›
›

Bài giảng Địa số, giải tích và ứng dụng - Phép tính vi phân hàm nhiều biến - Nguyễn Thị Nhung

pdf 13 trang hapham 110
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Địa số, giải tích và ứng dụng - Phép tính vi phân hàm nhiều biến - Nguyễn Thị Nhung", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dia_so_giai_tich_va_ung_dung_phep_tinh_vi_phan_ham.pdf

Nội dung text: Bài giảng Địa số, giải tích và ứng dụng - Phép tính vi phân hàm nhiều biến - Nguyễn Thị Nhung

  1. Ghi chú Ôi số, giÊi tẵch v ựng dửng Nguyạn Thà Nhung Bở mổn ToĂn - Ôi hồc Thông Long Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 1 / 38 Ghi chú Chữỡng V Ph²p tẵnh vi phƠn h m nhiãu bián Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 2 / 38 Ghi chú Ôo h m to n phƯn Cổng thực Ôo h m to n phƯn Cho h m y  f px, tq, x  gptq. Khi õ By Bf dx Bf  (1) Bt Bx dt Bt Cho h m y  f px1, x2, tq, x1  gptq, x2  hptq. Khi õ By Bf dx1 Bf dx2 By  , (2) Bt Bx1 dt Bx2 dt Bt Cho h m y  f px1, x2, u, vq, x1  gpu, vq, x2  hpu, vq. Khi õ By Bf Bx1 Bf Bx2 Bf  , (3) Bu Bx1 Bu Bx2 Bu Bu By Bf Bx1 Bf Bx2 Bf  , (4) Bv Bx1 Bv Bx2 Bv Bv Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 3 / 38
  2. Ghi chú Ôo h m to n phƯn Vẵ dử tẵnh Ôo h m to n phƯn B i toĂn Tẵnh Ôo h m to n phƯn cừa cĂc h m số sau: a. y  x2t t, x  2t3 1. 2 b. y  x1t x2t, x1  t 1, x2  t 1. 2 2 c. y  x1pt sq x2pt s q, x1  t s, x2  t Ă s. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 4 / 38 Ghi chú Ôo h m to n phƯn Tẳnh huống trong b i CƠu họi tẳnh huống Cho h m cung v h m cƯu cừa mởt h ng hõa cõ dÔng: Qd  ĂP 2Y0 Qs  P Ă 5 trong õ Qd , Qs tữỡng ựng l lữủng cƯu v lữủng cung, P l giĂ cừa h ng hõa, Y0 l thu nhêp. HÂy x²t xem giĂ cƠn bơng v lữủng cƠn bơng cừa h ng hõa s³ thay ời thá n o khi thu nhêp tông lản. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 5 / 38 Ghi chú Ôo h m to n phƯn Tẳnh huống trong b i CƠu họi tẳnh huống Cho h m cung v h m cƯu cừa mởt h ng hõa cõ dÔng: 3 Qd  ĂP 2Y0 Qs  P Ă 5 trong õ Qd , Qs tữỡng ựng l lữủng cƯu v lữủng cung, P l giĂ cừa h ng hõa, Y0 l thu nhêp. HÂy x²t xem giĂ cƠn bơng v lữủng cƠn bơng cừa h ng hõa s³ thay ời thá n o khi thu nhêp tông lản. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 6 / 38
  3. Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân mởt bián cho mởt phữỡng trẳnh KhĂi niằm vã h m ân ? H m cho dữợi dÔng y  f pxq, ch¯ng hÔn y  f pxq  3 1 Ă x3 ữủc gồi l h m hiằn bði vẳ y ữủc biºu diạn dữợi dÔng tữớng minh nhữ l h m cừa x. Náu h m n y ữủc viát dữợi dÔng tữỡng ữỡng x3 y 3  1 ? thẳ ta khổng cỏn h m hiằn nỳa m h m y  1 Ă x3 ữủc ành nghắa mởt cĂch ân qua phữỡng trẳnh x3 y 3  1. Khi chúng ta ch¿ cõ phữỡng trẳnh dÔng F py, xq  0 v biát tỗn tÔi h m y  f pxq thọa mÂn F px, yq  0 những cõ thº khổng biát dÔng tữớng minh cừa nõ thẳ trong trữớng hủp õ y  f pxq ữủc gồi l h m ân xĂc ành bði phữỡng trẳnh F py, xq  0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 