Bài giảng Xác suất thống kê - Nguyễn Độc Lập

298 trang hapham 830

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Nguyễn Độc Lập", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_xac_suat_thong_ke_nguyen_doc_lap.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Nguyễn Độc Lập

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÁI Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập NGUYấN Bộ mụn: Toỏn - Tin Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn
Giới thiệu PHẦN II. XÁC SUẤT Chương I Chương II Chương III Chương IV PHẦN III. THỐNG Kấ Chương V Chương VI Chương VII Chương VIII MỤC LỤC Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn
Chương I. Bổ tỳc về giải tớch tổ hợp 1.1. Chỉnh hợp 1.2. Hoỏn vị 1.3. Tổ hợp 1.4. Nhị thức Newton Chương II. Cỏc khỏi niệm về xỏc suất 2.1. Phộp thử và cỏc loại biến cố 2.2. Xỏc suất và cỏc định nghĩa về xỏc suất Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn
Chương III. Cỏc định lý xỏc suất 3.1. Cụng thức cộng xỏc suất 3.2. Cụng thức nhõn xỏc suất 3.3. Cụng thức xỏc suất đầy đủ, cụng thức Bayes 3.4. Cụng thức Bernoulli Chương IV. Đại lượng ngẫu nhiờn và quy luật PP xỏc suất 4.1. Định nghĩa và phõn loại đại lượng ngẫu nhiờn 4.2. Quy luật phõn phối xỏc suất của đại lượng ngẫu 4.3. Cỏc tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiờn 4.4. Một số quy luật phõn phối xỏc suất thụng dụng Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn
Chương V. Lý thuyết mẫu 5.1. Tổng thể và mẫu 5.2. Cỏc đặc trưng của mẫu. 5.3. Mẫu thu gọn, phương phỏp đổi biến Chương VI. Ước lượng cỏc tham số của đại lượng ngẫu nhiờn 6.1. Cỏc phương phỏp ước lượng điểm 6.2. Phương phỏp ước lượng bằng khoảng tin cậy Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn
Chương VII. Kiểm định giả thiết thống kờ 7.1. Quy tắc kiểm định giả thiết 7.2. Cỏc sai lầm mắc phải khi kiểm định 7.3. Kiểm định giả thiết về kỳ vọng toỏn của ĐLNN cú PP chuẩn. 7.4. Kiểm định giả thiết về xỏc suất hoặc tỷ lệ Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn
Chương VIII. Lý thuyết tương quan và hồi quy 8.1. Hệ số tương quan mẫu 8.2. Tớnh chất của hệ số tương quan mẫu 8.3. ý nghĩa của hệ số tương quan 8.4. Cỏch tớnh hệ số tương quan 8.5. Đường hồi quy tuyến tớnh thực nghiệm 8.6. Hàm hồi quy 8.7. Phương trỡnh đường hồi quy tuyến tớnh 8.8. Tỡm phương trỡnh hồi quy TT dựa vào hệ số tương quan mẫu Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn
Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn
Chương I Bổ túc về giải tích tổ hợp Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
1.1. Chỉnh hợp Ví dụ 1: Với ba chữ số 1, 2, 3; Hỏi có thể tạo nên được bao nhiêu số gồm hai chữ số khác nhau từ ba chữ số đã cho? Giải: Tập hợp các phần tử là: 1,2,3(3 phần tử). Số gồm hai chữ số khác nhau có thể là các cặp: 12, 13, 21, 23, 31, 32. (6 số). Nhận xét: Mỗi số tạo thành là một nhóm có thứ tự gồm 2 trong 3 chữ số đã cho và mỗi phần tử chỉ xuất hiện trong mẫu nhiều nhất một lần (đó là mẫu không lặp). Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Định nghĩa: Ta gọi chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử k cho. (k<n). Ký hiệu: An Từ n phần tử đã cho có thể tạo nên nhiều chỉnh hợp chập k khác nhau. Chỉnh hợp này khác chỉnh hợp kia bởi có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp các phần tử khác nhau. k n! Công thức: An n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k)! Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo nên bởi 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? Giải: Đó là chỉnh hợp chập 3 của 6 3 6! A6 4.5.6 120 (6 3)! Chú ý: Trong cách lấy mẫu từ tập hợp chính có n phần tử, ta lấy mẫu chứa k phần tử và quy ước rằng hai mẫu là khác nhau nếu: + Chúng khác nhau về tên gọi trong mẫu + Chúng khác nhau về thứ tự xuất hiện trong mẫu. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: trong 6 số 1,2,3,4,5,6 lấy ra các mẫu gồm 3 chữ số + Hai mẫu (123) và (456) là khác nhau (có các phần tử khác nhau về tên) + Hai mẫu (123) và 321) là khác nhau (khác nhau về thứ tự xuất hiện) Mẫu được tạo bằng cách như vậy gọi là mẫu có thứ tự. Trong chỉnh hợp không lặp ta đòi hỏi các phần tử xuất hiện trong mẫu không quá một lần. Nếu bỏ qua hạn chế này ta có chỉnh hợp lặp. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Định nghĩa: Ta gọi chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử n phần tử đã cho, mỗi phần tử có thể có mặt 1,2,3, , k lần trong nhóm tạo thành. (ở n k đây có thể k < n). Ký hiệu A n n . Nhận xét: Trong ví dụ 1: số chỉnh hợp lặp chập 2 của 3 là: 2 2 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33. (gồm 9 số) A3 3 9 . Trong ví dụ 2: số chỉnh hợp lặp chập 3 là 3 2 3 A6 6 216 120 A6 120 (vì ở đây đã xuất hiện thêm các số 111, 222, 121, 255 ) Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 3 sinh viên vào một bàn gồm 5 chỗ ngồi. Giải: Tập ban đầu gồm 5 phần tử (n=5). Mỗi cách xếp chỗ là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Vậy số cách xếp chỗ ngồi 5! là: A3 3.4.5 60 5 (5 3)! Ví dụ 4: Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số được thành lập từ hai số 4 và 5. Giải: Tập ban đầu gồm n = 2 phần tử. Mỗi số gồm 3 chữ số được thành lập từ hai số đã cho là một chỉnh hợp lặp chập 3 3 3 của hai phần tử (4 và 5). Ta có: A2 2 8 . Đó là các số 444, 445; 454, 544; 555; 554; 545; 455; Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
1.2. Hoán vị * Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ n phần tử đã cho. Ký hiệu số hoán vị của một n tập hợp gồm n phần tử là: Pn n! An * Cách tính: Do các hoán vị n phần tử chỉ khác nhau bởi thứ tự sắp xếp các phần tử đó. (Đó chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử). Nên: n Pn n! n(n 1)(n 2) 2.1 n! An Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: Trên một ghế dài có 4 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ cho 4 sinh viên A, B, C, D ngồi. Giải: Mỗi cách xếp chỗ cho 4 sinh viên vào 4 chỗ ngồi là hoán vị của 4 người. Do đó số cách xếp là P4 4! 1.2.3.4 24 (cách) Chú ý: Nếu trong n phần tử có m phần tử giống nhau thì số n! hoán vị chỉ còn: m! Tổng quát: Nếu trong n phần tử có m1 phần tử thuộc nhóm A1 , m2 phần tử thuộc nhóm A2 , mk phần tử thuộc nhóm n! Ak thì số hoán vị có thể có là: m1!m2 ! mk Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
1.3. Tổ hợp * Định nghĩa: Tổ hợp chập k từ n phần tử (k n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau được trích từ n phần tử đã cho. Số tổ hợp chập k của k n ký hiệu là C n k * Cách tính: Để tính Cn ta chú ý rằng hai mẫu là khác nhau nếu chúng chứa các phần tử khác nhau (đó là mẫu không thứ tự). Do đó nếu lấy một mẫu không thứ tự rồi hoán vị các phần tử của nó sẽ được k! chỉnh hợp chập k từ n phần tử. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ak n(n 1) (n k 1) Suy ra: k!C k Ak C k n (1) n n n k! k! Nhân cả tử và mẫu của (1) với (n k)! được: A k n(n 1) (n k 1)(n k) 2.1 n! C k n n k! k!(n k)! k!(n k)! 0 n * Chú ý: Quy ước Cn Cn 1 và 0! 1 n! i) Từ C k C k C n k (2) n k!(n k)! n n n! Chứng minh: Từ C k ta thay k bởi n k được: n k!(n k)! n! n! C n k C k n (n k!(n n k)! k!(n k)! n Công thức (2) tiện lợi khi tính số tổ hợp lớn. 123 1 124! Ví dụ: C124 C124 124 1!123!
k k 1 k 1 ii) C n C n C n 1 Chứng minh: Ta biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức: Vế trái: n! n! n!(k 1) (1 k) n!(n 1) (n 1)! k!(n k)! (k 1)!(n k 1)! (n k)!(k 1)! (k 1)!(n k)! (k 1)!(n k)! (n 1)! Vế phải: C k 1 n 1 (k 1)!(n k)! Vậy ta có điều phải chứng minh! Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 1: Có 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu. 10! 9! Giải: C 2 45 (Trận đấu) 10 2!8! 2 Ví dụ 2: Một nhóm sinh viên gồm 12 người. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập nhóm thực hành? (mỗi nhóm gồm 3 người). Giải: Mỗi cách lấy 3 trong 12 người là một tổ hợp chập 3 của 12. Vậy số cách thành lập là: 3 12 10.11.12 C12 660 (nhóm) 3!(12 3)! 1.2.3 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
1.4. Nhị thức Newton: 2 2 2 0 2 1 2 2 Ta có: (x a) x 2a.x a Cx x C2 x.a C2 a 3 3 2 2 3 0 3 1 2 2 2 3 3 (x a) x 3.x a 3.x.a a C3 x C3 x a C3 x.a C3 a Bằng quy nạp ta chứng minh được: n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n 1 n 1 n n (x a) C n x C n x a C n x a C n x.a C n a n n m n m m Tổng quát: (x a)  Cn x a (3) m 0 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
m Các hệ số Cn trong (3) sẽ có được nhờ tam giác Pascal: 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Chương II Các kháI niệm về xác suất Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2.1. Phép thử và các loại biến cố 2.1.1. Định nghĩa: Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không đựợc gọi là thực hiện một phép thử; Còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử gọi là biến cố. Ví dụ: - Tung một đồng xu xuống đất là một phép thử, còn việc lật nó lên được mặt nào đó là một biến cố. - Bắn một phát đạn vào bia là một phép thử, viên đạn trúng vào một miền nào đó là một biến cố Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2.1.2. Các loại biến cố + Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một phép thử và thường được ký hiệu là A, B, C hoặc A1, A2, , An. Ví dụ 1): Tung một con xúc xắc, nếu A là biến cố "xuất hiện mặt 6 chấm" thì A là biến cố ngẫu nhiên. + Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký hiệu là  . Ví dụ 2): Tung một con xúc xắc,  là biến cố "xuất hiện mặt 6 chấm" Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
+ Biến cố không thể: là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký hiệu và V hoặc . Ví dụ 3): Tung một xúc xắc, V là biến cố” xuất hiện mặt 7 chấm” + Biến cố sơ cấp: Một biến cố sơ cấp là một tập con gồm đúng một phần tử của không gian mẫu. Ví dụ 4): 6 biến cố sơ cấp khi tung một con xúc xắc là 1, 2, 6. Do đó, tập hợp các kết quả có thể xảy ra gọi là không gian mẫu của phép thử hoặc còn gọi là không gian các biến cố sơ cấp. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2.1.3. Quan hệ giữa các loại biến cố + Biến cố kéo theo: Nếu biến cố A xuất hiện kéo theo biến cố B cũng xuất hiện, ta nói biến cố A kéo theo biến cố B. Ký hiệu A  B hay B  A. Ví dụ 1): Gieo một con xúc xắc. Gọi là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm. B là biến cố xuất hiện mặt chẵn thì A xuất hiện kéo theo B xuất hiện. Nếu biến cố A kéo theo biến cố B và biến cố B kéo theo A thì ta nói A và B là hai biến cố tương đương. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
+ Hợp (tổng) của của các biến cố: Hợp của hai biến cố A và B là biến cố sao cho khi biến cố này xuất hiện nếu có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xuất hiện và ngược lại. n Ký hiệu: AB. Tổng quát:  Ai i 1 Ví dụ 2): Gieo một xúc xắc. Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm i 1,6 . A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, B là biến cố xuất hiện mặt lẻ. Khi đó: A A2  A4  A6 ; B A1  A3  A5 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
+ Giao (tích) của hai biến cố A và B là một biến cố sao cho biến cố này xuất hiện khi cả hai biến cố A và B đồng thời n xuất hiện: Ký hiệu A  B . Tổng quát:  A i i 1 Ví dụ 3): Biến cố một sinh viên đỗ tốt nghiệp là giao các biến cố các môn thi tốt nghiệp đạt từ 5 điểm trở lên. + Hiệu của hai biến cố A và B là biến cố khi A xuất hiện còn B không xuất hiện. Ký hiệu: A\ B Ví dụ 4): Gieo một xúc xắc. A là biến cố xuất hiện mặt mặt chẵn, B là biến cố xuất hiện mặt 2. Khi đó A\ B là biến cố xuất hiện mặt 4 hoặc 6. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
+ Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra sau phép thử. Tức là A  B  . Nói cách khác, nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại, hoặc cả hai biến cố A và B đều không xảy ra sau phép thử. Hệ n sự kiện A1, A2 , ,An được gọi là xung khắc từng đôi nếu Ai  A j , (i j). +Biến cố đối lập: Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại B xảy ra thì A không xảy ra. Ký hiệu biến cố đối lập của A là A A  A  Do đó A và A là đối lập nhau thì: A  A  Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 5): Gieo một con xúc xắc. Gọi Ai (i 1,6) là biến cố xuất hiện mặt i chấm. A là biến cố xuất hiện mặt chẵn B là biến cố xuất hiện mặt lẻ Khi đó: A1 và A2 là xung khắc nhau, A1 , A2 , , A6 là xung khắc từng đôi A và B là hai biến cố đối lập. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
+ Hệ đầy đủ các biến cố: Một hệ các sự kiện A1 , A2 , , An xung n khắc từng đôi và  Ai  , được gọi là hệ đầy đủ các sự kiện. i 1 Nếu khả năng xuất hiện các sự kiện đó là như nhau thì ta gọi đó là hệ đầy đủ đồng khả năng. Ví dụ 6): Xét phép thử gieo một xúc xắc, Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm (i 1,6) . Khi đó A1, A2, , A6 là hệ đầy đủ và đó cũng là hệ đầy đủ đồng khả năng. Nếu A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, A là biến cố xuất hiện mặt lẻ thì A và A cũng lập nên một hệ đầy đủ đồng khả năng. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2.2. Xác suất và các định nghĩa về xác suất 2.2.1. Xác suất của biến cố Biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả của phép thử không phụ thuộc vào ý muốn chủ quan của con người nên không đoán trước được. Tuy nhiên, bằng trực giác, có thể nhận thấy các biến cố khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau. Ví dụ 1): Tung một đồng xu, thì biến cố được mặt sấp có khả năng xảy ra nhiều hơn so với biến cố xuất hiện mặt 6 chấm khi ta tung một con xúc xắc. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Khi lặp đi, lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong cùng một điều kiện như nhau, người ta thấy tính ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định. Bởi vậy ta có khả năng định lượng khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó. Vậy: Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện một biến cố khi thực hiện một phép thử Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2.2.2. Định nghĩa cổ điển về xác suất Ví dụ 1): Giả sử tung một xúc xắc cân đối và đồng chất. Hãy xác định xác suất của biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn. Giải: Khi tung xúc xắc, có thể xảy ra 6 trường hợp: xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 6 chấm. Các trường hợp này là duy nhất và đồng khả năng. Biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn có 3 trường hợp (mặt 2, 3 mặt 4, mặt 6) trong tổng số 6 trường hợp. Vậy p 0,5 . 6 Định nghĩa: Nếu trong phép thử có n kết quả đồng khả năng, trong đó có m kết quả thuận lợi cho việc xuất hiện biến m cố A xuất hiện thì P(A) n Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2.2.3. Các tính chất của xác suất 1) 0 P(A) (Vì 0 m n) 2) P() = 1 (Vì m = n, biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1) 3) P() = 0 (Vì m = 0) n n 4) P  Ai  P(Ai ) i 1 i 1 * Chú ý: Một biến cố có xác suất bằng 1 chưa chắc đã là xác suất chắc chắn và nếu một biến cố có xác suất bằng 0 chưa hẳn đã là biến cố không thể có. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 1): Trong một bình có a quả cầu trắng, b quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tìm xác suất để lấy được cầu trắng. Giải: Gọi là biến cố "lấy được cầu trắng". Lấy ngẫu nhiên 1 quả, ta có thể lấy được bất kỳ quả nào trong số a + b quả cầu. Số kết quả đồng khả năng là a + b. Biến cố A sẽ xảy ra khi lấy được 1 trong số a quả cầu trắng. Ta thấy số kết quả thuận lợi là m a . a Vậy: P(A) a b Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 2) Một người khi gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại cần gọi mà chỉ nhớ được là chúng khác nhau. Tính xác suất để người đó quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi. Giải: Gọi B là biến cố "quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi". Số kết quả đồng khả năng là tất cả các phương thức để lập nên 1 cặp 2 số khác nhau từ 10 số tự nhiên đầu tiên. 2 Đó là chỉnh hợp chập 2 của 10 n A10 10.9 90 1 Số kết quả thuận lợi cho B chỉ có 1. Vậy P(B) 90 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 3) Trong một bình có 6 quả cầu giống hệt nhau được đánh số từ 1 dến 6. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng quả cầu. Tính xác suất để số quả cầu lấy ra trùng với số thứ tự lần lấy. Giải: Gọi C là biến cố "số của quả cầu lấy ra trùng với số thứ tự lần lấy". Số kết quả đồng khả năng là P6 = 6! = 720. Số kết quả thuận lợi cho C xuất hiện chỉ có 1. Vậy 1 P(C) 720 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 4) Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để: a) Cả 3 sản phẩm đều là chính phẩm. b) Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm. Giải: a) Gọi A là biến cố ấy được 3 chính phẩm 3 Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra m C6 20 3 Số kết quả đồng khả năng là n C10 120 . m 1 Vậy P(A) n 6 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
b) Gọi B là biến cố lấy được đúng 2 chính phẩm trong 3 sản phẩm. Số kết quả thuận lợi cho B xảy ra bằng số tổ hợp 2 chập 2 (chính phẩm) từ 6 (chính phẩm) cho trước, bằng C6 . Ngoài ra sản phẩm thứ 3 là phế phẩm. Ta có tổ hợp chập 1 của 4 cách lấy được phế phẩm. 3 1 C6 .C4 1 Do đó: P(B) 3 C10 2 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2.2.4. Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển về xác suất * ưu điểm: Tìm xác suất của một biến cố, ta không phải tiến hành phép thử (phép thử chỉ là giả định). Nếu đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của định nghĩa, ta có thể tính được chính xác giá trị của xác suất. * Hạn chế: Đòi hỏi phép thử chỉ có một số hữu hạn các kết quả duy nhất đồng khả năng (khó thực hiện) vì trong thực tế nhiều phép thử mà số kết cục đồng khả năng là vô hạn. Ví dụ: Sự phân tán của các nguyên tử của một chất phóng xạ trong một khoảng thời gian t nào đó, hoặc khi gieo một con xúc xắc không đồng chất, khả năng trúng đích của một viên đạn Để khắc phục điều đó, ta đưa ra định nghĩa theo quan điểm thống kê sau đây. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2.2.5. Định nghĩa thống kê về xác suất Định nghĩa tần suất: Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử thực hiện. Nếu gọi n là số phép thử thực hiện, m là số lần biến cố A m xuất hiện, f (A) là tần suất xuất hiện biến cố A, khi đó f (A) n Ví dụ 1) Kiểm tra ngẫu nhiên 1000 người ở một vùng thấy có 2 người có vi rút viêm gan B. Gọi A là "biến cố xuất hiện bệnh viêm gan B", thì tần suất xuất hiện bệnh là 0,2%. Trị số của tần suất nói chung phụ thuộc vào số lượng của phép thử n. Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi n càng lớn thì tần suất có tính chất ổn định. Nghĩa là trị số của tần suất dao động xung quanh một hằng số xác định nào đó. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 2) Tỷ suất sinh con trai so với toàn bộ trẻ sơ sinh trong các quốc gia khác nhau trong những khoảng thời gian 1 khác nhau là (Laplatce thống kê ở London, Petecbua, 2 22 Beclin là 0,512) . 43 Ví dụ 3) Bảng số liệu về tần suất xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu nhiều lần Người thí Số lần gieo Số lần sấp Tần suất nghiệm Buffon 4.040 2.048 0,5069 Pearson 12.000 6.019 0,5016 Pearson 24.000 12.012 0,5005 Từ kết quả trên, chứng tỏ khả năng xuất hiện mặt sấp được đặc trưng bởi 0,5. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Định nghĩa: Xác suất của một biến cố là trị số ổn định của tần suất khi số phép thử tăng lên vô hạn ( f n  p). Nghĩa là: với n đủ lớn: f (A) P(A)  0 : lim P( f P  ) 1 n Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2.2.5. Định nghĩa xác suất theo hình học Xét một phép thử có vô hạn sự kiện đồng khả năng. Giả sử ta có thể biểu diễn tập hợp các sự kiện này bởi một miền hình học G nào đó (một đoạn thẳng, một miền phẳng, một khối không gian ) và những sự kiện thích hợp cho sự kiện A mesg là một tập con g G . Khi đó: P(A) = (Kích thước miền mesG g/Kích thước miền G). Ví dụ 1): (Bài toán gặp gỡ) Hai người A và B hẹn gặp nhau tại một địa điềm xác định trong khoảng từ 0 đến 1 giờ chiều. Người đến trước chờ người kia 20 phút, quá 20 phút sẽ bỏ đi. Tính xác suất để họ gặp được nhau. Biết rằng mỗi người có thể đến chỗ hẹn vào một thời điểm bất kỳ trong khoảng thời gian nói trên. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Giải: Gọi x là thời điểm đến chỗ hẹn của người A, và y là thời điểm đến chỗ hẹn của người B (tính y ra phút). Mỗi sự kiện đồng khả năng là I J 60 một cặp (x,y) mà: 0 x 60; 0 y 60. 40 Tập hợp các cặp này tạo thành một hình 20 vuông O I J K (Hình bên). Các sự kiện K 0 20 40 60 x thích hợp để A và B gặp được nhau là những cặp (x,y) sao cho: x y 20 . đó là miền có gạch chéo. Vậy xác suất phải tìm là: d.t.(g) 60 2 40 2 5 P d.t(OIJK ) 60 2 9 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2.2.6. Nguyên lý xác suất lớn và nguyên lý xác suất nhỏ Như chú ý ở phần trước, một biến cố có xác suất rất nhỏ, thậm chí bằng không vẫn chưa hẳn là biến cố không thể có. (Nghĩa là vẫn có thể xảy ra). Tuy nhiên qua nhiều lần quan sát, người ta nhận thấy các biến cố có xác suất nhỏ hầu như sẽ không xảy ra khi tiến hành một vài lần quan sát. Do vậy: "Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra". Đó là nội dung cơ bản của nguyên lý xác suất nhỏ Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Tương tự, ta có nguyên lý xác suất lớn: "Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần bằng 1 thì có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử". Một xác suất khá nhỏ mà với nó có thể cho rằng biến cố sẽ không xảy ra được gọi là mức ý nghĩa (thường lấy từ 0,01 đến 0,05). Chú ý: Tuỳ yêu cầu cụ thể của từng bài toán mà việc quy định mức xác suất được coi là rất nhỏ sẽ khác nhau. Ví dụ: xác suất để dù không mở khi sử dụng là 0,01 là không nhỏ, nhưng để một buổi biểu diễn ca nhạc mở màn chậm giờ là 0,01 thì lại có thể chấp nhận được. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Chương III Các định lý xác suất Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3.1. Công thức cộng xác suất: 3.1.1. Định lý: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P(A  B) P(A) P(B) Tổng quát: Nếu A1, A2, , An là hệ xung khắc từng đôi một n n thì: P  Ai  P(Ai ) i 1 i 1 Hệ quả: Nếu A và A là hai biến cố đối lập thì P(A) 1 P(A) 3.1.2. Định lý: Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì: P(A  B P(A) P(B) P(A.B) Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 1) Xác xuất để một xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1; trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn điểm 8 là 0,45. Xạ thủ ấy bắn một phát. Tính xác suất để người ấy được ít nhất 9 điểm. Giải: Gọi A1 là biến cố "bắn trúng điểm 10" A2 là biến cố "bắn trúng điểm 9" A là biến cố "bắn được ít nhất 9 điểm" Vì A1 và A2 là xung khắc. Mặt khác A1+ A2 = A. Do đó: P(A) = P(A1)+ P(A2) = 0,1 + 0,2 = 0,3 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 2) Trong một hòm có 10 chit tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tính xác suất để lấy ra 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng. Giải: Gọi A0 là biến cố "trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết hỏng nào" A1 là biến cố "trong 6 chi tiết lấy ra có đúng một chi tiết hỏng" Gọi A là biến cố "trong 6 chi tiết lấy ra không có quá 1 chi tiết hỏng" Khi đó: A0 + A1. Vì A0 và A1 xung khắc nhau, nên: P(A) = P(A0) + P(A1) 6 0 1 5 C8 .C2 2 C2 .C8 8 2 P(A0 ) ; P(A ) P(P(A) C 2 15 1 2 10 C10 15 3 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3.2. Công thức nhân xác suất Trong các ví dụ trước, ta không đặt điều kiện nào của các biến cố mà chỉ có điều kiện của phép thử G mà thôi. Bây giờ ta xét trường hợp phải tìm xác suất của biến cố A khi biết một biến cố B đã xảy ra với một xác suất P(B) nào đó. Đó là xác suất có điều kiện. Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính với giả thiết biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A với điều kiện B. Ký hiệu P(A/B) hoặc PBA. P(A  B) Ta có: P(A/ B) (Nếu P(B) > 0) P(B) P(A  B) hoặc: P(B / A) (Nếu P(A) > 0) P(A) Công thức trên tương đương với: P(A.B) = P(A). P(B/A) = P(B). P(A/B). Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 1): 5 người lần lượt rút thăm để lấy 2 vé xem bóng đá. Tìm xác suất để người thứ 2 rút được vé (nếu biết rằng người thứ nhất đã không rút được vé). Giải: Trước lúc rút thăm, xác suất rút được vé của người 1 và 2 người 2 đều giống nhau và đều là . Nếu người thứ 1 đã 5 không rút được vé thì xác suất rút được vé của người thứ 2 sẽ 2 1 là . Rõ ràng biến cố người 1 rút được hay không đã ảnh 4 2 hưởng tới biến cố rút được vé của người thứ 2. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3.2.1. Định lý: Nếu A và B là hai sự kiện bất kỳ. Ta có: P(A.B) = P(A). P(B/A) = P(B). P(A/B). Tổng quát: P(A1, A2, An) = P(A2/A1) P(An/ A1 An-1) (Xác suất của tích n biến cố bằng tíchxác suất của n biến cố đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp sau đều được tính với điều kiện tất cả các biến cố trước đó đã xảy ra) Ví dụ 1): Trong một hộp kín chứa 10 quả cầu kích thước giống nhau, trong đó có 6 quả màu trắng, 4 quả đen. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 2 lần mỗi lần 1 quả. Tính xác suất: 1) Cả hai quả có màu trắng 2) Cả hai quả có cùng một màu 3) Có ít nhất 1 quả mầu trắng Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Giải: Gọi Ai là biến cố quả lần thứ i có màu trằng (i 1,2 ) Gọi Ai là biến cố quả lấy lần thứ i có màu đen ( i 1,2 ) Gọi A là biến cố cả 2 quả cùng trắng Gọi B là biến cố cả 2 quả cùng một màu Gọi C là biến cố có ít nhất 1 quả có màu trắng 6 5 1 1) A A1.A2 P(A) P(A1.A2 ).P(A2 / A1 ) . 10 9 3 1 4 3 7 2) B A A  A .A P(B) P(A .A ) P(A .A ) . 1 2 1 2 1 2 1 2 3 10 9 15 4 3 2 2 13 3) C A .A P(C) P(A .A ) P(A ).P(A / A ) . P(C) 1 1 2 1 2 2 2 1 10 9 15 15 15 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 2): Trong một hộp có 30 bóng điện, trong đó có 6 bóng màu xanh. Lấy liên tiếp không hoàn lại 3 lần mỗi lần một bóng. Tìm xác suất để cả 3 bóng đều có màu xanh. Giải: Gọi Ai là biến cố bóng lấy lần thứ i màu xanh. (i 1,3). Gọi A là biến cố "cả 3 bóng có màu xanh" A = A1.A2.A3 6 5 4 1 P(A)=P(A ).P(A /A ).P(A /A A ) = . . . 1 2 1 3 1 2 30 29 28 203 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3.2.2. Biến cố độc lập Định nghĩa: Nếu P(A/B) =P(A) thì ta nói A độc lập với B (Nghĩa là: Nếu biến cố này xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của biến cố kia). Hệ quả 1: Nếu A độc lập với B thì B cũng độc lập với A và ta nói A và B độc lập với nhau. Chứng minh: Theo công thức nhân xác suất ta có: P(A.B) = P(A). P(B/A) = P(B).P(A/B) = P(A).P(B). Nên P(B/A) = P(B), hay B độc lập với A. Hệ quả 2: Nếu A và B độc lập với nhau thì: P(A.B) = P(A). P(B). Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Hệ quả 3: Nếu A và B độc lập với nhau thì các cặp ( A, B) ; ( A, B ) ; (A, B) cũng độc lập với nhau. Chứng minh: P(A/B) P(A/B) 1 P(A/B) 1 P(A/B) 1 P(A) P(A) Định nghĩa: Hệ n sự kiện A1, A2, , An được gọi là độc lập từng đôi nếu: P(Ai/Ak) = P(Ai). Với ( i k; i, k = 1, 2, , n) Hệ n sự kiện A1, A2, An được gọi là độc lập trong toàn hệ nếu mỗi sự kiện trong chúng độc lập trong mọi nhóm con còn lại của hệ. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Hệ quả 4) Nếun hệ n sự kiện A1, A2, , An n là độclập trong toàn hệ, ta có: P( Ai ) P(A1 ).P(A2 ) P(An )  P(Ai ) i 1 i 1 Ví dụ 3) Một thiết bị gồm 3 bộ phận. Trong khoảng thời gian t , việc các bộ phận đó bị hỏng là độc lập với nhau với các xác suất tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,3. Cả thiết bị sẽ bị hỏng nếu có ít nhất một bộ phận bị hỏng. Tìm xác suất hoạt động tốt trong thời gian t của thiết bị đó. Giải: Gọi Ai là biến cố "bộ phận thứ i hoạt động tốt trong thời gian t (i 1,3) . Gọi A là biến cố "thiết bị hoạt động tốt trong khoảng thời gian t Vậy A=A1A2A3. Vì Ai độc lập toàn phần với nhau nên: P(A)=P(A1). P(A2).P(A3) Ta có P(A1) = 1- 0,1 = 0,9; P(A2) = 1 - 0,2 = 0,8; P(A3) = 1 - 0,3 = 0,7 Vậy P(A) = 0,9. 0,8. 0,7 = 0,504. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Hệ quả 4) Nếun hệ n sự kiện A1, A2, , An n là độclập trong toàn hệ, ta có: P( Ai ) P(A1 ).P(A2 ) P(An )  P(Ai ) i 1 i 1 Ví dụ 3) Một thiết bị gồm 3 bộ phận. Trong khoảng thời gian t , việc các bộ phận đó bị hỏng là độc lập với nhau với các xác suất tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,3. Cả thiết bị sẽ bị hỏng nếu có ít nhất một bộ phận bị hỏng. Tìm xác suất hoạt động tốt trong thời gian t của thiết bị đó. Giải: Gọi Ai là biến cố "bộ phận thứ i hoạt động tốt trong thời gian t (i 1,3) . Gọi A là biến cố "thiết bị hoạt động tốt trong khoảng thời gian t Vậy A=A1A2A3. Vì Ai độc lập toàn phần với nhau nên: P(A)=P(A1). P(A2).P(A3) Ta có P(A1) = 1- 0,1 = 0,9; P(A2) = 1 - 0,2 = 0,8; P(A3) = 1 - 0,3 = 0,7 Vậy P(A) = 0,9. 0,8. 0,7 = 0,504.
Ví dụ 4) Hai xạ thủ mối người bắn một viên đạn vào kia, xác xuất trúng đích của người thứ nhất là 0,7; của người thứ 2 là 0,8. Tìm xác suất để: 1) Có đúng một viên trúng bia 2) Cả hai viên trúng bia 3) Có ít nhất 1 viên trúng bia Giải: Gọi Ai là biến cố người thứ i bắn trúng bia (i 1,2) ; Gọi Ai là biến cố người thứ i bắn không trúng bia (i 1,2) ; Gọi A là biến cố có đúng một viên đạn trúng bia Gọi B là biến cố cả 2 viên đạn trúng bia Gọi C là biến cố có ít nhất một viên đạn trúng bia. 1) A A1.A2 A1.A2 P(A) P(A1 A2 ) P(A1 A2 ) P(A1 ).P(A2 ) P(A1 )P(A2 ) 0,7.0,2 0,3.0,8 0,38. 2) B A1.A2 P(B) P(A1 ).P(A2 ) 0,7.0,8 0,5. 3) C A1 A2 P(C) P(A1 ).P(A2 ) 0,3.0,2 0,06 P(C) 1 P(C) 1 0,06 0,94
