Một thuật toán giải phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn có tham số khoảng

Nội dung text: Một thuật toán giải phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn có tham số khoảng

1. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG MỘT THUẬT TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CÓ THAM SỐ KHOẢNG TS. LÊ CÔNG DUY KS. ĐẶNG HỒNG LONG Trường Đại học Duy Tân Tóm tắt: Bài báo trình bày một thuật toán được các ràng buộc (sự tương thích chuyển vị các nút) đề xuất để giải phương trình cơ bản của phương bằng phương pháp hàm phạt. Phương pháp tính toán pháp phần tử hữu hạn - mô hình chuyển vị có tham này đặt ra vấn đề khó khăn là việc giải quyết khối số khoảng. Thuật toán được xây dựng dựa trên các lượng công việc khá lớn do số lượng nút lớn hơn phép toán cơ bản của số học khoảng và phương nhiều so với phương pháp PTHH thông thường và pháp tối ưu khoảng. Một ví dụ số áp dụng tính kết việc lựa chọn số phạt η dựa nhiều vào kinh nghiệm, cấu thanh có các tham số khoảng là môđun đàn hồi dẫn đến kết quả theo phương pháp tính có sai khác vật liệu, kích thước hình học và tải trọng tĩnh. Kết quả đáng kể với nghiệm giải tích. Bài báo này đề xuất một tính chuyển vị nút và lực dọc trong thanh của hệ kết phương pháp khác “Phương pháp-Tối ưu khoảng” để cấu là các số khoảng được so sánh với kết quả tính giải phương trình cơ bản của phương pháp PTHH theo phương pháp PTHH khoảng - mô hình EBE theo mô hình chuyển vị trong trường hợp có một số (Element by element) được trích dẫn trong tài liệu [2]. tham số đầu vào dưới dạng đại lượng khoảng như mô 1. Đặt vấn đề đun đàn hồi, tải trọng tĩnh và kích thước hình học. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) trong Xuất phát từ các phép toán cơ bản của số học khoảng phân tích kết cấu có các tham số đầu vào dưới dạng và phương pháp tối ưu, bài báo trình bày thuật toán các đại lượng khoảng, bắt nguồn từ việc nghi ngờ về và ứng dụng giải quyết bài toán đã được trích dẫn độ tin cậy của các mô hình xác suất, các dữ liệu đầu trong [2] để so sánh kết quả. vào không rõ ràng, không chắc chắn. Lúc này 2. Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH phương trình cơ bản của phương pháp PTHH [k]{q} có tham số khoảng = {f}, ma trận độ cứng [k] và véc tơ tải trọng {f} sẽ Theo nguyên lý công khả dĩ, thiết lập phương chứa các tham số đầu vào dưới dạng đại lượng trình cơ bản của phương pháp PTHH có tham số khoảng bị chặn dưới và chặn trên nhưng không gắn đầu vào dưới dạng số khoảng như sau: với một cấu trúc xác suất nào, và kết quả chuyển vị tìm được {q} cũng dưới dạng số khoảng. [k ].