Giáo trình Cơ sở viễn thông - Nguyễn Hứa Duy Khang

78 trang hapham 170

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ sở viễn thông - Nguyễn Hứa Duy Khang", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_so_vien_thong_nguyen_hua_duy_khang.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở viễn thông - Nguyễn Hứa Duy Khang

___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 1 Chương 1 SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG THÔNG TIN Ø Lịch sử phát triển công nghệ viễn thông điện tử Ø Phân loại các nguồn tin tức và các hệ thống thông tin Ø Sóng xác định và sóng ngẫu nhiên Ø Sơ đồ khối một hệ viễn thông Ø Sự phân chia các vùng tần số (frequency allocations) Ø Sự truyền sóng điện từ ___ 1.1 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CÔNG NGHỆ VIỄN THÔNG ĐIỆN TỬ. - Từ cuối thế kỷ 18 đầu thế kỷ 19, công nghệ phát thanh và truyền thông bằng điện đã được phát triển. - Năm 1820, George Ohm đã đưa ra công thức phương trình toán học để giải thích các tín hiệu điện chạy qua một dây dẫn rất thành công. - Năm 1830 Michael Faraday đã tìm ra các định luật liên hệ giữa điện và từ . - Có thể coi lịch sử thông tin dữ liệu được bắt đầu vào năm 1937 với sự phát minh điện tín Samuel F. B.Morse. Đó là hệ thống truyền các xung điện biểu diễn cho các dấu chấm và vạch (tương đương với các số nhị phân 1, 0) trên các đường dây đồng nhờ các máy cơ điện. Các tổ hợp khác nhau của các mã này thay cho các chữ, số, dấu, được gọi là mã Morse. - Năm 1840, Morse đăng ký sáng kiến về điện tín ở Mỹ. - Năm 1844 đường đây điện tín đầu tiên được thiết lập giữa Baltimore và Washington DC. - Năm 1849, bản tin đầu tiên được in ra nhưng với vận tốc rất chậm nhưng đến năm 1860 vận tốc in đạt 15 bps. - Năm 1850, đại số Boole của George Boole tạo ra nền móng cho logic học và phát triển rờ le điện. Trong khoảng thời gian gian này, các đường cáp đầu tiên xuyên qua Đại Tây Dương để lắp đặt hệ thống điện tín. - James Clerk Maxwell đã đưa ra học thuyết điện từ trường bằng các công thức toán học vào năm 1890. Căn cứ vào các học thuyết này Henrich Hertz đã truyền đi và nhận được sóng vô tuyến thành công bằng cách dùng điện trường lần đầu tiên trong lịch sử. - Tổng đài điện thoại đầu tiên được thiết lập vào năm 1876 (ngay sau khi Alexander Graham Bell đã phát minh ra điện thoại). Năm năm sau Bell bắt đầu dịch vụ gọi đường dài giữa New York và Chicago. Cùng khoảng thời gian đó, Guglieno Marconi của Italia đã lắp đặt một trạm phát sóng vô tuyến để phát các tín hiệu điện tín. - Năm 1900, Einstein, một nhà vật lý nổi tiếng về học thuyết tương đối đã viết rất nhiều tài liệu quan trọng về vật lý chất rắn, thống kê học, điện từ trường và cơ học lượng tử. Vào khoảng thời gian này, phòng thí nghiệm Bell của Mỹ đã phát minh và sáng chế ra ống phóng điện cực cho các kính thiên văn xoay được. Sau đó, Le De Forest trở thành người khởi xướng trong lĩnh vực vi mạch điện tử thông qua phát minh Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 2 của ông về một đèn chân không ba cực. Lúc này, hệ thống tổng đài tương tự tự động có khả năng hoạt động không cần bảng chuyển mạch. - Năm 1910, Erwin Schrodinger đã thiết lập nền tảng cho cơ học lượng tử thông qua công bố của ông về cân bằng sóng để giải thích cấu tạo nguyên tử và các đặc điểm của chúng. Vào khảng thời gian này, phát thanh công cộng được bắt dầu bằng cách phát sóng. - V.K.Zworykin (Mỹ) đã phát minh ra đèn hình cho vô tuyến truyền hình và cáp đồng trục (phương tiện truyền dẫn hiệu quả hơn các dây đồng bình thường). - Cuối những năm 1940, phòng thí nghiệm Bell đã đặt ra nền móng cho cho các chất bán dẫn có độ tích hợp cao. Howard Aiken của đại học Harvard cộng tác với IBM đã thành công trong việc lắp đặt một máy điện toán đầu tiên. Và sau đó, J.Presper Ecker với John Mauchly của đại học Pensylvania đã phát triển máy điện toán lên một bậc gọi là máy điện toán ENIAC. Von-Neuman dựa vào đây để phát triển máy điện toán có lưu giữ chương trình. - Vào những năm của thập niên 1960, các vi mạch LSI (Large Scale Integrated), các máy điện toán mini, cáp quang và máy phân chia thời gian được phát triển và thương mại hoá thành công. - Vào những năm 1970, truyền hình ảnh qua vệ tinh, các hệ thống tổng đài điện tử cũng lần lượt ra đời. 1.2 PHÂN LOẠI CÁC NGUỒN TIN TỨC VÀ CÁC HỆ THỐNG THÔNG TIN. - Các nguồn tin khi chuyển sang tín hiệu có thể có một trong hai dạng: tương tự (analog) hoặc số (digital) . Ví dụ: một micro chuyển tiếng nói thành các điện thế ra phân bố trên một dãy liên tục nhiều trị giá, là một tín hiệu analog. Để có tín hiệu số diễn tả cho âm thanh ta phải số hoá tín hiệu analog này. Nói một cách chặt chẽ, sóng digital được định nghĩa như là một hàm theo thời gian và chỉ có một tập hợp các trị giá rời rạc. Nếu dạng sóng digital là dạng sóng nhị phân, thì chỉ có hai trị giá. Dạng sóng analog là một hàm theo thời gian có khoảng các trị giá liên tục. - Hệ thống thông tin digital chuyển tin tức từ một nguồn digital đến bộ phận thu - Hệ thống thông tin analog chuyển tin tức từ một nguồn analog đến bộ phận thu. Một hệ thống thông tin digital điện tử thường có các điện thế và dòng điện với dạng sóng digital. Tuy nhiên, nó vẫn có thể có các dạng sóng analog. Thí dụ, tin tức từ một nguồn nhị phân có thể phát đến bộ phận thu bằng cách dùng một sóng sin 1000Hz để diễn tả bit 1 và một sóng sin 500Hz để diễn tả bit 0. Ở đây nguồn tin tức digital được phát đến bộ phận thu bằng cách dùng các sóng analog, nhưng vẫn cứ gọi là hệ thống viễn thông digital. Xa hơn nữa, sóng analog này được gọi là tín hiệu digital vì nó mô tả 1 nguồn tin digital. Tương tự, một tín hiệu analog mô tả một nguồn tin analog . Từ quan điểm đó ta thấy một kỹ sư Viễn thông digital cần hiểu làm sao để phân tích các mạch analog cũng như các mạch digital. Viễn thông digital có những lợi điểm: - Các mạch digital tương đối rẻ . Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 3 - Dữ liệu từ tiếng nói, hình và các nguồn dữ liệu khác có thể được trộn lẫn và truyền đi trên cùng một hệ truyền digital. - Trong các hệ truyền với khoảng cách xa, nhiễu không chồng chất từ repeater (Trạm phát lại) đến repeater . - Sai số trong dữ liệu nhỏ, dù khi có một lượng nhiễu lớn trên tín hiệu thu được. Ta nói hệ thống có tính miễn nhiễu cao - Nhiễu có thể được sửa chữa (corrected) bằng cách dùng sự mã hóa. Nhưng nó cũng có những bất lợi: - Cần một hệ có băng thông (Bandwidth) rộng hơn hệ analog. - Để truyền và nhận tốt cần đến sự đồng bộ hóa. Với nhiều ưu điểm, các hệ digital trở nên ngày càng phổ biến. 1.3 SÓNG XÁC ĐỊNH VÀ SÓNG NGẪU NHIÊN. Trong các hệ Viễn thông, ta phân các dạng sóng làm hai loại lớn: Xác định và Ngẫu nhiên. - Định nghĩa: Một dạng sóng xác định có thể được mô hình hóa như một hàm hoàn toàn riêng biệt của thời gian. Thí dụ: Nếu w(t) = A cos ( wot + jo ) diễn tả một dạng sóng , với A, wo , jo là các hằng đã biết. Thì dạng sóng w(t) được nói là được xác định. - Định nghĩa: Một dạng sóng ngẫu nhiên không thể được chuyên biệt hóa hoàn toàn như là nột hàm theo thời gian và phải mô hình hóa 1 cách xác suất. Các dạng sóng biểu diễn một nguồn không thể xác định được. Thí dụ, trong hệ viễn thông digital, ta có thể gửi tin tức ứng với bất kỳ một mẫu tự nào - Mỗi mẫu tự được biểu diễn bằng một dạng sóng xác định. Nhưng khi ta xét dạng sóng được phát từ nguồn ta thấy rằng đó là dạng sóng ngẫu nhiên, vì ta không biết chính xác những ký tự sẽ được phát. 1.4 SƠ ĐỒ KHỐI MỘT HỆ VIỄN THÔNG. Hình 1.1 Sơ đồ khối của một hệ thống viễn thông. Một hệ viễn thông truyền một tin tức từ nguồn, thông qua bộ phận phát, ký hiệu là s(t), đến bộ phận thu. Tin tức lấy ra từ bộ phận thu ký hiệu là ~s (t); tin tức có thể là digital hay analog, tùy vào hệ được dùng. Nó có thể là tin tức về video, audio hay vài loại khác. Trong các hệ multiplex (đa hợp), có thể sẽ có nhiều nguồn vào và nhiều bộ phận thu. Phổ của s(t) và ~s (t) tập trung quanh f = 0. Chúng được gọi là những tín hiệu dải nền (baseband). Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 4 1.4.1 Khối xử lý tín hiệu (XLTH): Chuẩn bị tín hiệu sao cho sự truyền có hiệu quả. Trong 1 hệ digital, nó là một hệ vi xử lý. Trong hệ analog, nó là 1 bộ lọc hạ thông. Trong hệ lai, nó là mạch lấy mẫu tín hiệu vào (analog) và số hóa để có một tín hiệu điều chế mã xung (Pulse code modulation, PCM). Tín hiệu ra của khối XLTH ở máy phát cũng là tín hiệu dải nền vì các tần số tập trung gần f = 0. 1.4.2 Khối sóng mang: Ở máy phát đổi tín hiệu dải nền đã xử lý thành một băng tần để truyền đưa vào kênh truyền. Thí dụ: Nếu kênh gồm một cặp dây điện thoại, phổ của sm(t) sẽ nằm trong dãy âm tần (audio), từ 300 ® 3.000Hz. Nhưng nếu kênh gồm cáp quang, phổ của sm(t) sẽ là tần số sóng ánh sáng. - Nếu kênh truyền truyền đi những tín hiệu dải nền, không cần dùng khối sóng mang và sm(t) có thể là tín hiệu ra của khối XLTH. - Khối sóng mang cần khi kênh truyền có thể chỉ truyền các tần số thuộc 1 băng xung quanh fc , với fc >> 0. Trong trường hợp này sm(t) được gọi là tín hiệu dải thông (Band pass signal). Vì nó được thiết kế để có những tần số thuộc 1 băng quanh fc. Thí dụ, một đài phát điều chế AM với một tần số kết hợp 850 KHz có sóng mang fc = 850 KHz. Sự áp tín hiệu dải nền dạng sóng s(t) thành tín hiệu dải thông sm(t) được gọi là sự điều chế (biến điệu, modulation). (s(t) là tín hiệu audio trong đài phát AM). Tín hiệu dải thông bất kỳ có dạng: sm(t) = s(t) cos[wc(t) + q(t)] Với wc = 2pfc, fc là tần số sóng mang. Nếu s(t) = 1 và q(t) = 0 thì sm(t) sẽ là một tín hiệu hình sin thuần túy với f = fc và băng tần bằng 0. Trong sự biến điệu bởi mạch sóng mang, sóng vào s(t) làm cho biên độ R (t) và/hoặc pha q(t) thay đổi như là một hàm của s(t). Sự thay đổi trong R(t) và q(t) làm cho sm(t) có một khổ băng phụ thuộc vào những tính chất của s(t) và vào hàm áp được dùng để phát ra R(t) và q(t). 1.4.3 Các kênh truyền: Bao gồm không khí, chân không và nước biển, loại dây mềm (softwire), dây điện thoại, cáp đồng trục, ống dẫn sóng và cáp quang, loại dây cứng (hardwire). Tổng quát, kênh truyền làm giảm tín hiệu và phát sinh nhiễu (sự đánh lửa của động cơ hoặc nhiễu do sự đóng ngắt mạch), nhiễu của kênh truyền và/hoặc nhiễu do máy thu khiến cho ~s (t) bị xấu đi so với nguồn. Kênh có thể chứa bộ phận khuếch đại tác động, thí dụ: Hệ thống repeater trong điện thoại hoặc như vệ tinh tiếp chuyển trong hệ thống viễn thông trong không gian. Dĩ nhiên, các bộ phận này cần thiết để giữ cho tín hiệu lớn hơn nhiễu. Máy thu nhận tín hiệu ở ngỏ ra của kênh và đổi nó thành tín hiệu dải nền. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 5 1.5 SỰ PHÂN CHIA CÁC VÙNG TẦN SỐ (FREQUENCY ALLOCATIONS). Trong các hệ thông tin dùng không khí làm kênh truyền, nhiễu và các điều kiện lan truyền sóng phụ thuộc rất nhiều vào tần số sóng truyền. Về mặt lý thuyết, bất kỳ một kiểu biến điệu nào đều có thể được dùng cho bất kỳ tần số truyền nào. Tuy nhiên, theo những qui ước quốc tế, kiểu biến điệu, băng thông, loại tin được truyền cần được xếp đặt cho từng băng tần. Bảng sau đây cho danh sách các băng tần, ký hiệu, điều kiện truyền và công dụng tiêu biểu của chúng . Băng tần Ký hiệu Đăc tính truyền Ứng dụng tiêu biểu VLF(Very low Sóng đất. Suy giảm ít ngày và Thông tin dưới nước 3 - 30KHz frequency) đêm. Nhiễu không khí cao LF Tương tự VLF. Độ tin cậy Hướng dẫn radio cho hải 30- 300KHz (Low frequency) thấp. Bị hấp thu vào ban ngày hành MF Sóng đất và trời. Suy giảm ít Radio hàng hải. Cấp cứu. 300-3000KHz (Medium vào ban đêm và nhiểu vào ban Phát sóng AM (MW) frequency ) ngày. Nhiễu không khí HF Sự phản xạ ở tầng ion thay đổi Radio nghiệp dư. Phát (High frequency) theo thời gian trong ngày, theo thanh quốc tế (SW). Quân 3 - 30MHz mùa và theo tần số. Nhiễu sự. Không hành và hải không khí ít tại 30Mhz hành. Điện thoại, điện tín, fax. VHF Truyền LOS. Bị tán xạ bởi Truyền hình VHF. Radio 30- 300MHz (Very high những thay đổi nhiệt độ. Nhiễu FM stereo. Trợ giúp không frequency) không gian. hành. 0.3 - 4 GHz UHF (Ultra HF) Truyền LOS. Nhiễu không Truyền hình UHF. Radio 1.0-2.0 GHz L gian. FM Stereo. Trợ giúp không 2.0-4.0 GHz S hành. 4 - 30 GHz SHF (Super hf) Truyền LOS. Suy giảm do Oxy Viễn thông vệ tinh. Radar, 4.0 - 8.0 GHz C và hơi nước trong không khí. microwave links. 8.0 - 12.0 GHz X Sự hấp thu do hơi nước rất cao 12.0 - 18.0 KU tại 22.2 GHz GHz K 18.0 - Ka 27.0GHz 27.0-40.0 GHz 30 - 300 GHz EHF (Extremely Tương tự trên. Hơi nước hấp Radar, vệ tinh, thí nghiệm. high frequency) thu rất mạnh tại 183GHz. Oxy 26.5 - 40 GHz R hấp thu tại 60 và 119 GHz . 