Giáo trình Vật lý đại cương 1 - Chương 4: Năng lượng

Nội dung text: Giáo trình Vật lý đại cương 1 - Chương 4: Năng lượng

1. CHƯƠNG 4. NĂNG LƯỢNG 4.1. Công và công suất 4.1.1. Công Xét một vật nằm yên trên bàn. Nó chịu tác dụng của hai lực: trọng lực và phản lực của mặt bàn, tổng hình học của các ngoại lực bằng không. Do đó, theo định luật bảo toàn động lượng thì động lượng của vật bảo toàn. Suy ra, vật phải giữ nguyên trạng thái nằm yên trên bàn. Lại xét một ôtô chuyển động thẳng đều trên đường, mô chịu tác dụng của lực kéo của động cơ, lực cản của không khí, lực ma sát của mặt đường, trọng lượng của mô phản lực của mặt đường. Vì ôtô chuyển động thẳng đều, nên theo định luật I Newton thì tổng hình học của tất cả các lực tác dụng lên ôtô phải bằng 0. Do đó, theo định luật bảo toàn động lượng thì động lượng của ôtô không thay đổi theo thời gian. Như vậy, trạng thái chuyển động của ôtô và vật nằm trên mặt bàn là như nhau. Tuy nhiên, động cơ của ôtô phải hoạt động liên tục, tiêu tốn nhiên liệu để sản sinh ra lực kéo nhằm duy trì trạng thái chuyển động cơ học không thay đổi theo thời gian, trái lại vật nằm trên mặt bàn lại không cần tiêu tốn một tí năng lượng nào cả. Nghiên cứu kỹ, ta thấy có sự khác nhau rất cơ bản giữa hai ví dụ nêu ra ở trên, đó là: điểm đặt của các lực tác dụng lên vật nằm trên mặt bàn không dịch chuyển, còn điểm đặt của lực kéo của động cơ ôtô liên tục dịch chuyển cùng ôtô. Vậy, ta có thể nói rằng: một lực sinh công khi điểm đặt của nó chuyển dời. Thí nghiệm chứng tỏ rằng, lượng nhiên liệu tiêu thụ bởi động cơ ôtô tỷ lệ với tích r số của lực kéo F và quãng đường dịch chuyển x của điểm đặt của lực kéo (quãng đường dịch chuyển của ôtô). Đại lượng được đo bằng tích số của lực và quãng đường dịch chuyển của điểm đặt của lực gọi là công. Ví dụ trên cho thấy rằng năng lượng nhiệt chứa trong nhiên liệu khi bị đốt cháy trong động cơ ôtô đã chuyển thành công cơ học làm cho ôtô chuyển động. Vậy công chính là đại lượng đặc trưng cho phần năng lượng chuyển đổi từ dạng năng lượng này sang dạng năng khác, hay chính là phần năng lượng trao đổi giữa các vật. r Dưới tác dụng của lực F giả sử chất điểm dịch chuyển được một đoạn đường vi r phân dsr . Công vi phân dA mà lực F thực hiện được trên đoạn đường dsr là tích vô hướng của hai vectơ: r r dA = F.ds = F.ds.cosα (4.1) 48
2. Nếu: α 0: công hữu ích α π/2 thì dA < 0: công cản (ví dụ công của lực ma sát) Từ biểu thức (4.1) ta suy ra đơn vị của công là Jun (J): 1J = 1Nm. Biểu thức này chỉ đúng cho trường hợp r lực F không đổi và chuyển dời của s là thẳng. Trong trường hợp tổng quát điểm đặt của lực r Fchuyển dời từ điểm P đến điểm Q trên quỹ đạo, trong quá trình này lực thay đổi. Để tính công trong trường hợp này ta chia đoạn đường PQ thành nhiều đoạn con dự, rồi áp dụng công thức (4.1) tính công vi phân dA trên đoạn dsr đó, rồi cộng tất cả các r công vi phân lại ta sẽ tính được công mà lực F thực hiện được trên đoạn đường PQ: r Nếu phân tích vectơ F và dsr thành các thành phần theo các trục toạ độ của hệ toạ độ Descarst thì ta có thể biểu diễn công A dưới dạng: 4.1.2. Công suất r Khi định nghĩa công mà lực Fthực hiện được trên một đoạn đường nào đó ta không tính đến thời gian thực hiện công. Để đặc trưng cho khả năng sinh công nhanh hay chậm của một máy sinh công (Ví dụ: một động cơ) người ta đưa vào một đại lượng vật lý mới gọi là công suất. Công suất trung bình Ptb của một máy sinh công là tỷ số của công ΔA và thời gian Δt để thực hiện công đó, ta có: Về mặt ý nghĩa, công suất trung bình có giá trị bằng công trung bình của lực sinh ra trong đơn vị thời gian. ΔA Để tính công suất tại từng thời điểm, ta cho Δt → 0. Giới hạn của khi Δt → 0 Δt theo định nghĩa gọi là công suất tức thời (gọi tắt là công suất) của lực, được ký hiệu là: Vậy: công suất có giá trị bằng đạo hàm của công theo thời gian. 49
3. Vậy: công suất bằng tích vô hướng của lực tác dụng với vectơ vận tốc của chuyển rời. Đơn vị của công suất là Watt (W), 1w = 1J/s = 1 Nm/s. 4.1.3. Công và công suất của lực tác dụng trong chuyển động quay Trong trường hợp một vật rắn quay xung quanh một trục Δ các lực tác dụng đều là lực tiếp tuyến (hình 4.3). Công vi phân của một r lực tiếp tuyến Ft cho bởi: r dA = Ft ds r (giả sử Ft hướng theo chiều chuyển động) nhưng ds = rdα, dù là góc quay ứng với chuyển rời dsr , vậy: dA = rFtda r Theo định nghĩa: rFt = M mômen của lực Ft đối với trục quay Δ do đó: dA = M dA Từ đây, ta có thể suy ra biểu thức của công suất: 4.2. Năng lượng 4.2.1. Khái niệm năng lượng và định luật bảo toàn năng lượng Tất cả các dạng cụ thể của vật chất vận động đều có năng lượng. Năng lượng là một đại lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật chất. Một vật ở trạng thái nhất định thì có một năng lượng xác định. Khi một vật không cô lập nghĩa là có tương tác với môi trường bên ngoài thì vật đó sẽ biến đối trạng thái và trao đổi năng lượng với các vật bên ngoài. Sự trao đổi này có thể thực hiện băng nhiều cách. Nếu chỉ xét chuyền động cơ, thì sự trao đối năng lượng thực hiện như sau: vật đang khảo sát tác dụng những lực lên các vật bên ngoài và những lực này sinh công. Như vậy, công là một đại lượng đặc trưng cho quá trình trao đổi năng lượng giữa vật này và vật khác. Nói cách khác, khi một hệ thực hiện công thì năng lượng của nó biến đổi. Ta sẽ xem xét cụ thể các quá trình đó trong chương này. Giả thiết trong một quá trình nào đó hệ biến đổi từ trạng thái 1 (có năng lượng W1) sang trạng thái 2 (có năng lượng W2); quá trình này hệ nhận từ bên ngoài một 50
4. công A (công A là một lượng đại số có thề dương hay âm tuỳ theo hệ thực sự nhận công từ bên ngoài hay thực sự sinh công cho bên ngoài). Thực nghiệm chứng tỏ rằng độ biến thiên năng lượng W2 – W1 của hệ có giá trị bằng công A: W2 – W1 = A (4.9) Ta có thể phát biểu: "Độ biến thiên năng lượng của một hệ trong quá trình nào đó có giá trị bằng công mà hệ nhận được từ bên ngoài trong quá trình đó". Nếu hệ thực sự nhận công từ bên ngoài A > 0 năng lượng của hệ tăng, nếu thực sự sinh công cho bên ngoài, A < 0 năng lượng của hệ giảm. Trong trường hợp một hệ cô lập (tức không tương tác với bên ngoài, không trao đổi năng lượng với bên ngoài) ta có A = 0, khi đó (4.9) cho ta: W2 = W1 = const (4.10). Năng lượng của một hệ cô lập được bảo toàn. Các phát biểu (4.9) hay (4. 