Tính toán ổn định phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong và siêu tĩnh ngoài

Nội dung text: Tính toán ổn định phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong và siêu tĩnh ngoài

1. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN HÌNH HỌC KẾT CẤU DÀN VÒM PHẲNG TĨNH ĐỊNH TRONG VÀ SIÊU TĨNH NGOÀI ThS. PHẠM VĂN ĐẠT Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Tóm tắt: Bài báo trình bày phương pháp phân tích cấu dàn và khảo sát một số ví dụ phân tích ổn định ổn định cho dàn vòm phẳng tĩnh định trong siêu tĩnh phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng chịu tải ngoài có kể đến tính phi tuyến hình học của dàn vòm trọng thẳng đứng tại các nút dàn. Phương pháp phân phẳng dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. tích ổn định dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Kết quả phân tích ổn định phi tuyến hình học này Gauss. được so sánh với kết quả phân tích tuyến tính để thấy 2. Phương pháp phân tích ổn định cục bộ phi được sự ảnh hưởng của tính phi tuyến hình học đến tuyến hình học của kết cấu dàn dựa trên phương giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn. pháp nguyên lý cực trị Gauss Kết cấu dàn ổn định cục bộ khi nội lực trong các Từ khóa: dàn, phi tuyến hình học, phân tích ổn thanh dàn không vượt quá lực tới hạn của thanh dàn định. đó tính theo Euler. Từ đó tác giả đề xuất một phương 1. Đặt vấn đề pháp giải bài toán ổn định cục bộ của kết cấu dàn phi Tính toán ổn định cho kết cấu nằm trong các yêu tuyến hình học là: Lực tới hạn tác dụng lên kết cấu cầu đối với tính toán thiết kế các kết cấu nói chung và dàn là lực lớn nhất có thể tác dụng lên kết cấu mà nội tính toán kết cấu dàn nói riêng. Dưới tác dụng của tải lực trong các thanh phải thỏa mãn hai điều kiện: trọng tại các nút dàn, các thanh dàn chịu nén có thể - Lượng ràng buộc Z của kết cấu dàn tính theo mất ổn định cục bộ và làm cho kết cấu dàn bị phá công thức của tài liệu [3] đạt cực trị. hỏng. Hiện nay khi phân tích tính toán ổn định cục bộ - Nội lực trong tất cả các thanh trong dàn không cho kết cấu dàn [7,14,15,16] thường phải coi góc của được vượt quá lực tới hạn của thanh dàn đó tính theo các thanh dàn trước và sau khi dàn bị biến dạng là Euler. không đổi (phân tích ổn định tuyến tính) và chưa có một phương pháp hiệu quả nào để phân tích tính toán Phương pháp trên là phương pháp của riêng tác ổn định cục bộ của các thanh dàn khi kể đến sự thay giả. Sau đây tác giả xin được trình bày chi tiết đổi góc của các trục thanh trước và sau khi dàn biến phương pháp xác định tải trọng tới hạn lên kết cấu dạng (phân tích ổn định phi tuyến hình học). Ảnh dàn phi tuyến hình học. hưởng của phi tuyến hình học này có thể làm thay đổi Xét kết cấu dàn gồm n thanh và m nút, gọi lực tác giá trị tải trọng tới hạn của kết cấu dàn. Vì vậy, trong dụng lên nút r theo các phương là Pxr , Pyr , Pzr ; trước bài báo này tác giả sẽ trình bày phương pháp phân khi mất ổn định thì các thanh dàn phải thỏa mãn điều tích tính toán ổn định cục bộ phi tuyến hình học kết kiện: 2 n(0) m m m n (0) Nk l N k .l Z k 2P .u 2P .v 2P .w  . k l min (1) EFEF xrr  yrr  zrr  k k k 1k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k hay: 2 n(0) m m m n (0) Z  Nk l N k .l k k 2P.ur r 2P.v r r 2P.w r r  k .  l k 0 (j1m) (1a) u  u  E F     E F j j k 1 k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k 2 n(0) m m m n (0) Z  Nk l N k .l k k 2P.ur r 2P.v r r 2P.w r r  k .  l k 0 (j1m) (1b) v  v  E F     E F j j k 1 k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k 2 n(0) m m m n (0) Z  Nk l N k .l k k 2P.ur r 2P.v r r 2P.w r r  k .  l k 0 (j1m) (1c) w  w  E F     E F j j k 1 k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k 18 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015
2. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 2 n(0) m m m n (0) Z  Nk l N k .l k k 2P.ur r 2P.v r r 2P.w r r  k .  l k 0 (i1n) (1d) NNEFEF       i i k 1 k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k 2 n(0) m m m n (0) Z  Nk l N k .l k k 2P.ur r 2P.v r r 2P.w r r  k .  l k 0 (i1n) (1e)   EFEF     i i k 1 k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k trong đó: l(0) , l là chiều dài trước khi biến dạng và độ biến dạng dài tuyệt đối của thanh. Nếu gọi i,j là hai k k nút 2 tại hai đầu thanh k, thì l(0) và l được tính như sau: k k - Chiều dài thanh trước biến dạng: 2 2 2 l(0) x x y y z z (2) k j i j i j i - Biến dạng dài tuyệt đối của thanh: + Khi phân tích tuyến tính: l xxuu yyvv zzww/l (0) (3) k jiji jiji jiji k + Khi phân tích phi tuyến hình học (kể đến sự thay đổi góc của trục thanh dàn trong quá trình dàn biến dạng): 2 2 2 l xuxu yvyv zwz-w l(0) (4) k jjii jjii jjii k Trong công thức (2), (3), (4): (xi ,y i ,z i ) , (xj ,y j ,z j ) nhất lên kết cấu dàn mà nội lực trong các thanh vẫn lần lượt là tọa độ của nút i,j trước khi dàn biến dạng; đảm bảo điều kiện cân bằng (1) và điều kiện ổn định (ui ,v i ,w i ), (uj ,v j ,w j ) : lần lượt là các thành phần cục bộ (5). chuyển vị của nút i,j khi dàn biến dạng. Như vậy, từ bài toán ổn định của kết cấu dàn đưa Điều kiện để kết cấu dàn thỏa mãn điều kiện ổn về bài toán quy hoạch toán học phi tuyến thuần túy định cục bộ là nội lực trong các thanh không được với hàm mục tiêu và các điều kiện ràng buộc như sau: vượt quá lực tới hạn đầu tiên của từng thanh và có - Hàm mục tiêu: f P max nhưng để thuận tiện thể được viết như sau: cho việc giải tác giả viết hàm mục tiêu dưới dạng: k k 2 Nk 9,8698E J min / (l k ) k 1  n (5a) f P min (6) k k (0) 2 hay: Nk 9,8698EJ min /(lk ) 0 k 1n  (5b) - Điều kiện ràng buộc: là các đẳng thức từ điều Tải trọng tác dụng tới hạn là tải trọng tác dụng lớn kiện (1) và các bất đẳng thức từ điều kiện (5): 2 n(0) m m m n (0)  Nk l N k .l k k ceq(i) 2P.u rrrrrrk 2P.v 2P.w  .  l k 0(i1m) u  E F     E F i k 1 k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k 2 n(0) m m m n (0)  Nk l N k .l k k ceq(im) 2P.u rr 2P.v rr 2P.w rrk  .  l k 0(i1m) v  E F     E F i k 1 k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k 2 n(0) m m m n (0)  Nk l N k .l k k ceq(2mi) 2P.u rr 2P.v rr 2P.w rrk  .  l k 0(i1m) w  E F     E F i k 1 k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k 2 n(0) m m m n (0)  Nk l N k .l k k ceq(3mi) 2P.u rr 2P.v rr 2P.w rr  k .  l k 0(i1n) NEFEF      i k 1 k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k 2 n(0) m m m n (0)  Nk l N k .l k k ceq(3mni) 2P rr .u 2P rr .v 2P rr .w  k .  l k 0(i 1 n)  EFEF     i k 1 k k r 1 r 1 r 1 k 1 k k Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015 19
3. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG k k (0) 2 c(k) N k 9,8698EJ min /(lk ) 0k 1n  Nghiệm của bài toán quy hoạch phi tuyến này là Xác định tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngoài chịu tải giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn. trọng như hình 1, biết các thanh có tiết diện hình vành 3. Phân tích ổn định phi tuyến hình học kết cấu khuyên: D=20cm, d=18cm; E=2.104(kN/cm2); dàn vòm tĩnh định trong và siêu tĩnh ngoài f 1 l=4800(cm), h=80(cm) và k . l 3 y P P P P P P P P P 21 19 20 18 22 20 19 17 18 P 21 41 16 P 22 23 40 30 46 31 32 17 15 29 47 33 42 16 P/2 24 45 34 14 P/2 