Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 3: Tích phân - Phan Trung Hiếu

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 3: Tích phân - Phan Trung Hiếu

1. 02/11/2017 Chương 3: Tích phân §1. Tích phân bất định GV. Phan Trung Hiếu §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Tích phân suy rộng LOG §4. Ứng dụng củaO tích phân trong kinh tế 2 Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu I. Nguyên hàm: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng D. D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D đều có dạng F(x) + C. F ( x ) f ( x ),  x D . Ví dụ 1.1:  x2 là nguyên hàm của 2x, vì (x2 ) 2 x .  x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì (x2 3) 2 x .  x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của 2x, vì (x2 C ) 2 x . 3 4 Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là 2 II. Tích phân bất định: thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất f()()()() x dx F x C F x f x cả các nguyên hàm của f trên D. 2 2 Tích phân bất định của f được ký hiệu là Ví dụ 2.1. 2x dx x C vì (x ) 2 x . f(), x dx trong đó : dấu tích phân. x : biến lấy tích phân. f(): x hàm lấy tích phân. f(): x dx biểu thức dưới dấu tích phân. 5 6 1
2. 02/11/2017 III. Tính chất: IV. Bảng tích phân cơ bản:  k.()() f x dx k f x dx với k là hằng số.  f()()()(). x g x dx f x dx g x dx Xem Bảng 3.  f ()(). x dx f x C  f( x ) dx f ( x ). 7 8 I. Công thức Newton-Leibniz: Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz). Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích §2. Tích phân xác định phân xác định của f từ a đến b là b f()()()() x dx F xb F b F a a a 9 10 II. Tính chất: III. Các phương pháp tính tích phân: a  f( x ) dx 0 Dạng 1: Tính tích phân bằng cách dùng các a công thức tích phân cơ bản, công thức a b  f()() x dx f x dx Newton-Leibniz. b a a b Ví dụ 3.1. Tính  k.().() f x dx k f x dx với k là hằng số b a a) x5 dx 20 b b b b) 2 x 1 dx  f()()()() x g x dx f x dx g x dx 3 0 a a a dx dx b c b c) d)  f()()() x dx f x dx f x dx với c nằm giữa a và b x2 1 2x a a c 2 1 b  f( x ) 0 trên [a,b] f( x ) dx 0. a 11 12 2
3. 02/11/2017 Các tính chất của tích phân bất định và xác Dạng 2: Tính tích phân bằng cách biến đổi định. hàm dưới dấu tích phân, đưa về tích phân cơ Hằng đẳng thức. bản. Các phép biến đổi hay dùng là Biến đổi lượng giác. Tích nhân phân phối Tổng. Nhân, chia lượng liên hiệp. a b a b  c c c m xa 1  nx m xn ;.;;. x a x b x a b x a b x b xb x b 13 14 Ví dụ 3.2. Tính Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp 1 2 x 1 2 a) 7 x dx b) ( x 1) xdx đổi biến số loại 1 2 5 cos x 0 Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp sao cho t biểu thức còn lại trong hàm số. (1 ex )2 2 x c) dx d) 2cos2 dx Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi 3x e 0 2 hàm số. 7 dx Tích phân dạng: I f u()() x u x dx e) tan2 xdx f ) x 2 x 3 3 B1 (đổi biến): Đặt t u() x dt u () x dx x2 1 1 x 2 3 dx g) dx h) B2 (thay vào tích phân): 4 x2 3 x 2 1 x 1 I f()()() t dt F t C F u x C 15 16 b Dấu hiệu đặt thông thường: Tích phân dạng: I f u()() x u x dx a Có Đặt B1 (đổi biến): Đặt t u() x dt u () x dx ax + b t = ax + b B2 (đổi cận): x a b căn t = căn t u(a) u(b) e x t ex , const 1 B3 (thay vào tích phân): ln x và t ln x x u() b I f() t dt 1 1 1 và 2 t u() a x x x (cận mới, biến mới). 17 18 3
4. 02/11/2017 Dấu hiệu đặt khi gặp biểu thức lượng giác: Dạng Đặt Dạng Đặt 1 1 có tan x và 2 t = tanx có arctanx và t = arctanx cos x 1 x2 1 có cot x và 2 t = cotx 1 sin x có arccotx và 2 t = arccotx 1 1 x có arcsinx và t = arcsinx 1 x2 f(sin x )cosx dx t sin x 1 có arccosx và t = arccosx 1 x2 f(cos x )sinx dx t cos x 19 20 Ví dụ 3.3. Tính Đặt 1 Dạng 20 3 2 a) x (1 x ) dx b) x 1 x dx 0 sinx sin x ex dx dx Thay c) d) cosx cos x x 2 t tan x e 1 x(2 ln x ) f không đổi dấu 1 1 1 4 etan x Thay sinx sin x e) sin dx f) dx t cos x x 2 x cos2 x f(sin x ,cos x ) dx 1/2 0 f đổi dấu arccos x 2 Thay cosx cos x g) dx 2 sin x t sin x 2 h) e cos xdx 1 x f đổi dấu 0 x Tổng quát t tan 2 21 22 Dạng 4: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến Chú ý: Khi tính tích phân hàm chứa căn, ta số loại 2 ưu tiên đặt t = căn hoặc nhân liên hiệp trước. Phương pháp (đổi biến): Nếu không được thì ta mới nghĩ đến đổi biến Đặt x u() t dx u () t dt Dấu hiệu đặt thông thường: loại 2. Có Đặt Ví dụ 3.4. Tính 1 1 2 2 2 2 2 u( x ) a sin t , t ; a) x 4 x b) x 2 x dx a u() x 2 2 0 0 a u2() x a 2 u( x ) , t 0;  ;0 sint 2 2 2 2 u( x ) a tan t , t ; u() x a 2 2 23 24 4
5. 02/11/2017 Dạng 5: Tính tích phân hàm hữu tỉ Mẫu có ()ax b n : Đặt t ax b. P() x 2 dx, P(x), Q(x) là các đa thức. Mẫu là tam thức bậc hai ax bx c : Q() x dx Vô nghiệm và tích phân có dạng , ta Phương pháp: ax2 bx c 2 2 2 Bậc tử bậc mẫu: chia đa thức. biến đổi ax bx c a u () x , rồi đặt Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t = u( x ) a tan t . một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta ()px q dx Vô nghiệm và tích phân có dạng ta tìm làm như sau 2 hệ số A, B sao cho ax bx c px q A.(Maâ~ u) B ax2 bx c ax 2 bx c ax 2 bx c 25 26 Có nghiệm kép x0 , ta phân tích Mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2: Ta phân tích 2 2 ax bx c a() x x0 mẫu thành tích dạng lũy thừa của nhị thức hay P()() x P x lũy thừa của các tam thức vô nghiệm và tìm các . 2 2 hệ số như sau ax bx c a() x x0 P() x ABC Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích 2 (x x )( x x )( x x ) x x x x x x ax bx c a( x x1 )( x x 2 ). 1 2 3 1 2 3 Tìm hệ số A, B sao cho P() x ABC P() x A B (x x )( x x )2x x x x() x x 2 . 1 2 1 2 2 a( x x1 )( x x 2 ) x x 1 x x 2 P() x A Bx C 2 2 (x x0 )( ax + bx + c ) x x 0 ax bx c trong đó ax 2 bx c 0 vô nghiệm. 27 28 P() x A B Cx D Ví dụ 3.5. Tính 2 2 2 2 3 1 ()()x x0 ax + bx + c x x 0() x x 0 ax bx c sin x 4x 3 a) dx b) dx P() x A Bx C Dx E 2 cos x 0 2x 1 2 2 2 2 2 (x x0 )( ax + bx + c ) x x 0 ax bx c() ax bx c xdx 4 2 (x 1) dx trong đó vô nghiệm. c) 3 d) ax bx c 0 (2x 1) 2 3 x 3 x 2 Đặc điểm: (x2 1) (x 2)2 -Mẫu là lũy thừa của nhị thức (x - x0): Tử là hằng. e) dx f) dx -Mẫu là lũy thừa của tam thức ax2 bx c vô nghiệm: Tử x3 3 x 2 4 x 12 x( x 1)2 là nhị thức. 2x2 3 x 11 Cách tìm các hệ số: Có bao nhiêu hệ số thì lần lượt cho g) dx x nhận bấy nhiêu giá trị thuộc TXĐ để lập hệ phương x3 x 2 3 x 5 trình. Từ đó, ta giải tìm các hệ số. 29 30 5
6. 02/11/2017 Dạng 6: Tính tích phân bằng phương pháp B2: Dùng công thức tích phân từng phần tích phân từng phần udv uv vdu Dấu hiệu: có sự xuất hiện của lô (ln, log); đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác); hoặc b b ax+b mũ (e ) liên hệ với nhau bởi phép nhân. udv uvb vdu. a Phương pháp: a a u f()() x du f x dx B1: Đặt dv g() xdx v Nguyên hàm của g(x) Đặt "" u dv theo thứ tự ưu tiên là “Nhất lô nhì đa tam lượng tứ mũ” (đứng trước thì đặt u, đứng sau thì đặt dv). 31 32 Ví dụ 3.6 Tính 1 a) x cos xdx b) x2 ex dx 0 e ln x c) dx d) x2 arccos xdx 2 1 x §3. Tích phân suy rộng 2 e) sin 2 x ln(2 cos x ) dx f) ex sin xdx 0 33 34 Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân I. Các loại tích phân suy rộng: suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy Loại 1: cho biết nó thuộc loại nào. b 1 dx f();();(). x dx f x dx f x dx a) dx b) x2 2 a 1 x 1 1 Loại 2: /2 sin xdx dx b c) d) x f() x dx trong đó lim f ( x ) với c [ a , b ]. 0 cos x 1 x c a 1 dx e). 2 x 35 36 6
7. 02/11/2017 TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)): II. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: Phương pháp: TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn -Chú ý những điểm suy rộng: , điểm tại điểm suy rộng của tích phân xác định để c [,] a b mà limf ( x ) . tính tích phân. x c TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu -Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả phân xác định để tính tích phân. hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm. Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay phân kỳ. 37 38 Chú ý 2.1: b b  Điểm suy rộng tại a limf ( x ) x a  f( x ) dx lim f ( x ) dx a b b a f( x ) dx lim f ( x ) dx b t a a t  f( x ) dx lim f ( x ) dx b a a Điểm suy rộng tại b limf ( x ) x b b b t  f() x dx f () x dx f (), x dx b (0,) tùy ý f( x ) dx lim f ( x ) dx t b a a b a a c Điểm suy rộng tại a và b  f()()(), x dx f x dx f x dx c tùy ý b c b c f()()(),(,) x dx f x dx f x dx c a b a a c 39 40  Điểm suy rộng tại c (,)a b Định lí 2.2: bc b fxdx()()() fxdx fxdx a) f() x dx hội tụ và g() x dx hội tụ a a c a a -Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn  f()() x g x dx hội tụ và tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược a lại là tích phân phân kỳ.  f()()()(). x g x dx f x dx g x dx -Trong công thức ,, , nếu cả 2 tích a a a phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. b) f() x dx hội tụ và k là một hằng số a k.() f x dx hội tụ và k.().() f x dx k f x dx a a a 41 42 7
8. 02/11/2017 Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)): phân sau (trong trường hợp hội tụ) Phương pháp: dx 0 ln x -Chú ý những điểm suy rộng: , điểm a) b) e x dx c) dx 2 c [,] a b mà limf ( x ) . 1 x 1 x x c -Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã dx 1 dx d) xe x dx e) f ) có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên 1 x2 2 0 0 1 x hàm. /2 sin xdx 1 ex dx 2 dx g) h) i) 1 cos x x 2 0 1 e 1 2 4 x 43 44 Định lí 2.2: f(x), g(x) dương, liên tục trên [,)a Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên [,) a và f() x Xét lim k . f()() x g x khi x x i) g() x 0 k : thì f(),() x dx g x dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. f() x dx và g() x dx a a a a ii) k 0: g() x dx hội tụ f() x dx hội tụ. cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. a a f() x dx phân kỳ g() x dx phân kỳ. Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên a a ( ,b ], [ a , b ),( a , b ] iii) k : f() x dx hội tụ g() x dx hội tụ. a a g() x dx phân kỳ f() x dx phân kỳ. a 45 a 46 Chú ý 2.4: Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân Với , ta có 0 a dx 2xdx a) b) hội tụ n 1 x3 x 1 5 1 1 1 x x 1 dx xn (x 5) dx dx a c) d) phân kỳ n 1 3 3 3 1 x1 x 0 x  Với 0 b , ta có 1 1 ln(1 x ) dx dx e) f ) b hội tụ n 1 3/2 sin x 1 x 0 dx 0 n 0 x phân kỳ n 1 47 48 8
9. 02/11/2017 Ví dụ 2.3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân Định lí 2.5: [,)[,)a b a 2 2 [a , b ), lim f ( x ) x x 5ln x x b) dx 0 f ( x ) g ( x ) với mọi x trên x b a) 2 dx 3 x 2x x 1 (,](,]a b b 0 e 1 (a , b ], lim f ( x ) 1 1 1 ln x Khi đó: x a c) xex2 dx d) dx x b b 0 0 i) g() x dx hội tụ f() x dx hội tụ. a a b b ii) f() x dx phân kỳ g() x dx phân kỳ. a a 49 50 Chú ý 2.6: Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu x 1, ta có x2 x x 1. Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định  x 1, ta có lnx x ex . lý sau  x 0, ta có ex 1. Tích phân suy rộng của f () x hội tụ  x e, ta có lnx 1. Tích phân suy rộng của f () x hội tụ.  x 2, ta có ln(1 x ) 1. Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt đối. Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân Chú ý kết quả: sinXXX 1; cos 1,  . 1 x 1 x2 e dx Ví dụ 2.5: Khảo sát sự hội tụ của tích phân a) e dx b) x 1 0 sin x 6 ln x dx c) dx x3 4 1 3 (x 3) 51 52 I. Xác định hàm tổng theo biên tế: Giả sử biến số kinh tế y mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng tiêu dùng, ) là hàm số được xác định theo giá trị của biến số x: §4. Ứng dụng của tích phân y = f (x) Nếu ta biết được hàm giá trị cận biên My f () x thì ta trong kinh tế có thể xác định được hàm tổng y = f (x) thông qua phép toán tích phân y Mydx f'( x ) dx Hằng số C trong tích phân bất định trên được xác định nếu ta biết giá trị của y tại một điểm x0 nào đó: y0 = f(x0). 53 54 9
10. 02/11/2017 Ví dụ 1.1: Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là II. Tính thặng dư: 0,2Q MC = 8.e Trong kinh tế học: và chi phí cố định là FC = 50. Tìm hàm tổng chi -Tổng tất cả các giá trị hưởng lợi của mọi người phí C(Q) và chi phí khả biến VC(Q). tiêu dùng được gọi là thặng dư của người tiêu dùng (Consumers’ Surplus), ký hiệu là CS. -Tổng tất cả các giá trị mà mọi nhà sản xuất được hưởng lợi khi giá cân bằng là thặng dư của nhà sản xuất (Producers’Surplus), ký hiệu là PS. 55 56 Giả sử: Ví dụ 2.1: Biết hàm cung, hàm cầu của một loại Điểm cân bằng của thị trường là (P0,Q0), nghĩa hàng hóa được cho bởi là khi giá P = P thì Q =Q 0 S D QPS 1, P(QS) là hàm cung (đảo). QPD 113 . P(QD) là hàm cầu (đảo). Khi đó: Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và Q0 nhà sản xuất đối với hàng hóa đó. CS P(). Q dQ P Q DD 0 0 0 Q0 PS P.() Q P Q dQ 0 0 SS 0 57 58 10
11. BẢNG 3. TÍCH PHÂN CƠ BẢN (1) 0dx C (2) dx x C Với A 0 : x 1 1 (Ax B ) 1 (3) x dx C (Ax B ) dx  C ( 1) 1 A 1 dx dx 1 (4) lnx C ( x 0) lnAx B C ( Ax B 0) x Ax B A dx 1 dx 1 1 (5) C .C 2 2 x x (Ax B) A Ax B dx 1 dx 1 1 (6) C  C xn (n 1 )x n 1 (Ax B)nA (n 1 )(Ax B) n 1 dx dx 2 (7) 2 x C (x > 0) Ax B C (Ax + B > 0) x Ax B A n 1 n (8) nxm dx n x n m C n(Ax B)m dx  n (Ax B) n m C n m A n m 1 n 1 1 n (9) dx n xn m C dx n (Ax B)n m C n xm n m n (Ax B)m A n m dx1 ax b (10) ln C (ax b)(cx d) ad bc cx d 1 (11) ex dx e x C e()()Ax B dx e Ax B C A a x 1 a()Ax B (12) ax dx C a()Ax B dx  C(0 a 1) ln a Aln a 1 (13) cosxdx sin x C cos(Ax B ) dx sin( Ax B ) C A 1 (14) sinxdx cos x C sin(Ax B ) dx cos( Ax B ) C A 1 (15) cotxdx ln sin x C cot(Ax B ) dx ln sin( Ax B ) C A 1 (16) tanxdx ln cos x C tan(Ax B ) dx ln cos( Ax B ) C A dx dx 1 (17) tan x C tan(Ax B ) C cos2 x cos2 (Ax B ) A dx dx 1 (18) cot x C cot(Ax B ) C sin2 x sin2 (Ax B ) A 11
12. dx1 x dx1 1 Ax B (19) arctan C ( k 0) arctan C 2 2 2 2 k x k k (Ax B) k A k k dx x dx1 Ax B arcsin C ( k 0) arcsin C (20) 2 2 k x k k2 (Ax B) 2 A k dx dx ln x x2 k C 2 2 ()Ax B k (21) x k 1 (k 0) ln (Ax B ) ( Ax B )2 k C A x k2 x (22) k2 x 2 dx k 2 x 2 arcsin C ( k 0) 2 2 k x k 2 (23) x2 k 2 dx x 2 k 2 ln x x 2 k 2 C 2 2 x k (24) k x2 dx k x 2 ln x k x 2 C 2 2 12