Bài giảng Hình họa - Nguyễn Độ

91 trang hapham 1700

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Hình họa - Nguyễn Độ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_hinh_hoa_nguyen_do.pdf

Nội dung text: Bài giảng Hình họa - Nguyễn Độ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT 0 BÀI GIẢNG HÌNH HỌA GVC.ThS NGUYỄN ĐỘ Bộ môn Hình họa – Vẽ kỹ thuật ĐÀ NẴNG - 2005
Baìi giaíng HÇNH HOAû Måí âáöu MỞ ĐẦU A. MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU 1) Mục đích Hình hoạ là một môn học thuộc lĩnh vực Hình học, nhằm: − Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt mà thông thường là mặt phẳng hai chiều − Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán trong không gian bằng cach giải chúng trên các hình biểu diễn phẳng đó − Cung cấp một số kiến thức hình học cơ bản để học tiếp môn Vẽ kĩ thuật và giải quyết một số vấn đề liên quan đến chuyên môn. 2) Yêu cầu của hình biểu diễn Hình biểu diễn phải đơn giản, rõ ràng, chính xác. Các hình biểu diễn phải tương ứng với một hình nhất định trong không gian; người ta gọi tính chất này là tính phản chuyển hay tính tương đương hình học của hình biểu diễn 3) Một số ký hiệu và quy ước Trong bài giảng này sẽ dùng những ký hiệu và qui ước sau: − Điểm Chữ in như: A, B, C, − Đường thẳng Chữ thường như: a,b,c, − Mặt phẳng Chữ Hy lạp hoặc chữ viết hoa như: α, β, γ, δ, A, B, C, − Sự liên thuộc Ký hiệu ∈ như: điểm A∈a; đường thẳng a ∈ mp (α ), b∈mp(Q), − Vuông góc ⊥ như: a ⊥ b − Giao ∩ như: A= d ∩ l − Kết quả = như: g= mpα ∩ mpβ − Song song // như: d // k − Trùng ≡ như: A ≡ B B. CÁC PHÉP CHIẾU I. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 1) Cách xây dựng Trong không gian cho mặt phẳng P và một điểm S không thuộc mp(P ).(Hình 1) Người ta thực hiện phép chiếu một điểm A bất kỳ như sau: Vẽ đường thẳng SA, đường thẳng này cắt mặt phẳng P tại điểm A’ Ta có các định nghĩa: S − P : Mặt phẳng hình chiếu A − S : Tâm chiếu − SA : Đường thẳng chiếu hoặc tia chiếu Hçnh1 − A’ : Hình chiếu xuyên tâm của điểm A từ tâm A’ chiêú S lên mặt phẳng hình chiếu P . P Phép chiếu được xây dựng như trên được gọi là phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S và mặt phẳng hình chiếu P. Một phép xuyên tâm được xác định khi biết tâm chiếu S và mặt phẳng hình chiếu P. GVC.ThS Nguyãùn Âäü 1 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Måí âáöu ¾ Chú ý a) Hình là một tập hợp điểm. Vậy để chiếu một hình ta chiếu một số điểm thành phần của hình đủ xác định hình đó b) Nếu trong không gian Ơclic ta bổ sung thêm các yếu tố vô tận thì: _ Hai đường thẳng son g song xem như cắt nhau tại một điểm ở vô tận: a // b ⎭ a ∩ b = M∞ Như vậy để biểu diễn một điểm ở vô tận ta biểu diễn nó bằng một phương đường thẳng _ Hai mặt phẳng son g song xem như cắt nhau theo một đường thẳng ở vô tận mpα // mpβ ⎭ mpα ∩ mpβ = d∞ 2) Tính chất 1. Hình chiếu xuyên tâm của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng Khi chiếu đường thẳng a, các tia chiếu SA, SB hình thành một mặt phẳng (SAB) gọi là mặt phẳng chiếu. Do đó hình chiếu a’(≡A'B')= mp(SAB) ∩ mp(P) (hình 2) 2. Hình chiếu xuyên tâm của những đường thẳng song song nói chung là những đường thẳng đồng qui Giả sử cho a // b nên các mp(S,a) và mp(S,b) sẽ giao với mp(P) cho các giao tuyến a’, b’ cắt nhau tại điểm M’ (M’ là hình chiếu xuyên tâm của điểm M∞ của đường thẳng a, b) (hình 3) S S b a A B B a A A' M' B' b' a' a' B' P P A’ Hình 2 Hình 3 II. PHÉP CHIẾU SONG SONG 1) Cách xây dựng Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiêu xuyên tâm khi tâm chiếu S ở xa vô tận Như vậy phép chiếu song song được xác định khi biết mặt phẳng hình chiếu P và phương chiếu s A t s Hçnh 4 A’ P Người ta chiếu song song điểm A bằng cách qua A vẽ đường thẳng t song song với phương s, vẽ giao điểm A’ = t ∩ mp(P ) thì A’ là hình chiếu song song của điểm A từ phương chiếu s lên mặt phẳng hình chiếu P (hình 4). 2) Tính chất Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiêu xuyên tâm nên có những tính chất của phép chiếu xuyên tâm. Ngoài ra phép chiếu song song có những tính chất sau: GVC.ThS Nguyãùn Âäü 2 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Måí âáöu 1. Hình chiếu song song của những đường thẳng không song song với phương chiếu là những đường thẳng song song. Giả sử cho a // b nên các mặt phẳng chiếu thuộc a, b song song nhau, do đó giao tuyến của chúng với mặt phẳng hình chiếu P là những đường thẳng song song: a’ // b’ (hình 5) a C b B s A s a' C' B' P b' P A' Hình 5 Hình 6 2. Tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng bằng tỉ số đơn của ba điểm phân biệt hình chiếu của chúng Cho ba điểm A, B ,C phân biệt thẳng hàng, chiếu thành ba điểm A’, B’, C’ cũng phân biệt thẳng hàng.(hình 6). Theo định lý Thalet, ta có: CA C 'A' CB = C 'B' Ký hiệu tỉ số đơn của ba điểm A,B,C như sau: (ABC) = (A’B’C’) III. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC 1) Cách xây dựng Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiêu song song khi phương chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình s chiếu P : s ⊥P (hình 7) P Hình 7 2) Tính chất Phép chiếu vuông góc có những tính chất của phép chiếu song song; Ngoài ra còn có nhiều tính chất, chúng ta sẽ nghiên cứu ở các chương sau. IV. NHẬN XÉT Ta có thể dùng các phép chiếu trên để biểu diễn vật thể trong không gian lên một mặt phẳng. Tuy nhiên với mổi hình chiêu thì chưa xác định được một vật thể duy nhất trong không gian Vì vậy một hình chiếu chưa đảm bảo được tính phản chuyển của hình biểu diễn. ¾ Trong các bài sau chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp các hình chiếu vuông góc mà các hình biểu diễn đảm bảo tính phản chuyển được gọi là đồ thức . === GVC.ThS Nguyãùn Âäü 3 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm Bài 1 ĐIỂM I. ĐỒ THỨC CỦA ĐIỂM I.1 Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc a) Cách xây dựng Trong không gian cho hai mặt phẳng P1 và P2 vuông góc nhau, để dễ hình dung đặt P1 nằm ngang, P2 thẳng đứng. Ta nhận được hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc (hình 1.1) (II) P (I) 2 A Cao>0, xa 0, xa >0 A2 A x AX AX x (III) Cao 0 Hình 1.1 Hình 1.2 Xét một điểm A bất kỳ trong không gian. _ Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên P1 và P 2 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 0 _ Quay mp P1 quanh trục x một góc 90 theo chiều mũi tên qui ước như (hình 1.1) đến trùng P2. Vì mp (A A1 A2) ⊥ P1 và P2 nên sẽ vuông góc với trục x tại điểm AX. Do đó sau khi quay đến vị trí mới ba điểm A1, AX, A2 thẳng hàng và vuông góc trục x (hình1.2) b) Các định nghĩa _ P1 Mặt phẳng hình chiếu bằng _ P2 Mặt phẳng hình chiếu đứng _ x = P1 ∩P2 Trục hình chiếu _ A1 Hình chiếu bằng của điểm A _ A2 Hình chiếu đứng của điểm A _ A1 A2 ( ⊥ x) Đường gióng _ A1 Ax Độ xa của điểm A, qui ước dương nếu A1 nằm phía dưới trục x _ A2 Ax Độ cao của điểm A, qui ước dương nếu A2 nằm phía trên trục x _ (A1, A2 ) Cặp điểm hình chiếu này gọi là đồ thức của điểm A.Thật vậy từ A1, A2 ta có thể dựng lại được điểm A theo thứ tự ngược lại với cách dựng đồ thức của nó Hệ thống P1 và P 2 chia không gian ra làm 4 góc phần tư: _ Góc phần tư 1 - Là phần không gian nằm trên P1 và trước P2 _ Góc phần tư 2 - Là phần không gian nằm trên P1 và sau P2 _ Góc phần tư 3 - Là phần không gian nằm dưới P1 và sau P2 _ Góc phần tư 4 - Là phần không gian nằm dưới P1 và trước P2 + Mặt phẳng phân giác 1. Là mặt phẳng phân giác của P1 và P2 đi qua góc phần tư thứ 1 và góc phần tư thứ 3. Những điểm thuộc mặt phẳng phân giác1 có đồ thức là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình chiếu bằng đối xứng nhau qua trục hình chiếu x GVC.ThS Nguyãùn Âäü 4 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm + Mặt phẳng phân giác 2. Là mặt phẳng phân giác của P1 và P2 đi qua góc phần tư thứ 2 và góc phần tư thứ 4. Những điểm thuộc mặt phẳng phân giác 2 có đồ thức là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình chiếu bằng trùng nhau (Hình 1.3) là hình không gian biểu diễn mặt phẳng phân giác 1, mặt phẳng phân giác 2 và các góc phần tư của hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc P1 và P2 Phân giác 2 Phân giác 1 P2 P2 A A2 x P1 A x 1 P1 Hình 1.3 Hình 1.4 Nếu ta đặt trục hình chiếu x vuông góc với mặt phẳng của tờ giấy thì hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu P1 , P2 và hai mặt phẳng phân giác 1, 2 được biểu diễn như (hình 1.4) Tóm lại Đồ thức của một điểm trong không gian là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình chiếu bằng có thể phân biệt hoặc trùng nhau I.2 Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc a) Cách xây dựng Thêm vào mặt phẳng P3 vuông góc với P1 và P2 , thường P3 đặt phía bên phải người quan sát, ta nhận được hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc như (hình 1.5) z z A2 A Az z P2 A3 A2 P3 A A 3 A y’ x x 0 Ax x 0 45 A A y y’ y A1 A1 P Ay y 1 Hình 1.5 Hình 1.6 Gọi y = P1 ∩ P3 ; z = P 2 ∩P3 Xét một điểm A bất kỳ trong không gian. _ Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên các mặt phẳng P1, P2 , P3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2, A3 . 0 _ Quay các mp P1 , P3 lần lượt quanh các trục x, trục z một góc 90 theo chiều mũi tên qui ước như (hình 1.5). Trục y được tách ra làm hai phần, một phần trục y theo mp P1 đến trùng với trục GVC.ThS Nguyãùn Âäü 5 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm z, một phần trục y’ theo mp P3 đến trùng với trục x. Sau khi quay ta nhận được hình biểu diễn như (hình1.6) b) Các định nghĩa _ P3 Mặt phẳng hình chiếu cạnh _ A2 Az Độ xa cạnh của điểm A, qui ước dương nếu A2 nằm phía bên trái trục z _ A3 Hình chiếu cạnh của điểm A ¾ Chú ý _ A2 Az = 0 Ay’ = 0 Ay = AxA1 _ Vì hai hình chiếu biểu diễn đồ thức của một điểm nên ta dễ dàng vẽ được hình chiếu thứ ba của điểm đó Ví dụ Cho đồ thức của điểm B (B1, B2) (hình 1.7a). Hãy vẽ hình chiếu thứ ba của điểm B. B2 B2 B3 BZ B B1 B1 Y x x y’ By’ y Hình 1.7a Hình 1.7b Hình chiếu cạnh B3 của điểm B được vẽ theo chiều mũi tên như (hình 1.7b) ,với 0By'= 0By II. Quan hệ giữa toạ độ Đềcác và đồ thức của một điểm trong không gian Nếu lấy ba mặt phẳng hình chiếu P1, P2, P3 làm ba mặt phẳng toạ độ Đềcác; ba trục hình chiếu x, y, z làm ba trục toạ độ Đềcác (hình 1.8) z Với điểm A (xA , yA, zA) bất kỳ trong không gian, ta có: A’ _ Hoành độ xA = 0Ax : Độ xa cạnh của điểm A P 2 P 3 _ Tung độ yA = AxA1 : Độ xa của điểm A zA xA 0 _ Cao độ zA = A1 A : Độ cao của điểm A Ax Như vậy y Nếu cho toạ độ Đềcác của một điểm trong không x A yA 1 gian thì ta dễ dàng vẽ được đồ thức cuả điểm đó. P Hình 1.8 1 Ví dụ Cho toạ độ Đềcác của các điểm A (2, 3, 4); B - + - + (4, -2, -5). Hãy vẽ đồ thức của chúng. y z y z A +4 Đồ thức của các điểm A, B được biểu diễn như 2 Az B 1 -2 B (hình 1.9), chú ý chiều dương của các trục x, y, + Z - + - x BX +4 x z . x AX +2 x Trong đó: +3 A OAx = +2; OAY = +3; OAZ = +4 A1 Y -5 B2 B OBx = +4; OBY = -2; OBZ = -5 Y y+ z- y+ z- Hình 1.9 III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIÃI SẴN GVC.ThS Nguyãùn Âäü 6 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm Ví dụ 1 Hãy vẽ đồ thức của các điểm sau: _ Điểm A thuộc mặt phẳng P1 _ Điểm B thuộc mặt phẳng P2 _ Điểm C thuộc mặt phẳng Phân giác 1 _ Điểm D thuộc mặt phẳng Phân giác 2 _ Điểm E thuộc trục hình chiếu x Giải _ Điểm A thuộc mặt phẳng P1 nên có A1≡ A; A2∈ x _ Điểm B thuộc mặt phẳng P2 nên có B2≡ B; B1∈ x _ Điểm C thuộc mặt phẳng phân giác 1 nên có C1và C2 đối xứng nhau qua trục x _ Điểm D thuộc mặt phẳng phân giác 2 nên có D1≡ D2 _ Điểm E thuộc trục hình chiếu x nên có E1≡ E2∈ x ; (Hình 1.10) F2 F3 z B2 F1 FY G G1 Y C2 B E1≡E2 H x 1 x FY ’ o Y ’ y’ GY ’ H2 C1 H D1≡D2 3 A1 G2 G3 H FY 1 Hình 1.10 Hình 1.11 y Ví dụ 2 Cho đồ thức của các điểm F, G, H (hình 1.11). Hãy vẽ hình chiếu cạnh của chúng và cho biết chúng thuộc góc phần tư thứ mấy? Giải Hình chiếu cạnh của các điểm F, G, H được vẽ theo chièu mũi tên bắt đầu đi từ hình chiếu bằng F1, G1, H1 tiếp theo là mũi tên đi qua hình chiếu đứng F2, G2, H2. Ta sẽ xác định được các hình chiếu cạnh F3, G3, H3 ; (Hình 1.11) _ Điểm F có độ cao dương, độ xa âm nên điểm F thuộc góc phần tư thứ 2 _ Điểm G có độ cao âm, độ xa âm nên điểm G thuộc góc phần tư thứ 3 _ Điểm H có độ cao âm, độ xa dương nên điểm H thuộc góc phần tư thứ 4 === GVC.ThS Nguyãùn Âäü 7 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng Bài 2 ĐƯỜNG THẲNG I. ĐỒ THỨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Đồ thức của đường thẳng được xác định bởi đồ thức của hai điểm thuộc đường thẳng đó. Giả sử đường thẳng d được xác định bởi hai điểm A(A1, A2) và B (B1, B2) thì : Hai điểm A1, B1 xác định hình chiếu bằng d1 của đường thẳng d Hai điểm A2, B2 xác định hình chiếu đứng d2 của đường thẳng d (hình 2.1) B2 d2 A2 d2 x x d 1 d1 B1 A1 Hình 2.1 Hình 2.2 Nếu d là đường thẳng thường (d1, d2 không vuông góc trục hình chiếu x ), thì khi biểu diễn đồ thức của đường thẳng d không cần biểu diễn hai điểm thuộc nó (hình 2.2) . ¾ Chú ý _ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác1 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng dối xứng nhau qua trục hình chiếu x _ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác 2 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng trùng nhau II. CÁC VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA ĐƯỜNG THẲNG II. 1 Loại đường thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu 1) Đường bằng (h) a) Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi h là đường bằng, ta có: h // P1 (hình 2.3a) B2 A h P2 h 2 B2 2 A2 2 h β A B x x β β A1 h1 B1 A1 B1 P1 h1 Hình 2.3a Hình 2.3b b) Tính chất: • Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x : h2 // x (hình 2.3b) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 8 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng • Hình chiếu bằng của đường bằng hợp với trục x một góc bằng góc của đường bằng hợp với mặt phẳng hình chiếu đứng : ∠(h1 , x) = ∠ (h , P2) = β • Hình chiếu bằng của một đoạn thẳng thuộc đường bằng, bằng chính nó. Giả sử A, B ∈ h ⇒ A1 B1 = AB (hình 2.3b) 2) Đường mặt (f) a) Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng: Gọi f là đường mặt, ta có: f // P2 (hình 2.4a) f 2 f D 2 D2 f 2 P2 C2 C2 D x α x α C f1 α D1 C1 f1 P C D 1 1 1 Hình 2.4a Hình 2.4b b) Tính chất • Hình chiếu bằng của đường mặt song song với trục x : f1 // x (hình 2.4b) • Hình chiếu đứng của đường mặt hợp với trục x một góc bằng góc của đường mặt hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng : ∠(f2 , x) = ∠(f , P1) = α • Hình chiếu đứng của một đoạn thẳng thuộc đường mặt, bằng chính nó. Giả sử C, D ∈ f ⇒ C2 D2 = CD (hình 2.4b) 3) Đường cạnh (p) a) Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh: p // P3 (hình 2.5a) z p β 2 z β E3 P2 E E E2 β E 3 2 P p 3 2 P3 P P3 F3 0 F F2 F 2 F 3 x 0 α x y’ E1 α p1 y E F 1 1 α P 1 F 1 y p1 Hình 2.5a Hình 2.5b b) Tính chất • Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh, trùng nhau và vuông góc với trục x: p1 ≡ p2 ⊥ x . Hai hình chiếu này chưa biểu diễn được một đường cạnh cụ thể trong không gian. Vì vậy để biểu diễn một đường cạnh cụ thể ta cần phải biểu diễn đồ thức của hai điểm thuộc đường cạnh đó; (hình 2.5b) biểu diễn đường cạnh p được xác định bằng hai điểm E, F • Hình chiếu cạnh của đường cạnh lần lượt hợp với trục y’, z các góc bằng góc của đường cạnh hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng : ∠(p3 , y’) = ∠(p , P1 ) = α GVC.ThS Nguyãùn Âäü 9 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng ∠(p3 , z) = ∠(p , P2) = β • Hình chiếu cạnh của một đoạn thẳng thuộc đường cạnh, bằng chính nó. Giả sử E, F ∈ p ⇒ E 3 F3 = EF (hình 2.5b) II.2 Loại đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu (thì song song với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại ) 1) Đường thẳng chiếu bằng (d) a) Định nghĩa: Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng: d⊥P1 (Hình 2.6a ) d2 d d A P2 A 2 2 2 A B2 B2 x B x A1≡B1≡d1 P A ≡B ≡d 1 1 1 1 Hình 2.6a Hình 2.6b b) Tính chất • Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng suy biến thành một điểm: d1 một điểm • Đường thẳng chiếu bằng vừa là đường mặt vừa là đường cạnh nên có những tính chất của hai loại đường này, tức: - Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng vuông góc với trục x:: d2 ⊥ x - Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu bằng, bằng nhau và bằng chính nó. Giả sử A, B ∈ d ⇒ A2 B2 = A3 B3 = AB ; (hình 2.6b) 2) Đường thẳng chiếu đứng (k) a) Định nghĩa: Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng. Gọi k là đường thẳng chiếu đứng, ta có: k ⊥P2 (Hình 2.7a ) C2 ≡ D2≡ k2 P2 x C2 ≡ D2≡ k2 C k x D C1 k1 C1 D1 D1 P1 k1 Hình 2.7a Hình 2.7b b) Tính chất: • Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm: k2 một điểm • Đường thẳng chiếu đứng vừa là đường bằng vừa là đường cạnh nên có những tính chất của hai loại đường này, tức: - Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng vuông góc với trục x: : k1⊥ x GVC.ThS Nguyãùn Âäü 10 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng - Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu đứng bằng nhau và bằng chính nó. Giả sử C, D ∈ k ⇒ C1 D1 = C3 D3 = CD (hình 2.7b) 3) Đường thẳng chiếu cạnh (l) a) Định nghĩa Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh Gọi l là đường thẳng chiếu cạnh, ta có: l ⊥P3 (Hình 2.8a ) z z E2 F2 E3 ≡F3 ≡l3 P l2 2 E F2 2 l2 F E E ≡ F ≡l l 3 3 3 x 0 y' 0 x P3 l y 1 E F1 l1 1 P1 E F 1 1 y Hình 2.8a Hình 2.8b b) Tính chất: - Hình chiếu cạnh của đường thẳng chiếu cạnh suy biến thành một điểm: l3 - một điểm • Đường thẳng chiếu cạnh vừa là đường bằng vừa là đường mặt nên có những tính chất của hai loại đường này, tức: - Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu cạnh song song nhau và song song với trục x: l1 // l2 // x . - Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu cạnh bằng nhau và bằng chính nó: Giả sử E, F ∈ l ⇒ E1 F1 = E2 F2 = EF (hình 2.8b) III. SỰ LIÊN THUỘC CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG Sau đây sẽ trình bày hai định lý không chứng mimh 1) Điểm thuộc đường thẳng thường Đường thẳng thường là đường thẳng không phải là đường đường cạnh Định lý Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một đường thẳng thường là các hình chiếu cùng tên của điểm và đường thẳng đó thuộc nhau Cho điểm A(A1, A2) và đường thẳng d(d1, d2), A2 (hình2.9); định lý trên được viết dưới dạng: d 2 x ⎧A1 ∈ d1 A∈ d ⇔ ⎨ d1 ⎩A2 ∈ d2 A Hình 2.9 1 2) Điểm thuộc đường cạnh Định lý Điều kiện cần và đủ để điểm C thuộc đường cạnh AB là tỉ số đơn của ba điểm A, B, C trên các hình chiếu bằng nhau . Cho điểm C (C1, C2) và đường cạnh AB (A1B1, A2B2), định lý trên được viết dưới dạng: GVC.ThS Nguyãùn Âäü 11 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng C ∈ AB ⇔ (A1 B1 C1) = (A2 B2 C2) Ví dụ Cho đường cạnh AB (A1B1, A2B2) và hình chiếu đứng C2 của điểm C; (hình 2.10). Hãy vẽ hình chiếu bằng C1 của điểm C biết C∈ AB . Để vẽ điểm C1 ta thực hiện như sau: _ Vẽ tia A1t bất kỳ, đặt trên đó các điểm C’, B’sao cho: A1 C’ = A2C2 ; C’B’ = C2B2 _ Nối B’B1 _ Đường thẳng vẽ qua điểm C’song song với B2 phương B’B1 cắt đường thẳng A1B1 tại điểm C1 là điểm cần vẽ; C2 Thật vậy, theo định lý Thalet, ta có: (A1B1C1) = (A1B’C‘) A x Mà (A1B’C‘) = (A2B2C2) ⇒ (A1B1C1) = (A2B2C2) thoả mãn định lý trên ; (Hình 2.10) A Hình 2.10 C’ C1 B’ B 3) Vết của đường thẳng 1 t Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu a) Vết bằng (M) _ Định nghĩa: Vết bằng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi M là vết bằng của đường thẳng d, ta có: M = d ∩ P1 ( Hình 2.11a) _ Tính chất + Hình chiếu bằng của vết bằng trùng với chính nó : M1 ≡ M + Hình chiếu đứng của vết bằng thuộc trục x : M2 ∈ x ( Hình 2.11b) N2 N2≡N P2 d2 d2 d x M2 M x 2 N 1 d1 N1 M1≡M d1 P1 M1 Hình 2.11a Hình 2.11b b) Vết đứng (N) _ Định nghĩa Vết đứng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi N là vết đứng của đường thẳng d, ta có: N = d ∩ P2 ; ( Hình 2.11a) _ Tính chất + Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó : N2 ≡ N + Hình chiếu bằng của vết đứng thuộc trục x : N1 ∈ x ; (hình 2.11b) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 12 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng IV.PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC Phương pháp tam giác dùng để xác định độ dài thật của một đoạn thẳng và góc nghiêng của đoạn thẳng đó tạo với mặt phẳng hình chiếu Giả sử có đoạn thẳng AB, chiếu vuông góc nó xuống P1 được A1B1; (hình 2.12). Kẽ AC // A1B1 Trong tam giác vuông ACB, ta có: AC = A1B1 và BC = ⏐BB1 - AA1⏐: Hiệu độ cao của A, B. Với nhận xét này ta có thể vẽ được độ dài thật của đoạn thẳng AB như sau: “Vẽ một tam giác vuông có một cạnh góc vuông A1B1 là hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB, cạnh góc vuông còn lại B1B0 bằng hiệu độ cao hai đầu mút A, B; thì cạnh huyền A1B0 là độ dài thật của đoạn thẳng cần tìm và góc nghiêng α = (B0A1B1) là góc của đoạn thẳng AB hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng “. B B2 B2 α C A x A B1 1 α B1 A1 P1 B0 Hình 2.12 Hình 2.13 Phương pháp xác định độ dài thật của đoạn thẳng AB và góc nghiêng của đoạn thẳng đó tạo với mặt phẳng hình chiếu bằng P 1 đã nêu ở trên gọi là phương pháp tam giác. Tương tự, ta cũng có thể xác định được độ dài thật của đoạn thẳng và góc nghiêng của đoạn thẳng tạo với mặt phẳng hình chiếu đứng; bằng cách vẽ một tam giác vuông có một cạnh góc vuông là hình chiếu đứng của đoạn thẳng, cạnh góc vuông còn lại bằng hiệu độ xa của hai đầu mút đoạn thẳng đó N2 V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIÃI SẴN B2 C2 Ví dụ 1 A I2 Cho đường thẳng AB. Hãy xác định: 2 a) Vết bằng, vết đứng của đường thẳng AB M2 x b) Điểm C trên đường thẳng AB có độ cao gấp đôi độ xa N 1 B1≡ I1 Giải C1 a) Gọi M, N lần lượt là vết bằng và vết đứng của đường A1 M thẳng AB, ta có : 1 Hình 12.14 _ M2 = A2B2 ∩ x ⇒ M1 ∈A1B1- là vết bằng của AB _ N1 = A1B1 ∩ x ⇒ N2 ∈ A2B2 - là vết đứng của AB b) Gọi I là điểm có độ cao gấp đôi độ xa và B1≡ I1. Đường thẳng N1I2 cắt A2B2 tại điểm C2 là hình chiếu đứng của điểm C cần tìm. Từ C2∈ A2B2 ⇒ C1∈ A1B1 ; (Hình 2.14) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 13 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng Ví dụ 2 Cho điểm A(A1, A2) và hình chiếu đứng B2 của điểm B. Hãy xác định hình chiếu bằng của điểm B trong các trường hợp sau: a) Biết AB có độ dài l = 30 mm 0 b) Biết AB hợp với P1 góc α < 90 0 c) Biết AB hợp với P2 góc β < 90 Giải a) Vẽ tam giác vuông A1A0B’ vuông tại A1 có một cạnh góc vuông A1A0 bằng hiệu độ cao của hai điểm A, B; cạnh huyền A0B’ = AB = 30mm. Theo phương pháp tam giác thì cạnh góc vuông còn lại A1B’ bằng hình chiếu bằng A1B1 của AB. Như vậy B1 là giao điểm của đường tròn (A1, A1B’) với đường gióng qua B2 ; (Hình 2.15a) B0 B B 2 2 B2 A2 A2 β A2 x x x B’ B’ B’ A A 1 1 A0 A 0 A1 H 900-α B1 B1 l= 30 mm B 1 B’ B’ Hình 2.15a Hình 2.15b Hình 2.15c b) Vẽ tam giác vuông A1A0B’ vuông tại A1 có một cạnh góc vuông A1A0 bằng hiệu độ cao của hai điểm A, B. Vì ∠(AB, P1 ) = α nên theo phương pháp tam giác thì cạnh huyền A0B’ hợp với 0 cạnh A1A0 góc 90 - α và cạnh góc vuông còn lại A1B’ bằng hình chiếu bằng A1B1 của AB. Như vậy B1 được vẽ là giao điểm của đường tròn (A1, A1B’) với đường gióng qua B2; (Hình 2.15b) c) Vẽ tam giác vuông A2B2B0 vuông tại B2 có một cạnh góc vuông A2B2. Vì ∠(AB, P2 ) = β nên theo phương pháp tam giác thì cạnh huyền A2B0 hợp với cạnh A2B2 góc β và cạnh góc vuông còn lại B2B0 bằng hiệu độ xa của hai điểm A, B, tức: B2B0= HB1 = HB’1; (Hình 2.15c) Ví dụ 3 Cho điểm A(A1, A2). Hãy vẽ đường thẳng đi qua điểm A và nghiêng với mpP1 , mpP2 lần lượt các góc nhọn α, β như hình 2.16a Giải _ Giả sử có đoạn thẳng AB nghiêng với mpP1 , mpP2 lần lượt các góc α, β. GVC.ThS Nguyãùn Âäü 14 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng _ Giữa hình chiếu đứng A2B2, hiệu độ xa của A,B; độ dài thật của AB và góc nghiêng của AB hợp với mpP2 liên quan nhau bởi tam giác vuông A2B2B0 ; (Hình 2.16b) _ Giữa hình chiếu bằng A1B1, hiệu độ cao của A,B; độ dài thật của AB và góc nghiêng của AB với mpP1 liên quan nhau bởi tam giác vuông A1B1B0 ; (Hình 2.16b) B2’’ B2’ t’ A2 B2 B2’’’ B2 β t x β A1≡A2 B α 0 α B1’’ B1’ B1 A1 B1’’’ B1 a) b) c) Hình 2.16 _ Từ (Hình 2.16b), ta vẽ đồ thức của điểm B ở (Hình 2.16c) như sau: + Vẽ hai đường thẳng t, t’ // x và cách A2 đoạn bằng B1B0 (hiệu độ cao của A, B) + Vẽ đường tròn (A2, A2B2), cắt t, t’ tại 4 điểm B2, B2’, B’’1, B’’’2 là các hình chiếu đứng của các điểm B cần dựng + Đường tròn (A1, A1B1), cắt các đường gióng qua các điểm B2, B2’, B’’2, B’’’2 tại 4 điểm B1, B1’, B’’1, B’’’1 là các hình chiếu bằng của các điểm B cần dựng; (Hình 1.16c) _ Bài toán có 4 nghiệm (Để hiểu kỹ hơn hãy tham khảo thêm bai số17* sách “BÀI TẬP HÌNH HOẠ GIÃI SẴN” của tác giả Nguyễn Độ) === GVC.ThS Nguyãùn Âäü 15 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng Bài 3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Ttrong không gian, hai đường thẳng có các vị trí tương đối: giao nhau, song song và chéo nhau I. HAI ĐƯỜNG THẲNG GIAO NHAU 1) Hai đường thẳng thường giao nhau Đường thẳng thường là đường thẳng không phải là đường cạnh 35 Định lý Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường giao nhau là các hình chiếu cùng tên của chúng giao nhau tại các điểm nằm trên một đường gióng Cho hai đường thẳng a,b (hình 3.1), định lý trên được viết thành: a2 I 2 ⎧ a1 ∩ b1 = I1 b2 ⎪ a ∩ b = I ⇔ ⎨ a 2 ∩ b2 = I 2 x ⎪ ⎩ I1 I 2 ⊥ x b1 I a 1 1 Hình 3.1 2) Một đường thẳng thường và một đường cạnh giao nhau Định lý Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng thường và một đường cạnh giao nhau là các hình chiếu cùng tên của chúng giao nhau tại các điểm thoả mản đồ thức của điểm thuộc đường cạnh đó Cho đường thẳng thường d và đường cạnh AB, định lý trên được viết thành: A2 J I2 d2 2 ⎧ d1 ∩ A1 B1 = I1 x B ⎪ 2 d ∩ AB = I ⇔ ⎨ d 2 ∩ A2 B2 = I2 A1 ⎪ = I1 ⎩( A1 B1 I 1 ) (A2 B2 I2 ) d I’ 1 B’ Hçnh 3.2 J B1 1 t Ví dụ Cho đường cạnh AB và hình chiếu đứng d2 của đường thẳng d. Hãy vẽ hình chiếu bằng d1 của đường thẳng d, biết d đi qua điểm J và cắt AB tại điểm I Giải Hình chiếu bằng I1 của điểm I ∈ AB được vẽ bằng cách ứng dụng định lý Thalet như sau: _ Vẽ tia A1 t bất kỳ rồi đặt lên đó các đoạn A1I’ = A2I2 và I’B’ = I2B2 _ Nối B’B1 Đường thẳng qua I’ song song với B’B1 cắt A1B1 tại điểm I1; ta có:(A1B1I1 ) = (A2B2I2 ) ⇒ I∈ AB. Vậy d1 ≡ I1J1 (Hình 3.2) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 16 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1) Hai đường thẳng thường song song Định lý Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường song song nhau là các cặp hình chiếu cùng tên của chúng song song nhau Cho hai đường thẳng thườg a,b; (hình 3.3), định lý trên được viết thành: a2 b2 x ⎧a1 // b1 b1 a // b ⇔ ⎨ a // b a1 ⎩ 2 2 Hçnh 3.3 Chứng minh _ Điều kiện cần: Giả sử a // b nên các cặp mặt phẳng chiếu qua a, b song song nhau, do đó chúng sẽ cắt mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng theo các cặp giao tuyến song song nhau, tức là a1 // b1 và a2 // b2 . _ Điều kiện đủ: Giả sử có hai đường thẳng thường a, b thoả mãn a1 // b1 và a2 // b2. Bằng cách xây dựng ngược lại phép chiếu vuông góc, cặp mặt phẳng song song vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng qua a1, b1 sẽ cắt cặp mặt phẳng song song vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng qua a2, b2 theo hai giao tuyến a, b song song nhau . 3) Hai đường cạnh song song Xét hai đường cạnh có các cặp hình chiếu cùng tên không trùng nhau Định lý “Điều kiện cần và đủ để hai đường cạnh song song nhau là có hai đường thẳng tựa trên chúng giao nhau hoặc song song nhau “ z E Cho hai dường cạnh EF và GH, E 3 định lý trên được viết thành: E 2 G 2 I G2 3 2 G2 F2 H3 F2 H H2 2 0 F3 x x ⎡EH∩GF= I y' EF//GH⇔⎢ E1 E1 ⎣EH//GF G1 G1 F1 F1 I1 H H 1 1 y Hình 3.4 Hình 3.5 Chứng minh _ Điều kiện cần: Giả sử EF // GH, thì bốn điểm E, F, G, H đồng phẳng nên sẽ có hai đường thẳng EH, GF tựa trên chúng giao nhau tại I hoặc song song nhau (ở đây xét giao nhau) _ Điều kiện đủ: Giả sử có hai đường cạnh EF, GH có các cặp hình chiếu cùng tên không trùng nhau và có hai đường thẳng tựa trên chúng EH ∩ GF = I hoặc EH // GF. Thì bốn điểm E, F, G, H đồng phẳng nên hai đường cạnh đó song song nhau, tức: EF // GH (Hình 3.4) ¾ Chú ý Ngoài ra ta có thể phát biểu định lý trên như sau: “Điều kiện cần và đủ để hai đường cạnh song song nhau là hình chiếu cạnh của chúng song song nhau “ (Hình 3.5) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 17 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng Ví dụ Cho đường cạnh AB và điểm M; (Hình 3.6). Hãy vẽ đường thẳng MN // AB Giải Vì AB là đường cạnh nên MN // AB cũng là đường cạnh. Trong mp(MAB), vẽ N thoả mãn MN // AB, giả sử biết trước N2 hãy vẽ N1 như sau: Gọi I = AN ∩ BM ⎭ I2 ∈ B2M2 Mà N2 ∈ A2 I2 ⎭ N1 ∈ A1 I1 I1 ∈ B1M1 A2 c I2 M 2 2 d2 B2 x N2 x A 1 c1 M1 B1 I1 d1 N1 Hçnh 3.6 Hçnh 3.7 III. HAI ĐỪƠNG THẲNG CHÉO NHAU Hai đường thẳng không thoả mãn song song hoặc giao nhau thì chéo nhau; (Hình 3.7) biểu diễn hai đường thẳng c, d chéo nhau. IV. HÌNH CHIÊÚ CỦA GÓC VUÔNG Định lý “Điều kiện cần và đủ để một góc vuông chiếu xuống mặt phẳng hình chiếu thành một góc vuông là góc vuông đó có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu và cạnh góc vuông còn lại không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đó.” B B2 d 2 O 2 c2 A A2 O x x c B1 A 1 A1 B 1 1 P O1 d1 O1 Hình 3.8 Hình 3.9 Hình 3.10 Chứng minh 0 _ Điều kiện cần: Giả sử có ∠AOB = 90 và OA // P1 . Chiếu vuông góc xuống mặt phẳng hình 0 chiếu bằng ta nhận được ∠A1O1 B1 (Hình 3.8), cần chứng minh ∠A1O1B1= 90 Ta có: A1O1 // AO AO ⊥ OB và AO ⊥ OO1 ⇒ AO ⊥mp(B OO1) ⇒ AO ⊥ O1B1 Mà A1O1 // AO ⇒ A1O1 ⊥ O1B1 _ Điều kiện đủ : Giả sử ∠AOB = 900 chiếu vuông góc xuống mặt phẳng hình chiếu bằng được 0 góc ∠A1O1B1= 90 , ta cần chứng minh góc vuông AOB có một cạnh song song mặt phẳng hình chiếu bằng P1; ta có : A1O1 ⊥ mp(OO1B1) (1) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 18 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng B1O1 ⊥ mp(OO1A1A) ⇒ B1O1 ⊥ AO⎫ Mà B O ⊥ AO⎭ ⇒ AO ⊥ mp(OO1 B1) (2) Từ (1) và (2), ⇒ AO // A1O1 , tức AO // mp(P1) (Hình 3.9) biểu diễn đồ thức của góc vuông AOB, có cạnh OA // mp(P1). ¾ Chú ý Định lý trên cũng đúng cho trường hợp hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc với nhau. (Hình 3.10) biểu diễn hai đường thẳng c, d chéo nhau mà vuông góc nhau, với c // P1 Ví dụ C2 Hãy vẽ hình chiếu bằng C1 của điểm C, biết rằng tam giác ABC cân tại C, cho AB là đường bằng, (Hình 3.11) . A2 B2 H Giải x 2 Gọi H là trung điểm của AB, vì tam giác ABC cân tại C nên C1 CH ⊥ AB, vả lại AB // mp (P1)., nên theo định lý trên, ta có A1 C1H1 ⊥ A1B1. H1 B Từ đó ta vẽ được C1 là giao điểm của đường gióng qua C2 với 1 đường thẳng ⊥ A1B1 tại H1 Hçnh 3.11 V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN Ví dụ 1 a2 B2 Cho ba đường thẳng a, b, c chéo nhau; (Hình 3.12). Hãy vẽ A2 đường thẳng d song song với c cắt cả a và b; trong đó a ⊥ mp (P1) d2 b2 Giải c 2 x Giả sử đường thẳng d cần dựng cắt a, b lần lượt tại A, B. Vì a ⊥ b1 mp (P1) nên A1≡ a1. Vả lại d // c nên d1 qua A1 và d1 // c1 a ≡A 1 1 B1 Vì d ∩ b = B; từ d1 ∩ b1 = B1 ⇒ B2∈ b2 d1 Vẽ d2 qua B2 và d2 // c2; (Hình 3.12) c1 Vậy d là đường thẳng thẳng cần vẽ Hình 3.12 Ví dụ 2 Cho hai đường thẳng AB, CD chéo nhau; (Hình 3.13). Hãy xác định khoảng cách và dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó trong các trường hợp sau đây: a) CD⊥ mp (P1); AB là đường thẳng thường b) CD⊥ mp (P2); AB là đường cạnh c) CD⊥ mp (P3); AB là đường thẳng thường Giải a) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD, với N ∈ AB, M ∈ CD Vì CD⊥ mp (P1) nên M1 ≡ C1≡ D1và MN là đoạn đường bằng Vả lại MN ⊥AB ⇒ M1N1 ⊥A1B1 tại N1. Từ N1∈ A1B1⇒ N2∈ A2B2 ⇒ M2N2 // x; (Hình 3.13a) Kết luận: M1N1 = MN - là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD chéo nhau b) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD, với N ∈ AB, M ∈ CD Vì CD⊥ mp (P2) nên M2 ≡ C2≡ D2và MN là đoạn đường mặt Vả lại MN ⊥AB ⇒ M2N2 ⊥A2B2 tại N2. Từ N2∈ A2B2⇒ N1∈ A1B1 ⇒ M1N1 // x; (Hình 3.13b) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 19 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai âæåìng thàóng Kết luận: M1N1 = M2N2 = MN - là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD chéo nhau z A2 B2 B3 D2 B2 N 2 N3 N2 M2 N2 M2≡C2≡D2 A2 A2 A M D2 3 2 C2 M ≡C ≡D C x B2 3 3 3 x 2 o x B y’ C A1 1 A1 M ≡C ≡D 1 M 1 1 1 N’ 1 M1 C 1 D1 N1 N1 B’ N1 B D 1 1 t A1 B1 y Hình 3.13a Hình 3.12b Hình 3.12c c) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD, với N ∈ AB, M ∈ CD Vì CD⊥ mp (P3) nên M3 ≡ C3≡ D3 và MN là đoạn đường cạnh Vả lại MN ⊥AB ⇒ M3N3 ⊥A3B3 tại N3. Từ N3∈ A3B3⇒ N2∈ A2B2 , M2N2 // z và N1∈ A1B1 , M1N1 // y; (Hình 3.13c) Kết luận: M3N3 = MN - là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD chéo nhau Ví dụ 3 Cho diểm A(A1, A2) và đường mặt f (f1, f2); C2 (Hình 3.14). Hãy dựng hình vuông ABCD, biết rằng f B,C thuộc đường mặt f 2 A2 A0 Giải D2 _ ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BC B2 _ vì B,C ∈ f nên AB ⊥ f ⇒ A2B2 ⊥ f2 ⇒ B1∈ f1 x _ Bằng phương pháp tam giác, xác định độ dài thật của đoạn AB là đoạn B2A0 B1 C1 f1 _ Vì BC = AB ⇒ B2C2 = B2A0⇒ C1∈ f1 Vẽ D thoả mãn AD // BC; (Hình 3.14) A1 D1 Hçnh 3.14 === GVC.ThS Nguyãùn Âäü 20 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng Bài 4 MẶT PHẲNG I . ĐỒ THỨC CỦA HAI MẶT PHẲNG Đồ thức của mặt phẳng có thể được xác định bởi một trong các cách sau đây: _ Ba diểm phân biệt không thẳng hàng, mp(ABC); (Hình 4.1a) _ Một điểm và một đường thẳng không thuộc nhau, mp(M, d) ; (Hình 4.1b) _ Hai đường thẳng giao nhau, mp(a, b) ; (Hình 4.1c) _ Hai đường thẳng song song, mp(m, l) ; (Hình 4.1d) B2 a2 M2 d2 m2 A2 C2 b l x x 2 x x 2 a m C 1 1 1 d A1 1 M1 l1 b1 B1 a) mp(ABC) b) mp(M, d) c) mp(a, b) d) mp(m // l) Hình 4.1 Ngoài ra người ta còn biểu diễn mặt phẳng bằng hai vết của chúng như sau: ♣ VẾT CỦA MẶT PHẲNG Vết của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu 1) Vết bằng của mặt phẳng a) Định nghĩa: Vết bằng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi m là vết bằng của mặt phẳng α thì: m = mpα ∩ mpP1 ; (Hình 4.2a) Ký hiệu : mα b) Tính chất _ Hình chiếu bằng của vết bằng trùng với chính nó: m1α ≡ mα _ Hình chiếu đứng của vết bằng trùng với trục x : m2α ≡ x ; (hình 4.2b) P2 P2 nα nα nα nα m2α ≡ n1α ≡ x x m2α ≡ n1α ≡ x x mα mα mα mα P1 P1 Hình 4.2a Hình 4.2b Hình 4.3a Hình 4.3b 2) Vết đứng của mặt phẳng GVC.ThS Nguyãùn Âäü 21 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng a) Định nghĩa: Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi n là vết đứng của mặt phẳng α thì: n = mpα ∩ mpP2 (Hình 4.2a) Ký hiệu : nα b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó: n2α ≡ nα _ Hình chiếu bằng của vết đứng trùng với trục x : n1α ≡ x ; (hình 4.2b) ¾ Chú ý ♦ Thực chất của việc biểu diễn mặt phẳng α bằng hai vết của chúng là biểu diễn mặt phẳng α bằng hai đường thẳng mα, nα cắt nhau hoặc song song nhau lần lượt nằm trong mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng. Do đó hai vết mα , nα của mặt phẳng α phải cắt nhau tại một điểm nằm trên trục x (Hình 4.2a,b) hoặc song song với trục x (Hình 4.3a, b) ♦ Đường thẳng thuộc mặt phẳng thì các vết cùng tên của đường thẳng và mặt phẳng thuộc nhau II. CÁC Vị TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG II. 1- Loại mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 1) Mặt phẳng chiếu bằng a) Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi α là mặt phẳng chiếu bằng, ta có: mpα ⊥ mpP1 b) Tính chất _ Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng: (α1) → 1 đường thẳng _ Hình chiếu bằng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu bằng thì thuộc đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu bằng đó Giả sử : Điểm A ∈ mpα ; d ∈ mpα ⇒ A1 ∈ (α1) ; d1 ≡ (α1 ) ; _ Vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuông góc với trục x : nα ⊥ x ; (Hình 4.4) nα d2 A2 k2 ≡ (β2) B2 x x A1 d1 ≡ (α1) k1 mβ B1 Hình 4.4 Hình 4.5 2) Mặt phẳng chiếu đứng a) Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi β là mặt phẳng chiếu đứng: mpβ ⊥ mpP2 b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng: (β2) → 1 đường thẳng GVC.ThS Nguyãùn Âäü 22 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng _ Hình chiếu đứng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu đứng thì thuộc đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu đứng đó Giả sử : Điểm B ∈ mpβ ; k ∈ mpβ ⇒ B2 ∈ (β2) ; k2 ≡ (β2 ) ; _ Vết bằng của mặt phẳng chiếu đứng vuông góc với trục x : mβ ⊥ x ; (Hình 4.5) 3) Mặt phẳng chiếu cạnh a) Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh Gọi γ là mặt phẳng chiếu cạnh, ta có: mpγ ⊥ mpP3 b) Tính chất _ Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành một đường thẳng: (γ3) → 1 đường thẳng _ Hình chiếu cạnh của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu cạnh thì thuộc đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu cạnh đó Giả sử : Điểm C ∈ mpγ ; l ∈ mpγ ⇒ C3 ∈ (γ3) ; l3 ≡ (γ3 ) ; (Hình 4.6) _ Vết bằng và vết đứng của mặt phẳng chiếu cạnh vuông góc với trục z hay song song với trục x z l2 m ,n ⊥z nγ ⎡ γ γ C3 ⎢ C2 l3≡(γ3) ⎣⎢mγ // nγ // x y’ (Hình 4.6) x o m γ y II.2 Loại mặt phẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu (Thì vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại) 1) Mặt phẳng bằng a) Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi α là mặt phẳng bằng, ta có: mpα // mpP1 A2 B2 C2 (α2) E2 x D2 A F2 1 C1 x (β ) B1 1 D1 E1 F1 Hình 4.7 Hình 4.8 b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của mặt phẳng bằng suy biến thành một đường thẳng song song với trục x: (α2) // x _ Mặt phẳng bằng vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu cạnh nên có những tính chất của hai loại mặt phẳng này Giả sử A, B, C ∈ mpα ⇒ A2, B2, C2 ∈ (α2) _ Hình chiếu bằng của một hình phẳng thuộc mặt phẳng bằng thì bằng chính nó GVC.ThS Nguyãùn Âäü 23 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng ∆ ABC ∈ mpα ⇒ ∆ A1B1C1 = ∆ ABC ; (Hình 4.7) 2) Mặt phẳng mặt a) Định nghĩa Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi β là mặt phẳng mặt, ta có: mpβ // mpP2 b) Tính chất _ Hình chiếu bằng của mặt phẳng mặt suy biến thành một đường thẳng song song với trục x: (β1) // x _ Mặt phẳng mặt vừa là mặt phẳng chiếu bằng vừa là mặt phẳng chiếu cạnh nên có những tính chất của hai loại mặt phẳng này Giả sử D, E, F ∈ mpβ ⇒ D1, E1, F1 ∈ (β1) _ Hình chiếu đứng của một hình phẳng thuộc mặt phẳng mặt thì bằng chính nó ∆ DEF ∈ mp β ⇒ ∆ D2E2F2 = ∆ DEF ; (Hình 4.8) 3) Mặt phẳng cạnh a) Định nghĩa Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh Gọi δ là mặt phẳng cạnh, ta có : mpδ // mpP3 b) Tính chất _ Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của mặt phẳng cạnh suy biến thành hai đường thẳng trùng nhau và vuông góc với trục x: (δ1) ≡ (δ2) ⊥ x (δ ) _ Mặt phẳng cạnh vừa là mặt phẳng chiếu 2 z D3 bằng vừa là mặt phẳng chiếu đứng nên có D2 những tính chất của hai loại mặt phẳng này K K2 3 L2 L Giả sử :D, K, L ∈ mpδ; (Hình 4.9) x o 3 y’ ⇒ D1, K1 , L1∈ (δ1) và D2, K2 ,L2∈ (δ2) _ Hình chiếu cạnh của một hình phẳng thuộc D1 mặt phẳng cạnh thì bằng chính nó, giả sử : L1 ∆ DKL ∈ mpδ ⇒ ∆ D3K3L3 = ∆ DKL K 1 y Hình 4.9 (δ1) III. SỰ LIÊN THUỘC CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VỚi MẶT PHẲNG (Bài toán cơ bản trên mặt phẳng) B d 2 Dựa vào hai tiên đề sau đây để biểu diễn sự liên thuộc của 2 E2 F điểm, đường thẳng với mặt phẳng A 2 2 1. Một đường thẳng thuộc một mặt phẳng nếu nó có hai x C2 điểm thuộc mặt phẳng đó A1 2. Một điểm thuộc một mặt phẳng nếu nó thuộc một C d 1 1 E đường thẳng của mặt phẳng đó 1 F 1 B1 Hình 4.10 Ví dụ1 Cho mặt phẳng ABC (hình 4.10). Hãy vẽ một đường thẳng d bất kỳ thuộc mặt phẳng ABC. GVC.ThS Nguyãùn Âäü 24 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng Giải - Trong mặt phẳng ABC, ta lấy hai điểm bất kỳ E, F; chẳng hạn E ∈AB, F∈ AC. Hai điểm phân biệt E, F xác định đường thẳng d có đồ thức: E1F1 ≡ d1 và E2F2 ≡ d2 - Đường thẳng d có hai điểm E, F thuộc mp(ABC) nên theo tiên đề1 thì (d1, d2) là đồ thức của đường thẳng d thuộc mặt phẳng (ABC) ; (hình 4.10) Ví dụ 2 Cho mặt phẳng được xác định bỡi hai đường thẳng giao nhau a, b và hình chiếu đứng K2 của điểm K; (hình 4.11). Hãy vẽ hình chiếu bằng K1, biết K thuộc mặt phẳng (a, b) Giải Trong mp (a,b), vẽ đường thẳng g đi qua điểm K; g2 đi qua K2. Vì g ∈ mp(a,b) nên vẽ được g1 Từ K2 ∈ g2 ⇒ K1∈ g1 . Vậy (K1, K2) là đồ thức của điểm K thuộc mp(a,b) cần dựng IV. CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG 1) Đường bằng của mặt phẳng a) Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi hα là đường bằng của mặt phẳng α: hα ∈ mpα và hα // (P1 ) ; (Hình 4.12a) b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x: h2α // x ; (Hình 4.12b) h2 // x ; (Hình 4.13) _ Hình chiếu bằng của đường bằng song song với vết bằng của mặt phẳng : h1α // mα α P2 A2 nα nα B2 h2α h E F2 h2 N2 2α 2 N C x N1 x 2 x hα E1 h1α h1α B 1 C mα 1 mα F P1 1 h1 A 1 Hình 4.12a Hình 4.12b Hình 4.13 2) Đường mặt của mặt phẳng a) Định nghĩa Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi fα là đường mặt của mặt phẳng α: fα ∈ mpα và fα // (P2) ; (Hình 4.14a) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 25 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng α O P2 2 nα f2α b2 f2α E2 F nα a2 2 fα f2 x M2 x x a f1α f 1 M 1α mα M f1 1 E1 F1 P1 mα b1 O1 Hình 4.14a Hình 4.14b Hình 4.15 b) Tính chất _ Hình chiếu bằng của đường mặt song song với trục x: f1α // x ; (Hình 4.14b) f1 // x ; (Hình 4.15 ) _ Hình chiếu đứng của đường mặt song song với vết đứng của mặt phẳng : f2α // nα ¾ Chuï yï ♦ Đường bằng hα ∈ mpα nên vết đứng N của đường bằng hα thuộc vết đứng nα của mpα ♦ Đường mặt fα ∈ mpα nên vết bằng M của đường mặt fα thuộc vết bằng mα của mpα ♦ Nếu mặt phẳng α là mặt phẳng chiếu cạnh thì đừơng thẳng chiếu cạnh kα ∈ mpα vừa là đường bằng vừa là đường mặt (Hình 4.16 a, b) N P2 2 n α nα D2 k2α k α α N 2 x 1 M2 kα k α D 1 1 mα x k1α M1 mα P1 Hçnh 4.16a Hçnh 4.16b 3) Đường dốc nhất của mặt phẳng dối với mặt phẳng hình chiếu a) Đường dốc nhất của mặt phẳng dối với mặt phẳng hình chiếu bằng ♦ Định nghĩa Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và tạo với mặt phẳng hình chiếu bằng một góc lớn nhất so với các đường thẳng khác thuộc mặt phẳng đó N2 P N2 N 2 nα M D2 nα B 2 d d 2 d2 2 x x M2 x C2 d ϕ 1 N1 M B1 1 M C M1 1 P1 d1 mα mα D1 N1 Hình 4.17a Hình 4.17b Hình 4.17c GVC.ThS Nguyãùn Âäü 26 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng Gọi d là đường dốc nhất của mp α đối với mặt phẳng hình chiếu bằng (Hình 4.17a) ♦ Tính chất - Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng thì vuông góc với đường bằng (hay vết bằng) của mặt phẳng đó, nên góc vuông được bảo tồn ở hình chiếu bằng, tức d ⊥ hα (mα) ⇒ d1 ⊥ h1α hay d1 ⊥ mα (Hình 4.17b) (Hình 4.17c) biểu diễn MN là đường dốc nhất của mặt phẳng (NBC) đối với mặt phẳng hình chiếu bằng, MN vuông góc với đường bằng BD ⇒ N1M1 ⊥ B1D1 - Góc của đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng chính là góc của mặt phẳng đó hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng : ∠(d, P1) = ∠(mpα , P1) = ϕ b) Đường dốc nhất của mặt phẳng dối với mặt phẳng hình chiếu đứng ♦ Định nghĩa Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và tạo với mặt phẳng hình chiếu đứng một góc lớn nhất so với các đường thẳng khác thuộc mặt phẳng đó nα nα P2 E2 E g g 2 2 x x δ g E F g1 1 2 m g1 α F P1 m F1 α Hình 4.18 Hình 4.18b Gọi g là đường dốc nhất của mpα đối với mặt phẳng hình chiếu đứng (Hình 4.18a) ♦ Tính chất - Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng thì vuông góc với đường mặt (hay vết đứng) của mặt phẳng đó, nên góc vuông được bảo tồn ở hình chiếu đứng, tức: g ⊥ fα (nα) ⇒ g2 ⊥ f2α hay g2 ⊥ nα (Hình 4.18b) - Góc của đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng chính là góc của mặt phẳng đó hợp với mặt phẳng hình chiếu đứng ∠(g , P2) = ∠(mpα , P2 ) = δ nα nα N2 Ví dụ F2 E0 Cho mặt phẳng α(mα, nα). Hãy xác định δ góc nghiêng của mp α đối mặt phẳng hình x M2 N1 x chiếu bằng và đối với mặt phẳng hình chiếu F1 E2 ϕ đứng N0 M1 Giải mα mα E1 1) Vẽ đường dốc nhất MN của mpα đối Hình 4.19 Hình 4.20 với mpP1 : M1N1 ⊥ mα ⇒ M2N2. (Hình 4.19). Bằng phương pháp tam giác, xác định độ dài thật của đoạn NM là M1N0 ⇒ ∠N1M1N0 =ϕ =∠(MN, P1) = ∠( mpα , P1) 2) Vẽ đường dốc nhất EF của mp α đối với mp P2 : E2F2 ⊥ nα ⇒ E1F1 (Hình 4.20).Bằng phương pháp tam giác, xác định độ dài thật của đoạn EF là F2E0 GVC.ThS Nguyãùn Âäü 27 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng ⇒ ∠E2F2E0 = δ = ∠(EF, P2 ) = ∠(mpα, P2 ) V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN Ví dụ 1 Cho mp α (mα, nα) và hình chiếu đứng A2B2C2 của tam giác ABC; (Hình 4.21a,b). Hãy vẽ hình chiếu bằng A1B1C1, biết tam giác ABC thuộc mp α B2 nα nα N2 A2 B2 K2 N2 A1 A2 C2 x M N B 2 1 x 1 K C 1 2 B1 N1 A1 C1 mα mα M1 C1 Hình 4.21a Hình 4.21b Giải a) Tam giác ABC ∈ mpα ( Hình 4.21a) nên: _ C2∈ x ⇒ C1∈ mα _ BC ∩ nα = K; từ K2 = B2C2 ∩ nα ⇒ K1∈ x và B1∈ K1C1 _ AC ∩ nα = N; từ N2 = A2C2 ∩ nα ⇒ N1∈ x và A1∈ N1C1 b) Tam giác ABC ∈ mpα ( Hình 4.21b) nên: _ AB ∩ nα = N và AB ∩ mα = M. _ Từ N2 = A2B2 ∩ nα ⇒ N1∈ x và M2 = A2B2 ∩ x ⇒ M1∈ mα ⇒ A1, B1∈ M1N1 _ Vì mpα là mặt phẳng chiếu cạnh (mα // nα // x) nên A1C1 //=A2C2 _ Nối B1C1 B2 Ví dụ 2 a2 b2 Cho mpα được xác định bằng hai đường thẳng a,b cắt A2 nhau; (Hình 4.22). Hãy vẽ các vết m , n của mp I2 α α α nα M Giải O A1 B1 2 x _ Gọi A,B lần lượt là vết đứng của đường thẳng a, b. mα a1 Từ A1 = a1 ∩ x ⇒ A2 ∈ a2; (A ≡A2) I1 Từ B1 = b1 ∩ x ⇒ B2 ∈ b2; (B ≡B2) _ Gọi M là vết bằng của đường thẳng a b1 M1 Từ M2 = a2 ∩ x ⇒ M1 ∈ a1; (M ≡M1) Hình 4.22 _ Đường thẳng a,b ∈ mp α nên vết đứng nα đi qua các vết đứng A, B của đường thẳng a,b : nα ≡ A2B2 Gọi O = nα ∩ x ⇒ mα ≡ M1O; (Hình 4.22) Ví dụ 3 Cho đường thẳng d. Hãy dựng mặt phẳng thường và mặt phẳng bằng vết nhận đường thẳng d làm đường dốc nhất của mặt phẳng: GVC.ThS Nguyãùn Âäü 28 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng a) Đối với mp P1 b) Đối với mp P2 Giải a) Vẽ đường bằng h ⊥ d tại I ⇒ h1 ⊥ d1 tại I1 ⇒ mp(d,h) nhận đường thẳng d làm đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mpP1;(Hình 4.23a) b) Vẽ đường mặt f ⊥ d tại I ⇒ f2 ⊥ d2 tại I2 ⇒ mp(d, f) nhận đường thẳng d làm đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mp P2 ;(Hình 4.23b) d2 d2 d2 d2 I2 h2 N2 I2 N2 f2 nα nα x x M2 N1 x M2 N1 x mα M1 d1 h1 I1 mα f1 d1 d1 I1 M1 a) d 1 b) c) d) Hình 4.23 c) Vẽ M, N lần lượt là vết bằng, vết đứng của đường thẳng d; mpα nhận đường thẳng d làm đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mpP1 nên mα ⊥ d1 tại M1⇒ nα đi qua N2; (Hình 4.23c) d) Tương tự, mpα nhận đường thẳng d làm đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mp P2 nên nα ⊥ d2 tại N2⇒ mα đi qua M1 và đi qua giao điểm của nα với trục x; (Hình 4.23d) Ví dụ 4 0 Cho vết bằng mα của mpα. Hãy vẽ vết đứng nα, biết rằng mpα nghiêng với mp P1 góc 60 Giải Ta biết rằng góc nghiêng của mpα đối với mp P1 cũng chính là góc của đường dốc nhất của mpα đó đối với mp P1. Vì vậy ta vẽ đường thẳng d dốc nhất của mpα đối với mp P1 _ d1 ⊥ mα tại M1 và cắt trục x tại N1,⇒ M2∈ x. 0 _ Ta biết rằng mpα tạo với mp P1 góc 60 nên d 0 tạo với mpP1 góc 60 .Vẽ tam giác vuông N2 M1N1N0 có một cạnh góc vuông M1N1, cạnh 0 huyền M1N0 tạo với M1N1 góc 60 _ Theo phương pháp tam giác thì cạnh góc nα d2 vuông còn lại N1N0 bằng hiệu độ cao của M, x M2 N1 N; tức : N1N2 = N1N0 ⇒ d2 ≡ M2N2 _ Vậy nα đi qua N2 và qua giao điểm của mα với 0 trục x ; (Hình 4.24) 60 N0 M1 d1 mα Hình 4.24 === GVC.ThS Nguyãùn Âäü 29 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai màût phàóng Bài 5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG Trong không gian hai mặt phẳng có các vị trí tương đối: giao nhau hoặc song song I. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định lý Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng song song nhau là trong mặt phẳng này chứa hai đường thẳng giao nhau lần lượt song song với hai đường thẳng giao nhau thuộc mặt phẳng kia Ví dụ Cho mặt phẳng (a,b) và điểm M. Qua M hãy dưng mp(c,d) // mp(a,b) a2 I Giải 2 c2 Qua điểm M vẽ hai đường thẳng c, d: M2 b2 d2 _ c // a ⇒ c1 // a1 và c2 // a2 x _ d // b ⇒ d1 // b1 và d2 // b2 Vậy mp(c, d) // mp(a,b) là mặt phẳng cần dựng a1 c1 I1 d1 M b1 1 Hình 5.1 ¾ Chú ý ♦ Hai mặt phẳng song song nhau thì các vết cùng tên của chúng song song Giả sử : mpα // mpβ ⇒ mα // mβ và nα // nβ ; (Hình 5.2) ♦ Điều ngược lại chỉ đúng khi chúng là mặt phẳng thường, còn mặt phẳng chiếu cạnh thì chưa chắc P2 nα P2 nα nα nα nβ nβ nβ nβ x x x x mβ m β mα mα mα mβ mβ P1 mα P1 Hình 5.2 II. HAI MẶT PHẲNG GIAO NHAU Nội dung của phần này là vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng 1) Trường hợp biết một hình chiếu của giao tuyến a) Nếu cả hai mặt phẳng đã cho là mặt phẳng chiếu cùng tên, thì: _ Ta biết được một hình chiếu của giao tuyến suy biến thành một điểm chính là giao điểm của hai đường thẳng suy biến của hai mặt phẳng chiếu đó _ Hình chiếu còn lại của giao tuyến đi qua điểm suy biến đó và vuông góc với trục hình chiếu . GVC.ThS Nguyãùn Âäü 30 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai màût phàóng Ví dụ Hãy vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng α, β chiếu bằng (Hình 5.3) Giải Gọi g = mpα ∩ mpβ . Vì mp α và mpβ ⊥ P1 nên giao tuyến g của chúng vuông góc mpP1 ; có hình chiếu bằng g1 = (α1) ∩ (β1) → 1 điểm Hình chiếu đứng của giao tuyến : g2 ⊥ x I2 n g g2 ≡ (α2) A2 α 2 n β B2 x a2 b2 x a g 1 1 b1 (β1) g1 (α1) A1 B I 1 Hình 5.3 1 Hình 5.4 b) Nếu một trong hai mặt phẳng đã cho là mặt phẳng chiếu, thì: _ Ta biết được một hình chiếu của giao tuyến trùng với đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu đó. _ Để vẽ hình chiếu còn lại của giao tuyến ta áp dụng bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳng không chiếu. Ví dụ Hãy vẽ giao tuyến của mặt phẳng (a, b) với mặt phẳng α chiếu đứng ; (Hình 5.4) Giải Gọi g = mpα ∩ mp(a, b) . Vì mp α ⊥ P2 nên g2 ≡ (α2) . Theo trên, g ∈ mp(a, b) nên g sẽ cắt a, b lần lượt tại các điểm A, B. Do đó g1 ≡ A1B1 2) Trường hợp tổng quát Để vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng α, β bất kỳ (Hình 5.5). Ta phải tìm hai điểm chung của chúng bằng cách dùng hai mặt phẳng phụ trơ. Trình tự giải như sau: 1) Dựng mặt phẳng ϕ phu trợ (ϕ thường là mặt phẳng chiếu) cắt cả mpα và mp β 2) Vẽ hai giao tuyến phụ: a = mpϕ ∩ mpα và b = mpϕ ∩ mpβ 3) Vẽ giao điểm: M = a ∩ b , là một điểm thuộc giao tuyến g Tương tự, vẽ mp ϕ’ phu trợ thứ hai [thường (ϕ‘) // (ϕ) ], ta tìm được điểm thứ hai N∈ g Vậy g ≡MN = mpα ∩ mpβ Ví dụ Hãy vẽ giao tuyến của mặt phẳng (c, d) với mặt phẳng α (mα, nα) (Hình 5.6) Giải _ Dựng mpϕ - làm mặt phẳng bằng phụ trợ (cũng là mặt phẳng chiếu đứng) _ Vẽ hai đường bằng giao tuyến phụ: + a = mpϕ ∩ mpα; Vì mp ϕ ⊥ P2 nên a2 ≡ (ϕ2) ⇒ a1 // mα GVC.ThS Nguyãùn Âäü 31 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai màût phàóng + b = mpϕ ∩ mp(c, d) ; Vì mpϕ ⊥ P2 nên b2 ≡ (ϕ2) ⇒ b1 _ Vẽ giao điểm M = a ∩ b ; Từ a1 ∩ b1 = M1 ⇒ M2∈ a2 I2 g M M 2 a ≡ b ≡ (ϕ ) α b 2 2 2 2 a’ ≡ b' ≡ (ϕ’ ) nα 2 2 2 mpϕ N2 c2 x d2 a b’ N c d a 1 b’ 1 mpϕ’ a’ 1 1 b1 a’ 1 m β α g N1 g1 M1 I1 Hình 5.5 Hình 5.6 Tương tự _ Dựng mp ϕ’ // mpϕ - làm mặt phẳng phụ trợ _ Vẽ hai đường bằng giao tuyến phụ: + a’ = mpϕ’ ∩ mpα; Vì mpϕ’ ⊥ P2 nên a’2 ≡ (ϕ’2) ⇒ a’1 // a1 + b’ = mpϕ’ ∩ mp(c, d); Vì mpϕ’⊥ P2 nên b’2 ≡ (ϕ’2) ⇒ b’1 // b1 _ Vẽ giao điểm N = a’ ∩ b’ ; Từ a’1 ∩ b’1 = N1 ⇒ N2∈ a’2 Kết luận: g ≡ MN = mpα ∩ mp(c, d) III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN Ví dụ 1 Hãy vẽ giao tuyến của mp α và mpβ; được cho trong các trường hợp ở (Hình 5.7a,b,c) Giải a) Vì mα, mβ ∈ P1 ⇒ mα ∩ mβ = M thuộc giao tuyến của (α) và (β). Từ M1 = mα ∩ mβ ⇒M2∈ x Và nα, nβ ∈ P2 ⇒ nα ∩ nβ = N thuộc giao tuyến của (α) và (β). Từ N2 = nα ∩ nβ ⇒ N1∈ x Vậy MN = mpα ∩ mpβ ; (Hình 5.7a) N nα nα 2 nβ nβ N2 g2 nα nβ M N ≡ M 2∞ 2 1 x M2 N1 x N1 N ≡M mβ 1 2 g m 1 mβ α mβ M1 mα mα M1∞ Hình 5.7a Hình 5.7b Hình 5.7c b) Tương tự như trên, vì mα // mβ ⇒ mα ∩ mβ = M∞ ⇒ mpα ∩ mpβ = NM∞ ≡ g (g là đường bằng của mpα và mpβ); (Hình 5.7b) c) Tương tự như trên ⇒ mpα ∩ mpβ = NM - là đường cạnh ; (Hình 5.7c) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 32 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa hai màût phàóng Ví dụ 2 Hãy vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng : mpα (mα, A) và mpβ (nβ, B) ; (Hình 5.8) Giải _ Qua điểm A∈ mpα, vẽ đường bằng h và vẽ vết đứng H của h ⇒ Vết đứng nα di qua H2và qua giao điểm của mα với trục x _ Qua điểm B∈ mpβ, vẽ đường mặt f và vẽ vết đứng F của f ⇒ Vết bằng mβ đi qua F1 và qua giao điểm của nβ với trục x Vẽ giao tuyến MN = mp α ∩ mpβ ; (Hình 5.7) n N α 2 nβ H 2 A2 h2 f2 B 2 x H1 N1 M F 2 2 A 1 f1 mα h1 B1 F 1 mβ M1 Hình 5.8 === GVC.ThS Nguyãùn Âäü 33 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa âæåìng thàóng vaì màût phàóng Bài 6 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG Định lý Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó Ví dụ Cho mp(a, b) và điểm M; (Hình 6.1). Qua M, hãy dựng đường thẳng d // mp(a, b) Giải Trong mặt phẳng (a,b), vẽ đường thẳng l. Qua điểm M vẽ đường thẳng d // l ⇒ d1 // l1 và d2 // l2 Theo định lý trên thì d // mp(a, b) I 2 nα d2 A2 l2 M2 d2 a2 x b x 2 a1 d1 d A l1 1 1 (α1) b1 M1 I1 Hình 6.1 Hình 6.2 II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG GIAO NHAU Nội dung của phần này là vẽ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng 1) Trường hợp biết một hình chiếu của giao điểm a) Nếu mặt phẳng đã cho là mặt phẳng chiếu, đường thẳng bất kỳ, thì: _ Ta biết được một hình chiếu của giao điểm là giao của đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu đó với hình chiếu cùng tên của đường thẳng _ Để vẽ hình chiếu còn lại của giao điểm, ta áp dụng bài toán diểm thuộc đường thẳng Ví dụ Hãy vẽ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng α chiếu bằng (Hình 6.2) Giải Gọi A = d ∩ mpα ⇒ A∈ mpα, vì mp α ⊥ P1 nên A1 ∈ (α1) A∈ d ⇒ A1 ∈d1 Vậy A1 = (α1) ∩ d1⇒ A2 ∈ d2 ; (Hình 6.2) b) Nếu đường thẳng đã cho là đường thẳng chiếu, mặt phẳng bất ky, thì: _ Ta biết được một hình chiếu của giao điểm trùng với điểm suy biến của đường thẳng chiếu đó GVC.ThS Nguyãùn Âäü 34 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa âæåìng thàóng vaì màût phàóng _ Để vẽ hình chiếu còn lại của giao điểm, ta áp dụng bài toán điểm thuộc mặt phẳng Ví dụ Hãy vẽ giao điểm của mp(a, b) với đường thẳng d chiếu bằng; (Hình 6.3) Giải Gọi M = d ∩ mp(a, b) ⇒ M∈ d, vì d ⊥ P1 nên M1 ≡ d1 M ∈ mp(a, b) ⇒ M ∈g ∈ mp(a, b) Từ M1 ∈ g1⇒ M2 ∈ g2; (Hình 6.3) I2 d A2 2 ϕ d B 2 g2 M a 2 2 b x 2 M a 1 g b1 α A1 B1 g1 I1 M1 ≡ d1 Hình 6.3 Hình 6.4 2) Trường hợp tổng quát Để vẽ giao điểm M của đường thẳng d với mpα bất kỳ; (Hình 6.4). Ta phải tìm một điểm chung của chúng bằng cách dùng mặt phẳng phụ trợ, với trình tự giải như sau: 3) Dựng mặt phẳng ϕ phu trợ chứa đường thẳng d (ϕ thường là mặt phẳng chiếu) 4) Vẽ giao tuyến phụ: g = mpϕ ∩ mpα 3) Vẽ giao điểm: M = g ∩ d Vậy M = d ∩ mpα A2 Ví dụ I2 Hãy vẽ giao điểm của đường thẳng d với mp(ABC) F2 M B2 Hình 6.5) 2 E2≡K2 Giải J2 g2 ≡ (ϕ2) ≡ 1) Dựng mặt phẳng ϕ phu trợ chiếu đứng chứa đường C2 thẳng d ⇒ (ϕ2) ≡ d2 x C 2) Vẽ giao tuyến phụ: g ≡ EF = mpϕ ∩ mp (ABC) 1 g I1≡J1 d 1 E1 1 Từ g2 ≡ E2F2 ≡ (ϕ2) ⇒ g1 ≡ E1F1 3) Vẽ giao điểm: M = g ∩ d M1 K1 B1 F1 Từ M1 = g1 ∩ d1 ⇒ M2∈ d2 ⇒ M = d ∩ mpα A1 Hçnh 6.5 Biểu diễn thấy khuất trên hình chiếu Sau khi vẽ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, để gây ấn tượng nỗi cho hình chiếu, người ta thường biểu diễn thấy - khuất của hình với qui ước như sau: _ Mắt người quan sát đặt trên P1, trước P2 và đặt xa vô tận theo các hướng nhìn vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu này _ Mặt phẳng xem như không trong suốt (vật thể đục) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 35 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa âæåìng thàóng vaì màût phàóng Với qui ước này, thì: + Cặp điểm nằm trên đường thẳng chiếu bằng, điểm nào cao hơn sẽ thấy ở hình chiếu bằng. + Cặp điểm nằm trên đường thẳng chiếu đứng, điểm nào xa hơn sẽ thấy ở hình chiếu đứng Trở lại ví dụ (hình 6.5) ¾ Thấy khuất ở hình chiếu bằng: Xét cặp điểm I, J với I∈d, J ∈ BC sao cho I1 ≡ J1. Ta thấy điểm I cao hơn J nên : I1- thấy ⇒ I1M1 - thấy; do đó trên hình chiếu này mặt phẳng che khuất phần còn lại của đường thẳng thuộc phạm vi mặt phẳng ¾ Thấy khuất ở hình chiếu đứng: Xét cặp điểm E, K với K∈ d, E ∈ AC sao cho E2 ≡ K2. Ta thấy điểm K xa hơn E nên : K2 - thấy ⇒ K2M2 - thấy; do đó trên hình chiếu này mặt phẳng che khuất phần còn lại của đường thẳng thuộc phạm vi mặt phẳng III. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Dựa vào định lý về hình chiếu của góc vuông và định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong không gian, ta nêu ra định lý sau: 1) Đối với mặt phẳng thường Định lý Điều kiện cần và đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thường là hình chiếu bằng của đường thẳng vuông góc với hình chiếu bằng của đường bằng (vết bằng) của mặt phẳng và hình chiếu đứng của đường thẳng vuông góc với hình chiếu đứng của đường mặt(vết đứng) của mặt phẳng Cho đường thẳng d và mp α (Hình 6.6), ⎧d ⊥h hay(d ⊥m ) định lý trên viết lại như sau: d⊥mpα ⇔ 1 1α 1 α ⎨ ⎩d 2 ⊥f 2α hay(d 2 ⊥nα ) A z nα 2 A f2α h 3 d2 2α mγ B2 γ3 o B3 x x y’ f1α n γ h y d1 1α mα Hình 6.6 Hình 6.7 Chứng minh ¾ Điều kiện cần: Giả sử d ⊥ mpα ⇒ d ⊥ hα ∈ mpα ⇒ d1 ⊥ h1α hay (d1 ⊥ mα) d ⊥ fα ∈ mpα ⇒ d2 ⊥ f2α hay (d2 ⊥ nα) ¾ Điều kiện đủ: Giả sử có đường bằng hα, đường mặt fα thuộc mpα và đường thẳng d ; mà trên đồ thức thoả mãn : d1 ⊥ h1α hay (d1 ⊥ mα) d2 ⊥ f2α (d2 ⊥ nα) Thì theo định lý về hình chiếu của góc vuông ⇒ d ⊥ hα hay d ⊥ mα d ⊥ fα d ⊥ nα Mà hα, fα hay (mα, nα) là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mpα nên: d ⊥ mpα GVC.ThS Nguyãùn Âäü 36 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa âæåìng thàóng vaì màût phàóng 2) Đối với mặt phẳng chiếu cạnh Nếu mặt phẳng đã cho là mặt phẳng chiếu cạnh thì đường thẳng vuông góc với nó phải là đường cạnh; ngược lại đường cạnh thì chưa chắc vuông góc với mặt phẳng chiếu cạnh Định lý : Điều kiện cần và đủ để đường cạnh vuông góc với mặt phẳng chiếu cạnh là hình chiếu cạnh của đường cạnh vuông góc hình chiếu cạnh suy biến của mặt phẳng chiếu cạnh Cho đường cạnh AB và mặt phẳng γ chiếu cạnh (Hình 6.7), định lý trên được viết thành: AB ⊥ mpγ ⇔ A3B3 ⊥ ( γ3) IV. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN Ví dụ 1 Chứng minh rằng : a) Mặt phẳng có hai vết đối xứng nhau qua trục x thì vuông góc với mặt phẳng phân giác 1 b) Mặt phẳng có hai vết trùng nhau thì vuông góc với mặt phẳng phân giác 2 d nα Giải 2 a) Giả sử cho mp α có hai vết nα , mα đối xứng nhau qua trục x (Hình 6.8). Qua điểm O tuỳ ý x O ≡O trên trục x, ta vẽ đường thẳng 1 2 d ⊥ mpα (1) ⇒ d1 ⊥ mα và d2 ⊥ nα. d1 mα b) Vì nα , mα đối xứng nhau qua trục x nên d1, d2 đối xứng nhau qua trục x ⇒ d∈mp phg1 (2) Hçnh 6.8 Từ (1) và (2) ⇒ mpα ⊥ mp phg1 c) Giả sử cho mpβ có hai vết trùng nhau (nβ ≡ mβ) d1≡ d2 Qua điểm I tuỳ ý trên trục x, ta vẽ đường thẳng d ⊥ mpβ ⇒ d1 ⊥ mβ và d2 ⊥ nβ (1’) x Vì nβ ≡ mβ nên d1 ≡ d2 ⇒ d∈mp phg 2 (2’) I1≡I2 Từ (1’) và (2’) ⇒ mpβ ⊥ mp phg 2 mβ≡nβ Ví dụ 2 Hçnh 6.9 Cho điểm A ( A1, A2) và mặt phẳng α (mα, nα); g ≡ (ϕ ) ≡ d (Hình 6.10). 2 2 2 nα a) Xác định khoảng cách từ điểm A đến mp α A2 B H2 1 b) Hãy vẽ điểm B đối xứng với điểm A qua mpα x B2 Giải H 1 a) Để xác định khoảng cách từ điểm A đến mp α, ta làm d1 g1 như sau: mα _ Qua A vẽ d ⊥ mp α ⇒ d1 ⊥ mα và d2 ⊥ nα A 1 A _ Vẽ giao điểm : H = d ∩ mp α ( dùng mặt phẳng ϕ 0 phụ trợ). Bằng phương pháp tam giác, xác định độ Hçnh 6.10 dài thật của đoạn AH là cạnh huyền H1A0 của tam giác vuông H1A1A0 GVC.ThS Nguyãùn Âäü 37 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa âæåìng thàóng vaì màût phàóng b) Để vẽ điểm B đối xứng với điểm A qua mp α, ta làm như sau: Trên đường thẳng d lấy điểm B sao cho BH = HA ⇒ B1H1 = H1A1⇒ B2∈d2; (Hình 6.10) Vậy B là điểm cần vẽ . Ví dụ 3 Cho đoạn thẳng AB (A1B1, A2B2) và mặt phẳng α (mα, nα). Hãy tìm tập hợp những điểm trên mpα cách đều hai đầu mút A, B (Hình 6.11) Giải Tập hợp những điểm cách đều hai đầu mút A, B là mặt phẳng β - trung trực của đoạn thẳng AB (mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của nó), mpβ được vẽ bằng vết như sau: _ Vẽ đường bằng hβ ⊥ AB tại trung điểm I của AB ⇒ h1β ⊥ A1B1 tại I1 _ Vẽ vết đứng H của đường bằng hβ : H = hβ ∩ mp P2 ⇒H2≡ H Vì hβ∈ mpβ nên vết đứng nβ của mpβ phải đi qua vết đứng H2 ≡ H của đường bằng hβ và vuông góc A2B2 d2 N2 N2 g nβ K2 A2 2 nα g2 nα H2 I2 h2β H2 B2 nβ h2β B x M 2 2 N1 O M2 N1 x O H1 d1 H1 g B g B1 1 1 1 mβ mα I K1 A 1 mα mβ 1 M1 h1β h β M1 1 Hình 6.11 Hình 6.12 _ Gọi O = nβ ∩ x thì vết bằng mβ đi qua O và vuông góc A1B1 (hay mβ // h1β) Theo yêu cầu của đề bài thi tập hợp những điểm cần tìm là giao tuyến của mpα và mpβ: g ≡ MN = mpα ∩ mpβ (Hình 6.11) Ví dụ 4 Cho hai mặt phẳng α (mα , nα), mặt phẳng β (mβ, B) và điểm K; (Hình 6.12).Yêu cầu: a) Hãy vẽ vết đứng của mpβ b) Qua K hãy vẽ đường thẳng d song song với hai mặt phẳng α, β Giải a) Vẽ vết đứng của mpβ như sau : _ Trong mpβ, qua điểm B vẽ đường bằng hβ ⇒ h2β // x và h1β // mβ _ Vẽ vết đứng H của đường bằng hβ : H = hβ ∩ mp P2 ⇒ H2≡ H _ Vì hβ∈ mpβ nên vết đứng nβ của mpβ phải đi qua vết đứng H2 ≡ H của đường bằng hβ b) Vẽ giao tuyến g của mpα và mpβ như sau: _ Vẽ N = nα ∩ nβ ⇒ (N2≡N; N1∈x ) ⇒N ∈g GVC.ThS Nguyãùn Âäü 38 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa âæåìng thàóng vaì màût phàóng _ Vẽ M = mα ∩ mβ ⇒ (M1≡M; M2∈x ) ⇒M ∈g Vậy g ≡ MN = mpα ∩ mpβ Qua K, vẽ đường thẳng d // g ⇒ ( d1 // g1 và d2 // g2 ).Vậy d là đường thẳng cần vẽ (Hình 6.12) Ví dụ 5 Cho điểm A(A1, A2) và đường thẳng d (d1, d2 ); (Hình 6.13). Hãy xác điịnh khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Giải _ Qua A, dựng mp(h, f) ⊥ d ⇒ h1 ⊥ d1 và ⇒ h2 ⊥ d2 _ Vẽ giao điểm: H = d ∩ mp(h, f) - (Dùng mặt phẳng ϕ phụ trợ chiếu đứng chứa d) Từ H1= g1 ∩ d1 ⇒ H2∈ d2 _ Bằng phương pháp tam giác, xác định độ dài thật của đoạn AH là: H1A0 (Hình 6.13) Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là đoạn AH = H1A0 f g2≡ (ϕ2) ≡d2 f2 2 B2 C2 H2 k2 h2 A h A2 2 2 x x g1 A A 1 f 1 f1 1 C1 H1 A0 B k 1 1 h1 h1 d1 Hình 6.13 Hình 6.14 Ví dụ 6 Cho đoạn thẳng AB (A1B1, A2B2) và hình chiếu đứng C2 của điểm C (Hình 6.14). Hãy vẽ hình chiếu bằng C1 của điểm C, biết rằng tam giác ABC vuông tại A Giải Theo giả thiết CA ⊥ AB nên C ∈ mp(h, f) ⊥ AB tại A, vì vậy ta thực hiện như sau : _ Vẽ mp(h, f) ⊥ AB tại A _ C ∈ mp(h, f) ⇒ C∈ k ∈ mp(h, f) ; [ k - là dường bằng thuộc mp(h, f)] Từ C2 ∈ k2 ⇒ C1 ∈ k1 (Hình 6.14) Ví dụ 7 Cho mặt phẳng α (mα, nα), đường thẳng d (d1, d2) và hình chiếu đứng A2 của điểm A thuộc mặt phẳng α (Hình 6.15). Hãy vẽ trong mp α đường thẳng đi qua A và vuông góc với d Giải _ Vẽ hình chiếu bằng A1 của điểm A, bằng cách gắn điểm A vào đường bằng g của mpα Đường thẳng cần vẽ đi qua điểm A vuông góc với d nên thuộc mp β đi qua A, vuông góc với d. Mặt phẳng β được vẽ như sau : GVC.ThS Nguyãùn Âäü 39 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Vë trê tæång âäúi giæîa âæåìng thàóng vaì màût phàóng _ Qua điểm A vẽ đường bằng hβ ⊥ d ⇒ h2β // x và h1β ⊥ d1 _ Vẽ vết đứng H của đường bằng hβ : H = hβ ∩ mpP2 ⇒ H2≡ H _ Vì hβ∈ mpβ nên vết đứng nβ của mpβ phải đi qua vết đứng H2 ≡ H của đường bằng hβ N2 d2 H 2 h2β g2 n A β 2 n x N α H1 1 M2 g mα A1 1 mβ d 1 M1 h β 1 Hình 6.15 _ Vẽ nβ ⊥ d2 và mβ ⊥ d1 (hoặc mβ // h1β) Vã lại, đường thẳng cần dựng thuộc mpα nên nó là giao tuyến của mpα với mpβ: Vậy MN = mpα ∩ mpβ ; (Hình 6.15) === GVC.ThS Nguyãùn Âäü 40 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu Bài 7 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU I. KHÁI NIỆM Ta đã biết rằng độ lớn thât của một đoạn thẳng thuộc đường bằng thể hiện ngay ở hình chiếu bằng. Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, nếu đường thẳng chiếu hoặc mặt phẳng chiếu thì ta biết được một hình chiếu của giao điểm mà không cần sử dụng mặt phẳng phu trợ. Nhưng đối với đường thẳng thường, mặt phẳng thường thì trong hình hoạ người ta dùng các phép biến đổi hình chiếu để biến đường thẳng, mặt phẳng này về các vị trí đặc biệt mà ở vị trí mới này dễ dàng giải được bài toán. Sau khi giải xong có loại bài toán cần phải đưa nghiệm về vị trí ban đầu. II. PHÉP THAY ĐỔI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU Phép thay đổi mặt phẳng hình chiếu là một phép biến đổi mà trong đó hệ thống mặt phẳng hình chiếu thay đổi còn vật thể được biểu diễn thì đứng yên II.1 Thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng a) Định nghĩa Thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng P2 là dùng một mặt phẳng P’2 ⊥ P1 làm mặt phẳng hình chiếu đứng mới Gọi trục hình chiếu mới là s : s = P’2 ∩ P1 Xét một điểm A bất kỳ. Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên các mặt phẳng hình chiếu P1, P2 , P’2 ta nhận được các hình chiếu là: A1, A2, A’2 (Hình 7.1a) A2 P2 A A’2 P2 ’ X x A2 A’ A’ A 2 AS 2 A x X AS s A1 P2 ’ P1 A1 s P1 Hình 7.1a Hình 7.1b b) Tính chất _ Hình chiếu bằng A1 của điểm A trong hệ thống mới và cũ không đổi _ Độ cao của điểm A trong hệ thống mới và cũ bằng nhau: A'2 As = A2 Ax (Hình 7.1a) ¾ Qui ước _ Sau khi quay P’2 quanh trục s đến trùng với P1 rồi tiếp tục quay P1 quanh trục x theo chiều qui ước đến trùng với P2 ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống cũ và mới (Hình 7.1b) _ Ở hai phía trục hình chiếu mới s người ta thường ghi hai mặt phẳng hình chiếu mới P1 và P’2 với qui ước như sau: Nếu độ cao của điểm A dương thì A’2 được đặt về phía có ghi chữ P’2 Ví dụ 1 GVC.ThS Nguyãùn Âäü 41 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu Cho đoạn thẳng AB (A1B1, A2B2); (Hình 7.2). Hãy thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng để AB trở thành đường mặt trong hệ thống mới. A Giải 2 Để AB trở thành đường mặt trong hệ thống mới thì B2 ta phải chọn mp P’2 // AB, tức chọn trục s // A1B1 Áp dụng độ cao mới bằng độ cao cũ ta vẽ được x A1 A’2B’2 (Hình 7.2) B1 Nhận xét P1 _ A’ B’ = AB α 2 2 s P2 ’ A’ B’2 2 _ ∠(A’2B’2, s) = ∠(AB, P1 ) = α Hình 7.2 Ví dụ 2 Cho mặt phẳng (ABC) và điểm M (Hnh 7.3). Bằng phương pháp thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng; hãy xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) A2 Giải H2 _ Để mp(ABC) trở thành mặt phẳng chiếu M2 đứng trong hệ thống mới thì ta phải chọn D2 B2 mp P’2 vuông góc với đường bằng BD của C2 mặt phẳng (ABC) , tức chọn trục s ⊥ B1D1 x C' _ Áp dụng độ cao mới bằng độ cao cũ ta vẽ C1 2 B’2≡D’2 đựơc hình chiếu đứng mới của mp(ABC) B H'2 suy biến thành đoạn thẳng A’ C' 1 D 2 2 1 A’ _ Để xác định khoảng cách từ điểm M đến 2 mp(ABC), ta vẽ : MH ⊥ mp(ABC) H1 A1 M’2 Dễ thấy MH là đường mặt trong hệ thống mới P1 P2 ’ M1 s nên : M’2H'2 ⊥ A2‘C'2 và M1H1 // s Hình 7.3 H2 được xác định nhờ độ cao cũ bằng độ cao mới (Hình 7.3) . _ Khoảng cách từ điểm M đến mp(ABC) chính là đoạn M’2H'2 = MH II.2 Thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng a) Định nghĩa Thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng P1 là dùng một mặt phẳng P’1 ⊥ P2 làm mặt phẳng hình chiếu bằng mới s s P2 B’1 B’1 P1 ’ BS P2 B 2 BS B’1 B2 B BX x x BX B1 P1 ’ P1 B1 Hình 7.4a Hình 7.4b GVC.ThS Nguyãùn Âäü 42 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu Gọi trục hình chiếu mới là s : s = P’1 ∩ P2 Xét một điểm B bất kỳ. Chiếu vuông góc điểm B lần lượt lên các mặt phẳng hình chiếu P1 , P2 , P’1 ta nhận được các hình chiếu là: B1, B2, B’1 (Hình 7.4a) b) Tính chất _ Hình chiếu đứng B2 không đổi trong hệ thống mới và cũ _ Độ xa của điểm B trong hệ thống mới và cũ bằng nhau: B'1 Bs = B1 Bx ( Hình 7.4a) ¾ Qui ước _ Quay P’1 quanh trục s đến trùng với P2 rồi quay P1quanh trục x theo chiều qui ước đến trùng với P2 ta nhận được đồ thức của điểm B trong hệ thống cũ và mới (Hình 7.4b) _ Ở hai phía trục hình chiếu mới s người ta thường ghi hai mặt phẳng hình chiếu mới P’1 và P2 với qui ước như sau: Nếu độ xa của điểm B dương thì B’1 được đặt về phía có ghi chữ P’1 Ví dụ 1 Cho đường mặt AB (A1B1, A2B2) .Hãy thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng để AB trở thành đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới s P2 P1 ’ Giải B2 - Để AB trở thành đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống A 2 B’1≡A’1 mới thì ta phải chọn mp P’2 ⊥AB, tức chọn trục s ⊥ A2B2 . x - Áp dụng độ xa mới bằng độ xa cũ ta vẽ được A’1≡B’1 B1 (Hình 7.5) A1 Hình 7.5 Giải - Để vẽ được tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta phải xác định độ lớn thật của tam giác ABC s ’ P1 J1’ A’1 B’1 - Thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng để mp (ABC) trở P2 thành mặt phẳng bằng trong hệ thống mới, ta phải chọn o'1 A2 I’1 mp P’1 // (ABC) ⇒ s // A2C2 . - Áp dụng độ xa mới bằng độ xa cũ ta vẽ đựơc hình chiếu C'1 bằng mới của tam giác là: A’1B’1C'1 . B2 O2 - Trong tam giác này ta vẽ hai đường phân giác A’1I’1 và I2 x C'1J’1 giao nhau tại O’1 - là tâm của đường tròn nội tiếp tam C2 giác A’1B’1C'1. Trả về hình chiếu ban đầu ta có (O1, O2) là đồ thức của tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABC A1 cần tìm. o C1 1 3) Thay đổi liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu I1 Đối với một số bài toán ta cần phải thay đổi liên tiếp hai mặt B1 phẳng hình chiếu để có hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu mới phù hợp với bài toán , chẳng hạn: Hình 7.6 _ Hệ P1 ⊥ P2 thay đổi P2 → hệ P1 ⊥ P’2 tiếp tục thay đổi P1 → hệ P’2 ⊥ P’1 , hoặc _ Hệ P1 ⊥ P2 thay đổi P1 → hệ P2 ⊥ P’1 tiếp tục thay đổi P2 → hệ P’1 ⊥ P’2 ¾ Chú ý 1) Đối với đường thẳng: _ Để đưa đường thẳng thường về đường bằng hoặc đường mặt trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu một lần GVC.ThS Nguyãùn Âäü 43 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu _ Để đưa đường bằng hoặc đường mặt về đường thẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu một lần. _ Để đưa đường thẳng thường về đường thẳng chiếu trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu liên tiếp hai lần: + Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 1 đưa đường thẳng thường về đường bằng hoặc đường mặt trong hệ thống mới + Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 2 đưa đường bằng hoặc đường mặt đó về đường thẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng trong hệ thống mới 2) Đối với mặt phẳng: _ Để đưa mặt phẳng thường về mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu một lần _ Để đưa mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng về mặt phẳng mặt hoặc mặt phẳng bằng trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu một lần _ Để đưa mặt phẳng thường về mặt phẳng bằng hoặc mặt phẳng mặt trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu liên tiếp hai lần: + Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 1 đưa mặt phẳng thường về mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng trong hệ thống mới + Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 2 đưa mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng đó về mặt phẳng mặt hoặc mặt phẳng bằng trong hệ thống mới (Hình 7.7) biểu diễn các hình chiếu của điểm A bằng cách thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng P2 → P’2 rồi tiếp tục thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng P1 → P’1. Khi vẽ A’1, lấy độ xa mới A’1At = A1As M 2 B2 A2 H2 A2 x AX x M1 B1 A1 t H1 P ’ A1 P2 ’ 1 AS A’1 H'1≡A’1≡ B’1 At P1 H'2 P1 A’ s ‘ 2 P2 ‘ B’2 P2 M’1 s P2 ’ P1 ’ A’2 t M2 Hình 7.7 Hình 7.8 Ví dụ 3 Cho đoạn thẳng AB (A1B1, A2B2) và điểm M (M1, M2) ; (Hình 7.8). Tìm khoảng cách từ điểm M đến đoạn thẳng AB Giải ♦ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu để đường thẳng thường AB trở thành đường thẳng chiếu trong hệ thống mới, trình tự thực hiện hai bước như sau: _ Thay đổi P2 để AB // P’2 ⇒ s // A1B1. Áp dụng độ cao mới bằng độ cao cũ ta vẽ được A’2B’2 _ Thay đổi P1 để AB ⊥P’1 ⇒ t ⊥ A’2B’2. Áp dụng độ xa mới bằng độ xa cũ ta vẽ được A’1 ≡ B’1 ♦ Vẽ MH ⊥ AB. Vì AB ⊥ P’1 ⇒ H'1≡ A’1 ≡ B’1 và dễ thấy MH là đường bằng trong hệ thống mới nên ⇒ M’2H'2 // t và M’1H'1 = MH thể hiện khoảng cách từ điểm M đến đoạn thẳng AB Từ H'2 ∈ A’2B’2 ⇒ H1 ∈ A1B1 và H2 ∈ A2B2 (Hình 7.8) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 44 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu III. PHÉP QUAY QUAH TRỤC Phép quay quanh trục là một phép biến đổi hình chiếu mà trong đó hệ thống mặt phẳng hình chiếu đứng yên, còn vật thể được biểu diễn quay đến vị trí mới phù hợp với yêu cầu của bài toán. III.1 Phép quay quanh trục chiếu 1) Phép quay quanh trục chiếu bằng a) Định nghĩa Phép quay quanh trục chiếu bằng t là một phép biến đổi hình chiếu, sao cho : _ Mỗi điểm M tương ứng với điểm M’, hai điểm này thuộc mặt phẳng bằng vuông góc trục t _ Khoảng cách từ M và M’ đến trục t bằng nhau gọi là bán kính quay: OM = OM’ _ Góc quay ∠ (OM,OM’) = ϕ - có chiều cho trước (Hình 7.9a) b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của đường thẳng nối cặp điểm tương ứng song song với trục x: M2M’2 // x _ Hình chiếu bằng của góc quay ∠ (OM,OM’) bằng chính nó: ∠ (O1M1, O1M’1) = ∠ (OM,OM’) = ϕ ( Hình 7.9b) ¾ Chú ý Những điểm thuộc trục quay t cho ảnh và tạo ảnh trùng nhau: giả sử A∈ t ⇒ A ≡ A’ P2 t t P2 N ϕ N 2 ϕ 2 2 N’2 N’2 M2 M’ t ≡ O O M’ O2 2 t2 ≡ O2 2 2 ϕ x M x N x x ϕ N’ t ≡ O t ≡ O O t 1 1 M’ 1 1 M’ 1 ϕ 1 1 M M1 ϕ t1 N1 P1 1 P1 N’1 O1 Hình 7.9a Hình 7.9b Hình 7.10a Hình 7.10b 2) Phép quay quanh trục chiếu đứng a) Định nghĩa Phép quay quanh trục chiếu đứng t là một phép biến đổi hình chiếu, sao cho : _ Mỗi điểm N tương ứng với điểm N’, hai điểm này thuộc mặt phẳng mặt vuông góc trục t _ Khoảng cách từ N và N’ đến trục t bằng nhau gọi là bán kính quay: ON = ON’ _ Góc quay ∠ (ON,ON’) = ϕ - có hướng cho trước (Hình 7.10a) b) Tính chất _ Hình chiếu bằng của đường thẳng nối cặp điểm tương ứng song song với trục x: N1N’1 // x _ Hình chiếu đứng của góc quay ∠(ON,ON’) bằng chính nó: ∠ (O2N2,O2N’2) = ∠ (ON,ON’) = ϕ ; (Hình 7.10b) ¾ Chú ý + Những điểm thuộc trục quay t cho ảnh và tạo ảnh trùng nhau. Giả sử B ∈ t ⇒ B ≡ B’ + Đối với một số bài toán ta cần phải quay liên tiếp quanh hai trục chiếu để có vị trí mới phù hợp với bài toán GVC.ThS Nguyãùn Âäü 45 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu Ví dụ1 Cho đoạn thẳng AB; (Hình 7.11). Bằng phép quay quanh trục chiếu, hãy xác định độ dài thật của đoạn thẳng AB và góc nghiêng của AB hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng Giải Chọn trục quay t chiếu bằng qua điểm A ⇒ t1 ≡ A1. Quay quanh trục t đưa AB đến vị trí mới A’B’ // P2, ⇒ A’1 ≡ A1 ≡ t1; A’2 ≡ A2 và A’1B’1 // x ⇒ B’2 Kết luận : A’2B’2 = AB và góc ∠(A’2B’2 , x) = α = ∠ (AB, P1) ; (Hình 7.11) t t 2 B2 B’ 2 n 2 α M2 M’ h α 2 2 A’2 ≡ A2 α x x t ≡A ≡A’ H 1 1 1 1 M’1 B’1 h1α t1 mα M1 B1 Hình 7.11 Hình 7.12 Ví dụ2 Cho mặt phẳng α (mα, nα) và điểm M (M1, M2); (Hình 7.12). Hãy chọn trục quay là đường thẳng chiếu và quay quanh trục đó đưa điểm M đến vị trí mới thuộc mặt phẳng α Giải Khi quay diểm M quanh trục t ⊥P1 đến vị trí mới M’ ∈mp α thì M’ thuộc đường bằng hα của mpα, hα cùng độ cao với M. Lúc này M’1∈ h1α và M1t1 = M’1t1. Điều này xãy ra khi ta chọn trục t ⊥ P1 thoả mãn : M1t1 ≥ t1H1 (với H1 là chân đường vuông góc kẽ từ t1 đến h1α) Từ M’1∈ h1α⇒ M’2∈ h2α ; (Hình 7.12) ¾ Chú ý Đối với bài toán quay quanh trục chiếu đưa đường thẳng d đến vị trí mới d’ thuộc mặt phẳng α. Ta chọn trục quay đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng α; sau đó chỉ cần quay một điểm tuỳ ý trên đường thẳng d đến vị trí mới thuộc mặt phẳng α (trở về ví dụ 2 ở trên) III.2 Phép quay quanh đường bằng a) Định nghĩa Phép quay quanh đường bằng là một phép quay quanh trục mà trục ở đây là đường bằng Trong phần này ta xét phép quay một mặt phẳng quanh một đường bằng của nó đến vị trí mới song song với P1 (cùng độ cao với với đường bằng đó) ¾ Xét một điểm M quay quanh đường bằng h đến vị trí mới M’ cùng độ cao với h, ta có: _ M, M’∈mp ⊥ h tại O ⇒ h ⊥ MM’⇒ M1M’1 ⊥ h1 tại O1 (góc vuông được bảo tồn ở mp P1) _ O1M’1 = OM (vì ở vị trí mới bán kính quay OM’ // P1); (Hình 7.13a) Từ đó ta có cách vẽ M’1 trên đồ thức như sau: + Vẽ độ lớn thật của bán kinh quay OM (dùng phương pháp tam giác): O1M0 = OM GVC.ThS Nguyãùn Âäü 46 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu Đặt trên đường thẳng M1O1( ⊥ h1) đoạn O1M’1= O1M0 (Hình 7.13b) A M M 2 2 C 2 O2 h2 B2 D2 M’ O O2 h x x M A0 1 A 1 M1 O1 M0 B’ ≡ B 1 1 O1 O1 M’1 