23 39 28 6 6 7 7 8 48 25 27 5 5 8 9 35 43 15 24 4 4 9 10 13 44 3 10 26 26 3 36 14 38 2 11 11 49 25 37 2 O 12 13 x 1 1 12 Hình 1. Dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngoài Lời giải: Bài toán có 49 ẩn số là nội lực trong các thanh dàn: Ni i 1  49 Điều kiện biên của bài toán là chuyển vị tại nút 1 và nút 13 theo các phương x và phương y bằng không nên: u1 v 1 u 13 v 13 0 . Như vậy, bài toán ngoài 49 ẩn số là nội lực còn có 48 ẩn số là chuyển vị tại của các nút dàn: u;u;u;u;u;u;u;u;u2 3 4 5 6 7 8 9 10 ;u 11 ;u 12 ;u 14 ;u 15 ;u 16 ;u 17 ;u 18 ;u 19 ;u 20 ;u 21 ;u 22 ;u 23 ;u 24 ;u 25 ;u 26 ;v2 ; cv v;v;v;v;v;v;v;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Phiếm hàm lượng ràng buộc mở rộng (1) của của bài toán có thể được viết như sau: 2 49N l(0) 25 49 N . l(0) k k k L k 2P.v P(v v )  . l min (7) EAEA r 14 26  k k k 1k k r 15 k 1 k k Bài toán tính toán ổn định kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngoài được đưa về bài toán quy hoạch toán học như sau: - Hàm mục tiêu: min(f) min( P) (8) - Các điều kiện ràng buộc phi tuyến bao gồm: + 146 ràng buộc là các đẳng thức 2 49N .l(0) 26 49 N . l(0) L  k k k ceq k 2P.v  . l0i149  (9a) (i)NNEAEA    yr r  k k i i k 1 k k r 14 k 1 k k 2 49N .l(0) 26 49 N . l(0) L  k k k ceq k 2P.v  . l0i148  (9b) (i 49)cv  cv E A  yr r  k E A k i i k 1 k k r 14 k 1 k k 20 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015
4. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 2 49N .l(0) 26 49 N . l(0) L  k k k ceq k 2P.v  . l0i149  (9c) (i 97)  EAEA  yr r  k k i i k 1 k k r 14 k 1 k k + 49 ràng buộc là các bất đẳng thức 0,98698.E I N k k (k 1  49) k 2 l(0) k 0,98698.E I hay: c N k k 0 k 1  49 (10) (k) k 2 l(0) k Giải bài toán quy hoạch toán học phi tuyến này sẽ hạn tác dụng lên kết cấu dàn tĩnh định trong, siêu tĩnh tìm được giá trị lực tới hạn lên kết cấu. Có rất nhiều ngoài giảm đi 25,929% và không có sự thay đổi vị trí cách giải bài toán quy hoạch phi tuyến này, trong nội thanh mất ổn định giữa hai phân tích. Ngoài ra, khi tải dung bài báo này tác giả không trình bày cách giải và trọng tác dụng đạt đến tải trọng tới hạn thì các xin phép sẽ trình bày cách giải trong một bài báo phương trình cân bằng (9) và các bất đẳng thức (10) khác. đều thỏa mãn. 4. Ảnh hưởng độ thoải của dàn vòm phẳng tĩnh Kết quả tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn định trong, siêu tĩnh ngoài đến giá trị tải trọng tới vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngoài khi phân hạn tác dụng lên dàn vòm tích phi tuyến hình học: P 111,220(kN) ; Kết quả th Để nghiên cứu ảnh hưởng độ thoải của dàn vòm phân tích tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngoài đến giá trị tải vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngoài khi phân trọng tới hạn của dàn vòm và độ sai khác giữa kết tích tuyến tính: P 150,154(kN) . Khi tải trọng đạt quả giá trị tải trọng tới hạn giữa phân tích tuyến tính th và phân tích phi tuyến hình học. Tác giả tiến hành đến tải trọng tới hạn theo cả hai cách phân tích đều là phân tích dàn vòm như trong mục 3 nhưng với các độ thời điểm nội lực các thanh 1 và thanh 12 đạt đến tải 1 1 1 thoải khác nhau ( k ;k ;k ). Sau khi phân trọng tới hạn của các thanh này. Như vậy, khi tính 8 6 4 toán kể đến sự thay đổi góc trục thanh thì tải trọng tới tích kết quả được lập trong bảng 1. Bảng 1. Kết quả phân tích ổn định dàn vòm tĩnh định trong, siêu tĩnh ngoài với các giá trị k khác nhau Phương pháp Tải trọng tới hạn phân tích k=1/4 k=1/6 k=1/8 PTTT 257,417(kN) 322,978 (kN) 304,877 (kN) PTPTHH 204,154(kN) 267,907 (kN) 255,520 (kN) PTCL 20,691(%) 17,051(%) 16,189(%) Theo kết quả tính toán cho thấy khi độ thoải của tĩnh ngoài chịu tải trọng tập trung tại các nút dàn khi dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngoài càng có kể đến sự thay đổi góc của các trục thanh trong lớn thì phần trăm chênh lệch tải trọng tới hạn giữa phân tích tuyến tính và phân tích phi tuyến hình học quá trình kết cấu dàn biến dạng. Kết quả tính toán 1 đảm bảo độ tin cậy; càng lớn. Giá trị tải trọng tới hạn lớn nhất khi k . 