Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 4: Hàm nhiều biến

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 4: Hàm nhiều biến

1. 10/25/2015 Chương 4: Hàm nhiều biến GV. Phan Trung Hiếu §1. Hàm đa biến §1. Hàm đa biến §2. Giới hạn và liên tục §3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần §4. Cực trị của hàm hai biến §5. Tích phân bộiLOG trên hình chữ nhật §6. Ứng dụng trongO kinh tế 2 Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm số f, I. Định nghĩa: (x , x , , x ) nghĩa là tập các điểm 1 2 n sao cho Định nghĩa 1.1. Một hàm n biến là một quy f( x , x , , x ) biểu thức 1 2 n có nghĩa. Miền giá tắc đặt tương ứng mỗi bộ n số thực trị của f là tập các giá trị mà f nhận được. (x1, x2, , xn) với một số thực duy nhất, ký u f( x , x , , x ) Trường hợp n = 2, ta có hàm hai biến, thường hiệu là 1 2 n . Hay nói cách khác, z f(,) x y ánh xạ ký hiệu là . f: D n Trường hợp n = 3, ta có hàm ba biến, thường  u f(,,) x y z (,x x , , x ) u f (, x x , , x ) ký hiệu là . 1 2n 1 2 n được gọi là hàm n biến xác định trên D. 3 4 Ví dụ 1.1. Tìm miền xác định của các hàm số D là tập hợp những điểm nằm trong hay nằm sau trên đường tròn tâm (0,0) bán kính 3 2 a) f ( x , y ) x y sin( xy ). 2 2 b) f( x , y ) 9 x y . Giải 2 D 2 a) Miền xác định: Ví dụ 1.2. Cho hàm f ( x , y ) x y 1 . 2 2 2 2 b) f xác định 9 x y 0 x y 9 Tính f(1,1), f(0,-2). D( x , y )2 | x 2 y 2 9 Giải Miền xác định:  f (1,1) f (0, 2) 5 6 1
2. 10/25/2015 II. Đồ thị của hàm hai biến: III. Một số hàm hai biến số trong kinh tế: Đồ thị của hàm số 2 biến f(x,y) xác định trên D là 3.1. Hàm sản xuất: là hàm mô tả mối quan hệ phụ 3 thuộc của sản lượng vào vốn và lao động Q f(,) K L tập hợp tất cả các điểm (,,)x y z sao cho trong đó K: vốn; L: lao động. z f(,) x y và (,)x y D 3.2. Hàm tổng chi phí: C w K w L C Ví dụ 2.1. Đồ thị của một số hàm hai biến k L 0 trong đó wK : giá thuê một đơn vị vốn; wL : giá thuê một đơn vị lao động; C0 : chi phí cố định. 3.3. Hàm tổng doanh thu: R P (,) Q P f K L trong đó P là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm. 7 8 I. Giới hạn hàm hai biến: Định nghĩa 1.1: Cho hàm số z f(,) x y xác định 2 z f(,) x y trên D  . Ta nói hàm có giới hạn (,)x y là L khi (x,y) tiến về 0 0 nếu 0, 0:(,)xyD ,0(,)(,) xyxy fxyL (,) .      0 0   §2. Giới hạn và liên tục limf ( x , y ) L Ký hiệu là (,)(,)x y x y 0 0 Chú ý 1.2: (,)(,)x y x y 0 0 là khoảng cách từ điểm (x,y) đến (,)x y điểm 0 0 . 9 10 Chú ý 1.2: Giới hạn của hàm hai biến cũng có II. Tính liên tục của hàm hai biến: những tính chất tương tự như giới hạn của hàm một biến nhưng kỹ thuật tính toán nói chung 2.1. Liên tục tại một điểm: Hàm số z = f(x,y) (,)x y D phức tạp hơn và chúng ta không giới thiệu ở đây. liên tục tại điểm 0 0 nếu limf ( x , y ) f ( x , y ) (,)(,)x y x y 0 0 0 0 2.2. Liên tục trên một miền: Hàm số z = f(x,y) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. 11 12 2
3. 10/25/2015 I. Đạo hàm riêng cấp một: Xét hàm hai biến z = f(x,y) xác định trên miền D. Khi đó, f có hai đạo hàm riêng cấp 1 là f z f  : §3. Đạo hàm riêng và x  x  đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f x vi phân toàn phần (lấy đạo hàm theo biến x và xem y như là hằng số) f z f  : y  y  đạo hàm riêng theo biến y của hàm số f y (lấy đạo hàm theo biến y và xem x như là hằng số) 13 14 Ví dụ 1.1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các b)(,). f x y xy2 ye 2x 3 y hàm số sau Giải 3 2 4 4 a)(,). f x y x y x y y 2 2x 3 y f y y(2 x 3 y ) . e Giải x x 2 2x 3 y 2 2 3 y 2 y . e fx 3x y 4 x y . 3 4 3 f 2xy ( y ) . e2x 3 y y .( e 2 x 3 y ) f y 2x y x 4 y . y y y 2xy e2x 3 y 3 ye 2 x 3 y 15 16 Ví dụ 1.2: Cho f( x , y ) x2 y 3 2 x 3 y 1. Tìm và II. Đạo hàm riêng cấp hai: fx (1;0) f y (1;2). Giải Giả sử hàm hai biến z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số là f 2 2 x fx (1;0)  f  f f  () f f  () f xxx2 x x yy2 y y f y f y (1;2) y 2 f 2 f f  () f f  () f xyy  x x y yxx  y y x 17 18 3
4. 10/25/2015 3 2 2 Ví dụ 2.1: Cho f(,) x y x y y x . Tính các đạo Chú ý 2.1: Các đạo hàm fxy , f yx được gọi là các hàm riêng cấp hai của số f. đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai của hàm hai Giải biến f(x,y). Các đạo hàm này khác nhau về thứ fx f y tự lấy đạo hàm riêng theo từng biến x, y và do đó nói chung chúng khác nhau. Tuy nhiên, f f f f xx x x yy y y chúng có thể bằng nhau theo định lý sau đây Định lý về sự thay đổi thứ tự lấy đạo hàm (Định lý Schwarz): Nếu z = f(x,y) có các đạo fxy ()f f ()f x y yx y x hàm riêng cấp hai liên tục thì fxy f yx 19 20 III. Vi phân toàn phần của hàm hai biến: Vi phân toàn phân (vi phân cấp 1) của hàm 2 biến z = f(x,y) là df fx dx f y dy. Ví dụ 3.1: Cho f( x , y ) x2 3 xy y 2.Tính df, df(0,1). Giải §4. Cực trị của hàm hai biến fx f y df df (0,1) 21 22 Chú ý rằng, cực đại địa phương chưa chắc là I. Định nghĩa: cực đại toàn cục. Cực tiểu địa phương chưa 2 Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D  và chắc là cực tiểu toàn cục. (,)x y D điểm 0 0 . Khi đó: (,)x y f được gọi là đạt cực đại địa phương (cực đại) tại 0 0 D (,)x y nếu tồn tại lân cận   của 0 0 sao cho f(,) x y f (,),(,) x y x y . 0 0   (,)x y f được gọi là đạt cực tiểu địa phương (cực tiểu) tại 0 0 D (,)x y nếu tồn tại lân cận   của 0 0 sao cho f(,) x y f (,),(,) x y x y . 0 0   Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương. 23 24 4
5. 10/25/2015 II. Điều kiện cần: III. Điều kiện đủ: 2 Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D  Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai (,)x y và f có các đạo hàm riêng cấp một. Nếu hàm liên tục trên lân cận của điểm dừng 0 0 . Đặt (,)x y D f f số f đạt cực trị địa phương tại 0 0 thì (,) x yxx xy f f f f f f xx yy yx xy f( x , y ) 0 yx yy x 0 0 (*). (x , y ) 0 0 0 (x , y ). f( x , y ) 0 i) Nếu thì f đạt cực tiểu tại 0 0 y 0 0 f( x , y ) 0 xx 0 0 (,)x y Những điểm 0 0 thỏa (*) được gọi là điểm (x , y ) 0 ii) Nếu 0 0 thì f đạt cực đại tại (x , y ). dừng. f( x , y ) 0 0 0 xx 0 0 25 26 (x , y ) 0 (x , y ). iii) Nếu 0 0 thì f không đạt cực trị tại 0 0 IV. Cách tìm cực trị hàm hai biến: (x , y ) 0 iv) Nếu 0 0 thì ta không có kết luận tổng Bước 1 (Tìm điểm dừng): quát. f, f Tính x y f 0 x Xét hệ f 0 . Giải hệ này ta được các điểm dừng y x,. y k k Bước 2 (Tìm ): f,,, f f f Tính xx yy xy yx f f (x , y )xx xy f . f f . f ( x , y ). Tính f f xx yy yx xy k k yx yy 27 28 Bước 3 (Kết luận): Ví dụ 3.1: Tìm cực trị của hàm số f( x , y ) x3 3 xy 2 3 y 2 15 x 2 x, y 0 k k x, y f đạt cực tiểu tại k k . Giải f x, y 0 D 2 xx k k Miền xác định: f x, y 0 x k k x, y k k f f x, y 0 f đạt cực đại tại . y xx k k f 0 x x, y 0 x, y f 0 k k f không đạt cực trị tại k k . y x x  y  y Ta được 4 điểm dừng: 29 30 5
6. 10/25/2015 Tại (-1;-2): f xx ( 1, 2) f yy f xy f f Tại ( 5,0): (,)x y xx xy 6 5 0 f f (5,0) 260,490 yx yy 0 6 5 6 Tại (-1;2): f ( 5,0) 6 5 0 6 12 xx ( 1,2) 144 0 12 0 f đạt cực tiểu tại ( 5,0) . f không đạt cực trị tại (-1;2). 31 32 ( 5,0): Tại IV. Cực trị có điều kiện: ( 5,0) Xét bài toán tìm cực trị của hàm z = f(x,y), với điều kiện g( x , y ) 0 (*). f ( 5,0) Cách 1 (Phương pháp khử biến số): xx Bước 1: Từ điều kiện (*), suy ra được y = h(x) hoặc x = h(y). Bước 2: Thế biểu thức ở bước 1 vào z = f(x,y) ta được hàm 1 biến. Sau đó, tìm cực trị của hàm 1 biến. 33 34 f(,) x y xy 1 Ví dụ 4.1: Tìm cực trị của hàm số với điều BBT: x y 1. kiện x 2 Giải 0 2 Miền xác định: D F’ x y 1 y1 x , CĐ Thế vào hàm f(x,y), ta được F F() x x(1 x ) x x2 . 1 1 1 F() x 1 2x . x y 1 . F đạt cực đại tại 2 2 2 F ( x ) 0 1 2x 0 1 1 1 ,. x f đạt cực đại tại 2 2 2 35 36 6
7. 10/25/2015 Cách 2 (Phương pháp nhân tử Lagrange): Bước 3 (Tìm ): L L g Bước 1: Lập hàm Lagrange xx xy x L(,,)(,)(,) x y f x y g x y (,,)x y L L g    yx yy y g g 0 Bước 2 (Tìm điểm dừng): x y LL, Bước 4 (Kết luận): Tính x y (x , y , ) 0 L 0 k k k x  f đạt cực tiểu thỏa điều kiện x, y L 0 tại k k . Xét hệ y . Giải hệ này ta được các điểm dừng x, y . (x , y , ) 0 g( x , y ) 0 k k ứng với k k k k f đạt cực đại thỏa điều kiện x, y tại k k . (x , y , ) 0 : k k k không có kết luận tổng quát. 37 38 f( x , y ) 6 4 x 3 y L 0 4 2x 0 Ví dụ 4.2: Tìm cực trị của hàm số x  2 2 với điều kiện x y 1. L 0 3 2y 0 Giải y  2 2 Miền xác định: D 2 g( x , y ) 0 x y 1 x2 y 21 x 2 y 2 1 0 2 2 5 5 x x Đặt   2 2   2 2 g( x , y ) x y 1 3 3 4 4 y y x x L f g6 4 x 3 y ( x2 y 2 1) 2 2 5  5     4 9 25 3 3 1 2 L 4 2 x 2 2  y y x  4 4 5 5   L 3 2 y y  39 40 5 4 3 ,,x y L L g 2 0 2x Tại  thì xx xy x  2 5 5 L L g0 2 2 y 5 0 8 / 5 yx yy y  g g 0 2x 2 y 0 0 5 6 / 5 20 0 x y 5 4 3 8 / 5 6 / 5 0 ,,x y Tại  2 5 5 thì 4 3 f đạt cực đại thỏa điều kiện tại ,. 5 5 5 0 8 / 5 0 5 6 / 5 20 0 8 / 5 6 / 5 0 4 3 f đạt cực tiểu thỏa điều kiện tại ,. 5 5 41 42 7
8. 10/25/2015 I. Tích phân bội hai: f(,) x y dxdy  2 §5. Tích phân bội :miền lấy tích phân, bị chặn trong trên hình chữ nhật Tính chất: 1) f g dxdy f dxdy g dxdy    2) f dxdy f dxdy   43 44 3 5 (x 2 y ) dxdy . II. Tích phân lặp: Ví dụ 2.1. Tính 2 1 b d b d fxydydx(,)(,) fxydydx Giải x 5 a c a c 3 3 5 x 2 d b d b (x 2 y ) dxdy 2xy dy fxydxdy(,)(,) fxydxdy 2 2 1 2 x 1 c a c a 3 25 1 Chú ý: 10y 2 y dy 2 2  Trong tính trước. 2  f(,) x y dy: tích phân theo y, xem x là hằng. 32.  f(,) x y dx: tích phân theo x, xem y là hằng. 45 46 (2x y ) dxdy III. Tích phân bội trên hình chữ nhật: Ví dụ 3.1. Tính với  là hình chữ nhật  [ 2,3] [0,2]. f(,) x y dxdy Tính tích phân trên miền hình Giải chữ nhật:   (x , y ): 2 x 3, 0 y 2  (,):,x y a x b c y d Cách 1 (y trong, x ngoài): 3 2 Cách tính: (2x y ) dxdy (2x y ) dy dx b d d b  2 0 fxydxdy(,)(,)(,) fxydydx fxydxdy y 2 3 2 3 y a c c a 2xy dx (4x 2) dx 20.  2 2 2 y 0 47 48 8
9. 10/25/2015 Chú ý 3.1: Cách 2 (x trong, y ngoài): b d hxgydxdy( ). ( ) hxdx ( ) . gydy ( ) (2x y ) dxdy a c   xy2 dxdy Ví dụ 3.2. Tính x 2 1 , với  là hình  chữ nhật giới hạn bởi x 0, x 1, y 3, y 3. Giải 49 50  (x , y ) : 0 x 1, 3 y 3 2 xy 1x 3 I dxdy dx. y2 dx x 2 1 x2 1  0 3 II. 1 2 3 3 y3 1 I y2 dx (33 ( 3) 3 ) 18. §6. Ứng dụng trong kinh tế 2 3 3 3 3 1 x 1 I dx ln2 1 x2 1 2 (Đổi biến) 0 Vậy: I 9ln2 51 52 I. Cực trị toàn cục của hàm hai biến: II. Tìm mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận: Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai Một doanh nghiệp tiến hành sản xuất 2 loại sản phẩm (,)x y liên tục trên lân cận của điểm dừng 0 0 . Đặt trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (là điều kiện nhà (x , y ) 0 sản xuất phải bán sản phẩm với giá do thị trường quyết 0 0 ,(,)x y D i) Nếu f ( x , y ) 0  định). Cho biết giá bán của 2 loại sản phẩm đó trên thị xx 0 0 trường là PP1, 2 và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị (x , y ). thời gian là . Hãy tìm mức sản lượng của thì f đạt cực tiểu toàn cục (GTNN) tại 0 0 CCQQ 1, 2 (x , y ) 0 mỗi loại sản phẩm trong một đơn vị thời gian để doanh 0 0 ,(,)x y D nghiêp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa). ii) Nếu f ( x , y ) 0  xx 0 0 (x , y ). thì f đạt cực đại toàn cục (GTLN) tại 0 0 53 54 9
10. 10/25/2015 Cách giải: Doanh thu của doanh nghiệp là: RPQPQ. 1 1 2 2 III. Phân phối sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận: Lợi nhuận của doanh nghiệp là: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm R C PQ1 1 PQ 2 2 C(Q,Q). 1 2 và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị trường khác nhau với Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị lớn nhất. giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn Ví dụ 2.1: Giả sử doanh nghiệp sản xuất hai loại sản vị thời gian là CCQ () , trong đó QQQ 1 2 , hàm cầu phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá bán hai theo giá của loại sản phẩm đó đối với thị trường thứ nhất loại sản phẩm này trên thị trường lần lượt là PP60, 75. 1 2 và thị trường thứ hai là QDP1 1 1 và QDP2 2 2 . Hãy Được biết tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để doanh này phụ thuộc vào mức sản lượng Q1, Q2 của mỗi loại nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa). sản phẩm và được cho bởi biểu thức CCQQQQQQ, 2 2 1 2 1 1 2 2 Hãy tìm mức sản lượng của mỗi sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất 55 56 Cách giải: Ví dụ 3.1: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một QDP 1 1 1 loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị Xét hệ QDP2 2 2 trường khác nhau với giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là PPQ1 1 1 Biến đổi đưa về CQQ 20 15 2 PPQ 2 2 2 hàm cầu theo giá của loại sản phẩm đó đối với thị Doanh thu của doanh nghiệp là: RPQPQ. 1 1 2 2 trường thứ nhất và thị trường thứ hai lần lượt là Lợi nhuận của doanh nghiệp là: 325 PP1 425 2 QQ1 ,. 2 R C PQ PQ C(Q,Q). 4 5 1 1 2 2 1 2 Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị lớn nhất. doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. 57 58 Cách giải: IV. Lựa chọn đầu vào để tối đa hóa lợi nhuận: Tổng chi phí là: C = wK.K + wL.L + C0. Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm Doanh thu của doanh nghiệp là: R = P. Q(K,L). với hàm sản xuất là Q = Q(K,L), trong đó Lợi nhuận của doanh nghiệp là: K: lượng vốn, L: lượng lao động được sử dụng để sản R C P.Q(K,L) (wK .K w.L L C). 0 xuất. Tìm K và L để đạt giá trị lớn nhất. Cho biết giá của sản phẩm trên thị trường là P, giá vay Ví dụ 4.1: Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản một đơn vị vốn là wK, giá thuê một đơn vị lao động là wL xuất là Q = K1/3.Q1/3 (K>0, L>0). Doanh nghiệp đó phải và các chi phí cố định khác là C . Trong một đơn vị thời 0 vay vốn K để sản xuất với lãi suất wK = 0,02, và tiền gian, hãy xác định các yếu tố đầu vào (K,L) để doanh thuê nhân công wL = 1. Giả sử giá thị trường của sản nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa). phẩm là P = 3. Hỏi doanh nghiệp đó cần lượng vốn vay K và lượng nhân công cần thuê L là bao nhiêu để lợi nhuận lớn nhất? 59 60 10
11. 10/25/2015 Ví dụ 5.1: Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường V. Tối đa hóa lợi ích của người tiêu dùng: với giá của mỗi đơn vị hàng hóa X, Y lần lượt là 5USD Một người tiêu dùng định sử dụng hết số tiền M để mua và 20USD. Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = (x+3)y sắm hai loại hàng hóa X và Y. Cho biết giá của hai loại với x là biến số chỉ lượng hàng hóa X và y là biến số chỉ hàng đó là và hàm lợi ích của hai loại hàng đó đối lượng hàng hóa Y. Hãy xác định khối lượng mỗi loại PP1, 2 với người tiêu dùng là U = U(x,y), với x là biến số chỉ hàng hóa mà người tiêu dùng đó nên mua sao cho giá trị lượng hàng hóa X và y là biến số chỉ lượng hàng hóa Y. sử dụng là lớn nhất trong điều kiện ngân sách dành cho Hãy xác định khối lượng mỗi loại hàng hóa mà người tiêu dùng là 185USD. tiêu dùng đó nên mua sao cho giá trị sử dụng là lớn nhất (tối đa). Cách giải: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi ích U U( x , y ), x 0, y 0 với điều kiện P x P y M. 1 2 61 62 Ví dụ 6.1: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có VI. Cực tiểu hóa chi phí khi sản lượng cố định: hàm sản xuất là Q = K(L+5). Biết rằng giá vay một đơn Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm vị vốn là wK = 5USD, giá thuê một công nhân là wL = với hàm sản xuất là Q = Q(K,L). Cho biết giá vay một 10USD. Giả sử doanh nghiệp nhận được đơn đặt hàng đơn vị vốn là wK, giá thuê một đơn vị lao động là wL và sản xuất Q=5000 sản phẩm. Hãy xác định lượng vốn và lượng nhân công để doanh nghiệp sản xuất ra 5000 sản các chi phí cố định khác là C0. Giả sử, doanh nghiệp lập phẩm đó với tổng chi phí bé nhất. kế hoạch sản xuất một lượng sản phẩm cố định là Q0. Hãy xác định các yếu tố đầu vào (K,L) để doanh nghiệp sản xuất ra Q0 sản phẩm đó với tổng chi phí bé nhất (tối thiểu). Cách giải: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm tổng chi phí C w K w L C, K 0, L 0 KL 0 với điều kiện Q(K,L)= Q0 63 64 11
12. Bài tập-Toán cao cấp C1 (Chương 3) BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1: Tính các đạo hàm riêng cấp một và vi phân toàn phần cấp một của các hàm số sau ĐS: ( , )2 2 3 5 4 6 a) f x y x y xy x y df (2 x 3 y 5) dx (2 y 3 x 4) dy x f(,) x y x2 y x y 2 b) df (2 xy y ) dx x dy 2 y 2 2 x y x2 y 2 x 2 y 2 c) z e dz (2 xe ) dx (2 ye ) dy x22 x 2 z x2 ln( x 2 y ) dz 2 x ln( x 2 y ) dx dy d) x2 y x 2 y zsin( x y ) cos( x y ) e) dz (cos( xy ) sin( xydx )) (cos( xy ) sin( xydy )) Bài 2: x f( x , y ) arctan a) Tính các đạo hàm riêng cấp một của hàm số y tại điểm (1;2). ĐS: 2/5; -1/5. x 3 4 z dz(1; 2) dx dx b) Cho 2 2 . Tính . ĐS: . x y 25 25 Bài 3: 2 2 a) Cho hàm số u 6 x y . Tính A 2 u x (2,1) u y (2,1) . ĐS: 5. 2z  2 z b) Cho hàm số z yln(1 x2 y 2 ). Tính B = (2,1) (2,1) . ĐS: 1/3. x2  x  y Bài 4: z xy yln x . xz yz y(1 ln x ). a) Cho hàm số Chứng minh rằng x y x2 x 1 1 z z x3 2 2  b) Chứng tỏ rằng hàm z thỏa mãn hệ thức x y . 2y 2 x y x  y y y x c) Cho hàm số z xy xe . Chứng minh rằng x z x y z y xy z . x x d) Cho hàm số u ye y . Chứng minh rằng y2 u u u u. xxy xy yy 2z 2 z 2 2   0 e) Hàm hai biến z ln( x 2 y ) có thỏa mãn hệ thức 2 2 không? x  y Bài 5: Tìm cực trị của các hàm số sau ĐS: f( x , y ) x2 y 2 2 x 4 y 6 a) CĐ tại (1,2) f( x , y ) x2 3 y 4 4 y 3 12 y 2 b) không đạt cực trị tại (0,0), CT tại (0,1); (0,-2) 1 f( x , y ) ( x4 y 4 ) ( x 2 y 2 ) xy 1 ( 3, 3) c) 4 CĐ tại (0,0),(1,-1),(-1,1), CT tại 2 2 3 4 25 d) f(,) x y x y với điều kiện x y CT tại (3,4) 2 2 e) f( x , y ) 1 x y với điều kiện x y 1 CĐ tại (1/2,1/2) 2 2 f) f( x , y ) 8 x 15 y 28 với điều kiện 2x 3 y 107 CĐ tại (4,5), CT tại (-4,-5) 12 GV. Phan Trung Hiếu
13. Bài tập-Toán cao cấp C1 (Chương 3) Bài 6: Tính các tích phân sau ĐS: x2 ydxdy x2, x 4, y 1, y 5. a) ,  là hình chữ nhật giới hạn bởi 224  (6x2 y 3 5 y 4 ) dxdy (x , y )2 | 0 x 3, 0 y 1 b) ,  . 21/2  1 dxdy [3,4] [1,2] ln(25 / 24) c) ()x y 2 ,  .  2 1 xyex y dxdy [0,1] [0,2] (e2 3) d) ,  . 2  xsin y e cos ydxdy 0x , 0 y (e 1)( e 1) e) ,  là hình chữ nhật 2 .  x dxdy [0,1] [0,1] 2ln2 1 f) 1 xy ,  .  Bài 7: Một doanh nghiệp sản xuất hai lọai sản phẩm với hàm tổng chi phí trong một đơn vị 2 2 thời gian là CCQQQQQQ 1, 2 2 1 2 1 2 2 , trong đó Q1 và Q2 là sản lượng của sản phẩm thứ nhất và thứ hai. Cho biết giá bán hai sản phẩm đó là PP1 6, 2 4 . Hãy tìm mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận lớn nhất trong sản xuất. Q 1 Q 1 ĐS: 1 , 2 , max 5 . Bài 8: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí trong 2 2 một đơn vị thời gian là CQQQQ 1 2 1 2 2 . Cho biết hàm cầu theo giá của hai loại sản phẩm là QPP1 40 2 1 2 đối với sản phẩm thứ nhất và QPP2 20 1 2 đối với sản phẩm thứ hai. Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn Q 5 Q 10 nhất. ĐS: 1 , 2 , max 550 . Bài 9: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị trường khác nhau với giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn 2 vị thời gian là CQQ 30 20, trong đó QQQ 1 2 với Q1 là lượng hàng cung cấp cho thị trường thứ nhất và Q2 là lượng hàng cung cấp cho thị trường thứ hai. Giả sử hàm cầu của mỗi loại sản phẩm đó đối với thị trường thứ nhất là QP1 310 1 và thị trường thứ hai là QP2 235 0,5 2 . Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để doanh nghiệp Q 40 Q 60 đạt lợi nhuận lớn nhất. ĐS: 1 , 2 . Bài 10: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là QKL ( 10). Biết rằng giá vay một đơn vị vốn là wK 10USD, giá thuê một đơn vị nhân công là wL 40USD . Giả sử doanh nghiệp nhận được đơn đặt hàng sản xuất Q=10000 sản phẩm. Hãy xác định lượng vốn và lượng nhân công để doanh nghiệp sản xuất ra 10000 sản phẩm đó với tổng chi phí bé nhất. ĐS: K 200 , L 40 . Bài 11: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là CQQ 3201 480 2 300 . Cho biết hàm cầu theo giá của hai loại sản phẩm là QPP1 800 2 1 2 đối với sản phẩm thứ nhất và QPP2 960 1 2 đối với sản phẩm thứ hai. a) Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. Q 320 Q 400 ĐS: 1 , 2 . b) Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa với điều kiện tổng chi phí trong một đơn vị thời gian của doanh nghiệp là 166700. 13 GV. Phan Trung Hiếu