Ví dụ 5) Một công nhân đứng 3 máy. Xác suất để trong một ca máy, máy 1 không có sự cố là 0,7; máy 2 là 0,8; máy 3 là 0,9. Tính xác suất để trong một ca máy: 1) Cả 3 máy đều không có sự cố 2) Cả 3 máy đều có sự cố 3) Có ít nhất 1 máy có sự cố 4) Có ít nhất một máy không có sự cố Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Giải: Gọi Ai là biến cố máy thứ i trong ca không có sự cố (i 1,3) Gọi A là biến cố cả 3 máy đều không có sự cố Gọi B là biến cố cả 3 máy đều có sự cố Gọi C là biến cố có ít nhất 1 máy có sự cố Gọi D là biến cố có ít nhất 1 máy không có sự cố 1) A= A1.A2.A3. Vì A1, A2, A3 độc lập trong toàn hệ, nên: P(A) P(A1.A2.A3 ) P(A1).P(A2 ).P(A3 ) 0,7.0,8.0,9 0,504. 2) B A1.A2 .A3 P(B) P(A1 ).P(A2 ).P(A3 ) 0,3.0,2.0,1 0,006. 3) C A P ( C ) P ( A ) 0 , 504 . 4) D là biến cố đối lập của biến cố B nên: P(D) 1 P(B) 1 0,006 994 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3.3. Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes 3.3.1. Công thức xác suất đầy đủ Một hệ quả quan trọng của định lý cộng và nhân xác suất là công thức Bayes. Giả sử E1, E2, , En là một hệ đầy đủ, nghĩa là chúng xung khắc từng đôi (Ei  E j (i j,i, j 1, n) và hợp của chúng là sự tất yếu: (E1  E2   En ) Nói cách khác, một hệ là đầy đủ khi phép thử được thực hiện thì nhất định có 1 và chỉ 1 trong các biến cố đó xảy ra. Ta có A (A  E1 )  (A  E2 )   (A  En ) Vì các Ei xung khắc từngn đôi nên các (A  Ei ) cũng xung khắc P(A) P(A  Ei ) từng đôi, nên:  . n i 1 Theo công thức nhân xác suất ta có: P(A)  P(Ei ).P(A / Ei ) . i 1 Đây chính là công thức xác suất đầy đủ Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 1) Có 3 hộp giống nhau. Hộp I đựng 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm, hộp II đựng 15 sản phẩm, trong đó có 10 chính phảm, hộp III đựng 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Giải: Gọi A là biến cố "lấy được chính phẩm". Biến cố A xảy ra đồng thời với một trong 3 biến cố sau tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố: A1: là sản phẩm lấy ra thuộc hộp I A2: là sản phẩm lấy ra thuộc hộp II A3: là sản phẩm lấy ra thuộc hộp III Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Theo giả thiết, các biến cố A1, A2, A3 là đồng khả năng, nên: 1 P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) . 3 Xác suất có điều kiện của A khi A1, A2, A3 xảy ra là: 6 10 15 P( A / A ) , P( A / A ) , P( A / A ) . 1 10 2 15 3 20 Cho nên: P(A) P(A1 ).P(A / A1 ) P(A2 ).P(A / A2 ) P(A3 ).(A / A3 ) 1 6 1 10 1 15 124 . . . 3 10 3 15 3 20 180 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 2) Có hai hộp đựng sản phẩm. Hộp I có 10 sản phẩm, trong đó có 9 sản phẩm tốt. Hộp II có 20 sản phẩm, trong đó có 18 sản phẩm tốt. Từ hộp I lấy ngẫu nhiên một sản phẩm bỏ sang hộp II. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra từ hộp thứ II là tốt. Giải: Gọi A là biến cố "lấy được sản phẩm tốt từ hộp thứ II". Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong 2 biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố: A1 - Sản phẩm lấy từ hộp I bỏ sang hộp II là tốt. A2 - Sản phẩm lấy từ hộp I bỏ sang hộp II là xấu. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Xác suất để sản phẩm lấy từ hộp I bỏ sang hộp II là tốt bằng: 9 P(A ) . 1 10 Xác suất để sản phẩm lấy từ hộp I bỏ sang hộp II là xấu bằng: 1 P(A2 ) . 10 Xác suất có điều kiện để từ hộp II lấy được sản phẩm tốt khi 19 18 A A xảy ra là P(A / A ) , P(A / A ) 1,, 2 1 21 2 21 9 19 1 18 9 Do đó: P(A) P(A1 ).P(A / A1 ) P(A2 ).P(A / A2 ) . . 10 21 10 21 10 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 3) Ba vận động viên ném bóng vào rổ, mỗi người ném một quả. Xác suất ném trúng rổ của vận động viên 1, 2, 3 theo thứ tự lần lượt là 0,7, 0,8, 0,9. Tính xác suất để: 1) Có đúng một vận động viên ném trúng rổ. 2) Có đúng 2 vận động viên ném trúng rổ. 3) Có ít nhất 1 vận động viên ném trúng rổ. 4) Vận động viên thứ 1 ném trúng rổ, biết rằng có 2 người ném trúng rổ. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Giải: Gọi A là biến cố "Có đúng một vận động viên ném trúng rổ". Gọi B là biến cố "Có đúng hai vận động viên ném trúng rổ". Gọi C là biến cố "Có ít nhất một vận động viên ném trúng rổ". Gọi A1 là biến cố "Vận động viên thứ i ném trúng rổ" i 1,3. Theo đầu bài ta cần tính P(A) ; P(B) ; P(C) ; P(A1/B). Ta có: A A1.A2 .A3 A1.A2 .A3 A1.A2 .A3 . B A1.A2 .A3 A1.A2 .A3 A1.A2 .A3. C A1 A2 A3 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
1) P(A)=P(A1.A2.A3 A1.A2.A3 A1.A2.A3.) P(A1.A2.A3) P(.A1.A2.A3) P(A1.A2.A3) P(A1 ).P(A2 ).P(A3 ) P(A1 ).P(A2 ).P(A3 ) P(A1 ).P(A2 ).P(A3 ) 0,7.(1 0,8).(1 0,9) (1 0,7).0,8.(1 0,9) (1 0,7).(1 0,8).0,9 = 0,7.0,2.0,1 + 0,3.0,8.0,1 + 0,3.0,2.0,9 = 0,092 2) P(B)= P ( A1 .A 2 .A3 A1 .A 2 .A3 A1 .A 2 .A3 ) P ( A1 .A 2 .A 3 ) P ( A1 .A 2 .A 3 ) P ( A1 .A 2 .A 3 ) P ( A 1 ). P ( A 2 ). P ( A 3 ) P ( A 1 ). P ( A 2 ). P ( A 3 ) P ( A 1 ). P ( A 2 ). P ( A 3 ) 0,7.0,8.0,1 0,3.0,2.0.9 0,3.0,8.0.9 0.398. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3) P(C) P(A1 A2 A3 ) P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) P(A1.A2 ) P(A1.A3 ) P(A2 A3 ) P(A1.A2 .A3 ) P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) P(A1 ).P(A2 ) P(A1 ).P(A3 ) P(A2 ).P(A3 ) P(A1 ).P(A2 ).P(A3 ) 0,7 0,8 0,9 0,7.0,8 0,7.0,9 0,8.0,9 0,7.0,8.0.9 0,994 . Ta có thể giải bằng cách khác gọn hơn như sau: Gọi C là biến cố đối lập của biến cố C, nghĩa là C là biến cố không có người nào ném trúng rổ. Khi đó: C A1.A2 .A3 P(C) P( A1 ).P( A1 ).P( A2 ).P(A3 ) 0,3.0,2.0,1 0,006 P(C ) 1 P(C ) 1 0,006 0.994 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
P(A .B) 4) P(A / B) 1 . 1 P(B) Trong phần 2) ta tính được P(B)=0,398 Ta có A1B A1 A2 A3 A1 A2 A3 P(A1B) P(A1 A2 A3 A1 A2 A3 ) P(A1 A2 A3 ) P(A1 A2 A3 ) P(A1 ).P(A2 ).P(A3 ) P(A1 ).P(A2 ).P(A3 ) 0,7.0,8.(1 0,9) 0,7.(1 0,8).0,9 0,182. 0,182 Vậy: P(A1 / B) 0,46 0,398 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3.3.2. Công thức Bayes Giả sử biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong n biến cố A1, A2, , An tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố. Khi đó: P(Ai )P(A / Ai ) P(Ai / A n ;(i 1,n)  P(Ai )P(A / Ai ) i 1 Chứng minh: Theo định lý nhân xác suất ta có: P(A.Ai ) P(A).P(Ai / A) P(Ai )P(A/ Ai );i 1,n P(Ai )P(A / Ai ) P(A).P(Ai / A) P(Ai )P(A/ Ai );(i 1,n) P(Ai / A) (*) P(A) Thay P(A) bằng công thức xác suất đầy đủ n P(A)  P(Ai )P(A/ Ai ) vào (*) ta được điều phải chứng minh. i 1 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 1: Có hai lô sản phẩm. Lô I có tỷ lệ chính phẩm là 3/ 4, còn lô II tỷ lệ đó là 2/3. Lấy ngẫu nhiên một lô và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thây nó là chính phẩm. Sản phẩm đó được bỏ trở lại và cũng từ lô đó lấy tiếp một sản phẩm. Tính xác suất để lần thứ hai cũng lấy được chính phẩm. Giải: Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra lần đầu là chính phẩm. A có thể xảy ra cùng với một trong hai biến cố sau: H1: Sản phẩm lấy ra từ lô thứ I H2: Sản phẩm lấy ra từ lô thứ II. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(H1).P(A/H1)+P(H2).P(A/H2) 1 3 2 P(H ) P(H ) ; P(A / H ) ; P(A / H ) 1 2 2 1 4 2 3 1 3 1 2 17 Do đó: P(A) = . . 2 4 2 3 24
Sau khi biến cố A xảy ra thì xác suất của các biến cố H1 và H2 thay đổi theo Bayess như sau: P(H1 )P(A/ H1 ) 3 17 9 P(H1 / A) : P(A) 8 24 17 P(H )P(A/ H ) 1 17 8 P(H / A) 2 2 : 2 P(A) 3 24 17 Gọi B là biến cố sản phẩm lấy lần thứ hai là chính phẩm. B vẫn có thể xảy ra cùng với hai khả năng H1 và H2 và lập thành hệ đầy đủ. P(B) = P(H1/A).P(B/H1A)+P(H2/A).P(B).P(B/H2A). Do sản phẩm lấy lần thứ nhất bỏ lai vào lô đã chọn nên tỷ lệ chính phẩm ở các lô đó vẫn không đổi. P(B/H A) = 3 ; P(B/H A) = 2 1 4 2 3 9 3 8 2 145 Vậy P(B) = . . 0,71 17 4 17 3 204
Ví dụ 2: Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất ra cùng một loại sản phẩm. Xác suất để phân xưởng I, phân xưởng II, phân xưởng III sản xuất được sản phẩm tốt lần lượt là: 0,7; 0,8; 0,6. Từ một lô hàng gồm 20% sản phẩm của phân xưởng I, 50% sản phẩm của phân xưởng II, 30% sản phẩm của phân xưởng III, người ta lấy ra 1 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để: 1) Sản phẩm được kiểm tra là tốt. 2) Giả sử sản phẩm được kiểm tra là tốt. Theo anh, (chị) đó là sản phẩm do phân xưởng sản xuất ra nhiều hơn cả? Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Giải: 1) Gọi A là biến cố "Sản phẩm lấy ra kiểm tra là loại I". Gọi Ai là biến cố "Sản phẩm lấy ra kiểm tra do phân xưởng thứ i sản xuất" (i=1,2,3). Ta có A1, A2, A3, lập thành hệ đầy đủ và A chỉ xảy ra đồng thời với một trong 3 biến cố đó. Nghĩa là: A = A A1+ A A2 + A A3. Theo công thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2)+ P(A3) P(A/A3). Trong đó: P(A1) = 20% = 0,2; P(A/A1) = 0,7. P(A2) = 50% = 0,5; P(A/A1) = 0,8. P(A3) = 30% = 0,3; P(A/A1) = 0,6. Suy ra: P(A) = 0,2. 0,7 + 0,5. 0,8 + 0,3. 0,6 = 0,72.
2) Ta cần tính P(A/A1) ; P(A/A2) ; P(A/A3), sau đó so sánh. P(A1 ).P(A/ A1 ) 0,2.0,7 7 Theo công thức Bayes: P(A1 / A) P(A) 0,72 36 P(A ).P(A / A ) 0,5.0,8 20 P(A / A) 2 2 2 P(A) 0,72 36 P(A ).P(A / A ) 0,3.0,6 9 P(A / A) 3 3 3 P(A) 0,72 36 Nhìn vào kết quả, ta thấy sản phẩm loại tốt đó có khả năng thuộc phân xưởng II sản xuất nhiều hơn cả. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3.4. Công thức Bernoulli 3.4.1. Dãy phép thử độc lập Các phép thử được gọi là độc lập với nhau, nếu xác suất để xảy ra một biến cố nào đó trong từng phép thử không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở các phép thử khác hay không. Ví dụ: Tung một đồng xu nhiều lần sẽ tạo nên các phép thử độc lập. Lấy nhiều lần sản phẩm từ một lô sản phẩm theo phương thức có hoàn lại sẽ tạo nên các phép thử độc lập. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3.4.2. Lược đồ Bernoulli Giả sử ta tiến hành n phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ xảy ra hai trường hợp: hoặc biến cố A xảy ra, hoặc biến cố A không xảy ra. Xác suất xảy ra của biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p và xác suất không xảy ra của biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng q 1 p . Những bài toán thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là tuân theo lược đồ Bernoulli. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3.4.3. Công thức Bernoulli Trong lược đồ Bernoulli, hãy tính xác suất để biến cố A xuất hiện: 1) Đúng k lần Xác suất đó được tính bởi công thức Bernoulli như sau: k k n k Pn (k) C n .p .q (k 0,1,2,3, , n) Chứng minh: Gọi B là biến cố "Trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần". Gọi Ai là biến cố "xảy ra biến cố A trong phép thử lần thứ i ". (i 1,n) . Khi đó: B A1 A2 Ak Ak 1 An A1 A2 A3 An 1 An A1 A2 An k An k 1 An Trong đó Ai là biến cố "Không xảy ra biến cố A trong phép thử thứ i " k Ta thấy có Cn số cách chọn ra k phép thử, trong đó biến cố A xảy ra k lần, còn A xảy ra n k lần. Do đó xác suất của k n k mỗi biến cố tích đều bằng p q . Vì tích các biến cố đó k k n k xung khắc từng đôi với nhau nên: p n (k) p(B) Cn p q (điều phải chứng minh).
