›
›

Giáo trình Toán tài chính (Phần 2)

pdf 57 trang hapham 2400
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán tài chính (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_toan_tai_chinh_phan_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán tài chính (Phần 2)

  1. Chương V Thanh toán nợ thông thường Đ1. Đại cương 1. Phương thức vay vốn Để huy động một nguồn vốn, thường có hai phương thức sau: Người đi vay vay vốn của một chủ nợ. Chủ nợ có thể là một người, một ngân hàng, thậm chí cả một tập đoàn ngân hàng hoặc một tổ chức tài chính. Khoản vay như vậy được gọi là vay nợ thông thường. Các ngân hàng, công ty, Nhà nước, cần có một nguồn vốn lớn sẽ phát hành trái phiếu. Do đó có rất nhiều các chủ nợ. Khoản vay đó được gọi là vay nợ trái phiếu. Chương V đề cập đến việc thanh toán nợ thông thường. Thanh toán nợ trái phiếu sẽ được nêu trong chương VI 2. Phương thức và công thức thanh toán nợ thông thường Có nhiều cách thanh toán: trả một lần, trả dần làm nhiều lần. Trong phần này ta xét đến việc thanh toán trả dần nhiều lần bằng các niên kim. Mỗi niên kim gồm hai phần: phần trả hết số tiền lãi do số dư nợ sinh ra trong thời kỳ phần thanh toán nợ gốc Trường hợp số tiền niên kim lại nhỏ hơn số tiền lãi phát sinh, ta vẫn phải bảo đảm trả hết phần lãi đó và như vậy số dư nợ tăng lên. Do đó, phần thanh toán nợ gốc có thể mang giá trị âm. Gọi D0 là số tiền vay ban đầu. Đó chính là số dư nợ tính ở thời điểm 0. Gọi a k là niên kim cuối thời kỳ thứ k, m k là khoản thanh toán nợ gốc ở thời kỳ thứ k, D k là số dư nợ sau khi thực hiện niên kim a k. Giả sử i là lãi suất một thời kỳ và I k là số tiền lãi phải trả hết do số dư nợ D k-1 sinh ra. Vậy Ik = D k-1. i Gọi n là số các niên kim dùng để thanh toán hết khoản nợ D 0. Ta có các công thức sau: Ik = Dk-1. i, ak = Ik + mk, Dk = Dk-1 - mk (1) D0 = m1 + m2 + + mn (2) Dn = 0 (3) 55
  2. 3. Bảng thanh toán nợ Để dễ theo dõi việc thanh toán nợ, ta lập Bảng thanh toán nợ. Trong bảng cần thể hiện liên tiếp các niên kim với hai thành phần của nó và số dư nợ. Do đó bảng có 5 cột sau: Thời kỳ, Niên kim, Lãi, Thanh toán nợ gốc, Số dư nợ. Bảng thanh toán nợ Thời kỳ Niên kim Lãi Thanh toán nợ gốc Số dư nợ (k) (ak) (Ik) (mk) (Dk) 0 D0 1 a1 = I1 + m1 I1 = D0. i m1 D1 = D0 - m1 2 a2 = I2 + m2 I2 = D1. i m2 D2 = D1 - m2 k ak = Ik + mk Ik = Dk-1. i mk Dk = Dk-1 - mk n an = In + mn In = Dn-1. i mn Dn = Dn-1 - mn = 0 Bảng trên được thiết lập cho mọi trường hợp, cho mọi cách thức thanh toán bằng niên kim. Đ2. Thanh toán nợ thông thường 1. Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc Theo công thức (1), ta có: ak+1 = Ik+1 + mk+1 = Dk. i + mk+1 = (Dk-1 - mk). i + mk+1 ak = Ik + mk = Dk-1. i + mk Trừ các vế của hai hệ thức trên: ak+1 - ak = mk+1 - mk.i - mk Cuối cùng ak+1 - ak = mk+1 - mk(1+i) (4) Mệnh đề 1: a) Khi các niên kim cố định, các khoản thanh toán nợ gốc lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+i. 56
  3. b) Khi các khoản thanh toán nợ gốc cố định, các niên kim lập thành một cấp số D .i cộng với công sai d = - 0 n Chứng minh: a) Vì aj = a = const, nên ak+1 - ak = 0. Từ (4) ta có mk+1 = mk(1+i) hay m k là một cấp số nhân với công bội q = 1+i D0 b/ Vì mj = m = const, nên m = n D 0 .i D0i Từ (4) ta có ak+1 - ak = m - m(1+i) = -m.i = - hay ak+1 = ak + n n D .i Dãy a là một cấp số cộng với công sai d = - 0 k n Mệnh đề 2: Khi các niên kim cố định, mỗi niên kim được tính bởi công thức: i a = D0 . (5) 1 (1 i) n Chứng minh: Khi các niên kim là cố định, ta có m k là một cấp số nhân. Mặt khác D0 = m1 + m2 + + mn là tổng n số hạng của một cấp số nhân, nên: q n 1 (1 i) n 1 i D m m m D 0 1 q 1 1 i 1 0 (1 i) n 1 Ta có: i 1 a = a = m + I = m + D .i = D .i = D .i 1 1 1 1 0 D 0 n + 0 0 n 1 (1 i) 1 (1 i) 1 n (1 i) D0 .i = D0.i . (1 i) n 1 1 (1 i) n Đó chính là công thức (5) Chú thích: * Trong khi chứng minh mệnh đề 2, ta còn tìm được kết quả sau: Khi các niên kim cố định, khoản thanh toán nợ gốc đầu tiên được tính bằng: i m = D 1 0 n (1 i) 1 (6) i * Trong công thức (5), giá trị của biểu thức được cho trong Bảng V. 1 (1 i) n 57
  4. 2. Các quy tắc cơ bản Quy tắc 1: (Sự tương đương ở thời điểm n, thời điểm kết thúc vay nợ) Giá trị thu được của khoản vốn vay tính ở thời điểm n bằng tổng các số tiền thu được của tất cả các niên kim dùng để thanh toán nợ. n n n k D 0 (1 i) a k (1 i) (7) k 1 Chứng minh: Xét dãy niên kim a k (k=1, ,n) và lập sơ đồ sau: 0 1 2 n-1 n | | | | | a1 a2 an-1 an | >| an-1(1+i) n-2 | >| a2(1+i) n-1 | >| a1(1+i) n D0 | >| D0(1+i) Tổng giá trị thu được của n niên kim {a k} (dùng để thanh toán khoản nợ) tính tại thời n n-1 n-2 n k điểm n là a1(1+i) + a2(1+i) + + an-1(1+i) + an =  ak (1 i) (*) k 1 n Giá trị thu được của khoản nợ D 0 tính tại thời điểm n là D 0(1+i) ( ) Hai đại lượng đó phải bằng nhau. Từ đó có (7). Quy tắc 2: (Sự tương đương ở thời điểm 0, thời điểm bắt đầu vay nợ) Số tiền nợ khi đi vay bằng tổng các giá trị hiện tại tính tại thời điểm gốc của tất cả các niên kim dùng để thanh toán nợ. n k D 0 a k (1 i) (8) k 1 Chứng minh: Nhân hai vế (7) với (1+i) -n, ta có (8). 58
  5. Quy tắc 3: (Sự tương đương ở thời điểm p với 0 | ap-1(1+i) p-2 | >| a2(1+i) p-1 | >| a1(1+i) p D0 | . >| D0(1+i) Tổng giá trị thu được của p niên kim {a k: k=1, p} tính tại thời điểm p là p p-1 p-2 p k a1(1+i) + a2(1+i) + .+ ap = ak (1 i) k 1 p Giá trị thu được của khoản nợ D0 tính tại thời điểm p là D 0(1+i) . Vậy p p p k D0(1+i) = ak (1 i) + Dp . Từ đó có (9). k 1 Quy tắc 4: (Sự tương đương ở thời điểm p với 0 < p < n) Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ p bằng tổng các giá trị hiện tại tính tại thời điểm p của tất cả (n-p) niên kim sắp được thực hiện n p j D p a p j (1 i) (10) j 1 59
  6. Chứng minh: Xét các niên kim a p+1, ap+2, , an dùng để bảo đảm cho việc thanh toán khoản nợ D p. Lập sơ đồ sau: p p+1 p+2 n | | | | Dp ap+1 ap+2 an -1 ap+1(1+i) |< | |< | -(n-p) -(n-p) an(1+i) = ap+(n-p)(1+i) |< | Tổng giá trị (n-p) niên kim đó tính tại thời điểm p là n - p -1 -2 -(n-p) -j ap+1(1+i) + ap+2(1+i) + .+ ap+(n-p)(1+i) =  ap+j (1+i) j=1 Vì số tiền này dùng để thanh toán phần dư nợ D p, nên n-p -j Dp = ap+j (1+i) . Ta được (10) j=1 Nhận xét: a) Nếu aj = a = const, thì từ (8) ta có n (1 i) n 1 1 (1 i) n (1 i) n 1 k 1 (11) D 0 a (1 i) a(1 i) 1 a a n k 1 (1 i) 1 i i(1 i) Đó chính là công thức (5) k-1 b) Nếu dãy ak lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+i, thì a k = a1(1+q) Từ (8) ta có n n k-1 k -1 1 D 0 a1 (1 i) (1 i) a1 (1 i) na1 (1 i) (12) k 1 k 1 3. Ví dụ Một xí nghiệp vay một khoản tiền 1.000.000 USD, với lãi suất 6%, được thanh toán bằng 6 niên kim cố định. Niên kim thứ 1 được thực hiện một nă m sau ngày ký hợp đồng vay vốn. Hãy lập bảng thanh toán nợ. Giải: Vì ak = a, nên D .i 1.000.000 x 0,06 a = 0 203.362,60USD 1 (1 i) n 1 1,06 6 60
  7. Đồng thời I1 = D0.i = 60.000 n1 = a1 - I1 = a - I1 = 203.362,60 - 60.000 = 143.362,60 D1 = D0 - m1 = 856.637,40 Bảng thanh toán nợ k ak Ik mk Dk 0 1.000.000,00 1 203.362,60 60.000,00 143.362,60 856.637,40 2 203.362,60 51.398,24 151.964,36 704.673,04 3 203.362,60 42.280,38 161.082,22 543.590,82 4 203.362,60 32.615,45 170.747,15 372.843,67 5 203.362,60 22.370,62 180.991,98 191.851,69 6 203.362,79 11.511,10 191.851,69 0,00 Chú ý: Vì phải bảo đảm thanh toán hết nợ, nên ta điều chỉnh ở a 6 4. Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (a k = a = const) a) Các kết quả đã có: m k  là một cấp số nhân với công bội q = 1+i i m D ; m m (1 i) k 1 1 0 (1 i) n 1 k 1 i (1 i) n 1 a D ; D a 0 1- (1 i) - n 0 i(1 i) n b) Tình hình thanh toán nợ Sau khi thực hiện niên kim thứ p, gọi R p là khoản tiền đã thanh toán được và D p là số dư nợ. Ta thiết lập các công thức tính R p và Dp. Ta có: (1 i) p 1 i (1 i) p 1 (1 i) p 1 R m m m D x D p 1 p 1 (1 i) 1 0 (1 i) n 1 i 0 (1 i) n 1 Vậy (1 i)p 1 R D (13) p 0 (1 i)n 1 61
  8. Ta có: (1 i) p 1 (1 i) n (1 i) p D p D 0 R p D 0 1 n D 0 n (1 i) 1 (1 i) 1 (1 i) n 1 (1 i) n (1 i) p a i(1 i) n (1 i) n 1 Vậy 1- (1 i)p-n D a (14) p i c) Ví dụ: Một khoản nợ được thanh toán bằng 10 niên kim cố định. Khoản thanh toán nợ gốc thứ 1 là 79.504,60 USD và khoản thanh toán nợ gốc thứ 3 là 87.653,8125 USD. Tìm: Lãi suất vay nợ Số tiền vay nợ lúc ban đầu, biết a = 129.504,60 USD Khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ 4 Giải: 2 2 m 3 87.653,8125 * m3 = m1(1+i) (1 i) 1,1025 m1 79.504,60 Bảng I cho i = 5% (1 i) n 1 1,0510 1 * D a 129.504,60 1.000.000USD 0 i(1 i) n 0,05(1,05)10 Cách khác: a m1 129.504,60 79.504,60 a = a1 = D0i + m1 D0 = 1.000.000 i 0,05 * D9 - m10 = D10 = 0 m10 = D9 Ta lại có a10 = D9i + m10 = m10(1+i) Vậy a a 129.504,60 m 10 123.337,40USD 10 1 i 1 i 1,05 62
