Tài liệu Lý thuyết thế trong địa vật lý (Phần 1)

Nội dung text: Tài liệu Lý thuyết thế trong địa vật lý (Phần 1)

1. LYÙ THUYEÁT THEÁ TRONG ÑÒA VAÄT LYÙ LÔØI GIÔÙI THIEÄU Theá coù baûn chaát laø theá naêng, chæ khaùc theá naêng moät daáu tröø vaø gaén lieàn vôùi moät soá tröôøng löïc daãn suaát töø theá maø ngaønh Ñòa vaät lyù thöôøng gaëp nhö ñieän tröôøng, töø tröôøng, troïng tröôøng Traùi ñaát. Döïa vaøo caùc soá lieäu ño ñaïc caùc tröôøng löïc naøy maø ngöôøi ta phaân tích, giaûi ñoaùn caùc caáu truùc ñòa chaát, tìm kieám khoaùng moû höõu ích tieàm aån döôùi ñaát. Muoán giaûi ñoaùn coù hieäu quûa, caàn phaûi nghieân cöùu, naém vöõng lyù thuyeát theá lieân quan chaët cheõ tôùi caùc tröôøng löïc vaø caùc ñoái töôïng Ñia chaát gaây ra caùc tröôøng löïc ñoù. Giaùo trình “ Lyù thuyeát theá trong ñòa vaät ly ù “ hieän höõu laø keát quûa bieân soaïn laïi, boå sung, söûa chöõa cuûa giaùo trình tröôùc : “ Lyù thuyeát theá vaø tröôøng trong ñòa vaät ly ù “ do taùc giaû bieân soaïn Taäp I naêm1997 vaø ñaõ ñöôïc Ban xuaát baûn “ Tuû saùch Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân TPHCM “ in thaønh saùch 117 trang, ñöôïc söû duïng giaûng daïy lieân tuïc töø ñoù ñeán nay ( Taäp II lieân quan ñeán tröôøng ñieän töø do taùc giaû Nguyeãn Thaønh Vaán bieân soaïn, nhöng hai ngöôøi cuøng ñöùng teân treân bìa saùch). Ñoái töôïng söû duïng laø sinh vieân naêm thöù 3 cuûa Khoa vaät lyù baét ñaàu vaøo hoïc giai ñoaïn 2 ( chuyeân ngaønh ), hoïc vieân cao hoïc, nghieân cöùu sinh cuûa Boä moân Vaät lyù Traùi ñaát thuoäc Khoa vaät lyù, Tröôøng ÑHKHTN TPHCM vaø caùc tröôøng ÑHKHTN khaùc, ÑH Baùch khoa, ÑH Moû ñòa chaát, laø taøi lieäu tham khaûo cho caùn boä cô quan nghieân cöùu, saûn xuaát coù chuyeân ngaønh lieân quan ñeán Ñòa vaät lyù. Ñeå söû duïng giaùo trình naøy ñöôïc thuaän lôïi, hieäu quaû, ngöôøi ñoïc caàn naém kieán thöùc tröôùc cuûa caùc moân hoïc nhö toaùn cao caáp, phöông trình toaùn lyù, phöông trình tích phaân, cô hoïc. Noäi dung, chöông trình giaûng daïy ñöôïc Nhaø tröôøng saép xeáp laø moân hoïc cô sôû cuûa chuyeân ngaønh Ñia vaät lyù vôùi soá tieát hoïc lyù thuyeát vaø baøi taäp laø 45 tieát ( 3 hoïc trình ). Maëc duø taùc giaû ñaõ heát söùc coá gaéng hoaøn thaønh giaùo trình naøy trong moät thôøi gian ngaén, nhaèm höôûng öùng chuû tröông phaùt trieån, ña daïng hoùa vaø naâng cao chaát löôïng giaùo trình cuûa Ñaïi hoïc Quoác gia Tp.HCM baèng caùch chuyeån ñoåi sang giaùo trình ñieän töû, giaùo trình khoâng traùnh khoûi coøn thieáu soùt. Mong baïn ñoïc tha thöù vaø goùp yù kieán. Taùc giaû 1
2. CHÖÔNG I THEÁ VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT §1. Khaùi nieäm veà theá. Caùc daïng chuû yeáu cuûa theá. Theá laø haøm voâ höôùng maø ñaïo haøm rieâng cuûa noù theo caùc truïc toïa ñoä baèng hình chieáu cuûa vectô löïc treân caùc toïa ñoä ñoù. Vieäc ñöa ra caùc khaùi nieäm theá coù nhieàu thuaän lôïi. Thay vì khaûo saùt 3 thaønh phaàn cuûa löïc theo 3 truïc toïa ñoä, ta chæ caàn khaûo saùt moät haøm soá voâ höôùng. Khi caàn bieát löïc taùc duïng theo moät phöông naøo ñoù, ta chæ vieäc laáy ñaïo haøm cuûa theá theo phöông ñoù. 1. Theá tæ leä nghòch vôùi khoaûng caùch quan saùt. Haõy xeùt nguoàn löïc ñôn giaûn nhaát laø nguoàn ñieåm : Tröôøng löïc haáp daãn Newton, tröôøng löïc tónh ñieän Coulomb ñeàu laø nhöõng tröôøng löïc coù theá tæ leä nghòch vôùi khoaûng caùch keå töø nguoàn ñieåm gaây ra caùc tröôøng löïc ñoù ñeán ngöôøi quan saùt. Neáu ngöôøi quan saùt taïi ñieåm P coù toïa ñoä khoâng gian laø x, y, z vaø nguoàn ñieåm laø moät ñôn vò khoái löôïng hay moät ñôn vò ñieän tích taïi ñieåm M ( ξ,η,ζ), thì haøm soá : 1 1 = (1.1) r (x−ξ )(2 + y −η )( 2 + z −ζ ) 2 tyû leä vôùi theá cuûa tröôøng löïc gaây ra bôûi ñôn vò khoái löôïng hoaëc ñôn vò ñieän tích. Trong ñoù : rx=( −ξ )(2 + y −η+ )( 2 z −ζ ) 2 (1.1a) laø khoaûng caùch MP töø nguoàn ñieåm ñeán ñieåm quan saùt. Theá hay haøm theá nhö treân hoaøn toaøn thoûa maõn phöông trình Laplace : 1  1  1 ∂2 ∂ 2  ∂ 2  r  r  r + + = 0 (1.2) ∂x2 ∂ y 2 ∂ z 2 Ta coù theå kieåm chöùng (1.2) baèng caùch laáy ñaïo haøm baäc 2 cuûa haøm soá 1/r theo x, y, z, coøn ξ,η,ζ ñöôïc xem nhö laø nhöõng tham soá. 2
3. Laáy ví duï cho tröôøng hôïp löïc haáp daãn Newton : Giaû söû nguoàn laø khoái löôïng m ñaët taïi M( ξ,η,ζ), coøn taïi ñieåm quan saùt P(x,y,z) ñaët moät chaát ñieåm khoái löôïng m 0. Theo ñònh luaät vaïn vaät haáp daãn cuûa Newton, löïc taùc duïng cuûa nguoàn leân chaát ñieåm laø: ur uur m. m 0 F= − f 2 τ 0 (1.3) r r uur r uuur r Trong ñoù τ = laø vectô ñôn vò höôùng theo MP maø vectô MP= r , f laø haèng 0 r soá haáp daãn, choïn m 0 = 1, ta coù: urm uur F= − f τ (1.4) r 2 0 Hình chieáu (ñaïi soá) treân 3 truïc toaï ñoä x, y, z cuûa löïc F taùc duïng vaøo chaát ñieåm laø : m FF=cos( Fx , ) =− f ( x −ξ ) x r3 m F = F cos( F, y) = − f (y −η) (1.5) y r3 m F = F cos( F, z) = − f (z −ζ ) z r 3 Chuùng ta ñöa ra theá V cuûa tröôøng löïc, xaùc ñònh bôûi heä thöùc sau : ∂V ∂V ∂V F = gradV = i + j + k (1.6) ∂x ∂y ∂z Nhö vaäy coù nghóa V laø moät haøm voâ höôùng maø ñaïo haøm rieâng cuûa noù theo toïa ñoä naøo ñoù thì baèng hình chieáu cuûa vectô löïc treân truïc toïa ñoä ñoù : ∂V ∂V ∂V F = F = F = (1.7) x ∂x y ∂y z ∂z Suy ra haøm V trong tröôøng hôïp naøy phaûi coù daïng: m V = f (1.8) r 3
4. Ta coù theå kieåm chöùng (1.7) baèng caùch laáy ñaïo haøm rieâng cuûa V theo x. ∂∂∂V Vr mr ∂ = = − f ∂x ∂∂ rx rx2 ∂ ∂r Tính tieáp ñaïo haøm , vaø töông töï , theo y vaø z nöõa, ta coù : ∂x ∂r x − ξ ∂r y − η ∂r z − ζ = = cos(r,x) ; = = cos(r,y) ; = = cos(r,z). ∂x r ∂y r ∂z r laø caùc cosin chæ phöông cuûa vectô r : Keát quaû : ∂V m.( x − ξ ) = −f = F ∂x r 3 x ∂V m.( y − η ) = −f = F (1.9) ∂y r 3 y ∂V m.( z − ζ ) = −f = F ∂z r 3 z Nhö vaäy bieåu thöùc (1.9) thoûa maõn (1.7) – ñònh nghóa cuûa theá. Trong tröôøng hôïp tröôøng löïc do nhieàu nguoàn ñieåm vôùi caùc khoái löôïng ví duï laø m 1, m 2, m 3 töông öùng gaây ra thì theá cuûa chuùng coù tính choàng chaát. Theá toång hôïp laø toång caùc theá cuûa töøng chaát ñieåm : n m Vxyz(, , ) = f ∑ k (1.10) k =1 rk Caùc thaønh phaàn cuûa löïc haáp daãn treân 3 truïc x, y, z laø : n m (x −ξ ) ∑ k k Fx = − f 3 k =1 rk n m (y −η ) ∑ k k Fy = − f 3 (1.11) k =1 rk n m (x −ζ ) ∑ k k Fz = − f 3 k =1 rk Löïc thaønh phaàn cuûa toång hôïp löïc theo moät truïc baèng toång cuûa taát caû caùc thaønh phaàn löïc treân cuøng truïc aáy. Chuù yù: 4
5. • Bieåu thöùc (1.8) vaø (1.10) seõ voâ nghóa khi ñieåm quan saùt truøng vôùi moät ñieåm gaây ra tröôøng, vì khi ñoù (1/r) → ∞. • Theá laø haøm soá cuûa toaï ñoä ñieåm quan saùt giôùi noäi vaø lieân tuïc neáu ñieåm quan saùt khoâng truøng vôùi moät trong nhöõng nguoàn ñieåm laø nhöõng chaát ñieåm noùi treân. • Tính giôùi noäi vaø lieân tuïc cuøng thoûa maõn vôùi löïc (ñaïo haøm cuûa theá) khi ñieåm quan saùt khoâng truøng vôùi moät trong caùc nguoàn ñieåm. 2. Theá khoái. Trong tröôøng hôïp nguoàn khoâng phaûi laø nhöõng chaát ñieåm rôøi raïc, maø laø moät vaât theå keát caáu bôûi voâ soá caùc chaát ñieåm lieân tuïc, thì theá haáp daãn Newton cuûa vaät theå ñoái vôùi moät ñôn vò khoái löôïng ñöôïc xaùc ñònh baèng tích phaân khoái. Do tính chaát coäng voâ höôùng cuûa theá, ta coù theå xaùc ñònh theá cuûa moät vaät theå coù daïng tuyø yù baèng caùch chia nhoû khoái löôïng cuûa vaät theå thaønh voâ soá nhöõng khoái löôïng nguyeân toá dm vaø coi noù nhö chaát dieåm. Giaû söû theå tích cuûa töøng nguyeân toá aáy laø: d τ = dξdηdζ vaø söû duïng maät ñoä khoái laø ñaïi löôïng : dm δ = (1.12) dτ ta coù : dm = δdτ Theá cuûa chaát ñieåm aùp duïng cho khoái löôïng nguyeân toá ôû ñaây coù daïng : dmδ d τ dVxyz(, , ) = f = f (1.13) r r r : khoaûng caùch töø khoái löôïng nguyeân toá ñeán ñieåm quan saùt P. Theá cuûa caû vaät theå coù theå tích τ, quan saùt taïi ñieåm P ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch laáy tích phaân hai veá (1.13), trong ñoù coù theå maät ñoä δ ≠ const : dm Vxyz(, , ) = f ∫∫∫ (1.13a) t r δd τ Vxyz(, , ) = f ∫∫∫ (1.13b) τ r Bieåu thöùc (1.13b) cuõng thoûa ñònh nghóa cuûa theá. Ta haõy kieåm chöùng baèng caùch laáy ñaïo haøm vaø chöùng minh raèng caùc ñaïo haøm aáy baèng hình chieáu cuûa löïc treân caùc truïc toïa ñoä : 5