10) chính là nội dung của định luật bảo toàn năng lượng; như vậy có nghĩa là: Năng lượng không tự mất đi mà cũng không tự sinh ra, năng lượng chỉ chuyển từ hệ này sang hệ khác. Cần phân biệt hai khái niệm công và năng lượng. Một trạng thái của hệ tương ứng với một giá trị xác định của năng lượng của hệ; ta nói rằng năng lượng là một hàm trạng thái, còn công đặc trưng cho độ biến thiên năng lượng của hệ trong một quá trình nào đó. Công bao giờ cũng tương ứng với một quá trình cụ thể. Ta nói rằng công là hàm quá trình. Mỗi hình thức vận động cụ thể tương ứng với một dạng năng lượng cụ thể. Chẳng hạn như: vận động tương ứng với cơ năng; vận động nhiệt tương ứng với nội năng; vận động điện từ tương ứng với năng lượng điện từ. Tuy năng lượng được bảo toàn về số lượng những do tương tác giữa các hệ, do sự trao đổi năng lượng giữa hệ này và hệ khác, nên năng lượng luôn luôn chuyển hoá từ dạng này sang dạng khác. Định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng là sự phản ánh về mặt khoa học tự nhiên tính không thể tiêu diệt được sự vận động của vật chất. Ănghen gọi định luật đó là "quy luật cơ bản vĩ đại của sự vận động". Từ định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng chúng ta có thể rút ra một kết luận có tính thực tiễn. Theo (4.9) ta thấy rằng một hệ khi sinh công thực sự thì năng lượng của hệ giảm đi. Vì năng lượng của hệ là hữu hạn nên bản thân hệ không thể tự sinh công mãi mãi được. Muốn cho hệ tiếp tục sinh công, nhất thiết phải cung cấp thêm năng lượng cho hệ để bù lại phần năng lượng đã bị giảm trong quá trình làm việc. Như vậy, theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng không thể có một hệ sinh công mãi mãi và không nhận thêm năng lượng từ nguồn bên ngoài. Một hệ sinh công mãi mãi mà không cần nhận thêm năng lượng bên ngoài gọi là một động cơ vĩnh cửu. Định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng khẳng định sự không tồn tại của động cơ vĩnh cửu. 51
5. 4.2.2. Động năng a. Định lý về động năng Động năng là phần cơ năng tương ứng với sự chuyển động của các vật. Muốn xác định biểu thức của động năng ta hãy tính công của lực ngoài tác dụng lên vật. r Xét một chất điểm khối lượng m, chịu tác dụng của một lực F , và chuyển rời từ r vị trí 1 sang vị trí 2 (hình 4.4). Công của lực F trong chuyển rời từ 1 sang 2 là: Trong đó v1 và v2 là vận tốc của chất điểm tại các vị trí 1 và 2, thực hiện phép tích phân ta được: Theo (4.9) công A có trị số bằng độ biến thiên cơ năng (ở đây là động năng). Vậy ta có định nghĩa: mv2 1 =động năng chất điểm tại vị trí 1 = Wd1 2 2 mv2 = động năng chất điểm tại vị trí 2 = Wd2 2 Tổng quát, biểu thức động năng của chất điểm có khối lượng m, vận tốc vr cho bởi: Định lý về động năng: Độ biến thiên động năng của một chất điểm trong một quãng đường nào đó có giá trị bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất điểm sinh ra trong quãng đường đó. Kết luận: Khi động năng của một vật giảm thì ngoại lực tác dụng lên vật sinh một công cản; như thế nghĩa là vật đó tác dụng lên vật khác một lực và lực đó sinh công dương. b. Động năng trong trường hợp vật rắn quay Phương trình biểu thị định lý về động năng trên chỉ áp dụng đối với một chất 52
6. điểm hay một vật rắn chuyển động tịnh tiến. Còn đối với một vật rắn quay quanh trục Δ phương trình biểu thị định lý về động năng. có một dạng khác. Trong chuyển động quay quanh một trục, biểu thức của công vi phân là: r dA = Fds = Mdtωr theo phương trình cơ bản của chuyển động quay Tích phân hai vế của biểu thức trên trong một khoảng thời gian hữu hạn, trong đó vận tốc góc ω biến thiên từ ω1 đến ω2 ta được công của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay trong khoảng thời gian đó là: Ta suy ra biểu thức sau của động năng của vật rắn quay là: Chú ý: Trong trường hợp tổng quát vật rắn vừa quay, vừa chuyển động tịnh tiến, động năng toàn phần của vật rắn bằng tổng động năng quay và động năng tịnh tiến: Trường hợp riêng: vật rắn đối xứng tròn xoay, lăn không trượt; khi đó vận tốc tịnh tiến liên hệ với vận tốc quay bởi hệ thức v = ωR (với R là bán kính tiết diện vật rắn ở điểm tiếp xúc với mặt phẳng trên đó vật rắn lăn không trượt). Vậy, ta có thể viết biểu thức động năng toàn phần như sau: 4.2.3. Trường lực thế Một chất điểm được gọi là chuyển động trong một trường lực nếu tại mỗi vị trí các chất r điểm đều xuất hiện lực F tác dụng lên chất điểm ấy. r Lực F tác dụng lên chất điểm nói chung phụ thuộc vào vị trí của chất điểm: nói r cách khác F là một hàm của các toạ độ của chất điểm và cũng có thể là một hàm của r thời gian t. Trong bài này, ta không xét trường hợp F là hàm của t. Vậy nói chung ta có: 53
7. Khi chất điểm chuyển động từ vị trí M đến vị trí N bất kỳ (hình 4.5) thì công của r lực F bằng: r Nếu công AMN của lực F không phụ thuộc đường dịch chuyển MN mà chỉ phụ r thuộc vào vị trí điểm đầu M và điểm cuối N thì ta nói rằng: F (r ) là lực của một trường lực thế. Ta có thể dễ ràng chứng minh được trọng trường đều và trường tĩnh điện Culông là những trường lực thế. 4.2.4. Thế năng a. Định nghĩa Khi một chất điểm dịch chuyển từ vị trí M sang vị trí N trong trường lực thế thì công AMN của trường lực chỉ phụ thuộc vào hai vị trí đầu và cuối M, N. Tính chất này ta có thể định nghĩa: Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là một hàm Wt phụ thuộc vào vị trí của chất điểm sao cho: AMN = Wt(M) - Wt(N) (4.18) Từ định nghĩa ta thấy rằng: nếu đồng thời cộng Wt(M) và Wt(N) với cùng một hằng số thì hệ thức định nghĩa trong (4.18) vẫn được nghiệm đúng, nói cách khác: "thế năng của chất điểm tại một vị trí được định nghĩa sai khác một hằng số cộng". Ví dụ 1: Trong trọng trường đều, biểu thức công trong trường lực này là: AMN = mgz1 – mgz2, ta suy ra biểu thức của thế năng chất điểm tại vị trí có độ cao z là L: Wt(z) = mgz + C (4.19) Ví dụ 2: Trong điện trường Cu lông, biểu thức công trong trường lực này là: suy ra biểu thức tính thế năng của điện tích q0 tại vị trí cách q một đoạn r là: b. Tính chất - Thế năng tại một vị trí được xác định sai khác một hằng số cộng nhưng hiệu thế năng giữa hai vị trí thì hoàn toàn xác định. Giữa trường lực và thế năng có hệ thức sau: Nếu cho chất điểm địch chuyển theo một vòng kín (M ≡ N) thì hệ thức trên đây trở thành 54
8. c. Ý nghĩa của thế năng Thế năng là dạng năng lượng đặc trưng cho tương tác. Ví dụ 1: Dạng thế năng của chất điểm trong trọng trường của quả đất là năng lượng đặc trưng cho tương tác giữa quả đất với chất điểm; ta cũng nói đó là thế năng tương tác giữa quả đất và chất điểm. Ví dụ 2: Thế năng của điện tích q0 trong điện trường Culông của điện tích q là thế năng tương tác giữa q0 và q. 4.2.5. Định luật bảo toàn cơ năng Khi chất điểm khối lượng m chuyển động từ vị trí M đến vị trí N trong một trường lực thế thì công của trường lực cho bởi: AMN = Wt(M) - Wt(N) Nếu chất điểm chỉ chịu tác dụng của trường lực thế thì theo định lý về động năng, ta có: AMN = Wd(N) - Wd(M) Vậy: Wt(M) - Wt(N) = Wd(N) - Wd(M) Hay Wd(M) + Wt(M) = Wd(N) + Wt(N) (4.23) Vậy tổng: Wd(m) + Wt(M) = const (4.24) Tổng này có giá trị không đổi, không phụ thuộc vào vị trí của chất điểm. Tổng động năng và thế năng của chất điểm được gọi là cơ năng của chất điểm. Khi chất điểm chuyển động trong một trường lực thế (không chịu tác dụng của một lực nào khác) thì cơ năng của chất điểm là một đại lượng bảo toàn. Đây chính là định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế. Vỉ du: Khi chất điểm khối lượng m chuyển động trong trọng trường đều thì: Hệ quả: Vì W = Wd + Wt = const nên trong quá trình chuyển động của chất điểm trong trường lực thế nếu động năng Wd tăng thì thế năng Wt giảm và ngược lại; ở chỗ nào Wd đạt giá trị cực đại thì Wt cực tiểu và ngược lại. Chú ý: Khi chất điểm chuyển động trong trường lực thế còn chịu tác dụng của r một lực khác F (ví dụ lực ma sát) thì nói chung cơ năng của chất điểm không bảo r toàn: độ biến thiên của cơ năng chất điểm sẽ bằng công của lực F đó. 4.3. Bài toán va chạm Ta hãy khảo sát bài toán va chạm của hai quả cầu nhỏ chuyển động trên đường thẳng nối liền hai tâm của chúng (va chạm xuyên tâm). 55
9. Giả thiết hai quả cầu có khối lượng lần lượt là m1 và m2 Trước va chạm chúng có r r vectơ vận tốc là v1 và v2 (cùng phương); sau va chạm, chúng có vectơ vận tốc là r r v1 và v2 . Trước hết ta hãy viết phương trình biểu diễn sự bảo toàn động lượng của hệ trước và sau va chạm: m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2 (4.26) (ta chỉ viết phương trình đối với trị đại số của các vectơ vận tốc vì chúng cùng phương). r r Để tìm được vận tốc v1 và v2 ta phải tìm thêm một phương trình nữa, muốn vậy ta phải xác định điều kiện va chạm. Ta xét hai trường hợp: 4.3.1. Va chạm đàn hồi Động năng của hệ (m1 + m2) trước và sau Va chạm bảo toàn. Khi đó ta có: Từ (4.26) và (4.27) ta rút ra: Theo kết quả (4.28) ta thấy rằng: trong trường hợp đặc biệt m1 = m2 thì v1 = v2 và v2 = vi ; ta nói rằng hai quả cầu trao đổi vận tốc với nhau. Nếu ban đầu quả cầu 2 đứng yên (v2 = 0), ta sẽ có: Trong trường hợp m1 - m2 thì v1 = 0 và v2 = v1, như đã nói ở trên chúng trao đổi vận tốc với nhau, quả cầu 1 sẽ đứng yên, quả cầu 2 sẽ chuyển động với vận tốc bằng vận tốc của quả cầu 1 trước va chạm. Trong trường hợp m1 <<< m2 theo (4.30) ta có: v1 ≈ -v2 v2 ≈ 0 nghĩa là quả cầu 2 vẫn đứng yên, quả cầu 1 bắn ngược trở lại với vận tốc bằng vận tốc tức thời (về giá trị) của nó trước va chạm. 56
10. 4.3.2. Va chạm mềm Sau va chạm hai quả cầu dính vào nhau chuyển động cùng vận tốc. Khi đó ta có: Vậy (4.26) trở thành: (m1 + m2) v = m1v1 + m2v2 Từ đây ta suy ra: Trong va chạm mềm, nói chung động năng không được bảo toàn mà bị giảm đi. Độ giảm động năng của hệ có trị sồ bằng: Độ giảm động năng này có giá trị bằng công làm biến dạng hai quả cầu. 57
11. CHƯƠNG 5. TRƯỜNG HẤP DẪN Nhiều hiện tượng trong tự nhiên chứng tỏ rằng các vật có khối lượng luôn luôn tác dụng lên nhau những lực hút. Trọng lực là lực hút của quả đất đối với các vật xung quanh nó. Quả đất quay xung quanh mặt trời là do lực hút của mặt trời; Mặt trăng quay xung quanh quả đất là do lực hút của quả đất. Giữa các vì sao trong vũ trụ cũng có lực hút lẫn nhau v.v Các lực hút đó gọi là lực hấp dẫn vũ trụ. Giữa những vật xung quanh ta cũng có lực hấp dẫn vũ trụ nhưng giá trị của những lực này quá nhỏ nên ta không thể quan sát được. Nhà bác học Newton là người đầu tiên nêu lên định luật cơ bản về lực hấp dẫn vũ trụ. 5.1. Định luật vạn vật hấp dẫn 5.1.1. Định luật vạn vật hấp dẫn - Định luật Newton Phát biểu: Hai chất điểm khối lượng m và m' mặt cách nhau một khoảng r sẽ hút nhau bằng những lực có phương là đường thẳng nối hai chất điểm đó, có cùng độ tỷ lệ thuận với hai khối lượng m và m' và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách r: Trong công thức trên, G là một hệ số tỷ lệ, phụ thuộc vào sự chọn các đơn vị và gọi là hằng số hấp dẫn vũ trụ. Trong hệ đơn vị SI, thực nghiệm cho ta trị số của G là: Ví dụ: Cho m = m1 = 1kg; r = 0,1m, ta tính được: Trị số này nhỏ quá không phát hiện được. Chú ý: + Công thức (5.1) chỉ áp dụng cho trường hợp những chất điểm. Muốn tính lực hấp dẫn vũ trụ giữa các vật có kích thước lớn, ta phải dùng phương pháp tích phân. + Người ta đã chứng minh rằng vì lý do đối xứng công thức (5.1) cũng áp dụng được cho trường hợp hai quả cầu đồng chất, khi đó r là khoảng cách giữa hai tâm của quả cầu đó. 5.1.2. Khối lượng quán tính và khối lượng hấp dẫn Khối lượng là độ đo về lượng (nhiều hay ít) vật chất chứa trong vật thể, có thể 58
12. tính từ tích phân toàn bộ thể tích của vật: m = ∫ pdV Với p là khối lượng riêng. Đơn vị tiêu chuẩn đo khối lượng ở Việt Nam, tuân theo hệ đo lường quốc tế, là kilôgam. Các quốc gia khác trên thế giới có thể sử dụng đơn vị đo khác. Tham khảo thêm tại trang đơn vị đo khối lượng. Khối lượng của một vật là một đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ quán tính của vật đó. Vật có khối lượng lớn có sức ì lớn hơn và cần có lực lớn hơn để làm thay đổi chuyển động của nó. Mối liên hệ giữa quán tính với khối lượng được Isaac Newton phát biểu trong định luật 2 Newton. Khối lượng trong chuyển động thẳng đều còn được mở rộng thành khái niệm mômen quán tính trong chuyển động quay. Khối lượng của một vật cũng đặc trưng cho mức độ vật đó hấp dẫn các vật thể khác theo định luật vạn vật hấp dẫn Newton. Vật có khối lượng lớn có tạo ra xung quanh trường hấp dẫn lớn. Khối lượng hiểu theo nghĩa độ lớn của quán tính, khối lượng quán tính, không nhất thiết trùng với khối lượng hiểu theo nghĩa mức độ hấp dẫn vật thể khác, khối lượng hấp dẫn. Tuy nhiên các thí nghiệm chính xác hiện nay cho thấy hệ khối lượng này rất gần nhau và một tiên đề của thuyết tương đối rộng của Albert Einstein phát biểu rằng hai khối lượng lượng này là một. 5.1.3. Một vài ứng dụng a. Sự thay đổi của gia tốc trọng trường theo độ cao Lực hút của quả đất đối với một chất điểm khối lượng m (lực trọng trường) chính là lực hấp dẫn vũ trụ. Nếu m ở ngay trên mặt đất thì theo (5.1), lực hấp dẫn do quả đất tác dụng lên m bằng: trong đó M là khối lượng của quả đất. Nhưng lực trọng trường P0 cũng bằng P0 = mg0 (5.4) với g0 là giá trị của gia tốc trọng trường ngay trên mặt đất. So sánh (5.3) và (5.4) ta được: Tại một điểm cách mặt đất độ cao h (hình 5.2), lực trọng trường tác dụng lên chất điểm khối lượng m tính bởi: suy ra giá trị của gia tốc trọng trường ở độ cao h là: 59
13. Từ (5.4a) và (5.6), ta có: Ta chi xét các độ cao hai, do đó h << R, và ta có thể viết gần đúng: (5.7) là sự phụ thuộc của gia tốc trọng trường theo độ cao h. Theo (5.7) thì càng lên cao, g càng giảm. b. Tính khối lượng của các thiên thể Từ biểu thức (5.3), ta có thể tính khối lượng M của trái đất: với R là bán kính trái đất, có giá trị trung bình là 6370km = 6,370.106m; g là gia tốc trọng trường trên mặt đất, lấy giá trị trung bình bằng 9,8m/s2. vậy: Nhờ công thức về lực hấp dẫn vũ trụ, ta cũng có thể tính được khối lượng mặt trời. Trái đất quay xung quanh mặt trời là do lực hấp dẫn của mặt trời đối với trái đất lực này đóng vai trò lực hướng tâm: Trong đó M' là khối lượng Mặt trời, R' là khoảng cách từ quả đất đến mặt trời; nếu quỹ đạo của quả đất quay xung quanh Mặt trời coi như quỹ đạo tròn (R' coi như không đổi và lấy bằng khoảng cách trung bình từ quả đất đến Mặt trời) thì lực hướng r tâm F cho bởi công thức: v là vận tốc chuyển động của quả đất trên quỹ đạo. Vận tốc v của quả đất có liên hệ với chu kì quay T của nó: 60
14. Thay (5.10) vào (5.9) rồi so sánh với (5.8) ta được: Từ đó suy ra khối lượng Mặt trời Tính cụ thể bằng số ta tìm được M ' = 2.1030kg 5.2. Tính chất thế của trường hấp dẫn Để giải thích lực hấp dẫn, người ta cho rằng xung quanh một vật có khối lượng, tồn tại một trường hấp dẫn. Biểu hiện cụ thể của trường hấp dẫn là: bất kỳ một vật nào có khối lượng đặt tại một vị trí trong không gian của trường hấp dẫn đều chịu tác dụng của lực hấp dẫn. 5.2.1. Bảo toàn mômen động lượng trong trường hấp dẫn Ta khảo sát chuyển động của một chất điểm khối lượng m trong trường hấp dẫn của một chất điểm khối lượng M đặt cố định tại một điểm O. Chọn O làm gốc tọa độ, định lý về mômen động lượng áp dụng đối với chất điểm m cho ta: r Nhưng lực F là lực luôn hướng tâm O nên r d r r ( M(O, F ) = 0 và (F) = 0 hay L = const . dt Vậy khi một chất (m) chuyển động trong trường hấp dẫn của một chất điểm (M) thì mômen động lượng của (m) là một đại lượng bảo toàn. Hệ quả: (m) chuyển động trên một quỹ đạo phẳng, mặt phẳng quỹ đạo của (m) ⊥ vectơ L (có phương không đổi). 5.2.2. Tính chất thế của trường hấp dẫn r Ta hãy tính công của lực hấp dẫn F tác dụng lên chất điểm (m) chuyển động trong trường hấp dẫn của chất điểm (M), khi (m) chuyển dời từ một điểm A đến một điểm B trên r quỹ đạo của nó. Công của lực F trong chuyển r dời vi phân ds = PQ là: r r dA = F.PQ = FPQcosα Nếu ta vẽ QH ⊥ OP thì theo hình vẽ ta có: PQcosα = −PH (PH là độ dài đại số 61
15. với quy ước chiều dương là chiều O Æ P). r Vậy dA = −F.PH Nhưng vì PQ là một chuyển dời vi phân nên nếu ta đặt OP = r thì OH ≈ OQ = r + dr và PH = OH − OP = r + dr − r = dr Mm Vậy dA = −Fdr = −G dr r 2 r Công của lực F trong chuyển dời của (m) từ A đến B cho bởi tích phân: r công của lực hấp dẫn F không phụ thuộc đường dịch chuyển AB mà chỉ thuộc vị trí điểm đầu A và điểm cuối B. Vậy trường hấp dẫn của chất điểm (M) là một trường lực thế. Tổng quát, người ta chứng minh được rằng: trường hấp dẫn Newton là một trường thế. Hệ quả: Ta có thể định nghĩa thế năng của chất điểm (m) trong trường hấp dẫn của chất điểm (M). Thế năng của (m) tại vị trí A: Thỏa mãn hệ thức ABA = W1 (A) - Wt (B) Tổng quát: thế năng của (m) tại vị trí cách O một khoảng r: C là một hằng số tùy ý chọn, có giá trị bằng thế năng tại vô cùng: Wt (Q0) = C (5.14) 5.2.3. Bảo toàn cơ năng trong trường hấp dẫn V trường hấp dẫn là một trường thế nên khi chất điểm (m) chuyển động trong trường hấp dẫn, cơ năng của nó được bảo toàn 62
16. (chọn C = 0) Hệ quả: khi r tăng thế năng tăng thì động năng giảm và ngược lại. 5.3. Chuyển động trong trường hấp dẫn của quả đất Nếu từ một điểm A nào đó trong trường hấp dẫn của quả đất, ta bắn đi một viên đạn khối lượng m với vận tốc đầu là v0 thì lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng tùy theo trị số của v0 có thể xảy ra một trong những trường hợp sau: - Viên đạn rơi trở về mặt đất; - Viên đạn bay vòng quanh quả đất theo một quỹ đạo kín (tròn hay cập); - Viên đạn bay ngày càng xa quả đất. Trị số vận tốc ban đầu vo cần thiết để bắn viên đạn bay vòng quanh quả đất theo một quỹ đạo tròn gọi là vận tốc vũ trụ cấp I. Trị số tối thiểu của vận tốc ban đầu vo cần thiết để bắn viên đạn bay ngày càng xa quả đất gọi là vận tốc vũ trụ cấp II. 5.3.1. Vận tốc vũ trụ cấp I Ta tính vận tốc vũ trụ cấp I khi viên đạn chuyển động tròn xung quanh quả đất. Giả thiết viên đạn bay cách mặt đất không xa lắm để ta có thể coi bán kính quỹ đạo của nó bằng bán kính R của quả đất. Vận tốc v1 của viên đạn trong chuyển động tròn có liên hệ với gia tốc hướng tâm (gia tốc trọng trường) bởi: Tính cụ thể bằng số ta được: v1 = 7,9km/s = 8km/s Nếu bắn với vận tốc ban đầu v0 < 8km/s, viên bạn sẽ rơi trở về quả đất, nếu bắn với vận tốc ban đầu 8km/s < v0 < VII thì viên đạn chuyển động xung quanh quả đất theo quỹ đạo hình elip. 5.3.2. Vận tốc vũ trụ cấp II Giả sử viên đạn xuất phát từ A cách tâm của quả đất một khoảng bằng bán kính quả đất R, với vận tốc ban đầu v0 và bay ngày càng xa quả đất đến ∞ . Định luật bảo toàn cơ năng áp dụng đối với viên đạn cho ta: 63
17. Giá trị tối thiểu của v0 chính là vận tốc vũ trụ cấp II: vII = 2g 0R (5.17) Giá trị cụ thể là: vII = 11,2 km/s. 64
18. CHƯƠNG 6. THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN 6.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển. Nguyên lý Galille 6.1.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển Cơ học cổ điển xây dựng trên cơ sở những quan điểm của Newton về không gian, thời gian và chuyển động. Để cụ thể chúng ta hãy xét hai hệ tọa độ: một hệ Oxyz đứng yên, một hệ O', x', y', z' chuyển động so với O; để đơn giản ta giả thiết chuyển động của hệ O' thực hiện sao cho O'x' luôn luôn trượt dọc theo Ox; Oy' song song và cùng chiều với Oy, O'z' song song và cùng chiều với Oz (hình 6.1). Với mỗi hệ tọa độ gắn thêm một đồng hồ để chỉ thời gian. Ta hãy xét một điểm M bất kỳ: tại thời điểm t chỉ bởi đồng hồ của hệ O, M có tọa độ trong hệ O là x, y, z; các tọa độ thời gian và không gian tưởng ứng của M trong hệ O' là t', x', y', z'. Theo các quan điểm của Newton: - Thời gian chỉ bởi các đồng hồ trong hai hệ O và O' là như nhau: t = t' (6.1) Nói cách khác: thời gian có tính tuyệt đối không phụ thuộc hệ quy chiếu. - Vị trí của M trong không gian được xác định tùy theo hệ quy chiếu: cụ thể là các tọa độ không gian của M phụ thuộc hệ quy chiếu; ta có: x = x'+OO', y = y', z = z' (6.2) Như vậy: vị trí không gian có tính chất tương đối phụ thuộc hệ quy chiếu. Do đó: chuyển động có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu. - Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong không gian là một đại lượng không phụ thuộc hệ quy chiếu. Giả thiết có một cái thước AB đặt dọc theo trục Ox gắn liền với hệ O'. Chiều dài cuar thước đo trong hệ O' cho bởi: l0 = xb - x∧ Chiều dài của thước đo trong hệ O cho bởi: l = xb - x∧ Nhưng theo (6.2), ta có: x = OO'+x A ∧ x B = OO'+x ∧ Do đó: XB – xA = xB – xA hay l = l0 65
19. Nói cách khác, khoảng không gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc hệ quy chiếu. Xét trường hợp riêng: chuyển động của hệ O' là chuyển động thẳng đều. Nếu tại t = 0, O' trùng với O, thì: OO'= vt v là vận tốc chuyển động của hệ O'. Theo (6.1) và (6.2) ta có: x = x'+vt', y = y', z = z', t = t' (6.3) Và ngược lại x' = x - vt', y' = y, z '= z, t' = t (6.4) Các công thức (6.3) và (6.4) gọi là các phép biến đổi Galille: chúng cho ta cách chuyển các tọa độ trong không gian, thời gian từ hệ quy chiếu O' sang hệ quy chiếu O và ngược lại. 6.1.2. Tổng hợp vận tốc và gia tốc Vì chuyển động có tính chất tương đối, nên vận tốc và gia tốc chuyển động của một chất điểm phụ thuộc hệ quy chiếu. Chúng ta hãy tìm những công thức liên hệ vận tốc, gia tốc của một chất điểm M đối với hai hệ tọa độ Oxyz và O'x'y'z' khác nhau. Giả thiết hệ O'x'y'z' chuyển động tịnh tiến đối với hệ Oxyz sao cho ta luôn luôn có: O'x' ↑↑ Ox; O'y' ↑↑ Oy; O'z' ↑↑ Oz Đặt OM = r, OM'= r' theo hình (6.1) ta có: OM = OO'+OM' Hay r = r'+OO' (6.5) Đạo hàm hai vế của (6.5) theo thời gian t, ta được: Như vậy, biểu thức (6.6) trở thành: r vr = vr'+V (6.7) Vectơ vận tốc của một chất điểm đối với một hệ quy chiếu O bằng tổng hợp vectơ vận tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu O ' chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu O và vectơ vận tốc tịnh tiến của hệ quy chiếu O ' đối với hệ quy hiếu O. 66
