Bài giảng Chuỗi lũy thừa

Nội dung text: Bài giảng Chuỗi lũy thừa

1. CHUỖI LŨY THỪA
2. ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: là giá trị cho trước Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp: Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành nên không mất tính tổng quát ta chỉ xét chuỗi này.
3. Định lý Abel Hệ quả:
4. Chứng minh định lý
5. Bán kính hội tụ Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ cần xét thêm tại R
6. Trường hợp chuỗi tổng quát Khoảng hội tụ:
7. Cách tìm bán kính hội tụ Tính: hoặc (BKHT)
8. Lưu ý 1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau: 2. Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng. 3. Ta có thể tìm bán kính hội tụ để suy ra khoảng ht. Sau đó xét thêm 2 đầu khoảng này để chỉ ra MHT.
9. Ví dụ Khoảng ht:
10. Khoảng ht:
11. Điều kiện hội tụ:
12. Tính chất của chuỗi lũy thừa
13. Chú ý 1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định 2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng. 3.Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi tích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu.
14. Ví dụ áp dụng: tính tổng chuỗi Nhắc lại: Điều kiện: |x| < 1
15. CHUỖI TAYLOR Nhận xét: vì chuỗi đạo hàm của chuỗi lũy thừa có cùng khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên tổng chuỗi lũy thừa là hàm khả vi vô hạn trong khoảng htụ.
16. CHUỖI TAYLOR Cho hàm f khả vi vô hạn trong lân cận x0 khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là Chuỗi Taylor trong lân cận x0 = 0 gọi là chuỗi Maclaurin.
17. Định lý Nếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại C > 0, R > 0 sao cho Khi đó
18. Định lý Nếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại C > 0, R > 0 sao cho Khi đó
19. Yêu cầu của 1 bài khai triển chuỗi 1.Vận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản . n 2.Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0) với hàm f cho trước. 3.Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được, đó chính là miền mà hàm f được khai triển thành chuỗi Taylor.
20. Chuỗi Maclaurin cơ bản
21. Ví dụ Đặt:
22. Điều kiện: Điều kiện:
23. Điều kiện: và
24. Các ví dụ về tính tổng
25. Các ví dụ về tính tổng
26. Bài tập 1. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi sau:
27. Hướng dẫn
28. 2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:
29. Hướng dẫn Khoảng hội tụ: Chuỗi phân kỳ vì cùng bản chất với
30. Chuỗi đan dấu với Chuỗi ht theo tc Leibnitz.
31. Khoảng hội tụ:
32. Chuỗi pk theo đk cần
33. Chuỗi pk theo đk cần
34. Chuỗi chỉ hội tụ tại:
35. HT HT HT
36. HT HT HT
37. 3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau:
38. Hướng dẫn
39. 4. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau:
40. 4. Tính tổng của các chuỗi lũy thừa sau:
41. 4. Tính tổng của các chuỗi số sau: