Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Biến cố ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

92 trang hapham 4090

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Biến cố ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_chuong_1_bien.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Biến cố ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
Ví dụ Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc. X = {1, 2,. . . ,6}. Trong kết quả của phép thử X chỉ nhận duy nhất một giá trị trong 6 giá trị trên. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên là một biến số mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó một cách ngẫu nhiên. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN
Định nghĩa Biến ngẫu nhiên là một biến số mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó một cách ngẫu nhiên. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN Ví dụ Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc. X = {1, 2,. . . ,6}. Trong kết quả của phép thử X chỉ nhận duy nhất một giá trị trong 6 giá trị trên.
ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN Ví dụ Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc. X = {1, 2,. . . ,6}. Trong kết quả của phép thử X chỉ nhận duy nhất một giá trị trong 6 giá trị trên. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên là một biến số mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó một cách ngẫu nhiên.
Các biến ngẫu nhiên: X, Y. . . ; X1, X2, , Xn, ; Y1, Y2, , Yn Các giá trị: x, y, . . . ; x1, , xn, ; y1, , yn, (là những con số) (X = x1), (X = x2) là những biến cố ngẫu nhiên. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN Các kí hiệu:
Các giá trị: x, y, . . . ; x1, , xn, ; y1, , yn, (là những con số) (X = x1), (X = x2) là những biến cố ngẫu nhiên. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN Các kí hiệu: Các biến ngẫu nhiên: X, Y. . . ; X1, X2, , Xn, ; Y1, Y2, , Yn
(X = x1), (X = x2) là những biến cố ngẫu nhiên. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN Các kí hiệu: Các biến ngẫu nhiên: X, Y. . . ; X1, X2, , Xn, ; Y1, Y2, , Yn Các giá trị: x, y, . . . ; x1, , xn, ; y1, , yn, (là những con số)
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN Các kí hiệu: Các biến ngẫu nhiên: X, Y. . . ; X1, X2, , Xn, ; Y1, Y2, , Yn Các giá trị: x, y, . . . ; x1, , xn, ; y1, , yn, (là những con số) (X = x1), (X = x2) là những biến cố ngẫu nhiên.
Căn cứ vào miền giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia ra 2 loại biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hay đếm được. Biến ngẫu nhiên liên tục: Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phân loại biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hay đếm được. Biến ngẫu nhiên liên tục: Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phân loại biến ngẫu nhiên Căn cứ vào miền giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia ra 2 loại biến ngẫu nhiên:
Biến ngẫu nhiên liên tục: Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phân loại biến ngẫu nhiên Căn cứ vào miền giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia ra 2 loại biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hay đếm được.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phân loại biến ngẫu nhiên Căn cứ vào miền giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia ra 2 loại biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hay đếm được. Biến ngẫu nhiên liên tục: Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số.
Y: số khách vào cửa hàng trong một ngày → Y = 0, 1, 2, . . . , n, ∞ =⇒ X, Y là biến ngẫu nhiên rời rạc. Bắn ngẫu nhiên 1 viên đạn vào bia. Gọi Z là khoảng cách từ tâm bia đến điểm chạm của viên đạn. Z là biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể có thuộc khoảng [o, r], r là bán kính bia =⇒ Z là biến ngẫu nhiên liên tục. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phân loại biến ngẫu nhiên Ví dụ X: số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc;
→ Y = 0, 1, 2, . . . , n, ∞ =⇒ X, Y là biến ngẫu nhiên rời rạc. Bắn ngẫu nhiên 1 viên đạn vào bia. Gọi Z là khoảng cách từ tâm bia đến điểm chạm của viên đạn. Z là biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể có thuộc khoảng [o, r], r là bán kính bia =⇒ Z là biến ngẫu nhiên liên tục. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phân loại biến ngẫu nhiên Ví dụ X: số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc; Y: số khách vào cửa hàng trong một ngày
Bắn ngẫu nhiên 1 viên đạn vào bia. Gọi Z là khoảng cách từ tâm bia đến điểm chạm của viên đạn. Z là biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể có thuộc khoảng [o, r], r là bán kính bia =⇒ Z là biến ngẫu nhiên liên tục. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phân loại biến ngẫu nhiên Ví dụ X: số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc; Y: số khách vào cửa hàng trong một ngày → Y = 0, 1, 2, . . . , n, ∞ =⇒ X, Y là biến ngẫu nhiên rời rạc.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phân loại biến ngẫu nhiên Ví dụ X: số chấm xuất hiện khi gieo 1 xúc xắc; Y: số khách vào cửa hàng trong một ngày → Y = 0, 1, 2, . . . , n, ∞ =⇒ X, Y là biến ngẫu nhiên rời rạc. Bắn ngẫu nhiên 1 viên đạn vào bia. Gọi Z là khoảng cách từ tâm bia đến điểm chạm của viên đạn. Z là biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể có thuộc khoảng [o, r], r là bán kính bia =⇒ Z là biến ngẫu nhiên liên tục.