2) Biến cố A xuất hiện từ k1 đến k2 lần Xác suất đó được tính bởi công thức: k2 k k n k Pn (k1 ,k 2 )  Cn .p .q (k 0,1,2, , n) k k1 Ví dụ 1: Trong một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong mỗi ca mỗi máy bị hỏng đều là 0,1. Tìm xác suất để trong ca đó có đúng 2 máy bị hỏng. Giải: Ta coi sự hoạt động của mỗi máy là một phép thử, như vậy ta có 5 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có hai trường hợp: Hoặc máy hỏng, hoặc máy chạy tốt. Xác suất hỏng của mỗi máy đều bằng 0,1. Do đó bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Khi đó xác suất để trong ca có đúng 2 máy 2 2 3 2 2 3 hỏng là: P5 (2) C5 .p .q C5 .(0,1) .(0,9) 0,0729 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 2: Bắn 6 phát đạn vào bia. Xác suất trúng đích của mỗi viên là 0,7. Tính xác suất để: 1) Có 3 viên trúng bia 2) Có ít nhất 3 viên trúng bia Giải: Ta thấy bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli 3 3 1) P6 (3) C6 .(0,7) 0,18522 2) P6 (3;6) P6 (3) P6 (4) P6 (5) P6 (6) 3 3 3 4 4 2 5 5 1 6 6 0 C6 .(0,7) .(0,3) C6 .(0,7) .(0,3) C6 .(0,7) .(0,3) C6 .(0,7) .(0,3) 0,1582 0,22689 0,30253 0,11765 0,83229 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
3.4.4. Số có khả năng nhất trong lược đồ Bernoulli (còn gọi là mốt) Số x0 mà tại đó xác suất đạt giá trị lớn nhất gọi là số có khả năng nhất (hay số lần xuất hiện chắc chắn nhất). Người ta đã chứng minh được rằng: * Nếu (np q) Z thì số có khả năng nhất cùng một lúc nhận 2 giá trị: x0 np q và x0 np q 1 * Nếu (np q) Z thì số có khả năng nhất là phần nguyên của np q 1, Tức là: x0 np q 1 (Ký hiệu   chỉ phần nguyên) Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: Xác suất để mỗi con lợn khi tiêm phòng bằng một loại vắcxin được miễn dịch là 0,9. Có 50 con lợn được tiêm phòng. Hãy tìm số lợn được miễn dịch có khả năng nhiều nhất. Giải: Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Do đó số lợn được miễn dịch có khả năng nhiều nhất chính là Mot(x0). Ta có: np q 50.0,9 0,1 45 0,1 44,9 Z Do đó: x0 np q 1 44,9 1 45 .Vậy số lợn có khả năng miễn dịch nhiều nhất là 45 con. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Chương IV đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.1. Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên 4.1.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể của nó với một xác suất tương ứng nhất định. Ký hiệu: X, Y, Z hoặc X1, , Xn, , Y1, , Yn Các giá trị có thể có của chúng được ký hiệu x1, x2, , xn, y1, , yn Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Chú ý: X gọi là đại lượng ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành phép thử, ta chưa có thể nói một cách chắc chắn nó sẽ nhận giá trị bằng bao nhiêu, mà chỉ dự đoán điều đó với một xác suất nhất định. Nói cách khác, việc X nhận một giá trị nào đó (X = x1); (X = x2); ; (X = xn) về thực chất là các biến cố ngẫu nhiên, Hơn nữa vì trong kết quả của phép thử, đại lượng X nhất định sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó, do đó các biến cố (X = x1); (X = x2); , (X = xn), tạo nên một hệ đầy đủ các biến cố. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là số chấm xuất hiện". X là đại lượng ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận 1 trong 6 giá trị có thể có là: 1,2,3,4,5,6. Ví dụ 2: Gọi Y là "Số con trai trong 100 trẻ sắp sinh trong một nhà hộ sinh" X là đại lượng ngẫu nhiên. Ví dụ 3: Gọi Z là "Khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia". Z là đại lượng ngẫu nhiên. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.1.2. Phân loại đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc, nếu các giá trị của nó có thể lập nên một tập hợp hữu hạn hay đếm được. Nói cách khác, đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu ta có thể liệt kê được tất cả các giá trị có thể có của nó. Ví dụ 4: Trong phép thử tung con xúc xắc. Nếu gọi X là "Số điểm thu được" thì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc vì các giá trị có thể có của nó là một tập hữu hạn. Ví dụ 5: Gọi Y là "Số người vào mua hàng tại một cửa hàng trong một ngày". Y là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp đếm được Y = 0, 1, 2, 3, Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 6: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động. Gọi Z là "Số máy hỏng trong 1 ca”. X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có là: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục, nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục, ta không thể liệt kê được tất cả các giá trị có thể có của nó. Ví dụ 7: Gọi X là năng suất lúa của một tỉnh. X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Ví dụ 8: Gọi Y là "Kích thước của chi tiết do một máy làm ra". Y là đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.2. Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 4.2.1. Định nghĩa: Bất kỳ một hình thức nào cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên và các xác suất tương ứng đều được gọi là quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ấy. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.2.2. Bảng phân phối xác suất: Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để thiết lập quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rác X có thể nhận một trong các giá trị có thể có là: x1, x2, , xn với các xác suất tương ứng là p1, p2, , pn. Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có dạng: X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn Ta chú ý rằng: để tạo nên một quy luật phân phối xác suất thì các xác suất pi phải thỏa mãn điều kiện: 0 pi 1;i 1,n n  pi 1 i 1 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là "Số chấm xuất hiện". Hãy xây dựng quy luật phân phối xác xuất của X. Giải: Vì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, với các giá trị có thể có X = 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6; với các xác suất tương ứng đều bằng 1/6. Do đó bảng phân phối xác suất của X có dạng: X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Kiểm tra: 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Xây dựng quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra. Giải: Gọi Y là "Số chính phẩm được lấy ra trong 2 sản phẩm". Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có Y = 2 C4 6 2 0, 1, 2. Ta tính các xác suất tương ứng. P(Y 0) 2 ; C10 45 15 C 1.C 1 24 8 C 2 .C 0 15 5 P(Y 1) 6 4 ; 6 4 2 P(Y 2) 2 C10 45 15 C10 45 15 Vậy quy luật phân phối của Y có dạng: Y 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15 Kiểm tra: 2/15 + 8/15 + 5/15 = 1.
Ví dụ 3: Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia là 0,8. Xạ thủ được phát từng viên đạn để bắn cho đến khi trúng bia. Xây dựng quy luật phân phối xác suất của số viên đạn được phát. Giải: Gọi X là "Số viên đạn mà xạ thủ được phát". X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có X = 1, 2, 3, , k, Ta tìm các xác suất tương ứng. Xác suất P(X = 1) là xác suất để số viên đạn được phát bằng 1. Muốn xảy ra biến cố đó thì ngay phát đạn đầu tiên xạ thủ phải bắn trúng bia. Do đó: P(X = 1) = 0,8 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Xác suất P(X = 2) là xác suất để người ấy được phát 2 viên đạn. Muốn vậy, phải xảy ra đồng thời hai biến cố: Phát thứ nhất bắn trượt, phát thứ 2 bắn trúng. Theo định lý nhân xác suất ta có: P(X = 2) = 0,2. 0,8 Ta tìm xác suất tổng quát P(X = k). Biến cố (X = k) là tích của k biến cố: k - 1 phát đầu bắn trượt và phát thứ k bắn trúng. Theo định lý nhân xác suất ta có: X 1 2 k P 0,8 0,2.0,8 (0,2k-1. 0,8 Kiểm tra: 0,8 + 0,2 + 0,8 + + (0,2)k-1. 0,8 + Đây chính là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội 0,8 q = 0,2. Do đó: (0,2) k 1.0,8 1 k 1 1 0,2
4.2.3. Hàm phân phối xác suất Khái niệm hàm phân phối xác suất áp dụng được đối với cả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục. *Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, Ký hiệu là F(x), là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ: F(x) = P(X < x) Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Chú ý: Đây là định nghĩa tổng quát của hàm phân phối xác suất. Đối với từng loại đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối xác suất được tính theo những công thức riêng. Chẳng hạn nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, thì hàm phân phối xác suất được xác định bởi công thức: i 1 p ;khi : x x x F (x)  pi  j i 1 i xi x j 1 1;khi : x xn Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục, thì hàm phân x phối xác suất được xác định bởi công thức: F(x) f (x).dx ; Trong đó f (x) là hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (sẽ nói đến ở phần sau).
Ví dụ: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau: X 1 3 4 P 0,1 0,5 0,4 Hãy xây dựng hàm phân phối và vẽ đồ thị. Giải: Nếu x 1, biến cố (X 4 biến cố (X < x) sẽ xảy ra hoặc khi (X = 1) hoặc khi (X = 3) hoặc khi (X = 4), do đó: F(x) = 0,1 + 0,5 + 0,4 = 1.
0;khi : x 1 Vậy hàm phân phối có dạng: F(x) = 0,1 khi x <1 3 0,6,khi : 3 x 4 1, khi : x 4 Đồ thị của f (x) có dạng bên: Như vậy, đồ thị của hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có dạng bậc thang, với số điểm gián đoạn chính bằng số giá trị có thể có của X. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hàm phân phối xác suất của nó liên tục và khả vi tại mọi điểm của X, do đó đồ thị của nó sẽ là một đường cong liên tục.
* Các tính chất của hàm phân phối xác suất 1) 0 F(x) 1,x Tính chất này suy trực tiếp từ định nghĩa hàm phân phối xác suất, vì nó là một xác suất nên giá trị của nó luôn nằm trong [0,1]. 2) Hàm phân phối xác suất là hàm không giảm, tức là với x2> x1thì: F(x2) >F(x1). Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Chứng minh: Giả sử x2> x1. Xét biến cố (X < x2). Biến cố này có thể phân tích thành hai biến cố xung khắc (X < x1) và (x1 ≤ X < x2). Theo định lý cộng xác suất ta có: P(X < x2) = P(X < x1) + P(x1 ≤ X < x2). Từ đó P(X<x2) - P(X < x1) = P(x1 ≤ X < x2). Hay F(x2) - F(x1) = P(x1≤ X < x2) Vì vế phải là một xác suất nên không âm, do đó: F(x2) = F(x1) ≥ 0 F(x2) ≥ F(x1) Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Hệ quả 1) P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a) Hệ quả 2) Xác suất để đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận một giá trị xác định thì băng 0: P(X = x) = 0. Thật vậy: Nếu đặt a x,b x x thì P(x X x x) F(x x) F(x) Lấy giới hạn cả hai vế khi x 0 lim lim x 0 P(x X x x) x 0 F(x x) F(x) . Vì X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục, do đó tại điểm x, hàm phân phối xác suất cũng liên tục. Vì vậy: lim x 0 F(x x) F(x) P(X x) F(x) F(x) 0 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Hệ quả 3) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì: i) P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) Chứng minh: Chẳng hạn, với đẳng thức P(a X b) P(a X b) , ta chứng minh như sau: P(a X b) P(a X a) P(a X b) P(a X b) Nhận xét: Việc xét xác suất để lại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận một giá trị xác định là không có ý nghĩa, song việc tìm xác suất để nó nhận giá trị trong một khoảng, dù rất nhỏ lại có ý nghĩa. ii) Ta có biểu thức giới hạn sau: F( ) 0, F( ) 1. Thật vậy, F( ) P(X ) P(V ) 0 F( ) P(X ) P(U ) 1 * ý nghĩa của hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất ở về phía bên trái một số thực x nào đó.
Ví dụ 1: Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất: 0,khi : x 1 3 3 1 F (x) x , khi : 1 x 4 4 3 1, khi : x 3 Tìm xác suất để trong kết quả của phép thử, X nhận giá trị trong khoảng 0,1/ 3. Giải: Theo tính chất của hàm phân phối xác suất: P(0 X 1/ 3) F (1/ 3) F (0). Vì trong khoảng 0,1/ 3 giá trị 3 3 của hàm phân phối xác suất bằng: F(x) x . Do đó: 4 4 3 1 3 3 3 1 F(1/ 3) F(0) . .0 . 4 3 4 4 4 4 Như vậy: P(0 X 1/ 3) 1/ 4.
Ví dụ 2: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất: 0,khi : x a x F(x) A B.arcsin , khi a x a a 1, khi : x a Hãy tìm A,B ? Giải: Theo tính chất của hàm phân phối: 0 F(x) 1.suy ra: 0 A B.arcsin(x / a) 1. Mặt khác, vì X liên tục nên F(x) cũng liên tục. Do đó: lim lim x F(x) F(x) F( a) lim A B.arcsin 0 x a 0 x a 0 x a 0 a lim lim A B. 0 F(x) F(x) F(a) 2 x a 0 x a 0 lim x A B.arcsin 1 A B. 1 x a 0 a 2 1 1 Kết hợp lại, ta tìm được A ; B . 2
4.2.4. Hàm mật độ xác suất: Hàm mật độ xác suất đặc trưng cho quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X. * Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X. Ký hiệu f (x) , là đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên đó. f (x) F'(x) * Các tính chất của hàm mật độ xác suất i) f (x) 0,x. Chứng minh: Vì hàm phân phối xác suất F(x) là một hàm không giảm, do đó đạo hàm của nó F'(x) f (x) là một hàm không âm. Về mặt hình học điều đó có nghĩa là đồ thị của hàm f (x) không nằm thấp hơn trục Ox. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
b ii) P(a X ) f (x)dx. a Chứng minh: P(a X b) F(b) F(a) . Theo công thức Newton- Laibnitz ta có: b b b F(b) F(a) aF'(x)dx af (x)dx. Do đó: P(a X b) f (x)dx x a iii) f (x)dx F(x) Chứng minh: Theo định nghĩa của hàm phân phối xác suất, ta có: F(x) P(X x) P( X x) Theo tính chất ii): đặt a , và b x, ta có: x P( X x) f (x)dx Công thức này cho phép tìm hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục khi đã biết hàm mật độ xác suất của nó.
iv) f (x)dx 1. Chứng minh: Theo tính chất ii), đặt a ,b . Ta có: P( X ) f (x)dx Vì biến cố ( X ) là biến cố chắc chắn, do đó: f (x)dx P() 1 Chú ý: Để hàm f (x) là hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục nào đó thì nó phải thỏa mãn hai điều kiện: f (x) 0;x f (x)dx 1
* Các ví dụ: Ví dụ 1: Hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có dạng: 0, khi : x 0 F (x) ax 2 , khi : 0 x 1 1, khi : x 1 a) Hãy tìm hệ số a. b) Tìm hàm mật độ xác suất f (x) . c) Tìm xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng (0,25; 0,75). Giải: 2 a) Vì F (x) liên tục, do đó nó liên tục tại x 1, ax 1 a 1 0, khi : x 0 F (x) F '(x) 2x, khi : 0 x 1 b) Ta có 0, khi : x 1 c) Theo tính chất của hàm phân phối xác suất: P(0,25 X 0,75) F (0,75) F (0,25) (0,75) 2 (0,25) 2 0,5.
