Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương II: Không gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính - Nguyễn Thị Nhung

Nội dung text: Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương II: Không gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính - Nguyễn Thị Nhung

1. Ghi chú Ôi số, giÊi tẵch v ựng dửng Nguyạn Thà Nhung Bở mổn ToĂn - Ôi hồc Thông Long Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 1 / 42 Ghi chú Chữỡng II Khổng gian v²c tỡ v Ănh xÔ tuyán tẵnh Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 2 / 42 Ghi chú KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ KhĂi niằm khổng gian v²c tỡ ành nghắa Cho V l mởt têp hủp khĂc rộng vợi cĂc phƯn tỷ ữủc kỵ hiằu l : α, β, γ . . . . Ta x²t cũng vợi V têp hủp số thỹc R vợi cĂc phƯn tỷ ữủc kỵ hiằu l a, b, c, x, y, z. Trản V ta cõ hai ph²p toĂn sau: Ph²p cởng hai phƯn tỷ cừa V : : V  V ẹ V pα, βq ịẹ α β Ph²p nhƠn mởt phƯn tỷ cừa V vợi mởt số thỹc: . : R  V ẹ V px, αq ịẹ x.α Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 3 / 42
2. Ghi chú KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ KhĂi niằm khổng gian v²c tỡ ành nghắa Khi õ V ữủc gồi l mởt khổng gian v²c tỡ thỹc náu V cũng vợi hai ph²p toĂn ữủc ành nghắa ð trản thọa mÂn tĂm tiản ã sau: 1 pα βq γ  α pβ γq, @ α, β, γ P V, 2 Tỗn tÔi vectỡ θ sao cho θ α  α θ  α, @ α P V, 1 1 1 3 Vợi mội α cõ mởt phƯn tỷ α sao cho α α  α α  θ, 4 α β  β α, @ α, β P V, 5 x.pα βq  x.α x.β, @ α, β P V , @x P R , 6 px yq.α  x.α y.α, @ α P V , @x, y P R , 7 pxyq.α  x.py.αq, @ α P V , @x, y P R , 8 1.α  α, @ α P V trong õ 1 l phƯn tỷ ỡn và cừa trữớng R . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 4 / 42 Ghi chú KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ Chú ỵ: CĂc phƯn tỷ cừa V ữủc gồi l cĂc vectỡ, cĂc số thỹc trong R ữủc gồi l cĂc vổ hữợng. Ph²p nhƠn mởt phƯn tỷ cừa V vợi mởt số thỹc ữủc cỏn ữủc gồi l ph²p nhƠn vổ hữợng. 1 PhƯn tỷ θ trong tiản ã thự 2 ữủc gồi l vectỡ khổng , α trong tiản ã thự 3 ữủc gồi l phƯn tỷ ối cừa α v ữủc kỵ hiằu l pĂαq. Ta s³ viát α pĂβq l α Ă β v gồi l hiằu cừa hai vectỡ α, β. CƠu họi: Nảu cĂch kiºm tra pV , ,.q l mởt khổng gian v²c tỡ v pV , ,.q khổng l khổng gian v²c tỡ trản R : Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 5 / 42 Ghi chú KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ Vẵ dử vã khổng gian v²c tỡ X²t têp hủp số thỹc R . Kỵ hiằu R n l tẵch Descartes cừa n bÊn R : n R  tpa1, a2, , anq | ai P R , i  1, nu. n Vợi α  pa1, a2, , anq, β  pb1, b2, , bnq l hai phƯn tỷ tũy ỵ thuởc R v x l mởt phƯn tỷ tũy ỵ thuởc R , ta ành nghắa ành nghắa ph²p cởng v nhƠn vổ hữợng trản R n nhữ sau: α β  pa1, a2, , anq pb1, b2, , bnq  pa1 b1, a2 b2, , an bnq, xα  xpa1, a2, , anq  pxa1, xa2, , xanq. Khi õ R n cũng vợi ph²p toĂn cởng v nhƠn nhữ trản l mởt khổng gian vectỡ thỹc vợi v²c tỡ khổng l Θ  p0, 0, , 0q, v²c tỡ ối cừa v²c tỡ α  pa1, a2, , anq l Ăα  pĂa1, Ăa2, , Ăanq. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 6 / 42
3. Ghi chú KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ Vẵ dử vã khổng gian v²c tỡ X²t têp hủp Mmn cĂc ma trên cĐp m  n trản têp số thỹc. Khi õ Mmn cũng vợi ph²p cởng hai ma trên v nhƠn ma trên vợi mởt số l mởt khổng gian v²c tỡ trản têp số thỹc. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 7 / 42 Ghi chú KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian v²c tỡ Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian v²c tỡ Mằnh ã Cho V l mởt khổng gian vectỡ thỹc, khi õ ta cõ cĂc kh¯ng ành sau: 1 Vectỡ khổng θ l duy nhĐt. 2 Vợi mội α P V , vectỡ ối cừa α l duy nhĐt. 3 0α  θ, @α P V. 4 xθ  θ, @x P R . 5 Náu xα  θ thẳ x  0 ho°c α  θ. 6 xpĂαq  Ăpxαq  pĂxqα, @x P R , α P V. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 8 / 42 Ghi chú KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ Khổng gian v²c tỡ con ành nghắa khổng gian v²c tỡ con ành nghắa GiÊ sỷ V l mởt khổng gian vectỡ thỹc. Têp con W khĂc rộng cừa V ữủc gồi l khổng gian vectỡ con (hay khổng gian con) cừa khổng gian vectỡ V náu W cũng vợi hai ph²p toĂn cừa V tÔo th nh mởt khổng gian v²c tỡ thỹc. ành lẵ GiÊ sỷ V l mởt khổng gian vectỡ thỹc. Têp con W khĂc rộng cừa V l khổng gian vectỡ con (hay khổng gian con) cừa V náu hai iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn: 1 @α, β P W : α β P W. 2 @α P W , @x P R : xα P W. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 9 / 42
4. Ghi chú KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ Khổng gian v²c tỡ con Kiºm tra mởt têp l khổng gian v²c tỡ con CƠu họi: Nảu cĂch kiºm tra mởt têp con W l khổng gian v²c tỡ con v khổng l khổng gian v²c tỡ con cừa khổng gian v²c tỡ V : Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 10 / 42 Ghi chú KhĂi niằm vã khổng gian v²c tỡ Khổng gian v²c tỡ con Vẵ dử Kiºm tra xem têp n o sau Ơy l khổng gian v²c tỡ con cừa R 2: 2 W1  tpx, yq P R |y  2xu. 2 W2  tpx, yq P R |y  2x 1u. 2 2 W3  tpx, yq P R |y  x u. Nhên x²t: Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 11 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Tờ hủp tuyán tẵnh KhĂi niằm vã biºu thà tuyán tẵnh ành nghắa Cho V l mởt khổng gian vectỡ thỹc v α1, α2, . . . , αm l m vectỡ thuởc V , pm Ơ 1q. Khi õ Mởt tờ hủp tuyán tẵnh cừa α1, α2, . . . , αm l v²c tỡ cõ dÔng x1α1 x2α2 Ô Ô Ô xmαm, xi P R , i  1, m. V²c tỡ α ữủc gồi l tờ hủp tuyán tẵnh hay α biºu diạn tuyán tẵnh cừa m vectỡ α1, α2, . . . , αm náu tỗn tÔi nhỳng số thỹc xi , i  1, m sao cho α  x1α1 x2α2 Ô Ô Ô xmαm hay mởt cĂch tữỡng ữỡng hằ phữỡng trẳnh α  x1α1 x2α2 xmαm cõ nghiằm x1, x2, , xm. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 12 / 42
5. Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Tờ hủp tuyán tẵnh Vẵ dử Cho hai v²c tỡ α  p1, 4, 2q, β  pĂ1, 2, 2q v γ  cp0, 1, 2q. a. HÂy tẳm mởt tờ hủp tuyán tẵnh cừa α, β v γ. b. HÂy x²t xem v²c tỡ ε  p3, 1, 0q cõ thº biºu thà tuyán tẵnh qua α, β v γ khổng? Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 13 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Hằ v²c tỡ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh KhĂi niằm vã hằ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh ành nghắa Cho m vectỡ α1, α2, . . . , αm cừa khổng gian vectỡ V , m Ơ 1. 1 Hằ vectỡ α1, α2, . . . , αm ữủc gồi l phử thuởc tuyán tẵnh náu tỗn tÔi m phƯn tỷ x1, x2, , xm P K khổng ỗng thới bơng 0 sao cho x1α1 x2α2 Ô Ô Ô xmαm  θ. 2 Hằ vectỡ α1, α2, . . . , αm ữủc gồi l ởc lêp tuyán tẵnh náu nõ khổng phử thuởc tuyán tẵnh, hay mởt cĂch tữỡng ữỡng x1α1 x2α2 Ô Ô Ô xmαm  θ k²o theo x1  x2  Ô Ô Ô  xm  0. Nhên x²t: Mởt hằ v²c tỡ l phử thuởc tuyán tẵnh khi v ch¿ khi mởt v²c tỡ biºu thà tuyán tẵnh qua cĂc v²c tỡ cỏn lÔi. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 14 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Hằ v²c tỡ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh Vẵ dử Sỹ phử thuởc tuyán tẵnh v ởc lêp tuyán tẵnh trong R3 ữủc mổ tÊ mởt cĂch hẳnh hồc nhữ sau: Hai vectỡ cũng phữỡng l phử thuởc tuyán tẵnh. Hai vectỡ khổng cũng phữỡng l ởc lêp tuyán tẵnh. Ba vectỡ ỗng ph¯ng l phử thuởc tuyán tẵnh. Ba vectỡ khổng ỗng ph¯ng l ởc lêp tuyán tẵnh. Bốn vectỡ bĐt ký l phử thuởc tuyán tẵnh. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 15 / 42
6. Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Hằ v²c tỡ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh Vẵ dử X²t sỹ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh cừa cĂc v²c tỡ sau v rút ra nhên x²t a. 1  p1, 0, 0q, 2  p0, 1, 0q, 3  p0, 0, 1q. b. α1  p1, Ă2, 3q, α2  p2, 1, 1q, α3  p3, Ă1, 4q. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 16 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Hằ v²c tỡ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh ành lẵ vã sỹ ltt v pttt ành lẵ n Cho hằ v²c tỡ α1, α2, . . . , αm trong khổng gian v²c tỡ R . Gồi A l ma trên cõ cĂc dỏng l α1, α2, . . . , αm. Khi õ i. Náu rankpAq  m thẳ hằ ởc lêp tuyán tẵnh. ii. Náu rankpAq m thẳ hằ phử thuởc tuyán tẵnh. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 17 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Hằ v²c tỡ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh Tẵnh chĐt cừa hằ ltt v pttt Mằnh ã 1 Hằ gỗm mởt vectỡ α l ởc lêp tuyán tẵnh khi v ch¿ khi α  θ. 2 Mồi hằ vectỡ chựa vectỡ θ ãu phử thuởc tuyán tẵnh. 3 Hằ gỗm hai vectỡ t¿ lằ vợi nhau thẳ phử thuởc tuyán tẵnh. 4 Hằ gỗm hai vectỡ khổng t¿ lằ thẳ ởc lêp tuyán tẵnh. 5 Náu ta thảm mởt số v²c tỡ v o hằ phử thuởc tuyán tẵnh thẳ văn ữủc hằ phử thuởc tuyán tẵnh. 6 Náu ta bợt mởt số v²c tỡ tứ mởt hằ ởc lêp tuyán tẵnh thẳ văn ữủc hằ ởc lêp tuyán tẵnh. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 18 / 42
7. Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ ành nghắa cỡ sð cừa khổng gian v²c tỡ ành nghắa Cho V l mởt khổng gian v²c tỡ. Hằ vectỡ α1, α2, . . . , αm ữủc gồi l mởt hằ sinh cừa V náu mồi vectỡ α P V ãu biºu thà tuyán tẵnh qua α1, α2, . . . , αm, tực l : @α P V , Dx1, x2, , xm P R : α  x1α1 x2α2 xmαm. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 19 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Vẵ dử HÂy chựng tọ 1  p1, 0, 0q, 2  p0, 1, 0q, 3  p0, 0, 1q l mởt hằ sinh cừa R3. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 20 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ ành nghắa cỡ sð cừa kgvt ành nghắa Cho V l mởt khổng gian v²c tỡ. Hằ vectỡ α1, α2, . . . , αn ữủc gồi l mởt cỡ sð cừa V náu α1, α2, . . . , αn l hằ sinh v ởc lêp tuyán tẵnh trong V . Vẵ dử: Hằ v²c tỡ 1  p1, 0, 0q, 2  p0, 1, 0q, 3  p0, 0, 1q l mởt cỡ sð cừa R3. Hằ v²c tỡ 1  p1, 0, , 0q, 2  p0, 1, , 0q, . . . , n  p0, 0 , 1q l mởt cỡ sð cừa R n v ữủc gồi l cỡ sð chẵnh tưc cừa R n. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 21 / 42
8. Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ ành nghắa số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ ành nghắa Số cĂc vectỡ trong cĂc cỡ sð cừa khổng gian vectỡ V  tθu ãu bơng nhau v ữủc gồi l số chiãu cừa V , kẵ hiằu l dimpV q. Khi dimpV q  n ta nõi V l khổng gian v²c tỡ nĂ chiãu. Khổng gian v²c tỡ V  tθu khổng cõ cỡ sð. Ta quy ữợc dimtθu  0. Vẵ dử: Ta cõ dimpR nq  n. dimpR 2q  2. dimpR 3q  3. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 22 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Mởt số ành lẵ trong khổng gian v²c tỡ n-chiãu ành lẵ trong khổng gian n-chiãu ành lẵ Cho V l mởt khổng gian vectỡ n chiãu v α1, α2, . . . , αm l mởt hằ gỗm m vectỡ trong V . Khi õ 1 Náu α1, α2, . . . , αm l hằ ởc lêp tuyán tẵnh thẳ m Ô n. 2 Náu α1, α2, . . . , αm l hằ sinh cừa V thẳ m Ơ n. 3 Náu m Ă n thẳ α1, α2, . . . , αm phử thuởc tuyán tẵnh. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 23 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Mởt số ành lẵ trong khổng gian v²c tỡ n-chiãu ành lẵ trong khổng gian n-chiãu ành lẵ Trong khổng gian vectỡ V cõ số chiãu n, pn Ă 1q 1 Mội hằ gỗm n vectỡ ởc lêp tuyán tẵnh ãu l mởt cỡ sð cừa V . 2 Mội hằ sinh gỗm n vectỡ ãu l mởt cỡ sð cừa V . Nhên x²t: Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 24 / 42
9. Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Mởt số ành lẵ trong khổng gian v²c tỡ n-chiãu ành lẵ trong khổng gian n-chiãu ành lẵ n Cho hằ gỗm n v²c tỡ α1, α2, . . . , αn trong khổng gian v²c tỡ nĂ chiãu R . Gồi A l ma trên cõ cĂc dỏng l α1, α2, . . . , αn. Khi õ i. Náu detpAq  0 thẳ hằ α1, α2, . . . , αn ởc lêp tuyán tẵnh v do õ l cỡ sð cừa R n. ii. Náu detpAq  0 thẳ hằ α1, α2, . . . , αn khổng ởc lêp tuyán tẵnh v do õ khổng l cỡ sð cừa R n. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 25 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Mởt số ành lẵ trong khổng gian v²c tỡ n-chiãu Vẵ dử Kiºm tra xem hằ v²c tỡ n o sau l cỡ sð cừa R 3: α1  p1, 2, 3q, α2  p0, 1, Ă1q. α1  p1, Ă1, 3q, α2  p0, 1, 1q, α3  p3, 1, 4q. α1  pĂ1, Ă1, 2q, α2  p0, Ă1, 1q, α3  p2, 1, 4q, α4  pĂ2, 1, 2q. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 26 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ HÔng cừa hằ v²c tỡ HÔng cừa mởt hằ v²c tỡ ành nghắa Cho hằ v²c tỡ tα1, α2, . . . , αmup1q trong khổng gian vectỡ V . HÔng cừa hằ v²c tỡ p1q l số v²c tỡ ởc lêp tuyán tẵnh lợn nhĐt trong p1q. Mằnh ã Cho hằ v²c tỡ tα1, α2, . . . , αmup1q trong khổng gian vectỡ V . Gồi A l v²c tỡ cõ cĂc dỏng l α1, α2, . . . , αm. Khi õ hÔng cừa hằ v²c tỡ p1q bơng hÔng cừa ma trên A. Nhên x²t: Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 27 / 42
10. Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ HÔng cừa hằ v²c tỡ Vẵ dử Tẳm hÔng cừa hằ v²c tỡ sau: α1  p1, Ă1, 3, 6q, α2  p0, 1, 1, Ă2q, α3  p3, Ă1, Ă4, Ă2q, α4  p4, Ă1, 0, 2q Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 28 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Tồa ở cừa mởt hằ v²c tỡ ành nghắa tồa ở cừa mởt hằ v²c tỡ ành nghắa Cho cỡ sð α1, α2, . . . , αn cừa khổng gian vectỡ V . Khi õ mội α P V ãu biºu diạn duy nhĐt dữợi dÔng α  a1α1 a2α2 Ô Ô Ô anαn, ai P R , i  1, n. Bở n số pa1, a2, , anq ữủc gồi l tồa ở cừa α ối vợi cỡ sð α1, α2, . . . , αn v ai ữủc gồi l tồa ở thự i cừa α ối vợi cỡ sð õ. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 29 / 42 Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Tồa ở cừa mởt hằ v²c tỡ Vẵ dử Trong R 2 cho hai hằ v²c tỡ: 1  p1, 0q, 2  p0, 1q. α1  p1, 1q, α2  p1, 2q. a. Chựng minh rơng hai hằ v²c tỡ trản ãu l cỡ sð cừa R 2. b. Tẳm tồa ở cừa α  p2, 3q ối vợi tứng cỡ sð trản. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 30 / 42
11. Ghi chú Cỡ sð v số chiãu cừa khổng gian v²c tỡ Tồa ở cừa mởt hằ v²c tỡ Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 31 / 42 Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh ành nghắa Ănh xÔ tuyán tẵnh ành nghắa Ănh xÔ tuyán tẵnh ành nghắa GiÊ sỷ U v V l hai khổng gian v²c tỡ têp số thỹc. nh xÔ f : U ẹ V ữủc gồi l Ănh xÔ tuyán tẵnh náu nõ thọa mÂn hai iãu kiằn sau: f pα βq  f pαq f pβq, @α, β P U, f ptαq  tf pαq, @α P U, t P R . Mằnh ã GiÊ sỷ U v V l hai khổng gian v²c tỡ têp số thỹc. nh xÔ f : U ẹ V l tuyán tẵnh khi v ch¿ khi f psα tβq  sf pαq tf pβq @α, β P U, @s, t P R . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 32 / 42 Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh ành nghắa Ănh xÔ tuyán tẵnh CĂch kiºm tra Ănh xÔ tuyán tẵnh CƠu họi: Nảu cĂch kiºm tra mởt Ănh xÔ l Ănh xÔ tuyán tẵnh v cĂch kiºm tra mởt Ănh xÔ khổng l Ănh xÔ tuyán tẵnh: Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 33 / 42
12. Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh Mởt số tẵnh chĐt Ănh xÔ tuyán tẵnh Mởt số tẵnh chĐt cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh Mằnh ã GiÊ sỷ U v V l hai khổng gian v²c tỡ trản têp số thỹc v f : U ẹ V l Ănh xÔ tuyán tẵnh. Khi õ: a. f pθU q  θV . b. f pt1α1 t2α2 tnαnq  t1f pα1q t2f pα2q tnf pαnq. Nhên x²t: Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 34 / 42 Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh Mởt số tẵnh chĐt Ănh xÔ tuyán tẵnh Vẵ dử vã Ănh xÔ tuyán tẵnh Kiºm tra xem nhỳng Ănh xÔ n o sau Ơy l Ănh xÔ tuyán tẵnh: a. f : R ẹ R cho bði f pxq  ax. b. f : R ẹ R cho bði f pxq  ax b, b  0. c. f : R ẹ R cho bði f pxq  x2. n d. f : R ẹ R cho bði f px1, x2, , xnq  a1x1 a2x2 anxn. e. f : R 3 ẹ R 2 cho bði f px, y, zq  px Ă y, x 3zq. f. f : R 2 ẹ R 2 cho bði f px, yq  px Ă y, x y 1q. g. f : R 2 ẹ R 2 cho bði f px, yq  pxy, x yq. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 35 / 42 Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh Mởt số tẵnh chĐt Ănh xÔ tuyán tẵnh Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 36 / 42
13. Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh Ma trên cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh ành nghắa ma trên Ănh xÔ tuyán tẵnh ành nghắa Cho U v V l hai khổng gian v²c tỡ, ε1, . . . , εn p1q l mởt cỡ sð cừa U, e1, , em p2q l mởt cỡ sð cừa V v f l mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh tứ U án V . GiÊ sỷ cĂc f pεi q pi  1, 2, , nq biºu thà tuyán tẵnh qua cỡ sð p2q nhữ sau: f pε1q  a11.e1 am1.em, f pε2q  a12.e1 am2.em, f pεnq  a1n.e1 amn.em. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 37 / 42 Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh Ma trên cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh ành nghắa ma trên Ănh xÔ tuyán tẵnh ành nghắa Khi õ ma trên Ô a11 a12 a1n Ưa a a  A  Ư 21 22 2n  Ơ am1 am2 amn ữủc gồi l ma trên cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh f ối vợi 2 cỡ sð p1q v p2q. Kỵ p2q hiằu A  Mp1q f . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 38 / 42 Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh Ma trên cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh Vẵ dử Cho Ănh xÔ tuyán tẵnh f : R 3 ẹ R 2 cho bði f px, y, zq  px Ă y, x 3zq. HÂy tẳm ma trên cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh f: a. trong hai cỡ sð chẵnh tưc cừa R 3 v R 2. b. trong hai cỡ sð ε1  p1, 1, 1q, ε2  p1, 1, 0q, ε1  p1, 0, 0q v e1  p2, 1q, e2  p1, 1q. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 39 / 42
14. Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh Ma trên cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 40 / 42 Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh Ma trên cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh Tồa ở cừa Ênh cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh Mằnh ã Cho U v V l hai khổng gian v²c tỡ, ε1, . . . , εn l mởt cỡ sð cừa U, e1, , em l mởt cỡ sð cừa V v f l mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh tứ U án V . GiÊ sỷ α cõ tồa ở x  pa1, a2, , anq trong cỡ sð ε1, . . . , εn. Khi õ f pαq s³ cõ tồa ở l Ax trong cỡ sð e1, , em. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 41 / 42 Ghi chú nh xÔ tuyán tẵnh Ma trên cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh Vẵ dử Cho Ănh xÔ tuyán tẵnh f : R 3 ẹ R 2 cho bði f px, y, zq  px Ă y, x 3zq. a. Tẳm tồa ở cừa v²c tỡ α  p4, 3, 1q trong cỡ sð 3 ε1  p1, 1, 1q, ε2  p1, 1, 0q, ε1  p1, 0, 0q cừa R 2 b. Tẳm tồa ở cừa f pαq trong cỡ sð e1  p2, 1q, e2  p1, 1q cừa R . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 42 / 42