Định nghĩa Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng. Trong thực tế có 3 hình thức mô tả quy luật phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên: Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm phân bố xác suất (Áp dụng cho cả biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục) Hàm mật độ xác suất (Áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục) BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
Trong thực tế có 3 hình thức mô tả quy luật phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên: Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm phân bố xác suất (Áp dụng cho cả biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục) Hàm mật độ xác suất (Áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục) BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng.
Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm phân bố xác suất (Áp dụng cho cả biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục) Hàm mật độ xác suất (Áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục) BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng. Trong thực tế có 3 hình thức mô tả quy luật phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên:
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng. Trong thực tế có 3 hình thức mô tả quy luật phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên: Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm phân bố xác suất (Áp dụng cho cả biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục) Hàm mật độ xác suất (Áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục)
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1, x2, , xn với các xác suất tương ứng p1, p2, , pn. Khi đó bảng phân phối xác suất của X có dạng: X x1 x2 xn p p1 p2 pn trong đó pi = P(X = xi ) Pn Ta có: 0 < pi < 1, ∀i và i=1 pi = 1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1, x2, , xn với các xác suất tương ứng p1, p2, , pn. Khi đó bảng phân phối xác suất của X có dạng: X x1 x2 xn p p1 p2 pn trong đó pi = P(X = xi ) Pn Ta có: 0 < pi < 1, ∀i và i=1 pi = 1
Giải X 1 2 3 4 5 6 X: “Số chấm xuất hiện”. p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ Gieo một xúc xắc. Lập bảng phân phối xác suất của số chấm xuất hiện.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ Gieo một xúc xắc. Lập bảng phân phối xác suất của số chấm xuất hiện. Giải X 1 2 3 4 5 6 X: “Số chấm xuất hiện”. p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Giải X: “Số chính phẩm được lấy ra” =⇒ X = 0, 1, 2. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ Một hộp có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ Một hộp có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra. Giải X: “Số chính phẩm được lấy ra” =⇒ X = 0, 1, 2.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 2 C4 6 2 P (X = 0) = 2 = = ; C10 45 15 1 1 C6 .C4 24 8 P (X = 1) = 2 = = ; C10 45 15 2 C6 15 1 P(X = 2) = 2 = = C10 45 3 X 0 1 2 2 8 1 p 15 15 3
Định nghĩa Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu F(x), là xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x bất kỳ. F (x) = P[X < x] Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc: F (x) = P p xi <x i (X < x) = (X = x1) + (X = x2) + . . . + (X = xi ) BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Định nghĩa Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu F(x), là xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x bất kỳ. F (x) = P[X < x] Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc: F (x) = P p xi <x i (X < x) = (X = x1) + (X = x2) + . . . + (X = xi )
2. F(x) là hàm không giảm: ∀ x2 > x1 : F(x2) ≥ F(x1) 3. F(+∞) = 1; F(-∞) = 0. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Tính chất 1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.
3. F(+∞) = 1; F(-∞) = 0. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Tính chất 1. 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. F(x) là hàm không giảm: ∀ x2 > x1 : F(x2) ≥ F(x1)
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Tính chất 1. 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. F(x) là hàm không giảm: ∀ x2 > x1 : F(x2) ≥ F(x1) 3. F(+∞) = 1; F(-∞) = 0.
