Bài giảng lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán - Nguyễn Quang Thi

pdf

136 trang hapham 3630

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán - Nguyễn Quang Thi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_nguyen_quang_t.pdf

Nội dung text: Bài giảng lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán - Nguyễn Quang Thi

BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO KHOA KHOA H ỌC T Ự NHIÊN ĐẠI H ỌC DUY TÂN === BÀI GI ẢNG: LÝ THUY ẾT XÁC SU ẤT VÀ TH ỐNG KÊ TOÁN Biên so ạn: Nguy ễn Quang Thi Đà N ẵng, tháng 9 n ăm 2009
Li m đ u Trong khoa h ọc c ũng nh ư trong đời s ống hàng ngày, chúng ta r ất th ường g ặp các hi ện t ượng ng ẫu nhiên (toán h ọc g ọi là bi ến c ố ng ẫu nhiên). Đó là các bi ến c ố mà ta không th ể d ự báo m ột cách ch ắc ch ắn r ằng chúng x ảy ra hay không x ảy ra. Lí thuy ết xác su ất là b ộ môn toán h ọc nghiên c ứu nh ằm tìm ra các quy lu ật chi ph ối và đư a ra các ph ươ ng pháp tính toán xác su ất c ủa các hi ện t ượng ng ẫu nhiên. Ngày nay lý thuy ết xác su ất đã tr ở thành m ột ngành toán h ọc quan tr ọng c ả v ề ph ươ ng di ện lý thuy ết và ứng d ụng. Nó là công c ụ không th ể thi ếu được m ỗi khi ta nói đế n dự báo, b ảo hi ểm, m ỗi khi c ần đánh giá các c ơ may, các nguy c ơ r ủi ro. Nhà toán học Pháp Laplace ở th ế k ỷ 19 đã tiên đoán r ằng: ‘Môn khoa h ọc này h ứa h ẹn tr ở thành m ột trong nh ững đố i t ượng quan tr ọng nh ất c ủa tri th ức nhân lo ại. R ất nhi ều nh ững v ấn đề quan tr ọng nh ất c ủa đờ i s ống th ực t ế thu ộc v ề nh ững bài toán c ủa lý thuy ết xác su ất’. Lí thuy ết xác su ất và th ống kê toán h ọc là môn h ọc c ơ b ản được gi ảng d ạy ở h ầu h ết các tr ường Đạ i h ọc. Ngoài t ập bài gi ảng này ra, gi ảng viên khuy ến khích sinh viên khi h ọc môn h ọc xác su ất và th ống kê nên có ít nh ất 1 tài li ệu khác để đọ c thêm, b ất c ứ cu ốn sách nào v ề xác su ất th ống kê có trên th ị tr ường đề u t ốt. Nó s ẽ b ổ sung ki ến th ức cho b ạn. Trong quá trình so ạn bài gi ảng này, gi ảng viên đã tham kh ảo nhi ều ý ki ến c ủa các đồng nghi ệp, và gi ảng viên c ũng c ố g ắng r ất l ớn trong quá trình biên so ạn nh ưng do hạn ch ế v ề nhi ều m ặt nên không th ể tránh được sai sót. R ất mong nh ận được s ự phê bình và s ự đóng góp ý ki ến c ủa các đồ ng nghi ệp và các b ạn sinh viên. Xin chân thành c ảm ơn. Biên so ạn: Nguy ễn Quang Thi
Mc l c Lời m ở đầ u 3 Mục l ục v Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. 1 1. Nh ắc l ại m ột s ố công th ức gi ải tích t ổ h ợp. 1 1.1. Quy t ắc c ộng và quy t ắc nhân 1 1.2. Hoán v ị. 2 1.3. Ch ỉnh h ợp (ch ỉnh h ợp không l ặp) 2 1.4. Ch ỉnh h ợp l ặp 2 1.5. T ổ h ợp 3 1.6. Công th ức nh ị th ức Newton 3 1.7. Bài t ập 3 2. Bi ến c ố và các phép toán trên bi ến c ố. 4 2.1. Phép th ử và bi ến c ố 4 2.2. Các lo ại bi ến c ố 4 2.3. Bi ến c ố b ằng nhau (bi ến c ố t ươ ng đươ ng) 5 2.4. Các phép toán trên bi ến c ố. 5 2.5. Nhóm đầy đủ các bi ến c ố. 6 2.6. Bài t ập 6 3. Định ngh ĩa xác su ất 7 3.1. Các định ngh ĩa xác su ất 7 3.2. Các định lí v ề xác su ất 9 3.3. Công th ức xác su ất đầ y đủ . Công th ức Bayes. 13 3.4. Bài t ập 15 4. Dãy phép th ử Bernoulli. Công th ức Bernoulli. 15 4.1. Dãy phép th ử Bernoulli. 15 4.2. S ố có kh ả n ăng nh ất. 16 5. Bài t ập ch ươ ng 19 Đáp s ố và h ướng d ẫn 21 Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất. 25 1. Khái ni ệm. Phân lo ại đạ i l ượng ng ẫu nhiên 25 1.1. Đại l ượng ng ẫu nhiên r ời r ạc 26 1.2. Đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục 26 1.3. Hàm phân ph ối c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên 26 2. Đại l ượng ng ẫu nhiên r ời r ạc 27 2.1. B ảng phân ph ối xác su ất 27 2.2. Hàm phân ph ối xác su ất. 28 2.3. Phép toán đại l ượng ng ẫu nhiên 31 3. Đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục. 32 4. Các đặc tr ưng c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên 34 4.1. Kì v ọng. 34 4.2. Ph ươ ng sai. 36 4.3. M ốt, trung v ị và moment trung tâm. 37 5. Hàm c ủa m ột đạ i l ượng ng ẫu nhiên 41
5.1. Đại l ượng ng ẫu nhiên r ời r ạc. 41 6.2. Đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục 42 6. Bài t ập ch ươ ng. 45 Đáp s ố và h ướng d ẫn 45 Ch ươ ng III. Các quy lu ật phân ph ối th ường g ặp 47 1. Quy lu ật phân ph ối r ời r ạc. 47 1.1. Phân ph ối nh ị th ức 47 1.2. Phân ph ối siêu b ội. 48 1.3. Phân ph ối Poisson 50 2. Quy lu ật phân ph ối liên t ục 52 2.1. Phân ph ối đề u 52 2.2. Phân ph ối m ũ 52 2.3. Phân ph ối chu ẩn. Phân ph ối chu ẩn t ắc. 54 2.4. Phân ph ối Chi bình ph ươ ng. 60 2.5. Phân ph ối Student 61 2.6. Công th ức tính g ần đúng 61 3. Đại l ượng ng ẫu nhiên nhi ều chi ều. 63 3.1. Khái ni ệm 63 3.2. Quy lu ật phân ph ối xác su ất c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều 63 3.3. Hàm phân ph ối c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều. 64 4. Bài t ập ch ươ ng. 65 Đáp s ố và h ướng d ẫn 67 Ch ươ ng IV. Lí thuy ết m ẫu 71 1. T ổng th ể và m ẫu 71 1.1. M ở đầ u. 71 1.2. M ẫu ng ẫu nhiên, m ẫu c ụ th ể. 72 1.3. B ảng phân ph ối t ần s ố 73 1.4. Hàm phân ph ối m ẫu 76 2. Các tham s ố đặ c tr ưng c ủa m ẫu 76 2.1. T ỉ l ệ m ẫu. 76 2.2. S ố m ốt (Mode) c ủa m ẫu 79 2.3. S ố trung v ị (Median) c ủa m ẫu 79 2.4. Các quy lu ật phân ph ối m ẫu 81 3. Bài t ập ch ươ ng. 83 Ch ươ ng V. Lí thuy ết ước l ượng 85 1. Ước l ượng điểm. 85 2. Ước l ượng kho ảng 86 2.1. Ước l ượng kho ảng tin c ậy cho kì v ọng 87 2.2. Ước l ượng kho ảng tin c ậy cho ph ươ ng sai 90 2.3. Ước l ượng kho ảng tin c ậy cho t ỉ l ệ. 92 2.4. Ước l ượng kích th ước m ẫu. 94 3. Bài t ập ch ươ ng. 95 Đáp s ố và h ướng d ẫn 97 Ch ươ ng VI. Ki ểm đị nh gi ả thi ết th ống kê 99 1. Các khái ni ệm c ơ b ản 99 1.1. Đặt v ấn đề : 99 1.2. Ph ươ ng pháp ki ểm đị nh gi ả thi ết th ống kê 101 vi
2. Ki ểm đị nh gi ả thi ết v ề tham s ố 101 2.1. Các lo ại ki ểm đị nh và ph ươ ng pháp ki ểm đị nh gi ả thi ết v ề các tham s ố. 101 2.2. Ki ểm đị nh gi ả thi ết v ề trung bình c ủa ĐLNN X~N( ; σ2). 102 2.3. Ki ểm đị nh gi ả thi ết v ề ph ươ ng sai c ủa ĐLNN X~N( ; σ2). 106 2.4. Ki ểm đị nh gi ả thi ết v ề t ỉ l ệ các ph ần t ử có tính ch ất nào đó trong t ổng th ể.108 2.5. Ki ểm đị nh gi ả thi ết v ề hai kì v ọng c ủa hai ĐLNN chu ẩn độ c l ập 110 2.6. Ki ểm đị nh gi ả thi ết th ống kê v ề hai t ỉ l ệ c ủa hai ĐLNN. 113 2.7. Ki ểm đị nh gi ả thi ết th ống kê v ề quy lu ật phân ph ối 115 2.8. Ki ểm đị nh gi ả thi ết th ống kê v ề tính độ c l ập. 120 3. Bài t ập ch ươ ng 122 Các b ảng s ố 125 Bảng 1. B ảng phân ph ối Poisson: 125 Bảng 2. Giá tr ị tích phân Laplace: 126 Bảng 3. Phân v ị α c ủa phân ph ối Student 127 Bảng 4. Phân v ị α c ủa phân ph ối Chi bình ph ươ ng 128
Ch ươ ng I. Các khái ni m c ơ b n trong lí thuy t xác su t. A. M c tiêu - Ôn l ại các ki ến th ức v ề T ập h ợp và Gi ải tích t ổ h ợp nh ư: t ập h ợp, các phép toán v ề t ập h ợp, qui t ắc nhân, hoán v ị, ch ỉnh h ợp, t ổ h ợp . . . - Rèn luy ện cách gi ải m ột s ố bài t ập liên quan. - Gi ới thi ệu các khái ni ệm về phép th ử, bi ến c ố và phép toán gi ữa các bi ến c ố. - N ắm v ững khái ni ệm v ề các bi ến c ố xung và các bi ến c ố độ c l ập. - Xây dựng m ột s ố đị nh ngh ĩa xác su ất (định ngh ĩa cổ điển, định ngh ĩa theo hình h ọc và định ngh ĩa theo th ống kê) và tìm công th ức th ể hi ện đị nh ngh ĩa đó. - N ắm được các công th ức c ộng, công th ức nhân xác su ất. - Hi ểu được các công th ức tính xác su ất có điều ki ện, công th ức xác su ất đầ y đủ , công th ức Bayes. - Gi ới thi ệu v ề dãy phép th ử Bernoulli và công th ức Bernoulli. B. N i dung. 1. Nh c l i m t s công th c gi i tích t h p. 1.1. Quy t c c ng và quy t c nhân. 1.1.1. Quy t ắc c ộng. Nếu m ột công vi ệc được chia làm k tr ường h ợp để th ực hi ện, tr ường h ợp 1 có n1 cách th ực hi ện xong công vi ệc, tr ường h ợp 2 có n2 cách th ực hi ện xong công vi ệc, , tr ường h ợp k có nk cách th ực hi ện xong công vi ệc và không có b ất kì m ỗi cách th ực hi ện nào ở các tr ường h ợp nào l ại trùng v ới m ột cách th ực hi ện ở các tr ường L hợp khác, thì có n1 + n2 + + nk cách th ực hi ện xong công vi ệc. 1.1.2. Quy t ắc nhân. Nếu m ột công vi ệc được chia làm k giai đoạn, giai đoạn 1 có n1 cách th ực hi ện xong công vi ệc, giai đoạn 2 có n2 cách th ực hi ện xong công vi ệc, , giai đoạn k L có nk cách th ực hi ện xong công vi ệc, thì có n2 n3 nk cách th ực hi ện xong công vi ệc.
Bài gi ảng 1.2. Hoán v . Một hoán v ị t ừ n ph ần t ử là m ột b ộ có th ể k ể th ứ t ự g ồm n ph ần t ử khác nhau đã cho. Số các hoán v ị t ừ n ph ần t ử kí hi ệu là Pn . Công th ức tính: Pn = n!. Ví d ụ 1.1. Có 4 sinh viên và 4 cái gh ế được s ắp x ếp theo m ột hàng ngang. S ắp x ếp m ỗi sinh viên ng ồi m ột gh ế. Có bao nhi ều cách sắp x ếp khác nhau? Rõ ràng m ỗi ki ểu s ắp x ếp là m ột hoán v ị c ủa 4 ph ần t ử. S ố cách s ắp x ếp ch ỗ ng ồi là P4 = !4 . 1.3. Ch nh h p (ch nh h p không l p). Một ch ỉnh h ợp ch ập k ( 1 ≤ k ≤ n ) từ n ph ần t ử là m ột b ộ có th ể k ể th ứ t ự g ồm k ph ần t ử khác nhau l ấy t ừ n ph ần t ử đã cho k Số các ch ỉnh h ợp ch ập k t ừ n ph ần t ử kí hi ệu là An . n! Công th ức tính: Ak = n()()n −1 K n − k + 1 = n ()n − k ! Nh ận xét. Số các ch ỉnh h ợp ch ập n c ủa n ph ần t ử b ằng s ố các hoán v ị c ủa n ph ần t ử, ngh ĩa n là: An = Pn . Ví d ụ 1.2. Có bao nhiêu s ố khác nhau g ồm 3 ch ữ s ố phân bi ệt được thi ết l ập t ừ các ch ữ s ố 1, 2 , 3 , 4 , 5 ? Gi ải !5 Một s ố g ồm 3 ch ữ s ố phân bi ệt được thi ết l ập t ừ các ch ữ s ố b ằng A3 = = 60 . 5 ()5 − 3 ! 1.4. Ch nh h p l p. Một ch ỉnh h ợp l ặp ch ập k ( k ≥ 1) t ừ n ph ần t ử là m ột b ộ có th ể k ể th ứ t ự g ồm k ph ần t ử không nh ất thi ết khác nhau l ấy t ừ n ph ần t ử đã cho k Số các ch ỉnh h ợp l ặp ch ập k t ừ n ph ần t ử kí hi ệu là An . k k Công th ức tính: An = n . Ví d ụ 1.3. Gi ả s ử A = { 3;2;1 } là t ập h ợp g ồm 3 ph ần t ử. Khi đó, các dãy 11 , 21 ho ặc 33 là nh ững ch ỉnh h ợp l ặp 2 t ừ 3 ph ần t ử c ủa A . Ta có th ể li ệt kê ra đây t ất c ả các ch ỉnh 2 2 hợp l ặp là: 11 , 12 , 13 , 21 , 22 , 23 , 31 , 32 , 33 . Và s ố ch ỉnh h ợp đó là A3 = 3 = 9 . 2
Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. 1.5. T h p. Một tổ h ợp ch ập k t ừ n ph ần t ử là m ột t ập con g ồm k ph ần t ử khác nhau đã cho. k Số các t ổ h ợp ch ập k t ừ n ph ần t ử kí hi ệu là Cn . n(n −1)K(n − k +1) n! Công th ức tính: C k = = n k! k!()n − k ! Nh ận xét: 0 n−k k Cn = 1, Cn = Cn , v ới m ọi k = ;0 n . Ví d ụ 1.4. Có bao nhiêu cách phân công 5 sinh viên đi lao động c ủa m ột l ớp g ồm 45 sinh viên? Gi ải Mỗi cách ch ọn ng ẫu nhiên 5 ng ười trong 50 sinh viên là m ột t ổ h ợp ch ập 5 c ủa 50 . Vậy s ố cách phân công khác nhau 5 sinh viên trong 50 sinh viên đi lao động là 50 C 5 = = 2118760 . 50 !5 ()50 − 5 ! Ví d ụ 1.5. Có bao nhiêu cách phân công 50 sinh viên thành 3 nhóm I , II , III sao cho nhóm I có đúng 30 sinh viên. Gi ải 30 Ta th ấy có C50 cách phân công 30 sinh viên vào nhóm I . S ố cách phân công (50 − 30 ) sinh viên còn l ại vào nhóm II và III b ằng s ố các ch ỉnh h ợp l ặp ch ập 20 của 2 , ngh ĩa là b ằng 220 . V ậy, s ố cách phân công 50 sinh viên thành 3 nhóm I , 30 20 II , III sao cho nhóm I có đúng 30 sinh viên là C50 × 2 1.6. Công th c nh th c Newton. n n k n k k Công th ức: ()a + b = ∑Cn a b k =0 Nh ận xét: n 0 1 L n n a) ()1 + x = Cn + Cn x + + Cn x n n k k n k k b) ()()a − b = ∑−1 Cn a b k =0 1.7. Bài t p. 1. Tìm n t ừ các ph ươ ng trình: 2 a) Cn = 45 , 4 An b) 3 = 60 , Cn−1 3
Bài gi ảng 8 12 c) Cn = Cn 2. Trên m ặt ph ẳng có 20 điểm (không có 3 điểm này cùng n ằm trên m ột đường th ẳng). Qua m ỗi c ặp điểm, ta v ẽ m ột đường th ẳng. H ỏi có bao nhiêu đường th ẳng nh ư v ậy. 3. Từ thành ph ố A có 3 con đường đi đế n thành ph ố B và t ừ B có 2 con đường đi t ới thành ph ố C . H ỏi có m ấy cách đi t ừ A đến C (ph ải qua B )? 4. Trên m ột đường tròn có 12 điểm. Có m ấy cách v ẽ dây cung có các mút là các điểm đã cho. Có m ấy tam giác nh ận các điểm là đỉnh. 2. Bi n c và các phép toán trên bi n c . 2.1. Phép th và bi n c . Phép th ử (phép th ử ng ẫu nhiên) là s ự th ực hi ện m ột nhóm các điều ki ện xác đị nh và có th ể được l ặp l ại nhi ều l ần. K ết qu ả c ủa nó, ta không đoán tr ước được. Một k ết qu ả c ủa phép th ử g ọi là m ột bi ến c ố. Ví d ụ 2.1. a) Để nghiên c ứu hi ện t ượng ng ẫu nhiên v ề s ự xu ất hi ện s ấp hay ng ửa khi tung đồ ng ti ền, ta ti ến hành phép th ử: “tung m ột đồ ng ti ền”. K ết qu ả nh ận được s ẽ là S ( được mặt s ấp) ho ặc N ( được m ặt ng ửa). S và N là nh ững bi ến c ố. b) Ch ọn ng ẫu nhiên m ột sinh viên trong l ớp, ta được các bi ến c ố, ch ẳng h ạn: A : “sinh viên đó là n ữ”, B : “sinh viên đó là nam”, C : “sinh viên đó là sinh viên gi ỏi Toán”. 2.2. Các lo i bi n c . Bi ến c ố không th ể có (hay bi ến c ố r ỗng) là bi ến c ố không bao gi ờ x ảy ra khi phép th ử th ực hi ện. Kí hi ệu: ∅ . Bi ến c ố ng ẫu nhiên là bi ến c ố có th ể x ảy ra hoặc không x ảy ra tùy thu ộc vào t ừng phép th ử. Bi ến c ố sơ c ấp là bi ến c ố x ảy ra khi và ch ỉ khi có m ột k ết qu ả c ụ th ể trong s ố nh ững kết qu ả lo ại tr ừ nhau c ủa phép th ử. Kí hi ệu là ω . Bi ến c ố ch ắc ch ắn là bi ến c ố luôn luôn x ảy ra khi phép th ử th ực hi ện. Kí hi ệu: Ω . Bi ến c ố ch ắc ch ắn g ồm t ất c ả các bi ến c ố s ơ c ấp. Ta th ường coi đó là không gian bi ến c ố s ơ c ấp. Ví d ụ 2.2. Trong Ví d ụ 2.1. a) N ếu đồ ng ti ền có hai m ặt đều ng ửa thì S là bi ến c ố r ỗng và N là bi ến c ố ch ắc ch ắn. Trong Ví d ụ 2.1. b) N ếu l ớp h ọc đó không có nam thì A là bi ến c ố ch ắc ch ắn và B là bi ến c ố r ỗng. Ví d ụ 2.3. Gieo 1 m ột l ần 1 con xúc x ắc. G ọi Bi là bi ến c ố “M ặt trên con xúc x ắc c ủa nó có i ch ấm”, i = 6;1 . Khi đó 4
Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. K Không gian bi ến c ố s ơ c ấp là Ω = {B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 }. Các B1 , B2 , , B6 là nh ững bi ến c ố s ơ c ấp. Chú ý: Mọi bi ến c ố s ơ c ấp đề u là bi ến c ố ng ẫu nhiên. Ng ược l ại, bi ến c ố ng ẫu nhiên nói chung không là bi ến c ố s ơ c ấp. 2.3. Bi n c b ng nhau (bi n c t ươ ng đươ ng). Bi ến c ố A g ọi là kéo theo bi ến c ố B n ếu A x ảy ra thì B x ảy ra. Kí hi ệu: A⊂B . Nếu đồ ng th ời có A⊂B và B ⊂A thì các bi ến cố A và B g ọi là bằng nhau . Kí hi ệu: A = B . 2.4. Các phép toán trên bi n c . Cho hai bi ến c ố A và B . Khi đó, ta g ọi: Tích c ủa A và B , hay A nhân B , là bi ến c ố x ảy ra khi A và B đồng th ời x ảy ra. Kí hi ệu: A.B ( ho ặc AB ho ặc A ∩ B ). Tổng c ủa A và B , hay A c ộng B , là bi ến c ố x ảy ra khi A x ảy ra ho ặc B ho ặc A.B x ảy ra. Kí hi ệu: A + B (ho ặc A ∪ B ). Cho m ột bi ến c ố A . Khi đó, ta gọi bi ến c ố đối l ập c ủa bi ến c ố A là bi ến c ố x ảy ra nếu A không x ảy ra và không x ảy ra n ếu A x ảy ra. Kí hi ệu: A . Tính ch ất. Với các bi ến c ố A , B , C tùy ý, ta có các tính ch ất sau: 1) A + B = B + A , AB = BA . 2) (A +B) + C = A + (B + C) , (AB )C =A(BC ) . 3) A(B +C) = AB + AC , A +(BC ) = (A + B)(A + C) . 4) N ếu A⊂B thì A + B = B , AB = A. 5) A = A . 6) A + A = Ω , AA = ∅ . 7) A + B = AB , AB = A + B (quy t ắc đố i ng ẫu) K 8) V ới các bi ến c ố A1 , A2 , , An ta có L A1 + A2 + + An là bi ến c ố x ảy ra khi có ít nh ất m ột bi ến c ố Ai x ảy ra ( i = ;1 n ). L A1.A2 . .An là bi ến c ố x ảy ra khi t ất c ả các Ai đều x ảy ra ( i = ;1 n ). Ví d ụ 2.4. Bắn 3 m ũi tên vào m ột t ấm bia. G ọi Ai là bi ến c ố “m ũi tên th ứ i trúng đích” ( i = 3;1 ). Hãy bi ểu di ễn qua A1 , A2 , A3 các bi ến c ố: A : C ả 3 m ũi tên đều trúng đích. B : Có đúng 1 m ũi tên trúng đích. C : Có ít nh ất 1 m ũi tên trúng đích. D : Không có m ũi tên nào trúng đích. 5
Bài gi ảng Gi ải Ta có: A = A1 A2 A3 , B = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 , C = A1 + A2 + A3 , D = A1 A2 A3 . 2.5. Nhóm đy đ các bi n c . Hai bi ến c ố A và B g ọi là xung kh ắc n ếu AB = ∅ . K Các bi ến c ố A1 , A2 , , An g ọi là đôi m ột xung kh ắc n ếu hai bi ến c ố khác nhau b ất kì trong đó đều xung kh ắc, t ức là Ai Aj = ∅ v ới m ọi i ≠ j . K Các bi ến c ố A1 , A2 , , An g ọi là một nhóm đầ y đủ các bi ến c ố n ếu chúng đôi m ột L xung kh ắc và ít nh ất m ột trong chúng x ảy ra, t ức là A1 + A2 + + An = Ω , Ai Aj = ∅ với m ọi i ≠ j , và P(Ai ) > 0 v ới m ọi i = ;1 n . Ví d ụ 2.5. a) Gieo m ột l ần m ột con xúc x ắc: Đặt Bi là bi ến c ố “m ặt trên c ủa con xúc x ắc có i ch ấm”, i = 6;1 . Dãy B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 l ập thành h ệ đầ y đủ các bi ến c ố. Vì nó có tính ch ất: K B1 + B2 + + B6 = Ω , Bi B j = ∅ v ới m ọi i ≠ j , và P(Bi ) > 0 , v ới m ọi i = 6;1 . b) Gieo m ột đồ ng ti ền m ột l ần: Đặt A là bi ến c ố “xu ất hi ện m ặt s ấp”, khi đó A là bi ến c ố “xu ất hi ện m ặt ng ửa”. Ta th ấy r ằng dãy A , A l ập thành m ột h ệ đầ y đủ vì AA = ∅ và A + A = Ω . Chú ý. Hai bi ến c ố đố i l ập nhau thì xung kh ắc v ới nhau. Điều ng ược l ại nói chung là không đúng. 2.6. Bài t p. 1. Xét phép th ử: gieo con xúc x ắc 2 l ần. Mô t ả không gian bi ến c ố s ơ c ấp ứng v ới phép th ử trên. Tìm các bi ến c ố : A “t ổng s ố ch ấm chia h ết cho 3 ”; B “tr ị tuy ệt đố i c ủa hi ệu số ch ấm là s ố ch ẵn”. 2. Ki ểm tra theo th ứ t ự m ột lô hàng g ồm N s ản ph ẩm. Các s ản ph ẩm đề u thu ộc m ột trong 2 lo ại: t ốt ho ặc x ấu. Kí hi ệu Ak ( k = ;1 N ) là bi ến c ố ch ỉ s ản ph ẩm ki ểm tra th ứ k thu ộc lo ại x ấu. Vi ết b ằng kí hi ệu các bi ến c ố d ưới đây: a) Cả N s ản ph ẩm đề u x ấu. b) Có ít nh ất 1 s ản ph ẩm x ấu. c) m s ản ph ẩm ki ểm tra đầ u là t ốt, các s ản ph ẩm còn l ại là x ấu. d) Các s ản ph ẩm ki ểm tra theo th ứ t ự ch ẵn là x ấu, còn các s ản ph ẩm ki ểm tra theo th ứ t ự l ẻ là t ốt. e) Không gian bi ến c ố s ơ c ấp có bao nhiêu ph ần t ử. 3. Bắn 3 viên đạn vào m ột t ấm bia. G ọi Ai là bi ến c ố: “viên đạn th ứ i trúng bia”, i = 3;1 . B là bi ến c ố: “có đúng 1 viên đạn trúng m ột t ấm bia”, C là bi ến c ố “có ít nh ất 2 viên đạn trúng bia” và D là bi ến c ố “c ả 3 viên đạn không trúng bia”. Hãy bi ểu di ễn các bi ến cố B , C , D , B + C qua các Ai và Ai . 6
Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. 4. Bắn không h ạn ch ế vào m ột m ục tiêu cho đến khi có viên đạn trúng m ục tiêu thì thôi bắn. Gi ả s ử m ỗi l ần b ắn ch ỉ có 2 kh ả n ăng trúng bia (g ọi là bi ến c ố A ) ho ặc ch ệch bia (bi ến c ố A ). a) Hãy mô t ả không gian bi ến c ố s ơ c ấp. b) Hãy nêu m ột h ệ đầ y đủ các bi ến c ố. 3. Đnh ngh ĩa xác su t. 3.1. Các đnh ngh ĩa xác su t. 3.1.1. Định ngh ĩa c ổ điển. Ta g ọi các tr ường h ợp đồng kh ả n ăng là các tr ường h ợp mà kh ả n ăng x ảy ra c ủa chúng là ngang b ằng nhau. Ta g ọi m ột tr ường h ợp là thu ận l ợi cho bi ến c ố A n ếu tr ường h ợp này x ảy ra thì A xảy ra. Gi ả s ử có t ất c ả n(Ω) tr ường h ợp đồ ng kh ả n ăng, trong s ố đó có n(A) tr ường h ợp thu ận l ợi cho bi ến c ố A . n(A) Khi đó, ta g ọi xác su ất c ủa bi ến c ố A là P()A = . n()Ω Nh ư v ậy, xác su ất c ủa bi ến c ố là t ỉ s ố v ề kh ả n ăng bi ến c ố đó xu ất hi ện. Ví d ụ 3.1. Gieo m ột l ần con xúc x ắc cân đối và đồng ch ất. Tìm xác su ất để a) M ặt trên c ủa nó có 1 ch ấm. b) M ặt trên c ủa nó có s ố ch ấm là s ố ch ẵn. Gi ải a) Đặt Bi là bi ến c ố “m ặt trên c ủa con xúc x ắc có i ch ấm”, i = 6;1 . Đặt A là bi ến c ố “m ặt trên c ủa con xúc x ắc có 1 ch ấm. Do con xúc x ắc cân đố i và đồng ch ất nên kh ả n ăng xu ất hi ện các m ặt B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 là nh ư nhau và n(Ω) = 6 và s ố kh ả n ăng thu ận l ợi cho A là 1. V ậy xác su ất cúa bi ến c ố A là 1 P()A = . 6 a) Đặt B là bi ến c ố “m ặt trên c ủa con xúc x ắc có s ố ch ấm là s ố ch ẵn”. D ễ th ấy 3 1 B = {B ; B ; B } và s ố kh ả n ăng thu ận l ợi cho B là 3 . V ậy P()B = = . 1 2 3 6 2 Ví d ụ 3.2. Một l ớp h ọc g ồm N sinh viên trong đó có M nam và N − M n ữ. Ch ọn ng ẫu nhiên s sinh viên. Tìm xác su ất để trong s sinh viên được ch ọn thì có đúng k sinh viên nam Gi ải 7
Bài gi ảng s Số cách ch ọn s sinh viên trong N sinh viên là C N . k Số cách ch ọn được k sinh viên nam trong M sinh viên là CM . Số cách ch ọn được s sinh viên trong l ớp trong đó có k sinh viên nam và s − k sinh viên n ữ là C k × C s−k . M N −M k s−k CM × C N −M Vậy, xác su ất c ần tìm là P()A = s . C N 3.1.2. Định ngh ĩa hình h ọc. Gi ả s ử t ập h ợp (vô h ạn) các tr ường h ợp đồ ng kh ả n ăng c ủa m ột phép th ử có th ể bi ểu th ị b ởi m ột mi ền Ω (ch ẳng h ạn đoạn th ẳng, m ặt ph ẳng, không gian ba chi ều v.v ) còn t ập h ợp các k ết qu ả thu ận l ợi cho cho bi ến c ố A là m ột mi ền con S c ủa Ω . Ta lấy ng ẫu nhiên m ột điểm trong mi ền Ω . Xác su ất c ủa bi ến c ố A được xác đị nh nh ư sau: P(A) = (độ đo của S )/( độ đo của Ω ). Nếu mi ền Ω là đường cong hay đoạn th ẳng thì “ độ đo” c ủa Ω là độ dài c ủa nó. Nếu mi ền Ω là hình ph ẳng hay m ặt cong thì “ độ đo” của Ω là di ện tích c ủa nó. Ví d ụ 3.3. Đường dây điện tho ại ng ầm n ối m ột t ổng đài đến m ột tr ạm dài 1 km . Tính xác su ất để dây đứ t t ại n ơi cách t ổng đài không quá 100 m bi ết r ằng dây điện tho ại đồ ng ch ất. Gi ải. Do dây điện tho ại là đồng ch ất nên kh ả n ăng nó b ị đứ t t ại m ột điểm b ất kì là nh ư nhau. Khi đó, t ập h ợp các tr ường h ợp đồ ng kh ả n ăng có th ể bi ểu th ị b ằng đoạn th ẳng n ối t ổng đài v ới tr ạm. Các tr ường h ợp thu ận l ợi cho bi ến c ố A “dây b ị đứ t t ại nơi cách t ổng đài không quá 100 m ” là đoạn th ẳng có độ dài 100 m . Khi đó 100 1 P()A = = . 1000 10 Ví d ụ 3.4. Hai ng ười b ạn h ẹn g ặp nhau t ại m ột đị a điểm theo quy ước nh ư sau: Mỗi ng ười độ c l ập đế n điểm h ẹn trong kho ảng t ừ 7 gi ờ đế n 8 gi ờ. Mỗi ng ười đế n, n ếu không g ặp ng ười kia thì đợi 30 phút hoặc đế n 8 gi ờ không đợ i nữa. Tính xác su ất hai ng ười g ặp nhau, n ếu bi ết r ằng m ỗi ng ười có th ể đế n ch ỗ h ẹn trong kho ảng th ời gian quy đị nh m ột cách ng ẫu nhiên và không tùy thu ộc vào ng ười kia đến lúc nào. Gi ải 8
Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. Gọi 7 + x , 7 + y là th ời điểm hai ng ười này đến điểm h ẹn, 0 ≤ x, y ≤ 1. Các tr ường hợp đồ ng kh ả n ăng t ươ ng ứng v ới các điểm (x; y) t ạo thành hình vuông có c ạnh bằng 1, có di ện tích ( độ đo) b ằng 1. Các tr ường h ợp thu ận l ợi cho bi ến c ố A (hai ng ười g ặp nhau) t ươ ng ứng v ới các 1 điểm (x; y) th ỏa mãn x − y ≤ . 2 Dựa vào hình v ẽ, ta có 3  1 2 3 3 Di ện tích hình là 1−   = . T ừ đó, ta có P()A = 4 =  2  4 1 4 Ví d ụ 3.5. Tìm xác su ất để điểm M r ơi vào hình tròn n ội ti ếp hình vuông có c ạnh 2 cm. Gi ải Hình tròn n ội ti ếp hình vuông có c ạnh 2a có đường kính 2a . Vậy di ện tích hình tròn đó là πR 2 = πa 2 và di ện tích hình vuông là S = 2a × 2a = 4a 2 . πa 2 π Khi đó, xác su ất ph ải tìm là P()A = = . 4a 2 4 3.1.3. Định ngh ĩa th ống kê. Gi ả s ử trong n phép th ử v ới điều ki ện nh ư nhau, bi ến c ố A xu ất hi ện k l ần. Khi đó k ta g ọi f ()A = là tần su ất xu ất hi ện bi ến c ố A trong n phép th ử. Khi n t ăng lên n n rất l ớn, ta th ấy r ằng f n (A) dao động quanh m ột s ố p c ố đị nh và ti ến d ần v ề s ố p đó. Ta g ọi xác su ất c ủa bi ến c ố A là P(A) = p = lim f n (A). n→+∞ 3.2. Các đnh lí v xác su t. 3.2.1. Định lí c ộng xác su ất. Định lí 3.1. K Nếu A1 , A2 , , An là các bi ến c ố đôi m ột xung kh ắc thì L L P(A1 + A2 + + An ) = P(A1 ) + + P(An ) . Định lí 3.2. Với các bi ến c ố tùy ý A và B , ta có P(A + B) = P(A) + P(B)− P(AB ) . Ch ứng minh Do BA ⊂ A nên A + BA = A . T ừ đó A + B = A + B(A + A) = A + BA + BA = A + BA. Do A và BA xung kh ắc nên P(A + B) = P(A)+ P(BA). Tươ ng t ự, ta có: 9
Bài gi ảng B = BA + BA nên P(B) = P(BA )+ P(BA) hay P(BA) = P(B)− P(AB ). Từ các điều ki ện trên, ta suy ra: P(A + B) = P(A)+ P(B)− P(AB ). Áp d ụng Định lí 3.2. và áp d ụng nguyên lí quy n ạp, ta có: Định lí 3.3. L L n−1 K P()()A1 + A2 + + An = ∑ P A1 − ∑ P()()Ai Aj + ∑ P Ai Aj Ak − + ()()−1 P A1 A2 An i=1 i< j i< j<k Ví d ụ 3.6. Trong s ố 50 sinh viên c ủa l ớp có 20 sinh viên gi ỏi Toán, 25 sinh viên gi ỏi Anh và 10 h ọc sinh gi ỏi c ả Toán và Anh. Ch ọn ng ẫu nhiên m ột sinh viên c ủa l ớp. Tính xác su ất để sinh viên này gi ỏi Toán ho ặc gi ỏi Anh. Gi ải Gọi A và B l ần l ượt là bi ến c ố sinh viên được ch ọn gi ỏi Toán và gi ỏi Anh. Khi đó A + B là bi ến c ố sinh viên được ch ọn gi ỏi Toán ho ặc gi ỏi Anh. Áp d ụng Định lí 3.2., ta có: 20 25 10 7 P()()()()A + B = P A + P B − P AB = + − = 50 50 50 10 Ví d ụ 3.7. Xếp ng ẫu nhiên n b ức th ư vào n phong bì đã ghi s ẵn đị a ch ỉ (m ỗi phong bì chì có 1 th ư). Tìm xác su ất để có ít nh ất 1 th ư đến đúng đị a ch ỉ. Gi ải Đặt Ai là bi ến c ố “b ức th ư th ứ i đến đúng ng ười nh ận”, i = ;1 n . G ọi A là bi ến c ố L “ít nh ất 1 lá th ư đến đúng địa ch ỉ”. Khi đó, ta có: A = A1 + A2 + + An . Theo Định lí 3.3. ta suy ra L L n−1 K P()()A1 + A2 + + An = ∑ P A1 − ∑ P()Ai A j + + ()()−1 P A1 A2 An i=1 i< j k −1 L = ()−1 ∑ P()Ai Ai Ai 1 2 k L 1≤i1 <i2 < <ik ≤n (n − k)! Dễ th ấy P(A A L A ) = vì các b ức th ư i , i , K, i đến đúng địa ch ỉ, còn i1 i2 ik n! 1 2 k lại n − k khác có th ể đế n đúng ng ười nh ận ho ặc không. L k (n − k)! 1 Ta có ∑ P()Ai Ai Ai = Cn = . 1 2 k L 1≤i1 <i2 < <ik ≤n n! k! n 1 Vậy P()()A = ∑ −1 k−1 . k=1 k! 10
Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. 3.2.2. Xác su ất có điều ki ện. Định ngh ĩa. Cho hai bi ến c ố A và B . Ta g ọi xác su ất c ủa bi ến c ố A khi bi ến c ố B đã x ảy ra ( P(B) > 0 ) là xác su ất c ủa A đối v ới điều ki ện B . Kí hi ệu: P(A/ B). P(AB ) Ng ười ta ch ứng minh được công th ức P()A/ B = , trong đó P(B) > 0 . P()B Ch ứng minh Ta ch ứng minh cho tr ường h ợp phép th ử có n tr ường h ợp cùng kh ả n ăng. Gi ả s ử trong n tr ường h ợp này có m tr ường h ợp thu ận l ợi cho B và k tr ường h ợp thu ận lợi cho AB . Vì B đã x ảy ra nên s ố tr ường h ợp cùng kh ả n ăng lúc này là m , và s ố tr ường h ợp thu ận l ợi cho A trong đó chính là s ố tr ường h ợp thu ận l ợi cho AB , t ức k P()AB là k . Vì v ậy P()A/ B = n = . m P()B n Chú ý. Định ngh ĩa trên mang tính ch ất thu ần túy toán h ọc. Tuy nhiên trong trong th ực t ế, ta có th ể tính xác su ất b ằng tr ực giác. 3.2.3. Định lí nhân xác su ất. Tính độ c l ập c ủa các bi ến c ố. Định lí 3.4. Nếu các bi ến c ố tùy ý A và B cùng liên k ết v ới m ột phép th ử ( P(A), P(B) > 0 ), thì ta có: P(AB ) = P(A)P(B / A) = P(B)P(A / B) . Áp d ụng Định lí 3.4. và áp d ụng nguyên lí quy n ạp, ta có: K K K P(A1 A2 An ) = P(A1 ).P(A2 / A1 ) P(An / A1 A2 An−1 ) Bây gi ờ ta đưa điều ki ện để xác su ất c ủa tích b ằng tích các xác su ất. Hai bi ến c ố A và B được g ọi là độc l ập n ếu xác su ất c ủa bi ến c ố này không ph ụ thu ộc vào s ự x ảy ra hay không x ảy ra c ủa bi ến c ố kia, t ức là: P(A/ B) = P(A) ho ặc P(B / A) = P(B). Chú ý r ằng ch ỉ c ần th ỏa mãn m ột trong hai điều ki ện này thì s ẽ thỏa mãn điều ki ện kia. K Các bi ến c ố A1 , A2 , , An g ọi là độc l ập toàn th ể n ếu xác su ất c ủa m ỗi bi ến c ố trong đó không ph ụ thu ộc vào s ự x ảy ra hay không x ảy ra c ủa m ột t ổ h ợp b ất kì c ủa các bi ến c ố khác. Định lí 3.5. a) N ếu A và B độc l ập thì P(AB ) = P(A).P(B). K b) N ếu các bi ến c ố A1 , A2 , , An độc l ập toàn th ể thì K K P(A1 A2 An ) = P(A1 ).P(A2 ) P(An ). 11
Bài gi ảng Tính ch ất Nếu A và B là hai bi ến c ố độ c l ập thì các c ặp bi ến c ố a) A và B độc l ập. b) A và B độc l ập. c) A và B độc l ập. Ví d ụ 3.8. Cho 3 h ộp bi, m ỗi h ộp có 10 bi. Trong h ộp th ứ i có i bi đỏ và 10 − i bi xanh (i = 3;1 ). L ấy ng ẫu nhiên m ỗi h ộp ra 1 bi. a) Tính xác su ất c ả 3 bi l ấy ra đều đỏ . b) Tính xác su ất trong 3 bi l ấy ra có 2 đỏ và 1 xanh. c) Bi ết trong 3 bi l ấy ra có 2 đỏ và 1 xanh. Tính xác su ất bi l ấy ra t ừ h ộp th ứ 2 có màu xanh. Gi ải Gọi Ai là bi ến c ố “l ấy ra t ừ h ộp th ứ i bi đỏ” ( i = 3;1 ). D ễ th ấy A1 , A2 , A3 độc l ập 1 2 3 toàn th ể và P()A = , P()A = , P()A = . 1 10 1 10 1 10 a) Bi ến c ố “c ả 3 bi l ấy ra đề u đỏ ” là A1 A2 A3 . 1 2 3 6 Ta có P()()()()A A A = P A .P A .P A = . . = . 1 2 3 1 2 3 10 10 10 1000 b) Bi ến c ố “trong 3 bi l ấy ra có 2 đỏ và 1 xanh” là B = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 . Do B là t ổng c ủa các bi ến c ố đôi m ột xung kh ắc nên P(B) = P(A1 A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 )+ P(A1 A2 A3 ) = P()()A1 P A2 P()A3 + P()A1 P()A2 P()()()A3 + P A1 P A2 P()A3 1 2 7 1 8 3 9 2 3 92 = . . + . . + . . = . 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1000 c) Ta có: A2 B = A2 (A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) = A1 A2 A3 . Khi đó xác su ất bi l ấy ra t ừ 24 P()A2 B P()A1 A2 A3 1000 6 hộp th ứ 2 có màu xanh là P()A2 / B = = = = . P()B P()B 92 23 1000 Ví d ụ 3.9. Một lô hàng g ồm 10 s ản ph ẩm, trong đó có 3 ph ế ph ẩm. L ấy ng ẫu nhiên t ừng s ản ph ẩm ra ki ểm tra đế n khi g ặp đủ 3 ph ế ph ẩm thì d ừng l ại. a) Tính xác su ất d ừng l ại ở l ần ki ểm tra th ứ 3. b) Tính xác su ất d ừng l ại ở l ần ki ểm tra th ứ 4 . 12
Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. c) Bi ết r ằng đã d ừng l ại ở l ần ki ểm tra th ứ 4 , tính xác su ất ở l ần ki ểm tra th ứ 2 g ặp ph ế ph ẩm. Gi ải Gọi Ai là bi ến c ố “ki ểm tra l ần th ứ i g ặp ph ế ph ẩm” ( i = 1;10). a) Bi ến c ố “d ừng l ại ở l ần ki ểm tra th ứ 3” là A1 A2 A3 . Ta có 3 2 1 1 P()()()()A A A = P A .P A / A .P A / A A = . . = 1 2 3 1 2 1 3 1 2 10 9 8 120 b) Ta có bi ến c ố “d ừng l ại ở l ần ki ểm tra th ứ 4 ” là F = A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 . Ta có 7 3 2 1 1 P(A1 A2 A3 A4 ) = P(A1 ).P(A2 / A1 ).P(A3 / A1 A2 ).P(A4 / A1 A2 A3 ) = . . . = . 10 9 8 7 120 1 Tươ ng t ự, ta có: P(A1 A2 A3 A4 ) = P(A1 A2 A3 A4 ) = . 120 1 1 Do F là tổng c ủa các bi ến c ố đôi m ột xung kh ắc nhau nên P()F = .3 = . 120 40 c) Ta c ần tính P(A2 / F ). Th ật v ậy, ta có 1 .2 P()A F P()A A A A + P()A A A A 2 P()A / F = 2 = 1 2 3 4 1 2 3 4 = 120 = . 2 P F P F 1 3 () () .3 120 3.3. Công th c xác su t đ y đ . Công th c Bayes. K Cho A1 , A2 , , An là m ột nhóm đầ y đủ các bi ến c ố liên k ết v ới m ột phép th ử. F là bi ến c ố b ất kì liên k ết v ới phép th ử đó, hay F x ảy ra khi m ột trong các bi ến c ố A1 , K A2 , , An x ảy ra. Khi đó, ta có Đị nh lí sau đây Định lí 3.6. L a) V ới m ọi bi ến c ố F , ta luôn có P(F ) = P(A1 ).P(F / A1 )+ + P(An ).P(F / An ). Công th ức này được g ọi là công th ức xác su ất đầy đủ . P(A ).P(F / A ) P(A ).P(F / A ) c) Với m ỗi k ( k = ;1 n ), ta có: P()A / F = k k = k k . k P()F n ∑ P()()Ai .P F / Ai i=1 Công th ức này được g ọi là công th ức Bayes . Ch ứng minh L L a) Ta có F = F.Ω = F(A1 + A2 + + An ) = FA 1 + FA 2 + + FA n . K Do FA 1 , FA 2 , , FA n đôi m ột xung kh ắc nên 13
Bài gi ảng P(F ) = P(FA )+ P(FA )+ L+ P(FA ) 1 2 n L = P()()()()A1 .P F / A1 + + P An .P F / An P(A F ) P(A ).P(F / A ) b) D ễ th ấy r ằng: P()A / F = k = k k và ta suy ra điều ph ải ch ứng k P()F P()F minh. Ví d ụ 3.10. Có 20 ki ện hàng, m ỗi ki ện hàng có 10 s ản ph ẩm. Trong s ố đố có 8 ki ện hàng lo ại I , m ỗi ki ện hàng có 1 ph ế ph ẩm; 7 ki ện lo ại II , m ỗi ki ện có 3 ph ế ph ẩm; 5 ki ện lo ại III , m ỗi ki ện có 5 ph ế ph ẩm. L ấy ng ẫu nhiên m ột ki ện, r ồi t ừ ki ện đó l ấy ra ng ẫu nhiên m ột s ản ph ẩm. a) Tính xác su ất s ản ph ẩm l ấy ra là ph ế ph ẩm. b) Bi ết s ản ph ẩm được l ấy là ph ế ph ẩm. Tính xác su ất kiện được l ấy là lo ại II . Gi ải Gọi Ai là bi ến c ố “l ấy được s ản ph ẩm lo ại i ”, i = I, II , III . Khi đó, A1 , A2 , A3 là nhóm đầy đủ các bi ến c ố. G ọi F là bi ến c ố “s ản ph ẩm được l ấy t ừ ki ện là ph ế ph ẩm”. a) Theo công th ức xác su ất đầ y đủ , ta có P(F ) = P(A1 ).P(F / A1 ) + P(A2 ).P(F / A2 )+ P(A3 ).P(F / A3 ) 8 1 7 3 5 5 = . + . + . = 0,27 20 10 20 10 20 10 b) Theo công th ức Bayes, ta có 21 P()A F P()()A .P F / A 7 P()A / F = 2 = 2 k = 200 = . 2 P()F P()F 54 18 200 Ví d ụ 3.11. Có 5 bình đựng bi, trong đó có 2 bình lo ại 1: m ỗi bình đựng 3 bi đen và 4 bi đỏ, một bình lo ại 2: m ỗi bình đựng 3 bi đen và 2 bi đỏ. Bình lo ại 3: mỗi bình đựng 4 bi đen và 3 bi đỏ. Ch ọn ng ẫu nhiên m ột bình và t ừ bình đó, ch ọn ng ẫu nhiên m ột bi. a) Tính xác su ất để bi l ấy ra là bi đen. b) Bi ết bi l ấy ra là bi đen. Tính xác su ất để bình l ấy ra là bình lo ại 3. Gi ải a) G ọi Ai là bi ến c ố “bình ch ọn ra là bình lo ại i ”, F là bi ến c ố “bi ch ọn ra là bi đen”. Ta có A1 , A2 và A3 là nhóm đầy đủ các bi ến c ố. Khi đó 14
Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. P(F ) = P(A1 )P(F / A1 )+ P(A2 )P(F / A2 )+ P(A3 )P(F / A3 ) 2 3 1 3 2 4 = . + . + . = 0,52 5 7 5 5 5 7 2 4 . P()()A .P F / A 16 b) Đây là xác su ất có điều ki ện P()A / F = 3 3 = 5 7 = . 3 P()F 0,52 35 3.4. Bài t p. 1. Một lô hàng g ồm có 150 s ản ph ẩm có ch ứa 6% ph ế ph ẩm. Ng ười ta dùng ph ươ ng pháp ch ọn m ẫu để ki ểm tra lô hang và quy ước r ằng: Ki ểm tra l ần l ượt 6 s ản ph ẩm, n ếu có ít nh ất 1 trong 6 s ản ph ẩm đó là ph ế ph ẩm thì lo ại lô hàng. Tìm xác su ất để ch ấp nh ận lô hàng. 2. Bắn liên ti ếp vào m ột m ục tiêu cho đến khi nào có 1 viên đạn đầ u tiên trúng m ục tiêu thì ng ừng b ắn. Tìm xác su ất sao cho ph ải b ắn đế n viên đạn th ứ 6 bi ết r ằng xác su ất trúng đích c ủa m ỗi viên đạn là 2,0 và các l ần b ắn là độc l ập. 4. Dãy phép th Bernoulli. Công th c Bernoulli. 4.1. Dãy phép th Bernoulli. Một dãy n phép th ử g ọi là m ột dãy n phép th ử Bernoulli n ếu th ỏa mãn hai điều ki ện sau đây: - Dãy n phép th ử đó là độc l ập v ới nhau. - Trong m ỗi phép th ử xác su ất c ủa bi ến c ố A mà ta quan tâm có xác su ất P(A) = p không đổi. Xác su ất p g ọi là xác su ất thành công , s ố l ần A xu ất hi ện trong n phép th ử g ọi là số l ần thành công trong dãy n phép th ử Bernoulli. Kí hi ệu: Pn (k) = Pn (k, p) là xác su ất để có k l ần thành công. Định lí 4.1. k k n−k Pn (k, p) = Cn p q , k = ,1 n , q = 1− p . Ch ứng minh Kí hi ệu Ai là bi ến c ố “phép th ử th ứ i thành công”, i = ;1 n . G ọi F là bi ến c ố “có k k lần thành công” thì F là t ổng c ủa Cn bi ến c ố đôi m ột xung kh ắc có d ạng A A K A A K A trong đó {i ;i ;K;i }= { ;2;1 K;n}. i1 i2 ik ik+1 in 1 2 n Do tính độc l ập nên ta có: P(A A K A A K A ) = P(A )P(A )KP(A )P(A )KP(A ) = p k q n−k i1 i2 ik ik +1 in i1 i2 ik ik +1 in k k n−k Từ đó, ta suy ra: Pn (k, p) = Cn p q ( đpcm) Ví d ụ 4.1. Một lô hàng trong kho có 20 % ph ế ph ẩm. 15
Bài gi ảng a) L ấy ng ẫu nhiên 5 s ản ph ẩm. Tính xác su ất trong 5 s ản ph ẩm này. i) Có 2 ph ế ph ẩm. ii) Có ít nh ất 1 ph ế ph ẩm. b) C ần l ấy ít nh ất bao nhiêu s ản ph ẩm để xác su ất có ít nh ất m ột ph ế ph ẩm không nh ỏ h ơn 0,99 . Gi ải a) S ố ph ế ph ẩm trong 5 s ản ph ẩm l ấy ra là s ố l ần thành công trong dãy 5 phép th ử Bernoulli v ới xác su ất thành công là 2,0 . 2 2 3 i) Ta có P5 ( 2,0;2 ) = C5 ( 2,0 ) ( 8,0 ) = .0 2048 . 5 0 0 5 ii) Ta có P = ∑ P5 ()()()()k 2,0; = 1− P5 2.0;0 = 1− C5 2,0 8,0 = ,0 67232 . k =1 b) G ọi n là s ố s ản ph ẩm c ần l ấy ra. Khi đó, xác su ất có ít nh ất m ột ph ế ph ẩm là n n P = ∑ Pn ()()()k 2,0; = 1− Pn 2,0;0 = 1− 8,0 . k =1 ln 0,01 Ta c ần tìm n nh ỏ nh ất sao cho 1− ( 8,0 )n ≥ 0,99 hay n ≥ = 20 ,64 . ln 8,0 Vậy, ít nh ất ph ải l ấy ra n = 21 s ản ph ẩm. 4.2. S có kh n ăng nh t. Trong dãy n phép th ử Bernoulli, s ố m có xác su ất P(m) l ớn nh ất được g ọi là số có kh ả n ăng nh ất. Định lí 4.2. Số có kh ả n ăng nh ất b ằng np − q n ếu np − q nguyên; b ằng [np − q] ho ặc b ằng [np − q]+1 n ếu np − q không nguyên. Ch ứng minh k k n−k k+1 k +1 n−k −1 Ta có Pn (k, p) = Cn p q , Pn (k + ,1 p) = Cn p q . k +1 k +1 n−k −1 Pn (k + ,1 p) Cn p q (n − k)p Khi đó = k k n−k = . Pn ()k, p Cn p q ()k +1 q Ta xét nh ận xét sau: (n − k)p ≥ 1 hay (n − k)p ≥ (k +1)q hay k ≤ np − q . ()k +1 q (n − k)p và np − q . ()k +1 q Khi đó, ta suy ra: Xác su ất Pn (k, p) t ăng khi k t ăng t ừ 0 đến np − q và nó giàm khi k ti ếp t ục t ăng t ừ np − q đến n . Vì k nh ận giá tr ị nguyên nên ta có k ết lu ận sau: 16
Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. - N ếu np − q nguyên thì xác su ất Pn (k, p) đạt giá tr ị l ớn nh ất t ại hai giá tr ị c ủa k là k0 = np − q và k1 = np − q +1 (chú ý r ằng Pn (k0 , p) = Pn (k1 , p) ). - N ếu np − q không nguyên thì xác su ất Pn (k, p) đạt giá tr ị l ớn nh ất t ại một giá tr ị của k là k0 = [np − q]+1, trong đó [np − q] là kí hi ệu ph ần nguyên c ủa np − q . Ví d ụ 4.2. Gi ả s ử t ỉ l ệ ng ười dân tham gia giao thông ở thành ph ố M có hi ểu bi ết v ề lu ật giao thông là 80 % . Gi ả s ử, ta ch ọn ng ẫu nhiên 20 ng ười tham gia giao thông trên đường. Hãy tính xác su ất trong các tr ường h ợp sau: a) Có 15 ng ười hi ểu bi ết lu ật giao thông. b) Có 9 ng ười không hi ểu bi ết v ề lu ật giao thông. c) S ố ng ười không hi ểu bi ết v ề lu ật giao thông có kh ả n ăng nh ất. Gi ải Vi ệc ch ọn ng ẫu nhiên 20 ng ười là dãy phép th ử Bernoulli, v ới H là bi ến c ố “ng ười được ch ọn hi ểu bi ết lu ật giao thông” và p(H ) = 80 % = 8,0 a) G ọi A là bi ến c ố “có 15 ng ười hi ểu bi ết lu ật giao thông”. Khi đó, ta có: 15 15 5 P(A) = P20 (15 8,0; ) = C20 ( 8,0 ) ( 2,0. ) . b) G ọi B là bi ến c ố “có 9 ng ười không hi ểu bi ết lu ật giao thông”. Khi đó, ta có: 11 11 9 P(B) = P20 (20 − 8,0;9 ) = P20 ( 2,0;9 ) = C20 ( 8,0 ) .( 2,0 ) . c) Áp d ụng Định lí 3.8 , ta có: np − q = 20 .p(H )− (1− p(H )) = 20 2,0. − (1− 2,0 ) = 2,3 không nguyên Vậy, s ố ng ười được ch ọn không hi ểu bi ết lu ật giao thông là k0 = [np − q]+1 = 4. 17
5. Bài t p ch ươ ng. 1. Có n sinh viên. G ọi Ak là bi ến c ố sinh viên th ứ k là nam. Hãy vi ết b ằng kí hi ệu các bi ến c ố sau: a) Tất c ả sinh viên là nam. b) Có ít nh ất 1 m ột sinh viên n ữ. c) Có đúng 1 m ột sinh viên n ữ. d) Có đúng 2 sinh viên là n ữ. 2. Ch ọn ng ẫu nhiên 1 công nhân trong s ố các công nhân có m ặt ở xí nghi ệp. G ọi A là bi ến cố x ảy ra khi ng ười công nhân được ch ọn là nam và B là bi ến c ố ng ười công nhân được ch ọn ở khu t ập th ể; C là bi ến c ố ng ười công nhân được không hút thu ốc là. a) Hãy mô t ả bi ến c ố AB C . b) Với điều ki ện nào ta có ABC = A . c) Khi nào thì ta có C = A . 3. Ch ứng minh r ằng: r n−r a) Cn = Cn , r r−1 r b) Cn+1 = Cn + Cn , n r k r−k c) Cn = ∑Cn−mCm , k =0 n k 2 n d) ∑()C2n = C2n , k =0 n n n k 2 e) C2n+k C2n−k ≤ ∑()C2n . k =0 4. Cho các ch ữ s ố 0 , 1, 2 , 3, 4 , 5 . H ỏi t ừ các ch ữ s ố này: a) Lập được bao nhiêu s ố có 4 ch ữ s ố khác nhau trong đó nh ất thi ết ph ải có m ặt ch ữ s ố 5. b) Lập được bao nhiêu s ố có 7 ch ữ s ố trong đó ch ữ s ố 5 có m ặt đúng 3 l ần còn các ch ữ số khác có m ặt không quá 1 l ần? 5. Các s ố 1, 2 , K, n l ập thành m ột hang ngang. H ỏi có m ấy cách s ắp x ếp sao cho: a) Hai ch ữ s ố 1 và 2 đứng c ạnh nhau. b) Ba ch ữ s ố 1, 2 và 3 đứng c ạnh nhau. 6. Rút 2 lá bài t ừ b ộ bài có 52 lá. G ọi A là bi ến c ố “ được 2 lá c ơ”, B là bi ến c ố “ được 2 lá 10 ” và C là bi ến c ố “ được 2 lá đỏ”. a) Các c ặp bi ến c ố sau, c ặp nào xung kh ắc: A và B , A và C , B và C . b) Tính các xác su ất: P(A + B) , P(B + C) và P(A + C). c) Tính các xác su ất: P(AB ), P(BC ) và P(AC ). 7. Một bàn dài g ồm 2 dãy gh ế đố i di ện nhau, m ỗi dãy g ồm 6 gh ế. Ng ười ta mu ốn s ắp x ếp 6 ch ỗ ng ồi cho 6 sinh viên l ớp A và 6 sinh viên l ớp B vào bàn nói trên. H ỏi có bao nhiêu cách s ắp x ếp trong m ỗi tr ường h ợp sau: a) Bất c ứ hai sinh viên nào ng ồi c ạnh nhau ho ặc đố i di ện nhau thì khác l ớp v ới nhau. b) Bất c ứ hai sinh viên nào ng ồi đố i di ện nhau thì khác l ớp v ới nhau. 8. Có bao nhiêu cách s ắp x ếp 10 ng ười ng ồi thành ngang sao cho 2 hai ng ười A , B ng ồi cạnh nhau và 2 ng ười C , D không ng ồi c ạnh nhau. 9. Có bao nhiêu ng ười tham gia vào cu ộc đấ u c ờ, n ếu bi ết r ằng cu ộc đấ u đó có t ất c ả 10 ván c ờ và m ỗi đấ u th ủ ph ải đấ u m ới m ỗi đấ u th ủ khác m ột ván? 10. Gieo đồng th ời 2 con xúc s ắc. Tìm xác su ất để : a) Tổng s ố ch ấm xu ất hi ện trên 2 con xúc s ắc là 7 . b) Tổng s ố ch ấm xu ất hi ện trên 2 con xúc s ắc là 8 .
Bài gi ảng c) Tổng s ố ch ấm xu ất hi ện trên 2 con xúc s ắc h ơn kém nhau 2 . 11. Bỏ ng ẫu nhiên 5 lá th ư vào 5 phong bì đã đề đị a ch ỉ tr ước (m ỗi phong bì ch ỉ ch ứa đúng m ột lá th ư). Tìm xác su ất để : a) Cả 5 lá th ư đều đúng ng ười nh ận. b) Lá th ư th ứ nh ất đúng ng ười nh ận. c) Lá th ư th ứ nh ất và lá th ư th ứ hai đúng ng ười nh ận. 12. Xếp ng ẫu nhiên 5 ng ười lên 7 toa tàu được đánh s ố (m ỗi toa tàu có th ể ch ứa nhi ều ng ười). Tìm xác su ất các bi ến c ố sau: a) 5 ng ười cùng lên m ột toa. b) 5 ng ười lên 5 toa đầu. c) 5 ng ười lên 5 toa khác nhau. d) Hai ng ười A và B cùng lên toa đầu. e) Hai ng ười A và B cùng lên m ột toa. f) Hai ng ười A và B cùng lên m ột toa, ngoài ra không có ai khác lên toa này. 13. Ba kh ẩu súng độ c l ập cùng b ắn vào m ột m ục tiêu. Xác su ất để kh ẩu th ứ nh ất b ắn trúng là 7,0 , đề kh ẩu th ứ hai b ắn trúng là 8,0 , để kh ẩu th ứ ba b ắn trúng là 5,0 . M ỗi kh ẩu b ắn một viên. Tính xác su ất để : a) Có 1 kh ẩu b ắn trúng. b) Có 2 kh ẩu b ắn trúng. c) Cả 3 kh ẩu b ắn tr ật. d) Ít nh ất 1 kh ẩu b ắn trúng. e) Kh ẩu th ứ nh ất b ắn trúng bi ết r ằng đã có 2 hai kh ẩu b ắn trúng. 14. Một h ộp đự ng 15 qu ả bóng bàn trong đó có 9 qu ả còn m ới. L ần đầ u ng ười ta l ấy ng ẫu nhiên 3 qu ả để thi đấ u, sau đó l ại tr ả vào h ộp. L ần 2 l ấy ng ẫu nhiên 3 qu ả. Tìm xác su ất để 3 qu ả l ấy ra l ần sau đề u m ới. 15. Có hai h ộp A và B . H ộp A đựng 8 bi tr ắng và 2 bi đen. H ộp B đựng 9 bi tr ắng và 1 bi đen. L ấy ng ẫu nhiên 2 bi t ừ h ộp A b ỏ sang h ộp B r ồi sau đó rút ng ẫu nhiên 3 bi t ừ hộp B . Tìm xác su ất để trong 3 bi l ấy t ừ h ộp B có 2 bi tr ắng. 16. Một h ộp ch ứa 5 t ờ vé s ố, trong đó có đúng 1 t ờ vé s ố trúng th ưởng. 5 b ạn Tr ường, Đạ i, Học, Duy, Tân l ần l ượt rút ng ẫu nhiên m ỗi ng ười 1 t ờ vé s ố. H ỏi rút tr ước hay rút sau có l ợi h ơn (xác su ất được t ờ vé s ố trúng th ưởng cao h ơn)? Hãy t ổng quát bài toán này cho n ( n ≥ 1) t ờ vé s ố mà ch ỉ có đúng 1 t ờ trúng th ưởng. 17. Trong m ột lô hàng g ồm có 100 s ản ph ẩm, trong đó có 30 s ản ph ẩm lo ại t ốt, l ấy ng ẫu nhiên l ần l ượt 4 s ản ph ẩm không tr ả l ại. Tìm xác su ất để : a) lần th ứ 2 l ấy được s ản ph ẩm lo ại t ốt. b) lần th ứ 3 l ấy được s ản ph ẩm lo ại t ốt. c) 2 l ần đầ u l ấy được s ản ph ẩm lo ại t ốt. 18. Một s ố điện tho ại có 7 s ố. Ng ười g ọi quên ch ữ s ố cu ối cùng nh ưng anh ta bi ết r ằng s ố đó khác 0 , và anh ta quay s ố đó m ột cách ng ẫu nhiên. Tìm xác su ất để anh ta th ực hi ện được cu ộc liên l ạc mà không ph ải quay quá 3 l ần. 19. Trong gi ờ bài t ập, giáo viên cho m ột bài toán. L ớp có 30 sinh viên nh ưng ch ỉ có 6 b ạn gi ải được bài toán này. Giáo viên g ọi ng ẫu nhiên m ột sinh viên cho đến khi có m ột sinh viên gi ải được bài toán này. Tính xác su ất giáo viên g ọi đế n sinh viên th ứ 4 . 20. Một ng ười b ắn l ần l ượt 2 viên đạn vào m ột t ấm bia. Xác su ất trúng bia c ủa viên đạn th ứ nh ất là 8,0 và c ủa viên đạn th ứ hai là 6,0 . a) Tìm xác su ất để có đúng 1 viên đạn trúng đích. b) Bi ết r ằng có 1 viên trúng đích. Tìm xác su ất để đó là viên đạn th ứ hai. 21. Một c ửa hàng bán m ột lo ại s ản ph ầm trong đó có 40 % là do x ưởng A s ản xu ất, còn l ại do x ưởng B s ản xu ất. T ỉ l ệ s ản ph ẩm lo ại I do x ưởng A s ản xu ất là 8,0 và c ủa x ưởng B s ản xu ất là 9,0 . 20
Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. a) Mua ng ẫu nhiên m ột s ản ph ẩm. Tìm xác su ất để mua được s ản ph ẩm lo ại I . b) Mua m ột s ản ph ẩm t ừ c ửa hàng và th ấy đó không ph ải là s ản ph ẩm lo ại I . H ỏi s ản ph ẩm đó có kh ả n ăng do x ưởng nào s ản xu ất nhi ều h ơn. 22. Bắn 3 viên đạn độ c l ập vào m ột m ục tiêu. Xác su ất trúng đích c ủa m ỗi viên t ươ ng ứng là 3,0 ; 4,0 ; 5,0 . N ếu ch ỉ 1 trúng thì m ục ti ểu b ị phá h ủy v ơi xác su ất là 2,0 . N ếu ít nh ất 2 viên trúng thì m ục tiêu ch ắc ch ắn b ị phá h ủy. Hãy tìm xác su ất để m ục tiêu b ị phá h ủy khi b ắn 3 viên trên. Đáp s và h ưng d n. K K 1. a) A1 A2 An , b) A1 + A2 + + An , K K K K c) A1 A2 An + A1 A2 An + + A1 A2 An , K K K K d) A1 A2 An + A1 A2 A3 An + + A1 A2 An−2 An−1 An 2. a) AB C là bi ến c ố “ng ười công nhân được ch ọn là nam và ở trong khu t ập th ể không hút thu ốc”. b) Khi A ⊂ B , A ⊂ C thì ABC = A . 3. Dùng các công th ức: n k n! n k n−k k n n 2n Cn = , ()a + b = ∑Cn a b và (1+ x) (1+ x) = (1+ x) . k!()n − k ! k=0 4. a) 204 , b) 3720 . 5. a) 2(n − )!1 , b) (n − 2)!. 2 2 2 C13 + C4 C26 6. a) AB = ∅ , BC ≠ ∅ , AC ≠ ∅ , b) P()A + B = 2 , P()A + C = 2 , C52 C52 2 2 C4 + C26 −1 P()()()()B + C = P B + P C − P BC = 2 , C52 2 C13 1 c) P(AB ) = 0 , P()AC = 2 , P()BC = 2 . C52 C52 7. a) 2.() 6! 2 , b) 26 .() 6! 2 . 8. 2.8!− 22 .6! . 2 9. Cn =10⇒ n = 5 . 1 5 2 10. a) , b) , c) . 6 36 9 1 1 1.4! 1 1.1.3! 1 11. a) = , b) = , c) = . 5! 120 5! 5 5! 20 7 1 5! A5 73 1 74 1 6.7 3 63 12. a) = , b) , c) 7 , d) = , e) = , f) = 75 7 4 75 75 75 72 75 7 75 74 35 13. a) 0,22 , b) 0,47 , c) 0,03, d) 0,97 , e) . 47 14. Gọi A là bi ến c ố “c ả 3 qu ả bóng l ấy được l ần sau đề u m ới”. G ọi Bi là bi ến c ố “trong 3 3” qu ả l ấy ra thi đấ u có i qu ả m ới”, i = 3;0 . Khi đó P()()()A = ∑ P Bi P A/ Bi hay i=0 3 3 1 2 3 2 1 3 3 3 C6 C9 C9 .C6 C8 C9 .C6 C7 C9 C6 P()A = 3 . 3 + 3 . 3 + 3 . 3 + 3 . 3 C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15 21
Bài gi ảng 15. Tươ ng t ự bài 14, ta được 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 C2 C9 .C3 C8 .C2 C10 .C2 C8 C11 .C1 P()A = 2 . 3 + 2 . 3 + 2 . 3 C10 C12 C10 C12 C10 C12 16. Các xác su ất trúng th ưởng c ủa 5 b ạn Tr ường, Đạ i, H ọc, Duy, Tân là nh ư nhau và đều 1 bằng . 5 17. Gọi Ai là bi ến c ố “l ần th ứ i l ấy được s ản ph ẩm lo ại t ốt”, i = ;1100 . Khi đó a) Chú ý r ằng: A2 = A1 A2 + A1 A2 nên P(A2 ) = P(A1 ).P(A2 / A1 )+ P(A1 ).P(A2 / A1 ). b) A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1.A2 A3 . 2 A30 29 c) Dễ th ấy: P()A1 A2 = 2 = . A100 330 18. Gọi A là bi ến c ố “g ọi đúng được s ố cu ối cùng” và Ai là bi ến c ố “g ọi đúng được s ố cu ối cùng ở l ần th ứ i ”, i = 3;1 . Khi đó A = A1 + A1.A2 + A1.A2 .A3 và chú ý r ằng: P(A) = P(A1 ) + P(A1 )P(A2 / A1 )2 + P(A1 )P(A2 / A1 )− P(A3 / A1.A2 ) 1 8 1 8 7 1 1 = + . + . . = 9 9 8 9 8 7 3 19. Gọi Ai là bi ến c ố “sinh viên được g ọi l ần th ứ i gi ải được bài toán”, i = 1;30 . Ta có: P(A) = P(A1 A2 A3 A4 ) = P(A1 )P(A2 / A1 )P(A3 / A1 A2 )P(A4 / A1 A2 A3 ) 24 23 22 6 = . . . 30 29 28 27 20. Gọi A là bi ến c ố “có đúng 1 viên trúng đích”. Ai là bi ến c ố “viên đạn th ứ i trúng đích”, i = 2;1 . a) A = A1 A2 + A1 A2 . T ừ đó suy ra P(A) = 0,44 . P(A1 A2 ).P(A/ A1 A2 ) 0,12 b) P()A1 A2 / A = = P()A 0,44 21. Gọi M là bi ến c ố “S ản ph ẩm mua được lo ại I ”. N , Q l ần l ượt là bi ến c ố “S ản ph ẩm mua được do x ưởng A s ản xu ất”, “S ản ph ẩm mua được do x ưởng B s ản xu ất”. a) Ta có: P(M ) = P(N ).P(M / N )+ P(Q).P(M / Q) = 40 %. 8,0 + 60 %. 9,0 . 8 6 b) Ta có: P(M / N ) = và P(M / Q) = . 14 14 22. Gọi A là bi ến c ố “m ục tiêu b ị phá h ủy”. Bi là bi ến c ố “có i viên đạn b ắn trúng m ục tiêu”, i = 3;1 . C j là bi ến c ố “viên đạn th ứ j b ắn trúng m ục tiêu”, j = 3;1 . 3 Ta có: P()()()A = ∑ P Bi P A/ Bi = ,0 438 , i=1 trong đó P(A/ B1 ) = 2,0 , P(A/ B2 ) = P(A/ B3 ) = 1 và P(B1 ) = P(C1 ).P(C2 ).P(C3 )+ P(C1 ).P(C2 ).P(C3 )+ P(C1 ).P(C2 ).P(C3 ). T ươ ng t ự, ta tính được P(B2 ), P(B3 ). C. Ph ươ ng pháp gi ng d y. - V ấn đáp và làm bài t ập. 22
Ch ươ ng I. Các khái ni ệm c ơ b ản trong lí thuy ết xác su ất. - Đư a ra các ví d ụ th ường g ặp trong th ực ti ễn để t ạo độ ng c ơ và h ướng đích t ạo nên h ứng thú học t ập cho sinh viên. - Ki ểm tra, đánh giá vi ệc làm bài t ập c ủa SV. - G ợi m ở t ừ tr ực quan sinh độ ng đế n t ư duy tr ừu t ượng gi ải quy ết v ấn đề . - Ph ối h ợp ph ươ ng pháp thuy ết trình và v ấn đáp gi ải quy ết v ấn đề và làm bài t ập. - Yêu c ầu SV đọ c bài gi ảng tr ước khi lên l ớp. - Ki ểm tra, đánh giá vi ệc làm bài t ập c ủa SV. - S ử d ụng ph ươ ng ti ện d ạy h ọc hi ện đạ i nh ư Mic, Projector. D. Tài li u tham kh o [1] Đậu Th ế C ấp, Xác su ất th ống kê: Lí thuy ết và các bài t ập (Ch ươ ng 1), NXB Giáo d ục, 2006. [2] Đinh V ăn G ắng, Bài t ập xác su ất và th ống kê (Ch ươ ng 1) , NXB Giáo d ục, 2007. [3] PGS. TS. Ph ạm Xuân Ki ều, Giáo Trình xác su ất và th ống kê (Ch ươ ng 1) , NXB Giáo d ục, 2005. [4] Đặng Công Hanh, Đặ ng Ng ọc D ục, Giáo trình Lý thuy ết xác su ất và Th ống kê toán (Ch ươ ng 1) , tr ường Đạ i h ọc Duy Tân, 1996. 23
Ch ươ ng II. Đi l ưng ng u nhiên. Hàm phân ph i xác su t. A. M c tiêu. - Gi ới thi ệu bi ến ng ẫu nhiên và hàm phân ph ối xác su ất.: bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc cùng với b ảng phân ph ối xác su ất c ủa nó, bi ến ng ẫu nhiên liên t ục cùng v ới hàm m ật độ c ủa nó. - N ắm các đặc tr ưng c ủa bi ến ng ẫu nhiên: kì v ọng, ph ươ ng sai, Mod, Med, và hi ểu được ý ngh ĩa c ủa chúng. B. N i dung. 1. Khái ni m. Phân lo i đ i l ưng ng u nhiên. Định ngh ĩa. Cho m ột phép th ử và Ω là không gian các bi ến c ố s ơ c ấp c ủa nó. M ột ánh x ạ t ừ Ω → R hay m ột quy t ắc cho t ươ ng ứng m ỗi k ết qu ả c ủa phép th ử v ới m ỗi m ột s ố th ực nào đó được g ọi là m ột đại l ượng ng ẫu nhiên (bi ến ng ẫu nhiên) liên k ết v ới phép th ử nào đó. Ta th ường kí hi ệu đạ i l ượng ng ẫu nhiên b ằng ch ữ in hoa X , Y , Z , K Giá tr ị c ủa nó được kí hi ệu b ằng ch ữ in th ường x , y , z , K Ví d ụ 1.1. a) X là s ố con gái trong m ột l ần sinh ( 1 con). X là đại l ượng ng ẫu nhiên. Giá tr ị c ủa nó có th ể nh ận là 0 , 1. b) X là s ố viên đạn trúng đích khi b ắn liên ti ếp n viên đạn độ c l ập vào m ột m ục tiêu. Giá tr ị c ủa nó có th ể nh ận là 0 , 1, K, n . c) X là s ố s ản ph ẩm t ốt trong 10 s ản ph ẩm được ch ọn ng ẫu nhiên t ừ lô s ản ph ẩm có 100 s ản ph ẩm t ốt và 50 ph ế ph ẩm. X c ũng là đại l ượng ng ẫu nhiên. Giá tr ị c ủa nó có th ể nh ận là 0 , 1, K, 10 . d) X là s ố l ần tung m ột đồ ng ti ền cho đế n khi được m ặt ng ửa thì d ừng. Khi đó X là đại l ượng ng ẫu nhiên và giá tr ị c ủa nó có th ể nh ận là 1, 2 , K, n , K e) X là độ cao c ủa m ột cây t ại th ời gian t nào đó. X là đại l ượng ng ẫu nhiên.
Bài gi ảng Trong ví d ụ này, xét a): X là s ố con gái trong 1 l ần sinh con. Ta th ấy X th ỏa mãn định ngh ĩa đạ i l ượng ng ẫu nhiên ở trên. Th ật v ậy, ta có không gian đạ i l ượng cố s ơ c ấp là Ω = {T;G}, và X có th ể nh ận 2 giá tr ị 0 ho ặc 1. Với m ỗi x ∈ R , ta s ẽ ch ứng minh t ập h ợp {X 1 nhiên. V ậy {X < x} là bi ến c ố ng ẫu nhiên. Ta quan tâm nghiên c ứu đế n hai lo ại đạ i l ượng: đại l ượng ng ẫu nhiên r ời r ạc và đại lượng ng ẫu nhiên liên t ục. 1.1. Đi l ưng ng u nhiên r i r c. Định ngh ĩa: Đại l ượng ng ẫu nhiên rời r ạc là đại l ượng ng ẫu nhiên mà các giá tr ị có th ể nh ận c ủa nó là t ập h ợp h ữu h ạn ho ặc vô h ạn đế m được. Trong Ví d ụ 1.1. Các ví d ụ a), b), c), d) đề u là đại l ượng ng ẫu nhiên r ời r ạc. 1.2. Đi l ưng ng u nhiên liên t c. Định ngh ĩa. Đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục là đại l ượng ng ẫu nhiên mà các giá tr ị có th ể nh ận c ủa nó là l ấp đầ y kho ảng (a;b) (ho ặc đoạn [a;b]) nào đó, a có th ể b ằng − ∞ , b có th ể bằng + ∞ . 1.3. Hàm phân ph i c a đ i l ưng ng u nhiên. Ta nh ận th ấy t ập h ợp {X < x}, x ∈ R thay đổi n ếu x thay đổi. Do đó P({X < x}) c ũng thay đổi, t ức là xác su ất này ph ụ thu ộc vào x . Nó là hàm c ủa x . Định ngh ĩa. Cho X là đại l ượng ng ẫu nhiên. Ánh x ạ F : R →[ 1;0 ] xác định b ởi F : R →[ 1;0 ] x → F()()x = P X < x được g ọi là hàm phân ph ối xác su ất c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X . Ví d ụ 1.2. Tìm hàm phân ph ối c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X ch ỉ s ố l ần xu ất hi ện m ặt s ấp khi gieo một đồ ng ti ền cân đố i và đồng ch ất. Gi ải Không gian bi ến c ố s ơ c ấp t ươ ng ứng v ới phép th ử “gieo đồ ng ti ền” là Ω = {S; N}. Vì X có th ể nh ận 2 giá tr ị 0 ho ặc 1. 26
Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất ∅, x ≤ 0  Vì v ậy: {}{}X 1 Khi đó, hàm phân ph ối c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X là:  ,0 x ≤ 0 P(∅), x ≤ 0   1 F()()x = P X 1  ,1 x > 1 Các tính ch ất c ủa hàm phân ph ối a) Hàm phân ph ối F(x) là hàm không gi ảm. b) P(a ≤ X 0 nên F(x) t ăng. π 1+ x 2  1 1  1  π  1 Mặt khác lim F()x = lim  arctan x +  = −  + = 0 x→−∞ x→−∞  π 2  π  2  2  1 1  1  π  1 và lim F()x = lim  arctan x +  =   + = 1 x→+∞ x→+∞  π 2  π  2  2 nên F(x) là hàm phân ph ối xác su ất c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên ( đpcm). 2. Đi l ưng ng u nhiên r i r c 2.1. B ng phân ph i xác su t. K K Gi ả s ử X là đại l ượng ng ẫu nhiên r ời r ạc. Nó nh ận các giá tr ị x1 , x2 , , xn , có th ể với các xác su ất t ươ ng ứng là P(X = xi ) = pi ≥ 0 . Ta l ập b ảng sau đây 27
Bài gi ảng X x1 x2 xn P(X = xi ) p1 p2 pn n Với ∑ pi = 1. B ảng này có th ể vô h ạn khi n nh ận giá tr ị + ∞ . i=1 Bảng trên được g ọi là bảng phân ph ối xác su ất c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X . 2.2. Hàm phân ph i xác su t. K K Nếu ta s ắp x ếp các giá tr ị x1 , x2 , , xn , theo th ứ t ự t ăng d ần, ví d ụ L L x1 xn Nếu các giá tr ị ở v ị trí b ất kì thì ta có th ể vi ết hàm phân ph ối d ưới d ạng: F(x) = ∑ pi , xi <x x ∈ R . Ví d ụ 2.1. Trong m ột lô hàng g ồm có 4 s ản ph ẩm t ốt và 6 s ản ph ẩm x ấu. L ấy ng ẫu nhiên 4 s ản ph ẩm. G ọi X s ố s ản ph ẩm x ấu l ấy được. Lập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X . Vi ết hàm phân ph ối c ủa X và tính xác su ất P(0 ≤ X < 3) . Gi ải Lấy ng ẫu nhiên 4 s ản ph ẩm thì v ới X là s ố s ản ph ẩm t ốt l ấy được, ta có X có th ể nh ận các giá tr ị là 0 , 1, 2 , 3, 4 . 0 4 1 3 C6 .C4 1 C6 .C4 4 Ta có: P()X = 0 = 4 = , P()X = 1 = 4 = , C10 210 C10 35 2 2 3 1 4 0 C6 .C4 3 C6 .C4 8 C6 .C4 1 P()X = 2 = 4 = , P()X = 3 = 4 = , P()X = 4 = 4 = . C10 7 C10 21 C10 14 Từ đó, ta có b ảng phân ph ối xác su ất nh ư sau: X 0 1 2 3 4 1 4 3 8 1 P 210 35 7 21 14 Từ đó, ta có hàm phân ph ối xác su ất là 28
Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất  ,0 x ≤ 0  1  , 0 4 23 23 Khi đó, ta có P()()()0 ≤ X < 3 = F 3 − F 0 = − 0 = ho ặc ta có th ể tính nh ư sau 42 42 23 P()()()()0 ≤ X < 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 = 42 Ví d ụ 2.2. Bắn liên ti ếp 3 viên đạn độ c l ập vào m ột m ục tiêu. Xác su ất trúng đích c ủa m ỗi viên đạn là 5,0 . G ọi X là s ố viên đạn trúng đích trong 3 viên. Tìm hàm phân ph ối xác su ất của X . Viết hàm phân ph ối c ủa X . Tính xác su ất P(X ≥ 1) . Gi ải Ta xem vi ệc b ắn 3 viên đạn độ c l ập vào m ột m ục tiêu là ti ến hành dãy 3 phép th ử 1 Bernoulli. Xác su ất b ắn trúng đích c ủa m ỗi viên đạn là p = . 2  1 k  1 3−k Theo công th ức xác su ất, ta có: P()X = k = C k   1−  , k = 3;0 hay 3  2   2   1 3 P()X = k = C k   , k = 3;0 , là phân ph ối xác su ất c ủa X . Ta có th ể vi ết d ưới d ạng 3  2  bảng sau: X 0 1 2 3 1 3 3 1 P 8 8 8 8 Hàm phân ph ối c ủa X là 29
Bài gi ảng  ,0 x ≤ 0  1  , 0 3 1 7 Xác su ất P()()()X ≥ 1 = 1− P X < 1 = 1− P 0 = 1− = . 8 8 Ví d ụ 2.3. Trong m ột lô hàng g ồm có 10 máy vi tính m ới thì có 3 chi ếc b ị l ỗi, l ấy ng ẫu nhiên 4 máy trong 10 máy tính này. G ọi X là s ố máy tính b ị l ỗi trong 4 máy l ấy ra. Hãy: a) L ập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X . b) Khi l ấy 4 máy thì có m ấy máy b ị l ỗi là có kh ả n ăng x ảy ra cao nh ất. c) Tìm xác su ất khi l ấy ra 4 máy s ẽ có ít nh ất m ột máy b ị l ỗi. d) N ếu ng ười nào đó l ấy ng ẫu nhiên ra 3 máy tính để ki ểm tra th ấy không có máy nào bị l ỗi thì s ẽ ch ấp nh ận c ả lô hàng. Tìm xác su ất ng ười mua ch ấp nh ận lô hàng và xác su ất ng ười mua bác b ỏ lô hàng. Gi ải. a) Ta có X ∈{ 3;2;1;0 } 0 4 1 3 2 2 3 1 C3 .C7 C3 .C7 C3 .C7 C3 .C7 P()X = 0 = 4 , P()X = 1 = 4 , P()X = 2 = 4 , P()X = 3 = 4 C10 C10 C10 C10 Từ đó ta có b ảng phân ph ối X 0 1 2 3 0 4 1 3 2 2 3 1 P(X = xi ) C3 .C7 C3 .C7 C3 .C7 C3 .C7 4 4 4 4 C10 C10 C10 C10 1 3 C3 .C7 b) D ựa vào b ảng xác su ất, ta có P()X = 1 = 4 = 5,0 là cao nh ất nên trong 4 máy C10 tính l ấy ra thì b ị 1 máy tính b ị l ỗi là có kh ả n ăng cao nh ất. 0 4 C3 .C7 c) P()()X ≥ 1 = 1− P 0 = 1− 4 = 1− ,0 167 = ,0 833 . C10 3 1 C3 .C7 d) p = 4 = ,0 2917 là xác su ất để ng ười mua chấp nh ận lô hàng. Xác su ất để ng ười C10 mua bác b ỏ lô hàng là 1− p = 1− ,0 2917 = ,0 7083 . 30
Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất 2.3. Phép toán đi l ưng ng u nhiên. Cho X và Y là các đại l ượng ng ẫu nhiên có b ảng phân ph ối xác su ất X x1 x2 xn P(X = xi ) p1 p2 pn và Y y1 y2 yn P(Y = yi ) q1 q2 qn Kí hi ệu: pij = P(X = xi ;Y = y j ) để cho ĐLNN X nh ận giá tr ị xi và ĐLNN Y nh ận giá K tr ị y j . Gi ả s ử z1 , z2 , , zS là các giá tr ị khác nhau c ủa tổng xi + y j , đặt + pk = ∑ pij . xi + y j =zk Ta g ọi tổng c ủa X và Y là đại l ượng ng ẫu nhiên X + Y có b ảng phân ph ối xác su ất là X + Y z1 z2 zn + + + P(X + Y = zi ) p1 p2 pn K ∗ Tươ ng t ự, gi ả s ử z1 , z2 , , zT là các giá tr ị khác nhau c ủa tích xi .y j , đặt pk = ∑ pij . xi y j =zk Ta g ọi tích c ủa X và Y là đại l ượng ng ẫu nhiên X.Y (ho ặc XY ) có b ảng phân ph ối xác su ất là X.Y z1 z2 zn ∗ ∗ ∗ P(X.Y = zi ) p1 p2 pn Đại l ượng ng ẫu nhiên X và Y g ọi là độc l ập n ếu pij = P(X = xi ;Y = y j ) = pi q j . Ví d ụ 2.4. Cho X và Y độc l ập có b ảng phân ph ối xác su ất X 0 1 2 P(X = xi ) 2,0 3,0 5,0 và Y −1 0 1 P(y = yi ) 4,0 3,0 3,0 Tìm phân ph ối xác su ất c ủa X + Y , X.Y . Gi ải 31
Bài gi ảng Theo định ngh ĩa, ta có: P(X + Y − 3 = −4) = P(X = ;0 Y = −1) = P(X = 0).P(Y = −1) = 4.0.2,0 = 0,08 . P(X + Y − 3 = −3) = P(X = ;0 Y = 0)+ P(X = ;1 Y = −1) = P()()()()X = 0 .P Y = 0 + P X = .1 P Y = −1 = 3,0.2,0 + 4,0.3,0 = 0,18 Tươ ng t ự, P(X + Y − 3 = −2) = P(X = ;0 Y = 1) + P(X = ;1 Y = 0)+ P(X = ;2 Y = −1) P(X + Y − 3 = −1) = P(X = ;1 Y = 1)+ P(X = ;2 Y = 0) và P(X + Y − 3 = 0) = P(X = ;2 Y = 1) Khi đó, ta có b ảng phân ph ối c ủa đạ i l ượng X + Y − 3 là X + Y − 3 − 4 − 3 − 2 −1 0 P(X + Y − 3 = zi ) 0,08 0,18 0,35 0,24 0,15 Tươ ng t ự, ta có b ảng phân ph ối c ủa XY là X.Y − 2 −1 0 1 2 P(X.Y = zi ) 0,20 0,12 0,44 0,09 0,15 3. Đi l ưng ng u nhiên liên t c. Định ngh ĩa. Đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục X có F(x) là hàm phân ph ối xác su ất c ủa nó. N ếu t ồn x tại hàm s ố f (x) xác định và không âm trên R sao cho F()()x = ∫ f t dt thì hàm s ố f (x) −∞ được g ọi là hàm m ật độ c ủa X . F(x) chính là di ện tích gi ới h ạn b ởi đường cong c ủa hàm m ật độ f (x) và ph ần tr ục hoành bên trái điểm x . Ví d ụ 3.1. x t 2 1 − F()x = ∫ e 2 dt được g ọi là hàm phân ph ối chu ẩn. Đó là di ện tích gi ới h ạn b ởi 2π −∞ x2 1 − đường cong f ()x = e 2 và tr ục hoành bên trái x . 2π Từ tính ch ất c ủa hàm phân ph ối, ta suy ra tính ch ất c ủa hàm m ật độ là x + f (x) ≥ 0 , F()()x = ∫ f t dt . −∞ 32
Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất +∞ + ∫ f ()x dx = 1 vì F(− ∞) = 0 và F(+ ∞) = 1. −∞ b + P()()a ≤ X ;0 λ > 0 Gi ả s ử hàm m ật độ c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X là f ()x =  .  ,0 x ≤ 0 Tìm M . Tìm hàm phân ph ối c ủa X . Gi ải +∞ Theo tính ch ất c ủa hàm m ật độ , ta có: ∫ f ()x dx = 1. −∞ +∞ +∞ 0 +∞  1  M Dễ th ấy ∫ f ()x dx = ∫ 0dx + ∫ Me −λx = M − e −λx  = . −∞ −∞ 0  λ  0 λ Vậy M = λ . 33
Bài gi ảng Ta có hàm phân ph ối F(x) được xác đị nh nh ư sau: x + N ếu x < 0 thì F()()x = ∫ f x dx = 0 . −∞ + N ếu x ≥ 0 thì x 0 x x F()()()()x = ∫ f x dx = ∫ f x dx + ∫ f x dx = 0 + ∫ λe −λx dx = 1− e −λx −∞ −∞ 0 0  ,0 x < 0 Vậy F()x =  1− e −λx , x ≥ 0 4. Các đc tr ưng c a đ i l ưng ng u nhiên. 4.1. Kì v ng. Định ngh ĩa. Kì v ọng c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X , kí hi ệu là: E(X ) xác định b ởi: + N ếu X là đại l ượng ng ẫu nhiên r ời r ạc có b ảng phân ph ối xác su ất X x1 x2 xn P(X = xi ) p1 p2 pn +∞ L L thì E()X = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn + = ∑ xi pi . i=1 Trong tr ường h ợp có vô h ạn xn thì ta nói X có kì v ọng và E(X ) là kì v ọng c ủa nó n ếu +∞ chu ỗi ∑ xi pi h ội t ụ tuy ệt đố i. i=1 + N ếu X là đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục có hàm m ật độ xác su ất f (x) thì +∞ E()()X = ∫ xf x dx . −∞ Ý ngh ĩa c ủa kì v ọng. Kì v ọng c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên là trung bình theo xác su ất các giá tr ị có th ể nh ận của đạ i l ượng ng ẫu nhiên đó. Tính ch ất Với m ọi đạ i l ượng ng ẫu nhiên X , Y , ta có: a) E(C) = C v ới C là đại l ượng ng ẫu nhiên h ằng s ố. b) E(X + Y ) = E(X )+ E(Y ). c) E(λX ) = λ.E(X ), λ là m ột s ố. d) E(XY ) = E(X ).E(Y ) n ếu X và Y độc l ập. 34
Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất Ví d ụ 4.1. Nghiên c ứu v ề điểm thi môn Toán c ủa 400 sinh viên m ột tr ường Đạ i h ọc, ta được bảng s ố li ệu nh ư sau Điểm 2 3 4 6 7 8 Số sinh 10 60 160 100 40 30 viên Gọi X là s ố điểm môn Toán c ủa sinh viên m ột tr ường Đạ i h ọc. a) Tính E(X )? b) Tính t ổng s ố điểm môn Toán c ủa 400 sinh viên. Nh ư v ậy, điểm trung bình môn Toán c ủa m ột sinh viên là bao nhiêu? So sánh giá tr ị đó v ới E(X )? Gi ải a) Ta l ập b ảng phân ph ối xác su ất nh ư sau X ( Điểm) 2 3 4 6 7 8 P(X = x ) 1 6 16 10 4 3 i 40 40 40 40 40 40 1 6 16 10 4 3 1960 Khi đó, ta có E()X = .2 + .3 + .4 + .6 + .7 + .8 = . 40 40 40 40 40 40 400 b) Ta có t ổng s ố điểm môn Toán c ủa 400 sinh viên là 2.10 + 3.60 + .4 160 + .6 100 + 7.40 + 8.30 = 1960 . 1960 Suy ra điểm trung bình môn Toán c ủa m ột sinh viên là . 400 1960 Dễ th ấy E()X = . Khi đó, E(X ) là điểm trung bình môn Toán c ủa sinh viên. 400 Nh ư v ậy, ta suy ra kì v ọng c ủa m ột đạ i l ượng ng ẫu nhiên X là giá tr ị trung bình c ủa đại l ượng ng ẫu nhiên đó. Ví d ụ 4.2. Trong m ột cu ộc thi v ấn đáp, có hai hình th ức thi nh ư sau: + Hình th ức thi th ứ nh ất là m ỗi ng ười ph ải tr ả l ời 2 câu h ỏi, m ỗi câu tr ả l ời đúng thì được 5 điểm. + Hình th ức thi th ứ hai là n ếu tr ả l ời đúng câu th ứ nh ất thì m ới được tr ả l ời câu th ứ hai. Câu th ứ nh ất tr ả l ời đúng được 5 điểm, câu th ứ hai tr ả l ời đúng được 10 điểm. Trong c ả hai hình th ức thi này, các câu tr ả l ời sai đề u không được điểm. Gi ả s ử xác 3 su ất tr ả l ời đúng m ỗi câu là và vi ệc tr ả l ời m ỗi câu là độc l ập v ới nhau. Theo b ạn, 4 nên ch ọn hình th ức nào để s ố điểm trung bình đạt được nhi ều h ơn. Gi ải. 35
Bài gi ảng 3 Gọi A là bi ến c ố “tr ả l ời đúng câu h ỏi th ứ i ”, i = 2;1 . Ta có: P()()A = P A = . i 1 2 4 Gọi X 1 , X 2 là s ố điểm đạ t được t ươ ng ứng v ới hai hình th ức thi trên. Theo yêu c ầu bài toán, ta c ần so sánh E(X 1 ) và E(X 2 ). Ta có b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X 1 nh ư sau X 1 0 5 10 P(X = x ) 1 6 9 1 i 16 16 16 Khi đó, điểm trung bình trong hình th ức thi th ứ nh ất là E(X 1 ) = 5,7 . Ta có b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X 2 là X 2 0 5 15 P(X = x ) 1 3 9 2 i 4 16 16 Khi đó, điểm trung bình trong hình th ức thi th ứ hai là E(X 2 ) = ,9 375 . Vậy, ta có E(X 1 ) < E(X 2 ) nên ch ọn hình th ức thi th ứ hai. 4.2. Ph ươ ng sai. Định ngh ĩa. Cho X là m ột đạ i l ượng ng ẫu nhiên có kì v ọng E(X ). Khi đó, ta g ọi ph ươ ng sai c ủa X là kì v ọng c ủa bình ph ươ ng độ sai khác gi ữa X và E(X ), kí hi ệu là D(X ). Vậy D(X ) = E(X − E(X ))2 = E(X 2 )− E 2 (X ) Ý ngh ĩa c ủa ph ươ ng sai. Ph ươ ng sai là trung bình c ủa bình ph ươ ng sai s ố gi ữa X và EX . Nh ư v ậy, ph ươ ng sai càng nh ỏ thì các giá tr ị c ủa X càng t ập trung quanh EX . Do D(X ) ≥ 0 nên ta định ngh ĩa độ l ệch chu ẩn của đạ i l ượng ng ẫu nhiên X nh ư sau Định ngh ĩa. Độ l ệch chu ẩn c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X là σ (X ) = D(X ) . Độ l ệch chu ẩn được dùng th ường xuyên h ơn ph ươ ng sai do có cùng đơ n v ị đo v ới đạ i lượng ng ẫu nhiên X . Tính ch ất. Với m ọi đạ i l ượng ng ẫu nhiên X , Y , ta có: a) D(X ) ≥ 0 . D(X ) = 0 ⇔ X là đại l ượng ng ẫu nhiên h ằng s ố. b) D(C) = 0 v ới C là đại l ượng ng ẫu nhiên h ằng s ố. c) D(λX ) = λ2 D(X ), λ là m ột s ố. 36
Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất d) D(X + λ) = D(X ), λ là m ột s ố. e) D(X ) = E(X 2 )− E 2 (X ). f) D(X + Y ) = D(X )+ D(Y ) n ếu X và Y độc l ập. Ví d ụ 4.3. Điểm các môn Toán cao c ấp A1 , A2 , A3 , Xác su ất th ống kê (XSTK) và Kinh t ế l ượng (KTL) c ủa hai sinh viên An và Bình được cho theo b ảng sau Môn TCC A1 TCC A2 TCC A3 XSTK KTL Điểm c ủa 7 6 8 9 5 An Điểm c ủa 9 10 5 10 1 Bình Gọi X , Y l ần l ượt là điểm môn Toán c ủa b ạn An và Bình. a) Hãy tính E(X ), E(Y ) và so sánh E(X ), E(Y ). b) Tính D(X ), D(Y ). So sánh các giá tr ị này. Gi ải 7 + 6 + 8 + 9 + 5 35 9 +10 + 5 +10 +1 35 a) Ta có E()X = = = 7 , E()Y = = = 7. 5 5 5 5 Vậy E(X ) = E(Y ) . b) Ta có 7 2 + 6 2 + 82 + 9 2 + 52 E()X 2 = = 51 . 5 Khi đó D(X ) = E(X 2 ) − E 2 (X ) = 55 − 7 2 = 6 . 92 +10 2 + 52 +10 2 +12 307 E()Y 2 = = . 5 5 307 Khi đó D()Y = E(Y 2 )− E 2 ()Y = − 7 2 = 12 4, . V ậy D(Y ) > D(X ). 5 Ta th ấy r ằng An và Bình cùng có điểm trung bình các môn Toán, tuy nhiên An là “h ọc đều” h ơn Bình. 4.3. M t, trung v và moment trung tâm. a) M ốt (mod). Định ngh ĩa. Mốt là giá tr ị c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X được kí hi ệu là Mod (X ) mà t ại đó hàm m ật độ f (x) đạt giá tr ị l ớn nh ất. 37
Bài gi ảng Tr ường h ợp X là đại l ượng ng ẫu nhiên r ời r ạc, Mod (X ) là giá tr ị c ủa X mà t ại đó xác su ất P(X = Mod (X )) là l ớn nh ất. Mốt của X còn g ọi là số có kh ả n ăng nh ất. Chú ý. a) M ốt có th ể không t ồn t ại và khi nó t ồn t ại không nh ất thi ết là giá tr ị duy nh ất. b) M ốt không ph ải luôn luôn t ồn t ại, ch ẳng h ạn khi t ất c ả các s ố li ệu trong m ẫu có s ố lần xu ất hi ện b ằng nhau. Ví d ụ 4.4. Cho đại l ượng ng ẫu nhiên X có b ảng phân ph ối X 0 1 2 P(X = x ) 1 1 1 i 4 2 4 1 Ta có Mod (X ) = 1 vì P()X = 1 = là xác su ất l ớn nh ất. 2 Ví d ụ 4.5.  ,0 x ≤ 0  x2 Cho X là đại l ượng ng ẫu nhiên có hàm m ật độ f ()x =  x − . Hãy xác định  e 4 , x > 0 2 Mod (X ). Gi ải Ta có: + f (x) = 0 , ∀x ≤ 0 . x2 x − + f ()x = e 4 , ∀x > 0 . 2 2 2 2 x 2 x x 2 1 − x − 1 −  x  Ta có f '()x = e 4 − e 4 = e 4 1− . 2 4 2  2  Khi đó f '(x) = 0 ⇔ x = − 2 ho ặc x = 2 . Do x > 0 nên x = 2 . 1 2 − Dựa vào b ảng bi ến thiên, ta được f ()x ≤ f ()2 = e 2 . 2 Vậy Mod (X ) = 2 . b) Phân v ị. Điểm x0 được g ọi là phân v ị v ới xác su ất α c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X n ếu P(X > x0 ) = α (ho ặc P(X x0 ) = 1−α . 38
Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất Trong bài gi ảng này, chúng ta dùng phân v ị P(X > x0 ) = α . 1 Nếu α = thì điểm x này được g ọi là trung v ị c ủa X . Khi đó, ta xác định nh ư sau 2 0 c) Trung v ị (median). Định ngh ĩa. Cho X là m ột đạ i l ượng ng ẫu nhiên. S ố m g ọi là trung v ị c ủa X , kí hi ệu Med (X ) n ếu  1  1 P()()X Med ()X ≥  2  2 * N ếu X là đại l ượng ng ẫu nhiên r ời r ạc Med (X ) là giá tr ị xk sao cho  1 P()()()X = x + P X = x +L + P X = x ≤  1 2 k −1 2  , trong đó x ≤ x ≤ L ≤ x . 1 1 2 k P()()()X = x + P X = x +L + P X = x ≥  1 2 k 2 1 * N ếu X là đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục thì Med (X ) th ỏa F()Med ()X = . 2 Ví d ụ 4.6.  ,0 x ≤ 0  Cho hàm phân ph ối c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X là F()x = x, 0 1 1 1 Ta có F()x = suy ra Med ()X = 2 2 Ví d ụ 4.7. Cho đại l ượng ng ẫu nhiên X có b ảng phân ph ối X 0 1 2 P(X = x ) 1 1 1 i 4 2 4 1 1 3 1 Ta có P()X nên Med (X ) =1. 4 2 4 2 Chú ý. Theo định ngh ĩa trên thì X có th ể có m ột ho ặc nhi ều trung v ị. N ếu có m1 , m2 cùng th ỏa )1( ho ặc )2( và m1 < m2 thì v ới m b ất kì thu ộc [m1;m2 ] c ũng là median c ủa X . Ví d ụ 4.8. Gọi X là s ố ch ấm xu ất hi ện khi gieo con xúc x ắc. Khi đó X có b ảng phân ph ối 39
Bài gi ảng X 1 2 3 4 5 6 P X 1 1 1 1 1 1 ( ) 6 6 6 6 6 6 1 1 1 Ta có P()()()X < 3 = P X = 1 + P X = 2 = .2 = ≤ 6 3 2 1 1 1 và P()()()()X ≤ 3 = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 = .3 = ≥ . 6 2 2 Suy ra m1 = 3 . 1 1 Mặt khác P()()()()X < 4 = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 = .3 = 6 2 1 2 1 và P()()()()()X ≤ 4 = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 = .4 = ≥ . 6 3 2 Suy ra m2 = 4 . Khi đó, Med (X ) = m , m ∈[ 4;3 ]. m = 3 ho ặc m = 4. c) Moment trung tâm. Moment g ốc. Định ngh ĩa. Cho X là m ột đạ i l ượng ng ẫu nhiên có kì v ọng E(X ) = a . Ta g ọi moment trung tâm k cấp k c ủa X là µk = µk (X ) = E(X − a) . k Ta g ọi moment g ốc cấp k là γ k = E(X ). Ta có γ 1 = a . Theo công th ức nh ị th ức Newton n n n  k k n−k  k k n−k µn = E()()()X − a = E∑Cn − a X  = ∑Cn − a E()X   k =0 k=0 n k k k = ∑Cn ()−1 γ n−k γ 1 k=0 n k k k Vậy µn = ∑Cn ()−1 γ n−k γ 1 . k=0 Ví d ụ 4.9. Đại l ượng ng ẫu nhiên X có b ảng phân ph ối xác su ất nh ư sau: X 2 3 4 6 7 P(X ) 1,0 2,0 3,0 2,0 2,0 Tính E(X ), D(X ), σ (X ), E(X 3 ), Med (X ), Mod (X ), P( X − EX < 2). Gi ải 40
Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất E(X ) = 1,0.2 + 2,0.3 + 3,0.4 + 2,0.6 + 2,0.7 = 6.4 . E(X 2 ) = 22 1,0. + 32 2,0. + 42 3,0. + 62 2,0. + 7 2 2,0. = 24 . D(X ) = E(X 2 )− E 2 (X ) = 24 − 6,4 2 = 2,84 . σ (X ) = D(X ) = 2,84 = ,1 685 . E(X 3 ) = 23 1,0. + 33 2,0. + 43 3,0. + 63 2,0. + 7 3 2,0. = 137 2, . 1 1 Dễ th ấy Med (X ) = 4 vì P()X < 4 = 3,0 ≤ và P()X ≤ 4 = 6,0 ≥ . 2 2 Mod (X ) = 4 vì max P(X = X i ) = P(X = 4) = 3,0 . P( X − EX < 2) = P( X − 6,4 < 2) = P()()()()6,2 < X < 6,6 = P 3 + P 4 + P 6 = 2,0 + 3,0 + 2,0 = 7,0 5. Hàm c a m t đ i l ưng ng u nhiên. Nếu ta xác định Z = g(X ) là m ột hàm c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X thì Z tr ở thành đại lượng ng ẫu nhiên m ới. V ấn đề đặ t ra là tìm cách xác định lu ật phân ph ối c ủa Z qua lu ật phân ph ối đã bi ết c ủa X . Ở đây, ta ch ỉ xét các tr ường h ợp đơn gi ản khi hàm g không quá ph ức t ạp. 5.1. Đi l ưng ng u nhiên r i r c. Ví d ụ 5.1. Cho đại l ượng ng ẫu nhiên X có lu ật phân ph ối X − 2 −1 0 1 2 P(X = x1 ) 1,0 2,0 3,0 2,0 2,0 Xác định lu ật phân ph ối c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên Z = X 2 và tìm kì v ọng c ủa Z . Gi ải. Dễ dàng ta có P(Z = 0) = P(X = 0) = 3,0 , P(Z = 1) = P(X = 1)+ P(X = −1) = 2,0 + 2,0 = 4,0 , P(Z = 4) = P(X = 2)+ P(X = −2) = 1,0 + 2,0 = 3,0 . Khi đó, ta có b ảng phân ph ối c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên Z là Z 0 1 4 P(Z = zi ) 3,0 4,0 3,0 Từ b ảng phân ph ối trên, ta có kì v ọng 3 E()()Z = ∑ zi P Z = zi = 3,0.0 + 4,0.1 + 3,0.4 = 6,1 i=1 41
Bài gi ảng Trong tr ường h ợp Z = g(X ) t ổng quát, ta có th ể tính tr ực ti ếp kì v ọng c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên Z nh ư sau: E()()()Z = ∑ g xi P X = xi i=1 Trong ví d ụ trên, ta có th ể tính kì v ọng c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên Z là E(Z ) = (− 2)2 1,0. + (−1)2 2,0. + (0)2 3,0. + (1)2 2,0. + (2)2 2,0. = 6,1 . 6.2. Đi l ưng ng u nhiên liên t c. Khi X là đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục, v ấn đề s ẽ ph ức t ạp h ơn. Gi ả s ử đạ i l ượng ng ẫu nhiên X có hàm m ật độ f X (x) đã bi ết và Y = g(X ). Ta s ẽ tìm hàm m ật độ fY (x) c ủa Y . Ta có: FY ()()()x = P Y < x = P()()Y = g X < x = ∫ f X u du , trong đó DX = g(u) < x DX Sau đó, l ấy đạ o hàm FY (x) v ế, ta được m ật độ fY (x) c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên Y . Ví d ụ 5.2. Cho đại l ượng ng ẫu nhiên X có hàm m ật độ xác su ất là f (x) . Tìm hàm m ật độ c ủa a) Z = 2X +1. b) Y = X 3 . Gi ải. a) Áp d ụng công th ức, ta có:  x −1  x −1 F ()()()x = P Z < x = P 2X +1 < x = P X <  = F   . Z  2  X  2  Lấy đạ o hàm, ta được   x −1  x −1 1  x −1 f Z ()()x = []FZ x '= FX  , '= f   .   2   2  2  2  1  x −1 Vậy hàm m ật độ c ủa Z là f ()x = f   . Z 2  2  3 3 3 b) FY (x) = P(Y < x) = P(X < x) = P(X < x ) = FX ( x ). Lấy đạ o hàm, ta được hàm m ật độ c ủa Y là: 3 3 3 1 fY ()()x = []FY x '= [FX ( x )]'. ( x )'= f ( x ). 33 x 2 Ví d ụ 5.3. X − µ Cho đại l ượng ng ẫu nhiên X có phân ph ối chu ẩn X ~ N(µ;σ 2 ), đặt Y = . σ Ch ứng minh r ằng Y có phân ph ối chu ẩn Y ~ N( 1;0 ). Gi ải. 42
Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất  X − µ  F ()()x = P Y < x = P < x = P()()X < σx + µ = F σx + µ . Y  σ  X Lấy đạ o hàm, ta được 2 ()()σx+µ −µ x2 − − 1 2σ 2 1 2 fY ()()x = []FY x '= []FX ()σx + µ '= f X ()σx + µ .σ = e σ = e . σ 2π 2π Vậy Y có phân ph ối chu ẩn Y ~ N( 1;0 ). 43
Ch ươ ng II. Đại l ượng ng ẫu nhiên. Hàm phân ph ối xác su ất 6. Bài t p ch ươ ng. 1. Một nhóm có 10 ng ười g ồm có 6 nam và 4 n ữ. Ch ọn ng ẫu nhiên ra 3 ng ười. G ọi X là s ố n ữ ở trong nhóm. L ập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X và tính E(X ), D(X ) và mod (X ). 3  x()2 − x , x ∈[]2;0 2. Cho ĐLNN liên t ục X có hàm m ật độ f ()x = 4 .  ,0 x ∉[]2;0 a) Vẽ đồ th ị c ủa f (x) . b) Tính P(X > 5,1 ) và P( 9,0 2). c) Tìm Med (X ). x  1 −  e λ , x > ,0 λ > 0 4. Cho hàm m ật độ c ủa ĐLNN X là f ()x = λ   ,0 x ≤ 0 a) Tìm hàm phân ph ối c ủa X và tính xác su ất P(0≤ X < λ) . b) Tính kì v ọng và ph ươ ng sai c ủa X . 5. Một ng ười nuôi 100 con gà. Xác su ất để m ỗi con gà đẻ trong m ột ngày là p = 8,0 . G ọi X là s ố tr ứng thu được trong m ột ngày. a) Tính xác su ất để thu được ít nh ất 80 qu ả tr ứng trong m ột ngày. b) Gi ả s ử, giá bán m ỗi qu ả tr ứng gà là 2000 VN Đ và chi phí cho m ỗi con là .1 200 VN Đ. Gọi Y là s ố ti ền l ời trong m ột ngày. Tính ti ền l ời trung bình? 6. Một h ộp đự ng 7 s ản ph ẩm x ấu và 3 s ản ph ẩm t ốt. Ch ọn ng ẫu nhiên cùng lúc 2 s ản ph ẩm. G ọi X là s ố s ản phẩm t ốt trong hai s ản ph ẩm l ấy ra. a) Lập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X . b) Tính E(X ), D(X ) và Mod (X ). 7. Cho ĐLNN X r ời r ạc và có phân ph ối xác su ất nh ư sau X 1 3 5 7 9 P 0,1 0,4 0,2 0,2 0,1 a) Tính P(3 ≤ X ≤ 7). b) Xác định Med (X ), Mod (X ), E(X ) và D(X ) Đáp s và h ưng d n. 1. Dùng các công th ức: X 0 1 2 3 P 5 15 9 1 30 30 30 30 45
Bài gi ảng E(X ) = 2,1 , D(X ) = 0,56 và mod (X ) = 1 2. b) P(X > 5,1 ) ≈ ,0 15625 , P( 9,0 2 = , c) F()x =  , 0 ≤ x ≤ 3 . 9 27 27  ,1 x > 3 x 3 1 3 3 Median m là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình = hay x = . V ậy m = . 27 2 3 2 3 2  ,0 x ≤ 0  −1 2 4. a) F x = x , P 0 ≤ X 0 C. Ph ươ ng pháp gi ng d y. - Thuy ết trình, đàm tho ại kh ơi động ho ạt độ ng t ự giác, tích c ực c ủa sinh viên. - S ử d ụng hình th ức tr ực quan: b ảng, đồ th ị, kí hi ệu, - Yêu c ầu SV đọ c bài gi ảng tr ước khi lên l ớp. - Ki ểm tra, đánh giá vi ệc làm bài t ập c ủa SV. - S ử d ụng ph ươ ng ti ện d ạy h ọc hi ện đạ i nh ư Mic, Projector. - Gi ảng viên g ửi bài gi ảng cho sinh viên đọc tr ước. Gi ảng viên trình bày bài gi ảng trên l ớp theo ph ươ ng pháp thuy ết trình h ỏi đáp. Giao bài t ập cho sinh viên v ề nhà làm. Gi ới thi ệu m ột số tài li ệu tham kh ảo. D. Tài li u tham kh o [1] Đậu Th ế C ấp, Xác su ất th ống kê: Lí thuy ết và các bài t ập (Ch ươ ng 2) , NXB Giáo d ục, 2006. [2] Đinh V ăn G ắng, Bài t ập xác su ất và th ống kê (Ch ươ ng 2) , NXB Giáo d ục, 2007. [3] PGS. TS. Ph ạm Xuân Ki ều, Giáo Trình xác su ất và th ống kê (Ch ươ ng 2) , NXB Giáo d ục, 2005. [4] Đặng Công Hanh, Đặ ng Ng ọc D ục, Giáo trình Lý thuy ết xác su ất và Th ống kê toán (Ch ươ ng 2) , tr ường Đạ i h ọc Duy Tân,1996. 46
Ch ươ ng III. Các quy lu t phân ph i th ưng g p. A. M c tiêu. - S ử d ụng hình th ức tr ực quan: b ảng, đồ th ị, kí hi ệu, - Ứng d ụng Excel cho vi ệc tính các giá tr ị c ủa bi ến ng ẫu nhiên có phân ph ối chu ẩn, phân ph ối Poisson, phân ph ối Student, phân ph ối chi bình phươ ng. - Yêu c ầu SV đọ c bài gi ảng tr ước khi lên l ớp. - Ki ểm tra, đánh giá vi ệc làm bài t ập c ủa SV. - S ử d ụng ph ươ ng ti ện d ạy h ọc hi ện đạ i nh ư Mic, Projector. B. N i dung. 1. Quy lu t phân ph i r i r c. 1.1. Phân ph i nh th c. Định ngh ĩa. Gọi X là s ố l ần bi ến c ố A xu ất hi ện trong dãy n phép th ử Bernoulli . Khi đó, X là đại l ượng ng ẫu nhiên có phân ph ối nh ị th ức. Kí hi ệu X ~ B(n; p). k k n−k Công th ức xác su ất: P(X = k) = Cn p q , trong đó q = 1− p . Các tính ch ất. Cho X ~ B(n; p), ta có a) E(X ) = np . b) D(X ) = npq . c) np − q ≤ mod X ≤ np + p . Ch ứng minh a) G ọi X i là “s ố l ần đạ i l ượng c ố A xu ất hi ện trong phép th ử th ứ n ” (trong dãy phép th ử Bernoulli), ta có b ảng phân ph ối c ủa X i là: X 0 1 K n
Bài gi ảng K P p0 p1 pn k k n−k trong đó pk = P(X = k) = Cn p .q n n n k k n−k k k n−k Suy ra E()X = ∑ k.pk = ∑ k.Cn p q = ∑ k.Cn p q . k=0 k=0 k =1 n n k n−k k Ta có ()p + x = ∑Cn p x . Đạo hàm hai v ế theo x , ta được k=0 n n n−1 k n−k k −1 n−1 k n−k k n()p + x = ∑ kC n p x hay n()p + x x = ∑ kC n p x . k =1 k=1 n k n−k k Ch ọn x = q , ta suy ra np = ∑ kC n p x . V ậy E(X ) = np ( đpcm). k=1 b) D ễ dàng ch ứng minh được n n 2 2 2 k k n−k 2 E()X = ∑ k .pk = ∑ k .Cn p q = n()n −1 p + np . k=0 k =0 Khi đó D(X ) = E(X 2 )− (E(X ))2 = n(n −1)p 2 + np − (np )2 = np − np 2 = npq ( đpcm).= K c) Do P(X = mod X ) = max {p0 ; p1; ; pn }. Theo Ch ươ ng 2, ta có: + N ếu np − q nguyên thì np − q = mod X = np − q +1. + N ếu np − q không nguyên thì [np − q] < mod X = [np − q]+1. Vậy np − q ≤ mod X ≤ np + p ( đpcm). Ví d ụ 1.1. Bắn 5 viên đạn vào m ục tiêu, xác su ất trúng m ục tiêu c ủa m ỗi viên đạn là 8,0 . G ọi X là đại l ượng ng ẫu nhiên ch ỉ s ố viên đạn trúng m ục tiêu. L ập b ảng phân ph ối c ủa X . Tính E(X )? Gi ải Ta có X có th ể nh ận các giá tr ị 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 . Khi đó, ta có: k k 5−k P(X = k) = C5 8,0 2,0 , k = 5;0 . Từ đó, ta có b ảng phân ph ối 0 1 2 3 4 5 0 0 5 1 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 1 5 5 0 C5 8,0 2,0. C5 8,0 2,0. C5 8,0 2,0. C5 8,0 2,0. C5 8,0 2,0. C5 8,0 2,0. Dễ th ấy kì v ọng E(X ) = np = 8,0.5 = 4 . 1.2. Phân ph i siêu b i. Định ngh ĩa. 48
Ch ươ ng III. Các quy lu ật phân ph ối xác su ất th ường g ặp. Gọi X là s ố l ần ch ọn được ph ần t ử có tính ch ất A trong n l ần ch ọn không l ặp t ừ m ột tập h ợp có N ph ần t ử, trong đó có M ph ần t ử có tính ch ất A . Khi đó, X được g ọi là đại l ượng ng ẫu nhiên có phân ph ối siêu b ội. Kí hi ệu: X ~ H (N;M ;n). k n−k CM .C N −M Công th ức xác su ất: P()X = k = n . C N Các tính ch ất. Cho X ~ H (N;M ;n). Ta có a) E(X ) = np . N − n b) D()X = npq . N −1 M trong đó p = , q = 1− p . N Ch ứng minh n k n−k CM .C N −M Tr ước h ết, ta ch ứng minh công th ức ∑ n = 1. Th ật v ậy, ta có k =0 C N M N −M N M N −M N k k l l t t (1+ x) (1+ x) = (1+ x) hay ∑CM x ∑C N −M x = ∑C N x k =0 l=0 k =0 n n k n−k n So sánh h ệ s ố c ủa x hai v ế, ta được ∑CM .C N −M = C N ( đpcm) k =0 Ta có: n n k n−k n k n−k kC M .C N −M M kNC M .C N −M E()()X = ∑ kP X = k = ∑ n = n ∑ n k=0 k =0 C N N k=0 nMC N M! ()M − !1 kN .C n−k .C n−k n k!. ()M − k ! N −M n ()()k −1 !. M − k ! N −M = np ∑ = np ∑ N! ()N − !1 k=1 nM . k =1 n!()N − n ! ()()n − !1 N − n ! n k−1 n−k CM −1.C N −M = np ∑ N −1 k=1 C N −n k −1 n−k k1 n1 −k1 n n1 C .C CM −1.C N −M M1 N1 −M1 Chú ý r ằng: ∑ = ∑ = 1, (trong đó k1 = k −1, M 1 = M −1, N −1 n1 k =1 C k =0 C N −n 1 N1 N1 = N −1 và n1 = n −1). Vậy ta có điều ph ải ch ứng minh. b) Ta có. Tươ ng t ự nh ư câu a), ta d ễ dàng ch ứng minh được: 49
Bài gi ảng n E()X 2 = ∑ k 2 P()X = k k=0 n n = ∑ k()()()k −1 P X = k + ∑ kP X = k k=0 k =0 M ()()M −1 n n −1 M Mn ()nM − M − n + N = + n = N()N −1 N N()N −1 Khi đó D(X ) = E(X 2 )− (E(X ))2 Mn  nM − M − n + N Mn  =  −  N  N −1 N  M ()N − M N − n N − n = n. . . = npq N N N −1 N −1 Ví d ụ 1.2. Một h ộp có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. L ấy ng ẫu nhiên 3 bi t ừ h ộp. G ọi X là s ố bi xanh l ấy được. a) Tính xác su ất l ấy được 2 bi xanh. b) L ập b ảng phân ph ối xác c ủa X . T ừ đó tính kì v ọng và ph ươ ng sai. Gi ải 2 1 C3 .C4 a) Ta có N = 7 , M = 3 và X ~ H ( 3;3;7 ). Khi đó P()X = 2 = 3 . C7 b) D ễ th ấy X có th ể nh ận các giá tr ị 0 , 1, 2 , 3. Khi đó, ta có b ảng phân ph ối xác su ất nh ư sau: X 0 1 2 3 0 3 1 2 2 1 3 0 P C3 .C4 C3 .C4 C3 .C4 C3 .C4 3 3 3 3 C7 C7 C7 C7 3 9 3  3  7 − 3 24 Do X ~ H ( 3;3;7 ) nên E()X = .3 = và D()X = .3 .1−  = . 7 7 7  7  7 −1 49 1.3. Phân ph i Poisson. Định ngh ĩa. Gọi X là s ố l ần ph ần t ử có tính ch ất A xu ất hi ện trong m ột kho ảng th ời gian (ho ặc trên m ột mi ền, m ột vùng) nào đó. Khi đó, X được g ọi là đại l ượng ng ẫu nhiên có phân ph ối Poisson v ới tham s ố λ là s ố trung bình c ủa s ố l ần ph ần t ử có tính ch ất A xảy ra. Kí hi ệu: X ~ P(λ) . e −λ λk Công th ức xác su ất: P()X = k = . k! 50
Ch ươ ng III. Các quy lu ật phân ph ối xác su ất th ường g ặp. Các tính ch ất. Cho X ~ P(λ) . Ta có a) E(X ) = λ . b) D(X ) = λ . c) [λ]−1 ≤ mod (X ) ≤ [λ]. Ch ứng minh +∞ +∞ ke −λ λk +∞ λk −1 a) Ta có: E()()X = ∑ kP X = k = ∑ = λe −λ ∑ = λe −λ eλ = λ , (do k=0 k =0 k! k=1 ()k − !1 +∞ λl ∑ = e λ ). l=0 l! +∞ +∞ k 2e −λ λk +∞ k(k −1)e −λ λk +∞ ke −λ λk b) Ta có E()X 2 = ∑ k 2 P()X = k = ∑ = ∑ + ∑ . k=0 k =0 k! k=0 k! k =0 k! +∞ ke −λ λk +∞ k(k −1)e −λ λk +∞ λk −2 Dễ th ấy ∑ = λ và ∑ = e −λ λ2 ∑ = λ2 k =0 k! k =0 k! k =2 ()k − 2 ! nên E(X 2 ) = λ2 + λ . V ậy D(X ) = E(X 2 )− (E(X ))2 = λ ( đpcm). e −λ λk e −λ λk+1 c) Ta có P()X = k = và P()X = k +1 = . k! ()k + !1 Dễ th ấy P(X = k +1) ≥ P(X = k) khi và ch ỉ khi k ≤ λ −1 và P(X = k +1) λ −1. Do k ∈ N nên [λ]−1 ≤ mod (X ) ≤ [λ] ( đpcm) Chú ý. Lu ật phân ph ối Poisson có ý ngh ĩa th ực t ế r ất l ớn và được ứng d ụng r ộng rãi trong vi ệc ki ểm tra ch ất l ượng s ản ph ẩm. Đặ c bi ệt gi ải quy ết m ột s ố bài toán sau đây Ví d ụ 1.3. Tại m ột CLB Bóng bàn, bi ết r ằng trung bình m ỗi ngày có 5 ng ười đế n t ập luy ện. Tính xác su ất để trong m ột ngày mà ta xét. a) Có 3 ng ười đế n t ập luy ện. b) Có ít nh ất 4 ng ười đế n t ập luy ện. Gi ải Gọi X là s ố ng ười đế n t ập luy ện trong ngày. Ta có X ~ P(5). Khi đó e −5 53 a) P()X = 3 = . 3! 3 e −9 9k b) P()()X ≥ 4 = 1− P X < 4 = 1− ∑ . k=0 k! 51
Bài gi ảng Ví d ụ 1.4. Xét s ố khách hàng vào c ửa hàng mua ĐTD Đ trong m ột tháng là đại l ượng ng ẫu nhiên tuân theo phân ph ối Poisson v ới m ật độ trung bình là 9 khách hàng trong m ột ngày. a) Tìm xác su ất để trong một ngày có 40 khách hàng. b) Tìm xác su ất để trong một tu ần có 100 khách hàng. c) Tìm xác su ất để trong một ngày có h ơn 40 khách hàng. Gi ải Gọi X là s ố khách hàng vào c ửa hàng mua ĐTD Đ. e −9 940 a) Ta có E(X ) = 9 . Khi đó P()X = 4 = . 40 ! b) S ố khách hàng trung bình vào c ửa hàng mua ĐTD Đ trong m ột tu ần là 7.9 = 36 . E(Y ) = 36 . e −36 36 100 Khi đó, ta có P()Y = 100 = . 100 ! 40 e −9 9 k c) Ta có P()()X > 40 = 1− P X ≤ 40 = 1− ∑ . k =0 k! 2. Quy lu t phân ph i liên t c. 2.1. Phân ph i đ u. Định ngh ĩa. Đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục X được g ọi là có phân ph ối đều trên đoạn [a;b] n ếu  1  , x ∈[]a;b hàm m ật độ c ủa X là f ()x = b − a .  ,0 x ∉[]a;b Kí hi ệu: X ~ U (a;b). Các tính ch ất. Cho X ~ U (a;b). Ta có: b + a a) E()X = . 2 (b − a)2 b) D()X = . 12 2.2. Phân ph i m ũ. Định ngh ĩa. 52
Ch ươ ng III. Các quy lu ật phân ph ối xác su ất th ường g ặp. Đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục X được g ọi là có phân ph ối m ũ tham s ố λ ( λ > 0 ) λe −λx , x ≥ 0 hàm m ật độ c ủa nó có d ạng f ()x =  .  ,0 x 720 ). b) P(600 < X < 720 ). 53
Bài gi ảng c) E(X ). d) P(X 720 ) = 1− P(X 720 ) là xác su ất để tu ổi th ọ c ủa thi ết b ị l ớn h ơn 720 gi ờ là e − 9,0 . b) P(600 < X < 720 ) = F(720 )− F(600 ) = (1− e − ,0 00125 .720 )− (1− e − ,0 00125 .600 ) = e −0,75 − e − 9,0 . Ý ngh ĩa P(600 < X < 720 ) là xác su ất để tu ổi th ọ c ủa thi ết b ị n ằm trong kho ảng (600 ;720 ) là e −0,75 − e − 9,0 . 1 c) E()X = . ,0 00125 1 d) P()()X < 800 = F 800 = 1− e − ,0 00125 .800 = 1− . e 2.3. Phân ph i chu n. Phân ph i chu n t c. Định ngh ĩa. Đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục X được g ọi là có phân ph ối chu ẩn v ới kì v ọng µ , ()x−µ 2 − 1 2 ph ươ ng sai σ 2 n ếu hàm m ật độ c ủa nó có d ạng f ()x = e 2σ . σ 2π Kí hi ệu X ~ N(µ;σ 2 ). Chú ý. 54
Ch ươ ng III. Các quy lu ật phân ph ối xác su ất th ường g ặp. Nếu µ = 0 và σ = 1 thì X ~ N( 1;0 ), ta nói X có phân ph ối chu ẩn t ắc. Tính ch ất. Cho X ~ N(µ;σ 2 ). Ta có: a) E(X ) = µ . b) D(X ) = σ 2 . Hàm Gauss. x t 2 1 − Đó là hàm Φ()x = ∫ e 2 dt , hay còn g ọi là tích phân Laplace , trong đó: 2π 0 x2 1 − + f ()x = e 2 g ọi là hàm m ật độ Gauss . 2π x t 2 1 − + F()x = ∫ e 2 dt g ọi là hàm phân ph ối xác su ất Gauss . 2π −∞ Dễ th ấy f (x) và F(x) c ũng là hàm m ật độ và hàm phân ph ối xác su ất c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X ~ N( 1;0 ). Nh ận xét: a) Φ(− x) = −Φ(x), ∀x ∈ R . +∞ t 2 1 − 2π b) lim Φ()x = , do e 2 dt = . x→+∞ ∫ 2 0 2 x2 1 − c) f ()x = e 2 là hàm s ố ch ẵn nên có đồ th ị nh ận Oy làm tr ục đố i x ứng. 2π Định lí. Cho F(x) là hàm phân ph ối xác su ất c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X ~ N( 1;0 ). Ta có 1 a) F()x = + Φ()x . 2 b) P(α 0. Ch ứng minh. x t 2 0 t 2 x t 2 1 − 1 − 1 − 1 a) D ễ th ấy F()x = ∫ e 2 dt = ∫ e 2 dt + ∫ e 2 dt = + Φ()x 2π −∞ 2π −∞ 2π 0 2 b) Ta có 55
Bài gi ảng β 0 β P()()()()α 0. σ  Tính ch ất. Cho Z ~ N( 1;0 ). G ọi zα là s ố th ỏa mãn P(Z > zα ) = α ( 0 ≤ α ≤ 1). Ta có a) z1−α = −zα , trong đó z1−α là s ố th ỏa mãn P(Z > z1−α ) = 1−α 1 b) P(Z > z ) = 2α (v ới 0 ≤ α ≤ ) α 2 Chú ý. x t 2 1 − Giá tr ị hàm Φ()x = ∫ e 2 dt được cho trong Bảng 2 . Ch ẳng h ạn Φ(1,96) = ,0 475 . Ta 2π 0 quy ước Φ(m) = 5,0 v ới m ọi m ≥ 4 . Hệ qu ả. (Quy t ắc k -sigma). Nếu X ~ N(µ;σ 2 ) thì P( X − µ < kσ ) = 2Φ(k) Với k = 3, ta có quy t ắc 3-sigma P( X − µ < 3σ ) = 2Φ(3) = ,0 9973 . Quy t ắc này có ngh ĩa là sai s ố gi ữa X và µ không quá 3σ là g ần ch ắc ch ắn. Khi đó, v ới xác su ất ,0 9973 giá tr ị c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên X n ằm trong kho ảng (µ − 3σ ;µ + 3σ ). Ví d ụ 2.2. Cho đại l ượng ng ẫu nhiên Z có phân ph ối chu ẩn t ắc N( 1;0 ). Tìm di ện tích ph ần n ằm bên d ưới đường cong chu ẩn t ắc này. a) Ở bên ph ải đường th ẳng z = 1,84. b) Ở gi ữa hai đường th ẳng z = −1,97 và z = 0,86 . 56
Ch ươ ng III. Các quy lu ật phân ph ối xác su ất th ường g ặp. Gi ải 1 1 a) Ta có di ện tích b ằng P()Z > 1,84 = − Φ()1,84 = − ,0 467 = ,0 033 . 2 2 b) Ta có di ện tích b ằng P(−1,97 k) = ,0 3015 . b) P(k k = ,0 3015 = − Φ()k . 2 Khi đó Φ(k) = ,0 1985 . T ừ Bảng 2 , ta suy ra k = 0,52. b) Ta có P(k < Z < −0,18) = ,0 4197 = Φ(− 0,18)− Φ(k) = −Φ(0,18)− Φ(k) Khi đó, Φ(k) = Φ(0,18)− ,0 4197 . T ừ Bảng 2 , ta có Φ(0,18) = ,0 0714 . Suy ra Φ(k) = − ,0 0714 − ,0 4197 = − ,0 4911 = −Φ(2,37) = Φ(− 2,37). 57
Bài gi ảng Vậy k = −2,37 . Ví d ụ 2.4. Cho đại l ượng ng ẫu nhiên ng ẫu nhiên X có phân ph ối chu ẩn X ~ N(50 ;10 2 ). Tìm xác su ất để X nh ận các giá tr ị trong kho ảng (45 ;62). Gi ải Ta có xác su ất c ần tìm là  62 − 50   45 − 50  P()45 3,2 ). Gi ải a) Ta có  ,1 213 −1  − 5 −1 P()− 5 ≤ X 3,2 = 1− P X ≤ 3,2 = 1−  + Φ  2  5,0  1 1 = − Φ()6,2 = − ,0 49534 = ,0 00466 2 2 Ví d ụ 2.6. Đường kính c ủa m ột lo ại chi ti ết do m ột máy s ản xu ất có phân ph ối chu ẩn, kì v ọng 20 mm và có ph ươ ng sai ( 2,0 mm )2 . Tính xác su ất l ấy ng ẫu nhiên m ột chi ti ết 58
Ch ươ ng III. Các quy lu ật phân ph ối xác su ất th ường g ặp. a) Có đường kính trong kho ảng 19 9, mm đến 20 3, mm . b) Có đường kính sai khác v ới kì v ọng không quá 3,0 mm . Gi ải Gọi X là đường kính c ủa m ột chi ti ết, ta có X ~ N(20 ;( 2,0 )2 ). Khi đó a) Ta có  20 3, − 20  19 9, − 20  P()19 9, 9) = 2,0 . Tính σ 2 . Gi ải 59
Bài gi ảng 1  9 − 5  1  4  Ta có P()X > 9 = − Φ  = − Φ  . 2  σ  2 σ   4  4 Khi đó P(X > 9) = 2,0 suy ra Φ  = 3,0 hay = 0,85 . V ậy σ 2 = 22 ,14. σ  σ 2.4. Phân ph i Chi bình ph ươ ng. Định ngh ĩa. Đại l ượng ng ẫu nhiên X được g ọi là có phân ph ối Chi bình ph ươ ng (χ 2 ) v ới n b ậc x n  − −1 e 2 .x 2 , x > 0  n  n  tự do n ếu hàm mật độ c ủa nó có d ạng : f ()x = 2 2 Γ  .   2    ,0 x ≤ 0 Kí hi ệu X ~ χ 2 (n). Các tính ch ất. K + N ếu dãy các đại l ượng ng ẫu nhiên độc l ập X 1 , X 2 , , X n là có phân ph ối chu ẩn 2 2 L 2 2 tắc thì X = X 1 + X 2 + + X n có phân ph ối Chi bình ph ươ ng (χ ) v ới n b ậc t ự do. + Cho X ~ χ 2 (n). Ta có: a) E(X ) = n . b) D(X ) = 2n . Ch ứng minh n x +∞ +∞ −1 − +∞ n x 2 2 − x e 1 2 2 a) Ta có: E()()X = ∫ xf x dx = ∫ x n dx = n ∫ x e dx  n   n  −∞ 0 2 2 Γ  2 2 Γ  0  2   2  n  n  .Γ  x 1 +∞ n 1  n  2  2  Đặt: t = . Khi đó E()X = .2. t 2 e −t dt = .2. Γ +1 = 2 = n . 2  n  ∫  n   2   n  Γ  0 Γ  Γ   2   2   2  b) T ươ ng t ự, ta ch ứng minh được +∞ +∞ n x +1 − 2 2 1 2 2 E()X = ∫ x f ()x dx = n ∫ x e dx = n()n + 2 .  n  −∞ 2 2 Γ  0  2  Khi đó D(X ) = E(X 2 )− E 2 (X ) = 2n ( đpcm) 60
Ch ươ ng III. Các quy lu ật phân ph ối xác su ất th ường g ặp. 2.5. Phân ph i Student. Định ngh ĩa. Đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục X được g ọi là có phân ph ối Student với n b ậc t ự do  n +1 n+1 Γ  − 1  2   x 2  2 nếu hàm m ật độ c ủa X có d ạng: f ()x = . 1+  πn  n  n Γ     2  Kí hi ệu: X ~ T (n). Các tính ch ất.  n +1 n+1 Γ  − 1  2   x 2  2 + f ()x = . 1+  là hàm s ố ch ẵn nên có đồ th ị nh ận Oy làm tr ục đố i πn  n  n Γ     2  xứng. X + X ~ N( 1;0 ), Y ~ χ 2 (n) và X , Y độc l ập thì T = có phân ph ối T (n), v ới n b ậc t ự Y n do. + Cho X ~ T (n). Ta có: a) E(X ) = 0 . n b) D()X = . n − 2 2.6. Công th c tính g n đúng. 2.6.1. Phân ph ối siêu b ội và phân ph ối nh ị th ức. Định lí. M Cho X ~ H (N;M ;n). N ếu N khá l ớn ( N > 10 n ) và p = thì ta có th ể coi N  M  X ~ Bn;  .  N  k n−k k n−k CM .C N −M k  M   M  Tức là ta có công th ức tính g ần đúng n ≈ Cn   1−  . C N  N   N  2.6.2. Phân ph ối nh ị th ức và phân ph ối Poisson. Định lí. Cho X ~ B(n; p). N ếu p khá bé (g ần 0 , ta xem p < 1,0 ) và khi n khá l ớn ( n ≥ 30 ) thì k = ;0 n , ta có th ể coi X ~ P(np ). 61
Bài gi ảng k n−k (np ) Tức là ta có công th ức g ần đúng P()()X = k = C k p k 1− p ≈ e −np , k = ;0 n . n k! Nh ận xét. Cho X ~ B(n; p). N ếu p khá l ớn (g ần 1) và n khá l ớn thì k = ;0 n , ta có th ể dùng phân ph ối Poisson để tính g ần đúng. Th ật v ậy, X ~ B(n; p) thì Y ~ B(n 1; − p), trong đó X là s ố l ần bi ến c ố A xu ất hi ện và Y là s ố l ần bi ến c ố A xu ất hi ện. Do p khá l ớn nên 1− p khá bé. Do dó Y ~ P(n(1− p)). e −n(1− p) [n(1− p)]n−k Khi đó P()()X = k = P Y = n − k = . ()n − k ! Ví d ụ 2.9. Một c ửa hàng s ản xu ất đĩ a nh ạc, trung bình s ản xu ất 1000 đĩa thì có 1 đĩa h ỏng. Tìm xác su ất để khi hãng đó s ản xu ất 3000 đĩa thì có nhi ều h ơn 5 đĩa không b ị h ỏng. Gi ải 999 Xác su ất để được đĩ a không h ỏng trong 1000 đĩa là p = . 1000  999  999 Gọi X là s ố đĩ a không b ị h ỏng. Ta có X ~ B3000 ;  , ta có n = 3000 và p =  1000  1000 khá l ớn. 1 Suy ra Y ~ P(λ) v ới λ = 3000 . = 3. 1000 Do Y = 3000 − X nên ta có 5 P()()()X > 5 = P Y ≤ 5 = ∑ P Y = k = ,0 0498 + ,0 1494 + L+ ,0 1008 = 0,92 . k =0 2.6.3. Phân ph ối nh ị th ức và phân ph ối chu ẩn. Định lí. Cho X ~ B(n; p). N ếu p không quá g ần 0 và 1, khi đó n khá l ớn ( n ≥ 30 , np ≥ 10 ) thì ta có th ể coi X ~ N(np ;npq ). 1  k − np  P X k C k p k 1 q n−k f   k n Tức là ta có công th ức g ần đúng ()()= = n − ≈   , = ;0 , npq  npq  x2 1 − trong đó: f ()x = e 2 . 2π Ví d ụ 2.10. Bi ến c ố A: “m ột anh B yêu m ột cô gái” có xác su ất P(A) = p = 0,25 không đổi. Tìm xác su ất để khi anh B quen v ới 243 ng ười cô gái thì có đúng 70 l ần bi ến c ố A x ảy ra. 62
Ch ươ ng III. Các quy lu ật phân ph ối xác su ất th ường g ặp. Gi ải. Chú ý r ằng, anh B quen v ới 243 ng ười là m ột phép th ử độ c l ập. Gọi X là s ố l ần bi ến c ố A x ảy ra trong 243 phép th ử độ c l ập. Ta có X ~ B(243 ;0,25) . Do n = 243 > 30 và np = 243 .0,25 > 10 nên ta xem X ~ (np ;npq ) v ới np = 243 .0,25 và npq = 243 .0,25.0,75.   1  70 − 243 .0,25  1 Vậy P()X = 70 ≈ f   = f ()1,37 = ,0 0231 . 243 .0,25.0,75  243 .0,25.0,75  6,75 3. Đi l ưng ng u nhiên nhi u chi u. 3.1. Khái ni m. Ở các ph ần đã h ọc, chúng ta đã xét các đại l ượng ng ẫu nhiên mà các giá tr ị có th ể c ủa chúng được bi ểu di ễn b ằng m ột s ố. Các đạ i l ượng ng ẫu nhiên đó được g ọi là đại l ượng ng ẫu nhiên m ột chi ều. Ngoài các đại l ượng ng ẫu nhiên m ột chi ều, trong th ực t ế ta còn gặp các đạ i l ượng ng ẫu nhiên mà các giá tr ị có th ể có c ủa nó được xác đị nh b ằng 2 , 3, K, n s ố. Nh ững đạ i l ượng ng ẫu nhiên này được g ọi là các đại l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều, ba chi ều, K, n chi ều. Xét đại l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều, kí hi ệu là (X ;Y ). Trong đó, X và Y được g ọi là các thành ph ần c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều. Hai đạ i l ượng ng ẫu nhiên X và Y được xét đồ ng th ời t ạo nên h ệ hai đạ i l ượng ng ẫu nhiên. T ươ ng t ự nh ư v ậy, đạ i l ượng ng ẫu nhiên n chi ều có th ể xem là h ệ c ủa n đại l ượng ng ẫu nhiên. Ví d ụ 3.1. Một máy s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm. N ếu kích th ước c ủa s ản ph ẩm được đo b ằng chi ều dài X và chi ều r ộng Y , thì ta có đại l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều (X ;Y ), còn n ếu tính thêm c ả chi ều cao Z n ữa thì ta có đại l ượng ng ẫu nhiên ba chi ều (X ;Y;Z ). Trong th ực t ế, ng ười ta c ũng chia các đạ i l ượng ng ẫu nhiên nhi ều chi ều thành hai lo ại: rời r ạc và liên t ục. Các đại l ượng ng ẫu nhiên nhi ều chi ều được g ọi là rời r ạc n ếu các thành ph ần c ủa nó là đại l ượng ng ẫu nhiên r ời r ạc. Các đại l ượng ng ẫu nhiên nhi ều chi ều được g ọi là liên t ục n ếu các thành ph ần c ủa nó là đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục. Sau đây, ta xét các đại l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều. 3.2. Quy lu t phân ph i xác su t c a đ i l ưng ng u nhiên hai chi u. Đối v ới đạ i l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều, ng ười ta c ũng dùng b ảng phân ph ối xác su ất, hàm phân ph ối xác su ất, hàm m ật độ xác su ất để thi ết l ập quy lu ật phân ph ối xác su ất của chúng. * B ảng phân ph ối xác su ất c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều. Bảng phân ph ối xác su ất c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều (X ;Y ) r ời r ạc là 63
Bài gi ảng Y y1 y2 yh ∑ X j x1 p11 p12 p1h p1 (x1 ) x2 p21 p22 p2h p1 (x2 ) M M M M M xk pk1 pk 2 pkh p1 (xk ) ∑ p2 (y1 ) p2 (y2 ) p2 (yh ) 1 i trong đó pij = P(X = xi ;Y = y j ) là xác su ất đồ ng th ời để đạ i l ượng X l ấy giá tr ị xi ; i = ;1 k và Y l ấy giá tr ị y j ; j = ;1 h . B ảng này có th ể vô h ạn khi k , h nh ận giá tr ị + ∞ . Các tính ch ất. a) 0 ≤ pij ≤ 1 k h b) ∑∑ pij = 1. i=1j = 1 3.3. Hàm phân ph i c a đ i l ưng ng u nhiên hai chi u. Xét đại l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều (X ;Y ) có th ể r ời r ạc ho ặc liên t ục. Xét x , y là hai số th ực b ất kì, khi đó bi ến c ố (X < x;Y < y) là bi ến c ố để X nh ận giá tr ị nh ỏ h ơn x , và Y nh ận giá tr ị nh ỏ h ơn y . Hàm phân ph ối xác su ất c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều là F(x; y) = P(X < x;Y < y) Các phân ph ối biên c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên hai chi ều r ời r ạc (X ;Y ) là: k a) Phân ph ối xác su ất c ủa X là P()X = xi = ∑ pij . j=1 h b) Phân ph ối xác su ất c ủa Y là P()Y = yi = ∑ pij . i=1 Ví d ụ 3.2. Cho b ảng phân ph ối c ủa đạ i l ượng ng ẫu nhiên 2 chi ều (X ;Y ) nh ư sau Y 1 2 3 X 1 0,10 0,25 0,10 2 0,15 0,05 0,35 Tìm b ảng phân ph ối c ủa các đạ i l ượng X và Y sau đó tính F( 3;1,2 )? Gi ải. Lấy t ổng hàng và t ổng c ột t ươ ng ứng, ta có các phân ph ối biên nh ư sau 64
Ch ươ ng III. Các quy lu ật phân ph ối xác su ất th ường g ặp. X 1 2 P(X = xi ) 0,45 0,55 và Y 1 2 3 P(Y = y j ) 0,25 0,30 0,45 2 3 Ta có: F()3;1,2 = ∑ ∑ pij = p11 + p12 + p21 + p22 = 0,10 + 0,25 + 0,15 + 0,05 = 0,55 . xi<1,2 y j <3 4. Bài t p ch ươ ng. 1. Tung hai con xúc x ắc đồ ng th ời. G ọi X là t ổng s ố ch ấm xu ất hi ện trên hai con xúc x ắc đó. L ập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X . 2. Một đổ i tuy ển có 3 v ận động viên. Xác su ất thi đấ u th ắng tr ận c ủa t ừng v ận độ ng viên lần l ượt là 4,0 ; 3,0 ; 6,0 . M ỗi v ận độ ng viên thi đấu độ c l ập m ột tr ận v ới độ i b ạn. a) Tìm phân ph ối xác su ất s ố tr ận th ắng c ủa độ i tuy ển. b) Lập hàm phân ph ối xác su ất s ố tr ận th ắng c ủa độ i tuy ển. c) Tìm xác su ất độ i tuy ển th ắng ít nh ất m ột tr ận. 3. Trong m ột h ộp có ch ứa 3 bi đỏ và 4 bi đen. L ấy ng ẫu nhiên t ừng viên cho đến khi l ấy được bi đỏ thì d ừng. G ọi X là s ố bi c ần l ấy. L ập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X . 4. Trong m ột h ộp có 3 bi đỏ và 4 bi đen. L ấy ng ẫu nhiên t ừ h ộp ra 2 viên. N ếu được 2 bi đỏ thì b ỏ tr ở l ại h ộp 4 bi đỏ, n ếu được 1 bi đỏ thì b ỏ tr ở l ại h ộp 2 bi đỏ, n ếu có 2 viên đều đen thì thôi. G ọi X là bi ến ng ẫu nhiên ch ỉ s ố bi đỏ sau khi th ực hi ện phép th ử. Lập b ảng phân ph ối c ủa X . 5. Một h ộp đự ng 10 s ản ph ẩm t ốt, 2 s ản ph ẩm x ấu. L ấy ng ẫu nhiên t ừng s ản ph ẩm cho đến khi l ấy ra được s ản ph ẩm t ốt. Tìm phân ph ối xác su ất s ố s ản ph ẩm được l ấy ra. 6. Có hai h ộp bi I , II . H ộp I có 8 bi xanh và 2 bi đỏ. H ộp II có 7 bi xanh và 2 bi đỏ. Từ h ộp I l ấy ng ẫu nhiên 2 bi b ỏ vào h ộp II , sau đó t ừ h ộp II l ấy ra 2 bi. a) Tìm phân ph ối xác su ất s ố bi xanh được l ấy ra. b) Lập hàm phân ph ối xác su ất s ố bi xanh được l ấy ra. 7. Cho X là bi ến ng ẫu nhiên có phân ph ối xác su ất X 1 2 3 4 5 6 7 P a 2a 2a 3a a 2 2a 2 7a 2 + a a) Xác định a . b) Tính P(X ≥ 5), P(X < 3). 1 c) Tìm s ố k nh ỏ nh ất sao cho P()X ≤ k ≥ . 2 8. Bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc X có b ảng phân ph ối xác su ất X 0 1 2 3 4 P(X ) 0,05 0,2 0,3 0,3 0,15 a) Lập hàm phân ph ối F(x) và v ẽ đồ th ị c ủa F(x). 65