6 - Khi độ thoải của dàn vòm phẳng tĩnh định trong Ngoài ra, với các độ thoải khác nhau thì giữa hai cách siêu tĩnh ngoài trong ví dụ khảo sát càng lớn thì phần phân tích vị trí mất ổn định đều xảy ra tại thanh 1 và trăm chênh lệch của tải trọng tới hạn giữa phân tích thanh 12. có kể đến sự thay đổi góc của các trục thanh trong 5. Kết luận quá trình kết cấu dàn biến dạng và phân tích tuyến Qua các kết quả nghiên cứu đã trình bày, có thể tính càng lớn; đưa ra các kết luận sau đây: - Khi phân tích tuyến tính hay phân tích phi tuyến - Dựa theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss hình học đối với dàn vòm phẳng tĩnh định trong siêu xây dựng được phương pháp xác định tải trọng tới tĩnh ngoài trong ví dụ khảo sát thì vị trí mất ổn định hạn cho kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong siêu của kết cấu dàn vẫn không thay đổi. Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015 21
5. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG TÀI LIỆU THAM KHẢO 9. TH.VON. KANRMAN, H.S.TSIEN (1939), The buckling of Sherical shells by External Pressure, J.Aero.Sci,7:43-50. 1. HÀ HUY CƯƠNG (2005), Phương pháp nguyên lý cực 10. TUGRUL TALASLIOGLU (2013), Global stability-based trị Gauss, Tạp chí Khoa học và kỹ thuật, IV/2005, Tr. 112 118. design optimization of truss structures using multiple objectives, Sadhana Vol. 38, Part 1, February 2013, pp. 2. ĐOÀN VĂN DUẨN (2011), Nghiên cứu ổn định đàn hồi 37–68. của kết cấu hệ thanh có xét đến biến dạng trượt, Luận 11. S.E.KIM (1998), Direct design of truss bridges using án Tiến sĩ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà Nội. advanced analynis, Structural Engineering and 3. PHẠM VĂN ĐẠT (2013), Phân tích phi tuyến dàn phẳng Mechanics. dựa trên nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí xây dựng số 12. S.P.TIMOSHENKO, J.M.GERE (1985), Theory of 07/2013 (Tr76-78). elastic stability, McGRAW-HILL International Editions. 4. TRẦN THỊ KIM HUẾ (2005), Phương pháp nguyên lí 13. XING JI-HUI, PHAM VAN-DAT, YANG QING-SHAN cực trị Gauss đối với các bài toán cơ học kết cấu, Luận (2008), Failure Modes of Single-layer Latticed Domes văn Thạc sĩ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà Nội. Supported by Braced Frames Subjected to Harmonic 5. VŨ ĐÌNH LAI, NGUYỄN XUÂN LỰU, BÙI ĐÌNH NGHI Waves, China Urban Science Edition, p.1-5. (2002), Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản Giao thông vận tải. 14. А. А. БИТЮРИН (2011), Лекции по устойчивости 6. NGUYỄN VĂN LIÊN, ĐINH TRỌNG BẰNG, NGUYỄN стержневых систем, Оформление. УлГТУ. PHƯƠNG THÀNH (2003), Sức bền vật liệu, Nhà xuất 15. А. С. ВОЛЬМИР (1967), Устойчивость bản Xây dựng. деформируемых систем, Издательство «Наука» 7. LỀU THỌ TRÌNH, ĐỖ VĂN BÌNH (2008), Ổn định công главная редакция физико атематической trình, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật. литературы. 8. CARLOS A.FELIPPA (2001), Nonlinear finite element Ngày nhận bài: 23/11/2014. methods, University of Colorado. Ngày nhận bài sửa lần cuối: 27/12/2014. 22 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015