Bài giảng Toán học tổ hợp và cấu trúc rời rạc - Chương 6: Các bài toán về đường đi

Nội dung text: Bài giảng Toán học tổ hợp và cấu trúc rời rạc - Chương 6: Các bài toán về đường đi

1. Chương 6 CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI
2. Nội dung 1. Tìm đường đi ngắn nhất 2. Đồ thị Euler 3. Đồ thị Hamilton 2
3. 1. TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 3
4. Định nghĩa Định nghĩa. Cho G = (V,E) là đồ thị có trọng số. Với H G thì trọng lượng của H là tổng trọng lượng của các cạnh của H. w(H)  w ( e ) eH  Nếu H là đường đi, chu trình, mạch thì w(H) được gọi là độ dài của H.  Nếu mạch H có độ dài âm thì H được gọi là mạch âm.  Khoảng cách giữa 2 đỉnh u và v là độ dài ngắn nhất của các đường đi từ u đến v. 4
5. Ma trận khoảng cách Định nghĩa. Cho đồ thị G = (V, E), V = {v1,v2, ,vn} có trọng số. Ma trận khoảng cách của G là ma trận D= (dij) xác định như sau: 0 khi i j dij w() v i v j khi v i v j E khi vij v E Nhận xét. Mọi đồ thị được hoàn toàn xác định bởi ma trận khoảng cách. 5
6. Ví dụ. Tìm ma trận khoảng cách của đồ thị sau 0 5 31 40 0 27 73 26 0 8 49 25 38 D 0 16 70 0 9 23 0 12 10 0 6
7. Ví dụ. Tìm đồ thị có ma trận khoảng cách sau: 0 12 7 5 12 0 15 16 6 7 15 0 10 Đáp án. 5 5 16 0 5 6 10 5 0 16 D 12 A B 6 7 5 15 E C 10 7
8. Bài toán. Cho G = (V, E) là đồ thị có trọng số. Tìm đường đi ngắn nhất từ u đến v và tính khoảng cách d(u ,v). Nhận xét. Nếu đồ thị G có mạch âm  trên một đường đi từ u tới v thì đường đi ngắn nhất từ u đến v sẽ không tồn tại. u v  8
9. Một số lưu ý Khi tìm đường đi ngắn nhất ta có thể bỏ bớt đi các cạnh song song và chỉ để lại một cạnh có trọng lượng nhỏ nhất. Đối với các khuyên có trọng lượng không âm thì cũng có thể bỏ đi mà không làm ảnh hưởng đến kết quả của bài toán. Đối với các khuyên có trọng lượng âm thì có thể đưa đến bài toán tìm đường đi ngắn nhất không có lời giải. 9
10. Nguyên lý Bellman Gọi P là đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến đỉnh v; t P. Giả sử P=P1P2 với P1 là đường đi con của P từ u đến t và P2 là đường đi con của P từ t đến v. Khi đó P1 cũng là đường đi ngắn nhất từ u đến t. ’ Chứng minh. Giả sử tồn tại P1 là đường đi ngắn hơn t P1 ta có P P u 1 2 v ’ P1 w(P1’) < w(P1) w(P1’P2) < w(P1P2)=w(P) Vô lý vì P là đường đi ngắn nhất từ u đến v 10
11. Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất Để tìm đường đi ngắn nhất, chúng ta quan tâm tới hai thuật toán: . Thuật toán Dijkstra không thể thực hiện khi đồ thị có cạnh âm . Thuật toán Ford – Bellman xác định các mạch (chu trình) âm hay trả về cây đường đi ngắn nhất 11
12. Thuật toán Dijkstra Xác định tuần tự các đỉnh có khoảng cách đến u0 từ nhỏ đến lớn. . Trước tiên đỉnh có khoảng cách nhỏ nhất đến u0 là u0. . Trong V\{u0} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ nhất (đỉnh này phải là một trong các đỉnh kề với u0) giả sử đó là u1 . Trong V\{u0,u1} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ nhất (đỉnh này phải là một trong các đỉnh kề với u0 hoặc u1) giả sử đó là u2 12
13. Tiếp tục như trên cho đến bao giờ tìm được khoảng cách từ u0 đến mọi đỉnh. Nếu G có n đỉnh thì: 0 = d(u0,u0) < d(u0,u1) d(u0,u2) d(u0,un-1) 13
14. Thuật toán Dijkstra Bước 1. i:=0, S:=V\{u0}, L(u0):=0, L(v):= với mọi v S và đánh dấu đỉnh v bởi ( ,-). Nếu n=1 thì dừng và xuất d(u0,u0)=0=L(u0) Bước 2. Với mọi v S và kề với ui (nếu đồ thị có hướng thì v là đỉnh sau của ui), đặt L(v):= min{ L(v), L(ui)+w(ui v)}. Xác định k= min L(v) , v S. Nếu k= L(vj) thì xuất d(u0,vj )= k và đánh dấu đỉnh vj bởi (k; ui). Đặt ui+1:= vj và S:=S\{ui+1} Bước 3. i:=i+1. Nếu i = n-1 thì kết thúc. Nếu không thì quay lại Bước 2 14
15. Một số ví dụ Bài tập 1. Tìm đường đi ngắn nhất từ u đến các đỉnh còn lại. 7 s r 1 4 3 3 x u 2 1 3 t 1 4 w z y 3 5 15
16. s r 7 1 4 3 3 x u 2 1 3 t 1 4 z w y 3 5 u r s t x y z w 0* ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (4,u0) ( ,-) ( ,-) ( ,-) (1,u0)* ( ,-) ( ,-) - (3,y)* ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (4,y) ( ,-)
17. r 7 s 1 4 3 3 x u 1 2 t 3 1 4 w y 3 z 5 u r s t x y z w 0* ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (4,u0) ( ,-) ( ,-) ( ,-) (1u0)* ( ,-) ( ,-) - (3,y)* ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (4,y) ( ,-) - - (10,r) (6,r) ( ,-) - (4,y)* ( ,-) - - (10,r) (6,r)* ( ,-) - - (9,z) - - (9,t) - (7,t)* - - (9,z) - - (8,x)* - - - - (9,z) - - - - - - - (9,z)*
18. Cây đường đi s r 1 3 t 1 x u 2 1 y 3 z 5 w 18
19. Ví dụ. Cho đồ thị có trọng số G = (V, E), V = { v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7} xác định bởi ma trận trọng số D. Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ v1 đến các đỉnh v2, v3, v4, v5, v6, v7 0 5 31 40 0 27 73 26 0 8 49 25 38 D 0 16 70 0 9 23 0 12 10 0
20. v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 0* ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) (31,v ) (40,v ) - (5,v1)* 1 1 ( ,-) ( ,-) ( ,-) (31,v )* - - 1 (40,v1) (78,v2) ( ,-) ( ,-) (39,v )* - - - 3 (78,v2) (56,v3) (69,v3) - - - - (78,v2) (55,v4)* (69,v3) (67,v )* - - - - (78,v2) - 6 - - - - (77,v7) - - 21
21. Cây đường đi 22
22. Ví dụ. Dùng thuật toán Dijsktra để tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến đỉnh z. 23
23. a b c d e f g z 0* ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (4,a) (3,a)* ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (4,a)* - (6,c) (9,c) ( ,-) ( ,-) ( ,-) - - - (6,c)* (9,c) ( ,-) ( ,-) ( ,-) - - - - (7,d)* (11,d) ( ,-) ( ,-) - - - - - (11,d)* (12,e ) ( ,-) - - - - - - (12,e )* (18,f ) - - - - - - - (16,g )*
24. Cây đường đi b d 5 f 4 3 1 z a 3 4 c e 5 g
25. Thuật toán Ford - Bellman Tìm đường đi ngắn nhất từ u0 đến các đỉnh khác hoặc chỉ ra đồ thị có mạch âm. Bước 1. L0(u0) =0 và L0(v) =  v u0. Đánh dấu đỉnh v bằng ( ,-) ; k=1. Bước 2. Lk(u0) = 0 và Lk(v) = min { Lk-1(u)+w(uv) | u là đỉnh trước của v } Nếu Lk(v) = Lk-1(t)+w(tv) thì đánh dấu đỉnh v bởi (Lk(v),t) Bước 3. Nếu Lk(v) =Lk-1(v) với mọi v, tức Lk(v) ổn định thì dừng. Ngược lại đến bước 4. 26
26. Bước 4. Nếu k = n thì dừng, kết luận G có mạch âm. Nếu k n-1 thì trở về bước 2 với k:=k+1 Ví dụ. Dùng thuật toán Ford-Bellman để tìm đường đi ngắn nhất từ 1 cho đến các đỉnh còn lại 4 7 2 3 2 1 6 1 2 2 -2 8 3 4 5 2 27
27. 4 2 3 2 7 1 6 1 2 2 -2 8 3 4 5 2 k 1 2 3 4 5 6 0 0 ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) 1 0 (7,1) ( ,-) (8,1) ( ,-) ( ,-) 2 0 (7,1) (11,2) (8,1) (9,2) (8,2) 3 0 (7,1) (10,6) (6,6) (9,2) (8,2) 4 0 (7,1) (10,6) (6,6) (8,4) (8,2) 5 0 (7,1) (10,6) (6,6) (8,4) (8,2)
28. 4 0 (7,1) (10,6) (6,6) (8,4) (8,2) 5 0 (7,1) (10,6) (6,6) (8,4) (8,2) Ta có Lk(i) ổn định nên cây đường đi là 2 3 2 7 1 6 1 -2 4 5 2 29
29. Ví dụ. Dùng thuật toán để tìm đường đi ngắn nhất từ 1 cho đến các đỉnh còn lại 4 2 3 2 7 1 6 1 2 2 -6 8 3 4 5 2 30
30. 4 2 3 2 7 1 6 1 2 2 -6 8 3 4 5 2 k 1 2 3 4 5 6 0 0 ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) 1 0 (7,1) ( ,-) (8,1) ( ,-) ( ,-) 2 0 (7,1) (11,2) (8,1) (9,2) (8,2) 3 0 (7,1) (10,6) (2,6) (9,2) (8,2) 4 0 (4,4) (10,6) (2,6) (4,4) (8,2) 5 0 (4,4) (8,2) (2,6) (4,4) (5,2) 6 0 (4,4) (7,6) (-1,6) (4,4) (5,2)
31. 5 0 (4,4) (8,2) (2,6) (4,4) (5,2) 6 0 (4,4) (7,6) (-1,6) (4,4) (5,2) k = n = 6 . Lk(i) chưa ổn định nên đồ thị có mạch âm. Chẳng hạn: 4→2→6→4 có độ dài -3 32
32. Ví dụ. Tìm đường đi ngắn 1 nhất từ đỉnh 1 2 a) 1 đến các đỉnh còn lại -2 8 b) 3 đến các đỉnh còn lại 2 3 5 4 4 -1 1 2 5 6 33
33. 2. ĐỒ THỊ EULER 34
34. Giới thiệu Leonhard Euler (1707 – 1783) ĐỒ THỊ EULER 35
35. Thành phố Konigsberg (Đức) bị chia thành 4 vùng do 2 nhánh của 1 dòng sông. Có 7 chiếc cầu nối những vùng nầy với nhau. Bài toán: Xuất phát từ một vùng đi dạo qua mỗi chiếc cầu đúng một lần và trở về nơi xuất phát. Năm 1736, nhà toán học Euler đã mô hình bài toán nầy bằng một đồ thị vô hướng với mỗi đỉnh ứng với một vùng, mỗi cạnh ứng với một chiếc cầu 36
36. A C D B A C D B 37
37. Định nghĩa Đường đi Euler là đường đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần. Chu trình Euler đường đi Euler có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối. Đồ thị Euler là đồ thị có chứa một chu trình Euler. Có đường đi Euler Có chu trình Euler là 4 3 0 1 2 0 là 4 3 0 1 2 0 4 38
38. Định lý Euler Cho G=(X, E) là đô thị vô hướng liên thông. Khi đó a) G là đồ thị Euler Tất cả các cạnh của đồ G đều có bậc chẵn. b) G có đường đi Euler và không có chu trình Euler G có đúng hai đỉnh bậc lẻ. Nhận xét. Nếu G là đồ thị vô hướng liên thông chỉ có 2k đỉnh bậc lẻ thì ta có thể vẽ đồ thị bằng k nét. 39
39. Định lý Euler Cho G=(X, E) là đô thị có hướng liên thông mạnh. Khi đó a) G là đồ thị Euler d+(x)=d-(x) x X. b) G có đường đi Euler G có 2 đỉnh u, v sao cho: . deg (u) = deg (u) + 1 . deg (v) = deg (v) + 1 . d+(x)=d-(x) với mọi x khác u và v 40
40. Ví dụ a e e a d b c a d d b c b c (G ) (G ) 1 2 (G3) Liên thông và có 2 Liên thông và các đỉnh bậc lẻ có đỉnh đều có bậc đường đi Euler: Có đường đi Euler: chẵn. Suy ra có chu trình Euler: bacdaedbc bacbd bacdaedbcb 41
41. Thuật toán Fleurey Dùng để tìm chu trình Euler của đồ thị từ một đỉnh bất kỳ, ta áp dụng 2 quy tắc sau: Quy tắc 1. Xóa các cạnh đã đi qua và các đỉnh cô lập nếu có Quy tắc 2. Không bao giờ đi qua một cầu trừ khi không còn cách đi nào khác. 42
42. Ví dụ. Đồ thị sau có là đồ thị Euler không. Nếu có, hãy tìm một chu trình Euler c a b d e h g f Đáp án. Chu trình Euler là: a b c f d c e f g h b g a 43 43
43. Ví dụ. Đồ thị sau có chu trình hay đường đi Euler không? Nếu có, hãy xác định chúng 44
44. Ví dụ. Đồ thị sau có là đồ thị Euler không. Nếu có, hãy tìm một chu trình Euler 45
45. 3. ĐỒ THỊ HAMILTON 46
46. Giới thiệu Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) Năm 1857 W. R. Hamilton đưa trò chơi sau đây: Trên mỗi đỉnh trong số 20 đỉnh của khối đa diện ngũ giác đều 12 mặt ghi tên một thành phố trên thế giới. Hãy tìm cách đi bằng các cạnh của khối đa diện để qua tất cả các thành phố, mỗi thành phố đúng một lần, sau đó trở về điểm xuất phát. 47
47. Một số bài toán . Tổ chức tour du lịch sao cho người du lịch thăm quan mỗi thắng cảnh trong thành phố đúng một lần . Bài toán mã đi tuần: Cho con mã đi trên bàn cờ vua sao cho nó đi qua mỗi ô đúng một lần. 1 2 3 4 5 6 7 8 H = [ 8, 10, 1, 7, 9, 2, 11, 5, 3, 12, 6, 4 ] 9 10 11 12 Đường Hamilton biểu diễn nước đi của con mã trên bàn cờ 3x4 49
48. Định nghĩa Định nghĩa. Đường đi Hamilton là đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh đúng một lần. a. Định nghĩa tương tự cho chu trình Hamilton b. Đồ thi gọi là đồ thị Hamilton nếu nó có chu trình Hamilton G có đường đi G không có đường đi G có đường đi và 2 3 1 nhưng không có và không có chu trình chu trình Hamilton chu trình Hamilton Hamilton 50
49. Một số điều kiện đủ Định lý. Cho G =(V,E) là đồ thị đơn vô hướng cón n 3 đỉnh. Khi đó  Nếu deg(u) deg(v) n với u và v là hai đỉnh không kề nhau tuỳ ý thì G là Hamilton. n  Nếu deg(u) với mọi đỉnh u thì G là Hamilton 2 Ví dụ. Đây là đồ thị Hamilton? 51
50. Quy tắc xây dựng chu trình Hamilton Quy tắc để xây dựng một chu trình Hamilton H hoặc chỉ ra đồ thị vô hướng không là Hamilton Quy tắc 1. Tất cả các cạnh kề với đỉnh bậc 2 phải ở trong H. Quy tắc 2. Không có chu trình con nào được tạo thành trong quá trình xây dựng H. Quy tắc 3. Khi chu trình Hamilton mà ta đang xây dựng đi qua đỉnh i thì xoá tất cả các cạnh kề với i mà ta chưa dùng. Điều này lại có thể cho ta một số đỉnh bậc 2 và ta lại dùng quy tắc 1. Quy tắc 4. Không có đỉnh cô lập hay cạnh treo nào được tạo nên sau khi áp dụng quy tắc 3. 52
51. Một số ví dụ Ví dụ. Đồ thị sau có phải là đồ thị Hamilton không? Nếu có hãy tìm chu trình Hamilton Đáp án. Có, ví dụ a, b, c, e, f, i, h, g, d, a. 53
52. Ví dụ. Đồ thị sau có phải là đồ thị Hamilton không? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Giải. Giả sử G có chu trình Hamilton H, theo quy tắc 1, tất cả các cạnh kề với đỉnh bậc 2 đều ở trong H: 12, 14, 23, 36, 47, 78, 69, 89. Khi đó ta có chu trình con là: 1, 2, 3, 6, 9, 8, 7, 4, 1. Vậy G không là đồ thị Hamilton 54
53. Ví dụ. Đồ thị sau có phải là đồ thị Hamilton không? Nếu có hãy tìm chu trình Hamilton 55
54. Ví dụ. Đồ thị sau có phải là đồ thị Hamilton không? 56