›
›

Bài giảng Đại số C - Chương 1: Ma trận và hệ phương trình đại số tuyến tính

pdf 110 trang hapham 1620
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số C - Chương 1: Ma trận và hệ phương trình đại số tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_c_chuong_1_ma_tran_va_he_phuong_trinh_dai_s.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số C - Chương 1: Ma trận và hệ phương trình đại số tuyến tính

  1. Đại số C Số tiết: 30 tiết 1
  2. Nội dung •Chương 1: Ma trận và hệ phương trỡnh ủại số tuyến tớnh. • Chương 2: Định thức và hệ phương trỡnh ủại số tuyến tớnh. • Chương 3: Khụng gian vector. • Chương 4: Trị riờng. Vector riờng. Chộo húa ma trận 2
  3. Hỡnh thức tớnh ủiểm • Thi giữa học kỳ chiếm 30%. • Thi cuối học kỳ chiếm 70%. • Điểm thưởng tớch cực trong giờ bài tập: +5%. •Chỳ ý: Điểm giữa kỡ và cuối kỳ chỉ ủạt tối ủa khi làm tốt nhúm bài tập. 3
  4. Chia nhúm giải bài tập • Mỗi nhúm từ 10-15 sinh viờn. •Cỏc nhúm giải tất cả cỏc bài tập từ C1 – C4 trong giỏo trỡnh: Ngụ Thành Phong, Đại số tuyến tớnh và quy hoạch tuyến tớnh, ĐHQG TP HCM, 2003. • Thời gian nộp: hai tuần sau khi kết thỳc một chương. 4
  5. Chia nhúm giải bài tập • Hỡnh thức viết bỏo cỏo và nộp bài: –Nhúm trưởng chia bài tập của từng chương cho từng thành viờn. – Yờu cầu tất cả tv phải tham gia. – Viết bỏo cỏo: • Viết tay, khụng ủỏnh mỏy. • Thành viờn nào làm phần nào phải tự viết tay phần mỡnh làm. • Bỏo cỏo viết trờn giấy A4, khụng viết bằng bỳt chỡ. 5
  6. Chia nhúm giải bài tập • Cụng việc của nhúm trưởng: –Lập danh sỏch tv nhúm. –Phổ biến hỡnh thức viết bỏo cỏo, hạn nộp, cỏch trỡnh bày và cỏch tớnh ủiểm. –Phõn cụng cụng việc. –Tập hợp cỏc bỏo cỏo của thành viờn. – Trỡnh bày trang bỡa bỏo cỏo. –Theo dừi và ủỏnh giỏ cụng việc của từng thành viờn. 6
  7. Chia nhúm giải bài tập • Cụng việc của thành viờn nhúm: –Hoàn thành cụng việc nhúm trưởng giao. – Viết bỏo cỏo (viết bằng tay, khụng ủỏnh mỏy) rừ ràng, sạch sẽ, khụng gạch xúa lung tung. –Dũng ủầu tiờn trờn trang ủầu, viết rừ họ và tờn, MSSV, và danh sỏch cỏc bài tập ủược giao. 7
  8. Chia nhúm giải bài tập • Tớnh ủiểm: –Điểm cho nhúm hoàn thành tốt cụng việc: mỗi tv ủược +10%/tổng ủiểm ủược chia như sau: • +10%/tổng ủiểm thi giữa kỡ. • +10%/tổng ủiểm thi cuối kỡ. –Thành viờn khụng hoàn thành cụng việc sẽ bị trừ ủiểm, tối ủa 10% như cỏch tớnh ở trờn. –Nhúm cú trờn 30% tv khụng hoàn thành 8 tốt cụng việc, cả nhúm sẽ bị trừ ủiểm.
  9. Chia nhúm giải bài tập • Hỡnh thức ỏp dụng cho K2010: – Bắt buộc. – Sv khụng tham gia chỉ ủạt tối ủa 90% tổng ủiểm của mụn học. • Hỡnh thức ỏp dụng cho K2009 trở về trước: – Tự nguyện. 9
  10. Tài liệu tham khảo • Ngụ Thành Phong, Đại số tuyến tớnh và quy hoạch tuyến tớnh, ĐHQG TP HCM, 2003 • Bựi Xuõn Hải, Đại số tuyến tớnh, ĐHQG TP HCM, 2001 • Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th Indian edition, Brooks/Cole INDIA, 2005. • Trang web mụn học: – • Địa chỉ email: – bxthang071@yahoo.com.vn – thangkhtn071@gmail.com 10
  11. CHƯƠNG 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 11
  12.  Chương 1. Ma trận –– Hệ PT ĐSTT Đ1. MA TRẬN (Matrix) 1.1. Định nghĩa a) Ma trận A cấp mì n trờn ℝ là 1 hệ thống gồm mì n ℝ số aij ∈ ( i = 1, m ; j = 1, n) và được sắp thành bảng: a11 a 12 a 1n    a21 a 22 a 2n A =   (gồm m dũng và n cột).     am1 a m 2 a mn  • aij là cỏc phần tử của A ở dũng thứ i và cột thứ j. • Cặp số (m, n) là kớch thước của A. 12
  13.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Khi m =1: A = (a11 a12 a1n) là ma trận dũng; a11    n =1: A =   là ma trận cột;   am1  m= n =1: A= () a11 là ma trận gồm 1 phần tử. ℝ • Tập hợp cỏc ma trận A là M m, n (), để cho gọn ta viết là A= () aij mì n . b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ khi chỳng cựng kớch thước và aij= b ij ,, ∀ i j. 13
  14.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1x y  1 0− 1  VD 1.  =  z2 t  2 u 3  ⇔x =0; y = − 1; z = 2; u = 2; t = 3. c) Ma trận O = (0ij ) mì n cú tất cả cỏc phần tử đều bằng 0 là ma trận khụng. a11 a12 a 13 a14  aa a a  d) Khi m= n: 2122 23 24  A là ma tr n vuụng c p n. ậ ấ a31a32 a33 a 34  Ký hiệu A= () aij n .   a41 a42 a 43 a44  Đường chộo chứa a11, a22, , ann là đường chộo chớnh của A, đường chộo cũn lại là đường chộo phụ. 14
  15.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Cỏc ma trận vuụng đặc biệt: • Ma trận vuụng cú tất cả cỏc phần tử nằm ngoài đường chộo chớnh đều bằng 0 là ma trận đường chộo (diagonal matrix). Ký hiệu: dig(a11, a22, , ann). • Ma trận chộo cấp n gồm tất cả cỏc phần tử trờn đường chộo chớnh đều bằng 1 là ma trận đơn vị cấp n (Identity matrix). Ký hiệu In. 3 0 0  −1 0 0  VD 2. A =0 − 4 0 , B = 0 5 0  là MT chộo.         0 0 6  0 0 0  1 0 0  1 0    I = , I = 0 1 0 là MT n v . 2   3   đơ ị 0 1    15 0 0 1 
  16.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Ma trận tam giỏc trờn (dưới) cấp n là ma trận cú cỏc phần tử nằm phớa dưới (trờn) đường chộo chớnh đều bằng 0. 1 0− 2    VD 3. A =0 − 1 1  là ma trận tam giỏc trờn;   0 0 0  3 0 0    B = 4 1 0  là ma trận tam giỏc dưới.   −1 5 2  16
  17.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Ma trận đối xứng cấp n là ma trận cú cỏc phần tử đối xứng qua đường chộo chớnh bằng nhau (aij = aji). • Ma trận phản đối xứng cấp n là ma trận cú cỏc phần tử đối xứng qua đường chộo chớnh đối nhau và tất cả cỏc phần tử trờn đường chộo chớnh đều bằng 0. 3 4 −1    VD 4. A = 4 1 0  là ma trận đối xứng;   −1 0 2  0 −4 1    B = 4 0 0  là ma trận phản đối xứng. −1 0 0    17
  18.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1.2. Cỏc phộp toỏn trờn ma trận a) Phộp cộng và trừ Cho A= () aij mì n , B= () bij mì n ta cú: A± B =(). aij ± b ij mì n −1 0 2  2 0 2  1 0 4  VD 5.  +  = ; 2 3− 4  5 − 3 1  7 0 − 3  −1 0 2  2 0 2  − 3 0 0   −  = . 2 3− 4  5 − 3 1  − 3 6 − 5  Nhận xột • Phộp cộng ma trận cú tớnh giao hoỏn và kết hợp. 18
  19.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT b) Nhõn vụ hướng ℝ Cho A= () aij mì n , λ ∈ ta cú: λA= (). λ aij mì n −1 1 0  3 − 3 0  VD 6. −3  = ; −2 0 − 4  6 0 12  2 6 4  1 3 2   = 2 . −4 0 8  − 2 0 4  Nhận xột • Phộp nhõn vụ hướng cú tớnh phõn phối đối với phộp cộng ma trận. • Ma trận –A là ma trận đối của A. 19
  20.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT c) Nhõn hai ma trận Cho A= () aij mì n , B= () bjk nì p ta cú: n AB=() cik mì p, c ik = ∑ a ij b jk (i= 1, m ; k = 1, p). j=1 −1    1 0  0 0  VD 7. Tớnh a) (1 2 3) 2 ; b)   ;   4 0 − 3 2  −5  2 0 1  1 1− 1   c)   1− 1 2 . −2 0 3   −1 3 − 2    20
  21.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • 3) Nhõn hai ma trận: Amìn Bn ì l = C m ìl n = cij∑ a ik b kj k=1 Vớ d : 1 3  ụ   −    1 2  2 4      −2 3  5 7  21
  22.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1 3  −5 7    1− 2    =     = −6 8  C3ì 2 2 4        −2 3    5 7  −9 11  1 3    1 −2  =     C3ì 2 2 4    = + − = −   −2 3  c11 1.1 3.( 2) 5 5 7  1 3    1 −2  =     = + − = − C3ì 2 2 4    c21 2.1 4.( 2) 6   −2 3  5 7    1 3    1 −2 = + − = − =     c31 5.1 7.( 2) 9 C3ì 2 2 4      −2 3  5 7  22
  23.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Tớnh chất của tớch cỏc ma trận: • Định lý 4: A,B,CDmì n n ì p p ì q, n 1. (AB) C= A( BC) 2. C( A+ B) = CA + CB 2'. (A+ B) C = AC + BC 3. λ(AB)=( λ A) B = A( λ B) λ vụ hướng = = 4. Dn I ID n D n 23
  24.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Chứng minh (1) Ký hiệu: Dmxp=AmxnBnxp, Emxq=(AB)C=DmxpCpxq Fnxq=BnxpCpxq, Gmxq=A(BC)=AmxnFnxq Ta cần cm: E=G Tớnh : Dmxp? n = Phần tử d11? d11∑ a 1k b k 1 k=1 n = = Cỏc phần tử hàng 1 của D: d1j∑ a 1 k b kj , j 1 p k=1 24
  25.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Cỏc phần tử hàng 1 của D: n n n  ⋯  ∑a1k b k 1 ∑ a 1 k b k 2 ∑ a 1 k b kp  k=1 k = 1 k = 1    ⋮ ⋯ ⋯ ⋮  Tớnh Emxq?: p p n  Tớnh e : e= d c =  a b c 11 11∑ 1l l 1 ∑ ∑ 1 k kl l 1 l=1 l = 1 k = 1  c ⋯  n n n  11  ⋯  ⋮  ∑a b ∑ a b ∑ a b c21 E = 1k k 1 1 k k 2 1 k kp    k=1 k = 1 k = 1  ⋮ ⋮  ⋮ ⋯ ⋯ ⋮      ⋯  cp1  25
  26.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT p p n    Tớnh eij: e= d c =  a b c ij∑ il l j ∑ ∑ ik k l l j l=1 l = 1k = 1  p n  =  a b c  ∑ ∑ ik kl l j  l=1k = 1  n p   =  a b c  ∑ ∑ ik kl lj  k=1 l = 1  n p   =a b c = g ∑ik ∑ kl lj  ij k=1l = 1   Vậy E=G (đpcm) 26
  27.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Chỳ ý: ∈ M 1) AB, n Tồn tại AB và BA, trong trường hợp tổng quỏt AB khỏc BA (phộp nhõn 2 ma trận khụng cú tớnh giao hoỏn). Ngược lại, nếu AB=BA thỡ ta núi A và B giao hoỏn v i nhau ớ 5 4  =   Vớ dụ:     AB , 1 2 1− 2 −8 − 5  AB= , =   −2 − 3   2 3  5 8      BA =   −4 − 5  2) ABmì n, n ì p Giả sử: A khỏc khụng và B khỏc khụng, thỡ cú thể AB=0. Do đú khẳng định “AB=0 thỡ A=0 hay B=0” là sai. Vớ dụ: 1 0   0 0 0  0 0 0  =  =   =   AB, AB   0 0   1 1 1  0 0 0  27
  28.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Định lý 5: Cho Amxn, Bnxp thỡ (AB)T = BTT A Ch ng minh: ứ n n = = T = = C AB cij∑ a ik b kj cji c ij∑ a ik b kj k=1 k=1 DBA=TTTT = b a ( ij)pì n( ij ) n ì m n n n =TT = = dji∑ b jkki a ∑ b kjik a ∑ a ikkj b k=1 k = 1 k = 1 Vậy: T = T cji d ji hay CD= 28
  29.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Giải −1    a) ()1 2 3 2  = (1.( − 1) + 2.2 + 3.( − 5)) = ( − 12);   −5  1 0  0 0  0 0  b)   = ; 4 0 − 3 2  0 0  2 0 1  1 1− 1    4 − 4 5  c)  1− 1 2  =  . −20 3  − 7 9− 8   −1 3 − 2 29
  30.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1 0− 1  − 1 − 2 1     VD 8. Tớnh a) 2− 2 0  0 − 3 1 ;    3 0− 3  2 − 1 0  −1 − 2 1  1 0 − 1     b) 0− 3 1  2 − 2 0 .    2− 1 0  3 0 − 3  30
  31.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1 0− 1  − 1 − 2 1  − 3 − 1 1  ả     Gi i. a) 2− 2 0  0 − 3 1  = − 2 2 0 ;     3 0− 3  2 − 1 0  − 9 − 3 3  −1 − 2 1  1 0 − 1  − 2 4 − 2      b) 0− 3 1  2 − 2 0  = − 3 6 − 3 .     2− 1 0  3 0 − 3  0 2 − 2  VD 9. Tớnh: 1− 1 2  0 1 3  2 − 1 2  − 1     A =2 − 3 0  − 1 − 2 1  1 0 − 2  1 .     −1 1 4  2 − 1 − 3  3 1 0  −31 2
  32.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1− 1 2  0 1 3  − 7 ả    Gi i. A =2 − 3 0  − 1 − 2 1  3    −1 1 4  2 − 1 − 3  − 2 1− 1 2  − 3 − 24   =2 − 3 0  − 1 = − 3 .   −1 1 4  − 11 − 42 32
  33.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Lỹ thừa ma trận: Định nghĩa: Cho A là ma trận vuụng cấp n. Ta gọi lũy thừa bậc k (k: số nguyờn) của A là một ma trận cấp n (ký hiệu Ak) được xỏc định một cỏch quy nạp như sau 0= 1 = 2 = k = k− 1 k A In ,,,, A A A AA A A A • Ma trận lũy linh: Định nghĩa: Cho A là ma trận vuụng cấp n thỏa điều kiện Ak=0 với một số nguyờn k nào đú thỡ A gọi là một ma trận lũy linh. Vớ d :     ụ 0 1 0  0 0 1  =   2 =   3 = A 0 0 1  A 0 0 0  A 03     33 0 0 0  0 0 0 
  34.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Tớnh chất: Cho A là ma trận vuụng cấp n, r và s là hai số nguyờn r = 1) (0n) 0 n r = 2) (IIn) n 3) AAAr+ s= r s s 4) AArs= ( r ) 34
  35.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1− 1  2009 VD 10. Cho A =  , tớnh A . 0 1  2 1− 1  1 − 1  1 − 2  Giải. A =   = , 0 1  0 1  0 1  3 1− 1  1 − 2  1 − 3  A =   =  0 1  0 1  0 1  n 1 −n  * ⇒ A= , ∀ n ∈ ℕ (*). 0 1  k 1 −k  Thật vậy, giả sử (*) đỳng với n = k: A =  . 0 1 35
  36.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Khi n = k +1, ta cú: k+1 1− 1  1 −k  1 − ( k + 1)  A =   =  (đỳng). 0 1  0 1  0 1  2009 1− 2009  Vậy A =  . 0 1  2 0  2009 VD 11. Cho B =  , tớnh ()IB2 − . 1 0  1 0 2 0− 1 0 ả     Gi i. IB2 − =  −  =  0 1  1 0 − 1 1  2 −1 0  − 1 0  ⇒ ()IBI2 − =   = 2 −1 1  − 1 1  36
  37.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1004 ⇒ 2008 2  1004 ()()()IBIBII2− = 2 −  = 2 = 2. 2009 −1 0  − 1 0  Vậy ()IBI2− =  2 = . −1 1  − 1 1  VD 12. Cho A= () aij là ma trận vuụng cấp 100 cú cỏc i 2 phần t ử ở dũng th ứ i là (–1) . Tỡm phần t ử a36 của A . Giải 2 Phần tử a36 của A là tớch của dũng thứ 3 và cột thứ 6. Cỏc phần tử trờn dũng thứ 3 là: (–1 –1 –1 –1 –1). Cỏc phần tử trờn cột thứ 6 là: (–1 1 –1 –1 1). V y a = 0. ậ 36 37
  38.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT VD 13. Cho A= () aij là ma trận vuụng cấp 40 cú cỏc i+ j 2 phần tử aij =( − 1) . Phần tử a25 của A là: A. a25 = 0; B. a25 = −40; C. a25 = 40; D. a25 = −1. Giải 2 Phần tử a25 của A là tớch của dũng thứ 2 và cột thứ 5. Cỏc phần tử trờn dũng thứ 2 là: (–1 1 –1 –1 1). Cỏc phần tử trờn cột thứ 5 là: (1 –1 1 1 –1). ⇒ Vậy a25 = −40 B. 38
  39.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Phộp biến đổi sơ cấp trờn dũng (cột) của ma trận di↔ d k – (e1): Hoỏn vị hai dũng cho nhau AA→ ′. di→λ d i – (e2): Nhõn 1 dũng với số λ ≠ 0, AA→ ′′. – (e3): Thay 1 dũng bởi tổng của dũng đú với λ lần dũng khỏc AA→di→ d i +λ d k ′′′. Chỳ ý 1) Trong thực hành ta thường làm AB→di→à d i + λ d k . 2) Sau 1 số hữu hạn cỏc PBĐSC dũng ta được ma trận B tương đương với A, ký hiệu BA∼ . 3) Tương tự, ta cũng cú cỏc phộp biến đổi sơ cấp trờn cột của ma trận. 39
  40.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 2 1− 1    VD 16. Cho hai ma trận A =1 − 2 3  và   3− 1 2  1− 2 3    ∼ B =0 1 − 7 / 5 . Chứng tỏ AB.   0 0 0  40
  41.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Giải 1− 2 3   1 − 2 3  d↔ d  d → d −2 d   A →1 2 2 1 −→ 12 2 1 0 5 − 7  d3→ d 3 −3 d 1       3− 1 2   0 5 − 7  1− 2 3  d3→ d 3 − d 2   ∼ →1 0 1 − 7 / 5 ⇒ AB. d→ d   25 2   0 0 0  41
  42.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Ma trận dạng bậc thang chớnh tắc: 1. Nếu một hàng cú một số khỏc khụng thỡ số khỏc khụng bờn trỏi nhất bằng 1, được gọi là phần tử chớnh. 2. Những hàng gồm toàn những phần tử khụng nằm ở dưới cựng. 3. Nếu hai hàng kề nhau cú phần tử chớnh thỡ phần tử chớnh của hàng trờn nằm bờn trỏi phần tử chớnh hàng dưới. 4. Mỗi cột cú phần tử chớnh thỡ cỏc phần tử khỏc đều bằng khụng. 42
  43.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Ma trận dạng bậc thang: 1. Ma trận bậc thang cú cỏc dũng khỏc 0 nằm bờn trờn cỏc dũng 0. 2. Trờn hai dũng khỏc khụng, phần tử khỏc khụng đầu tiờn của dũng dưới nằm bờn phải phần tử khỏc khụng đầu tiờn của dũng trờn. Dũng 0 là dũng gồm tất cả cỏc phần tử bằng 0. 43
  44.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1 0 2  0 1 2 3      VD 18. A = 0 0 3 , B = 0 0 4 5 , In     0 0 0  0 0 0 1  là cỏc ma trận bậc thang; 0 2 7  2 3 5      C = 0 3 4 , D = 0 0 0      0 0 5  0 1 3  khụng phải là cỏc ma trận bậc thang. Định lý • Mọi ma trận đều cú thể đưa về bậc thang bằng hữu hạn phộp biến đổi sơ cấp trờn dũng. 44
  45.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 5. Ma trận vuụng khả nghịch: • Định nghĩa: Cho A là ma trận vuụng cấp n khỏc khụng, ta núi A khả nghịch khi tồn tại ma trận B cựng cấp với A sao cho: AB=BA=In. Khi đú ta núi B là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu: B=A-1. • Nếu A khụng khả nghịch, ta núi A suy biến. •Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thỡ A cũng là ma trận nghịch đảo của B. 2 5  3− 5  VD 20. A =   và B =   là nghịch đảo 1 3  −1 2  của nhau vỡ AB = BA = I2. 45
  46.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Tớnh chất: 1. Nếu A cú một dũng bằng 0 (hay một cột bằng 0) thỡ A suy biến. 2. Ma trận nghịch đảo của A (nếu cú) là duy nhất.  3. Nếu A khả nghịch thỡ AT, " α≠0) c ΅ và hơn nữ a:  έ − − −1 1 −T −1 1 − AAAAAA1=,,T = 1α = 1 ( ) ( ) ( ) () α 4. Nếu A và B cựng khả nghịch thỡ AB c ΅ έ  và (AB)-1=B-1A-1. 5. Nếu A1, A2, ,An cựng khả nghịch thỡ tớch của chỳng -1 -1 -1 -1 cũng khả nghịch và (A1A2 An) =An An-1 A1 . 46
  47.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Tỡm ma trận nghịch đảo bằng phộp biến đổi sơ cấp trờn dũng: Cho ma trận vuụng A cấp n: Bước 1: Lập ma trận cú dạng [An|In]. Bước 2: Dựng cỏc phộp biến đổi sơ cấp trờn dũng đưa [A|I] về dạng [A’|B]. Cú 2 trường hợp: 1. MT A’ cú một dũng (hoặc một cột) bằng 0. Ta dừng lại và kết luận A suy biến. 2. MT A’=In. Ta dừng lại và kết luận A khả nghịch, và ma trận nghịch đảo A-1=B. 47
  48.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT VD 21. Tỡm ma trận nghịch đảo (nếu cú) của ma trận: 1− 1 0 1    1 1− 1  0− 1 1 0    A = ; B = 1 0 1 . 0 0 1 1      2 1 0  0 0 0 1  1− 1 0 1 1 0 0 0    0− 1 1 0 0 1 0 0 ả   Gi i. ()AI4 = 0 0 1 1 0 0 1 0    0 0 0 1 0 0 0 1  48
  49.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1 0 0 0 1− 1 1 − 2    0 1 0 0 0− 1 1 − 1 →d3→ d 3 − d 4   d2→ d 3 − d 2 d→ d + d − d 0 0 1 0 0 0 1− 1  1 1 2 4   0 0 0 1 0 0 0 1  1− 1 1 − 2    0− 1 1 − 1 ⇒ A−1 =  . 0 0 1− 1    0 0 0 1  49
  50.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1 1− 1 1 0 0    ()BI3 = 1 0 1 0 1 0    2 1 0 0 0 1  1 1− 1 1 0 0    →d2→ d 2 − d 1 0 − 1 2 − 1 1 0 d3→ d 3 −2 d 1     0− 1 2 − 2 0 1  50
  51.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1 1− 1 1 0 0  d3→ d 3 − d 2   →0 − 1 2 − 1 1 0 .   0 0 0 −1 − 1 1  Vậy B khụng khả nghịch. 51
  52.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1.6 Một số ứng dụng của ma trận trong kinh tế VD 22. Một khỏch hàng mua tại siờu thị X lượng gạo, thịt, rau (đơn vị: kg) cho bởi ma trận A = (12; 2; 3) với giỏ tương ứng (ngàn đồng / kg) cho bởi B = (9; 62; 5). T Khi đú, ABT =(12 2 3)( 9 62 5) = (247). Vậốềậy số tiền khỏch hàng ph ảảải trả là 247.000 đồng. VD 23. Cụng ty X cú 3 cửa hàng I, II, III cựng bỏn 4 mặt hàng: tivi, tủ lạnh, mỏy giặt, mỏy lạnh với giỏ bỏn tương ứng (triệu đồng / chiếc) cho bởi ma trận A = (3 5 4,5 6,7). 52
  53.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Lượng hàng bỏn được trong ngày của 3 cửa hàng 2 1 4 5  t ng ng 3 dũng c a ma tr n B = 0 2 6 1 . ươ ứ ủ ậ     5 2 0 2  Hóy cho biết ý nghĩa cỏc phần tử của tớch BAT ? 3  2 1 4 5   62,5 5  Giải. BAT 0 2 6 1    43,7 . =  =   4,5   5 2 0 2    38,4 6,7  Vậy số tiền cửa hàng I, II, III bỏn được trong ngày lần lượt là: 62,5; 43,7; 38,4 (triệu đồng). 53
  54.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Chỉ số giỏ Laspeyres và Paasche VD 24. Giả sử bỏn (ngàn đồng / kg) của gạo, đường và bột mỡ vào cỏc ngày 1/1 và 1/6 lần lượt cho bởi 2 cột 10 11  c a ma tr n P = 20 19 . ủ ậ     30 32  Một người A trong hai ngày đú đó mua vào lượng 4 3  hàng t ng ng cho b i 2 c t c a ma tr n Q = 2 3 . ươ ứ ở ộ ủ ậ     3 4  54
  55.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Khi đú, ta cú: 10 11  4 2 3  170 178  VQP=T =20 19  = .     3 3 4   210 218  30 32  Từ ma trận V, ta suy ra: + v11 = 170: tiền mua hàng 1/1 theo giỏ ngày 1/1. + v12 = 178: tiền mua hàng 1/1 theo giỏ ngày 1/6. + v21 = 210: tiền mua hàng 1/6 theo giỏ ngày 1/1. + v22 = 218: tiền mua hàng 1/6 theo giỏ ngày 1/6. 55
  56.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1) Nếu lấy ngày 1/1 làm cơ sở thỡ v11, v12 lần lượt là giỏ của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ sở tớnh tại ngày cơ sở và ngày 1/6. Khi đú: v 12 ≈ 1,047 được gọi là chỉ số Laspeyres. v11 2) Nếu lấy ngày 1/6 làm cơ sở thỡ v21, v22 lần lượt là giỏ của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ sở tớnh tại ngày 1/1 và ngày cơ sở. Khi đú: v 22 ≈ 1,038 được gọi là chỉ số Paasche. v21 56
  57.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 5. Hệ phương trỡnh đại số tuyến tớnh: • Định nghĩa: Một hệ PT ĐSTT trờn R là một hệ gồm m phương trỡnh bậc nhất (n ẩn) cú dạng tổng quỏt: a x+ a x +⋯ + a x = b  11 1 12 2 1n n 1 a x+ a x + + a x = b  21 1 22 2 2n n 2 (*) ⋮ ⋱ ⋮  am1 x 1+ a m 2 x 2 +⋯ + a mn x n= b n trong đú cỏc aij (gọi là cỏc hệ số) và cỏc bi (cỏc hệ số tự do) là cỏc phần tử cho trước, cỏc xj là cỏc ẩn cần tỡm. • Ta núi (c1,c2, ,cn) là nghiệm của hệ (*) nếu khi thay x1=c1, x2=c2 ,xn=cn vào (*) thỡ tất cả cỏc đẳng thức trong (*) đều thỏa. 57
  58.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT •Nếu cỏc hệ số tự do bi=0 thỡ hệ trở thành hệ PT ĐSTT thuần nhất. •Hệ PT ĐSTT thuần nhất cú ớt nhất một nghiệm là (x1,x2, ,xn)=(0,0, ,0): gọi là nghiệm tầm thường. • Định lý: Đối với một hệ PT ĐSTT thỡ chỉ cú một trong 3 trường hợp nghiệm: 1. Cú nghiệm duy nhất, 2. Cú vụ số nghiệm, 3. Vụ nghiệm. • Hệ quả: Hệ PT ĐSTT thuần nhất chỉ cú: 1. Nghiệm tầm thường, 2. Vụ số nghiệm. 58
  59.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT •Hệ (*) được viết lại dưới dạng ma trận như sau: AX= B a a⋯ a  11 12 1n  a21 a 22 a 2n    Ma trận hệ số. A =   ⋮ ⋱ ⋮  a a⋯ a  m1 m 2 mn  x  b1  1    x  b  2  2  X =   Ma trận ẩn số. B =   Ma trận hằng số. ⋮  ⋮      xn     bn   59
  60.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Ký hiệu: a a⋯ a b  11 12 1n 1  a a a  21 22 2n b2  AABɶ = =   []| ⋮ ⋱ ⋮ ⋮    am1 a m 2 ⋯ a mn b  n  ɶ A Ma trận hệ số mở rộng của hệ (*). 60
  61.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT x1− x 2 +2 x 3 + 4 x 4 = 4  VD 1. Cho hệ phương trỡnh 2x1+ x 2 + 4 x 3 = − 3 .  Ta cú: 2x2− 7 x 3 = 5 x  1− 1 2 4  4  1 x  A = 2 1 4 0 , B = −3 , X = 2          x3  0 2− 7 0  5    x4  T và α =(1 − 1 − 1 1) là 1 nghiệm của hệ. Chỳ ý Ta cú thể viết nghiệm dưới dạng (1; –1; –1; 1). 61
  62.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Định nghĩa: Hệ 2 PT ĐSTT (cú cựng số ẩn) được gọi là tương đương nhau nếu nú cú cựng tập nghiệm. • Định lý: Cho hai hệ gồm m phương trỡnh tuyến tớnh n ẩn sao cho ma trận hệ số mở rộng của hai hệ lần ɶ ɶ ɶ ɶ lượt là AAB = [ | ] và CCD = [ | ] . Khi đú nếu AC∼ thỡ hai hệ trờn tương đương nhau. 62
  63.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Lưu ý: 1. Hai ma trận tương đương nhau khi và chỉ khi tồn tại một số hữu hạn cỏc phộp BĐSC trờn dũng biến ma trận này thành ma trận cũn lại. 2. Từ hệ PT ĐSTT ban đầu ta đưa nú về dạng một hệ PT ĐSTT đơn giản hơn, bằng cỏch sử dụng cỏc phộp BĐSC trờn dũng tựy ý đối với ma trận hệ số mở rộng của hệ ban đầu. 3. Đối với hệ PT thuần nhất cú cột cỏc hệ số hằng bằng 0, nờn khi giải ta khụng cần lập ma trận hệ số mở rộng mà chỉ cần lấy ma trận hệ số để biến đổi. 63
  64.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Phương phỏp Gauss – Jordan giải hệ PT ĐSTT: Gồm 3 bước: ɶ Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: AAB= [ | ] Bước 2: Sử dụng cỏc phộp BĐSC trờn dũng rỳt gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang chớnh tắc. Bước 3: Biện luận nghiệm. 64
  65.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT VD 2: Giải hệ PT ĐSTT sau: 2x+ 4 x + 10 x = − 18  1 2 3   x1− x 2 +3 x 3 = 2  3x− 6 x − x = 25  1 2 3 Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: Bước 2: Tiến hành thuật toỏn Gauss - Jordan:     2 4 10− 18  1 2 5− 9    d   Aɶ =1 − 1 3 2  →1 /2 1 −1 3 2      3− 6 − 1 25  3 −6 − 1 25      65
  66.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT     1 2 5− 9  1 2 5− 9  d− d   d −   →2 1 0 −3 − 2 11  2 /( 3) −  d−3 d → 0 1 2/ 3 11/ 3 3 1       0 −12 − 165 2  0 −12 −165 2     −    1 0 11/ 3 5/ 3  1 0 11/ 3 −5/ 3  d−2 d   d −   →1 2 − 3 /( 8) d12 d 0 1 2/ 3 11/ 3  →−  3+ 2   0 1 2/ 3 11/ 3     0 0 −8 8 −    0 0 1 1    1 0 0 2  Bước 3: Hệ cú nghiệm duy nhất d− d 1 113 / 3    → 0 1 0 −3  x1 = 2 d2−2d 3 / 3     0 0 1 −1  x2 = −3    x = −1 66  3
  67.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Phương phỏp Gauss giải hệ PT ĐSTT: Gồm 3 bước: Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng. Bước 2: Sử dụng cỏc phộp BĐSC trờn dũng rỳt gọn ma trậ n hệ số mở rộng về dạng bậc thang. Bước 3: Giải ngược từ dưới lờn trờn tỡm nghiệm hệ PT. 67
  68.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT VD 2: Giải hệ PT ĐSTT sau: 1x+ 2 x + 5 x = − 9  1 2 3   x1− x 2 +3 x 3 = 2  3x− 6 x − x = 25  1 2 3 Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: Bước 2: Tiến hành thuật toỏn Gauss:     1 2 5− 9  1 2 5− 9    d− d   Aɶ =1 − 1 3 2  →2 1 0 −3 − 2 11  d−3 d   3 1   3− 6 − 1 25  0 −12 − 165 2      68
  69.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT   1 2 5− 9    → d−4 d 0− 3 −2 11  3 2   0 0 −8 8    Bước 3: Hệ cú nghiệm duy nhất x = 2  1  x2 = −3  x = −1  3 69
  70.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT Nhận xột: 1. Trong quỏ trỡnh biến đổi nếu: • Cú cỏc dũng bằng 0 thỡ ta loại cỏc dũng đú đi. • Cú 2 dũng tỉ lệ với nhau thỡ ta loại một trong 2 dũng đú đi. 2. Nếu một dũng cú dạng [0 0 0|b] với b khỏc 0 thỡ hệ PT vụ nghiệm. 70
  71.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT • Giải hệ PT ĐSTT bằng ma trận nghịch đảo: Xột hệ PT ĐSTT gồm n phương trỡnh và n ẩn số cú dạng AX=B. • Định lý: Nếu A khụng suy biến thỡ hệ phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất X=A-1B 71
  72.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 2x+ y − z = 1  VD 3. Giải hệ phương trỡnh  y+ 3 z = 3 .  2x+ y + z = − 1 2 1− 1  − 1 − 1 2  1 Giải. AA= 0 1 3⇒ −1 =  3 2 − 3 .    2   2 1 1 − 1 0 1  72
  73.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT −1 − 1 2  1 − 3 1 H XAB−1 3 2 3  3 6 . ệ ⇔ = = −  = 2   −1 0 1  − 1 − 1 x = −3  Vậy hệ cú nghiệm  y = 6 .  z = −1 73
  74.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT VD 7. Giải hệ sau bằng phương phỏp Gauss: 2x+ y − z = 1   y+ 3 z = 3 .  2x+ y + z = − 1 Giải 2 1− 1 1   2 1 − 1 1   d3→ d 3 − d 1   ()AB =0 1 3 3  →  0 1 3 3 .     2 1 1− 1   0 0 2 − 2  2x+ y − z = 1  x = − 3   Hệ ⇔ y + 3 z = 3 ⇔  y = 6 .   74 2z= − 2  z = − 1
  75.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT VD 8. Giải hệ phương trỡnh:  x1+ 6 x 2 + 2 x 3 − 5 x 4 − 2 x 5 = − 4  2x1+ 12 x 2 + 6 x 3 − 18 x 4 − 5 x 5 = − 5.  3x1+ 18 x 2 + 8 x 3 − 23 x 4 − 6 x 5 = − 2 1 6 2− 5 − 2 − 4  ả   Gi i. ( AB) =2 12 6 − 18 − 5 − 5    3 18 8− 23 − 6 − 2  1 6 2− 5 − 2 − 4    →d2→ d 2 −2 d 1 0 0 2 − 8 − 1 3 d3→ d 3 −3 d 1     0 0 2− 8 0 10  75
  76.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1 6 2− 5 − 2 − 4  d3→ d 3 − d 2   →0 0 2 − 8 − 1 3 .   0 0 0 0 1 7   x1+ 6 x 2 + 2 x 3 − 5 x 4 − 2 x 5 = − 4  Hệ ⇔2x3 − 8 x 4 − x 5 = 3  x5 = 7 x1 = −4 − 6β − 3 α x = β  2  ℝ ⇔x3 =5 + 4α ( α , β ∈ ) x = α  4 76 x5 = 7.
  77.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 5x1− 2 x 2 + 5 x 3 − 3 x 4 = 3  VD 9. Giải hệ phương trỡnh4x1+ x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 = 1 .  2x1+ 7 x 2 − x 3 = − 1 5− 2 5 − 3 3    Giải. AB →d2→5 d 2 − 4 d 1 0 13 − 5 2 − 7 ( ) d3→5 d 3 − 2 d 1     0 39− 15 6 − 11  5− 2 5 − 3 3  d3→ d 3 −3 d 2   →0 13 − 5 2 − 7 .   0 0 0 0 10  Vậy hệ phương trỡnh vụ nghiệm. 77
  78.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT VD 10. Tỡm nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tớnh:  x+ 4y + 5 z = − 1  2x+ 7 y − 11 z = 2 .  3x+ 11 y − 6 z = 1 x = 15  A.  y = −4; B. Hệ cú vụ s ố nghi ệm;  z = 0 x =15 − 79α x =15 + 79α   C.  y = −4 − 21α ; D.  y = −4 − 21α .   z =α ∈ℝ z =α ∈ℝ 78
  79.  Chương 1. Ma trận ––HệHệ PT ĐSTT 1 4 5− 1    Giải. AB →d2→ d 2 −2 d 1 0 − 1 − 21 4 . () d3→ d 3 −3 d 1     0− 1 − 21 4  x =15 + 79α x+4 y + 5 z = − 1  Hệ ⇔ ⇔  y = −4 − 21α ⇒ D. −y −21 z = 4  z =α ∈ℝ 79
  80.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt 3.5. Một số mụ hỡnh tuyến tớnh trong phõn tớch Kinh tế 3.5.1. Mụ hỡnh cõn bằng thị trường a) Thị trường một loại hàng húa • Gọi PQQ,,DS lần lượt là giỏ thị trường, lượng cầu và lượng cung của mặt hàng cần khảo sỏt. Khi đú, lượng QS và QD phụ thu ộc vào P. Cỏc mối quan h ệ này được gọi là hàm cung và hàm cầu. • Giả sử ta cú cỏc mối quan hệ tuyến tớnh: P= aQD + b và P= cQS + d . Người ta đó chứng minh được rằng: thụng thường lượng cầu giảm khi giỏ tăng và 80 lượng cung tăng khi giỏ tăng.
  81.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt • Thị trường cõn bằng khi lượng cung bằng lượng cầu. Giỏ P0 là giỏ cõn bằng và lượng Q0 là lượng cõn bằng. VD 13. Cho biết hàm cung và hàm cầu của 1 loại hàng húa: 5PQ=S + 30, 4PQ= −D + 240. Hóy tỡm giỏ cõn bằng và lượng cõn bằng? ả Gi i. Khi thị trường cõn bằng, ta cú: QQQSD= = 0. 5PQP0= 0 + 30  0 = 30 ⇔  . 4PQQ0= − 0 + 240  0 = 120 81
  82.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt VD 14. Cho biết hàm cung và cầu của 1 loại hàng húa: PQ=1,5S + 15, PQ= −D +125. 1) Hóy tỡm giỏ cõn bằng và lượng cõn bằng? 2) Giả sử nhà nước đỏnh thuế 5 đơn vị tiền tệ trờn 1 đơn vị sản phẩm. Hóy cho biết người mua hay người bỏn phải trả thuế này? Giải 1) Khi thị trường cõn bằng, ta cú: QQQSD= = 0. PQP0=1,5 0 + 15  0 = 81 ⇔  . PQQ0= − 0 +125  0 = 44 2) Khi nhà nước đỏnh thuế thỡ hàm cung sẽ bị thay đổi, cụ thể là: PQ−5 = 1,5S + 15. 82
  83.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt PQP0−5 = 1,5 0 + 15  0 = 83 ⇔  . PQQ0= − 0 +125  0 = 42 So sỏnh 2) và 1) ta thấy giỏ cõn bằng tăng lờn 2 đơn vị và đú là phần thuế người mua phải trả; phần cũn lại người bỏn phải trả. b) Thị trường nhiều loại hàng húa liờn quan • Trong thị trường nhiều hàng húa, giỏ của mặt hàng này cú thể ảnh hưởng đến lượng cung – cầu của cỏc mặt hàng khỏc. Hàm cung – cầu tuyến tớnh của thị trường n hàng húa cú dạng: Q= a + a P + a P + + a P Si i0 i 1 1 i 2 2 in n Q= b + b P + b P + + b P ; i = 1,2, , n. 83 Di i0 i 1 1 i 2 2 in n
  84.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt Trong ú: QQ, và P t ng ng là l ng cung, đ SDi i i ươ ứ ượ cầu và giỏ của hàng húa i. • Khi th tr ng cõn b ng thỡ: Q= Q; i = 1,2, , n ị ườ ằ SDi i c11 P 1+ c 12 P 2 + + c 1n P n = − c 10  c21 P 1+ c 22 P 2 + + c 2n P n = − c 20 ⇔ , cik = a ik − b ik .   cn1 P 1+ c n 2 P 2 + + c nn P n = − c n 0 Chỳ ý • Nếu việc tăng giỏ mặt hàng 2 khiến người tiờu dựng chuyển sang chọn mặt hàng 1 làm tăng lượng cầu c a m t hàng 1 thỡ ta núi m t hàng 1 và 2 cú thể thay ủ ặ ặ 84 thế lẫn nhau.
  85.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt • Nếu việc tăng giỏ mặt hàng 2 làm giảm lượng cầu mặt hàng 2 và cũng làm lượng cầu của mặt hàng 1 giảm theo thỡ ta núi 2 mặt hàng phụ thuộc lẫn nhau. VD 15. Cho biết hàm cung và cầu của 2 loại hàng húa: QP= −45 + ; QPP=145 − 2 + ; S1 1 D1 1 2 QP= −40 + 5 ; QPP=30 + − 2 . S2 2 D2 1 2 1) Hóy tỡm giỏ và lượng cõn bằng của hai mặt hàng? 2) Hóy cho biết hai mặt hàng này cú thể thay thế lẫn nhau hay phụ thuộc lẫn nhau? Giải. 1) Khi thị trường cõn bằng, ta cú: QQQ= =  SD1 1 1 145− 2PPP1 + 2 = − 45 + 1 ⇔  QQQPPP= =30 + − 2 = − 40 + 5 85  SD2 2 2 1 2 2
  86.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt PQ1=70  1 = 25 ⇔ ⇒  . PQ2=20  2 = 60 2) T QPP=145 − 2 + , ta th y: ừ D1 1 2 ấ PQ↑⇒ ↑⇒ hai m t hàng này cú th thay th nhau. 2 D1 ặ ể ế VD 16. Cho biết hàm cung và cầu của 3 loại hàng húa: QP= −4 + ; QPPP=70 − − 2 − 6 ; S1 1 D1 1 2 3 QP= −3 + ; QPPP=76 − 3 − − 4 ; S2 2 D2 1 2 3 QP= −6 + 3 ; QPPP=70 − 2 − 3 − 2 . S3 3 D3 1 2 3 1) Hóy tỡm giỏ và lượng cõn bằng của ba mặt hàng? 2) Hóy cho biết ba mặt hàng này cú thể thay thế lẫn nhau hay phụ thuộc lẫn nhau? 86
  87.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt Giải. 1) Khi thị trường cõn bằng, ta cú: QQQ= = SD1 1 1 PPP1+ 2 +3 3 = 37   QQQPPP= = ⇔3 + 2 + 4 = 79 SD2 2 2  1 2 3   QQQ= = 2PPP1+ 3 2 + 5 3 = 76  SD3 3 3 PQ1=15  1 = 11   ⇔PQ2 = 7⇒  2 = 4 .   PQ3=5  3 = 9 2) Từ cỏc hàm cầu, ta thấy rằng: bất kỳ mặt hàng nào tăng giỏ sẽ kộo tất cả lượng cầu giảm theo. Do đú, ba mặt hàng này là phụ thuộc lẫn nhau. 87
  88.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt 3.5.2. Mụ hỡnh Input – Output Leontief a) Khỏi niệm chung • Mụ hỡnh này cũn được gọi là mụ hỡnh I/O hay mụ hỡnh cõn đối liờn ngành, đề cập đến việc xỏc định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế. • Trong mụ hỡnh I/O, khỏi niệm ngành được xột theo nghĩa thuần tỳy là sản xuất, với cỏc giả thiết sau:  Mỗi ngành sản xuất 1 loại hàng húa hoặc sản xuất 1 số loại hàng húa theo tỉ lệ nhất định.  Cỏc yếu tố đầu vào (input – nguyờn liệu) của sản xuất trong 1 ngành được sử dụng theo tỉ lệ cố định. 88
  89.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt • Tổng cầu đối với đầu ra (output – sản phẩm) của mỗi ngành bao gồm:  Cầu trung gian từ phớa cỏc nhà sản xuất sử dụng cỏc loại sản phẩm cho quỏ trỡnh sản xuất.  Cầu cuối cựng từ phớa người sử dụng cỏc loại sản phẩm để tiờu dựng hoặc xuất khẩu. b) Mụ hỡnh I/O tổng quỏt • Giả sử cú m đầu vào được dựng để sản xuất n đầu ra (m > n). Trong m đầu vào cú n đầu vào lấy từ n đầu ra của chớnh n ngành sản xuất và m – n đầu vào lấy từ m – n đầu ra ngành khỏc. Gọi aij : số đơn vị đầu vào i (i = 1, 2, , m) để sản xuất 1 đơn vị đầu ra j (j = 1, 2, , n),89
  90.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt yi : tổng đơn vị đầu vào i, x j : tổng đơn vị đầu ra j. bi : giỏ trị hàng húa của ngành i cần cho tiờu dựng và xuất khẩu (cầu cuối cựng). Đặt a11 a 12 a 1n  x1  y1  a a a  x  y  A = 21 22 2n , X = 2 , Y = 2 .             am1 a m 2 a mn  xn  ym  Ta cú phương trỡnh ma trận: AX= Y (I). 90
  91.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt • Thụng thường, bài toỏn đặt ra là tỡm mức n đầu ra để đỏp ứng nhu cầu n đầu vào cho n ngành sản xuất. Ngoài ra, phải cũn dư một phần khỏc cho nhu cầu T ế ở D= ( d1 dn ) của ngành kinh t m (ngành khụng sản xuất mà chỉ tiờu thụ sản phẩm của n ngành sản xuất trờn). Khi đú, m= n và AX= Y ⇔ AX = X − D ⇔ ()IAXD− = (II). c) Định lý • Trong (II), nếu tất cả cỏc phần tử của A và D khụng õm đồng thời tổng cỏc phần tử trờn mỗi cột của A nhỏ hơn 1 thỡ IA− khả nghịch. 91
  92.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt −1  Ma trận tổng cầu được xỏc định: XIAD=() − .  IA− được gọi là ma trận Leontief hay ma trận hệ số cụng nghệ. Ta cú: −1 2 m (IAIAAA− ) ≈ + + + + , m đủ lớn. í nghĩa 1) Pt(I) dựng để tỡm đầu vào Y khi biết đầu ra X. 2) Cỏc số liệu ở cột j trong ()IA− −1 cho biết lượng đơn vị phải sản xuất thờm (đầu ra tăng thờm) của mỗi ngành khi nhu cầu của ngành mở đối với ngành j tăng thờm 1 đơn vị. 3) Pt(II) cho phộp ta xỏc định được tổng cầu đối với hàng húa của tất cả cỏc ngành sản xuất. Giỳp cho việc lập kế hoạch sản xuất đảm bảo cho nền kinh92 tế vận hành tốt, trỏnh dư thừa hay thiếu hàng húa.
  93.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt VD 17. Xột nền kinh tế cú 2 ngành: ngành 1 sản xuất điện, ngành 2 sản xuất gas. Giả sử 1 đơn vị đầu ra điện cần số đơn vị đầu vào là: 0,3 điện; 0,1 gas; 1,0 nước. 1 đơn vị đầu ra gas cần số đơn vị đầu vào là: 0,2 điện; 0,4 gas; 1,2 nước. T 1) Gọi X= ( x1 x 2 ) : số đơn vị đầu ra của 2 ngành, T Y= ( y1 y 2 y 3 ) : số đơn vị đầu vào của 3 ngành. Hóy tỡm một phương trỡnh ma trận giữa X và Y ? Giải Nhu cầu đầu vào lấy từ ngành điện là: 93 0,3x1+ 0,2 x 2 = y 1.
  94.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt Nhu cầu đầu vào lấy từ ngành gas là: 0,1x1+ 0,4 x 2 = y 2. Nhu cầu đầu vào lấy từ ngành nước là: 1,0x1+ 1,2 x 2 = y 3. 0,3 0,2  V y, t A= 0,1 0,4  ⇒ AX= Y . ậ đặ     1,0 1,2  2) Cho biết giỏ của mỗi đơn vị đầu vào điện, gas và nước lần lượt là 8, 4 và 1. Hóy tỡm tổng chi phớ để sản xuất 1000 đơn vị đầu ra ngành điện và 900 đơn vị đầu ra ngành gas? 94
  95.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt Giải. Tổng chi phớ sản xuất là: 0,3 0,2  1000  8 4 1 0,1 0,4  = 4408 ( n v ti n). ()()   đơ ị ề  900  1,0 1,2  3) Cho biết nhu cầu của ngành kinh tế mở là D = (40 80). Hóy tỡm lượng đơn v ị đầu ra c ủa ngành điện, gas để đủ đỏp ứng nhu cầu của hai ngành đú và ngành kinh tế mở? Tỡm lượng đơn vị đầu vào của ngành nước? x1 y 1  d 1  Giải. Ta cú: =  +  x2 y 2  d 2  95
  96.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt x10,3 0,2   x 1 d 1 ⇔ =   + . x20,1 0,4   x 2 d 2 0,3 0,21  7− 2 Đặt AIA= ⇒ − =  0,1 0,410 − 1 6 −1 1 6 2  ⇒ ()IA− =  . 4 1 7  x1  1 6 2  40 100  Vậy   =  =  (đơn vị). x2  4 1 7  80 150  Lượng đơn vị đầu vào lấy từ ngành nước là: y3=1,0 x 1 + 1,2 x 2 = 100 + 1,2.150 = 280 (đơn vị96).
  97.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt VD 18. Trong mụ hỡnh I/O Leontief (3 ngành), cho 0,3 0,4 0,1  ma tr n h s u vào A = 0,2 0,3 0,2 . ậ ệ ố đầ     0,2 0,1 0,4  1) Nếu nhu cầu của ngành kinh tế mở đối với ngành 2 tăng thờm 1 đơn vị thỡ đầu ra của mỗi ngành tăng thờm (sản xuất thờm) bao nhiờu đơn vị? Giải 7− 4 − 1  1 Ta cú: IA− = −2 7 − 2    10   −2 − 1 6  97
  98.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt 40 25 15  1 ⇒ (IA− )−1 =  16 40 16 .   20   16 15 41  Từ cột 2 của ()IA− −1 cho ta biết: 25 Đầu ra ngành 1 tăng thờm đơn vị; 20 40 Đầu ra ngành 2 tăng thờm đơn vị; 20 15 Đầu ra ngành 3 tăng thờm đơn vị. 20 98
  99.  Chương 1. Ma trận ––ĐịnhĐịnh thức ––HệHệ pttt 2) Cho biết nhu cầu của ngành mở đối với đối với ngành 1 giảm 1 đơn vị; ngành 2 tăng 2 đơn vị; ngành 3 giảm 1 đơn vị thỡ mức sản lượng (đầu ra) của 3 ngành tăng hay giảm bao nhiờu? Giải. Từ 3 dũng của ()IA− −1 cho ta biết: Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) của ngành 1 là: −1 ì 40 + 2 ì 25 − 1 ì 15 1 ∆x = = − (giảm); 1 20 4 Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) của ngành 2 là: −1 ì 16 + 2 ì 40 − 1 ì 16 12 ∆x = = (tăng); 2 20 5 Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) của ngành 3 là: −116 ì + 215 ì − 141 ì 27 ∆x = = − (giảm). 99 3 20 20
  100. Bài tập mẫu Giải và biện luận hệ phương trỡnh cú chứa tham số 100
  101. • Bài 119: Cho hệ phương trỡnh kx1+ x 2 + x 3 = 1 x1+ kx 2 + x 3 = 1 x1+ x 2 + kx 3 = 1 Xỏc ủịnh hệ số k sao cho: 1. hệ cú một nghiệm duy nhất 2. hệ vụ nghiệm 3. hệ cú vụ số nghiệm 101
  102. PP Gauss-Jordan k 1 1 1  1k 1 1    d↔ d     →2 1   1k 1 1  k 1 1 1      1 1k 1  1 1k 1  1k 1 1  d2−k d 1   d− d 2  →3 1 0 1−k 1 − k 1 − k  0 1−k k − 1 0    1k 1 1    d/ 1− k2 →2 ( ) 1 1  k≠±1 0 1  1k 1 k  + +    0 1−k k − 1 0  102
  103. 1 1  1 0  1k 1 k  + +  d−k d →1 2 1 1  d + k−1 d 0 1  3 ( ) 2 1+k 1 + k    k−1 k + 2 k −1  0 0 ( )( )  1 + k k + 1  103
  104. 1 1  1 0  1k 1 k  k− k +  + + d ( 1)( 2)    3 /  →1+k  1 1  k≠−2 0 1  1+k 1 + k    0 0 1k + 2      1 1 0 0− 1  d− d   →11+k 3 0 1 0 1  −    0 0 1k + 2  104
  105. • Biện luận: • Nhận xột tổng quan: Hệ cú nghiệm duy nhất khi k ≠ −2  k ≠ −1  k ≠ 1 • Nhận xột trong từng trường hợp cụ thể: k = −2 Phương trỡnh trở thành: 0x3 = 3 Hệ vụ nghiệm. k = 1 Phương trỡnh trở thành: x1+ x 2 + x 3 = 1 Hệ cú vụ số nghiệm. 105
  106. 1− 1 1 1  k = −1   Ta cú:   0 0 2 2    0 2− 2 0  Hệ cú nghiệm duy nhất. • Kết luận: 1. hệ cú một nghiệm duy nhất: k≠ −2 & k ≠ 1 2. hệ vụ nghiệm k = −2 3. hệ cú vụ số nghiệm k = 1 106
  107. Phương phỏp Gauss k 1 1 1  1k 1 1    d↔ d     →2 1   1k 1 1  k 1 1 1      1 1k 1  1 1k 1  1k 1 1  d2−k d 1   d− d 2  →3 1 0 1−k 1 − k 1 − k  0 1−k k − 1 0    107
  108.     d 1k 1 1  d − 2 3 1+k   → 0 1−k2 1 − k 1 − k  k≠−1   k 1  (k−1 )( k + 2 ) −  0 0  1 + k 1 + k  • Nhận xột: Hệ cú nghiệm duy nhất khi hai vế của phương trỡnh cuối ủồng thời khỏc 0. 108
  109. • Biện luận: • Nhận xột tổng quan: Hệ cú nghiệm duy nhất khi k ≠ −2  k ≠ −1  k ≠ 1 • Nhận xột trong từng trường hợp cụ thể: k = −2 Phương trỡnh trở 0x3 = 3 thành: Hệ vụ nghiệm. k = 1 Phương trỡnh trở x1+ x 2 + x 3 = 1 thành: Hệ cú vụ số nghiệm. 109
  110. 1− 1 1 1  k = −1   Ta cú:   0 0 2 2    0 2− 2 0  Hệ cú nghiệm duy nhất. • Kết luận: k≠ −2 & k ≠ 1 1. hệ cú một nghiệm duy nhất: k = −2 2. hệ vụ nghiệm k = 1 3. hệ cú vụ số nghiệm 110