h C1 M’1 h 1 P1 1 D’ ≡D 1 1 C'1 A’1 Hình 7.13a Hình 7.13b Hình 7.14 Ví dụ Cho tam giác ABC. Bằng phép quay quanh đường bằng, hãy xác định độ lớn thật của tam giác ABC Giải + Trong tam giác ABC, vẽ đường bằng BD. + Quay điểm A quanh đường bằng BD đến vị trí mới A’ cùng độ cao với đường bằng BD + Ta có B’1 ≡ B1 và D’1≡D1 (Các điểm thuộc trục quay) + Vì C∈AD ⇒ C1∈A1D1 và C'1∈A’1D’1 (với C1C'1 ⊥A1D1) Kết luận: ∆ A’1B’1 C'1 = ∆ ABC III.3 Phép quay quanh đường mặt Phép quay mặt phẳng quanh đường mặt được xây dựng tương tự như phép quay mặt phẳng quanh đường bằng. Nhưng ở đây quay mặt phẳng đến vị trí mới song song P2 (cùng độ xa với đường mặt đó) III.4 Phép gập mặt phẳng quanh vết Phép gập mặt phẳng quanh vết của nó là trường hợp đặc biệt của phép quay mặt phẳng quanh đường bằng hoặc đường mặt ở vị trí đặc biệt - đó chính là vết bằng, vết đứng của mặt phẳng Mục đích của phép gập mặt phẳng quanh vết bằng, vết đứng của nó là đưa mặt phẳng đến vị trí mới đến trùng với P1 hoặc P2. Nhằm giải một số bài toán về độ lớn thật, hoặc vị trí Ví dụ 1 Cho mặt phẳng α (mα, nα) ; (Hình 7.14). Hãy gập mpα quanh vết bằng mα đến vị trí mới trùng với P1 Giải Để gập mặt phẳng α quanh vết bằng về vị trí mới trùng với P1; vì mα ∈ P1 nên ta chỉ cần quay thêm một điểm của mpα đến trùng với P1. Để đơn giản ta lấy điểm N ∈ nα rồi quay quanh vết bằng mα đến vị trí mới N’ thuộc P1. GVC.ThS Nguyãùn Âäü 47 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu (Hình 7.14a) cũng cho thấy rằng A’1∈ M’1N’1 là hình gập của A∈ MN ∈ mpα Gọi I = mα ∩ x; ta có : IN ≡I2N2 ≡ nα ⇒ I’1N’1= IN ≡ n’α (1) nα nα N N nα N2 2 2 A2 A2 I1≡ I2 O M2 I1≡I2 N M2 N1≡ O2 M2 2 N1 x x 1 x N0 N0 A 1 mα A1 A1 O1 O1 O1 M1≡M’1 A’1 N’1 M1≡M’1 M1≡M’1 n’α N’ A’1 1 A’1 mα mα N’1 n’α n’α Hình 7.14a Hình 7.14b Hình 7.15 ¾ Chú ý + Từ nhận xét (1) thì điểm N’1 được vẽ như sau: N’1 = Vòng tròn ( I1, I2N2) ∩ N1O1 (Hình 7.14b) + Nếu mặt phẳng đã cho là mặt phẳng chiếu cạnh thì khi gập mặt phẳng quanh vết bằng ta vẫn thực hiện như phép quay quanh đường bằng (Hình 7.15) III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN. Ví dụ 1 Cho điểm A và mpα (mα, nα). a) Hãy xác định khoảng cách từ điểm A đến mpα b) Hãy vẽ điểm B đối xứng điểm A qua mpα Giải a) Qua A vẽ đường thẳng d ⊥ mpα ⇒ d1 ⊥ mα và d2 ⊥ nα Vẽ giao điểm H = d ∩ mpα; bằng phương pháp thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng đưa mpα trở thành mặt phẳng chiếu đứng trong hệ thống mới, chọn trục s ⊥ mα ⇒ hình chiếu đứng mới của mpα suy biến thành đường thẳng (α2’). Ta xác định được H'2 = d’2 ∩ (α’2) ⇒ A’2H'2 = AH - là khoảng cách từ điểm A đến mpα ⇒ H1∈d1 và H2∈d2 b) Vẽ điểm B đối xứng điểm A bằng cách lấy HB = HA. Từ B’2∈ d’2⇒ B1∈d1 và B2∈d2, (Hình 7.16) Ví dụ 2 Cho hai đoạn thẳng AB và CD; (Hình 7.17). Hãy thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng để hai hình chiếu bằng mới của chúng song song nhau GVC.ThS Nguyãùn Âäü 48 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu nα s A2 B ’ P P’1’ 1 H C 2 2 B 2 C1’ N 2 2 B A1’ 2 E1’≡D1’ N x E2 1 D2 B A2 1 mα x H1 B2’ A1 A1 D1 E1 P’1 H2’ N2’ s P2 ’ B1 C1 (α2’) Hình 7.1 A’2 Hình 7.17 Giải Vẽ CE // AB; trong mp (CDE) ta vẽ đường bằng ED. Thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng để mp (CDE) trở thành mặt phẳng chiếu bằng trong hệ thống mới, có hình chiếu bằng mới là đoạn C’1D’1 Vì AB // mp (CDE) ⇒ A’1B’1 // C’1D’1; (Hình 7.17) Ví dụ 3 Cho đoạn thẳng AB. Hãy thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng để: a) Hình chiếu đứng mới và hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB song song nhau b) Hình chiếu đứng mới và hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB đối xứng nhau qua trục hình chiếu mới s Giải a) Để hình chiếu đứng mới và hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB song song nhau, ta ve các vòng tròn tâm A1, B1 có bán kính lần lượt là độ cao của điểm B và điểm A.Đường thẳng s tiếp tuyến ngoài của hai vòng tròn vừa vẽ là trục hình chiếu mới cần dựng; (Hình 7.18a) b) Để hình chiếu đứng mới và hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB đối xứng nhau qua trục hình chiếu mới s, ta vẽ các vòng tròn tâm A1, B1 có bán kính lần lượt là độ cao của điểm A và điểm B.Đường thẳng s tiếp tuyến ngoài của hai vòng tròn vừa vẽ là trục hình chiếu mới cần dựng; (Hình 7.18b) B B 2 2 A2 A2 x x P1’ B1 s B A 1 A1 P2 ’ 1 P ’ 1 s B2’ P2 ’ A2’ A2’ B2’ Hình 7.18a Hình 7.18b GVC.ThS Nguyãùn Âäü 49 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu Ví dụ 4 Cho hai mpα(mα, nα) và mpβ (mβ, nβ). Hãy tìm quĩ tích những điểm cách đều hai mpα (mα, nα) và mpβ (mβ, nβ) trong hai trường hợp sau đây Giải a) Câu a); Hình 7.19a _ Vẽ giao tuyến g ≡ mpα ∩ mpβ; vì mα // mβ ⇒ g là đường bằng _ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng sao cho giao tuyến g trở thành đường thẳng chiếu đứng trong hệ thống mới: g2’ → một điểm ; các mpα, mpβ có hình chiếu đứng mới suy biến thành các đường thẳng (α2’) và (β’2) đi qua điểm suy biến đó. _ ⇒ ∠ [(α2’) , (β’2)] là góc của hai mp α và mpβ Tập hợp những điểm cách đều hai mp α, mpβ là mpγ phân giác của mpα, mpβ ⇒ (γ2’) là phân giác của ∠ [(α2’) , (β’2)] ⇒ mγ // g1 ; và nγ đi qua N2 ; (Hình 7.19a) nβ nγ N2 nβ nγ g2 nα N 2 x M2 N1 nα N1 mβ x mγ mβ n’α (β’1) mγ M 1 N ’≡ M ’ g1 n’γ 1 1 mα mα g ’ 2 (α2’) M’ N’2 (γ1’) 2 P ’ (γ2’) P1’ 1 n’β P2’ s (α ’) P2’ P2’ P1’’ 1 s (β’2) s ’ Hình 7.19a Hình 7.19b b) Câub); Hình 7.19b _ Vẽ giao tuyến MN ≡ mpα ∩ mpβ _ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu liên tiếp hai lần để MN trở thành đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới. Lúc này mpγ phân giác của hai mặt phẳng mpα, mpβ có hình chiếu bằng mới suy biến thành đường thẳng (γ1’) phân giác của ∠ [(α1’) , (β’1)] _ Trả về vị trí ban đầu được : n’γ // M’2N’2 và mγ , nγ ; (Hình 7.19b) Ví dụ 5 Cho mpα (mα, nα) và điểm A; (Hình 7.20). Hãy chọn trục quay t chiếu bằng, rồi quay quanh t đưa mpα đến vị trí mới chứa điểm A Giải _ Để quay mpα quanh trục t ⊥P1 đến vị trí mới mp α’∈A thì đường bằng hα của mpα cùng độ cao với điểm A, đến vị trí mới h'α đi qua điểm A. Khi quay quanh trục t chiếu bằng thì hα luôn luôn tiếp xúc với đường tròn có bán kính R là khoảng cách giữa hα và t. Lúc này h1’α tiếp xúc với đường tròn tâm t1 bán kính R=Kt1 và đi qua A1 ⇒ A2∈ h2’α ≡ h2α. Điều này xãy ra khi ta chọn trục t ⊥ P1 thoả mãn: A1t1 ≥ t1K (với K là chân đường vuông góc kẽ từ t1 đến h1α). Vết bằng mα cũng quay đến vị mới mα’ // h1’α _ Vẽ vết dứng H' của đường thẳng h'α ⇒ nα’ qua H'2 và đi qua giao điểm O của vết bằng mα’ với trục x; (Hình 7.20) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 50 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu _ Biện luận: + Nếu A1t1 ≥ t1K : Bài toán có 2 nghiệm + Nếu A1t1 = t1K : Bài toán có 1 nghiệm Nếu A1t1 < t1K : Bài toán vô nghiệm t2 nα nα’ h’2α A2 H’2 h2α x H’1 O K’ K h’1α A1 m ’ α t1 h1α m Hình 7.20 α ¾ Chú ý Đối với bài toán quay quanh trục chiếu t đưa mặt phẳng α đến vị trí mới α’ chứa đường thẳng d. Ta hãy chọn trục quay t đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng α; sau đó chỉ cần quay mặt phẳng α quanh trục t đến vị trí mới α’ chứa một điểm tuỳ ý trên d (trở về ví dụ 5 quay mặt phẳng đến vị trí mới chứa điểm) Ví dụ 6 Cho đoạn thẳng AB. Hãy chọn trục quay t là đường thẳng chiếu, rồi quay quanh t đưa AB đến vị trí mới thoả mãn: a) Thuộc mặt phẳng phân giác 1 (có hai hình chiếu đối xứng nhau qua trục x) b) Thuộc mặt phẳng phân giác 2 (có hai hình chiếu trùng nhau) Giải a) Vẽ giao điểm M = AB ∩ mphpg 1, bằng cách lấy điểm K thuộc mặt phẳng phân giác 1 sao cho K1≡A1. Gọi O= B1K1 ∩ x. Vẽ M2= OK2 ∩ A2B2 ⇒ M1 ∈A1B1. Vậy M = AB ∩ mphpg 1 t 2 t A’2 A2 2 M2 A’2≡ A’1 A2 B2 B’2 B2 K2 B’2≡ B’1 x x A1 ≡K1 O B1 t1≡ I1≡I2 B’ A1 1 t1≡M1 A’1 B1 Hình 7.21a Hình 7.21b _ Chọn trục quay t chiếu bằng qua M ⇒ t1≡M1, t2 ⊥x _ Quay quanh trục t đưa đường thẳng AB đến vị trí mới A’B’ thuộc mặt phẳng phân giác 1; vì GVC.ThS Nguyãùn Âäü 51 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Caïc pheïp biãún âäøi hçnh chieïu M ∈ AB nên ta chỉ cần quay thêm điểm A đến vị trí mới A’ thuộc mặt phẳng phân giác 1 thì (A1’, A2’ đối xứng nhau qua trục x); Hình 7.21a b) Tương tự như trên, chọn trục quay t chiếu bằng đi qua giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng phân giác 2; có I1≡I2 = A1B1 ∩ A2B2 Quay A1 quanh tâm t1 đến vị trí mới A’1 cùng độ cao với điểm A⇒ A’2≡A’1và B’2≡ B’1 cùng độ cao với điểm B; (Hình 7.21b) Ví dụ 7 Cho mpα (mα, nα) và đường thẳng d; (Hình 7.22). Bằng phép quay quanh đường bằng, hãy xác định góc nghiêng của đường thẳng d hợp với mpα Giaíi _ Qua điểm A tuỳ ý trên d, vẽ đường thẳng k ⊥ mp α Gọi ϕ = ∠ ( k, d) ⇒ ∠ (d, mpα) = 900- ϕ _ Vẽ đường bằng BC, với B∈k, C∈d. Bằng phép quay điểm A quanh đường bằng BC ta xác định được ϕ = ∠B’1A’1C’1 ⇒ ∠ (d, mpα) = 900- ϕ (Hình 7.22) N n 2 A2 α D2 C2 nα g B2 C2 2 A2 d B2 2 N N x 1 0 D1 C x k2 1 g k1 1 A1 B1 0 mα 90 -ϕ O 1 A’1 A’1 B’1 B1≡B’1 ϕ m α g’1 O1 A1 D’1 C’1 n’α d 1 N’1 C1≡C’1 A0 Hçnh 7.22 Hçnh 7.23 Vê duû 8 Cho mpα (mα, nα) vaì hçnh chiãúu bàòng A1B1; (Hçnh 7.23). Bàòng pheïp gáûp màût phàóng quanh vãút, haîy veî caïc hçnh chiãúu cuía hçnh vuäng ABCD thuäüc mpα Giaíi _ Veî hçnh chiãúu âæïng B2 cuía âiãøm B, bàòng caïch gàõn B∈ g ∈ mp α; tæì B1∈ g1⇒ B2∈ g2 _ Veî A2B2 // x _ Gáûp mpα quanh vãút bàòng mα, ta veî âæåüc hçnh gáûp B’1∈ g'1 ⇒ A’1B’1 // x vaì A’1B’1=AB _ Veî hçnh vuäng tháût A’1B’1C’1D’1=ABCD _ Tæì A’1C’1 ⇒ A1C1 ⇒ A2C2; (Hçnh 7.23) === GVC.ThS Nguyãùn Âäü 52 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng cong vaì caïc màût hçnh hoüc Bài 8 ĐƯỜNG CONG VÀ MẶT A. ĐƯỜNG CONG I. KHÁI NIỆM Ta có thể nói rằng đường cong là qũi tích của một diểm chuyển động theo một qui luật nhất định nào đó tạo thành. Có các loại đường cong sau: _ Đường cong phẳng : Nếu đường cong thuộc một mặt phẳng _ Đường cong ghềnh : Nếu đường cong không thuộc một mặt phẳng _ Đường cong đại số bậc n : Nếu đường cong được biểu diễn bằng một phương trình đại số bậc n _ Đường cong đại số bậc m x n : Nếu đường cong được biểu diễn bằng hai phương trình đại số bậc m và bậc n Những đường cong phẳng bậc hai thường gặp là: Đường tròn, Elip, Parabol, Hyperbol Ta có thể nói rằng Elip, Parabol, Hyperbol lần lượt là những đường cong bậc hai không có điểm vô tận, có một điểm vô tận thuộc trục đối xứng, có hai điểm vô tận thuộc hai đường tiệm cận II. HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG ♦ Tính chất 1 Hình chiếu xuyên tâm hay song song của tiếp tuyến của đường cong tại một điểm nói chung là tiếp tuyến của hình chiếu đường cong tại hình chiếu điểm đó Giả sử Mt là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M ⇒ M’t' là tiếp tuyến của đường cong (C') tại điểm M’ là hình chiếu của điểm M (Hình 8.1) B C O s (C) s t A D M (C') t’ C' B’ P ’ M’ A’ O’ D ’ Hình 8.1 Hình 8.2 ♦ Tính chất 2 Hình chiếu của đường cong đại số bậc n nói chung là đường cong đại số bậc n ♦ Tính chất 3 Hình chiếu vuông góc của đường cong ghềnh đại số bậc n lên mặt phẳng đối xứng của nó là đường cong phẳng đại số bậc n / 2 ¾ Chú ý _ Hình chiếu song song của Elip, Parabol, Hyperbol lần lượt là Elip, Parabol, Hyperbol _ Hình chiếu song song của cặp đường kính liên hiệp của Elip là cặp đường kính liên hiệp của Elip hình chiếu ( Hình 8.2). Nếu hai đường kính liên hiệp vuông góc với nhau thì gọi là cặp trục của Elip _ Elíp có thể được xác định bằng cặp đường kính liên hiệp của nó _ Riêng đối với đường tròn ta chú ý các tính chất sau: + Nếu mặt phẳng của đường tròn không song song với phương chiếu thì hình chiếu của đường tròn là Elip GVC.ThS Nguyãùn Âäü 53 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng cong vaì caïc màût hçnh hoüc + Tâm của đường tròn chiếu thành tâm của elip + Hai đường kinh vuông góc của đường tròn chiếu thành hai đường kính liên hiệp của Elip Đặc biệt Trong hình chiếu vuông góc, trục dài của Elip là hình chiếu của đường kính đường tròn song song với mặt phẳng hình chiếu, nên bằng đường kính của đường tròn đó Ví dụ Hãy vẽ các hình chiếu của đường tròn tâm O, bán kính R thuộc mặt phẳng α chiếu đứng (Hình 8.3) Giải (α ) D2 2 _ Hình chiếu đứng của đường tròn suy biến thành đoạn thẳng C D = 2R và C , D ∈ ( α ) C A2 ≡ B2≡ O2 2 2 2 2 2 2 _ Hình chiếu bằng của đường tròn là Elip có : x + Tâm O1 A 1 + Trục dài A1B1 = AB = 2R với AB ⊥ mp P2 m α + Trục ngắn C1D1 ⊥ A1B1 tại O1 O1 C1 D1 Hình 8.3 B1 B. MẶT HÌNH HỌC I. KHÁI NIỆM 1) Đa diện Đa diện là mặt kín được tạo thành bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng khép kín _ Các đa giác này là các mặt của đa diện _ Các cạnh, các đỉnh của đa giác này gọi là các cạnh, các đỉnh của đa diện Mặt chóp, mặt lăng trụ là các đa diện đặc biệt 2) Mặt cong Ta có thể nói rằng mặt cong là qũi tích của một đường chuyển động theo một qui luật nhất định nào đó