›
›

Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Chương IV: Tính chất nhiệt của chất rắn

pdf 41 trang hapham 1600
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Chương IV: Tính chất nhiệt của chất rắn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_co_so_vat_ly_chat_ran_chuong_iv_tinh_chat_nhiet_cu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Chương IV: Tính chất nhiệt của chất rắn

  1. Chương IV TÍNH CHẤT NHIỆT CỦA CHẤT RẮN
  2. I. NHIỆT DUNG CỦA CHẤT RẮN 1. Nhiệt dung Theo định luật I của nhiệt động lực học: dQ = dU – dW Trong đĩ: dQ : nhiệt năng dU : nội năng dW : cơng, dW = pdV
  3. Nhiệt dung đẳng tích: Q U CV= T V T V Nội năng của vật rắn U: U = Umạng + Uelectron Umạng = Năng lượng tồn phần của gốc nguyên tử dao động quanh nút mạng Uelectron = Năng lượng tồn phần của các electron Nhiệt dung của vật rắn: CVR = Cmạng + Celectron
  4. 2. Kết quả thực nghiệm Ở nhiệt độ phịng (300oK): giá trị nhiệt dung của hầu hết các chất cĩ giá trị khơng đổi 3R = 3NkB = 6 cal/mol.độ. Ở nhiệt độ thấp: Khi giảm nhiệt độ nhiệt dung giảm rõ rệt và tiến đến giá trị CV = 0 khi T = 0  Đối với chất điện mơi 2 CV ~ T  Đối với kim loại CV ~ T Khi T tăng : CV tăng dần đến giá trị khơng đổi 3R = 3NkB = 6 cal/mol.độ  Điện mơi C ~ T3 Kim loại C ~ T với  10-4cal/mol.độ2
  5. CV Cal/mol.K 6 - 4 - 2 - T, K 0 10 20 30 40
  6. 3. NHIỆT DUNG ĐẲNG TÍCH CỦA MẠNG TINH THỂ LÍ THUYẾT CỔ ĐIỂN Mơ hình 1 hạt ở nút 3 dao động tử điều hịa. Tinh thể N hạt 3N dao động tử. Năng lượng của một dao động tử: E = 1 mv2 + 1 m2x2 2 2 với m2 = f = hệ số của lực Hooke
  7. Theo phân bố Boltzman: Khi cân bằng nhiệt, năng lượng trung bình của một E dao động tử: E.e kT dv.dx 0 E E e kT dv.dx 0 m v2 2x2 m v2 2x 2 e 2kT .dvdx 2 0 E E e kT dvdx 0 2 2 2 2 mv 2 2 m x mv m x e 2kT dv e 2kT dx 0 0 2 2 mv 2 m2x2 e 2kT dv e 2kT dx 0 0
  8. Triển khai tính tốn: 2 2 2 2 2 2 2 mv m x 2 2 mv m x mv m x .e 2kT .e 2kT dv .e 2kT .e 2kT dx 0 0 E 2 2 mv 2 m2x2 mv 2 m2x2 e 2kT .e 2kT dv e 2kT .e 2kT dx 0 0 2 mv 2 2 2 m2x2 mv m x e 2kT dv e 2kT dx 0 0 E 2 2 mv 2 m2x2 e 2kT dv e 2kT dx 0 0 E Eđ t
  9. Trong dao động điều hịa: động năng trung bình = thế năng trung bình Eđ = Et 2 mv 2 2 2 m2x2 mv m x e 2kT dv e 2kT dx 0 0 E 2 2 mv 2 m2x2 e 2kT dv e 2kT dx 0 0 Ta đặt: mv 2 m2 x 2 u2 = 2kT 2kT udu udu 2udu = m 2vdv dv = 2kT 2kT. 2kT mv 2kT .u m
  10. 2 u 2e u du E 2kT 0 2 e u du 0 Theo định nghĩa và tính chất hàm Gamma: (n) = x n 1e xdx (n) = (n-1) (n-1) 0 1  2 Đặt x = u2 dx = 2udu 1 x dx x.e . 2 x 0 x .e dx E 2kT 2 x 2kT 0 1 x dx e . 2 x 0 x .e dx 2 x 0
  11. 3 3 1 ( ) ( 1).( ) E 2kT. 2 2kT. 2 2 kT 1 1 ( ) ( ) 2 2 Năng lượng của hệ gồm N hạt (3N dao động tử điều hịa): U = 3NkT U Nhiệt dung đẳng tích: C = = 3Nk V T Nhiệt dung đẳng tích của 1 mol: CV = 3NAk = 3R = 6 cal/mol.độ Vậy: Lí thuyết cổ điển phù hợp với thực nghiệm ở nhiệt độ cao, khơng phù hợp ở nhiệt độ thấp.
  12. LÍ THUYẾT EINSTEIN Mơ hình : một chất rắn cĩ N hạt là tập hợp của 3N dao động tử điều hịa độc lập cĩ cùng tần số  Năng lượng của mỗi dao động tử (1 lượng tử) En = nh với n là số nguyên. Năng lượng trung bình của một dao động tử là: nh h 2h kT kT kT  nh.e h e 2e E n 1 nh h 2h e kT kT kT  1 e e n 1 h E h ekT 1
  13. Năng lượng trung bình của hệ gồm 3N dao động tử: h U = 3N. h ekT 1 Ở nhiệt độ cao: kT >> h x << 1: e-x 1 + x + x2 + h 2 h h h e kT 1 1 1 kT kT kT U = 3NkT phù hợp với kết quả cổ điển (Định luật Dulơng- Petit)
  14. * Ở nhiệt độ thấp: kT > 1: h h kT E h h.e ekT 1 2 h U h kT U = 3N CV = 3Nk .e T V kT h E Đặt:  E : nhiệt độ Einstein k 2  E E T CV = 3Nk .e T  E T CV giảm theo nhiệt độ theo hàm enhanh hơn kết quả đo được bằng thực nghiệm. Lí thuyết Einstein cho phép giải thích CV khơng đổi ở nhiệt độ cao, ở nhiệt độ thấp CV giảm khi nhiệt độ giảm nhưng giảm nhanh hơn kết quả thực nghiệm.
  15. LÍ THUYẾT DEBYE MƠ HÌNH Chất rắn gồm các dao động tử; một dao động tử khơng biểu thị dao động của từng gốc nguyên tử như mẫu của Einstein mà biểu thị cho dao động chuẩn của tồn tinh thể. Tinh thể cĩ N nguyên tử thì cĩ 3N dao động chuẩn: N dao động dọc và 2N dao động ngang. Năng lượng trung bình của một dao động tử với tần số  là: h E h ekT 1
  16.  Năng lượng của mạng tinh thể chất rắn là: N 2N 3N h U = U U i  i dọc  i ngang  hi i 1 i 1 i 1 e kT 1 Tinh thể là một mơi trường tán sắc Hệ thức tán sắc:  = qv 2 q = : vectơ sĩng 
  17. Tinh thể hữu hạn cĩ các cạnh Lx, Ly, Lz. Điều kiện biên vịng cho hàm sĩng: exp[iq(r + L)] = expiqr 2 2 2 qx = nx ; qy = ny; qz = nz L x L y L z Với nx, ny, nz Z 2 2 2 q = qx qy qz
  18. Trường hợp đơn giản Tinh thể lập phương cạnh L  Mơi trường đẳng hướng. Vận tốc truyền các sĩng lấy trung bình là vo. Hệ thức tán sắc: 2 2  v q v n v n2 n2 n2 0 0 n 0 L 0 L x y z
  19. Xét trong khơng gian q  Các giá trị được phép của q xác định vị trí các nút của mạng.  Ơ nguyên tố của mạng này cĩ dạng lập 2 phương cạnh Thể tích ơ mạng: L 3 3 2 8 LV V = thể tích của tinh thể, V = L3.  Các điểm cĩ cùng một giá trị của q thuộc cùng một mặt cầu cĩ bán kính q thể tích mặt cầu 4 q3 3
  20. Số các giá trị được phép của q bằng số dao động tử cĩ số sĩng từ 0 q: 4 3 q 3 3 q 2 3N(q) N(q) = V q .3 8 3 6 2 L 4 V 2 3N(q) Hệ thức tán sắc:  = voq = vo. .3 L 4 Số các dao động tử cĩ tần số  từ 0  : 3 V 2  4 3 N(q) = 2 V. 3  6 vo 3v o
  21. 2 2  Với q =  vo Số dao động tử cĩ giá trị q trong khoảng q q + dq: 2 dN(q) = V. q dq 2 2 dN(q) q2 g(q) = V (1) dq 2 2 Số dao động tử cĩ  trong khoảng   + d: 4 dN( ) 4 2 dN() = V. 2 g() = V  3 d  3 (2) vo d vo (1) và (2) : gọi là hàm mật độ trạng thái (mật độ mode dao động).
  22. Nội năng của hệ:  hmax h 4 2 U = dN( ) .  .  d  h 0 h  v3 ekT 1 e kT 1 o Dùng giá trị trung bình của vận tốc theo cơng thức: 1 1 2 3 3 3 const vo v d v ng 3 4 maxh 4  max h  V. .2 d  V. d  v3 0hv3 0 h  o ekT 1o e kT 1
  23. max : tần số cực đại của dao động chuẩn, được tính từ:  max dN( ) 3N 0 4 max V. 2 d  3N 3 0 vo 3 max 3 9N  3 .v max 4 V 0
  24. h h  Đặt: x = x = max D kT max kT T h  = max : nhiệt độ Debye. D k kT kT  x d = dx h h 3 kT h. x 4 xmax h kT U = V. 3 . dx 0 x vo e 1 h 3 x 4 4 4 max x U = V. k T dx 3 3 0 x h vo e 1
  25. * Ở nhiệt độ cao: kT >> h x << 1 ex = 1 + x + x2 + 1 + x 4 x U = V. k 4T4 max 3 3 3 h vo 4 h 3 U = V. 4 4 max 3 3 k T h vo kT 3 4 xmax x U = V. k4 T 4 dx 3 3 0 h vo 1 x 1 3 xmax x x2 dx max 0 3
  26. 4 U = 3 3NkT V. 2 kT.max hvo 9N .v3 4 V o U = 3NkT : trùng với kết quả cổ điển.
  27. h  Ở nhiệt độ thấp: x = >> 1 kT 3 4 x dx 0 ex 1 15 4 4 U = 4 V k4T4 = 4 V k4T4 3 3 15 34 V 3 15 h vo h  9N max 9N 4 k 4 T 4 U = 3 3 15h max
  28. Nhiệt dung 3 U 12N 4 k 4 12N 4 k T C = 3 V 3 3 T T 5hmax 5  D 3 T CV = D 3 CV ~ T phù hợp với thực nghiệm. Lí thuyết Debye trùng với kết quả thực nghiệm ở cả nhiệt độ cao với nhiệt độ thấp.
  29. II. LÍ THUYẾT PHONON VỀ NHIỆT DUNG Ánh sáng cĩ lưỡng tính:  Tính chất sĩng đặc trưng bởi bước sĩng 2  k Tính chất hạt đặc trưng bởi năng lượng photon  = h hay xung lượng p  k k = vectơ sĩng.
  30. Sự lượng tử hĩa sĩng ánh sáng là photon. Tương tự, sự lượng tử hĩa của sĩng đàn hồi trong tinh thể là phonon cĩ năng lượng và xung lượng. Photon cĩ thể tồn tại trong chân khơng, nhưng phonon chỉ cĩ trong các mơi trường cĩ thể truyền sĩng đàn hồi. photon : hạtthực phonon : chuẩnhạt
  31. Năng lượng trung bình của một dao động tử trong tinh thể là: h E h n h  ekT 1 1 với n h : số phonon trung bình cĩ năng ekT 1 lượng h. Ở nhiệt độ xác định, số phonon coi như xác định.
  32. * Ở nhiệt độ cao: x = h  << 1 kT ex – 1 1 + x – 1 x = h kT E = kT = n h n = kT h 2 2  qv q =  = o  vo 2 kT kT n = qv qv h. o o 2
  33. Số phonon trong thể tích V: 2 qmax q max kT q Np = n .dN(q) .V dq o o 2 vo q 2 dN(q) .dq dq g(q) dN(q) q2 2  Với g(q) = max V 2 qmax dq 2 vo kT q2 N = max p V 2 vo 4
  34. q3 V 2  Mà N (q) = V max . max p 4 2 4 2 v 3 T Np = 3N ~ T 2 D U C = = const V T h  = max : nhiệt độ Debye. D k
  35. 3 * Ở nhiệt độ thấp: T 3 Np ~ ~ T D 3 T 3 và CV ~234Nk  T D Lý thuyết phonon về nhiệt dung phù hợp với kết quả thực nghiệm.
  36. TĨM LẠI Tinh thể chất rắn cĩ thể coi như là một hộp chứa khí phơnơn cĩ số phơnơn thay đổi theo nhiệt độ của chất rắn. Phơnơn và phơtơn đều tuân theo phân bố Bose – Einstein và được gọi là các hạt Boson.
  37. III. SỰ DẪN NHIỆT VÀ NỞ NHIỆT CỦA CHẤT RẮN SỰ DẪN NHIỆT Trong các vật rắn điện mơi quá trình dẫn nhiệt chủ yếu là do các phơnơn. Theo thuyết động học chất khí: Hệ số dẫn nhiệt trong chất khí là: 1 k = CV v . 3 CV : nhiệt dung của một đơn vị thể tích khí. v: vận tốc trung bình của các phân tử khí.  : quãng đường tự do trung bình của các hạt.
  38. Trong chất rắn: Coi như một hộp chứa khí phonon Debye đã dùng cơng thức trên cho tinh thể, với: CV : nhiệt dung của mạng tinh thể. v : vận tốc của phonon (vận tốc truyền âm) = vo.  :quãng đường tự do trung bình của các phonon được xác định bởi hai quá trình: + Tán xạ hình học: Tán xạ trên mặt tinh thể, sai hỏng, + Tán xạ phonon – phonon.
  39. Quãng đường tự do trung bình p của phơnơn tỉ lệ nghịch với nồng độ phơnơn np và tiết diện tán xạ hiệu dụng  : p p = 1 np p 1 1 K = CV v 3 np p Ở Nhiệt độ cao ( T >> D): 3 T CV = const; np = 3n 2  const D K = T K sẽ giảm khi nhiệt độ tăng. Phù hợp định tính với kết quả thực nghiệm.
  40.  Ở Nhiệt độ thấp (T << D): 3 3 T T CV  ; np = K = const. D D Thực tế K tiếp tục tăng khi hạ nhiệt độ. Giải thích là do khi nhiệt độ giảm thì biên độ dao động của nguyên tử giảm quãng đường tự do trung bình p của các phơnơn tăng cho đến khi quãng đường tự do trung bình bị hạn chế bởi tán xạ hình học trên các nút mạng tinh thể.
  41. SỰ NỞ NHIỆT Coi mạng tinh thể như một hệ các dao động tử (DĐT) dao động điều hịa. Khi nhiệt độ tăng biên độ dao động của các DĐT tăng Khoảng cách giữa các nguyên tử tăng Nở nhiệt. Những phép tính tốn chính xác cho ta kết quả hệ số nở nhiệt  CV Ở nhiệt độ cao: CV = const = const khơng phụ thuộc vào nhiệt độ. 3 3 Ở nhiệt độ thấp: CV  T  T .