Bài giảng Toán cao cấp - Chương 8: Phương trình vi phân

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 8: Phương trình vi phân

1. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân §1. Phương trình vi phân cấp 1 VD 1. Cho phương trình vi phân (*). §2. Phương trình vi phân cấp 2 yx 0 x 2 Xét hàm số yC , ta có: §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 2 thỏa phương trình (*). 1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 yx 0 x 2 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng Suy ra yC là nghiệm tổng quát của (*). tổng quát F(x,yy, )0 (*). Nếu từ (*) ta giải được 2 2 theo y thì (*) trở thành y f(xy,). x Thế xy 2,1 vào yC , ta được: • Nghiệm của (*) có dạng y yx() chứa hằng số C được 2 gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện 2 y00 yx() x cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm Cy 11 là nghiệm riêng của (*) ứng với 2 tổng quát ta được giá trị cụ thể và nghiệm lúc này C0 điều kiện đầu y(2)1 . được gọi là nghiệm riêng của (*). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 22 d(1 x)dy(1) 1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly 2C 11 xy22 Ø Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: 22 f(x)dx g(y)dy 0 (1). ln(1 x) ln(1 yC)2 22 Ø Phương pháp giải ln(1 x)(1 yC)ln . 1 Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát: Vậy (1 x22)(1) yC. f(x)dx g(y).dyC VD 3. Giải phương trình vi phân y xyy(2). xdxydy VD 2. Giải phương trình vi phân 0. 22 Giải. dy 11 xy y xy(y 2) xyy(2) Giải. Ta có: dx xdxydyxdxydy dy 11 0 C xdx dy2xdx 1 x21 y2 11 xy22 yy( 2) yy 2 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân yy2 x 2 VD 5. Giải ptvp 2 thỏa điều kiện 1 . ln. x C Ce . xy yy y(1) yy 22 2 22dy VD 4. Giải ptvp 23 . Giải. xy y y x yy x(y 1)dx (x 1)(y 1)0dy dx 2 Giải. xy 1 dydx 11 dx pt dx dy 0 dy 3 2 x 1 y 1 yy x y 1 yx 1dx(3 1)2 1 dyC 3 yy 11 31x 1 y ln lnx C lnln Cx 1 3 yy lnx 1 y 2ln1yC (*). 3 y 1 Cxy 3 x 1 Thay 1 vào (*) ta được . ln 33Cy x3 1 C(ye1).63 y xy 1, y 1 xy (y 1)6 2 1
2. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 b) Phương trình vi phân đẳng cấp a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: • Hàm hai biến f(xy,) được gọi là đẳng cấp bậc n nếu y f(xy,) (2). với mọi k 0 thì f(kx,ky) kn f(xy,). Trong đó, f(xy,) là hàm số đẳng cấp bậc 0. Chẳng hạn, hàm số: Phương pháp giải xy y f(xy,) là đẳng cấp bậc 0, Bước 1. Biến đổi (2) y . 23xy x y 43x2 xy Bước 2. Đặt u y uxu . f(xy,) là đẳng cấp bậc 1, x 5xy dudx Bước 3. (2) u xuu () f(x,y) 32x2 xy là đẳng cấp bậc 2. ()uux (u)0 ux (đây là ptvp có biến phân ly). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân y 22 x xyy y x VD 6. Giải phương trình vi phân y . u lnx(u 1) C x 1. Ce . xy x 2 y yy x 1 Vậy y xCe. . x22 xyy xx Giải. yy . xy xyy VD 7. Giải phương trình vi phân y xy y x với điều kiện đầu . Đặt u y uxu . y(1)0 x 2 Giải. x y1 uy 11 u uduu y u xuu , pt u xux x y1 ux udxu du11 u2 udx x du ududx 1 dx 22 01 duC dx1 ux 11 uu u 11x ux Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1 2 1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần arctgu ln(1 u) ln xC • Cho hai hàm số và các đạo hàm riêng 2 P(x,y),Q(xy,) 22 của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện x yy (*). ln x arctgC Q// P, (x,)yD. Nếu tồn tại hàm u(xy,) sao cho x 2 x xy du(x,y) P(x,y)dxQ(x,)ydy Thay xy 1,0 vào (*) ta được C 0. thì phương trình vi phân có dạng: P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 (3) 22 y xy arctg được gọi là phương trình vi phân toàn phần. Vậy xe x . x 2 • Nghiệm tổng quát của (3) là u(x,)yC . Nhận xét //. uxy(x,y) P(x,y),u(x,y)Q(xy,) 2
3. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Phương pháp giải VD 8. Cho phương trình vi phân: Bước 1. Từ (3) ta có / (3a) và / (3b). 22 (*). uPx uQy (3y 2xy 2x)dx (x 6xy 3)0dy 1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: 2) Giải phương trình (*). (3c). u(x,y) P(x,y)dx (x,y)Cy() Giải Trong đó, là hàm theo biến . Cy() y 2/ P 3y 2xy 2xPy 62yx 1) đpcm. Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: 2/ Q x 6xy 3Qx 26xy // (3d). uyy Cy () /2 ux 3y 2xy2xa() Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được Cy(). 2) Ta có: u/2 x 6xyb3() Thay Cy() vào (3c) ta được u(xy,). y Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 (a) u (3y 2xy2)xdx x 2 (a) u (x y 1)dx xy xCy() 3xy2 x22y xCy() 2 u/ xCy () (c). /2 (c). y uy 6xy xCy () So sánh (b) và (c), ta được: So sánh (b) và (c), ta được: yy C (y) 3 C(yy)3. C (y) e C()ye. Vậy (*) có nghiệm 222 . x 2 33xy xy x yC Vậy phương trình có nghiệm xy x eCy . 2 VD 9. Giải ptvp (x y 1)dx (ey x)0dy . / ux x ya1() Giải. Ta có: u/ ey xb() y Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 p()xdx qx() Nhận xét. B(x) q(x) e dxdx • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: Chú ý Ax() y p(x)yqx() (4). • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Khi qx()0 thì (4) được gọi là phương trình vi phân • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tuyến tính cấp 1 thuần nhất. p()xdx tổng quát của (4) dưới dạng: y C(xe). Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange) VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm y p()xdx nghiệm tổng quát của y 24xxln dưới dạng: Bước 1. Tìm biểu thức A()xe . x p()xdx Cx() Cx() Bước 2. Tìm biểu thức B(x) q(x).e dx . A. y ; B. y ; x 2 x 3 Bước 3. Nghiệm tổng quát là . Cx() Cx() y A(x) B()xC C. y ; D. y . x x 3
4. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân dx 3 p()xdx 2 x x Cx() Giải. y C(x)e C()xeA . 3 2 Từ điều kiện đầu, ta có nghiệm riêng ye . x VD 11. Giải phương trình vi phân 2 sin x y xy 0 VD 12. Giải phương trình y ycosxe . thỏa điều kiện ye 9. x 3 Giải. Ta có: p(x) cosx,q()xe sin x . Giải. Ta có: 2 . p(x) x,qx()0 cosxdx 3 sin x . 2 x A()x ee p()xdxxdx A()x e ee3 . sinx cosxdx B(x). eedxx. p()xdx B(x) q(x).0edx Vậy y e sinx ()xC. x 3 yCe 3 là nghiệm tổng quát của phương trình. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli 1 Bước 2. Đặt z y z (1) yy , ta được: • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: (5) z (1 )p(x)z (1 )qx() y p(x)yq(xy) (5). (đây là phương trình tuyến tính cấp 1). • Khi hoặc thì (5) là tuyến tính cấp 1. y 2 0 1 VD 13. Giải phương trình vi phân y xy • Khi p(x) qx()1 thì (5) là pt có biến phân ly. x với điều kiện đầu xy 1,1. Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) Giải. Ta có: y 2 211 . Bước 1. Với , ta chia hai vế cho : y xy yy .yx y 0 y xx yy (5) p(x)qx() Đặt 12, ta được: z y z yy yy 11 1 . pt z z x z zx . y y p(x)yqx() xx Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân dxdx 6xdx 3x 2 A(x) exx x,B(x). xedxx A()x ee, 1 36xdx 33x 2 z x() x C x2 Cx . B(x) 3x.3e dx xedx y 1123xx22232 Vậy từ điều kiện đầu, ta có nghiệm x2y 2xy 10. 3xed(3x) ex(31). 66 34 VD 14. Giải phương trình vi phân y 2xyxy. 11 3xx22 32 Vậy ee(3xC 1) . 3 34 433 6 Giải. y 22xy xy yy xyx. y Đặt z y 34 z 3yy . 1 pt z 2xz x33 z 63xzx . 3 4
5. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II x 3 Giải. y x22 y xdxC 2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản 3 1 34 2.1.1. Phương trình khuyết y và y’ xx y C dx y CxC. • Phương trình vi phân khuyết và có dạng: 1 12 y y 3 12 y fx() (1). 73 Phương pháp giải VD 2. Giải ptvp ye 2x với yy(0) , (0) . 42 • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: Giải. 22xx1 (a). y e y eC1 2 y f(x) y f(x)dx ()xC1 3 Thay vào (a) ta được y (x)dx Cx ()x CxC. xy 0,(0) C1 1 112 2 1 1 VD 1. Giải phương trình vi phân yx 2. ye 2x 1 y e2x xC (b). 2 4 2 Ø Chương 2. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 7 Giải. Đặt ta có: Thay xy 0,(0) vào (b) ta được C 2. zy 4 2 y 1 y x z zx. Vậy phương trình có nghiệm riêng 1 2x . xx y ex 2 dx dx 4 1 1 A()xe x , B()x xex dxx3. 2.1.2. Phương trình khuyết y x 3 • Phương trình vi phân khuyết có dạng: y 1 11C Suy ra 32 1 . y f(xy,) (2). z x C1 yx xx 33 Phương pháp giải Vậy 1 3 . y x C12ln xC • Đặt zy đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1. 9 y y VD 4. Giải pt vi phân y xx( 1)0 VD 3. Giải phương trình vi phân yx . x 1 x với điều kiện yy(2) 1, (2)1 . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt ta có: zy 432 xxx3 . 1 . y 3xC2 pt z z xx(1) 862 x 1 dx x4xx3231 A(x)1 exx 1 , y(2) 13 yx . dx 8623 1 B(x) x(x 1)ex 1dxx2 2 1 2 . y (x 1) xC1 2 11 y (2) 1 y x32 xx 33 22 5
6. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2.1.3. Phương trình khuyết x dz2zdzdy pt 21yzz 2 • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: dyyz2 1 y f(yy,) (3). 2 dz( 1) dy 2 Phương pháp giải ln(z 1)ln Cy z 2 1 y • Đặt zy ta có: z2 1 Cy (*). dzdzdydz y zz . . Đạo hàm hai vế (*) theo : dxdydxdy x . Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly. 2zz Cy y C1 y C12xC Vậy 2 . 2 y C1x C23xC VD 5. Giải phương trình vi phân 21yyy . VD 6. Giải phương trình vi phân y 2yy(1 2)0 dz Giải. Đặt zy yz . 1 dy với điều kiện yy(0) 0, (0) . 2 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân dz Giải. Đặt zy yz . Thay xy 0,0 vào (b) C 1. dy dz Vậy phương trình có nghiệm (xy 1)(2 1) 10. pt z 2zy(1 2)0 dy dz 2(2y 1)dy z 22y2 yC (a). 1 1 Thay x 0,yy 0, vào (a) C 2 2 12dy y 2y22 2yy (21) 2 dx 21dy dx xC (b). (2y 1)2 21y Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính Ø Trường hợp 2 với hệ số hằng Phương trình (5) có nghiệm kép thực k . 2.2.1. Phương trình thuần nhất Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y ekx, yxekx • Phương trình thuần nhất có dạng: 12 và nghiệm tổng quát là y CekxCxekx . 12 y a1y a2y 0, aa12, ¡ (4). Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4): Ø Trường hợp 3 Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp 2 k a12ka 0 (5). ki . Ø Trường hợp 1 Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt . xx kk12, y12 ecosx, y exsin kxkx Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 12 và nghiệm tổng quát là: y12 e, ye x kxkx và nghiệm tổng quát là 12 y e C12cosx Cxsin. y C12eCe . 6
7. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân y 2yy 30. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 33xx Giải. Phương trình đặc trưng: y12 e, yxe k2 2k 3 0 kk 1,3 . và nghiệm tổng quát là 33xx. 12 y C12eCxe Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: VD 9. Giải phương trình vi phân yy 160. xx 3 y12 e, ye Giải. Phương trình đặc trưng: và nghiệm tổng quát là y CexxCe 3 . 222 12 k 16 0 k 164i ki1,2 . VD 8. Giải phương trình vi phân . 0,4 y 6yy 90 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: Giải. Phương trình đặc trưng: y12 cos4x,yxsin4 k2 6kk 9 03 (nghiệm kép). và nghiệm tổng quát là . y C12cos4xCxsin4 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: VD 10. Giải phương trình vi phân y 2yy 70. y yy 0. Giải. Phương trình đặc trưng 2 có: kk 2 70 Giải. Phương trình đặc trưng kk2 10 có: 2 6 6i ki1,2 16 13 i 33 ik2 1,6 . 1,2 2 13 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: ,  . 22 xx y12 ecos6x,yexsin6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát: và nghiệm tổng quát: x 33 x . y e2 CcosxCxsin . y eC12cos6xCxsin6 12 22 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1 2.2.2. Phương trình không thuần nhất VD 12. Giải phương trình vi phân yy (a). • Phương trình không thuần nhất có dạng: cosx Giải. Xét phương trình thuần nhất (b) ta có: yy 0 y a1y a2yfx(), a12, a ¡ (6). k2 1 0 ki 0,1 a) Phương pháp giải tổng quát là 2 nghiệm riêng của (b). y12 cosx,yxsin • Nếu (4) có hai nghiệm riêng thì (6) có y12(x), yx() Nghiệm tổng quát của (a) có dạng: nghiệm tổng quát là . y C1(x)y1(x)C22(x)yx(). y C12(x).cosxC(xx).sin Ta có hệ Wronsky: • Để tìm Cx() và Cx(), ta giải hệ Wronsky: 1 2 cosx.C12 (x) sinx.Cx()0 C (x)y(x) C(x)yx()0 1122 1 C (x)y (x) C (x)y(x)fx(). sinx.C12 (x) cosx.Cx() 1122 cosx 7
8. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT sinxcosx.C12 (x) sinx.Cx()0 sinxcosx.C (x) cos2x.Cx()1 Ø Phương pháp cộng nghiệm 12 • Định lý Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất sin x (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần Cx1 () C11(x) lncos xC cosx nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6). Cx ()1 C22(x). xC 2 VD 13. Cho phương trình vi phân: Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: y 2y 2y (2)xe2 x (*). y lncosx Ccosx xCxsin . 12 2 x 1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là y xe . 2) Tìm nghiệm tổng quát của (*). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2x22xx 1) VT(*) (x 4x 2)e 2(2x x)2exe y y 2sin2xx4cos2 , (2 x2)ex VP(*) đpcm. biết 1 nghiệm riêng là yx cos2 . 2) Xét phương trình thuần nhất y 2yy 20 ( ): Giải. Phương trình yy 0 có: k2 2k 2 01 ki . 2 1,2 k k 0 kk12 0,1 Suy ra ( ) có nghiệm tổng quát: có nghiệm tổng quát x . yy 0 y C12Ce y ex (CcosxCxsin). 12 Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là: Vậy (*) có nghiệm tổng quát là: y C Cex x cos2 . 2 xx . 12 y xe e(C12cosxCxsin) Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp chồng chất nghiệm VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của 2 (*). y yx2cos • Định lý Cho biết yy 1 và y yxcos2 lần lượt có 21 Cho phương trình vi phân: nghiệm riêng yx , y cos2xxsin2 . . 1 2 1010 y a1y a2y f12(x)fx() (7) Nếu và lần lượt là nghiệm riêng của Giải. Ta có: yx1() yx2() 2 , y y 2cosx y yx 1cos2 . y a1y a21yfx() y a1y a22yfx() Suy ra (*) có nghiệm riêng là: thì nghiệm riêng của (7) là: 21 y x cos2xxsin2 . 1010 y y12(x)yx(). 8
9. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình Mặt khác, phương trình thuần nhất yy 0 vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng có nghiệm tổng quát là x . y C12Ce Xét phương trình y a12y ayfx()(6) Vậy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là: và y a12y ay 0(4). x 21. y C12 Ce x cos2xxsin2 αx 1010 • Trường hợp 1: f(x) có dạng e Pn(x) ( là đa thức bậc ). Pxn () n Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng: mx y xeQxn () ( là đa thức đầy đủ bậc ). Qxn () n Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Bước 2. Xác định : VD 16. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: m 32x 1) Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng y 2y 3y ex(1). của (4) thì m 0. Giải. Ta có f(x) ex32x (1), 3,P(xx)1 2 . 2) Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 2 Suy ra nghiệm riêng có dạng: của (4) thì m 1. y xmxe32()Ax BxC. 3) Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng của (4) thì m 2. Do 3 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng kk2 2 30 nên m 1. Bước 3. Thế mx vào (6) và đồng nhất thức y x.eQxn () Suy ra nghiệm riêng có dạng 32x . ta được nghiệm riêng cần tìm. y xe()Ax BxC Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 32x VD 17. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: Thế y xe()Ax BxC vào phương trình đã cho, đồng nhất thức ta được: y 22y y xeexx . 119 x A ,,BC . Giải. Xét phương trình y 2y yxe (1). 121632 Ta có x , . f()x xe 1,P1()xx mx 32x 119 Dạng nghiệm riêng của (1) là y xe()AxB. Vậy nghiệm riêng là y xe xx . 1 121632 Do 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng 2 nên x . kk 2 10 m 0 y1 e()AxB 9
10. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Xét phương trình y 22y ye x (2). Ta có x , . f(xe)2 1,Px0()2 Nghiệm riêng của (2) có dạng y Cxemx . Do 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng 2 nên 2 x . kk 2 10 m 2 y2 Cxe Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy ra nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: xx2 . y y12 y e()Ax BCxe 10