{ q } { f } (1) Việc nghiên cứu và tính toán kết cấu có các yếu tố trong đó: đầu vào không rõ ràng, không chắc chắn dưới dạng - [k ] là ma trận độ cứng tổng thể của kết cấu, là các đại lượng khoảng đang được quan tâm và nghiên một ma trận vuông có kích thước (nxn) tùy thuộc vào cứu cả trong và ngoài nước. Đã có một số công trình số bậc tự do của tất cả các nút. Để minh họa cho nghiên cứu giải quyết bài toán dựa trên phương pháp PTHH khoảng – mô hình EBE áp dụng phương pháp việc trình bày thuật toán, không làm mất tính tổng hàm phạt [2], [3], [6]. Theo [2], mô hình kết cấu sẽ quát, ta thực hiện tính toán với kết cấu xét trong mặt được tách rời thành các phần tử độc lập để tránh sự phẳng bằng cách rời rạc hóa kết cấu thành các phần mở rộng “tự nhiên” của số học khoảng trong quá trình tử thành sáu bậc tự do có ma trận độ cứng chứa ghép ma trận độ cứng các phần tử, đồng thời xử lý tham số khoảng: EA/ l 0 0 EA / l 0 0 0 12/EIl3 6/ EIl 2 0 12/ EIl 3 6/ EIl 2 2 2 0 6EIl / 4 EIl / 0 6 EIl / 2 EIl / []ke EA/ l 0 0 EA / l 0 0 0 12/EIl3 6/ EIl 2 0 12/ EIl 3 6/ EIl 2 2 2 0 6EIl / 2 EIl / 0 6 EIl / 4 EI / l Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2014 9
2. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Trong trường hợp phần tử thanh chịu kéo, nén có chuyển vị nút theo 2 phương trong mặt phẳng, thì ma trận độ cứng phần tử đưa về dạng đơn giản hơn và sẽ được sử dụng để minh họa cho các ví dụ trong mục 4: c 2 sc c 2 sc 2 2 AE sc s sc s [ ke ] = l c 2 sc c2 sc 2 2 sc s sc s trong đó: c, s - các cosα và sinα , với α là góc lượng giác của phần tử thanh thứ e so với phương ngang. Nếu phần tử thanh chịu kéo, nén chỉ có chuyển vị theo phương dọc trục (thanh phẳng một chiều) thì ma trận độ cứng phần tử có dạng: EA// l EA l [ke ]= EA// l EA l với: E,,, A I l lần lượt là các đại lượng khoảng Hàm số khoảng là một hàm có giá trị khoảng của modun đàn hồi, tiết diện ngang, mômen quán tính và một hoặc nhiều tham số khoảng, do đó hàm số chiều dài của phần tử thanh; khoảng là ánh xạ giá trị của một hoặc nhiều tham số khoảng lên một khoảng. Đối với một hàm số - {}f - véc tơ lực nút tổng thể (bao gồm lực tập f(x , ,x ), nếu hàm giá trị khoảng f( x , , x ) có trung đặt tại nút và lực trên thanh quy về nút) dưới 1 n 1 n tính chất f( x , , x ) =f (x , ,x ) với mọi đối số x dạng số khoảng, kích thước (nx1); 1 n 1 n thì hàm số f được gọi là hàm mở rộng khoảng của - {}q - véc tơ chuyển vị nút trong hệ kết cấu, với f, đặc biệt hàm mở rộng khoảng tự nhiên của f có thể mỗi thành phần của véc tơ là các chuyển vị nút thành nhận được bằng cách thay thế mỗi biến số thực x phần được xác định bằng cách giải phương trình (1); i bằng một biến khoảng x và mỗi phép toán thực (+,- Chuyển vị tìm được có các thành phần cũng j ,×,÷) bằng các phép toán khoảng tương ứng. Nếu chứa tham số khoảng có kích thước tương ứng (nx1) T hàm số f là một biểu thức có một số hữu hạn các dưới dạng: {q } { q q q } 1 2 n biến khoảng (x , , x ) và các phép tính khoảng 3. Một cách giải phương trình cơ bản của 1 n (+,-,×,÷) thì hàm này thõa mãn tính chất bao hàm cơ phương pháp PTHH có tham số khoảng bản là [3, 4]: 3.1. Cơ sở lý thuyết số học khoảng Một khoảng thực là một tập hợp không rỗng của Nếu x1  y1 , , x n  y n thì f( x1 , , xn )  các số