7 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân mởt bián cho mởt phữỡng trẳnh KhĂi niằm vã h m ân mởt bián ành nghắa Cho phữỡng trẳnh F py, xq  0, trong õ f :Ω íẹ R l mởt h m số xĂc ành trản têp Ω trong R 2. Náu tỗn tÔi mởt h m số f : I íẹ R xĂc ành trản mởt khoÊng I € R sao cho pf pxq, xq P Ω v F pf pxq, xq  0, @x P I , thẳ h m số y  f pxq gồi l h m ân xĂc ành bði phữỡng trẳnh F py, xq  0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 8 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân mởt bián cho mởt phữỡng trẳnh ành lẵ h m ân mởt bián ành lẵ (ành lẵ h m ân) GiÊ sỷ phữỡng trẳnh F py, xq  0 thọa mÂn cĂc iãu kiằn: i. F cõ cĂc Ôo h m riảng Fy , Fx liản tửc. ii. Tỗn tÔi iºm py0, x0q l nghiằm cừa F py, xq  0, tực l 1 F py0, x0q  0 v Fy py0, x0q  0. Khi õ tỗn tÔi h m ân y  f pxq xĂc ành trong mởt lƠn cên n o õ cừa iºm px0, y0q. Hỡn nỳa, ta cỏn cõ i. y0  f px0q. ii. f liản tửc v cõ Ôo h m liản tửc. Chú ỵ: ành lẵ h m ân chựng tọ sỹ tỗn tÔi h m ân f những ành lẵ khổng ch¿ ró cho ta h m f cõ dÔng tữớng minh nhữ thá n o. Tuy nhiản ành lẵ h m ân ch¿ ra f cõ Ôo h m. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 9 / 38
  4. Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân mởt bián ành lẵ h m ân mởt bián cho mởt phữỡng trẳnh ành lẵ GiÊ sỷ phữỡng trẳnh F py, xq  0 xĂc ành h m ân y  f pxq. Khi õ Ôo h m cừa f ữủc xĂc ành theo cổng thực sau: F 1 y 1pxq  Ă x (5) 1 . Fy Chú ỵ: ành lẵ vã cổng thực tẵnh Ôo h m h m ân cho ta tẵnh ữủc cĂc Ôo h m riảng cừa h m ân m khổng cƯn biát dÔng tữớng minh cừa nõ; Tuy nhiản, ành lẵ h m ân cụng ch¿ ra rơng muốn dũng ữủc cổng thực (5) thẳ phÊi chựng minh ữủc sỹ tỗn tÔi cừa nõ. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 10 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân mởt bián Vẵ dử X²t xem phữỡng trẳnh F py, xq  0 sau cõ h m ân xĂc ành xung quanh lƠn cên iºm py, xq  p3, 1q khổng? 2x2 4xy Ă y 4 67  0 dy Náu tỗn tÔi hÂy tẵnh v tẵnh giĂ trà cừa nõ tÔi iºm  cho. dx Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 11 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân mởt bián Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 12 / 38
  5. Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân mởt bián Vẵ dử CƠu họi tẳnh huống Cho h m cung v h m cƯu cừa mởt h ng hõa cõ dÔng: 3 Qd  ĂP 2Y0 Qs  P Ă 5 trong õ Qd , Qs tữỡng ựng l lữủng cƯu v lữủng cung, P l giĂ cừa h ng hõa, Y0 l thu nhêp. HÂy x²t xem giĂ cƠn bơng v lữủng cƠn bơng cừa h ng hõa s³ thay ời thá n o khi thu nhêp tông lản. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 13 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân mởt bián Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 14 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân nhiãu bián cho mởt phữỡng trẳnh KhĂi niằm vã h m ân nhiãu bián ành nghắa GiÊ sỷ cĂc bián y v x1, x2, , xm liản hằ vợi nhau bði phữỡng trẳnh F py, x1, x2, , xmq  0, trong õ F py, x1, x2, , xmq l h m m 1 bián xĂc ành trản têp Ω trong R m 1. Náu tỗn tÔi mởt h m số f : U íẹ R xĂc ành trản mởt têp mð U € R m sao cho pf px1, x2, , xmq, x1, x2, , xmq P Ω v F pf px1, x2, , xmq, x1, x2, , xmq  0, @px1, x2, , xmq P U, thẳ h m số y  f px1, x2, , xmq gồi l mởt h m ân xĂc ành bði phữỡng trẳnh F py, x1, x2, , xmq  0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 15 / 38
  6. Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân nhiãu bián cho mởt phữỡng trẳnh ành lẵ h m ân nhiãu bián ành lẵ (ành lẵ h m ân) GiÊ sỷ phữỡng trẳnh F py, x1, , xmq  0 thọa mÂn cĂc iãu kiằn: i. F cõ cĂc Ôo h m riảng Fy , Fx1 , , Fxm liản tửc. ii. Tỗn tÔi iºm py0, x10, , xm0q l nghiằm cừa F py, x1, , xmq  0, tực l F py0, x10, , x0mq  0 v Fy py0, x10, , xm0q  0. Khi õ tỗn tÔi h m ân y  f px1, x2, , xmq xĂc ành trong mởt lƠn cên n o õ cừa iºm px10, x20, , xm0q. Hỡn nỳa, ta cỏn cõ i. y0  f px10, x20, , xm0q. ii. f liản tửc v cõ cĂc Ôo h m riảng liản tửc. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 16 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân nhiãu bián cho mởt phữỡng trẳnh ành lẵ h m ân nhiãu bián Chú ỵ: ành lẵ h m ân chựng tọ sỹ tỗn tÔi h m ân f những ành lẵ khổng ch¿ ró cho ta h m f cõ dÔng tữớng minh nhữ thá n o. Tuy nhiản ành lẵ h m ân ch¿ ra sỹ tỗn tÔi cừa cĂc Ôo h m riảng cừa f Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 17 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân nhiãu bián ành lẵ h m ân nhiãu bián cho mởt phữỡng trẳnh ành lẵ GiÊ sỷ phữỡng trẳnh F py, x1, , xmq  0 xĂc ành h m ân y  f px1, x2, , xmq. Khi õ cĂc Ôo h m riảng cừa f ữủc xĂc ành theo cổng thực sau: By Fx  Ă i pi  1, 2, , mq. (6) Bxi Fy Chú ỵ: ành lẵ vã cổng thực tẵnh Ôo h m h m ân cho ta tẵnh ữủc cĂc Ôo h m riảng cừa h m ân m khổng cƯn biát dÔng tữớng minh cừa nõ; Tuy nhiản, ành lẵ h m ân cụng ch¿ ra rơng muốn dũng ữủc cổng thực (6) thẳ phÊi chựng minh ữủc sỹ tỗn tÔi cừa nõ. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 18 / 38
  7. Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân nhiãu bián Vẵ dử tẵnh Ôo h m h m ân B i toĂn Chựng minh rơng phữỡng trẳnh sau tỗn tÔi h m ân z  zpx, yq xĂc ành xung quanh lƠn cên cừa iºm pz0, x0, y0q  p1, 1, 1q: F pz, x, yq  z4 2z2x zy Ă 4  0. HÂy tẳm cĂc Ôo h m riảng cừa z  zpx, yq xung quanh lƠn cên cừa iºm p1, 1, 1q v tẵnh giĂ trà cừa cĂc Ôo h m riảng n y tÔi iºm p1, 1, 1q. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 19 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân nhiãu bián Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 20 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân nhiãu bián Vẵ dử sỷ dửng Ôo h m h m ân trong b i toĂn so sĂnh tắnh B i toĂn Mổ hẳnh thà trữớng h ng hõa ỡn vợi h m cƯu Qd l h m cừa giĂ P v bián ngoÔi sinh thu nhêp Y0; h m cung Qs l h m cừa giĂ P v bián ngoÔi sinh thu nhêp T0, cho bði mổ hẳnh tờng quĂt sau: Q  DpP Y q pD1 0 D1 Ă 0q d , 0 P ; Y0 ; Q  SpP T q pS1 Ă 0 S1 0q s , 0 P ; T0 , GiÊ sỷ D v S l cĂc h m cõ Ôo h m riảng liản tửc vợi D1 0 D1 Ă 0 P ; Y0 v S1 Ă 0 S1 0. HÂy tẵnh cĂc Ôo h m so sĂnh tắnh, x²t dĐu cĂc Ôo P ; T0 h m v nảu ỵ nghắa kinh tá. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 21 / 38
  8. Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh ành lẵ h m ân cho mởt phữỡng trẳnh Trong phƯn n y ta s³ mð rởng ành lẵ h m ân cho mởt phữỡng trẳnh sang ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh. Cử thº l ta x²t xem khi n o hằ phữỡng trẳnh 1 F py1, , yn, x1, , xmq  0 F 2py y x x q  0 1, , n, 1, , m (7) n F py1, , yn, x1, , xmq  0 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 22 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh ành lẵ h m ân cho mởt phữỡng trẳnh Trong phƯn n y ta s³ mð rởng ành lẵ h m ân cho mởt phữỡng trẳnh sang ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh. Cử thº l ta x²t xem khi n o hằ phữỡng trẳnh s³ xĂc ành cho ta hằ cĂc h m ân y1  f1px1, , xmq y  f px x q 2 2 1, , m (8) yn  fnpx1, , xmq Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 23 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh ành lẵ (ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh) Cho hằ phữỡng trẳnh (9). GiÊ sỷ tỗn tÔi iºm pY0, X0q  py10, , yn0, x10, , xm0q thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau i. CĂc h m F 1, F 2, , F n xĂc ành, liản tửc v cõ cĂc Ôo h m riảng liản tửc tÔi iºm pY0, X0q. ii. Hằ phữỡng trẳnh (9) nhên pY0, X0q l m nghiằm, tực l k F py10, , ym0, x10, , xm0q  0, @k  1, 2, , m. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 24 / 38
  9. Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh ành lẵ (ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh) 1 n iii. ành thực Jacobian cừa F , , F theo cĂc bián y1, , yn sau khĂc khổng BF 1 BF 1 BF 1 By1 By2 Byn BF 2 BF 2 BF 2 Đ 1 n Đ ĐBpF , , F qĐ |J|   By1 By2 Byn  0. Bpy1, , ynq . . . . . . BF n BF n BF n By1 By2 Byn Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 25 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh ành lẵ (ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh) Khi õ hằ phữỡng trẳnh 9 xĂc ành hằ h m ân y1, , yn xĂc ành theo cổng thực 8 trong mởt lƠn cên V cừa X0  px10, , xm0q. Hỡn nỳa, cĂc h m ân trản cỏn thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: 1 n i. y10  f px10, x20, , xm0q, , yn0  f px10, x20, , xm0q. ii. f 1, , f n liản tửc v cõ cĂc Ôo h m riảng liản tửc trong lƠn cên V cừa iºm X0  px10, , xm0q. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 26 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh ành lẵ h m ân cho mởt phữỡng trẳnh 1 F py1, , yn, x1, , xmq  0 F 2py y x x q  0 1, , n, 1, , m (9) n F py1, , yn, x1, , xmq  0 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 27 / 38
  10. Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Giống nhữ trữớng hủp mởt phữỡng trẳnh, ta cõ thº tẵnh ữủc cĂc Ôo h m riảng cừa cĂc h m ân tứ hằ phữỡng trẳnh 9 m khổng cƯn biát dÔng cử thº cừa tứng h m ân. º tẵnh Ôo h m cừa h m ân yk pk  1, nq theo bián xi pi  1, mq ta l m nhữ sau: Bữợc 1: LĐy Ôo h m hai vá cừa cĂc ỗng nhĐt thực trong hằ (9) theo bián xi ta ữủc: $ ' BF 1 BF 1 By BF 1 By ' 1 n  0 ' ' Bxi By1 Bxi Byn Bxi &' BF 2 BF 2 By BF 2 By 1 n  0 Bx By Bx By Bx ' i 1 i n i ' ' n n n ' BF BF By1 BF Byn %'  0 Bxi By1 Bxi Byn Bxi Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 28 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Hay $ ' BF 1 By BF 2 By BF 1 By BF 1 ' 1 2 n  Ă ' ' By1 Bxi By2 Bxi Byn Bxi Bxi &' BF 2 By BF 2 By BF 2 By BF 2 1 2 n  Ă By Bx By Bx By Bx Bx (10) ' 1 i 2 i n i i ' ' n n n n ' BF By1 BF By2 BF Byn BF %'  Ă By1 Bxi By2 Bxi Byn Bxi Bxi Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 29 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Hay Ô 1 1 1 Ô Ô 1 BF BF BF By1 BF Ư  Ư  ƯĂ  By1 By2 Byn Bxi Bxi Ư 2 2 2  Ư  Ư  ƯBF BF BF  ƯBy2  Ư BF 2  Ư  Ư  ƯĂ  Ư  Ư Bx  Ư  Ư By1 By2 Byn  Ư i   Ư Bxi  Ư . . .  Ư .  Ư .  Ư . . .  Ư .  Ư .  Ơ Ơ Ơ BF n BF n BF n Byn BF n Ă By1 By2 Byn Bxi Bxi Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 30 / 38
  11. Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Bữợc 2: Vợi giÊ thiát ành thực Jacobian |J|  0, hằ (10) l hằ By1 By2 Byn Crammer cừa n ân , , , v do õ theo cổng thực Bxi Bxi Bxi By nghiằm cừa hằ Crammer k ữủc tẵnh bði cổng thực Bxi Byk |Jk |  , Bxi |J| trong õ |Ji | l ành thực cõ ữủc tứ ành thực |J| bơng cĂch thay cởt thự i trong |J| bði cởt hằ số tỹ do cừa hằ (10). Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 31 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh B i toĂn Tẵnh Ôo h m cừa h m ân z  zpxq, y  ypxq xĂc ành bði hằ phữỡng trẳnh " x y z  0 x2 y 2 z2  1 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 32 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 33 / 38
  12. Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 34 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Vẵ dử sỷ dửng Ôo h m h m ân trong b i toĂn so sĂnh tắnh B i toĂn Mổ hẳnh thà trữớng h ng hõa ỡn vợi h m cƯu Qd l h m cừa giĂ P v bián ngoÔi sinh thu nhêp Y0; h m cung Qs l h m cừa giĂ P v bián ngoÔi sinh thu nhêp T0, cho bði mổ hẳnh tờng quĂt sau: Q  DpP Y q pD1 0 D1 Ă 0q d , 0 P ; Y0 ; Q  SpP T q pS1 Ă 0 S1 0q s , 0 P ; T0 , GiÊ sỷ D v S l cĂc h m cõ Ôo h m riảng liản tửc vợi D1 0 D1 Ă 0 P ; Y0 v S1 Ă 0 S1 0. HÂy tẵnh cĂc Ôo h m so sĂnh tắnh bơng cĂch sỷ dửng P ; T0 ành lẵ h m ân cho hằ phữỡng trẳnh. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 35 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 36 / 38
  13. Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 37 / 38 Ghi chú Ôo h m h m ân Ôo h m h m ân cho hằ phữỡng trẳnh Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 16 thĂng 2 nôm 2012 38 / 38 Ghi chú