Giáo trình Vật lý đại cương 1 - Chương 1 đến 3

Nội dung text: Giáo trình Vật lý đại cương 1 - Chương 1 đến 3

1. VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1 (CƠ - NHIỆT) PHẦN 1: CƠ HỌC Cơ học nghiên cứu dạng vận động cơ (chuyển động) tức là sự chuyển đổi vị trí của các vật vĩ mô. Cơ học gồm những phần sau: - Động học nghiên cứu những đặc trưng của chuyển động và những dạng chuyển động khác nhau. - Động lực học nghiên cứu mối liên hệ của chuyển động với sự tương tác giữa các vật. Tĩnh học là một phần của động lực học nghiên cứu trạng thái cân bằng của các vật. Phần cơ học được trình bày ở đây chủ yếu là những cơ sở của cơ học cổ điển của Newton; nội dung chủ yếu của nó bao gồm: các định luật cơ bản của động lực học; các định luật Newton và nguyên lý tương đối Galilê; ba định luật bảo toàn của cơ học (định luật bảo toàn động lượng, bảo toàn mômen động lượng và định luật bảo toàn năng lượng); hai dạng chuyển động cơ bản của vật rắn (chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay). Cuối cùng là phần giới thiệu về thuyết tương đối của Einstein. Bài mở đầu 1. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Vật lý học Vật lý học là một môn khoa học tự nhiên nghiên cứu các dạng vận động tổng quát nhất của thế giới vật chất, từ đó suy ra những tính chất tổng quát của thế giới vật chất, những kết luận tổng quát về cấu tạo và bản chất của các đối tượng vật chất; mục đích của Vật lý học là nghiên cứu những đặc trưng tổng quát về vận động và cấu tạo của vật chất. Vật lý học nghiên cứu tính chất, bản chất, cấu tạo và sự vận động của các vật thể đồng thời cũng nghiên cứu tính chất, bản chất và quá trình vận động của các trường Vật lý (trường điện từ, trường hấp dẫn, trường lượng tử, ). Vật lý học trước hết là một môn khoa học thực nghiệm. Gần đây trong quá trình phát triển của Vật lý học, bên cạnh phương pháp thực nghiệm truyền thống, còn nảy sinh phương pháp tiên đề của môn Vật lý Lý thuyết. Do mục đích là nghiên cứu các tính chất tổng quát nhất của thế giới vật chất, Vật lý học đứng về một khía cạnh nào đó có thể coi là cơ sở của nhiều môn khoa học tự nhiên khác. Những kết quả của Vật lý học đã được dùng làm cơ sở để giải thích cấu tạo nguyên tử, phân tử, liên kết hoá học trong hoá học. Vật lý học cũng cung cấp những cơ sở để khảo sát các quá trình của sự sống. Môn kỹ thuật điện được xây dựng trên cơ sở lý thuyết điện từ trường trong Vật lý. Vật lý học có tác dụng hết sức to lớn trong cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật hiện nay. Nhờ những thành tựu của ngành Vật lý, cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật 1
2. đã tiến những bước dài trong các lĩnh vực sau: - Khai thác và sử dụng những nguồn năng lượng mới đặc biệt là năng lượng hạt nhân. - Chế tạo và nghiên cứu tính chất các vật liệu mới (siêu dẫn nhiệt độ cao, vật liệu vô định hình, các vật liệu có kích thước nang ). - Tìm ra những quá trình công nghệ mới (công nghệ mạch tổ hợp, công nghệ nang ). - Cuộc cách mạng về tin học và sự xâm nhập của tin học vào các ngành khoa học kỹ thuật. - Mục đích việc học môn Vật lý trong các trường đại học kỹ thuật công nghiệp: Cho sinh viên những kiến thức cơ bản về Vật lý ở trình độ đại học. - Cho sinh viên những cơ sở để học và nghiên cứu các ngành kỹ thuật. - Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư duy logic, phương pháp nghiên cứu thực nghiệm, tác phong đối với người kỹ sư tương lai. - Góp phần xây dựng thế giới quan khoa học duy vật biện chứng. 2. Hệ đo lường quốc tế SI, Đơn vị và thứ nguyên của các đại lượng Vật lý + Đơn vị Vật lý. Đo một đại lượng Vật lý là chọn một đại lượng cùng loại làm chuẩn gọi là đơn vị rồi so sánh đại lượng phải đo với đơn vị đó, giá trị đo sẽ bằng tỷ số: đại lượng phải đo/đại lượng đơn vị. Muốn định nghĩa đơn vị của tất cả các đại lượng Vật lý người ta chỉ cần chọn trước một số đơn vị gọi là đơn vị cơ bản - các đơn vị khác suy ra được từ các đơn vị cơ bản gọi là đơn vị dẫn xuất. Tuỳ theo các đơn vị cơ bản chọn trước sẽ suy ra các đơn vị dẫn xuất khác nhau. Tập hợp các đơn vị cơ bản và đơn vị dẫn xuất tương ứng hợp thành một hệ đơn vị. Năm 1960 nhiều nước trên thế giới đã chọn hệ đơn vị thống nhất gọi là hệ SI. Hệ đơn vị đo lường hợp pháp của nước ta ban hành từ 1965 cũng dựa trên cơ sở Hệ đơn vị cơ bản: Hệ SI: - Độ dài mét (m) - Khối lượng kilogram (kg) - Thời gian giây (s) - Cường độ dòng điện ampe (A) - Độ sáng candela (Cơ) - Nhiệt độ (tuyệt đối) kelvin (K) - Lượng chất moi (moi) 2
3. Đơn vị phụ: - Góc phẳng Radian (rao) - Góc khối Steradian (SI) Một số đơn vị dẫn xuất: - Diện tích Mét vuông (m2) - Thể tích Mét khối (m3) - Chu kỳ Giây (s) - Tần số Héc (Hz) - Vận tốc Mét trên giây (m/s) - Gia tốc Mét trên giây bình phương (m/s2) - Lực Nguồn (N) - Năng lượng Jun (J) - Công suất Oát (W) - Áp suất Pascal (Pa) - Điện tích Cu lông (C) - Hiệu điện thế Vôn (V) - Cường độ điện trường Vôn/mét (V/m) - Điện dung Fara (F) - Cảm ứng từ Tesla (T) - Từ thông Vêbe (Wb) - Tự cảm Henry (H) + Thứ nguyên: Từ các đơn vị cơ bản, ta định nghĩa được các đơn vị dẫn suất. Việc định nghĩa này dựa vào một khái niệm gọi là thứ nguyên. Thứ nguyên của một đại lượng là quy luật nêu lên sự phụ thuộc của đơn vị đo đại lượng đó vào các đơn vị cơ bản. Để cho cách viết đơn giản ta ký hiệu: [độ dài] = L [thời gian] = T [khối lượng] = M [diện tích] = L2 [thể tích] = L3 [vận tốc] = LT-1 [gia tốc] = LT-2 [khối lượng riêng] = ML-3 3
4. [lực] = MLT-2 [công] = ML2T-2. Khi viết các biểu thức, các công thức Vật lý, ta cần chú ý các quy tắc sau: - Các số hạng của một tổng (đại số) phải có cùng thứ nguyên. - Hai vế của cùng một công thức, một phương trình Vật lý phải có cùng thứ nguyên. 4
5. CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 1.1 Chuyển động cơ học, Hệ quy chiếu 1.1.1. Định nghĩa chuyển động cơ học Chuyển động cơ học là sự chuyển dời vị trí trong không gian của các vật hay là sự chuyển động của một bộ phận này so với bộ phận khác của cùng một vật. Ví dụ: chuyển động của các thiên thể trên bầu trời, chuyển động của xe ô tô trên đường, chuyển động của con thoi trong một máy dệt, Nói một vật chuyển động hay đứng yên thì điều đó chỉ có tính chất tương đối vì điều này còn phụ thuộc vào việc người quan sát đứng ở vị trí nào. Thật vậy, nếu ta đứng bên đường quan sát thì ta thấy các cây đứng yên, nhưng nếu ta ngồi trên một cái ô tô đang chuyển động thì ta thấy cái cây chuyển động. Điều tương tự xảy ra khi chúng ta quan sát các ngôi sao trên bầu trời: ta thấy quả đất đứng yên còn mặt trời, mặt trăng và các ngôi sao đều quay quanh trái đất. Tóm lại, chuyển động có tính chất tương đối và phụ thuộc vào vị trí mà ở đó ta đứng quan sát chuyển động. Thực ra trong vũ trụ không có vật nào đứng yên một cách tuyệt đối, mọi vật đều chuyển động không ngừng. V vậy, khi nói rằng một vật chuyển động thì ta phải nói rõ là vật đó chuyển động so với vật nào mà ta quy ước là đứng yên. 1.1.2. Hệ quy chiếu Vật hay hệ vật mà ta quy ước là đứng yên khi nghiên cứu chuyển động của một vật khác được gọi là hệ quy chiếu. Với cùng một chuyển động nhưng trong các hệ quy chiếu khác nhau sẽ xảy ra khác nhau. Ví dụ: xét chuyển động của một điểm M nằm trên vành xe đang chạy, nếu chọn hệ quy chiếu là xe đạp thì ta thấy chuyển động của điểm đó là chuyển động tròn đều, còn nếu hệ quy chiếu là mặt đường thì điểm M sẽ tham gia một chuyển động phức tạp là tổng hợp của hai chuyển động: chuyển động tròn đối với xe và chuyển động thăng của xe đối với mặt đường. Khi xét một chuyển động cụ thể ta thường chọn hệ quy chiếu sao cho chuyển động được mô tả đơn giản nhất. Để mô tả các chuyển động trên mặt quả đất, ta thường chọn hệ quy chiếu là quá đất hoặc các vật gắn liền với quả đất. Ví dụ: khi nghiên cứu chuyển động của quả đạn pháo thì ta chọn hệ quy chiếu là mặt đất hay chính quả pháo. Khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh thì ở hệ quy chiếu quả đất ta thấy chuyển động của các hành tinh phức tạp đến nỗi trong nhiều thế kỷ các nhà thiên văn không thể nào tìm được các quy luật chuyển động của các hành tinh. Mãi đến đầu thế 5
6. kỷ 17, nhờ sử dụng hệ quy chiếu mặt trời (hệ quy chiếu Copemic), Kepler mới tìm được quy luật đúng đắn mô tả chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời. Cần chú ý rằng chuyển động tuy được mô tả khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau nhưng nếu biết chuyển động tương đối của các hệ quy chiếu đối với nhau thì có thể từ cách mô tả chuyển động trong hệ quy chiếu này có thể suy ra cách mô tả chuyển động trong hệ quy chiếu kia. Ví dụ: Khi biết chuyển động tròn đều của một điểm trên vành xe đạp và biết chuyển động của xe đạp đối với mặt đường ta có thể mô tả chuyển động của điểm trên vành xe đối với mặt đường. Vì chuyển động xảy ra trong không gian và theo thời gian nên để mô tả chuyển động trước tiên phải tìm cách định vị vật trong không gian. Muốn vật ta phải đưa thêm vào hệ quy chiếu một hệ toạ độ. Trong Vật lý người ta sử dụng nhiều hệ toạ độ khác nhau. Ở đây, sẽ giới thiệu hai hệ toạ độ hay dùng đó là hệ toạ độ Đề-các (Descartes) và hệ toạ cầu. a. Hệ tọa độ Descartes Hệ toạ độ Descartes gồm 3 trục Ox, Oy, Oz tương ứng vuông góc với nhau từng đôi một, chúng tạo thành một tam diện thuận. Điểm O gọi là gốc toạ độ. Vị trí của một điểm M bất kỳ được hoàn toàn xác định bởi bán kính vectơ r , hay bởi tập hợp của 3 số (x,y,z) trong đó r là hình chiếu của điểm mút M của vectơ lên các trục Ox, Oy, Oz tương ứng, được gọi là 3 toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ Descartes. b. Hệ tọa độ cầu Trong hệ toạ độ cầu, vị trí của một điểm M bất kỳ được xác định bởi 3 toạ độ r, θ, φ. Trong đó, r là độ dài bán kính vectơ, θ là góc giữa trục Oz và r , còn φ là góc trục Ox và tia hình chiếu của t trong mặt phẳng xOy. Biết ba toạ độ cầu của điểm M, ta có thể tính được toạ độ Descartes của điểm M theo công thức sau: 6
7. Trong hệ toạ độ cầu: 0 ≤ θ ≤ 1800 và 0 ≤ φ ≤ 3600. Các đường tròn ứng với cùng một giá trị của e gọi là Các đường vĩ tuyến, còn các đường tròn ứng với cùng một giá trị của φ gọi là các đường kinh tuyến. Hệ toạ độ cầu rất thuận tiện khi định vị các địa điểm trên quả đất. 1.1.3. Chất điểm và Vật rắn Để mô tả chuyển động của các hạt có kích thước, cần phải biết rõ chuyển động của mọi điểm của vật. Tuy nhiên, khi kích thước của vật là nhỏ so với khoảng cách dịch chuyển mà ta xét thì mọi điểm trên vật dịch chuyển gần như nhau, khi đó có thể mô tả chuyển động của vật như chuyển động của một điểm. Trong trường hợp này ta đã coi vật là một chất điểm, tức là một điểm hình học nhưng lại có khối lượng bằng khối lượng của vật (không có kích thước nhưng có khối lượng). Ví dụ: Khi xét chuyển động của quả đất quanh mặt trời ta xem chuyển động như là chuyển động của chất điểm. Trái lại, khi xét chuyển động tự quay quanh mình của quả đất thì ta không thể xem chuyển động đó là chuyển động của một chất điểm. Trong nhiều trường hợp nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển động của các vật trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Một tập hợp chất điểm được gọi là hệ chất điểm. Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng cách tương hỗ giữa các chất điểm của hệ không thay đổi. 1.1.4. Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của chất điểm a. Phương trình chuyển động Để xác định chuyển động của một chất điểm chúng ta cần biết vị trí của chất điểm tại những thời điểm khác nhau. Nói cách khác, chúng ta cần biết sự phụ thuộc theo thời gian của bán kính vectơ r của chất điểm: Phương trình này biểu diễn vị trí của chất điểm theo thời gian và gọi là phương trình chuyển động của chất điểm. Trong hệ toạ độ Descartes, phương trình chuyển động của chất điểm là một hệ 7
8. gồm 3 phương trình: Tương tự trong hệ toạ độ cầu, phương trình chuyển động của chất điểm là: Ví dụ: phương trình chuyển động của một chất điểm trong hệ toạ độ Descartes: b. Phương trình quỹ đạo Khi chuyển động, các vị trí của chất điểm ở các thời điểm khác nhau. vạch ra trong không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quỹ đạo của chuyển động. Vậy quỹ đạo của chất điểm chuyển động là đường tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của nó trong không gian, trong suốt quá trình chuyển động. Phương trình mô tả đường cong quỹ đạo gọi là phương trình quỹ đạo. Trong đó f là một hàm nào đó của các toạ độ x, y, z và C là một hằng số. Về nguyên tắc, nếu biết phương trình chuyển động (1.1) thì bằng cách khử tham số t ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các toạ độ x, y, z tức là tìm phương trình quỹ đạo. Vì vậy, đôi khi người ta còn gọi phương trình chuyền động (1.1) là phương trình quỹ đạo cho ở dạng tham số. Ví dụ: chuyển động của một chất điểm cho bởi phương trình Ta khử tham số thời gian t bằng cách sau: Ta suy ra quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn bán kính A và tâm nằm ở gốc toạ độ. Đường tròn này nằm trong mặt phẳng xOy. 1.2. Vận tốc 8
9. Vận tốc là một đại lượng đặc trưng cho phương, chiều, và sự nhanh chậm của chuyển động. 1.2.1. Khái niệm vận tốc Chuyển động của chất điểm trên quỹ đạo có thể lúc nhanh lúc chậm, do đó để có thể mô tả đầy đủ trạng thái nhanh hay chậm của chuyển động, người ta đưa vào một đại lượng vật lý gọi là vận tốc. Trong đời sống hằng ngày chúng ta thường gặp khái niệm vận tốc dưới dạng thuật ngữ tốc độ. Xét chuyển động của một chất điểm trên một đường cong (C): trên (C) ta chọn một gốc A và một chiều dương. Giả thiết tại thời điềm t, chất điểm ở vị trí M xác định bởi: AM = s Tại thời điểm t' = t + Δt chất điểm ở vị trí M' xác định bởi: AM = s' = s + Δs Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian Δt = t' - t sẽ là: MM'= s' - s = Δs Δs Quãng đường trung bình chất điểm đi được trong khoảng đơn vị thời gian Δt theo định nghĩa, gọi là vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian Δt, và được ký hiệu là: Vận tốc trung bình chỉ đặc trưng cho độ nhanh chậm trung bình của chuyển động chất điểm trên quãng đường MM'; trên quãng đường này độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm nói chung mỗi chỗ một khác nghĩa là tại mỗi thời điểm là khác nhau. Để đặc trưng cho độ nhanh chậm của chuyển động tại từng thời điểm, ta phải tính tỷ số Δs trong những khoảng thời gian vô cùng nhỏ. Theo định nghĩa: khi cho Δt→0 (t'→t), Δt Δs tỷ số dần tới một giới hạn, gọi là vận tốc tức thời (gọi tắt là vận tốc) của chất điểm Δt tại thời điểm t, và được ký hiệu là: Δs v = lim Δt→0 Δt Theo định nghĩa của đạo hàm ta có thể viết: 9
10. ds v = dt Vậy: Vận tốc của chất điểm có giá trị bằng đạo hàm quãng đường của chất điểm đối với thời gian. Vận tốc v cho bởi biểu thức (1.4) là một đại lượng đại số có: - Dấu xác định chiều chuyển động: v > 0, quỹ đạo chuyển động theo chiều dương của quỹ đạo; v < 0, chất điểm chuyển động theo chiều ngược lại. - Trị tuyệt đối của v xác định độ nhanh chậm của chuyển động tại từng thời điểm. Vậy: Vận tốc là đại lượng vật lý đặc trưng cho chiều và độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm. Để đặc trưng một cách đầy đủ về cả phương, chiều và độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm, người ta đưa ra một vectơ gọi là vectơ vận tốc. Theo định nghĩa, vectơ vận tốc tại một vị trí M là một vectơ vr có phương nằm trên tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, có chiều theo chiều chuyển động và có giá trị bằng giá trị tuyệt đối của v (hình 1.3). 1.2.2. Vectơ vận tốc trong hệ tọa độ Descartes Giả thiết tại thời điểm t, vị trí chất điểm xác định bởi bán kính vectơ (hình 1.4): OM = r Ở thời điểm t + dt, vị trí chất điểm được xác định bởi bán kính vectơ: ON = r + Δr Rõ ràng là khi dt vô cùng nhỏ thì vectơ r chuyển rời: MN = ON − MN = Δr = dr có độ dài dr = MN ≈ MN= ds r r Ngoài ra, dr và ds cùng chiều nên ta có: r r dr ≈ ds (1.6) nghĩa là biểu thức (1.5) có thể viết thành: Vậy: vectơ vận tốc bằng đạo hàm của bán kính vectơ đối với thời gian. r r r r Kết quả ba thành phần VX ,VY ,VZ của vectơ vận tốc v theo ba trục sẽ có độ dài đại số lần lượt bằng đạo hàm của ba thành phần tương ứng của bán kính vectơ vr theo ba trục nghĩa là: 10
11. Độ lớn của vận tốc sẽ được tính theo công thức: 1.3. Gia tốc Gia tốc là một đại lượng vật lý đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc. 1.3.1. Định nghĩa và biểu thức của vectơ gia tốc Trong quá trình chuyển động, vận tốc của chất điểm có thể thay đổi cả về độ lớn cũng như về phương và chiều. Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian, người ta đưa vào thêm một đại lượng vật lý mới, đó là gia tốc. Giả sử sau một khoảng thời gian Δt, vận tốc của chất điểm thay đổi một lượng là r r Δ v theo định nghĩa gia tốc trung bình, gia tốc trung bình atb từ trong khoảng thời gian Δt là: Ta thấy rằng muốn đặc trưng cho tđộ biến thiên của vectơ vận tốc ở từng thời Δvr điểm, ta phải xác định tỷ số trong khoảng thời gian Δt vô cùng nhỏ, nghĩa là cho Δtr Δt → 0, ta được biểu thức của gia tốc tức thời ar tại một điểm trên quỹ đạo: Vậy: Vectơ gia tốc bằng đạo hàm của vectơ vận tốc đối với thời gian. Theo (1.11) và (1.8) ta có thể tính ba toạ độ của vectơ gia tốc theo ba trục toạ độ Descartes: Độ lớn gia tốc được tính theo công thức: 1.3.2. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến 11
12. Vectơ gia tốc đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc. Sự biến thiên này thể hiện cả về phương, chiều và độ lớn. Trong phần này ta sẽ phân tích vectơ gia tốc ra làm hai thành phần, mỗi thành phần đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc riêng về một mặt nào đó. Để đơn giản, giả thiết chất điểm chuyển động trên một đường tròn tâm O, tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M, có vận tốc MA = v, tại thời điểm t ' = t + Δt chất điểm ở vị trí M' (MM ' = Δs), có vận tốc M ' A' = vr ' = vr + Δ vr . Theo định nghĩa, vectơ gia tốc của chất điểm tại thời điểm t (ứng với vị trí M) là: r vr a = lim hình (1.14) t'→t t r Muốn tìm Δ v , từ M ta vẽ vectơ MB = M ' A'. Ta có: r r r Δ v = v ' - v = M ' A' - MA = MB - MA r Hay v = AB Lấy trên phương của MA một đoạn MC = v', theo hình vẽ ta có: Δ vr = AB = AC + CA Thay Δ vr vào (1.14) ta được: Ý nghĩa cụ thể của từng thành phần trong vế phải của (1.15): Thành phần thứ nhất được ký hiệu là: r Phương của at là phương của AC , tức là phương của tiếp tuyến với quỹ đạo tại r M: vì vậy at được gọi là gia tốc tiếp tuyến. r Chiều của at là chiều của AC nghĩa là cùng chiều với chuyển động khi: v' > v (vận tốc tăng), và ngược chiều với chiều chuyển động khi: v' < v (vận tốc giảm). r Độ lớn của at cho bởi: Nghĩa là theo định nghĩa của đạo hàm: Vậy: Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về giá trị, vectơ này có: Phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm M, chiều là chiều 12
13. chuyển động khi v tăng và chiều ngược lại khi v giảm, và độ lớn bằng đạo hàm độ lớn vận tốc theo thời gian. - Thành phần thứ hai trong vế phải của (1.15) là: r Phương của an là phương của CB khi t ' → t. Muốn xác định nó, ta đặt: MOM ' = CMB = Δθ Trong tam giác cân CMB: MCB = π - CMB π Δθ 2 2 2 π Khi t → t thì M '→ M nghĩa là Δθ → 0, do đó MCB → 2 t r Vậy đến giới hạn CB vuông góc với AC phương của an vuông góc với AC , nghĩa là vuông góc với tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm M, hay nói cách khác phương của án là r phương của pháp tuyến của quỹ đạo tại M, vì vậy an được gọi là gia tốc pháp tuyến. r Chiều của an là chiều của CB , luôn luôn quay về tâm của vòng tròn nghĩa là quay r về phía lõm của quỹ đạo, do đó an còn gọi là gia tốc hướng tâm. r Độ lớn của an cho bởi: Vậy: Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên về phương của vectơ vận tốc, vectơ gia tốc này có: Phương trùng với phương pháp tuyến của quỹ đạo tại V M, chiều hướng về phía lõm của quỹ đạo và có độ lớn bằng a = 2 . n R Tóm lại, ta có thể phân tích vectơ gia tốc ra làm hai thành phần: 13
14. Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về độ lớn, còn vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về phương. Một số trường hợp đặc biệt: r - an luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không thay đổi phương, chất điểm chuyển động thẳng. - at luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không thay đổi chiều và giá trị, chất điểm chuyển động cong đều. - a luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không đổi về phương, chiều và giá trị, chất điểm chuyển động thẳng đều. 1.4. Một số chuyển động đơn giản của chất điểm. Bài toán ứng dụng Ta sẽ áp dụng các kết quả thu được ở các mục trên để khảo sát một số dạng chuyền động đơn giản của chất điểm. 1.4.1. Chuyển động thẳng thay đổi đều Chuyển động thẳng thay đổi đều là một chuyển động với vectơ gia tốc không đổi r a = const. Vì là chuyển động thẳng nên an = 0, do đó: Kết quả: Sau những khoảng thời gian bằng nhau, vận tốc thay đổi những lượng bằng nhau. Nếu trong khoảng thời gian từ 0 đến t, vận tốc biến thiên từ v0 đến v thì theo định nghĩa của gia tốc ta có: Giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến t, chất điểm đi được quãng đường s, tích phân 2 vế của (1.23) ta được: Khử t trong (1.22) và (1.24) ta được hệ thức thông dụng sau: 1.4.2. Chuyển động tròn 14
15. Trong chuyển động tròn, ta dùng vận tốc góc và gia tốc góc để đặc trưng cho chuyển động ấy. a. Vận tốc góc Giả thiết quỹ đạo là vòng tròn tâm O bán kính R Trong khoảng thời gian Δt = t' - t giả sử chất điểm đi được quãng đường Δs = MM ' ứng với góc quay của bán kính MOM ' = Δθ (hình 1.6). Δθ Theo định nghĩa đại lượng Δt gọi là vận tốc góc trung bình trong khoảng thời gian Δt và được ký hiệu là: Giá trị của ωtb biểu thị góc quay trung bình của bán kính trong đơn vị thời gian. Δθ Nếu cho Δt → 0 theo định nghĩa lim gọi là vận tốc góc của chất điểm tại thời Δt→0 Δt điểm t, và được ký hiệu là: Vậy: Vận tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của góc quay đối với thời gian. Vận tốc góc đo bằng radian trên giây (rad/s). Đối với chuyển động tròn đều (ω = const), thời gian mà chất điểm đi được một vòng hay là chu kỳ của chất điểm: và tần số là chu kỳ trong một đơn vị thời gian: 15
16. r Người ta biểu diễn vận tốc góc bằng một vectơ ϖ gọi là vectơ vận tốc góc, nằm trên trục của một vòng tròn quỹ đạo, thuận chiều đối với chiểu quay của chuyển động và có r giá trị bằng a (hình 1.7). r Hệ quả 1: Liên hệ giữa vectơ vận tốc góc ϖ và vectơ vận tốc dài v của chuyển động. Ta có: MM' = Δs = R.Δθ Cho Δt → 0, theo (1.4) và (1.27) ta có: v = R. ω (1.28) r Theo như hình 1.7 ta thấy rằng: ba vectơ vr,ωr, R (theo thứ tự này) tạo thành một tam diện thuận ba mặt vuông, vậy ta có: r vr = ωr ∧ R Hệ quả 2: Liên hệ giữa an và ω. Từ (1.18) và (1.28) ta suy ra b. Gia tốc góc Giả thiết trong khoảng thời gian Δt = t' - t, vận tốc góc của chất điểm chuyển động tròn biến thiên một lượng Δ ω = ω' - ω, theo định nghĩa thì - là gia tốc góc trung bình trong khoảng thời gian Δt và được ký hiệu là: giá trị của βtb biểu thị độ biến thiên trung bình của vận tốc góc trong đơn vị thời gian. Nếu cho Δt → 0, khi này gia tốc góc của chất điểm tại thời điểm t là: Vậy: Gia tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của vận tốc góc đối với thời gian và bằng đạo hàm bậc hai của góc quay đối với thời gian. Gia tốc góc đo bằng radian trên giây bình phương (rad/s2). Khi β > 0, ω tăng, chuyển động của chất điểm là chuyển động tròn nhanh dần. β < 0, ω giảm, chuyển động của chất điểm là chuyển động tròn chậm dần. 16
17. β = 0, ω không đổi, chuyển động của chất điểm là chuyển động tròn đều. β = const, chuyển động của chất điểm là chuyển động tròn thay đổi đều. Tương tự như gia tốc và vận tốc dài, đối với gia tốc góc và vận tốc góc ta cũng có các hệ thức: Người ta biểu diễn gia tốc góc bằng một vectơ gọi là vectơ gia tốc góc, vectơ này có: - Phương nằm trên trục của quỹ đạo tròn - Cùng chiều với chiều của vectơ vận tốc góc khi β > 0 và ngược chiều với chiều của vectơ vận tốc góc khi β < 0. - Có độ lớn bằng β Như vậy, ta có thể viết hệ thức vectơ gia tốc góc như sau: r dω β = (1.36) dt Hệ quả: Liên hệ giữa vectơ gia tốc góc và vectơ gia tốc tiếp tuyến. Thay v = ωβ vào biểu thức tính gia tốc tiếp tuyến ta được Do đó, theo biểu thức tính gia tốc góc (1.32) ta có: r r Do quy ước về chiều của các vectơ β và at , (hình 1.8), trong mọi trường hợp ba r r r vectơ at , β và R (theo thứ tự này) luôn luôn tạo thành một tam diện thuận ba mặt vuông, và dựa vào biểu thức vectơ gia tốc góc, ta có thể kết luận rằng: 17
18. 1.4.3. Chuyển động với gia tốc không đổi: Thực nghiệm chứng tỏ rằng trong một phạm vi không lớn lắm, mọi chất điểm đều rơi với cùng một gia tốc g theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới với giá trị không đổi. Ta sẽ khảo sát chuyển động của một chất điểm xuất phát từ một điểm O trên mặt đất với r vectơ vận tốc ban đầu (lúc t = 0 là v0 hợp với mặt nằm ngang một góc α (hình 1.9). (bài toán ném xiên). Chọn mặt phẳng hình vẽ là mặt phẳng thẳng đứng chứa v0 ; đó cũng là mặt phẳng chứa quỹ đạo chất điểm, trong hệ trục toạ độ xOy. Tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M có toạ độ x, y; có gia tốc là vectơ ar = gr song song với Oy hướng xuống dưới. Do vậy, hai thành phần của ar trên hai trục là: Lấy nguyên hàm hai vế của biểu thức trên ta được: Theo công thức tính vận tốc ta có thể viết (1.40) như sau: Lấy nguyên hàm theo t biểu thức (1.41) ta được: 18
19. Suy ra các phương trình chuyển động của chất điểm là: Vậy quỹ đạo của chất điểm M là một hình Parabol OSA, đỉnh S, trục song song với trục tung, quay phần lõm về phía dưới hình vẽ (hình 1.9). Bây giờ ta đi tính toạ độ đỉnh S (vị trí cao nhất của chất điểm). Từ biểu thức (l.40) ta có thể suy ra: Tại S vectơ vận tốc nằm ngang vy = 0, nên khi đó ta có v = vx = v0 cosα , thay vào biểu thức (1.44) ta được: Chất điểm đến S vào lúc t, ứng với vy = 0 cho bởi Khi này hoành độ của S là: Từ đây ta có thể tính được tầm xa của chuyển động của chất điểm M (khoảng cách từ khi ném đến lúc rơi) 1.4.4. Dao động điều hòa thẳng Một chất điểm chuyển động thẳng được gọi là một dao động điều hoà thẳng nếu đường đi x của nó là một hàm số sin (hoặc cosin) của thời gian t. Thông thường phương trình chuyển động của một chất điểm dao động điều hoà có dạng sau: 19