20. Lấy đạo hàm hai vế của biểu thức (6.7) theo thời gian t ta được: r Hay ar = ar'+A (6.8) Trong đó: ar là gia tốc của M đối với hệ O; ar'là gia tốc của M đổi với hệ O' ; r A là gia tốc tịnh tiến của hệ O' đối với hệ O. Vậy: Vectơ gia tốc của một chất điểm đối với một hệ quy chiếu O bằng tổng hợp vectơ gia tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu O ' chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu O và vectơ gia tốc tịnh tiến của hệ quy chiếu O ' đối với hệ quy chiếu O. Hai công thức (6.7) và (6.8) gọi là công thức tổng hợp vận tốc và gia tốc. 6.1.3. Nguyên lý tương đối Galillê Trong mục này chúng ta hãy xét chuyển động của một hệ chất điểm trong hai hệ quy chiếu khác nhau: hệ Oxyz quy ước là đứng yên, hệ O'x'y'z' chuyển động tịnh tiến đối với hệ Oxyz. Ta giả thiết rằng hệ O là một hệ quán tính, trong đó các định luật Newton được nghiệm đúng. Như vậy, phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ O cho bởi định luật Newton là: r mar = F (6.9) r ar là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O, F là tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm. Gọi ar'là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O', theo (6.8) ta có: ar = ar'+ar . r Trong đó A là gia tốc chuyển động của hệ O' đối với hệ O. r Nếu hệ O' chuyển động thẳng đều đối với hệ O thì A = 0 và ar = ar' (6.10) vậy, (6.9) có thể viết thành: mar' =f (6.11) Đó là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ O', phương trình này cùng một dạng như (6.9). Nói cách khác định luật Newton cũng thỏa mãn trong hệ O, kết quả hệ O' cũng là một quy chiếu quán tính. Ta có thể phát biểu như sau: Mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính cũng là một hệ quy chiếu quán tính; hay là: Các định luật Newton được nghiệm đúng trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính. Điều đó có nghĩa là: Các phương trình động lực học trong các hệ quy chiếu quán tính có dạng giống nhau. 67
21. Đó là những cách phát biểu khác nhau của nguyên lý tương đối Galille. Vì các phương trình động lực học là cơ sở đế mô tả và khảo sát các hiện tượng cơ học nên ta cũng có thể phát biểu: Các hiện tượng, các quá trình cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau đều xảy ra giống nhau. Do đó nếu có người quan sát và thí nghiệm các hiện tượng, các quá trình cơ học trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó thì người đó sẽ không thể phát hiện được hệ quy chiếu đó đứng yên hay chuyển động thẳng đều, vì trong cả hai trường hợp những kết quả thu được như nhau. Nguyên lý Galille và phép biến đổi Galillê: Chúng ta biết rằng phép biến đổi Galille (6.3) và (6.4) thực hiện sự chuyển các tọa độ không gian thời gian từ hệ quy chiếu O sang hệ quy chiếu O' chuyển động thẳng đều đối với O. Bây giờ chúng ta hãy xét sự liên hệ giữa phép biến đổi Galille và nguyên lý tương đối Galille. Theo nguyên lý Galille, định luật Newton trong hệ O' được biểu diễn bằng phương trình: r mar'= F Hay, nếu chiếu lên ba trục O'x', Oy', O'z' ta được: max = Fx ; may = Fy ; maz = Fz . Hay, theo các hệ thức trong chương động học: Những phương trình này có cùng dạng như những phương trình biểu diễn định luật Newton trong hệ quy chiếu quán tính O: max = F nhưng ta nhận thấy hệ các phương trình (6.9) có thể suy ra (6.11) qua phép biến đổi Galille (6.3) và (6.4). Vậy phương trình biểu diễn định luật Newton giữ nguyên dạng qua phép biến đổi Galille. Nói cách khác: các phương trình cơ bản bất biến đối với phép biến đổi Galille. Phát biểu này tương đương với nguyên lý Galille. Quả vậy, nếu hệ O là hệ quán tính thì hệ O' chuyển động thẳng đều đối với hệ O, cũng là hệ quán tính. Như vậy, phép biến đổi Galille thực hiện sự chuyển các tọa độ không gian thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Kết quả qua phép biến đổi Galille, các phương trình biểu diễn định luật Newton giữ nguyên dạng khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Đó chính là nội dung của nguyên lý tương đối Galille. 68
22. 6.1.4. Lực quán tính Bây giờ ta hãy xét các định luật động lực học trong một hệ quy chiếu O1 tịnh tiến r r có gia tốc A đối với hệ quy chiếu quán tính O. Gọi a1 ' là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O1 thì: r r r a = a1 + A nhân hai vế với m: r r r ma = ma1 + A Vì O là hệ quán tính nên trong đó định luật Newton nghiệm đúng r mar = F r r r Do đó: F = ma1 + mA r r Hay ma1 = F + (−mA) (6.12) Ta thấy phương trình này không cùng dạng như (6.9), nói cách khác: khi khảo sát chuyển động chất điểm trong một hệ O1 tịnh tiến có gia tốc đối với hệ quán tính O, ngoài các lực tác dụng lên chất điểm phải kể thêm lực: r r Fqt = −mA . r r Lực Fqt = −mA gọi là lực quán tính. Hệ quy chiếu O1 gọi là hệ không quán tính. Phương trình động lực của chất điểm trong hệ O1 được viết là: r r r ma1 = F + Fqt Như vậy, lực quán tính là một lực ảo chỉ quan sát được trong hệ quy chiếu không quán tính. Lực quán tính luôn luôn cùng phương và ngược chiều với gia tốc chuyển động của hệ quy chiếu không quán tính. Nhờ khái niệm lực quán tính ta có thể giải thích nhiều hiện tượng trong thực tế, chẳng hạn như giải thích hiện tượng tăng trọng lượng trong con tàu vũ trụ lúc xuất phát. 6.2. Những tiên đề của thuyết tương đối hẹp Einstein Để xây dựng nên thuyết tương đối của mình, năm 1905 Einstein đã đưa ra hai nguyên lý sau: 6.2.1. Nguyên lý tương đối Mọi định luật Vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. 6.2.2. Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính. Nó có giá trị bằng c = 3. 108 m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên. Ở đây cần phân biệt với nguyên lý tương đối Galille trong cơ học cổ điển. 69
23. Theo nguyên lý này chỉ các định luật cơ học là bất biến khi chuyển từ một hệ quán tính này sang một hệ quán tính khác. Điều đó có nghĩa là phương trình mô tả một định luật cơ học nào đó, biểu diễn qua tọa độ và thời gian, sẽ giữ nguyên dạng trong tất cả các hệ quán tính. Như vậy, nguyên lý tương đối Einstein đã mở rộng nguyên lý Galille từ các hiện tượng cơ học sang các hiện tượng Vật lý nói chung. Trong cơ học cổ điển Newton, tương tác được mô tả dựa vào thế năng tương tác Đó là một hàm của các tọa độ những hạt tương tác. Từ đó suy ra các lực tương tác giữa một chất điểm nào đó với các chất điểm còn lại, tại mỗi thời điểm, chỉ phụ thuộc vào vị trí của các chất điểm tại cùng thời điểm đó. Sự tương tác sẽ ảnh hưởng ngay tức thời đến các chất điểm khác tại cùng thời điểm. Như vậy, tương tác được truyền đi tức thời. Nếu chia khoảng cách giữa hai chất điểm cho thời gian truyền tương tác Δt (Δt = 0), vì là truyền tức thời) ta sẽ thu được vận tốc truyền tương tác. Từ đó suy ra rằng trong cơ học cổ điển vận tốc truyền tương tác lớn vô hạn. Tuy nhiên, thực nghiệm đã chứng tỏ, trong tự nhiên không tồn tại những tương tác tức thời. Nếu tại một chất điểm nào đó của hệ chất điểm có xảy ra một sự thay đổi nào đó, thì sự thay đổi này chỉ ảnh hưởng tới một chất điểm khác của hệ sau một khoảng thời gian ít nào đó (Δt > 0). Như vậy, vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu hạn. Theo thuyết tương đối của Einstein vận tốc truyền tương tác là như nhau trong tất cả các hệ quán tính. Nó là một hằng số phổ biến. Thực nghiệm chứng tỏ vận tốc không đổi này là cực đại và bằng vận tốc truyền ánh sáng trong chân không (c = 3.108m/s). Trong thực tế hàng ngày chúng ta thường gặp các vận tốc rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng (v << c) do đó trong cơ học cổ điển ta có thể coi vận tốc truyền tương tác là vô hạn mà vẫn thu được những kết quả đủ chính xác. Như vậy, về mặt hình thức có thể chuyển từ thuyết tương đối Einstein sang cơ học cổ điền bằng cách cho c → ∞ ở trong các công thức của cơ học tương đối tính. 6.3. Phép biến đổi Lorentz 6.3.1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galille với thuyết tương đối Einstein Theo các phép biến đổi Galille, thời gian diễn biến của một quá trình Vật lý trong các hệ quy chiếu quán tính K và K' đều như nhau. Khoảng cách giữa hai điểm 1 và 2 nào đó trong các hệ K và K' đều bằng nhau Δl = x2 – x1 = Δl'= x2 – x1 (các đại lượng có dấu phảy đều được xét trong hệ K'). Vận tốc tuyệt đối v của chất điểm bằng tổng vectơ các vận tốc tương đối v' và vận tốc theo V của hệ quán tính K' đối với K v = v' + V Tất cả các kết quả đó đều đúng đối với các chuyển động chậm (v << c). Nhưng rõ ràng là chúng mâu thuẫn với các tiên đề của thuyết tương đối Einstein. Thực vậy, theo thuyết tương đối, thời gian không có tính chất tuyệt đối, khoảng thời gian diễn biến 70
24. của một quá trình Vật lý phụ thuộc vào các hệ quy chiếu. Đặc biệt các hiện tượng xảy ra đồng thời ở trong hệ quán tính này sẽ không xảy ra đồng thời ở trong hệ quy chiếu quán tính khác. 6.3.2. Phép biến đổi Lorentz Qua trên ta nhận thấy, phép biến đổi Galille không thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối Einstein. Lorentz đã tìm ra phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối, và được gọi là phép biến đổi Lorentz. Xét hai hệ quy chiếu quán tính K và K' như trên. Giả sử lúc đầu hai gốc O và O' của hai hệ trùng nhau, hệ K' chuyển động so với hệ K với vận tốc V theo phương x. Gọi xyzt và x'y'z't' là các tọa độ không gian và thời gian lần lượt xét trong các hệ K và K '. Vì theo thuyết tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối mà trái lại phụ thuộc vào hệ quy chiếu nên thời gian trôi đi trong hai hệ sẽ khác nhau, nghĩa là: t # t' Giả sử tọa độ xe liên hệ với x và t theo phương trình: x' = f (xt) (6.14) Để tìm dạng của phương trình f (x,t) chúng ta viết phương trình chuyển động của các gốc tọa độ O và O' ở trong hai hệ K và K'. Đối với hệ K, gốc O' chuyển động với vận tốc V. Ta có: x - Vt = 0 (6.15) trong đó x là tọa độ của gốc O' xét với hệ K. Còn đối với hệ K' gốc O' là đứng yên. Tọa độ xe của nó trong hệ K' bao giờ cũng bằng không. Ta có: x' = 0. Muốn cho phương trình (6.14) áp dụng đúng cho hệ K', nghĩa là khi thay x' = 0 vào (6.14) ta phải thu được (6.15), thì f (x,t) chỉ có thể khác (x - Vt) một số nhân α nào đó: x' = α(x - Vt) (6. 16) Đối với hệ K' gốc O chuyển động với vận tốc - V. Nhưng đối với hệ K gốc O là đứng yên. Lập luận tương tự như trên ta có: x = β(x' + Vt') (6.17) trong đó β là hệ số nhân. Theo tiên đề thứ nhất của Einstein mọi hệ quán tính đều tương đương nhau, nghĩa là từ (6.16) có thể suy ra (6.17) và ngược lại bằng cách thay thế V→-V, x' ↔ x, t ↔ t Ta rút ra được: α = β. Theo tiên đề thứ hai, ta có trong hệ K và K': nếu x = ct thì x' = ct', thay các biểu thức này vào trong (7.16) và (7.17) ta thu được: 71
25. Vì hệ K' chuyển động dọc theo trục x nên rõ ràng là y = y' và z = z'. Tóm lại, ta thu được công thức biến đổi Lorentz như sau: Cho phép biến đổi tọa và thời gian từ hệ K sang hệ K' và Cho phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ K' sang hệ K. Các công thức (6.19), (6.20) được gọi là phép biến đổi Lorentz. Qua đó ta thấy được mối liên hệ mật thiết giữa không gian và thời gian. V Từ các kết quả trên ta nhận thấy rằng khi c → ∞ hay khi → 0 thì các công c thức (6.19) và (6.20) sẽ chuyển thành: x' = x - Vt ; y' = y ; z' = z ; t’ = t ; x = x' + Vt'; y = y', z = z', t = t' nghĩa là chuyển thành các công thức của phép biến đổi Galille. Điều kiện c → ∞ V tương ứng với quan niệm tương tác tức thời, điều kiện thứ hai → 0 tương ứng với c sự gần đúng cổ điển. Khi V > c, trong các công thức trên các tọa độ x, t trở nên ảo, điều đó chứng tỏ không thể có các chuyển động với vận tốc lớn hơn vận tốc ánh sáng c. Cũng không thê dùng hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng, vì khi đó mẫu số trong các công thức (6.19), (6.20) sẽ bằng không. 72
26. 6.4. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz 6.4.1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả Giả sử rằng ở trung hệ quán tính K có hai hiện tượng (hoặc còn gọi là biến cố) ; hiện tượng A1 (x1y1z1t1) và hiện tượng A2 (x2y2z2t2) với x2 # x1 chúng ta hãy tìm khoảng thời gian t2 – t1 giữa hai hiện tượng đó trong hệ K', chuyển động với vận tốc V dọc theo trục x. Từ các công thức biến đổi Lorentz ta thu được: Từ đó suy ra rằng các hiện tượng xảy ra đồng thời ở trong hệ K (t2 = t1) sẽ không đồng thời ở hệ K' và t2 – t1 # 0. Chỉ có một trường hợp ngoại lệ là khi cả hai biến cố xảy ra đồng thời tại những điểm có cùng giá trị của x (tọa độ y có thể khác nhau). Như vậy, khái niệm đồng thời chỉ là một khái niệm tương đối, hai biến cố có thể đồng thời ở trong một hệ quy chiếu này nói chung có thể không đồng thời ở trong một hệ quy chiếu khác. Biểu thức (6.21) cũng chứng tỏ rằng đối với các biến cố đồng thời trong hệ K, dấu của t2 – t1 được xác định bởi dấu của biểu thức (x2 – x1 )v. Do đó, trong các hệ quán tính khác nhau (với các giá trị khác nhau của V), hiệu t2 – t1 sẽ không những khác nhau về độ lớn mà còn khác nhau về dấu. Điều đó có nghĩa là thứ tự của các biến cố A1 và A2 có thể bất kì (A1 có thể xảy ra trước A2 hoặc ngược lại). Tuy những điều vừa trình bày ở trên không được xét cho các biến cố có liên hệ nhân quả với nhau. Liên hệ nhân quả là một liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả. Nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước kết quả, quyết định sự ra đời của kết quả. Thứ tự của các biến cố cso quan hệ nhân quả bao giờ cũng được bảo đảm trong mọi hệ quán tính. Nguyên nhân xảy ra trước, kết quả xảy ra sau. 6.4.2. Sự co ngắn Lorentz Bây giờ dựa vào các công thức (6.19) hoặc (6.20) chúng ta so sánh độ dài của một vật và khoảng thời gian của một quá trình ở trong hai hệ K và K'. Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ K' đặt dọc theo trục x', độ dài của nó trong hệ K' bằng l0 = x2 – x1 Gọi l là độ dài của nó đo trong hệ K. Muốn vậy, ta phải xác định vị trí các đầu của thanh trong hệ K tại cùng thời điểm. Từ phép biến đổi Lorentz ta viết được: 73
27. Vậy: Độ dài (dọc theo phương chuyển động) của thanh trong hệ quy chiếu mà thanh chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên. Nói một cách khác, khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương chuyển động. Như vậy, kích thước của một vật sẽ khác nhau tùy thuộc vào chỗ ta quan sát nó ở trong hệ đứng yên hay chuyển động. Điều đó nói lên tính chất của không gian trong các hệ quy chiếu đã thay đổi. Nói một cách khác, không gian có tính chất tương đối, nó phụ thuộc vào chuyển động. Trường hợp vận tốc của.chuyển động nhỏ (V << c), từ công thức (6.22) ta trở lại kết quả trong cơ học cổ điển, ở đây không gian được coi là tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động. Cũng từ các công thức biến đổi Lorentz chúng ta tìm được khoảng thời gian của một quá trình đó trong hai hệ K và K'. Giả sử có một đồng hồ đứng yên trong hệ K'. Ta xét hai biến cố xảy ra tại cùng một điểm A có các tọa độ x'y'z' trong hệ K'. Khoảng thời gian giữa hai biến cố trên trong hệ K' bằng Δt ' = t2 – t1 bây giờ chúng ta tìm khoảng thời gian giữa hai biến cố trên ở hệ K. Ta viết được: Kết quả này được phát biểu như sau: Khoảng thời gian Δt' của một quá trình trong hệ K' chuyển động bao giờ cũng nhỏ hơn khoảng thời gian Δt xảy ra của cùng quá trình đó trong hệ K đứng yên. Nếu trong hệ K' chuyển động có gắn một đồng hồ và trong hệ K cũng gắn một đồng hồ, thì 74
28. khoảng thời gian của cùng một quá trình xảy ra được ghi trên đồng hồ của hệ K' nhỏ hơn khoảng thời gian ghi trên đồng hồ của hệ K. Ta có thể nói: đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên. Như vậy, khoảng thời gian để xảy ra một quá trình sẽ khác nhau tùy thuộc vào chỗ ta quan sát quá trình đó ở trong hệ đứng yên hay chuyển động. Điều đó nói lên tính chất của khoảng thời gian trong các hệ quán tính đã thay đổi Nó phụ thuộc vào chuyển động. Trường hợp vận tốc của chuyển động rất nhỏ V << c từ công thức (6.23) ta có Δt ' = Δt, ta trở lại kết quả trong cơ học cổ điển, ở đây khoảng thời gian được coi là tuyệt đối không phụ thuộc vào chuyển động. Nhưng nếu v càng lớn thì Δt' càng nhỏ so với Δt. 6.5. Phương trình động lực học tương đối tính của chất điểm 6.5.1. Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm Theo thuyết tương đối, phương trình biểu diễn định luật Newton thứ hai: r dvr F = m dt Không thể mô tả chuyển động của chất điểm với vận tốc lớn được. Để mô tả chuyển động, cần phải có phương trình khác tổng quát hơn. Theo thuyết tương đối, phương trình đó có dạng: trong đó khối lượng m của chất điểm bằng: m là khối lượng của chất điểm đó trong hệ mà nó chuyển động với vận tốc v được gọi là khối lượng tương đối; m0 là khối lượng cũng của chất điểm đó do trong hệ mà nó đứng yên (v = 0) được gọi là khối lượng nghỉ. Ta thấy rằng theo thuyết tương đối, khối lượng của một vật không còn là một hằng số nữa; nó tăng khi vật chuyển động; giá trị nhỏ nhất của nó ứng với khi vật đứng yên. Cũng có thể nói rằng: khối lượng có tính tương đối; nó phụ thuộc hệ quy chiếu. Phương trình (6.24) bất biến đối với phép biến đổi Lorentz và trong trường hợp v << c nó trở thành phương trình biểu diễn định luật thứ hai của Newton (khi đó m = m0 = const). 6.5.2. Động lượng và năng lượng Động lượng của một vật bằng: 75
29. r r r Khi v << c ta thu được biểu thức cổ điển: p = m0 v . Như vậy, phương trình cơ bản (6.24) có thể viết dưới dạng khác: Ta hãy tính năng lượng của vật. Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ tăng năng lượng của vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật: dW=dA r V Để đơn giản, giả sử ngoại lực F cùng phương với chuyển dời → 0dsr . Khi đó: c r dW = dA = F.drs = Fds Theo (6.24) ta có: Mặt khác, từ (6.25) ta có: so sánh hai biểu thức trên ta rút ra được: dw = c2.dm Hay W = mc2 (6.27) Hệ thức này thường được gọi là hệ thức Einstein. 6.5.3. Các hệ quả a. Từ hệ thức Einstein ta tìm được năng lượng nghỉ: là năng lượng lúc vật đứng yên (m = m0): 2 W = m0c 76
30. Lúc vật chuyển động, vật có thêm động năng Wd Biểu thức này khác với biểu thức động năng của vật thường gặp trong cơ học cổ điển. Trong trường hợp v m1c và > m 2c v2 v2 1− 1− c2 c2 Nên từ (6.30) ta rút ra: m > m1+ m2 , nghĩa là khối lượng của hạt nhân trước khi tự phân rã lớn hơn tổng khối lượng của các hạt nhân thành phần. 77
31. Theo công thức Einstein, phần năng lượng tương ứng với độ hụt năng lượng của khối lượng này bằng: 2 2 W = [m − (m1 + m 2 )]c = Δmc Phần năng lượng này thường được tỏa ra dưới dạng nhiệt và bức xạ. 78
32. PHẦN 2: NHIỆT HỌC Mở đầu 1. Thuyết cấu tạo phân tử của các chất Vật chất được cấu tạo bởi các nguyên tử và phân tử. Ngày nay ta biết rằng phân tử gồm nhiều nguyên tử, nguyên tử gồm các điện tử và hạt nhân. Các hạt nhân lại gồm các proton và neutron. Các proton và neutron lại được cấu tạo từ các hạt "quack". Từ thế kỷ IV trước công nguyên Demôcrit đã cho rằng vật chất được cấu tạo từ các nguyên tử và phân tử, ông quan niệm rằng: Các nguyên tử, phân tử của các chất khác nhau có hình dạng kích thước khác nhau nhưng có cùng bản chất. Đến thế kỷ XIIX Lômônôxốp đã phác hoạ: nguyên tử, phân tử là những quả cầu vỏ ngoài sần sùi và luôn chuyển động tịnh tiến, hỗn loạn, khi va chạm vào nhau chúng sinh ra chuyển động quay. Khi chất khí đựng trong một bình chứa, các phân tử khí va đập không ngẩng lên thành bình. Như vậy, nhiệt độ và nội năng của khí phải liên quan đến động năng của các phân tử khí. Thuyết động học chất khí bắt nguồn từ những luận điểm này. 2. Đối tượng, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu của Vật lý phân tử và nhiệt học Thực tế có nhiều hiện tượng liên quan đến các quá trình xảy ra bện trong vật; thí dụ: vật có thể nóng lên do ma sát, có thể nóng chảy hoặc bốc hơi khi bị đốt nóng, Những hiện tượng này liên quan đến một dạng chuyển động mới của vật chất, đó là chuyển động nhiệt. Chuyển động nhiệt chính là đối tượng nghiên cứu của nhiệt học. Để nghiên cứu chuyển động nhiệt người ta dùng hai phương pháp: phương pháp thống kê ứng dụng trong phần vật lý phân tử. Phương pháp nhiệt động được ứng trong phần nhiệt động học. 79
33. CHƯƠNG 7. NHỮNG CƠ SỜ CỦA THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ KHÍ LÝ TƯỞNG 7.1. Mẫu khí lý tưởng Từ các thuộc tính cơ bản của phân tử và nguyên tử người ta đã đưa ra mô hình cơ học của chất khí lý tưởng bao gồm các nội dung sau: - Chất khí là một tập hợp rất nhiều hạt, chúng chuyển động hỗn loạn không ngừng. - Vận tốc chuyển động trung bình của các phân tử tỷ lệ với T . - Ở cùng một nhiệt độ (T), động năng trung bình của các hạt là như nhau và 2 bằng Ed = mi vi 2 = const. - Các phân tử và nguyên tử đều tham gia chuyển động nhiệt. Đó là mô hình cơ học của chất khí lý tưởng. Chúng tuân theo các định luật cơ bản về chất khí như: Boiler - Mariotte, Gay - Luytsac Có thể hiểu chất khí lý tưởng là chất khí hoàn toàn tuân theo các định luật Boiler - Mariotte, Gay - Luytsac. Các phần tử của chúng được coi như một chất điểm và không tương tác với nhau. 7.2. Áp suất chất khí Áp suất là một đại lượng vật lý có giá trị bằng lực nén vuông góc lên một đơn vị diện tích. Nếu kí hiệu F là lực nén vuông góc lên diện tích ΔS thì áp suất p cho bởi: Trong hệ SI đơn vị áp suất là Newton trên mét vuông (N/m2), hay pascal (Pa). Ngoài ra để đo áp suất người ta còn dùng các đơn vị sau: - atmôtphe (ai) là áp suất bằng 9,80665.104 = 9,81.104 N/m2 - milimet thủy ngân (mmHg, còn gọi là Toát bằng áp suất tạo bởi trọng lượng cột thủy ngân cao mm. Để đổi các đơn vị ta dùng hệ thức sau: 1 at = 736mmHg = 9,81.104N/m2 Giả sử có một chất khí chứa trong bình kín, nó sẽ tác dụng lên thành bình một áp suất (p) áp suất này do các phân tử khí chuyển động va chạm vào thành bình với vận tốc (v) gây nên. Có thể tính áp suất theo biểu thức sau: Với m là khối lượng của chất khí, n0 là mật độ phân tử khí, và vi là vận tốc của các phân tử khí. 80
34. 7.3. Nhiệt độ Nhiệt độ là đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ chuyển động hỗn loạn phân tử của các vật. Để xác định nhiệt độ người ta dùng nhiệt biểu. Nguyên tắc của nhiệt biểu là dựa vào độ biến thiên của một đại lượng nào đó khi đốt nóng hoặc làm lạnh rồi suy ra nhiệt độ tương ứng. Nhiệt biểu thường dung là nhiệt biểu thủy ngân. Trong nhiệt biểu này nhiệt độ được xác định bởi thể tích một khối thủy ngân nhất định. Để chia độ một nhiệt biểu thủy ngân người ta nhúng nó vào hơi nước đang sôi ở áp suất 1,033at (bằng áp suất khí quyển ở điều kiện bình thường) và ghi mức thủy ngân là 00. Sau đó nhúng vào nước đá đang tan (cũng ở áp suất 1,033at) và ghi mức thủy ngân là 0. Đem chia đoạn trên thành 100 phần bằng nhau, mỗi độ chia tương ứng với một độ. Như vậy, ta có một thang nhiệt độ gọi là thang nhiệt độ bách phân (hay thang nhiệt độ Celcius). Trong thang này, nhiệt độ được ký hiệu là OC. Ngoài thang bách phân, còn dung thang nhiệt độ tuyệt đối (còn gọi là thang nhiệt độ Kelvin); mỗi độ chia của thang tuyệt đối bằng một độ chia của thang bách phân nhưng độ không của thang tuyệt đối ứng với -273,16 của thang bách phân. Trong thang này, đơn vị nhiệt độ là Kelvin, kí hiệu là K. Gọi T là nhiệt độ trong thang tuyệt đối, t là nhiệt độ trong thang bách phân, ta có công thức: T = t + 273,16 Trong các tính toán đơn giản ta thường lấy: 7.4. Các định luật thực nghiệm về khí lý tưởng 7.4.1. Một số khái niệm - Hệ nhiệt động là một hệ vật lý bao gồm một số các hạt lớn các hạt nguyên tử 2 phân tử. Các hạt này luôn chuyển động hỗn loạn và trao đổi năng lượng cho nhau khi tương tác. Khối khí có thể coi là hệ nhiệt động đơn giản nhất. Mọi hệ đều có thể chia thành hệ cô lập và không cô lập. Thông số trạng thái Trạng thái của hệ hoàn toàn xác định được nếu ta xác định được các tính chất vật lý của hệ. Nhưng mỗi tính chất đó đặc trưng bởi đại lượng vật lý như nhiệt độ T, khối lượng m, thể tích V => Như vậy trạng thái của hệ được xác định bởi tập hợp các đại lượng vật lý. Các đại lượng này gọi là thông số trạng thái của hệ. Phương trình biểu mối liên hệ giữa các thông số độc lập và thông số phụ thuộc gọi là phương trình trạng thái của hệ. Ví dụ: trạng thái của khối khí được xác định bởi f(P,V,T) = 0. 81
35. 7.4.2. Các định luật thực nghiệm về khí lý tưởng Nghiên cứu tính chất của các chất khí bằng thực nghiệm, người ta đã tìm ra các định luật nêu lên sự liên hệ giữa hai trong ba thông số áp suất, thể tích và nhiệt độ. Cụ thể người ta xét các quá trình biến đổi trạng thái của một khối khí trong đó một thông số có giá trị được giữ không đổi, đó là các quá trình: - Đẳng nhiệt: nhiệt độ không đổi; - Đẳng tích: thể tích không đổi; - Đẳng áp: áp suất không đổi. a. Định luật Boiler - Mariotte Boiler và Mariotte nghiên cứu quá trình đẳng nhiệt của các chất khí, đã tìm ra những định luật như sau: Trong quá trình đẳng nhiệt của khối khí, thể tích tỷ lệ nghịch với áp suất hay thể tích của V và P của khối khí là không đổi. P.V = const Trên đồ thị PV đường đẳng nhiệt là những đường Hypecbol, nhiệt độ càng cao thì các đường này càng xa mốc. b. Các định luật Gay - Luytsac Gay-Luytsac nghiên cứu quá trình đẳng áp và đẳng tích và tìm ra các quy luật: * Trong quá trình đẳng tích của một khối khí, áp suất tỷ lệ với nhiệt độ tuyệt đối P/T = const * Trong quá trình đẳng áp của một khối khí, thể tích tỷ lệ với nhiệt độ tuyệt đối V/T = const Các định luật Boiler-Mariot và Gay-luytxac chỉ đúng khi chất khí ở nhiệt độ và áp suất thông thường của phòng thí nghiệm. Khi áp suất khối khí quá lớn hay nhiệt độ của khối khí quá thấp thì các chất khí không tuân theo các định luật đó nữa. 7.5. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng 7.5.1. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Ở áp suất lớn và giới hạn rộng của nhiệt độ, các chất khí hoàn toàn không tuân theo định luật Boiler-Mariotte và Gay-luytsac. Tuy nhiên, khi P không quá lớn và T không quá thấp thì các quá trình tuân theo khá đúng 2 định luật đó. Hay nói cách khác khí lý tưởng hoàn toàn tuân theo các định luật Boiler-Marione và Gay- Luytsac. Các định luật thực nghiệm trên đây đã cho mối liên hệ giữa 2 thông số. Dựa vào các định luật đó, ta có thể tìm mối liên hệ của 3 thông số: P, V, T, nghĩa là tìm được phương trình trạng thái của khí lý tưởng. 82
36. Đối với 1 kilomol khí Claperon và Mendêleep đã tìm ra phương trình sau: P.V = R.T (7.3) Trong đó P, V, T là áp suất, thể tích và nhiệt độ của kilomol khí ở trạng thái bất kỳ. R gọi là hằng số khí lý tưởng. μ Đối với một khối khí có khối lượng m, nếu v là thể tích của nó thì: V = v (μ là M khối lượng phân tử). Từ (7.3) sẽ suy ra được: Phương trình (7.4) được gọi là phương trình trạng thái của khí lý tưởng. 7.5.2. Giá trị của hằng số khí R Theo định luật Avôgađro, ở T và P giống nhau, 1 kilômol các chất khí khác nhau 2 đều chiếm cùng một thể tích. Khi T0 = 273,16 K, P0 = 1,033at = 1,013.106 N/m thì 1 3 kilômol khí chiếm thể tích là V0 = 22,41 m . Trạng thái này chung cho mọi chất khí gọi là trạng thái tiêu chuẩn. Với trạng thái tiêu chuẩn này ta có: 83