Bài giảng Hàm phức và biến đổi Laplace - Chương 1: Biến đổi Laplace

Nội dung text: Bài giảng Hàm phức và biến đổi Laplace - Chương 1: Biến đổi Laplace

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Hàm phức và biến đổi Laplace Chương 1: Biến đổi Laplace • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) 1
2. Mục tiêu của môn học Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về hàm phức và biến đổi Laplace. Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải các bài toán cơ bản: 1. Các phép biến đổi Laplace, giải phương trình, hệ phương trình vi phân bằng các phép biến đổi Laplace, ứng dụng vào giải tích mạch điện. 2. Giải tích phức: các phép đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, thặng dư và cách tính, ánh xạ bảo giác. 2
3. Biến đổi Laplace Biến đổi Laplace ngược Ứng dụng biến đổi Laplace Hàm biến phức: đạo hàm tích phân hàm biến phức Chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent Ánh xạ bảo giác 3
4. Nhiệm vụ của sinh viên. Đi học đầy đủ (vắng 20% trên tổng số buổi học bị cấm thi!). Làm tất cả các bài tập cho về nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%) Thi cuối kỳ: hình thức trắc nghiệm (80%) 4
5. Tài liệu tham khảo 1. Dennis G. Zill. A first course in complex analysis with applications. Jones and Bartlett Publishers, 2003. 2. Nguyễn Kim Đính. Phép biến đổi Laplace. NXB ĐHQG tp.HCM, 2003. 3. Nguyễn Kim Đính. Hàm phức và ứng dụng. NXBĐHQG tp.HCM, 2002 4. 5
6. Nội dung 0.1 – Định nghĩa phép biến đổi Laplace. 0.2 – Tính chất của biến đổi Laplace. 6
7. 0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace. Định nghĩa biến đổi Laplace Cho là một hàm trên . Biến đổi Laplace của là một hàm F được định nghĩa bởi tích phân suy rộng 7
8. 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace. Nhắc lại: Tích phân suy rộng (1) được định nghĩa 8
9. 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm hằng Giải 9
10. 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 10
11. 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải sử dụng tích phân từng phần ta tính được 11
12. 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải sử dụng tích phân từng phần ta tính được 12
13. 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải sử dụng tích phân từng phần ta tính được 13
14. 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm hyperbolic Giải 14
15. 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm hyperbolic Giải 15
16. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace. 1.Tính tuyến tính Cho và là hai hàm có biến đổi Laplace trên và c là một hằng số. Khi đó: Chứng minh trực tiếp từ định nghĩa. 16
17. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 17
18. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 18
19. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 19
20. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace. 2. Tính chất dời theo s. Giả sử . Khi đó Chứng minh. 20
21. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 21
22. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 22
23. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace. 3. Tính chất dời theo t. Giả sử . Khi đó trong đó Trong thực tế ta thường gặp dạng sau đây 23
24. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 24
25. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 25
26. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 26
27. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 27
28. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace. 4. Tính chất đổi thang đo. Giả sử . Khi đó Chứng minh. Đặt 28
29. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Cho tìm Giải 29
30. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace. 5. Nhân với tn. Giả sử . Khi đó Chứng minh. Đạo hàm hai vế, ta có Dùng qui nạp, suy ra kết quả. 30
31. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 31
32. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 32
33. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace. 6. Chia cho t. Giả sử . Khi đó Chứng minh. Tích phân hai vế, ta có 33
34. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 34
35. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace. 7. Đạo hàm của hàm gốc. Giả sử và liên tục. Khi đó Hệ quả. 35
36. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm Giải hàm lọc 36
37. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace. 8. Tích phân của hàm gốc. Giả sử . Khi đó Chứng minh. Sử dụng tính chất 7, đạo hàm của hàm gốc. 37
38. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải 38
39. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace. 9. Hàm tuần hoàn. Giả sử là hàm tuần hoàn với chu kỳ T > 0. Khi đó 39
40. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm với f(t) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 5. Giải 40
41. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Bài tập 1. Tìm biến đổi Laplace của hàm 41
42. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Bài tập 1. Tìm biến đổi Laplace của hàm 42
43. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Bài tập 1. Tìm biến đổi Laplace của hàm 43
44. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Bài tập 2. Tìm biến đổi Laplace của hàm 44
45. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Bài tập 3. Tìm biến đổi Laplace của hàm 45
46. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Bài tập 4. Tìm biến đổi Laplace của hàm Từ đó suy ra 46
47. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Bài tập 5. Tính các tích phân suy rộng sau 47
48. 0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Bài tập 6. Tính các tích phân suy rộng sau 48
49. BÀI TẬP BiẾN ĐỔI LAPLACE 50