b. X là biến ngẫu nhiên liên tục thì: P(X = x) = 0 (= lim P(x < X < x + ∆x)) ∆x→0 c. X biến ngẫu nhiên liên tục: P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Hệ quả a. P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)
c. X biến ngẫu nhiên liên tục: P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Hệ quả a. P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a) b. X là biến ngẫu nhiên liên tục thì: P(X = x) = 0 (= lim P(x < X < x + ∆x)) ∆x→0
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Hệ quả a. P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a) b. X là biến ngẫu nhiên liên tục thì: P(X = x) = 0 (= lim P(x < X < x + ∆x)) ∆x→0 c. X biến ngẫu nhiên liên tục: P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)
Giải Cho x chạy từ -∞ đến +∞. • x ≤ 0: F(x) = 0 • 0 < x ≤ 1: 2 F (x) = 15 • 1 < x ≤ 2: 2 8 10 F (x) = + = 15 15 15 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Ví dụ Tiếp ví dụ lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một thùng gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Tìm hàm phân bố xác suất của số chính phẩm được lấy ra.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Ví dụ Tiếp ví dụ lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một thùng gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Tìm hàm phân bố xác suất của số chính phẩm được lấy ra. Giải Cho x chạy từ -∞ đến +∞. • x ≤ 0: F(x) = 0 • 0 < x ≤ 1: 2 F (x) = 15 • 1 < x ≤ 2: 2 8 10 F (x) = + = 15 15 15
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Ví dụ • x > 2: 2 8 1 F (x) = + + = 1 15 15 3 Vậy  0 x ≤ 0   2 0 2
1 3 3 1 32 12 P 1 Tìm xác suất để trong kết quả của phép thử, X nhận giá trị trong 1 3 khoảng 3 ; 4 .
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân bố xác suất Ví dụ Hàm phân bố xác xuất của một biến ngẫu nhiên X có dạng:   0 x ≤ 1 Tìm xác suất để trong kết quả của phép thử, X nhận giá trị trong 1 3 khoảng 3 ; 4 . 1 3 3 1 32 12 P < X < = F − F = − = 0, 45 3 4 4 3 4 3
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm mật độ xác suất Định nghĩa Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu f(x), là đạo hàm bậc nhất của hàm phân bố xác suất F(x), f(x) = F’(x) Tính chất 1. f(x) ≥ 0 → đồ thị có dạng cơ bản:
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm mật độ xác suất Tính chất Z b 2. P(a < X < b) = f (x)dx a Z x 3. F (x) = f (x)dx −∞
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm mật độ xác suất Tính chất Z +∞ 4. f (x)dx = 1 −∞
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm mật độ xác suất Ví dụ Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách (phút) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác suất:   0 x ≤ 1 a) Tìm a. b) Tìm xác suất để 1 khách hàng nào đó phải chờ quá 0,5 phút.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm mật độ xác suất Ví dụ a) 0 x ∈/ (0, 1) f (x) = F 0 (x) = 3ax2 − 6x + 2 x ∈ (0, 1) Z +∞ Z 0 Z 1 Z +∞ 1 = f (x)dx = 0.dx+ (3ax2−6x+2)dx+ 0.dx = a−1 −∞ −∞ 0 1 ⇒ a = 2. Với a = 2, điều kiện cơ bản thứ nhất cũng thỏa mãn. Vậy   0 x ≤ 0 F (x) = 2x3 − 3x2 + 2x 0 1
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm mật độ xác suất Ví dụ b) P(X > 0,5) = P(0,5 0,5) = F(+∞) - F(0,5) = 1 - (2.0,53 - 3.0,52 + 2.0,5) = 0,5 R +∞ Cách 2: P(X>0,5) = 0,5 f (x) dx
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm mật độ xác suất Ví dụ Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất. 2 π π a.cos x x ∈ − 2 ; 2 f (x) = π π 0 x ∈/ − 2 ; 2 a) Tìm a. b) Tìm hàm phân bố xác suất F(x) c) Tìm xác suất để trong một phép thử độc lập, X nhận giá trị π trong khoảng 0; 2 .
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm mật độ xác suất Ví dụ a) Z +∞ Z π/2 a Z π/2 1 = f (x) dx = a cos2 xdx = (cos 2x + 1) dx 2 π −∞ −π/2 − 2 aπ 2 = ⇒ a = 2 π
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm mật độ xác suất Ví dụ b)  π Z x 0 x ≤ − 2  1 sin 2x π π π F (x) = f (x) dx = π 2 + x + 2 2 2 c) π π 1 3 1 1 1 P 0 < X < = F −F (0) = + − = + ≈ 0, 41 4 4 2π 4 2 2π 4
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Kỳ vọng toán Phương sai Độ lệch chuẩn Hệ số biến thiên; mốt; giá trị tới hạn; hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Định nghĩa Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu E(X), là một số được xác định như sau: - Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất: X x1 x2 . . . xn p p1 p2 . . . pn Pn thì E (X ) = i=1 xi pi - Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) thì: Z +∞ E (X ) = xf (x)dx −∞
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Tiếp ví dụ phần trước. Tìm kỳ vọng toán của số chính phẩm được lấy ra. Giải 2 8 1 18 E (X ) = 0 · + 1 · + 2 · = = 1, 2 15 15 3 15
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Tính chất • E(C) = C, C const. • E(CX) = C.E(X) • ∀ X, Y: E(X + Y) = E(X) + E(Y) • X và Y độc lập: E(X.Y) = E(X).E(Y);
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập X và Y có các bảng phân bố xác suất. X 2 5 p 0.3 0.7 Y 1 3 4 p 0.1 0.5 0.4 Tìm E(X+Y); E(X.Y).
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Có 2 phương pháp, trực tiếp và gián tiếp : + Trực tiếp: X+Y 3 5 6 8 9 p 0.03 0.15 0.19 0.35 0.28 P[(X = 2). (Y = 1)]= P(X + Y = 3) = P(X = 2). P(Y = 1) = 0,3. 0,1 = 0,03 E(X + Y) = 3. 0,03 + + 9.0,28 = 7,3
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Ví dụ XY 2 5 6 8 15 20 p 0.03 0.07 0.15 0.12 0.35 0.28 E(X.Y) = 2.0,03 + 6.0,15 + 8.0,12 + 5.0,07 + 15.0,35 + 20.0,28 =13,12 + Gián tiếp: E(X) = 2.0,3 + 5.0,7 = 4,1; E (Y) = 3,2 =⇒ E (X + Y) = E(X) + E(Y) = 4,1 + 3,2 = 7,3; E (X.Y) = E(X).E(Y) = 4,1. 3,2 = 13,12.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Bản chất: Kỳ vọng toán gần bằng trung bình số học của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên. E(X ) ≈ x¯ Ý nghĩa: Trong kinh tế, kì vọng toán đồng thời mang 2 ý nghĩa: Nếu xét trong 1 số lớn phép thử tương tự thì nó phản ánh giá trị trung bình Nếu xét trong 1 phép thử đơn lẻ thì nó phản ánh giá trị mong đợi (kì vọng)
Giải Gọi X là số tiền lãi người đó có thể thu được =⇒ X = -10; 690 X -10 690 p 0.99 0.01 =⇒ E(X ) = −10.0, 99 + 690.0, 01 = −3 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Tìm số tiền lãi mà một người hy vọng thu được khi đánh 1 số đề biết người đó đặt 10 ngàn.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Tìm số tiền lãi mà một người hy vọng thu được khi đánh 1 số đề biết người đó đặt 10 ngàn. Giải Gọi X là số tiền lãi người đó có thể thu được =⇒ X = -10; 690 X -10 690 p 0.99 0.01 =⇒ E(X ) = −10.0, 99 + 690.0, 01 = −3
X -90 610 p 0.91 0.09 E(Y ) = −90.0, 91 + 610.0, 09 = BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Giải lại bài toán trên nếu đánh 9 ô, mỗi ô 10 ngàn
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Giải lại bài toán trên nếu đánh 9 ô, mỗi ô 10 ngàn X -90 610 p 0.91 0.09 E(Y ) = −90.0, 91 + 610.0, 09 =
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Lượng hành khách đi trên một chuyến xe buýt có bảng phân phối xác suất: X 20 21 22 23 24 p 0.15 0.2 0.25 0.25 0.15 Chi phí cho 1 chuyến xe là 400 nghìn. Để không bị lỗ thì giá vé tối thiểu phải là bao nhiêu?
+ Trực tiếp: E(X) là số khách trung bình đi trên mỗi chuyến xe bus. Khi đó, để không bị lỗ thì aE(X) – 400 ≥ 0. E(X) = 20.0,15 + 21.0,2 + 22.0,25 + 23.0,25 + 24.0,15 = 22,05 suy ra a ≥ 18,4 + Gián tiếp: Gọi Y là tiền lãi thu được sau mỗi chuyến đi, ta có Y = aX - 400. Để không bị lỗ thì tiền lãi trung bình thu được E(Y) ≥ 0. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Giả sử giá vé là a (nghìn/người), ta có thể giải bài toán bằng 2 cách trực tiếp và gián tiếp.
+ Gián tiếp: Gọi Y là tiền lãi thu được sau mỗi chuyến đi, ta có Y = aX - 400. Để không bị lỗ thì tiền lãi trung bình thu được E(Y) ≥ 0. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Giả sử giá vé là a (nghìn/người), ta có thể giải bài toán bằng 2 cách trực tiếp và gián tiếp. + Trực tiếp: E(X) là số khách trung bình đi trên mỗi chuyến xe bus. Khi đó, để không bị lỗ thì aE(X) – 400 ≥ 0. E(X) = 20.0,15 + 21.0,2 + 22.0,25 + 23.0,25 + 24.0,15 = 22,05 suy ra a ≥ 18,4
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Kỳ vọng toán Ví dụ Giả sử giá vé là a (nghìn/người), ta có thể giải bài toán bằng 2 cách trực tiếp và gián tiếp. + Trực tiếp: E(X) là số khách trung bình đi trên mỗi chuyến xe bus. Khi đó, để không bị lỗ thì aE(X) – 400 ≥ 0. E(X) = 20.0,15 + 21.0,2 + 22.0,25 + 23.0,25 + 24.0,15 = 22,05 suy ra a ≥ 18,4 + Gián tiếp: Gọi Y là tiền lãi thu được sau mỗi chuyến đi, ta có Y = aX - 400. Để không bị lỗ thì tiền lãi trung bình thu được E(Y) ≥ 0.
Chú ý. V (X ) = E(X 2) − (E(X ))2. Nếu X là biến rời rạc: n 2 2 X 2 E(X ) = E(X ) = xi pi i=1 nếu X là biến liên tục: Z +∞ E(X 2) = x2f (x)dx −∞ BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Định nghĩa Phương sai của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán của bình phương các sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kỳ vọng toán của nó. V (X ) = E(X − E(X ))2
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Định nghĩa Phương sai của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán của bình phương các sai lệch giữa biến ngẫu nhiên và kỳ vọng toán của nó. V (X ) = E(X − E(X ))2 Chú ý. V (X ) = E(X 2) − (E(X ))2. Nếu X là biến rời rạc: n 2 2 X 2 E(X ) = E(X ) = xi pi i=1 nếu X là biến liên tục: Z +∞ E(X 2) = x2f (x)dx −∞
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ Tiếp ví dụ trước. Tính V(X+Y), V(X.Y) Giải V (X + Y ) = E(X + Y )2 − (E(X + Y ))2 = 32.0, 03 + + 92.0, 28 − 7, 32 = 2, 65 V (X .Y ) = E(XY )2 − [E(XY )]2 = 22.0, 03 + + 202.0, 28 − 13, 122 = 33, 56 Chú ý. Phương sai của biến ngẫu nhiên là một số xác định không âm.
Ví dụ Ta có thể giải ví dụ trên bằng cách khác: V(X+Y) = V(X) + V(Y) ở đó V (X ) = 22.0, 3 + 52.0, 7 − 4, 12 = 1, 89; V (Y ) = 12.0, 1 + 32.0, 5 + 42.0, 4 − 3, 22 = 0, 76 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Tính chất • V(C) = 0, C const • V(CX) = C2V (X ) • X và Y độc lập: V(X+Y) = V(X) + V(Y)
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Tính chất • V(C) = 0, C const • V(CX) = C2V (X ) • X và Y độc lập: V(X+Y) = V(X) + V(Y) Ví dụ Ta có thể giải ví dụ trên bằng cách khác: V(X+Y) = V(X) + V(Y) ở đó V (X ) = 22.0, 3 + 52.0, 7 − 4, 12 = 1, 89; V (Y ) = 12.0, 1 + 32.0, 5 + 42.0, 4 − 3, 22 = 0, 76
Phương sai là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên và giá trị trung bình của chúng. Ý nghĩa. Phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. Phương sai càng lớn: phân tán càng xa giá trị trung bình Phương sai càng nhỏ: giá trị càng tập trung quanh giá trị trung bình Trong kinh tế, phương sai phản ánh mức độ rủi ro (kém ổn định) BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai - Bản chất và ý nghĩa Bản chất.
Ý nghĩa. Phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. Phương sai càng lớn: phân tán càng xa giá trị trung bình Phương sai càng nhỏ: giá trị càng tập trung quanh giá trị trung bình Trong kinh tế, phương sai phản ánh mức độ rủi ro (kém ổn định) BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai - Bản chất và ý nghĩa Bản chất. Phương sai là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên và giá trị trung bình của chúng.
Phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. Phương sai càng lớn: phân tán càng xa giá trị trung bình Phương sai càng nhỏ: giá trị càng tập trung quanh giá trị trung bình Trong kinh tế, phương sai phản ánh mức độ rủi ro (kém ổn định) BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai - Bản chất và ý nghĩa Bản chất. Phương sai là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên và giá trị trung bình của chúng. Ý nghĩa.
Trong kinh tế, phương sai phản ánh mức độ rủi ro (kém ổn định) BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai - Bản chất và ý nghĩa Bản chất. Phương sai là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên và giá trị trung bình của chúng. Ý nghĩa. Phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. Phương sai càng lớn: phân tán càng xa giá trị trung bình Phương sai càng nhỏ: giá trị càng tập trung quanh giá trị trung bình
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai - Bản chất và ý nghĩa Bản chất. Phương sai là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên và giá trị trung bình của chúng. Ý nghĩa. Phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. Phương sai càng lớn: phân tán càng xa giá trị trung bình Phương sai càng nhỏ: giá trị càng tập trung quanh giá trị trung bình Trong kinh tế, phương sai phản ánh mức độ rủi ro (kém ổn định)
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ Nhu cầu hàng ngày về rau sạch ở một khu dân cư có bảng phân phối xác suất. X 20 21 22 23 24 25 26 p 0.05 0.1 0.2 0.3 0.15 0.12 0.08 Mỗi kg rau mua vào giá 2 nghìn, bán ra 2 nghìn rưỡi. Song nếu bị ế phải bán 1 nghìn rưỡi mới hết. Hàng ngày nên đặt mua 22kg hay 24kg để bán thì tốt hơn.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ + Gọi X1 là tiền lãi thu được khi nhập 22 kg: X1 9 10 11 p 0.05 0.1 0.85 =⇒ E(X1) = 9.0,05 + 10.0,1 + 11.0,85 = 10,8 (nghìn)
Vậy đặt mua 22 hay 24kg đều hy vọng lãi 10,8 nghìn. Nhưng V (X1) = 0,26; V (X2) = 1,36 =⇒ Đặt mua 22kg thì độ rủi ro thấp hơn đặt mua 24kg. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ + Gọi X2 là tiền lãi thu được khi nhập 24 kg: X2 8 9 10 11 12 p 0.05 0.1 0,2 0,3 0,35 =⇒ E(X2) = 8.0,05 + 9.0,1 + 10.0,2 + 11.0,3 + 12.0,35 = 10,8 (nghìn)
Nhưng V (X1) = 0,26; V (X2) = 1,36 =⇒ Đặt mua 22kg thì độ rủi ro thấp hơn đặt mua 24kg. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ + Gọi X2 là tiền lãi thu được khi nhập 24 kg: X2 8 9 10 11 12 p 0.05 0.1 0,2 0,3 0,35 =⇒ E(X2) = 8.0,05 + 9.0,1 + 10.0,2 + 11.0,3 + 12.0,35 = 10,8 (nghìn) Vậy đặt mua 22 hay 24kg đều hy vọng lãi 10,8 nghìn.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ + Gọi X2 là tiền lãi thu được khi nhập 24 kg: X2 8 9 10 11 12 p 0.05 0.1 0,2 0,3 0,35 =⇒ E(X2) = 8.0,05 + 9.0,1 + 10.0,2 + 11.0,3 + 12.0,35 = 10,8 (nghìn) Vậy đặt mua 22 hay 24kg đều hy vọng lãi 10,8 nghìn. Nhưng V (X1) = 0,26; V (X2) = 1,36 =⇒ Đặt mua 22kg thì độ rủi ro thấp hơn đặt mua 24kg.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ Khi đầu tư vào 2 thị trường A và B, lãi suất thu được là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất tương ứng: XA -1 5 8 p 0.2 0.5 0.3 XB -2 6 9 p 0.2 0.4 0.4 a) Muốn có lãi trung bình cao nên đầu tư vào đâu? b) Muốn kinh doanh ổn định thì đầu tư vào đâu?