thực: f( y1 , , yn ) . x [,]{} x x x R x x x Trong đó ký hiệu x  y có nghĩa là khoảng x trong đó: x và x là cận dưới và cận trên của là con khoảng y , khi và chỉ khi y x và x y . khoảng; x , x là một phần trong khoảng x , R là tập số thực. Trong nhiều trường hợp, những biến giá trị được xác định bởi số học khoảng có xu hướng mở rộng so Bốn phép tính cơ bản của số thực là (+,-,×,÷) có với biến của khoảng giá trị thực nên làm cho kết quả thể mở rộng cho các số khoảng. Một phép tính bất kỳ không chính xác. (+,-,×,÷) trên các khoảng được định nghĩa như sau: Chẳng hạn, xét biểu thức đại số f = x .x /x với x x y = {x y|x x ,y y } 1 2 3 1 = x2 = x3 [2, 5], bằng cách đánh giá hàm mở Tập hợp các kết quả của phép toán đối với x khoảng rộng tự nhiên, ta nhận được giá trị của hàm f x và y y tạo thành một khoảng đóng (nếu 0 không trên khoảng [2, 5] là: nằm dưới mẫu số) với các cận của các khoảng được f x1./ x 2 x 3 = [4, 25]/[2, 5]=[0.8, 12.5] xác định như sau: Tuy nhiên khi xét hàm số f x./ x x , với x [2, = [min(x y), max(x y )] với (+,-,×,÷). x y 5], theo các phép toán cơ bản của số học khoảng thì Cận dưới và cận trên của phép toán x y được hàm f x./ x x được tính toán lần lượt giống như xác định từ bốn cặp số x y , , x y , hàm f x./ x x và cho khoảng giá trị đầu ra của x y x y 1 2 3 10 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2014
3. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG f x./ x x = [4,25]/[2,5]=[0.8, 12.5]. Trong khi đó, biến số khoảng x1 [-2, 5]; x2 [2, 7], nếu thực hiện về mặt toán học cũng như ý nghĩa vật lý của đại tuần tự các phép tính ta được như sau: 2 lượng x thì hàm f x./ x x = x/ x = x =[2,5]. Ta 2 2 x1 =[-10, 25]; x2 =[4, 49]; 3x1 . x 2 =[-42, 105]; thấy f x./ x x = [0.8, 12.5] bao hàm f x = 1 2 3 [2,5]. Do đó y [-10,25]+ [4,49] - [-42,105]+5 = [-111, 116]. Sự mở rộng khoảng không mong muốn này được gọi là sự ước tính quá mức do bài toán phụ Nếu thực hiện theo phương pháp tối ưu khoảng, thuộc hay đơn giản là bài toán phụ thuộc [2], [3]. hàm mục tiêu là: 2 2 Nguyên nhân là do trong số học khoảng các biến số y=f (x1,x2) = x1 + x2 -3x1.x2 +5 với các điều kiện xuất hiện trong các phép tính được xem là độc lập ràng buộc như sau: -2≤x1≤5 ; 2≤x2≤7. với nhau, đây là một điểm hạn chế khi áp dụng số Thực hiện bài toán tối ưu phi tuyến bằng phần học khoảng vào giải quyết các bài toán kết cấu khi mềm Mapble 13 ta được kết quả như sau: mà các tham số đầu vào hay đầu ra bị ràng buộc rất chặt chẽ. ymax = 100; ymin = -26 hay nói cách khác 3.2. Phương pháp tối ưu khoảng y = [-26, 100] . Phương pháp này được thực hiện dựa trên Kết quả theo phương pháp tối ưu hẹp hơn so với phương pháp tối ưu kết quả đầu ra khi các thông số kết quả sử dụng các phép tính số học khoảng. đầu vào chứa tham số khoảng, lúc này thay vì sử 3.3. Một cách giải phương trình cơ bản của dụng công cụ số học khoảng tính toán trực tiếp để phương pháp PTHH có tham số khoảng tìm khoảng kết quả đầu ra, ta thực hiện tối ưu hàm Ý tưởng thực hiện cách giải phương trình cơ bản mục tiêu để tìm ra các giá trị lớn nhất (maximum) và của phương pháp PTHH có tham số khoảng là tìm bé nhất (minximum) với các điều kiện ràng buộc là cách xác định nghiệm đầu ra được biểu diễn bằng các biến số của hàm mục tiêu bị giới hạn trong một hàm số giải tích phụ thuộc tất cả các tham số đầu vào dạng số khoảng. Sau đó sử dụng phép toán, khoảng của chúng. tối ưu hàm nghiệm đầu ra dựa trên điều kiện ràng yj = fj(x1, x2, xn) min, với điều kiện aj ≤ xj ≤bj (2) buộc của các biến đầu vào có giá trị nằm trong yj = fj(x1, x2, xn) max, với điều kiện aj ≤ xj ≤bj (3) khoảng của nó để xác định các giá trị min, max của Giải bài toán quy hoạch (2) và (3) ta được giá trị nghiệm đầu ra. Trình tự các bước của thuật giải được thực hiện như sau: lớn nhất và nhỏ nhất của kết quả đầu ra. Ưu điểm của phương pháp này là kết quả đầu ra gần với kết Từ phương trình cân bằng của hệ kết cấu theo quả giải tích do phương pháp không sử dụng số học phương pháp PTHH có tham số khoảng (1), sau khi khoảng khi thực hiện các phép tính nên không mắc xử lý các điều kiện biên (khử suy biến) ta viết lại phải việc mở rộng “tự nhiên” [3]. phương trình như sau: 1 Ví dụ: xét hàm số khoảng {q } [ k ] .{ f } (4) 2 2 Khai triển phương trình (4) ta có: y x1 x 2 3 x 1 . x 2 5 , trong đó x1 , x2 là các 1 q  k k k f1  1 11 12 1n (5) q 2 1 k2 1 k 2 2 k 2n f 2 {q }  [ k ] .{ f } x  q n  kn1 k n 2 k n n f n  Đặt [][] k 1 là ma trận nghịch đảo của ma trận độ cứng tổng thể của kết cấu, [] được tính toán trực tiếp bằng phần mềm Maple.13 với điều kiện định thức của []k khác không. Phương trình (5) viết lại:  q1     f1 11 12 1 n q (6) 2 2 1  2 2  2 n f 2 {q }  [ ].{ f } x  q    n  n1 n 2 nn f n  Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2014 11
4. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG trong đó phần tử Xét phương trình thứ i của hệ phương trình (7). 1  ( 1)i j . d et(M ) với det(k) là định ij d e t(k ) ij q  f  f  f (8) i i1 1 i 2 2 in n thức của ma trận độ cứng tổng thể []k ; det(M ) là trong phương trình (8), vế trái là thành phần ij chuyển vị khoảng thứ i cần tìm, được xác định từ các định thức của ma trận []M ij ; ma trận []M ij là ma tham số khoảng ij và f ( i,j = 1,2, ,n), ta xem trận con suy ra từ ma trận[]k bằng cách bỏ đi hàng i phương trình (8) như một hàm số khoảng xác định i, cột j của []k . biến đầu ra qi theo các biến đầu vào làij và fi Phương trình (6) chuyển về dạng hệ phương bằng cách tối ưu hóa khoảng để tìm các giá trị max trình đại số tuyến tính: và min của q . Thực hiện đối với tất cả các phương i trình của hệ (7) sẽ xác định được tất cả các thành q1  11 f 1  12 f 2  1n f n phần chuyển vị khoảng của kết cấu. Sau khi có q2  21 f 1  22 f 2  2 n f n (7) chuyển vị của các nút, hoàn toàn có thể xác định được nội lực và ứng suất của kết cấu dưới dạng số qn  n1 f 1  n 2 f 2  nn f n khoảng. 3.4 Sơ đồ thuật toán Tham số vật liệu, kích thước hình học dạng số SỐ LIỆU ĐẦU VÀO Tham số tải trọng dạng số khoảng Tham số nút & phần tử kết cấu Lập ma trận độ cứng chứa tham số khoảng của các PHƯƠNG TRÌNH TÍNH KẾT CẤU phần tử Ke; tải trọng tại nút của phần tử fe trong hệ THEO PPPTHH CHỨA THAM SỐ tọa độ địa phương và chuyển về hệ tọa độ tổng thể. KHO ẢNG [k ].{ q } { f } Ghép các ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng quy về nút trong hệ tọa độ tổng thể. CHUYỂN PT VỀ DẠNG Ghán các điều kiện biên cho hệ kết cấu. 1 {q } [ k ] .{ f } TỐI ƯU HÓA CÁC HÀM CHUYỂN KẾT QUẢ THÀNH PHẦN CHUYỂN VỊ NÚT VÀ NỘI VỊ BẰNG PHẦN MỀM MAPLE.13 LỰC DƯỚI DẠNG KHOẢNG. Hình 1. Sơ đồ thuật toán phân tích kết cấu theo PPPTHH khoảng 4. Ứng dụng tính toán chuyển vị một số bài toán AE1, minh họa AE2 , P2 4.1 Kết cấu thanh phẳng một chiều P1 4.1.1 Số liệu đầu vào l l Hệ kết cấu trục bậc có kích thước và chịu tải trọng P1,P2 như hình 2, thông số đầu vào dưới dạng Hình 2 .Kết cấu trục bậc số khoảng như sau: Bài toán yêu cầu xác định chuyển vị và lực dọc E =[195,205].106 (kN/m2), theo phương pháp tối ưu khoảng sau đó so sánh kết A = [9.75,10.25].10-4 (m2), 1 quả đã được tính toán trong [2]. A = [6.825,7.175].10-4 (m2), 2 4.1.2 Trình tự tính toán P =[28.5,31.5](kN), Chia trục bậc thành hai phần tử và đánh số thứ tự 1 các nút như hình số 3: P2 =[47.5,52.5](kN), l =1.5(m). 12 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2014
5. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 1 2 c. Lập ma trận độ cứng tổng thể cho hệ: theo phương pháp cộng độ cứng trực tiếp, ma trận độ q1 q2 q3 cứng tổng thể của hệ có kích thước 3 x 3. Hình 3.Sơ đồ phần tử kết cấu trục bậc T d. Véc tơ lực nút: f = { R P P } a. Bảng ghi số phần tử và số nút của hệ  1 2 e. Hệ phương trình PPPTHH khoảng: Bảng 1. Số phần tử và số nút hệ thanh phẳng một chiều Phần tử Số chuyển vị nút [k ]3x3 .{ q } 3x1 { f } 3x1 1 1 2 f. Trình tự tính toán theo thuật toán tối ưu khoảng 2 2 3 được lập trình tính trên phần mềm Maple13, kết b. Lập ma trận độ cứng các phần tử của hệ quả tính toán được so sánh với kết quả tính theo 1 1 1 1 AE1 AE2 các phương pháp trích dẫn trong [2] được trình [ k1 ]= ; [ k2 ]= ; l 1 1 l 1 1 bày trong bảng 2 và 3. Bảng 2. Kết quả chuyển vị nút Chuyển Nghiệm giải tích [2] Nghiệm theo phương pháp Nghiệm theo phương pháp tối vị (m) EBE [2] (m) ưu khoảng (m) q1 [0.0000, 0.0000] [0.0000, 0.0001] [0.0000, 0.0000] q2 [0.0005425, 0.0006628] [0.0004, 0.0008] [0.0005561, 0.00064612] q [0.001, 0.0013] [0.0009, 0.0014] [0.00105, 0.001223] 3 Bảng 3. Kết quả lực dọc trong các phần tử Nghiệm giải tích [2] Nghiệm theo phương pháp Nghiệm theo phương pháp Phần tử (kN) EBE [2] (kN) tối ưu khoảng (kN) 1 [76, 84] [75.6801, 84.3199] [76, 84] 2 [47.5, 52.5] [47.5000, 52.5000] [47.5, 52.5] Từ kết quả trên, ta nhận thấy kết quả lực dọc l theo phương pháp tối ưu khoảng bằng với kết quả lực dọc theo phép tính giải tích, còn kết quả chuyển vị thì xấp xỉ tốt với kết quả chuyển vị tính theo giải P P l tích và co hẹp hơn kết quả tính theo phương pháp l l PTHH khoảng- mô hình EBE [2]. Hình 4.Sơ đồ kết cấu dàn phẳng 4.2 Tính kết cấu hệ dàn phẳng 4.2.2 Trình tự tính toán 4.2.1 Số liệu đầu vào Chia phần tử và đánh số thứ tự chuyển vị nút như hình 5. Kết cấu dàn phẳng chịu tải trọng như hình 4. Các q12 q10 thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang là A , mô đun q 9 9 đàn hồi là E . Xác định các thành phần chuyển vị của q11 nút và lực dọc trong các thanh dàn khi các đại lượng: 8 7 5 q 10 4 6 2 2 q q q E =[195, 205].10 (kN/m ), 4 6 6 8 A =[9.75, 10.25].10-4 (m2), q 1 q 2 q 3 q P =[133, 147](kN), 1 3 5 7 l = 4.5(m). Hình 5.Sơ đồ phần tử kết cấu dàn Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2014 13
6. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG a. Bảng ghi phần tử và chuyển vị nút kết cấu Bảng 4. Số phần tử và số chuyển vị nút hệ kết cấu dàn phẳng Phần tử Số chuyển vị của nút 1 1 2 3 4 2 3 4 5 6 3 5 6 7 8 4 7 8 11 12 5 5 6 11 12 6 5 6 9 10 7 3 4 9 10 8 3 4 11 12 9 9 10 11 12 10 1 2 9 10 b. Lập ma trận độ cứng của các phần tử Ma trận độ cứng phần tử thanh dàn có dạng: c 2 sc c 2 sc 2 sc s s 2 AEe e sc [ ke ] = 2 2 le c sc c sc sc s2 s 2 sc Trong đó: c, s là các cosα và sinα, với α là góc lượng giác của phần tử thanh thứ e so với phương ngang. Theo thứ tự số nút và số chuyển vị nút như hình 5, ta lập ma trận độ cứng cho các phần tử của hệ kết cấu như dưới. 1 0 1 0 AE 0 0 0 0 [ k ]=[ k ]=[ k ]=[ k ] = 1 2 3 9 l 1 0 1 0 0 0 0 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 AE 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 [ k ]=[ k ] = 4 6 l 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 AE 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 [ k ]=[ k ] = 8 10 l 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 0 0 0 AE 0 1 0 1 [ k ]=[ k ] = 5 7 l 0 0 0 0 0 1 0 1 c. Lập ma trận độ cứng tổng thể cho hệ kết cấu: theo phương pháp cộng độ cứng trực tiếp, ma trận độ cứng tổng thể của hệ kết cấu dàn có kích thước 12 x 12. d. Véc tơ lực nút: = [ 0 0 0 0 0 0 0]T f  R1 R2 P P R8 e. Hệ phương trình PPPTHH khoảng: [k ]12x12 .{ q } 12x1 { f } 12x1 Trình tự tính toán theo thuật toán tối ưu khoảng được lập trình tính trên phần mềm Maple13. Kết quả tính toán so sánh với kết quả tính theo các phương pháp trích dẫn trong [2] được trình bày trong bảng dưới. 14 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2014
7. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Bảng 5. Kết quả chuyển vị nút Nghiệm giải tích [2] Nghiệm theo phương pháp Nghiệm theo phương pháp Chuyển vị (m) EBE [2] (m) tối ưu khoảng (m) q1 [0.0000, 0.0000] [0.0000, 0.0001] [0.0000, 0.0000] q2 [0.0000, 0.0000] [-0.0001, 0.0001] [0.0000, 0.0000] q3 [0.0031, 0.0032] [0.0028, 0.0035] [0.00292, 0.00339] q4 [-0.0181, -0.0173] [-0.0191, -0.0163] [ -0.0191, -0.0164] q5 [0.0055, 0.0058] [0.0050, 0.0063] [ 