Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 1: Hàm số một biến số - Phan Trung Hiếu

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 1: Hàm số một biến số - Phan Trung Hiếu

1. 22/09/2017 Điểm cộng, trừ giờ bài tập: -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ: TỐN CAO CẤP Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần. C1 Khi khơng cĩ SV xung phong lên làm thì GV GV. Phan Trung Hiếu sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ 45 tiết trên xuống: -Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc khơng biết làm thì -0,5 LOG điểm/lần. O 4 Kiểm tra, đánh giá kết quả: Trang web mơn học: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng Dự lớp đầy đủ: 10 điểm. tuần, điểm quá trình trên trang web sau: Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1 điểm. Chỉ được vắng 1 ngày cĩ phép. -Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3): Tự luận, khơng được sử dụng tài liệu. -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): Tự luận, khơng được sử dụng tài liệu. 2 5 Điểm cộng, trừ giờ bài tập: Nội dung: -Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ: Chương 1: Hàm số một biến số. 1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1 Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì khơng một biến. trừ điểm). Chương 3: Tích phân. Chỉ được cộng tối đa 2 điểm. Chương 4: Hàm nhiều biến. Chương 5: Phương trình vi phân. 3 6 1
2. 22/09/2017 Tài liệu học tập: [1] Bài giảng trên lớp. [2] Lê Văn Hốt, Tốn cao cấp (Phần 2: Giải tích), Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, NXB §1. Các khái niệm cơ bản Giáo dục. về hàm số một biến số 7 10 Dụng cụ hỗ trợ học tập: I. Biến số: Biến số là một ký hiệu mà ta cĩ thể gán cho nĩ một Máy tính FX 500MS, FX 570MS, X số bất kì thuộc tập số  cho trước (X ). FX 570ES, FX 570ES Plus. Tập hợp X được gọi là miền biến thiên (MBT) và mỗi số thựcx0 X được gọi là một giá trị của biến số đĩ. Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái: x, y, z, 8 11 Các biến số kinh tế: Ký Ý Tiếng Ký Ý Tiếng Anh Chương 1: hiệu nghĩa Anh hiệu nghĩa Lợi Đơn Hàm số một biến số Profit Price (pi) nhuận P giá Chi Sản C Cost Q Quantity GV. Phan Trung Hiếu phí lượng Lượng Quantity Cầu Demand §1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số D QD cầu Demanded Doanh Lượng Quantity §2. Giới hạn của hàm số Revenue R thu QS cung Supplied §3. Hàm số liên tục S Cung Supply T Thuế Tax LOG Xuất Thu Export Income O X khẩu Y nhập 12 2
3. 22/09/2017 3.2. Hàm cho bằng biểu thức giải tích: 2 II. Hàm số: Ví dụ 3.2: Cho hàm số y x 2 x 3. Tính y(1). Một hàm số f xác định trên một tập hợpD  là một quy tắc đặt tương ứng mỗi sốx D với một số 3.3. Hàm số xác định từng khúc: thực y xác định duy nhất f: D Ví dụ 3.3: Cho hàm số 2 x y fx( ) xnếu x 1, D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f. f() x 2x 1 nếu x 1. x: biến độc lập (biến số). y: biến phụ thuộc (hàm). Tính f(-2); f(1); f(3). f(x): giá trị của hàm số f tại x. fD(){ y yfx (),  xD }:Tập giá trị (TGT) của hàm số f. 13 16 Chú ý 2.1: Ví dụ 3.4: Một hãng cho thuê xe ơ tơ với giá -Nếu cho hàm số y=f(x) mà khơng nĩi gì về 3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe khơng quá 100 TXĐ của hàm số thì TXĐ của nĩ là tập hợp km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì những điểm x sao cho biểu thức f(x) cĩ nghĩa. ngồi số tiền phải trả cho 100 km đầu cịn phải trả -TGT của hàm số y=f(x) là tập hợp các giá trị thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và y để pt y=f(x) cĩ nghiệm x D. C(x) là chi phí thuê xe. Ví dụ 2.1: Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số a) Viết hàm số C(x). b) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy y x2 1. được 50km. c) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy được 150km. 14 17 III. Một số phương pháp cho hàm số: IV. Đồ thị của hàm một biến số: 3.1. Liệt kê tập hợp các cặp: Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x,y) Ví dụ 3.1: Một doanh nghiệp muốn biết lợi nhuận của mặt phẳng tọa độ cĩ hồnh độ x là một số thực bất cĩ quan hệ như thế nào với sản lượng nên lập bảng kỳ lấy từ TXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tương theo dõi và cĩ được kết quả sau ứng của hàm số tại điểm x. Chú ý: Hình chiếu của đồ thị lên trục hồnh chính là Sản lượng Q 1000 1100 1200 1300 1400 TXĐ, hình chiếu của đồ thị lên trục tung là TGT. (kg) Lợi nhuận 25 27 28 31 27 (triệu đồng) TGT Tính: (1100); (1400). 15 18 TXĐ 3
4. 22/09/2017 5.4. Hàm ngược: Cho hàm số y = f(x) cĩ TXĐ là X y Y V. Các hàm số cơ bản: và TGT là Y. Nếu với mỗi giá trị0 chỉ tồn tại duy x X f() x y 5.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản: nhất một giá trị0 sao cho0 0 , nghĩa là ptf() x y0 chỉ cĩ 1 nghiệm trong tập X thì từ hệ Hàm hằng: y C. thức y = f(x) ta cĩ thể xác định được một hệ thức 1 Hàm lũy thừa: y x ( ). tính được x theo y, ký hiệu là x f ( y ). x 1 Hàm mũ: y a(0 a 1). Khi đĩ hàm sốx f ( y ), y Y được gọi là hàm y f( x ), x X . Hàm logarit: y loga x (0 a 1). ngược của hàm số Hàm lượng giác: Ví dụ 5.3: a) Hàm số y x 2 cĩ hàm ngược là x y 2. 2 y sin xy , cos xy , tan xy , cot x . b) Hàm số y x khơng cĩ hàm ngược. Hàm lượng giác ngược: 2 c) Tìm hàm ngược của hàm số y x,. x 2 y arcsin xy , arccos xy , arctan xy , arccot x d) Tìm hàm ngược của hàm số y x,. x 19 22 5.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạo 5.5. Một số hàm số một biến số trong kinh tế: thành bởi một số hữu hạn các phép tốn cộng, trừ, Hàm sản xuất:Q f() L , Q: sản lượng, L: lao động. nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản. Hàm doanh thu:RRQ ( ). Ví dụ 5.1: Trong kinh tế học, ta thường gặp các dạng hàm số sơ cấp sau Hàm chi phí:CCQ ( ). Hàm đa thức (hàm nguyên): Hàm lợi nhuận: (Q ). n n 1 Hàm cung: QSP( ). y an x a n 1 x a 0 . s Hàm phân thức (hàm hữu tỷ): Hàm cầu: QDPD ( ). P() x y Q() x P(x) và Q(x) là các đa thức. 20 23 5.3. Hàm hợp: Giả sử y=f(u) là hàm số của biến số u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến số x. Khi đĩ y = f(u)= f(g(x)) là hàm số hợp của biến số x thơng qua biến số trung gian u. Ký hiệu là (fgx )( ) fgx ( ) . §2. Giới hạn của hàm số Ví dụ 5.2: Cho y f( u ) sin u , ugx ( ) x2 4 x 5. Khi đĩ, hàm số hợp 2 yfgxfgx ( )( ) ( ( )) sin( x 4 x 5). 21 24 4
5. 22/09/2017 I. Định nghĩa về giới hạn của hàm số: Định nghĩa 1.2 ▪ Nếu f(x) cĩ giới hạn là L (L cĩ thể là ) khi Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập x x0 (x0 hữu hạn) vàx x0 thì ta nĩi f(x) cĩ D vàx D hoặcx D. Ta nĩi hàm số f(x) cĩ 0 0 giới hạn bên phải tại x0. Ký hiệu giới hạn là L khix x0 (L, x0 hữu hạn), ký hiệu là lim fx ( ) L . limfx ( ) L x x0 x x0    0, 0:xD , 0 xx0  fxL ( )  . ▪ Nếu f(x) cĩ giới hạn là L (L cĩ thể là ) khi x x0 (x0 hữu hạn) vàx x0 thì ta nĩi f(x) cĩ giới hạn bên trái tại x0. Ký hiệu lim fx ( ) L . x x0 25 28 Ngồi ra, ta cịn cĩ các định nghĩa giới hạn mở rộng Chú ý 1.1: sau x x0 xx 0. limfx ( ) L  xx 0 xx 0 và x x0. x  xx 0 xx 0 và x x0.    0,M 0 : xDxM , fxL ( )  .  limfx ( ) L x lim()fxL lim fx () lim fxL () .    0,m 0 : xDxm , fxL ( )  . xx 0 xx 0 xx 0  limf ( x ) limfx ( ) L x x0 1  x x0    M0, 0 : xDxx ,0 0  fxM ( ) . lim fxL () 2  lim fx () khơng tồn tại. limf ( x ) xx 0 xx 0 x x0    M0, 0: xDxx ,0 0  fxM ( ) . L1 L 2  26 29 limf ( x ) x II. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản:    P0, M 0 : xDxM , fxP ( ) . 2.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm x 0 thuộc limf ( x ) TXĐ của nĩ được tính theo cơng thức x limfx ( ) fx (0 ).    P0, M 0 : xDxM , fx ( ) P . x x0 Ví dụ 2.1: Tính các giới hạn sau limf ( x ) 2 x a)lim( x x 2). x 1    P0, M 0 : xDxM , fxP ( ) . sinx 3 b)lim . limf ( x ) x 0 cos x x c) lim x 2.   P0, M 0 :  xDxMfx , ( ) P . x 2 27 30 5
6. 22/09/2017 Ví dụ 2.2: Cho ĐL 3.3: 5x 2 khi x 1 i) lim fx ( ) 0 lim fx ( ) 0. xx xx f( x ) 2 0 0 x 3 khi x 1 ii) Nếu Tìm lim fx ( ), lim fx ( ),lim fx ( ). gx() fxhx () (),  x ( x , x  ), x 1 x 1 x 1 0 0 limgx () lim hx () L Ví dụ 2.3: Tìm m để hàm số sau cĩ giới hạn xx 0 xx 0 khi x 2 thì 2 limfx ( ) L . xmx 1 khi x 2 x x0 f(). x 2 ĐL 3.4: Giới hạn hàm số (nếu cĩ) là duy nhất. 2xx 1 khi x 2 31 34 2.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản:V. Một số kết quả giới hạn cần nhớ: Chú ý 3.1: Trong tính tốn về giới hạn hàm số, cĩ khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạng vơ định: 0 0 0 , ,0., ,0, ,1. 0 Xem Bảng 1. Khi đĩ, ta khơng thể dùng định lý 3.2, mà phải dùng các phép biến đổi để khử các dạng vơ định đĩ. 32 35 III. Một số định lý về giới hạn hàm số: Chú ý 3.2: Một vài quy tắc với : ĐL 3.1: limk kk ( ). x x0 a ()(), a ĐL 3.2: Giả sử limfx () A ,lim gx () B . xx 0 xx 0 a ()(), a Khi đĩ: i)lim kfx .() k .lim fxk ()( ). ,a 0, xx 0 xx 0 a.( ) ( ). a ii) lim fx ( ) gx ( ) AB . ,a 0, x x0 iii)lim fxgx ().() AB ,a 0, x x0 fx( ) A a.( ) ( ). a iv) lim ( B 0). ,a 0. x x0 gx( ) B g( x ) v)lim fx () AB (0 A 1). x x0 33 36 6
7. 22/09/2017  ()(), Định lý 4.2. ( ).( ) ( ).( ) , lim()fxL () x fxL () là một VCB khi x x0 ()(), x x0. ( ).( ) ( ).( ) . Tính chất 4.3 * n  n , ta cĩ (), 1) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB. 2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là n nếun chẵn, () một VCB. nếun lẻ. 3) Thương của hai VCB chưa chắc là một a  0. VCB. 37 40 a  : Định nghĩa 4.4 (So sánh các VCB): Cho f(x) và g(x) 0 là hai VCB khi x x0. Xét f( x ) a >0và mẫu > 0 , lim k . a 0và mẫu 0 . -Nếu k thì ta nĩi f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x). -Nếu k 0, k thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc. Ký hiệu: fx()(). Ogx -Đặc biệt, nếu k 1 thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu: fx ( ) gx ( ). Ví dụ 4.2: Một số vơ cùng bé tương đương thường gặp (Xem Bảng 1). 38 41 IV. Vơ cùng bé (VCB): V. Vơ cùng lớn (VCL): Định nghĩa 4.1. Hàm số f(x) được gọi vơ cùng Định nghĩa 5.1. Hàm số f(x) được gọi vơ cùng bé khix x0 (x0 cĩ thể là vơ cùng) nếu lớn khix x0 (x0 cĩ thể là vơ cùng) nếu limf ( x ) 0. x x limf ( x ) . 0 x x0 Ví dụ 4.1: Ví dụ 5.1: axx)sin ,tan ,1 cos x là VCB khi x 0. 1 1 3 a) , , cot x là VCL khi x 0. bx) 3sin 2 x là VCB khi x 0. xsin x c) cos x , cot x là VCB khi x . 2 x 1 2 bx) , 2 x 1 là VCL khi x . d) là VCB khi x . x2 2 39 42 7
8. 22/09/2017 Định nghĩa 5.2 (So sánh các VCL): Cho f(x) và g(x) 6.1. Khử dạng 0 và : là hai VCL khi x x . 0 0 Dùng hàm tương đương dựa vào định lý sau đây Xét f( x ) lim k . x x 0 g( x ) 1) limfxL ( ) \{0} fxL ( )  . -Nếu k 0 thì ta nĩi f(x) là VCL bậc thấp hơn g(x). x x0 Ký hiệu: fx () ogx () , nghĩa là f ( x ) chậm hơn g(x). fx() gx () 2) limfx ( ) L . -Nếu k thì ta nĩi f(x) là VCL bậc cao hơn g(x). limgx ( ) L x x0 x x0 -Nếu k 0, k thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCL cùng fxgx().() fxgx1 (). 1 () bậc. Ký hiệu: fx() fx1 () fx()(). Ogx 3) f( x ) f1( x ) -Đặc biệt, nếu k 1 thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCL tương gx() gx1 ()  gx() gx1 () đương. Ký hiệu: fx ( ) gx ( ). 4)fx ( ) gx ( ) n fx ( )  n gx ( ) nếu căn cĩ nghĩa. 43 46 Tính chất 5.3: Quan hệ~ trong VII và VIII là Chú ý 6.1: quan hệ tương đương, nĩ cĩ 3 tính chất sau Ta khơng thể viếtf( x ) 0 hay f( x )  1)fx ( ) fx ( ). ngay cả khif( x ) 0 hayf( x ) vì điều này vơ nghĩa. 2)fx ( ) gx ( ) gx ( )  fx ( ).  fx() gx () fx() fx1 () fxgx () ()  fxgx 1 () 1 () 3) fx ( ) hx ( ). gx() hx () gx() gx1 () fx () gx ()  fx 1 () gx 1 () 44 47 Ví dụ 6.1: Cho 2 và gx( ) x2 3. VI. Phương pháp tính limf ( x ): fx( ) x 5 x x0 Tính: Thế x vào f(x) 0 f( x ) a) lim . b) lim fx ( ) gx ( ) . x g( x ) x con số cụ thể vơ định biện luận Ví dụ 6.2: Tính các giới hạn sau xem ? x2 2 x x2 4 0 0 0 1) lim . 2) lim . , ,0., ,0, ,1. x 0 3 x 2 2 0 x 3 x x 3 x 2 2 x2 x 3 2 3) lim (x 2)( x 5 x 1) khử 3 4) lim . x 2x x 1 x x( x2 2) 45 48 8
9. 22/09/2017 2x2 3 x 5 sin 2x Chú ý 6.3. (Quy tắc thay tương đương của 5) lim . 6)lim . tổng hai VCL): Cho f(x) và g(x) là hai VCL x x 0 5x 1 x khix sao cho 2 m n x 1 cos3x f() x ax ,() g x  bx 7)lim . 8)lim . x 0 arcsin 3x x 0 x2 Khi đĩ: axm nếu m n 7x arctan 1 2x 1 f( x ) g ( x ) bxn nếu m n 4 10)lim .  9)lim . m x 0 2x x 0 t an3x (a b ) x nếu m n , a b 0 e 1 ln(cosx ) ln(1 2x ) 12)lim . Nếum n, a b 0 thì ta khơng thể viết 11)lim3x . x 0 2 x 0 1 e x f( x ) g ( x ) 0. 49 52 Chú ý 6.2 (Quy tắc thay tương đương của Ví dụ 6.5: Tính tổng hai VCB): Cho f(x) và g(x) là hai VCB x2 4 2 xx 3 lim . khix 0 sao cho x 2 m n x 4 x f() x ax ,() g x  bx Khi đĩ: 6.2. Khử dạng : m axnếu m n Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng f( x ) g ( x ) bxn nếu m n liên hợp để đưa về dạng  0 m hoặc . (a b ) x nếu m n , a b 0 0 Ví dụ 6.6: Tính các giới hạn sau Nếum n, a b 0 thì ta khơng thể viết 1 4 2 a)lim 2 . b) lim xx 1 x . f( x ) g ( x ) 0. x 2 x 2 x 4 x 50 53 0 Ví dụ 6.3: 6.3. Dạng 0 . : biến đổi đưa về dạng hoặc . 0 2 4 2 afx)()2,() xgx  4 x fxgx () ()2.  x Ví dụ 6.7: Tính các giới hạn sau 4 4 4 1 1 2x 1 bfx)()2,() xgx 4 x fxgx () () 2. x a)lim2 2 1 . b) lim ( x 1)3 .    x 0 x 1 x x x x 2 Ví dụ 6.4: Tính 0 0 g( x ) 6.4. Dạng 0 , ,1 : Giới hạn cĩ dạng lim f ( x ) 2 3 x x0 x 3sin x 4sin x g( x ) g( x ) a) lim3 8 . Đặt a lim fx ( ) lna lim ln fx ( ) x 0 x x0 x x   5xx x 0 Tính 3x 5 x lna lim g ( x )ln f ( x ) b x x e e tanx sin x 0 b)lim . c)lim3 . b x 0 x 0 a e . x x 1 2 Ví dụ 6.8: Tính lim(cosx )x . x 0 51 54 9
10. 22/09/2017 Hàm số f(x) khơng liên tục tại x0 thì được gọi là gián đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau: f(x) khơng xác định tại x0.  f(x) xác định tại x0, nhưng limf ( x ) khơng tồn tại x x hoặc 0 lim f ( x ) khơng tồn tại §3. Hàm số liên tục x x0 hoặc lim fx ( ) lim fx ( ). xx 0 xx 0  f(x) xác định tại x0, lim f ( x ) tồn tại, nhưng x x0 limfx ( ) fx (0 ). x x0 55 58 Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x thì I. Hàm số liên tục tại một điểm: 0 f f g, f . g , ( g 0) cũng liên tục tại x0. Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định g trong một khoảng chứa x0. Ta nĩi: Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau sin 3x (i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu khix 0 a) fx ( ) x tại x0 0. lim fx ( ) fx (0 ). 3 khix 0 x x0 x2 1 khi x 1 (ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu 2 tại x 1. b) fx ( ) x 0 khix 1 lim fx ( ) fx (0 ). 2 x x0 2x 3 khi x 0 cfx) ( ) 1 khi x 0 tại x0 0. 2 x 3 khi x 0 56 59 Ví dụ 1.2: Tìm m để hàm số (iii) f(x) liên tục tại x0 nếu 3 ex 1 limfx ( ) fx (0 ). 2 khix 0 x x0 a) fx ( ) ln(1 x ) liên tục tại x0 0. Nĩi cách khác, f(x) liên tục tại x nếu thỏa 3 điều 2 0 1 m khi x 0 sau: x f(x) xác định tại x0. ekhi x 0 b) fx ( ) liên tục tại x0 0.  limf ( x ) tồn tại. xm khi x 0 x x0  limfx ( ) fx (0 ). x x0 57 60 10
11. 22/09/2017 II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn: Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b) khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a,b). Định nghĩa 2.2: f(x) liên tục trên (a,b) f(x) liên tục trên [a,b] lim f () x f () a x a limf ( x ) f ( b ) x b 61 Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] cĩ đồ thị là một đường liền nét (khơng đứt khúc) trên đoạn đĩ. a b a b Liên tục Khơng liên tục 62 Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng. Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đĩ. Định lý 2.6: f(x) liên tục trên [a,b]  c( ab , ) : fc ( ) 0. f( a ). f ( b ) 0 63 11