›
›

Giáo trinh Sức bền vật liệu - Tập 2 - Hoàng Thắng Lợi

pdf 76 trang hapham 1660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trinh Sức bền vật liệu - Tập 2 - Hoàng Thắng Lợi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_suc_ben_vat_lieu_tap_2_hoang_thang_loi.pdf

Nội dung text: Giáo trinh Sức bền vật liệu - Tập 2 - Hoàng Thắng Lợi

  1. Chương 5 UỐN PHẲNG PHẦN I - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC §1- CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 1- Ngoại lực uốn và dầm: Uốn phẳng các thanh thẳng là trường hợp ngoại lực gây uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Các thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của các ngoại lực như trên gọi là dầm chịu uốn (dầm). Các ngoại lực gây uốn gồm: - Lực vuông góc với trục thanh (dầm): lực tập trung, 1ực phân bố - Mômen uốn nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh. 2- Phân loại dầm: Có hai cách phân loại dầm: a) Theo dạng liên kết có: dầm đơn giản (hình 5-1a); dầm có mút thừa (hình 5- 1b), dầm công xôn (hình 5-1c). b) Theo dạng mặt cắt ngang ta có: Dầm mặt cắt không đổi (trục toa xe, trục máy, ), dầm có mặt cắt thay đổi (dầm cầu chạy trong cầu trục, trục bậc trong máy, lò xo nhíp ô tô, ) Ở đây, chủ yếu chúng ta xét loại dầm có mặt cắt không đổi. c) Khung chịu uốn: Ngoài đối tượng chủ yếu là dầm, ở chương này ta cùng xét tới dạng khung chịu 61
  2. uốn. Đó là các khung phẳng chịu các loại ngoại lực như đối với dầm §2- NỘI LỰC VÀ BIỂU ĐỒ NỘI LỰC: 1- Nội lực uốn: Nội lực trong dầm uốn phẳng bao gồm lực cắt Qy và mômen uốn Mx (có trường hợp chỉ có mômen uốn Mx). Đối với khung chịu uốn nội lực còn thêm lực dọc Nz. Giống như chương kéo nén, nội lực trong dầm và khung chịu uốn được xác địnhh bằng phương pháp mặt cắt. 2- Biểu đồ nội lực: Vấn đề chủ yếu để phục vụ cho việc tính toán bền là phải tìm các mặt cắt nguy hiểm trong dầm (khung) chịu uốn. Đó là các mặt cắt có trị số nội lực lớn nhất. Muốn tìm trị số nội lực lớn nhất ta phải biết qui luật biến thiên của nội lực dọc theo trục thanh. Qui luật do được biểu diện dưới dạng biểu đồ nội lực. Vậy: biểu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc theo trục thanh trình tự vẽ biểu đồ nội lực. a) Xác định các phản lực liên kết tác dụng vào dầm hoặc khung (vì phản lực liên kết cùng với tải trọng đều là ngoại lực tác dụng lên hệ đang khảo sát và nội lực chỉ được xác định khi hệ đã cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực) b) Chia đoạn tải trọng và chọn các mặt ứng với từng đoạn tải trọng đó. Viết phương trình nội lực trong từng đoạn đó. Lấy một số giá trị nội lực đặc biệt. c) Vẽ biểu đồ nội lực (dựa vào các giá trị lực đặc biệt). d) Kiểm tra lại dạng biểu đồ nội lực (Phần này sẽ nói kỹ trong liên hệ vi phân) 3- Các ví dụ: Để hiểu rõ quá trình vẽ biểu đồ nội lực đối với dầm và khung chịu uốn ta xét một số ví dụ. Ví dụ 1: vẽ biểu đồ nội lực cho dầm (hình 5-2a). 62
  3. Giải: a) Xác định phân lực liên kết: theo cơ lý thuyết gối tựa kép A có 2 thành phần phản lực, gối tựa đơn B có 1 thành phần phản lực. Ta giả thiết chiều của các phản lực đã như hình 5-2b. Cần dùng ba phương trình cân bằng tĩnh để giải ra XA , YA , YB (Từ nay về sau ta thấy rằng đối với dầm chịu uốn không có thành phần phản lực ngang). 63
  4. (Phản lực YB tính ra có kết quả dương, chứng tỏ chiều YB ta giả thiết ban đầu là đúng. Nếu tính ra có kết quả âm ta cần đổi chiều ngay YB để có thể tiếp tục xác định YA). (Phản lực YA tính ra có kết quả dương, chứng tỏ chiều YA ta giả thiết ban đầu là đúng). b) Phương trình nội lực: Trước khi viết phương trình nội lực ta nhắc lại qui ước đầu nội lực: Qy > 0 nếu nó có khuynh hướng quay phần đang xét theo chiều kim đồng hồ. Mx > 0 nếu nó làm căng thớ dưới của dầm. - Xét đoạn AC dùng mặt cắt 1-1. Để cho đơn giản ta xét phầh trái (hình 5-2c). Gốc tại A, do dó: o = z ≤ 2a. Giả thiết nội lực có đầu dương. Ở phương trình (a) Qy biến thiên theo luật bậc nhất đối với z nên ta lấy hai giá trị: Lấy mômen đối với điểm 0 (trọng tâm mặt cắt 1-1). Ở phương trình (b) Mx biến thiên theo luật bậc hai đối với z. Do đó ít nhất ta cũng phải lấy 3 giá trị: 64
  5. - Xét đoạn BC: Dùng mặt cắt 2-2. Để đơn giản ta xét phần phải (hình 5-2d). Gốc tại B, do đó 0 ≤ z ≤ a. Gỉa thiết noọi lực có dấu dương. c) Vẽ biểu đồ nội lực: Qy và Mx. Trước khi vẽ hai biểu đồ nội lực ta quy ước: - Biểu đồ Qy : Qy > 0 ; vẽ lên trên đường chuẩn nẳm ngang và ngược lại. - Biểu đồ Mx: Mx > 0 vẽ ở dưới đường chuẩn nằm ngang và ngược lại. Với các trị số nội lực đã tính ở bước trên, với qui ước vẽ biểu đồ Qy , Mx đã nói ta vẽ được biểu đồ lực cắt (hình 5-2c) và biểu đồ mômen uốn nội lực (hình 5-2g). * Chú ý: Sau khi vẽ biểu đồ Mx ta có một nhận xét: biểu đồ Mx luôn nằm ở thớ bị căng (bị dãn) của dầm, thớ nào của dầm bị căng (bị dãn) thì biểu đồ Mx nằm ở thớ đó. Ở hình 5-2g thớ dưới của dầm bị dãn vì Mx nằm ở thớ đó. Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực cho khung chịu uốn (hình 5-3a). Giải: a) Xác định phản lực liên kết Giả thiết trước chiều các phản lực liên kết tại A và B (hình 5-3b). 65
  6. Giải ra: YA = 2 qα (Kết quả YA giải ra dương chứng tỏ chiều YA giả thiết đúng). Hay: XB = 2qα (kết quả XB giải ra dương chứng tỏ chiều XA giả thiết đúng). 66
  7. (Kết quả YB giải ra âm chứng tỏ chiều YB giả thiết sai). Ta đổi ngay chiều YB (đi xuống). b) Phương trình nội lực: Trước khi viết phương trình nội lực cho khung ta qui ước dấu nội lực (lực dọc, lực cắt, mômen uốn): Nz > 0 nếu nó gây kéo phần đang xét (đi ra khỏi mặt cắt) và ngược lại. Qy > 0 qui ước như dầm. Mx có thể qui ước tuỳ ý. - Xét đoạn CD (hình 5-3b): dùng mặt cắt 1-1. Để đơn giản xét phần trái mặt cắt 1-1 (gốc tại C). Do đó: 0 ≤ z ≤ a Giả thiết nội lực có chiều dương (hình 5-4). (M > 0 nếu căng thớ dưới đoạn CD). Viết ba phương trình (∑X = 0, ∑Y = 0, ∑mo = 0). Xét đoạn AD (hình 5-3b). Dùng mặt cắt 2-2. Để đơn giản ta xét phần dưới mặt cắt 2-2 (gốc A). Do đó 0 ≤ z ≤ 2α Giả thiết nội lực có chiều dương (hình 5-5) (M > 0 nếu nó làm căng thớ bên phải đoạn AD). 67
  8. - Xét đoạn BD (hình 5-3b). Dùng mặt cắt 3-3. Để đơn giản ta xét phần phải mặt cắt 3-3 (gốc tại B). Do đó: 0 ≤ z ≤ 3 Giả thiết nội lực có chiều dương (hình 5- 6). (M > 0 nếu căng thớ dưới đoạn BD). Viết 3 phương trình: c) Vẽ biểu đồ nội lực: Trước khi vẽ của biểu đồ N, Q, M cho khung ta chú ý qui ước: Biểu đồ lực dọc Nz vẽ thớ nào cũng được miễn là đề đúng dấu vào biểu đồ. Tương tự đối với biểu đồ lực cắt Q. Biểu đồ mômen uốn M vẽ theo thớ thực sự bị căng của khung. Với qui ước trên và các trị số nội lực tính ở bước b ta vẽ được ba biểu đồ N, Q, M (hình 5-3c, d, e). * Chú ý: Đối với khung ta còn phải kiểm tra lại trị số nội lực tại nút của khung 68
  9. bằng cách xét sự cân bằng của nút. Ở đây ta xét sự cân bằng của nút C. Tưởng tượng dùng ba mặt cắt rất sát nút C. Do đó trị số nội lực trên ba mặt cắt đó chính là trị số nội lực tại nút C. Tưởng tượng phóng đại nút C cho dễ nhìn. Ta đặt các nội lực N, Q, M vào nút C. Chú ý rằng nếu tại nút có ngoại lực thì cũng đặt cả vào nút để xét sự cân bằng. Toàn bộ các lực tác dụng vào nút C chỉ trên hình 5-3g. Ta thấy ba phương trình cân bằng (∑X = 0; ∑Y = 0; ∑mo = 0) được thoả mãn. Vậy nút C cân bằng. 4- Nhận xét chung: Qua hai ví dụ trên ta thấy giữa tải trọng và nội lực có liên hệ với nhau (ví dụ đoạn có tải trọng phân tố hằng số thì Q bậc 1, M bậc 2, ) đồng thời, giữa nội lực cũng có liên hệ với nhau (ví dụ đoạn Q bằng hằng số thì M bậc 1, Q bậc 1 thì M bậc 2 ). Ngoài ra còn nhiều liên hệ khác. Sau đây ta xét về bản chất các mối liên hệ đó. §3- LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NGOẠI LỰC VÀ NỘI LỰC xét 1 dầm có đủ ba loại ngoại lực: tải trọng phân bố bất kỳ, lực tập trung P, mômen tập trung M (hình 5-7). Quy ước dấu của ngoại lực: P.q > 0 nếu hướng lên và ngược lại. M > 0 nếu quay thuận chiều kim đồng hồ và ngược lại. 1- Liên hệ tải trọng phân bố và lực cắt. Tại hoành độ z lực phân bố là q (z). Tại đó ta tách ra một phân tố chiều dài vô cùng bé dz (hình 5-8). Vì chiều dài phân tố là vô cùng bé nên có thể coi lực phân bố q(z) là phân bố đều. q(z) = q = const Hợp lực của lực phân bố đó bằng q.dz. Giả thiết nội lực ở mặt cắt trái là Qy , Mx ở mặt cắt phải là: Qy + dQy .Mx + dMx và dấu của chúng đều dương. Phương trình hình chiếu của các lực lên phương y: 69
  10. Vậy: Đạo hàm bậc nhất của lực cắt Qy theo biến số z tại một điểm bằng cường độ lực phân bố chiều dài tại điểm đó. 2- Liên hệ lực cắt và mômen uốn nội lực. Lấy mômen của các lực đối với điểm 0 là trọng tâm mặt cắt phải (hình 5-8). Vậy: Đạo hàm bậc nhất của mômen uốn nội lực theo biên số z tại 1 mặt cắt bằng trị số lực cắt tại mặt cắt đó. 3- Liên hệ mômen uốn nội lực với tải trọng phân bố. Từ (5- 1) và (5-2) ta cố thể suy ra liên hệ: Vậy: Đạo hàm bậc hai của mômen uốn nội lực tại 1 mặt cắt số z bằng cường độ lực phân bố chiều dài ℓ ại đó. 4- Liên hệ lực tập trung, mômen tập trung với nội lực. Để xét những liên hệ này ta tách ra một phân tố có chiều dài vô cùng bé dz tại điểm đặt lực tập trung P và mômen tập trung M (hình 5-7). Nội lực ở mặt cắt trái của phân tố là Qy1, Mxl , ở mặt cắt phải là Qy2 , Mx2 (hình 5-9). 70
  11. Vậy tại chỗ có lực tập trung lực cắt có số gia bằng chính lực tập trung đó. o P.dz Bỏ qua các vô cùng bé về mômen: Qy1 .dz và z 2 Ta có: Mx2 – Mx1 = M Hay: Mx = M (5-5) Vậy tại chỗ có mômen ngoại lực tập trung, mômen uốn nội lực có số ra bằng trị số momen ngoại lực đó. 5- Nhận xét chung. Từ 5 liên hệ vi phân trên ta có một số nhận xét để vẽ nhanh và kiểm tra biểu đồ nội lực. a) Về dạng biểu đồ Qy , Mx: - Từ (5- 1) ta thấy: dQy + Đoạn không có tải trọng phân bổ (q = 0) hay = 0 tức Qy = const(hằng số). dz dQy + Đoạn q = const ( = const): Qy có dạng bậc 1. dz - Từ (5-2) ta thấy: dM x + Đoạn Qy = const ( = const): Mx có dạng bậc 1. dz + Đoạn Qy bậc 1: Mx có dạng bậc 2. b) Về chiều biến thiên của biểu đồ Qy , Mx: - Từ (5- 1) ta thấy: dQy + Nếu q > 0 (hướnglên) thì > 0 tức hàm Qy đồng biến (hình 5-l0a). dz + Nếu q < 0 (huớng xuống): hàm Qy nghịch biến (hình 5-l0b). 71
  12. Từ (5-2) ta thấy: dM x + Nếu Qy > 0 (tức >0): hàm M đồng biến (hình 5- 11a) dz + Nếu Qy 0 (hướng lên): > 0 ; đường cong Mx lõm theo chiều dương của dz2 trục Mx (hình 5- 12a). d2Mx - Nếu q < 0 (hướng xuống): < 0; đường cong Mx lồi theo chiều dương của dz2 trục Mx (hình 5- l2b). Qua hình 5-12 một cách trực giác, ta luôn thấy: đường cong Mx luốn có khuynh 72
  13. hướng hứng lấy tại trọng phân bố. Nếu nằm vững các nhận xét trên chúng ta có thể vẽ nhanh chóng các biểu đồ nội lực và kiểm tra chúng mà không cần phải qua đầy đủ các bước như đã nêu ra ở hai ví dụ trên. Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm (hình 5- 13a). Giải: a) Xác định phân lực liên kết: Giả thiết chiều YA, YB như hình 5-13a. b) Vẽ biểu đồ Qy (hình 5- 13b). 73
  14. - Trước tiên vẽ cho đoạn đơn giản BC: Xét 1 mặt cắt bất kỳ trong đoạn BC ta thấy Qy = + qα = const. Để đảm bảo tại C biểu đồ Qy có bước nhảy bằng P = 2qα tạt C ta phải lấy xuống dưới đường chuẩn 1 giá trị Qy = - qα (có lấy như vậy chiều bước nhảy mới theo chiều lực P) - Đoạn AC: Tại A; biểu đồ Qy phải có bước nhảy bằng YA = 3qα, chiều bước nhảy theo chiều YA. Sau đó Qy nghịch biến theo qui luật bậc 1 (vì đoạn này q = const và có dấu âm do hướng xuống). - Cả biểu đồ Qy có ba bước nhảy lại A, C, B như hình 5- 13b. Biểu đồ Qy được vẽ xong. c) Vẽ biểu đồ Mx (hình 5-13c) - Đoạn BC: tại B không có mômen tập trung nên tại đó Mx = 0. ’ đoạn này Qy = const nên Mx bậc. 1- Vì Qy > 0 nên Mx đồng biến: 2 Nội lực tại C: Mx = YB.α = qα . Biểu đồ Mx đoạn BC được vẽ xong. - Đoạn AC: biểu đồ Mx phải có khuynh hướng hứng lấy tải trọngphân bổ q. Tại điểm 1, lực cắt Qy = 0, nên tại đó Mx phải có cực trị. Điểm cực trị này chia đường cong Mx trong đoạn AC ra làm hai phần. + Đoạn AI: Qy > 0 ; Mx đồng biến. + Đoạn IC: Qy < 0 ; Mx nghịch biến. Tại A không có mômen ngoại lực tập trung nên tại đó Mx = 0 2 Tại C có mômen ngoại lực M = 5 qα . Để đảm bảo biểu đồ Mx ở tại C có bước 2 nhảy bằng 5qα2, ta phải lấy xuống phía dưới 1 giá trị bằng 4 qα . Bằng tính toán đồng dạng ta có đoạn Al = 3α (hình 5-13b). Ở đây ta có thể khảo max sát phương trình dạng Qy = 0. Cuối cùng để tìm M x tại I ta dùng một mặt cắt qua I để tính ngay nội lực tại đó. Xét phần trái (hình 5- 14) ta có: Biểu đồ Mx đoạn AC được vẽ cong. Cần chú ý rằng: quá trình phân tích thì dài dòng nhưng thực tế chỉ cần hiểu để vẽ nhanh và đúng biểu đồ nội lực thì cách làm này rất ngắn gọn. 74
  15. PHẦN II TÍNH TOÁN ĐỘ BỀN DẦM CHỊU UỐN PHẲNG Ta xét hai trường hợp: - Dầm chịu uốn thuần tuý phẳng (gọi tắt là uốn thuần tuý). - Dầm chịu uốn ngang phẳng. §1- UỐN THUẦN TUÝ. 1- Định nghĩa: Một dầm (đoạn dầm) gọi là chịu uốn thuần tuý nếu mọi tiết diện của nó chỉ có một thành phần mômen uốn nội lực Mx nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm (hình 5-l5). Mặt phẳng quán tính chính trung tâm là mặt phẳng tạo bởi một trục quán tính chính trung tâm và trục thanh (trục z). Ở hình 5- l5 mặt phẳng yOz là mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Đó cũng là mặt phẳng tải trọng (mặt phẳng đối xứmg). Ví dụ: Dầm AB chịu uốn thuần tuý vì mọi mặt cắt chỉ có Mx còn lực cắt Qy = 0 (hình 5- 16) Đoạn IK của dầm (hình 5-17) chịu uốn thuần tuý vì trong đó chỉ có Mx, còn lực cắt Qy =0 2- Đường trung hoà: Xét một đoạn thanh chịu uốn thuần tuý. Khi bị uốn các thớ trên bị co lại, cái thớ dưới dãn ra (hình 5-18). Trong các thớ đó có thớ 0102 chỉ bị uốn từ đường thẳng sang cong, còn chiều dài của thớ đó so với lúc chưa bị biến dạng vẫn không đổi. Thớ đó gọi là thớ trung hoà. Các thớ trung hoà có thể tưởng tượng được xếp trên một mặt cong phẳng gọi là mặt 75
  16. trung hoà. Giao tuyến của một trung hoà với mặt phẳng tiết diện gọi là đường trung hoà (trục x). Trục y là giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt phẳng tiết diện nên gọi là đường tải trọng. Ở đây đường trung hoà x luôn vuông góc với đường tải trọng y. 3- Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang: a) Các giả thuyết: Để làm cơ sở cho việc thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang, người ta đưa ra các giả thuyết sau: 1) Giả thuyết Bécnuli: Các mặt cắt ngang của dầm trước và sau biến dạng luôn phẳng và vuông góc với trục thanh. 2) Các thớ dọc của dầm không tác dụng 1ẫn nhau trong khi biến dạng: 3) Vật liệu 1àm việc trong giới hạn của định 1uật Húc. Các giả thuyết trên đã được kiểm nghiệm là đúng đắn trong hàng loạt thí nghiệm. b) Ứng suất trên mặt cắt ngang. Tìm ứng suất tại điểm A (x, y) bất kỳ trên mặt cắt ngang? (hình 5- 19a). - Trước tiên ta hãy xét xem tại A có thành phần ứng suất gì? Để khảo sát ta tách ra một phân tố hình hộp vô cùng bé xung quanh điểm A (hình 5- 19b). + Dựa vào giả thuyết I ta thấy: Phân tố tại A không thể có ứng suất tiếp  được. Thực vậy nếu trên mặt song song với mặt cắt ngang có  thì trên mặt vuông góc với nó cũng có ứng suất tiếp, các góc vuông của phân tố bị xô lệch. Nếu xét nhiều phân tố sát nhau thì điều này làm cho mặt cắt ngang không phẳng và vuông góc với trục thanh. Vậy trên phân bố tại A không thể có . + Dựa vào giả thuyết 2 ta thấy: theo phương x, y không có ứng suất pháp (x = y = 0). Vậy phân tố tách ra từ điểm A chỉ có ứng suất pháp duy nhất theo phương z (z). - Vấn đề thứ hai là: xác định chiều của z? Trên hình 5- 19a, xung quanh điểm A ta xét một phân tố diện tích vô cùng bé dF. Giả thiết chiều z tại A như hình vẽ. Ta thấy các vi phân nội lực z dF phải gây ra các 76
  17. vi phân mômen y.z .dF cùng chiều với Mx (là mômen tổng hợp của các vi phân mômen đó). Như vậy: chiều của z được xác định. - Vấn đề thứ ba là: tìm trị số của z? Dựa vào giả thuyết 3 ta có: z = Ez (5-7) E 1à mô đuyn đàn hồi của vật liệu (xem chương kéo nén đúng tâm). Để tìm biến dạng tỷ đối z trong (5-7). Ta xét một đoạn dầm có chiều dài vô cùng bé dz. (hình 5-20a). Trên hình 5-20a ta xét thớ AB cách thớ trung 0102 một đoạn y. Trước biến dạng mọi thớ đều có chiều dài bằng dz. Sau biến dạng thớ trục bị cong đi, thành thớ trung hoà, nhưng chiều dài của thớ trung hoà vẫn bằng dz (hình 5-20b). p là bán kính cong của thớ trung hoà. 77
  18. (5-10) là công thức tính độ cong của thớ trung hoà (độ cong của trục dầm). Thay (5-10) vào (5-9), ta được: (5- 11) là công thức tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang tại điểm A(x, y). Mx là mômen uốn nội lực tại mặt cắt đang xét Quy ước: Mx > 0 nếu làm căng thớ nằm về phía chiều dương của trục y (hình 5-21). Jx là mômen quán tính của toàn bộ mặt cắt ngang đối với trục trung hoà x. Trong công thức (5-11) ta phải xét dấu của hai đại lượng: Mx , y. Để tránh phiền phức trên, người ta đưa ra công thức kỹ thuật: Trong công thức (5-12) z lấy dấu + nếu điểm đang tính ứng suất ’ vùng kéo (dãn), lấy dấu - nếu điểm tính ứng suất ’ vùng nén (co). 78
  19. Ở hình 5-22 ta thấy: Mọi điểm nằm dưới trục trung hoà x đều ở vùng kéo nên ứng suất lấy dấu (+), mọi điểm nằm trên trục trung hoà x đều ’ vùng nén nên ứng suất lấy dấu (-). * Nhận xét: Trong trường hợp uốn thuần tuý: trục trung hoà x chính là trục trung tâm của mặt cắt (hay trục trung hoà x luôn qua trung tâm C của mặt cắt ngang). Thực vậy nếu gọi z. dF là vi phân nội lực tác dụng lên phân tố diện tích dF. Tổng các vi phân lực đó chính là Nz. Vì mặt cắt ngang chỉ có Mx nên Nz = 0. E Tỷ số không thể bằng không, nên để biểu thức (a) thoả mãn thì chỉ còn có khả p năng mômen lĩnh Sx = 0, tức trục trung hoà x là trục trung tâm. 1 2- Trong (5- 10) ta thấy: nếu tích số EJx càng lớn thì độ cong của dầm càng p nhỏ, tức bán kính cong của trục dầm càng lớn. Điều đó có nghĩa: nếu tích EJx càng lớn thì trục dầm càng ít bị uốn cong. Vì lý do đó người ta gọi tích EJx là độ cứng khi uốn của dầm. 4- Biểu đồ ứng suất pháp và mặt cắt hợp lý. a) Biểu đồ ứng suất pháp: M x Xét công thức: z= . y J x Tại 1 mặt cắt Mx, Jx có giá trị xác định không đổi. Vì vậy trong công thức đó z phụ thuộc bậc nhất đối với tung độ y Để biểu diễn sự biến thiên của ứng suất, pháp dọc theo chiều cao mặt cắt người ta dùng biểu đồ ứng suất pháp. Vì biểu đồ z = f(y) có dạng đường bậc nhất nên chỉ cần xác định hai giá trị. 79
  20. Tại: y = 0 (ứng với các điểm trên trục trung hoà x): z = 0 Tại: y = yk (ứng với các điểm ở mép dưới mặt cắt), hình 5-23a). Tại: y = yn (ứng với các điểm ’ mép trên mặt cắt). Biểu đồ ứng suất pháp được vẽ ở hình 5-23b. yk, yn là tung độ của điểm nguy hiểm về kéo và nén. b) Mặt cắt hợp lý: Một mặt cắt của dầm chịu uốn thuần tuý gọi là được thiết kế hợp lý nếu điểm nguy hiểm về kéo (max) và điểm nguy hiểm về nén (min) bị phá hỏng cùng một lúc. Nói cách khác, khi max đạt từ []k thì cùng lúc đó σ min cũng đạt tới []n. Vậy: Một mặt cắt gọi là hợp lý nếu nó được thiết kế thoả mãn biểu thức (5- 17). - Với vật liệu dòn: Vì []k < []n nên α < 1. Do đó từ (5-l7) ta thấy: mặt cắt hợp lý của loại vật liệu này là các loại mặt cắt sao cho yk < yn . Đó là các dạng mặt cắt chỉ có một trục đối xứng, còn trục trung hoà x không phải là trục đối xứng (hình 5-24). 80
  21. - Với vật liệu dẻo: Vì []k = []n = [] nên α = 1. Do đó, từ (5- 17) ta thấy: mặt cắt hợp lý của loại vật liệu này là các mặt cắt sao cho yk = yn . Đó là các mặt cắt có hai trục đối xứng. Trục trung hoà x cũng là một trục đối xứng (hình 5-25). 5- Điều kiện bền khi uốn thuần tuý. Trên hình 5-23 ta thấy: tại một mặt cắt ngang, với một trị số Mx, xác định ta luôn có hai giá trị ứng suất pháp cực trị (max, min). Trên biểu đồ Mx mômen uốn nội 1ực Mx biến thiên theo trục dầm. Tại mặt cắt max nguy hiểm (có Mx ) hai giá trị ứng suất tại hai mép ngoài cùng ’ mặt cắt sẽ là max max và min min Xét hai trường hợp sau: a) Trường hợp vật liệu dòn, mặt cắt có một trục đối xứng: (hình 5-26a). Mặt cắt nguy hiểm: 81
  22. Biểu đồ ứng suất pháp (hình 5-26b) cho thấy các điểm nguy hiểm về kéo (max max) ’ mép dưới mặt cắt (điểm A); các điểm nguy hiểm về nén (min min) ’ mép trên mặt cắt (điểm B). Tách ra tại A và B các phân tô hình hộp vô cùng bé (hình 5-26c) ta thấy chúng đều ’ trạng thái ứng suất đơn. Vậy điều kiện bền cho điểm nguy hiểm vẽ kéo và nén là: b) Trường hợp vật liệu dẻo, mặt cắt có hai trục đối xứng (hình 5-27a). 82
  23. Wx gọi là môđuyn chống uốn của mặt cắt. 3 Từ (5-20) ta thấy thứ nguyên của Wx là L . Đơn vị là: m3, cm3, mm3, Ta thấy các điểm A và B trên hình 5-27a đều có trị số ứng suất bằng nhau và chúng đều ở trạng thái ứng suất đơn (hình 5-27c). Vật liệu dẻo chịu kéo nén tốt như nhau nên điều kiện bền chỉ là: Mặt cắt hình tròn rỗng (hình 5-29) 83
  24. c) Các bài toán tính bền - trình tự tính toán bền đối với dầm chịu uốn thuần tuý. Từ điều kiện bền (5- 18) hoặc (5-20) ta có dạng bài toán tính toán về bền. + Kiểm tra bền: tức là xem các biểu thức (5- 18) hoặc (5-20) có thoả mãn không. max + Chọn tải trọng cho phép (qua trị số Mx ). + Chọn tiết diện (qua Wx) - Trình tự các bài toán tính bền: + Vẽ biểu đồ mômen uốn nội lực Mx. max + Xác định mặt cắt nguy hiểm (có Mx ). + Viết các điều kiện bền (5-18) hoặc (5-20) để kiểm tra bền, chọn tải trọng cho phép hoặc chọn tiết diện. §2- UỐN NGANG PHẲNG 1- Định nghĩa: Một dầm (đoạn dầm) gọi là chịu uốn ngang phẳng nếu mọi mặt cắt ngang của nó xuất hiện một cặp nội lực là lực cắt Qy và mômen uốn Mx nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm (hình 5-30) Mômen uốn nội lực Mx sẽ gây ứng suất pháp, còn lực cắt Qy sẽ gây ứng suất tiếp nên ta sẽ xét hai tại ứng suất đó. 2- Ứng suất pháp. Bằng hàng loạt thí nghiệm và lý thuyết đàn hồi đã chứng minh: mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng không hoàn toàn phẳng và vuông góc và trục thanh như uốn thuần tuý, nhưng sự biến dạng của mặt cắt ngang dù là không đáng kể và có thể bỏ qua. Vì vậy, người ta vẫn dùng công thức ứng suất pháp của uốn thuần tuý. 84
  25. Tất nhiên hai công thức (5-21), (5-22) dùng ở đây chỉ là gần đúng, nhưng đủ đáp ứng yêu cầu kỹ thuật. 3- Ứng suất tiếp: a) Công thức Jurapski: Xét một mặt cắt có riêng lực cắt Qy tác dụng (hình 5-31). Tìm ứng suất tại điểm M trên mặt cắt có tung độ y? Turapsk tiến hành như sau: Kẻ qua M một đoạn ab. Chiều dài ab ứng với điểm M gọi là bề rộng cắt (bc). Phần diện tích nằm dưới đoạn ab gọi là diện tích cắt (Fe). Jurapski đã chứng minh: ứng suất tiếp tại mọi điểm trên đoạn ab có phương song song với trục y (ký hiệu zy), có chiều theo chiều của lực cắt Qy, có trị số đều bằng nhau và bằng: Trong đó: Q là lực cắt tại mặt cắt đang xét. Jx là mômen quán tính của toàn bộ mặt cắt lấy đối với trục trung hoà x. bc là bề rộng cắt (biến đổi theo điểm cần tính ứng suất tiếp). c c c Sx là mômen tĩnh của phần diện tích F đối với trục x (Sx biến đổi theo bc). c Nếu biết tung độ trọng tâm yc của Fc (hình 5-31) thì Sx có thể tính: Ví dụ: Tìm công thức ứng suất tiếp đối với trường hợp mặt cắt chữ nhật (hình 5- 32a). Vẽ biểu đồ ứng suất tiếp? Áp dụng công thức Jurapski (5-23); ta có: 85
  26. c b h 2 Do đó: Sx = ( - y ) 2 4 thay vào (5-23), ta có: 2 6Qy h 2 zy = ( - y ) (5-25) bh 2 4 Từ (5-25) ta thấy: zy biến thiên theo qui luật bậc 2 đối với tung độ y. h Tại mép của mặt cắt (y = ) : zy = 0 2 3 Qy Tại trục trung hoà x (y = 0): max = (5-26) 2 bh Biểu đồ ứng suất tiếp zy được vẽ ở hình (5-32b). 4- Điều kiện bền khi uốn ngang phẳng. Trong dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài ứng suất pháp như uốn thuần tuý còn có ứng suất tiếp. Trong tính toán bền, người ta thường bỏ qua ảnh hưởng của ứng suất tiếp mà chỉ quan tâm tới ứng suất pháp vì ảnh hưởng của ứng suất tíếp so với ứng suất pháp là không đáng kể. Thực vậy, có thể xét một trường hợp đơn giản sau (hình 5-33a). 86
  27. Biểu đồ nội lực như hình 5-33b và c. max Mặt cắt nguy hiểm tại ngàm có Mx = Pl; Qy = P Ứng suất pháp cực đại: Ứng suất tíếp cực đại tính theo (5-26). Ta thấy: dầm là vật thể thanh, do đó chiều cao h rất nhỏ so với chiều dài ℓ . Vì h vậy tỷ số là rất bé. Điều đó chứng tỏ ứng suất tiếp bé hơn rất nhiều so với ứng suất 4l pháp nên có thể bỏ qua. Kết luận: Tính toán bền cho uốn ngang phẳng giống uốn thuần tuý (xem mục 5 tiết §1). *Chú ý: Nếu gặp những mặt cắt có bề rộng hẹp như ở hình 5-34 thì ứng suất tiếp có trị số khá lớn không thể bỏ qua (trường hợp này cần tham khảo giáo trình của Bộ Đại học và THCN - tập 1 - 1969). Ví dụ: Chọn tải trọng cho phép tác dụng lên dầm AB (hình 5-35a) nếu  = l6kN/cm2; a= 10cm; dầm có mặt cắt chữ nhật h = 2b = 6cm. Giải: 1 - Vẽ biểu đồ nội lực Qy, Mx (hình 5-35b, c). (Biểu đồ Qy để kiểm tra Mx). 87
  28. max 2 2- Chọn mặt cắt nguy hiểm, mặt cắt tại ngàm A. Mx = -3qα 3- Điều kiện bền cho điểm nguy hiểm. Điểm nguy hiểm về kéo và nén tại mặt cắt nguy hiểm chỉ trên hình 5-36. 88
  29. PHẦN III TÍNH TOÁN ĐỘ CỨNG DẦM VÀ KHUNG CHỊU UỐN §1- BIẾN DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN ĐỘ CỨNG. 1- Biến dạng và chuyển vị uốn: Xét 1 dầm chịu uốn (hình 5-37). Đường biên dạng của trục dầm (đường đứt nét) gọi là đường đàn hồi. Do dầm bị biến dạng, một điểm k bất kỳ trên dầm sẽ chuyển tới vị trí mới k’. kk’ gọi là chuyển vị toàn phần của điểm k. Chuyển vị kk’ được phân làm hai thành phần: chuyển vị đúng y (thường gọi là độ võng và chuyển vị ngangz). Trong thực tế, chuyển vị ngang z có giá trị nhỏ hơn rất nhiều so với độ võng y nên có thể bỏ qua. Do đó coi dầm chỉ có độ võng y, sơ đồ biến dạng gần đúng của dầm được chỉ trên hình 5-38 Phương trình y = f(z) gọi là phương trình đường đàn hồi. Sau biến dạng, mặt cắt ngang tại k bị xoay đi một góc θ (θ gọi là góc xoay của mặt cắt tại k). Trên hình 5-38 ta thấy θ còn là góc giữa tiếp tuyến của đường cong y = f(z) tại điểm k với phương trục z. Theo toán học ta có: y’ = tgθ Vì các giá trị độ võng y là rất bé (so với bản thân kích thước dầm) nên gốc θ rất bé. Do đó có thể xem: θ tgθ = y’. Đó là liên hệ góc xoay và độ võng. Kết luận: Khi dầm bị uốn có hai loại chuyển vị: - Chuyển vị đứng (độ võng) y. - Góc xoay: y’ = θ. * Quy ước dấu của chuyển vị: Trong hệ toạ độ yoz như hình 5-38. y > θ nếu điểm tính độ võng bị võng xuống và ngược lại. 0 > θ nếu mặt cắt tính góc xoay quay thuận chiều kim đồng hố và ngược lại. 89
  30. 2- Điều kiện cứng và phương pháp tính toán độ cứng. Các chi tiết máy (kết cấu) ngoài đảm bảo điều kiện bền còn phải đảm bảo cả điều kiện cứng để cho chúng làm việc bình thường (ví dụ trục chính của máy tiện nếu không có độ cứng cần thiết thì đầu trục chính sẽ bị đảo nhiều, ảnh hưởng lớn tới độ chính xác của chi tiết gia công. Trục rôto của động cơ điện nếu không có độ cứng cần thiết thì do có lực quán tính ly tâm tác dụng vào rôto, trục rôto sẽ có biến dạng lớn làm cho rôto bị sát vào stato, do đó động cơ bị phát nóng. Các trục truyền của máy nếu có biến dạng lớn sẽ làm các bánh răng gắn vào nó ăn khớp không tốt, khi máy chạy sẽ phát sinh nhiều tiếng ồn và làm giảm tuổi thọ bánh răng. Ngoài ra, các trục truyền biến dạng lớn sẽ làm cho ổ trượt mòn không đều (nếu vật liệu trục cứng hơn ổ) và trục mòn không đều (nếu vật liệu ổ cứng hơn trục). Đó là hiện tượng bị dơ giữa ổ và trục làm cho máy chạy bị giảm tuổi thọ và phát sinh tiếng ồn lớn. Các ví dụ trên cho thấy: cần phải khống chế biến dạng (chuyển vị) ở dầm trong một phạm vi cho phép, tức là: ymax, θmax là độ võng và góc xoay cực đại tính toán được ở dầm f , |θ| là độ võng và góc xoay cho phép (được lấy theo qui phạm hay điều kiện làm việc của chi tiết máy). Ví dụ 3 5 - Trục có công dụng chung: f =  ℓ: 10.000 10.000 ℓ là chiều dài trục. - Trục động cơ điện: f = 0,1 ( là khe trở giữa rôto và stato). - Cho nối bánh xe và trục: |θ| = 10-3 Rad - Tại ổ trượt: |θ| = 10-3 Rad Công thức (5-27) là điều kiện cứng đối với dầm chịu uốn. Từ (5-27) ta cũng có ba bài toán tinh cứng. + Kiểm tra độ cứng. + Chọn tải trọng cho phép. + Chọn tiết diện. 90
  31. §2- PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI. Ở (5-l0) ta đã có công thức tính độ cong của trục dầm sau biến dạng. ( là bán kính cong của thớ trung hoà hay trục dầm sau biến dạng). Mặt khác, trục dầm sau biến dạng là một đường cong biểu diễn hàm y = f(z). Theo toán học, độ cong của đường cong biểu diễn hàm y = f(z) là: Vì góc xoay θ = y’ là vô cùng bé. y’2 là vô cùng bé bậc hai nên có thể bỏ qua. M Vậy: y’’ = x (c) EJ x Ta xét dấu biểu thức (c)? Tính EJx luôn dương. Vậy xét dấu biểu thức (c) tức là xét mối quan hệ về dấu của hai đại lượng y" và Mx: Quan hệ đó được chỉ trên hình 5-39. Từ hình vẽ đó ta thấy: y" luôn ngược dấu với Mx (5-28) là phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi. 91
  32. §3- TÍNH CHUYỂN VỊ THEO ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA THẾ NĂNG. 1- Định lý Catilianô: "Đạo hàm riêng của thế năng theo một lực Pknào đó bằng chuyển vị theo phương của lực đó”. Thế năng biến dạng đối với dầm chịu nén được tính theo biểu thức: Chứng minh: Xét một hệ đàn hồi chịu các lực Pi (i = 1, 2, n) và lực Pk (hình 5-40a). Chuyển vị dưới điểm đặt của lực Pk do chính nó gây ra là k. o Lại xét hệ đàn hồi giống như trên chịu lực Pi và một lực (Pk + d n). Ta chú ý tới công của vi phân lực dPk trên đoạn chuyển vị (hình 5-40b). Lực dPk di chuyển trên hai đoạn k và d k. ( k là chuyển vị không phải do dPk gây ra, d k là chuyển vị do chính nó gây ra). Nó sinh công là dA = dAl + dA2. dAl là công khả dĩ của dPk (công trên đoạn chuyển rời k không phải nó gây ra). dA2 là công thực của dPk (công trên đoạn chuyển dời d k do chính nó gây ra – công biến dạng). Lượng dA2 là vô cùng bé bậc cao nên có thể bỏ qua. Vậy: dA = dPk. k (5-31) Ta thấy: khi chưa có lực dPk dầm có đường biến dạng 1 (hình 5-40a) và tích luỹ 1 thế năng biến dạng đàn hồi U khi có thêm lượng dPk dầm có đường biến dạng (hình 92
  33. 5-40b) nên trong dầm có thêm một thế năng biến dạng đàn hồi dU. Vì dU là vi phân riêng phần của U khi riêng Pk thay đổi một lượng dPk nên theo toán học ta có: Theo định1ý bảo toàn năng 1ượng ta có dA = dU. Nên từ (5-31), (5-32) ta có: 2- Trình tự tính chuyển vị theo đạo hàm riêng của thế năng. - Viết phương trình mômen uốn nội lực: Mx = f(z). - Tính thế năng biến dạng đàn hồi theo (5-30). - Tính chuyển vị k theo (5-29). *Chú ý: + Nếu muốn tìm chuyển vị thẳng ta đạo hàm riêng thế năng U theo lực tập trung. Nếu muốn tìm góc xoay ta đạo hàm riêng thế năng U theo nhóm mômen tập trung. + Nếu cần tính chuyển vị tại một điểm (hoặc một mặt cắt) nào đó mà ở đó không có lực thì ta đặt thêm một lực giả vào đó. Coi lực giả cũng như các lực khác để viết phương trình nội lực và tính thế năng U. Sau khi đạo hàm riêng U theo lực giả đó thì cho lực giả bằng không (vì thực tế nó không có) Ví dụ: Tìm yA và θA (hình 5-41a). Giải: - Tìm yA : + Phương trình nội lực: Mx = - P.z. + Thế năng biến dạng đàn hồi: 93
  34. (yA > 0 chứng tỏ điểm A chuyển vị xuống đúng theo chiều lực P). - Tìm θA: vì mặt cắt tại A không có mômen tập trung nên ở đây ta đặt thêm một mômen giả Ж vào mặt cắt đó (chiều tuỳ ý). Ta coi P và Ж đều là ngoại lực tác dụng vào dầm (hình 5-41b). + Phương trình nội lực: Mx = -P.z+Ж +Thế năng biến dạng đàn hồi: + Tìm θA: Đạo hàm thế năng U theo mômen giả Ж. Cho mômen giả bằng không (vì nó không có); ta có: (θA < 0 chứng tỏ mặt cắt tại A xoay ngược chiều mômen Ж đã giả thiết). 94
  35. 3- Nhận xét: Phương pháp tìm chuyển vị theo đạo hàm riêng của thế năng không thuận tiện đối với các trường hợp: - Dầm có nhiều đoạn tải trọng. - Dầm có độ cứng EJ thay đổi. - Chuyển vị cần tìm ở chỗ không có lực. §4- TÍNH CHUYỂN VỊ THEO TÍCH PHÂN MO: 1 - Công thức Mo: Cho một hệ đàn hồi chịu các lực: Pi (i = 1, 2, n). Tìm chuyển vị theo phương k bất kỳ? (hình 5-42a). Tiến hành: Đặt thêm vào hệ đã cho một lực giả Pk theo phương k (hình 5-42b). Coi Pk cũng là ngoại lực có vai trò như Pi. Mômen uốn nội lực tại mặt cắt 1-1 trong hệ hình 5-42b là: Mx = Mp + Mk Mp là mômen uốn nội lực do tải trọng thật Pi gây ra. Mk là mômen uốn nội lực do tải trọng giả Pk gây ra. Nếu bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc, lực cắt thì thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong hệ là: Gọi Mk là nội lực đơn vị do Pk = 1 gây ra thì: Thay (b) vào (a) ta có: Theo định nghĩa Catilianô, chuyển vị theo phương k sẽ là: 95
  36. (5-33) là công thức tính chuyển vị đối với dầm vào khung chịu uốn của Mo. Trong đó: Mk là nội lực đơn vị do lực đơn vị Pk = 1 gây ra. Mp là nội lực do tải trọng thật (có sẵn trên hệ) gây ra. EJx là độ cứng dầm (khung) chịu uốn. * Chú ý: trong công thức (5-33) ta đã không kể đến ảnh hưởng của lực dọc, lực cắt tới chuyển vị tác dụng của nó tới chuyển vị là không đáng kể như với mômen nội lực Mx. 2- Trình tự tính chuyển vị theo tích phân Mo: - Viết phương trình mômen uốn nội lực do tải trọng thật (có sẵn trên hệ) gây ra: Mp = Mx = f1 (z). - Tạo “hệ giả” bằng cách đặt lực đơn vị Pk = 1 (hoặt Жk vào điểm (hoặc mặt cắt) cần tính chuyển vị. Viết phương trình nội lực đơn vị đo lực đơn vị gây ra: Mk = f2 (z) - Thay Mp, Mk vào (5-33) để tính k. Chú ý: Nếu cần tìm chuyển vị thẳng ta đặt lực đơn vị Pk = 1 vào điểm cần tính chuyển vị. Nếu cần tính góc xoay ta đặt mômen đơn vị Жk = 1 vào mặt cắt cần tính góc xoay (chiều tuỳ ý). Ví dụ 1 : Tìm yA, θA đối với dầm (hình 5-43a) cho EJ = const. Giải: Tìm yA: + Phương trình nội lực ở hệ thật: Mp = Mx = - P.z + Đặt Pk = 1 vào điểm A (chiều tuỳ ý) 96
  37. Nội lực đơn vị ở hệ giả 1(hình 5-43b). (yA > 0 chứng tỏ điểm A chuyển vị xuống đúng chiều Pk = 1 đã giả thiết) - Tìm θA: + Phương trình nội lực  hệ thật: Mp = - P.z. + Đặt mômen đơn vị Жk = 1 vào tiết diện A (chiều tuỳ ý). Nội lực đơn vị ở hệ giả 2 là: + Thay vào (5-33) ta có: (yA < θ chứng tỏ mãt cắt tại A xoay ngược chiều với mômen đơn vị Жk = 1 đã giả thiết). Ví dụ 2: Tìm yk đối với khung (hình 5-44a). Giải: - Phương trình nội lực do tải trọng thật (hình 5-44a): Đoạn AB : Mp = P.z (0 ≤ z ≤ 2a) Đoạn BC: Mp = 2Pa (0 ≤ z ≤3a) (giả thiết mômen căng thớ ngoài dương). - Phương trình nội lực đơn vị do Pk = 1 gây ra đặt vào điểm tính chuyển vị A (hình 5-44b): 97
  38. (yk > 0 chứng tỏ điểm k chuyển vị xuống theo đúng chiều lực Pk = 1 đã giả thiết) 3- Nhận xét: Phương pháp tính chuyển vị theo tích phân Mo có nhược điểm là phải phân đoạn để lấy tích phân (đối với trường hợp hệ đang xét có nhiều đoạn tải trọng và hệ có nhiều đoạn độ cứng EJ khác nhau). Để khắc phục nhược điểm trên ta xét cách tính chuyển vị sau: §5- PHÉP NHÂN BIỂU ĐỒ VERÊXAGHIN THÍNH CHUYỂN VỊ. 1- Công thức Verêxaghin. Cho hai hàm F(z) và f(z) cùng biến thiên trong khoảng 0,l và thoả mãn tích l phân I = F(z).f(z) dz. 0 Nếu hai hàm F(z) và f(z) thoả mãn 3 điều kiện (hình 5-4). 1- F(z), f(z) liên tục trong khoảng 0,l . 2- F(z), f(z) liên tục trong khoảng 0,l . 3- f(z) 1à hàm bậc nhất (hoặc nhỏ hơn bậc nhất) có dạng: f(z) = b + k (z). 98
  39. Ý nghĩa hình học của điều kiện 1 là trong khoảng 0,l hai hàm F(z) và f(z) không được có điểm dừng (bước nhảy). Ý nghĩa hình học của điều kiện 2 là trong khoảng 0,l 2 hàm F(z), f(z) không có điểm gẫy. Lúc đó tích phân I sẽ được tính theo công thức: Trong đó: F là biểu đồ dưới hàm F(z). f là biểu đồ dưới hàm f(z). Ω là diện tích của biểu đồ dưới hàm F(z) có trọng tâm C (hình 5-45a). ηc là tung độ ứng với trọng tâm của diện tích Ω và lấy trên biểu đồ dưới hàm f(z) (hình 5-45b). Công thức (5-34) gọi là công thức nhân biểu đồ tổng quát của Verêxaghin. Chứng minh: Về ý nghĩa hình học ta thấy F(z)dz biểu diễn diện tích dưới hàm F(z) trong khoảng 0,l : 99
  40. Ta lại thấy tích phân zd biểu diễn mômen tĩnh của điện tích Ω đối với Ω trục  y1. Đó là điều phải chứng minh. Áp dụng công thức (5-34) vào công thức Mo (5-33) ta có: (5-35) là công thức tính chuyển vị theo nhãn biểu đồ verêxaghin đối với dầm, khung chịu uốn. Trong đó: Mk là biểu đồ mômen đơn vị do Pk = I (hoặc ЖK = I) gây ra. M P là biểu đồ mômen do tải trọng thật (có sẵn trên hệ) gây ra. M Ω- là phần diện tích của biểu đồ P trong đoạn thứ i. η- 1à tung độ ứng với trọng tâm Ωi lấy trên biểu đồ MK . EJ – là độ cứng trong đoạn thứ i của dầm (khung). Cũng như (5-34) khi sử dụng công thức (5-35) tính chuyển vị phải chú ý ba điều kiện: M Mk - Biểu đồ P , không có bước nhảy trong cùng một khoảng. M Mk - Biểu đồ P , không có điểm bị gẫy trong cùng một khoảng Mk - Biểu đồ phải nhỏ hơn hay bằng bậc nhất. 2- Trình tự tính chuyển vị theo nhân biểu đồ VeRêxaghin: M - Vẽ biểu đồ P do tải trọng thật (có sẵn trên hệ) gây ra. - Đặt 1 lực đơn vị Pk = 1 (hoặc mômen đơn vị ЖK = 1) vào điểm tính chuyển vị MP (hoặc mặt cắt tính góc xoay). Vẽ biểu đồ mômen đơn vị do nó gây ra. 100
  41. Áp dụng công thức (5-35) tính chuyển vị k. 3- Chú ý khi nhân biểu đồ. - Qui ước k > 0 nếu Ω và ηc cùng nằm về một phía của trục chuẩn và ngược lại. MP - Nếu biểu đồ có dạng nhỏ hơn hay bằng bậc nhất ta có thể lấy tung độ ηc M MP trên biểu đồ P để nhân với diện tích Ω trên biểu đồ M - Nếu biểu đồ P có dạng phức tạp ta có thể chia diện tích Ω của biểu đồ này ra làm nhiều hình đơn giản có diện tích Ωi đã biết để dễ nhân biểu đồ. Đó là các hình 5-46. 4- Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm yk đối với dầm cho trên hình 5-47a. Cho EJ = const. Giải: M + Vẽ biểu đồ P do tải trọng thật có sãn trên hệ gây ra (hình 5-47b). + Đặt Pk = 1 và điểm k trong hệ giả. Biểu đồ Mk mômen đơn vị do nó gây ra chỉ trên hình 5-47c. 101
  42. Ví dụ 2: Tìm yk đối với dầm ở hình 5-48a. EJ = const Giải: + Vẽ biểu đồ Mp do tải trọng thật gây ra (Hình 5-48b). Mk + Vẽ biểu đồ do Pk = 1 gây ra (hình 5- M Mk 48c). Ta thấy hai biểu đồ P và không thể Mk nhân với nhau vì tại điểm k biểu đồ có điểm gẫy. Trường hợp này muốn nhận được ta phải vẽ lại M biểu đồ P Hệ hình 5-48a có thể biến đổi thành hệ hình 5- 48d. Ta vẽ biểu đồ nội lực do từng tải trọng tác dụng riêng sẽ gây ra đối với hai đoạn dầm Ak và Bk (tưởng tượng k là một ngàm của hai dầm công xôn Ak và Bk). Các biểu đồ nội lực riêng rẽ đó được chỉ trên hình 5-48c). (yk < 0 chứng tỏ điểm k chuyển vị ngược chiều với lực Pk = 1 giả thiết: chuyển vị lên). Ví dụ 3. Tìm góc xoay tại mặt cắt k (θk) đối với dầm hình 5-49a. EJ = const. 102