33 - 50 GHz Q 40 - 75 GHz V 75 -110 GHz W 110 - 300 GHz mm (milimet) IR , ánh sáng và Truyền LOS Viễn thông quang 103 - 107 GHz UV 1.6 SỰ TRUYỀN SÓNG ĐIỆN TỪ. Các đặc tính truyền của sóng điện từ được truyền trong kênh truyền dây mềm thì phụ thuôc nhiều vào tần số. Điều này được thấy từ bảng kê ở trên. Phổ điện từ có thể được chia làm 3 băng lớn: Sóng mặt đất (Ground wave), sóng trời (Sky wave) và sóng truyền theo đường tầm nhìn (light of sight) LOS. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 6 Sự truyền tín hiệu (signal propagation) Anten phát Anten thu (Recieve antenna) (Transmit antenna) The Earth ` a. Truyền sóng đất Ion cầu Sự truyền tín hiệu (signal propagation) Anten phát Anten thu (Transmit antenna) The Earth (Recieve antenna) b. Truyền sóng trời Sự truyền tín hiệu (signal propagation) Anten phát Anten thu (Transmit antenna) (Recieve antenna) The Earth c. Truyền theo đường tầm mắt Hình 1.2: sự truyền sóng điện từ. 1.6.1 Tần số của sóng đất nhỏ hơn 2 MHz. Ở đây sóng điện từ có khuynh hướng truyền theo chu vi trái đất. Kiểu truyền này được dùng trong các đài AM. Ở đấy sự phủ sóng địa phương theo đường cong mặt đất và tín hiệu truyền trên đường chân trời thấy được. Câu hỏi thường được đặt ra: “ Tần số thấp nhất của sóng có thể dùng là bao nhiêu ? Câu trả lời là tần số này tùy thuộc vào chiều dài của anten phát. Để sự bức xạ có hiệu quả, antenna cần dài hơn 1/10 bước sóng. Ví dụ: Với sóng mang fC = 10KHz, bước sóng là: C l = = ( 3.108m/s )/104Hz = 3.104 m fC Như vậy, một anten dài ít nhất 3.000m để bức xạ có hiệu quả một sóng điện từ 10KHz! Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 7 1.6.2 Khoảng tần số của sóng trời là 2 đến 30 Mhz. Sự truyền của sóng này dựa vào sự phản xạ tầng ion (ion sphere-tầng điện ly) và mặt đất. Nhờ đó, có thể truyền một khoảng rất xa. Tầng ion có biểu đồ phân bố như sau: Hình 1.3: Biểu đồ phân bố tầng ion Sự ion hóa xảy ra do sự kích thích các phân tử khí bởi các bức xạ vũ trụ từ mặt trời. Tầng ion gồm các lớp E, F1, F2, D. Lớp D chỉ hình thành vào ban ngày và là lớp chủ yếu hấp thụ sóng trời. Lớp F là lớp chính, làm phản xạ sóng trời về trái đất. Thực tế, sự khúc xạ từng bậc qua các lớp của tầng ion khiến tầng này tác dụng như một vật phản xạ làm sóng trời bị phản xạ trở lại trái đất. Hình 1.4: Sự phản xạ sóng trời bở tầng ion. Chiết suất n thay đổi theo độ cao của tầng ion, vì mật độ electron tự do thay đổi. 81N n = 1 - f 2 Trong đó: N: Mật độ electron tự do ( số e-/m3 ). f: tần số của sóng (Hz). - Dưới vùng ion hóa, n = 1 - Trong vùng ion hóa, n 0) Sóng bị khúc xạ theo định luật Snell: nsinjr = sinji Trong đó: ji : Góc đến jr: Góc khúc xạ. a. Với những sóng có tần số f f2 nên n trở nên ảo. Tầng ion sẽ làm giảm sóng đến. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 8 b. Với những sóng có tần số từ 2 - 30 MHz (Sóng trời), sự truyền sóng, góc phản xạ và sự hao hụt tín hiệu tại một điểm phản xạ ở tầng ion tùy thuộc vào f, vào thời gian trong ngày, theo mùa và sự tác động của vết đen mặt trời. Ban ngày, N rất lớn làm n ảo. Sóng bị hấp thu, có rất ít sóng trở lại trái đất. Ban đêm, N nhỏ nên n jI. Sẽ xảy ra hiện tượng khúc xạ từng bậc. Do sự phản xạ nhiều lần giữa tầng ion và mặt đất, sóng trời truyền đi rất xa. Vì thế, có những sóng trời phát ra từ những đài xa bên kia trái đất vẫn có thể thu được trên băng sóng ngắn. 1.6.3 Truyền LOS: là phương thức truyền cho các tần số trên 30 MHz. Ở đó, sóng điện từ truyền theo đường thẳng. Trong trường hợp này f2 >> 81N làm cho n » 1 và như vậy có rất ít sóng bị khúc xạ bởi tầng ion. Sóng sẽ truyền ngang qua tầng này. Tính chất đó được dùng cho thông tin vệ tinh. Truyền LOS gây bất lợi cho việc truyền thông tin giữa 2 trạm mặt đất, khi mà đường đi tín hiệu phải ở trên đường chân trời. Độ cong mặt đất sẽ chặn đường truyền LOS. Hình 1.5 Anten phát cần phải đặt trên cao, sao cho anten thu phải “thấy” được nó. d2 + r2 = ( r + h )2 d2 = 2rh + h2 với h2 << 2 rh Như vậy: d = 2rh Bán kính trái đất là 3.960 miles. Tuy nhiên, tại những tần số LOS bán kính hiệu 4 dụng là 3.960. Vậy khoảng cách d = 2rh miles. 3 Thí dụ: Các đài truyền hình có tần số trên 30MHz trong băng VHF và UHF, vùng phủ sóng của các đài công suất lớn bị giới hạn bởi đường tầm nhìn. Với một tháp anten 1000 ft ® d = 44,7miles. Nếu anten thu cao 30 feet , d = 7,75 miles. Vậy với chiều cao đài phát và máy thu này, đài có vùng phủ sóng có bán kính 44,7 + 7,75 = 52,5 miles. 1 miles = 1.609,31 m; 1 feet = 0.3048 m. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 9 1.7 SỰ ĐO TIN TỨC. Định nghĩa: Tin tức gửi từ 1 nguồn digital, khi bản tin thứ j được truyền đi là : æ 1 ö IJ = log2 ç ÷ bits è PJ ø PJ: Là xác suất của việc truyền bản tin thứ J Cơ số (base) của log xác định đơn vị được dùng để đo tin tức.Nếu log cơ số 2, thì đơn vị là bits.Với log tự nhiên đơn vị là Nats.Và với log cơ số 10 đơn vị sẽ là Hastley Bit, đơn vị đo tin có ý nghĩa khác với bit là đơn vị của dữ liệu nhị phân.Tuy nhiên người ta vẫn hay dùng ” bit ” để ký hiệu cho cả hai loại đơn vị. Công thức trên được viết lại với cơ số tự nhiên và cơ số 10: -1 -1 IJ = log10 Pj = logn Pj log10 2 logn 2 Một cách tổng quát, nội dung tin tức sẽ thay đổi từ bản tin này đến bản tin khác, vì PJ sẽ không bằng nhau. Như vậy, ta cần đến một sự đo tin tức trung bình của nguồn. Định nghĩa: Số đo tin tức trung bình (average information) của 1 nguồn là: m m æ1ö H = åPIjj=åPjlog2ç ÷ bits j=1 j=1 èPjø m: Số bản tin. PJ : Xác suất của sự gởi bản tin thứ J Tin tức trung bình còn gọi là entropy. Ví dụ: Tìm information content (dung lượng tin tức ) tin tức của một bản tin gồm một word digitaldài 12digit , trong đó mỗi digit có thể lấy một trong 4 mức có thể. Xác suất của sự gởi một mức bất kỳ trong 4 mức được giả sử bằng nhau và mức của một digit không tùy thuộc vào trị giá được lấy của digit trước đó. Trong một string gồm 12 symbol (digit) mà ở đó mỗi symbol gồm một trong 4 mức đó là 4.4 4 = 412 bits, tổ hợp (word) khác nhau. Vì mỗi mức gồm bằng nhau tất cả các word khác nhau đều bằng nhau. Vậy: 12 1 æ 1ö PJ = = ç ÷ 412 è 4ø æ ö ç ÷ ç 1 ÷ hoặc IJ = log 2 ç 1 ÷ =12 log 2 ()4 = 24 bits ç æ 1ö 2 ÷ ç ç ÷ ÷ è è 4ø ø Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 10 Trong ví dụ trên ta thấy dung lượng tin (information content) trong bất kỳ một bản tin có thể nào đó đều bằng với dung tin trong bất kỳ bản tin có thể khác (24 bits). Vậy tin tức trung bình H là 24 bits. Giả sử rằng chỉ có 2 mức (nhị phân) được cho phép cho mỗi digit và rằng tất cả các wordthì gần bằng nhau Vậy tin tức sẽ là IJ = 12 bits cho word nhị phân và tin tức trung bình là H = 12bits. Ở đó tất cả word 12 bits sẽ cho 12 bits tin tức vì các word gần bằng nhau Nếu chúng không bằng nhau một vài trong các word 12 bits sẽ chứa hơn 12 bits tin tức và một vài sẽ chứa ít hơn .Và tin tức trung bình sẽ chứa ít hơn. Đinh nghĩa: Nhịp độ của nguồn (nate source) được cho bởi H R = bits/sec T H: Tin tức trung bình; T: Thời gian cần thiết để gửi một bản tin. Định nghĩa trên được áp dụng cho một nguồn digital. 1.8 CÁC HỆ THÔNG TIN LÝ TƯỞNG. Có một số tiêu chuẩn được dùng để đánh giá tín hiệu quả của một hệ thông tin . Đó là giá thành, độ rộng kênh, công suất truyền, tỷ số s/n tại những điểm khác nhau của hệ, thời gian trể ngang qua hệ thống. Và xác suất bit error của hệ digital. Trong các hệ digital, hệ tối ưu có thể được nghĩa như là một hệ có xác suất bit error tối thiểu ở ngõ ra của hệ với sự cưỡng chế về công suất được phát và độ rộng kênh. Điều này làm nảy ra câu hỏi: liệu có thể phát minh một hệ không có bit error ở ngõ ra dù khi có nhiễu thâm nhập vào kênh ? Câu hỏi này được Claude Shannon trả lời là có thể, với vài giả thiết Shannon chứng minh rằng một dung lượng kênh C (bits/sec) sẽ được tính sao cho nếu nhịp độ tin tức R (bits/sec) nhỏ hơn C, thì xác suất của bit error tiến đến zero. é S ù Phương trình của C là: C = B log2 1+ ëê Nûú B: Độ rộng kênh (Hz) và S/N là tổng số công suất tín hiệu trên nhiễu tại ngõ vô của máy thu digital. - Trong các hệ analog, hệ tối ưu có chỗ định nghĩa như là một hệ có tổng số S/N lớn nhất ở ngõ ra máy thu với sự cưỡng chế về công suất được phát và độ rộng kênh. Ta có thể đặt câu hỏi: Liệu có thể thiết kế một hệ thống với tổng số S/N lớn vô hạn ở ngõ ra khi nhiễu thâm nhập vào kênh ? Câu trả lời là dĩ nhiên là không. 1.9 MÃ HÓA (CODING). Nếu dữ liệu ở ngõ ra của một hệ thông tin digital có errors, có thể giảm error bằng cách dùng một trong hai kỹ thuật : -Automatic Repeat request (ARQ). -Forward error conection (FEC). Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 1: Sơ lược về hệ thống thông tin - 11 Trong một hệ ARQ, khi máy thu phân tích được error trong khối dữ liệu, nó yêu cầu khối dữ liệu phát trở lại. Trong một hệ FEC dữ liệu được phát ra cần được mã hóa sao máy thu có thể sữa sai như là các sai số đã phân tích. Biện pháp này cũng được xếp loại như sự mã hóa kênh, vì nó được dùng để sữa sai khi kênh bị nhiễu. Sự chọn lựa ARQ hay FEC tùy vào áp dụng riêng. ARQ thường được dùng trong hệ thông tin computer. FEC được dùng đễ sửa sai trễ các kênh simplex (1 way). Hệ thông tin với FEC được vẽ ở hình dưới đây. Về mặt lý thuyết dung lượng kênh của Shannon chứng tỏ rằng một trị giá vô hạn của S/N chỉ giới hạn nhịp độ truyền. Đó là xác suất của error P(E) có thể tiến đến zero khi nhịp độ tin tức nhỏ hơn dung lượng kênh. Truyền nhiễu Nhận ~ Tín hiệu m Mã hoá g(t) Mạch sóng s(t) r(t) Mạch sóng g(t) Mã hoá kênh số và xử lý mang mang và xử lý ~ m(t) Bộ thu t ín Hình 1.6 hiệu số Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 2 : Phân tích tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Phổ vạch - 12 CHƯƠNG 2 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU BẰNG CHUỖI FOURIER- PHỔ VẠCH v Dẫn nhập v Dạng lượng giác của chuỗi Fourier v Dạng mũ của chuỗi Fourier v Hệ số Fourier và sự đối xứng của tín hiệu v Phổ vạch của tín hiệu ___ 2.1 DẪN NHẬP Trong một hệ thống thông tin tồn tại 3 dạng tín hiệu với phổ tần khác nhau: - Loại thứ nhất là các tín hiệu có tính tuần hoàn có dạng hình sin hoặc không. Một tín hiệu không sin là tổng hợp của nhiều tín hiệu hình sin có tần số khác nhau. Kết quả này có được bằng cách dùng chuỗi Fourier để phân tích tín hiệu. - Loại thứ hai là các tín hiệu không có tính tuần hoàn mà có tính nhất thời (thí dụ như các xung lực), loại tín hiệu này được khảo sát nhờ biến đổi Fourier. - Loại thứ ba là tín hiệu có tính ngẫu nhiên, không được diễn tả bởi một hàm toán học nào. Thí dụ như các loại nhiễu, được khảo sát nhờ phương tiện xác suất thống kê. Các loại tín hiệu, nói chung, có thể được xét đến dưới một trong hai lãnh vực : - Lãnh vực thời gian: Trong lãnh vực này tín hiệu được diễn tả bởi một hàm theo thời gian, hàm này cho phép xác định biên độ của tín hiệu tại mỗi thời điểm. - Lãnh vực tần số : Trong lãnh vực này người ta quan tâm tới sự phân bố năng lượng của tín hiệu theo các thành phần tần số của chúng và được diễn tả bởi phổ tần. Chuỗi Fourier là phương tiện dùng để phân tích tín hiệu tuần hoàn không sin thành tổng của những tín hiệu hình sin. Qua sự phân tích này ta có thể hình dung các thành phần tần số chứa trong tín hiệu nhờ phổ tần của nó. Chương này giới thiệu chuỗi Fourier và phương pháp phân tích các tín hiệu tuần hoàn không sin và vẽ phổ tần của chúng. 2.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA CHUỖI FOURIER Một hàm f(t) được gọi là tuần hoàn nếu f(t) = f(t+T) ở mọi thời điểm t (2.1) Các tín hiệu có dạng sóng như (H 2.1) là các tín hiệu tuần hoàn (H 2.1) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 2 : Phân tích tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Phổ vạch - 13 Có thể triển khai thành chuỗi Fourier nếu f(t) thỏa các điều kiện sau đây, gọi là điều kiện Dirichlet. - Là hàm đơn trị - Có một số hữu hạn cực đại, cực tiểu trong một chu kỳ. t f(t)dt <¥ ò0 Hầu hết các nguồn kích thích mà ta gặp trong mạch điện đều thỏa các điều kiện Dirichlet nên ta không phải quan tâm lắm khi giải mạch. Chuỗi Fourier viết dưới dạng lượng giác: a0 f(t) = +a1coswt + a2cos2wt +. . . . . . . . .+ b1sinwt + b2sin2wt . . . . . . . . . 2 ¥ a 0 = + å(a n cosnωt + b n sinnωt) (2.2) 2 n=1 Các số hạng a1coswt và b1sinwt hợp thành thành phần cơ bản hay họa tần thứ nhất còn ancoswt và bnsinwt họp thành họa tần thứ n. Vì trị trung bình của mỗi số hạng hình sin trong chuỗi bằng không nên a0/2 chính là trị trung bình của f(t) hay còn gọi là thành phần DC của f(t). Trước khi xác định các hệ số an và bn trong chuỗi Fourier, ta nhắc lại một số kết quả khi lấy tích phân của các hàm liên quan đến hàm sin trong một chu kỳ. 2p/ w f(t), m và n là các số nguyên f(t)dt ,w ¹ 0 ò0 1. sin(wt+a), cos(wt+a) 0 2. sin(nwt+a), cos(nwt+a) 0 3. sin2(wt+a), cos2(wt+a) p/w 4. sin(mwt+a).cos(nwt+a) 0 5. cos(mwt+a).cos(nwt+b) 0, nếu m ¹n & pcos(a-b)/w, nếu m=n Để xác định an và bn, ta lần lượt nhân f(t) với cosnwt và sinnwt rồi lấy tích phân trong một chu kỳ. Ví dụ, để xác định an T T 2 T f(t)cosnωtdt = a cos nωtdt = a (các số hạng khác đều triệt tiêu, trừ an cosnwt) ò0 ò0 n n 2 2 T ω 2π/ω Þ an=f(t)cosnω(dt = f(t)cosnωtdt (2.3) T ò0 π ò0 2 T ω 2π/ω Tương tự: bn= f(t)sinnωtdt = f(t)sinnωtdt (2.4) T ò0 π ò0 Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 2 : Phân tích tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Phổ vạch - 14 Nếu đổi biến số là wt thay vì t, chu kỳ tương ứng là 2p, ta có thể viết lại 1 2π an= f(t)cosnωtd(ωt) (2.5) π ò0 1 2π bn= f(t)sinnωtd(ωt) (2.6) π ò0 Khi xác định an và bn ta có thể lấy tích phân trong một chu kỳ thế nào để thuận tiện chứ không nhất thiết phải từ 0 ® T (hay từ 0 ® 2p). Riêng hệ số a0 có thể xác định như trên với n=0 hoặc có thể xác định bằng cách quan sát f(t) để xác định trị trung bình của f(t) =a0/2 Thí dụ 2.1 Xác định chuỗi Fourier của tín hiệu (H 2.2) f(t) 10 0 2p 4p wt (H 2.2) Tín hiệu liên tục trong khoảng 0 < wt < 2p và cho bởi: 10 f(t)= (wt) , 0 < wt < 2p 2π Với các điểm bất liên tục wt=n2p Điều kiện Dirichlet thỏa, ta xác định an và bn a 0 = 5, trị trung bình của f(t) 2 1 2π 10 an= ωtcosnωtd(ωt) π ò0 2π Bằng cách lấy tích phân từng phần Đặt u= wt Þ du= d(wt) 1 dv = cosnwtd(wt) Þ V= sinnwt n 10 ωt 1 2π 10 an= [ sinnωt + cosnωt] = [cosn2π - cos0] = 0 với mọi n. 2π 2 n n 2 0 2π 2n 2 1 2π 10 bn= ωtsinnωtd(ωt) π ò0 2π Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 2 : Phân tích tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Phổ vạch - 15 Cũng bằng cách lấy tích phân từng phần, ta được 10 - ωt 1 2π 10 bn= [ co snωt + sinnωt] = - 2π 2 n n 2 0 nπ Tóm lại: 10 10 10 f(t) = 5 - sinωt - sin2ωt - - sin3ωt. . . . π 2π 3π 10 ¥ sinnωt hay f(t) = 5 - å π n=1 n 2.3 DẠNG MŨ CỦA CHUỖI FOURIER Thay các giá trị sin và cos bằng các hàm mũ tương đương (công thức EULER) ta được: jωt - jωt j2ωt - j2ωt jωt - jωt j2ωt - j2ωt a0 e + e e + e e - e e - e f(t) = +a1( ) + a2( ) +. . . . .+ b1( ) + b2( ). . . . 2 2 2 2j 2j Sắp xếp lại: a b a b a a b a b f(t) = . . . .+( 2 - 2 )e- j2ωt + ( 1 - 1 )e- jωt + 0 + ( 1 + 1 )e- jωt + ( 2 + 2 )e- j2ωt + . . . . 2 2j 2 2j 2 2 2j 2 2j Ta định nghĩa các hằng số phức A xác định bởi: a0 A0= 2 1 1 An= (an-jbn) và A-n= (an+jbn) 2 2 f(t) được viết lại: -j2wt -jwt jwt j2wt f(t) = . . . .+ A-2e + A-1e + A0 + A1e + A2e + . . . . . +¥ jnωt = å An e -¥ -jnwt Để xác định An ta nhân f(t) với e rồi lấy tích phân trong một chu kỳ 2π 2π 2π 2π f(t)e-jnωt dωt = + A e- j2ωt e -jnωt dωt + A e -jωt e -jnωt dωt + A e- jnωt dωt + ò0 ò0 -2 ò0 -1 ò0 0 2π 2π A e jωt e- jnωt dωt + A e j2ωt e- jnωt dωt ò0 1 ò0 2 Trừ số hạng thứ n, tất cả số hạng khác đều triệt tiêu 2π 2π f(t)e- jnωt dωt = A dωt = 2πA ò0 ò0 n n 1 2π 1 2π Þ A = f(t)e- jnωtdωt và A = f(t)e jnωt dωt (2.7) n 2π ò0 -n 2π ò0 Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 2 : Phân tích tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Phổ vạch - 16 Hay với biến số t: 1 T 1 T A = f(t)e- jnωt dt và A = f(t)e jnωt dt (2.8) n T ò0 -n T ò0 Cũng giống như khi xác định an và bn, ta có thể lấy tích phân trong một chu kỳ thế nào để thuận tiện chứ không nhất thiết phải từ 0 ® T (hay từ 0 ® 2p). Từ An và A-n ta cũng suy ra được an và bn. 1 An + A-n = ( an - jbn+ an + jbn) = an 2 1 An - A-n = ( an - jbn- an - jbn) = -jbn 2 Hay an = An + A-n (2.9) bn =j(An - A-n) (2.10) Thí dụ 2.2 Xác định dạng mũ của chuỗi Fourier của tín hiệu trong thí dụ 2.1 10 Nhắc lại f(t)= (wt) , 0 < wt < 2p 2p Trị trung bình của f(t) chính là A0 = 5 - jnωt 2π 1 10 - jnωt 10 e 2π 10 A n = ωte dωt = [ (jnωt -1) = j 2π ò0 2π (2π ) 2 (- jn) 2 0 2nπ 10 10 10 10 và f(t) = - j e - j2ωt - j e - jωt + 5 + j e jωt + j e j2ωt + 4π 2π 2π 4π Dùng (2.9) và (2.10) xác định lại an và bn: 10 10 an = An + A-n = j - j = 0 2nπ 2nπ 10 10 bn =j(An - A-n) = j. j = - nπ nπ Ta tìm lại được kết quả trên. 2.4 HỆ SỐ FOURIER VÀ SỰ ĐỐI XỨNG CỦA TÍN HIỆU 2.4.1 Hàm chẵn Hàm f(t) được gọi là chẵn nếu thỏa điều kiện f(t) = f(-t) Dạng sóng của tín hiệu của hàm chẵn dối xứng qua trục tung. Hàm cosx có thể triển khai thành: x 2 x 4 x 6 x8 cosx = 1- + - + 2! 4! 6! 8! Vậy cosx là một hàm chẵn Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 2 : Phân tích tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Phổ vạch - 17 (H 2.3) là các thí dụ của hàm chẵn. (H 2.3) 2.4.2 Hàm lẻ Hàm f(t) được gọi là lẻ nếu thỏa điều kiện f(t) = -f(-t) Dạng sóng của tín hiệu của hàm lẻ dối xứng qua gốc tọa độ. Hàm sinx có thể triển khai thành: x 3 x5 x 7 x 9 sinx = x - + - + 3! 5! 7! 9! Vậy sinx là một hàm lẻ. (H 2.4) là các thí dụ của hàm lẻ. (H 2.4) Một số tính chất của các hàm đối xứng: - Tổng của các hàm chẵn là một hàm chẵn - Tổng của các hàm lẻ là một hàm lẻ - Tích của 2 hàm chẵn, hoặc 2 hàm lẻ là một hàm chẵn - Tích của một hàm chẵn và một hàm lẻ là một hàm lẻ - Đối với hàm chẵn ta có: t t 0 f(t)dt = 2 0 f(t)dt ò-t ò0 0 - Đối với hàm lẻ: t 0 f(t)dt = 0 ò-t 0 - Khi tính hệ số Fourier của các hàm đối xứng, ta lấy tích phân từ -T/2 đến T/2. 2 T/2 2 T/2 a = f(t)cosnωtdt và b = f(t)sinnωtdt n T ò-T/2 n T ò-T/2 Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 2 : Phân tích tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Phổ vạch - 18 ì 4 T/2 ï a = f(t)cosnωtdt Nếu f(t) là hàm chẵn í n T ò0 (2.11) îïb n = 0 ìa = 0 ï n Nếu f(t) là hàm lẻ í 4 T/2 (2.12) b n = f(t)sinnωtdt îï T ò0 2.4.3 Sự đối xứng nửa sóng Hàm f(t) được gọi là đối xứng nửa sóng nếu thỏ điều kiện: f(t) = -f(t±T/2) Thí dụ tín hiệu (H 2.5) (H 2.5) Đối với tín hiệu đối xứng nửa sóng người ta chứng minh được: an = bn = 0 với n chẵn 4 T/2 a = f(t)cosnωtdt , n lẻ (2.13) n T ò0 4 T/2 b = f(t)sinnωtdt , n lẻ (2.14) n T ò0 Thí dụ 2.3 Tính hệ số Fourier của tín hiệu răng cưa (H 2.6) (H 2.6) Đây là một hàm lẻ, an=0 với mọi n, ta chỉ cần xác định bn. Hàm f(t) xác định bởi: ì 4V ï t , 0 < t < T/4 f(t)= T í 4V ï - t + 2V ,T/4 < t < T/2 î T Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 2 : Phân tích tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Phổ vạch - 19 4 T/2 4 é T/4 4V T/2 4V ù b n = f(t)sinnωtdt = tsinnωtdt + (- t + 2V)sinnωtdt T ò0 T ëêò0 T òT/4 T ûú Lần lượt tính các tích phân: 16V T/4 16V nπ 16V nπ I1 = tsinnωtdt = - cos + sin T 2 ò0 8nπ 2 4(nπ ) 2 2 16V T/2 16V nπ 16V 1 16V nπ I2 = - tsinnωtdt = - cos + cosnπ - sinnπ + sin T 2 òT/4 8nπ 2 4nπ (nπ ) 2 4(nπ ) 2 2 8V T/2 8V 8V nπ I3 = sinnωtdt = - cosnπ + cos T òT/4 2nπ 2nπ 2 8V nπ bn= I1+I2+I3= sin (nπ ) 2 2 - Khi n chẵn bn = 0 p nπ p 8V(-1) - Khi n lẻ: n=2p+1 ; sin = (-1) và bn= 2 π 2 (2p +1) 2 Với các giá trị n cụ thể, ta viết được f(t): 8V 1 1 1 f(t) = (sinωt - sin3ωt + sin5ωt - sin7ωt ) π 2 32 52 72 Thí dụ 2.4 Triển khai chuỗi Fourier tín hiệu chữ nhật (H 2.7) (H 2.7) f(t) là một hàm chẵn, bn=0 với mọi n, ta chỉ cần xác định an. Hàm f(t) xác định bởi: ì V , 0 < ωt < π/2 f(t) = í î 0 , π/2 < ωt < π 2 π an = f (t)cosnωtd(ωt) π ò0 2 π 2 π / 2 2V π n=0 ; a0 = Vd(ωt) = Vd(ωt) = = V π ò0 π ò0 π 2 n ¹ 0 2 π 2V é1 ù π/2 an = Vcosnωtd(ωt) = sinnωt π ò0 π ëên ûú 0 Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 2 : Phân tích tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Phổ vạch - 20 2V π an = sinn nπ 2 n chẵn an = 0 p 2V n lẻ an = (-1) (n=2p+1) π (2p +1) V 2V 1 1 1 f(t) = + (cosωt - cos3ωt + cos5ωt - cos7ωt ) 2 π 3 5 7 Thí dụ 2.5 Triển khai chuỗi Fourier tín hiệu (H 2.8) (H 2.8) Tín hiệu có dạng đối xứng 1/2 sóng, các hệ số chẵn triệt tiêu và các hệ số lẻ xác định bởi (2.13) và (2.14) 4V Trong khoảng (0;T/2) f(t) xác định bởi: f(t) = t T Vậy 4 T/2 4V 4 T/2 4V a = tcosnωtdt và b = tsinnωtdt n T ò0 T n T ò0 T Lấy tích phân từng phần, ta được: 8V 4V a = - b = - n n 2π 2 n nπ 8V 1 1 4V 1 1 f(t) = - (cosωt + cos3ωt + sin5ωt + ) - (sinωt + sin3ωt + sin5ωt + ) π 2 32 52 π 3 5 2.5 PHỔ VẠCH CỦA TÍN HIỆU Giản đồ vẽ biên độ các họa tần theo n được gọi là phổ vạch của tín hiệu. Phổ vạch của tín hiệu cho ta hình dung các họa tần có chứa trong tín hiệu đó với biên độ của nó. Dùng phổ vạch ta có thể so sánh các tín hiệu một cách nhanh chóng. Tín hiệu có tính gián đọan như răng cưa, hình chữ nhật có phổ vạch có biên độ giảm chậm vì nó chứa nhiều họa tần. Những tín hiệu không gián đọan và sự thay đổi ít đột ngột có phổ vạch giảm nhanh vì chứa ít họa tần. 2 2 Biên độ của phổ vạch cho bởi: Cn = a n + b n Hay Cn=|An|+|A-n| Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 2 : Phân tích tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Phổ vạch - 21 Thí dụ 2.6 Vẽ phổ vạch của tín hiệu răng cưa ở thí dụ 2.1 10 10 10 f(t) = 5 - sinωt - sin2ωt - - sin3ωt. . . . π 2π 3π Vì f(t) chỉ các thành phần hàm sin nên: 2 2 Cn = a n + b n =bn Vậy phổ vạch có dạng (H 2.9) (H 2.9) (H 2.10) Nếu dùng dạng mũ của chuỗi Fourier, các số hạng tương ứng có tần số thay đổi từ -n đến n nên phổ vạch chứa các vạch ứng với n âm. Biên độ thật sự của họa tần bậc n chính là tổng của 2 biên độ ở n và -n. Phổ vạch của tín hiệu ở thí dụ 2.6 có thể vẽ nhữ (H 2.10) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 22 Chương 3 BIẾN ĐỔI FOURIER - PHỔ TẦN LIÊN TỤC ± Dẫn nhập ± Biến đổi Fourier – phổ tần liên tục ± Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng ± Tính chất của biến đổi Fourier ± Phép nhân chập (convolution). ± Định lý Parseval. ± Định lý biến điệu. ± Phổ tần của hàm tuần hoàn ___ 3.1 DẪN NHẬP Chương trước cho thấy dùng chuỗi Fourier chúng ta đã phân tích được tín hiệu tuần hoàn không sin thành tổng của các hàm sin và đã vẽ được phổ tần của tín hiệu. Bây giờ, nếu tín hiệu có tính đột biến thì việc phân tích sẽ ra sao? Trước hết, hãy xét trường hợp chuỗi xung chữ nhựt với độ rộng τ << T (H 3.1a) , ta có kết quả phân tích : Vτ 2Vτ sinx sin2x sin3x v= + ( cosωt + cos2ωt + cos3ωt ) T T x 2x 3x với x = pt / T và phổ ở (H 3.1b). (a) (H 3.1) (b) Phổ tần trong trường hợp t = 0,1T (H 3.1.b) là phổ tần của tín hiệu (H 3.1.a) cho trường hợp t = 0,1 T. Trong trường hợp này tần số đầu tiên của tín hiệu có biên độ đạt trị 0 là 10f 2Vτ sinnx Nhận thấy biên độ của họa tần thứ n xác định bởi Vn = T nx Và phổ tần gồm các vạch hiện diện ở mọi hoạ tần của tần số cơ bản. Khi T càng lớn so với τ thì các vạch càng xích lại gần nhau. Điều này cho phép chúng ta nghĩ đến trường hợp T ® ¥, chuỗi xung trở thành một xung duy nhất và phổ vạch trở thành một đường cong liên tục có dạng bao hình của biên độ phổ trước đây. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 23 3.2 BIẾN ĐỔI FOURIER - PHỔ TẦN LIÊN TỤC Một tín hiệu không tuần hoàn được xem như là trường hợp giới hạn của một tín hiệu tuần hoàn, trong đó chu kỳ T của tín hiệu tiến đến ¥. Nếu chu kỳ tiến đến ¥, tần số căn bản f0 tiến đến 0. Các họa tần khép lại với nhau và, trong giới hạn, tổng chuỗi Fourier biểu diễn cho s(t) sẽ trở thành một tích phân. ¥ F [s(t)] = S(f) = ò s()te-j 2pft dt (3.1) -¥ F [.] kí hiệu cho biến đổi Fourier của [.]. Nó còn được gọi là phổ - hai - phía (Two - Side - Spectrum) của s(t), vì cả hai thành phần tần số dương và âm đều thu được từ (3.1) nếu s(t) là một hàm thực (vật lý). Một cách tổng quát, S(f) là một hàm phức theo tần số. S(f) có thể phân làm hai hàm thực X(f) và Y(f) : S(f) = X(f) + jY(f) (3.2) Dạng trên gọi là dạng chữ nhật, vì S(f) có thể được biểu diễn trong hệ trục tọa độ Descartes. Cũng có thể biểu diễn S(f) trong hệ trục cực. Khi đó, cặp hàm thực sẽ trình bày suất và pha. S(f) = ½S(f) ½ ejq(f) (3.3) Với : ½S(f)½ = X 2(f ) + Y 2(f ) (3.4) -1 æYf()ö và: q(f) = tan ç ÷ (3.5) èXf()ø Dạng trên đây còn gọi là dạng cực (Polar form). Để xác định những tần số nào hiện hữu, ta khảo sát phổ của xuất ½S(f)½. (Đôi khi gọi tắt là ” Phổ “). Phổ của một dạng sóng (dòng hay thế) có thể thu được từ những phép tính toán học. Nó không xuất hiện một cách vật lý trong các mạch điện thực tế. Tuy nhiên có thể dùng Spectrum Analyser để quan sát một cách gần đúng. * Để phục hồi lại s(t) từ biến đổi Fourier của nó, ta tính tích phân sau: ¥ s(t) = òS(f )e j2pft df = F -1 [S(f)] (3.6) -¥ Phương trình này thường gọi là biến đổi ngược của S(f). Hai hàm s(t) và S(f) tạo thành một cặp biến đổi Fourier. Trong đó, s(t) diễn tả trong lãnh vực thời gian, còn S(f) diễn tả trong lãnh vực tần số. Ký hiệu cho một cặp biến đổi Fourier : S(f) « s(t) Hoặc s(t) « S(f) (3.7) Nếu tín hiệu hoặc nhiễu được mô tả trong lãnh vực này, thì sự mô tả tương ứng trong lãnh vực kia sẽ được biết nhờ cách dùng (3.1) hoặc (3.6). Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 24 Dạng sóng s(t) có thể biến đổi Fourier được nếu nó thỏa các điều kiện Dirichlet. Tuy nhiên, tất cả các dạng sóng vật lý trong kỹ thuật đều thỏa các điều kiện đó. 3.3 BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA MỘT SỐ HÀM THÔNG DỤNG 3.3.1 Phổ của một xung chữ nhật (H 3.2a) Tìm biến đổi của s(t), trong đó: ì t t V , - îï 2 * Từ định nghĩa của biến đổi Fourrier. ¥ t t - j2pft 2 -j2pft 2 - j2pft e S(f) = s()te dt = t Ve dt = - V ò- t ò 2 j2pf - -¥ 2 e jpft -e- jpft = V j2pf sin pft = Vt (3.9) pft Đường biểu diễn hàm S(f) có dạng (H 3.2b) và dạng phổ được xác định bởi (H 3.2c) sin pft ½ S(f)½=½ Vt ½ (3.10) pft (a) (b) (c) (H 3.2) Những hàm thuộc loại trên đây rất phổ biến trong kỹ thuật thông tin. Để tránh lặp lại hàm này ta định nghĩa hàm Sa(x) như sau: sinx Sa(x) = (3.11) x Khi đó phương trình của S(f) được viết lại: S(f) = Vt . Sa(pft ) (3.12) 3.3.2 Phổ của một xung hàm mũ. Xem s(t) là một xung hàm mũ tắt (Decaying Exponential Pulse) bị ngắt tại t = 0. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 25 ìVe-at ,t>0 s(t) = í (3.13) î0 ,t 0ü V í ý « (3.17) î0 ,t<0þ a + j2pf (a) (b) (H 3.3) 3.3.3 Phổ của một xung tam giác Xét một xung tam giác xác định bởi: (H 3.4a) ìV t + V ;t < 0 ï a s(t) = í (3.18) V ï- t + V ;t < 0 îï a biến đổi fourier của s(t) xác định bởi: á s(f) = s(t)e- j2pftdt ò-a sin 2 (pfa) = Va (3.19) (pfa)2 và phổ tần cho bởi (H 3.4b) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 26 (a) (b) (H 3.4) 3.3.4 Phổ của một xung lực đơn vị (hàm Delta Dirac) Xung lực đơn vị định nghĩa bởi: ¥ d(x)dx =1 (3.20) ò-¥ ì¥;x=0 và d(x)=í (3.21) î0;x¹0 Trong đó cả (3.20) và (3.21) đều được thỏa. Hàm Delta Dirac không phải là một hàm thực tuy nhiên đây là một hàm với nghĩa khái quát hơn và được dùng nhiều trong lý thuyết phân bố. T ừ định nghĩa trên ta có thể suy ra : ¥ s(t)d(t)dt =s(0) (3.22) ò-¥ Trong đó s(t) là một hàm bất kỳ liên tục tại t=0. Từ (3.22) ta thấy một thuộc tính sàng lọc của hàm d: ¥ s(t)d(t -t0 )dt =s(t0 ) (3.23) ò-¥ Nghĩa là hàm d sàng lọc ra giá trị s(t0) từ biểu thức tích phân. ¥ Biến đổi Fourier của d(t): F [d(t)]= d(t)e- j2pftdt = e- j2pft =1 (3.24) ò-¥ t =0 Một cách tổng quát, biến đổi Fourier của d(t-t0) ¥ - j2pft - j2pft - j2pft 0 F [d(t-t0)]= d(t - t0 )e dt = e = e (3.25) ò-¥ t =t 0 Ngược lại, nếu ta có một hàm S(f) = d(f-f0) thì -1 ¥ j2pft j2pf0 t s(t) = F [d(f-f0)] = d(f - f0 )e df = e (3.26) ò-¥ Hình 3.5 Phổ của d(t) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 27 3.3.5 Phổ của hàm nấc đơn vị ( Unit step function ). Tìm biến đổi của hàm nấc đơn vị. Phép biến đổi thì tương đối dễ tính khi ta thực hiện như sau: 1+ Sgnt() u(t) = (3.27) 2 Trong đó, hàm Sgn được định nghĩa bởi: ì+1 , t >0 Sgn (t) = í (3.28) î-1 , t <0 Hình 3.6 Tín hiệu của hàm Sgn và hàm nấc 1 1 Biến đổi của là d(f). 2 2 Biến đổi của hàm Sgn(t) có thể tính bằng cách xem nó như là một giới hạn của hàm expo. -a½t½ Sgn(t) = liam® 0 [ e Sgn(t) ] Ta có: -a½t½ F [ Sgn(t) ] = lim a®0 F [ e Sgn(t) ] (3.29) é 1 1 ù 1 = lim a ®0 ê + ú = ë j2pf + a j2pf - a û jpf Biến đổi của hàm nấc đơn vị được cho bởi phương trình (3.30) 1 1 u(t) « + d(f ) j2pf 2 (3.30) Và phổ của hàm nấc đơn vị cho bởi (H 3.7) Hình 3.7 Phổ của sgn(t) và u(t) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 28 3.4 TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 3.4.1 Tính đối xứng phổ của các tín hiệu thực Nếu s(t) là thực thì: S(-f) = S*(f) (3.31) (Dấu * biểu thị phép toán liên hợp) ¥ S(-f) = ò s(t)e j2pft dt (3.32) -¥ Lấy liên hợp của (3.1) ¥ S*(f) = ò s *(t)e j2pft dt (3.33) -¥ Vì s(t) là thực nên s*(t) = s(t) So sánh (3.32) và (3.33) ta được S(-f) = S*(f) 3.4.2 Thực / ảo - Chẵn / lẻ. Bảng sau đây tóm tắt những tính chất của biến đổi Fourier dựa trên sự quan sát hàm theo t. Hàm thời gian Biến đổi Fourier A Thực Phần thực chẵn - Phần ảo lẻ B Thực và chẵn Thực và chẵn C Thực và lẻ Ảo và lẻ D Ảo Phần thực lẻ - Phần ảo chẵn E Ảo và chẵn Ảo và chẵn F Ảo và lẻ Thực và lẻ Có thể dùng công thức Euler để chứng minh: ¥ ¥ ¥ S(f ) = ò s()te-j2pft dt = ò st()cos2pftdt - j ò st()sin2pftdt -¥ -¥ -¥ = R + j X Nếu s(t) là thực, R trở thành phần thực của biến đổi và X là phần ảo. R là một hàm chẵn của f vì cos là hàm chẵn và X là một hàm lẻ của f vì sin là hàm lẻ .Vậy tính chất A đã được chứng minh. Nếu s(t) thực và chẵn, thì X = 0. Điều này đúng vì X lẻ (tích của hàm chẵn và lẻ) và tích phân là 0. Vậy tính chất B đã được chứng minh. Nếu s(t) thực và lẻ, R = 0. (Tính chất C). Nếu s(t) ảo, R trở thành phần ảo và X là phần thực của biến đổi. Từ quan sát đơn giản đó, các tính chất D, E, F dễ dàng được chứng minh. 3.4.3 Sự tuyến tính. Sự tuyến tính là tính chất quan trọng nhất của phép biến đổi Fourier. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 29 Biến đổi Fourier của một tổ hợp tuyến tính của các hàm theo thời gian là một tổ hợp tuyến tính của các biến đổi Fourier tương ứng. as1(t) + bs2(t) « aS1(f) + bS2(f) (3.34) Trong đó a, b là những hằng bất kỳ. Có thể chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier và từ tính chất tuyến tính của thuật toán tích phân. ¥ ¥ ¥ - j2pft - j2pft - j2pft ò[as1()t +bs2()t ]e dt =a ò s1()te dt +b ò s2()te dt -¥ -¥ -¥ = aS1(f) + bS2(f) 3.4.4 Thay đổi tỉ lệ thời gian 1 f Nếu a là số thực, dương thì: s(at) ∩ S( ) (3.35) a a Thật vậy ¥ F [s(at)] = ò s(at)e- j2pft dt -¥ dz Đặt at= z Þ dt= a Thay vào: 1 ¥ 1 f F [s(at)] = ò s(z)e- j2pfz / a dz = S( ) a -¥ a a 3.4.5 Dời thời gian ( Time Shift ). Biến đổi Fourrier của một hàm thời gian bị dời thì bằng với biến đổi của hàm thời gian gốc nhân bởi một hàm expo phức. - j2pft 0 s(t - t0 ) « e S(f) (3.36) Ví dụ : Tìm biến đổi Fouier của: ì1 ,0<t<2 s(t) = í î0 ,t khác Hình 3.8 Dạng tín hiệu s(t). Giải: Từ định nghĩa ta có: 2 e - j2pf sin2pf S(f ) = ò e - j2pft dt = [e j2pf - e - j2pf ] = e-j2pf 0 j2pf pf Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 30 Kết quả này có thể thu được từ việc dùng tính chất dời thời gian cho tín hiệu trong mục (3.3.1) với V=1, t =2 và t0 = 1(s) 3.4.6 Dời tần số (Frequency shift). Hàm theo thời gian tương ứng với một biến đổi Fourier dời tần thì bằng với hàm theo thời gian của biến đổi không dời tần nhân với 1 hàm expo phức. j2pfot S(f - f0 ) « e s(t) (3.37) Ví dụ : Tìm biến đổi Fourier của ìe j2πt , t < 1 s(t) = í î0 , phan khac Giải: s(t) này giống như s(t) ở mục (3.3.1) với V =1 và t = 2, trừ việc nhân với thừa j2pt số e (f0=1) . Định lý về sự dời tần được dùng để thấy rằng biến đổi là biến đổi gốc bị dời bởi một đơn vị tần số. Như vậy, ta lấy kết quả của bài toán trên thay f bởi f - 1 (f0=1) . sin 2p(f -1) S(f ) = 2 2p(f -1) Hình 3.7 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t). 3.5 PHÉP NHÂN CHẬP (CONVOLUTION) Phép nhân chập 2 hàm r(t) và s(t) được định nghĩa bởi thuật toán tích phân: ¥ ¥ r(t) * s(t) = ò r(t)(st-t)dt= ò s(t)(rt-t)dt (3.38) -¥ -¥ Ký hiệu * thì được qui ước và đọc “ r(t) nhân chập với s(t) “. Tích phân thứ hai là kết quả từ sự đổi biến số và chứng tỏ rằng phép nhân chập có tính giao hoán vậy: r(t) * s(t) = s(t) * r(t). Nhớ là phép nhân chập 2 hàm của t là một hàm của t. t là một biến số giả do tích phân mà ra. Nếu s(t) « S(f) r(t) « R(f) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 31 thì s(t)*r(t) « S(f)R(f) (3.39) và F -1 [S(f)R(f)] = s(t)*r(t) hay S(f)R(f) « s(t)*r(t) (3.40) ¥ sin 3t sin(t - t) Thí dụ 1: Dùng định lý nhân chập tính tích phân sau: ò dt -¥ t t - t Tích phân trên biểu diễn phép nhân chập của 2 hàm theo t: sin 3t sin t s(t)*r(t) = 3 * 3t t Biến đổi Fourier của tích phân là tích của biến đổi Fourier của 2 hàm. Kết quả biến đổi cho bởi (H 3.10) Hình 3.10 Lấy biến đổi ngược của tích này, ta sẽ có kết quả của phép nhân chập : ¥ sin 3t sin(t - t) sin t ò dt = p -¥ t t - t t 1 Thí dụ 2: Tìm s(t) biết biến đổi Fourier của nó là S(f ) = 6 + 5j2pf + (j2pf )2 1 1 1 Ta có: S(f ) = = 6 + 5j2pf + (j2pf )2 2 + j2pf 3 + j2pf =G(f).H(f) ì0 ; t 0 2 + j2pf ì0 ; t 0 3 + j2pf Theo định lý nhân chập trong miền thời gian, ta có: s(t) = g(t)*h(t) t t -2t -3(t-t) -3t t -3t t t s(t) = e e dt = e e dt = e [e ]0 ò0 ò0 ì0 ; t 0 3.6 ĐỊNH LÝ PARSEVAL Xác định bởi: r(t) s*(t) « R(f) S*(f) (3.41) Thật vậy, ta có: Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 32 ¥ ¥ ¥ r(t)s *(t) dt = é R(f )e j2pftdf ù s*(t)dt ò ò-¥ êò-¥ ú -¥ ë û ¥ ¥ = R(f )s *(t)e j2pftdfdt ò-¥ ò-¥ Đổi thứ tự lấy tích phân trên f và t. ta được: ¥ ¥ ¥ r(t)s *(t) dt = R(f )é e j2pfts *(t)dtùdf ò ò-¥ êò-¥ ú -¥ ë û Sử dụng (3.1) ta được : r(t) s*(t) « R(f) S*(f) Định lý Parseval cho phép ta tính năng lượng của một hàm bằng cách mô tả nó trong vùng tần số thay vì trong vùng thời gian Từ “ năng lượng “ được dùng để chỉ tích phân của bình phương của hàm, nó biểu diễn trị giá năng lượng (watt - sec) tiêu tán trong điện trở 1W nếu tín hiệu là điện thế hoặc dòng điện ngang qua điện trở. Xét trường hợp đặc biệt: r(t) = s * (t) ¥ ¥ Dùng kết quả của (3.41), ta được: ò r2()tdt = ò R2()fdf (3.42) -¥ -¥ Phương trình (3.42) chứng tỏ rằng năng lượng của hàm theo t thì bằng với năng lượng của biến đổi Fourier của nó. 3.7 ĐỊNH LÝ ĐIỀU CHẾ Định lý này kết hợp chặt chẻ với định lý về sự dời tần. Cho một hàm s(t) và biến đổi Fourier S(f) của nó. Biến đổi Fourier của dạng sóng s(t) cos2pfot cho bởi: 1 1 F [s(t) cos2pf0t ] = Sf( -f )+ Sf( +f ) 2 0 2 0 Kết quả của sự nhân một hàm theo t với một hàm sin thuần túy là làm dời biến đổi gốc, cả chiều lên và chiều xuống, bởi tần số của hàm sin. ( Và cắt biên độ còn phân nữa). Ta có thể chứng minh trực tiếp từ định lý dời tần. Phân cos2pf0t thành 2 thành phần expo và áp định lý dời tần cho ta thấy rằng biến đổi F của một hàm tuần hoàn theo t là một đoàn xung lực cách đều nhau. Mỗi xung lực có độ lớn (Strength) bằng với hệ số Cn tương ứng. 3.8 BIẾN ĐỔI CỦA HÀM TUẦN HOÀN Ví dụ : Tìm biến đổi Fourier của s(t) = cos2pf0t Giải: Dùng công thức Euler, để khai triển hàm cosin: 1 j2pfot 1 - j2pfot Cos2pf0t = e + e 2 2 Biến đổi Fourier của s(t) là tổng các biến đổi của 2 hàm expo. Từ (3.34) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 33 1 1 Cos2pf0t « d(f - f ) + d(f + f ) (3.43) 2 0 2 0 Hình 3.11 Biến đổi Fourier của cos2pf0t. Ví dụ trên cho thấy biến đổi F của 1 hàm cosin cho ta phổ vạch ở (f0) và tại trị âm của tần số này (-f0). Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng biến đổi F của một hàm bất kỳ là một hàm rời rạc của tần số. Nói cách khác với hàm tuần hoàn ta được một phổ rời rạc dọc theo trục f. Cách chứng minh dựa vào sự khai triển chuỗi F và sự tuyến tính của phép biến đổi F. Giả sử ta phải tìm biến đổi F của một hàm tuần hoàn s(t), với chu kỳ T. Ta có thể viết hàm s(t) theo cách biểu diễn chuỗi Fourier phức. ¥ 1 jn2pft0 s(t) = Ce ; Trong đó f0 = . å n T n=-¥ j2pfot Ta lập một cặp biến đổi: Ae « Ad (f - f0) Từ cặp này và tính tuyến tính của phép biến đổi F, ta có: ¥ jn2pfot F [s(t) ] = åCn F [e ] (3.44) n=-¥ Biến đổi này được vẽ như hình 3.12 dưới đây. Nhớ là Cn là số phức, vậy hình vẽ chỉ có chủ đích trình bày khái niệm. Nếu hàm s(t) thực và chẵn, Cn sẽ thực. s(f ) C-2 C0 C2 C4 f -f0 f0 2f0 4f0 Hình 3.12 Biến đổi Fourier của hàm tuần hoàn s(t). * Ta trở lại tính biến đổi của 1 hằng, s(t) = A. Ta dễ thấy là tích phân xác định không hội tụ. ¥ A « ò Ae-j2pft dt (2.32) -¥ Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 34 A Với f ¹ 0, tích phân này bị giới hạn bởi . pf Với f = 0 tích phân sẽ ? * Vì tích phân định nghĩa biến đổi Fourrier và tích phân để tính biến đổi ngược thì tương tự, nên ta có thể phỏng đoán rằng biến đổi của một hằng là 1 xung lực. Đó là vì, một xung lực biến đổi thành một hằng, vậy một hằng sẽ biến đổi thành một xung lực. Ta hãy tìm biến đổi ngược của một xung. ¥ d(f) « ò d()fej2pft df = 1 (2.33) -¥ Như vậy, điều phỏng đoán của ta là đúng! Biến đổi ngược của d(f) là một hằng, vậy ta có: A « Ad(f) (2.34) * Nếu ta biến đổi ngược 1 xung lực bị dời, ta khai triển cặp biến đổi sau: j2pfot Ae « Ad ( f - f0 ) (2.35) 3. Hàm nấc đơn vị ( Unit step function ). Một cặp biến đổi khác mà ta sẽ nói đến, là hàm nấc đơn vị. Ở đây, một lần nữa, ta lại gắn hàm vào định nghĩa của phép biến đổi, tích phân không hội tụ. Ta lại dùng đến kỷ thuật phỏng đoán. Và do sự không liên tục của hàm nấc, kỷ thuật này trở nên có nhiều hy vọng. Phép biến đổi thì tương đối dễ tính khi ta thực hiện như sau: 1+ Sgnt() u(t) = (2.37) 2 Trong đó, hàm Sgn được định nghĩa bởi: ì+1 , t >0 Sgn (t) í (2.38) î-1 , t<0 sign (t)/2 1/2 U(t)/2 1 1/2 1/2 t + t = t -1/2 Hình 2.9 Tín hiệu của hàm dốc. 1 1 Biến đổi của là d(t). 2 2 Biến đổi của hàm Sgn(t) có thể tính bằng cách xem nó như là một giới hạn của hàm expo. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 35 Sgn(t) = lim [ e-a½t½ Sgn(t) ] a®0 1 e-at t -eat -1 Hình 2.10 Hàm sgn(t). Ta có: F [ Sgn(t) ] = lim F [ e-a½t½ Sgn(t) ] (3.39) a®0 é 1 1 ù 1 = lim ê + ú = a®0 ëj2pf + a j2pf - aû jpf Biến đổi của hàm nấc đơn vị được cho bởi phương trình (2.40) 1 1 u(t) « + d()f j2fp 2 (2.40) Ví dụ 7: Tính phép chồng của r(t) với s(t). Trong đó, r(t) và s(t) là những xung vuông được vẽ như hình. s(t) r(t) 1 1 t t -1 1 -2 2 Hình 2.11 Dạng tín hiệu r(t) và s(t). Giải: Các hàm có thể viết dưới dạng: r(t) = u ( t + 1) - u ( t - 1) s(t) = u ( t + 2) - u ( t - 2) ì1 , t >0 Trong đó, u(t) là hàm nấc định nghĩa bởi: u(t) = í î0 , t <0 ¥ Phép chồng: r(t) * s(t) ò r(t)st()-tdt -¥ Ta thấy rằng: r(t) = u (t + 1) - u (t - 1) và: Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 3 : Biến đổi Fourier - Phổ tần liên tục - 36 s( t - t ) = u ( t - t + 2 ) - u ( t - t - 2 ) r(t) s(t-t) = u (t+1)u(t-t+2) - u(t+1)u(t-t-2) - u(t-1)u(t-t+2) + u(t-1)u(t-t-2) Như vậy, tích phân được tính thành từng phần: ¥ ¥ r(t) * s(t) = ò u(t+1)(ut-t+2)dt- ò u(t+1)(ut-t-2)dt -¥ -¥ ¥ ¥ - ò u(t-1)(ut-t+2)dt+ ò u(t-1)(ut t 2)dt -¥ -¥ Bây giờ, ta nhớ rằng u ( t + 1 ) thì bằng zero với t < -1 và u ( t - 1 ) thì bằng zero với t < 1. Như vậy, những giới hạn của tích phân được thu lại: Ví dụ 6: Tìm biến đổi Fourrier của s(t) = cos2pf0t Giải: Dùng công thức Euler, để khai triển hàm cosin: 1 j2pfot 1 - j2pfot Cos2pf0t = e + e 2 2 Biến đổi Fourrier của s(t) là tổng các biến đổi của 2 hàm expo. Từ (2.34) 1 1 Cos2pf t « d(f - f)+ d(f + f) 0 2 0 2 0 (2.36) Biến đổi này được vẽ: s(f ) 1/2 1/2 f -f0 f0 Hình 2.8 Biến đổi Fourier của cos2pf0t. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 37 CHƯƠNG 4 ĐIỀU CHẾ BIÊN ĐỘ ® Dẫn nhập ® Điều chế ® Điều chế biên độ (AM) ® Điều chế 2 băng cạnh triệt sm (DSBSCAM) ® Điều chế 1 băng cạnh SSBSCAM ® Giải điều chế sóng AM ® Giải điều chế sóng dsbscam và SSBSCAM ® AM stereo 4.1 DẪN NHẬP Vấn đề được đặt ra là làm sao để truyền tiếng nói đến một khoảng cách xa nhờ sóng điện từ. Hình 4.1 trình bày một mẫu dạng sóng của tiếng nói mà ta muốn truyền đi. Thoạt nhìn, nó có vẻ như không có một đặc trưng riêng biệt nào. Tuy nhiên, kết quả nghiên cứu cho thấy tai người ta chỉ có thể đáp ứng với những tín hiệu có tần số khoảng dưới 15kHz (số này giảm theo tuổi tác). Và như vậy, tiếng nói , sau khi được chuyển đổi thành tín hiệu điện cũng phải bao gồm những tín hiệu xấp xĩ khoảng tần số này kết hợp lại với nhau. Vậy nếu mục đích cuối cùng của chúng ta là phát và thu những tín hiệu âm thanh (còn gọi là tín hiệu hạ tần), phải giả sử rằng ảnh F của tín hiệu = 0 khi ½f½>15 kHz. S(f) = 0 , ½f½ > fm ; Với fm = 15 kHz . Hình 4.1: Dạng sóng của tiếng nói Những dụng cụ phát âm khác, có thể tạo ra những thành phần tần số cao hơn 15kHz, dù tai người không thể nghe được. Tuy nhiên, nếu một trong những tín hiệu nay đi qua một lọc hạ thông có tần số cắt 15kHz, thì ngõ ra của lọc (nếu đưa đến loa) sẽ cho lại tín hiệu giống như tín hiệu vào. Như vậy, ta đã giả sử rằng tín hiệu âm thanh truyền đi đã bị giới hạn bởi một tần số trên (upper frequency) vào khoảng 15kHz. Bây giờ ta giả sử lấy một tín hiệu âm thanh khoảng 3kHz và cố truyền qua không khí, sau khi bức xạ thành sóng điện từ - Bước sóng của tín hiệu 3kHz khoảng 100km. Một anten 1/4 sóng sẽ dài 25km! Điều ấy không thể thực hiện. Nhưng nếu giả sử ta có thể dựng được anten thì ta vẫn còn gặp phải 2 vấn đề. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 38 - Thứ nhất, liên quan đến những tính chất của không khí và tần số âm thanh. Những tần số này truyền không hiệu quả trong không khí. - Thứ hai, các đài phát khác nhau cùng phát một dải tần nên chúng sẽ phủ lên nhau. Vì những lý do đó, ta phải cải biến tín hiệu tần số thấp trước khi gửi nó đi từ nơi này đến nơi khác. Tín hiệu đã cải biến ít nhạy cảm với nhiễu so với tín hiệu gốc. Phương pháp chung nhất để thực hiện sự cải biến là dùng tín hiệu tần số thấp để biến điệu (hay điều chế) một tín hiệu tần số cao hơn. 4.2 ĐIỀU CHẾ Biến điệu hay điều chế là quá trình chuyển đổi phổ tần của tín hiệu cần truyền đến một vùng phổ tần khác bằng cách dùng một sóng mang để chuyên chở tín hiệu cần truyền đi; mục đích của việc làm này là chọn một phổ tần thích hợp cho việc truyền thông tin, với các tần số sóng mang khác nhau người ta có thể truyền nhiều tín hiệu có cùng phổ tần trên các kênh truyền khác nhau của cùng một đường truyền. Một cách tổng quát, phương pháp điều chế là dùng tín hiệu cần truyền làm thay đổi một thông số nào đó của sóng mang (biên độ, tần số, pha ). Tùy theo thông số được lựa chọn mà ta có các phương pháp điều chế khác nhau: điều chế biên độ (AM), điều chế tần số (FM), điều chế pha FM, điều chế xung PM . . . 4.3 ĐIỀU CHẾ BIÊN ĐỘ ( Amplitude Modulation, AM ) 4.3.1 Cơ sở toán học Xét tín hiệu cao tần ec(t) = Ec cos(wct + q) (4.1) Tín hiệu AM có được bằng cách dùng tín hiệu g(t) làm biến đổi biên độ của ec(t). Biểu thức của tín hiệu AM là: eAM(t) = [(Ec +g(t)]coswct (4.2) Để đơn giản, ta bỏ qua q là lượng không đổi trong AM. Những tính chất cơ bản của AM dễ dàng được xác định nếu ta biết tín hiệu g(t). Nếu g(t) là tín hiệu hạ tần: g(t) =em(t)= Em coswmt (4.3) Như vậy: eAM(t) = (Ec +Em coswmt)coswct = Ec[ 1 + (Em/Ec) coswmt]coswct = Ec[ 1 + ma coswmt] coswct (4.4) Trong đó ma = Em/Ec gọi là chỉ số biến điệu. Chỉ số biến điệu ma có thể tính được từ biên độ của sóng biến điệu: Goi Emin là biên độ đỉnh cực tiểu và Emax là biên độ đỉnh cực đại, ta có: Emin= 2Ec[ 1 - ma ] (coswmt=-1) Emax =2Ec[ 1 + ma ] (coswmt=+1) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 39 E max - E min Suy ra: m a = (4.5) E max + E min Để thấy được phổ tần ta triển khai hệ thức (4.4) eAM(t) = Ec coswct + (maEc/2)cos(wc + wm)t + (maEc/2)cos(wc - wm)t (4.6) (H 4.2) vẽ dạng sóng các thành phần tạo ra sóng AM. (a) (H 4.2) (b) (H 4.3) vẽ phổ tần của tín hiệu biến điệu trong trường hạ tần gồm một tần số duy nhất (H 4.3a) và hạ tần gồm nhiều tần số khác nhau (H 4.3b) Từ (H 4.3) ta thấy băng thông của tín hiệu đã điều chế bằng hai lần tần số của tín hiệu hạ tần và được chia ra làm hai băng cạnh: băng cạnh trên (USB) từ fc đến fc+fm và băng cạnh dưới (LSB) từ fc đến fc-fm. Điều chế biên độ là một quá trình tuyến tính nên mỗi tần số của tín hiệu hạ tần tạo ra một băng thông và trong trường hợp tín hiệu hạ tần gồm nhiều tần số khác nhau thì băng thông của tín hiệu biến điệu là: BW = 2fm(max) fm (max) là tần số hạ tần cao nhất. (a) (b) (H 4.3) Điều kiện về mối quan hệ giữa sóng mang và tín hiệu hạ tần để có thể hoàn điệu là: - Tần số sóng mang (fc) nhỏ nhất phải bằng 2 lần tần số tín hiệu hạ tần (fm) có như thế các đỉnh cúa sóng mang mới tiếp xúc với các đỉnh của tín hiệu hạ tần và khi hoàn điệu thì bao hình của sóng mang biến điệu mới được phục hồi ở máy thu. Điều kiện này xuất phát từ định lý lấy mẫu của Nyquyst. - Biên độ của hạ tần phải không quá lớn so với biên độ của sóng mang . Nếu không sẽ xảy ra biến dạng quá biến điệu (over modulate). Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 40 (a) fc=2fm (b) biến dạng do quá biến điệu (H 4.4) 4.3.2 Hiệu suất truyền của sóng AM: Sóng AM trên đường truyền gồm 2 băng cạnh với biên độ maEc/2 và sóng cao tần biên độ Ec/2. Trong đó tín hiệu hạ tần chỉ chứa trong 2 băng cạnh nên hiệu suất truyền của hệ thống AM là: 2P h = sb (4.7) Pc + 2Psb Với Pc là công suất của sóng mang Psb là công suất của một băng cạnh m 2 P = a P (4.8) sb 4 c m 2 a P 2P c h = sb = 2 (4.9) P + 2P m 2 c sb P + a P c 2 c Với ma = 1ta có h = 33% . Đây là trị cực đại của hiệu suất. Có thể nói hiệu suất thấp là một nhược điểm của hệ thống biến điệu AM. 4.3.3 Mạch điều chế AM 4.3.3.1 Sơ đồ khối (H 4.5) là sơ đồ khối mạch điều chế AM (H 4.5) Tín hiệu em và ec sau khi qua mạch cộng được đưa vào mạch bình phương, ở ngã ra mạch này gồm tín hiệu tần số fc, fm, fc+fm và fc - fm và các hoạ tần bâc cao. Các hoạ tần này bị lọc bỏ sau khi qua mạch lọc dải thông. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 41 Để thấy vận hành của mạch bình phương, giả sử một mạch khuếch đại có quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu như sau: 2 er = k1ev+k2(ev) với ev = ec(t)+em(t) = Ec coswct + Em coswmt Ta được: 2 er = k1[Ec coswct + Em coswmt]+k2(Ec coswct + Em coswmt) 2 2 2 2 = k1Ec coswct + k1Em coswmt + k2[Ec cos wct + Em cos wmt+2EcEmcoswct coswmt] Dùng công thức lượng giác: 1 cos2 x = (1+ cos2x) 2 2cosx cos y = cos(x + y) + cos(x - y) 2 1+ 2coswc t 2 1+ 2coswm t er=k1[Eccoswct+Emcoswmt+k2[Ec +Em +EmEccos(wc+wm)t 2 2 +cos(wc - wm)t Kết quả phân tích toán học cho thấy tín hiệu ra chứa các thành phần như nói trên và mạch lọc dải thông sẽ giữ lại những gì cần thiết. 4.3.3.2 Mạch điều chế AM a. Mạch dùng diode :(H 4.6) Trên đặc tuyến của diode có một đoạn cong, nếu ta chọn điểm điều hành của diode ngay trên đoạn cong đó diode sẽ hoạt động như một mạch khuếch đại không tuyến tính. (H 4.6) (H 4.7) (H 4.7) cho các dạng sóng ở những điểm khác nhau trong mạch: (a) tín hiệu hạ tần, (b) tín hiệu cao tần, (c) tín hiệu trước khi qua diode, (d) tín hiệu sau diode và (e) tín hiệu ở ngã ra. b. Mạch dùng transistor khuếch đại hạng C: (H 4.8) Mạch nhận vào 2 tín hiệu sóng mang ec và hạ tần em. LC là mạch cộng hưởng ở tần số sóng mang và có băng thông đủ rộng để cho qua 2 băng cạnh. Dạng sóng ở cực Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 42 C của transistor giống (H 4.7d) do transistor chỉ khuếch đại một bán kỳ của tín hiệu. Sau khi qua tụ C2 ta được ở ngã ra là tín hiệu AM (H 4.7e). (H 4.8) 4.4 MẠCH BIẾN ĐIỆU 2 BĂNG CẠNH TRIỆT SÓNG MANG (Double sideband suppressed carrier amplitude modulation, DSBSCAM) Sự có mặt của sóng mang trong tín hiệu truyền làm hiệu suất của hệ thống suy giảm rất nhiều do bản thân sóng mang không mang tin tức của tín hiệu. Vây để nâng cao hiệu suất người ta có thể sử dụng phương pháp điều chế 2 băng cạnh triệt sóng mang. 4.4.1 Cơ sở toán học của DSBSCAM (viết tắt SCAM) eSCAM(t) = Em coswmtEccoswct = Em.Ec coswmtcoswct (4.10) Để thấy được phổ tần ta triển khai hệ thức (4.10) eSCAM(t) = (Em.Ec/2)cos(wc + wm)t + (Em.Ec/2)cos(wc - wm)t (4.11) (H 4.9) cho thấy dạng sóng và phổ tần của tín hiệu DSBSCAM (H 4.9) Để thực hiện việc loại bỏ sóng mang trong tín hiệu AM không thể dơn giản dùng một mạch lọc vì băng thông của tín hiệu điều chế rất hẹp so với tần số rất cao của sóng mang nghĩa là ta phải dùng một mạch lọc dải thông có hệ số phẩm rất lớn mới có thể lọc bỏ sóng mang mà không ảnh hưởng đến 2 băng cạnh. Dựa trên cơ sở toán học ta thấy mạch điều chế DSBSCAM là một mạch nhân Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 43 4.4.2 Mạch điều chế cân bằng (còn gọi là mạch nhân) a. Mạch điều chế cân bằng dùng diode như một khóa Mạch điều chế vòng (ring modulator) là một kiểu mẫu của mạch nhân được mô tả ở (H 4.10). Mạch này sử dụng các diode như các khoá đóng mở chứ không như diode chỉnh lưu. (H 4.10) Các diod A, B, C, D dẫn hay ngưng (giống như một khoá) tùy thuộc hiệu thế đặt vào ngã X,Y trong lúc tín hiệu vào ngã RS chỉ khiến các diod dẫn mạnh hay yếu mà thôi. Sóng mang được đưa vào ngã XY, tín hiệu hạ tần được đưa vào ngã RS. - Bán kỳ (+) của sóng mang (X dương so với Y) diode A và D dẫn điện, ứng với bán kỳ dương của hạ tần diode A dẫn mạnh hơn diod D, dòng điện chạy trong nửa trên của biến thế ra lớn hơn, ta được tín hiệu ra cùng pha sóng mang vào. - Bán kỳ (-) của sóng mang Y dương so với X diode B và C dẫn điện, ứng với bán kỳ dương của hạ tần diode B dẫn mạnh hơn diod C, dòng điện chạy trong nửa trên của biến thế ra lớn hơn nhưng có chiều ngược lại (từ dưới lên), ta được tín hiệu ra ngược pha tín hiệu hạ tần vào. Do fc>>fm nên trong một chu kỳ của sóng mang, tín hiệu ra chính là tín hiệu hạ tần nhưng lần lượt có các giá trị đổi chiều kết quả là ứng với một bán kỳ của tín hiệu hạ tần, ta được ở ngã ra là tín hiệu cao tần có hai biên độ ngược chiều nhau. Đó chính là sóng mang eDSBSCAM (H 4.11) (H 4.11) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 44 a. Mạch điều chế cân bằng dùng khóa transistor (H 4.12) Mạch gồm 2 mạch khuếch đại vi sai vận hành theo chế độ ngược pha với nhau nghĩa là khi cặp này dẫn thì cặp kia ngưng và ngược lại. Các ngã vào của 2 mạch vi sai nối chung và là nơi nhận tín hiệu hạ tần. Sự dẫn và ngưng của 2 cặp vi sai lại được điều khiển bởi cặp transistor Q5 và Q6, hai cực B của 2 transistor này là ngã vào của sóng mang. Vận hành của mạch hoàn toàn giống như mạch dùng diode. Điểm cải tiến của mạch này là không dùng biến thế và rất dễ chế tạo thành IC. (H 4.12) 4.4 MẠCH BIẾN ĐIỆU 1 BĂNG CẠNH (Single sideband suppressed carrier amplitude modulation, SSBSCAM) Mặc dù phương pháp điều chế 2 băng cạnh triệt sóng mang đã nâng hiệu suất truyền lên, tuy nhiên do thông tin chứa trong 2 băng cạnh là như nhau nên để đạt được hiệu suất tối đa người ta chỉ cần truyền một băng cạnh là đủ. Có thể nói thêm, sở dĩ trền 2 băng cạnh vẫn được chuộng vì kết quả nhận được sẽ trung thực hơn, hệ thống ít bị nhiễu hơn. Do đó, phương pháp truyền 2 băng cạnh thích hợp hơn cho việc truyền âm thanh chất lượng cao như tiếng nhạc, trong lúc đó truyền 1 băng cạnh chỉ dùng trong các hệ thống thông tin dùng tiếng nói là chủ yếu, và thêm một tính chất quan trọng là trên một đường truyền hệ thống SSBSCAM có thể truyền được nhiều kênh hơn so với hệ thống DSBSCAM vì băng thông của hệ thông nhỏ hơn, chỉ bằng 1/2 băng thông của các cách điều chế AM khác. Một phương pháp đơn giản để truyền 1 băng cạnh là dùng một mạch lọc dải thông sau mạch điều chế cân bằng để loại bỏ một băng cạnh, (H 4.13) là sơ đồ khối một mạch điều chế SếCAM và phổ tần với đáp tuyến của mạch lọc dải thông (H 4.13) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 45 Một phương pháp khác để loại một băng cạnh là dùng mạch điều chế như (H 4.14) dưới đây: (H 4.14) Tín hiệu hạ tần và sóng mang sau khi làm lệch 90o được đưa vào mạch điều chế cân bằng kết hợp với tín hiệu điều chế không bị làm lệch pha sẽ loại bỏ một băng cạnh dễ dàng mà không cần qua mạch lọc. Điều này được chứng minh nhờ biến đổi lượng giác. 4.5 HOÀN ĐIỆU SÓNG AM Việc phục hồi tín hiệu hạ tần ở máy thu được gọi là hoàn điệu. Chúng ta sẽ bắt đầu với loại biến điệu AM thông thường (2 băng cạnh & sóng mang) Do bao hình dương và âm của tín hiệu điều chế có cùng dạng nên việc hoàn điệu sóng AM này tương đối đơn giản. Chỉ cần một diode làm chức năng chỉnh lưu và một mạch lọc hạ thông là có thể phục hồi được tín hiệu hạ tần (H 4.15). (H 4.15) (H 4.16) (H 4.16a) là tín hiệu sau diode chỉnh lưu và (H 4.16b) là tín hiệu ra sau khi qua mạch lọc hạ thông. Những đường răng cưa của tín hiệu ra là do tụ nạp và phóng điện qua điện trở Mặc dù mạch đơn giản nhưng chất lượng không cao, mạch chỉ hoạt động tốt trong điều kiện tín hiệu không bị nhiễu. Có 2 lý do: - Thứ nhất diode là linh kiện không tuyến tính nên trong quá trình chỉnh lưu sự giao thoa giữa tín hiệu và nhiễu làm phát sinh nhiễu mới, kết quả là tỉ số tín hiệu nhiễu bị giảm - Thứ hai dùng một diode cho mạch chỉnh lưu một bán kỳ ta đã bỏ mất một bán kỳ của tín hiệu nên không lợi dụng được sự kết hợp của 2 băng cạnh sẽ nâng biên độ của tín hiệu lên, tức cải thiện được tỉ số tín hiệu nhiễu. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 46 Ta có thể cải tiến bằng cách dùng mạch (H 4.17) sau đây: (H 4.17) (H 4.17) có thể xem là một phiên bản đơn giản của mạch điều chế cân bằng trước đây, nó còn có tên là mạch trộn cân bằng (balanced mixer). Mạch có 2 ngã vào, một cho tín hiệu AM và một cho tín hiệu có cùng tần số và pha của sóng mang với biên độ rất lớn so với tín hiệu AM. Ở mạch này các diode cũng hoạt động như là các khóa đóng mở điều khiển bởi sóng mang (ec) . Bán kỳ dương của ec D1 dẫn tín hiệu AM qua D1 nạp vào tụ C, Bán kỳ âm của ec D2 dẫn tín hiệu AM qua D2 nạp vào tụ C, do D2 nối với đầu kia của cuộn thứ cấp máy biến thế nên tín hiệu qua D2 bị đảo pha tức nạp vào C theo chiều như trước đây. Tóm lại ta thấy mạch hoạt động như một chỉnh lưu 2 bán kỳ và kết quả ở ngã ra ta được tín hiệu hạ tần với phần răng cưa có biên độ nhỏ hơn trường hợp trên. Mạch này còn một khả năng quan trọng là làm tăng đôi tỉ số tín hiệu nhiễu. Điều này được giải thích bằng cách xem đây là mạch trộn: ta biết khi có 2 tín hiệu qua một mạch trộn thì ngã ra ta được các tín hiệu có tần số là tổng và hiệu của các tần số này. Do tín hiệu vào có 2 băng cạnh nên tín hiệu ra chính là 2 băng cạnh chồng lên nhau, biên độ của chúng tăng gấp đôi trong khi nhiễu nếu có chỉ xuất hiện ở một băng cạnh nên chỉ xuất hiện ở ngã ra với biên độ không được tăng cường. (H 4.18) giải thích điều này. (a) Phổ tần trước hoàn điệu (b) Phổ tần sau hoàn điệu (H 4.18) 4.6 HOÀN ĐIỆU SÓNG DSBSCAM VÀ SSBSCAM Mạch (H 4.17) có thể dùng để hoàn điệu tất cả các loại sóng mang AM. Cái chúng ta cần là một tín hiệu có cùng tần số và pha của sóng mang. Điều này thật dễ dàng với tín hiệu AM thông thường vì sóng mang đã được truyền cùng 2 băng cạnh nên coi như đã có sẵn. Vậy với các sóng còn lại một bài toán được đặt ra là phải phục hồi sóng mang phục vụ cho việc hoàn điệu. Với DSB mặc dù không có sóng mang truyền kèm theo nhưng do có 2 băng cạnh đối xứng với nhau qua sóng mang nên có thể dùng nó để điều chỉnh tần số và pha của sóng mang tạo ra từ một mạch dao động nội một cách dễ dàng. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 47 Với SSB thông tin về sóng mang hoàn toàn không có trong tín hiệu truyền nên việc tạo ra tín hiệu có cùng tần số và pha của sóng mang trở nên khó khăn và đôi khi buộc người sử dụng hệ thống (ở máy thu) phải điều chỉnh bằng tay để có được tín hiệu này. 4.7 AM STEREO Để cải thiện âm thanh trong các hệ thống phát thanh AM, người ta có thể tạo âm thanh nổi bằng hệ thống AM stereo Hệ thống này dựa trên cơ sở của sự biến điệu trực pha: 2 tín hiệu âm thanh sẽ điều chế 2 sóng mang có cùng tần số nhưng lệch pha 90o theo cách điều chế DSBSCAM Giả sử, có 2 tín hiệu âm thanh của 2 kênh sL(t) và sR(t) có tần số giới hạn nhỏ hơn o fm. Hai tín hiệu nầy biến điệu 2 sóng mang có tần số bằng nhau nhưng lệch pha 90 . eLm(t) = sL(t).cos2pfCt eRm(t) = sR(t).sin2pfCt Tổng của 2 sóng: eQAM = em1(t) + em2(t) = eL(t). cos2pfCt + eR(t).sin2pfCt (H 4.19) Mặc dù 2 tín hiệu này có tần số phủ lên nhau nhưng vẫn có thể hoàn điệu được nhờ mạch có dạng sau: (H 4.20) Nếu cả 2 tín hiệu eL(t) và eR(t) là tín hiệu audio với tần số tối đa là 5kHz, eQAM(t) chiếm dải tần giữa fC - 5kHz đến fC+5KHz. (băng thông tổng cộng là 10kHz). Tín hiệu tổng hợp có thể viết lại như là một tín hiệu sin duy nhất: eQAM(t) = A(t) cos[2pfCt+q(t)] 2 2 Trong đó: A(t) = sL (t) + sR (t) ésR (t)ù q(t) = -tan-1 ê ú ësL (t)û (H 4.20) là sơ đồ của khối hoàn điệu. Khối vẽ chấm chấm là một vòng khóa pha (phase lock loop, PLL), được dùng để phục hồi sóng mang. Vận hành của một PLL sẽ được trình bày trong chương sau, hiện giờ ta chấp nhận một kết quả là ngã ra của vòng khóa pha là tín hiệu có cùng tần số và pha của sóng mang eC= cos2pfCt Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 48 (H 4.20) Các hàm thời gian khác được ghi trong hình là: e1(t) = cos(2pfCt) 2 e2(t) = eL(t) cos 2pfCt + eR(t) sin2pfCt cos2pfCt 2 e3(t)= eL(t) sin2pfCt cos2pfCt + eR(t) sin 2pfCt eL (t) e4(t)= 2 eR (t) e5(t)= 2 Vận hành của mạch khá đơn giản, SV có thể tự tìm hiểu. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 4 : Điều chế biên độ - 49 BÀI TẬP Một sóng mang hình sin tần số 2,5 MHz được biến điệu AM bởi một tín hiệu hình sin tần số 5 kHz a. Tìm băng thông và dải tần của tín hiệu điều chế. b. Nếu sóng mang có biên độ là 10 Vrms và chỉ số biến điệu là 50%, biên độ của mỗi băng cạnh? c. Nếu công suất của sóng mang là 2W (10V trên điện trở 50W). Công suất của mỗi băng cạnh là bao nhiêu? d. Xác định Emax và Emin của dạng sóng của tín hiệu điều chế. Giải a. Băng thông của tín hiệu điều chế: BW = 2,500MHz ± 5,0 kHz = 2,495 - 2,505 MHz b. Biên độ của mỗi băng cạnh là: m 0,5 E = a E = 10 = 2,5Vrms SB 2 c 2 c. Công suất của mỗi băng cạnh là: m 2 (0,5) 2 P = a P = 2 = 0,125W SB 4 c 4 d. Ta có: Emin= 2Ec[ 1 - ma ] =2.10[1-0,5] = 10 Vrms Emax =2Ec[ 1 + ma ]=2.10[1+0,5] = 30 Vrms Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 50 Chương 5 BIẾN ĐIỆU GÓC Ë Tần số tức thời Ë Biến điệu tần số (frequency modulation) Ë Biến điệu pha Ë FM băng hẹp (narrow band FM) Ë PM băng hẹp Ë FM băng rộng (wide-band FM) Ë Hàm Bessel Ë Khối biến điệu Ë Khối hoàn điệu Ë FM stereo Ë so sánh các hệ 5.1. TẦN SỐ TỨC THỜI. Xét một sóng mang chưa bị biến điệu: sC(t) = A cos(2πfCt + θ) (5.1) Nếu fC bị thay đổi tùy theo thông tin mà ta muốn truyền, ta nói sóng mang được biến điệu tần số. Còn nếu q thay đổi, sóng mang được biến điệu pha. Nhưng nếu khi fC hay q bị thay đổi theo thời gian, thì sC(t) không còn là một hàm sin nữa. Vậy định nghĩa về tần số mà ta dùng trước đây cần được phải được hiểu theo một nghĩa rộng hơn. Thí dụ: Xét 3 hàm thời gian: s1(t) = A cos 6pt (5.2a) s2(t) = A cos (6pt +5) (5.2b) -t s3(t) = A cos (2pt e ) (5.2c) - Tần số của s1(t) và s2(t) rõ ràng là 3Hz. - Tần số của s3(t) hiện tại chưa xác định vì nó còn phụ thuộc vào thời gian. - Định nghĩa truyền thống của ta về tần số không áp dụng được cho loại sóng này. Vậy cần mở rộng khái niệm về tần số để áp dụng cho những trường hợp mà ở đó tần số không là hằng. Tần số tức thời được định nghĩa theo cách có thể áp dụng được cho các dạng sóng tổng quát: là nhịp thay đổi của pha. dθ dθ s()t = Acosθ (t) Þ ωi ()t = = 2πfi ()t = dt dt (5.3) 1 dθ Þ f ()t = i 2π dt fi : tần số tức thời (Hz). Cả 2 vế của phương trình (5.3) có đơn vị là rad/sec. Trở lại thí dụ trên, tần số tức thời của các tín hiệu đã cho lần lượt là 3Hz; 3Hz và e-t (1 - t) Hz. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 51 Thí dụ 1: Tìm tần số tức thời của các sóng sau: ìcos2pt,t <1 ï s(t) = ícos 4pt,1< t < 2 ï îcos 6pt , 2 < t Giải: Sóng có dạng: s(t) = cos[2pt g(t)] (5.4) Trong đó g(t) được biểu thị như hình 5.1. Hình 5.1 d dg Tần số tức thời cho bởi: f (t) = [t.g(t)] = g(t) + t i dt dt fi (t) được vẽ ở hình 5.2. Hình 5.2 Thí dụ 2. Tìm tần số tức thời của hàm sau đây: s(t) = 10 cos2p[1000t + sin 10pt ] Giải: 1 dq Áp dụng định nghĩa để tìm: f (t) = = 1000 +10pcos10pt i 2p dt fi được vẽ ở hình 5.3. Hình 5.3 Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 52 5.2. BIẾN ĐIỆU TẦN SỐ (Frequency Modulation – FM) Biến điệu FM được phát minh bởi Edwin Armstrong năm 1933 - là người phát minh máy thu kiểu đổi tần (superheterodyne - siêu phách). Trong biến điệu FM, ta biến điệu tần số tức thời fi(t) bởi tín hiệu s(t). Và cũng vì để có thể tách biệt các đài phát với nhau, ta phải dời tần s(t) lên đến tần số sóng mang fC. Ta định nghĩa biến điệu FM như là một sóng với tần số tức thời như sau: fi (t) = fC + Kf s(t) (5.5) Trong đó: fC là tần số sóng mang (hằng số) và Kf là hằng số tỷ lệ, thay đổi theo biên độ của s(t). Nếu s(t) tính bằng volt, Kf có đơn vị là Hz/v hoặc 1/v.sec . Vì tần số là đạo hàm của pha, nên: t t q(t) = 2p fi (t)dt = 2p [fCt + Kf s(t)dt] (5.6) òo òo t é t ù θt=2π fτdτ=2πft+K fτdτ () òi() êC fòi() ú 0 ë 0 û Giả sử điều kiện đầu bằng zero, sóng biến điệu có dạng: lfm(t) = A cos q(t). é t ù l (t) = Acos2p f t + K s(t)dt (5.7) fm ê c f ò ú ë 0 û Nếu đặt s(t) = 0, phương trình (5.7) sẽ thành một sóng mang thuần túy. Thí dụ . Vẽ sóng AMSC và FM cho các tín hiệu thông tin s1(t) và s2(t) ở hình 5.4. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 53 λm1(t ) Hình 5.4a Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 54 Hình 5.4b Tần số của lfm(t) thay đổi từ fC + Kf[min . s(t)] đến fC + Kf[max . s(t)]. Rõ ràng là băng thông của tín hiệu điều chế phụ thuộc vào Kf vì vậy để có một băng thông nhỏ ta phải chọn Kf nhỏ. Nhớ là sự biến điệu thì không tuyến tính cho s(t). Nếu thay s(t) trong phương trình (5.7) bằng một tổng gồm nhiều tín hiệu thì sóng FM kết quả không là tổng của các sóng FM thành phần. Điều đó đúng, vì: Cos (A + B) ¹ cosA + cosB. Tùy thuộc vào cở của Kf mà biến điệu FM có thể được chia thành 2 nhóm: - Với Kf rất nhỏ ta có FM băng hẹp - Với Kf lớn ta có FM băng rộng. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 55 5.3. BIẾN ĐIỆU PHA (PHASE MODULATION - PM) Không có sự khác biệt cơ bản giữa biến điệu pha và biến điệu tần số. “Pha” hay “Tần số” thường được dùng thay đổi cho nhau. Biến điệu pha một tín hiệu cao tần bằng một sóng hạ tần thì cũng như biến điệu tần số tín hiệu cao tần đó bằng đạo hàm của cùng tín hiệu hạ tần. Sóng biến điệu pha cũng có dạng: λp (t) = A cos θ(t). m Trong đó θ(t) được biến điệu bởi s(t). Vậy: θ(t) =2π [f t + Kp s(t)] (5.8) C -1 Hằng số tỷ lệ Kp có đơn vị V . Sóng PM có dạng: λp (t) = A cos 2π [f t + Kp s(t)] (5.9) m C Khi s(t) = 0, sóng PM trở thành sóng mang thuần túy. Ta có thể liên hệ PM với FM bằng cách dùng định nghĩa của tần số tức thời: ds f ()t = f + K (5.10) i C P dt Trông rất giống với (5.5), trường hợp của FM. Thực vậy, không có sự khác biệt giữa việc biến điệu tần số một sóng mang bằng s(t) và việc biến điệu pha của cùng sóng mang đó bằng tích phân của s(t). Ngược lại không có gì khác nhau giữa việc biến điệu pha của một sóng mang bằng s(t) và biến điệu tần số cùng sóng mang ấy bằng đạo hàm của s(t). Vì vậy, tất cả các kết quả sau đây thì chuyển dễ dàng giữa 2 loại biến điệu. 5.4. FM BĂNG HẸP (NARROW BAND FM) Nếu Kf rất bé, ta có thể dùng phép tính xấp xỉ để đơn giản phương trình sóng FM. t l (t) = Acos2péf t + K s(t)dtù (5.11) fm ëê c f ò0 ûú Để tránh việc lặp lại nhiều lần, ta đặt g(t) là tích phân của tín hiệu chứa tin. t g(t) = ò s(t)dt (5.12) 0 Phương trình (5.11) trở nên: lfm(t) = A cos 2p[fct + Kf g(t)] (5.13) Dùng lượng giác, khai triển hàm cosine: lfm(t) = Acos2pfCt . cos2pKf g(t) - A sin2pfCt . sin2pKf g(t) (5.14) Cosine của một góc bé » 1. Trong khi sin của nó gần bằng chính nó. Vậy, nếu Kf đủ nhỏ sao cho 2pKf g(t) biểu diễn cho một góc rất nhỏ, ta có thể tính xấp xỉ phương trình (5.14): lfm(t) » Acos2pfCt - 2pA g(t) Kf sin2pfCt (5.15) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 56 Phép tính này tuyến tính với g(t) và như vậy tuyến tính với s(t). Ta có thể tính biến đổi F của nó (với một ít khó khăn) như sau: Biến đổi F của g(t) liên hệ với s(t) bởi: S(f) G(f) = j2fπ Lấy biến đổi F của (5.15): A AK f é S (f - fc ) S (f + fc )ù lfm (f) = [d(f - fc )+ d(f + fc )]+ ê - ú (5.16) 2 2 ë f - fc f + fc û Hình 5.5: Biến đổi F của sóng FM. FM băng hẹp có 3 vấn đề: o Tần số có thể tăng cao đến mức cần thiết để truyền đi có hiệu quả, bằng cách điều chỉnh fC đến trị mong muốn. o Nếu tần số sóng mang của nguồn tin lân cận cách nó ít nhất 2fm, thì các tín hiệu chứa những nguồn tin khác nhau có thể truyền cùng lúc trên cùng một kênh. o s(t) có thể được phục hồi từ sóng biến điệu. Và phần sau ta sẽ thấy, cùng một khối hoàn điệu có thể tách sóng cho FM trong cả 2 trường hợp Kf nhỏ và Kf lớn. Băng thông của sóng FM trong trường hợp này là 2fm, đúng như trường hợp AM hai băng cạnh. Thí dụ dùng tiếng huýt sáo (tối đa 5000Hz) để biến điệu một sóng mang. Giả sử sự dời tần tối đa là 1Hz. Như vậy, tần số tức thời thay đổi từ (fC-1)Hz đến (fC+1)Hz. Biến đổi F của sóng FM chiếm một băng thông giữa (fC-5000)Hz và (fC+5000)Hz. Rõ ràng, cả 2, tần số tức thời và cách thức mà nó thay đổi đã ảnh hưởng đến băng thông của tín hiệu điều chế FM. Gọi là “Băng hẹp” khi Kf nhỏ, là vì khi Kf tăng, băng thông sẽ tăng từ trị tối thiểu 2fm. 5.5. PM BĂNG HẸP Biến điệu pha bằng s(t) thì giống như biến điệu tần số bằng đạo hàm của s(t). Vì đạo hàm của s(t) chứa cùng khoảng tần số như s(t), nên khổ băng của PM băng hẹp cũng chiếm vùng tần số từ giữa fC - fm và fC + fm. Tức là khổ băng rộng 2fm. Với FM băng hẹp, trị max của 2pkf g(t) là một góc rất nhỏ (Trong đó g(t) là tích phân của s(t)). Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 57 Với PM băng hẹp, 2pKp s(t) phải là một góc rất nhỏ. Điều này cho phép tính xấp xỉ cosine và sine (số hạng thứ nhất trong chuổi khai triển). 5.6 FM BĂNG RỘNG (WIDE BAND FM). Nếu Kf nhỏ không đủ để cho phép tính xấp xỉ như ở phần trên, ta có FM băng rộng. Tín hiệu được truyền lfm(t) = A cos 2p[fct + Kf g(t)] (5.17) Trong đó g(t) là tích phân của tín hiệu chứa tin s(t). Nếu g(t) là một hàm đã biết, biến đổi F của sóng FM sẽ tính được. Nhưng trong những trường hợp tổng quát, không thể tìm biến đổi F cho sóng FM, vì sự liên hệ phi tuyến giữa s(t) và sóng biến điệu. Những phân giải thực hiện trong phạm vi thời gian. Ta giới hạn trong một trường hợp riêng, dùng tín hiệu mang tin là một Sinusoide thuần túy. Điều này cho phép dùng lượng giác trong phân giải. S(t) = a cos 2pfmt ; Trong đó a: hằng số biên độ. Tần số tức thời của sóng FM được cho bởi: fi (t) = fC + aKf cos 2pfmt (5.18) æ aK ö ç f ÷ Sóng FM có dạng: λ fm ()t =Acosç2πfC t + sin(2πfmt)÷ (5.19) è fm ø Ta định nghĩa chỉ số biến điệu b: aK b f , b: không đơn vị (5.20) f m D aK f Þ lfm(t) = A cos (2pfCt + bsin2pfmt) β = f m lfm(t) = Re {A exp (j2pfCt +jb sin 2pfmt)} (5.21) Hàm expo trong (5.21) phân thành một tích, trong đó thừa số thứ 2 có chứa tin. Đó là: expo (jb sin 2pfmt). Đó là một hàm tuần hoàn, chu kỳ 1/fm. Khai triển chuỗi F phức, tần số fm. +¥ jbsin 2pf m t + jn 2pfm t e = å C n e (5.22) n=-¥ Hệ số F cho bởi: 1 2fm C = f e jbsin 2pf m t e -jn 2pfm t dt n m ò (5.23) -1 2fm Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 58 Tích phân của (5.23) không tính được, nó hội tụ tại một trị giá thực. Trị giá thực là một hàm của n và b. Nó không phải là một hàm của fm. Tích phân được gọi là hàm Bessel loại một, ký hiệu Jn(b). 5.7 HÀM BESSEL. Hàm Bessel loại 1 là giải đáp của phương trình vi phân: d 2 y dy x 2 + x + (x 2 - n 2 )y(x) = 0 dx 2 dx Mặc dù hàm Bessel được định nghĩa cho tất cả trị giá của n, ta chỉ quan tâm đến các số nguyên thực dương và âm. n Với những trị nguyên của n: J-n(x) = (-1) Jn(x). Hình 5.6, vẽ Jn cho những trị của n = 0, 1 và 2. Nhớ là với x rất nhỏ, J0(x) tiến đến 1 trong lúc J1(x) và J2(x) tiến đến zero. ( Xem hình trang sau ). Ta hãy xem hàm Bessel khi n trở nên lớn. Ta khảo sát một điểm đặc biệt trên các đường cong. Hình 5.7, vẽ Jn (10) là một hàm của n. - Khi n âm, hàm trở nên dao động không tắt ( under damped oscillator ). - Với những trị n dương, ta lưu ý đến tính đối xứng của phương trinh (5.23). - Một quan sát quan trọng là, với n > 9, hàm Bessel tiến đến tiệm cận với zero. Thật vậy, với n cố định và b lớn, hàm Bessel có thể tính xấp xỉ bởi: n æb ö ç 2 ÷ J (b) » è ø (5.24) n G(n +1) Trong đó G (n+1) là hàm Gamma. Hàm Gamma tiến đến ¥ với các suất lớn hơn 2. Thí dụ, trị giá của hàm Gamma ứng với các suất 2, 3, 4, 5 và 6 là 1, 2 , 6, 24 và 120. Vì hàm Gamma nằm ở mẫu số, có thể thấy rằng hàm Bessel giảm rất nhanh khi n tăng. Đó là một tính chất chính tắc để tim khổ băng của sóng FM. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 59 Hình 5.6: Hàm Bessel cho n = 0, 1, 2 và 5 Hình 5.7: Jn (10) là một hàm của n. Trở lại phương trình (5.23), ta thấy các hệ số Fourier được cho bởi: Cn = Jn (b). Và sóng FM trở nên: ì ¥ ü ï j2pfc t jn2pfm t ï lfm (t) = Re íAe å J n()b e ý (5.25) îï n=-¥ þï Vì ej2pfct khônglà một hàm của n, ta đem vào dấu tổng: ì ¥ ü ï j2ptf(c+nfm)ï lfm (t) = Re íA å J n()be ý îï n=-¥ þï Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 60 ¥ Và lấy phần thực: lfm (t) = A å J n (b)cos2p(fC + nfm )t (5.26) n=-¥ Ta đã rút gọn sóng FM thành tổng của các Sinusoids. Biến đổi F của tổng này là một chuỗi xung lực. Hình 5.8: Biến đổi F của FM, đối với tin tức là Sinusoids. Ta đang gặp phải một rắc rối lớn! Biến đổi này mở rộng theo cả 2 chiều từ tần số sóng mang. Nó có một khổ băng rộng vô hạn. Dù Jn(b) tiến đến zero tại vài trị giá, nhưng khổ băng rộng thì không bị giới hạn. Như vậy, ta không thể truyền có hiệu quả và cũng không thể phối hợp nhiều nguồn tin riêng lẻ vào chung một kênh (Multiplexing) (vì trùng f). Với b không đổi, các hàm Jn(β) tiến đến zero khi n tăng. Với sự chọn lựa b, số hạng J0(β) tiến đến zero và sóng mang bị loại. Trong trường hợp AM, sự loại bỏ sóng mang làm tăng hiệu suất. Nhưng đối với FM, sự loại sóng mang không được lợi gì cả vì công suất toàn phần giữ không đổi. - a * Để tính xấp xỉ khổ băng của sóng FM, ta xem các xung hình 5.8. Trước hết, ta chọn một trị b nhỏ. Từ hình 5.6, ta thấy rằng, nếu b 2) thì nhỏ hơn. Tại b=0,5, J1 là 0,24. Với những trị nhỏ nầy của β, biến đổi F ở hình 5.8 chỉ bao gồm 5 xung lực gần sóng mang. Đó là, thành phần tại sóng mang và 2 thành phần cách ± fm kể từ sóng mang. Điều đó, cho một khổ băng là 2fm. Ta đã biết điều đó vì những trị rất nhỏ của b(aKf/fm) tương ứng với điều kiện băng hẹp. - b * Bây giờ, giả sử β không nhỏ, thí dụ b = 10. Những tính chất mà ta nói ở trên chỉ rằng Jn(10) sẽ giảm nhanh chóng, khi n > 10. Xem hình 5.8, ta thấy những thành phần có ý nghĩa là sóng mang và 10 họa tần mỗi bên của sóng mang. Một cách tổng quát: Với β lớn,số số hạng (thành phần) ở mỗi bên của sóng mang là β (được làm tròn số nguyên). Điều đó cho một khổ băng là 2bfm. Gần đây, Jonh Carson đưa ra định luật: Khổ băng của sóng FM thì xấp xỉ bằng hàm của tần số tín hiệu chứa tin và chỉ số biến điệu: Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 61 BW » 2(bfm + fm) (5.27) Điều đó thừa nhận 2 trường hợp giới hạn. Với b rất nhỏ, khổ băng » 2fm và ngược lại với b lớn, khổ băng » 2bfm. Thay b = aKf/fm vào (5.27): BW » 2(aKf+fm) (5.28) * Ta nhớ lại tần số tức thời được cho bởi phương trình (5.18): fi (t)=fC + aKf cos2pfmt Ta thấy rằng fm là nhịp thay đổi của fi (t) ,trong lúc aKf là trị tối đa mà nó dời tần từ sóng mang - cả 2 đại lượng ấy điều tham gia vào khổ băng của sóng FM. Thí dụ: Tìm băng xấp xỉ của các tần số bị chiếm bởi sóng FM với sóng mang có tần số 5khz, Kf = 10Hz/V và: a) s(t) = 10 cos10pt. b) s(t) = 5 cos20pt. c) s(t) = 100 cos2000pt. Giải: a) BW » 2(aKf+fm) = 2[10(10)+5] = 210Hz. b) BW » 2(aKf+fm) = 2[5(10)+10] = 120Hz. c) BW » 2(aKf+fm) = 2[100(10)+1.000] = 4khz. Băng của những tần số bị chiếm: a) 4895 đến 5105 Hz. b) 4940 đến 5060 Hz. c) 3 đến 7 Khz. Phương trình (5.28) được khai triển cho trường hợp đặc biệt của một tín hiệu chứa tin hình Sinusoide. Nếu sự biến điệu là tuyến tính, thì ta có thể áp dụng công thức này cho thành phần tần số cao nhất của s(t) để tìm khổ băng. Nhưng, FM thì không tuyến tính nên cách ấy không đúng. Ta sẽ tìm một công thức tương tự cho trường hợp tổng quát. Hình 5.9, chỉ tần số tức thời của trường hợp đặc biệt mà tín hiệu chứa tin Sinusoide và trường hợp tổng quát. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 62 Hình 5.9: Tần số tức thời Trong trường hợp s(t) hình sin, aKf là độ dời tần tối đa của tần số so với fc. Và trong trường hợp tổng quát độ dời tần tối đa tương tự ký hiệu là Df. Công thức tổng quát cho (5.28) là: BW » 2( Df + fm ) (5.29) · Nếu Df rất lớn so với fm, ta có FM băng rộng, và tần số của sóng mang thay đổi một khoảng rộng, nhưng với nhịp độ chậm. Tần số tức thời của sóng mang thay đổi chậm từ fC-Df đến fC+Df. Như vậy sóng FM xấp xỉ với một Sinusoide thuần trong một thời gian dài. Ta có thể nghĩ là nó là tổng của nhiều Sinusoide với các tần số nằm giữa 2 giới hạn. Nên biến đổi F thì gần bằng với sự chồng ( Superposition ) các biến đổi F của những sinusoide ấy tất cả nằm trong giới hạn tần số. Vậy thực hợp lý để giả sử rằng khổ băng thì xấp xỉ với bề rộng của khoảng tần số này, hoặc 2∆f. · Nếu Df rất nhỏ, ta có một sóng mang thay đổi trong một khoảng rất nhỏ của tần số, nhưng với nhịp độ nhanh. Ta có thể tính gần đúng bằng 2 mạch giao động tại những giới hạn tần số. Mỗi giao động được “ Cổng hóa “ trong nửa thời gian toàn thể. Băng của các tần số bị chiếm bởi output của H 5.10 là từ fC - Df - fm đến fC + Df + fm. Với Df nhỏ, Þ khổ băng là 2fm . Ta thấy khổ băng của sóng FM tăng với sự tăng trị giá của Kf. Về điểm nầy, sự dùng FM băng hẹp ( với khổ băng tối thiểu 2fm ) là hợp lý. Nhưng, FM băng rộng lại có ưu điểm về triệt nhiễu hơn cả FM băng hẹp và AM. Hình 5.10: Xấp xỉ của FM băng hẹp Ví dụ: Một sóng mang 10MHz được biến điệu FM bởi một tín hiệu Sinusoide có tần số 5KHz, sao cho độ dời tần tối đa của sóng FM là 500KHz - Tìm băng xấp xỉ của các tần số bị chiếm bới sóng FM. Giải: Khổ băng xấp xỉ BW » 2(Df + fm). BW » 2(500KHz + 5KHz) = 1.010 KHz . Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 63 Vậy băng của tần số bị chiếm thì tập trung quanh tần số sóng mang, và trong khoảng từ 9.495 đến 10.505KHz. Tín hiệu FM ở thí dụ nầy là băng rộng. Nếu nó là băng hẹp, khổ băng sẽ chỉ là 10KHz. Thí dụ: Một sóng mang 100KHz bị biến điệu FM bởi một tín hiệu sinusoide có biên độ 1V. Kf có trị 100Hz/V. Tìm khổ băng xấp xỉ của sóng FM nếu tín hiệu biến điệu có một tần số 10KHz. Giải: Ta lại dùng phép tính xấp xỉ của Carson: BW » 2(Df + fm) Vì tín hiệu chứa tin s(t) có biên độ đơn vị, độ dời tần tối đa Df được cho bởi kf , hoặc 100Hz . fm là 10 Khz, tần số của tín hiệu biến điệu. Vậy : B W » 2(100Hz + 10 Khz) = 20.200Hz . Vì fm rất lớn so với Df , đây là tín hiệu FM băng hẹp. Khổ băng cần thiết để truyền cùng tin tức khi dùng DSB AM sẽ là 20KHz, xấp xỉ với khổ băng của sóng FM nầy. Ví du: Một sóng biến điệu góc được mô tả bởi: l(t) = 10 cos[2 x 107pt + 20cos1000pt] Tìm khổ băng xấp xỉ của sóng nầy. Giải: fm là 500Hz. Để tính Df, trước hết ta tìm tần số tức thời: 1 d 7 fi (t) = ( 2 x 10 pt + 20cos1000pt ). 2π dt = 107-10.000 sin 1000pt . Độ dời tần tối đa của 10.000 sin1000pt, hoặc 10KHz. Vậy khổ băng xấp xỉ được cho bởi: BW » 2( 10.000 + 500 ) = 21khz . Rõ ràng đây là một sóng FM băng rộng vì Df rất lớn so với fm. Nhớ là ta không biết đây là biến điệu tần số hoặc pha khi tìm khổ băng. 5.8. KHỐI BIẾN ĐIỆU Ta đã thấy sóng FM có khổ băng giới hạn chung quanh sóng mang fC. Như vậy tiêu chuẩn thứ nhất của một hệ thống biến điệu đã được thỏa. Ta có thể truyền tin một cách hiệu quả bằng cánh chọn fC trong một khoảng riêng. Và ta cũng có thể Multiplexing nhiều tín hiệu đồng trong cùng một kênh bằng cánh làm các tần số sóng mang lân cận cách biệt nhau sao cho biến đổi F của của các sóng FM không phủ nhau về tần số. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 64 Tiêu chuẩn thứ 2, đó là chứng tỏ được s(t) có thể được hồi phục từ sóng biến điệu góc. Và các khối biến điệu, hoàn điệu có thể thực hiện được trong thực tế. · Ta bắt đầu xem lại FM băng hẹp - dạng sóng được diễn tả bởi phương trình (5.15). lfm(t) = A cos2p[fct - Kf g(t)] lfm(t) = A cos2pfct - 2pA g(t) Kf sin 2pfct (5.30) Phương trình này tức khắc đưa đến sơ đồ khối như hình 5.11. - Biểu thức tương đương cho PM băng hẹp: lpm(t) = A cos2pfCt - 2pAKP s(t) sin2pfCt (5.31) Hình 5.11 Phải được cải biến bằng cách thay 2pKf s(t) bằng 2pKp s(t) và bỏ tích phân. Hình 5.11: Khối biến điệu cho FM băng hẹp. Tần số tức thời của output của hệ là: fi (t) = fC + Kf s(t) Đây là FM băng hẹp vì trị lớn nhất của Kf s(t) ( độ dời tần ) thì nhỏ so với những tần số hiện diện trong s(t). · Giả sử ta đặt output của sóng FM băng hẹp ngang qua một linh kiện phi tuyến mà nó nhân tất cả tần số bởi một hằng số C. Kết quả tần số tức thời là: fi (t) = CfC+ Ckf s(t) (5.32) Độ dời tần của sóng mới nầy bằng C lần sóng cũ, trong lúc nhịp độ thay đổi của fi (t) vẫn không đổi. Điều này, vẽ ở hình 5.12. Như vậy, với trị C đủ lớn, sự nhân tần làm thay đổi FM băng hẹp thành FM băng rộng. Nó cũng làm di chuyển sóng mang, nhưng điều này không gây hiệu quả trên một sóng FM dù là băng hẹp hay băng rộng. Hình 5.12: Sự nhân tần Xem một cách khác, nếu khổ băng sóng FM lớn đáng kể so với 2fm, tín hiệu là băng rộng. Nếu sóng mang mới có tần số cao hơn nầy không mong muốn, ta có thể dời ( đổi tần ) đến bất kỳ trị nào mà không làm ảnh hưởng đến khổ băng. Khối biến điệu FM kết quả vẽ ở hình 5.13. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 65 Hình 5.13: Khối biến điệu cho FM băng rộng * Có một cánh trực tiếp tạo nên FM băng rộng, như hình 5.14. Hình 5.14: Mạch phát FM Một mạch dao động cao tần tạo sóng mang, có tần số quyết định bởi mạch điều hợp ( hoặc thạch anh ) đấu song song với một doide biến dung (Varicap). Điện dung của varicap có thể thay đổi bằng cánh làm thay đổi dòng chạy ngang qua nó (nếu phân cực thuận) hoặc điện thế đặt lên 2 đầu nó (nếu phân cực ngược). Sự thay đổi điện dung của varicap sẽ làm thay đổi tần số của mạch giao động. Nếu dòng hay thế đi ngang qua varicap thay đổi tỷ lệ với tín hiệu chứa tin thì tần số của mạch giao động thay đổi tỷ lệ với tín hiệu nầy. Và sóng FM sẽ được tạo ra. Trong hình 5.14. Bên phải D là mạch giao động mà tần số được làm thay đổi. Bên trái D là mạch phân cực và ghép tín hiệu s(t) vào doide D. Tụ C2 có trị rất lớn so với trị của điện dung Varicap, nên chỉ có tác dụng cách ly DC. RFC, cuộn chặn cao tần, ngừa tín hiệu dao động ghép ngược lại nguồn phân cực. C1: tụ phân dòng. 5.9. KHỐI HOÀN ĐIỆU. t Xem dạng sóng biến điệu FM như sau: lfm(t) = A cos2p( fct + Kf s(t)dt ) . ò0 Sư hoàn điệu để hồi phục lại s(t) gồm 2 loại: - Tách sóng phân biệt ( Discriminator ), tách một thành phần tần số ra khỏi các thành phần khác và chuyển sự thay đổi tần số thành thay đổi biên độ rồi tách sóng giống như AM. - Vòng khóa pha ( Phase - Lockloop ) để phối hợp một dao động nội với sóng mang được biến điệu. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 66 1. Tách sóng phân biệt (Discriminator) a. Lấy đạo hàm một Sinusoide là tiến trình nhân Sinusoide với tần số tức thời của nó: dl t = -2pA [ fc + Kf s(t) ] sin2p(fct + Kf s(t)dt ) . dt ò0 Hình 5.15: Đạo hàm của sóng FM Giả sử tần số tức thời thì lớn hơn nhiều so với fm (hợp lý với thực tế). Thành phần sóng mang lấp đầy vùng giữa biên độ và ảnh qua gương của nó. Thực tế, vùng diện tích giữa đường biên trên và đường biên dưới bị che kín do tần số quá cao của sóng mang. Như vậy, ngay cả khi tần số sóng mang không là hằng, bao hình của sóng vẫn được định nghĩa: 2p ½A[fC + Kf s(t)]½ (5.34) Sự thay đổi chút ít của tần số sóng mang sẽ không đáng kể bởi một tách sóng bao hình. Trong các hệ thông tin thực tế, fC >> Kf s(t). Vậy lượng nằm trong ngoặc của (5.34) thì dương, và ta có thể bỏ đấu trị tuyệt đối. Tóm lại: Một mạch vi phân và sau đó là một tách sóng bao hình sẽ có thể dùng để hồi phục lại s(t) từ sóng FM. Hình 5.16: Hoàn điệu FM. Nếu sự biến điệu là PM, thì output của hệ hình 5.16 là đạo hàm của s(t). Khi đó cần thêm một mạch tích phân ở ngỏ ra của hệ. Hàm hệ thống của mạch vi phân: H(f) = 2pjf (5.35) Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 67 Hình 5.17: Đặc tuyến Suất của mạch vi phân. Đặc tuyến Suất được vẽ ở hình 5.17. Suất của output của mạch vi phân thì tỉ lệ tuyến tính với tần số của input. Như vậy mạch vi phân đổi FM thành AM. Khi một mạch vi phân dùng như thế, ta gọi nó là một discriminator. b. Có một loại Discriminator khác. Bất kỳ hệ thống nào có một suất hàm hệ thống gần - Tuyến tính với tần số trong khoảng dãy tần của sóng FM sẽ điều đổi FM thành AM. Thí dụ: Một BPF sẽ làm việc như một Discriminator nếu cho nó hoạt động trên một khoảng giới hạn của khổ băng, như hình 5.18. H(f ) f Gần tuyến tính Hình 5.18 Ta có thể chứng minh sự tuyến tính của BPF Discriminator theo cách thức tương tự như khối biến điệu cân bằng. Xem mạch điện hình 5.19. Nửa trên của máy biến thế L1 và C1 điều hợp tại fa . Nửa dưới máy biến thế và C2 điều hợp tại fb. D1 D2 Hình 5.19: Tách sóng độ dốc Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 68 Hình 5.20: Discriminator Mạch điện trên đây gọi là tách sóng độ dốc ( Slope Detector ) vì nó dùng đoạn dốc của đặc tuyến mạch lọc để tách sóng. c. Bây giờ ta trở lại khối vi phân gốc. Ta sẽ thấy một cách tiếp cận khác. Ta có thể tinch đạo hàm một cách gần đúng bằng với tín hiệu của hai trị mẫu của sóng: dl l(t) - l( t - to ) » to . dt Điều này dẫn đến khối hoàn điệu như hình 5.21. Vì một sự dời thời gian thì tương đương với một sự dời pha, nên khối nầy gọi là hoàn điệu dời pha ( Phase Shif Demodulator ). (t) s(t) lfm Hình 5.21: Hoàn điệu dời pha. 2. Vòng khóa pha (phase - lockloop). Vòng khóa pha PLL là một mạch hồi tiếp, có thể được dùng để hoàn điệu sóng biến điệu góc. Mạch hồi tiếp thường được dùng để giảm thiểu error (về zero). Trong trường hợp PLL, error là một hiệu pha giữ tín hiệu ở ngỏ vào sóng FM và một tín hiệu chuẩn hình sin. (VCO) . PLL để tách sóng FM: Error 1 cos(q - q ) 2 1 2 · Trước hết, xem mạch so pha; gồm 1 mạch nhân và một lọc LPF. Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 69 Cho hai tín hiệu vào cùng tần số và pha lần lượt là q1 và q2 1 cos(a + b) = [cos(a + b) + cos(a - b)] 2 Thành phần cos(a+b) có tần số 2fc nên bị lọai bỏ bởi LPF. Ngỏ ra là 1 o cos(q - q ). Đây là Error của mạch so pha. Error sẽ tiến đến 0 khi q1-q2 tiến đến 90 . 2 1 2 Mạch PLL gồm 1 mạch so pha và 1 VCO, nằm trên đường hồi tiếp. Mạch tạo nên một vòng điều chỉnh tự động. r1 vo (t) LPF r2 VCO Error Hình 5.22: Vòng khóa pha (PLL) VCO tạo ra một sóng sin. Một phần tín hiệu ra Vo(t) được hồi tiếp về để làm Error sửa sai pha cho VCO. Mạch có tác dụng tự điều chỉnh sao cho Error tiến đến 0. Nghĩa là có khuynh hướng làm hiệu pha tiến đến 90o. Khi đó, ta nói vòng bị khóa (locked). · Bây giờ, ta áp dụng PLL để tách sóng FM. Sóng FM đến s2 (t) v (t) cos2p[fc (t) + Kf g(t)] LPF o s1(t) VCO Error Hình 5.23: Tách sóng FM VCO tạo 1 sóng sin, biên độ B, tần số fc và lệch pha với sóng FM đến 1 góc p/2. Sóng hình sin này được Error biến điệu FM nên có dạng: t s (t) = Bsin 2p(f t + K v (t)dt 1 c o ò o 0 s2(t) là ngỏ ra mạch nhân nên: t s (t) = ABcos2π f t + K g(t) sin 2π ( f t + K v(τ )dτ) 2 [ c f ] c o ò 0 AB é t ù Þ s (t) = sin 2π K g(t) - K v(τ )dτ ) +Bậc cao 2 ê f 0 ò ú 2 ë 0 û ì θ (t) = 2πK g(t) ï fm f Đặt hai hệ số pha: íθ (t) = 2πK v (τ )dτ îï 0 0 ò 0 Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 70 ABsin[θ f (t) -θ0 (t)] ð ngõ ra của LPF: v (t) = m 0 2 AB[θ f (t) -θ0 (t)] Nếu hệ số pha nhỏ: v (t) = m 0 2 Tìm điện áp ngưỡng transient, lấy đạo hàm hai vế: dθ (t) dv0 (t) AB é f m dθ 0 (t) ù = ê - = πAB[K f s(t) - K 0v0 (t)]ú dt 2 ë dt dt û dv (t) Cuối cùng, phương trình vi phân cho bởi: 0 + πK ABv (t) = πK ABs(t) dt 0 0 f Điện áp ngưỡng thường trực là nghiệm của phương trình này. Cho đạo hàm tiến K f tới zero. => v0 (t) = s(t) K 0 5.10. FM STEREO. FM Stereo là tiến trình gửi đi 2 tín hiệu Audio đồng thời trong cùng một kênh FM. Nhớ rằng ta chỉ có khổ băng 30KHz để gửi theo kiểu FM băng hẹp. Hình 5.24: Tín hiệu Stereo Multiplex Hình 5.24 là một hệ thống Multiplex 2 kênh Audio. S1(f) và s2(f) là biến đổi F của 2 tín hiệu âm tần tổng quát, có khổ băng giới hạn. Trước hết ta biến điệu AM một sóng mang 38KHz với S2(t). Điều nầy làm dời tần tín hiệu đến khoảng giữa 23 và 53 KHz như vậy nó không phủ với tín hiệu của S1(t). Sau đó ta cộng chúng lại và rồi cộng với sóng cao tần 19KHz. Biến đổi F của output vẽ ở bên phải của hình 5.24. Tín hiệu tổng hợp: 3 3 s1(t) + s2(t) cos 2p x 38 x 10 t + cos2p . 19 . 10 t . Biểu diễn bởi một hàm thời gian với tần số trên là 53KHz. Ta có thể biến điệu FM sóng mang bằng hàm này. Như vậy, nếu dùng kiểu FM băng hẹp, ta chỉ sử dụng 106KHz ( trong khoảng 200KHz được phép ). Nguyễn Hứa Duy Khang
___Chương 5 : Biến điệu góc - 71 Tại máy thu, ta hoàn điệu sóng FM để hồi phục tín hiệu tổng hợp (Hình 5.25). LPF1 hồi phục s1(t) . BPF sẽ tách số hạng thứ 3 ra khỏi tín hiệu tổng hợp, và rồi ta phải hồi phục s2(t) từ sóng biến điệu (AM). Nếu ta chọn cánh cộng thêm một sóng mang vào cho TCAM nầy, ta không phải dùng một mạch tách sóng bao hình để nhận lại s2(t). Điều nầy đúng, vi tần số sóng mang là 38KHz, vào khoảng 2,5 lần lớn hơn tần số cao nhất của s2(t). Mà sự hoạt động của tách sóng bao hình đòi hỏi tần số sóng mang phải rất cao so với tần số lớn nhất của tín hiệu chứa tin. Vậy ta phải dùng tách sóng đồng bộ. Điều này, ta thấy ở hình 5.25, tín hiệu tổng hợp được nhân với sóng mang 38KHz và rồi LPF2 sẽ hồi phục lại s2(t). Bằng cánh nào ta bảo đảm rằng Sinusoide 38KHz ở máy thu sẽ đồng bộ hóa tốt cho sóng mang nhận được ?. Ta vẫn có thể truyền đi sóng mang và dùng vòng khóa pha để hồi phục nó ở máy thu. Nhưng ở đây, có một cánh đơn giản hơn. Xem lại hình 5.24. Nhớ là, sóng mang 38KHz là do nhân đôi tần số từ mạch dao động 19KHz. Tín hiệu nầy (19KHz) được cộng vào tín hiệu tổng hợp. L + R L - R FM Stereo Demux Hình 5.25: Hoàn điệu FM Stereo. Như vậy, Tín hiệu tổng hợp hiện tại là: 4 4 s1(t) + s2(t) cos2p x 3.8 x 10 t + A cos2p x 1,9 x 10 t Biến đổi F của nó vẽ ở bên phải hình 5.24. Ta thấy có một xung lực xuất hiện tại 19KHz ( là do sinusoide cộng vào ). Tại máy thu, output của khối tách sóng bao hình (hình 5.25) có chứa thành phần nầy. Nó được tách ra nhờ BPF - và chính nó được phân đôi để dùng đồng bộ hóa cho việc tách sóng AM. Như vậy, ta thấy 2 tín hiệu Sinusoide 38KHz ( ở đài phát và máy thu ) đều có nguồn gốc từ một nguồn chung 19KHz. Vẫn còn tồn tại một vấn đề. Đó là vấn đề tương hợp giữa máy thu Mono và Stereo. Một máy Mono không thuần nhận kênh trái ( hoặc phải ). Ở hình 5.25, out put của LPF1, s1(t) biểu diễn cho tín hiệu một máy thu mono - nhưng ta không muốn s1(t) và s2(t) biểu diễn cho tín hiệu riêng của mỗi kênh. Thay vào đó, ta đặt s1(t) là tổng của tín hiệu trái và phải và s2(t) là hiệu. Nguyễn Hứa Duy Khang