tạo thành. Đường chuyển động gọi là đường sinh, trong quá trình chuyển động tạo thành mặt đường sinh có thể biến dạng hoặc không biến dạng; đường sinh có thể là đường thẳng hoặc đường cong. Nếu đường sinh là đường thẳng thì mặt được tạo thành gọi là mặt kẽ (mặt nón, mặt trụ, ) Có các loại mặt cong sau: _ Mặt tròn xoay: Nếu mặt được tạo thành bởi một đường sinh quay xung quanh một trục _ Mặt cong đại số bậc n : Nếu mặt được biểu diễn bằng một phương trình đại số bậc n _ Các mặt cong bậc hai thường gặp là: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu, mặt Elipxôit, mặt Paraboloic, mặt Hyperbolic II. BIỂU DIỄN MẶT - ĐIỂM THUỘC MẶT _ Biểu diễn một mặt là biểu diễn một số thành phần của mặt đủ xác định mặt đó. Tuy nhiên, để dễ hình dung người ta thường biểu diễn mặt cong bằng các đường bao hình chiếu _ Biểu diễn một điểm thuộc mặt là biểu diễn điểm đó thuộc một đường của mặt sao cho trên hình chiếu đường này là đường thẳng hoặc đường tròn Sau đây sẽ biểu diễn một số mặt thông dụng GVC.ThS Nguyãùn Âäü 54 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng cong vaì caïc màût hçnh hoüc 1) Đa diện Biểu diễn đa diện bằng cách biểu diễn tất cả các cạnh của đa diện ¾ (Hình 8.4) biểu diễn tứ diện ABCD. Cách vẽ thấy khuất của cặp cạnh hình chiếu bằng A1B1, C1D1và cặp cạnh hình chiếu đứng A2C2, B2D2 như đã biết. ¾ Thấy khuất _ Đường đi qua một điểm khuất trên hình chiếu nào thi đường đó khuất trên hình chiếu đó _ Mặt phẳng chứa một đường thẳng khuất trên hình chiếu nào thi mặt phẳng đó khuất trên hình chiếu đó ¾ Cho hình chiếu đứng M2; hãy vẽ hình chiếu bằng M1 , biết M thuộc tứ diện ABCD(Hình 8.4) Với vị trí M2 đã cho thì có hai điểm M và M’, mà M’2≡ M2 với: + M ∈ mp (BCD) ⇒ M∈ CI . Từ M2∈ C2I2⇒ M1∈ C1I1 . Vì C1I1 thấy nên M1 thấy + M’ ∈ mp (ACD) ⇒ M’∈ CJ . Từ M’2∈ C2J2⇒ M’1∈ C1J1. Vì C1J1 khuất nên M’1 khuất S a 2 D2 C2 2 M2 (ω M2≡M’2 2 A2 I (C2 b 2 I ≡ J 2 S 2 2 J B x 2 2 x d m1 S A1 J1 1 C1 M’ M’1 1 n1 H (ω1 M (C) J1 1 M1 (C1 B I D1 1 1 I1 Hình 8.4 Hình 8.5 Hình 8.6 2) Mặt nón bậc hai Mặt nón bậc hai là mặt được tạo thành bởi một đường thẳng d chuyển động luôn luôn đi qua một điểm S cố định gọi là đỉnh nón và tựa vào một đường cong bậc hai (C) gọi là đường chuẩn của nón (Hình 8.5). ¾ Mặt nón bậc hai gồm có hai phần đối xứng nhau qua đỉnh nón. (Hình 8.6) biểu diễn một phần của mặt nón bậc hai được giới hạn từ đỉnh S đến đường chuẩn bậc hai (C) thuộc mặt phẳng chiếu đứng có hình chiếu bằng là đường tròn. _ a2, b2 là hai đường sinh bao ở hình chiếu đứng của nón (a1, b1 không vẽ ở đây) _ m1, n1 là hai đường sinh bao ở hình chiếu bằng của nón (m2, n2 không vẽ ở đây) ¾ Thấy khuất + Những điểm thuộc mặt nón thì thuộc đường sinh của nón: Nếu chân đường sinh này thuộc cung thấy của đường chuẩn (C) trên hình chiếu nào thì điểm đó được thấy trên hình chiếu đó + Những điểm thuộc nửa trước của nón kể từ hai đường sinh mà hình chiếu đứng là hai đường sinh biên thì được thấy ở hình chiếu đứng + Những điểm thuộc nửa trên của nón kể từ hai đường sinh mà hình chiếu bằng là hai đường sinh biên thì được thấy ở hình chiếu bằng ¾ Cho hình chiếu đứng M2; hãy vẽ hình chiếu bằng M1 , biết M thuộc mặt nón đỉnh S(hình 8.6) Với vị trí M2 đã cho thì có hai điểm M và M’, mà M’2≡ M2: GVC.ThS Nguyãùn Âäü 55 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng cong vaì caïc màût hçnh hoüc + Gắn M∈ SI ∈ nón. Từ M2∈ C2I2⇒ M1∈ S1I1 . Vì S1I1 thấy nên M1 thấy + Gắn M’∈ SJ∈ nón. Từ M’2∈ S2J2⇒ M’1∈ S1J1. Vì S1J1 khuất nên M’1 khuất ¾ Chú ý 1) Để vẽ hình chiếu bằng M1, M’1 của điểm M, ta có thể gắn M vào đường Elip (ω) thuộc mặt nón; Elip (ω) này có tâm nằm trên trục của nón và thuộc mặt phẳng chiếu đứng song song mp (C). Vì vậy (ω1) là đường tròn và từ M2∈ (ω1) ⇒ M1 , M’1 ∈ (ω1) (Hình 8.6) 2) Mặt nón tròn xoay là mặt được tạo thành bởi một đường thẳng quay xung quanh một trục tại một điểm cố định thuộc trục quay đó. Mặt phẳng vuông góc với trục tròn xoay này sẽ cho giao tuyến là đường tròn. 3) Mặt trụ bậc hai Mặt trụ bậc hai là trường hợp đặc biệt của mặt nón bậc hai khi đỉnh nón S ở xa vô tận ¾ (Hình 8.7) biểu diễn mặt trụ bậc hai có đường chuẩn (C) là elip thuộc mặt phẳng chiếu đứng có hình chiếu bằng là đường tròn. _ a2, b2 là hai đường sinh bao ở hình chiếu đứng của trụ, hình chiếu bằng không vẽ ở đây _ m1, n1 là hai đường sinh bao ở hình chiếu bằng của trụ, hình chiếu đứng không vẽ ở đây ¾ Thấy khuất Xét thấy khuất của trụ tương tự như xét thấy khuất của nón. ¾ Cho hình chiếu đứng M2; hãy vẽ hình chiếu bằng M1, biết M thuộc mặt trụ (Hình 8.7) Với vị trí M2 đã cho thì có hai điểm M và M’, mà M’2≡ M2: + Gắn M∈d∈ trụ. Từ M2∈ d2⇒ M1∈ d1 . Vì d1 thấy nên M1 thấy + Gắn M’∈k∈trụ.Từ M’2∈ k2⇒ M’1∈ k1. Vì k1 thấy nên M’1 thấy (Hình 8.7) (ω ) 2 a d ≡k 2 2 2 M2 ≡M’2 M ≡M’ 2 2 O 2 I2≡ J2 (b2) (a2) b2 x (C2) x m1 (a1) k1 J1 M’1 M’1 O1 (C1) M1 d1 M1 I1 n1 (b1) (ω ) 1 Hình 8.7 Hình 8.8 4) Mặt cầu - Mặt cầu là mặt bậc hai tròn xoay được tạo thành bởi một đường tròn quay xung quanh một đường kính của nó - Mặt cầu là quĩ tích của những điểm trong không gian cách đều một điểm cố định gọi là tâm ¾ (Hình 8.8) biểu diễn mặt cầu bậc hai tâm O, bán kính R Các hình chiếu của mặt cầu là các đường tròn bằng nhau có bán kính R của cầu _ a2 là đường tròn bao ở hình chiếu đứng của cầu ; (a) ∈mp // P2 _ b1 là đường tròn bao ở hình chiếu bằng của cầu ; (b) ∈mp // P1 GVC.ThS Nguyãùn Âäü 56 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng cong vaì caïc màût hçnh hoüc ¾ Thấy khuất + Những điểm thuộc nửa trên của mặt cầu kể từ đường tròn (b) được thấy ở hình chiếu bằng + Những điểm thuộc nửa trước của mặt cầu kể từ đường tròn (a) được thấy ở hình chiếu đứng ¾ Cho hình chiếu đứng M2; hãy vẽ hình chiếu bằng M1, biết M thuộc mặt cầu (O,R) (hình 8.8) Với vị trí M2 đã cho thì có hai điểm M và M’, mà M’2≡ M2 : Gắn M ≡M’∈ (ω) ∈ cầu. Từ M2, M’2∈ (ω2) ⇒ M1; M’1∈ (ω1). Vì M2 nằm nửa trên của cầu nên M1; M’1 thấy ở hình chiếu bằng 5) Mặt xuyến Mặt xuyến là mặt bậc bốn tròn xoay được tạo thànhbởi một đường tròn (C) quuay xung quanh một trục t thuộc mặt phẳng của đường tròn nhưng không đi qua tâm O (Hình 8.9) Phân loại mặt xuyến _ Mặt xuyến hở: Nếu trục t không căt đường tròn sinh (C) _ (C) Mặt xuyến kín: Nếu trục t cắt đường tròn t sinh (C) o+ Hçnh 8.9 - Ta thường biểu diễn mặt xuyến ở vị trí M’’’2 (a2) đặc biệt có trục t vuông góc với mặt (ω2) phẳng hình chiếu. M’’2 - (Hình 8.10) biểu diễn đồ thức của mặt (ω’2) (d2)≡ (d’2) xuyến có trục t ⊥ P 2 (C2) - (a2), (b2) là hình chiếu đứng của các t2 đường tròn vĩ tuyến tạo ra do các điểm thuộc đường tròn sinh (C) xa và gần trục t nhất M’ 2 - (a), (b) thuộc một mặt phẳng vuông góc (b2) trục t và đồng thời cũng là mặt phẳng đối M2 xứng của xuyến - (C1) là hình chiếu bằng của đường tròn t sinh (C) thuộc mặt phẳng đối xứng chứa 1 d’1 trục t . (b ) (a ) - d1, d’1 là hình chiếu bằng của hai đường 1 1 tròn trung bình của xuyến (ω ≡ω’ ) (C1) 1 1 (đường tròn trung bình của xuyến là đường tròn tạo ra do hai điểm nằm trên d đường tròn sinh (C) có khoảng cách đến M’’’1≡ M’’1 ≡ M’1 ≡ M1 1 trục t bằng khoảng cách của tâm O Hình 8.10 đường tròn (C) đến trục t-tạo thành. ¾ Thấy khuất _ Những điểm thuộc nửa trên của xuyến kể từ đường tròn sinh (C) và đường tròn trung bình (d) sẽ thấy ở hình chiếu bằng . _ Những điểm thuộc nửa trước của xuyến kể từ hai đường tròn (a), (b) sẽ thấy ở hình chiếu đứng ¾ Chú ý _ Mặt phẳng vuông góc với trục t sẽ cắt xuyến cho giao tuyến là hai đường tròn vĩ tuyến _ Mặt phẳng chứa trục t sẽ cắt xuyến cho giao tuyến là hai đường tròn bằng đường tròn sinh GVC.ThS Nguyãùn Âäü 57 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng cong vaì caïc màût hçnh hoüc ¾ Cho hình chiếu bằng M1; hãy vẽ hình chiếu đứng của điểm M, biết M thuộc mặt xuyến (Hình 8.10) Với vị trí M1 đã cho thì có bốn điểm M, M’, M’’, M’’’ mà M’’’1≡ M’’1 ≡ M’1 ≡ M1 : Gắn M, M’’’ ∈ (ω) và M’, M’’∈ (ω’) ∈ xuyến. Từ [M’’’1≡ M’’1 ≡ M’1 ≡ M1 ]∈ [(ω1) ≡ (ω’1)] ⇒ M2, M’’’2∈ (ω2) và M’2, M’’2∈ (ω’2). Vì M1 nằm nửa trước của xuyến ⇒ M2, M’2, M’’2, M’’’2 thấy ở hình chiếu đứng . III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢi SẴN Ví dụ 1 Cho đoạn thẳng AB. Hãy biểu diễn quĩ tích những điểm trong không gian nhìn đoạn AB dưới góc vuông. Giải _ Quĩ tích những điểm trong không gian nhìn đoạn AB dưới góc vuông là mặt cầu đường kính AB, có tâm O là trung điểm của đoạn AB _ Bằng phương pháp tam giác ta xác định độ dài thật của đoạn thẳng AB là đoạn A1B0 Vẽ mặt cầu tâm O là trung điểm của đoạn AB, bán kính bằng A1B0 / 2; (Hình 8.11) nα B2 A ’ 2 A2 O2 O2’ S2≡K2 O2 A2 K2’ x mα’ B2’ B2 x K 1 A ≡B A1 1 1 N1 O O1 1 M 1 (α1) ≡ mα h O0 B1 B0 S1 Hình 8.11 Hình 8.12 Ví dụ 2 Cho mp α chiếu bằng và điểm O thuộc mp α. Hãy biểu diễn mặt nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R thuộc mp α, chiều cao SO = h cho trước h Giải _ Hình chiếu bằng của đáy nón suy biến thành đoạn thẳng M1N1 = 2R thuộc đường thẳng (α1) _ Gập mp α quanh vết đứng, ta vẽ được đường tròn thật tâm O2’ bán kính R của đáy nón _ Vì chiều cao của nón bằng h , nên ta vẽ O1S1 = h và vuông góc đường thẳng (α1) ⇒ S2 với O2S2 // x _ Vẽ hai đường sinh bao ở hình chiếu bằng của nón là: S1N1 , S1M1 _ Hai đường sinh bao ở hình chiếu đứng của nón sẽ đi qua S2 và tiếp xúc với Elip hình chiếu đứng của đáy nón. Vì Elip này không vẽ chính xác bằng tay nên ta có cách giải như sau: + Việc vẽ hai đường sinh bao này tương đương với vẽ hai đường thẳng đi qua điểm K∈ mpα với K2 ≡ S2 và tiếp xúc với đáy nón GVC.ThS Nguyãùn Âäü 58 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng cong vaì caïc màût hçnh hoüc + Từ hình gập ta xác định K'2 rồi vẽ K’2A'’2 và K’2B’’2 tiếp xúc với đường tròn gập (O’2, R). + Trả về hình chiếu đứng ta được K2A’2 và K2B2- là hai đường sinh bao cần vẽ ; (Hình 8.12) Ví dụ 3 Cho mp α chiếu bằng, hình chếu bằng d1 và đường thẳng Ot với O∈ mp α. Hãy vẽ hình chiếu đứng d2 của đường sinh d của mặt trụ nhận Ot làm trục và đường chuẩn của trụ là đường tròn tâm O, bán kính R thuộc mp α. Giải _ Hình chiếu bằng của đáy trụ là đoạn thẳng M1N1 = 2R thuộc đường thẳng (α1) _ Gập mp α quanh vết đứng, ta vẽ được đường tròn thật tâm O2’ bán kính R của đáy trụ _ Vì d là đường sịnh của mặt trụ nên d tựa trên đáy tại hai điểm I, J. Ở hình gập I2’, J2’ thuộc đường tròn gập _ Từ hình chiếu bằng và hình gập của I, J ⇒ I2, J2 _ Hai đường thẳng d2, d2’ qua I2, J2 và song song O2t2 là hình chiếu đứng của hai đường sinh cần dựng ; (Hình 8.13) d2 nα I ’ I t 2 2 2 O2’ O2 d2’ J2 mα’ J2’ x d1 t1 M 1 I1 ≡J1 O 1 N 1 (α1) ≡ mα Hình 8.13 === GVC.ThS Nguyãùn Âäü 59 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût cong Bài 9 MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CONG I. KHÁI NIỆM _ Tiếp tuyến tại một điểm của một đường cong thuộc mặt cong cũng là tiếp tuyến của mặt cong tại điểm đó _ Nếu tại một điểm của mặt cong có vô số tiếp tuyến thuộc một mặt phẳng thì mặt phẳng này gọi là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm đó - mp(Mt,Mk) ; (Hình 9.1) ¾ Trong bài này ta sẽ trình bày các loại bài toán tiếp xúc sau: 1. Mặt phẳng tiếp xúc với một mặt tại một điểm cho trước thuộc mặt 2. Mặt phẳng tiếp xúc với một mặt đi qua một điểm cho trước không thuộc mặt 3. Mặt phẳng tiếp xúc với một mặt song song với một đường thẳng cho trước II. MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT KẼ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt kẽ sẽ tại một điểm thuộc mặt sẽ chứa các đường sinh là đường thẳng của mặt kẽ đi qua điểm đó 1) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón Ví dụ 1 Cho mặt nón đỉnh S và hình chiếu đứng M2 của điểm M thuộc nón (Hình 9.2). Qua điểm M hãy dựng mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón Giải Với vị trí M2 đã cho thì có hai điểm M và M’, mà M’2≡ M2: + Gắn M∈ SA ∈ nón. Từ M2∈ C2A2⇒ M1∈ S1A1 + Gắn M’∈ SA’∈ nón. Từ M’2∈ S2A’2⇒ M’1∈ S1A’1 Mặt phẳng tiếp xúc với nón tại điểm M thuộc nón phải chứa đường sinh SM và chứa một tiếp tuyến với nón tại một điểm tuỳ ý trên đường sinh SM ; gọi A là chân đường sinh SM trên đường chuẩn (C) ; vẽ At tiếp xúc với (C) Vậy mp (SM, At) tiếp xúc với nón theo đường sinh SM Tương tự, ta cũng dựng được mp (SM’,A’t’) tiếp xúc với nón theo đường sinh SM’ M2≡ M’2 S S2 t2≡t2’ (Σ) A2≡A2’ M k x M M’ S (C t’ 1 1 A t A’1 t M1 Mặt phẳng đường chuẩn (C) t1 A1 Hình 9.1 Hình 9.2 Ví dụ 2 Cho mặt nón đỉnh S và điểm M không thuộc nón (Hình 9.3). Qua điểm M hãy dựng mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón Giải Các mặt phẳng tiếp xúc cần dựng chứa SM và sẽ tiếp xúc với nón theo các đường sinh SA,SB. Các mặt phẳng tiếp xúc này sẽ cắt mặt phẳng đường chuẩn (C) theo các tiếp tuyến t và t’ với đường chuẩn (C). Vì vậy ta có cách vẽ như sau: _ Vẽ I = SM ∩ mp(C) GVC.ThS Nguyãùn Âäü 60 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK