›
›

Tài liệu Lý thuyết thế trong địa vật lý (Phần 2)

pdf 35 trang hapham 1160
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Lý thuyết thế trong địa vật lý (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_ly_thuyet_the_trong_dia_vat_ly_phan_2.pdf

Nội dung text: Tài liệu Lý thuyết thế trong địa vật lý (Phần 2)

  1. CHÖÔNG III CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN §1 Ba baøi toaùn bieân cô baûn. Caùc baøi toaùn bieân trong lyù thuyeát theá nhaèm xaùc ñònh haøm ñieàu hoøa thoûa maõn moät soá ñieàu kieän bieân. Caùc haøm ñieàu hoøa ôû ñaây trong thöïc teá laø theá cuûa moät tröôøng löïc naøo ñoù. Tuøy theo ñieàu kieän bieân maø ngöôøi ta chia ra laøm ba loaïi baøi toaùn bieân : + Baøi toaùn bieân thöù nhaát , coøn goïi laø baøi toaùn Dirichlet. Coù theå phaùt bieåu : Cho tröôùc haøm V xaùc ñònh taïi moïi ñieåm treân beà maët cuûa maët kín σ . Caàn phaûi tìm haøm V(x,y,z), ñieàu hoøa trong mieàn giôùi haïn bôûi maët σ vaø coù giaù trò treân maët naøy baèng giaù trò V cho tröôùc. Ta caàn phaân bieät baøi toaùn trong, töùc tìm haøm ñieàu hoøa trong mieàn τ giôùi haïn bôûi maët σ vaø baøi toaùn ngoaøi laø tìm haøm ñoù trong mieàn voâ haïn ôû khoâng gian beân ngoaøi maët σ . + Baøi toaùn thöù hai , coøn goïi laø baøi toaùn Neumann. ñaët ra nhieäm vuï sau : dV - Treân maët σ , cho tröôùc giaù trò ñaïo haøm cuûa haøm ñieàu hoøa caàn tìm dn V(x,y,z). Caàn phaûi tìm haøm naøy trong mieàn giôùi haïn bôûi maët σ . Töông töï ta cuõng caàn phaân bieät hai tröôøng hôïp trong vaø ngoaøi ñoái vôi maët σ . + Baøi toaùn thöù ba , coøn goïi laø baøi toaùn hoãn hôïp nhaèm xaùc ñònh haøm ñieàu hoøa dV theo giaù trò cho tröôùc treân maët σ laø moät toå hôp tuyeán tính αV + . dn Gioáng nhö treân, ta cuõng coù baøi toaùn trong vaø ngoaøi. Cuõng caàn chuù yù raèng, haøm ñieàu hoøa buoäc phaûi thoûa ñieàu kieän chính quy ôû voâ cöïc. Trong ngaønh troïng löïc vaø thuyeát veà hình daïng Traùi ñaát, theá haáp daãn laø haøm ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi vaø theo ñieàu kieän bieân, ngöôøi ta chæ coù theå xaùc ñònh ôû khoâng gian ngoaøi. Vì noùi chung, chuùng ta gaêp baøi toaùn ngoaøi (beân trong Traùi ñaât theá khoâng ñieàu hoøa, vì khoâng thoûa phöông trình Laplace. Ta haõy ñi saâu töøng baøi toaùn : 1. Baøi toaùn bieân thöù nhaát. Muïc ñích laø xaùc ñònh taïi moïi ñieåm P(x, y, z) ôû khoâng gian ngoaøi mt haøm V(x, y,z) ñieàu hoøa ôû ngoaøi maët σ , chính qui ôû voâ cöïc vaø coù caùc giaù trò treân maët σ baèng ñuùng taäp hôïp lieân tuïc caùc V cho tröôùc. 54
  2. Theo (2.27) ta coù coâng thöùc Green : 1   d    1 1 dV r  Vp( ) = −∫∫  − Vd  σ (3.1) 4π σ rdn dn    dV r vaãn laø khoaûng caùch töø ñieåm chaïy M ñeán ñieåm quan saùt P. Giaù trò dn khoâng ñöôïc cho tröôùc neân baây giôø ta phaûi tìm caùch loaïi noù ra khoûi tích phaân. Haøm U laø haøm ñieàu hoøa ngoaøi σ vaø chính qui ôû voâ cöïc. Khi haøm U vaø V laø caùc haøm ñieàu hoøa thì coâng thöùc Green thöù hai theo (2.15a) coù daïng : 1 dV dU  0 = −∫∫ U − V  d σ (3.2) 4π σ dn dn  Coäng töøng veá ñaúng thöùc (3.1) vaø (3.2) ta coù : 1 1dV d  1  Vp( ) =∫∫  + U − V  + Ud  σ (3.2a) 4π σ r dn dnr   1 1 Kyù hieäu G= + U vaø gaùn cho U ñieàu kieän sau : treân maët σ , U = − . Ta cho r r raèng khaû naêng xaây döïng haøm U nhö vaäy laø coù thöïc teá. Nhö vaäy tích phaân chöùa dV seõ baèng 0 vaø : dn 1 dG Vp( ) = V d σ 4π ∫∫ dn σ (3.3) Haøm G maø ta ñöa ra ôû ñaây goïi laø haøm Green cho khoâng gian ngoaøi ñoái vôùi maët σ . Nhö vaäy neáu xaây döïng ñöôïc haøm Green ñoái vôùi moät maët cho tröôùc thì ta coù theå tìm ñöôïc haøm ñieàu hoøa V baát kyø ôû khoâng gian ngoaøi theo nhöõng giaù trò cho tröôùc V cuûa noù treân maët σ . 1 Phaûi choïn sao cho U = − treân σ vaø ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi. r 55
  3. 1 1 − Haøm = [()()()x − ξ 2 + y −η 2 + z − ζ 2 ] 2 laø haøm ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi r vaø chính qui ôû voâ cöïc. Toùm laïi haøm Green laø haøm phaûi thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau : Ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi, tröø P, chính qui ôû voâ cöïc, baèng 0 treân maët σ . x, y, z - toïa ñoä ñieåm quan saùt P. ξ, η , ζ - toïa doä ñieåm chaïy M cuûa tích phaân. 1 Chuù y ù :Haøm U phaûi choïn sao cho noù ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi, baèng - r 1 tröø ñieåm P ( x, y, z). Bôûi vì ôû khoâng gian ngoaøi, taïi P haøm U(ξ, η , ζ ) maø baèng - r thì U seõ bò giaùn ñoïan, vì luùc ñoù M truøng vôùi P vaø r = 0. 2. Baøi toaùn bieân thöù hai. Giaù trò ñaïo haøm cuûa theá ñöôïc cho tröôùc treân maët σ . Vì vaäy, trong coâng thöùc (3.2a), ta caàn phaûi loaïi tröø giaù trò cuûa V. Ñeå laøm vieäc naøy ta haõy duøng moät haøm phuï laø U ñieàu hoøa ngoaøi maët σ , chính qui ôû voâ cöïc vaø thoûa maõn ñieàu kieän sau : dN  1   = 0 N= + U (N laø haøm Neumann) dn  σ r Khi ñoù nghieäm cuûa baøi toaùn bieân thöù hai theo (3.2a) seõ laø : 1 dV Vp( ) = − ∫∫ Nd σ 4π σ dn (3.4) 3.Baøi toaùn bieân thöù ba. dV  Giaû söû treân maët σ haøm V coù giaù trò sao cho αV+  = f . dn  σ 1 Kyù hieäu haøm E = +U vaø buoäc haøm naøy treân maët σ thoûa maõn ñieàu kieän : r dE  αE +  = 0 dn  σ 56
  4. Nhö vaäy coù nghóa treân maët σ ta coù : dE  = − σ E   []σ dn  σ Do ñoù, döïa vaøo keát quaû naøy ta vieát laïi veá phaûi cuûa tích phaân (3.2a) : dVdE  dV  dV ∫∫E− Vd σ = ∫∫ E + ασα VEd  =+ ∫∫ V Ed σ σdndn  σ dn  σ dn Coâng thöùc (3.2a) naøy coù daïng : 1 dV  Vp( ) = −∫∫ α V +  Ed σ 4π σ dn  1 V( p ) = − f Ed σ 4π ∫∫ σ (3.5) Nhö vaäy haøm V coù theå xaùc ñònh taïi ñieåm P baát kyø trong khoâng gian ngoaøi, dV döïa vaøo giaù trò toå hôïp tuyeán tính αV + treân maët σ . Vaán ñeà khoù khaên laø xaây dn döïng ñöôïc haøm E ñoái vôùi maët σ cho tröôùc. Ph n k t m c 1, ta c n ch ng minh r ng bài toán Dirichlet ngoài coù tính ñơ n tr . Dùng ph ươ ng pháp ph n ch ng : Gi s có hai hàm V và V’ ñiu hòa ngoài σ , chính quy ∞ và có cùng giá tr trên σ . Lúc ñó hàm s mi là T = V-V’ s ñiu hòa ngoài σ và chính quy ∞ . Áp dng công th c (2.14) ñi v i không gian cho haøm U = V = T. dT ∫∫∫T[ ∆T + D(T,T)]dτ = − ∫∫T dσ τ σ dσ Nh ưng ∆T = 0 không gian ngoài. Vaø T = 0 trên σ (vì ñaõ cho tröôùc : V = V’ trên σ ) Vy k t qu : ∫∫∫D d)T,T( τ = 0 τ ðiu treân coù ñưc khi t i m i ñim không gian ngoài : 57
  5. ∂T ∂T ∂T = = = 0 ∂x ∂y ∂z ðiu này có ngh ĩa hàm T là h ng s toàn không gian ngoài. Nh ưng vô c c, hàm ñó b ng không. V y t i m i ñim không gian ngoài h ng soá ñó baèng 0. T = 0 , ta suy ra : V = V’ toàn không gian ngoài – ñieàu caàn chöùng minh. Tính ñơ n tr ca bài toán Neumann c ũng ñưc ch ng minh t ươ ng t . §.2. Baøi toaùn Dirichlet cho quaû caàu. Chuùng ta haõy tìm nghieäm cho baøi toaùn Dirichlet ngoaøi cho nhöõng maët σ cuï theå. Tröôùc heát phaûi choïn maët caàu S baùn kính R taâm taïi O. Phaûi xaùc ñònh taïi ñieåm ngoaøi baát kyø P (ρ,θ,λ) , haøm V e ñieàu hoøa ngoaøi maët caàu S, chính quy ôû ∞ vaø laáy ôû treân maët S caùc giaù trò baèng : lim Ve = f (θ ,' λ )' ρ→R (ρ,θ,λ) - toïa ñoä caàu cuûa ñieåm quan saùt (coù daáu phaåy laø treân maët S ). Nhö ñaõ thaáy, ta phaûi xaùc ñònh haøm Green cho maët caàu. Treân ñöôøng thaúng OP ôû khoaûng caùch ρ' ta choïn ñieåm P’ sao cho ρ , thoûa maõn ñieàu kieän sau : 2 ρρ '= R (3.6) Ñieåm P vaø P’ nhö theá goïi laø lieân hôïp nhau. Choïn ñieåm K ôû khoâng gian ngoaøi vaø xaùc ñònh khoaûng caùch cuûa noù ñeán caùc ñieåm lieân hôïp. K laø ñieåm di ñoäng. Kyù hieäu r, r’ khoaûng caùch töø K ñeán caùc ñieåm lieân hôïp, ta coù : 2 2 2 r = d + ρ − 2dρ cos ψ (3.7) r'2 = d 2 + ρ'2 −2dρ'cos ψ r P Coøn khi K treân maët caàu S thì hieån nhieân laø : K 2 2 2 r = R + ρ − 2Rρ cos ψ (3.8) r’ s d = R ψ ρ r′2 = R 2 + ρ'2 −2Rρ′cos ψ P’ s (3.9) O ρ’ H.16 R 2 Vì ρ'= theo (3.6), neân coâng thöùc (3.9) coù daïng : ρ 58
  6. R 4 R3 R 2 R 2 r'2 = R 2 + − 2 cos ψ = (ρ 2 + R 2 − 2Rρ cos ψ ) = r 2 s ρ 2 ρ ρ 2 ρ 2 s ' R Do vaäy ta coù: rs = ( )rs (3.10) ρ Haøm Green chuùng ta xaây döïng nhö sau : 1 1 1 R G = +U = − (3.11) r r r' ρ 1 R Trong ñoù haøm U = − seõ thoûa maõn ñieàu kieän chính qui ôû voâ cöïc, vaø ñieàu r' ρ 1 hoøa trong toaøn khoâng gian ngoaøi. Coøn haøm seõ ñieàu hoøa trong toaøn khoâng gian r 1 ngoaøi vaø chính quy ôû voâ cöïc tröø ñieåm P ( ñieåm kî ). Vì haøm khi naèm trong tích r 1 phaân seõ laø haøm cuûa ñieåm chaïy K, khi K truøng vôùi P thì = ∞ ). r Toùm laïi haøm G thoûa maõn ñieàu kieän cuûa haøm Green. Baây giôø ta tính ñaïo haøm cuûa G ñeå ñöa vaøo tích phaân (3.2) : dG 1 dr R 1 dr ' = − + dn r 2 dn ρ r'2 dn (3.12) n laø phaùp tuyeán ngoaøi, truøng vôùi höôùng cuûa d. Laáy ñaïo haøm hai ñaúng thöùc (3.7) theo phaùp tuyeán ta coù : dr r = d − ρ cos ψ dn dr ' r' = d − ρ'cos ψ dn Theá hai bieåu thöùc treân ñaây vaøo (3.12) ta coù : dG d − ρ cos ψ R d − ρ'cos ψ = − + dn r 3 ρ r'3 ÔÛ ngay treân maët caàu thì : 59
  7. R 2 R d = R, ρ = ,r' = r ρ s ρ s dG Do ñoù, ñaïo haøm nay coù daïng sau : dn R 2 R − cos ψ dG R − ρ cos ψ R ρ = − + dn r 3 ρ R3 S 3 (3.13) 3 rS ρ Sau khi giaûn öôùc ta coù :  dG  ρ 2 − R 2   =  dn  Rr 3 σ S (3.14) Thay (3.14) vaøo (3.3) ta coù nghieäm baøi toaùn Dirichlet ngoaøi : 1 ρ 2 − R 2 Ve (ρ ,θ , λ ) = f (θ ,' λ )' dσ 4π ∫ ∫ Rr 3 σ S (3.15 Nghieäm naøy goïi laø tích phaân Poisson cho khoâng gian ngoaøi. Töông tö,ï ta coù theå chöùng minh raèng nghieäm cuûa baøi toaùn Dirichlet trong : 1 R 2 − ρ 2 V i ( ρ ,θ , λ ) = ∫ ∫ f (θ ,' λ )' 3 dσ 4π σ Rr S (3.16) §.3. Baøi toaùn Dirichlet cho maët phaúng voâ haïn. Coâng thöùc cho tröôøng hôïp maët phaúng nhaän ñöôïc baèng caùch cho baùn kính quaû caàu khoâng ngöøng tieán tôùi voâ cöïc. Luùc ñoù ñaïi löôïng trong daáu tích phaân seõ coù giôùi haïn sau: (ρ + R) lim = 1 2R ρ cuõng tieán tôùi ∞ khi R → ∞ , kyù hieäu ρ − R laø z, töùc chieàu cao dieåm quan saùt so vôùi maët phaúng voâ haïn ta nhaän ñöôïc : 60
  8. z dσ V e = ∫ ∫ f (θ ,' λ )' 3 2π σ r (3.17) Baây giôø σ laø maët phaúng voâ haïn, vaø dσ laø dieän tích nguyeân toá cuûa maët phaúng ñoù. 61
