Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương V: Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng - Nguyễn Thị Nhung

Nội dung text: Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương V: Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng - Nguyễn Thị Nhung

1. Ghi chú Ôi số, giÊi tẵch v ựng dửng Nguyạn Thà Nhung Bở mổn ToĂn - Ôi hồc Thông Long Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 1 / 27 Ghi chú Chữỡng V Ph²p tẵnh vi phƠn h m nhiãu bián v ựng dửng Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 2 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá KhĂi niằm h m nhiãu bián ành nghắa h m nhiãu bián v vẵ dử ành nghắa n H m n bián x1, x2, , xn l h m số f : R íẹ R xĂc ành bði px1, x2, , xnq íẹ y  f px1, x2, , xnq. Vẵ dử: 3 2 2 a. H m số f px1, x2, x3q  x1 Ă 2x1 x2 x3 l h m ba bián theo x1, x2, x3. b. H m sÊn xuĐt trong d i hÔn Q  QpK, Lq  5Q0.5L0.5 l h m hai bián theo vốn K v lao ởng L. a c. H m lủi ẵch cĂ nhƠn Upx1, x2q  px1 1qpx2 4q l h m hai bián theo x1, x2, vợi x1, x2 tữỡng ựng l số lữủng h ng hõa thự nhĐt v h ng hõa thự hai. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 3 / 27
2. Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá ành nghắa v tẵnh Ôo h m riảng ành nghắa Ôo h m riảng X²t h m nhiãu bián số y  f px1, x2, , xnq ð Ơy, cĂc bián xi , i  1, n l ởc lêp vợi nhau, tực l khi mởt bián số thay ời khổng l m Ênh hữðng án cĂc bián số cỏn lÔi. GiÊ sỷ bián số xi , i  1, n thay ời mởt lữủng l ∆xi khi cĂc bián cỏn lÔi x1, , xiĂ1, xi 1, , xn ữủc giỳ khổng ời thẳ y thay ời mởt lữủng tữỡng ựng l ∆y. Khi õ tữỡng tỹ nhữ Ôo h m cừa h m mởt bián, náu giợi hÔn cừa t¿ số y f px x x x x x q Ă f px x x q ∆  1, , iĂ1, i ∆ i , i 1, , n 1, , i , , n ∆xi ∆xi tỗn tÔo v hỳu hÔn thẳ ữủc gồi l Ôo h m cừa y theo bián xi . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 4 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá ành nghắa v tẵnh Ôo h m riảng ành nghắa Ôo h m riảng ành nghắa Cho h m số y  f px1, x2, , xnq. Ôo h m riảng cừa f px1, , xnq theo bián xi l Ôo h m cừa f px1, , xnq theo bián xi khi cĂc bián cỏn lÔi ữủc coi l cĂc hơng số. Ôo h m riảng cừa y  f px1, x2 , xnq theo bián xi ữủc kẵ hiằu l By ho°c f 1 , ổi khi ta cõ thº viát f ho°c f . xi xi i Bxi 1 Khi sỷ dửng khổng ữủc viát f px1, , xnq khi Ôo h m cừa h m nhiãu bián vẳ ta khổng biát ữủc h m số ữủc lĐy Ôo h m theo bián n o. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 5 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá ành nghắa v tẵnh Ôo h m riảng ị nghắa cừa Ôo h m riảng Ôo h m riảng cừa y  f px1, x2 , xnq theo bián xi tÔi iºm X0  px10, x20 , xn0q cho ta thĐy: TÔi iºm X0 khi xi tông thảm 1 ỡn và, nhỳng bián cỏn lÔi ữủc giỳ khổng ời thẳ y  f px1, x2 , xnq tông xĐp x¿ mởt lữủng l f 1 pX q. xi 0 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 6 / 27
3. Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá ành nghắa v tẵnh Ôo h m riảng Vẵ dử tẵnh Ôo h m riảng Theo ành nghắa ta thĐy Ôo h m riảng cừa mởt h m số theo mởt bián ữủc tẵnh khi cĂc bián khĂc ữủc giỳ khổng ời. Nhữ vêy h m số  cho cõ thº coi l h m mởt bián theo bián ữủc lĐy Ôo h m. Do õ cĂch tẵnh Ôo h m riảng cụng giống vợi cĂch tẵnh Ôo h m mởt bián. Vẵ dử: Tẵnh cĂc Ôo h m riảng cừa cĂc h m số sau Ơy: x2 2 a. f px1, x2q  p2x1 Ă 5x2qpe 1 log3px2 1qq. x2 y b. f px yq  , 5x Ă y 3 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 7 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng v khĂi niằm cên biản trong kinh tá Ôo h m riảng v khĂi niằm cên biản trong kinh tá ành nghắa Trong toĂn kinh tá khi ta ã cêp án khĂi niằm "cên biản" l ta ã cêp án khĂi niằm Ôo h m riảng. Vẵ dử: Cho h m sÊn xuĐt Q  QpK, Lq  5Q0.5L0.5. a. Tẵnh sÊn phâm cên biản theo lao vốn MPK v sÊn phâm cên biản theo lao ởng MPL. b. Tẵnh MPK p4, 9q v nảu ỵ nghắa kinh tá. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 8 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng v khĂi niằm cên biản trong kinh tá Ôo h m riảng v khĂi niằm cên biản trong kinh tá a Vẵ dử: Cho h m lủi ẵch cĂ nhƠn Upx1, x2q  px1 1qpx2 4q. a. Tẵnh sÊn phâm cên biản theo h ng hõa thự nhĐt MU1 v sÊn phâm cên biản theo h ng hõa thự hai MU2. b. Tẵnh MU1p3, 5q v nảu ỵ nghắa kinh tá. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 9 / 27
4. Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng trong cĂc phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng trong cĂc phƠn tẵch kinh tá Mằnh ã Cho h m số nhiãu bián y  f px1, x2, , xnq. Khi õ Bf px1, x2, , xnq a. Náu Ă 0 thẳ y l h m ỗng bián theo xi , Bxi nghắa l khi xi tông (giÊm) vợi cĂc bián cỏn lÔi ữủc giỳ cố ành s³ dăn án y tông (giÊm) tữỡng ựng. Bf px1, x2, , xnq b. Náu 0 thẳ y l h m nghàch bián theo xi , Bxi nghắa l khi xi tông (giÊm) vợi cĂc bián cỏn lÔi ữủc giỳ cố ành s³ dăn án y giÊm (tông) tữỡng ựng. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 10 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng trong cĂc phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng v phƠn tẵch trong h m cƯu Mằnh ã trản ữủc dũng rĐt nhiãu trong cĂc phƠn tẵch kinh tá. Ta s³ lĐy mởt vẵ dử vã h m cƯu cõ dÔng Q  QpP, P1, P2, , Pn, Y q ð Ơy, P l giĂ m°t h ng cƯn mua, P1, P2, , Pn l giĂ cừa cĂc h ng hõa khĂc liản quan v Y l thu nhêp.Trong kinh tá ta  biát ữớng cƯu l ữớng dốc xuống, tực l khi giĂ P tông v giỳ nguyản P1, P2, , Pn v Y thẳ lữủng mua Q s³ giÊm. Nhữ vêy, muốn Q l h m cƯu thẳ vã m°t toĂn hồc Q phÊi thọa mÂn iãu kiằn BQ 0 BP . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 11 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng trong cĂc phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng v phƠn tẵch trong h m cƯu Ngo i ra, BQ Náu Ă 0 thẳ h ng hõa cƯn mua l h ng hõa thổng thữớng. BY BQ Náu 0 thẳ h ng hõa cƯn mua l h ng hõa thự cĐp. BY BQ Náu 0 thẳ h ng hõa cƯn mua v h ng hõa thự i l hai h ng BPi hõa bờ sung cho nhau. BQ Náu Ă 0 thẳ h ng hõa cƯn mua v h ng hõa thự i l hai h ng BPi hõa thay thá cho nhau. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 12 / 27
5. Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng trong cĂc phƠn tẵch kinh tá Vẵ dử Cho h m cƯu cừa cafe cõ dÔng Ă2 3 Ă3 2 Q  P P1 P2 Y vợi P l giĂ cừa c fả, P1 l giĂ cừa ch±, P2 l giĂ cừa ữớng v Y l thu nhêp. BQ Tẵnh v cho nhên x²t. BP BQ Tẵnh v cho nhên x²t. BY BQ Tẵnh v cho nhên x²t. BP1 BQ Tẵnh v cho nhên x²t. BP2 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 13 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng trong phƠn tẵch so sĂnh tắnh So sĂnh tắnh trong mổ hẳnh thà trữớng ỡn X²t mổ hẳnh thà trữớng ỡn: Q  a Ă bP pa, b Ă 0q ph m cƯuq Q  Ăc dP pc, d Ă 0q ph m cungq Nghiằm cƠn bơng cừa mổ hẳnh: a c P  b d ad Ă bc Q  b d Tẵnh Ôo h m cừa giĂ cƠn bơng P theo cĂc tham số a, b, c, d v cho nhên x²t. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 14 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng trong phƠn tẵch so sĂnh tắnh So sĂnh tắnh trong mổ hẳnh thà trữớng ỡn Chú ỵ: BQ BQ PhƠn biằt v . Ba Ba BQ º phƠn biằt thẳ ta gồi l Ôo h m so sĂnh tắnh. Ba Ôo h m so sĂnh tắnh l Ôo h m cừa cĂc bián nởi sinh cƠn bơng theo tham số v bián ngoÔi sinh. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 15 / 27
6. Ghi chú Ôo h m riảng v ựng dửng trong phƠn tẵch kinh tá Ôo h m riảng trong phƠn tẵch so sĂnh tắnh So sĂnh tắnh trong mổ hẳnh thu nhêp quốc dƠn Cho mổ hẳnh thu nhêp quốc dƠn: Y  C I0 G0, C  α βpY Ă T q, pα Ă 0, 0 β 1q T  γ δY , pγ Ă 0, 0 δ 1q Nghiằm cƠn bơng cừa mổ hẳnh: α Ă βγ I0 G0 Y  . (1) 1 Ă β βδ Tẵnh Ôo h m so sĂnh tắnh cừa thu nhêp quốc dƠn cƠn bơng theo I0, γ, δ v cho nhên x²t. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 16 / 27 Ghi chú Vi phƠn to n phƯn Ôo h m to n phƯn Vi phƠn to n phƯn KhĂi niằm vã vi phƠn to n phƯn ành nghắa Cho h m số y  f px1, x2, , xnq. Vi phƠn to n phƯn cừa y, kẵ hiằu l dy ữủc xĂc ành bði: dy  f 1 dx f 1 dx f 1 dx x1 1 x2 2 xn n. Vẵ dử: Tẵnh vi phƠn to n phƯn cừa h m số sau: 2x2 x y  1 2 2 . x1 x2 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 17 / 27 Ghi chú Vi phƠn to n phƯn Ôo h m to n phƯn Vi phƠn to n phƯn Mởt số tẵnh chĐt cừa vi phƠn Cho u  upxq v v  vpxq l cĂc h m số cừa x. Khi õ ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau: 1. dpcq  0, vợi c l hơng số. 2. dpcunq  cnunĂ1du, vợi c l hơng số. 3. dpu ă vq  du ă dv. 4. dpuvq  udv vdu. u vdu Ă udv 5. dp q  , vợi vpxq  0. v v 2 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 18 / 27
7. Ghi chú Vi phƠn to n phƯn Ôo h m to n phƯn Vi phƠn to n phƯn Vẵ dử 2x2 x Tẵnh vi phƠn to n phƯn cừa h m số y  1 2 bơng cĂch sỷ dửng cĂc 2 x1 x2 tẵnh chĐt cừa vi phƠn. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 19 / 27 Ghi chú Vi phƠn to n phƯn Ôo h m to n phƯn Vi phƠn v hằ số co giÂn riảng KhĂi niằm hằ số co giÂn riảng ành nghắa Cho h m số y  f px1, x2, , xnq. Hằ số co giÂn riảng cừa y theo bián xi , kẵ hiằu ữủc cho bði: εyxi By Bf xi Bxi Bxi εyx   . i f y xi Nhên x²t: Hằ số co giÂn cho ta thĐy: tÔi X0  px10, x20, , xn0q, khi xi tông 1% v cĂc bián cỏn lÔi giỳ nguyản khổng ời thẳ y tông mởt lữủng xĐp x¿ . εfxi % Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 20 / 27 Ghi chú Vi phƠn to n phƯn Ôo h m to n phƯn Vi phƠn v hằ số co giÂn riảng Vẵ dử Cho h m sÊn xuĐt trong d i hÔn Q  10K 0.5L0.7. a. Tẵnh hằ số co giÂn riảng cừa sÊn lữủng Q theo K v cho nhên x²t. b. Tẵnh hằ số co giÂn riảng cừa sÊn lữủng Q theo L v cho nhên x²t. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 21 / 27
8. Ghi chú Vi phƠn to n phƯn Ôo h m to n phƯn Vi phƠn v hằ số co giÂn riảng Vẵ dử a Cho h m ẵch lủi cĂ nhƠn Upx1,2 q  px1 1qpx2 2q. a. Tẵnh hằ số co giÂn riảng εUx1 cừa lủi ẵch U theo h ng hõa thự nhĐt. b. Tẵnh εUx1 p1, 4q v cho nhên x²t. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 22 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng cĐp hai v khĂi niằm cên biản giÊm dƯn ành nghắa Ôo h m cĐp hai ành nghắa Cho h m số y  f px1, x2, , xnq. Ôo h m riảng cĐp hai cừa f theo bián x x , kẵ hiằu l f 2 , ữủc xĂc ành nhữ sau: i , j xi xj f 2  pf 1 q1 xi xj xi xj . Chú ỵ: B2f Ta cõ thº kẵ hiằu f 2  . xi xj Bxi Bxj B2f Khi i  j ta viát f 2  f 2  xi xi : x2 2 i Bxi Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 23 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng cĐp hai v khĂi niằm cên biản giÊm dƯn Vẵ dử Tẵnh cĂc Ôo h m riảng cĐp hai cừa h m số sau v cho nhên x²t: 3 y  f px1, x2q  x1 x1x2 1. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 24 / 27
9. Ghi chú Ôo h m riảng cĐp hai v khĂi niằm cên biản giÊm dƯn ành lẵ Schwarz ành lẵ Cho h m số y  f px1, x2, , xnq. Náu f px1, x2, , xnq cõ cĂc Ôo h m riảng cĐp hai liản tửc thẳ f 2  f 2 . xi xj xj xi Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 25 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng cĐp hai v khĂi niằm cên biản giÊm dƯn Vẵ dử a Cho h m ẵch lủi cĂ nhƠn Upx1,2 q  px1 1qpx2 2q. Chựng minh rơng h m lủi ẵch thọa mÂn tẵnh chĐt lủi ẵch cên biản theo tứng h ng hõa giÊm dƯn. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 26 / 27 Ghi chú Ôo h m riảng cĐp hai v khĂi niằm cên biản giÊm dƯn Vẵ dử Cho h m sÊn xuĐt trong d i hÔn Q  AK αLβ. Tẳm iãu kiằn vã cĂc tham số α, β º h m sÊn xuĐt thọa mÂn tẵnh hủp lẵ trong kinh tá. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 27 / 27