không giảm QuickSort(a,l,r) { i=l; j=r; x= a[(l+r)/2];//chọn phần tử giữa do { While(a[i] x)j ; If(i<=j) { Đổi chỗ a[i] và a[j]; i++; j ; } }while(i<=j) If(l<=j) QuickSort(a,l,j); If(i<=r) QuickSort(a,i,r); 78
24. } Độ phức tạp thuật giải Điều tốt nhất có thể xảy ra trong QuickSort mỗi giai đoạn phân hoạch chia mảng thành hai nửa. Điều này khiến cho số lần so sánh cần thiết của QuickSort thỏa mãn công thức sau đây: Tn = 2Tn/2 + n = nlgn. 2Tn/2: phí tổn sắp xếp 2 mảng con. n: phí tổn kiểm tra mỗi phần tử Trường hợp xấu nhất ứng cho việc chọn phần tử x lại có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong dãy. Giả sử phần tử lớn nhất được chọn (x), khi đó mỗi bước chia sẽ chia n phần tử thành n-1 phần tử trái và 1 phần tử phải. Kết quả cần tới n phép chia (thay cho nlgn) và như thế độ phức tạp sẽ là T(n) = O(n2). Trong trường hợp này dãy đã có thứ tự thuận hay ngược, phần tử lớn nhất được chọn sẽ nằm ở các biên (trái hoặc phải), nên thuật toán không có hiệu quả. Trường hợp trung bình, công thức truy hồi để tính số lần so sánh mà thuật toán cần để hoán vị ngẫu nhiên n phần tử là: 1 T(n) = (n+1) + ∑ (Tk-1 + Tn-k); với n>=2; C0 = C1 = 1; n 1<=k <=n Giá trị n+1 bao hàm chi phí so sánh phần tử phân hoạch với mỗi phần tử còn lại, tổng còn lại mang ý nghĩa là mỗi phần tử k có thể là phần tử phân hoạch với xác suất 1/k và sau đó còn lại các mảng con có kích thước k-1 và n-k. 2 n Tn = n+1+ ∑ Tk-1 n k =1 Thực hiện liên tiếp các phép toán sau cho cả hai vế: nhân n và trừ cho (n-1)Cn-1: 2 n nTn – (n-1)Tn-1 = n(n-1) + ∑ Tk-1 – (n-1)Tn-1 n k =1 2 n 2 n−1 = n(n+1) + ∑ Tk-1 – (n-1)[n + ∑ Tk-1] n k =1 n −1 k =1 n n−1 = n(n+1) – n(n-1) + 2 ∑ Tk-1 - 2 ∑ Tk-1 k =1 k =1 Ta được: nTn – (n-1)Tn-1 = n(n+1) – n(n-1)+ 2Tn-1 Suy ra: nTn = (n+1)Tn-1 + 2n Nhân cả hai vế cho n(n+1): Tn/(n+1) = Tn-1/n + 2/(n+1) = Tn-2/(n-1)+ 2/n + 2/(n+1) 79
25. n 2 = 2/(n+1) + 2/n+ 2/4+2/3+T1/2 = 1/2 + 2 ∑ k =2 k +1 n+1 1 = 1/2 + 2 ∑ k =3 k n+1 1 n 1 Tn/(n+1) ≡ 2 ∑ ≡ 2 ∫ dx = 2ln(n) k =3 k 1 x Như vậy độ phức tạp trung bình là O(nlnn) II. Phương pháp quay lui 1. Mở đầu Ý tưởng Nét đặc trưng của phương pháp quay lui là các bước hướng tới lời giải cuối cùng của bài toán đều được làm thử. Tại mỗi bước nếu có một lựa chọn được chấp nhận thì ghi nhận lại lựa chọn này và tiến hành các bước thử tiếp theo. Còn ngược lại không có sự lựa chọn nào thích hợp thì làm lại bước trước, xóa bỏ ghi nhận và quay về chu trình thử các lựa chọn còn lại. Hành động này được gọi là quay lui, thuật toán thể hiện phương pháp này gọi là quay lui. Điểm quan trọng của thuật toán là phải ghi nhớ lại mỗi bước đi qua để tránh trùng lặp khi quay lui. Dễ thấy là các thông tin này cần được lưu trữ vào một ngăn xếp, nên thuật toán thể hiện một cách đệ quy. Mô hình Lời giải của bài toán thường được biểu diễn bằng một vector gồm n thành phần x= (x1, xn) phải thỏa các điều kiện nào đó. Để chỉ ra lời giải x ta phải xây dựng các thành phần lời giải xi. Tại mỗi bước i: Đã xây dựng xong các thành phần x1 xi-1. Xây dựng thành phần xi bằng cách lần lượt thử các khả năng mà xi có thể chọn: - Nếu một khả năng j nào đó phù hợp với xi thì xác định xi theo khả năng j. Thường phải có thêm thao tác ghi nhận trạng thái mới của bài toán để hỗ trợ cho bước quay lui. Nếu i = n thì ta có được một lời giải, ngược lại thì tiến hành bước i+1 để xác định xi+1. - Nếu không có một khả năng nào chấp nhận được cho xi thì ta lùi lại bước trước (bước i-1) để xác định lại thành phần xi-1. Để đơn giản ta có thể giả định các khả năng chọn lựa cho các xi tại mỗi bước là như nhau, do đó ta phải có thêm thao tác kiểm tra khả năng j nào chấp nhận được cho xi. 80
26. Mô hình của phương pháp quay lui có thể viết bằng thủ tục như sau, với n là số bước cần phải thực hiện, k là số khả năng mà xi có thể chọn lựa Try(i) ≡ For(j=1Æk) If(xi chấp nhận được khả năng j) { Xác định xi theo khả năng j; Ghi nhận trạng thái mới; If(i<n) Try(i+1); Else Ghi nhận nghiệm; Trả lại trạng thái cũ cho bài toán; } 2. Bài toán liệt kê dãy nhị phân độ dài n Phát biểu bài toán Liệt kê dãy có chiều dài n dưới dạng x1,x2, ,xn trong đó xi thuộc {0,1} Thiết kế thuật toán Ta có thể sử dụng sơ đồ tìm tất cả lời giải của bài toán. Hàm Try(i) xác định xi, trong đó xi chỉ có một trong hai giá trị 0 hoặc 1. Hàm Try(i) có thể viết như sau: Try(i) { For(j=0; j<=1; j++) { x[i] = j; if(i<n) Try(i+1); Else Xuất x. } } 3. Bài toán liệt kê các hoán vị Phát biểu bài toán Liệt kê các hoán vị của n số nguyên duơng đầu tiên 81
27. Thiết kế thuật toán Ta biểu diễn các hoán vị dưới dạng a1, ,an; ai ∈ {1, ,n}, ai ≠ aj nếu i ≠ j . Với mọi i, ai chấp nhận giá trị j nếu j chưa được sử dụng và vì vậy ta cần ghi nhớ j đã được sử dụng hay chưa khi quay lui. Để làm điều này ta sử dụng một dãy các biến logic bj với quy ước: ⎧1; Nếu j chưa sử dụng ⎪ ∀j = 1,n; bj = ⎨ ⎪ ⎩0; Nếu j đã sử dụng Sau khi gán j cho ai, ta cần ghi nhớ bj (bj = 0) và phải trả lại trạng thái cũ cho bj (bj =1) khi thực hiện việc in xong một hoán vị. Ta cần chú ý rằng dãy các biến bj sẽ được khởi động bằng 1. Thuật toán Try(i) { For(j=1; j<=n; j++) { If(b[j]) { a[i] = j; b[j] = 0; if(i<n) Try(i+1); Else Xuất; b[j] = 1; } } 4. Bài toán duyệt đồ thị theo chiều sâu (DFS) Phát biểu bài toán G = (V,U) là đơn đồ thị (có hướng hoặc vô hướng). V: tập các đỉnh của đồ thị, U là tập các cung cũa đồ thị. Với s, t là hai đỉnh của đồ thị, tìm tất cả các đường đi từ s đến t. Ý tưởng Thuật toán DFS tiến hành tìm kiếm trong đồ thị theo chiều sâu. Thuật toán thực hiện việc thăm tất cả các đỉnh có thể đạt được cho tới đỉnh t từ đỉnh s cho trước. Đỉnh được 82
28. thăm càng muộn sẽ càng sớm được duyệt xong (cơ chế vào sau ra trước). Nên thuật toán có thể tổ chức bằng một thủ tục đệ quy quay lui. Mô tả thuật toán Input: G = (V,U), s,t Output: Tất cả các đường đi từ s đến t.(nếu có) DFS(int s) { For(u=1; u<=n; u++) If(chấp nhận được) { Ghi nhận nó; If(u != t) DFS(u); Else Xuất đường đi Bỏ việc ghi nhận; } } Ví dụ: Cho đồ thị có hướng với ma trận kề sau: 7 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Kết quả: s=1, t=4 s=2, t = 5 1Æ4 2Æ3Æ4Æ1Æ6Æ5 1Æ7Æ4 2Æ3Æ6Æ5 2Æ4Æ1Æ6Æ5 2Æ4Æ3Æ6Æ5 83
29. III. Phương pháp tham lam 1. Mở đầu Ý tưởng Phương pháp tham lam là kĩ thuật thiết kế thường được dùng để giải các bài toán tối ưu. Phương pháp được tiến hành trong nhiều bước. Tại mỗi bước, theo một chọn lựa nào đó (xác định bằng một hàm chọn), sẽ tìm một lời giải tối ưu cho bài toán nhỏ tương ứng. Lời giải của bài toán được bổ sung dần từng bước từ lời giải của các bài toán con. Các lời giải bằng phương pháp tham lam thường chỉ là chấp nhận được theo điều kiện nào đó, chưa chắc đã tối ưu. Cho trước một tập A gồm n đối tượng, ta cần phải chọn ra một tập con S của A. Với một tập con S được chọn ra thỏa mãn yêu cầu của bài toán, ta gọi là một nghiệm chấp nhận được. Một hàm mục tiêu gán mỗi nghiệm chấp nhận được với một giá trị. Nghiệm tối ưu là nghiệm chấp nhận được mà tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất). Đặc trưng tham lam của phương pháp thể hiện bởi: trong mỗi bước việc xử lý sẽ tuân theo một sự chọn lựa trước, không kể đến tình trạng không tốt có thể xảy ra. Mô hình Chọn S từ tập A. Tính chất tham lam của thuật toán được định hướng bởi hàm chọn Khởi động: S = rỗng Trong khi A khác rỗng Chọn phần tử tối ưu nhất của A gán vào x : x = chọn(A); Cập nhật các đối tượng để chọn: A = A-{x}; Nếu S∪ {x} thỏa mãn yêu cầu của bài toán thì cập nhật lời giải: S = S ∪ {x}; Thủ tục tham lam Input: A[1 n] Output: lời giải S Greedy(A,n) { S = Rỗng; While(A ≠ Rỗng) { A = A-{x}; 84
30. If(S ∪ {x} chấp nhận được) S = S∪ {x}; } Return S; } 2. Bài toán người du lịch Phát biểu bài toán Một người du lịch muốn tham quan n thành phố T1, , Tn. Xuất phát từ một thành phố nào đó và đi qua tất cả các thành phố còn lại, mỗi thành phố qua đúng một lần và quay về thành phố xuất phát. Gọi Cij là chi phí chi từ thành phố Ti đến thành phố Tj. Hãy tìm một hành trình thỏa yêu cầu bài toán với chi phí nhỏ nhất. Ý tưởng Đây là bài toán tìm chu trình có trọng số nhỏ nhất trong một đồ thị đơn có hướng có trọng số. Thuật toán tham lam cho bài toán là chọn thành phố có chi phí nhỏ nhất tính từ thành phố hiện thời đến các thành phố chưa đi qua. Mô tả thuật toán Input: C = Cij Output: TOUR //Hành trình tối ưu COST //Chi phí tương ứng TOUR = 0; COST = 0; v = u; ∀k = 1 Æn Chọn là đoạn nối hai thành phố có chi phí nhỏ nhất tính từ thành phố v đến các thành phố chưa qua. TOUR = TOUR + ; COST = COST + Cvw Hoàn thành chuyến đi TOUR = TOUR + ; COST = COST + Cvu Độ phức tạp thuật toán 85
31. Thao tác chọn đỉnh thích hợp trong n đỉnh được tổ chức bằng một vòng lặp để duyệt, nên chi phí cho thuật toán xác định bởi hai vòng lặp lồng nhau, nên độ phức tạp T(n) ∈O(n2). Cài đặt int GTS(matra a, int n, int Tour[max], int Ddau) { int v, k, w; int min; int cost; int daxet[max]; for (int k = 1; k a[v][k]) { min = a[v][k]; w = k; } v = w; i++; Tour[i] = v; daxet[v] = 1; 86
32. cost = cost + min; } } cost = cost + a[v][Ddau]; return cost; } 3. Thuật toán Prim - Tìm cây bao trùm nhỏ nhất (trình bày trong chương Đồ thị) 4. Bài toán chiếc túi sách Phát biểu bài toán Có n vật, mỗi vật i, i∈[1 n] được đặc trưng bởi trọng lượng wi(kg) và giá trị sử dụng vi. Có một chiếc túi xách có khả năng mang m kg. Giả sử wi, vi, m∈N*, ∀ i∈[1 n]. Hãy chọn vật xếp vào túi sao cho túi sách thu được giá trị sử dụng lớn nhất. Các trọng lượng của n vật có thể biểu diễn bởi mảng: w = (w1,w2, ,vn) Và giá trị sử dụng tượng ứng với các vật: v = (v1,v2, ,vn) Các vật được chọn được lưu trữ vào một mảng ε với quy ước: ε [i] = 1 tức là vật i được chọn. Bài toán trở thành: ⎧ n ⎪∑εivi → max ⎪ i=1 ⎪ n ⎨∑εivi ≤ m ⎪ i=1 ⎪ε ∈{}0,1 ,∀i = 1,n ⎪ i ⎩ Thiết kế thuật toán Thuật toán tham lam cho bài toán chọn vật có giá trị giảm dần (theo đơn giá). Input: w = (w1,w2, ,vn); //Mảng trọng lượng các vật v = (v1,v2, ,vn); //Mảng giá trị các vật m: sức chứa của ba lô Output: 87
33. ε [1 n]; //mảng đánh dấu các vật được chọn Vmax: giá trị lớn nhất Mô tả Knap_Greedy(w,v,Chon,n,m) { Khởi động b[i] = i, ∀i =1,n ; //Lưu trữ chỉ số làm cho mảng giảm dần Khởi động Chon[i] = 0, ∀i = 1,n ;//Mảng đánh dấu vật được chọn Khởi động Vmax=0; vi Tính đơn giá: di = , ∀i = 1,n wi For(i=1; i 0; i++) { j = max(d,n,i); // d[j] = Max{d[i], ,d[n]}; b[i] ↔ b[j] if(m>w[b[i]]) { Vmax+=v[b[i]]; Chon[b[i]] = 1; M-=w[b[i]]; } d[i] ↔ d[j] } Return Vmax } Độ phức tạp thuật toán Thuật toán chọn max được sử dụng chính là thuật toán chọn trực tiếp, nên độ phức tạp của thuật toán trong các trường hợp là O(n2). Bài tập 1. Cài đặt các thuật toán trình bày trong giáo trình 2. Nhân các số lớn Kỹ thuật chia để trị nhân 2 số nguyên dương x, y dưới dạng chuỗi: Nhan(x, y) 88
34. If(l(x) và l(y) 1) - Tách luân phiên đường chạy của x vào hay dãy trung gian x1,x2. - Trộn từng cặp đường chạy của x1, x2, lưu vào x 4. Giả sử ổ khóa có n công tắc. Mỗi công tắc ở một trong hai trạng thái đóng hoặc mở. Khóa được mở nếu có ít nhất n/2 công tắc ở trạng thái mở. Liệt kê tất cả các cách mở khóa 5. Một người muốn tham quan qua n thành phố T1, , Tn. Xuất phát từ một thành phố nào đó, người du lịch muốn đi qua tất cả các thành phố còn lại, mỗi thành phố đi qua đúng một lần rồi quay lại thành phố xuất phát. Gọi Cij là chi phí đi từ thành phố Ti đến thành phố Tj. - Liệt kê tất cả các hành trình mà người đó có thể đi và kèm theo chi phí tương ứng. - Chỉ ra hành trình đi từ thành phố từ Ti đến thành phố Tj thỏa yêu cầu bài toán (nếu có) sao cho chi phí thấp nhất. 6. Cho một lưới hình vuông cấp n, mỗi ô được gán với một số tự nhiên. Tại một ô có thể di chuyển đến ô khác theo hướng lên trên, xuống dưới, qua trái, qua phải. Tìm đường đi từ ô đầu tiên (1,1) đến ô (m, m) sao cho tổng các ô đi qua là nhỏ nhất. (1<=m <= n) 7. bài toán đổi tiền xu. Có một đồng xu giá trị là n. Hãy đổi thành các đồng xu có giá trị 1 xu, 5 xu, 10 xu, 20 xu, 25 xu sao cho tổng số đồng xu là ít nhất. 89
35. Tài liệu tham khảo 1. Alfred V. Aho, John E. Hopcroft và Jeffrey D. Ullman “Data Structures and Algorithms” Addison Wesley Publishing Company, 1987 2. Donald Knuth, “The art of computer programming” Vol1: Fundamental algorithms Vol3: Sorting and searching Addison Wesley Publishing Company, 1973 3. Niklaus Wirth, “Algorithms + Data structures = programs” Prentice Hall INC, 1976 4. Nguyễn Xuân Huy, “Thuật toán”, Nhà xuất bản thống kê, Hà Nội, 1988. 5. Trương Chí Tín, giáo trình “Cấu trúc dữ liệu và thuật giải 2”, Đại học Đà Lạt, 2002. 6. Nguyễn Văn Linh, Trần Cao Đệ, Trương Thị Thanh Tuyền, Lâm Hoài Bảo, Phan Huy Cường, Trần Ngân Bình, giáo trình “Cấu trúc dữ liệu”, Đại học Cần Thơ, 2003 của các tác giả. 90