  9. CHÖÔNG IV HAØM CAÀU VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT §1. Giaûi phöông trình Laplace trong toïa ñoä caàu Haøm ñieàu hoøa laø haøm thoûa maõn phöông trình Lapcace theo ñònh nghóa. Ñöông nhieân nghieäm cuûa phöông trình Lapcace laø haøm ñieàu hoøa. Daïng toång quaùt cuûa nghieäm naøy, ta seõ nhaän ñöôïc sau khi giaûi phöông trình Lapcace. Trong toïa ñoä caàu, phöông trình Laplace coù daïng : 1  ∂  ∂U  1 ∂  ∂U  1 ∂ 2U   2  2   ρ  + sin θ  + 2 2 = 0 ρ ∂ρ  ∂ρ  sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂λ  (4.1) Söû duïng phöông phaùp taùch bieán soá, ta ñaët nghieäm : U (ρ ,θ , λ ) = f ( ρ )Y (θ , λ ) (4.2) Theá U trong (4.1) baèng (4.2) ta co ù: 1 ∂  d  f(ρ) 1 ∂  ∂  1 ∂2  Y 2 f Y Y 2 θ,( λ) ρ (ρ)+ 2  sin θ θ,( λ)+ 2 2 θ,( λ)=0 ρ ∂ρ dρ ρ sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂λ     (4.3) Nhaân 2 veá cuûa (4.3) baèng ρ 2 /Y (θ,λ) f (ρ) ñeå taùch bieán soá, ta coù: 2 1 ∂  2 d  1  1 ∂  ∂  1 ∂  ρ f (ρ) +  sin θ Y(θ,λ) + 2 2 Y(θ,λ) = 0 f (ρ) ∂ρ dρ Y(θ,λ) sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂λ     (4.4) Phaàn chöùa ρ ta ñaët baèng k : 1 ∂  2 d   ρ f ( ρ ) = k (4.5) f ( ρ ) ∂ρ  dρ  Phaàn chöùa θ,λ ta ñaët baèng -k : 1 ∂  ∂Y  1 ∂Y 2  sin θ  + + kY = 0 (4.6) sin θ ∂θ  ∂θ  sin 2 θ ∂λ 2 62
  10. n Ñaët f (ρ) = ρ , n = 0, 1, 2, 3, .vaø thay vaøo (4.5) ta coù : 1 d 2 n −1 ( ρ n ρ ) = k ρ n dρ Sau khi laáy ñaïo haøm theo ρ ta coù : k = n(n+1) (4.6a) Thay n baèng -(n+1) vaøo (4.6a), keát quaû k vaãn baèng n(n+1). −(n+ )1 Vaäy ta coù 2 nghieäm. Nhöng nghieäm f (ρ) = ρ coù tính chính quy ôû ∞, thích hôïp cho baøi toaùn ngoaøi.Ñöa giaù trò k naøy vaøo (4.6), ta coù : 2 1 ∂  ∂Y n  1 ∂ Y n  sin θ  + 2 2 + n (n + )1 Y n = 0 sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂λ (4.7) Taùch bieán soá moät laàn nöõa baèng caùch ñaët nghieäm: Y n (θ , λ ) = Pn (θ ) L n (λ ) Sau khi thay (4.7a) vaøo (4.7) ta coù: 2 L n d  ∂Pn  Pn d  sin θ  + 2 2 L n + n (n + )1 Pn L n = 0 (4.8) sin θ d θ  ∂θ  sin θ d λ sin 2 θ / L P Nhaân 2 veá cuûa (4.8) baèng n n thì phöông trình (4.8) taùch laøm 2 phaàn. Ñaët chuùng baèng l vaø - l, ta coù : d 2 L = − lL l − haèng soá (4.9) dλ 2 n n d  dP n  2 sin θ sin θ  + [n(n + )1 sin θ − l]P = 0 (4.10) dθ  dθ  n L'' + lL = 0 Phöông trình (4.9) coù daïng quen thuoäc n n trong dao ñoäng ñieàu hoøa 2 neân L n seõ laø 1 toå hôïp tuyeán tính cuûa sin mλ,cos mλ maø trong ñoù l =m (döông), m = 0,1,2,3 2 Thay l = m trong (4.10) vaø ñaët cos θ = x , ta coù :  2  d  2 dP n  m ()1 − x  + n()n + 1 − 2 Pn = 0 (4.11) dx  dx   1 − x  63
  11. Ñaây laø phöông trình cô baûn cuûa haøm caàu maø nghieäm rieâng cuûa noù baèng haøm lieân keát Legendre : m m 2 d P (x) = 1( − x ) 2 P (x) (4.12) nm dx m n Ví duï: 1 2 2 P11 (x) = ()1− x = sin θ 1 3 2 2 P12 (x) = 3()1− x = sin 2θ 2 2 3 P22 (x) = 3(1− x ) = 1( − cos 2θ ) 2 1 3 2 2 2 3 P31 (x) = (1− x ) (5x −1)= (sin θ + 5sin 3θ) 2 8 2 15 P32 (x) =15 (1− x )x = ()cos θ − cos 3θ 4 3 15 2 2 P33 (x) =15 ()1− x = ()3sin θ −sin 3θ 4 Khi m = 0, ta coù Pno (x) = Pn(x) laø ña thöùc Legendre : n 1 d 2 n (4.13) Pn (x) = n n ()x − )1 2 n! dx laø nghieäm cuûa phöông trình (4.11) vôùi m = 0 : d 2P dP ()1− x2 n −2x n +n()n+1 P = 0 2 n (4.14) dx dx Ví duï : Po(x) = 1 P1 ( x ) = x = cos θ 3 2 1 1 P2 ( x) = x − = 3( cos 2θ + )1 2 2 4 5 2 3 1 P (x) = x − x = 5( cos 3θ + 3 cos θ ) 3 2 2 8 64
  12. Keát quaû: n U(ρ,θ,λ) = ρ Yn (θ,λ) (4.15) n Y n (θ , λ ) = ∑ Pmn (cos θ )( Amn cos m λ + B nm sin m λ ) (4.16) m = 0 U n (ρ,θ,λ) goïi laø haøm caàu khoái, coøn Yn (θ,λ) goïi laø haøm caàu maët. Chuù yù laø Pn (x) môùi chæ laø nghieäm rieâng cuûa (4.14) Nghieäm toång quaùt laø : Z = C1Pn(x) + C2Qn(x) C1, C 2 – haèng soá. x dx Q (x) = P (x) (4.17) n n ∫ 1 − x 2 P 2 (x) ∞ () n Haøm naøy goïi laø haøm Legendre loaïi 2. Ví duï : 1 1 + x Q = arcthx = ln 0 2 1 − x 1 1 + x Q1 = P1 ( x)Q o (x) − 1 = x ln − 1 2 1 − x 3 Q = P ( x)Q (x) − x 2 2 o 2 5 2 2 Q3 = P3 ( x)Qo (x) − x + 2 3 Töông töï, nghieäm toång quaùt cuûa (4.11) laø: W = C 1Pnm (x) + C 2Qnm (x’) Trong ñoù: x dx Q = P (x) nm nm ∫ 2 2 (4.18) ∞ ()1− x []Pnm (x) §.2 Moät soá tính chaát cuûa ña thöùc Legendre 1. Ña thöùc Legendre laø nhöõng haøm tröïc giao trong mieàn : -1≤ x ≤ 1 +1 ∫ Pn (x)Pm (x)dx = 0 (4.19) −1 2. Tích phaân cuûa bình phöông ña thöùc Legendre baäc n laáy töø -1 ñeán +1 baèng : 65
  13. +1 2 2 []P (x) dx = (4.20) ∫ n 2n + 1 −1 3. Heä soá tröôùc x coù luõy thöøa baäc cao nhaát trong ña thöùc Legendre laø : 2( n)! n 2 (4.21) 2 (n )! Ví duï: Khi n = 3. ta coù : 5 3 3 P (x) = x − x 3 2 2 !6 5 Thay n = 3 vaøo (4.21) ta coù heä soá laø : = 2 3 )!3( 2 2 5 laø heä soá tröôùc x 3 coù luõy thöøa baäc cao nhaát ôû ñaây. 2 n 4. Pn(1) = 1, P n(-1) = (-1) (4.22) 5. Coâng thöùc truy hoài cho ña thöùc Legendre : Coâng thöùc baéc caàu, duøng ñeå tính ña thöùc Legendre baäc cao hôn khi ñaõ bieát hai ña thöùc Legendre baäc thaáp hôn keá caän : n + 1 n xP n ( x) = Pn+1 (x) + Pn−1 (x) 2n + 1 2n + 1 Töø ñoù ruùt ra: (n + )1 P ( x) = 2( n + )1 xP ( x) − nP (x) n+1 n n+1 (4.23) §.3. Moät soá tính chaát cuûa haøm lieân keát Legendre 1. Tính chaát tröïc giao trong mieàn [-1, +1] : +1 ∫ Pkm (x)Pnm (x)dx = 0 khi k ≠ n (4.24) −1 2. +1 2 2 (n + m)! []P (x) dx = (4.25) ∫ nm 2n + 1 (n − m)! −1 3. Coâng thöùc truy hoài : 66
  14. P = (2 m + )1 P cot gθ − (n − m)( n + m + )1 P (4.26) n ,m + 2 n ,m +1 nm Hoaëc : 2 2 1 − x Pn ,m + 2 = (2 m + )1 xP n ,m +1 − (n − m)( n + m + )1 1 − x Pn ,m 1 §.4. Khai trieån haøm thaønh chuoãi ña thöùc Legendre. r 1 Haøm chính laø tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch giöõa ñieåm quan saùt P(x,y,z) vaø r ñieåm M (ξ,η,ς ) coù khoái löôïng haáp daãn ñôn vò nhö ta ñaõ bieát. 1 1 V ()r = = r (x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 + (z − ς ) 2 Haøm r coù theå bieåu dieãn qua toïa ñoä cöïc : r = R 2 + ρ 2 − 2Rρ cos θ (4.27) R = ξ 2 + η 2 + ς 2 vaø ρ = x 2 + y 2 + z 2 ÔÛ khoâng gian ngoaøi ρ > R , neân : 1 1 R V (r) = = U ( ) 2 ρ ρ  R  R ρ 1 +   − 2 cos θ  ρ  ρ R Kyù hieäu α = , ta caàn coù α <1 vaø ρ 1 U(α) = 1+α 2 − 2α cos θ P r M ρ R O H. 17 67
  15. Khai trieån U(α) thaønh chuoãi Mac-Laurin : α α 2 α n U(α) = UUUU)0( + ')0( + '' )0( + + (n) )0( 1! 2! n! (4.28) U )0( =1    α − cos θ  U' )0( = −  = cos θ  3   2 2   1( +α − 2α cos θ) α = 0  (3 α − cos θ)2 1  U )0('' =  −  = 3cos 2 θ −1  r 5 r 3  15 (α − cos θ )2 (9 α − cos θ ) U )0(''' =  +  == 3()5cos 3 θ − 3cos θ 2 5  r r  Thay theá giaù trò ñaïo haøm naøy vaøo (4.28), ta coù : 3cos 2 θ −1 5cos 3θ −3cos θ U(α) =1+α cos θ +α 2 +α 3 + 2 2 Hoaëc : 2 U(α) = Po (cos θ) +αP1 (cos θ ) +α P2 (cos θ) + ∞ n U(α) = ∑α Pn (cos θ) n=0 (4.29) Mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi, nay ñöôïc xaùc ñònh bôûi mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi Mac- Laurin laø α R , khoâng gian ngoaøi quaû caàu baùn kính R. Keát quaû : ∞ Rn V (r) = P (cos θ) ∑ n+1 n n=0 ρ (4.30) Neáu α >1 thì chuoãi naøy khoâng hoäi tuï nhöng chuoãi cuûa 1 seõ hoäi tuï (thay α α baèng 1/ α). Khi ñoù ta vieát : 68
  16. 1 1 1 V (r) = =  ρ 2 ρ R 1 1 R 1+   − 2 cos θ 1+ 2 − 2 cos θ  R  R α α Ta suy ra :  1  ∞ ρ n U  = P (cos θ) ∑ n+1 n α  n=0 R (4.31) ∞ ρ n V (r) = P (cos θ ) ∑ n+1 n (4.31a) n=0 R 1 Mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi laø 1, töùc ρ < R , khoâng gian beân trong quaû caàu α baùn kính R. §.5.Caùc heä thöùc tích phaân cho haøm caàu. Giaû söû U vaø V laø hai haøm ñieàu hoøa toàn taïi trong mieànø τ cho tôùi maët giôùi haïn S. Theo coâng thöùc Green thöù hai cho haøm ñieàu hoøa ( 2.15a) , ta coù :  dV dU  U −V dS = 0 ∫∫ dn dn  (4.32) s Maët S ta choïn maët caàu coù baùn kính R vôùi taâm laø goác toïa ñoä.Coøn hai haøm ñieàu hoøa ta choïn nhö sau : U= ρ nY (θ,λ) n (4.33) V = ρ mY (θ,λ) m (4.34) ρ,θ ,λ -toïa ñoä cuûa ñieåm maø U vaø V toàn taïi trong quaû caàu. d d Chuù yù, n laø phaùp tuyeán ngoaøi neân = vaø dS = R2 sin θdθdλ . Treân maët dn dR caàu ρ = R. Thay taát caû vaøo (4.32) ta coù: 2 2 R nY (θ ,λ)mR m−1Y (θ ,λ) − R mY (θ ,λ)nR n−1Y (θ ,λ .R 2 sin θdθdλ ∫ ∫ [ n m m n ] 0 0 69
  17. π2 π m + n+1 = R (m − n)∫ ∫ Yn (θ , λ ) sin θdθdλ = 0 0 0 π2 π Y (θ , λ )Y (θ , λ ) sin θdθdλ = 0 Ta suy ra : ∫ ∫ n m 0 0 Ñieàu naøy noùi leân tính chaát tröïc giao treân maët caàu cuûa haøm caàu, khi m ≠ n. 1 Baây giôøi xeùt tröôøng hôïp U = , trong ñoù : l 2 2 l = ρ + ρ ' −2 ρρ ' cos ψ (4.35) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ρ,ρ ,' ψ theå hieän ôû hình 18. Choïn ñieåm N coá ñònh treân maët caàu, coøn ñieåm P vaø P’ beân trong maët caàu. Ñoái vôùi P, xeùt tam giaùc PNO theo (4.31) ta coù : 1 ρ n = ∑ Pn (cos θ ) r R n+1 (4.36) Ñoái vôùi P’ töông töï, xeùt tam giaùc P’NO ta coù: 1 ρ ' n = ∑ Pn (cos θ )' r ' R n +1 (4.37) Xeùt tam giaùc P’PO ta cuõng coù töông tö ï: 1 ∞ ρ 'n = ∑ n +1 Pn (cos ψ ) (giaû söû ρ > ρ' ) (4.38) l n =0 ρ Choïn P’ laøm ñieåm quan saùt. P seõ laøm ñieåm chaïy trong tích phaân maët noùi 1 treân neân trong bieåu thöùc cuûa vaø ñaïo haøm cuûa noù, ta thay ρ = R. l 1 ∞ ρ 'n = P (cos ψ ) ∑ n +1 n (4.39) l n=0 R 70
  18. N R θ ρ θ’ P O ψ l ρ’ P’ H. 18 Aùp duïng (2.21 b) vaø (4.39) cho ñieåm quan saùt P’ beân trong S, ta coù : 1 1 dV Vd  1  V (P )' =  −  dS 4π ∫∫ l dn dn  l  s   d d Söû duïng phaùp tuyeán ngoaøi neân = , ta coù : dn dR π2 π ∞ n 1 m −1 ρ n V (P )' = [ mR Ym (θ , λ )∑ P (cos ψ ) 4π ∫ ∫ R n+1 ∂ 0 n=0 ∞ ρ 'n + R mY (θ , λ ) (n + )1 P (cos ψ ) R 2 sin θdθdλ m ∑ n + 2 n ] n =0 R Theá V(P’) ôû veá traùi baèng bieåu thöùc cuûa noù (4.34) vaø nhoùm veá phaûi laïi ta coù : ∞ π2 π m 1 n m −n ρ ' Ym (θ , λ ) = ∑ ρ ' R [mY m (),0 λ Pn (cos ψ ) 4π ∫ ∫ n=0 0 0 + (n + )1 Ym (θ , λ )Pn (cos ψ ) ]sin θdθdλ Ñaúng thöùc treân ñaây ñuùng vôùi moïi ñieåm coù ρ'< R m ρ ' Ym (θ ,' λ )' = ∞ R m − n π2 π ρ 'n (n + m + )1 Y (cos ψ )P (cos ψ ) sin θdθdλ ∑ ∫ ∫ m n (4.40) n=0 4π 0 0 71
  19. So saùnh heä soá caïnh ρ' ôû hai veá treân ta coù : n Khi m ≠ n veá traùi chæ coù duy nhaát ρ' , coù nghóa caùc soá haïng coøn laïi vôùi luõy thöøa m ≠ n ñeàu baèng 0 : π2 π m −n (n + m + )1 R Ym (θ , λ )Pn (cos ψ ) sin θdθdλ = 0 4π ∫ ∫ 0 0 Töùc Pn (cos ψ ) vaø Ym (θ,λ) tröïc giao vôùi nhau. Coøn khi m = n, töø (4.40) ta ruùt ra : (4.41) 2n +1 Y (θ ,' λ )' = Y(θ,λ)P (cos ψ )dσ n 4π ∫ n S ∞ Trong ñoù Y(θ,λ) = ∑Ym (θ,λ) . Nhôø tính tröïc giao, neân thay Ym (θ,λ) baèng m=0 Y (θ,λ) khoâng coù gì thay ñoåiû. §.6. Khai trieån haøm soá f(θ,λ) thaønh chuoãi haøm caàu. Giaû söû ta coù haøm soá naøo ñoù f (θ ,λ) coù theå khai trieån thaønh chuoãi hoäi tuï sau : f (θ,λ) = Y (θ,λ) +Y (θ,λ) + + Y (θ,λ) 0 1 n (4.42) Y (θ,λ) n laø haøm caàu maët ôû coâng thöùc (4.16). Duøng coâng thöùc (4.16) thay vaøo coâng thöùc (4.42) ta coù : ∞ ∞  n  : f (θ,λ) = ∑Yn (θ,λ) = ∑ A0 Pn (cos θ) + ∑()Anm cos mλ + Bnm sin mλ Pnm (cos θ) n=0 n=0 m = 1  (4.43) Neáu nhö caùc heä soá A0, A nm , B nm xaùc ñònh ñöôïc thì coi nhö ta ñaõ trieån khai xong f (θ,λ) thaønh chuoãi. Tính caùc heä soá : Nhaân 2 veá cuûa (4.43) vôùi cos kλdλ vaø laáy tích phaân töø 0 ñeán 2π (k ≠ 0) : 2π ∞  2π ∫ f (θ,λ)cos kλdλ = ∑Ao Pn cos θ) ∫ cos kλdλ + 0 n=0 0 n 2π2 π    ∑ Anm ∫cos mλ cos kλdλ + Bnm ∫sin mλ cos kλdλPnm (cos θ) m=1 0 0   72
  20. 2π Soá haïng ñaàu baèng 0, vì ∫cos kλdλ = 0 0 chuù yù laø : 2π k ≠ m ∫cos mλ cos kλdλ = 0 0 2π k = m ∫cos mλ cos kλdλ = π 0 Vaäy caùc soá haïng thöù 2 chæ khaùc 0 khi m = k, coøn vôùi k vaø m baát kyø, caùc soá haïng thöù 3 luoân luoân baèng 0 : 2π ∫sin mλ cos kλdλ = 0 (4.44) 0 Keát quaû laø : 2π ∞ ∫ f (θ,λ)cos mλdλ = ∑ Anm πPnm (cos θ ) (4.45) 0 n=0 Nhaân tieáp 2 veá (4.45) vôùi Pnm (cos θ )d cos θ vaø laáy tích phaân töø -1 ñeán +1 : +12π +1 2 ∫ ∫f (θ,λ)cos mλPnm (cos θ )d cos θdλ = Anm π ∫[]Pnm (cos θ) d cos θ −1 0 −1 Do tính chaát cuûa haøm lieân keát (4.25) ta coù tích phaân : 2 +1 2 (n + m)! []P (cos θ) d cos θ = ∫ nm 2n +1 (n − m)! (4.46) −1 Vaäy : 2n + (1 n − m)! π2 π A = f ,0( π )cos mλP (cos θ )sin θdθdλ nm ∫ ∫ nm (4.47) 2π (n + m)! 0 0 Töông tö ï: 2n + (1 n − m)! π2 π B = f (θ,λ)sin mλP (cos θ )sin θdθdλ nm ∫ ∫ nm (4.48) 2π (n + m)! 0 0 73
  21. Ñeå xaùc ñònh A 0, laáy tích phaân ñaúng thöùc (4.43) theo λ töø 0 ñeán 2π. Vì : 2π 2π ∫cos mλdλ = 0 ∫sin mλdλ = 0 0 0 neân ta coù: 2π ∞ 2π ∞ f (θ,λ)dλ = A P (cos θ) dλ = 2π A P (cos θ) ∫ ∑ 0 n ∫ ∑ 0 n 0 n=0 0 n=0 Nhaân tieáp 2 veá vôùi Pn (cos θ )d cos θ vaø laáy tích phaân töø -1 ñeán +1. Nhôø tính chaát tröïc giao ta coù : +12π +1 2 ∫ ∫f (θ,λ)Pn (cos θ)d cos θdλ = 2π ∫ A0 []Pn (cos θ d(cos θ) −1 0 −1 Ruùt ra : 2n +1 π2 π A = f (θ,λ)P (cos θ)sin θdθdλ 0 4π ∫ ∫ n (4.48a) 0 0 §.7. Coâng thöùc coäng haøm caàu . Nhaân chuoãi (4.43) vôùi Pn (cos ψ )sin θdθdλ vaø laáy tích phaân maët treân quaû caàu baùn kính ñôn vò. Beân veá phaûi caùc tích phaân chöùa tích Ym (θ,λ)Pn (cos ψ ) baèng 0 heát khi m ≠ n, coøn m = n thì theo (4.41) ta coù : π2 π π2 π 4πY (θ ,' λ )' f (θ,λ)P (cos ψ )sin θdθdλ = Y (θ,λ)P (cos ψ )sin θdθdλ = n ∫ ∫ n ∫ ∫ n n 0 0 0 0 2n +1 (4.49) Maët khaùc Yn (θ ,' λ )' = ∑ Anm cos mλ'+Bnm sin mλ )' Pnm (cos θ )' theo (4.16). Söû duïng (4.47), (4.48) vaø (4.48a) ta coù : 2n +1π2 π  Yn (θ ,' λ )' =  (f θ,λ P) n (cos θ)sin θdθdλ × Pn (cos θ )' 4π ∫ ∫  0 0  ∞ n( − m)! 2n +1 π  + ∑ × ∫ f (θ,λ)cos mλPnm (cos θ )sin θdθdλ cos mλ' m=1 n( − m)! 2π  0  74
  22. π2 π   + ∫ ∫ f (θ,λ)sin mλPnm (cos θ )sin θdθdλsin mλ'Pnm (cos θ )'    0 0  (4.49a) Bieán ñoåi ñôn giaûn döïa vaøo coâng thöùc löôïng giaùc cos(a - b), ta coù : 2π +1π2 π Yn (θ ,' λ )' = ∫ ∫ f (θ,λ)Pn (cos θ)Pn (cos θ )' sin θdθdλ + 4π 0 0 n (n − m)! π2 π  2∑ ∫ ∫ f (θ,λ)Pnm (cos θ)× Pnm (cos θ )' cos m(λ − λ )' sin θdθdλ m=1 (n + m)! 0 0  θ λ Th Yn (θ ,' λ )' (4.49) b ng công th c cho Yn ( ’, ) treân ñaây ta coù : π2 π π2 π  ∫ ∫ f (θ,λ)Pn (cos ψ )sin θdθdλ = ∫ ∫ f (θ,λ)Pn (cos θ )Pn (cos θ )' 0 0 0 0  n  (n − m)! + 2∑ Pnm (cos θ )Pnm (cos θ )' cos m(λ − λ )' sin θdθdλ m=1 (n + m)!  So saùnh veá traùi vôùi veá phaûi ta suy ra coâng thöùc coäng haøm caàu : Pn (cos ψ ) = Pn (cos θ )Pn (cos θ )' n n m ( − )! + 2∑ Pnm (cos θ )' Pnm (cos θ )cos m(λ − λ )' m = 1 ( n + m )! (4.50) Theo löôïng giaùc caàu : cos ψ = cos θ cos θ '+sin θ sin θ 'cos( λ − λ )' (4.50a) Coâng thöùc (4.50) vaø (4.50a) giuùp bieán ñoåi töø toïa ñoä cöïc sang toïa ñoà caàu. §.8.Chuaån hoùa haøm caàu. Phöông trình tích phaân cho haøm caàu chuaån hoùa. Chuùng ta haõy tìm moät heä soá rnm sao cho haøm caàu : r nm Pnm (cos θ )' cos mλ' vaø P (cos θ )' sin mλ' F (θ ,' λ )' rnm nm , kyù hieäu chung laø nm thoûa maõn ñieàu kieän treân maët caàu ñôn vò : F (θ ,' λ' 2 dσ '= 1 ∫∫[[ nm ] ] (4.51 ) σ 75
  23. 2 Döïa vaøo tính chaát (4.25) cuûa haøm Pnm (θ ,' λ )' roài ruùt r nm töø (4.51 ) ra, ta coù heä soá chuaån hoùa : 2n +1 (n − m)! r = nm vôùi m = 1, 2. 3, 4 . 2π (n + m)! vaø haøm caàu chuaån hoùa :  2n +1 (n − m)!  P (cos θ )cos mλ 2π (n + m)! nm  F (θ,λ) =  nm (4.52)  2n +1 (n − m)!  Pnm (cos θ )sin mλ  2π (n + m)! Tröôøng hôïp m = 0, heä soá rn phaûi ruùt ra töø ñaàu cho F n(θ) = r nP(cos θ’), ta coù : 2n +1 F (θ )' = P (cos θ )' n 4π n (4.53) Coâng thöùc coäng cho haøm caàu chuaån hoùa coù theå ruùt ra töø (4.50) : 4π n Pn (cos ψ ) = ∑ Fnm (θ, λ)Fnm (θ ,' λ )' 2n +1 m=0 (4.54) Khi ρ < R ta coù (4.31) : 1 ∞ ρ n = ∑ n+1 Pn (cos ψ ) r n=0 R Nhôø (4.54) ta coù : 1 ∞ 4πρ n 2n = ∑n+1 ∑ Fnm (θ,λ)Fnm (θ ,' λ )' r n=0 2( n + )1 R m =0 Nhaân 2 veá treân vôùi Fnm (θ ,' λ )' vaø laáy tích phaân treân toaøn maët caàu ñôn vò vaø nhôø tính tröïc giao ta coù : F (θ ,' λ )' 4πρ n nm d F ∫∫ σ'= n+1 nm (θ,λ) r 2( n + )1 R (4.55) 76
  24. Khi ρ > R töông töï : F (θ ,' λ )' 4π Rn nm dσ '= F (θ,λ) ∫∫ r 2( n + )1 ρ n+1 nm (4.56) Khi ρ = R : F (θ ,' λ )' 4π F (θ,λ) nm dσ '= nm ∫∫ r 2( n + )1 R (4.57) §.9 Phaân loaïi haøm caàu. Giaû söû ta coù haøm f (θ,λ) phuï thuoäc vaøo goùc cöïc θ vaø kinh ñoää λ . Moät haøm nhö vaäy coù theå laø haøm phaân boá giaù trò dò thöôøng troïng löïc hoaëc töø treân maët ñòa caàu. Nhö ta bieát, haøm f (θ,λ) coù theå khai trieån thaønh chuoãi haøm caàu : f (θ,λ) = A0 P0 (cos θ ) + A10 P10 (cos θ) + (A11 cos λ + B11 sin λ)P11 (cos θ ) + A20 P20 (cos θ ) + (A21 cos λ + B21 sin λ)P21 (cos θ ) + (A22 cos 2λ + B22 sìn λ)P22 (cos θ ) + + Ak 0 Pk0 (cos θ ) + (Ak1 cos λ + Bk1 sin λ)Pk1 (cos θ) + + (Akk cos kλ + Bkk sin kλ)Pkk (cos θ) ()4.58 Caùc heä soá khai trieån ñöôïc xaùc ñònh bôûi chính haøm f (θ,λ) ño ñöôïc treân thöïc teá, vaø theo coâng thöùc tích phaân (4.47), (4.48) vaø (4.48a). Tuy nhieân, veà maët thöïc tieãn, ta khoâng laáy ñöôïc tích phaân theo lyù thuyeát, vì haøm f (θ,λ) khoâng ñöôïc cho tröôùc döôùi daïng bieåu thöùc giaûi tích, maø nhaän ñöôïc moät caùch rôøi raïc qua töøng laàn quan saùt taïi caùc vò trí khaùc nhau treân maët ñòa caàu. Caùc vò trí quan saùt caøng nhieàu caøng toát vaø phaûi phuû ñeàu khaép maët ñòa caàu. Phöông phaùp xaùc ñònh thöïc nghieäm ca ùc heä soá noùi treân laø phöông phaùp toái thieåu bình phöông. Soá phöông trình phaûi nhieàu hôn soá aån soá, laø soá caùc heä soá noùi treân. ( veà lyù thuyeát n = ∞ nhöng trong thöïc teá chæ coù theå coù moät soá höõu haïn). Chuoãi (4.58) laø moät choàng chaát caùc soùng treân maët ñòa caàu vôùi ñuû loaïi caùc taàn soá khaùc nhau (theo kinh ñoä λ vaø θ ). Moät soùng baäc n (theo θ) vaø m ( theo λ) coù daïng chung laø : d m (A cos mλ + B sin mλ)sin m θ P (cos θ) nm nm d(cos θ)m n (4.59) Haøm (4.59) coù theå taùch ra laøm 2 phaàn, chöùa cos vaø chöa sin nhaân vôùi Pnm (cos θ) thöïc chaát laø cuøng loaïi. 77
  25. a) Haøm caàu ñôùi: Khi m = 0, n baát kyø, coâng thöùc (4.59) cho ta moät haøm duy nhaát phuï thuoäc θ ña thöùc Legendre : A P (cos θ ) no no Ñeå tìm caùc vò trí maø taïi ñoù (4.59) baèng 0, ta giaûi phöông trình : P n (cos θ) = 0 (4.60) Caùc giaù trò θ ñoái xöùng qua xích ñaïo ñòa caàu laø nghieäm cuûa phöông trình naøy. Coù taát caû n nghieäm. Ví duï vôùi n = 3, ta coù : 1 P (x) = 5( x3 − 3x) = 0 3 2 (4.61) Giaûi phöông trình naøy ta coù 3 nghieäm soá : x = 0 x = 3 x = − 3 1 2 5 3 5 N Xích ñaïo S H.19 0 0 0 Goùc θ töông öùng laø: 90 , 39 30’, 140 30. Ta coù 3 vó tuyeán maø taïi ñoù P3 (cos θ) = 0 . Maët caàu bò chia thaønh 4 ñôùi. Soá ñôùi toång quaùt laø (n+1) ñôùi ( H.19). b) Haøm caàu muùi : Khi m = n, trong (4.59) ta coù : 78
  26. d n P cos θ = const d(cos θ)n n (4.62) Sau khi laáy ñaïo haøm Pn (cos θ ) n laàn, ta ñöôïc haèng soá. Keát quaû, ta coù 2 soùng (ñieàu hoøa) : A n n B n n nm sin θ cos λ vaø nm sin θ sin λ = 0 (4.63) n sin θ = 0 vôùi θ = 0 vaøθ = π , töùc öùng vôùi 2 cöïc ñòa caàu N vaø S. Coøn sin nλ vaø cos nλ baèng 0 taïi caùc kinh tuyeán ôû caùch nhau 1 cung π ∆λ = . Ñòa caàu bò chia ra thaønh caùc muùi ñeàu nhau theo kinh tuyeán. Trong moãi n muùi, caùc haøm giöõ nguyeân daáu (+ hoaëc -). Khi chuyeån sang muùi keá caän thì daáu ñoåi. Hai loaïi haøm caàu naøy trong (4.63) laø haøm caàu muùi. Hình 20 cho thaáy söï phaân boå cuûa haøm caàu muùi vôùi caùc muùi chöùa giaù trò aâm vaø döông cuûa haøm xen keõ nhau. Moãi haøm sin nλ (hoaëc cos nλ ) chia ñòa caàu ra laøm 2n muùi. S N N S H.20 H.21 c) Haøm caàu oâ: Khi m ≠ n ( 0 < m < n ), trong (4.59), ta coù : d m P (cos θ) m n (4.64) d(cos θ) Ña thöùc naøy coù (n - m) nghieäm thöïc caû thaûy, öùng vôùi n – m vó tuyeán treân maët ñòa caàu maø taïi ñoù haøm caàu (4.59) baèng khoâng. 79
  27. Keát quûa, ñòa caàu bò caùc vó tuyeán naøy chia ra laøm (n – m + 1) ñôùi. Caùc ñôùi coù giaù trò aâm, döông cuûa haøm (4.64) xen keõ nhau nhö tröôøng hôïp a) Haøm sin mλ (hoaëc cos mλ ) baèng khoâng taïi 2m giaù trò cuûa λ vaø chia ñòa caàu π ra thaønh 2m muùi, moãi muùi coù beà roäng laø . Trong moãi muùi, haøm naøy mang moät m daáu vaø noù ñoåi daáu khi chuyeån sang muùi beân caïnh (nhö tröôøng hôïp b). Söï choàng chaát cuûa 2 haøm sin mλ (hoaëc cos mλ ) vôùi haøm (4.64), keát quaû, maët ñòa caàu bò chia ra töïa oâ baøn côø vua, vôùi daáu aâm, döông xen keõ nhau, neân haøm coù teân goïi laø haøm caàu oâ. Tuy nhieân oâ ôû ñaây khoâng phaûi laø oâ vuoâng maø laø oâ caàu hình thang, vì caùc haøm sin, cos chia vó tuyeán ra thaønh nhöõng cung baèng nhau nhöng haøm lieân keát Legendre thì khoâng chia kinh tuyeán thaønh nhöõng cung baèng nhau. Caùc nghieäm phaân boá khoâng ñeàu doïc theo kinh tuyeán, nhöng ñoái xöùng qua xích ñaïo. Neáu m chaün, thì daáu cuõng phaân boá ñoái xöùng qua xích ñaïo. ( hình 22 cho tröôøng hôïp P42 cos θ) ). Coøn m leõ thì khoâng ñoái xöùng veà daáu, maø ngöôïc veà daáu qua xích ñaïo (hình 23 cho tröôøng hôïp P 41 cos θ ). P41 P 42 3 100 2 1 5 135 0 + + 0 90 0 0 0 90 0 0 0 45 180 0 -1 0 0 45 135 0 180 -5 -2 λ=270 o 0 o o 315 _ 225 o o P42 cos2λ -3 + _ φN=22 12’ + N_ + 40 50’ + _ o o 0o _ + _ 0o 0 0 λ=90 o P cos λ + _ 41 o o φS=22 12’ + _ + 40 50’ _ 45 o 135 o 0 Hình 22 Hình 23 Toùm laïi, öùng vôùi moät giaù trò baát kyø cuûa n ta coù: Khi m = 0 : moät haøm caàu. Khi m = n : hai haøm caàu (sin vaø cos) Khi m ≠ n : 2(n - 1) haøm caàu Toång coäng ta coù 2n + 1 haøm caàu. 80
