Giáo trình Vật lý 1 - Trương Thành (Phần 1)

66 trang hapham 1070

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Vật lý 1 - Trương Thành (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_vat_ly_1_chuong_i_dong_hoc_chat_diem_truong_thanh.pdf

Nội dung text: Giáo trình Vật lý 1 - Trương Thành (Phần 1)

Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Chương I. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 1.1. ĐỘNG HỌC VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA ĐỘNG HỌC 1.1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1.1.1. Cơ học Cơ học là một phần của Vật Lý học nghiên cứu trạng thái của vật thể (chuyển động, đứng yên, biến dạng ) 1.1.1.2. Chuyển động Chuyển động là sự thay đổi vị trí trong không gian theo thời gian của vật thể này so với vật thể khác. Khi chúng ta nói một chiếc máy bay đang bay trên bầu trời thì có nghĩa là chúng ta đã tạm quy ước bầu trời đứng yên và chiếc máy bay đang chuyển động đối với bầu trời. Như vậy khái niệm chuyển động là một khái niệm có tính tương đối, thể hiện ở chổ: - Một vật chuyển động là phải chuyển động so với vật nào, chứ không có khái niệm chuyển động chung chung. - Vật này được quy ước là đứng yên thì vật kia chuyển động và ngược lại. 1.1.1.3. Động học Động học là phần cơ học nghiên cứu chuyển động mà chưa xét đến nguyên nhân đã gây ra chuyển động đó. Các đại lượng đặc trưng cho động học là: - Quảng đường (s). - Vận tốc ( vr ). - Gia tốc ( ar ). - Thời gian (t). Động học chất điểm là phần động học nghiên cứu chất điểm. 1.1.1.4. Chất điểm Đối với những vật mà quảng đường mà nó chuyển động lớn hơn rất nhiều so với kích thước của nó thì có thể bỏ qua kích thước của nó trong quá trình nghiên cứu, hay nói là xem nó như là một chất điểm. Như vậy khái niệm chất điểm là một khái niệm có tính tương đối. Trong trường hợp này thì vật là chất điểm, nhưng trường hợp khác thì không, và thậm chí có thể là rất lớn. Có thể lấy ví dụ: đối với mỗi chúng ta thì Trái Đất vô cùng lớn, nhưng đối với Mặt Trời hay Vũ trụ thì Trái Đất lại vô cùng nhỏ bé (Mặt Trời lớn hơn Trái Đất hơn một triệu lần). Trong thực tế ta không thể ngay lập tức từ đầu nghiên cứu một vật có kích thước nhất định mà phải nghiên cứu một chất điểm đơn lẻ và tìm ra một hệ 3
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành thống lý thuyết hoàn chỉnh cho nó. Và như vậy một vật thể chính là một tập hợp điểm nào đó (chẳng hạn như vật rắn). Cũng như trước khi nghiên cứu dao động tắt dần ta phải xét dao động điều hoà; trước khi nghiên cứu chất lỏng thực ta phải xét chất lỏng lý tưởng trước v.v 1.1.1.5. Hệ quy chiếu Khi chúng ta nói: một chiếc xe đang chuyển động trên đường thì thực tế chúng ta đã ngầm quy ước với nhau rằng chiếc xe đó chuyển động so với đường hay cây cối, nhà cửa ở bên đường. Nên nói đầy đủ hơn phải là: chiếc xe đang chuyển động so với con đường. Như vậy không thể nói một chuyển động mà không chỉ ra được một vật mà đối với nó thì vật này chuyển động. Vật được coi là đứng yên để xét chuyển động của vật khác được gọi là vật làm “mốc” hay “hệ quy chiếu”. Để thuận lợi cho việc nghiên cứu chuyển động người ta gắn vào hệ quy chiếu một hệ toạ độ, chẳng hạn hệ toạ độ Descartes O,x,y,z (Renè Descartes 1596 - 1650 người Pháp) . 1.1.2. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM Xét một chất điểm chuyển động theo đường cong bất kỳ AB trong hệ quy chiếu O,x,y,z (Hình I-1). Giả sử rằng tại thời điểm t vị trí của chất điểm là M trên đường cong z AB, M là một điểm nên hoàn toàn được z xác định bởi ba toạ độ x, y và z (ta hay M nói là ba toạ độ của điểm M). Nhưng vì chất điểm chuyển động nên x,y,z thay k k B đổi theo thời gian. Nghĩa là ba toạ độ là j y A i hàm của thời gian: x y x = x(t) x y = y(t) (I-1). Hình I-1 z = z(t) (Trong trường hợp chuyển động thẳng nếu ta chọn hệ tọa độ sao cho chuyển động dọc theo trục Ox thì: x = x(t); y = 0; z = 0). Việc xác định chuyển động của chất điểm bằng hệ phương trình (I-1) gọi là phương pháp tọa độ và phương trình đó gọi là phương trình chuyển động dạng tọa độ Descartes. Điểm M cũng hoàn toàn được xác định nếu biết vector r và các cosin chỉ phương của nó, vì r = x i + y j + z k . Nhưng do M chuyển động nên r thay đổi cả phương, chiều và độ lớn theo thời gian: r = r (t) (I-2). 4
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Đây là phương trình chuyển động dạng vector trong đó r được gọi là bán kính vector hay vector định vị. Chúng ta cũng không quên rằng để xác định vector này còn cần ba cosin chỉ phương nữa. Ta cũng có thể biểu diễn chuyển động bằng một cách khác là: chọn trên quỹ đạo một gốc tọa đô, chẳng hạn A và như vậy đoạn đường mà chất điểm đi được, được xác định so với A bằng cung s, và cũng như trên s là một hàm của thời gian: s = s(t). (I-3). Phương trình này là phương trình chuyển động dạng quỹ đạo. Phương pháp này gặp khó khăn ở chỗ là phải biết trước dạng quỹ đạo của chuyển động. s được gọi là hoành độ cong. 1.1.3. QUỸ ĐẠO VÀ PHƯƠNG TRÌNH QUỸ ĐẠO Quỹ đạo của một chất điểm là quỹ tích của tất cả những điểm trong không gian mà chất điểm đã đi qua trong suốt quá trình chuyển độngcủa nó. Như vậy quỹ đạo của một chất điểm thực tế chính là đường đi của nó trong không gian. Phương trình quỹ đạo của một chất là phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa các toạ độ chuyển động của chất điểm trong không gian. Nghĩa là phương trình quỹ đạo có dạng: f (x, y,z) = 0 . Và nếu biết phương trình quỹ đạo thì biết được dạng quỹ đạo của chất điểm đó. Ví dụ Một chuyển động có phương trình: ⎧x = Asin(ωt + ϕ) ⎨ ⎩ y = B cos(ωt + ϕ) Hãy tìm phương trình quỹ đạo và từ đó suy ra dạng quỹ đạo của chuyển động trên. Để tìm phương trình quỹ đạo ta khử t trong hai phương trình trên bằng ⎧ x ( ) 2 = sin 2 (ωt + ϕ ) ⎪ A cách sau: ⎨ y ⎪( ) 2 = cos 2 (ωt + ϕ ) ⎩⎪ B Cộng từng vế hai phương trình ta có: x 2 y 2 + = 1, A2 B 2 chuyển động này có quỹ đạo dạng ellipse một bán trục A và một bán trục B. 5
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 1.2. VẬN TỐC VÀ GIA TỐC CỦA CHUYỂN ĐỘNG 1.2.1. VẬN TỐC 1.2.1.1. Khái niệm và định nghĩa Để chứng tỏ sự cần thiết của việc đưa ra khái niệm vận tốc ta lấy ví dụ sau đây: hai xe cùng xuất phát từ một nơi, cùng một lúc và cùng đến đích vào một thời điểm. Nhưng chúng ta không thể nói được xe nào đã chuyển động nhanh hay chậm hơn xe nào nếu không biết được xe nào đã tiêu tốn ít hay nhiều thời gian hơn cho chuyển động. Như vậy để so sánh các chuyển động với nhau thì phải so sánh quãng đường mà chúng đi được trong cùng một thời gian, hay tốt nhất là cùng một đơn vị thời gian, qũang đường đó gọi là vận tốc. Như vậy có thể định nghĩa vận tốc như sau: Vận tốc của một chuyển động là đại lượng đặc trưng cho sự nhanh hay chậm của một chuyển động, có trị số bằng quảng đường mà chất điểm đi được trong một đơn vị thời gian. Để đặc trưng cho cả phương, chiều của chuyển động, điểm đặt của vận tốc, thì vận tốc là một đại lượng vector. Vận tốc trung bình của một chuyển động trên một đoạn đường nào đó nói chung khác với vận tốc tại một thời điểm bất z kỳ trên quỹ đạo. Bởi vậy ta thường gặp hai M2 M1 ∆r loại vận tốc. 1.2.1.2. Vận tốc trung bình Vận tốc trung bình của một chuyển r1 r2 động là quảng đường trung bình mà chuyển k động đi được trong một đơn vị thời gian. Trong hệ đơn vị SI đơn vị thời gian là 0 y một giây ngoài ra nếu không sử dụng hệ đơn x vị SI thì ta có thể lấy các đơn vị khác như: Hình I-2 giờ, phút, ngày, tuần .v v - Giả sử tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M1 được xác định bởi bán r kính vector r = r1 . r r r - Đến thời điểm t + ∆t vị trí của động điểm là M2: r2 = r + ∆r . Như vậy trong thời gian ∆t chất điểm đi được một đoạn đường ∆s , nên theo định nghĩa của chúng ta thì vận tốc trung bình chính là ∆s v = (I-4a). tb ∆t 6
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Nói chung quãng đường và thời gian chất điểm đi được thường là một tổng nên: ⎧ n ∆r = ∆s ⎪ ∑ k ∑ ∆sk ⎪ k =1 và do đó v = k=1 (I-4b). ⎨ n tb n ⎪ ∆t ∆t = ∑ ∆tk ∑ k ⎩⎪ k=1 k =1 1.2.1.3. Vận tốc tức thời Vận tốc tức thời của của một chuyển động là vận tốc của nó tại một thời điểm nào đó trên quỹ đạo của chuyển động của nó. Việc xác định vận tốc của chất điểm tại một thời điểm bất kỳ trên quỹ đạo lại có ý nghĩa hơn vận tốc trung bình, vì đó mới là vận tốc thực của chuyển động. Để có biểu thức tính vận tốc tức thời ta có nhận xét như sau: nếu ∆t → 0 thì M2 → M1 và do đó vtb → vt . Nghĩa là vận tốc trung bình trên đoạn đường ngắn M1M2 được xem là vận tốc tại điểm M1 hay vt . Nói như vậy có nghĩa là: ∆s dr dr vt= lim vtb = lim ≈ → vt = . (1-5). ∆t→0 ∆t→0 ∆t dt dt Vận tốc tức thời của một chất điểm tại một thời điểm nào đó trên quỹ đạo bằng đạo hàm bậc nhất của bán kính vector tại điểm đó. Vector vận tốc có độ lớn bằng độ lớn của vận tốc, có phương là phương của tiếp tuyến tại điểm đang xét, có chiều là chiều của chuyển động. Ngoài ra do: r = xi + y j + z k dx dy dz Nên v = i + j + k = v . dt dt dt t Hay: vt = vxi + vy j + vz k ⎧ dx v = ⎪ x dt ⎪ 2 2 2 ⎪ dy ⇒ v = vx + v y + vz . Với: ⎨vx = ⎪ dt ⎪ dz ⎪vx = ⎩ dt 1.2.2. GIA TỐC r vr + ∆vr 1.2.2.1. Khái niệm và định nghĩa v Đối với những chuyển động không đều thì vận tốc liên tục thay đổi, để đặc trưng cho sự thay đổi Hình I-3 nhanh hay chậm của vận tốc người ta đưa ra khái niệm gia tốc với ý nghĩa tương tự như vận tốc. 7
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Gia tốc của một chuyển động là đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi nhanh hay chậm của vận tốc, có trị số bằng lượng vận tốc thay đổi trong một đơn vị thời gian. 1.2.1.2. Gia tốc trung bình Tương tự như vận tốc ta cũng xét hai thời điểm điểm trên quỹ đạo: v ∆v - Tại thời điểm t (M1) vị trí và vận tốc của chất điểm v + ∆v được xác định bằng r và v . - Đến thời điểm t + ∆t (M ) vị trí và vận tốc của chất 2 Hình 1-4 điểm được xác định bằng: r + ∆r và v + ∆v . Vậy độ tăng trung bình của vận tốc trong một đơn vị thời gian là: ∆v a = (1-6a). tb ∆t ( atb là gia tốc trung bình của chuyển động của chất điểm đang xét ở trên đoạn đường M1M2) 1.2.1.3. Gia tốc tức thời Hoàn toàn lập luận tương tự như đối với vận tốc, gia tốc tức thời của một chất điểm tại một thời điểm nào đó chính là kết quả của giới hạn sau đây: ∆v dv a = lim = ∆t→0 ∆t dt dv d 2 r Tóm lại: a = = (1-6b). dt dt 2 Dạng thành phần của a là: 2 ⎧ d x dvx ⎪ax = 2 = ⎪ dt dt ⎪ d 2 y dv ar = a i + a j + a k a = = y x y z . Trong đó: ⎨ x 2 ⎪ dt dt 2 ⎪ d z dvz ⎪ax = 2 = ⎩ dt dt 2 2 2 Và do đó: a = ax + ay + az 1.2.3. GIA TỐC TIẾP TUYẾN VÀ GIA TỐC PHÁP TUYẾN 1.2.3.1. Khái niệm Nguyên nhân của chuyển động cong về một phía nào đó của chất điểm là do trên đoạn đường đó vector gia tốc lệch về phía đó của quỹ đạo. Vector gia tốc cũng như mọi vector khác đều có thể phân tích trên hai hay ba phương bất kỳ tuy nhiên để thuận lợi cho việc tính toán người ta phân tích nó lên hai phương đặc biệt là pháp tuyến và tiếp tuyến với quỹ đạo 8
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành a = a n + a τ (1-7). Dạng vector của gia tốc pháp tuyến: 2 dv n v ar = = n n dt R ar r ( n là vector đơn vị có phương pháp tuyến ar với quỹ đạo, có chiều ngược với vector bán kính tại đó). Dạng vector của gia tốc tiếp tuyến: Hình 1-5 dvt r a t = = Rβτ dt có phương, chiều là phương và chiều của vector đơn vị τr . τr là vector đơn vị trên phương tiếp tuyến có phương tiếp tuyến với quỹ đạo, có chiều theo chiều chuyển động của điểm. Tóm lại: v 2 a = n + Rβτr R (Trong đó R là bán kính chính khúc của đường tròn mật tiếp tại điểm đang xét (đã được minh hoạ trên hình)) 1.2.3.2. Nhận xét - Nếu chuyển động thẳng thì: 1 R = ∞ → = 0, R dẫn đến: an = 0 , a = aτ - Nếu chuyển động tròn đều: vτ = const, dẫn đến: aτ = 0 , a = an 9
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 1.3. MỘT SỐ DẠNG CHUYỂN ĐỘNG ĐƠN GIẢN 1.3.1. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU 1.3.1.1. Định nghĩa Chuyển động thẳng đều là chuyển động z thẳng có vận tốc không đổi theo thời gian 1.3.1.2. Phương trình Trong trường hợp này để đơn giản ta cho vr x trục ox hướng theo phương chuyển động của y chất điểm. Khi đó phương trình đường đi chỉ Hình I-6a còn là biến x. Theo định nghĩa thì: v = const dv nên: a = = 0 dt dr dx Mặt khác từ = v , dẫn đến = v dt dt x t dx = vdt → x = x + vt ∫ ∫ 0 x0 0 y = 0, z = 0 Tóm lại ta có hệ của chuyển động thẳng đều: v = const dv a = = 0 dt x = x + vt 0 y = 0, z = 0 1.3.2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG BIẾN ĐỔI ĐỀU 1.3.2.1. Định nghĩa Chuyển động thẳng biến đổi đều là chuyển động thẳng có gia tốc không đổi theo thời gian z 1.3.2.2. Phương trình Trong trường hợp này để đơn giản ta cũng cho trục ox hướng theo phương chuyển động của vr x chất điểm. Khi đó phương trình đường đi chỉ y còn là biến x. Hình I-6b Theo định nghĩa thì: a = const 10
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành dv Nên từ = a → dv = adt → dt v t dv = adt → v = v + at ∫ ∫ 0 . v0 0 dx Nhưng = v = v + adt → dt 0 x t at 2 dx = (v + at)dt → x = x + v t + ∫ ∫ 0 0 0 2 x0 0 y = 0, z = 0 Tóm lại ta có hệ phương trình của chuyển động thẳng biến đổi đều: a = const v = v0 + at at 2 x = x + v t + 0 0 2 y = 0, z = 0 (Nếu a > 0 thì chuyển động nhanh dần đều còn a < 0 thì chuyển động chậm dần đều) 1.3.3. CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU 1.3.3.1. Định nghĩa ωr Chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo tròn mà độ lớn của vận tốc không thay đổi theo thời gian. R r 1.3.3.2. Phương trình chuyển động v Các phương trình góc và cung quay được tính tương tự như chuyển động thẳng đều và dẫn Hình I-6c đến kết quả: v 2 β = 0 , a = 0 , a = t n R v r ω = const , v = const ωr,β ϕ = ϕ + ωt , s = s + v t 0 0 , r a vr 1.3.4. CHUYỂN ĐỘNG TRÒN BIẾN ĐỔI ĐỀU R 1.3.4.1. Định nghĩa Chuyển động tròn biến đổi đều là chuyển động tròn mà độ lớn của gia tốc tiếp tuyến (hay gia Hình I-6d tốc góc) không thay đổi theo thời gian. 1.3.4.2. Phương trình chuyển động 11
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Các phương trình cung quay được tính tương tự như chuyển động thẳng đều biến đổi đều và dẫn đến kết quả: r β = const aτ = βR = const , an ≠ const r r r ω = ω0 + βt v = v0 + at 2 2 ϕ = ϕ0 + ω0t + βt / 2 s = s0 + v0t + at / 2 1.3.5. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VIÊN ĐẠN NÉM XIÊN MỘT GÓC SO VỚI PHƯƠNG NẰM NGANG 1.3.5.1. Bài toán Một viên đạn được bắn ra từ một khẩu pháo với vận tốc ban đầu là v0 , hướng lên trên, nòng súng hợp với phương ngang một góc α . Viên đạn được bắn từ độ cao h so với mặt đất. Hãy tìm: a). Phương trình chuyển động y của viên đạn. r v0 y r b). Phương trình quỹ đạo của v0 viên đạn. c). Thời gian từ lúc bắn đến vr lúc viên đạn chạm đất 0 0x c). Độ cao cực đại mà viên đạn lên tới. H 1.3.5.2. Bài giải Theo phương ngang không có -h gia tốc, viên đạn chuyển động đều. Hình I-6e Theo phương thẳng đứng có gia tốc g hướng xuống, viên đạn chuyển động biến đổi đều. a). Phương trình chuyển động viết trên hai trục toạ độ: ⎧x = (v0 cosα)t (1) ⎨ 2 ⎩y = (v0 sinα)t − gt / 2 (2) b). Phương trình quỹ đạo có được khi khử t ở hai phương trình trên: x g x y = (v sinα) − ( )2 0 v cosα 2 v cosα 0 0 gx2 y = xtgα − (3) 2v2 cos2 α 0 Đây là một parabolic trong đó x lấy giá trị dương. c). Khi chạm đất y = -h nên để tìm t ta giải phương trình: 2 y = (v0 sinα)t − gt / 2 = − h (4) . 12
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành v 2 sin 2 α d). Độ cao cực đại: H = h + 0 2g 13
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 1.4. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN 1.4.1. VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN 1.4.1.1. Định nghĩa Vật rắn tuyệt đối là vật rắn mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó không thay đổi trong quá trình chuyển động. Hay nói một cách khác vật rắn là vật có hình dạng, kích thước không thay đổi theo thời gian. Giả sử hình ellipse trong hình đưới đây là một vật rắn thì với hai điểm bất kỳ của nó thì: AB = const Chuyển động tịnh tiến của vật một vật A rắn là chuyển động mà đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của vật rắn luôn luôn song song với phương ban đầu trong suốt quá trình chuyển động. B Hình I-7 Theo định nghĩa thì đoạn thẳng AB của ellipse ở các vị trí trên hình vẽ Hình I-7 đều song song với nhau nên ellipse chuyển động tịnh tiến. 1.4.1.2. Phương trình chuyển động Xét hai điểm A và B trên vật rắn, theo hình vẽ thì ta có: r 2 = r 1 + AB y Đạo hàm hai vế phương trình này theo thời gian dr2 dr1 dAB ta có: = + B dt dt dt vì AB không thay đổi cả phương chiều lẫn độ lớn r nên: 2 d AB A = 0, dt r1 dr dr 0 x dẩn đến: 1 = 2 , dt dt Hình 1-8 hay v 1 = v 2. Nếu xét hết mọi điểm của vật rắn ta cũng sẽ có: v 1 = v 2 = v 3 = = v n= v (I-8a). và dễ dàng suy ra: a 1 = a 2 = a 3 = a n = a (I-8b). Kết luận: Trong chuyển động tịnh tiến mọi điểm của vật rắn đều chuyển động với cùng một vận tốc và gia tốc. 1.4.2. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 1.4.2.1. Định nghĩa 14
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Chuyển động quay của một vật rắn quanh một trục cố định là chuyển động mà mọi điểm của vật rắn (trừ những điểm nằm trên trục quay) đều có quỹ đạo tròn vuông góc với trục quay và có tâm nằm trên trục quay. 1.4.2.2. Phương trình chuyển động Xét một điểm M của vật rắn có quỹ đạo tròn bán kính R (Hình I-9). Cung ds mà M quay được sau thời gian dt chính là đường đi của M. Ta có vận tốc của điểm M là: r dR dsr vr = = , dt dt ϕ r O dϕr Λ R r hay vr = M v dt ( vr là vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo, vector dϕr có độ lớn bằng dϕ , phương của trục quay, chiều là chiều dương của trục). Vì dϕr = ωr là góc quay được trong một đơn vị thời gian nên nó là HìnhI-9 dt vận tốc góc. Thành thử: v = ω Λ R (I-9). (Ta cũng dễ nhận thấy rằng dϕr > 0 thì ωr > 0 cùng chiều dương của trục quay, dϕr < 0 thì ωr < 0 ngược chiều dương của trục quay). Bởi vậy gia tốc của điểm M của vật rắn là: dv dω d R a = = Λ R + ω Λ . dt dt dt dω dR Trong đó = β là gia tốc góc; = v , dt dt r nên: a = β ΛR + ω Λ v r r a = at + an r r r Vector at = β Λ R có phương tiếp tuyến với quỹ đạo nên gọi là gia tốc tiếp tuyến. r r r Vector an = ω Λ v có phương pháp tuyến với quỹ đạo nên gọi là gia tốc pháp tuyến. 15
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Bài tập chương I. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Bài tập mẫu 1: Một chiếc xe chuyển động trên một quỹ đạo tròn, bán kính bằng 50m. Quãng đường được đi trên quỹ đạo được xác định bởi công thức: s = - 0,5t2 + 10t + 10 Tìm vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến, gia tốc toàn phần của ôtô lúc t = 5 giây. R = 50m v = ? t = 5s at = ? Cho: 2 Tìm: s = - 0,5t + 10t + 10 an = ? a = ? Giải: Dùng hệ SI 1) Vận tốc của ôtô ở thời điểm t: ds v = = -t + 10 at dt Lúc t = 5s thì v = - 5 + 10 = 5m/s. v = 5m/s α 2) Gia tốc tiếp tuyến ở thời điểm t: an a dv at = = -1 dt 2 H.I-10 at là hằng số, vậy lúc t = 5s : at = - 1m/s < 0. Trên quĩ đạo ôtô chạy chậm dần. 3) Gia tốc pháp tuyến ở thời điểm t: v2 (−t +10)2 an = = R R 2 5 2 Lúc t = 5s: an = = 0,5m/s 50 4) Gia tốc toàn phần: 2 2 2 a = at + an = 1+0,25 = 1,12m/s a = 1,12m/s2 phương của a được xác định bởi các góc α : a 0,5 cosα = n = = 0,446. α = 63030’ a 1,12 Bài tập mẫu 2: Một viên đạn được bắn lên với vận tốc 800m/s làm với phương ngang một góc 300. 1. Viết phương trình chuyển động của viên đạn 2. Cho biết dạng quĩ đạo của viên đạn 16
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 3. Tính thơì gian mà viên đạn bay từ thời điểm ban đầu cho tới thời điểm chạm đất. 4. Xác định tầm xa của viên đạn 5. Tính độ cao lớn nhất của viên đạn đạt được. 6. Xác định bán kính cong của quĩ đạo ở thời điểm cao nhất: Coi sức cản của không khí là không đáng kể. Coi gia tốc trọng lượng g = 9,81m/s2 2 v0 = 800m/s - Phương trình chuyển động α = 300 - Dạng quĩ đạo Cho Tìm: g = 9,81m/s2 - t = ? Sức cản không đáng kể - xmax = ? ymax = ? R = ? Giải: Dùng hệ SI Phân tích hiện tượng: khi viên đạn đã bay khỏi nòng súng, một mặt nó tiếp tục chuyển động theo quán tính, mặt khác nó chuyển động dưới sức hút của quả đất với gia tốc a = g (gia tốc rơi tự do) hướng thẳng đứng từ trên xuống. Do đó, chuyển động của viên đạn sẽ là chuyển động cong. y Để khảo sát chuyển động của viên đạn, ta chọn hệ toạ độ vuông góc Oxy. Gốc 0 là điểm mà viên đạn bắt đầu chuyển động, trục Ox nằm ngang, v  trục Oy thẳng đứng. O 1. Viết phương trình chuyển x động. H I-11 Chuyển động của viên đạn có thể coi là tổng hợp hai chuyển động chiếu của viên đạn trên các trục Ox và Oy. - Chuyển động chiếu trên trục Ox là chuyển động không có gia tốc (nghĩa là chuyển động đều vì ax = g = 0). Vận tốc ban đầu chiếu trên trục Ox là: v0 cosα . Vậy phương trình chuyển động chiếu trên trục Ox là: x = (v0 cosα ) t. - Chuyển động chiếu trên trục Oy là chuyển động có gia tốc: ay = - g = const (nghĩa là chuyển động thay đổi đều). Vận tốc ban đầu chiếu trên trục Oy là v0sinα . Vậy phương trình chuyển động chiếu trên trục Oy sẽ là: 1 2 y = (v0 sinα ) t - gt 2 Do đó phương trình chuyển động của viên đạn là: 17
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành x = (v0 cos α )t 1 2 y = (v0 sin α )t - gt 2 2. Dạng quĩ đạo: Khử t ở hai phương trình (1) và (2) ta được phương trình quĩ đạo. g 2 y = 2 2 x + (tgα).x , quỹ đạo parabolic. 2v0 cos α 3. Khi viên đạn đạt đến điểm cao nhất thì vy = 0 nghĩa là: dy vy = = v0sinα - gt = v dt Từ đó ta suy ra thời gian mà viên đạn cần để đạt tới điểm cao nhất: v sinα 800m / s.sin 300 t = 0 = = 40,7s g 9,81m / s 2 Từ điểm cao nhất tới khi chạm đất, viên đạn phải bay một thời gian bằng thế nữa, do đó thời gian mà viên đạn bay từ lúc đầu tới lúc chạm đất sẽ là: t’ = 2t = 2 x 40,7s = 81,4s t’ = 81,4s 4. Gọi tầm bay xa của viên đạn là Sx. Theo phương ngang viên đạn bay với vận tốc không đổi: 0 vx = v0cosα = 800.cos30 = 694m/s Vậy tầm bay xa (tức quãng đường mà viên đạn bay theo phương ngang) 4 sẽ là: Sx = vxt, = 694.81,4s = 5,65.10 m Sx = 56,5 km 5. Biết thời gian mà viên đạn cần để đạt tới điểm cao nhất là t = 40,7s, nên độ cao lớn nhất mà viên đạn đạt được sẽ bằng: 1 2 ymax = (v0 sinα ) t - gt 2 1 = (800.0,5). 40,7 - 9,81(40,7)2 = 8.100 m 2 ymax = 8,1km 18
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 6. Ở điểm cao nhất gia tốc toàn phần ar trùng với gia tốc pháp tuyến do đó: v x an = g = (vì ở điểm này vy = 0, v = vx). R Suy ra bán kính cong: v 2 (694) 2 R = x = = 4,91.104m g 9,81 R = 49,1km. Bài tập mẫu 3: Một bánh đà đang quay với vận tốc 300 vòng/phút(v/p), thì bị hãm lại. sau 1 phút tốc độ còn lại là: 180v/p. 1. Tính gia tốc góc bánh đà khi bị hãm. 2. Tính số vòng bánh đà quay được trong thời gian hãm. Giải: Dùng hệ SI. N1 = 300v/p Cho: Tìm: N2 = 180 v/p β = ? T = 1 phút n = ? 1. Giả sử khi hãm bánh đà quay chậm dần đều. Gọi ω1 và ω2 là tốc độ góc của bánh đà trước và sau khi hãm ∆t = 1phút. Theo định nghĩa gia tốc góc ω −ω của vô làng bằng: β = 2 1 . ∆ t ω1 = 2π n1 với n1 = 300(v/p) = 5(v/s) ω2 = 2π n2 với n2 = 180(v/p) = 3(v/s), ∆t = 1 phút = 60s. 2π (n − n ) 2 1 2π (3− 5) rad Vậy β = = = - 0,21 ∆ t 60 s 2 19
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành rad β < 0 vì bánh đà quay chậm dần. β = - 0,21 s 2 2. Góc quay trong chuyển động chậm dần đều được tính theo công thức: 1 θ =ω .t − β t 2 1 2 1 Góc quay được sau ∆t = 60s: θ = ω ∆t − β (∆t) 2 1 2 Vậy số vòng quay được sau ∆t bằng: 1 1 ω ∆t − β (∆t) 2 2π n (∆t) 2 − β (∆t) 2 θ 1 1 N = = 2 = 2 2π 2π 2π = 240 vòng N = 240 vòng Bài tập tự giải: 1. Một chất điểm chuyển động theo phương trình: x = 2 cosω t x 2 y 2 y = 4 sinω t . Tìm dạng quĩ đạo của chất điểm. Đáp số: + =1 4 16 2. Một xe chạy theo đường thẳng từ A đến B với vận tốc v1 = 40 km/h, rồi lại chạy từ B trở về A với vận tốc v2 = 30 km/h. Tính vận tốc trung bình của xe trên quãng đường khứ hồi. ∆S 2v1 .v2 Hướng dẫn: Dùng định nghĩa: vtb = Đáp số : v = ∆t v1 + v2 3. Một vật rơi tự do từ độ cao h = 19,6 m a) Tính thời gian để vật rơi hết độ cao đó. b) Tìm những quãng đường mà vật đi được trong 0,1 giây đầu và trong 0,1 giây cuối cùng của vật rơi. 20
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành c) Tính thời gian để vật rơi được 1m đầu tiên và 1m cuối cùng của độ cao. Không kể ma sát của không khí. Cho g = 9,8m/s2. Đáp số: a) t = 2s b) h1 = 4,9cm, (Hướng dẫn: tìm quãng đường đi được trong 1,9 giây đầu, từ đó suy ra quãng đường đi được trong 0,1 giây cuối). Đáp số: h2 = 191cm. c) t1 = 0,45s d) t2 = 0,05 s 4. Một động tử chuyển động với gia tốc không thay đổi và đi được quãng đường giữa A và B trong 6 giây. Vận tốc khi đi qua A là 5m/s, khi đi qua B là 15m/s. Tính chiều dài quãng đường AB. Đáp số: AB = 60m. 5. Một chuyển động thẳng lần lượt qua 2 quãng đường bằng nhau, mỗi quãng dài s = 10m, với gia tốc không đổi a. Động tử chạy quãng đường thứ nhất mất t1= 1,06 giây và quãng đường thứ 2 mất t2 = 2,2 giây. Tính gia tốc a và vận tốc v0 của động tử ở đầu quãng đừơng thứ nhất. Từ đó suy ra đặc điểm chuyển động của động tử. Hướng dẫn và Đáp số: Viết phương trình chuyển động thẳng thay đổi đều (có gia tốc vận tốc ban đầu) cho hai quãng đường, được hai phương trình hai ẩn. 2s (t − t ) a = 2 1 = - 3,1m/s2 t1 t 2 (t1 + t 2 ) v0 = 11,1m/s (Chuyển động chậm dần đều) 6. Từ đỉnh một tháp cao h = 25m ta ném một hòn đá theo phương nằm ngang với vận tốc ban đầu v0 = 15m/s a) Thiết lập phương trình chuyển động của hòn đá 21
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành b) Suy ra dạng quĩ đạo của hòn đá. c) Tính thời gian hòn đá rơi xuống đến đất. d) Tầm xa (theo phương ngang) của nó. e) Tính vận tốc và gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến của nó lúc chạm đất Coi ma sát của không khí là không đáng kể; g = 9,8m/s2 Hướng dẫn và Đáp số : Chọn hệ toạ độ là gốc của đỉnh tháp, trục tung là đường thẳng đứng đi xuống, trục hoành nằm ngang: 1 2 a) x = v0 t, y = gt 2 g 2 b) y = 2 . x , parabolic. 2v0 c) Cho y = h, suy ra T = 2,26s d) 33,9m dv 2 2 e) v = 26,7m/s, at = = 8,1m/s , an = 5,6m/s dt 7. Từ một độ cao h = 2,1m, ta ném một hòn đá lên cao với vận tốc ban đầu v0, nghiêng một góc α = 450 với đường nằm ngang. Hòn đá đạt được tầm xa l = 42m. Tính: a) Vận tốc ban đầu của hòn đá. b) Thời gian hòn đá chuyển động c) Độ cao lớn nhất mà hòn đá đạt được. Đáp số: a) 19,8m/s, b) 3s, c) ymax = 12m. 8. Trong nguyên tử hydrogen, ta có thể coi điện tử chuyển động tròn đều xung quanh hạt nhân. Biết rằng bán kính quỹ đạo điện tử là R = 0,5.10- 8cm và vận tốc của điện tử trên quỹ đạo là v = 2,2.108cm/s. Tìm: a) Vận tốc góc của điện tử . 22
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành b) Thời gian điện tử quay được một vòng quanh hạt nhân. c) Gia tốc pháp tuyến của điện tử. Đáp số: a) 4,4.1016 rad/s, b) 1,4.10-16 s, c) 9,7.1032 m/s2 9. Một bánh xe bán kính 10 cm quay vòng tròn với gia tốc 3,14 rad . Sau giây đầu s 2 tiên: a) Vận tốc góc của bánh xe là bao nhiêu? b) Vận tốc dài, gia tốc tiếp tuyến pháp tuyến và toàn phần của một điểm trên vành bánh xe là bao nhiêu? Đáp số: a) α = β .t = 3,14rad/s, b) v = 2 2 0,314 m/s, at = 0,314m/s ,an = 0,986m/s 10. Hai vật được ném cùng một lúc dưới những góc khác nhau đối với phương nằm ngang và với những vận tốc ban đầu khác nhau. Hãy chứng minh rằng trong những lúc chuyển động thì vận tốc tương đối của chúng là không đổi về độ lớn và cả về phương. Hướng dẫn và Đáp số: Tìm các thành phần của các vector vận tốc trên hai trục toạ độ vuông góc rồi tính các thành phần của vận tốc tương đối giữa chúng trên hai trục ấy. 11. Một vật nặng được treo vào một quả khí cầu đang lên cao với vận tốc không đổi nào đó. Đột nhiên ta cắt đứt dây treo. Xét xem vật nặng sẽ chuyển động như thế nào? Bỏ qua sức cản không khí (xem quả khí cầu bay thẳng đứng). Hướng dẫn và đáp số: Vật nặng sẽ chuyển động như khi ta ném nó ở độ cao của khí cầu có vận tốc của khí cầu và theo phương của khí cầu. 23
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyển Hữu Mình. CƠ HỌC. NXBGD năm 1998. 2. Nguyển Xuân Chi và các tác giả. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1, 2, NXBĐH và THCN năm 1998. 3. Lương Duyên Bình. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1,2, NXBGD1996. 4. Vũ Thanh Khiết và các tác giả. GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐẠI CƯƠNG. NXBGD năm 1977. 5. DAVID HALLIDAY (tập I - cơ học I) và các tác giả CƠ SỞ VẬT LÝ. NXBGD năm 1996. 6. DAVID HALLIDAY (tập II - cơ học II) và các tác giả CƠ SỞ VT LÝ. NXBGD năm 1996. 24
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Chương II. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 2.1. NHỮNG ĐẶC TRƯNG CỦA ĐỘNG LỰC HỌC, BA ĐỊNH LUẬT CỦA NEWTON 2.1.1. NHỮNG ĐẶC TRƯNG CỦA ĐỘNG LỰC Khác với động học, động lực học nghiên cứu chuyển động có xét đến nguyên nhân đã gây ra chuyển động đó (lực). Ngoài ra động lực học còn thiết lập các mối liên hệ giữa các đặc trưng động học và động lực học, tạo nên một sự hoàn chỉnh về nghiên cứu chuyển động nói chung. 2.1.1.1. Lực Để mang một vật từ vị trí này sang vị trí khác ta cần phải đặt vào nó lực và chính lực này đã làm thay đổi trạng thái của vật (nó thu được một gia tốc). Tuy nhiên cũng có khi tương tác của hai vật không gây ra chuyển động mà chỉ tạo ra sự thay đổi hình dạng chẳng hạn khi ta nén một lò xo, hay một miếng cao su, một cục đất sét, v.v Độ dài (có đơn vị đo bằng mét) đặc trưng cho kích thước của vật theo một phương nào đó; một vật cán nặng hay nhẹ ta dùng khái niệm khối lượng để đặc trưng và có đơn vị là kg.v.v. Hoàn toàn tương tự như vậy để đặc trưng cho sự tương tác và để đo tương tác người ta dùng khái niệm lực và có đơn vị đo là N (Newton) “Lực là đại lượng đặc trưng cho sự tương tác giữa các vật mà kết quả truyền cho chúng một gia tốc hay làm cho chúng biến dạng”. Để xác định một lực thì cần biết lực đó tác dụng theo phương chiều nào và có độ lớn bằng bao nhiêu, điểm đặt của nó ở đâu. Do vậy lực là một đại lượng vector, thường ký hiệu bằng chữ F . Người ta lấy đơn vị lực là Newton (N) để kỷ niệm nhà bác học Newton đã có công lớn trong việc xây dựng khái niệm lực và tìm ra các định luật động lực học tổng quát nhất. 2.1.1.2. Khối lượng Khối lượng của một vật (hay một hệ vật) là đại lượng đặc trưng cho lượng vật chất chứa trong vật (hay một hệ vật). Khối lượng thường được ký hiệu bằng chữ m và đơn vị trong hệ SI là kg. 2.1.1.3. Động lực học Động lực học là một phần của cơ học nghiên cứu chuyển động có xét đến nguyên nhân đã gây ra chuyển động đó. Động lực học chất điểm là phần động lực nghiên cứu chất điểm. Nguyên nhân của chuyển động như ta đã nói ở trên là do lực tác dụng 2.1.2. BA ĐỊNH LUẬT CỦA NEWTON (Isaac Newton 1642 - 1727 người Anh) 2.1.2.1. Định luật I 25
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Một vật nằm yên trên bàn là do sự cán bằng của hai lực tác dụng lên vật đó là trọng lượng của vật và phản lực của mặt bàn. Tưởng tượng có một mặt bàn nằm ngang dài vô hạn, một viên bi làn trên mặt bàn nhờ ta cho nó một vận tốc ban đầu. Nếu bằng cách nào đó mà ma sát giữa viên bi và mặt bàn nhỏ không đáng kể thì viên bi sẽ chuyển động thẳng đều mãi mãi. Trong trường hợp này phản lực của bàn vẫn cán bằng với trọng lượng của viên bi trong quá trình chuyển động. Qua đó ta thấy rằng giữa trạng thái đứng yên và chuyển động thẳng đều có một điểm chung là tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng không. Nhiều thí nghiệm cơ học đã chứng tỏ rằng hai trạng thái này hoàn toàn tương đương nhau. Newton đã tổng kết thành định luật: Nếu tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng không thì chất điểm giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều n r ∑ F k = 0 ⇒ a = 0 k =1 Định luật I Newton nói lên một tính vốn có của vật chất là nếu không có lực tác dụng thì vật đứng yên thì đứng yên mãi mãi, vật chuyển động thẳng đều thì chuyển động thẳng đều mãi mãi, tính đó goị là tính quán tính. Do tính quán tính mà muốn thay đổi một trạng thái thì phải có lực tác dụng vì vật chất luôn luôn có xu hướng bảo toàn trạng thái đang có của nó. Do vậy ta có nhận xét như sau về vật chất: - Vật chất có tính quán tính. - Khối lượng càng lớn thì quán tính càng lớn. - Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều về mặt lực là tương đương nhau và đều có tính tương đối. 2.1.2.2. Định luật II Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng cùng một vật khối lượng m: r r - Nếu lực tác dụng f1 thì vật thu được gia tốc a1 r r - Nếu lực tác dụng f 2 thì vật thu được gia tốc a2 - r r - Nếu lực tác dụng f n thì vật thu được gia tốc an r r r f1 f 2 f n nhưng ta luôn luôn có: r = r = .v.v.v = r = m . a1 a2 an r f Hay ta tổng quát lên: = m . ar Các thí nghiệm và tính toán chứng tỏ rằng m chính là khối lượng của vật, là đại lượng mà ta đã nói ở trên. Như Vậy: 26
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành r f r a = hay f = mar (II-1). m Gia tốc mà vật thu được tỷ lệ thuận với lực tác dụng và tỷ lệ nghịch với khối lượng của vật. Điều cần lưu ý ở đây là trên thực tế một vật thường có nhiều lực tác dụng r lên nên f phải hiểu là hợp lực. Bởi vậy (II-1) có thể viết tổng quát hơn là: r n f = ∑ F k = ma (II-2). k =1 n r Dễ dàng thấy rằng nếu ∑ F k = 0 ⇒ a = 0 có nghĩa là v =const hay v = 0 k =1 vật đứng yên hay chuyển động thẳng đầu, điều này hoàn toàn phù hợp với nội dung của định luật I Newton. 2.1.2.3. Định luật III Định luật Khi chất điểm m1 tác dụng lên chất m m r 1 2 điểm m2 một lực F12 thì chất điểm m2 cũng tác r r F F r 21 12 dụng lên chất điểm m1 một lực F21 : hai lực này tồn tại đồng thời, cùng phương, ngươc chiều và cùng cường độ. Hình II-1 Nghĩa là ta đã ký hiệu: r F12 là lực m1 tác dụng lên m2 r F21 là lực m2 tác dụng lên m1 thì theo địnhluật III: F12 = F21 , r r F12 F21 . Theo toán học F12 = −F21 hay F12 + F21 = 0 (II-3). Nhận xét - Lực và phản lực là hai lực tác dụng đồng thời. - Lực và phản lực là một cặp lực trực đối. - Lực và phản lực đặt vào hai vật nên không cán bằng. 2.1.3. LỰC TÁC DỤNG LÊN CHẤT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG TRÒN Trong chương trình vật lý lớp 10 ta biết rằng một vật có khối lượng m chuyển động tròn đều thì có gia tốc hướng tâm là: v 2 an = (II-4). R (R : bán kính đường tròn, a n hướng theo bán kính vào tâm). Nên theo định luật II Newton thì lực hướng tâm tác dụng lên vật làm cho nó chuyển động tròn là: 2 mv ω Fn = R 27 v 0 a n R HìnhII-2 ∆
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành ( Fn hướng theo bán kính vào tâm) Trong trường hợp vật chuyển động tròn không đều thì gia tốc a gồm hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến với quỹ đạo nên lực tác dụng cũng gồm hai phần tương ứng. a = an + at F = m a = m an + m at (II-5). hay F = Fn + Ft 2.2. BA ĐỊNH LUẬT KEPLER, ĐỊNH LUẬT HẤP DẪN VŨ TRỤ 2.2.1. CÁC ĐỊNH LUẬT KEPLER (người Aó) Tycho De Brahe và Kepler đã quan sát bầu trời và ghi chép lại rất tỷ mỷ. Chẳng hạn để xác định quỹ đạo của Hoả Tinh, Kepler đã làm bảy mươi phép tính trên hai ngàn trang giấy lớn còn Tycho De Brahe đã quan trắc trong 20 năm. Kiên trì quan điểm của Copernicus, dựa vào các tính toán, quan trắc của Tycho De Brahe, Kepler đã tìm ra ba định luật: 2.2.1.1. Định luật I (1609) Các Hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo những quỹ đạo ellipse mà Mặt Trời ở một trong hai tiêu điểm của ellipse đó. Biểu thức toán học của định luật I: p r = (II-6). P 1+ ecosϕ H r Với: p = F1P là thông số của ellipse V ϕ góc tính đến cận điểm (C) C 2 2 F2 OF a − b F1 e= 1 = là tâm sai. OC a Hình II-3 (trong đó: a và b bán trục lớn và bán trục bé của ellipse). Ngoài ra: cận điểm rc = a.(1 - e), viễn điểm rv = a (1 + e). 2.2.1.2. Định luật II (1609) Bán kính vector từ Mặt trời tới mỗi hành tinh quét được những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. 28
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Biểu thức toán học của định luật này H2 2 dϕ ∆t là: r = C = hằng số (II-7). dt F2 O dϕ dS Vậy nên: r 2 = =σ = hằng số F1 H 2dt dt H3 ∆t H4 (σ gọi là vector vận tốc diện tích). 2.2.1.3. Định luật III (1619) Hình II-4 Bình phương chu kỳ chuyển động của Hành tinh quanh Mặt trời tỉ lệ với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo ellipse. Nghĩa là: T2 = ha3 (h là hệ số tỷ lệ). Từ đó ta có hệ quả cho 2 Hành tinh: 2 3 2 2 ⎪⎧T1 = ha1 T T ⎨ => 1 = 2 = h (hằng số) (II-8). 2 3 a 3 a 3 ⎩⎪T2 = ha2 1 2 4π 2 trong đó: h = G(M + m) 2.2.2. ĐỊNH LUẬT HẤP DẪN VŨ TRỤ (Newton) 2.2.2.1. Định luật Hai phần tử vật chất bất kì hút nhau một lực tỷ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. 2.2.2.2. Biểu thức F F m m 21 r 12 F = F = F ≈ 1 2 12 21 r 2 Như vậy đưa vào hệ số tỷ lệ G ta viết được biểu Hình II-5 thức định luật như sau: m m F = F = F = G 1 2 (II-9). 12 21 r 2 (Trong đó người ta xác định được hệ số tỷ lệ G bằng 6,67.10-11Nm2/kg2). Dạng vector của định luật này: r r r F, r r m1m2 r12 F12 = G 2 , r12 r12 r r m1m2 r21 Hình II-6 F21 = G 2 r21 r21 Với ký hiệu như trên hình II-6 ta viết gọn dạng vector của định luật như sau: r m m r m m r F = − G 1 2 = − G 1 2 . (II-10). r 2 r r 3 2.2.2.2. Chú ý 29
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành - Lực hấp dẫn là lực hút nên âm. - Hai lực đặt vào hai vật xuất hiên đồng thời. - Chúng là một cặp vector trực đối 2.2.3. CÁC VÍ Dụ 2.2.3.1. Ví du 1 Hai người nặng 50kg và 60kg ngồi cách nhau 1m. Hãy tìm lực hút giữa họ. Lực hút giưã hai người này là: 50.60 F = 6,67.10 −11. ≈ 2.10 −7 N . 12 2.2.3.2. Ví dụ 2 Tìm lực hút giữa Trái đất lên một người nặng 50kg biết khối lượng Trái đất là 6.1024kg, khoảng cách từ Trái đất đến người đó đúng bằng bán kính Trái đất: Người này chịu một lực hút của Trái đất là: 6.1024.50 F = 6,67.10−11. ≈ 500N (637.104 ) 2 2.2.3.3. Ví dụ 3 Tìm lực hút giữa Mặt trời và Trái đất biết khối lượng Mặt trời lớn hơn khối lượng Trái đất là 330000lần. Khối lượng Trái đất là 6.1024kg, khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời 15.107km. Lực hút giữa hai vật này là: 6.1024.33.104.6.1024 F = 6,67.10−11. ≈ 35.1021 N (15.1010 ) 2 30
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 2.3. ĐỘNG LỰƠNG VÀ XUNG LƯỢNG CỦA MỘT CHẤT ĐIỂM 2.3.1. ĐỘNG LƯỢNG 2.3.1.1. Động lượng Dễ dàng thấy rằng để đặc trương cho sự truyền chuyển động (truyền lực) từ vật này sang vật khác, thì phải dùng cả hai đại lượng là vận tốc và khối lượng. Vì thiếu một trong hai đại lượng này thì hoặc là không hoặc sự truyền tương tác rất yếu. Đương nhiên khối lượng càng lớn và vận tốc càng lớn thì sự truyền tương tác càng mạnh (một thí dụ rất dễ thấy là đoàn tàu lửa có khả năng truyền tương tác rất lớn vì khối lượng và vận tốc của nó đều lớn, một cục bông có khả năng truyền chuyển động yếu vì khối lượng của nó rất bé nhưng chiếc tàu lửa đứng yên lại không có khả năng truyền chuyển động cho vật nào cả). Từ lập luận trên ta có thể tìm biểu thức động lượng từ định luật 2 Newton: r dvr d(mvr) F = mar = m = (a). dt dt Ta đặt mvr = pr (b) thì pr là động lượng của chất điểm theo logic mà ta đã r nói ở trên, ngoài ra mvr càng lớn thì F cũng càng lớn, sự truyền chuyển động càng lớn và như vậy động lượng có đơn vị là kgm/s2. Tóm lại động lương: pr = mvr (II-11a). Động lượng là đại lượng đặc trưng cho sự truyền chuyển động từ vật này lên vật khác, có trị số bằng tích số giữa khối lượng của chất điểm và vận tốc của nó. 2.3.1.2. Các định lí về động lượng r dpr Thay (b) vào (a) ta có: F = (II-11b). dt Độ biến thiên của động lượng của chất điểm trong một đơn vị thời gian bằng tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm. dpr Mặt khác nếu tổng hợp lực bằng không thì: = 0 , dt dẫn đến: pr = const . r r r Hay: p1 = p2 = p3 = Nếu tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng không thì động lượng của điểm là một đại lượng bảo toàn. 2.3.2. XUNG LƯỢNG 31
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành r P t r dpr r 2 2 r Từ biểu thức F = , ta suy ra: dpr = Fdt ⇒ dpr = Fdt . dt ∫∫r P1 t1 t t 2 r 2 r pr − pr = Fdt ⇒ ∆pr = Fdt Hay 2 1 ∫ ∫ (II-12). t1 t1 t 2 r r Trong đó ∫ Fdt được gọi là xung lượng của lực F tác dụng lên chất điểm, t1 nó chính là độ biến thiên động lượng 2.3.3. NHẬN XÉT - Động lượng hay xung lượng đều có chung một ý nghĩa là: chúng đều là những đại lượng đặc trưng cho sự truyền chuyển động (hay truyền tương tác) từ vật này lên vật khác. - Xung lượng chính là độ biến thiên động lượng nên chúng có cùng đơn vị. - Điều khác nhau chủ yếu giữa động lượng và xung lượng là ở chổ: nói đến xung lượng là phải nói đến lực và thời gian tác dụng của lực. - Một vật chuyển động đều thì có động lượng mà không có xung lượng và đây là điều thể hiện sự khác nhau cơ bản giữa chúng - Nếu lực tác dụng không đổi thì: t r 2 r r ∆pr = F ∫ dt = F∆t ⇒ ∆pr = F∆t (II-13). t1 2.3.4. BÀI TOÁN SÚNG GIẬT r r M m v LÙI V Tìm vận tốc dật lùi của súng, nếu súng có khối lượng là M (kể cả khối lượng của xe), đạn x có khối lượng là m, viên đạn bay ra khỏi nòng súng với vận tốc là Hình II-7 r v . Để giải bài toán này ta chọn chiều dương là chiều bay của viên đạn chẳng hạn, vận tốc giật lùi của viên đạn t r 2 r V dt ≈ 0 pr − pr = Fdt ≈ 0 là . Do thời gian nổ bé nên có thể xem , dẫn đến 2 1 ∫ t1 r r động lượng bảo toàn: ptr = ps với pr , pr tr s là động lượng ngay trước và sau khi bắn. r r Hay: (M + m)0 = MV + mvr . Chuyển sang biểu thức độ lớn: 32
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 0 = − MV + mv . Tóm lại vận tốc dật lùi của súng: mv V = − . M Chẳng hạn M = 400kg, v = 400m/s, m = 1kg thì vận tốc giật lùi ngay sau khi bắn của súng là: V = -1.400/400 = -1m/s 2.3.5. MOMENT ĐỘNG LƯỢNG CỦA CHẤT r ĐIỂM L Để đặc trưng cho khả năng bảo toàn chuyển động quay quanh một điểm (hay một trục) nào đó của chất điểm người ta đưa ra khái niệm moment động r lượng với định nghĩa như sau: L = rΛmvr . mvr Như vậy: r r - Phương của L vuông góc với mặt phẳng d α chứa r và mvr . r H - Chiều của L hợp với r và mvr thành một tam diện thuận. Hình II-8 r - Độ lớn của L bằng L = rmv sinα = mvd (với r sinα = d ) 33
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 2.4. TÍNH TƯƠNG ĐỐI CỦA CHUYỂN ĐỘNG, NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILEO 2.4.1. ĐỊNH LÝ CỘNG VẬN TỐC VÀ CỘNG GIA TỐC 2.4.1.1. Định lí cộng vận tốc Ta hãy xét chất điểm M chuyển động bất kỳ trong hai hệ qui chiếu (O) và (O’), với các kí hiệu như sau: r là vector định vị của chất điểm trong hệ (O) r' là vector định vị của chất điểm trong hệ (O’) R là vector định vị của hệ (O’) so với hệ (O) Hệ (O) đứng yên, hệ (O’) chuyển động bấ kỳ. Hình vẽ cho ta thấy: r = r ’ + R z z’ Đạo hàm hai vế theo thời gian ta có dr dr' dR (O (O’) = + hay v = v' + V (II-14). ) dt dt dt r' M Trong đó: 0 x dr R ’ r ’ v = là vận tốc của chất điểm trong hệ y dt ’ (O) gọi là vận tốc tuyệt đối, x dr' 0 v ’ = là vận tốc của chất điểm trong dt y Hình II-9 hệ (O’) gọi là vận tốc tương đối, dR Còn V = là vận tốc của hệ (O’) đối với hệ (O) gọi là vận tốc kéo theo. dt Vận tốc của chất điểm trong chuyển động tuyệt đối bằng vận tốc trong chuyển động tương đối cộng với vận tốc kéo theo. 2.4.1.2. Định lí cộng gia tốc Mặt khác tiếp tục đạo hàm hai vế của (II-14) một lần nữa theo thời gian ta dv dv' dV có: = + . dt dt dt Hay: a = a ’ + A (II-15). Một cách tương tự ta có a là gia tốc tuyệt đối; a ’ là gia tốc tương đối và A là gia tốc kéo theo. Gia tốc trong chuyển động tuyệt đối bằng tốc gia tốc trong chuyển động tương đối cộng với vận tốc gia tốc kéo theo. 2.4.2. NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILEO, CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI GALILEO (Galileo Galilei 1564 - 1642 người Ý) 2.4.2.1. Hệ quy chiếu quán tính 34
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Hệ quy chiếu gắn với vật đứng yên hay chuyển động thẳng đều là hệ quy chiếu quán tính Định nghĩa trên cho ta hệ quả là: mọi hệ quy chiếu đứng yên hay chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính đều là hệ quy chiếu quán tính Hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc là hệ quy chiếu không quán tính 2.4.2.2. Nguyên lý tương đối Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các hiện tượng cơ học xảy ra trong các hệ quy chiếu quán tính đều giống nhau. Thử tưởng tượng vào một ngày lặng gió (mặt nước không có sóng), một tàu thủy chạy thẳng đều (một đoạn ngắn để có thể xem là chuyển động thẳng) thì mọi hiện tượng xảy ra ở trên đó giống như trên mặt đất đứng yên. Một vật rơi thẳng đứng, một vật nằm yên ở trên bàn vẫn giữ nguyên trạng thái giống như khi con tàu đứng yên. Từ những thực nghiệm đó Galileo đã tổng quát thành nguyên lý về tính tương đương của các hệ quy chiếu quán tính: Mọi hệ qui chiếu quán tính đều tương đương nhau. 2.4.2.3. Các phép biến đổi Galileo Bây giờ ta quay lại với phương trình: dr dr' = + V , dt dt hay d r = d r ’ + V dt, thực hiện tích phân hai vế theo thời gian ta có: r t r dr = Vdt + dr' ⇒ r = r ’ + V t ∫0 ∫0 ∫0 Nếu giả thiết hệ (O’) chuyển động dọc theo trục ox của hệ (O) với vận tốc không đổi V thì dạng thành phần của phương trình trên là (V=Vx, Vy = 0,Vz = 0): ⎧x = x'+ Vt x' = x - Vt ⎪ ⎪y = y' va y' = y ⎨ (II-16). ⎪z = z' z' = z; t' = t ⎩⎪t'= t Các công thức (II-16) gọi là các phép biến đổi Galileo, cho phép ta chuyển các độ tọa độ từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác và ngược lại. Như vậy trong cơ học cổ điển thời gian trôi đi như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. 35
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Bài tập chương II. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM VÀ HỆ CHẤT ĐIỂM N F -T Bài tập mẫu 1: ms T Một bản gỗ A được đặt trên một mặt P1 bàn nằm ngang. Ta dùng một sợt dây, một B đầu buộc vào A cho vòng qua một ròng rọc và đầu kia của sợi dây buộc vào một bản gỗ B khác (Hình II-10). P2 1. Xác định gia tốc của hệ. Biết khối H.II-10 lượng của A và B lần lượt là m1 = 200 gam và m2 = 300 gam. Hệ số ma sát giữa bản A và mặt bàn nằm ngang là k = 0,25. 2. Tính lực căng của dây. Giải: Dùng hệ SI. m1 = 200g = 0,2kg Cho: Tìm: m2 = 300g = 0,3kg a = ? k = 0,25 T = ? 1) Dưới tác dụng của trọng lực P2 hệ hai vật A, B sẽ chuyển động theo các r r r r r phương trình: FMS + N + P1 + T = m1a r r r P2 + (−T ) = m2 a Chiếu các phương trình này lên các phương: chuyển động và phương vuông góc với chuyển động ta được T − FMS = m1a N − m1 g = m1 0 = 0 m2 g − T = m2 a FMS = kN (đã có từ lớp 10 THPT). 36
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Giải hệ 4 phương trình trên ta được: m − km a = ( 2 1 )g m1 + m2 (0,3− 0,25×0,2) m thay số: a = .9,8 = 4,9 0,2 + 0,3 s 2 1. Ta hãy tính lực căng T của dây nhờ vào các phương trình trên, chẳng hạn phương trình : T - Fms = m1a Suy ra: T = m1a + Fms Thay a và Fms bằng giá trị của nó ta có: m m (1+ k)g T = 1 2 m1 + m2 0,2.0,3(1+ 0,25).9,8 Thay số: T = =1,47 N , T = 1,47N 0,2 + 0,3 Bài tập mẫu 2: Một vật có khối lượng m, được đặt N' trên một mặt phẳng nghiêng với mặt nằm F ngang một góc 40. Hỏi: ms 1) Giới hạn của hệ số ma sát là bao nhiêu để vật có thể trượt trên mặt phẳng nghiêng. α N 2) Nếu hệ số ma sát là 0,03 thì gia P tốc của vật là bao nhiêu? 3) Trong điều kiện đó vật trượt trên H.II-11 mặt phẳng nghiêng 100m phải mất thời gian bao lâu? 4) Vận tốc của cuối quãng đường 100 m đó? Giải: Dùng hệ SI. 0 α = 4 k0 =? Cho: k = 0,03 Tìm: a = ? 37
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành s = 100m t = ?, v = ? 1) Muốn vật trượt được trên mặt phẳng nghiêng, ta phải có điều kiện: Pt ≥ fms .Trong đó Pt = Psinα là thành phần chiếu của trọng lượng P trên phương chuyển động fms = kN = kPcosα là lực ma sát.Thay vào (1) ta có: Psinα ≥ kPcosα Hay: k ≤ tgα 0 Vậy: k0 = tgα = tg4 = 0,07 2) Nếu k = 0,03, tính a. Vì k < k0 nên vật trượt xuống phía dưới theo phương dốc. Ngoại lực tác dụng lên vật bằng: F P N , f = + + ms, N , là phản lực pháp tuyến, chiếu đẳng thức trên phương dốc, ta được lực gây ra gia tốc của vật bằng: Psinα = fms Áp dụng định luật II Newton: P sinα − f mg sinα − kmg cosα a = ms = = (sinα − k cosα)g m m Thay số vào: a = (sin40 - 0,03 cos40). 9,81 m = 0,39 m a = 0,39 m s 2 s 2 s 2 3) Vật chuyển động nhanh dần đều không có vận tốc ban đầu. 1 Phương trình chuyển động là: s = at 2 2 2s Suy ra: t = , với s = 100m a thì: t = 2.100 = 22,7s t = 22,7s 0,39 38
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 4) Vận tốc cuối đoạn đường: v = at = 0,39 m x 22,7s = 8,85 m v = 8,85 m s 2 s s Bài tập mẫu 3: Một xe có khối lượng 15 tấn chuyển động chậm dần với gia tốc bằng - m km 0,49 và với vận tốc ban đầu v0 = 27 . Hỏi: s 2 h 1) Lực hãm chuyển động? 2) Sau bao lâu xe dừng lại? Giải: Dùng hệ SI M = 15 tấn = 15.000kg Cho: a = 0,49m/s2 F = ? Tìm: v0 = 27 km/h = 7,5m/s ∆t = ? 1) Theo định luật Newton 2, lực gây ra gia tốc a (lực hãm) bằng: F = ma = 15.000 kg (-0,49)m/s2 = - 7.350N 2) Giả sử sau thời gian ∆t lực hãm làm cho xe dừng lại (v = 0) thì theo định lý “Xung lượng bằng biến thiên động lượng” F∆t = mv - mv0 = - mv0 mv −15.000×7,5 Vậy: ∆t = 0 = ∆t =13,3s F −7.350 Bài tập mẫu 4: Trên đường ray có một xe khối lượng 10 tấn. Trên xe có một khẩu pháo khối lượng 0,5 tấn (không kể đạn). Mỗi viên đạn có khối lượng 1kg. Khi bắn có vận tốc ban đầu (so với đất) bằng 500m/s. Coi noöng pháo nằm ngang và chĩa dọc theo đường ray. Tính tốc độ của xe sau khi bắn trong hai trường hợp: 39
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 1) Ban đầu xe chuyển động với vận tốc 18km/h và đạn bắn theo chiều xe chạy. 2) Ban đầu xe chuyển động với vận tốc 18km/h và đạn bắn ngược chiều xe chạy. Coi ma sát không đáng kể. Giải: Dùng hệ SI M (xe) = 10 tấn = 10.000kg M’ (súng) = 0,5 tấn = 500kg Cho: M (đạn) = 1kg Tìm: v2 = ? v (đạn) = 500m/s V1 (xe) = 18km/h = 5m/s Lực tác dụng lên hệ (xe, sung, đạn ) triệt tiêu, vậy hệ tuân theo định luật bảo toàn động lượng. Động lượng của hệ trước khi bắn P1 = (M + M’+ m)V1 Động lượng của hệ sau khi bắn OP2 = (M + M’) V2 + mv Ta có: P1 = P2 (M + M’+ m)V1 = (M + M’) V2 + mv (M + M '+ m)V − mv V = 1 2 M + M ' 1) Nếu đạn bắn theo chiều xe chạy thì: (M + M '+ m)V − mv V = 1 2 m + M ' 40
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành (10.000+500+1)5−1×500 = = 4,95 m/s V2 = 4,95 m/s 10.000+500 2) Nếu đạn bắn ngược chiều xe chạy. (V1 và v ngược chiều) thì: (M + M '+ m)V −(− mv) v = 1 2 m + M ' 10.000+ 500+1)5+1500 = = 5,05 m/s V2 = 5,05 m/s 10.000 + 500 Bài tập tự giải: 1. Một thanh gỗ bị kẹp giữa hai mặt phẳng đứng, thanh gỗ có khối lượng 5kg, lực nén thẳng góc lên mỗi mặt của thanh gỗ bằng 150N. Hỏi muốn nâng hay hạ thanh gỗ theo phương thẳng đứng thì cần phải tác dụng lên thanh gỗ những lực bằng bao nhiêu? Biết hệ số ma sát giữa các mặt tiếp xúc là 0,2. Hướng dẫn và Đáp số: Dùng khái niệm lực ma sát khô. Cần chú ý đến chiều lực ma sát. Ta có: Fnâng = 109N; Fhạ = 10,95N. 2. Một xe có khối lượng 20 tấn chuyển động chậm dần dưới tác dụng của một lực hãm có giá trị bằng 6.120N. Vận tốc ban đầu của xe bằng: 54km/h. Tính: a) Gia tốc của xe. b) Sau bao lâu xe dừng lại. c) Từ lúc bắt đầu chuyển động chậm dần tới lúc dừng hẳn, xe đã chạy được quãng đường bao nhiêu? Đáp số: a) a = - 0,3m/s2, b) t = 50s, c) s = 375m 3. Một vật có khối lượng 5kg. Được đặt trên một mặt phẳng nghiêng với mặt nằm ngang một góc 300. Hệ số ma sát của vật trên mặt phẳng nằm nghiêng bằng 0,2. Tính gia tốc của vật? Đáp số: a = 3,24m/s 4. Một sợi dây được vắt qua một ròng rọc hai đầu buộc hai quả nặng có khối lượng lần lượt bằng m1 = 3kg, m2 = 2kg. Tính gia tốc của hệ và lực căng của dây? Giả sử ma sát không đáng kể, dây không giãn và không bỏ qua khối lượng. 41
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành m − m Đáp số: a = 1 2 g = 1,96m/s2 m1 + m2 2m m m2 T = 1 2 g = 23,5N m + m2 m1 5. Một bản gỗ A được đặt trên một mặt phẳng nghiêng với mặt nằm ngang với một góc α = 300. Dùng một sợi dây, một H.II-12 đầu buộc vào A, vòng qua một ròng rọc, đầu kia treo trên A một bản gỗ B khác. Cho khối lượng của A bằng m1 = 1kg, của B bằng m2 = 1,5kg. Hệ số ma sát giữa A và mặt phẳng  nghiêng là 0,2. ma sát ở chỗ ròng rọc không đáng kể. B Tính gia tốc của hệ AB và lực căng của dây. H.II-13 (m − m sinα − km cosα)g Đáp số: a = 2 1 1 =3,24m / s 2 m1 + m2 T = m2(g - a) = 9,94 N 6. Một người di chuyển một chiếc xe với vận tốc không thay đổi. Lần đầu người ấy kéo xe về phía trước, lần sau người ấy đẩy xe về phía sau. Trong cả hai trường hợp càng xe hợp với phương nằm ngang một gócα . Hỏi trong trường hợp nào người tốn lực hơn? Biết rằng trọng lượng F F của xe là P, hệ số ma sát của bánh xe với 2 mặt đất là k. α Hướng dẫn và Đáp số: F F ms 1 - Trường hợp kéo xe về phía trước, P muốn xe chuyển động ít nhất phải: H.II-14 F1 = fms hay Fcosα = k(P - Fsinα ), kP suy ra: F = cosα + k sinα 42
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành kP - Trường hợp đẩy xe về phía sau: F = cosα − k sinα Vậy “đẩy xe về phía sau tốn lực hơn kéo xe về phía trước”. 7. Một toa xe có khối lượng 20 tấn chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 54km/h. Xác định lực trung bình tác dụng lên xe nếu toa xe dừng lại sau thời gian: a) 1 phút 40 giây b) 10 giây Đáp số: a) 3.000N, b) 30.000N 8. Một phân tử có khối lượng m = 4,65. 10-23gam, chuyển động với vận tốc 60m/s va chạm đàn hồi với thành bình dưới góc nghiêng α = 600. Tính xung lượng của lực tác dụng lên thành bình trong sự va chạm đó? Đáp số: 2,8.10-24N.s 9. Một viên đạn có khối lượng 10 gam chuyển động với vận tốc v = 200m/s xuyên thẳng vào một tấm gỗ và chui sâu vào trong tấm gỗ một đoạn l = 4cm. Hãy xác định lực cản trung bình của gỗ và thời gian viên đạn chuyển động trong tấm gỗ. Hướng dẫn: Dùng phương trình chuyển động chậm dần đều và định luật 2 Niutơn. Đáp số: F= 5.000N; ∆t = 4.10-4s. 10. Một vật có khối lượng 1kg chuyển động ngang với vận tốc 1m/s va chạm không đàn hồi vào vật thứ 2 khối lượng 0,5kg. Tính vận tốc của mỗi vật sau va chạm nếu: a) Vật thứ hai ban đầu đứng yên. b) Vật thứ hai ban đầu chuyển động cùng chiều với vật thứ nhất với vận tốc 0,5m/s. c) Vật thứ hai ban đầu chuyển động ngược chiều với vật thứ nhất với vận tốc 0,5m/s. Đáp số: a) 0,67m/s b) 0,83m/s c) 0,50m/s 43
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 11. Một ôtô trọng lượng P = 16.000N chạy trên một chiếc cầu cong lên phía trên với vận tốc không đổi v = 36km/h. Bán kính cong của cầu R = 83m. Tính lực mà ôtô tác dụng lên cầu khi nó ở vị trí cao nhất. Đáp số: F = 14.035N 12. Một chiếc thang máy treo ở đầu phía dây cáp. Khi lên thoạt tiên dây cáp chuyển động có gia tốc, sau đó chuyển động đều và trước khi dừng lại thì chuyển động chậm dần đều. Lực căng của dây thay đổi thế nào? Hướng dẫn và Đáp số: Khi chuyển động nhanh dần đều T > P khi chuyển động đều P = T khi chuyển động chậm đều T < P. 13. Trong ống lõm hai đầu bịt kín chứa một ít nước, một quả cầu nhôm, một quả cầu gỗ. Nếu làm ống quay quanh trục thẳng đứng thì xảy ra hiện tượng gì? Đáp số: - Bi gỗ đi xa trục g - Bi nhôm gần trục ä 14. Một chiếc xe có khối lượng 20kg, có thể nhäm chuyển động không ma sát trên một con đường nằm ngang. Trên xe đặt một hòn đá khối lượng 4 kg . Hệ số ma sát giữa hòn đá và xe là k = 0,2. Lần đầu người ta đặt lên hòn đá một lực là 6N. Lần thứ H.II-15 hai đặt F2 = 20N. Hãy xác định lực ma sát giữa hòn đá và xe, gia tốc của hòn đá và xe trong cả hai trường hợp. Đáp số: Trường hợp đầu: fms = 5N. 2 axe = ađá = 0,25m/s Trường hợp sau: fms = 3,92N 2 ađá = 3,03m/s 2 axe = 0,39m/s 44
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành TÀI LIỆU THAM KHẢO 7. Nguyển Hữu Mình. CƠ HỌC. NXBGD năm 1998. 8. Nguyển Xuân Chi và các tác giả. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1, 2, NXBĐH và THCN năm 1998. 9. Lương Duyên Bình. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1,2, NXBGD1996. 10. Vũ Thanh Khiết và các tác giả. GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐẠI CƯƠNG. NXBGD năm 1977. 11. DAVID HALLIDAY (tập I - cơ học I) và các tác giả CƠ SỞ VẬT LÝ. NXBGD năm 1996. 12. DAVID HALLIDAY (tập II - cơ học II) và các tác giả CƠ SỞ VT LÝ. NXBGD năm 1996. 45
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Chương III. ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM, ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 3.1. SƠ LƯỢC VỀ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ 3.1.1. HỆ CHẤT ĐIỂM, NỘI LỰC, NGOẠI LỰC, PHƯƠNG TRÌNH 3.1.1.1. Các định nghĩa Hệ chất điểm là một hệ gồm hai chất điểm trở lên. Những lực tác dụng qua lại giữa các chất điểm trong hệ gọi là nội lực. Những lực từ bên ngoài tác dụng vào hệ gọi là ngoại lực. Hệ chỉ có nội lực tác dụng gọi là hệ kín (hay hệ cô lập). Hệ có tác dụng của ngoại lực gọi là hệ không kín (hay hệ hở) 3.1.1.2. Phương trình chuyển động của hệ Giả sử ta có hệ gồm n chất điểm: m1, m2, ,mn. Tác dụng lên chất điểm mk nào đó gồm hai lực là f k nội lực và Fk ngoại lực. Hệ gồm n chất điểm nên phương trình chuyển động là: m1 a1 = f 1 + F1 m2 a 2 = f 2 + F2 (III-1). mn a n = f n + Fn . (Ta có tất cả là n phương trình). Cộng từng vế các phương trình này ta được phương trình chuyển động của hệ (phương trình động lực học): n n n ∑mk ak =∑∑∑f k + Fk (III-2). k=1 k==1 ∀1≠k k 1 (Tác dụng lên mk gồm tất cả những chất điểm khác mk (nghĩa là gồm n-1 chất điểm) nên: f k = ∑f lk. Ngoài ra hệ gồm n chất điểm nên số hạng thứ nhất bên ∀l ≠k phải có hai dấu∑ ) 3.1.2. ĐỘNG LƯỢNG, XUNG LƯỢNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM Ta xét một hệ gồm n chất điểm: m1, m2, mn thì phương trình chuyển động của mk như đã biết là: r dpk mk a k = ∑ f lk + F lk = . ∀l≠k dt n r n n n r dpk r dpk Xét cả hệ ta có: ∑ =∑∑f lk + ∑ Fk = ∑ . k =1 dt kk=≠11∀=l k =1 k dt n n r dpk d r Trong đó: ∑∑f lk = 0; ∑ = p kk=≠11∀=l k dt dt n n r r với p = ∑ pk là động lượng tổng cộng của cả hệ. Ngoài ra ∑ F k = F là tổng k =1 k =1 ngoại lực tác dụng lên hệ, vậy ta có: 44
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành dpr = F (III-3). dt Độ biến thiên động lượng của hệ trong một đơn vị thời gian thì bằng tổng của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Mặt khác từ (III-3) ta lại có: ∫ dpr = ∫ Fdt hay ∆pr = ∫ Fdt (III-4). Trong đó ∫ Fdt gọi là xung lượng của hệ (nó bằng độ biến thiên động lượng) dpr Hơn nữa nếu tổng hợp lực bằng không thì: = 0 , dẫn đến: dt pr = const . r r r Hay: p1 = p2 = p3 = Nếu tổng hợp lực tác dụng lên hệ chất điểm bằng không thì động lượng của hệ chất điểm là một đại lượng bảo toàn. 3.1.3. KHỐI TÂM 3.1.3.1. Khái niệm và định nghĩa Để đi đến khái niệm khối tâm trước hết ta xét một hệ gồm 2 chất điểm m1, m2, lần lượt đặt tại 2 điểm M1, M2, trong trọng trường. Trọng lượng của r r r r chúng lần lượt là p1 = m1 g, p2 = m2 g . Tổng hợp lực của chúng có điểm đặt tại điểm G nằm trên trên đoạn M1M2 đồng thời thoả mãn: GM m g m 1 = 2 = 2 , M 2G m1 g m1 hay m1 GM 1 = m2 M 2G . m1 GM 1 − m2 M 2G = 0 m1 GM 1 + m2 GM 2 = 0 Ta có thể biểu diễn dạng vector như sau: m1 GM 1 + m2 GM 2 = 0 Tổng quát cho hệ n chất điểm: m1 GM 1 + m2 GM 2 + + mn GM n = 0 , n hay viết gọn hơn ∑ mk GM k = 0 . k = 1 G thoả mãn điều kiện trên là khối tâm của hệ, theo đó ta có định nghĩa khối tâm như sau: khối tâm là điểm đặc trưng cho hệ mà chuyển động của nó đặc trưng cho chuyển động của cả hệ. Trong trường hợp gốc tọa độ ta đặt tại một điểm O nào đó thì G được xác định so với O như sau: 45
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành OG = OM k + M k G . n n n n Dẫn đến: ∑∑mk OG = mk OM k + ∑mk M k G = ∑ mk OM k k ==11k k = 1k =1 (vì số hạng thứ hai bằng không theo chứng minh trên). Suy ra: n n r ∑ mk OM k ∑ mk rk k =1 k =1 OG = n = n . ∑ mk ∑ mk k =1 k=1 r r r r r Nếu ta đặt OG = R = Xi + Yj + Zk thì các tọa độ của khối tâm có công thức tính như sau: n n n ∑ mk xk ∑mk yk ∑ mk zk k =1 k=1 k=1 X = n , Y = n , Z = n . (III-5). ∑ mk ∑mk ∑ mk k=1 k=1 k =1 r r r r (Trong đó rk = xk i + yk j + zk k là vector định vị vẽ từ gốc O xác định vị trí của mk ) 3.1.3.2. Vận tốc của khối tâm n n n m r m vr pr r d r d ∑ k k ∑ k k ∑ k pr V = (R) = ( k=1 ) = k=1 = k =1 = (III-6). dt dt n n n n ∑ mk ∑ mk ∑ mk ∑ mk k=1 k=1 k=1 k=1 n r r ( P = ∑ pk là động lượng tổng cộng của cả hệ). k =1 3.1.3.3. Phương trình chuyển động của khối tâm Từ phương trình (III-6) ta có phương trình chuyển động của khối tâm: n r n r n r dV dvk r F = ∑mk = ∑∑mk = Fk (III-7). k=1 dt k==11dt k Kết quả này chứng tỏ việc xét chuyển động của một hệ chất điểm đưa về việc xét chuyển động của khối tâm. 46
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 3.2. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 3.2.1. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN 3.2.1.1. Các định nghĩa Vật rắn tuyệt đối là vật rắn mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó luôn luôn không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động . Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của vật rắn luôn luôn song song với phương ban đầu trong suốt quá trình chuyển động. (các định nghĩa này đã có trong phần động học). Chuyển động của một xe trên một đường thẳng, tàu hỏa trên đoạn đường ray thẳng .v.v. là chuyển động tịnh V r tiến điển hình. ar, F 3.2.1.2. Phương trình động lực học Giả sử có một vật rắn khối lượng m đang chuyển động tịnh tiến dưới tác dụng của một lực F nào đó. Ta tưởng tượng chia ∆mk vật rắn này thành những phần nhỏ (đủ để xem chúng như là những chất điểm): ∆ m1, ∆ m2, , ∆ mn. Tổng nội lực f k và tổng Hình III-1 ngoại lực Fk tác dụng lên mk nên phương trình động lực học của chúng là: ⎧∆m a = f + F ⎪ 1 1 1 1 ⎪∆m a = f + F ⎨ 2 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩∆mn an = f n + Fn Cộng từng vế các phương trình này ta có: n n n ∑∑∑∆mk ak = f k + Fk . k ===111k k Mà vật rắn chuyển động tịnh tiến mọi điểm đều có cùng một gia tốc a: a1 = a2 = an . n n Nên: ∑∑∆mk ak = ( ∆mk )a = ma k ==11k Người ta chứng minh được tổng nội lực tác dụng lên hệ bằng không: n ∑ f k = 0 . k =1 n Còn ∑ Fk = F là tổng của các ngoại lực tác dụng lên hệ. k =1 Tóm lại ta có: ma = F (III-8). Kết luận 47
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Chuyển động tịnh tiến của vật rắn được xem như chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của cả vật rắn đặt tại khối tâm của nó. 3.2.2. CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 3.2.2.1. Định nghĩa Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định là chuyển động mà mọi điểm của vật rắn (trừ các điểm trên trục quay) đều có quỹ đạo tròn có trục là trục quay. Ta có nhận xét là: vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định thì cả vật rắn có cùng vận tốc góc còn các điểm càng xa trục quay thì vận tốc dài càng lớn. 3.2.2.2. Phương trình cơ bản của chuyển động quay quanh một trục cố định, thành phần của lực gây ra chuyển động quay Ta xét một vật rắn bất kỳ, khối lượng m quay quanh trục ∆ với vận tốc góc ωr và gia tốc r góc β . F1 Fk Một chất điểm ∆ mk của vật rắn chịu tác dụng của một ngoại lực Fk nên quay quanh Ft trục ∆ . Phân tích Fk thành hai thành phần F 1 0 rk song song với trục quay và F2 vuông góc với F2 trục quay: Fk = F1+ F2. Fn Dễ dàng thấy rằng chỉ có F2 mới gây quay (còn ∆ Hình III-2 F1 chỉ có tác dụng làm vật trượt theo trục quay là chuyển động tịnh tiến mà ta đã xét) Lại phân tích F2 thành hai thành phần: Ftk tiếp tuyến với quỹ đạo Fnk pháp tuyến với quỹ đạo: Ta có: F2 = F tk + Fnk . Ta cũng nhận thấy rằng lực gây ra chuyển động quay là Ftk. Ftk càng lớn và rk càng lớn thì khả năng quay càng mạnh. Tích rkFtk đặc trưng cho chuyển động quay của ∆ mk và gọi là moment quay của lực và ký hiệu là Mk. Vậy: Mk = rk.Ftk = ∆ mk .atk.rk (với atk = rk.β ). Xét cho toàn bộ vật rắn (gồm n chất điểm ) ta có: n n n 2 ∑ rk Ftk = ∑ M k = ∑ ∆mk rk .β , k =1 k =1 k =1 n 2 hay viếït gọn lại là: ∑ ∆mk rk .β = M . k =1 48
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành n 2 Đặt: ∑ ∆mk rk = I (moment quán tính đối với trục ∆ ) (III-9). k =1 Dạng vector của moment lực: M = Iβ (III-10). (III-10) là phương trình cơ bản của vật rắn quay quanh một trục cố định. 49
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 3.3. MOMENT QUÁN TÍNH, MOMENT ĐỘNG LƯỢNG, NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN 3.3.1. MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN n Công thức: m r 2 = I chỉ dùng trong ∑ k k r 1 k=1 trường hợp vật rắn có khối lượng phân bố ∆m1 gián đoạn như trên hình III-3 (bỏ qua các khối ∆m1 lượng của các thanh). Hầu hết vật rắn có khối lượng phân bố liên tục như trên hình III-4 nên moment quán ∆ tính phải tính theo biểu thức: I( = ∫∫∫ r 2dm (III-11). V Mỗi vật rắn có moment quán tính đối với một trục quay nhất định là một giá trị xác 2 r n định (đơn vị của I là kgm ). ∆m Ví dụ 1 n Tìm moment quán tính của một thanh đồng Hình III-3 chất dài l khối lượng m đối với trục quay là trung trực của thanh, khối lượng phân bố đều V trên thanh (Hình III-5) r Với cách đặt hệ tọa độ như hình vẽ tại tọa độ x lấy một đoạn dx thì khối lượng của m dx là: dm = dx . l dm Moment quán tính của dm đối với trục quay m là: dI = x 2 dm = x 2 dx . ∆ 0 l Hình III-4 Moment quán tính của cả thanh: l m 2 ml 2 I = x 2 dx = 0 ∫ l l 12 − 2 (chỉ số 0 ký hiệu moment quán tính đối l l − 0 x dx với trục đi qua khối tâm và vuông góc 2 2 với thanh). ∆ Ví dụ 2 Tìm moment quán tính của một Hình III-5 vòng dây đồng chất nặng m bán kính R đối với trục của nó. O R 50 dl Hình III-6
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Với cách đặt hệ tọa độ như hình vẽî ta lấy một đoạn dl khối lượng dm, m m dễ dàng tính được dm : dm = dl. = Rdϕ. 2πR 2πR Moment quán tính của dm đối với trục quay là: m dI = R 2 dm = R 3 dϕ . 0 2πR Moment quán tính của cả đĩa: mR 2 2π I = dϕ = mR 2 0 ∫ 2π 0 3.3.2. MỘT SỐ BIỂU THỨC TÍNH MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC QUAY ĐI QUA KHỐI TÂM Sau đây là một số giá trị moment quán tính thường gặp mà trục quay đi qua khối tâm của vật: - Một thanh đồng chất có mật độ đều, dài l, khối lượng m đối với trục ml 2 quay là đường trung trực của thanh: I = 0 12 - Một hình trụ đặc, một đĩa đặc khối lượng m, bán kính R đối với trục mR 2 của nó là: I = 0 2 - Một vòng dây, một hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính R đối với 2 trục của nó: I0 = mR Một hình cầu đặc đồng chất bán kính R, khối lượng m, trục bất kỳ đi - 2mR 2 quay đi qua tâm: I 0 = 5 3.3.3. ĐỊNH LÝ HUYGENS - STENER Các giá trị moment quán tính nói trên như đã nói đếu có trục quay đi qua khối tâm của vật. Để tính moment quán tính đối với một trục quay bất kỳ ta dùng định lý Huygens- Stener. Ở đây chỉ nêu định lý và công thức mà sẽ d không chứng minh. Trong đó ta ký hiệu: m là khối lượng của vật; ∆ 0 và ∆ là hai trục quay song song đi qua khối tâm và đi qua một vị trí bất kỳ, hai trục quay (0 cách nhau một đoạn b và song song với nhau; moment quán tính tương ứng đối với hai trục này là I0 và I. Công thức định lý Huygens-Stener như sau: 2 Hình III-7 I = I 0 + md (III-12). Moment quán tính đối với một trục quay bất kỳ song song với trục quay đi qua khối tâm của vật rắn bằng moment quán tính đối với trục quay đi qua khối tâm cộng với tích số giữa khối lượng của vật và bình phương khoảng cách giữa hai trục quay. 3.3.4. MOMENT ĐỘNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN 51
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 3.3.4.1. Khái niệm Để đặc trưng cho khả năng bảo toàn trạng thái quay của các vật người ta cũng đưa ra khái niệm moment động lượng của vật rắn đối với một trục hay r một điểm và cũng có ký hiệu là vector L như moment động lượng của chất điểm. Từ công thức trên M = Iβ ta có thể khai triển dωr d(Iωr) M = I = (III-13). dt dt (vì đối với một vật rắn nhất định và một trục quay nhất định thì I là một hằng số). Dễ dàng thấy rằng Iωr biến thiên càng lớn thì M càng lớn, Iωr đặc trưng cho sự bảo toàn quay và được gọi là moment động lượng của vật rắn quay quanh một trục. r L = mωr (III-14). 3.3.4.2. Các định lý Thay (III-13) vào (III-14) ta có: r dL M = (III-15). dt Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của moment động lượng của vật rắn đối với một trục bằng tổng các moment lực tác dụng lên vật đối với trục đó. r dL Mặt khác nếu: M = 0 thì = 0, dt r đẫn đến L = const . r r r Hay: L1 = L2 = L3 = r r r hoặc I1ω1 = I 2ω2 = I 3ω3 = (III-16). Nếu tổng các moment lực tác dụng lên vật rắn đối với một trục bằng không thì moment động lượng đối với một trục đó được bảo toàn. 3.3.5. ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY Bất kỳ một sự chuyển vị trí nào của vật rắn từ nơi này sang nơi khác cũng phân tích được thành hai chuyển động: một chuyển động tịnh tiến của khối tâm và các phép quay quanh khối tâm. Một vật chuyển động bất kỳ ngoài động năng của chuyển động tịnh tiến của khối tâm còn có động năng quay của nó quanh khối tâm: ω 2 W = I (III-17). dq 2 Do vậy cơ năng toàn phần của vật rắn là : W = Wt +Wđtt+Wđq Trong đó: Wt =mgh là thế năng 2 Wđtt =mv /2 là động năng tịnh tiến của khối tâm 2 Wđq =Iω /2 là động năng quay quanh tâm 52
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Bài tập chương III. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Bài tập mẫu 1: Tác dụng vào một bánh xe (coi như hình trụ rỗng) bán kính r = 0,5m, khối lượng m =50kg một lực tiếp tuyến Ft =100N. Hãy tìm: a) Gia tốc của bánh xe. b) Sau một thời gian bao lâu (kể từ lúc có lực tác dụng) bánh xe có tần số n = 100 vòng/phút. Giả thiết lúc đầu xe đứng yên. Giải: r = 0,5m M = 50kg β = ? Cho: Ft = 100N Tìm: (t = ? 10 ω = 2 π n/60 = π rad/s 3 a) Tìm β Μ Dùng phương trình cơ bản: β = Ι Với M = rFt = 0,5.100 = 50Nm I = mr2 = 50.(0,5)2 = 12,5kgm2 Thay vào (1) có: M 50 β = = = 4 rad/ s2 β = 4 rad/ s2 I 12,5 b) Tìm (t : Bánh xe quay nhanh dần đều (vì M = const). Do đó sự liên hệ giữa vận tốc góc và thời gian được biểu diễn theo công thức: ω = β t (Vì lúc đầu bánh xe đứng yên ω 0 = 0) ω 10π t = = = 2,61s t = 2,61s β 3 x 4 53
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Bài tập mẫu 2: Một bánh đà hình đĩa hình tròn có khối lượng 500 kg, bán kính 20cm đang quay với tần số n = 480 vòng/ phút. Dưới tác dụng của lực ma sát bánh đà dừng lại Hãy tính moment của lực ma sát trong hai trường hợp: a) Bánh đà dừng lại sau thời gian 50s. b) Bánh đà dừng lại sau khi đã quay thêm được 200 vòng. Giải: m = 500kg r = 20cm = 0,2m Cho: ω = 2π n/60 = 50,2 rad/s Tìm: M1 = ? ∆ t = 50s, N = 200 vòng M2 =? 1) Áp dụng định lý Moment động: M.∆t = I.ω 2 - Iω 1 ω 2 = 0 (dừng lại), nên: I .ω M = - 1 ∆t Bánh đà là đĩa tròn nên: 2 1 2 mr I = mr do đó : M = - .ω 1 2 2∆t 500(0,2)2 M = - . 50,2 = -10Nm. M = -10Nm. 2x50 Dấu trừ có nghĩa là moment hãm. 2) Nếu bánh đà còn tiếp tục quay thêm N = 200 vòng. Áp dụng định lý I.ω 2 I .ω 2 động năng quay: A = 2 − 1 2 2 Khi dừng lại thì: ω 2 = 0, nên: I.ω2 I.ω2 A = - 1 = - 2 2 Mặt khác A = Mθ I .ω 2 1 Nên Mθ = - mà I = mr2 2 2 mr2 Mθ = - ω 2 4 54
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành mr 2 M = ω 2 4θ 500.(0,2)2 .(50,2)2 M = - 4.2π.200 8,03 M = - ≈ - 1Nm 8 M = -1Nm Dấu (-) có nghĩa là moment hãm. Bài tập mẫu 3: Một ròng rọc bán kính r = 50 cm được gắn vào một bánh đà có cùng trục quay. Moment quán tính của cả T’ - 2 2 hệ I = 10 kgm . Trên ròng rọc có quấn một sợi dây một A + đầu treo một quả cân có khối lượng m = 0,5kg. Hãy tính: T a) Gia tốc rơi tự do của quả cân. b) Sức căng T của dây. c) Vận tốc của quả cân khi nó rơi được 0,5m. Giải: Hình III-8 r = 5cm = 0,05m I = 10- 2 kgm2 A = ? Cho: m = 0,5kg Tìm: T= ? s = 0,05m V = ? a) Tính a: Trong trường hợp này hệ chuyển động gồm có 2 phần: Một phần quay và một phần chuyển động định tiến. Để áp dụng phương trình cơ bản ta tưởng tượng tách hệ ra làm 2 phần: - Một phần là vật chỉ tham gia chuyển động định tiến. - Một phần bánh đà chỉ tham gia chuyển động quay. Giả sử cắt dây ở một điểm A, muốn hệ giữ nguyên trạng thái động lực như cũ phải tác dụng vào các đoạn dây ở A những lực căng T. Ròng rọc và bánh đà dưới tác dụng của lực căng T của sợi dây sẽ chuyển động quay. Theo phương trình cơ bản của chuyển động quay ta có: Tr = I β (1) - Quả cân chuyển động định tiến dưới tác dụng của trọng lực P và lực căng T’. Theo định luật II Newton ta có: 55
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành P - T’ = ma (2) Trong đó T’ = T a = β r P = mg Từ (1) và (2) ta suy ra được: Ia mg - = m r2 mg 0,5.9,8 a = = = 1,08m/s2 I 10 − 2 m+ 2 0,5+ r 25.10 − 4 a = 1,08m/s2 b) Tính sức căng T: Từ (1) ta suy ra: Iβ Ia 10 − 2.1,08 T = = = = 4,32 N r r2 25.10 − 4 T = 4,32 N c) Tính vận tốc: Khi quả cân rơi được một đoạn s thì vận tốc được tính theo công thức: 1 s = at2 (3) 2 v = at (4) Từ (3) và (4) ta suy ra: v = 2as v = 2.1,08.0,5 = 1,03m/s v = 1,03m/s Bài tập tự giải: 1. Một trục quay hình trụ đặc khối lượng Mt = 10kg có thể quay xung quanh một trục nằm ngang. Trên trục có cuốn một sợi dây. Một đầu tự do của dây có treo một quả nặng có khối lượng m = 2kg. Hãy: a). Tìm gia tốc chuyển động của quả nặng nếu để nó tự chuyển động. Bỏ qua sức cản của không khí. b. Tính lực căng của dây. 56
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Hướng dẫn: Tưởng tượng phân tích chuyển động cuả hệ 2 phần: phần chuyển động quay và phần chuyển động tịnh tiến rồi áp dụng công thức cơ bản: Đáp số: a) a = 2,8m/s2 b) T = 14N 2. Đặt bánh xe có bán kính r = 0,5 m và có moment quán tính I = 20kgm2, một moment lực không đổi M = 50Nm. Hãy: a. Tìm gia tốc góc của bánh xe. b. Vận tốc của một điểm trên vành bánh xe lúc t = 10giây (cho biết lúc đầu bánh xe đứng yên) Đáp số: a) β = 2,5 rad/ s2 b) v = 12,5 m/s 3. Một đĩa đặc đồng chất nặng 20N lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang với vận tốc v = 4m/s. Tính động năng của đĩa Hướng dẫn: Động năng của hệ bằng động năng động năng chuyển động tịnh tiến cộng với Động năng chuyển động quay Đáp số: Wđ = 24,5 J 4. Trên một hình trụ rỗng người ta quấn một sợi dây, đầu dây tự do gắn trên trần nhà. Trụ chuyển động xuống dưới, dưới tác dụng của trọng lực. Hãy: a) Tính gia tốc rơi của trụ b) Tính lực căng của sợi dây Cho biết khối lượng của trụ m = 1kg. Bỏ qua khối lượng và bề dày của sợi dây. Đáp số: a = g/2 = 4,9 m/s2, P T = = 4,9 N 2 5. Hãy xác định động năng toàn phần khi lăn không trượt với vận tốc v trên mặt phẳng của những vật sau: a) Một hình trụ đặc khối lượng m b) Một quả cầu khối lượng m c) Một xe khối lượng m1 (không kể bánh). Có 4 bánh xe dưới dạng những đĩa đặc khối lượng mỗi bánh xe là m2. 3 2 Đáp số: a) Wđ= mv 4 57
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 7 2 b) Wđ = mv 10 v 2 c) Wđ = (m1 + 6m2) 2 6. Hai vật khối lượng m1 và m2 (m1> m2) nối với nhau bằng một sợi dây luồn qua một ròng rọc. Ròng rọc có moment quán tính I và bán kính r. Khi m1,, m2 chuyển động thì ròng rọc quay quanh trục của nó. Hãy: a) Xác định gia tốc góc của ròng rọc. b) Tìm sức căng T ở các chỗ nối m1, m2 Hướng dẫn: Tách hệ thành từng phần chỉ tham gia chuyển động tịnh tiến và chỉ tham gia chuyển động quay. Rồi áp dụng các phương trình cơ bản tìm được β , T1, T2 (T − T ) r Đáp số: β = 1 2 I ⎛ ⎞ ⎜ I ⎟ 2m2 + 2 T = m g ⎜ r ⎟ 1 1 ⎜ I ⎟ ⎜ m + m + ⎟ ⎜ 1 2 2 ⎟ ⎝ r ⎠ ⎛ I ⎞ 2m + ⎜ 2 2 ⎟ T = m g ⎜ r ⎟ 2 2 ⎜ I ⎟ ⎜ m1 + m 2 + ⎟ ⎝ r 2 ⎠ 7. Một người đứng ở giữa ghế Giucovski cầm trong tay hai quả tạ mỗi quả khối lượng m = 10kg. Khoảng cách từ quả tạ đến trục quay là 0,75m. ghế quay với vận tốc ω1 = 1 vòng/s. Hỏi: công của người đã sinh ra và vận tốc góc của ghế thay đổi thế nào nếu người đó co tay lại để khoảng cách từ mỗi quả tạ đến trục chỉ còn 0,2m. Cho 2 moment quán tính của người và ghế đối với trục quay là I0 = 2,5Kg.m . Đáp số: ω2 = 4.1 vòng/s A = 920J 58
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyển Hữu Mình. CƠ HỌC. NXBGD năm 1998. 2. Nguyển Xuân Chi và các tác giả. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1, 2, NXBĐH và THCN năm 1998. 3. Lương Duyên Bình. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1,2, NXBGD1996. 4. Vũ Thanh Khiết và các tác giả. GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐẠI CƯƠNG. NXBGD năm 1977. 5. DAVID HALLIDAY (tập I - cơ học I) và các tác giả CƠ SỞ VẬT LÝ. NXBGD năm 1996. 6. DAVID HALLIDAY (tập II - cơ học II) và các tác giả CƠ SỞ VT LÝ. NXBGD năm 1996. 59
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Chương IV. CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG 4.1. CÔNG, CÔNG SUẤT 4.1.1. CÔNG 4.1.1.1. Định nghĩa Một vật có năng lượng thì có khả năng sinh công, và vật sinh công càng nhiều thì chứng tỏ nó có năng lượng càng lớn, dr B công cơ học giống với công trong đời sống ở α chỗ là muốn thực hiện công thì phải tiêu tốn A một năng lượng. Tuy nhiên về cơ bản thì F chúng khác nhau. Cụ thể là trong cơ học công Hình IV-1 được định nghĩa như sau: Công cơ học nguyên tố dA của lực F làm dịch chuyển một chất điểm r được một đoạn d r là: dA = Fdr = F.drcosα (IV-1). r (α là góc hợp bởi giữa F và dr ) (Hay dA = Fxdx + Fydy + Fzdz Trong đó Fx, Fy, Fz là thành phần của lực F trên các trục tọa độ làm dịch chuyển những đoạn tương ứng là dx, dy, dz, công của lực bằng tổng công của các lực thành phần trên các trục toạ độ. Công toàn phần trên một đoạn đường AB nào đó: B A = ∫ Fdr (IV-2). A B F dx + F dy + F dz ( hay A= ∫ x y z ) A 4.1.1.2. Nhận xét - Nói đến công cơ học là phải có dịch chuyển - và đây cũng là điểm khác của nó với công trong đời sống - Nếu α = 0 thì dA có giá trị lớn nhất (dA = dAmax). Công của lực có giá trị lớn nhất khi lực tác dụng cùng phương chiều với phương dich chuyển. π - Nếu α = -> dA = 0 nghĩa là những lực tác dụng vuông góc với 2 phương chuyển dời thì không sinh công. - Nếu α = π thì dA < 0. Nghĩa là công của lực cản thì âm. - Nếu lực tác dụng không đổi B r A = ∫ Fd s = F.sr (IV-3). A Công thức này chúng ta cũng đã quen thuộc trong chương trình phổ thông trung học. 4.1.2. CÔNG SUẤT 60
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Như trên ta đã biết tất cả các lực đều có khả năng sinh công, các lực khác nhau thì nói chung khả năng sinh công cũng khác nhau. Để đặc trưng cho khả năng sinh công của lực này nhiều hay ít hơn lực kia người ta đưa ra khái niệm công suất với định nghĩa: Công suất là công của lực thực hiện được trong một đơn vị thời gian. dA P = , dt Trong đó dA là công của lực thực hiện được trong thời gian dt. r Fd s mà dA = Fdsr . Nên: P = = Fv dt Tóm lại P = F.v = Fv cosα (IV-4). α là góc giữa lực và vận tốc Hay: P = Fxdx + Fydy + Fzdz (công suất của lực bằng tổng công suất của các lực thành phần trên các trục toạ độ) 61
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 4.2. ĐỘNG NĂNG, ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG 4.2.1. ĐỘNG NĂNG 4.2.1.1. Định nghĩa Mọi vật chuyển động thì có khả năng sinh công, chứng tỏ nó có năng lượng. Năng lượng mà vật có ở dạng chuyển động như vậy gọi là động năng. Động năng là năng lượng chuyển động của vật, nó là đại lượng đặc trưng cho khả năng sinh công khi vật chuyển động. Ta có nhận xét rằng vận tốc và khối lượng của vật càng lớn thì động năng cũng càng lớn. Điều này có thể kiểm nghiệm qua chuyển động của các vật thường gặp như xe cộ, tàu thuyền .v.v Như vậy thì động năng phải được tính qua khối lượng và vận tốc. Ngoài ra vì công là một dạng của năng lượng nên có thể tìm động năng bằng cách xuất phát từ biểu thức tính công: dvr dA = Fdr = m dsr . dt d s ⎛ mv 2 ⎞ mà = v nên dA = mvdv = d⎜ ⎟ (*). dt ⎝ 2 ⎠ Dễ dàng chứng minh được vr 2 = v 2 . mv 2 Đại lượng W = có thứ nguyên năng lượng và theo logic lập d 2 mv2 luận của chúng ta thì nó chính làì động năng của chất điểm, ngoài ra 2 càng lớn thì A cũng càng lớn, chúng có cùng đơn vị là đơn vị của năng lượng 1kgm2/s2 = 1J. Thay Wđ vào (*) dẫn đến: dA = dWđ A Wd 2 dA = dW Tích phân hai vế ∫ ∫ d 0 Wd1 2 2 mv2 mv1 Ta được: A = ∆W = = (IV-5). d 2 2 4.2.1.2. Định lý Độ biến thiên động năng của chất điểm bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng (Định lý này chỉ đúng khi thế năng không đổi hoặc bằng 0). 4.2.2. ĐỘNG NĂNG CỦA HỆ, ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG 4.2.2.1. Động năng của hệ chất điểm Ta cũng xét một hệ gồm n chất điểm: m1, m2, ,mn tác dụng lên mk của hệ gồm nội lực f k và ngoại lực Fk vậy công nguyên tố của lực thực hiện trên mk là: dAk = (f k + Fk )dr k = f k dr k + Fk dr k 62
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành ⎛ m v 2 ⎞ n ng = d⎜ k k ⎟ hay dAk = dA k +dA k ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ n ng (Trong đó dA k là công của nội lực f k còn dA k là công của ngoại lực Fk, ⎛ m v 2 ⎞ ⎜ k k ⎟ ⎜ ⎟ là động năng của mk ⎝ 2 ⎠ 4.2.2.2. Định lý động năng của hệ chất điểm Xét cho toàn hệ ta có: n ⎛ m v 2 ⎞ n m v 2 n n n d⎜ k k ⎟ d k k dA dA n dA ng ∑ ⎜ ⎟ = ∑ = ∑∑∑k = k + k k=1 ⎝ 2 ⎠ k=1 2 k===1 k 1 k 1 Tóm lại ta có: dA = dAn + dAng = dWđ (An, Ang, Wd tương ứng là công nội lực, công của ngoại lực, động năng của hệ) Dẫn đến: dA = dWđ A Wd 2 mv 2 mv 2 hay dA = dW = 2 − 1 . ∫ ∫ d 2 2 0 Wd1 Hay ta viết gọn: A = ∆ Wđ (IV-6). Độ biến thiên động năng của hệ bằng tổng công của các nội lực và các ngoại lực tác dụng lên hệ. 4.2.2.3. Hệ quả - Đối với vật rắn lý tưởng thì do các chất điểm không dịch chuyển tương đối với nhau nên công của nội lực bằng không. Vậy dA = dAng = dWd hay Ang = ∆ Wd tức là độ biến thiên động năng của vật rắn thì bằng công của ngoại lực tác dụng. - Nếu vật rắn tự do (không có ngoại lực tác dụng) thì F = 0 dẫn đến dA = 0 = dWd ⇒ Wd = const động năng là một đại lượng bảo toàn. 63
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 4.3. THẾ NĂNG, ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG 4.3.1. KHÁI NIỆM THẾ NĂNG Một chiếc quạt treo trên trần, một thác nước, v.v đều có một năng lượng ngay cả khi chúng không chuyển động, và dĩ nhiên là không phải động năng. Điều mà ta có nhận xét ở đây là tất cả chúng đều cách Trái đất một khoảng cách nào đó. Năng lượng như vậy gọi là thế năng, do vị trí tương đối giữa các vật hay nói là do lực hấp dẩn. Nói chung thì công của lực phụ thuộc vào dạng của đường cong dịch chuyển nhưng công của trường lực hấp dẩn thì chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối của đoạn đường đó. Những lực như vậy gọi là lực thế và trường lực gọi là trường thế. Tóm tại: - Thế năng là năng lượng của z m dr trường thế 1 - Trường thế là trường của r các lực xuyên tâm F - Trường các lực xuyên tâm r r r là trường của các lực có r1 2 đường tác dụng (hay vector r trường) luôn luôn đi qua 2 một điểm cho trước M x Trường xuyên tâm mà ta bắt y O gặp nhiều nhất là trường lực hấp dẫn, Hình IV-2 điện trường của điện tích điểm. 4.3.2. CÔNG CỦA TRƯỜNG THẾ, BIỂU THỨC THẾ NĂNG 4.3.2.1. Công của trường hấp dẫn, biểu thức thế năng Công của lực hấp dẫn của chất điểm M tác dụng lên m đặt cách M một đoạn r làm cho m dịch chuyển một đoạn dr là: r Mmrdr dA = Fdr = − G . r 3 Nên công của lực dịch chuyển m từ vị trí 1 sang vị trí 2 là: r2 rdr A = GMm ∫ r 3 r1 Ta chứng minh được rdr = rdr thực vậy: r r r r r r rdr = (xi + yj + zk )(dxi + dyj + dzk ) (x 2 + y 2 + z 2 ) rdr = xdx + ydy + zdz = d ) 2 r 2 2rdr rdr = d = = rdr 2 2 64
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành r2 rdr ⎛ 1 1 ⎞ Do đó: A = GMm = GMm⎜ − ⎟ (IV-7). ∫ 3 ⎜ ⎟ r r ⎝ r2 r1 ⎠ 1 Rõ ràng là công không phụ thuộc vào dạng đường đi. GMm Người ta đặt W1 = − thế năng ở vị trí 1 r1 GMm W2 = − thế năng ở vị trí 2. r2 Do đó A = W1 − W2 = − (W2 − W1 ) = − ∆W Ta có định lý thế năng: Công của lực của trường thế thế thì bằng độ giảm thế năng. Tóm lại thế năng của m trong trường hấp dẫn của M, đặt cách M một GMm đoạn r là: W = − (IV-8). r 4.3.2.2. Thế năng của một vật ở độ cao h so với mặt đất Xét một vật có khối lượng m được đặt cách mặt đất một đoạn h (tại vị trí A), tâm Trái đất là O, B ở trên mặt đất và trên đoạn thẳng OA. Vì thế năng có tính cộng được nên: WAO = WAB + WBO → WAB = WAO − WBO GMm GMm GMm WAB = − − (− ) = h A R + h R R(R + h) (Trong đó R là bán kính Trái đất, h là độ cao của vật R B h so với mặt đất, M là khối lượng Trái đất, m là khối lượng của một vật nào đó ta cần tính thế năng ). o 2 Nói chung R >> h nên R(R + h) ≈ R , dẫn O GMm đến: W = W = h , AB (h) R 2 GM Hình IV-3 đặt ≈ 9,8m / s 2 = g , R do đó: W(h) = mgh (IV-9). 4.3.2.3. Các vận tốc vũ trụ Ta sử dụng lại hình vẽ IV-3 ở trên với gốc toạ độ đặt tại mặt đất, gọi vận tốc tại mặt đất của tên lửa là v0 ở trên quỹ đạo là v. Nếu bỏ qua tất cả các lực cản thì cơ năng của tên lửa bảo toàn: W0 = W mv 2 GmM mv 2 GmM Hay: 0 + (− ) = + (− ) 2 R 2 R + h Trong đó m là khối lượng của tên lửa, M và R là khối lượng và bán kính của Trái đất. 65
Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành Mặt khác lực hấp dẫn gây ra chuyển động của tên lửa nên lực hấp dẫn là lực hướng tâm: GmM mv 2 GmM mv 2 = ⇒ = r 2 r 2r 2 mv 2 GmM GmM GmM Dẫn đến: 0 + (− ) = + (− ) . 2 R 2r r mv2 GmM GmM Hay: 0 = − ) 2 R 2r 2r − R v = GM 0 Rr Với các hành tinh bay gần Trái Đất thì quỹ đạo gần như một đường tròn. Nên ta có thể lấy gần đúng: r = R + h ≈ R 1 1 v = GM = GM 01 R R 1 nên: 6,67.10−11.6.1024 637.104 m km ≈ 7900 = 7,9 s s v01 gọi là vận tốc vũ trụ cấp một. Với vận tốc vũ trụ cấp hai v02 là vận tốc mà vệ tinh ở rất xa Trái đất, h khi đó: ≈ ∞ : R 2r / r − R / r 2 + 0 v02 = GM = GM Rr / r R km = 2.v = 2.7,9 ≈ 11,2 0 s km v ≈ 11,2 02 s 4.3.3. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG 4.3.3.1. Định luật bảo toàn cơ năng Khi nghiên cứu động năng của một chuyển động ta có định lý động năng trong trường hợp thế năng không thay đổi là: dA = dWd. Khi nghiên cứu thế năng của một chất điểm trong trường thế (trường lực bảo toàn) ta có định lý thế năng: dA = - dWt. Trừì từng vế cho nhau hai phương trình ta được: d(Wd + Wt) = 0. 66