  43. Giải: M + Vẽ biểu đồ P do tải trọng thật gây ra. (hình 5-49b). Mk + Vẽ biểu đồ do Mk = 1 đặt vào mặt cắt tại k gây ra (hình 5-49c). + Tìm góc xoay Hình 5-49 (θk < 0 chứng tỏ mặt cắt tại k xoay ngược chiều với mômen đơn vị Mk = 1 đã giả thiết). Ví dụ 4: Tìm chuyển vị ngang của điểm k (xk), chuyển thẳng tương đối hai điểm k và k1 ( kk1), góc xoay trong giữa hai mặt cắt tại k và k2 (θkk2) - hình 5-50a). 103
  44. Giải: Mk - Tìm Xk: Đặt lực Pk = 1 vào điểm k theo phương ngang. Biểu đồ chỉ trên hình 5-50b. (Xk < θ chứng tỏ điểm k chuyển vị ngược chiều lực Pk=1 là giả thiết - Tìm kk1: MP Đặt 2 lực Pk=1 vào hai điểm k và k1 (trực đổi, chiều tuỳ ý). Biểu đồ do nó gây ra chỉ trên hình 5-50d. 104
  45. ( kk1 > 0 chứng tỏ 2 điểm k và k1 xích lại gần nhà theo chiều 2 bậc Pk=1 đã giả thiết). - Tìm θkk2 : Đặt hai mômen đơn vị Mk = 1 vào hai mặt cắt tại k và k2 (chiều ngược nhau) - Mk '' biểu đồ do nó gây ra chỉ trên hình 5-50c. 105
  46. Chương 6 XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG §1- CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chế tạo máy nói riêng và cơ khí nói chung, ta thường gặp một số chi tiết chịu xoắn như trục truyền, mũi khoan, Các dạng chịu lực về xoắn thường kem theo uốn hoặc nén. Ở chương này ta chỉ xét riêng sự xoắn. 1- Ngoại lực xoắn: Ngoại lực xoắn thường gồm 2 dạng: - Ngoại lực xoắn phân bố (hình 6-1) thường gặp ở dạng mũi khoan khoan và chi tiết (ký hiệu: m - đơn vị; kNm/m, ). - Ngoại lực xoắn tập trung (ký hiệu Ж) thường gặn ở dạng các mômen xoắn tập trung. Đơn vị của Ж là: N.m, KNm, loại này thường ở dạng: - Do các ngẫu lực; - Do dời các lực vòng ở các bánh răng, bánh đai, bánh xích - Do công suất (N) của động cơ truyền tới. Nhiều trường hợp ngoại lực xoắn được tính theo công suất và số vòng quay của trục. Xét một puli (hình 6-2) chịu ngoại lực xoắn Ж quay với tộc độ góc ω. Công quay puli: A = Ж. φ = Ж.ωt. Công suất truyền vào puli. Trong đó: N - có đơn vị w ω- có đơn vị 1/s Ж - có đơn vị N.m n - là số vòng quay của trục puli (v/ph) 106
  47. Trong đó: N - có đơn vị w n - có đơn vị v/ph Ж - có đơn vị; N.m (1kw = 103 w) nếu N tính bằng mã lực thì 1 mã lực = 7.60 N.m. N thì: Ж = 7162 (N.m) n 2- Nội lực xoắn : - Định nghĩa: Một thanh thẳng gọi là chịu xoắn thuần tuý nếu mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần mômen xoắn nội lực Mz. Đơn vị của Mz: N.m ; Ncm ; kNm - Cách xác định Mz: bằng phương pháp mặt cắt. - Qui ước dấu của Mz. Nếu nhìn vào mặt cắt của phần đang xét thấy Mz quay cùng chiều kim đồng hồ thì Mz > 0 và ngược lại (hình 6-3). Biểu đồ nội lực Mz: Cũng như phần kéo nén nếu uốn, cần phải tìm mặt cắt nguy hiểm khi xoắn thuần tuý đó là các mặt cắt có trị số Mzmax. Vậy phải vẽ biểu đồ Mz. Để vẽ biểu đồ Mz ta cũng dùng phương pháp mặt cắt. Ví dụ 1: Vẽ biểu đồ Mz và tìm mặt cắt nguy hiểm cho trục chịu xoắn (hình 6-4a). Sơ đồ ngoại lực như hình vẽ. Ж1 = 4000 Ncm; Ж2 = 1000 Ncm Ж3 = 2000 Ncm 107
  48. Giải: Bỏ qua ma sát ở các ổ trục ta có: Ж1 – Ж2 – Ж3 – Ж4 = 0 Suy ra: Ж4 = Ж1 - Ж2 – Ж3 = 1000 Ncm Xét 3 mặt cắt thuộc 3 đoạn AB, BC, CD. + Xét mặt cắt 1-1: Khảo sát phần trái cho đơn giản (hình 6-5) Để phần này cân bằng Mz2 phải ngược chiều với Ж2 và Ж3. Nhìn vào mặt cắt của phần này (nhìn từ phải sang trái) thấy Mz1 quay ngược chiều kim đồng hồ. Vậy: Mz1 = -Ж4 = - 1000 Ncm + Xét mặt cắt 2-2: Khảo sát phần phải (hình 6-6). Để phần này cân bằng MZ2 phải ngược chiều với Ж2 + Ж3 Nhìn vào mặt cắt của phần này (nhìn từ trái sang phải) thấy MZ2 quay cùng chiều kim đồng hồ: Vậy: MZ2 = + 3000 Ncm + Xét mặt cắt 3-3 Khảo sát phần phải cho đơn giản. (hình 6.7) Tương tự như ở mặt cắt 2-2 ta thấy: MZ3 = + Ж3 = + 2000 Ncm Biểu đồ Mz vẽ ở hình 6-4b. Trên biểu đồ ta thấy đoạn BC của trục có trị số: Mzmax = 3000 Ncm 108
  49. Thường dùng trị số này để tính toán bền và cứng. Chú ý: Tại chỗ có mômen xoắn tập trung (điểm A, B, C, D) biểu đồ Mz có bước nhảy. Trị số bước nhảy bằng đúng trị số các mômen xoắn tập trung, Ж1 ;Ж2 ;Ж3 ; Ж4 (xem hình 6-4). §2- XOẮN THUẦN TUÝ THANH MẶT CẮT TRÒN 1- Thí nghiệm xoắn: Hình 6-8a là dạng một thanh tròn trước khi chịu xoắn. Hình 6-8b là dạng sau khi chịu xoắn. Các đường kẻ song song với trục thanh bị lệch xiên đi. Các hiện tượng sau thí nghiệm: - Khoảng cách các đường vòng quanh chu vi (dz) và chiều dài ℓ của thanh không thay đổi. - Đường kính d của mặt cắt không thay đổi. - Khoảng cách các đường sinh (bị lệch xiên) không thay đổi. 2- Các giả thuyết: Từ hàng loạt thí nghiệm xoắn thuần tuý thanh thẳng mặt cắt tròn này ta đi đến kết luận dưới dạng các giả thuyết sau: - Giải thuyết Béc nuli các mặt cắt ngang của thanh luôn phẳng và vuông góc với trục thanh trước và sau biến dạng. - Khoảng cách giữa hai mặt cắt ngang, chiều dài của thanh trước và sau biến dạng luôn không đổi (dz = const; ℓ = const). - Bán kính của một điểm bất kỳ trên mặt cắt luôn không đổi trước và sau biến dạng (p = const). - Các thớ dọc không tác dụng lẫn nhau trong khi biến dạng. - Vật liệu tuân theo định luật Húc: τ = G γ 3- Ứng suất trên mặt cắt ngang. Xét: 1 thanh trân chịu xoắn thuần tuý (hình 6-9). Để khảo sát ta tưởng tượng dùng hai mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 tách ra một đoạn thanh có chiều dài vô cùng bé dz. 109
  50. Xét: Ứng suất tại 1 điểm A trên mặt? Để khảo sát xung quanh điểm A ta tách ra một phân tố vô cùng bé dz tạo bởi 2 tia hợp với nhau góc dα và hai vòng tròn đồng tâm có bán kính ρ và ρ- dρ (hình 6-10). Phân tố khảo sát có bề dày dz được vẽ tách ra ở hình 6- 11. Xét một điểm K trên phân tố. Sau khi mặt cắt chịu xoắn đường sinh IK bị lệch xiên thành IK’. Góc γ tạo bởi hai đường đó gọi là góc trượt. Ta bắt đầu khảo sát ứng suất tại A theo trình tự sau: - Xét xem có loại ứng suất gì tác dụng lên phân tố dF. + Từ giả thiết của Béc nu li mặt cắt luôn phẳng và vuông góc với trục và giả thuyết khoảng cách dz = cosdt, ta kết luận không thể có ứng suất pháp theo phương (σz = 0). + Từ giả thuyết các thớ dọc không tác dụng lẫn nhau trong khi biến dạng nên không thể có ứng suất pháp theo phương tiếp tuyến (σt = 0) và ứng suất pháp theo phương pháp tuyến (σn = 0). + Mọi điểm trong phân tố dF chỉ bị di chuyển trong mặt phẳng của nó. Vậy trên phân tố dF chỉ có ứng suất tiếp τ là duy nhất. + Vấn đề thứ hai là tìm phương, chiều ứng suất tiếp τ? Giả sử phương của τ là bất kỳ. Ta có thể phân tích nó làm hai thành phần vuông góc với bán kính τ1 và song song với bán kính τ2 (hình 6- 12). Theo luật đối ứng sẽ có thành phần τ’2 đối ứng với τ2 Nhưng theo phương dọc trục không có biến dạng nên không thể có thành phần τ’2. Do đó thành phần τ2 = 0. Vậy τ ≡ τ1 có phương vuông góc với bán kính ρ. Từ hình 6-11 ta thấy vi phân nội lực tác dụng lên diện tích vô cùng bé dF là τ.dF. Lực này gây nên một vi phân mômen đối với trục z là dMz = ρ.τ.dF. Các vi phân mômen dMz phải cùng chiều với mômen xoắn tổng hợp Mz. Để thoả mãn vấn đề này ứng suất tiếp τ phải có chiều theo chiều quay của Mz. - Vấn đề thứ ba là tìm trị số của τ? 110
  51. Ta có: dMz = ρ.τdF Vậy: Mz = ρ.τdF (6-3) F Từ giả thiết vật liệu tuân theo định luật Húc nên τ = G.γ (6.2). Trong đó G là 1 hằng số phụ thuộc vào từng loại vật liệu. Người ta đặt lên G là môduyn đàn hồi trượt của vật liệu. Ví dụ: Đối với thép G = 0,8. 106 N/cm2. γ gọi là góc xoắn tỷ đối. Trên hình 6-11 ta thấy vì góc γ là vô cùng bé nên: Thay (6-5) vào (6-3): dφ là góc xoắn tuyệt đối ứng với chiều dài dz. d Vậy: tỷ số gọi là góc xoắn tỷ đối (góc xoắn trên một đơn vị chiều dài). Ký dz d hiệu θ = dz Đơn vị của góc xoắn tỷ đối θ là Rad/m Thay (6-6) vào (6-5) ta có: 111
  52. (6-7) là công thức tính ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang. Trong đó: Mz - là mômen xoắn nội lực. Jp - là mômen quán tính cực (mặt cắt tròn Jp = 0,1 D4) ρ - là bán kính của điểm cần tính ứng suất tiếp. Đơn vị của τ là N/cm2 ; N/m2 4- Biểu đồ ứng suất tiếp - mặt cắt hợp lý: a) Biểu đồ ứng suất tiếp: Mz Xét biểu thức: τ = .ρ. Jp Mz Ta thấy tại một mặt cắt = const nên τ phụ thuộc bậc 1 Jp với bán kính ρ. Quan hệ bậc 1 đó được vẽ trên biểu đồ ứng suất tiếp (hình 6- 13). 5- Mặt cắt hợp lý: Nhìn biểu đồ ứng suất tiếp hình 6-13 ta thấy: Tại chu vi mặt cắt vật liệu làm việc nhiều nhất (vì có τmax) còn phía trong chịu lực ít dần. Tới tâm thì không chịu lực. Người ít chuyển phần vật liệu phía trong ra ngoài để tăng cường khả năng chịu lực. Đó là dạng mặt cắt hình ống như hình 6- 14. 112
  53. Dùng mặt cắt hình ống có 2 điều lợi: - Nếu dùng cùng lượng vật liệu như nhau thì thanh mặt cắt hình ống chịu mômen xoắn khoẻ hơn thanh mặt cắt tròn đặc. - Nếu cùng chịu mômen xoắn ngoại lực như nhau thì thanh mặt cắt hình ống tiết kiệm vật liệu hơn thanh mặt cắt tròn đặc. 5- Ứng suất trên mặt cắt xiên: Đặt vấn đề: Ứng suất tiếp τ xác định theo công thức (6-7) có phải là ứng suất tiếp lớn nhất dùng để thiết kế được hay không? Xét 1 phân tố vô cùng bé trong thanh tròn chịu xoắn. Phân tố đó chỉ có ứng suất tiếp τ tác dụng ở các mặt nên ở dạng trượt thuần tuý (hình 6-15). Xét một mặt nghiêng có diện tích dF hợp với mặt cắt ngang của phân tố một góc α (hình 6- 16). Diện tích mặt đứng của phân tố là dFcosα, của mặt ngang là dFsinα. ΣV = 0 →. Kết luận : Mặt cắt ngang là mặt có ứng suất tiếp mà trị số có thể dùng để tính toán thiết kế. 113
  54. 6- Biến dạng xoắn. Góc xoắn tuyệt đối của thanh có chiều dài ℓ. Xét 2 trường hợp đặc biệt: a) Thanh có Mz – const: GJP = const b) Thanh có nhiều đoạn chiều dài ℓi. Trong từng đoạn có Mzi = const; GJpi = const Chú ý: Đơn vị góc xoắn φ là: Rad 7- Dạng phá hỏng của thanh tròn chịu xoắn. Thực tế thường thấy hiện tượng: Khi xoắn thanh thẳng mặt cắt tròn. + Nếu vật liệu dòn: đường phá hỏng là đường xiên xoắn ốc. Tiếp tuyến của đường này với trục hợp với nhau một góc 45o. + Nếu vật liệu dẻo: đường phá hỏng là đường trùng với mặt cắt ngang. - Giải thích hiện tượng trên, ta dựa vào hai cơ sở: + Đặc trưng cơ học của vật liệu dòn và dẻo. + Phân tích trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm. 114
  55. Thí nghiệm cho ta các đặc trưng cơ học: K b - Vật liệu dòn: σ b < τb < σn K n - Vật liệu dẻo: τch < σ bch = σ bch Khi xoắn ta thấy các phân tố ở mặt ngoài của thanh là phân tố nguy hiểm nhất. Chúng ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý (hình 6-18). Vòng tròn Mo biểu diễn cho phân tố đó như hình (6- 19). K Với vật liệu dòn: khi σmax đã tới σb thì cùng lúc đó σmax chưa đạt tới τb và σmin K chưa đạt tới σb . Nó sẽ bị phá hỏng do ứng suất chính kéo. σmax = σ1. Đường phá hỏng 0 có phương vuông góc với σmax tức là hợp với phương ngang một góc α = 45 . Với vật liệu dẻo: Khi ứng suất tiếp τmax đạt tới τch thì cùng lúc đó σmax và σmin chưa đạt tới σch. Sự phá hỏng là do các ứng suất τmax nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục (mặt cắt ngang). 8- Điều kiện bền và cứng. a) Điều kiện bền: K - Với vật liệu dòn: Vật liệu dòn bị phá hỏng do σmax đạt tới σb .Vậy điều kiện bền là: - Với vật liệu dẻo: vật liệu dẻo bị phá hỏng do τmax đạt tới τch.Vậy điều kiện bền là: 115
  56. [τ] được xác định bằng thí nghiệm hoặc tính theo thuyết bền. σ Thuyết bền ứng suất tiếp: τ 2 σ Thuyết bền thế năng: τ 3 K σ σb Thuyết bền Mo: τ (α n ) 1 α σb Trong cả hai trường hợp, với mặt cắt tròn rỗng. Mặt cắt tròn đặc: η = 0 b) Điều kiện cứng: Là điều kiện sao cho: θmax ≤ [θ] (6-14) θmax là góc xoắn tỷ đối lớn nhất tính được (đơn vị: Rad/m). - [θ] là góc xoắn tỷ đối cho phép thường cho [θ] = Rad/m. (nếu [θ] cho là θo/m thì đổi ra Rad/m với 360o ≈ 2 π Rad) - Trường hợp thanh chỉ có một mômen xoắn ngoại lực và tiết diện không đổi: Trường hợp thanh có nhiều đoạn, mỗi đoạn có nội lực Mzi và độ cứng GJpi khác Mzi nhau thì ta phải tính θi trong từng đoạn: θi = . Sau đó tìm ra θmax để kiểm tra theo GJpi điều kiện cứng (6 - 14). c) Các bài toán tính bền và cứng: Từ (6-12); (6-l3); (6-14) ta có ba loại bài toán: - Kiểm tra bền (hoặc kiểm tra cứng); - Chọn tải trọng cho phép theo điều kiện bền (hoặc điều kiện cứng). - Chọn tiết diện theo điều kiện bền (hoặc điều kiện cứng). 116
  57. 9- Ví dụ tính thanh tròn chịu xoắn thuần tuý. Một trục truyền quay với số vòng n = 150 v/ph. Trục mang 4 puly (bánh 2 là bánh chủ động). Chứng nhận và truyền đi các công suất như hình 6-20a. Kiểm tra bền và cứng cho trục nếu [τ] = 2000N/cm2; d = 6 cm ; [θ] = 0,4o/m G = 8. 106 N/cm2 Giải: Kiểm tra: Để trục cân bằng Ж2 = Ж1 + Ж3 + Ж4 Sơ đồ ngoại lực xoắn ở hình 6-20b. Bước 2: Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực. Dùng 3 mặt cắt 1-1 ; 2-2; 3-3. Ta vẽ được biểu đồ mômen xoắn nội lực như hình 6-20c. 117
  58. Bước 3: Xác định mặt cắt nguy hiểm. Qua biểu đồ Mz ta thấy các mặt cắt thuộc đoạn CD là các mặt cắt nguy hiểm. Tại đây ta có: Mzmax = 701 Nm = 701.104 Ncm Bước 4: Điều kiện bền. Mzmax τmax = ≤ [τ] Wp Bước 5: Điều kiện cứng. Ví dụ 2: Hình 6-21 Một trục đặc và trục rỗng có trọng lượng bằng nhau và chịu cùng một mômen xoắn (hình 6-21). Trục rỗng có đường kính trong bằng 70% đường kính ngoài. 118
  59. Hãy so sánh ứng suất tiếp lớn nhất trên hai trục? Giải: πd2 Trọng lượng trục đặc: Q o ..γ d 4 πD2 πd2 Trọng lượng trục rỗng: Q ( - ..γ d 4 4 γ là trọng lượng riêng của hai trục. Từ điều kiện Qd = Qn ; Kết luận: Với cùng một lượng vật liệu, ứng suất tiếp cực đại ở trục đặc lớn gấp 2,1 ở trục rỗng, tức là mau bị phá hỏng hơn trục rỗng. §3- TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN Trong thực tế ta hay gặp nhiều lò xo xoắn ốc hình trụ để giảm chấn như ở các phương tiện giao thông, máy, động cơ điện, chúng thường ở dạng chịu kéo (nén) liên tục. Cho một lò xo xoắn ốc hình trụ chịu lực kéo đúng tâm (hình 6-22). Các thông số của lò xo: D : đường kính trung bình của ống lò xo hình trụ. 119
  60. d: đường kính của dây lò xo. n : số vòng quấn của lò xo. h : bước quấn của lò xo. α: góc nghiêng của vòng lò xo. Phạm vi nghiên cứu của ta là: các lò xo hình trụ có bước ngắn (tức là các vòng quấn sát nhau). Các lò xo có D = (5÷10)d. 1- Nội lực: Tưởng tượng dùng một mặt cắt qua trục của ống lò xo chia lò xo làm hai phần và khảo sát một trong hai phần đó (hình 6-23). Vì bước của lò xo là ngắn nên góc nghiêng α của vòng lò xo rất nhỏ tức là ta có thể coi các vòng lò xo cuốn như nằm ngang. Do đó mặt cắt lò xo một cách gần đúng có thể coi như tròn. Để phần khảo sát (hình 6-23) được cân bằng ta có nội lực trên mặt cắt lò xo: Lực cắt: Qy = P D Mô men xoắn : Ж2 = P. 2 2. Ứng suất. Lực cắt Qy và mômen xoắn Mz đều gây nên ứng suất tiếp ứng suất tiếp do lực cắt trong lò xo 1 cách gần đúng có thể coi như phân bổ đều theo chiều Qy. Tức là : - Ứng suất tiếp do mômen xoắn nội lực có giá trị cực đại δ’ chu vi mặt 120
  61. Biểu đồ phân bố τQ và τM chỉ trên hình 6-24. M Trên mặt cắt ta thấy điểm K là điểm nguy hiểm vì δ’ đây τmax và τQ cùng chiều. Ứng suất tổng cộng: d Như trên đã nói vì ta xét loại lò xo có D = (5 ÷ 10) d nên tỷ số là rất nhỏ so 2D với 1 nên ta có thể bỏ qua. Mặt cắt gần đúng ta có: Ta nhận thấy công thức (6-16) là công thức gần đúng bỏ qua ảnh hướng góc nghiêng của lò xo và bỏ qua τQ. Để bù vào 2 sai số trên người ta dùng công thức chính xác. K: là hệ số điều chỉnh xác định bằng thực nghiệm: 3- Biến dạng: Gọi λ là độ dãn (hay co) của lò xo. Khi lò xo chịu kéo (nén) đúng tâm bởi lực P nó sẽ tích luỹ một năng lượng, dưới dạng thế năng biến dạng đàn hồi U. Người ta đã chứng minh, với một thanh tròn chịu xoắn nó tích luỹ một thế năng biến dạng đàn hồi : 121
  62. PD Dây lò xo có thể coi như 1 thanh tròn chịu xoắn bởi mômen xoắn Mz = , 2 πd4 chiều dài ℓ = π. D. n (n là số vòng quấn của dây lò xo) Jp 32 Thay các đại lượng trên vào (6- 19) ta có: Mặt khác ta thấy khi lực P chuyển dời trên biến dạng λ của lò xo nó sẽ sinh công biến dạng A Theo định luật bảo toàn năng lượng: A = U (đơn vị của λ: m, cm, ) C: gọi là độ cứng của lò xo. P Vì: C nên đơn vị của C là: N/cm ; N/m, λ 4- Điều kiện bền và cứng: Từ (6-25) và (6-26) ta thường gặp 3 dạng bài toán: Dạng 1 : kiểm tra bền (cứng). 122
  63. Dạng 2: Chọn tải trọng cho phép P theo điều kiện bền (cứng). Dạng 3: Chọn tiết diện theo điều kiện bền (cứng). §4- XOẮN THANH MẶT CẮT CHỮ NHẬT Khi xoắn thanh mặt cắt chữ nhật ta thấy mặt cắt ngang của thanh không còn phẳng mà bị vênh đi (hình 6-25). Mọi giả thuyết dùng để tính cho thanh mặt cắt tròn đây không dùng được. 1- Ứng suất: Bằng môn học lý thuyết đàn hồi người ta chứng minh được: - Ứng suất tiếp cực đại, trên trung điểm cạnh dài (hình 6-26). 2 a Wxo = α a. b (mômen chống xoắn) α là hệ số phụ thuộc tử số (a là cạnh dài, ắn b b là cạnh ngắn). - Ứng suất tiếp trên trung điểm cạnh ngắn: a γ là hệ số phụ thuộc tỷ số . b - Ứng suất tiếp tại các điểm góc: τA = τB = τC = τD = 0 Biểu đồ chỉ rõ sự phân bố ứng suất tiếp trên hình 6-26. 123
  64. 2- Biến dạng: Lý thuyết đàn hồi cũng chứng minh được: Mz Góc xoắn tỷ đối: θ = (6-29) GJmax 3 a Jxo = β. ab ; β là hệ số phụ thuộc tỷ số ắn b Bảng hệ số α, β, γ. a b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 >10 Hệ số α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 γ 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 §5- BÀI TOÁN SIÊU TĨNH KHI XOẮN. Cũng tương tự như chương kéo nén, trong chương này ta cùng gặp những bài toán xoắn trong đó ẩn số cần tìm nhiều hơn số phương trình cân bằng tĩnh có thể thành lập được. Những bài đó gọi là bài toán siêu tĩnh. Dưới đây ta xét một số dạng điển hình. Ví dụ 1 : Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực cho thanh chịu xoắn như hình 6-27a. Giải: 124
  65. 1) Xác định phản lực liên kết: Trên hình 6-27a ta giả thiết trước chiều của phản lực liên kết MA và MB. Lấy mômen đối với trục thanh: Phương trình (1) có hai ẩn là MA và MB nên không giải được. Bài toán siêu tĩnh này chỉ có thể giải nếu ta lập được thêm một phương trình biến dạng. Để tìm MA và MB ta 1àm như sau : Chuyển hệ siêu tĩnh (a) đã cho thành hệ tĩnh định tương đương (b) bằng cách tháo bỏ ngàm B. So sánh 2 hệ (a) và (b) ta thấy: - Hệ (a) và (b) tương đương với nhau về các ngoại lực tác dụng lên nó (chỉ có điểm khác là MB ở hệ (a) là phân lực liên kết còn ở hệ (b) là tải trọng như tải trọng Ж. - Ngàm B của hệ (a) không thể xoay được còn mặt cắt B của (b) lại có thể xoay. Vậy để hệ (a) và (b) tương đương với nhau cả biến dạng thì ta phải thêm vào một điều kiện là góc xoay của mặt cắt B của hệ (b) phải bằng không. (biến dạng của toàn thanh AB ở phương trình (2) gọi là phương trình biến dạng). Xét mặt cắt 1-1 và 2-2 của hệ hình 6-27b ta có: Thay MZ1 và Mz2 vào (2’) ta có: Đơn giản 2 vế: - 2MB + Ж - MB = 0 (3) Từ (3) giải được : 2 Thay giá trị MB vào (1) ta giải được: MA = Ж = 4 KNm 3 125
  66. 2- Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực Mz: Biểu đồ Mz được vẽ trên hình 6-27c. Đến đây mọi quá trình giải giống hoàn toàn hệ tĩnh định. Ví dụ 2: Xác định lực nén tác dụng vào lò xo 1 và 2 (hình 6-28a) nếu cho D1 = 10cm; d1 = 1cm ; n1 = 8 cm D2 = l4cm; d2 = l,2cm ; n2 = 10 cm G = 8. 106 N/cm2 Xem r dầm AB tuyệt đối cứng. Giải: Phản lực tác dụng vào dầm AB: YA, XA, P1, P2 như hình vẽ. Lấy mômen của các lực với điểm A. Phương trình (1) có (2) ẩn nên không giải được. Đó là bài toán siêu tĩnh. Ta phải tìm thêm 1 phương trình biến dạng. Dựa vào điều kiện dầm AB là tuyệt đối cứng nên khi có lực P tác dụng biến dạng λ1 và λ2 của hai lò xo có tỷ lệ với nhau (hình 6-28b). Phương trình (2) là phương trình biến dạng cần tìm. 126
  67. Từ (2) có thể viết: Suy ra: P2 = 2,62 P1 (a) Thay (a) vào (1) có: P1 + 3 (2.62 P1) = P = 0 Giải được: P1 + 0,113 P = 1,13 kN. P2 = 2,62 (0,773P) = 0,296P = 2,76 kN. Lực tác dụng vào hai lò xo 1 và 2 là: P1 = 1,13 kN; P2 = 2,96 kN. Hai lực này có chiều ngược với hai lực tác dụng vào dầm. Sau khi giải được P1, P2 quá trình giải tiếp theo giống hoàn toàn bài toán tĩnh định trước đây. 127
  68. PHỤC LỤC Quy cách thép cân thép gốc đều cạnh ΓOCT 8509-57 Bảng 1 Số Kích thước mm Các trị số đối với trục Diện Trọng hiệu tích mặt lượng x - x x0 x0 y0 y0 x1 x1 thép – – – (cm) cắt F km dài hình b d R r (cm2) (kG) No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1,13 0,89 0,40 0,59 0,63 0,75 0,17 0,39 0,81 0,60 2 20 3,5 1,2 4 1,46 1,15 0,50 0,58 0,78 0,73 0,22 0,38 1,09 0,61 3 1,43 1,12 0,81 0,75 1,29 0,95 0,34 0,49 1,57 0,76 2,5 25 3,5 1,2 4 1,86 1,46 1,03 0,74 1,62 0,93 0,44 0,48 2,11 0,76 2,8 28 3 4 1,3 1,62 1,27 1,16 0,85 1,84 1,07 0,48 0,55 2,20 0,80 3 1,86 1,46 1,77 0,97 2,80 1,23 0,74 0,63 3,26 0,89 3,2 32 4,5 1,5 4 2,43 1,91 2,26 0,96 3,58 1,21 0,94 0,62 4,39 0,94 3 2,10 1,65 2,56 1,10 4,06 1,39 1,06 0,71 4,64 0,99 3,6 36 4,5 1,5 4 2,75 2,16 3,29 1,09 5,21 1,38 1,36 0,70 6,24 1,04 3 2,35 1,85 3,55 1,23 5,63 1,55 1,47 0,79 6,35 1,09 4 40 5 1,7 4 3,08 2,42 4,58 1,22 7,26 1,53 1,90 0,78 8,53 1,13 3 2,65 2,08 5,13 1,39 8,13 1,75 2,12 0,89 9,04 1,21 4,5 45 4 5 1,7 3,48 2,73 6,63 1,38 10,5 1,74 2,74 0,89 12,1 1,26 5 4,29 3,37 8,03 1,37 12,7 1,72 3,33 0,88 15,3 1,30 3 2,96 2,32 7,11 1,55 11,3 1,95 2,95 1,00 12,4 1,33 5 50 4 5,5 1,8 3,89 3,05 9,21 1,54 14,6 1,94 3,80 0,99 16,6 1,38 5 4,80 3,77 11,2 1,53 17,8 1,92 4,63 0,98 20,9 1,42 3,5 3,86 3,03 11,6 1,73 18,4 2,18 4,80 1,12 20,3 1,50 5,6 56 4 6 2 4,38 3,44 13,1 1,73 20,8 2,18 5,41 1,11 23,3 1,52 5 5,41 4,25 16,0 1,72 25,4 2,16 6,59 1,10 29,4 1,57 4 4,96 3,90 18,9 1,95 29,9 2,45 7,81 1,25 33,1 1,69 6,3 63 5 7 2,3 6,13 4,81 23,1 1,94 36,6 2,44 9,52 1,25 41,5 1,74 6 7,28 5,72 27,1 1,93 42,9 2,43 11,2 1,24 50,0 1,78 4,5 6,20 4,87 29,0 2,16 46,0 2,72 12,0 1,39 51,0 1,88 5 6,86 5,38 31,9 2,16 50,7 2,72 13,2 1,39 56,7 1,90 7 70 6 8,0 2,7 8,15 6,39 37,6 2,15 59,6 2,71 15,5 1,38 68,4 1,94 7 9,42 7,39 43,0 2,14 68,2 2,69 17,8 1,37 80,1 1,99 8 10,7 8,37 48,2 2,13 76,4 2,68 20,0 1,37 91,9 2,02 5 7,39 5,80 39,5 2,31 62,6 2,91 16,4 1,49 69,6 2,02 6 8,78 6,89 46,6 2,30 73,9 2,90 19,3 1,48 83,9 2,06 3 7,5 75 7 9 10,1 7,96 53,3 2,29 84,6 2,89 22,1 1,48 98,3 2,10 8 11,5 9,02 59,8 2,28 94,9 2,87 24,8 1,47 113 2,15 9 12,8 10,1 66,1 2,27 105 2,86 27,5 1,46 127 2,18 128
  69. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5,5 8,63 6,78 52,7 2,47 83,6 3,11 21,8 1,59 93,2 2,17 6 9,38 7,36 57,0 2,47 90,4 3,11 23,5 1,58 102 2,19 8 80 9 3 7 10,8 8,51 65,3 2,45 104 27,0 27,0 1,58 119 2,23 8 12,3 9,65 73,4 2,44 116 30,3 30,3 1,57 137 2,27 6 10,6 8,33 82,1 2,78 130 3,50 34,0 1,79 145 2,43 7 12,3 9,64 94,3 2,77 150 3,49 38,9 1,78 169 2,47 9 90 10 3,3 8 13,9 10,9 106 2,76 168 3,48 43,8 1,77 194 2,51 9 15,6 12,2 118 2,75 186 3,46 48,6 1,77 219 2,55 6,5 12,8 10,1 122 3,09 193 3,88 50,7 1,99 214 2,68 7 13,8 10,8 131 3,08 207 3,88 54,2 1,98 231 2,71 8 15,6 12,2 147 3,07 233 3,87 60,9 1,98 265 2,75 10 100 10 12 4 19,2 15,1 179 3,05 284 3,84 71,1 1,96 333 2,83 12 22,8 17,9 209 3,03 331 3,81 86,9 1,95 402 2,91 14 26,3 20,6 237 3,00 375 3,78 99,3 1,94 472 2,99 16 29,7 23,3 264 2,98 416 3,74 112 1,94 542 3,06 7 4 15,2 11,9 176 3,40 279 4,29 72,7 2,19 308 2,96 11 110 12 8 17,2 13,5 198 3,39 315 4,28 81,8 2,18 353 3,00 8 19,7 15,5 294 3,87 467 4,87 122 2,49 516 3,36 9 22,0 17,3 327 3,86 520 4,86 135 2,48 582 3,40 10 4,6 24,3 19,1 360 3,85 571 4,84 149 2,47 649 3,45 12 125 14 12 28,9 22,7 422 3,82 670 4,82 174 2,46 782 3,53 14 33,4 26,2 482 3,80 764 4,78 200 2,45 916 3,61 16 37,8 29,6 539 3,78 853 4,75 224 2,44 1051 3,68 9 24,7 19,4 466 4,34 739 5,47 192 2,79 818 3,78 14 140 10 14 4,6 27,3 21,5 512 4,33 814 5,46 211 2,78 911 3,82 12 32,5 25,5 602 4,31 957 5,43 248 2,76 1097 3,90 10 31,4 24,7 774 4,96 1229 6,25 319 3,19 1356 4,30 11 34,4 27,0 844 4,95 1341 6,24 348 3,18 1494 4,35 12 37,4 29,4 913 4,94 1450 6,23 376 3,17 1633 4,39 16 160 14 16 5,3 43,3 34,0 1046 4,92 1662 6,20 431 3,16 1911 4,47 16 49,1 38,5 1175 4,89 1866 6,17 485 3,14 2191 4,55 18 54,8 43,0 1299 4,87 2061 6,13 537 3,13 2472 4,63 20 60,4 47,4 1419 4,85 2248 6,10 589 3,12 2756 4,70 11 38,8 30,5 1216 5,60 1933 7,06 500 3,59 2128 4,85 18 180 16 5,3 12 42,2 33,1 1317 5,59 2093 7,04 540 3,58 2324 4,80 12 47,1 37,0 1823 6,22 2896 7,84 749 3,99 3182 5,37 13 50,9 39,9 1961 6,21 3116 7,83 805 3,98 3452 5,42 14 54,6 42,8 2097 6,20 3333 7,81 861 3,97 3722 5,46 20 200 16 18 6 62,0 48,7 2363 6,77 3755 7,78 970 3,96 4264 5,54 20 76,5 60,1 2871 6,12 4560 7,72 1182 3,93 5355 5,70 25 94,3 74,0 3466 6,06 5494 7,63 1438 3,91 6733 5,89 30 115,5 87,6 4020 6,00 6351 7,55 1688 3,89 8130 6,07 14 6,04 47,4 2814 6,83 4470 8,60 1159 4,38 4941 5,93 22 220 21 7 16 68,6 53,8 3175 6,81 5045 8,58 1306 4,36 5661 6,02 16 78,4 61,5 4717 7,76 7492 9,78 1942 4,98 8286 6,75 18 87,7 68,9 5247 7,73 8337 9,75 2158 4,96 9342 6,83 20 97,0 76,1 5765 7,71 9160 9,72 2370 4,94 10101 6,91 25 250 22 24 8 106,1 83,3 6270 7,69 9961 9,69 2579 4,93 11464 7,00 25 119,7 94,0 7006 7,65 11125 9,64 2887 4,91 13064 7,11 28 133,1 104,5 7717 7,61 12244 9,59 3190 4,89 14674 7,23 30 142,0 111,4 8177 7,59 12965 9,56 3389 4,80 15753 7,31 129
  70. Thép góc không đều cạnh ΓOCT 8510-57 Bảng 2 Kích thước (mm) Các trị số đối với trục B b d R r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2,5/1,6 25 16 3 3,5 1,2 1,16 0,91 0,70 0,78 0,22 0,44 1,56 0,86 0,43 0,42 0,13 0,34 0,392 3 1,49 1,47 1,52 1,01 0,46 0,55 3,26 1,08 0,82 0,49 0,28 0,43 0,382 3,2/2 32 20 3,5 1,2 4 1,94 1,52 1,93 1,00 0,57 0,54 4,38 1,12 1,12 0,53 0,35 0,43 0,384 3 1,89 1,48 3,06 1,27 0,93 0,70 6,37 1,32 1,58 0,59 0,56 0,54 0,385 4,2/5 40 25 4,0 1,3 4 2,47 2,47 3,93 1,26 1,18 0,69 8,53 1,37 2,15 0,63 0,71 0,54 0,381 3 2,14 1,68 4,41 1,43 1,32 0,79 9,02 1,47 2,20 0,64 0,79 0,61 0,382 4,5/2,8 45 28 5,0 1,7 4 2,80 2,20 5,68 1,42 1,69 0,78 12,1 1,51 2,98 0,68 1,02 0,60 0,379 3 24,2 1,90 6,17 1,60 1,99 0,91 12,4 1,60 3,26 0,72 1,18 0,70 0,403 5/3,2 50 32 5,5 1,8 4 3,17 2,49 7,98 1,59 2,56 0,90 16,6 1,65 4,42 0,76 1,52 0,69 0,401 3,5 3,16 2,48 10,1 1,79 3,30 1,02 20,3 1,80 5,43 0,82 0,95 0,79 0,407 5,6/3,6 56 36 4 6,0 2,0 3,58 2,81 11,4 1,78 3,70 1,02 23,2 1,82 6,25 0,84 2,19 0,78 0,406 5 4,41 3,46 13,8 1,77 4,48 1,01 29,2 1,86 7,91 0,88 2,66 0,78 0,404 4 4,04 3,17 16,3 2,01 5,16 1,13 33,0 2,03 8,51 0,91 3,07 0,87 0,397 5 4,98 3,91 19,9 2,00 6,26 1,12 41,4 2,08 10,8 0,95 3,73 0,86 0,396 6,3/4,0 63 40 7,0 2,3 6 5,90 4,63 23,2 1,99 7,28 1,11 49,9 2,12 13,1 0,99 4,36 0,86 0,393 8 7,68 6,03 29,6 1,96 9,15 1,09 66,9 2,20 17,9 1,07 5,58 0,85 0,386 4,5 5,07 3,98 25,3 2,23 8,25 1,28 51 2,25 13,6 1,03 4,88 0,98 0,407 7/4,5 70 45 7,5 2,5 5 5,59 4,39 27,8 2,23 9,05 1,27 56,7 2,28 15,2 1,05 5,34 0,98 0,406 5 6,11 4,79 34,8 2,39 12,5 1,43 69,7 2,39 20,8 1,17 7,24 1,09 0,436 7,5/5 75 50 6 8 2,7 7,25 5,69 40,9 2,38 14,6 1,42 83,9 2,44 25,2 1,21 8,48 1,08 0,435 8 9,47 7,43 52,4 2,35 18,5 1,40 112 2,52 34,2 1,29 10,9 1,07 0,430 5 6,36 4,99 41,6 2,56 12,7 1,41 84,6 2,6 20,8 1,13 7,58 1,09 0,387 8/5 80 50 8 2,7 6 7,55 5,92 49,0 2,55 14,8 1,40 102 2,65 25,2 1,17 8,88 1,08 0,386 5,5 7,86 6,17 65,3 2,38 19,7 1,58 132 2,92 32,2 1,26 11,8 1,22 0,384 9,5/6 90 56 6 9 3 8,54 6,70 70,6 2,88 21,2 1,58 145 2,95 35,2 1,28 12,7 1,22 0,384 8 11,18 8,77 90,9 2,85 27,1 1,56 194 3,04 47,8 1,36 16,3 1,21 0,380 6 9,59 7,53 98,3 3,2 30,6 1,79 198 3,23 49,9 1,42 18,2 1,38 0,393 7 11,1 8,70 113 3,19 35,0 1,78 232 3,28 58,7 1,46 20,8 1,37 0,392 10/6,3 100 63 10 3,2 8 12,6 9,87 127 3,18 39,2 1,77 266 3,32 67,6 1,50 23,4 1,36 0,391 10 15,5 12,1 154 3,15 17,1 1,75 333 3,40 85,8 1,50 128,3 1,35 0,387 6,5 11,4 8,98 142 3,53 45,6 2,00 286 3,55 74,3 1,58 26,9 1,53 0,402 11/7 110 70 7 10 3,3 12,3 9,64 152 3,52 48,7 1,99 309 3,57 80,3 1,60 28,8 1,53 0,402 8 13,9 10,9 172 3,51 54,6 1,98 353 3,61 92,3 1,64 32,3 1,52 0,400 130
  71. 7 14,1 11,0 227 4,01 73,7 2,29 452 4,01 119 1,8 43,4 1,76 0,407 8 16,0 12,5 256 4,00 83,0 2,28 518 4,05 137 1,84 48,8 1,75 0,406 12,5/8 125 80 11 3,7 10 19,7 15,5 312 3,98 100 2,26 649 4,14 173 1,92 59,3 1,74 0,404 12 23,4 28,3 365 3,95 117 2,24 781 4,22 210 2,00 69,5 1,72 0,400 8 18,0 14,1 364 4,49 120 2,58 727 4,49 194 2,03 70,3 1,98 0,411 14/9 140 90 12 4 10 22,2 17,5 444 4,47 146 2,56 911 4,58 245 2,12 85,5 1,96 0,409 9 22,9 18,0 606 5,15 186 2,85 1221 5,19 300 2,23 110 2,2 0,391 10 25,3 19,8 667 5,13 204 2,84 1359 5,23 335 2,28 121 2,19 0,390 16/10 160 100 13 4,3 12 30,0 23,6 784 5,11 239 2,82 1634 5,32 405 2,36 142 2,18 0,388 14 34,7 27,3 897 5,08 272 2,80 1910 5,40 477 2,43 162 2,16 0,385 10 28,3 22,2 952 5,8 276 3,12 1933 5,88 444 2,44 165 2,42 0,375 18/11 180 110 14 4,7 12 33,7 26,4 1123 5,77 324 3,1 2324 5,97 537 2,52 194 2,40 0,374 11 34,9 27,4 1449 6,45 446 3,58 2920 6,5 718 2,79 264 2,75 0,392 12 37,9 29,7 1568 6,43 482 3,57 3189 6,54 786 2,83 285 2,74 0,392 20/12,5 200 125 14 4,7 14 43,9 34,4 1801 6,41 551 3,54 3726 6,62 922 2,91 327 2,73 0,390 16 49,8 39,1 2026 6,38 617 3,52 4264 6,71 1061 2,99 367 2,72 0,388 12 48,3 37,9 3147 8,07 1032 4,62 6212 7,97 1634 3,53 604 3,54 0,410 16 63,6 49,6 4091 8,02 1333 4,58 8308 8,14 2200 3,69 781 3,50 0,408 25/16 250 160 18 6 18 71,1 55,8 4545 7,99 1475 4,56 9358 8,23 2487 3,77 866 2,49 0,407 20 78,5 61,7 4987 7,97 1613 4,53 10410 8,31 2776 3,85 949 3,48 0,405 131
  72. Thép chữ I ΓOCT 8239 - 56 Bảng 3 Trọng Kích thước (mm) Diện Các trị số đối với trục S ố lượng tích mặt hiệu 1m dài cắt x-x y - y thép (kG) (cm2) hình h b d t R r o I W S I W N x x i (cm) x y y i (cm) (cm3) (cm3) x (cm3) (cm4) (cm3) y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 9,46 100 55 4,5 7,2 7 2,5 12,0 198 39,7 4,06 23,0 17,9 6,49 1,22 12 11,5 120 64 4,8 7,3 7,5 3,0 14,7 350 58,4 4,88 33,7 27,9 8,72 1,38 14 13,7 140 73 4,9 7,5 8,0 3,0 17,4 572 81,7 5,73 46,8 41,9 11,5 1,55 16 15,9 160 81 5,0 7,8 8,5 3,5 20,2 873 109 6,57 62,3 58,6 14,5 1,70 18 18,4 180 90 5,1 8,1 9,0 3,5 23,4 1290 143 7,42 81,4 82,6 18,4 1,88 18a 19,9 180 100 5,1 8,3 9,0 3,5 25,4 1430 159 7,51 89,8 114 22,8 2,12 20 21,0 200 100 5,2 8,4 9,5 4,0 26,8 1840 184 8,28 104 115 23,1 2,07 20a 22,7 200 110 5,2 8,6 9,5 4,0 28,9 2030 203 8,37 114 155 28,2 2,32 22 24,0 220 110 5,4 8,7 10,0 4,0 30,6 2550 232 9,13 131 157 28,6 2,27 22a 25,8 220 120 5,4 8,9 10,0 4,0 32,8 2790 254 9,22 143 206 34,3 2,50 24 27,3 240 115 5,6 9,5 10,5 4,0 34,8 3460 289 9,97 163 198 34,5 2,32 24a 29,4 240 125 5,6 9,8 10,5 4,0 37,5 3800 317 10,1 179 260 41,6 2,63 27 31,5 270 125 6,0 9,8 11,0 4,5 40,2 5010 371 11,2 210 260 42,5 2,54 27a 33,9 270 135 6,0 10,2 11,0 4,5 43,2 5500 507 11,3 229 337 50,0 2,80 30 36,5 300 135 6,5 10,2 12,0 5,0 46,5 7080 472 12,3 268 337 49,9 2,69 30a 39,2 300 145 6,5 10,7 12,0 5,0 49,9 7780 518 12,5 292 436 60,1 2,95 33 42,2 330 140 7,0 11,2 13,0 5,0 53,8 9840 597 13,5 339 419 59,9 2,79 36 48,6 360 145 7,5 12,3 14,0 6,0 61,9 13380 743 14,7 423 516 71,1 2,89 40 56,1 400 155 8,0 13,0 15,0 6,0 71,4 18930 947 16,3 540 666 85,9 3,05 45 65,2 450 160 8,6 14,2 16,0 7,0 83,0 27450 1220 18,2 699 807 101 3,12 50 76,8 500 170 9,5 15,2 17,0 7,0 97,8 39290 1570 20,2 905 1040 122 3,26 55 89,8 550 180 10,3 16,5 18,0 7,0 114 55150 2000 22,0 1150 1350 150 3,44 60 104 600 190 11,1 17,8 20,0 8,0 132 75450 2510 23,9 1450 1720 181 3,60 65 120 650 200 12,0 19,2 22,0 9,0 153 101400 3120 25,8 1800 2170 217 3,77 70 138 700 210 13,0 20,8 24,0 10,0 176 134600 3840 27,7 2230 2730 260 3,94 70a 158 700 210 15,0 24,0 24,0 10,0 202 152700 4360 27,5 2550 3240 309 4,01 70b 184 700 210 17,5 28,2 24,0 10,0 234 175370 5010 27,4 2940 3910 373 4,09 132
  73. Thép chữ U ΓOCT 8240 - 56 Bảng 4 Kích thước (mm) Các trị số đối với trục x-x x-y h b d t R r 5 4,34 50 32 4,4 7,0 6 2,5 6,16 22,8 9,10 1,92 5,59 5,61 2,75 0,954 1,46 6.5 5,90 65 36 4,4 7,2 6 2,5 7,51 48,6 15,0 2,54 9,00 8,70 3,68 1,08 124 8 7,05 80 40 4,5 7,4 6,5 2,5 8,98 89,4 22,4 3,16 13,3 12,8 4,75 1,19 1,31 10 8,59 100 46 4,5 7,6 7 3,0 10,9 174 34,8 3,99 20,4 20,4 6,46 1,37 1,44 12 10,4 120 52 4,8 7,8 7,5 3,0 13,3 304 50,6 4,78 29,6 31,2 8,52 1,53 1,54 14 12,3 140 58 4,9 8,1 8 3,0 15,6 491 70,2 5,60 40,8 45,4 11,0 1,70 1,67 14a 13,3 140 62 4,9 8,7 8 3,0 17,0 545 77,8 5,66 45,1 57,5 13,3 1,84 1,87 16 14,2 160 64 5,0 8,4 8,5 3,5 18,1 747 93,4 6,42 54,1 63,3 13,8 1,87 1,80 16a 15,3 160 68 5,0 9,0 8,5 3,5 19,5 823 103 6,49 59,4 78,8 16,4 2,01 2,00 18 16,3 180 70 5,1 8,7 9 3,5 20,7 1090 121 7,24 69,8 86,0 17,0 2,04 1,94 18a 17,4 180 74 5,1 9,3 9 3,5 22,2 1190 132 7,32 76,1 105 20,0 2,18 2,13 20 18,4 200 76 5,2 9,0 9,5 4,0 23,4 1520 152 8,07 87,8 113 20,5 2,20 2,07 20a 19,8 200 80 5,2 9,7 9,5 4,0 25,2 1670 167 8,15 95,9 139 24,2 2,35 2,28 22 21,0 220 82 5,4 9,5 10 4,0 26,7 2110 192 8,89 110 151 25,1 2,37 2,21 22a 22,6 220 87 5,4 10,2 10 4,0 8,8 2330 212 8,99 121 187 30,0 2,55 2,16 24 24,0 240 90 5,6 10,0 10,5 4,0 30,6 2900 242 9,73 139 208 316 2,60 2,42 24a 25,8 240 95 5,6 10,7 10,5 4,0 32,9 3180 265 9,84 151 254 37,2 2,78 2,67 27 27,7 270 95 6,0 10,5 11 4,5 35,2 4160 308 10,9 178 262 37,3 2,73 2,47 30 31,8 300 100 6,5 11,5 12 5,0 40,5 5810 387 12,0 224 327 43,6 2,84 2,52 33 36,5 330 105 7,0 11,7 13 5,0 46,5 7980 484 13,1 281 410 51,8 2,97 2,59 36 41,9 360 110 7,5 12,6 14 6,0 53,4 10820 601 14,2 350 513 61,7 3,10 2,68 40 48,3 400 115 8,0 13,5 15 6,0 61,5 15220 761 15,7 444 642 73,4 3,23 2,75 133
  74. MỤC LỤC Trang Chương 1 MỞ ĐẦU 1 §1 NHIỆM VỤ VÀ ĐỐI TƯỢNG CỦA MÔN SỨC BỀN VẬT LIỆU 1 I. Nhiệm vụ môn học. 1 II. Đối tượng nghiên cứu của môn học 1 §2- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN SỨC BỀN VẬT LIỆU. 3 I. Sơ đồ tính sức bền vật liệu. 4 II. Các giả thuyết. 7 III. Các nguyên lý. 7 §3- NGOẠI LỰC VÀ NỘI LỰC 8 I. Ngoại lực. 8 II. Nội lực phương pháp mặt cắt 9 §4- ỨNG SUẤT CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG 11 1- Ứng suất: 11 2- Chuyển vị và biến dạng: 11 Chương 2 KÉO NÉN THANH THẲNG 13 §1- ĐỊNH NGHĨA - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC. 13 §2- ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 14 1- Ứng suất trên mặt cắt ngang 14 2- Biến dạng khi kéo nén 15 3- Ứng suất trên mặt cắt nghiêng: 16 §3- CÁC ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU. 18 1- Thí nghiệm kéo vật liệu: 18 2- Thí nghiệm nén vật liệu: 20 3- Biến dạng khi kéo nén: 22 §4- ĐIỀU KIỆN BỀN VÀ CỨNG, KHI KÉO NÉN 23 §5- THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 26 §6- BÀI TOÁN SIÊU TĨNH. 27 Chương 3 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 29 §1 - ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 29 §2- TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT THẲNG 30 1. Ứng suất trên mặt cắt xiên 30 2- Phương chính và ứng suất chính: 31 3 - Vòng tròn Mo ứng suất 33 4- Sự trượt thuần tuý 37 §3- TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT KHỐI 38 I. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT XIÊN 38 II. LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 40 §4. THẾ NĂNG, BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI. 42 §5. CÁC THUYẾT BỀN 43 I. Ý NGHIÃ CỦA VIỆC SỬ DỤNG CÁC THUYẾT BỀN. 43 II. THUYẾT BỀN ỨNG SUẤT TIẾP CỰC ĐẠI 44 II. THUYẾT BỀN THẾ NĂNG BIẾN ĐỔI HÌNH DẠNG CỰC ĐẠI 45 IV. THUYẾT BỀN MO 46 III. ƯU NHƯỢC ĐIỂM VÀ PHẠM VI SỬ DỤNG CỦA CÁC THUYẾT BỀN 48 §6 - ÁP DỤNG CÁC THUYẾT BỀN 49 1- Phân tố ở trạng thái phẳng đặc biệt. 49 2- Phân tố ở trạng thái trượt thuần tuý 50 CHƯƠNG 4 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 51 §1- KHÁI NIỆM 51 134
  75. §2- MÔMEN TĨNH - CÁC MÔMEN QUÁN TÍNH 51 1 - Mômen tĩnh: 51 2- Mômen quán tính đối với một trục: 53 3- Mômen quán tính độc cực 53 4- Mômen quán tính ly tâm: 53 5- Mômen quán tính của một số hình đơn giản: 54 §4 - CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MÔMEN QUÁN TÍNH 56 §5- CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔMEN QUÁN TÍNH HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH 58 Chương 5 UỐN PHẲNG 61 PHẦN I - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC 61 §1- CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 61 1- Ngoại lực uốn và dầm: 61 2- Phân loại dầm: 61 §2- NỘI LỰC VÀ BIỂU ĐỒ NỘI LỰC: 62 1- Nội lực uốn: 62 2- Biểu đồ nội lực: 62 3- Các ví dụ: 62 4- Nhận xét chung: 69 §3- LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NGOẠI LỰC VÀ NỘI LỰC 69 1- Liên hệ tải trọng phân bố và lực cắt. 69 2- Liên hệ lực cắt và mômen uốn nội lực. 70 3- Liên hệ mômen uốn nội lực với tải trọng phân bố. 70 4- Liên hệ lực tập trung, mômen tập trung với nội lực 70 5- Nhận xét chung. 71 PHẦN II TÍNH TOÁN ĐỘ BỀN DẦM CHỊU UỐN PHẲNG 75 §1- UỐN THUẦN TUÝ 75 1- Định nghĩa: 75 2- Đường trung hoà: 75 3- Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang: 76 4- Biểu đồ ứng suất pháp và mặt cắt hợp lý. 79 5- Điều kiện bền khi uốn thuần tuý. 81 §2- UỐN NGANG PHẲNG 84 1- Định nghĩa: 84 2- Ứng suất pháp 84 3- Ứng suất tiếp: 85 4- Điều kiện bền khi uốn ngang phẳng 86 §1- BIẾN DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN ĐỘ CỨNG 89 1- Biến dạng và chuyển vị uốn: 89 2- Điều kiện cứng và phương pháp tính toán độ cứng. 90 §2- PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI 91 §3- TÍNH CHUYỂN VỊ THEO ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA THẾ NĂNG 92 1- Định lý Catilianô: 92 2- Trình tự tính chuyển vị theo đạo hàm riêng của thế năng 93 3- Nhận xét: 95 §4- TÍNH CHUYỂN VỊ THEO TÍCH PHÂN MO: 95 1 - Công thức Mo: 95 2- Trình tự tính chuyển vị theo tích phân Mo: 96 3- Nhận xét: 98 §5- PHÉP NHÂN BIỂU ĐỒ VERÊXAGHIN THÍNH CHUYỂN VỊ 98 1- Công thức Verêxaghin. 98 2- Trình tự tính chuyển vị theo nhân biểu đồ VeRêxaghin: 100 135
  76. 3- Chú ý khi nhân biểu đồ. 101 4- Ví dụ: 101 Chương 6 XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG 106 §1- CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 106 1- Ngoại lực xoắn: 106 2- Nội lực xoắn : 107 §3- XOẮN THUẦN TUÝ THANH MẶT CẮT TRÒN 109 1- Thí nghiệm xoắn: 109 2- Các giả thuyết: 109 3- Ứng suất trên mặt cắt ngang 109 4- Biểu đồ ứng suất tiếp - mặt cắt hợp lý: 112 5- Mặt cắt hợp lý: 112 5- Ứng suất trên mặt cắt xiên: 113 6- Biến dạng xoắn 114 7- Dạng phá hỏng của thanh tròn chịu xoắn 114 8- Điều kiện bền và cứng 115 9- Ví dụ tính thanh tròn chịu xoắn thuần tuý 117 §4- TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN 119 1- Nội lực: 120 2. Ứng suất 120 3- Biến dạng: 121 4- Điều kiện bền và cứng: 122 §5- XOẮN THANH MẶT CẮT CHỮ NHẬT 123 1- Ứng suất: 123 2- Biến dạng: 124 §6- BÀI TOÁN SIÊU TĨNH KHI XOẮN 124 PHỤC LỤC 128 136