  28. ÖÙng vôùi taát caû caùc giaù trò cuûa n ( töø 0,1,2,3, n ), laø caû chuoãi, coù toång coäng n(n + 2) + 1 haøm caàu ( ñieàu hoøa). Soá heä soá haøm caàu Anm vaø B nm toång coäng cuõng baèng n (n + 2) + 1 heä soá. Ñeå xaùc ñònh caùc heä soá naøy, toái thieåu caàn coù : n(n + 2) + 1 phöông trình, nghóa laø töøng aáy pheùp ño taïi caùc vò trí khaùc nhau treân ñòa caàu. Nhöng thöôøng, soá pheùp ño phaûi nhieàu hôn soá aån soá theo phöông phaùp bình phöông toái thieåu ñeå laøm giaûm aûnh höôûng cuûa caùc giaù trò chöùa sai soá ngaãu nhieân. 81
  29. MUÏC LUÏC Lôøi giôùi thieäu 2 CHÖÔNG I : Theá vaø caùc tính chaát .3 §. 1. Khaùi nieäm veà theá. Caùc daïng chuû yeáu cuûa theá . 1. Theá tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch quan saùt . . 2. Theá khoái 6 3. Theá lôùp ñôn 7 4. Theá lôùp keùp 9 5. Theá töø cuûa moät löôõng cöïc 1 6. Theá töø cuûa caùc vaät theå bò töø hoùa .1 §. 2. YÙ nghóa vaät lyù cuûa theá, maët ñaúng theá, ñöôøng söùc . .1 §. 3. Theá vaø tröôøng löïc cuûa moät soá vaät coù daïng ñôn giaûn .1 1. Theá lôùp caàu .20 2. Theá khoái caàu .2 3. Theá logarit .27 4. Theá töø cuûa kkhoái caàu 2 §. 4 Caùc tính chaát cuûa theá Newton . .30 1. Theá khoái 30 2. Theá lôùp ñôn 35 3. Theá lôùp keùp .38 §. 5 Caùc tích phaân Gauss . .3 CHÖÔNG II : Caùc coâng thöùc Green 41 §. 1. Hai coâng thöùc Green cô sôû 4 §.2. Coâng thöùc Green cho haøm 1/r .46 §.3. Haøm ñieàu hoøa vaø caùc tính chaát 4 1. Ñònh lyù veà ñaúng trò . .48 2. Ñònh lyù veà ñôn trò 49 3. Ñònh lyù veà trung bình 49 4. Ñònh lyù veà cöïc trò 50 87
  30. §.4. Coâng thöùc Green cô baûn . . 50 §.5. Coâng thöùc Green theo bieán ñoåi theo Molodensky . . . 51 §.6. Caùc haèng soá Stokes . . 52 CHÖÔNG III : Caùc baøi toaùn bieân .55 §. 1. Ba baøi toaùn bieân cô baûn . . 5 1. Baøi toaùn bieân thöù nhaát 55 2. Baøi toaùn bieân thöù hai 5 3. Baøi toaùn bieân thöù ba .57 §. .2. Baøi toaùn Dirichlet cho quûa caàu 5 §. .2. Baøi toaùn Dirichlet cho maët phaúng voâ haïn . . 61 CHÖÔNG IV : Haøm caàu vaø caùc tính chaát . .6 §. 1. Giaûi phöông trình Laplace trong toïa doä caàu . 6 §. 2. Moät soá tính chaát cuûa ña thöùc Legendre 66 §.3. Moät soá tính chaát cuûa haøm lieân keát Legendre . .67 §.4. Khai trieån haøm 1/r thaønh chuoãi ña thöùc Legendre .68 §.5. Caùc heä thöùc tích phaân cho haøm caàu . .7 §.6. Khai trieån moät haøm f ( θ,λ) thaønh chuoãi haøm caàu . . . .7 §.7. Coâng thöùc coäng haøm caàu .75 §.8. Chuaån hoùa caùc haøm caàu. Phöông trình tích phaân cho haøm caàu chuaån hoùa .7 §.9. Phaân loaïi haøm caàu . . .78 Phuï luïc 82 Taøi lieäu tham khaûo .86 88
  31. PHUÏ LUÏC CAÂU HOÛI VAØ BAØI TAÄP LYÙ THUYEÁT THEÁ Chöông I. Theá vaø caùc tính chaát. 1. Theá naøo laø tröôøng löïc daãn xuaát töø theá ? Löïc naøy coù tính chaát gì ñaëc bieät so vôùi nhöõng löïc thoâng thöôøng khaùc ? Haõy cho ví duï veà moät soá löïc loaïi naøy ? 2. Coâng vaät lyù khaùc vôùi coâng sinh hoïc ( coâng cuûa ngöôøi, traâu boø ) nhö theá naøo ? 3. Theá vaø theá naêng khaùc nhau vaø gioáng nhau nhö theá naøo ? Thöù nguyeân ? 4. Theá vaø theá naêng coù theå aâm hoaëc döông ? Cho bieát yù nghóa cuûa tröôøng hôïp aâm vaø döông cuûa theá vaø theá naêng ? 5. Haõy döïa vaøo ñònh nghóa cuûa theá ( baèng coâng cuûa löïc tröôøng theá ) chöùng minh raèng theá cuûa löïc haáp daãn Newton do moät chaát ñieåm gaây ra laø theá tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch tôùi chaát ñieåm haáp daãn. 6. Ruùt ra theá cuûa löïc tónh ñieän Coulomb do ñieän tích ñieåm Q > 0 gaây ra ñoái vôùi moät ñieän tích ñôn vò q aâm ñaët ôû taïi vò trí caùch Q moät khoaûng r laø theá tyû leä nghòch khoaûng caùch quan saùt r. Choïn vò trí 0 cuûa theá ôû ∞. 7. Haõy chöùng minh raèng theá naêng cuûa löïc haáp daãn Newton cuûa Traùi ñaát coù daïng laø M U = - f m, trong ñoù f – haèng soá haáp daãn, M – khoái löôïng Traùi ñaát, m – khoái r löôïng cuûa moät vaät ôû caùch taâm Traùi ñaát laø r. Choïn vò trí 0 cuûa theá naêng ôû ∞. Neáu möùc 0 cuûa theá naêng choïn ôû maët Traùi ñaát thì theá coù daïng theá naøo ? Coøn theá naêng ôû gaàn maët ñaát ? 8. Löïc ly taâm coù theá hay khoâng ? Coù tính ñöôïc theá cuûa löïc ly taâm khi cho moät ñôn vò khoái löôïng chuyeån ñoäng troøn vôùi vaän toác goùc ñeàu baèng ω quanh moät taâm O treân truïc quay vaø ôû khoaûng caùch ñeán truïc baèng ρ. Coi vò trí khoâng cuûa theá laø taâm O. 1 ÑS : V = ω2ρ2 2 9. Tính theá vaø löïc haáp daãn cuûa lôùp caàu daày coù baùn kính R vaø r ( R > r ) ñoái vôùi moät ñieåm quan saùt beân trong lôùp caàu, ôû caùch taâm caàu moät khoaûng ρ ≤ r. ÑS : V = 2 πfδ( R 2- r2) = const. 10. Tröôøng hôïp quan saùt taïi 1 ñieåm beân trong quûa caàu ñaëc ñoàng chaát baùn kính R o thì löïc taùc duïng töông ñöông vôùi löïc cuûa phaàn naøo thuoäc quûa caàu gaây ra ? Löïc naøy bieán thieân theo khoaûng caùch ρ töø taâm theo qui luaät, coâng thöùc naøo ? 11. Tính theá vaø löïc haáp daãn cuûa moät ñóa troøn, moûng baùn kính R, maät ñoä maët laø ε, haèng soá haáp daãn laø f. Ñieåm quan saùt naèm treân truïc ñoái xöùng ñi qua taâm O cuûa ñóa, caùch taâm ñóa 1 ñoä cao z . Xeùt tröôøng hôïp giôùi haïn : z →0 ( hoaëc R →∞ ). 82
  32.   2 2  z  ε ÑS : V = 2 πfε ( z + R − z) ; F = -2πfε 1−  ; F gh = -2πf .  R 2 + z 2  12. AÙp duïng keát quûa baøi toaùn treân, haõy tính löïc haáp daãn cuûa moät lôùp bình nguyeân roäng voâ taän, coù ñoä cao H so vôùi maët bieån, maät ñoä khoái ñaát laø δ. Ngöôøi quan saùt ôû ñoä cao h so vôùi maët bình nguyeân treân maùy bay tröïc thaêng. ÑS : F = -2πfδH, khoâng phuï thuoäc h. 13. Tính theá vaø löïc cuûa moät vaønh khuyeân moûng coù caùc baùn kính R > r , maät ñoä maët ε, haèng soá haáp daãn f, ñoái vôùi moät ñieåm quan saùt naèm treân truïc ñoái xöùng caùch taâm O cuûa vaønh khuyeân moät ñoä cao z.   2 2 2 2  1 1  ÑS: V =2 πfε ( z + R − z + r ) ; F = -2πfεz  −   r 2 + z 2 R 2 + z 2  14. Tính löïc haáp daãn cuûa hình truï ñaëc troøn baùn kinh R, beà daøi d, maät ñoä δ. Xeùt tröôøng hôïp ñieåm quan saùt ôû taïi truïc ñoái xöùng, caùch maët troøn cuûa hình truï laø h. Choïn truïc z höôùng xuoáng. ÑS : F = 2 πfδ ( R2 + h2 − R2 + (d + h)2 + d ). 15. Tính theá vaø löïc haáp daãn cuûa oáng truï roãng, maät ñoä maët ε, baùn kính R, daøi d. Ñieåm quan saùt naèm treân truïc ñoái xöùng cuûa hình tru taïi ñaàu oángï.  R   R  ÑS : V = 2 πfεRln   ; F = 2 πfε 1−  d + d 2 + R 2   d 2 + R 2  2M M 19. Giaûi thích yù nghóa cuûa daáu ± trong löïc töø tröôøng : Z = ± vaø H = ± . R 3 R 3 20. Taïi sao khi tieán tôùi ñieåm C treân maët lôùp ñôn töø ñieåm quan saùt beân ngoaøi A vaø ñieåm beân trong B, thì hai giaù trò giôùi haïn cuûa ñaïo haøm theá lôùp ñôn theo phöông l naøo ñoù ( laø löïc theo phöông l ) do mieàn ngoaøi ñóa troøn taâm C gaây ra seõ cuøng tieán tôùi moät giaù trò quan saùt ngay taïi C ? 21. Taïi sao di chuyeån treân maët ñaúng theá thì coâng cuûa tröôøng löïc haáp daãn baèng 0 ? 22. YÙ nghóa cuûa tích phaân Gauss ? Khi naøo aâm, khi naøo döông ? Chöông II. Caùc coâng thöùc Green. 1. Coâng thöùc Green cô sôû thöù 2 cho khoâng gian trong khaùc vôùi coâng thöùc Green cô sôû thöù 2 cho khoâng gian ngoaøi ôû choã naøo ? 2. Nhöõng ñieåm gì gioáng nhau vaø khaùc nhau giöõa hai coâng thöùc Green cô sôû vôùi coâng thöùc Green cô baûn ? 3. Haõy so saùnh coâng thöùc Green cho haøm 1/r vaø haøm ñieàu hoøa V vôùi coâng thöùc Green cô baûn cho theá khoái V. 83
  33. 4. Caùc tích phaân sau ñaây ta gaëp ôû ñaâu, suy töø coâng thöùc naøo ? yù nghóa ? dV dV a/ dσ = 0 b/ dσ = −4πfM ∫∫ dn ∫∫ dn d  1  dV c/  dσ = -4π d/ V dσ ≥ 0 ∫ dn  r  ∫∫ dn 5. Coâng thöùc Green cho theá khoái ñoái vôùi tröôøng hôïp ñieåm quan saùt ngoaøi vaø treân maët hay ôû choã naøo ? Bieán ñoåi coâng thöùc Green cho theá khoái theo Molodensky coù gì ñaëc bieät ? Trong coâng thöùc cuûa Molodensky, sau daáu tích phaân maët coù d  1  bieåu thöùc ( V –V )   . V laø gì ? Xaùc ñònh trong mieàn naøo ? Coøn V laø gì ? dn  r  6. YÙ nghóa cuûa caùc haèng soá Stokes ? Coâng thöùc Gauss cho pheùp xaùc dònh khoái löôïng baèng caùch naøo ? 7. Coâng thöùc Green cho theá khoái khaùc coâng Green cho haøm ñieàu hoøa ôû choã naøo ? 8. Naêm coâng thöùc Green sau ñaây thuoäc tröôøng hôïp aùp duïng naøo ? 1 dV d  1  1 dV d  1  a/ ∫∫  −V  dσ =0 b/ ∫∫  −V  dσ =-4πV σ r dn dn  r  σ r dn dn  r  1 dV d  1  c/ ∫∫  −V  dσ = 4 πV σ r dn dn  r  1 dV d  1  1 dV d  1  d/ ∫∫  −V  dσ =-2πV e/ ∫∫  −V  dσ =2πV σ r dn dn  r  σ r dn dn  r  9. Döïng quûa caàu S baùn kính r boïc laáy ñieåm quan saùt P, trong ñoù r = MP – khoaûng caùch giöõa ñieåm quan saùt P vaø ñieåm chaïy M trong tích phaân. Cho r →0, taïi sao tích phaân khoái theo theå tích τ vaãn giôùi noäi vaø ≠ 0 ? Chöông III. Caùc baøi toaùn bieân. 1. Taïi sao trong baøi toaùn bieân Dirichlet ngoaøi ta phaûi xaây döïng haøm Green G = 1 +U thoûa ñieàu kieän sau ñaây : 1) Ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi vaø treân maët σ r tröø P ( vì sao ?). 2/ Chính qui ôû ∞. 3/ Baèng 0 treân maët σ ? 1 2. Trong baøi toaùn bieân Dirichlet cho maët caàu, haøm Green coù dang G = +U = r 1 1 R − . Haøm Green naøy coù thoûa ñieàu kieän G = 0 treân maët caàu khoâng ? r r' ρ 84
  34. 3. Chöùng minh raèng khi baùn kính maët caàu R →∞ , thì tích phaân Poisson cho maët 1 dσ caàu seõ trôû thaønh coâng thöùc cho maët phaúng : V = f (θ'. λ )' . 2π ∫∫ r 3 Chöông IV. Haøm caàu vaø caùc tính chaát. 1. Coâng thöùc coäng haøm caàu ñöôïc ruùt ra qua nhöõng böôùc nhö theá naøo ? 2. Theá naøo laø haøm caàu chuaån hoùa ? Haõy ruùt ra heä soá chuaån hoùa cho haøm caàu. 3. Haõy chöùng minh coâng thöùc coäng haøm caàu chuaån hoùa. 4. Haõy ruùt ra phöông trình tích phaân cho haøm caàu chuaån hoùa. 5. Haõy chöùng minh tính chaát tröïc giao treân maët caàu cuûa caùc haøm caàu maët Yn(θ,λ) vaø Ym(θ,λ). 6. Haõy ruùt ra heä thöùc tích phaân cho haøm caàu maët. 7. Khai trieån haøm soá f( θ,λ) thaønh chuoãi haøm caàu. 85
  35. TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 1. S.A SERkEROV. Lyù thuyeát theá haáp daãn vaø theá töø. NXB “ Nedra “, Moskva, 1990. 304 tr. 2. N.P. GROUSHINSKY. Lyù thuyeát hìønh theå Traùi ñaát. NXB “Nauka “, Moskva, 1976, 512 tr. 3. D.V. ZAGREBIN. Troïng löïc lyù thuyeát nhaäp moân. NXB “ Nauka “. Leningrad, 1976, 292 tr. 4. B.P. SHIMBIRIEV. Lyù thuyeát hình theå Traùi ñaát. NXB “ Nedra “, Moskva, 1975. 432 tr. 5. V.S MIRINOV. Giaùo trình troïng löïc thaêm doø. NXB “ Nedra “, Leningrad, 1972, 512 tr. 6. A.N. TIKHONOV. A.A SAMARSKY. Phöông trình toaùn lyù. NXB “ Nauka “. Moskva. 1966, 724 tr. 86