Vậy muốn có lãi trung bình cao nên đầu tư vào thị trường B. 2 2 2 2 b) V(XA) = (-1) .0,2 + 5 .0,5 + 8 .0,3 – 4,7 = 9,81; 2 2 2 2 V(XB ) = (-2) .0,2 + 6 .0,4 + 9 .0,4 – 5,6 = 16,24. Vậy muốn kinh doanh ổn định nên đầu tư vào thị trường A. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ a) E(XA) = -1.0,2 + 5.0,5 + 8.0,3 = 4,7; E(XB ) = -2.0,2 + 6.0,4 +9.0,4 = 5,6.
2 2 2 2 b) V(XA) = (-1) .0,2 + 5 .0,5 + 8 .0,3 – 4,7 = 9,81; 2 2 2 2 V(XB ) = (-2) .0,2 + 6 .0,4 + 9 .0,4 – 5,6 = 16,24. Vậy muốn kinh doanh ổn định nên đầu tư vào thị trường A. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ a) E(XA) = -1.0,2 + 5.0,5 + 8.0,3 = 4,7; E(XB ) = -2.0,2 + 6.0,4 +9.0,4 = 5,6. Vậy muốn có lãi trung bình cao nên đầu tư vào thị trường B.
Vậy muốn kinh doanh ổn định nên đầu tư vào thị trường A. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ a) E(XA) = -1.0,2 + 5.0,5 + 8.0,3 = 4,7; E(XB ) = -2.0,2 + 6.0,4 +9.0,4 = 5,6. Vậy muốn có lãi trung bình cao nên đầu tư vào thị trường B. 2 2 2 2 b) V(XA) = (-1) .0,2 + 5 .0,5 + 8 .0,3 – 4,7 = 9,81; 2 2 2 2 V(XB ) = (-2) .0,2 + 6 .0,4 + 9 .0,4 – 5,6 = 16,24.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phương sai Ví dụ a) E(XA) = -1.0,2 + 5.0,5 + 8.0,3 = 4,7; E(XB ) = -2.0,2 + 6.0,4 +9.0,4 = 5,6. Vậy muốn có lãi trung bình cao nên đầu tư vào thị trường B. 2 2 2 2 b) V(XA) = (-1) .0,2 + 5 .0,5 + 8 .0,3 – 4,7 = 9,81; 2 2 2 2 V(XB ) = (-2) .0,2 + 6 .0,4 + 9 .0,4 – 5,6 = 16,24. Vậy muốn kinh doanh ổn định nên đầu tư vào thị trường A.
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Độ lệch chuẩn Định nghĩa Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên là X là căn bậc 2 của phương sai. p σX = V (X ) Chú ý: Độ lệch chuẩn có cùng ý nghĩa với phương sai, hơn nữa nó có cùng đơn vị đo với biến ngẫu nhiên.
Ý nghĩa. - Hệ số biến thiên đo tỉ lệ % các biến thiên của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. - Phản ánh mức độ biến động tương đối của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. =⇒ So sánh mức độ phân tán của 2 biến ngẫu nhiên (đơn vị có thể khác nhau). BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hệ số biến thiên σX CVX = 100 (%) E(X )
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hệ số biến thiên σX CVX = 100 (%) E(X ) Ý nghĩa. - Hệ số biến thiên đo tỉ lệ % các biến thiên của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. - Phản ánh mức độ biến động tương đối của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. =⇒ So sánh mức độ phân tán của 2 biến ngẫu nhiên (đơn vị có thể khác nhau).
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Trung vị - md Định nghĩa Là giá trị nằm ở chính giữa tập hợp các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên. - X là biến ngẫu nhiên rời rạc: F (Xi ) ≤ 0, 5 ≤ F (Xi+1) =⇒ md = Xi - X là biến ngẫu nhiên liên tục: Z md f (x) dx = 0, 5 −∞
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Mốt - m0 Định nghĩa Là giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với: - Xác suất lớn nhất, nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc - Cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến ngẫu nhiên liên tục
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Giá trị tới hạn Định nghĩa Giá trị tới hạn mức α của một biến ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu xα, là giá trị của X thỏa mãn : P(X > xα) = α
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Giá trị tới hạn Định nghĩa Giá trị tới hạn mức α của một biến ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu xα, là giá trị của X thỏa mãn : P(X > xα) = α