20. x = Acos (cot+(p) Với A>0, (ω >0 và ϕ là những hằng số. Ta nhận thấy rằng: 2π Vậy cứ sau mỗi khoảng thời gian T = quãng đường đi x (hay độ dời) lại trở ω về giá trị cũ, hay ta có thể nói là độ dời x là một hàm tuần hoàn theo thời gian với chu 2π kỳ T = , hằng số A là giá trị lớn nhất của X được gọi là biên độ dao động ( X ≤A). ω Vận tốc và gia tốc của chất điểm dao động điều hoà được tính theo các công thức sau: Gia tốc a luôn luôn ngược chiều với độ dời x. Ta nhận thấy v và a cũng là những 2π 1 ω hàm tuần hoàn của thời gian t với chu kỳ T = . Nghịch đảo của chu kỳ: V = = ω T 2π được gọi là tần số của dao động, còn hằng số ω được gọi là tần số góc của dao động. 20
21. CHƯƠNG 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM Động lực học nghiên cứu chuyển động của các vật và mối liên hệ của chúng với tương tác giữa các vật. Cơ sở của động lực học vĩ mô là các định luật Newton và nguyên lý Galilê. 2.1. Khái niệm về lực và khối lượng Khái niệm về lực Khi nghiên cứu chuyển động, ta thấy rằng các vật chỉ bắt đầu chuyển động hay thay đổi trạng thái chuyển động của chúng khi chịu tác động của vật khác. Tác dụng của một vật lên một vật khác được đặc trưng bởi một đại lượng vật lý gọi là lực. Ví dụ: Đoàn tàu chỉ chuyển động khi chịu tác dụng của lực kéo của đầu tàu, chiếc xe đang chuyển động chỉ dừng lại khi chịu tác dụng của lực hãm, Vậy: Lực là nguyên nhân Vật lý gây ra sự chuyển động cũng như sự thay đổi chuyển động của các vật. Lực thể hiện mức độ tương tác giữa các vật. Tương tác giữa các vật xảy ra theo hai cách: - Khi chúng tiếp xúc với nhau. Ví dụ: lực đàn hồi, lực ma sát, - Khi chúng không trực tiếp tiếp xúc với nhau. Dù vậy chúng vẫn tác dụng lên nhau thông qua trường. Ví dụ: lực hấp dẫn, lực điện từ, Lực là một đại lượng vectơ (trong cơ học thường được ký hiệu bằng chữ F), do đó cần lưu ý đến các đặc điểm sau của vectơ lực: - Điểm đặt của lực nằm tại vật chịu tác dụng của lực. - Độ lớn (còn gọi là cường độ) của lực được biểu diễn một cách hình học bằng độ dài của vectơ lực. - Phương của lực. - Chiều của lực. Do đó, nếu hai lực được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài, cùng phương và cùng chiều. Quy tắc cộng lực là quy tắc cộng vectơ. Khái niệm về khối lượng Khối lượng là độ đo về lượng (nhiều hay ít) vật chất chứa trong vật thể, có thể tính từ tích phân toàn bộ thể tích của vật: m = ∫ ρ dV (với ρ là khối lượng riêng) Đơn vị đo khối lượng trong hệ SI là kilôgam (kg). Trong Vật lý, khối lượng của một vật là một đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ quán tính của vật đó. Vật có khối lượng lớn sẽ có sức ì lớn hơn và cần có lực lớn hơn để 21
22. làm thay đổi chuyển động của nó. Mối liên hệ giữa quán tính với khối lượng đã được Newton phát biểu trong định luật II Newton. Khối lượng trong chuyển động thẳng đều còn được mở rộng thành khái niệm mômen quán tính trong chuyển động quay. Khối lượng của một vật cũng đặc trưng cho mức độ vật đó hấp dẫn các vật thể khác, theo định luật vận vật hấp dẫn Newton. Vật có khối lượng lớn có tạo ra xung quanh trường hấp dẫn lớn. Khối lượng hiểu theo nghĩa độ lớn của quán tính, khối lượng quán tính, không nhất thiết hiểu theo mức độ hấp dẫn vật thể khác, khối lượng hấp dẫn. Tuy nhiên, các thí nghiệm chính xác hiện nay cho thấy hai khối lượng này rất gần nhau và một tiên đề của thuyết tương đối rộng của Einstein phát biểu rằng hai khối lượng này là một. Khối lượng tương đối tính Trong vật lý cổ điển, coi khối lượng của một vật là một đại lượng bất biến, không phụ thuộc vào chuyển động của vật. Tuy nhiên, vật lý hiện đại lại có cách nhìn khác về khối lượng, khối lượng có thể thay đổi tuỳ theo hệ quy chiếu. Theo quan điểm này thì khối lượng gồm hai phần, một phần là khối lượng nghỉ, có giá trị bằng với khối lượng cổ điển khi vật thể đứng yên trong hệ quy chiếu đang xét, cộng với khối lượng kèm theo động năng của vật. Định luật bảo toàn khối lượng Khối lượng toàn phần của một hệ vật lý kín, xét trong một hệ quy chiếu cố định là không đổi theo thời gian. Các định luật Newton Các định luật Newton nêu lên quan hệ giữa chuyển động của một vật với tác dụng bên ngoài và quan hệ giữa các tác dụng tương hỗ của các vật. Định luật Newton I Phát biểu: Khi một chất điểm cô lập (không chịu một tác động nào từ bên ngoài) nếu đang đứng yên nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó là thẳng đều. Chất điểm đứng yên có vận tốc v = 0 ; chất điểm chuyển động thẳng đều có vận tốc vr không đổi; trong cả hai trường hợp đó, vận tốc vr đều không thay đổi; ta cũng nói trạng thái chuyển động của nó được bảo toàn. Vậy: Một chất điểm cô lập bảo toàn trạng thái chuyển động của nó. Tính chất bảo toàn trạng thái chuyển động gọi là quán tính, vì vậy định luật I còn được gọi là định luật quán tính. Không giống như các định luật khác, ta không thể kiểm nghiệm định luật này một cách trực tiếp bằng thực nghiệm vì trên trái đất không thể có bất kỳ vật nào hoàn toàn cô lập (không chịu bất kỳ một lực nào). Do vậy, ta coi định luật này như một nguyên lý mà không chứng minh. Ta chỉ có thể xác nhận sự đúng đắn của định luật này khi kiểm nghiệm các hệ quả của định luật này mà thôi. 22
23. Ví dụ: Khi đẩy một vật nặng trượt trên sàn nhà ta có thể thấy vận tốc của vật giảm dần và cuối cùng dừng lại hẳn. Nhưng nếu sàn nhà nhẵn thì vật có thề trượt rất xa. Sở dĩ như vậy là vì, ngoài trọng lực của vật và phản lực của sàn nhà là hai lực triệt tiêu lẫn nhau thì vật còn chịu tác dụng của lực ma sát và lực cản của không khí, là hai lực ngược chiều chuyển động của vật và cản trở chuyển động của vật. Nếu bằng cách nào đó có thể làm giảm các lực này thì vật sẽ chuyển động được rất xa mặc dù ta chỉ đẩy vật trong một thời gian ngắn. Nếu làm triệt tiêu hoàn toàn các lực này thì vật sẽ chuyển động thẳng đều mãi mãi trên sàn nhà. Định luật Newton II Định luật Newton II xét chất điểm ở trạng thái không cô lập, nghĩa là chịu tác dụng của những lực từ bên ngoài. Phát biểu: 1. Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng r hợp F # 0 là một chuyển động có gia tốc. r 2. Gia tốc chuyển động của chất điểm tỷ lệ với tổng hợp tục tác dụng F và tỷ lệ nghịch với khối lượng của chất điểm ấy: k là một hằng số tỷ lệ phụ thuộc vào các đơn vị sử dụng; trong hệ SI: k = 1 và Phương trình cơ bản của cơ học chất điểm Phương trình Newton: là phương trình cơ bản của cơ học chất điểm. Phương trình này là phương trình tổng quát cho cả hai định luật Newton I và II. Với định luật Newton I: r F = 0 → ar = 0 → vr = const Với định luật Newton II: Hệ quy chiếu quán tính Ở chương I, chúng ta đã biết rằng, đối với cùng một chuyển động nhưng sẽ xảy ra khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau. Vậy, tự nhiên sẽ nảy sinh câu hỏi sau: định luật I Newton khẳng định nếu một vật không chịu tác dụng của một lực nào thì nó sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu nào? Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng, Định luật Newton I chỉ nghiệm đúng đối với những hệ quy chiếu quán tính. Vậy: Hệ quy chiếu quán tính là một hệ quy chiếu mà trong đó nếu một vật không chịu tác dụng của một ngoại lúc nào thì nó hoặc là đứng yên hoặc là chuyển động thắng đều. 23
24. Định luật Newton III Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng, không bao giờ có tác dụng một phía. Khi vật A tác dụng lên vật B thì ngược lại vật B cũng tác dụng lên vật A. Ta nói chúng tương tác với nhau. Định luật Newton III xét mối liên hệ giữa các tương tác của hai vật. Phát biểu: Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực F thì chất điềm B cũng tác dụng lên chất điểm A một lực F ': hai lực F và F' tồn tại đồng thời cùng phương, ngược chiều và cùng cường độ. Nói cách khác, tổng hình học các lực tương tác giữa hai chất điểm bằng không: F + F ' = 0. Chú ý: Tuy tổng của hai lực F và F' bằng không nhưng tác dụng của chúng không khử nhau vì điểm đặt của chúng khác nhau. Trong trường hợp tổng quát: ta xét một hệ chất điểm cô lập, nghĩa là một hệ không chịu tác dụng của các ngoại lực: trong hệ chỉ có các nội lực tương tác giữa các chất điểm của hệ. Khi đó nếu xét từng đôi chất điểm của hệ thì tổng hai lực tương tác giữa chúng bằng không. Bây giờ nếu lấy tổng của tất cả các lúc đó, ta được kết quả: Tổng các nội lực của hệ chất điểm cô lập (hay hệ kín) bằng không. Các định lý về động lượng Từ phương trình Newton, ta có thể suy ra một số phát biểu tương đương, đó là các định lý về động lượng. Thiết lập các định lý về động lượng Theo định luật Newton II, nếu một chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của r r một lực F (hay của nhiều lực, lực tổng hợp là F) thì sẽ có gia tốc ar cho bởi: r m ar = F Từ biểu thức của gia tốc ta có thể viết lại biểu thức trên như sau: vì m không đổi nên ta có thể viết lại là: r Vectơ K = m vr gọi là vectơ động lượng của chất điểm (hình 2.1). Vậy biểu thức (2.3) có thể viết thành: Đinh lý 1: Đạo hàm động lượng của một chất điểm đối với thời gian có giá trị bằng lực (hay tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm đó. 24
25. Từ (2.4) ta suy ra: Tích phân 2 vế của biểu thức (2.5) trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 ứng với sự biến thiên của động lượng từ K1 đến K2 ta được: Theo định nghĩa tích phân của lực F theo t từ t1 đến t2 gọi là xung lượng của F trong khoảng thời gian đó. Vậy biểu thức (2.6) có thể phát biểu như sau: Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay tổng họp lực) tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. Trong trường hợp F không đổi theo thời gian, (2.6) trở thành: r ΔK = F .Δt (2.7) r ΔK r Hay = F (2.8) Δt Theo (2.8) ta có thể phát biểu: Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong đơn vị thời gian có giá trị bằng lực tác dụng lên chất điểm đó. Các định lý về động lượng (2.4) và (2.6) là những phát biểu tương đương của phương trình Newton, khi ra khỏi phạm vi cơ học cổ điển Newton, các công thức (2.3) và (2.4) vẫn đúng. Vì vậy, ta có thể nói rằng: về một mặt nào đó các định lý về động lượng tổng quát hơn định luật Newton. Ý nghĩa của động lượng và xung lượng a. Ý nghĩa của động lượng Như ta đã biết trong chương I, vectơ vận tốc là một đại lượng đặc trưng cơ bản cho chuyển động về mặt động học. Nhưng về mặt động lực học, khi khảo sát chuyển động của các vật, ta không thể xét riêng vận tốc mà không để ý đến khối lượng của chúng, vì vận tốc có liên quan chặt chẽ với khối lượng (đối với một lực tác dụng nhất định). Nói cách khác, vận tốc không đặc trưng cho chuyển động về mặt động lực học. Chính động lượng, đại lượng kết hợp cả khối lượng và vận tốc, mới đặc trưng cho chuyển động về mặt động lực học. r Ví dụ: Giả thiết có một quả cầu khối lượng m1 chuyển động với vận tốc v1 đến đập thẳng vào một quả cầu có khối lượng m2 ban đầu đứng yên. Giả thiết sau va chạm, 25
26. r quả cầu thứ hai chuyển động với vận tốc v1 . Thực nghiệm chứng tỏ rằng, nói ch1ung r r r r v1 # v2 và v2 không những phụ thuộc vào v1 mà còn phụ thuộc vào m1, nói chính xác là r r phụ thuộc vào động lượng K1 = m1v1 của quả cầu thứ nhất. Như thế nghĩa là sự truyền chuyển động do va chạm của quả cầu thứ nhất đến quả cầu thứ hai phụ thuộc vào động r r r lượng quả thứ nhất (v2 càng lớn thì K1 = m1v1 càng lớn). Vậy: Trong các hiện tượng va chạm động lượng là một đại lượng đặc trưng cho khả năng truyền va chạm. b. Ý nghĩa của xung lượng Xung lượng của một lực trong khoảng thời gian Δt đặc trưng cho tác dụng của lực trong khoảng thời gian đó. Thực vậy, theo (2.6) hay (2.7) ta thấy rằng tác dụng của lực không những phụ thuộc vào cường độ lực mà còn phụ thuộc thời gian tác dụng. Cùng một lực nhưng thời gian tác dụng lâu thì động lượng của vật biến thiên nhiều và ngược lại, nếu thời gian tác dụng rất ngắn thì dù lực lớn, động lượng cũng biến thiên ít. Các định lý về động lượng và xung lượng thường dùng để giải quyết các bài toán va chạm. Các lực cơ học trong tự nhiên. Hai bài toán cơ bản của động lực học Các lực cơ học trong tự nhiên Do lực chỉ xuất hiện thành từng cặp và mỗi cặp có cùng một tính chất như nhau (được tạo ra từ một tương tác) cho nên người ta phân chia các loại lực thông qua các dạng tương tác của chúng. Có bốn dạng tương tác chủ yếu: 1. Tương tác hấp dẫn, 2. Tương tác điện từ, 3. Tương tác mạnh và 4. Tương tác yếu. Trong phạm vi chương này chủ yếu phân tích các tính chất của lực đàn hồi và lực ma sát xuất hiện do lực tương tác điện từ. 26
27. a. Lực đàn hồi - Điều kiện xuất hiên lực đàn hồi Khi một vật bị một lực kéo dãn hay nén lại làm cho vật đó bị biến dạng thì bản thân vật đó tác dụng một lực đàn hồi lên vật tác dụng nó để buộc vật này trả lại cho nó hình dạng cũ. - Tính chất Chiều của lực đàn hồi luôn ngược chiều biến dạng của vật. Treo một lò xo lên một điểm cố định trên trần nhà. Điểm B của lò xo móc vào vật có khối lượng M. Dưới tác dụng của trọng lực vật M các phần tử lò xo dãn ra một đoạn Δx, chúng tạo ra lực đàn hồi k của lò xo và độ biến dạng Δx của nó luôn luôn là hằng số, hằng số này được gọi là độ cứng của lò xo. Công thức này được nhà Vật lý người Anh Rober Hooke tìm ra nên còn được gọi là công thức của định luật Hooke. Đơn vị của độ cứng là: N/m. Độ cứng K phụ thuộc vào vật liệu làm lò xo và chiều dài của lò xo. - Phản lực Là một dạng lực đàn hồi xuất hiện khi vật A nén lên mặt tiếp xúc với vật B làm các phân tử ở bề mặt B bị biến dạng sinh ra phản lực N tác dụng vào vật A. Phương của phản lực bao giờ cũng vuông góc với mặt tiếp xúc của hai vật. Chiều từ tâm của vật A đi ra xa mặt tiếp xúc. Độ lớn bằng hình chiếu lực nén vuông góc của A lên mặt tiếp xúc. Lúc căng dây treo: Lực căng dây treo xuất hiện khi hai đầu dây bị kéo dãn hoặc một đầu dây cố định còn đầu kia bị kéo dãn (trường hợp cả hai đầu đều bị kéo phải cùng phương, ngược chiều). Phương của lực căng nằm dọc theo sợi dây. Chiều ngược chiều lực kéo dãn. Chú ý: Các lực này có điểm đặt lên vật đã tác dụng lên nó. Độ lớn thông thường rất khó xác định trực tiếp thông qua sự biến dạng của dây nên nó được xác định qua các lực khác và gia tốc mà lực đạt được. b. Lực ma sát - Điều kiện xuất hiện Dạng thứ hai của lực đàn hồi là lực ma sát. 27
28. Lực ma sát xuất hiện khi có sự chuyển động tương đối của hai hoặc nhiều vật với nhau. Nếu hai vật chuyển động tiếp xúc là vật rắn người ta gọi đó là lực ma sát khô. Nếu một hoặc cả hai vật là chất lưu (khí hoặc lỏng) thì được gọi là ma sát nhớt. - Đặc điểm Đặc điểm của các lực ma sát là luôn luôn có phương tiếp tuyến với mặt tiếp xúc của hai vật chuyển động tương đối, chiều luôn ngược với chiều chuyển động tương đối. Độ lớn của lực ma sát khô tỷ lệ với phản lực thông qua hệ số ma sát. - Ma sát nghỉ và ma sát trượt Xét vật A đặt tiếp xúc lên vật B, lúc đó N là phản lực của vật B tác dụng lên vật r r A. Dùng một lực F để kéo vật A, nếu độ lớn của F có giá trị nhỏ thì vật A chưa r chuyển động. Vật A đứng yên vì lực ma sát nghỉ cân bằng với lực kéo F. Lực ma sát nghỉ xuất hiện khi chưa có sự chuyển động tương đối của 2 vật tiếp xúc nhưng một trong hai vật đã chịu tác dụng kéo của ngoại lực. Độ lớn của lực ma sát r nghỉ thay đổi theo độ lớn của lực kéo F, khi lực kéo đạt đến giá trị F0 nào đó sao cho vật A bắt đầu chuyển động tương đối so với vật B: Lúc này lực ma sát nghỉ đã chuyển sang ma sát trượt. - Vai trò của lực ma sát Có hại: Trong các máy đang hoạt động bao giờ cũng xuất hiện ma sát, cản trở chuyển động làm hao phí năng lượng vô ích. Lúc đó phải làm giảm ma sát. Có lợi: Nhờ có ma sát mà máy móc xe cộ đang hoạt động có thể dừng lại được, con người, xe cộ mới di chuyển được. Ví dụ: Một hệ gồm hai vật khối lượng m1 và m2 được nối với nhau bằng một sợi dây mảnh không co dãn. Cả hai trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang dưới r tác dụng của lực kéo F đặt vào m1. Xác định lực căng của dây. Bỏ qua tác dụng của ma sát. Trước tiên ta tính gia tốc a của hệ. Vì hệ chuyển động như một vật có khối lượng r (m1 + m2) dưới tác dụng của lực F. Nên ta có: Muốn tính lực căng tại A, ta giả thiết là cắt dây tại A. Để đảm bảo cho m1 và m2 giữ nguyên chuyển động với gia tốc a thì tại hai đoạn dây ở A sẽ chịu tác dụng của các r lực căng T và T' . r r Xét riêng vật m1. Lực tác dụng lên nó gồm: lực kéo F và T lực căng. Do vậy, phương trình chuyển động của m1 sẽ là: m1a = F-T 28
29. r Xét vật m2. Lực tác dụng lên vật là lực căng T' và do đó phương trình chuyển động của m2 là: Hai bài toán cơ bản của động lực học Vận dụng các định luật Newton, chúng ta có thể dễ dàng giải các bài toán cơ học đa dạng theo 4 bước cơ bản sau: - Bước 1: Phân tích bản chất các lực tác dụng lên từng vật (theo định luật Newtton III, các lực này chỉ xuất hiện thành từng cặp). - Bước 2: Viết các phương trình định luật Newton II cho từng vật cụ thể. - Bước 3: Chọn hệ quy chiếu quán tính và hệ trục toạ độ sao cho bài toán trở nên đơn giản, chọn chiều chuyển động giả định cho hệ, sau đó chiếu phương trình vectơ (viết được ở bước 2) lên các trục toạ độ để được các phương trình đại số. - Bước 4: Giải hệ các phương trình đại số để tìm các nghiệm số theo yêu cầu của đề bài, sau đó biện luận ý nghĩa của các giá trị. a. Bài toán thuận của động lực học Bài toán thuận của động lực học là bài toán xác định lực gây ra chuyển động khi bết chuyển động của chất điểm. Dễ giải bài toán loại này, trước tiên phải xác định gia tốc của chất điểm, sau đó sẽ áp dụng định luật Newton II để tìm lực tác đụng lên chất điểm. Ví dụ: Kéo một gầu nước từ dưới giếng lên cao nhanh dần với gia tốc là ar . Hãy xác định lực kéo. r r Ta biết lực tác dụng tổng cộng lên gầu gồm lực kéo Fk và trọng lực P = mgr của gầu. Theo định luật Newton II và để ý rằng hai lực này ngược chiều nhau, nên ta có: Fk- mg = ma Từ đó: Fk = m(g + a) Ta thấy lực kéo phải lớn hơn trọng lượng của gầu, đặc biệt là Fk càng lớn khi gia tốc a càng lớn. h. Bài toán ngược của động lực học Bài toán ngược của động lực học là bài toán xác định chuyển động của chất điểm khi biết các lực tác dụng lên chất điểm và những điều kiện ban đầu của chuyển động. Để giải bài toán ngược cần xác định cụ thể các lực tác động lên từng trên điểm. Sau đó áp dụng công thức tính gia tốc để xác định gia tốc mà chất điểm thu được. Nếu 29
30. biết vận tốc và vị trí ban đầu của chất điểm thì bằng cách lấy tích phân của gia tốc a, ta có thể xác định được vận tốc và tọa độ của chất điểm theo thời gian, nghĩa là có thể biết được phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của chất điểm. Ví dụ: Một hệ gồm hai vật có khối lượng m1 và m2 được nối nhau bằng một sợi dây không co dãn. Đầu kia của m1 nối với một sợi dây khác vắt qua một ròng rọc và nối với một quả nặng m. Giả sử hệ chuyển động không ma sát, khối lượng dây nối và ròng rọc không đáng kể. Hãy xác định chuyển động của hệ. r Gọi T là lực căng của sợi dây nối quả nặng m với m1. Lực mà sợi dây kéo m1 là r r T còn kéo quả nặng m là - T . Đối với quả nặng m ta có phương trình: mg -T = ma r Gọi T1 là lực căng của đoạn dây nối m1 với m2. Đối Với m1 ta có phương trình: T - T1 = m1a Đối với vật m2 ta có phương trình chuyển động: T1 = m2a Cộng ba phương trình trên lại với nhau, ta tìm được gia tốc a của hệ: Cũng có thể tìm ngay được gia tốc a của hệ nếu để ý rằng do sợi dây không co dãn nên có thể xem chuyển động của hệ như là chuyển động của một vật thể thống r nhất với khối lượng là (m+m1+m2) và lực duy nhất tác động lên hệ là mg . Theo định luật Newton II ta có: mg a = m +m1+m2 Chuyển động của hệ là nhanh dần đều với gia tốc a. Do vậy, phương trình chuyển động của hệ là: Mômen động lượng Định lý về động lượng (2.3,2.4) 30
31. là một trong những định luật cơ bản của cơ học chất điểm. Trong nhiều trường hợp (nhất là khi xét chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của một trường lực xuyên tâm) người ta diễn ta định luật này dưới dạng khác, đó là định lý về mômen động lượng. 2.5.1. Momen của một vectơ đối với một điểm M r Cho một vectơ V = MA gốc tại M và một điểm O cố định trong không gian và r = OM (hình 2.3). r Theo định nghĩa: mômen của V đối với O là một vectơ ký hiệu là: r r r r r M(O,V) = OM ∧ V = rV (2.9) Theo định nghĩa (1) thì mômen động lượng r M(O,V) là một vector: - gốc tại O r - có phương vuông góc với mặt phẳng xác định bởi O và V - có chiều thuận với chiều quay từ OM sang MA r M = (O,V) = OM.MA.sin(OM.MA) = rVsin(rV) = 2SΔOMA Các tính chất của mômen của một vector: từ biểu định nghĩa (1) ta có thể dễ dàng suy ra các tính chất của mômen của một vector sau: r r r r r r - tính chất 1: khi V = 0 hay V có phương qua 0 thì M(O,V) = 0 r r r - tính chất 2: M (O, V1 + V2 = M(O,V1 ) + M (O, V2 ) 2.5.2. Định lý về mômen động lượng Một chất điểm M chuyển động trên một quỹ r đạo (C) dưới tác dụng của một lực F (hình bên). Theo định lý về sự biến thiên động lượng ta có: r dK d(mvr) r = = F dt dt Nhân hữu hướng cả hai vế của (4) với t = OM (O là gốc tọa độ) ta được: 31
32. r r Trong đó L = r ∧ K = là mômen động lượng của chất điểm M đối với điểm O và r r r M ( O,F ) = r ∧ F là mônmen của lực F đối với điểm O. Phương trình (2.13) cũng chính là biểu thức của định lí về mômen động lượng, định lí đó được phát biểu như sau: "Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng đối với điểm O của một chất điểm chuyển động bằng tổng mômen đối với điểm O của các lực tác dụng lên chất điểm". Hệ quả: Trong trường hợp chất điểm chuyển động luôn luôn chịu tác dụng của r r một lực xuyên tâm ( F luôn có phương đi qua điểm O) thì M O,F = 0 và do đó: r Từ (2.14) ta thấy L không đổi. Mặt khác, L luôn vuông góc với mặt phẳng tạo r r bởi O và K = m vr , do đó, mặt phẳng chứa O và K là một mặt phẳng cố. định. Điều đó có nghĩa là chất điểm M luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định. 2.5.3. Trường hợp chuyển động tròn Mômen động lượng t của chất điểm M chuyển động trên quỹ đạo tròn (O,R) có thể tính như sau: r r L = OM.m∨ = Rm∨ = (Rm 2 )ωr ở đây I = mR2 được gọi là mômen quán tính của chất điểm đối với điểm O. ∨ Lại có, vận tốc góc ω = cũng được biểu diễn dưới dạng vector ωr và ωr có R r cùng phương chiều với L . Do đó ta có thể viết mômen động lượng của chất điểm M r chuyển động trên quỹ đạo tròn dưới dạng: L = Iωr (2.16) Theo định lý về mômen động lượng ta có: r r r r r Trong đó F = F + Fn'Fn luôn luôn hướng tâm và F1 là thành phần lực tác dụng theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo. Phương trình (2.17) chính là biểu thức của định lý về mômen động lượng của chất điểm chuyển động tròn. 32
33. CHƯƠNG 3. ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẲN Khi xem xét chuyển động của một vật hay một hệ bất kỳ, ta có thể mô hình vật đó như là một tập hợp các chất điểm và áp dụng các định luật cơ học của chất điểm đối với từng chất điểm trong hệ. Vật rắn là hệ chất điểm, nhưng là một hệ chất điểm đặc biệt trong đó khoảng cách giữa các chất điểm luôn luôn giữ nguyên không đổi trong quá trình chuyển động của vật rắn. Đây là một đối tượng cơ học quan trọng và phổ biến nên ta chú trọng khảo sát đặc thù chuyển động vật rắn với phương pháp luận áp dụng các quy luật chuyển động của hệ chất điểm vào chuyển động của vật rắn. Trong chương này chúng ta khảo sát các định luật cơ bản về chuyển động của một hệ chất điểm, đặc biệt khảo sát chuyển động của một vật rắn. 3.1. Cơ hệ. Khối tâm của cơ hệ 3.1.1. Khái niệm cơ hệ Cơ hệ là tập hợp các chất điểm tương tác với nhau, hay nói cách khác cơ hệ chính là hệ chất điểm. 3.1.2. Khối tâm của cơ hệ a. Định nghĩa Khối tâm của một hệ chất điểm M1, M2, Mn. Mà lần lượt có khối lượng m1, m2 mn mà là một điểm G xác định bởi đẳng thức: b. Tọa độ khối tâm: Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ O, chúng ta tiến hành tìm tọa độ của G trong hệ tọa độ đã chọn. Ta có: Nhân 2 vế của (3.2) với m1 rồi cộng các phương trình theo i từ 1 tới n và sử r Đặt OG = R với ba tọa độ X, Y, Z và OMi = r với ba tọa độ xi, yi, zi thì (3.3) 33
34. Các đẳng thức (3.5), (3.6) cho phép ta xác định tọa độ khối tâm của một hệ chất điểm. Bây giờ chúng ta đi khảo sát các tính chất của khối tâm về mặt động lực học. c. Vận tốc của khối tâm dr Trong đó, i = vr vector vận tốc của chất điểm M pr = m vr = động lượng của dt i i i i chất điểm Mi. n r r Nếu thay p = ∑pi = tổng động lượng của hệ chất điểm, thì biểu thức (3.6) trở i=1 thành: Vậy: Tổng động lượng của hệ bằng động lượng của một chất điểm đặt tại khối tâm của hệ, có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ và có vận tốc bằng vận tốc khối tâm của hệ. d. Phương trình chuyển động của khối tâm Giả thiết các chất điểm m1, m2, ,mn của hệ lần lượt chịu tác dụng của các lực r r r r r r F1,F2 ,Fn và chuyển động với những vectơ gia tốc a1,a 2 , a n thỏa mãn các phương trình: r r r r r r r r m1a1 = F1.m 2a 2 = F2 , m n a n = Fn Muốn tìm phương trình chuyển động của khối tâm, ta có đạo hàm (3.6) theo t: 34
35. r dV Trong đó ar = là vectơ gia tốc của khối tâm. Từ (3.9) ta có thể kết luận rằng: dt Khối tâm của một hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ. Chú ý: - Trong (3.9), vế phải chỉ là tổng hợp các ngoại lực tác dụng vì theo định luật Newton III, tổng hợp các nội lực tương tác của hệ bằng không. - Chuyển động khối tâm của hệ được gọi là chuyển động toàn thể của hệ. 3.2. Định luật bảo toàn động lượng 3.2.1. Thiết lập Đối với một hệ chất điểm chuyển động, ta có định lý về động lượng: r trong đó F là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ (theo định luật Newton III thì tổng các nội lực tương tác trong hệ bằng 0). Nếu hệ đang xét là một hệ cô lập (F = 0) thì: Phát biểu: Tổng động lượng của một hệ cô lập là một đại lượng bảo toàn. Mặt khác, ta biết rằng vận tốc chuyển động của khối tâm của hệ (3.7) cho bởi: Vậy đối với một hệ chất điểm cô lập: Khối tâm của một hệ cô lập hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. 35
36. 3.2.2. Bảo toàn động lượng theo phương r Trong trường hợp một hệ chất điểm không cô lập nghĩa là F # 0 nhưng hình r chiếu của F lên một phương x nào đó luôn luôn bằng 0, khi đó nếu chiếu phương trình vectơ lên phương x ta được: m1v1x + m 2 v2x ,+m n v vx = const Vậy, hình chiếu của tổng động lượng của hệ lên phương x là một đại lượng bảo toàn. 3.2.3. Ứng dụng a. Giải thích hiện tượng súng giật lùi Giả sử có một khẩu súng có khối lượng M đặt trên một giá nằm ngang; trong nòng súng có một viên đạn có khối lượng m. Nếu không có ma sát thì tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ (súng + đạn) tức là tổng hợp của trọng lượng (súng + đạn) và phản lực pháp tuyến của giá sẽ triệt tiêu, do đó tổng động lượng của hệ bảo toàn. Trước khi bắn tổng động lượng của hệ bằng 0. Khi bắn, đạn bay về phía trước với vận tốc v, súng giật lùi về phía sau với vận tốc V. Do đó, động lượng của hệ sau r khi bắn sẽ là: mvr + MV . Vì động lượng của hệ bảo toàn nên ta có: r Dấu trừ chứng tỏ V ngược chiều với vr . Về giá trị V tỷ lệ với m và tỷ lệ nghịch với M. b. Chuyển động phản lực r Định luật Newton III F cũng như định luật bảo toàn động lượng là cơ sở để giải thích các chuyển động phản lực. Chúng ta hãy vận dụng các định luật này để giải thích chuyền động phản lực của các tên lửa. Giả thiết có một vật chứa một hỗn hợp khí nóng, ban đầu đứng yên. Nếu hỗn hợp khí được phụt ra phía sau thì theo định luật bảo toàn động lượng vật sẽ tiến lên phía trước. Đó là nguyên tắc của tên lửa. Ta gọi khối lượng tổng cộng ban đầu của tên lửa là M0. Trong quá trình chuyển động, tên lửa luôn luôn phụt khí ra sau, khối lượng của nó giảm dần, vận tốc của nó tăng dần. Ta hãy tính vận tốc vr của tên lửa khi khối lượng của nó là M. Động lượng r của tên lửa lúc đó là: K = M vr . Qua một khoảng thời gian đi, tên lửa phụt ra sau một khối lượng khí bằng dM1. 36
37. Nếu vận tốc phụt khí đối với tên lửa luôn luôn không đổi và bằng ur thì vận tốc phụt khí đối với hệ quy chiếu đang quan sát bằng ur + vr và động lượng của khí phụt ra là: r r dM1( u + v ). Sau khi phụt khí khối lượng tên lửa bằng M + dM (với dM = - dM1), vận tốc của nó tăng lên thành vr + dvr . Vậy động lượng của tên lửa sau khi phụt khí là: (M + dM)( vr + dvr ). Động lượng của hệ sau khi phụt khí là: r r r r K 2 = dM1 (u + v) + (M + dM)(v + dv) với dM = - dM1 Giả sử không có thành phần lực tác dụng theo phương chuyển động, theo định luật bảo toàn động lượng ta có: r r K1 = K 2 Hay ( − dM(vr + dvr) + (M + dM)(vr + dvr) = Mvr ) Khai triển các phép tính trong biểu thức trên và bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc hai - − dM.dvr ta được: Mdv = - udM (vì dvr và ur ngược chiều Công thức (3.12) gọi là công thức Xiôncôpxki. Theo công thức này, muốn cho vận tốc tên lửa lớn thì vận tốc phụt khí (đối với tên lửa) phải lớn và tỷ số - cũng phải lớn. 3.3. Chuyển động của vật rắn quanh một trục cố định Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng các giữa các chất điểm luôn luôn không đổi. Chuyển động của một vật rắn nói chung phức tạp, nhưng người ta chứng minh được rằng mọi chuyển động của vật rắn bao giờ cũng có thể quy về tích của hai chuyển động cơ bản: chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. 3.3.1. Bậc tự do của vật rắn Khi mô tả chuyển động của một vật rắn, ta phải xác định được chuyển động của bất kỳ điểm nào của vật. Để xác định vị trí của vật rắn ta cần phải xác định vị trí của ba điểm bất kỳ không thẳng hàng của nó, nghĩa là cần và chỉ cần xác định vị trí của một tam giác bất kỳ gắn liền với vật rắn. Để xác định vị trí của một điểm trong không gian cần phải xác định ba tọa độ, do đó vị trí của ba điểm bất kỳ được xác định bởi chín tọa độ. Tuy nhiên, do tính chất của vật rắn, ba điểm đó chính là ba đỉnh của một tam giác xác định nên chín tọa độ đó không độc lập đối với nhau mà liên hệ với nhau bằng ba phương trình xác định độ dài không đổi của ba cạnh tam giác, thành thử chỉ còn có sáu tọa độ là độc lập. Do đó để xác định vị trí của vật rắn chỉ cần 6 tọa độ hay 6 tham số độc lập. Vậy: Số tham số độc lập cần biết để xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn gọi là số bậc tự do của nó. 37
38. Vật rắn hoàn toàn tự do có 6 bậc tự do. Nếu vật rắn không hoàn toàn tự do thì bậc tự do của nó giảm xuống. Ví dụ vật rắn có một điểm hoàn toàn cố định thì ba tọa độ của điểm đó là hoàn toàn xác định và vật rắn chỉ còn ba bậc tự do. Vật rắn có hai điểm hoàn toàn cố định chỉ có một bậc tự do: nó chỉ có thể quay quanh trục đi qua hai điểm trên và bậc tự do còn lại của nó sẽ xác định vị trí của vật quanh trục đó. Nghiên cứu chuyển động của vật rắn tức là phải xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn tại mọi thời điểm, nói cách khác cần phải xác định được qui luật biến thiên theo thời gian của các tham số độc lập. Rõ ràng là số phương trình cần phải biết bằng số tham số độc lập hay là bậc tự do của vật rắn. Vậy: bậc tự do của vật rắn cho biết số phương trình chuyển động độc lập cần phải biết để có thể hoàn toàn xác định chuyển động của vật rắn. 3.3.2. Chuyển động tịnh tiến Khi một vật rắn chuyển động tịnh tiến mọi chất điểm của nó chuyển động theo những quỹ đạo giống nhau, vậy chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà trong đó AB xác định bởi hai điểm bất kỳ A và B của vật rắn luôn song song với chính nó. Tại mỗi thời điểm các chất điểm của vật rắn tịnh tiến đều có cùng vectơ vận tốc và gia tốc. Vậy:- trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, quỹ đạo của mọi điểm là những đường cong như nhau, mọi nhau. r Giả thiết a là vectơ gia tốc chung của các chất điểm M1, M2, , Mi;, của vật rắn, các chất điểm này lần lượt có khối lượng là m1, m2, , mi;, và lẩn lượt chịu các ngoại lực tác dụng là F1, F2, , Fi. Theo định luật II Newton ta có: r r m1a = F1 r r m 2a = F2 r r m3a = F3 Các phương trình này chứng tỏ rằng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn F1, F2, , Fi song song và cùng chiều, đây là một điều kiện cần để một vật chuyển động tịnh tiến. Cộng các phương trình (3.13) vế theo vế ta được: Đây là phương trình chuyển động của vật rắn tịnh tiến; nó giống như phương trình chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của vật rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Đây cũng chính là phương trình chuyển động của khối tâm của vật rắn. 38
39. Như vậy, muốn khảo sát chuyển động tịnh tiến của một vật rắn ta chỉ cần xét chuyến động của khối tâm của nó. 3.3.3. Chuyển động quay Xét một vật rắn quay quanh trục quay Δ với vận tốc góc ω0 khi đó bậc tự do của vật rắn chỉ còn bằng một. Vị trí của vật rắn được xác định bởi một tọa độ duy nhất là góc quay θ. Ta có những nhận xét sau: Mọi điểm của vật rắn vạch nên những vòng tròn có tâm nằm trên trục quay. Trong cùng một khoảng thời gian, mọi điểm của vật rắn đều quay được một góc θ như nhau. Tại cùng một thời điểm, mọi điềm của vật rắn đều có cùng vận tốc góc: dθ d 2θ ω = và gia tốc góc β = 0 dt dt 2 Tại một thời điểm, vectơ vận tốc dài vr và gia tốc tiếp tuyến của một chất điểm bất kỳ của vật rắn liên hệ với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức sau: r r v = (ω0 xr) r r a1 = (ββr) Đây là những tính chất động học của chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục cố định. 3.4. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn Trong bài này ta sẽ thiết lập những phương trình cơ bản mô tả chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục. 3.4.l. Mômen lực a. Tác dụng của lực trong chuyển động quay Giả thiết có một lực F tác dụng lên một vật rắn quay quanh trục Δ, đặt tại một điểm M. Trước hết ta phân tích F ra hai thành phần: r r r F = F1 + F2 r r Trong đó F1 ⊥ trục và F2|| trục. Lực F1 , nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục Δ đi qua M lại được phân tích thành hai thành phần: r r r F1 = F1 + Fn r Trong đó F1 ⊥ bán kính OM, nghĩa là nằm theo tiếp tuyến của vòng tròn tâm O r bán kính OM, còn Fn nằm theo bán kính OM. Kết quả ta có: r r r r F = F1 + Fn + F2 39
40. Trên hình (3.1) ta thấy rằng: r - Thành phần F2 không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn trượt dọc theo trục quay, chuyển động này không thể có vì theo giả thiết, vật rắn chỉ quay xung quanh trục Δ r - Thành phần Fn không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn rời khỏi trục quay, chuyển động này cũng không thể có. - Như vậy, trong chuyển động quay, tác r dụng của lực F tương đương với tác dụng của r thành phần Ft của nó. Kết luận: Trong chuyển động quay của một vật rắn xung quanh một trục chỉ những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự. Vì vậy trong các phần sau, để đơn giản, ta có thể giả thiết rằng, các lực tác dụng lên vật rắn chuyển động quay đều là lực tiếp tuyến. b. Mômen của lực đối với trục quay r Xét tác dụng của một lực tiếp tuyến Ft đặt tại một điểm M ứng với bán kính OM=r. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, tác dụng của lực F, không những phụ thuộc cường độ của nó mà còn phụ thuộc khoảng cách r: khoảng cách này càng lớn thì tác dụng của lực càng mạnh. Để đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay, người ta đưa ra một đại lượng gọi là mômen lực. r Định nghĩa: Mômen của lực F, đối với trục quay Δ là một vectơ M xác định bởi (hình 3.1) r r Theo định nghĩa này, vectơ có phương vuông góc với mặt phẳng chứa r và Ft nghĩa là phương của trục quay, có chiều thuận với chiều quay từ r sang Ft có trị số: r Chú ý: vì trong chuyển động quay tác dụng của lực F1 tương đương với tác dụng r r của lực Ft nên người ta cũng định nghĩa M là vectơ mômen của Ft đối với trục Δ. Ta r có thể dễ dàng chứng minh được rằng: Mômen của một lực F1 đối với trục Δ sẽ bằng không khi lúc đó bằng không hoặc khi đó đồng phẳng với Δ. r r - Ta cũng thấy rằng mômen M của Ft đối với trục Δ là mômen của Ft đối với r điểm O, giao điểm của Δ và mặt phẳng chứa Ft vuông góc với Δ. 40
41. 3.4.2. Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng: tác dụng của các ngoại lực làm thay đổi trạng thái chuyển động của vật rắn quay, cụ thể là làm cho nó quay có gia tốc. Chúng ta sẽ thiết lập phương trình nêu lên mối liên hệ đó. Gọi Mi là một chất điểm bất kỳ của vật rắn, cách r trục một khoảng là ri ứng với bán kính vectơ OMi = r có khối lượng mi và chịu tác dụng của ngoại lực tiếp r tuyến Fti (tổng hợp các nội lực tác dụng lên các chất điểm của vật rắn bằng không, do vậy chúng không ảnh hưởng gì đến chuyển động quay). r Chất điểm Mi sẽ chuyển động với vectơ gia tốc tiếp tuyến a ti ; cho bởi: r r r r mia t i = Fi Nhân hữu hướng hai vế biểu thức trên với bán kính vectơ OMi = ri ta được: Khai triển ngoại tích kép ở hai vế của (3.17) ta được: vậy (3.18) trở thành: cộng các phương trình (3.19) vế với vế theo i (cộng theo tất cả các chất điểm của vật rắn) ta được: Trong phương trình (3.19) ∑Mi = M = tổng hợp mômen các ngoại lực tác dụng i 2 lên vật rắn∑ m=i .ri I gọi là mômen quán tính của vật rắn đối với trục Δ (bằng tổng i mômen quán tính của các chất điểm của vật rắn). Vậy ta có thể viết lại biểu thức (3.20) như sau: Phương trình (3.21) gọi là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục. Từ (3.21) ta cũng có thể viết lại như sau: 41
42. Và có thể phát biểu như sau: Gia tốc góc trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục tỷ lệ với tổng hợp mômen các ngoại lực đối với trục và tỷ lệ nghịch với mômen quán tính của vật rắn đối với trục. Phương trình (3.21) nêu lên mối liên hệ giữa tác dụng ngoại lực đối với vật rắn quay, đặc trưng bởi vectơ mômen M và sự thay đồi trạng thái chuyển động của vật rắn r quay, đặc trưng bởi yectơ gia tốc góc β . Phương trình này tương tự như phương trình r của định luật II Newton đối với chuyển động tịnh tiến mar = F , trong đó I có ý nghĩa tương tự như khối lượng m. Vậy, I là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn trong chuyển động quay. 3.4.3. Tính mômen quán tính Mômen quán tính I của vật rắn đối với một trục Δ được tính theo công thức: 2 Trong đó mi,.r i là mômen quán tính của chất điểm Mi của vật rắn đổi với trục và phép cộng lấy cho tất cả các chất điểm của vật rắn. Nếu khối lượng của vật rắn phân bố một cách liên tục, muốn tính mômen quán tính I, ta chia vật rắn thành những phần tử vô cùng nhỏ, mỗi phần tử có khối lượng vi phân dm và cách trục Δ một khoảng r; khi đó phép cộng ở vế phải của (3.23) trở thành phép lấy tích phân: Ví dụ 1: Tính mômen quán tính I của một thanh đồng chất chiều dài 1, khối lượng M đối với trục Δ0 đi qua trung điểm G của thanh và vuông góc với thanh. Ta xét một phần tử của thanh khối lượng dm, chiều dài dx cách G một đoạn x. Mômen quán tính của tìm đối với trục Δ0 là: dI = x2.dm (3.25) Vì thanh là đồng chất nên khối lượng của các đoạn trên thanh tỷ lệ với chiều dài của các đoạn đó: 42
43. Mômen quán tính I của thanh đối với trục Δ0 là: Ví dụ 2: Tính mômen quán tính của một đĩa đồng chất bán kính R, khối lượng M đối với trục Δ0 của đĩa: Ta phân tích đĩa thành những phần tử hình vành khăn bán kính x, bề rộng dx. diện tích vành khăn là: dS = d (x πx2) = 2πxdx Gọi khối lượng của phần tử hình vành khăn là md, mômen quán tính của nó là: dI = x2dm (3.27) Vì đĩa đồng chất nên khối lượng của các phần tử trên đĩa tỷ lệ với diện tích của các phần tử: Do đó, (3.27) trở thành: Mômen quán tính I của đĩa đối với trục Δ0 bằng: Chú ý: Biểu thức của I trong (3.29) không phụ thuộc chiều dày của đĩa, vì vậy, công thức (3.29) cũng áp dụng được để tính I của một vật đồng chất hình trụ tròn khối lượng M, bán kính R. Bằng những phép tính tương tự, ta có thể tìm được mômen quán tính của những vật đồng chất có hình dạng đối xứng đối với trục của chúng. Hình 3.5. Mômen quán tính của mã số vật rắn. 43
44. Định lý Stein-Huygen: Ở trên ta tìm được mômen quán tính của các vật đối với trục đối xứng Δ0 đi qua khối tâm G của chúng. Trong nhiều trường hợp ta phải tìm mômen quán tính đối với một trục bất kỳ. Khi đó ta có thể áp dụng định lý Stein-Huygen sau: Mômen quán tính của một vật rắn đối với một trục Δ bất kỳ bằng mômen quán tính của vật đối với trục Δ0 song song với Δ đi qua khối tâm G của vật cộng với khoảng 2 cách d giữa hai trục: I = I0 + Md (3.30) Dưới đây sẽ chứng minh định lý này cho một trường hợp đơn giản: trường hợp của thanh đồng chất chiều dài 1 khối lượng M. Giả thiết hai trục Δ và Δ0 cùng vuông góc với thanh (hình 3.6). Lấy một phần tử chiều dài dx, khối lượng dm của thanh, cách G một khoảng x (x > 0 nếu tìm ở bên phải G và x 0) lại ứng với một phần tử đối xứng bên trái dx (có x > 0), do đó hai số hạng tương ứng có x ngược dấu nên khử nhau. Cuối cùng ta có: 2 I = I0 +Md 3.5. Mômen động lượng của một hệ chất điểm 3.5.1. Định nghĩa Một hệ chất điểm Mi, M2, ,Mi, lần lượt cổ khối lượng m1 ,m 2 , , mi , và r r r chuyển động với những vận tốc v1, v2 , , vi , đối với một hệ quy chiếu gốc O. Tại thời điểm t vị trí những chất điểm ấy được xác định bởi các vector bán kính r r r r1, r2 , , ri , Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O được định nghĩa bởi: bằng tổng các mômen động lượng của các chất điểm trong hệ đó với O. 44
45. Chúng ta hãy xét một số trường hợp riêng a. Hệ chất điểm quay xung quanh một trục cố định Δ Khi đó, theo chứng minh ở phần trước ta có mômen động lượng của một chất r điềm ( mi , ri ): r Li = Iiωi (3.32) 2 trong đó I = miri là mômen quán tính của chất điểm đối với trục quay Δ, ωi là vận tốc góc của chất điểm trong chuyển động quay xung quanh Δ. Khi đó mômen động lượng của hệ được xác định bởi: b. Trường hợp vật rắn quay xung quanh một trục cố định Δ. Khi đó mọi chất điểm của vật rắn quay đều có cùng vận tốc góc. 2 trong đó I = ∑∑Ii = mi ri là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay Δ ii 3.5.2. Định lý về mômen động lượng của một hệ chất điểm Đối với chất điểm (m;, r) của hệ khi áp dụng định lí về mômen động lượng ta được: r M (O, Fi ) là tổng mômen đối với gốc O của các lực tác dụng lên chất điểm (mi). Cộng các phương trình trên theo I ta được: d r Vế trái (3.37) = L là đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của hệ. dt Vế phải của (3.37) biểu thị tổng mômen đối với gốc O của các lực tác dụng lên các chất điểm của hệ. Các lực tác dụng lên các chất điểm của hệ bao gồm các ngoại lực tác dụng và các nội lực tương tác của các chất điểm trong hệ. Chú ý rằng các nội lực tương tác của các chất điểm trong hệ từng đôi một đối nhau (cùng phương, ngược chiều và cùng độ lớn), do đó, tổng mômen đối với O của những lực này sử bằng 0. Vậy vế phải của (3.37) chỉ còn là tổng mômen đối với O của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Kết quả ta thu được công thức sau: 45
46. Định lí: Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của một hệ chấm điểm bằng tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với một điểm gốc O bất kì) Chúng ta hãy xét một trường hợp riêng: hệ chất điểm là một vật rắn quay xung r r 2 quanh một trục cố định Δ. Có: L = Iω I = miri , do đó định lí về mômen động lượng có thể viết: trong đó M là tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay. Tích phân phương trình (3.39) từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 tương ứng với sự biến thiên của t từ L1 đến L2 ta được: t2 Đại lượng ∫ Mdt được gọi là mômen xung lượng của mômen lực M trong khoảng t1 thời gian Δt = t2 – t1: Nếu M = không đổi thì ta được: Chú ý: đối với vật rắn quay xung quanh một trục cố định, mômen quán tính I = const. Vì vậy, ta có thể viết dωr trong đó β = là gia tốc góc và phương trình (3.42) là phương trình cơ bản của dt chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục mà ta đã biết. 3.6. Định luật bảo toàn mômen động lượng 3.6.1. Thiết lập Giả sử có một hệ chất điểm không chịu tác dụng của các ngoại lực (hệ chất điểm cô lập) hoặc có chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng tổng mômen của các ngoại lực ấy đối với điểm gốc O bằng 0. Khi đó theo định lí về mômen động lượng ta có: Vậy: Đối với một hệ chất điểm cô lập hay chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng tổng mômen của các ngoại lúc ấy đối với điểm gốc O bằng 0, thì tổng mômen động lượng của hệ là một đại lượng bảo toàn. 46
47. 3.6.2. Trường hợp hệ quay xung quanh một trục cố định Định lí về mômen động lượng đối với hệ trong trường hợp này: Cần chú ý rằng các vector vận tốc góc và vector mômen lực đều nằm trên trục r r r quay. Khi M ta được kết quả: I1ω1 + I2ω2 + Iiωi + = const 3.6.3. Một vài ứng dụng của định luật bảo toàn mômen động lượng Đối với một hệ quay xung quanh một trục với vận tốc góc ω, nếu tổng hợp mômen ngoại lực tác dụng bằng không thì mômen động lượng của hệ bảo toàn: Iω = const Nếu vì một lí do nào đó mômen quán tính I của hệ tăng thì ω giảm, hệ quay chậm lại; ngược lại nếu I giảm thì ω tăng, hệ quay nhanh lên. Ta có thể nêu một vài thí dụ minh họa tính chất đó. 47