  9. 1 (1 i) 4 10 1 1,05 6 * D a 129.504,60 657.325,47USD 4 i 0,05 Chú thích: Khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng sẽ là a n mn = (15) 1 i Quả vậy: Từ Dn = Dn-1 - mn = 0, ta có Dn-1 = mn . Từ an = Dn-1i + mn = mni + mn = mn(1+i), suy ra điều phải chứng minh. Do đó, nếu ak = a thì khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng sẽ là a m n 1 i 5 Thanh toán nợ với các khoản thanh toán nợ gốc cố định (m k = m = const) D 0 Vì D0 = m1 + m2 + + mn = n.m, nên m n D i Dãy a là một cấp số cộng với công sai d = 0 , nên k n D 0i a a k 1 k n Ta có: D 0 1 a1 = I1 + m1 = D0i + D (i ) n 0 n Ví dụ: Lập bảng thanh toán nợ với khoản thanh toán nợ gốc cố định, biết rằng D0 = 500.000 euro, i = 5%, n = 5 Giải: D 0 D0 = 500.000, m = 100.000 , n D i 500.000 x 0,05 d = 0 5000 n 5 a1 = D0i + m1 = 500.000 x 0,05 +100.000 = 125.000 63
  10. Bảng thanh toán nợ k ak Ik mk Dk 0 500.000 1 125.000 25.000 100.000 400.000 2 120.000 20.000 100.000 300.000 3 115.000 15.000 100.000 200.000 4 110.000 10.000 100.000 100.000 5 105.000 5.000 100.000 0 Đ3. Một vài phương thức thanh toán đặc biệt 1. Vay nợ với tiền lãi trả trước a) Trường hợp tổng quát Việc thanh toán vẫn được tiến hành bằng n niên kim a k, nhưng lãi được trả trước. Như vậy khi ký hợp đồng vay số tiền D 0, người đi vay đã phải trả ngay khoản tiền lãi phát sinh trong thời kỳ đầu. Ta phải thay đổi công thức tính ở (1) như sau: Ik = Dki (k = 0,1 ,n) Như vậy In = Dni = 0 Bảng thanh toán nợ k ak Ik mk Dk 0 I0 = D0i D0 1 a1 = D1i + m1 I0 = D1i m1 D1 = D0 - m1 k ak = Dki + mk Ik = Dki mk Dk = Dk-1 - mk n-1 an-1 = Dn-1i + mn-1 In-1 = Dn-1i mn-1 Dn-1 = Dn-2 - mn-1 n am = mn In = 0 mn Dn = Dn-1 - mn = 0 Bảng trên được thiết lập cho mọi trường hợp thanh toán 64
  11. b) Trường hợp riêng: Các niên kim cố định a k = a = const Ta có : ak+1 = ak Dk+1i + mk+1 = Dki + mk mk+1 + (Dk+1 - Dk)i = mk mk+1 - mk+1 i = mk 1 mk+1 = mk ( ) 1 i 1 Như thế m  lập thành một cấp số nhân với công bội k 1 i 1 1 i Vì > 1, nên khi viết = 1 + r, ta sẽ có r = 1 i 1 i 1 i Do đó mk+1 = mk(1+r) hay {mk} lập thành một cấp số nhân với công bội 1+r. (1 r) n 1 r Vì D m m m ,nên m1 = D 0 1 n 1 r 0 (1 r) n 1 Ta còn có: 1 n-1 r n-1 r(1 r) a = an = mn = m1(1+r) = D . (1+r) = D 0 (1 r) n 1 0 1 (1 r) n c) Ví dụ: Lập bảng thanh toán nợ với các niên kim cố định, lãi trả trước, biết D0 = 40.000 USD, i = 5%, n = 5 Giải: i 0,05 r = 0,05263 1 i 1 0,05 r 0,05263 m1 = D = 40.000 = 7.201,06 7.201 0 (1 r) n 1 (1,05263)5 1 4 4 a = m5 = m1(1+r) = 7.201,06 x (1,05263) = 8.841 I0 = D0i = 40.000 x 0,05 = 2.000 I1 = a1 - m1 = 8.841 - 7.201 = 1.640 D1 = D0 - m1 = 40.000 - 7.201 = 32.799 65
  12. Bảng thanh toán nợ k ak Ik mk Dk 0 2.000 40.000 1 8.841 1.640 7.201 32.799 2 8.841 1.261 7.580 25.219 3 8.841 862 7.979 17.240 4 8.841 442 8.399 8.841 5 8.841 0 8.841 0 2. Thanh toán nợ gốc một lần Tuy việc trả số tiền vay D 0 được thực hiện một lần, vào lần cuối cùng, nhưng do D 0 khá lớn, nên người đi vay phải lập một quỹ ngầm (sinking fund), để chuẩn bị cho việc thanh toán nợ. Thông thường người đi vay gửi đều đặn vào ngân hàng m ột số tiền cố định sao cho khi kết thúc thời hạn đi vay thì quỹ ngầm đủ bảo đảm thanh toán hết khoản nợ đã vay. Giả sử thời hạn vay D 0 là n thời kỳ. Có 2 trường hợp: Cuối mỗi kỳ, người đi vay phải trả một khoản lãi I = D 0i cho chủ nợ. Niên kim cuối cùng thanh toán hết nợ gốc, Trả một lần cả gốc lẫn lãi. Gọi i’ là lãi suất ngân hàng, nơi người đi vay chuẩn bị quỹ ngầm. Ta tính số tiền cần gửi vào ngân hàng tương ứng với hai trường hợp trên: a) Gọi a’ là số tiền cố định mà người đó gửi vào ngân hàng cuối mỗi thời kỳ. Do tiền lãi được trả cho chủ nợ từng thời kỳ, nên dãy n niên kim a' chỉ để chuẩn bị trả cho khoản nợ gốc D0, hay D0 là giá trị thu được của dãy niên kim cố định. Ta đã có công thức (1 i') n 1 i' a' D a' D i' 0 0 (1 i') n 1 Do đó người đi vay, trên thực tế, phải chuẩn bị các niên kim a k là ak = a’ + I Phần lãi I = D0i trả cho chủ nợ, phần a’ gửi vào ngân hàng. n b) Vào cuối thời kỳ n, giá trị thu được của khoản vay ban đầu là D 0(1+i) . Do đó n D0(1+i) phải bằng giá trị thu được của dãy n niên kim a’. Vậy (1 i') n 1 i' a' D (1 i) n a' D (1 i) n i' 0 0 (1 i') n 1 66
  13. Chương VI Thanh toán nợ trái phiếu Đ1. Đại cương Khi cần huy động một nguồn vốn lớn, người đi vay (ngân hàng, xí nghiệp, Chính phủ, ) phát hành trái phiếu. Trái phiếu là một giấy chứng nhận do người đi vay xác nhận một phần vốn vay trong một khoản vay lớn dài hạn. Trái phiếu là một loại chứng khoán. Người chủ nợ (người chủ trái phiếu) có thể thu hồi vốn trước thời hạn (khi trái phiếu của họ chưa được thanh toán) bằng cách chuyển nhượng trái phiếu trên thị trường chứng khoán. Trái phiếu có các đặc điểm sau: Mệnh giá: duy nhất đối với một loại trái phiếu, mệnh giá trái phiếu thường nhỏ để dễ phát hành Cupông: tiền lãi tính trên mệnh giá với lãi suất trái phiếu Giá phát hành: thấp hơn hoặc bằng mệnh giá Giá thanh toán: cao hơn hoặc bằng mệnh giá. Nhiều trường hợp giá thanh toán tăng dần theo các đợt thanh toán. ở đây ta xét giá thanh toán cố định Tiền bù thanh toán (tiền khuyến khích): Hiệu giữa giá thanh toán và giá phát hành Với các trái phiếu dài hạn thường thanh toán hàng năm bằng các niên kim qua việc quay số, bốc thăm từng đợt. Đ2. Lý thuyết chung về thanh toán nợ trái phiếu 1. Cơ sở dữ liệu Đối với một khoản nợ trái phiếu, ta có các dữ liệu sau: a) N : Số lượng trái phiếu phát hành b) C : Mệnh giá của mỗi trái phiếu c) i : Lãi suất trái phiếu d) c : Cupông trả cho mỗi trái phiếu c=Ci e) E : Giá phát hành mỗi trái phiếu E ≤ C f) R : Giá thanh toán mỗi trái phiếu R C g) Ak : Số lượng các trái phiếu được thanh toán trong đợt k 67
  14. h) Rk : Số lượng các trái phiếu đã được thanh toán cho đến hết đợt k i) Nk : Số lượng các trái phiếu còn lưu thông (chưa được thanh toán) sau đợt k j) ak : Niên kim thứ k. Đó là số tiền thanh toán đợt k bao gồm: * Ik : số tiền trả cupông cho N k-1 trái phiếu còn đang lưu thông đến thời điểm thanh toán * mk : số tiền thanh toán cho A k trái phiếu. Như vậy ak = Ik + mk = cNk-1 + RAk Ta lập bảng sau để theo dõi hai dữ liệu quan trọng a k và Nk k ak Nk 1 a1 = cN + RA1 N1 = N - A1 2 a2 = cN1 + RA2 N2 = N1 - A2 k ak = cNk-1 + RAk Nk = Nk-1 - Ak n an = cNn-1 + RAn Nn = Nn-1 - An = 0 2. Các công thức n N Ak (1) k 1 ak-1 - ak = R [Ak+1 - Ak(1+r)] (2) n k c RN a k (1 r) với r = (3) k 1 R Chứng minh: a) Có n đợt thanh toán. Mỗi đợt có A k (k=1, ,n) trái phiếu được thanh toán. Số lượng trái phiếu phát hành là N. Vậy N = A1 + A2 + . + An . Ta được (1) b) Tính ak-1 - ak = (cNk + RAk+1) - (cNk-1 + RAk) = RAk+1 - RAk - c(Nk-1-Nk) = RAk+1 - RAk - cAk c = R [Ak+1 - Ak(1+ )] R = R [Ak+1 - Ak(1+r)] Ta được (2) 68
  15. c) Trước hết ta chứng minh hệ thức tổng quát sau bằng quy nạp: k k k- j RNk = RN(1 r) a j (1 r) (k=1, ,n) (*) j 1 Với k = 1, (*) trở thành RN1 = RN(1+r) - a1 c R(N-A1) = RN(1+ ) - a1 R - RA1 = Nc - a1 a1 = cN + RA1 (Đúng) Giả sử đã có (*) với k. Nhân hai vế với (1+r) sau đó trừ đi a k+1: k k 1 (k 1)- j RNk(1+r) - ak+1 = RN(1 r) a j (1 r) - ak+1 j 1 k 1 c k 1 (k 1)- j RNk(1+ ) - ak+1 = RN(1 r) a j (1 r) ( ) R j 1 Vế phải ( ) chính là vế phải (*) với (k+1) Xét vế trái ( ) c RNk(1+ ) - ak+1 = RNk + cNk - ak+1 = RNk - cNk - ( cNk + RAk+1) R = R (Nk - Ak+1) = RNk+1 Đó là vế trái của (*) cho (k+1). Hệ thức (*) được chứng minh. Sử dụng (*) với k=n và chú ý N n = 0, ta có n n n j RN(1 r) a k (1 r) j 1 Khi nhân hai vế với (1+r) -n, ta được (3). Chú thích: c Ci Từ r = = nên khi C < R thì r < i và khi C = R thì r = i R R Từ Nn = Nn-1 - An = 0, ta có Nn-1 = An . Vậy an = cNn-1 + RAn = cAn + RAn = An(c+R) = An(rR + R) = RAn(1 + r). a n Niên kim cuối cùng sẽ được tính bởi A n = R(1 r) 69
  16. 3. Một số trường hợp thanh toán đặc biệt a) Thanh toán bằng các niên kim cố định a k = a = const * Từ công thức (2) ta có Ak+1 = Ak(1+r), hay dãy {Ak} lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+r. Vậy k-1 Ak = A1(1+r) N là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, nên (1 r) n 1 (1 r) n 1 N A A 1 (1 r) 1 1 r Số trái phiếu thanh toán lần đầu là r A N (4) 1 (1 r) n 1 * Số trái phiếu thanh toán đợt k là r A N (1 r) k 1 (5) k (1 r) n 1 * Từ (3) ta có n 1 (1 r) n RN a(1 r) k a k 1 r suy ra số tiền thanh toán mỗi đợt: r a RN (6) 1 (1 r) n * Số lượng trái phiếu đã được thanh toán cho đến hết đợt k: k (1 r) k 1 r (1 r) k 1 R k  A j A1 N n j 1 (1 r) 1 (1 r) 1 r (1 r) k 1 R N (7) k (1 r) n 1 * Sau đợt k, số lượng trái phiếu còn đang lưu thông (chưa thanh toán): n (1 r)k 1 = N k  A j N R k N N n j k 1 (1 r) 1 (1 r)n (1 r)k N N (8) k (1 r)n 1 a * Số lượng trái phiếu thanh toán đợt cuối cùng A n = R(1 r) 70
  17. b) Số lượng trái phiếu thanh toán mỗi đợt cố định A k = const N Có tất cả n đợt thanh toán, nên A k= . Từ (2), ta có n N N N N c N ak-1 - ak = R [ - (1+r)] = - R r = - R = - c n n n n R n N Vậy dãy {ak} lập thành một cấp số cộng với công sai d = - c . n Dễ dàng tìm được a 1 và ak: N R a1 = cN + RA1 = cN + R = N (c+ ) n n R N ak = a1 + (k-1)d = N (c+ ) + (k-1)( - c ) n n 4. Bảng thanh toán nợ Bảng thanh toán nợ trái phiếu được thiết lập như bảng thanh toán nợ thông thường. Tuy nhiên cần điều chỉnh làm tròn để số lượng trái phiếu thanh toán mỗi đợt là một số nguyên dương. Mặt khác, khi lập bảng thanh toán cần bi ết số lượng trái phiếu còn đang lưu thông (chưa được thanh toán) sau mỗi đợt. Bảng có các cột sau: Thời kỳ : k Niên kim (Số tiền thanh toán) : ak = Ik + mk Lãi (Tiền trả các cupông) : Ik = cNk-1 Thanh toán trái phiếu gốc Số lượng trái phiếu : Ak Số tiền : mk = RAk Số dư trái phiếu chưa thanh toán : Nk = Nk-1 - Ak Thanh toán Thời Niên kim Lãi trái phiếu gốc Số dư trái phiếu kỳ Số lượng Số tiền chưa thanh toán (k) (ak = Ik+ mk) (Ik) (Ak) (mk) (Nk) 0 N0 = N 1 a1 = cN0 + RA1 I1 = cN0 A1 m1 = RA1 N1 = N0 - A1 k ak = cNk-1+ RAk Ik = cNk-1 Ak mk = RAk Nk = Nk-1 - Ak . n an In An mn Nn = 0 71
  18. Ví dụ: Một công ty phát hành 10.000 trái phiếu có mệnh giá 200 USD, lãi suất 4,5%, thanh toán bằng 6 đợt với niên kim bằn g nhau. Biết giá thanh toán cho mỗi trái phiếu là 225 USD, lập bảng thanh toán trái phiếu Giải: Khi thanh toán với các niên kim cố dịnh, dãy {Ak} lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+r. Các dữ liệu đã cho: N = 10.000, C = 200, R = 225, i = 0,045, n = 6, c c = Ci = 9, r = = 0,04 R Từ (4), về mặt lý thuyết số trái phiếu thanh toán đợt đầu là: r 0,04 10.000 10.000 A N 10.000x 1507,619 1 (1 r) n 1 1,046 1 1,046 1 6,632975 0,04 k-1 Lần lượt tính Ak = A1 (1,04) và làm tròn kết quả: A1 = 1507,619 1508 A2 = 1507,619x1,04 = 1567,924 1568 A3 = 1567,924x1,04 = 1630,641 1631 A4 = 1630,641x1,04 = 1695,867 1696 A5 = 1695,867x1,04 = 1763,701 1764 A6 = 1763,701x1,04 = 1834,249 1834 Tổng A1+A2+A3+A4+A5+A6 = 10.001 Thừa 1 trái phiếu, nên ta điều chỉnh như sau: A1 = 1507, A2 = 1568, A3 = 1631, A4 = 1696, A5 = 1764, A6 = 1834 72
  19. Bảng thanh toán trái phiếu Thời Thanh toán trái phiếu gốc Số trái phiếu còn kỳ Niên kim Lãi Số lượng Số tiền lưu thông (k) (ak) (Ik) (Ak) (mk=RAk) (Nk) 0 10.000 1 429.075 90.000 1.507 339.075 8.493 2 429.237 76.437 1.568 352.800 6.925 3 429.300 62.325 1.631 366.975 5.294 4 429.246 47.646 1.696 381.600 3.598 5 429.382 32.382 1.764 396.900 1.834 6 429.156 16.506 1.834 412.650 0 10.000 2.250.000 5. Tình hình thanh toán trái phiếu Để theo dõi việc thanh toán trái phiếu, cần biết hai đại lượng: số trái phiếu đã thanh toán cho đến hết đợt k hoặc số trái phiếu còn lưu thông sau khi thanh toán đợt k. a) Trường hợp ak = a Trong phần 3 ta đã tìm được: (1 r) k 1 (1 r) n (1 r) k R N ; N N k (1 r) n 1 k (1 r) n 1 b) Trường hợp ak = a và R = C (thanh toán ngang mệnh giá) Khi R = C thì r = i, nên (1 i) k 1 (1 i) n (1 i) k R N ; N N k (1 i) n 1 k (1 i) n 1 Ví dụ: Một khoản nợ trái phiếu với 10.000 trái phiếu, mệnh giá 200 USD, lãi suất 5,75%, giá thanh toán 230 USD, được thanh toán bằng 15 niên kim cố định. Tính số trái phiếu còn chưa thanh toán sau đợt 8. Giải: Các dữ liệu đã cho: N = 10.000, C = 200, R = 230, i = 0,0575, n = 15, c 11,50 c = Ci = 11,50, r = = = 0,05 R 230 73
  20. Từ (8) ta có (1,05)15 (1,05)8 N 10.000 = 5574,72 8 (1,05)15 1 Chọn N8 = 5575. Sau đợt 8, còn 5575 trái phiếu chưa thanh toán. Đ3. Một số đặc trưng về thời hạn của trái phiếu 1. Median của trái phiếu Median của trái phiếu là khoảng thời gian để thanh toán được một nửa số trái phiếu phát hành. N Gọi p là median thì Rp = 2 (1 r) p 1 Nếu ak = a , thì Rp = N . Vậy ta có phương trình (1 r) n 1 (1 r) p 1 N N (1 r) n 1 2 Giải phương trình này, ta nhận được: 1 ln{1 [(1 r) n 1]} p = 2 (9) ln(1 r) Cũng có thể dùng Bảng III, khi viết (1 r) p 1 1 (1 r) n 1 r 2 r Sau đó làm tròn để p nguyên dương. Ví dụ: Tìm median của trái phiếu có mệnh giá 200 USD, lãi suất 5,75%, giá thanh toán 230 USD bằng 18 niên kim cố định. Giải: Từ C = 200, R = 230, i = 0,0575 ta có c 11,5 c = Ci = 200x0,0575 = 11,5, r = = = 0,05 R 230 Vậy (1,05) p 1 1 (1,05)18 1 = 0,5x28,132385 = 14,0661925 0,05 2 0,05 Tra Bảng III thì 10 < p < 11. Vậy ta chọn (chẳng hạn) p = 11 74
  21. 2. Thời hạn trung bình của trái phiếu a) Thời hạn trung bình của trái phiếu là khoảng thời gian lưu thông trung bình của trái phiếu. Như thế có A1 trái phiếu lưu thông 1 thời kỳ, A 2 trái phiếu lưu thông 2 thời kỳ, , An trái phiếu lưu thông n thời kỳ. Gọi n là thời hạn trung bình, thì n  kA k n k 1 (10) N b) Thời hạn trung bình của trái phiếu khi các niên kim cố định Nếu ak = a thì dãy {Ak} lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+r. k-1 Khi đó Ak = A1(1+r) , từ (10) và (8) ta có A n r 1 n r 1 k 1 k 1 n  k(1 r) N n  k(1 r) n S N k 1 (1 r) 1 N k 1 (1 r) 1 n Ta tính tổng S =  k(1 r) k 1 như sau: k 1 S = 1 + 2(1+r) + 3(1+r)2 + + n(1+r)n-1 S(1+r) = (1+r) + 2(1+r)2 + 3(1+r)3 + + n(1+r)n S(1+r) - S = Sr = n(1+r)n - [1 + (1+r) + (1+r)2 + .+ (1+r)n-1] (1 r) n 1 = n(1+r)n - (1 r) 1 Vậy 1 (1 r) n 1 S = [ n(1+r)n - ] r r Cuối cùng, thời hạn trung bình là: r 1 (1 r) n 1 n(1 r) n 1 n [ n(1+r)n - ] = (*) (1 r)n 1 r r (1 r) n 1 r 1 r n [ n 1] (11) r 1- (1 r)-n n [(1 r) n 1] n 1 hoặc từ (*) n (1 r) n 1 r 1 n n (n - ) + (11’) r (1 r) n 1 75
  22. c) Thời hạn trung bình của trái phiếu khi số trái phiếu thanh toán mỗi đợt cố định N Nếu Ak = const thì Ak = . Do đó từ (10) n N n  k n 1 (n 1)n n 1 n k 1 N n 2 2 d) Ví dụ: Tìm thời hạn trung bình của trái phiếu, biết n = 20 năm, thanh toán ngang mệnh giá với lãi suất i = 9,5%, trong hai trường hơp: niên kim cố định số lượng trái phiếu thanh toán hàng năm cố định Giải: Vì R = C nên r = i = 0,095 Trường hợp niên kim cố định, theo công thức (11’) thời hạn trung bình là: 1 n 1 20 n (n - ) + = (20 - ) + = 13,3 năm r (1 r) n 1 0.095 (1,095) 20 1 Trường hợp số lượng trái phiếu thanh toán hàng năm cố định, thời hạn trung bình là: n 1 20 1 n = = 10,5 năm 2 2 Đ4. Lãi suất đầu tư và lãi suất giá thành 1. Khái niệm Khi phát hành N trái phiếu với giá E, thì nguồn vốn huy động được là EN. Người phát hành phải dùng n niên kim a k để thanh toán các trái phiếu và cupông. Như vậy giá trị hiện tại (tại thời điểm phát hành) của dãy niên kim đó theo một lãi s uất x sẽ bằng EN. Lãi suất x cao hơn lãi suất trái phiếu i. Nếu bổ sung thêm một khoản tiền F mà nhà phát hành phải trả cho các chi phí, thì trên thực tế nhà phát hành chỉ huy động được một nguồn vốn (EN - F). Khi đó lãi suất thực tế x’ còn cao hơn lãi suất x. Định nghĩa 1 Lãi suất trung bình đầu tư là lãi suất x thỏa mãn phương trình: n k EN =  ak (1 x) (12) k 1 76
  23. Sơ đồ minh hoạ: | | | | EN a1 a2 a n -1 a1(1+x) |< | -2 a2(1+x) |< | -n an(1+x) |< | Định nghĩa 2 Lãi suất giá thành là lãi suất x’ thỏa mãn phương trình: n k EN - F =  ak (1 x') (13) k 1 2. Trường hợp niên kim cố định Khi ak = a, theo công thức (6) r a RN 1 (1 r) n thay vào (12), ta có r n r 1 (1 x) n EN = k RN n (1 x) RN n 1 (1 r) k 1 1 (1 r) x 1 (1 x) n E 1 (1 r) n (14) x R r Dựa vào bảng tài chính IV và phương pháp nội suy ta tìm được lãi suất trung bình đầu tư x. F Ký hiệu f = , thì f là chi phí cho một trái phiếu. Một cách tương tự ta có N 1 (1 x') n E f 1 (1 r) n (15) x' R r Từ công thức (15) ta tìm được lãi suất giá thành x’. 3. Trường hợp số trái phiếu thanh toán cố định N Nc Khi Ak = const thì Ak = và dãy {ak} là một cấp số cộng công sai d = - . n n Nc Thay ak = a1 -(k-1) vào các phương trình (12) và (13), ta sẽ tìm được x và x’. n 77
  24. 4. Ví dụ Ví dụ 1: Công ty P&P phát hành 10.000 trái phiếu mệnh giá 200 USD, lãi suất 4,5%, thanh toán bằng 18 niên kim cố định. Giá phát hành 199 USD, giá thanh toán 225 USD. Tìm: Lãi suất trung bình đầu tư Lãi suất giá thành, khi chi phí cho mỗi trái phiếu là 6,5 USD Giải: Các dữ liệu đã cho: N = 10.000, n = 15, C = 200, E = 199, R = 225, f = 6,5, i = 0,045 Ta có c 9 c = Ci = 200x0,045 = 9, r = = 0,04 R 225 Lãi suất trung bình đầu tư tìm được từ (14): 1 (1 x) 18 E 1 (1 r) 18 199 1 (1,04) 18 199 x12,659297 x R r 225 0,04 225 1 (1 x) 18 11,196545 x Bảng IV cho biết x nằm giữa 5,50% và 5,75%. Khi sử dụng phương pháp nội suy tìm được x = 5,56% Lãi suất giá thành tìm được từ (15): 1 (1 x') 18 E f 1 (1 r) 18 (199 6,56) 1 (1,04) 18 x' R r 225 0,04 192,44 x12,659297 225 1 (1 x') 18 10,827356 x' Bảng IV cho x’ 6% 78
  25. Ví dụ 2: Một công ty phát hành 40.000 trái phiếu có mệnh giá 6.000 USD. Thanh toán ngang mênh giá bằng 10 niên kim cố định. Lãi suất 11,25%. Giá phát hành 5.960 USD. Chi phí cho mỗi trái phiếu bằng 2% mệnh giá. Tìm lãi suất giá thành trái phiếu. Giải: Các dữ liệu đã cho: N = 40.000, n = 10, C = R = 6.000, E = 5.960, i = r = 0,1125, f = 6.000x2% = 120 áp dụng (15): 1 (1 x') 10 E f 1 (1 r) 10 (5.960 120) 1 (1,1125) 10 x' R r 6.000 0,1125 1 (1 x') 10 (5840/6000)x5,828002 = 5,672588 x' Kết hợp bảng IV và nội suy, ta tìm được x’ = 11,93% 5. Lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu Lãi suất trung bình đầu tư x được tính trên tổng thể tất cả các trái phiếu. Vậy đó là lãi suất trung bình được tính chung cho toàn bộ n hững người đầu tư mua trái phiếu. Tuy nhiên, đối với từng người đầu tư thì lãi suất đầu tư trái phiếu của họ còn phụ thuộc vào thứ tự đợt thanh toán. Vì vậy, các lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu sẽ khác nhau. Gọi t là lãi suất đầu tư cho các t rái phiếu thanh toán đợt k. Lúc phát hành, người đầu tư bỏ một khoản tiền E (giá phát hành) để mua một trái phiếu. Cứ sau mỗi đợt (từ đợt 1 đến đợt k-1), người đó đươc trả cupông c = Ci. Đến đợt k, người đó được trả c và R. Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 k -1 k | | | | | E c c c c+R Tại thời điểm phát hành, phương trình tương đương đối với trái phiếu thanh toán đợt k là: [ c(1+t)-1 + c(1+t)-2 + + c(1+t)-k ] + R(1+t)-k = E 1 (1 t) k c + R(1+t)-k = E (16) t Tương tự, gọi t’ là lãi suất đầu tư đối với các trái phiếu thanh toán đợt k’, ta có phương trình tương đương đối với trái phiếu này tại thời điểm phát hành là: 1 (1 t') k' c + R(1+t’ ) -k’ = E (16’) t' 79
  26. Các phương trình (16) và (16’) cho các giá trị t và t’ khác nhau. Ví dụ: Trái phiếu có mệnh giá 5.000 USD được phát hành với giá 4.987 USD và thanh toán ngang mệnh giá. Giả sử lãi suất trái phiếu là 8,75%. Tính lãi suất đầu tư của người mua có trái phiếu thanh toán vào các đợt: 1, 2, 10. Giải: Các dữ liệu đã cho: C = 5.000, E = 4.987, R = 5.000, i = 0,0875, c = Ci = 5.000x0,0875 = 437,5 a) Đối với trái phiếu thanh toán đợt 1, ta có phương trình -1 -1 437,5 (1+t1) + 5.000 (1+t1) = 4.987 4.987 (1+t1) = 5.000 + 437,5 1+t1 = 5.437,5/4.987 = 1,0903 Vậy t1 = 9,03 % b) Đối với trái phiếu thanh toán đợt 2, ta có phương trình -1 -2 -2 437,5 (1+t2) + 437,5 (1+t2) + 5.000 (1+t1) = 4.987 2 4.987 (1+t2) - 437,5 (1+t2) - 5.437,5 = 0 Đặt 1+t2 = z, ta có phương trình 4.987 z2 - 437,5 z - 5.437,5 = 0 Giải phương trình và chọn z > 1, ta tìm được z = 1.0889. Vậy t2 = 8,89 % c) Đối với trái phiếu thanh toán đợt 10, ta có phương trình 10 1 (1 t10 ) -10 437,5 + 5.000 (1+t10) = 4.987 (*) t10 Với t = 0,0875, vế trái (*) cho giá trị 5.000 Với t = 0,09 , vế trái (*) cho giá trị 4.919,78 Bằng phương pháp nội suy ta tìm được 5.000 4.987 t10 = 8,75 + (9 - 8,75)x = 8,75 + 0,0405 = 8,7905 5.000 4.919,78 Vậy t10 = 8,79 % Nhận xét: Càng thanh toán về sau, lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu càng giảm. 80
  27. Chương VII Định giá các khoản nợ Đ1. Định giá khoản nợ thông thường 1. Định giá Xét trường hợp người chủ nợ một khoản nợ thông thường (chưa thanh toán hết) cần ngay một số vốn. Người đó đưa chiết khấu các niên kim còn lại mà người đó sẽ được hưởng. Khi đó cần định giá khoản nợ. Giả sử lãi suất chiết khấu (còn gọi lãi suất định giá) là t. Để thuận tiện tính toán, ta gọi các niên kim còn lại là a1, a2, , an. Thời điểm trước niên kim a1 một thời kỳ được gọi là thời điểm (ngày) định giá. Số dư nợ đến ngày định giá là K Định giá của khoản nợ là tổng các giá trị hiện tại (tính tại thời điểm định giá) của dãy niên kim {ak}, ký hiệu V: n V -1 -2 -n k = a1(1+t) + a2(1+t) + + an(1+t) = a k (1 t) (1) k 1 Ví dụ: Một khoản vay thông thường 100.000 USD được thanh toán bằng 20 niên kim cố định, với lãi suất vay 10%. Ngay sau niên kim thứ 8, người chủ nợ đưa các niên kim còn lại đi chiết khấu với lãi suất chiết khấu 9,5%. Hỏi số tiền mà người chủ nợ sẽ nhận được? Giải: Số tiền mỗi niên kim cố định i 0,10 a = V = 10.000x = 10.000x0,117460 = 11.746 1 (1 i) n 1 1,10 20 Vào ngày định giá còn 20 - 8 = 12 niên kim. Số tiền người chủ nợ nhận được là định giá của 12 niên kim với lãi suất t = 9,5% : 12 12 1 (1 t) 12 V =  a(1 t) k = a  (1 t) k = a = 11.746 x 6,983839 k 1 k 1 t = 81.042,17 USD 2. Quyền thu lợi toàn phần và quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần Khi thanh toán nợ, các niên kim a k gồm hai phần: phần trả lãi I k và phần thanh toán nợ gốc mk ak = Ik + mk 81
  28. Thay vào (1) n n n V k k k = (Ik mk )(1 t) =  Ik (1 t) + mk (1 t) k 1 k 1 k 1 Đặt n U k = Ik (1 t) (2) k 1 U được gọi là quyền thu lợi toàn phần của khoản nợ, n P = k mk (1 t) (3) k 1 P được gọi là quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần của khoản nợ. Khi đó: V = U + P (4) 3. Quyền thu lợi đơn vị và quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị Quyền thu lợi đơn vị, ký hiệu u, là đại lượng u = U / (Ki) (5) Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị, ký hiệu p, là đại lượng p = P / K (6) Từ đó U = K.i.u, P = K.p V = K.i.u + K.p (7) Chú thích: Đại lượng K.i chính là tiền lãi phải thanh toán trong đợt thanh toán đầu tiên sau ngày định giá. 4. Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị và định giá đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị a) Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị Vào ngày định giá khoản nợ K = D 0 được thanh toán bằng n niên kim {a k}. Gọi i là lãi suất cho vay, t là lãi suất định giá, D k là số dư nợ sau khi thanh toán niên kim a k. Ta có: Ik = Dk-1i, Dk = Dk-1 - mk, Dn-1 = mn Từ (5) và (2), ta có n n n 1 k 1 k 1 k u =  I k (1 t) =  D k 1i (1 t) =  D k 1 (1 t) (a) Ki k 1 Ki k 1 K k 1 82
  29. Nhân hai vế của (a) với (1+t) n n-1 n-1 1 (k-1) 1 j 1 k u(1+t) =  D k 1 (1 t) =  D j (1 t) =  D k (1 t) (b) K k 1 K j 0 K k 0 (Đặt j = k-1, sau đó đổi j thành k) Từ (6) và (3), ta có n 1 k p =  m k (1 t) (c) K k 1 Cộng (b) và (c): n-1 n 1 k 1 k u(1+t) + p =  D k (1 t) +  m k (1 t) K k 0 K k 1 n-1 n-1 1 k k n = D0  D(1t) k  m(1t) k m(1t) n K k 1 k 1 n-1 1 k n = D0 (Dk m k ) (1 t) D n 1 (1 t) (vì mn = Dn-1 ) K k 1 n-1 1 k n = D 0  D k-1 (1 t) D n 1 (1 t) (vì Dk + mk = Dk-1 ) K k 1 n 1 k = D 0  D k-1 (1 t) K k 1 n D 0 1 k =  D k-1 (1 t) = 1 + u (vì D0 = K và theo (a) ) K K k 1 Vậy u(1+t) + p = 1+u u.t + p = 1 Từ đó ta có công thức tính u theo p: 1 p u = (8) t b) Quan hệ của định giá đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị Thay (8) vào (7), 1 p i p V = Ki + Kp = K - K.i + Kp t t t Từ đó ta có công thức tính V theo p: i i V = K [ (1 )p ] (9) t t 83
  30. c) Chú thích: p K Nếu t = i thì V = K (A) Nếu t > i thì V 0. Từ (5) và (8), ta có 1- p > 0 hay p 1 hay V > K t t i i Nếu t = i thì 1- = 0. Khi đó [ (1 )( p 1) 1 ] =1 hay V = K t t i i Nếu t > i thì 1- > 0. Khi đó [ (1 )( p 1) 1 ] < 1 hay V < K t t 5. Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị trong một số trường hợp đặc biệt Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị là đại lượng p = P / K trong đó n P = k mk (1 t) k 1 K là khoản nợ tại thời điểm định giá và K = m1 + m2 + + mn Ta sẽ tìm công thức tính p trong một số trường hợp thanh toán đặc biệt. a) Thanh toán nợ một lần vào niên kim cuối cùng, trả lãi hàng năm -n Do m1 = m2 = .= mn-1 = 0, mn = K, nên P = K(1+t) Vậy p = (1+t)-n (10) b) Thanh toán bằng các khoản nợ gốc cố định K Do m1 = m2 = .= mn = , nên n n K K 1 (1 t) n P =  (1 t) k . k 1 n n t 84
  31. Vậy 1 1 (1 t) n p (11) n t c) Các khoản thanh toán nợ gốc lập thành một cấp số nhân với công bội (1+z) Ta có k-1 mk = m1(1+z) (1 z)n 1 (1 z) n 1 K = m1 + m2 + .+ mn = m1 = m1 (1 z) 1 z Từ đó ta có z m1 = K (1 z) n 1 Vậy k n n n 1 z P = k k-1 k 1 mk (1 t) =  m1 (1 z) (1 t) = m1 (1 z)  k 1 k 1 k 1 1 t n 1 z 1 1 1 z 1 t 1 (1 z) n (1 t) n = m1. = m1. 1 z 1 t 1 z z t (1 t) n 1 1 t z 1 (1 z) n (1 t) n z 1 (1 z)n (1 t) n = K = K (1 z) n 1 z t (1 t) n (1 z) n 1 (1 t) n z - t z (1 z) n (1 t) n 1 = K (khi nhân cả tử và mẫu với (1+t) -n) (1 z) n 1 z - t z (1 t) n (1 z)-n = K (khi nhân cả tử và mẫu với (1+z) -n) 1- (1 z) -n z - t z (1 t) n (1 z)-n và ta có p = (12) 1- (1 z) -n z - t Trường hợp riêng: các niên kim cố định Khi các niên kim cố định thì {m k} lập thành một cấp số nhân với công bội 1+i. áp dụng (12) với z = i , ta nhận được i (1 t) n (1 i) -n p = (12’) 1- (1 i)-n i - t 85
  32. d) Ví dụ Ví dụ 1: Một khoản nợ 10.000 USD được định giá 7 năm trước thời hạn thanh toán. Khoản nợ được thanh toán một lần vào năm cuối cùng, lãi trả hàng năm với lãi suất i = 11%. Hỏi khoản tiền định giá, nếu lãi suất định giá t = 10%. Giải: Theo công thức (10), sở hữu danh nghĩa đơn vị p = (1+t) -7 = 1,10-7 = 0,513158 K = 10.000, Theo công thức (9), khoản tiền định giá sẽ là: i i 0,11 0,11 V = K [ (1 ) p ] = 10.000 (1 )x0,513158 = 10.486,84 USD t t 0,10 0,10 Ví dụ 2: Một khoản nợ 15.000 USD được thanh toán bằng 15 niên kim. Lãi trả hàng năm, các khoản thanh toán nợ gốc cố định. Lãi suất cho vay 9%. Tính định giá khoản nợ tại thời điểm sau khi niên kim thứ 5 được thực hiện, biết lãi suất định giá 10%. Giải: Khi định giá còn n = 15 - 5 = 10 niên kim chưa thanh toán. Khoản tiền nợ khi định giá: 15.000 K = x10 = 10.000 USD 15 Theo (11), quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị: 1 1 (1 t) n 1 1 1,10 10 p = 0,6144567 n t 10 0,10 Theo (9), số tiền định giá: 0,09 0,09 V = 10.000 (1 )x0,6144567 = 9.614, 46 USD 0,10 0,10 86
  33. Ví dụ 3: Một khoản nợ danh nghĩa trong ngày định giá là 100.000 USD được thanh toán bằng 15 niên kim cố định. Lãi suất cho vay 9%. Tìm định giá khoản nợ, biết lãi suất định giá 8%. Giải: Theo công thức (12’), quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị: i (1 t) n (1 i) -n 0,09 1,08 15 1,09-15 p = = 1- (1 i)-n i - t 1-1,09 -15 0,09 - 0,08 0,315242 0,274538 = 0,124059 x = 0,50496975 0,01 Theo (9), số tiền định giá: 0,09 0,09 V = 100.000 (1 )x0,50496975 = 106.187,980 USD 0,08 0,08 Đ2. Định giá khoản nợ trái phiếu Đối với khoản nợ thông thường, ta có: V = U + P Định giá = Quyền thu lợi toàn phần + Quy ền sở hữu danh nghĩa toàn phần Ta sẽ mở rộng các hệ thức này cho khoản nợ trái phiếu, bằng cách đưa ra một số bổ sung, định nghĩa lại và thay đổi khi cần thiết. 1. Trái phiếu với giá thanh toán ngang mệnh giá Đại lượng U liên quan đến tiền lãi I k, tiền trả cho các cupông, mà cupông luôn luôn được tính theo mệnh giá C. Đại lượng P liên quan đến phần thanh toán nợ m k với giá thanh toán R. Vì R = C, nên cả hai đại lượng trên đều chỉ tính theo C. Giả sử trong ngày định giá còn N trái phiếu lưu thông. Khi đó khoản nợ là K = NC. Tất cả các công thức trong Đ1 đều được áp dụng cho loại trái phiếu này, không cần một sự thay đổi nào. Đặt V = V/N và gọi là định giá trung bình (hay giá trị nội tại) của trái phiếu U = U/N và gọi là quyền thu lợi trung bình của trái phiếu P = P/N và gọi là quyền sở hữu danh nghĩa trung bình của trái phiếu Đó là các đại lượng tính trung bình cho một trái phiếu. 87
  34. Khi đó V = U + P (13) Giá trị nội tại = Quyền thu lợi trung binh + Q uyền sở hữu danh nghĩa trung bình Từ V = K.i.u + K.p, ta có V/N = K.i.u/N+ K.p/N hay V = C.i.u + C.p (14) Lưu ý rằng cupông c = Ci Mặt khác, từ (9) i i V = K [ (1 ) p ] t p nên ta có i i V = C [ (1 ) p ] (15) t t Ví dụ: Vào ngày định giá, số trái phiếu còn lưu thông là N = 10.000. Cho mệnh giá C = 5.000 USD, lãi suất trái phiếu i = 9%. Thanh toán trái phiếu bằng 20 niên kim cố định, giá thanh toán ngang mênh giá. Với lãi suất định giá t = 10%, tại ngày định giá, hãy tính giá trị nộ i tại của trái phiếu. Phân tích giá trị đó qua quyền thu lợi trung bình và quyền sở hữu danh nghĩa trung bình. Giải: Khi R = C và trái phiếu được thanh toán bằng niên kim cố định thì các khoản thanh toán nợ lập thành một cấp số nhân công bội 1+i = 1,09 Sở hữu danh nghĩa đơn vị: i (1 t) n (1 i) -n 0,09 1,10 20 1,09 -20 p = = 1- (1 i)-n i - t 1-1,09-20 0,09 - 0,10 0,148644 0,178431 = 0,109546x = 0,32630467 0,09 0,10 Giá trị nội tại; i i 0,09 0,09 V = C [ (1 ) p ] = 5.000 (1 )x0,32630467 = 4.633,14 USD t t 0,10 0,10 Quyền sở hữu danh nghĩa trung bình P = C.p = 5.000x0,32630467 = 1.31,52 USD Quyền thu lợi trung bình: U = V - P = 4.633,14 - 1.31,52 = 3.034,53 USD 88
  35. Chú thích: Nếu t C Nếu t = i thì V = C (B) Nếu t > i thì V C. Đại lượng thứ hai (quyền sở hữu danh nghĩa) liên quan đến thanh toán trái phiếu với giá thanh toán R cao hơn C. Cho nên số tiền thanh toán trước đây m k cần được nhân R thêm với hệ số . C R Do đó quyền sở hữu trung bình Cp trở thành Cp = R.p. C Ta mở rộng công thức (14) và định lại giá trị nội tại trung bình: V = C.i.u + R.p (16) 1 p Vẫn giữ nguyên công thức u = thay vào (16), ta có t 1 p Ci Ci V = C.i. + R.p = R p (17) t t t Thay cupông c = Ci vào (17) c c V = R p (17’) t t Chú thích: Kết quả (16) là kết quả mở rộng của (14), vì khi R = C, kết quả (16) trở lại (14). 3. Các ví dụ Ví dụ 1: Một trái phiếu được phát hành với các điều kiện sau: thanh toán trong 15 năm, mệnh giá C = 1.800 USD, lãi suất vay i = 9,5%, giá thanh toán R = 1.840 USD, số lượng thanh toán trái phiếu hàng năm cố định. 89
  36. Hãy tìm định giá trung bình với lãi suất t = 9% của khoản nợ ngay sau lần thanh toán thứ 11. Phân tích định giá trung bình qua quyền sở hữu danh nghĩa và quyền thu lợi trung bình của trái phiếu. Giải: Vào thời điểm định giá, còn n = 15 -11 = 4 đợt thanh toán. Khi phần thanh toán cố định, ta có công thức (10) để tính quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 1 1 (1 t) n 1 1 1,09 4 1 p = x 3,23972 = 0,80993 n t 4 0,09 4 Theo (17) giá trị nội tại Ci Ci 1.800x0,095 1.800x0,095 V = R p = 1.840 x 0,80993 t t 0,09 0,09 = 1.851,40 USD V có thể phân tích thành: P = R.p = 1.840x0,80993 = 1.490,32 USD và U = V - P = 1.851,40 - 1.490,32 = 361,08USD Ví dụ 2: Một trái phiếu được phát hành với các điều kiên sau: N = 100.000, thanh toán bằng 18 niên kim cố định, mệnh giá C = 5.000 USD, lãi suất vay i = 10,5%, giá thanh toán R = 5.250 USD, số lượng thanh toán trái phiếu hàng năm cố định. Hãy tìm định giá trung bình với lãi suất t = 11% khoản nợ, ngay khi phát hành trái phiếu. Phân tích định giá trung bình qu a quyền sở hữu danh nghĩa và quyền thu lợi trung bình của trái phiếu. Giải: Khi các niên kim cố định, thì số lượng trái phiếu thanh toán lập thành một cấp số nhân c Ci 5.000x0,105 với công bội 1+ r = 1+ = 1+ = 1 + = 1,10 R R 5.250 Các khoản thanh toán nợ gốc lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1,10. Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị được tính theo công thức i (1 t) n (1 i) -n 0,10 1,11 18 1,10-18 p = = 1- (1 i)-n i - t 1-1.10 -18 0,10 - 0,11 0,1528222 0,179859 = 0,1231930 x = 0,32966 0,10 - 0,11 90
  37. Định giá trung bình: 5.000x0,105 5.000x0,105 V = 5.250 x0,32966 = 4.930,05 USD 0,11 0,11 Quyền sở hữu danh nghĩa trung bình: P = R.p = 5.250x0,32966 = 1.730,70 USD Quyền thu lợi trung bình: U = V - P = 4.930,05 - 1.730,70 = 3.199,35 USD Chú thích: Khi R > C thì một số hệ thức của chú thích (B) không còn đúng nữa. Tuy nhiên, nếu đặt Ci = Ri’ thì từ công thức (17) Ci Ci Ri' Ri' i' i' V = R p = R p = R [ (1 ) p ] t t t t t t Suy luận như trong chú thích (A), ta có Nếu t R Nếu t = i’ thì V = R (C) Nếu t > i’ thì V < R 91
  38. Bài tập Chương I 1. a) Tính số tiền lãi do đầu tư một khoản vốn 280.000.000 VNĐ với lãi suất 9% từ ngày 13/9 đến ngày 27/2 năm sau. b) Một khoản tiền 728.800.000 VNĐ thu được do cho vay 720.000.000 VNĐ với lãi suất 8% từ ngày 8/6. Tìm ngày thanh toán. c) Số tiền 8.400 USD đã đem lại, từ 16/5 đến 25/9, một khoản lãi 231 USD. Tìm lãi suất. d) Tìm khoản vốn, biết rằng số vốn đó, khi cho vay với lãi suất 8,4% trong 62 ngày, có giá trị thu được 16.738,7 euro. 2. Hai khoản tiền chênh nhau 10.000.000 VNĐ. Khoản tiền lớn hơn đem đầu tư với lãi suất 12% trong 8 tháng, khoản tiền thứ hai với lãi suất 10% trong 6 tháng. Số tiền lãi do khoản tiền thứ nhất đem lại gấp đôi số tiền lãi do k hoản tiền thứ hai đem lại. Tìm hai khoản tiền đó và hai số tiền lãi tương ứng. 3. Một số vốn đem đầu tư với lãi suất 9% trong một khoảng thời gian T năm có giá trị thu được là 174.000.000 VNĐ. Nếu số vốn đó đem đầu tư trong khoảng thời gian ít hơn một năm so với T với lãi suất 10%, số tiền lãi thu được là 48.000.000 VNĐ. Hãy tìm số vốn đó và khoảng thời gian T. 4. Ba số tiền, lập thành một cấp số cộng, đem cho vay trong 2 năm với lãi suất 11%. Tổng số tiền lãi thu được là 1.386 USD. Biết số tiền thứ ba nh iều hơn số tiền thứ nhất là 2.400 USD, hãy tìm ba số tiền đó. 5. Vào cùng ngày, một người đem hai số tiền cho vay: số tiền thứ nhất 10.000.000 VNĐ với lãi suất 8%, số tiền thứ hai 9.600.000 VNĐ với lãi suất 10%. a) Hãy xác định sau một khoảng thời gian bao nhiêu lâu hai số tiền đó có cùng giá trị thu được. 92
  39. b) Tổng quát: Hai số tiền x và y đem cho vay, vào cùng ngày, với lãi suất t% và t’%. Hỏi sau bao nhiêu lâu chúng có cùng giá trị thu được? 6. Một khoản vay 300.000 USD được ký kết với lãi suất t%. Sau 4 tháng, người đi vay trả cho chủ nợ 120.000 USD . Người chủ nợ đem ngay số tiền này đầu tư với lãi suất 9%. Một năm sau ngày ký kết, người chủ nợ nhận thấy, trên tổng thể vốn và lãi thu được, lãi suất trung bình là (t - 0,8) %. a) Tìm lãi suất t% b) Sau một năm, chủ nợ có được số tiền (cả vốn lẫn lãi) bao nhiêu? 7. Một người đem cho vay số tiền 80.000.000 VNĐ với lãi suất t%. Sau 2 năm, người đó rút cả vốn lẫn lãi và đem toàn bộ số tiền đó cho vay với lãi suất (t+2)%. Ba năm sau, người đó thu được 130.560.000 VNĐ . Tìm lãi suất t%. 8. Hai khoản tiền có tổng số là 20.000 euro được đem đầu tư. Khoản thứ nhất với lãi suất t%, khoản thứ hai với lãi suất (t+1)%. Khoản thứ nhất đem lại thu nhập hàng năm là 1.080 euro, khoản thứ hai: 800 euro. Tìm hai khoản tiền và hai lãi suất. 9. Một người đi vay thanh toán một khoản nợ bằng cách, trong 5 năm liền, vào cuối mỗi năm, trả một phần nợ gốc. Các phần này lập thành một cấp số nhân với công bội 1,2. Phần cuối cùng là 20.736 USD. Ngoài ra, vào cuối mỗi năm, người đó phải trả số tiền lãi sinh ra trong năm do số dư nợ từ đầu năm. Trong vòng 5 năm, tống số tiền lãi phải trả là 25.000 USD. Hỏi lãi suất vay nợ là bao nhiêu? 10. Một người đi vay một khoản tiền x USD, trả thành 4 lần. Sau mỗi quý, trả một lần. Trả lần đầu sau khi vay nợ 3 tháng. Khoản tiền trả mỗi lần gồm: một phần tư số tiền vay và số tiền lãi sinh ra trong quý do số dư nợ từ đầu quý. Tổng số tất cả số tiền trả là 86.000 USD. Biết mỗi khoản tiền trả sau đều ít hơn khoản tiền trả trước là 600 USD, tìm khoản tiền vay x và lãi suất. Các lãi suất nêu trong Chương I đều là lãi suất năm 93
  40. Chương II 1. Ngày 22/8, một thương phiếu mệnh giá 12.000 USD với ngày đáo hạn 30/11 được đem chiết khấu thương mại. Lãi suất chiết khấu: 9% a) Tìm số tiền chiết khấu và giá trị hiện tại thương mại của thương phiếu b) Như câu hỏi trên nếu thương phiếu được đem chiết khấu vào ngày 1/10 2. Ngày 31/3, một khách hàng đem chiết khấu 3 thương phiếu đều có mệnh giá 6.600 euro. Tổng số tiền chiết khấu theo lãi suất 8,5% là 280,50 euro. Hãy xác định ngày đáo hạn của thương phiếu thứ ba, biết rằng ngày đáo hạn của thương phiếu thứ nhất là 30/4 và số tiền chiết khấu thương phiếu thứ hai là 93,50 euro. 3. Ngày 18/5, ba thương phiếu có các mệnh giá lập thành một cấp số cộng được đem chiết khấu với lãi suất 9%. Thương phiếu thứ nhất có thời hạn 36 ngày và mệnh giá 7.000 USD. Thời hạn của ba thương phiếu lập thành một cấp số nhân. Tổng số tiền chiết khấu là 245,25 USD. Nếu cả ba thương phiếu đều có thời hạn như thương phiếu thứ nhất thì tổng các giá trị hiện tại sẽ là 17.838 USD. Hãy xác định mệnh giá và ngày đáo hạn của thương phiếu thứ hai và thứ ba. 4. Ngày 19/5 một thương phiếu có ngày đáo hạn 30/6 được đem chiết khấu với lãi suất 9,2%. Ngày 2/6 một thương phiếu khác có cùng ngày đáo hạn được đem chiết khấu với lãi suất 9,5%. Nếu ta hoán đổi hai lãi suất cho nhau thì tổng số tiền chiết khấu vẫn không đổi. Hãy tìm các mệnh giá của hai thương phiếu, biết rằng tổng các mệnh giá của chúng là 850.000 USD. 5. Giá trị hiện tại thương mại vào ngày 25/8 c ủa một thương phiếu đem chiết khấu với lãi suất 9% là 7.868 euro. Nếu thương phiếu được đem chiết khấu 30 ngày trước ngày đáo hạn thì số tiền chiết khấu sẽ ít hơn 72 euro. Tìm mệnh giá và ngày đáo hạn của thương phiếu. 94
  41. 6. Hãy xác định, với lãi suất 9%, ngày tương đương của hai thương phiếu sau: thương phiếu thứ nhất có mệnh giá 7.800 USD và ngày đáo hạn 31/5, thương phiếu thứ hai có mệnh giá 7.880 USD và ngày đáo hạn 10/7. 7. Hãy xác định ngày đáo hạn của thương phiếu mệnh giá 14.320 euro thay thế, vào n gày 10/10, cho thương phiếu mệnh giá 14.200 euro và ngày đáo hạn 30/10. Lãi suất chiết khấu 10% 8. Khách hàng mua hàng điện tử H có một số phương thức thanh toán sau: Phương thức thứ nhất: Trả ngay số tiền 9.420.000 VNĐ Phương thức thứ hai: Ngày mua hàng trả ngay 3.000.000 VNĐ, và 12 tháng tiếp theo hàng tháng trả 600.000 VNĐ a) Hãy tìm lãi suất b) Khách hàng đề nghị trả ngay 3.000.000 VNĐ và trả sau 7.200.000 VNĐ. Với cùng lãi suất trên, xác định thời hạn người đó trả số tiền thứ hai. c) Cuối cùng phương thức sau được thực hiện: Ngày mua hàng trả ngay 4.680.000 VNĐ, số tiền còn lại trả làm ba lần: lần đầu sau 4 tháng, lần thứ hai sau 8 tháng, lần thứ ba sau 12 tháng. Các số tiền này lập thành một cấp số nhân công bội 2. Với lãi suất 12%, tìm các số tiền phải tr ả. 9. a) Tổng số các mệnh giá của hai thương phiếu là 48.800 USD. Vào ngày chiết khấu, thời hạn trả trung bình là 45 ngày, tổng số tiền chiết khấu là 488 USD. Tìm lãi suất chiết khấu. b) Một trong hai thương phiếu có mệnh giá 36.600 USD và thời hạn 30 ngày. T ìm thời hạn của thương phiếu kia. 10. Một khách hàng vay ngân hàng 300.000.000 VNĐ và thanh toán bằng 13 lần trả. Số tiền mỗi lần trả đều bằng nhau. Lần trả đầu tiên: sau ngày vay 6 tháng. Sau đó đều đặn từng tháng một, khách hàng trả các khoản tiền tiếp theo. Với lãi suất 8% năm, tính số tiền mỗi lần trả. 95
  42. 11. Ba thương phiếu có mệnh giá V 1,, V2, V3 lập thành một cấp số nhân công bội 3 và có tổng là 39.000 USD được đem chiết khấu cùng ngày. Lãi suất chiết khấu: 9%. Thời hạn của ba thương phiếu n 1, n2, n3 ngày, lập thành một cấp số nhân có tổng 104 và tích 13.824. Tìm tổng các số tiền nhận được khi đem chiết khấu. 12. Ba khoản vốn lập thành một cấp số nhân tiến được đem đầu tư với lãi suất đơn 9%: khoản thứ nhất trong 3 tháng, khoản thứ hai trong 6 tháng , khoản thứ ba trong 8 tháng. Biết rằng tổng số tiền lãi là 969 USD, khoản thứ ba và khoản thứ nhất chênh nhau 3.600 USD. a) Tìm công bội của cấp số nhân b) Tìm các khoản vốn 13. Ngày 22/8, một thương phiếu mệnh giá 43.500 euro có ngày đáo hạn 15/10 được đem chiết khấu. Các điều kiện chiết khấu như sau: Lãi suất chiết khấu: 9,6% Lãi suất hoa hồng tỉ lệ thuận theo thời hạn: 0,6% Lãi suất hoa hồng độc lập đối với thời hạn: 0,2% a) Tìm agio trước thuế b) Tìm lãi suất thực tế chiết khấu c) Tìm lãi suất giá thành chiết khấu 14. Một khách hàng đem chiết khấu ba thương phiếu có mệnh giá tỉ lệ với các số: 2, 5, 9 và có tổng 5.120.000 VNĐ. Thời hạn ba thương phiếu lần lượt là 30, 45, 60 ngày. Lãi suất chiết khấu t . Ngoài số tiền chiết khấu, ngân hàng còn tính thêm: Hoa hồng tỉ lệ thuận theo thời hạn với lãi suất 0,6% Hoa hồng độc lập đối với thời hạn với lãi suất 0,1% Riêng thương phiếu thứ nhất phải chịu thêm hoa hồng bổ sung độc lập đối với thời hạn với lãi suất 0,25% Số tiền khách hàng nhận được trước thuế là 5.042.880 VNĐ . Tìm lãi suất chiết khấu. 96
  43. 15. Ba ngân hàng A, B, C đưa ra các lãi suất sau: t t’ k A 9,2 0,6 0,5 B 10,2 0,6 0,25 C 11,2 0,6 0,125 trong đó: t lãi suất chiết khấu, t ’ lãi suất hoa hồng tỉ lệ thuận theo thời hạn, k lãi suất hoa hồng độc lập đối với thời hạn. a) Với thương phiếu mệnh giá V, thời hạn n ngày, tính các agio trước thuế của ba ngân hàng. b) So sánh từng cặp agio một theo thời hạn n, từ đó đưa ra cách sắp xếp mức độ ưu tiên lợi cho khách hàng c) Biểu diễn trên cùng hệ trục tọa độ ba hàm agio theo biến số n d) Tìm các lãi suất thực tế chiết khấu của ba ngân hàng qua các hàm số biến số n. e) Biểu diễn trên cùng hệ trục tọa độ ba hàm lãi suất thực tế chiết khấu tìm được. Chương III 1. Một khoản vốn 100.000.000 VNĐ đem đ ầu tư với lãi suất 9% / năm trong 10 năm. a) Tìm số tiền thu được theo lãi gộp, giả sử tư bản hóa hàng năm. b) Tìm số tiền thu được theo lãi đơn c) Sau bao lâu thì số tiền thu được theo lãi đơn sẽ bằng số tiền thu được theo lãi gộp ở câu a? d) Sau bao lâu thì số tiền thu được theo lãi gộp sẽ bằng số tiền thu được theo lãi đơn ở câu b? 2. Hai khoản vốn có tổng số là 100.000 USD đem cho vay: khoản thứ nhất theo lãi đơn với lãi suất 10% / năm, khoản thứ hai theo lãi gộp với lãi suất 8%/ năm. Sau 9 năm, hai số tiền thu được bằng nhau. Tìm hai khoản vốn . 97
  44. 3. Một người đem đầu tư 50.000 USD theo lãi gộp. Tư bản hóa hàng tháng. 14 tháng sau, người đó đầu tư tiếp 30.000 USD. Sau tiếp đó 14 tháng, tống số tiền thu được là 112.813,78 USD. a) Tìm lãi suất tháng b) Tìm lãi suất quý tương đương c) Tìm lãi suất năm tương đương 4. Hai khoản vốn x và y có tổng số 80.000 euro đem đầu tư cùng ngày theo lãi gộp với thời hạn 6 năm. Khoản vốn x theo lãi suất 8% năm, tư bản hóa hàng năm; khoản vốn y theo lãi suất 3,75% sáu tháng, tư bản hóa theo 6 tháng. Sau 6 năm,tổng tiền lãi thu được là 46.007,32 euro. Tính x và y. 5. Ba khoản vốn bằng nhau được cho vay theo lãi gộp trong 3 năm với các điều kiện sau: Khoản thứ nhất: lãi suất 10% năm, tư bản hóa hàng năm Khoản thứ hai: lãi suất 5% sáu tháng, tư bản hóa theo 6 tháng Khoản thứ ba: lãi suất 2,5% quý, tư bản hóa hàng quý a) Sau 3 năm, số tiền lãi sinh ra từ hai khoản vốn thứ nhất và thứ hai chênh nhau 272,88 USD. Hãy tìm số tiền của mỗi khoản vốn. b) Tìm số tiền lãi chênh lệch sinh từ khoản vốn thứ hai và thứ ba c) Đối với khoản vốn thứ nhất, tìm lãi suất theo lãi đơn để sau 3 năm số tiền thu được theo lãi đơn cũng bằng số tiền thu được theo lãi gộp khi tư bản hóa hàng năm với lãi suất 10% năm d) Sau bao nhiêu lâu, khoản vốn thứ nhất theo lãi đơn v ới lãi suất 10% có số tiền thu được bằng số tiền thu được theo lãi gộp với lãi suất 10% sau 3 năm? 6. Một khoản tiền thừa kế 3.000.000 USD được chia cho 3 người con. Vào hôm chia, tuổi 3 người con lần lượt là 12, 13 và 16 tuổi. Việc phân chia được thực hi ện theo cách sau: Số tiền vào hôm chia theo lãi gộp với lãi suất 7,5% năm bảo đảm khi từng người đến tuổi trưởng thành (18 tuổi) đều có số tiền thu được như nhau. Hãy thực hiện việc phân chia. 7. Khoản tiền C được đem đầu tư theo lãi gộp trong 5 năm (tư bản hóa hàng năm). Gọi C k là số tiền thu được vào cuối năm thứ k. Biết C + C1 = 125.700 euro và C 4 + C5 = 180.714 euro, tìm C và lãi suất. 98
  45. 8. Một thương phiếu mệnh giá 20.000 USD thời hạn 4 năm được đem chiết khấu. Số tiền chiết khấu theo lãi gộp là 4.742,10 USD. Tìm lãi suất chiết khấu. 9. a) Người ta thay thế một thương phiếu mệnh giá 400.000 euro thời hạn 3 năm bằng một thương phiếu khác có thời hạn 5 năm. Lãi suất 7% năm. Tìm mệnh giá của thương phiếu thay thế. b) Người ta thay thế một thương phiếu m ệnh giá 60.000 euro thời hạn 5 năm bằng một thương phiếu khác có mệnh giá 80.000 euro. Lãi suất 8,75% năm. Tìm thời hạn của thương phiếu thay thế. 10. a) Người ta thay thế ba thương phiếu có mệnh giá 500.000 euro, 400.000 euro, 300.000 euro với thời hạn tương ứng 2 năm, 3 năm và 4 năm bằng một thương phiếu duy nhất có mệnh giá 1.200.000 euro. Lãi suất 8% năm. Tìm thời hạn của thương phiếu thay thế. b) Câu hỏi như trên nếu chiết khấu thương mại theo lãi đơn 11. Hai thương phiếu mệnh giá 30.000 USD và 50.00 0 USD có thời hạn tương ứng 8 năm và 6 năm. Xác định ngày mà số tiền chiết khấu theo lãi gộp với lãi suất 7% năm của hai thương phiếu bằng nhau. 12. Một khoản nợ 100.000 USD phải được thanh toán vào ngày 15/1/2005. Theo sự thỏa thuận giữa người đi vay và chủ nợ, khoản nợ đó được thanh toán bằng ba lần trả. Số tiền mỗi lần trả lập thành một cấp số cộng với công sai 5.000 USD và ấn định trả vào các ngày 15/1/2007, 15/1/2008, 15/1/2010. Lãi gộp được tính theo lãi suất 9% năm. a) Tìm số tiền mỗi lần trả b) Câu hỏi như trên, nếu giả thiết số tiền trả lần sau nhiều hơn số tiền trả lần trước 10% 13. Có hai khoản tiền: Khoản thứ nhất: số tiền S được trả sau 3 năm và số tiền S được trả sau 5 năm Khoản thứ hai: số tiền 2S được trả sau 4 năm So sánh hai khoản tiền đó theo lãi suất 8% năm và theo lãi suất i. Kết luận. 99
  46. 14. Một người sẽ thu hồi, vào ngày 15/1/2010, một khoản nợ 1.000.000 USD, theo giấy hẹn trả nợ. Ngày 15/1/1994, người đó bán giấy hẹn trả nợ cho ngân hàng để lấy một số tiền mặt. Lãi suất chiết khấu theo lãi gộp của ngân hàng là 9% năm. Với số tiền nhận được, người đó đem đầu tư ngay với lãi suất 10% năm cho đến ngày 15/1/2010. a) Tìm số tiền mà người đó sẽ có vào ngày 15/1/2010. b) Vào ngày nào thì người đó sẽ thu được 1.000.000 USD? c) Để ngày 15/1/2010 thu được 1.00 0.000 USD thì ngày 15/1/1994 người đó có thể bớt đi bao nhiêu tiền trong số tiền ngân hàng trả trước khi đem đầu tư? d) Sử dụng các kết quả trên đưa ra nhận xét Chương IV 1. Một dãy n niên kim cố định a = 300.000 VNĐ với lãi suất 9,75% có giá trị tại thờ i điểm gốc là 1.800.000 VNĐ. Tính n (nêu 2 khả năng với sự điều chỉnh thích hợp). 2. a) So sánh theo lãi suất 10% một dãy 15 niên kim cố định, mỗi niên kim 1.000.000 VNĐ thực hiện cách nhau 1 năm, niên kim đầu tiên được thực hiện sau 1 năm, với một khoản tiền 18.000.000 VNĐ được thực hiện sau 9 năm b) Vào ngày nào khoản tiền duy nhất đó phải thực hiện để khoản tiền đó tương đương với dãy niên kim trên? 3. So sánh dãy 8 niên kim cố định, mỗi niên kim 1.000.000 VNĐ thực hiện cách nhau 6 tháng, niên kim đầu tiên được thực hiện sau 6 tháng với dãy 10 niên kim cố định, mỗi niên kim 900.000 VNĐ thực hiện cách nhau 6 tháng, niên kim đầu tiên được thực hiện sau 1 năm. Lãi suất 6% sáu tháng. 4. Một dự án đầu tư có các khoản giải ngân sau: Hàng năm chi 100.000 USD , lần đầu vào ngày 1/3/2006, lần cuối 1/3/2009. Các khoản chi đó dự kiến đem lại thu nhập một số tiền x USD. Thu nhập lần đầu: 1/3/2008, lần cuối 1/3/2015. Với số tiền x từ bao nhiêu thì dự án khả thi? Lãi suất đầu tư 10% năm 100
  47. 5. a) Một người lập một quỹ vốn bằng cách cứ 6 tháng gửi vào ngân hàng một số tiền bằng nhau là 10.000 USD. Lần gửi đầu tiên: 15/11/1994, lần gửi cuối cùng: 15/5/1998. Số tiền có được vào ngày 15/5/1998 vẫn để ở ngân hàng và tiếp tục sinh lãi cho đến ngày 15/5/2000. Với lãi suất 4,5% sáu tháng, tư bản hóa 6 tháng một, tính số tiền quỹ có được vào ngày 15/5/2000. b) Ngày 15/5/2000 số tiền trên được rút ra, làm tròn ở mức 10.000 USD và cùng ngày đem gửi vào một ngân hàng khác. Ngân hàng sẽ hàng năm trả dần cho người đó một số tiền x cố định. Lần trả đầu tiên: 15/5/2002, lần trả hết quỹ cuối cùng: 15/5/2008. Với lãi suất năm 9,5%, hãy tìm số tiền x. c) Người đó thỏa thuận ngân hàng trả mỗi lần 24.000 USD, trừ số tiền y lần cuối cùng. Tính số tiền y. 6. Một dãy niên kim cố định, mỗi niê n kim 20.000.000 VNĐ thực hiện cách nhau một năm. Ngày thực hiện niên kim thứ nhất: 20/10/1992, ngày thực hiện niên kim cuối cùng: 20/10/2005. Lãi suất 8% năm cho đến ngày 20/10/2002, và 9% sau ngày 20/10/2002. a) Tính giá trị thu được của dãy niên kim b) Tính giá trị tại thời điểm gốc của dãy niên kim 7. Khoản tiền mua hàng 100.000.000 VNĐ được thanh toán theo các phương thức sau: Phương thức 1: trả ngay hết số tiền trên. Khi đó người mua được giảm 2% tiền thanh toán Phương thức 2: trả làm 2 lần. Mỗi lần 67.000 .000 VNĐ. Lần đầu sau 2 năm, lần thứ hai sau 3 năm 6 tháng (tính từ ngày mua hàng) Phương thức 3: trả làm 10 lần, mỗi lần 17.500.000 VNĐ. Lần đầu sau 2 năm, các lần tiếp theo cách nhau một năm Với lãi suất năm 10% (lãi suất sáu tháng tương đương), tìm phươ ng thức nào có lợi nhất cho người mua hàng. 8. Hàng năm, một người dự định gửi đều đặn vào tài khoản cá nhân một khoản tiền. Ngày gửi lần đầu: 2/1/2001, ngày gửi lần cuối 2/1/2011. Lãi suất 10% năm. a) Nếu mỗi lần gửi 10.000 USD , tính số dư trong tài khoản ngay sau lần gửi cuối cùng b) Câu hỏi như trên, nếu bảy lần đầu gửi mỗi lần 10.000 USD, các lần còn lại mỗi lần gửi 12.000 USD 101
  48. c) Với các giả thiết ở câu a) chủ tài khoản rút đều đặn hàng năm một số tiền cố định là 38.000 USD. Lần rút đầu tiên: 2/1/2012, lần cu ối: 2/1/2018. Với lãi suất 10%, tìm số dư trong tài khoản sau khi rút lần cuối 9. Một khoản nợ được thanh toán theo các cách sau: Cách thứ 1: trả 2 lần, mỗi lần 100.000.000 VNĐ vào các ngày 30/6/1996 và 30/6/1998 Cách thứ 2: trả hàng năm bằng 10 niên ki m cố định, niên kim đầu trả vào ngày 30/6/1991 Cách thứ 3: trả hàng năm bằng một dãy niên kim cố định, mỗi niên kim là 31.701.760 VNĐ , niên kim đầu được thực hiện vào ngày 30/6/1994. Với lãi suất 9%, cả ba cách đó đều tương đương nhau. a) Xác định số tiền mỗi niên kim ở cách thứ 2 b) Xác định ngày thực hiện niên kim cuối cùng ở cách thứ 3. 10. a) Một người lập một quỹ vốn bằng cách gửi hàng năm, vào ngày 1/7, một số tiền 20.000 USD suốt từ 1/7/1990 cho đến 1/7/1999. Lãi suất 8,5%. Ngày 1/7/2004, người đó có số vốn bao nhiêu? b) Nếu sau ngày 1/7/1995, lãi suất thay đổi chỉ còn 7,5% năm. Khi đó tính số tiền mà người đó có được vào ngày 1/7/2004. c) Trong điều kiện ở câu b), người đó gửi bổ sung hàng năm từ 1/7/2000 đến 1/7/2003 một số tiền x để bảo đảm đến ngày 1/7/2004 sẽ có số tiền như ở câu a). Tính số tiền x. 11. Một xớ nghiệp đang xem xột hai dự ỏn A v à B mua thiết bị sản xuất mới. Cả hai dự ỏn đều yờu cầu số tiền đầu tư ban đầu là 214.000 USD và thời hạn sử dung thiết bị là 5 năm. Lói suất đầu tư là 7%/năm. Luồng tiền lói tịnh được cho trong bảng sau: (đơn vị: ngàn USD) Thời kỳ 1 2 3 4 5 Dự ỏn A 99 82 63 49 37 Dự ỏn B 39 48 72 89 93 a) Tớnh NPV của mỗi dự ỏn b) Tớnh IRR của mỗi dự ỏn c) Xớ nghiệp nờn lựa chọn dự ỏn nào theo:  NPV?  IRR? 102
  49. 12. Để sản xuất một loại sản phẩm mới, một xớ nghiệp nghi ờn cứu mua một trong hai thiết bị A, B. Giỏ bỏn một sản phẩm là 200 USD. Thuế: 33% theo tổng lợi nhuận. Lói suất 7%/năm. Cỏc đặc trưng về hai loại thiết bị này cho trong bảng sau: Thiết bị A Thiết bị B Giỏ mua thiết bị 1.200.000 USD 1.200.000 USD Chi phớ nguyờn liệu đầu vào (cho 1 sản phẩm) 19 USD 22 USD Chi phớ nhõn cụng (cho 1 sản phẩm) 10 USD 10 USD Chớ phớ vận hành thiết bị (cho 1 sản phẩm) 48 USD 49 USD Chi phớ sản xuất cố định (cho 1 năm) 37.000 USD 29.000 USD Chi phớ khỏc (theo doanh thu) 2,75 % 2 % Sản lượng hàng năm 5.100 sản phẩm 5.200 sản phẩm Thời gian hoạt động 4 năm 4 năm a) Tớnh tổng lợi nhuận sau thuế hàng năm do mỗi thiết bị đem lại b) Tớnh NPV cho từng phương ỏn c) Tớnh IRR cho từng phương ỏn d) Xớ nghiệp nờn lựa chọn mua thiết bị nào theo:  NPV?  IRR? Chương V 1. Một khoản vay 100.000 USD được thanh toán bằng dãy 16 niên kim, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay một năm. Lãi suất 9%. 15 niên kim đầu đều bằng 12.000 USD. Niên kim thứ 16 sẽ hoàn tất việc thanh toán nợ. a) Tìm số tiền niên kim thứ 16 b) Viết hai dòng đầu (k=1 và k=2) và dòng cuối của Bảng thanh toán nợ. 2. Một khoản vay 600.000 USD được trả bằng hai khoản tiền 300.000 USD và 393.453,75 USD sau khi vay 1 và 2 năm tính từ ngày vay. Lập bảng thanh toán nợ. 3. Việc thanh toán tiền mua một ngôi nhà giá 5.000.000.000 VNĐ được thực hiện như sau: trả ngay 2.000.000.000 VNĐ , số tiền còn lại trả bằng 10 niên kim cố định, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi mua một năm. Lãi suất 8,5%. Ngay khi trả niên kim thứ ba, người mua đề nghị thay thế 7 niên kim còn lại bằng 103
  50. 4 niên kim cố định khác, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau một năm. Tính số tiền của 4 niên kim dó. 4. Một khoản vay lãi suất 4,25% sáu tháng, được thanh toán bằn g dãy các niên kim cố định, số tiền mỗi niên kim là 2.620.920 VNĐ, mỗi niên kim cách nhau 6 tháng, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay 6 tháng. Khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng hơn khoản thanh toán nợ gốc đầu tiên 2.018.150 VNĐ. Hãy tìm số tiền vay. 5. Một khoản vay K euro được thanh toán bằng dãy 10 niên kim cố định, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay một năm. Khoản thanh toán nợ gốc thứ ba là 23.460,22 euro, khoản thanh toán nợ gốc thứ sáu là 30.381,67 euro. a) Tìm lãi suất đi vay, khoản tiền vay, số tiền mỗi niên kim, số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ 7. b) Viết ba dòng cuối trong Bảng thanh toán nợ. 6. Một khoản vay 165.000 USD được thanh toán bằng dãy 9 niên kim, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay một năm. Lãi suất 10%. Năm niên kim đầu có khoản thanh toán nợ gốc lập thành một cấp số cộng với công bội 2.000 USD. Bốn niên kim cuối có khoản thanh toán nợ gốc lập thành một cấp số nhân với công sai 1,1. Biết số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ 5 là 92.820 USD, lập Bảng thanh toán nợ. 7. Một khoản vay 1.000.000.000 VNĐ được thanh toán bằng dãy 8 niên kim, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay một năm. Lãi suất 15%. Một nửa đầu số tiền vay được trả bằng 4 niên kim đầu có khoản thanh toán nợ gốc cố định, nửa sau số tiền vay được trả bằng bốn niên kim cuối cố định. Lập Bảng thanh toán nợ. 8. Một khoản vay được thanh toán bằng dãy 15 niên kim cố định. Khi xem xét Bảng thanh toán nợ, ta nhận thấy: lãi suất trong niên kim thứ 7 ít hơn lãi suất trong niên kim thứ 3 một số tiền là 4.241,90 euro 104
  51. khoản thanh toán nợ gốc trong niên kim thứ 12 nhiều hơn khoản thanh toán nợ gốc trong niên kim thứ 8 một số tiền là 6.831,62 euro a) Tìm số tiền vay b) Viết dòng thứ 3, 7, 8, 12 trong Bảng thanh toán nợ. 9. Một khoản vay 500.000.000 VNĐ được thanh toán bằng dãy 10 niên kim cố định, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay 3 năm. Lãi suất 14% năm. Sau khi thực hiện niên kim thứ 4, n gười đi vay đề nghị trả số dư nợ còn lại bằng 3 niên kim cố định, mỗi niên kim cách nhau một năm và có số tiền là 205.167.7 70 VNĐ , niên kim đầu được thực hiện sau đó một năm. Tìm lãi suất mới đối với 3 niên kim cuối. 10. Một khoản vay 600.000 USD được ký kết vào ngày 15/11/1994, thanh toán bằng dãy 15 niên kim, mỗi niên kim cách nhau 6 tháng. Lần trả đầu vào ngày 15/5/1995. Lãi suất 6,5% sáu tháng. Sáu niên kim đầu có phần thanh toán nợ gốc cố định, mỗi phần bằng 1/15 khoản tiền vay. Các niên kim còn lại cố định Trích từ Bảng thanh toán nợ các dòng liên quan đến các ngày 15/5/1995, 15/11/1997, 15/5/1998, 15/5/2002. 11. Một khoản vay K được thanh toán bằng dãy n niên kim, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay 1 năm. Niên k im thứ p (p<n) thanh toán một nửa số nợ gốc. Niên kim thứ n thanh toán nốt một nửa số nợ gốc còn lại. Các niên kim khác chỉ có phần lãi phát sinh trong năm. Lãi suất i. Với cách thanh toán như trên, hãy kiểm tra lại 4 quy tắc cơ bản. (Đối với quy tắc thứ 3 và 4, kiểm tra tại thời điểm x giữa p và n) 12. Một công ty khi vay 1.000.000 USD xem xét các phương thức thanh toán sau: a) Khoản vay được thanh toán bằng dãy niên kim cố định, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay 1 năm. Lãi suất 10% năm. Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ 5 là 714.504 USD. Tìm số niên kim của dãy. b) Khoản vay được thanh toán bằng dãy niên kim cố định, mỗi niên kim cách nhau 6 tháng, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay 6 tháng. Lãi suất 5% sáu thán g. Phần thanh toán nợ gốc trong niên kim cuối và phần thanh toán nợ gốc trong 105
  52. niên kim đầu chênh nhau một số tiền là 46.549 USD.Tìm số tiền mỗi niên kim và số lượng niên kim. c) Cuối cùng phương thức sau được công ty lựa chọn: Khoản tiền vay được trả bằng 10 niên kim, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay 1 năm. Các niên kim lập thành một cấp số cộng. Lãi suất 10% năm. Niên kim đầu có số tiền là 116.176,25 USD. Tìm công sai của cấp số cộng. 13. Một khoản vay 600.000 euro được thanh toán bằng dãy 12 niên kim, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay 1 năm. Lãi suất 8% năm. Số tiền niên kim sau hơn số tiền niên kim trước 8%. Viết các dòng 1, 7, 12 trong Bảng thanh toán nợ. 14. Một khoản vay 200.000.000 VNĐ được thanh toán bằng dãy 40 niên kim cố định, mỗi niên kim cách nhau 3 tháng, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay 3 tháng. Lãi suất 10% năm. a) Viết hai dòng đầu và dòng cuối trong Bảng thanh toán nợ khi sử dụng lãi suất quý tương đương b) Như câu trên khi sử dụng lãi suất quý tỷ lệ. 15. Một khoản vay 600.000 USD được thanh toán bằng dãy 15 niên kim, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi vay 1 năm. Lãi suất 8% năm. Số tiền niên kim sau hơn số tiền niên kim trước 8%. a) Viết ba dòng đầu trong Bảng thanh toán nợ. b) Có điều gì bất thường trong hai dòng đầu? Chương VI 1. Một trái phiếu có các dữ liệu sau: Số lượng trái phiếu phát hành: 50.000 Mệnh giá: 5.000.000 VNĐ Giá phát hành: 4.970.000 VNĐ 106
  53. Lãi suất: 8,5% Thanh toán ngang mệnh giá Thanh toán bằng 12 niên kim cố định a) Viết ba dòng đầu của Bảng thanh toán nợ b) Viết dòng cuối c) Sau bao nhiêu niên kim thì ít nhất một nửa số trái phiếu được thanh toán? d) Tìm lãi suất trung bình đầu tư. e) Giả sử chi phí phát hành bằng 2, 4% mệnh giá. Giá phát hành ít nhất phải bao nhiêu để lãi suất giá thành không vượt quá 8,75%? không vượt quá 9,25%? f) Với giá phát hành 4.970.000 VNĐ, tính lãi suất giá thành. g) Giả sử khi thanh toán đợt 7, người đi vay muốn thanh toán hết nợ. Người đi vay phải chuẩn bị một số tiền trả là bao nhiêu? 2. Một trái phiếu có các dữ liệu sau: Số lượng trái phiếu phát hành: 40.000 Mệnh giá: 5.000.000 VNĐ Giá phát hành: 4.975.000 VNĐ Lãi suất: 9,5% Thanh toán ngang mệnh giá Thanh toán bằng 10 niên kim cố định a) Viết ba dòng đầu của Bảng thanh toán nợ b) Viết dòng cuối c) Sau bao nhiêu niên kim thì ít nhất hai phần ba số trái phiếu được thanh toán? d) Tìm lãi suất trung bình đầu tư. e) Ngay sau đợt thanh toán thứ 6, một người mua trên thị trường chứng khoán tất cả các trái phiếu đang lưu thông. Để bảo đảm có một lãi suất là 9,75%, người đó phải mua một trái phiếu với giá bao nhiêu? f) Giả sử chi phí phát hành bằng 2,8% mệnh giá. Tìm lãi suất giá thành g) Vào ngày phát hành, tìm xác suất để một trái phiếu được thanh toán vào đợt 3 4 đợt đầu h) Sau khi thanh toán đợt 6 tìm xác suất còn đang lưu thông được thanh toán vào đợt cuối cùng 107
  54. 3. Một khoản nợ 100.000 trái phiếu được thanh toán bằng 20 niên kim cố định, mỗi niên kim cách nhau một năm, niên kim đầu được thực hiện sau khi phát hành 1 năm. Lãi suất 11%. Tìm median khi thanh toán ngang mệnh giá. Như câu trên với giả thiết giá thanh toán bằng 110% mệnh giá 4. Công ty A&A phát hành trái phiếu mệnh giá 2.000 USD thanh toán ngang mệnh giá và bằng các niên kim cố định vào ngày 1/1 hàng năm. Trong bản báo cáo năm 2000 viết vào ngày 31/12/2000 có các dòng sau: Tiền khuyến khích (tiền bù) toàn bộ trái phiếu: 600.000 Tiền khuyến khích đã thực hiện: 200.000 Tiền trái phiếu gốc chưa thanh toán: 98.142.000 Tiền thanh toán trái phiếu (trong năm 2001): 4.470.000 Tiền cupông (trong năm 2001): 9.235.080 Đã thanh toán hết trái phiếu và cupông của năm 2000 Xác định: a) Lãi suất năm b) Thời hạn thanh toán trái phiếu và ngày phát hành trái phiếu c) Số lượng trái phiếu phát hành d) Mệnh giá trái phiếu 5. Một trái phiếu thanh toán bằng các niên kim cố định có các số liệu sau: Số lượng trái phiếu phát hành: 20.000 Mệnh giá trái phiếu: 5.000.000 VNĐ Thanh toán ngang mệnh giá Lãi suất: 9% năm Người ta nhận thấy rằng số trái phiếu thanh toán trước đợt cuối cùng nhiều hơn số trái phiếu thanh toán đợt 2 là 1.268,44 (chưa làm tròn) Tìm: a) Số tiền niên kim cố định b) Số lượng các niên kim 108
  55. 6. Một trái phiếu thanh toán bằng các niên kim cố định có các số liệu sau: Mệnh giá: 2.000.000 VNĐ Giá thanh toán: 2.050.000 VNĐ Lãi suất: 14,35% năm Số tiền để thanh toán trái phiếu gốc đợt đầu là 4.510.000.000 VNĐ, Số tiền trả cupông đợt cuối là 2.668.526.000 VNĐ Tìm: a) Số tiền niên kim cố định b) Số lượng các niên kim Chương VII 1. Một khoản vay nợ K = 1.000.000 USD được ký kết với lãi suất 9% năm, thời hạn 10 năm. Lãi trả hàng năm. Thanh toán nợ gốc một lần vào cuối năm thứ 10. Định giá khoản nợ với lãi suất 10% a) khi vừa ký kết b) sau khi trả lãi vào năm thứ 4 c) sau khi trả lãi vào năm thứ 9 2. Như câu hỏi bài 1 với giả thiết khoản nợ được thanh toán với các khoản thanh toán nợ gốc hàng năm cố định 109
  56. 3. Như câu hỏi bài 1 với giả thiết khoản nợ được thanh toán nửa đầu sau 5 năm và nửa còn lại sau 10 năm kể từ lúc ký kết. 4. Một khoản nợ 15 triệu euro được ký kết thời hạn 15 năm. Lãi suất 11% năm. Thanh toán 5 triệu euro sau 5 năm, thanh toán tiếp 5 triệu euro sau 10 năm, thanh toán 5 triệu euro cuối sau 15 năm. Lãi trả hàng năm. Với lãi suất 10%, định giá khoản nợ a) vào lúc ký kết b) 3 năm sau ngày thanh toán thứ nhất c) 1 năm trước ngày thanh toán thứ hai d) 3 năm trước ngày thanh toán thứ ba 5. Một trái phiếu có các dữ liệu sau: Số lượng: 30.000. Mệnh giá: 5.000 USD. Giá thanh toán: 6.000 USD. Lãi suất 10,5% năm. Thanh toán trong 9 năm, cứ 3 năm thanh toán một phần ba. Lãi trả hàng năm. Lãi suất định giá 10%. Tính giá trị nội tại của trái phiếu, phân tích qua quyền thu lợi trung bình và quyền sở hữu danh nghĩa trung bình vào lúc: a) 1 năm trước ngày thanh toán thứ nhất, sau khi đã trả lãi b) 2 năm trước ngày thanh toán thứ hai, sau khi đã trả lãi 6. Một trái phiếu có các dữ liệu sau: K = 50 triệu USD, N = 10.000, i = 10%, n = 10 năm. Thanh toán ngang mệnh giá và có khoản thanh toán trái phiếu gốc cố định Lãi suất định giá 9%. 110
  57. Định giá trái phiếu ngay sau khi thực hiện niên kim thứ 6. Phân tích qua quyền thu lợi và quyền sở hữu danh nghĩa. 7. Một trái phiếu có các dữ liệu sau: K = 40 triệu USD, N = 10.000, i = 10,5%, n = 20 năm. Thanh toán ngang mệnh giá. Niên kim cố định Lãi suất định giá 10%. Tính giá trị nội tại của trái phiếu, phân tích qua quyền thu lợi trung bình và quyền sở hữu danh nghĩa trung bình ngay sau khi thực hiện niên kim thứ 10. 8. Một trái phiếu có các dữ liệu sau: C = 5 triệu VNĐ, n = 18 năm, i = 0,009 Thanh toán ngang mệnh giá. Khoản thanh toán nợ gốc lập thành một cấp số nhân công bội 1,10. Lãi suất định giá 10%. Tính giá trị nội tại của trái phiếu vào lúc phát hành. 9. Một trái phiếu có các dữ liệu sau: C = 5 triệu VNĐ, n = 20 năm, i = 9,8%, N = 60.000 Thanh toán ngang mệnh giá. Số các trái phiếu thanh toán lập thành một cấp số cộng công sai (+100) trái phiếu Tìm giá phát hành sao cho lúc phát hành lãi suất đầu tư trung bình là 10% Như câu hỏi trên với giả thiết số các trái phiếu thanh toán lập thành một cấp số cộng công sai (-100) trái phiếu 111