0.00523, 0.00608] q6 [-0.0181, -0.0173] [-0.0191, -0.0163] [ -0.0191, -0.0164] q7 [0.0086, 0.009] [ 0.0079, 0.0097] [ 0.00815, 0.00947] q8 [0.0000, 0.0000] [-0.0001, 0.0001] [ 0.0000, 0.0000] q9 [ 0.0061, 0.0065] [ 0.0056, 0.0070] [ 0.00584, 0.00678] q10 [ -0.0156, -0.0148] [ -0.0165, -0.0140] [-0.0164, -0.0140] q11 [ 0.0024, 0.0026] [ 0.0021, 0.0029] [ 0.00231, 0.00269] q [ -0.0156, -0.0148] [ -0.0165, -0.0140] [-0.0164, -0.0140] 12 Bảng 6. Kết quả tính lực dọc Nghiệm giải tích [2] Nghiệm theo phương pháp EBE [2] Nghiệm theo phương pháp tối Phần tử (kN) (kN) ưu khoảng (kN) 1 [133, 147] [125.7104, 154.2896] [133.000, 147.000] 2 [105.4548, 116.5553] [71.3279, 150.6854] [105.4548, 116.5553] 3 [133, 147] [77.6170, 202.3830] [133.000, 147.000] 4 [-207.8894, -188.0904] [-250.3317, -145.6481] [ -207.8894, -188.0904] 5 [105.4548, 116.5553] [-2.0720, 224.0853] [105.4548, 116.5553] 6 [38.9548, 43.0553] [-41.8504, 123.8560] [38.9548, 43.0553] 7 [105.4548, 116.5553] [-2.2920, 224.3053] [105.4548, 116.5553] 8 [38.9548, 43.0553] [-29.8213, 111.8269] [38.9548, 43.0553] 9 [ -177.4447, -160.5452] [-210.2915, -127.6952] [ -177.4447, -160.5452] 10 [-207.8894, -188.0904] [ -238.1901, -157.7897] [-207.8894, -188.0904] Nhận xét: kết quả tính chuyển vị theo phương TÀI LIỆU THAM KHẢO pháp tối ưu khoảng xấp xỉ tốt với kết quả tính theo 1. LÊ XUÂN HUỲNH, LÊ CÔNG DUY. “Một cách giải giải tích và hẹp hơn so với kết quả theo phương phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu pháp PTHH - mô hình EBE theo [2]. Kết quả tính lực hạn khi có hàm thuộc của tham số mờ”, Tạp chí KHCN dọc gần như giống kết quả lực dọc tính theo phương Xây dựng, 2012. pháp giải tích, trong khi kết quả theo EBE [2] lại cho 2. TRẦN VĂN LIÊN. “Phân tích kết cấu thanh theo sai khác khá lớn. phương pháp phần tử hữu hạn khoảng”, Tạp chí khoa 5. Thảo luận học công nghệ Xây dựng, số 4/2008. Từ kết quả tính toán và so sánh với kết quả tính 3. TRẦN VĂN LIÊN, NGUYỄN TẤT THẮNG, NGUYỄN toán theo các phương pháp giải tích, phương pháp THANH BÌNH. “Phân tích kết cấu khung bằng phương PTHH – mô hình EBE ở trên, cho thấy kết quả tính pháp phần tử hữu hạn khoảng”, Tạp chí khoa học theo phương pháp “Tối ưu khoảng” là phù hợp, có công nghệ Xây dựng, 3/2013. thể áp dụng để phân tích và tính các bài toán kết cấu 4. Gareth I Hargreaves “Interval analysis in Matlab”, chịu tải trọng tĩnh làm cơ sở cho nghiên cứu xác định 2002. phản ứng động của kết cấu chịu tải trọng động. Tuy 5. R B KEARFOTT “Interval computations introduction nhiên, việc tính toán xác định nghiệm đầu ra dưới uses and resourse”. Euromath Bulletin Journal, 1996. dạng hàm số chứa các đại lượng đầu vào đòi hỏi bài 6. HAO ZHANG “Nondeterministic linear static finite toán phải có nghiệm đóng và số bậc tự do của bài element analysis”, An Interval Approach 2005. toán không quá lớn. Ngày nhận bài sửa: 2/9/2014. Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2014 15