6. ∂V ∂  1 = f δ  dξdηdζ ∂x ∫∫∫ ∂x  r  τ ∂  1  1 ∂r 1 x − ξ 1 1 Do :   = − = − = − cos( r, x) = cos( F, x) (1.14) ∂x  r  r 2 ∂x r 2 r r 2 r 2 ∂V δ cos( r, x) cos( F, x) neân : = − f ∫∫∫ 2 dτ = f ∫∫∫2 dm = ∫∫∫dF x = Fx (1.14a) ∂x τ r τr τ cos(F , x ) ÔÛ ñaây dF = f dm laø thaønh phaàn löïc haáp daãn cuûa khoái löôïng x r 2 nguyeân toá dm theo truïc x. Nhö vaäy (1.13b) thoûa maõn ñònh nghóa cuûa theá. Töông töï, ta cuõng chöùng minh ñöôïc : ∂V ∂V = F , = F ∂y y ∂z z Tích phaân (1.13a) vaø (1.13b) coù theå laáy ñöôïc neáu bieát chính xaùc daïng, kích thöôùc cuûa vaät, maät ñoä δ phaân boá trong vaø treân beà maët vaät nhö haøm soá cuûa ξ,η,ζ. 3. Theá lôùp ñôn: Lôùp ñôn laø söï phaân boá khoái löôïng daøn moûng treân maët σ naøo ñoù. Töùc laø coi toaøn boä khoái löôïng ñöôïc neùn moûng voâ cuøng treân beà maët σ ( khoâng nhaát thieát maët phaúng ). Khaùi nieäm veà lôùp ñôn ñöôïc söû duïng trong tónh ñieän khi caùc ñieän tích phaân boá moûng treân beà maët cuûa vaät daãn. Ñieän löôïng xaùc ñònh treân moät ñôn vò dieän tích goïi laø maät ñoä ñieän beà maët. Khaùi nieäm veà lôùp keùp coù xuaát xöù trong nghieân cöùu töø tính, vì yeáu toá töø khoâng phaûi laø moät chaát ñieåm, maø moät löôõng cöïc, töùc moät ñoaïn thaúng voâ cuøng nhoû coù töø löôïng aâm vaø döông phaân boá treân hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn thaúng ñoù. Trong ñòa vaät lyù, theá lôùp ñôn cuõng nhö theá lôùp keùp coù yù nghóa quan troïng, bôûi vì theá khoái cuûa moät khoái vaät chaát coù theå bieåu dieãn baèng moät trong hai loaïi theá aáy, hoaëc baèng moät toå hôïp cuûa caû hai loaïi theá. Caùch bieåu dieãn theá khoái nhö vaäy ñôn giaûn hoùa raát nhieàu. Thay vì laáy tích phaân khoái, ta chæ laáy tích phaân maët. Trong ñòa vaät lyù, thöôøng ta ño tröôøng treân maët quan saùt gaén lieàn vôùi maët ñaát maø khoâng bieát khoái löôïng phaân boá ra sao. Ñeå ruùt ra coâng thöùc cho theá lôùp ñôn, ta laøm nhö sau : Giaû söû trong moät theå tích τ giôùi haïn bôûi hai maët raát saùt nhau laø σ vaø σ’, beân trong chöùa ñaày khoái löôïng vôùi maät ñoä δ. Theá khoái cuûa khoái löôïng naøy, ta ñaõ bieát : 6
7. dmδ d τ Vxyz(, , ) = f∫∫∫ = f ∫∫∫ τr τ r ÔÛ ñaây tích phaân laáy trong phaïm vi theå tích τ, coøn r laø khoaûng caùch töø ñieåm chaïy M( ξ,η,ζ) cho ñeán ñieåm quan saùt P(x,y,z), laø ñaïi löôïng bieán thieân. Neáu h laø khoaûng caùch giöõa hai maët σ vaø σ’ theo phaùp tuyeán (beà daày) ñuû nhoû ñeán baäc cao, thì theå tích nguyeân toá coù theå bieåu dieãn nhö sau : dτ = hd σ (1.15) dσ laø dieän tích nguyeân toá. Coøn khoái löôïng nguyeân toá laø : dm = hδdσ (1.16) Coâng thöùc theá cuûa khoái löôïng haáp daãn coù theå vieát laïi laø : hδ d σ Vxyz(, , ) = f ∫∫ (1.17) σ r r - khoaûng caùch töø dieän tích nguyeân toá d σ ñeán ñieåm P. Neáu cho 2 maët σ vaø σ’ tieán saùt laïi voâ cuøng, thì h tieán tôùi 0, nhöng khoái löôïng dm trong moãi theå tích nguyeân toá d τ seõ khoâng ñoåi. P(x,y,z) z r r′ n h M M′ σ′ σ O x y H.1 Ñaët ñieàu kieän sao cho: 7
8. lim δ.h = ε (1.18) h→0 Heä thöùc giôùi haïn treân ñaây coù moät yù nghóa vaät lyù ñôn giaûn, vì töø bieåu thöùc (1.16) vaø (1.18), ta suy ra: dm ε = (1.19) dσ Roõ raøng ε laø khoái löôïng treân moät ñôn vò dieän tích. Ñaïi löôïng ε coù teân goïi laø maät ñoä maët hay maät ñoä lôùp ñôn. Ta quan nieäm khoái löôïng dm trong theå tích d τ bò neùn moûng treân dieän tích nguyeân toá d σ. Keát hôïp hai ñaúng thöùc (1.16) vaø (1.19), ta coù moái lieân heä giöõa maät ñoä khoái vaø maät ñoä maët. Thaät vaäy : dm = δhd σ = ε dσ Ta suy ra moái lieân heä giöõa hai maät ñoä : ε = δh (1.20) P r dσ σ M δ dτ σ′ Söï tieán tôùi giôùi haïn trình baøy ôû (1.18) ñöôïc aùp duïng cho toaøn boä khoái löôïng cuûa lôùp ñôn, keát quaû toaøn boä khoái löôïng ñöôïc xem nhö bò neùn moûng treân maët σ. Nhôø (1-20), bieåu thöùc cho theá lôùp ñôn (1.17) coù theå vieát : ε.dσ V (x, y, z) = f ∫∫ (1.21) σ r Tích phaân giôø ñaây laø tích phaân maët. 4.Theá lôùp keùp: Baây giôø, ta haõy ruùt ra coâng thöùc cho theá lôùp keùp. 8
9. ’ Gi s coù hai maët σ vaø σ maø kho ng caùch h giöõa hai maët tính theo phöông phaùp tuyeán ngoaïi raát gaàn nhau. Treân maët σ’ lôùp ñôn phaân boá vôùi maät ñoä µ > 0 (thay ñoåi), coøn treân maët σ, lôùp ñôn phaân boá vôùi maät ñoä -µ, aâm. Trong ñoù, maät ñoä cuûa hai lôùp treân ñoaïn thaúng h taïi cuøng moät phaùp tuyeán coù trò soá tuyeät ñoái nhö nhau. Laáy ñieåm P vôùi toaï ñoä x, y,z vaø khoaûng caùch töø ñoù ñeán hai ñieåm chaïy treân hai maët σ vaø σ’ laø r vaø r’. Khi ñoù, toång theá cuûa hai lôùp ñôn treân caùc maët σ vaø σ’ laø : εdσ ' εdσ V '+V = f ∫∫ − f ∫ σ r' σ r Do h beù, neân xem dσ = dσ’, vaäy :  1 1  V '+V = f ∫∫ε − dσ σ  r' r  Ñaïi löôïng 1/r’ coù theå khai trieån thaønh chuoãi Taylor : 1 1 h d  1  h 2 d 2  1  = + +   +   + r' r !1 dn  r  !2 dn 2  r  Boû qua nhöõng ñaïi löôïng beù baäc cao, chuùng ta seõ coù hieäu : 1 1 d  1  − = h   r′ r dn  r  d  1  Vaäy: V '+V = f ∫∫ε.h  dσ σ dn  r  Haõy töôûng töôïng raèng neáu hai maët σ vaø σ’ seõ tieán tôùi saùt nhau voâ cuøng. Khi ñoù, ñaët ñieàu kieän sao cho giôùi haïn cuûa tích soá εh vaãn laø giôùi noäi. lim ε.h =ν h→0 ν – maät ñoä theá lôùp keùp. Hai lôùp ñôn seõ tieán tôùi moät vò trí giôùi haïn goïi laø lôùp keùp. Khoái löôïng chung cuûa lôùp keùp baèng 0. Giôùi haïn cuûa toång hai theá : d  1  lim (V +V )' = f ν  dσ h→0 ∫∫ σ dn  r  laø theá lôùp keùp W(x,y,z) : 9
10. d  1  W (x, y, z) = f ∫∫ν  dσ (1.22) σ dn  r  Coâng thöùc (1.22) coøn coù theå vieát döôùi daïng khaùc. Khoaûng caùch r phuï thuoäc vaøo toïa ñoä ξ,η,ζ laãn toïa ñoä x,y,z, nhöng trong tích phaân, toïa ñoä ñieåm chaïy laø bieán, d  1  cho neân ñaïo haøm theo phaùp tuyeán ngoaøi   phaûi laáy theo toïa ñoä ñieåm chaïy dn  r  ξ,η,ζ . Coøn toïa ñoä x, y, z giôø laø tham soá. d  1  1 dr 1  ∂r dξ ∂r dη ∂r dζ    = − = −  + +  (1.23) dn  r  r 2 dn r 2 ∂ξ dn ∂η dn ∂ζ dn  dξ dη dξ Trong ñoù : = cos( n, x); = cos( n, y) ; = cos( n, x) dn dn dn Vaø laáy ñaïo haøm rieâng bieåu thöùc cuûa r ôû ( 1.1a ) theo ξ, ta coù : ∂r ∂ r x −ξ =− =− =− cos(r , x ) (1.23a) ∂ξ ∂ x r Tieán haønh töông töï nhö vaäy, ñoái vôùi toaï ñoä η vaø ξ. Keát quaû (1.23) coù daïng : d 1 1 cos( )n,r   = [cos( )x,r cos( )x,n + cos( )y,r cos( )y,n + cos( )z,r cos( )z,n ] = dn  r  r 2 r 2 (1.24) d 1 cos( )n,r Hay :   = dn  r  r 2 (1.24a) Bieåu thöùc (1.24) cho pheùp ta nhaän ñöôïc coâng thöùc khaùc cho theá lôùp keùp : cos( r,n) W (x, y, z) = f ∫∫ν 2 dσ (1.25) σ r Cuoái cuøng, theá lôùp keùp coøn coù theå vieát döôùi daïng thöù 3. Nhôø (1.24), ta vieát : v v v Wxyzf( , , )=∫∫2 cos( rx , )cos( nxd , ) σ+ f ∫∫2 cos( ry , )cos( nyd , ) σ+ f ∫∫ 2 cos( rz , )cos( nzd , ) σ σ rσ rσ r (1.26) 10
11. Theo (1.14) ta coù : ∂  1  cos( r, x) ∂  1  cos( r, y) ∂  1  cos( r, z)   = − ;   = − ;   = − (1.27) ∂x  r  r 2 ∂y  r  r 2 ∂z  r  r 2 cos(r , x ) cos(r , y ) cos(r , z ) Nhôø (1.27), loaïi , , ra khoûi (1.26), ta coù : r 2 r 2 r 2 ∂vnxcos( , ) ∂ vny cos( , ) ∂ vnz cos( , ) Wxyz(, , ) =− f∫∫ df σ− ∫∫ df σ− ∫∫ d σ (1.27a) ∂xrσ ∂ yr σ ∂ zr σ 5. Theá töø cuûa moät löôõng cöïc: Traùi vôùi khoái löôïng haáp daãn, chæ mang moät daáu döông, khoái löôïng töø khoâng bao giôø mang moät daáu. ÖÙng vôùi moät khoái löôïng töø döông +m, bao giôø cuõng coù moät khoái löôïng töø aâm –m cuøng trò soá. Chæ khi naøo coù moät cöïc (aâm hoaëc döông) naèm taïi voâ cöïc, thì ta môùi coù theå xem nhö chæ coù moät cöïc duy nhaát maø thoâi. Hai khoái löôïng töø khaùc daáu ôû caùch nhau moät ñoaïn d taïo thaønh moät löôõng cöïc gioáng nhö moät thanh nam chaâm vónh cöõu. Moâmen töø cuûa moät löôõng cöïc nhö vaäy laø moät ñaïi löôïng vectô µ ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : µ = lim (md )q (1.28) d →0 q laø vectô ñôn vò höôùng töø -m sang +m. Chieàu naøy quy öôùc laø chieàu döông. Giaû söû khoái löôïng +m ôû taïi vò trí M 1 vaø -m ôû taïi vò trí M 2. Vaø M laø vò trí chính giöõa hai khoái löôïng. Khoaûng d = M 1M2 goïi laø ñoä daøi cuûa löôõng cöïc. Truïc l truøng vôùi ñoaïn d goïi laø truïc löôõng cöïc vaø höôùng theo chieàu döông. M goïi laø taâm cuûa löôõng cöïc. M1, M 2 laø hai cöïc cuûa löôõng cöïc. P r2 r1 M2 M1 H.3 Maët phaúng vuoâng goùc vôùi l taïi M goïi laø maët phaúng xích ñaïo cuûa löôõng cöïc. 11
12. Vectô µ luoân luoân höôùng theo chieàu +, töùc veà phía khoái löôïng +m. Coøn giaù trò tuyeät ñoái cuûa moâmen löôõng cöïc baèng tích soá md. Trong ñoù m > 0. Toång theá töø cuûa hai chaát ñieåm nhö vaäy quan saùt taïi moät ñieåm P naøo ñoù, goïi laø theá töø cuûa löôõng cöïc. Kyù hieäu khoaûng caùch PM = r, PM 1= r 1, PM 2= r 2, M 1M2 = d AÙp duïng coâng thöùc theá cuûa moät chaát ñieåm cho töøng chaát ñieåm coù khoái löôïng töø m vaø -m, bieát raèng theá töø khoâng coù haèng soá haáp daãn : m m 1 1  U() p≈ −  = m −  rr12  rr 12  Nhaân vaø chia ñoàng thôøi veá phaûi cuûa ñaúng thöùc treân vôùi d, ta coù gaàn ñuùng : 1 1  −  r r  U() p≈ md 1 2 d Cho d →0 ta seõ coù giôùi haïn laø theá töø. Coi d = ∆l, xeùt rieâng giôùi haïn :  1 1  1  −  ∆   r r   r  d 1 lim 1 2 = lim =   d→0 d ∆l→0 ∆l dl  r  d  1  1 1 Nhöng :   = − cos( r,l) = − cos θ (1.29) dl  r  r 2 r 2 vôùi θ - goùc giöõa phöông cuûa r vaø l. Khoaûng r khoâng coøn laø haèng nöõa. Söû duïng (1.29), bieát raèng theo (1.28) lim(md) = laø trò soá tuyeät ñoái cuûa moâmen töø löôõng cöïc, ta coù : d  1  U ( p) = µ   (1.30) dl  r  Hoaëc : 1 (1.30a) U ( p) = −µ 2 cos θ r 12
13. Theá töø khaùc vôùi theá haáp daãn laø noù tæ leä nghòch vôùi bình phöông khoaûng caùch. Bieåu thöùc (1.30) cho U(p) coøn coù theå vieát döôùi daïng tích vectô voâ höôùng. d  1  Ñaïo haøm   trong (1.30), maø r laø haøm cuûa x,y,z coù daïng : dl  r  d  1  ∂  1  dx ∂  1  dy ∂  1  dz   =   +   +   dl  r  ∂x  r  dl ∂y  r  dl ∂z  r  dl Veá phaûi cuûa bieåu thöùc treân chính laø tích voâ höôùng cuûa 2 vectô :  ∂  1  ∂  1  ∂  1    1    i +   j +  k . [cos αi + cos β j + cos γ k]= grad  .q ∂x  r  ∂y  r  ∂z  r    r  dx dy dz vì =cos α , =cos β , =cos γ , laø caùc cosin chæ phöông cuûa 1 vectô. dl dl dl Vectô ñôn vò q ñaõ ñöôïc bieåu dieãn qua 3 cosin chæ phöông vaø caùc vectô ñôn rr r vò i, j , k treân 3 truïc toïa ñoä x, y, z. Vaäy cuoái cuøng (1.30) coù daïng :  1  U ( p) = µgrad  .q  r  Hoaëc :  1  (1.30b) U ( p) = µ.grad    r  Haõy xem xeùt caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa (1.30a) : 1. Giaû söû θ = 0, töùc r höôùng doïc theo l. U(p) = /r 2. U(p) ñaït giaù trò cöïc ñaïi. 2. Giaû söû θ = 90 ° töùc r ⊥ l . Ta thaáy U(p) = 0. Töùc trong maët phaúng xích ñaïo, theá töø löôõng cöïc baèng 0. Ñeå xaùc ñònh töø löïc, töùc cöôøng ñoä töø tröôøng cuûa löôõng cöïc, ta choïn heä toïa ñoä x, y,z vôùi truïc x truøng vôùi l. Luùc ñoù cos θ = cos(r,x) = x/r ta coù theá : x U = −µ r 3 1 µx 2 vaø töø löïc : F = −µ + 3 x r 3 r 5 13
14. xy F = −µ y r 5 xz F = −µ y r 5 Trong maët phaúng xích ñaïo x = 0, töø löïc cuûa löôõng cöïc tæ leä nghòch vôùi laäp phöông khoaûng caùch vaø höôùng ngöôïc truïc x ( töùc l ) : 1 F = −µ , F = 0 , F = 0 x r 3 y z 6. Theá töø cuûa caùc vaät theå bò töø hoùa : Döôùi taùc duïng cuûa töø tröôøng Traùi ñaát, ñaát ñaù caùc loaïi khaùc nhau seõ bò nhieãm töø vaø bò töø hoùa. Möùc ñoä töø hoùa khaùc nhau, tuøy thuoäc ñoä töø thaåm cuûa töøng loaïi ñaát ñaù. Moät vaät theå bò töø hoùa coù theå ñöôïc coi nhö goàm voâ soá caùc löôõng cöïc töø µ rôøi raïc, vôùi caùc truïc löôõng cöïc töø ñònh höôùng khaùc nhau. uur Xeùt theå tích nguyeân toá d τ cuûa vaät theå coù moâmen töø nguyeân toá laø d M . r r dM Ñaïi löôïng : J = (1.31) dτ ñöôïc goïi laø vectô töø hoùa cuûa vaät theå. Noù laø moät haøm vectô lieân tuïc taïi khaép moïi ñieåm trong vaät, cho tôùi beà maët cuûa vaät vaø caùc vectô J höôùng truøng vôùi µ . Neáu vaät bò töø hoùa ñoàng nhaát ( J = const ), thì moâmen töø cuûa caû vaät theå laø : r r M = Jτ vôùi τ laø theå tích vaät. Moâmen töø nguyeân toá d M öùng vôùi töøng theå tích nguyeân toá d τ cuûa vaät theå coù theå coi ñoàng nhaát vôùi moâmen töø löôõng cöïc µ : r r dM = µ = dJ τ (1.31a) Thay µ ôû (1.30b) baèng Jdτ vaø kyù hieäu laïi U laø dU ta coù :  r  1  dU = J.grad  dτ   r  Laáy tích phaân theo toaøn theå tích cuûa vaät ta coù theá töø cuûa vaät theå : 14
15.  r  1  U = J .grad  dτ ∫  r  τ   (1.32) Töông töï , coâng thöùc (1.30) vaø (1.30a) vieát cho toaøn vaät theå ta coù : d  1  U = J  dτ ∫ dl  r  τ (1.32a) cos θ U = − J dτ ∫ 2 τ r (1.32b) Ta haõy thieát laäp moái lieân heä giöõa theá töø vaø theá haáp daãn cuûa cuøng moät vaät theå. Haõy xeùt tröôøng hôïp vaät theå ñoàng chaát bò töø hoùa ñoàng nhaát. Vectô J laø haèng veà trò soá vaø höôùng xaùc ñònh trong toaøn vaät theå. Theo (1.32a), ta coù : d  1  d dτ U( p) = ∫J  dτ = J ∫ τdl  r  dl τ r Vaät theå ñoàng chaát neân maät ñoä laø haèng soá, ta coù : J d  δdτ  U ( p) ==  f  fδ dl  ∫ r   τ  Keát quûa : J dV U ( p) = fδ dl (1.32c) δdτ ÔÛ ñaây theá haáp daãn laø : V = f ∫ τ r Nhö vaäy theá töø cuûa moät vaät theå ñoàng chaát bò töø hoùa ñoàng nhaát baèng ñaïo → J haøm cuûa theá haáp daãn theo höôùng l hay vectô töø hoùa J , nhaân vôùi nhoùm heä soá . fδ §2. YÙ nghóa vaät lyù cuûa theá, caùc maët ñaúng theá, ñöôøng söùc. Ñònh nghóa toaùn hoïc veà theá, ñaõ xaùc ñònh theá nhö moät haøm soá cuûa toïa ñoä cuûa ñieåm quan saùt P. Song thöïc ra, theá coù moät yù nghóa vaät lyù hoaøn toaøn xaùc ñònh. 15
16. Tröôùc tieân ta haõy xaùc ñònh yù nghóa vaät lyù cuûa soá gia voâ cuøng nhoû cuûa theá, sau ñoù ñeán soá gia höõu haïn, vaø sau cuøng laø yù nghóa vaät lyù cuûa baûn thaân theá. Haõy xem theá thay ñoåi ra sao khi di chuyeån moät ñôn vò khoái löôïng töø moät ñieåm P (x, y, z) ñeán moät ñieåm P’(x + dx, y +dy, z+dz) ôû laân caän. Haõy kyù hieäu ñoaïn dòch chuyeån PP’ aáy laø ds. Theá seõ coù moät soá gia naøo ñoù ∆V. Vôùi ñoä chính xaùc ñeán caùc soá haïng baäc cao, ta duøng vi phaân dV thay cho ∆V. Vi phaân toaøn phaàn cuûa moät haøm soá ñöôïc xaùc ñònh trong toaùn hoïc : ∂V ∂V ∂V dV = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Ñaïo haøm cuûa theá V theo phöông s seõ laø : dV ∂V dx ∂V dy ∂V dz = + + ds ∂x ds ∂y ds ∂z ds trong ñoù : dx dy dz = cos( s, x) = cos( s, y) = cos( s, z) ds ds ds ∂V ∂V ∂V = Fx = F cos( F, x) = Fy = F cos( F, y) = Fz = F cos( F, z) ∂x ∂y ∂z dV = F[cos( F, x)cos( s, x) + cos( F, y)cos( s, y) + cos( F, z)cos( s, z)] = F cos( F,s) ds Keát quûa : dV = F cos( F,s)ds = Fs ds = dA (1.33) Vôùi Fs laø hình chieáu ñaïi soá cuûa löïc F treân phöông s. Nhö vaäy, moät gia soá voâ cuøng nhoû cuûa theá baèng tích cuûa löïc taùc duïng theo phöông s vôùi quaõng ñöôøng ñi laø ds, töùc baèng coâng dA cuûa löïc taùc duïng vaøo moät ñôn vò khoái löôïng treân khoaûng dòch chuyeån ds voâ cuøng nhoû. Coâng thöùc (1.33) cho ta coâng thöùc xaùc ñònh thaønh phaàn löïc theo moät phöông s baát kyø : dV Fs = (1.33a) ds Nhö vaäy, moät khi bieát theá V, ta coù theå xaùc ñònh löïc theo moät phöông s tuøy yù. Chuùng ta haõy tìm hieåu yù nghóa vaät lyù cuûa hieäu soá theá giöõa hai ñieåm P vaø P 0 caùch nhau moät khoaûng höõu haïn. Laáy tích phaân hai veá cuûa bieåu thöùc (1.33) ta ñöôïc coâng A cuûa löïc haáp daãn khi di chuyeån moät ñôn vò khoái löôïng töø P 0 ñeán P : 16
17. P    1 1  A = ∫ dV = V (P) −V (P0 ) = f ∫∫∫ − dm  r r  P0 τ 0 r : khoaûng caùch töø dm ñeán ñieåm P, coøn r0 - khoaûng caùch töø dm ñeán ñieåm P o . Nhö vaäy theá giöõa hai ñieåm baèng coâng cuûa löïc haáp daãn thöïc hieän ñöôïc khi moät ñôn vò khoái löôïng di chuyeån töø ñieåm naøy sang ñieåm noï vaø khoâng phuï thuoäc vaøo ñöôøng ñi maø chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò theá ôû ñieåm ñaàu vaø ñieåm cuoái. Neáu r < r 0, di chuyeån thöïc hieän veà phía khoái löôïng haáp daãn thì coâng döông, ngöôïc laïi coâng laø aâm ; vaø baèng khoâng neáu ñöôøng ñi kheùp kín ( P vaø P 0 truøng nhau ). Baây giôø cho ñieåm P 0 naèm ôû voâ cöïc, töùc laø : r 0→ ∞ , khi ñoù : lim V (P0 ) = 0 r0 →∞ Ta coù : A = V(P) Vaäy, theá taïi ñieåm quan saùt P baèng coâng maø tröôøng löïc thöïc hieän ñöôïc khi di chuyeån moät ñôn vò khoái löôïng töø vò trí khoâng cuûa theá (V = 0) ñeán ñieåm P noùi treân. Ñoù laø yù nghóa vaät lyù cuûa theá taïi ñieåm quan saùt P. Thöù nguyeân cuûa theá laø thöù nguyeân cuûa coâng. Theá V laø ñaïi löôïng ngöôïc daáu vôùi theá naêng : V = - U. Nhö vaäy, coù nghóa theá naêng baèng coâng cuûa tröôøng löïc khi di chuyeån moät khoái löôïng ñôn vò töø ñieåm quan saùt veà vò trí khoâng cuûa theá naêng. Chuùng ta haõy xeùt hai tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa coâng thöùc (1.33) : * Thöù nhaát laø phöông di chuyeån cuûa khoái löôïng ñôn vò vuoâng goùc vôùi phöông cuûa löïc, luùc ñoù: Goùc ( = 90 0, cos(F,s) = 0, töø (1.33) ta coù : dV = 0 suy ra : V(x,y,z) = const (1.34) Ñaây laø phöông trình cuûa moät maët maø treân ñoù, theá coù giaù trò khoâng ñoåi, löïc coù phöông vuoâng goùc vôùi maët ñoù taïi moïi ñieåm treân maët (truøng vôùi phöông cuûa phaùp tuyeán). Maët naøy coù teân laø maët möùc hay maët ñaúng theá. Coâng thöïc hieän ñöôïc khi di chuyeån moät chaát ñieåm treân maët ñaúng theá luoân luoân baèng khoâng. Thay ñoåi giaù trò haèng soá trong (1.34), ta seõ nhaän ñöôïc moät hoï caùc maët ñaúng theá khaùc nhau. Caùc maët ñaúng theá khoâng theå caét nhau hay tieáp xuùc vôùi nhau, bôûi vì neáu nhö vaäy hoùa ra theá laø moät haøm ña trò. * Thöù hai laø cho khoái löôïng ñôn vò di chuyeån doïc theo phöông vaø theo chieàu taùc duïng cuûa löïc ( truøng vôùi chieàu cuûa phaùp tuyeán trong n’). Luùc ñoù : 17
18. Goùc (F,s) = 0 0, cos(F,x) =1, dV= Fds = Fdn’ vôùi dn’ laø moät ñoaïn cuûa phaùp tuyeán trong (ds = dn’). dV F = (1.35) dn ' Neáu di chuyeån ngöôïc theo phöông cuûa löïc (ds = dn) thì : 0 Goùc (F,s) = 180 , cos (F,s) = -1 dV ta suy ra : F = − (1.36) dn Nhö vaäy chæ coù laáy ñaïo haøm theo phöông cuûa phaùp tuyeán ta môùi nhaän ñöôïc toaøn phaàn cuûa löïc taùc duïng. Bieåu thöùc (1.36) öùng vôùi phöông cuûa phaùp tuyeán ngoaøi, coøn (1.35) öùng vôùi phöông cuûa phaùp tuyeán trong. Thoâng thöôøng, trong lyù thuyeát theá, ngöôøi ta söû duïng phaùp tuyeán ngoaøi, vì vaäy cho neân löïc seõ ñöôïc bieåu dieãn baèng (1.36). Töø (1.36), ta coù : dV dn = − (1.37) F Qua (1.37), ta ruùt ra raèng : khoaûng caùch theo phöông phaùp tuyeán giöõa hai möùc voâ cuøng saùt nhau khoâng phaûi haèng soá cho moïi vò trí maø tæ leä nghòch vôùi löïc. Kyù hieäu h laø khoaûng caùch höõu haïn tính doïc theo phöông ñöôøng söùc giöõa hai maët möùc V = C 1 vaø V = C2 naøo ñoù khoâng saùt nhau, trong ñoù chieàu döông cuûa h truøng vôùi chieàu phaùp tuyeán ngoaøi n. dV Ta coù : dh = − F Laáy tích phaân doïc theo ñöôøng söùc cuûa löïc : h 1 C2 dh = − dV ∫ F ∫ 0 m C1 C1 − C2 ta c où : h = Fm Trong ñoù F m laø trò giaù trung bình cuûa löïc treân ñoaïn h cuûa ñöôøng söùc. Nhö vaäy, neáu bieát hieäu theá giöõa hai maët ñaúng theá, ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc ñoaïn ñöôøng söùc noùi treân. Maëc duø ñoaïn naøy coù theå cong, nhöng luoân vuoâng goùc vôùi caû hai maët ñaúng theá vaø ñöôïc xem laø ñoä cao cuûa maët naøy so vôùi maët noï. 18
19. §.3. Theá vaø tröôøng löïc cuûa moät soá vaät theå coù daïng ñôn giaûn. Trong phaàn naøy chuùng ta seõ nghieân cöùu phöông phaùp xaùc ñònh theá vaø tröôøng löïc cuûa moät soá vaät theå coù daïng ñôn giaûn. Qua ñoù, chuùng ta seõ ruùt ra keát luaän coù tính chaát ñaëc tröng, ñuùng cho tröôøng hôïp toång quaùt. Chuùng ta seõ xaùc ñònh caùc loaïi tröôøng theá, vì bieát ñöôïc tröôøng theá, chuùng ta seõ bieát ñöôïc giaù trò cuûa löïc vaø höôùng cuûa löïc taïi moät ñieåm baát kyø vaø bieát ñöôïc phöông trình caùc maët ñaúng theá nöõa. Vieäc xaùc ñònh theá chung quy laø choïn moät heä toïa ñoä thích hôïp sau ñoù tieán haønh laáy tích phaân. 1.Theá lôùp caàu : Ñaây laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa lôùp ñôn vôùi maät ñoä ε, coù daïng hình caàu. Nhö vaäy quaû caàu ôû ñaây voâ cuøng moûng vaø roãng ôû beân trong. Chuùng ta haõy xeùt caùc tröôøng hôïp : a/ Ñieåm quan saùt P naèm ôû khoâng gian ngoaøi quaû caàu. Choïn goùc toïa ñoä O truøng vôùi taâm quaû caàu baùn kính R. Khoái löôïng haáp daãn ñöôïc daøn moûng voâ cuøng treân maët quaû caàu σ vôùi maät ñoä maët ñeàu ε, coøn ñieåm quan saùt P ôû ngoaøi quaû caàu caùch taâm O moät khoaûng laø ρ. Ñieåm chaïy M treân maët caàu ñöôïc xaùc ñònh baèng toïa ñoä caàu ρ, θ, λ. Truïc xuyeân taâm maët caàu qua hai cöïc N vaø S ñöôïc choïn truøng vôùi OP laø truïc tính toïa ñoä goùc θ (hình 4) . Theá cuûa lôùp ñôn ñöôïc aùp duïng laø : εdσ V = f ∫∫ r σ 2 ÔÛ ñaây r = MP, d σ = R sin θdθdλ Trong tam giaùc OMP (hình 5), ta coù : r2 = R 2 +ρ2– 2R ρcos θ (1.38) Laáy vi phaân hai veá (1.38), ta coù : rdr = R ρsin θdθ rR Töø ñaây, ta ruùt ra : R 2 sin θdθ = dR (1.39) ρ 19
20. rR Vaäy : dσ = drd λ (1.40) ρ P( ρ,θ,λ) ρ r N λ dλ θ O dθ M R dσ σ S H.4 Thay (1,40) vaøo tích phaân vaø coi maät ñoä maët ε = const, sau khi laáy tích phaân theo λ ta coù: σ ρ ρ + R R V = 2πfε dr (1.41) ∫ ρ ρ − R θ R 2 V = 4 π fε (1.42) ρ H.5 2 Theo coâng thöùc hình hoïc sô caáp thì 4πR ε chính laø khoái löôïng cuûa maët caàu σ coù maät ñoä maët laø ε, kyù hieäu laø M, ta coù : fM V = (1.43) ρ So saùnh vôùi theá cuûa moät chaát ñieåm, ta coù nhaän xeùt raèng moât lôùp caàu voâ cuøng moûng coù theá gioáng tröôøng hôïp giaù nhö doàn heát khoái löôïng lôùp caàu vaøo taâm quaû caàu. Theá giaûm tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch. Löïc haáp daãn cuûa lôùp caàu naøy ñoái vôùi moät khoái löôïng ñôn vò ñaët taïi P caùch taâm moät khoaûng ρ baèng : 20
21. ∂V M F = = − f (1.44) ∂ρ ρ 2 Nhö vaäy, löïc taùc duïng khoâng khaùc löïc haáp daãn cuûa chaát ñieåm coù khoái löôïng baèng khoái löôïng cuûa lôùp caàu ñaët taïi taâm caàu, vaø höôùng ngöôïc vôùi ρ vaøo taâm O. Ta coù theå nhaän ñöôïc löïc baèng caùch laáy ñaïo haøm cuûa (1.42) : ∂V R 2 F = = −4πfε (1.44a) ∂ρ ρ 2 b/ Ñieåm quan saùt P naèm beân trong lôùp caàu : Haõy laáy tích phaân theo r, coù söï thay ñoåi so vôùi tröôøng hôïp thöù nhaát. ÔÛ ñaây : rmax = R + ρ coøn rmin = R − ρ , hieäu soá : rmax - rmin = 2 ρ Coâng thöùc (1.41) sau khi thay giaù trò treân ñaây vaøo seõ coù daïng : V = 4 πfεR (1.45) fM Hay : V = = const (1.46) R Trong ñoù M laø khoái löôïng cuûa lôùp caàu. Nhö vaäy theá cuûa lôùp caàu ñoái vôùi ñieåm beân trong khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm ñoù beân trong lôùp caàu. Löïc haáp daãn : ∂ V F = = 0 (1.47) ∂ ρ Nghóa laø ñieåm naèm beân trong lôùp caàu khoâng chòu löïc haáp daãn cuûa lôùp caàu. 21
22. V fM R fM V = ρ O ρ=R ρ H.6 c/ Ñieåm quan saùt P ôû treân maët lôùp caàu : Thay ρ = R vaøo (1.42) vaø (1.43), ta coù theá treân vaø trong lôùp caàu : fM V = 4πfεR = laø haèng soá. (1.48) R - Theá laø haøm ñôn trò, lieân tuïc khi ñi qua lôùp caàu. Chuùng ta haõy khaûo saùt xem khi xuyeân qua maët caàu thì löïc dieãn bieán ra sao. Xeùt giaù trò giôùi haïn khi chuùng ta tieán töø beân ngoaøi ñeán caän moät ñieåm P 0 treân maët caàu. ∂ V ∂ V Duøng kyù hieäu sau : lim = e P → P 0 ∂ ρ ∂ ρ Coøn töø beân trong tieán ñeán ñieåm P 0 treân maët caàu : ∂ V ∂ V lim = i P → P0 ∂ ρ ∂ ρ M Theo (1.44a) khi cho ρ = R vaø (1.47), ta coù : R r ∂ V e = − 4 π fε O R P z ∂ ρ ∂ V i = 0 ∂ ρ σ H.7 ∂ V Baây giôø ta seõ tính ñaïo haøm taïi ñieåm P ôû ngay treân lôùp caàu. ∂ ρ o Thaønh phaàn löïc theo moät truïc baèng ñaïo haøm cuûa (1.21) : 22
23. ∂V cos( r , z ) F z = = − fε ∫∫ 2 dσ ∂z σ r Höôùng truïc z truøng vôùi ρ, theo hình 7, ta coù : r cos( r , z ) = ( treân maët caàu ), keát quûa : 2 R ∂ V ∂ V r d σ fε d σ F z = = = − fε ∫∫2 = − ∫∫ ∂ z ∂ ρ σ2 R r 2 R σ r Söû duïng bieåu thöùc (1.40) vaø cho ρ = R, ta coù tích phaân : d σ r max 2 π 2 R ∫∫= ∫∫drd λ = ∫ ∫drd λ = 2π ∫ dr = 4π R σr σ r min 0 0 ∂ V Vaäy, treân maët σ : = − 2 π fε ∂ ρ  ∂ V − e = 4 π fε Ngoaøi σ  ∂ ρ   ∂ V  − i = 0 Trong σ  ∂ ρ Toùm laïi moâñun löïc F =  ∂ V  − 0 = 2 π fε Treân σ  ∂ ρ   4πfε F = f 2πfε ρ H.8 23
24. Ñöôøng cong bieåu dieãn ñaïo haøm cuûa theá cuûa lôùp caàu. Khi ñi qua lôùp caàu, haøm soá naøy bò giaùn ñoaïn vaø bieán ñoåi moät löôïng baèng ± 4πfε, daáu tuøy thuoäc vaøo chieàu ñi töø trong ra ngoaøi hay töø ngoaøi vaøo trong. 2. Theá khoái caàu Chuùng ta xeùt quaû caàu ñaëc vaø ñoàng chaát vaø cuõng phaân bieät hai tröôøng hôïp ñieåm quan saùt ôû trong vaø ngoaøi quaû caàu. a/ Tröôøng hôïp ñieåm quan saùt P ôû ngoaøi vaø caùch taâm quaû caàu moät khoaûng ρ : Haõy töôûng töôïng quaû caàu naøy laø moät taäp hôïp cuûa voâ soá nhöõng lôùp caàu ñoàng chaát voâ cuøng moûng. Khi ñoù, theá cuûa toaøn theå khoái caàu coù theå xem baèng toång caùc theá cuûa caùc lôùp caàu. Noùi chính xaùc laø laáy tích phaân theá lôùp caàu theo coâng thöùc (1.42). Ta seõ thay ε baèng maät ñoä khoái nhö sau, goïi khoaûng caùch giöõa hai lôùp caàu voâ cuøng gaàn nhau laø h = dR thì (1.20) seõ coù daïng : ε = δdR (1.49) vôùi δ laø moät haèng soá cho moïi lôùp caàu. Kyù hieäu laïi V baèng dV, coâng thöùc (1.42) cho theá lôùp caàu seõ coù daïng: R 2 dV = 4πfδ dR ρ Ñeå coù theá cuûa khoái caàu, ta laáy tích phaân töø 0 ñeán R 0 theo baùn kính : R 0 3 δ 2 4 R V = 4π f ∫ R dR = π fδ 0 (1.50) ρ 0 3 ρ 4 M = πR 3δ laø khoái löôïng cuûa khoái caàu. Ta coù : 3 0 fM V = (1.51) ρ Nhö vaäy, theá cuûa khoái caàu ñaëc coù daïng gioáng tröôøng hôïp giaù nhö toaøn boä khoái caàu ñoù ñöôïc doàn heát vaøo taâm thaønh chaát ñieåm. Löïc haáp daãn ñoái vôùi ñieåm quan saùt coù khoái löôïng ñôn vò ñaët taïi P baèng : 24
25. ∂ V fM F = = − (1.52) ∂ ρ ρ 2 Löïc haáp daãn cuõng tyû leä nghòch vôùi bình phöông khoaûng caùch ñeán taâm quaû caàu, tyû leä thuaän vôùi khoái löôïng M, höôùng vaøo taâm quaû caàu, ngöôïc chieàu vôùi ρ. b/ Tröôøng hôïp ñieåm quan saùt P ôû trong khoái caàu, caùch taâm moät khoaûng ρ. Döïng moät maët caàu baùn kính ρ, chia ñoâi khoái caàu laøm hai phaàn. Phaàn trong laø moät quaû caàu coù baùn kính ρ cho ta theá kyù hieäu laø V 1. Phaàn thöù hai laø moät lôùp caàu bò giôùi haïn giöõa hai baùn kính ρ vaø R 0 coù theá baèng V 2. Vì theá coù tính chaát choàng chaát, neân theá cuûa khoái caàu coù theå coi baèng toång cuûa V 1 vaø V 2 : V = V 1 + V 2 Ñieåm P laø ñieåm ngoaøi so vôùi quaû caàu baùn kính ρ, vaäy aùp duïng (1.50), thay R0 = ρ, ta coù: 4 V = πfδρ 2 1 3 Ñieåm P laø ñieåm trong so vôùi lôùp caàu coøn laïi vaäy aùp duïng coâng thöùc (1.45) cho moät ñieåm quan saùt ôû beân trong lôùp caàu voâ cuøng moûng vaø sau khi thay ñoåi maät ñoä maët ε baèng maät ñoä khoái theo (1.49), kyù hieäu laïi V baèng dV ta coù : dV = 4 πfδRdR Theá cuûa lôùp caàu daày baèng theá cuûa voâ soá lôùp caàu moûng laø tích phaân : R0 2 2 V2 = 4πfδ ∫ RdR = 2πfδ (R0 − ρ ) ρ Theá cuûa khoái caàu keát quaû cuoái cuøng laø: 2 2 2 V = V + V = πfδ 3( R − ρ ) 1 2 3 0 (1.53) 2 V = Vmax = 2πfδR0 khi ρ = 0 25
26. Söû duïng (1.53), löïc haáp daãn trong khoái caàu baèng : ∂V 4 F = = − πfδρ ( tyû leä thuaän vôùi ρ ) (1.54) ∂ρ 3 4 F = F = πfδR khi ρ = R max 3 0 0 Theo (1.54), löïc beân trong quaû caàu tæ leä thuaän vôùi khoaûng caùch ρ. Taïi taâm quaû caàu ρ = 0, löïc taùc duïng F = 0. Nhaân ñoàng thôøi töû vaø maãu soá bieåu thöùc (1.54) vôùi ρ2 ta coù : 4 ρ 3 F = πfδ (1-55) 3 ρ 2 fm Hay : F = ρ 2 4 vôùi m = πρ 3δ laø khoái löôïng cuûa khoái caàu (phaàn thöù nhaát), baùn kính ρ. 3 Löïc haáp daãn chung töông ñöông vôùi löïc haáp daãn cuûa quûa caàu baùn kính ρ, laø phaàn thöù nhaát, hay cuûa chaát ñieåm coù khoái löôïng baèng khoái löôïng cuûa phaàn thöù nhaát ñaët taïi taâm O. Phaàn thöù hai coi nhö khoâng gaây neân moät taùc duïng löïc naøo. Chuù yù : Löïc F khoâng phaûi tyû leä nghòch vôùi ρ2 vì m ≠ const. V F V Fmax F O Ro ρ H.9 3.Theá loâgarit: 26
27. Chuùng ta xaùc ñònh theá cuûa moät caùi thanh daøi voâ taän vaø ñoàng chaát L. Duøng heä toïa ñoä x, y, z, höôùng truïc z truøng vôùi L. Maët phaúng xoy vuoâng goùc vôùi thanh, chöùa vectô toång löïc haáp daãn höôùng vuoâng goùc vôùi thanh. Ta coù baøi toaùn hai chieàu x,y (khoâng phuï thuoäc z). Goïi maät ñoä daøi laø λ laø haèng soá. Löïc haáp daãn cuûa moät ñoaïn ∆z ñoái vôùi ñieåm quan saùt P(x,0) naèm treân truïc x. OP = x ( hình10 ) ñöôïc tính nhö löïc haáp daãn cuûa chaát ñieåm theo phöông r vaø baèng : ∆z fλ∆z ∆F = − fλ = − r 2 (x 2 + z 2 ) x Chieáu treân truïc x : ∆Fx = ∆F cos α = − fλ∆Z 3 (x 2 + z 2 ) 2 Do thanh ñoái xöùng qua truïc x, toång löïc haáp daãn F seõ höôùng doïc truïc x : π +∞ dz x 2 2 fλ F = Fx = − f λx 3 = − fλ 3 cos αdα = −2 ∫2 2 ∫ (1.56) 2 x π x −∞ (x + z ) − 2 z ÔÛ ñaây, ta ñt = tg α ; x Toång quaùt, n eáu P(x,y) laø ñieåm tuøy yù naèm treân maët xoy thì löïc haáp daãn toaøn phaàn cuûa L ñoái vôùi P seõ höôùng theo OP laø truïc ρ. H.10 27
28. Ta coù : 2 fλ F = − (1.57) ρ ρ 2 2 Trong ñoù ρ = x + y laø khoaûng caùch töø L ñeán P. Ta suy ra theá cuûa thanh L : V = - 2λf ln ρ (1-57b) 4. Theá töø cuûa khoái caàu. Giaû söû m, δ, R laø khoái löôïng, maät ñoä, baùn kính cuûa khoái caàu ñaëc ñoàng chaát bò töø hoùa ñoàng nhaát coù moâmen töø laø M. Theá haáp daãn cuûa khoái caàu taïi khoaûng caùch ρ töø taâm khoái caàu, ta ñaõ bieát :  m f 2 (ρ ≥ R)  ρ V ( p) =  ρ 2 2πfδ (R 2 − ), (ρ R : dl dV m dρ m = − f = − f cos θ dl ρ 2 dl ρ 2 Khi ρ < R : dV ∂V dρ 4 dρ m = = − πfδρ = − f ρ cos θ dl ∂ρ dl 3 dl R 3 Goùc giöõa ρ vaø truïc l ( hay J ) laø θ. Bieát M = Jτ vaø (1.32c) lieân heä giöõa theá haáp daãn vaø theá töø, ta coù :  M −cosθ , ρ ≥ R  ρ 2 U( p ) =  M −ρcos θ , ρ < R  3  R (1.58) Treân maët caàu ρ = R, hai coâng thöùc treân chuyeån thaønh moät : 28
29. U ( p) = − M cos θ (1.58a) ( R 2 ) Khi ρ > R, ñem coâng thöùc ( 1.58) so vôùi coâng thöùc löôõng cöïc (1.30a), ta thaáy noù chính laø theá cuûa löôõng cöïc ñaët taïi taâm quaû caàu coù moâmen µ truøng höôùng vôùi M . Baây giôø ta tính löïc töø tröôøng. Choïn heä toïa ñoä gaén chaët vôùi ngöôøi quan saùt vaø phaân taùch löïc ra thaønh hai thaønh phaàn : theo phöông phaùp tuyeán vaø tieáp tuyeán vôùi maët caàu ( phöông thaúng ñöùng theo ρ vaø vuoâng goùc vôùi ρ ). ∂U 1 ∂U Z = ; H = ∂ρ ρ∂ θ Laáy ñaïo haøm cuûa U theo ρ vaø θ vôùi ρ > R, ta coù : M  M  Z = 23  cos θ ; H = 3  sin θ ; ρ  ρ  Treân maët caàu ( ρ = R) ta coù : M M  Z = 2 cos θ ; H = 3  sin θ ; ( R3 ) ρ  Vectô cöôøng ñoä töø toaøn phaàn : ur T=+= Z2 H 2M 1 + 3cos 2 θ ( R3 ) Taïi hai cöïc : θ = 0 o vaø 180 o : Z = ± 2 M ; H = 0 R3 ur T= Z = 2M . max R3 Taïi xích ñaïo töø : θ = 90 o , 270 o : ur Z = 0 , H = ± M ; T= H = M R3 max R3 Daáu ± öùng vôùi 2 toïa ñoä θ = 90 o , 270 o vaø so vôùi heä toïa ñoä gaén vôùi ngöôøi quan saùt. 29
30. + Ghi chuù : Ngoaøi ra, theá ly taâm, theá vaø löïc löïc haáp daãn cuûa moät soá vaät theå coù hình daïng ñôn giaûn ñöôïc ñeà caäp döôùi daïng baøi taäp ôû phaàn phuï luïc nhö : Ñóa troøn moûng, ñóa troøn daày, hình vaønh khuyeân, lôùp ñôn voâ haïn, hình truï ñaëc, hình truï roãng. §.4. Caùc tính chaát cuûa theá Newtôn. 1. Theá khoái : Theá khoái V cuûa vaät theå coù maät ñoä δ laø haøm lieân tuïc, ñôn trò vaø giôùi noäi trong toaøn khoâng gian. Ñaïo haøm cuûa noù cuõng coù tính chaát naøy. Ta haõy chöùng minh tính giôùi noäi cuûa theá ( töùc khoâng taêng leân ∞ khi r → 0 ). Ñoái vôùi ñieåm quan saùt ôû khoaûng khoâng gian ngoaøi theå tích τ, r khoâng bao giôø baèng 0 neân ôû ñaây khoâng coù vaán ñeà gì. Theá coù ñaày ñuû tính chaát giôùi noäi ôû khoâng gian ngoaøi. Song trong khoâng gian trong τ thì r coù theå baèng 0. Trong tích tích phaân 1 → ∞ vaø ta caûm giaùc raèng tích phaân khoâng giôùi noäi. Thöïc teá khoâng phaûi nhö vaäy. r Choïn ñieåm P ôû trong theå tích τ laøm goác toïa ñoä caàu. Trong heä toïa ñoä caàu : dτ= r2 sin θθλ d d dr Thay dτ vaøo trong tích phaân theá khoái (1.13) ta coù : V= f∫∫∫ δ rsin θθλ dddr τ dτ Khi r → 0 tích phaân treân giôùi noäi. Ñaïi löôïng → 0 ôû mieàn laân caän P, r nhöng toaøn boä tích phaân theo τ khaùc 0. Baây giôø muoán chöùng minh tính lieân tuïc ôû trong khoâng gian trong, chuùng ta haõy xeùt ñieåm quan saùt P(x,y,z) trong khoâng gian trong. Döïng moät quaû caàu, baùn kính R thaät nhoû coù taâm taïi ñieåm P sao cho maät ñoä khoái trong ñoù, kyù hieäu laø δ* laø haèng soá. Theá do quaû caàu coù baùn kính R gaây ra ta goïi laø V 1. Theá cuûa phaàn coøn laïi cuûa vaät laø V 2. Nhö vaäy theá cuûa moät vaät theå V ñöôïc coi laø baèng toång theá : V1 + V 2. Theá V 2 quan saùt taïi P laø haøm lieân tuïc vì r khoâng bao giôø baèng 0. Theá V 1 quan saùt taïi P, taâm quaû caàu ( ρ = 0) aùp duïng coâng thöùc (1.53), ta coù : * 2 V1 = 2π f δ R (1.59) Neáu quan saùt taïi ñieåm P’laân caän, beân trong quaû caàu vaø caùch P moät ñoaïn ρ< R, thì theo coâng thöùc (1.53) ta coù : 30
31. 2 V '= πfδ 3(* R 2 − ρ 2 ) (1.60) 1 3 ' Ta phaûi chöùng minh tính lieân tuïc, töùc : V1− V 1 tieán tôùi 0 khi R >0 vôùi ρ tôùi 0 thì ρ > 0 vì ρ < R vaø hieäu πf δ* ρ 2 → 0. 3 Nhö vaäy ta ñaõ chöùng minh xong tính lieân tuïc cuûa theá trong toaøn boä vaät theå. Ta cuõng coù theå chöùng minh ñöôïc raèng ñaïo haøm baäc 1 cuûa theá cuõng coù ñaày ñuû tính chaát nhö treân trong toaøn boä khoâng gian. Baây giôø chuùng ta seõ ruùt ra theâm nhöõng tính chaát khaùc cuûa ñaïo haøm baäc 2 cuûa theá. ÔÛ ñaây, ta laàn löôït xeùt tröôøng hôïp ôû khoâng gian ngoaøi vaø trong. ÔÛ khoâng gian ngoaøi, r ≠ 0 taïi moïi vò trí neân ñaïo haøm moïi baäc cuûa theá seõ lieân tuïc vaø giôùi noäi. Tính ñaïo haøm baäc 2 cuûa theá theo toïa ñoä x,y,z : ∂ 2V ∂ 2 ( /1 r) f 2 = ∫∫∫δ 2 (1.62) ∂x υ ∂x ∂  1  x − ξ Bieát raèng :   = − ∂x  r  r 3 Laáy ñaïo haøm laàn nöõa : ∂ 2 1 2 ( r ) 1 (3 x −ξ) 2 = − 3 + 5 (1.63) ∂x r r ∂ 2V  1 (3 x −ξ)2  f d 2 = ∫∫∫δ − 3 + 5  τ (1.64) ∂x τ  r r  Töông töï, ta coù: ∂ 2V  1 (3 y −η)2  f d 2 = ∫∫∫δ − 3 + 5  τ (1.65) ∂y r r τ   ∂ 2V  1 (3 z −ζ )2  f d 2 = ∫∫∫δ − 3 + 5  τ (1.66) ∂z r r τ   31
32. Coäng laïi 3 ñaïo haøm baäc hai noùi treân, ta coù : ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V  3 (3 x −ξ)2 + (y −η)2 + (z −ζ )2  2 + 2 + 2 = f ∫∫∫δ − 3 + 5 dτ = ∂x ∂y ∂z τ  r r   3 3  f δ − + dτ = 0 (1.67 ) ∫∫∫  r 3 r 3  τ ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V Vaäy : 2 + 2 + 2 = 0 (1.68) ∂x ∂y ∂z Ñaây laø phöông trình Laplace thieát laäp quan heä giöõa ba loaïi ñaïo haøm baäc hai cuûa theá khoái, hay vieát döôùi daïng goïn : ∆V = 0 (1.69) ∂2 ∂ 2 ∂ 2 Kyù hieäu : ∆= + + - Toaùn töû Laplace ∂x2 ∂ y 2 ∂ z 2 Haøm soá naøo thoûa maõn phöông trình Laplace trong khoâng gian naøo ñoù ñöôïc goïi laø haøm ñieàu hoøa trong khoâng gian ñoù. Nhö vaäy theá khoái laø haøm ñieàu hoøa cuûa toïa ñoä ñieåm quan saùt trong toaøn khoâng gian ngoaøi. Trong khoâng gian trong, chöùa khoái löôïng, theá khoái khoâng thoûa maõn phöông trình Laplace. Bieåu thöùc sau daáu tích phaân (1.62) coù daïng 0/0. Ta coù thuû thuaät sau : Boïc ñieåm quan saùt P ôû khoâng gian trong baèng moät quaû caàu coù baùn kính raát beù so cho maät ñoä trong ñoù laø moät haèng soá. Quaû caàu chia ñoâi khoâng gian trong, töông töï nhö ñaõ chöùng minh: V = V 1 + V 2 (1.70) V1 : Theá khoái cuûa phaàn trong quaû caàu. V2 : Theá khoái cuûa phaàn ngoaøi quaû caàu. Taùc duïng toaùn töû Laplace vaøo hai veá cuûa (1.70) : ∆V = ∆V1 + ∆V2 V2 baây giôø laø theá quan saùt ôû khoâng gian ngoaøi ñoái vôùi P neân : ∆V2 = 0 V1 laø theá cuûa quaû caàu quan saùt ôû khoâng gian trong ñoái vôùi P. AÙp duïng coâng thöùc theá (1.53) cho P beân trong quaû caàu ta coù : 2 * 2 2 V1 =π f δ()3 R − ρ (1.71) 3 32
33. Vôùi R = const. Trong ñoù ρ laø khoaûng caùch giöõa taâm quaû caàu O (x 1, y 1, z 1) vaø ñieåm quan saùt P ôû trong quaû caàu, dó nhieân ρ < R. ∂∂∂VVρ 4 xx − 4 1= 1 =−πδρf* 1 =− πδ fxx * ( − ) ∂x ∂ρ ∂ x 3 ρ 3 1 2 2 2 2 ρ =−(xx1 )( +− yy 1 )( +− zz 1 ) (1.72) Laáy ñaïo haøm moät laàn nöõa theo x : ∂2V 4 1 = − πf δ * ∂x 2 3 Töông töï nhö vaäy : ∂2V 4 ∂2V 4 1 = − πf δ * ; 1 = − πf δ * (1.73) ∂y 2 3 ∂z 2 3 * Coäng ba ñaïo haøm baäc hai cuûa V 1 ta coù : ∆V1 = − 4π f δ (1.74) Keát quaû bieåu thöùc ∆V coù daïng : ∆V = − 4π f δ * (1.75) δ* ñöôïc hieåu laø maät ñoä taïi ñieåm P (x, y, z). Daáu * khoâng caàn thieát nöõa. ∆V = − 4π f δ (1.76) Theá khoái thoûa phöông trình Poison ñoái vôùi khoâng gian trong chöùa khoái löôïng. Khi trong vaät khoâng coù khoái löôïng δ = 0, ta coù laïi phöông trình Laplace : ∆ V = 0 Chuùng ta haõy khaûo saùt tính chaát cuûa theá khoái ôû voâ cuøng, töùc khi r taêng leân voâ haïn. Khi ñoù ta boû qua kích thöôùc cuûa vaät vaø coi laø chaát ñieåm : fM V = r Vôùi M : laø khoái löôïng cuûa vaät. Roõ raøng : limV = 0 (1.77) r→∞ 33
34. Hoaëc chöùng minh raèng tích rV tieán ñeán giôùi haïn : P (x, y, z) lim rV= fM r→∞ Neáu thay vaøo theá khoái rmin , rmax (hình 11), ta coù : rmax r rmin δτd δτ d f∫∫∫> VPf( ) > ∫∫∫ τrmin τ r max M ( ξ, η, ζ) τ rmin, rmax coù theå ñöa ra ngoaøi daáu tích phaân : H.11 fM fM >V( p ) > rmin r max Nhaân 2 veá vôùi r : rfM rfM >rV( P ) > rmax r min Khi r → ∞ thì : r r lim= lim = 1 rmax r min neân khi ñoù : lim rV= fM (1.78) r→∞ Töông töï nhö vaäy, ta coù theå chöùng minh raèng : ∂V lim r2 = fM (1.79) r→∞ ∂r Haøm soá thoûa maõn moät trong 3 ñieàu kieän : (1.77), (1.78), (1.79) goïi laø haøm chính qui ôû voâ cöïc. Nhö vaäy, theá khoái coù tính chaát chính qui ôû voâ cöïc. Toùm laïi theá khoái coù tính chaát thoûa phöông trình Laplace ôû khoâng gian ngoaøi, phöông trình Poisson ôû khoâng gian trong chöùa khoái löôïng vaø chính qui ôû voâ cöïc. 2. Theá lôùp ñôn : 34
35. Cuõng nhö theá khoái, theá lôùp ñôn lieân tuïc, giôùi noäi trong toaøn khoâng gian, thoûa maõn phöông trình Laplace ôû khoâng gian ngoaøi, coù ñaïo haøm moïi baäc lieân tuïc, coù tính chính quy ôû voâ cöïc. Chuùng ta haõy ñi saâu khaûo saùt ñaïo haøm theo phöông tuøy yù l cuûa theá lôùp ñôn : ∂V ∂  1  cos( r,l)   = f ∫∫∫ε dσ = − f ∫∫ε 2 dσ (1.80) ∂l σ ∂l  r  σ r Ñaây chính laø hình chieáu cuûa löïc haáp daãn do lôùp ñôn gaây ra treân phöông l. Khi ñieåm quan saùt ñi qua maët lôùp ñôn ñaïo haøm naøy seõ bò giaùn ñoaïn. Chuùng ta ñaõ thaáy söï giaùn ñoaïn naøy ôû lôùp caàu, nay chuùng ta ruùt ra cho tröôøng hôïp toång quaùt. Kyù hieäu ñieåm ngoaøi lôùp ñôn laø A, ñieåm ôû phía trong lôùp ñôn laø B, coøn ñieåm naèm ngay treân maët lôùp ñôn laø C. Giaû söû baây giôø hai ñieåm A, B tieán khoâng ngöøng veà C. Chuùng ta seõ thaáy ñaïo haøm cuûa theá seõ coù nhöõng giôùi haïn khaùc nhau. Kyù hieäu giôùi haïn cuûa ñaïo haøm ngoaøi taïi C laø : dV C dV A ε cos( r ,l) e = lim e = − lim A dσ A→C A→C ∫∫ 2 dl dl σ rA Kyù hieäu giôùi haïn cuûa ñaïo haøm trong taïi C laø : dV C dV B ε cos( r ,l) i = lim = − lim A dσ B→C B→C ∫∫ 2 dl dl σ r B Nhö vaäy ta coù 2 giaù trò giôùi haïn maø thaønh phaàn löïc ñaït tôùi khi ñieåm quan saùt tieán khoâng ngöøng töø beân ngoaøi vaø beân trong tôùi ñieåm C treân maët lôùp ñôn. Coøn ngay taïi C thì khoâng caàn giaù trò giôùi haïn maø ñaïo haøm xaùc ñònh tröïc tieáp : dV C ε cos( r ,l) O f C d == − ∫∫ 2 σ dl σ rC Khi A vaø B tieán khoâng ngöøng tôùi C, khoaûng caùch r giöõa ñieåm M ñeán caùc ñieåm C, A vaø B cuõng tieán tôùi 0, cho neân ta caàn chöùng minh tính giôùi noäi cuûa caùc ñaïo haøm. Khoanh troøn ñieåm C baèng moät ñöôøng troøn coù baùn kính beù voâ cuøng, ta coù ñóa troøn σo , vaø maät ñoä khoâng ñoåi εc trong ñóa troøn ñoù. Giaù trò cuûa caùc ñaïo haøm nay seõ bò taùch ra laøm 2 phaàn : ngoaøi ñóa vaø trong ñóa. 35
36. dV C ε cos( r ,l) ε cos( r ,l) e f A d f C A d = lim ∫∫ 2 σ − lim ∫∫ 2 σ dl A→C r A→C r σ −σ o A σ o A C dV i ε cos( rB ,l) ε C cos( rB ,l) = lim f ∫∫ 2 dσ − lim f ∫∫ 2 dσ (1.81) dl B→C r B→C r σ −σ o B σ o B C dV o ε cos( rC ,l) ε C cos( rC ,l) = f ∫∫ 2 dσ − lim f ∫∫ 2 dσ dl r A→C r σ −σ o C σ o C Caùc soá haïng ñaàu luoân luoân giôùi noäi vì ôû mieàn (σ - σ0) thì r khoâng bao giôø baèng 0. Khi A, B truøng haún vôùi C, ta coù caùc ñaúng thöùc : ε cos( rA ,l) ε cos( rB ,l) ε cos( rC ,l) lim ∫∫ 2 dσ = lim ∫∫ 2 dσ = ∫∫ 2 dσ A→C r B→C r r σ −σ o A σ o −σ o B σ −σ o C ( Giaù trò quan saùt taïi caän A vaø caän B baèng giaù trò ngay taïi C ) Caùc soá haïng thöù 2 cuûa ( 1.81 ) coù theå xem nhö laø thaønh phaàn löïc haáp daãn do ñóa troøn gaây ra theo phöông l. Ñoái vôùi A vaø B noù baèng 2πfε c cos (n,l) ( baøi taäp 11 ôû phuï luïc ), coøn ñoái vôùi C (taâm ñóa), noù baèng 0. Cho σ0 → 0, ta coù : C dV e ε cos( rC ,l) = f ∫∫ 2 dσ − 2πfε c cos( n,l) dl σ rC C dV i ε cos( rC ,l) = f ∫∫ 2 dσ + 2πfε c cos( n,l) (1.82) dl σ rC C dV o ε cos( rC ,l) = f ∫∫ 2 dσ dl σ rC r l l ( A , ) Töø 3 ñaúng thöùc treân ta coù theå vieát laïi nhö sau : l A dV e dV o rA = − 2πfε cos( ln ). (1.83) r , l dl dl C ( C ) r n rC dV dV l e = o + 2πfε cos( ln ). dl dl r  B rB , l εdσ ( ) B M σ H.12 Coäng hai ñaúng thöùc ( 1.83), ta coù : 36
37. dV o 1 dV e dV i  =  +  (1.84) dl 2  dl dl  Ñaây laø coâng thöùc cuûa Plemeli, ñöôïc aùp duïng ñeå tính giaù trò cuûa ñaïo haøm ngay treân maët lôùp ñôn thoâng qua caùc giaù trò giôùi haïn. Khi tröø ñi hai ñaúng thöùc ôû (1.83) cho nhau ta coù : dV e dV i − = −4πfε cos ()n,l (1.84a) dl dl Coâng thöùc (1.84a)ø laø coâng Poisson. Noù cho pheùp ta tính ñoä cheânh leäch cuûa giaù trò ñaïo haøm khi ñi qua xuyeân lôùp ñôn. Neáu ñaïo haøm laáy theo phöông phaùp tuyeán ngoaïi thì cos (n,l) = 1, ta coù : dV dV e − i = −4πfε (1.85) dl dl Toùm laïi ñaïo haøm maát tính lieân tuïc khi ñi xuyeân lôùp ñôn. Caàn phaûi phaân bieät ba giaù trò cuûa ñaïo haøm ôû lôùp ñôn. Keát quaû treân ñaây phuø hôïp vôùi keát quaû ôû tröôøng hôïp lôùp caàu ñaõ khaûo saùt. 3. Theá lôùp keùp : Theá lôùp keùp coù theå xem nhö toång caùc ñaïo haøm cuûa theá lôùp ñôn theo toïa ñoä nhö (1.27a). - Thöïc vaäy, neáu xem -vcos(n,x), -vcos(n,y), -vcos(n,z) laø nhöõng maät ñoä maët thì 3 tích phaân trong veá phaûi cuûa (1.27a) laø caùc theá lôùp ñôn. - Trong khoâng gian ngoaøi, ñaïo haøm cuûa theá lôùp ñôn luoân luoân lieân tuïc, thoûa maõn phöông trình Laplace vaø chính quy ôû voâ cöïc. Vaäy trong khoâng gian ngoaøi theá lôùp keùp cuõng phaûi coù caùc tính chaát aáy. - Khi xuyeân maët lôùp ñôn, caùc ñaïo haøm baäc nhaát cuûa theá lôùp ñôn bò giaùn ñoaïn cho neân theá lôùp keùp cuõng bò giaùn ñoaïn. Ta ñaõ phaân bieät thaønh ba giaù trò cuûa ñaïo haøm, thì nay cuõng phaûi phaân bieät thaønh ba giaù trò cuûa theá lôùp keùp. Hai giaù trò giôùi haïn cuûa W e , W i vaø moät giaù trò tröïc tieáp W 0 treân lôùp keùp. Töông töï : We = W0 + 2π fv Wi = Wo + 2π fν 37
38. §.5 Caùc tính phaân Gauss. d  1  Tích phaân Gauss coù daïng : ( x,y,z) = ∫∫  dσ ( 1.86) σ dn  r  cos(r , n ) d σ Hoaëc : Ω(,x y , z ) = ∫∫ 2 (1.86a) σ r Caùc tích phaân treân ñaây ta ñaõ gaëp trong theá lôùp keùp, neáu boû qua fν. Ñeå giaûi thích yù nghóa hình hoïc cuûa bieåu thöùc ñöùng sau daáu tích phaân ta ñöa ra moät quaû caàu ñôn vò bao quanh ñieåm quan saùt P(x, y, z) vôùi baùn kính baèng 1. Kyù hieäu dω laø dieän tích cuûa phaàn treân maët quaû caàu ñôn vò bò giôùi haïn bôûi hình noùn coù ñænh taïi P vaø coù ñaùy laø dieän tích nguyeân toá dσ. Goùc khoái ω laø hay goùc troâng, laø goùc maø töø P ta troâng thaáy dieän tích dσ. Goùc khoái ω laø ñaïi löôïng döông, vaäy : dσ.cos( r , n ) ±dω = (1.87) r 2 Daáu aâm hoaëc döông, tuøy thuoäc vaøo cos(r,n). P (x, y,z) dω r1 P (x, y,z) dσ n M n1 dσ1 dω r M1 dω P (x, y,z) r2 r2 M2 M dσ n2 dσ2 n2 H.13 38
39. Ta haõy tính Ω cho moät ñieåm quan saùt beân trong maët σ, treân maët vaø beân ngoaøi maët. Töø (1.82) vaø (1.83) ta suy ra : Ω(,xyz , ) = ± ∫ d ω (1.88) σ Ñoái vôùi ñieåm P beân trong maët σ, cos(r,n) luoân luoân aâm taïi moïi vò trí trong : dσ.cos( r , n ) = − dω r 2 Goùc khoái toaøn phaàn ω = 4 π neân sau khi laáy tích phaân hai veá, ta coù : Ω(,,)x y z = − 4 π (1.89) Ñoái vôùi ñieåm P ngoaøi maët σ, moãi moät hình noùn nguyeân toá caét maët σ laøm hai dieän tích nguyeân toá dσ1 vaø dσ2 (hình 13). Goùc giöõa n vaø r seõ nhoïn taïi M 1 vaø tuø taïi M 2. Keát quaû laø : dσ1 d σ 2 2.cos,()nr11+ 2 .cos,() nrdd 22 =−=ω ω 0 r1 r 2 ÔÛ ñaây : r1 = M 1P, r2 = M 2P Nhö vaäy ñoái vôùi ñieåm P ôû ngoaøi maët σ ta coù : Ω(,x y ,) z = 0 Ñoái vôùi ñieåm P treân maët σ (hình 13), ta thaáy cos goùc tuø, dω mang daáu tröø : dσ.cos( r , n ) = − dω (1.90) r 2 ω = 2 π neân : Ω(,,)x y z = − 2 π (1.91) Tích phaân Ω(x,y,z) giuùp xaùc ñònh theá lôùp keùp (1.25) vaø coù teân goïi laø tích phaân Gauss. Nhö vaäy tích phaân Gauss coù ñoä cheânh leäch laø 4 π khi ñi töø trong ra ngoaøi baát kyø moät maët kín σ naøo ñoù. 39
40. CHÖÔNG II CAÙC COÂNG THÖÙC GREEN §.1. Hai coâng thöùc Green cô sô û Ñeå laøm saùng toû caùc tính chaát quan troïng khaùc cuûa theá, chuùng ta phaûi söû duïng moät coâng cuï toaùn hoïc aùp duïng cho caùc haøm toïa ñoä khoâng gian. Giaû söû coù hai ñaïo haøm U i(x, y, z) vaø V i(x, y, z) lieân tuïc cuøng vôùi ñaïo haøm baäc hai trong theå tích τ vaø treân caû maët σ giôùi haïn theå tích τ. Ta haõy xeùt ñaúng thöùc sau : ∂  ∂V  ∂U ∂V ∂V 2 U i  = i i +U i (2.1) ∂x  i ∂x  ∂x ∂x i ∂x 2 Chuyeån veá , roài laáy tích phaân theo x ta coù : x x2 ∂∂UV ∂ V2 x 2 ∂ 2 V iidxU= i − U i dx (2.2) ∫∂∂xxi ∂ x ∫ i ∂ x 2 x1 x1 x 1 Laáy tích phaân theo hai bieán soá coøn laïi ta coù : x2 y 2z 2 y 2 z1 x2 x2 y 2z 2 2 ∂U i ∂Vi ∂Vi ∂ Vi ∫ ∫ ∫ dxdydz = ∫ ∫U i dydz − ∫ ∫ ∫U i 2 dxdydz (2.3) x1 y1 z1 ∂x ∂x y1z 2 ∂x x1 x1 y1 z1 ∂x z dσ2 dy dσ1 n2 n1 dz Σ x1 x2 O x y H.14 40
41. Tích phaân ñaàu vaø cuoái laø caùc tích phaân khoái, coøn tích phaân ôû giöõa laø tích phaân maët trong phaïm vi dieän tích Σ treân maët phaúng zoy. Dieän tích nguyeân toá treân maët naøy laø dydz ( H.14 ). Giaû söû moät ñöôøng thaúng song song vôùi x caét maët σ khoâng quaù 2 laàn. Nhö vaäy moät ñöôøng thaúng xuaát phaùt töø toïa ñoä y, z ôû maët Σ, seõ coù 2 giao ñieåm vôùi maët σ taïi toïa ñoä x1 vaø x2. ÖÙùng vôùi dieän tích nguyeân toá dydz treân maët Σ, seõ coù 2 dieän tích nguyeân toá dσ1 vaø dσ2 treân maët σ do hình laêng truï coù ñaùy dydz caét ra : dydz = -dσ1 cos (n1, x) = d σ2 cos (n 2, x) (2.4) Daáu tröø ôû ñaây do goùc (n1, x) nhoïn, coøn goùc (n2, x) tuø. Thay caän x1 vaø x 2 trong tích phaân maët ta coù : y 2z 2 x2 y 2z 2 y 2z 2 ∂Vi  ∂Vi   ∂Vi  ∫ ∫U i dydz = ∫ ∫U i  dydz − ∫ ∫ U i  dydz ∂x  ∂x   ∂x  y1 z1 x1 y1 z1 x=x2 y1 z1 x= x1 Söû duïng (2.4) ta coù : y 2z 2 y 2z 2  ∂Vi   ∂Vi  = ∫ ∫ U i  .cos ()n2 , x dσ 2 + ∫ ∫ U i  .cos ()n1 , x dσ 1 y1 z1  ∂x  x=x2 y1 z1 ∂x  x=x1 Hai tích phaân treân coù theå hôïp nhaát laïi, chung cho toaøn dieän tích σ : ∂Vi = ∫∫U i cos( n, x)dσ (2.5) σ ∂x Nhö theá toùm laïi : ∂U ∂V ∂V ∂ 2V i i dτ = U i cos( n , x)dσ − U i dτ ∫∫∫∂x ∂x ∫∫i ∂x ∫∫∫ i ∂x 2 τ σ τ Töông töï, ta coù theå vieát ñaúng thöùc treân ñaây cho y vaø z. Sau ñoù coäng laïi töøng veá cuûa 3 ñaúng thöùc vôùi nhau roài chuyeån veá ta coù: ∂U ∂V ∂U ∂V ∂U ∂V  ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V  i i i i i i d U i i i d ∫∫∫ + +  τ + ∫∫∫ i  2 + 2 + 2  τ =  ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z   ∂x ∂y ∂z  τ τ ∂Vi ∂Vi ∂Vi  ∫∫U i  cos ()n, x + cos ()n, y + cos ()n, z dσ σ  ∂x ∂y ∂z  41
42. Nhö (1.23), ta vieát bieåu thöùc trong tích phaân choùt nhö sau : dV ∂V ∂V ∂V i = i cos( n, x) + i cos( n, y) + i cos( n, z) (2.7) dn ∂x ∂y ∂z Nhôø (2.7), ta coù sau cuøng :  2 2 2  ∂U i ∂Vi ∂U i ∂Vi ∂U i ∂Vi  ∂ Vi ∂ Vi ∂ Vi dV i ∫∫∫ + + dτ + ∫∫∫U i  2 + 2 + 2 dτ = ∫∫U i dσ τ  ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z  τ  ∂x ∂y ∂z  σ dn ∂∂UV ∂∂ UV ∂∂ UV Kyù hieäu : ii+ ii + ii = D() U, V ∂∂xx ∂∂ yy ∂∂ zz i i dV i ∫∫∫D(U i ,Vi )dτ + ∫∫∫U i∇Vi dτ = ∫∫U i dσ (2-8) τ τ σ dn Ñaây laø coâng thöùc Green thöù nhaát cho khoâng gian trong. Coâng thöùc cho pheùp chuyeån töø tích phaân khoái sang tích phaân maët. Ñieåm naøy raát quan troïng veà maët öùng duïng trong thöïc teá, bôûi vì thöôøng chuùng ta chæ bieát haøm theá ôû treân beà maët cuûa vaät. Trong (2.8) baây giôø cho Vi = U i , ta coù : dU i ∫∫∫D(U i ,U i )dτ + ∫∫∫U i∇U i dτ = ∫∫U i dσ (2-9) τ τ σ dn Tích phaân ñaàu coù yù nghóa quan troïng trong lyù thuyeát theá, coù teân goïi laø tích phaân Dirichlet, kyù hieäu laø I : 2  2 2  ∂Ui ∂ U i  ∂ U i IDUUd=(i , i ) τ = ++    d τ ∫∫∫ ∫∫∫ x y z τ ∂ ∂   ∂  Taát caû caùc thaønh phaàn trong I ñeàu döông hoaëc baèng 0 neáu taát caû ba soá haïng ñeàu cuøng baèng 0. Ñieàu ñoù coù nghóa Ui = const taïi moïi ñieåm thuoäc τ. Nhö vaäy I ≥ 0. Ta coù tröôøng hôïp toång quaùt töø (2.9) khi boû tích phaân I ra : d U i U dσ≥ UUd ∆ τ ∫∫id n ∫∫∫ i i σ τ (2.10) 42
43. Khi Ui = const, I =0, thì (2.10) laáy daáu baèng. Giaûn öôùc cho Ui ta coù : dU i ∆U dτ = d σ ∫∫∫i ∫∫ dn τ σ (2.11) Neáu Ui ≠ const, hoaùn vò Ui cho V i trong (2.8) ta coù : dU i ∫∫∫VUdii∆τ + ∫∫∫ DVUd( ii , ) τ = ∫∫ V i d σ (2.12) τ τ σ dn Tröø ñi (2.12) cho (2.8) ta coù: dV dU    i i ∫∫∫UVVUdiiii∆−∆  τ = ∫∫  U i − V i  d σ τ σ dn dn  (2.13) Coâng thöùc (2.13) laø coâng thöùc Green thöù hai cho khoâng gian trong. Baây giôø ta ruùt ra coâng thöùc Green cho khoâng gian ngoaøi. Giaû söû U e vaø V e laø hai haøm lieân tuïc ngoaøi maët σ , coù ñaïo haøm baäc hai giôùi noäi ngoaøi σ . Ngoaøi ra theâm moät ñieàu kieän boå sung nöõa laø chuùng phaûi chính qui ôû voâ cöïc. Töùc laø thoûa maõn ñieàu kieän (1.73), (1.74) vaø (1.75). Döïng moät quaû caàu S baùn kính R bao goïn ngoaøi maët σ . n τ' n’ R τ σ H.15 43
44. Ta haõy aùp duïng coâng thöùc Green thöù nhaát (2.8) cho mieàn τ , ’ giôùi haïn bôûi 2 maët σ vaø S (laø khoâng gian ngoaøi nhöng baây giôø trôû thaønh khoâng gian trong) : , dVe dV e ∫∫∫[]UVDUVdeeee∆+( , ) τ = ∫∫ U e, d σ + ∫∫ U e dS τ , σdn σ dn Dieän tích nguyeân toá treân maët caàu dS= R2 sin θ dd θ λ , do ñoù bieåu thöùc trong tích phaân choùt coù theå vieát laø : dV dV Ue dSUR= 2 e sin θ dd θ λ edn e dR (treân maët caàu dn= dR ). Do tính chính qui ôû voâ cöïc neân khi R →∞ ta coù : lim U e = 0 R→∞ dV Coøn : lim R 2 e = const dR R→∞ Keát quaû, khi R → ∞ , tích phaân theo S baèng 0. Coøn laïi : , dV e ∫∫∫[]UVDUVdee∆+( ee , ) τ =− ∫∫ U e d σ (2.14) τ , σ dn r r Daáu tröø do ñaïo haøm nay bieåu dieãn qua pheùp tuyeán ngoaøi n cuûa σ (n = −n′) Hoaùn vò U e cho Ve roài tröø ñi vôùi (2.14) ta coù coâng thöùc Green thöù 2 cho khoâng gian ngoaøi : , dVe dU e  ∫∫∫[]UVVUdeeee∆−∆τ =− ∫∫  U e − V e  d σ (2.15) τ , σ dn dn  Tröôøng hôïp hai haøm U vaø V ñeàu laø haøm ñieàu hoøa, thì ta coù moät coâng thöùc Green thöù hai chung ñoàng thôøi cho khoâng gian ngoaøi vaø trong :  dV dU  ∫∫U −V dσ = 0 (2.15a) σ  dn dn  44
45. 1 §. 2. Coâng thöùc Green cho haøm . r 1 Aùp duïng coâng thöùc Green thöù hai cho haøm U = trong ñoù r laø khoaûng i r caùch giöõa ñieåm chaïy M(x,y,z) vaø moät ñieåm cho tröôùc naøo ñoù P(x 1,y 1,z 1). Toïa ñoä quan saùt coi nhö tham soá. Khoaûng caùch r ñöôïc bieåu dieãn qua toïa ñoä Decartes : 1 1 = (2.16) 2 2 2 r ()()()xx−1 +− yy 1 +− zz 1 Aùp duïng coâng thöùc Green thöù hai cho khoâng gian trong (2.13), ta coù : 1 1  1dV i d  1  ∫∫∫∆−∆VVdi i  τ = ∫∫ − Vi   d σ (2.17) τ r r σ rdn dnr   a/ Ñieåm P ôû ngoaøi theå tích τ . Vì P ôû ngoaøi theå tích τ neân trong theå tích τ vaø treân beà maët σ luoân r ≠ 0. Ui lieân tuïc taïi moïi ñieåm M trong τ vaø treân σ . 1  1  Haøm soá U = laø haøm ñieàu hoøa trong τ neân : ∆  = 0. i r  r  Coâng thöùc Green (2.17) coù daïng : 1 1 dV i d  1  − ∫∫∫ ∆Vi dτ + ∫∫  −Vi  dσ = 0 τ r σ r dn dn  r  (2.18) b/ Ñieåm P ôû trong theå tích τ . 1 Haøm seõ bò giaùn ñoaïn khi M truøng vôùi P, vì theá aùp duïng coâng thöùc Green r (2.16) khoâng ñöôïc. Boïc ñieåm P baèng moät quaû caàu S, baùn kính r. Theå tích coøn laïi laø τ’ ñöôïc giôùi haïn bôûi σ vaø S. Ta coù theå aùp duïng coâng thöùc Green (2.18) cho theå tích τ’: 1 1 dV i d 1 1 dV i d 1 ∫∫∫ ∆Vi dτ = ∫∫  − Vi  dσ + ∫∫ dS − ∫∫Vi  dS τ' r σ r dn dn  r  s r dn ' s dn '  r  45
46. Cho baùn kính r cuûa quûa caàu S tieán tôùi 0, thì τ’ → τ, ta coù tích phaân kh i theo 1 1 τ là ∫∫∫ ∆Vi d τ . Vì dτ trong tích phaân laø ñaïi löôïng tyû leä vôùi r, neân khi r → 0 thì τ r r 1 dτ → 0 laân caän taâm P. Nhöng tích phaân theo toaøn theå tích τ thì giôùi noäi. r 2 1 dV i 1 r sin θdθdλ ÔÛ tích phaân ∫∫ , dS , töông töï dS = cuõng tieán tôùi 0 khi S r dn r r r → 0 . Nhöng quaû caàu S → 0 neân tích phaân naøy tieán tôùi 0. Tích phaân choùt theo S, do söï lieân tuïc cuûa Vi khi quaû caàu S → 0 , neân seõ tieán tôùi keát quaû : 1 , Vi∫∫ 2 cos( rndSV , )= i Ω = 4π Vp i ( ) S r Chuù yù : n’ laø phaùp tuyeán trong cuûa quûa caàu, neân cos(r,n’) > 0, do ñoù, ôû ñaây tích phaân Gauss > 0 vaø baèng 4 π. Keát quaû laø : 1 1 dV i d 1 − ∫∫∫ ∆Vi dτ + ∫∫  − Vi  dσ = 4πVi )p( (2.19) τ r σ r dn dn  r  c/ Ñieåm P ôû treân maët σ. Ta coù tích phaân Gauss Ω(P ) = 2 π , do ñoù : 1 1 dV i d 1 − ∫∫∫ ∆Vi dτ + ∫∫  − Vi  dσ = 2πVi )p( (2.20) τ r σ r dn dn  r  Caùc veá phaûi cuûa hai coâng thöùc Green treân cho thaáy ta coù theå xaùc ñònh giaù trò V(P) taïi ñieåm P baát kyø trong maët σ vaø treân σ , neáu bieát ∆Vi trong τ , giaù trò Vi dV vaø i taïi moïi ñieåm treân maët σ . dn Veá traùi cuûa (2.20) chính laø toång cuûa ba loaïi theá maø : 1 ∫∫∫ ∆Vi d τ coù theå xem nhö theá khoái V vôùi maät ñoä ∆Vi τ r 1 dV i  dV i ∫∫   dσ coù theå xem nhö theá lôùp ñôn V 1vôùi maät ñoä σ r dn  dn d 1  ∫∫ Vi   d σ laø theá lôùp keùp W vôùi maät ñoä baèng Vi . σ dn r  46
47. 4πV ( p) trong σ  i Toùm laïi : V1(p) – W(p) – V(p) =  2πVi ( p) treân σ  0 ngoaøi σ (2.21) Tr ưng h p V(p) là hàm ñiu hòa, công th c (2.18), (2.19) và (2.20) tr thành :  1 dV d 1 ∫ ∫− ∫ V  dσ = 0 P ôû ngoaøi σ (2.21a) σ  r dn dn  r   1 dV d 1 ∫ ∫− ∫ V  dσ = 4πV P ôû trong σ (2.21b) σ  r dn dn  r   1 dV d 1 ∫ ∫− ∫ V  dσ = 2πV P treân σ (2.21c) σ  r dn dn  r  §.3. Haøm ñieàu hoøa vaø caùc tính chaát. Haøm ñieàu hoøa cuûa toïa ñoä khoâng gian x, y, z laø haøm lieân tuïc trong theå tích τ naøo ñoù cuøng vôùi ñaïo haøm baäc 1, baäc 2 vaø thoûa maõn phöông trình Laplace taïi moïi ñieåm trong theå tích τ . Ví duï veà haøm ñieàu hoøa laø caùc ña thöùc baäc n cuûa toïa ñoä x,y,z. Giaû söû V laø haøm ñieàu hoøa, coâng thöùc (2.11) cho ta : dV i dσ = 0 ∫∫ (2.22) σ dn Ñaúng thöùc naøy raát quan troïng, noù coù nghóa ñaïo haøm treân maët σ khoâng phaân boá tuøy yù maø phaûi theo ñieàu kieän coâng thöùc (2.22). Qua ñaây ta thaáy ñaïo haøm theo phaùp tuyeán khoâng phaûi luoân luoân giöõ nguyeân moät daáu maø bieán ñoåi aâm, döông. Haõy xeùt moät soá tính chaát cuûa haøm ñieàu hoøa. 1. Ñònh lyù veà ñaúng trò : Haøm ñieàu hoøa coù giaù trò khoâng ñoåi V = const taïi moïi ñieåm treân maët σ , thì noù cuõng coù giaù trò khoâng ñoåi aáy trong toaøn mieàn τ . CM : Ñeå chöùng minh, chuùng ta söû duïng coâng thöùc (2.9) keát hôïp vôùi (2.22) ñeå coù coâng thöùc cho V i ñieàu hoøa nhö sau : dV i ∫∫∫DVVd(i , i ) τ= ∫∫ () Vk i − d σ (2.23) τ σ dn k : haèng soá tuøy yù. Neáu treân maët σ :Vi = k, thì tích phaân Dirichlet cuûa V i baèng khoâng. Ñieàu naøy coù nghóa V i = const trong toaøn mieàn τ. Nhöng theo ñieàu kieän cho tröôùc V i = k treân 47
48. maët σ maø theo ñieàu kieän lieân tuïc thì Vi = k luoân taïi moïi ñieåm trong τ . Ta ñaõ chöùng minh xong const = k. Döïa treân tính chaát naøy ta suy ra laø neáu lôùp ñôn phaân boá ñuùng treân maët ñaúng theá, thì löïc taùc duïng cuûa noù ñoái vôùi 1 ñieåm beân trong lôùp baèng khoâng. Chuùng ta ñaõ töøng xeùt tröôøng hôïp lôùp ñôn coù daïng caàu, maët ñaúng theá cuõng chính laø maët caàu vaø nhö ta thaáy, beân trong lôùp caàu löïc taùc duïng baèng khoâng. Tính chaát treân coøn ñuùng vôùi lôùp ñôn coù daïng baát ky,ø mieãn sao lôùp ñôn truøng vôùi maët ñaúng theá. Bôûi vì phía trong lôùp ñôn, theá cuûa noù thoûa maõn phöông trình Laplace ( ñieàu hoøa ), treân maët lôùp ñôn theá khoâng ñoåi, thì theo ñònh lyù 1, theá cuõng dV  laø haèng ôû beân trong lôùp ñôn, ñaïo haøm   = 0 , löïc baèng khoâng. dn  i 2. Ñònh lyù veà ñôn trò : Khoâng theå cuøng toàn taïi hai haøm ñieàu hoøa khaùc nhau V vaø V’ beân trong maët σ maø coù cuøng moät taäp hôïp caùc giaù trò V treân maët σ . CM : Duøng phöông phaùp phaûn chöùng: Giaû söû toàn taïi hai haøm nhö vaäy thì hieäu cuûa chuùng V – V’ cuõng seõ laø haøm ñieàu hoøa trong σ , vaø treân σ thì baèng khoâng. Nhöng theo ñònh lyù 1, thì hieäu cuûa chuùng cuõng coù giaù trò baèng 0 trong toaøn mieàn τ . Vaäy thì V = V’ beân trong σ. Ñònh lyù coøn coù theå phaùt bieåu caùch khaùc : Neáu toàn taïi moät haøm ñieàu hoøa coù taäp hôïp giaù trò V treân maët σ thì ñaây laø haøm duy nhaát. 3. Ñònh lyù veà trung bình : Giaù trò cuûa haøm ñieàu hoøa taïi moät ñieåm P baát kyø beân trong theå tích τ, baèng giaù trò trung bình tích phaân treân maët caàu coù taâm laø P vaø naèm goïn beân trong theå tích τ . ∫∫ Vi d ∑ ∑ 1 Vp( ) = = Vdi ∑ i ∑ 2 ∫∫ ∫∫ d 4π R ∑ ∑ R: baùn kính maët caàu. CM : Vì V i laø haøm ñieàu hoøa, cho neân coâng thöùc (2.19) chæ coøn laïi tích phaân maët. Giaû söû maët σ laø maët caàu ∑ ôû ñaây : 1dV d  1  i ∑ ∑ ∫∫d− ∫∫ Vi  d= 4π Vp i ( ) (2.24) ∑r dn ∑ dn r  48
49. d d Vì P laø taâm maët caàu cho neân r = R - baùn kính maët caàu, vaø = , ta coù : dn dR d  1  1 dr 1   = − 2 = − 2 (2.25) dn  r ∑ r dR r=R R Coøn tích phaân thöù nhaát trieät tieâu theo (2.22) vì: 1dV 1 dV ∫∫id∑ = ∫∫ i d ∑ = 0 (2.26) ∑rdn R ∑ dn 1 ∑ Keát quaû : 2 ∫∫ Vdi= 4π Vp i ( ) , hay : R ∑ 1 ∑ Vi ( p) 2 ∫∫Vi d 4πR ∑ 4. Ñònh lyù veà cöïc trò : Haøm V i ñieàu hoøa trong mieàn τ khoâng theå ñaït giaù trò cöïc ñaïi vaø cuïc tieåu taïi moïi ñieåm trong τ , maø chæ ñaït treân maët σ giôùi haïn theå tích τ . CM : Giaû söû P laø ñieåm trong. Giaû söû V i ñaït giaù trò cöïc ñaïi trong τ . Taïi P, do Vi coù tính lieân tuïc neân ta coù theå döïng moät maët caàu ∑ taâm P vaø baùn kính R naèm goïn beân trong τ . Nhö theá maâu thuaãn vôùi ñònh lyù veà giaù trò trung bình : 1 ∑ Vpi ( ) = 2 ∫∫ Vdi 4π R ∑ Vaäy haøm ñieàu hoøa V i khoâng theå ñaët giaù trò cöïc ñaïi beân trong τ . Töông töï nhö theá, ta coù theå chöùng minh trong tröôøng hôïp cöïc tieåu. §.4. Coâng thöùc Green cơ b n. Theá khoái laø haøm ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi, nhöng ôû khoâng gian trong chöa khoái löôïng, noù thoûa phöông trình Poisson. Giaû söû mieàn τ chöùa ñaày khoái löôïng vôùi maät ñoä δ ñöôïc giôùi haïn bôûi maët σ . Aùp duïng ba coâng thöùc Green (2.18) (2.19) vaø (2.20) cho tröôøng hôïp naøy. Taïi caùc ñieåm naèm trong τ theá khoái V seõ thoûa maõn phöông trình Possion : ∆V = − 4π f δ 49
50. Do ñoù trong 3 coâng thöùc Green treân ñaây, tích phaân khoái coù chöùa ∆V laø : 1 dτ −∆=∫∫∫Vdτπ4 f ∫∫∫ δ = 4() π Vp τr τ r Nhôø ñoù, caùc coâng thöùc Green (2.18), (2.19) vaø (2.20) nay coù daïng : 1dV d  1   ∫∫ −V   dσ = − 4 π Vp ( ) P ôû ngoaøi (2.27) σ rdn dn r   1dV d  1   ∫∫ −V   d σ = 0 P ôû trong (2.28) σ r dn dn r   1dV d  1   ∫∫ −V   dσ = − 2 π Vp ( ) P treân σ (2.29) σ r dn dn r   Coâng thöùc Green (2.27) hay ôû choã noù cho pheùp xaùc ñònh theá beân ngoaøi cuûa vaät khoâng phuï thuoäc vaøo maät ñoä δ . Ngoaøi ra, qua coâng thöùc treân, ta thaáy theá khoái V cuûa vaät coù theå bieåu dieãn qua hai theá: 1 dV 1 Theá lôùp ñôn vôùi maät ñoä vaø theá lôùp keùp vôùi maät ñoä V treân σ . 4π dn 4π Qua (2.28) ta thaáy theá beân trong vaät khoâng theå xaùc ñònh qua tích phaân maët. §5. Coâng thöùc Green b ieán ñoåi theo Molodensky. Söû duïng tích phaân Gauss, oâng M.S Molodensky ñaõ bieán ñoåi coâng thöùc Green (2.27) ñeå noù aùp duïng ñuùng cho caû tröôøng hôïp ñieåm quan saùt ôû beân ngoaøi laãn treân maët σ baèng caùch ñöa hieäu (V - V ) thay cho V trong (2.27). V laø haèng soá, baèng giaù trò cuûa theá V taïi ñieåm P treân maët σ . Coâng thöùc (2.27) nay coù daïng : 1 1dV d  1   Vp( ) =−∫∫  −−() VV   d σ (2.30) 4π σ r dn dn r   Chuùng ta haõy kieåm chöùng raèng coâng thöùc treân ñaây thoûa maõn hai tröôøng hôïp : ñieåm quan saùt P ôû ngoaøi vaø ôû treân maët σ . 50
51. a/ Khi ñieåm P ôû ngoaøi σ, thì trong (2.30), tích phaân ñaõ ñöa vaøo laø : d1 d  1 ∫∫V dVσ= ∫∫  d σ = 0 σdn r σ dn  r Do tích phaân Gauss baèng 0, khi ñieåm quan saùt P ôû ngoaøi maët σ . Coâng thöùc (2.30) trôû thaønh coâng thöùc (2.27). b/ Khi ñieåm P ôû treân σ, tích phaân Gauss : d 1  Ω=∫∫   dσ =− 2 π σ dn r  d 1  Cho neân ta coù : V∫∫   dσ= − 2 π V σ dn r  Vaø coâng thöùc (2.30) seõ trôû thaønh coâng thöùc (2.29) cho tröôøng hôïp P treân σ. §6. Caùc haèng soá Stokes. Chuùng ta haõy quay veà coâng thöùc Green thöù hai (2.13). Trong ñoù, nay chuùng ta coi Vi laø theá khoái V cuûa khoái löôïng chöùa ñaày trong theå tích τ giôùi haïn bôûi maët σ . Maät ñoä khoái löôïng noùi treân kyù hieäu laø δ . Coøn U i laø haøm tuøy yù ñieàu hoøa trong τ . Khi ñoù : ∆Ui = 0 , coøn ∆V = − 4π f δ . Ta coù : dV dU i  −4πδτf∫∫∫ Udi = ∫∫  U i − V  d σ (2.31) τ σ dn dn  Caùc tích phaân I= ∫∫∫ δ Ui d τ goïi laø caùc haèng soá Stokes. Caùc haèng soá naøy coù τ tính chaát hay ôû choã ta coù theå xaùc ñònh chuùng maø khoâng caàn phaûi bieát söï phaân boá khoái löôïng ra sao. Qua coâng thöùc (2.31) ta thaáy muoán xaùc ñònh chuùng, ta caàn phaûi bieát maët σ dV giôùi haïn vaät cho tröôùc, giaù trò V vaø ñaïo haøm treân beà maët . dn Ta haõy giaûi thích yù nghóa vaät lyù cuûa moät soá haèng soá Stokes. Cho U i =1 khi ñoù : I0 =∫∫∫ δ d τ = M - khoái löôïng cuûa vaät. τ 51
52. Thay I0 = M vaø U i=1 vaøo coâng thöùc (2.31) ta coù : dV −4πfM = ∫∫ d σ σ dn (2.32) Bieåu thöùc treân goïi laø coâng thöùc Gauss. Noù cho thaáy raèng khoái löôïng coù theå xaùc ñònh ñöôïc maø khoâng caàn phaûi bieát maät ñoä. Ñeå xaùc ñònh khoái löôïng caàn phaûi bieát daïng maët σ vaø giaù trò ñaïo haøm theo phaùp tuyeán cuûa haøm V treân σ . Cho haøm U i laàn löôït baèng ξ, η, ζ toïa ñoä ñieåm chaïy trong I, ta nhaän ñöôïc caùc haèng soá Stockes baäc 1 : I1 = ∫∫∫ δξ d τ , I1 = ∫∫∫ δη d τ , I1 = ∫∫∫ δζ d τ (2.33) τ τ τ Lieân heä vôùi coâng thöùc xaùc ñònh toïa ñoä khoái taâm trong cô hoïc : 1 1 1 ξ0 = ∫∫∫ δξd τ ; η0 = ∫∫∫ δηd τ ; ζ0 = ∫∫∫ δζd τ M τ M τ M τ Ta thaáy haèng soá Stokes baäc 1 xaùc ñònh toïa ñoä khoái taâm. 2 2 2 2 2 ξ+ η Baây giôø cho U i baèng ηζ , ξη , ξζ vaø U =ξ − η , U =ζ − i i 2 Ta seõ coù caùc haèng soá Stokes baäc hai sau ñaây : I2 = ∫∫∫ δηζ d τ , I2 = ∫∫∫ δξη d τ , I2 = ∫∫∫ δξζ d τ τ τ τ 2 2 2 ξ+ η  I2 =∫∫∫ δ ζ −  d τ (2.34) τ 2  2 2 I2 =∫∫∫ δξ( − η) d τ τ Trong cô hoïc, 3 tích phaân ñaàu chính laø moâmen quaùn tính ly taâm cuûa vaät. Baây giôø ñeå giaûi thích yù nghóa hai tích phaân coøn laïi, ta haõy choïn heä toïa ñoä xyz vôùi truïc z truøng vôùi truïc cöïc Traùi ñaát, coøn x vaø y naèm trong maët phaúng xích ñaïo. Trong cô hoïc, moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc cöïc Traùi ñaát baèng : C=∫∫∫ δξ( 2 + η 2 ) d τ τ 52
53. Coøn moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc ñi qua xích ñaïo laø : A = ∫∫∫δ (η 2 + ζ 2 )dτ τ B = ∫∫∫δ (ζ 2 + ξ 2 )dτ τ Nhôø caùc bieåu thöùc cuûa A, B vaø C treân ñaây, ta coù theå vieát laïi : 2 2 2 ξ+ η  δ 2 2 2 A + B I2 =∫∫∫δζ −  d τ = ∫∫∫ ()2 ζξητ −−=− dC τ 2  τ 2 2 2 2 I2 =∫∫∫ δξ( − η) dBA τ =− τ Vaäy, toùm laïi caùc haèng soá Stokes coù theå xem nhö laø caùc ñaïi löôïng xaùc ñònh khoái löôïng cuûa vaät theå, toïa ñoä khoái taâm vaø hieäu caùc moâmen quaùn tính. Nhieäm vuïxaùc ñònh caùc haèng soá Stokes laø moät trong nhöõng nhieäm vuï quan troïng cuûa traéc ñòa vuõ truï. 53