Ví dụ 2: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất: a cos x,khi : x , 2 2 F(x) 0,khi : x , 2 2 a) Tìm hệ số a ? b) Tìm hàm phân phối xác suất F(x) ? c) Tìm xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng 0 , 4 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Giải: a) Vì f (x) là hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên f (x) 0,x liên tục X nên nó thỏa mãn: f (x)dx 1 Với mọi x , cosx 0. Do đó từ điều kiện đầu suy ra a 0. 2 2 2 2 Với điều kiện sau ta thấy 1 f (x)dx f (x)dx a.cosxdx f (x)dx 2 2 1 a.sin x 2 2a a . Kết hợp với a 0, ta có a 1/ 2 2 2 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
b) Để tìm hàm phân phối xác suất, ta sử dụng tính chất của hàm mật độ xác suất: x F(x) f (x)dx x 1. Với x : F(x) 0.dx 0 2 x 2 x 1 1 2. Với x : F(x) f (x)dx 0.dx cosx.dx (sinx 1) 2 2 2 2 2 x 2 2 1 x 3. Với x : F(x) f (x)dx 0.dx cosx.dx 0dx 1 2 2 Vậy hàm phân phối xác suất của x có2 dạng: 2 0;khi : x 2 1 F(x) (sin x 1) : khi : x 2 2 2 1;khi : x 2
c) Theo tính chất của hàm phân phối xác suất, ta có: 1 1 2 P(0 x / 4 F( / 4) F(0) (sin 1) (sin 0 1) 2 4 2 4 Ví dụ 3: Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có dạng F (x) a b.arctgx ; với ( x ) a) Hãy tìm hệ số a, b ? b) Tìm hàm mật độ xác suất f (x) . c) Tìm xác suất để khi tiến hành 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (-1,1). Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Giải: a) Theo tính chất của hàm phân phối xác suất ta có: 1 a .b 0 a F( ) 0 a b.arctg( ) 0 2 2 1 F( ) 1 a b.arctg( ) 1 a .b 1 b 2 ' 1 1 1 b) f (x) F ' (x) arctgx 2 (1 x 2 ) c) Trước hết, ta tính xác suất để khi tiến hành một phép thử đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng (-1,1).Theo tính chất của hàm mật độ, ta có: 1 dx 1 1 1 P( 1 X 1) arctgx 2 . 1 (1 x ) 1 2
Mặt khác, theo đầu bài khi tiến hành 3 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ có 2 khả năng: hoặc X nhận giá trị trong khoảng (-1,1), (biến cố A), hoặc không nhận giá trị trong khoảng đó (biến cố A ). Hơn nữa, xác suất trong mỗi phép thử đã tính được đều bằng 1/2. Do vậy bài toán thỏa mãn lược đồ 2 2 2 1 2 1 1 Bernoulli, nên: P3 (2) C3 .p q C3 (1 ) 0,375 2 2 * ý nghĩa của hàm mật độ xác suất: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X tại mỗi điểm x cho biết mức độ tập trung xác suất tại điểm đó. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.3. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên Như ta đã biết, quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên (cho dưới dạng bảng phân phối, hàm phân phối hay hàm mật độ xác suất) hoàn toàn xác định đại lượng ngẫu nhiên. Như vậy, khi xác định được quy luật phân phối xác suất thì ta đã nắm được toàn bộ thông tin về đại lượng ngẫu nhiên đó. Tuy nhiên, trong thực tế rất khó và cũng không cần thiết phải nắm được toàn bộ thông tin đó, mà chỉ cần quan tâm đến những thông tin cô đọng nhất phản ánh những đặc trưng quan trọng của đại lượng ngẫu nhiên đạng được nghiên cứu. Sau đây, ta nghiên cứu một vài tham số quan trọng nhất Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.3.1. Kỳ vọng toán Định nghĩa: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có: x1, x2, , xn với các xác suất tương ứng p1, p2, , pn. Kỳ vọng toán của X, ký hiệu là E(X), là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với các xác suất tương ứng. n E(X )  xi .pi i 1 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục, với hàm mật độ xác suất f (x) thì kỳ vọng toán E(X) được xác định bởi: E(X ) x. f (x)dx Chú ý: Nếu f (x) chỉ dương trong khoảng (a,b) thì: b E(X ) x. f (x)dx a Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Các ví dụ: 1) Tìm kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau: X 1 3 4 P 0,1 0,5 0,4 Giải: Theo định nghĩa kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ta có: n E(X )  xi .pi 1.0,1 3.0,5 4.0,4 3,2 i 1 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
2) Tìm kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau: 3 (x 2 2x); Khi : x (0,1) f (x) 4 0; Khi : x (0,1) Giải: Theo định nghĩa kỳ vọngtoán của đại lượng ngẫu nhiên liên tục ta có: 1 1 4 3 3 2 3 3 2 3 x 2x 1 11 E(X) x.f (x)dx x.(x 2x)dx (x 2x )dx 4 0 40 4 4 3 0 16 Chú ý: Kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên là một số xác định. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.3.2. Các tính chất của kỳ vọng toán i) E(C) C(C : const) Thật vậy, ta coi C như là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc đặc biệt với một giá trị có thể có bằng C và xác suất tương ứng bằng 1. Khi đó, theo định nghĩa kỳ vọng toán ta có: E(C) C.1 C Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
ii) E(C.X ) CE(X )(C : const) Thật vậy, giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là: X x1 x2 xn P p1 p2 pn n m n m n m n m m n E(X Y) (xi y j )p jj xi pij y j pij xi  pij y j  pij i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 j 1 i 1 n m n m p q ; p q ) xi pi y j q j E(X) E(Y); (Trong đó:  ij j  ij j i 1 j 1 i 1 j 1 n n Hệ quả: E(xi ) E(xi ) i 1 i 1 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
iii) Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: E(X .Y ) E(X ).E(Y ) . Thật vậy, giả sử X và Y độc lập, rời rạc có quy luật phân phối xác suất như sau: X x1 x2 xn P p1 p2 pn Y y1 y2 ym P q1 q2 qm Khi đó X .Y có quy luật phân phối xác suất như sau: X.Y x1y1 x2y2 xnym P p1q1 p2p2 pnqm n m n m Ta có: E(X .Y )  xi y j pi q j  xi pi  y j q j E(X ).E(Y ) i 1 j 1 i 1 j 1 n n Hệ quả: E( xi )  E(xi ) (Trong đó: x1, x2, , xn độc lập với nhau). i 1 i 1
4.3.3. Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán Giả sử đối với đại lượng ngẫu nhiên X , tiến hành n phép thử, trong đó n1 lần nhận giá trị x1,n2 lần nhận giá trị n x2 , ,nk lần nhận giá trị xk ( ni n). Giá trị trung bình của đại i 1 lượng ngẫu nhiên X trong n phép thử này là: n1 x1 n2 x2 nk xk n1 n2 nk X x1 x2 xk n n n n n n n Với chú rằng 1 , 2 , , k chính là tần suất xuất hiện các giá trị n n n x1 , x2 , , xk trong n phép thử trên. Do đó: X x1 f1 x2 f 2 xk f k . Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Theo định nghĩa thống kê về xác suất, khi n các tần suất sẽ hội tụ theo xác suất về các xác suất tương ứng, do đó với n đủ lớn ta có thể viết: X x1 p1 x2 p2 xk pk E(X ) Vậy: Kỳ vọng toán của đại luợng ngẫu nhiên gần bằng trung bình số học của các giá trị quan sát của đại lượng ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: Tung con xúc xắc n lần. Tìm kỳ vọng toán của tổng số chấm thu được. Giải: Gọi X i (i 1,n) là số chấm thu được ở lần tung thứ i và gọi X là tổng số chấm thu được trong n lần tung. Như vậy: n X  X i . Theo tính chất của kỳ vọng toán: i 1 n n E(X ) E( X i )  E(X i ) i 1 i 1 Mỗi đại lượng ngẫu nhiên Xi đều có bảng phân phối xác suất như sau: Xi 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 7 7 Do đó: E(X i ) .(1 2 3 4 5 6) ;i; E(X ) .n 6 2 2
4.3.4. Phương sai Trong thực tế nhiều khi chỉ xác định kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên thì chưa đủ để xác định đại lượng ngẫu nhiên đó. Ta còn phải xác định mức độ phân tán của các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh các giá trị trung bình của nó nữa. Định nghĩa: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X , ký hiệu là D(X ) là kỳ vọng toán của bình phương sai lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó. D(X ) EX E(X )2 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Do đó, nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì phương sai xác định bởi công thức: n 2 D(X ) xi E(X ) .pi i 1 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f (x) thì phương sai được xác định bởi công thức: 2 D(X ) x E(X ) . f (x)dx Trong thực tế, việc tính phương sai bằng các công thức trên có thể gặp khó khăn. Người ta thường tính phương sai bằng công thức sau: D(X ) E(X 2 ) E(X )2 . Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Thật vậy, theo định nghĩa của phương sai: D(X) EX E(X)2 EX2 2.X.E(X) (E(X)2 E(X2) 2.E(X).E(X) (E(X))2 E(X 2 ) (E(X))2 . Do đó, nếu X là rời rạc thì: n n 2 2 D(X )  xi pi  xi pi . i 1 i 1 * Nếu X là liên tục thì: 2 2 D(X ) x . f (x)dx x. f (x)dx Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 1: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau: X 1 3 4 P 0,1 0,5 0,4 Hãy tìm phương sai ? Giải: áp dụng công thức D(X ) E(X 2 ) (E(X )) 2 . Do đó ta cần tính: E(X ) 1.0,1 3.0,5 4.0,4 3,2 E(X 2 ) 12.0,1 32.0,5 42.0,4 11 Vậy D(X ) 11 (3,2) 2 0,76 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 2: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau: 2x; Khi : x (0,1) f (x) . Hãy tìm phương sai 0; Khi : x (0,1) Giải: áp dụng công thức: D(X ) E(X 2 ) (E(X ))2 . 1 2x3 1 2 Ta cần tính: E(X ) x. f (x)dx x.2x.dx 0 3 0 3 1 x 4 1 1 Tính E(X 2 ) x 2 f (x)dx x 2 .2x.dx . 0 2 0 2 2 1 2 1 Vậy: D(X ) . 2 3 18 Chú ý: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên là một giá trị xác định không âm.
4.3.5. Các tính chất của phương sai i) Phương sai của một hằng số bằng không: D(C) 0 . Thật vậy, theo định nghĩa của phương sai D(C) EC E(C)2 EC C2 E(0) 0 ii) D(C.X ) C 2 D(X ); (C const) Thật vậy: D(CX ) ECX E(CX )2 ECX CE(X )2 EC 2 X E(X )2 C 2 EX E(X )2 C 2 .D(X ). Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
iii) Phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tổng của các phương sai thành phần: D(X Y) D(X ) D(Y). Thật vậy, theo công thức tính phương sai: D(X Y) E(X Y)2  E(X Y)2 EX 2 2XY Y 2  E(X) E(Y)2 E(X 2 ) 2.E(X ).E(Y ) E(Y 2 ) E(X )2 2E(X ).E.(Y ) E(Y )2 E(X 2 ) E(X )2 E(Y 2 ) E(Y)2 D(X ) D(Y). Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
n n Hệ quả 1: D( X i )  D(X i ); Với X1, X2, , Xn là các đại lượng i 1 i 1 ngẫu nhiên độc lập. Hệ quả 2: D(C X ) D(X ) ; (C const) . Hệ quả 3: D(X Y ) D(X ) D(Y ). Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.3.6. Bản chất và ý nghĩa của phương sai: Xuất phát từ định nghĩa của phương sai, ta thấy phương sai chính là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của các giá trị đó. Do vậy, nó phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung tâm của nó là kỳ vọng toán. Ví dụ: Tung con xúc xắc n lần. Tìm phương sai của tổng số chấm thu được. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Giải: Gọi X i (i 1,n) là số điểm thu được ở con xúc xắc thứ i .Gọi X là tổng số chấm thu được ở cả n con xúc xắc. Vậy: n X  X i .Vì các X i độc lập với nhau nên: i 1 n n 2 2 D(X ) D( X i )  D(X i ). Ta có: D(X i ) E(X i ) E(X i  i 1 i 1 Mỗi đại lượng ngẫu nhiên X i (i 1,n) đều có bàng phân phối xác suất như sau: Xi 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 7 Do đó: E(X i ) (1 2 3 4 5 6) 6 2 2 1 2 2 2 2 2 2 91 Và E(X i ) (1 2 3 4 5 6 ) 6 6 2 91 7 35 n 35 Vậy D(X i ) (i 1,n) D(X )  D(X i ) .n 6 2 12 i 1 12
4.3.7. Độ lệch tiêu chuẩn Ký hiệu:  (X ) Ta có:  (X ) D(X ) Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của đại lượng ngẫu nhiên. Vì vậy khi cần đánh giá mức độ phân tán của đại lượng ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó, người ta thường tính độ lệch tiêu chuẩn chứ không phải là phương sai, vì nó cùng đơn vị đo với đại lượng ngẫu nhiên. Độ lệch tiêu chuẩn đặc trưng cho mức độ phân tán trung bình của các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán của nó. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p và p(A) 1 p q. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử trên. Hãy tính E(X ) ; D(X ) ;  (X ) ? Giải: Gọi X i là số lần xuất hiện biến cố A trong lần thử thứ i(i 1, n) Ta có xi 0 1 (q= 1- p) P q p 2 2 2 E(X i ) 0.q 1.p p ; D(X i ) (0 .q 1 .p) p p(1 p) p.q Suy ra: E(X ) E(X1 X 2 X n ) E(X1 ) E(X 2 ) E(X n ) n.p D(X) D(X1 X 2 X n ) D(X1) D(X 2 ) D(Xn ) n.p.q (X) D(X ) n.p.q .
4.4. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 4.4.1. Quy luật không -một - A(p) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có: X 0 ; 1 với các xác suất tương ứng được x 1 x tính bởi công thức: p x p .q ; x 0;1 Do đó, bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật không - một có dạng: X 0 1 –––––––––––––––––––––– P q p (q=1-p) Các tham số đặc trưng của quy luật không - một Theo bảng phân phối xác suất ta sẽ tính được: E(X ) p ; D(X ) p.q ;  (X ) p.q Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: Một máy tiến hành sản xuất thử một loại sản phẩm. Xác suất để sản phẩm đó đạt tiêu chuẩn là 0,7. Gọi X là số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn. X có phân phối gì? Trung bình có mấy sản phẩm không đạt tiêu chuẩn? Tính phương sai của X ? Giải: X nhận giá trị: 0; 1 với xác suất tương ứng: P(X 0) 1 0,7 0,3; P(X 1) 0,7 Vậy X có quy luật không - một với tham số p = 0,3. Khi đó E(X ) p 0,3 (E(X ) là số trung bình sản phẩm không đạt tiêu chuẩn). D(X ) p.q 0,3.0,7 0,21 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.4.2. Quy luật nhị thức- B(n,p) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có: X 0,1,2, , n với các xác suất tương ứng được tính bởi công thức: x x n x Px Cn p q ; x 0,1,2, , n Gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số là n và p Như vậy, bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức có dạng: X 0 1 x n P 0 0 n 1 1 n 1 x x n x n n n Cn p q Cn p q Cn p q Cn p q Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Chú ý: Phân phối nhị thức xuất hiện trong lược đồ Bernoulli với xác suất tương ứng là: k k n k P(X k) pn (k) Cn p q ;( p q 1) Các tham số đặc trưng của quy luật phân phối nhị thức: E(X ) n.p ; D(X ) n.p.q ;  (X ) n.p.q Ngoài kỳ vọng, phương sai và độ lệch tiêu chuẩn, trong quy luật nhị thức có một tham số khác có nhiều ứng dụng trong thực tế mà ta đã biết, đó là mốt. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: Xác suất để một nguời bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số viên đạn bắn trúng bia khi người đó bắn 6 phát đạn. Hỏi X có phân phối gì? Trung bình có mấy viên đạn trúng bia? Mốt là bao nhiêu? Giải: Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli, do đó X có phân phối nhị thức với tham số: n 6, p 0,8. Số viên đạn trúng bia chính là kỳ vọng: E(X ) n, p 6.0,8 4,8 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Mốt = x0 . Xét: n.p.q 6.0,8 0,2 4,6 Z . Do đó: x0 [4,6] 1 5. Mốt x0 5 . Số viên đạn có khả năng trúng bia nhiều nhất là 5 viên. Nhắc lại: Mốt chính là giá trị có khả năng xảy ra nhiều nhất trong các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên. Chẳng hạn nếu X là năng suất lao động của một xí nghiệp thì mốt chính là năng suất lao động mà nhiều công nhân đạt được nhiều nhất. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4 4.3. Quy luật Poisson - P() Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có X 0,1,2, với các xác suất tương ứng được tính bởi x   công thức xấp xỉ Poisson : Px e ; x 0,1,2 gọi là phân x! phối theo quy luật Poisson với tham số  . Ký hiệu là P() . Bảng phân phối xác suất của X phân phối theo quy luật Poisson có dạng: X 0 1 k 0 1 k P       e . e . e . 0! 1! k! Chú ý: Trong trường hợp số phép thử n rất lớn, xác suất p rất nhỏ và tích n.p  không đổi, khi đó phân phối Poisson xuất hiện. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Các tham số đặc trưng của quy luật Poisson E(X )  ; D(X )  ;  (X )  Mốt được xác định bởi công thức:  1 X 0  Xảy ra hai trường hợp: Nếu  Z thì mốt cùng một lúc nhận hai giá trị x0  1 và x0  Nếu  Z thì mốt sẽ là giá trị nguyên nằm trong khoảng của hai số thập phân là  và  1, nghĩa là x0 [] Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: Xác suất để trong khi vận chuyển mỗi chai rượu bị vỡ là 0,001. Người ta vận chuyển 2000 chai đến cửa hàng. 1) Tìm số chai vỡ trung bình khi vận chuyển 2) Tìm số chai vỡ có khả năng nhiều nhất khi vận chuyển? Giải: Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Vì n 2000 khá lớn, p 0,001 khá nhỏ và tích n.p 2000.0,001 2 không đổi. Do đó nếu gọi X là số chai rượu bị vỡ khi vận chuyển thì X có phân phối Poisson. 1) Số chai vỡ trung bình chính là kỳ vọng toán của X .E(X )  2 2) Số chai vỡ có khả năng nhiều nhất là mốt X 0 :  1 X 0  X 0 1 và X 0 2 . Như vậy số chai vỡ có khả năng nhiều nhất là 1 và 2 chai.
Quy luật Poisson có nhiều ứng dụng rộng rãi trong thực tế như kiểm tra chất lượng sản phẩm, lý thuyết phục vụ đám đông, lý thuyết quản lý dự trữ Trong lý thuyết phục vụ đám đông, người ta tính đến các hệ thống phục vụ dòng các yêu cầu như dòng người vào tham quan một địa điểm du lịch, dòng các con tàu cập cảng xếp hàng, dòng xe ô tô vào một cửa ô thành phố Trong nhiều trường hợp, các dòng yêu cầu đó thường là dòng tối giản, tức là thỏa mãn các yêu cầu không dừng, không hậu quả, và đơn nhất. Nó thường tuân theo quy luật Poisson, bởi vậy người ta tính được và đưa ra những phương thức tổ chức hệ thống để đạt hiệu quả kinh tế và kỹ thuật cao nhất. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.4.4. Phân phối chuẩn - N(a, 2 ) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trong khoảng ( ; ) gọi là phân phối theo quy luật chuẩn với các tham số là (a, 2 ) , nếu hàm mật độ xác suất của nó có (x a)2 1 2 dạng: f (x) e 2  2. Đồ thị của hàm mật độ xác suất có dạng: Hàm phân phối xác suất theo quy luật chuẩn được xác định 2 x ( x a) 1 2 bởi: F(x) e 2 dx  2 Các tham số đặc trưng của quy luật chuẩn: E(X ) a; D(X )  2 ;  (X )  Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.4.5. Phân phối chuẩn hóa Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N(a, 2 ). X a Khi đó đại lượng ngẫu nhiên U nhận giá trị trong  khoảng ( , ) gọi là tuân theo quy luật phân phối chuẩn hóa, nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: u 2 1 (u) e 2 2 Các giá trị của hàm (u) được tính sẵn thành bảng (ở phụ lục 1) Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên U phân u u2 1 phối chuẩn hóa có dạng: F(u) e 2 du 2 Các giá trị của F(u) được tính sẵn trong bảng (Phụ lục 3) Các tham số đặc trưng của phân phối chuẩn hóa E(U ) 0 ; D(U ) 1 ;  (U ) 1 Phân phối chuẩn hóa được ký hiêu: N (0,1) Định nghĩa: Phân vị chuẩn mức (Ký hiệu U ) là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn hóa thỏa mãn điều kiện P(U U ) Bảng tính sẵn giá trị của U với mức cho trước có trong bảng (phụ lục 3) Chú ý: U U1
4.4.6. Công thức tính xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X phân phối chuẩn hóa nhận giá trị trong khoảng ( ,  )  (x a)2 1 2 Ta đã biết: P( x ) f (x)dx ; với f (x) e 2  2 x a Đặt Z x .Z a ; dx .dz ;  a  a Khi: x z ; x  z    a  a a 2 2 2  Z  Z  Z 1 2 1 2 1 2 Khi đó P( x ) .e dx e dz e dz  2 a 2 0 2 0  2  a a 1 u   ; Trong đó (x) e 2 du . (Hàm   2 Laplatce) với các giá trị cho trước đã được tính sẵn trong bảng (Phụ lục 2). Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: Kích thước của các chi tiết do một máy sản xuất ra là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với kích thước trung bình a 5cm và độ lệch tiêu chuẩn  0,9cm . Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một chi tiết có kích thước nằm trong khoảng từ 4cm đến 7cm. Giải: Gọi X là kích thước chi tiết được lấy ra. Theo giả thiết X phân phối chuẩn: N (a, 2 ) N (5,(0,9) 2 ) . Do đó: 7 5 4 5 P(4 x 7)   (2,22) ( 1,11) (2,22) (1,11) 0,9 0,9 Tra bảng (Phụ lục 2) ta có: (2,22) 0,4868; (1,11) 0,3665 Do đó: P(4 x 7) 0,4868 0,3665 0,8533. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
4.4.7. Xác suất của sự sai lệch giữa đại lượng ngẫu nhiên và kỳ vọng toán của nó Trong thực tế, nhiêu khi ta phải tính xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X phân phối chuẩn nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng của nó về giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương cho trước. Nghĩa là: P( X a  ) P(a  x a  ) a  a a  a        2 .       Do đó: P( X a  ) 2 . Nếu ta lấy: t.  thì ta có:  P( X a t ) 2 (t) . Nếu t 1 P( X a  ) 2 (1) 2.0,34135 0,6827 Nếu t 2 P( X a 2 ) 2 (2) 2.0,47725 0,9545 Nếu t 3 P( X a 3 ) 2 (3) 2.0,49865 0,9973 Chú ý: F (u ) 0,5  (u ) Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
 Quy tắc 3 : Nếu trong công thức P( X a  ) 2 ta đặt   3 , tức là bằng 3 lần độ lệch tiêu chuẩn của X thì ta có: 3 P( X a 3 P(a 3 X a 3) 2 2(3) 2.0,49865 0.9973  Điều đó cho thấy, xác suất để đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nhận giá trị trong khoảng (a 3 , a 3 ) lên tới 0,9973, còn xác suất để nó nhận giá trị ngoài khoảng đó chỉ còn 0,0027 (hầu như không xảy ra) Trong thực tế, quy tắc 3 được áp dụng như sau: Nếu quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên được nghiên cứu chưa biết, song nó thỏa mãn điều kiện của quy tắc 3 thì ta có thể xem như nó là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Quy luật Student- T(n) Giả sử U là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa, tức là E(U ) 0, D(U ) 1 và V là một đại lượng ngẫu nhiên độc lập với U phân phối theo quy luật "Khi bình phương" với n bậc tự U T do. Xét đại lượng ngẫu nhiên: V . n Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Đại lượng ngẫu nhiên T sẽ phân phối theo một quy luật phân phối xác suất được gọi là quy luật Student (Nhà toán học Anh Gosset) vơi n bậc tự do, ký hiệu T(n). hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên T có dạng: n n  2 t 2 2 F(t) 1 , t ;(x) là hàm Gamma. n 1 n 1 (n 1) 2 Ta có E(T ) 0, D(T ) n /(n 2) (n) Phân vị Student ký hiệu t là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên T phân phối theo quy luật Student với n bậc tự do, thỏa (n) mãn điều kiện: P(T ) t . (n) Giá trị của phân vị t cho ở phụ lục 5; Ngoài ra: (n) (n) t t1 .
Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thỏi Nguyờn
Chương V Lý thuyết mẫu Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
5.1. Tổng thể và mẫu Khi nghiên cứu các vấn đề kinh tế, xã hội, quân sự ta thường khảo sát một hay nhiều dấu hiệu thể hiện bằng số lượng trên nhiều phần tử. Tập hợp các phần tử này do mục đích nghiên cứu quy định, tạo thành khách thể nghiên cứu. Trong thống kê gọi là tổng thể. Số phần tử trong tổng thể có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Ta có một số ký hiệu sau: N: là số lượng phần tử của tổng thể và gọi là kích thước của tổng thể.  là dấu hiệu đặc trưng cho tổng thể mà ta khảo sát. Các dấu hiệu này có thể định tính hoặc định lượng (Trong xã hội gọi là chỉ báo, trong kinh tế gọi là chỉ tiêu, trong vật lý gọi là đại lượng ) Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Chú ý: Ta không nghiên cứu trực tiếp tổng thể mà chỉ nghiên cứu dấu hiệu  nào đó của tổng thể. Vì thế, trong thực tế phương pháp nghiên cứu toàn bộ thường chỉ được áp dụng đối với các tập hợp có quy mô nhỏ, còn chủ yếu dùng phương pháp nghiên cứu không toàn bộ, đặc biệt là phương pháp nghiên cứu chọn mẫu. Nội dung của phương pháp là: từ tập hợp cần nghiên cứu chọn ra một số phần tử (gọi là mẫu), phân tích các phần tử này và dựa vào đó mà suy ra các kết luận về tổng thể cần nghiên cứu. Nếu mẫu được chọn một cách ngẫu nhiên và xử lý bằng các phương pháp xác suất thì vừa thu được các kết luận một cách nhanh chóng, đỡ tốn kém mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
5.1.1. Khái niệm mẫu Muốn biết được chính xác cơ cấu của tổng thể theo một dấu hiệu  , trung bình m, phương sai  ta phải điều tra toàn bộ N phần tử của tổng thể. Tuy vậy, sẽ gặp nhiều khó khăn như: Chi phí, nhân lực, thời gian, phương sai. Ví dụ: điều tra dân số Có trường hợp không thể chấp nhận điều tra được toàn bộ. Ví dụ: Kiểm tra hàm lượng đường trong sữa phải đục toàn bộ các hộp sữa đã sản xuất Hoặc không thể xác định được toàn bộ số N phần tử của tổng thể. Ví dụ: Điều tra xã hội học về số người phạm tội Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
5.1.2. Các cách chọn mẫu Mẫu ngẫu nhiên: Đánh số các phần tử của tập hợp chính từ 1 đến N . Nếu muốn một mẫu có dụng lượng n(n N ) thì sẽ dùng bảng số ngẫu nhiên hoặc bằng cách rút thăm cho đủ n số. Với cách này, các phần tử trong tập hợp chính đều có khả năng rơi vào mẫu như nhau. Chọn mẫu một cách cơ giới: Các phần tử trong tập hợp chính được đưa vào mẫu cách nhau mjột khoẳng xác định. Ví dụ: Trong một dây chuyền sản xuất sữa, cứ sau 30 phút lại lấy ra một hộp cho vào mẫu để kiểm tra. Chọn mẫu bằng cách phân lớp: Chia tập hợp chính thành một số lớp dựa theo một số tiêu chuẩn phụ nào đó sao cho các phần tử trong một lớp đồng đều hơn, sau đó mới lấy ngẫu nhiên từ mỗi lớp một số phần tử để đưa vào mẫu. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Chọn mẫu có lặp: Phần tử lấy ra từ tập hợp mẫu kích thước n theo phương pháp đơn giản, ngẫu nhiên, có hoàn lại. Đối tượng nghiên cứu là dấu hiệu  đo được chứ không phải là bản thân phần tử, do đó ta chỉ chú ý là các giá trị của dấu hiệu  trên phần tử. Định nghĩa: Cho đại lượng ngẫu nhiên X với quy luật phân phối xác suất F(X ) nào đó. Một mẫu ngẫu nhiên kích thước n thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên X là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có cùng quy lật phân phối xác suất F(X ) với đại lượng ngẫu nhiên X . Ký hiệu là Wx (X 1 , X 2 , , X n ) . Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
5.1.4. Phân bố thực nghiệm * Trường hợp ít số liệu: Nếu dung lượng mẫu nhỏ, ta trình bày mẫu dưới dạng bảng: Giá trị xi x1 x2 xk Số lần lặp (mi) m1 m2 mk k Với  mi n là dung lượng mẫu i 1 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Trường hợp nhiều số liệu: Dùng khi các số lượng mẫu là giá trị của một đại lượng liên tục (ví dụ độ dài, trọng lượng ) Nếu gọi k là số lớp định chia, X Max là giá trị lớn nhất trong mẫu, X Min là giá trị nhỏ nhất trong mẫu thì độ dài mỗi lớp được xác định: X X h Max Min k Do vậy lớp thứ nhất chứa số liệu từ X Min X Min h lớp thứ hai chứa số liệu từ X Min h X Min 2h lớp thứ k chứa số liệu từ X Max h X Max Chú ý: Để tránh trường hợp số liệu có thể vừa rơi vào lớp này vừa rơi vào lớp bên cạnh, ta quy ước dùng nửa khoảng hoặc cho đầu mút là số thập phân thấp hơn các số liệu của mẫu (Sau khi đã làm tròn một cấp).
Ví dụ: Nếu số liệu mẫu đã làm tròn đến đơn vị, độ dài mỗi lớp h là h đơn vị, h là số lẻ thì sẽ lấy mút trái của lớp đầu là X ; Min 2 h mút phải lớp cuối cùng là X . Max 2 áp dụng: Trong một mẫu có dung lượng 100, với: X Min 103; X Max 157 Ta định chia mỗi lớp có độ dài h 3 . Khi đó: Lớp đầu tiên chữa số liệu trong khoảng h 3 X 103 101,5 104,5 Min 2 2 Lớp thứ hai chứa số liệu từ 104,5 107,5 Lớp cuối cùng chứa số liệu từ 155,5 158,5 Các số liệu của mẫu sau khi đã được chia thành lớp, ta sẽ lấy trung bình của lớp đó làm số đại diện cho toàn lớp. Số số liệu xuất hiện trong mẫu là số lần lặp của số liệu trung bình của lớp. Khi đó ta có bảng phân bố thực nghiệm trình bày ở trên (5.1.4).
5.1.5. Đa giác tần suất Nếu mẫu cho dưới dạng ở (5.1.4.) thì ta có biểu đồ hình gậy (Lấy trên mặt phẳng các điểm có tọa độ (xi , mi ) rồi kẻ từ đó các đường thằng song song với OY cho tới khi gặp OX). Nối các điểm liên tiếp ra được một đường gấp khúc gọi là đa giác tần suất. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: xi 17 19 20 22 23 mi 1 2 4 2 1 5 4 4 3 2 2 2 1 1 1 0 17 19 20 22 23 xi Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
5.1.6. Tổ chức đồ: Nếu số liệu được chia thành lớp, thì mỗi lớp được biểu diễn bằng một hình chữ nhật có đáy là độ dài của lớp đó đặt trên trục OX và chiều cao là tần suất (mi/n) của lớp đó. Ví dụ: Năng suất lúa gặt trên 200 ruộng thí nghiệm Năng suất Số thửa ruộng Tần suất (tạ/ha) 19-20 10 0,05 20-21 26 0,13 21-22 56 0,28 22-23 64 0,32 23-24 30 0,15 24-25 14 0,07 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
mi/n 0.35 0.32 0.3 0.28 0.25 0.2 0.15 0.15 0.13 0.1 0.07 0.05 0.05 0 19 20 21 22 23 24 25 xi Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
5.2. Các đặc trưng của mẫu. (Hay các tham số mẫu) 5.2.1. Trung bình mẫu ngẫu nhiên (Kỳ vọng mẫu), ký hiệu: X Định nghĩa: Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước n được xây dựng từ đại lượng ngẫu nhiên gốc X :Wx (X 1 , X 2 , , X n ). Trung bình (Kỳ vọng) của nó là một thống kê, ký hiệu và xác định bởi công thức: 1 1 n X (X 1 X 2 X n )  X i n n i 1 Nếu mẫu chỉ nhận các giá trị (X 1 , X 2 , , X n ) với các tần số tương ứng 1 k n1 ,n2 , , nk ;(n1 n2 nk n) X  ni X i n i 1 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: Cho bảng số liệu sau: xi 35,6 35,9 36,1 36,2 36,6 ni 1 3 3 2 1 1.35,6 3.35,9 3.36,1 2.36,2 1.36,6 Khi đó: X 36,06 10 Tính chất: Nếu đại lượng ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng 2 E(X ) a ; phương sai D(X )  , thì thống kê X có: E(X ) a và  2 D(X ) . n Do vậy, bất kể phân bố gốc như thế nào, thống kê X cũng có kỳ vọng bằng kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên gốc X , còn phương sai của nó n lần nhỏ hơn phương sai của đại lượng ngẫu nhiên gốc X . Do đó các giá trị có thể có của X ổn định xung quanh kỳ vọng toán a hơn các giá trị có thể của X.
5.2.2. Phương sai của mẫu ngẫu nhiên Định nghĩa: Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước n được xây dựng từ đại lượng ngẫu nhiên gốc X :Wx (X 1 , X 2 , , X n ) . Phương sai cảu nó là một thống kê, ký hiệu và xác định bởi công thức: n n 1 2 1 2 2 2 S n .(X X ) S  X i X ) hoặc:  i i . n i 1 n i 1 Trong ví dụ trên: 1 S 2 1.(35,6 36,06)2 3.(35,9 35,06)2 1.(36,6 36,06)2  0,0624. 10 Trong thực tế, để tiện cho việc tính toán ta sử dụng công thức sau: k 2 2 2 1 2 2 2 S ni .xi x S x (x) n i 1 Trong đó: X là trung bình của mẫu ngẫu nhiên Wx Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
* Tính chất của phương sai S2 Giả sử đại lượng ngẫu nhiên gốc X có E(X ) a và D(X )  2 n 1 Khi đó: E(S 2 )  2 n Trong thống kê toán, ngoài phương sai mẫu, còn dùng phương sai mẫu điều chỉnh S '2 . n '2 n 2 1 2 '2 1 2 S S (X i X ) ; hoặc S  ni (X i X ) n 1 n 1 n 1 i 1 Nếu lấy căn bậc hai của phương sai mẫu S 2 và phương sai S '2 , ta có các thống kê tương ứng gọi là độ lệch tiêu chuẩn mẫu và độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh n n 2 1 2 ' 1 2 S S (X i X ) ; S (X i X ) . n i 1 n 1 i 1 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
5.2.3. Tần suất mẫu ngẫu nhiên Giả sử ở một đám đông, nếu chỉ quan tâm đến hai dấu hiệu A và A , lại giả sử rằng xác suất xuất hiện A trong đám đông là p . Từ đám đông ta lấy mẫu kích thước n : (X 1 , X 2 , , X n ) . Trong đó X i là số lần xuất hiện dấu hiệu A ở trong mẫu thứ i ; (i 1,n) . Nếu A xuất hiện thì Xi nhận giá trị 1, nếu A không xuất hiện thì Xi nhận giá trị 0. Gọi m là số xuất hiện A trong mẫu thì tần suất mẫu ngẫu m nhiên là một thống kê ký hiệu và xác định bởi công thức: f n Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
5.2.4. Phương pháp tính các giá trị của các thống kê thông dụng X ; S 2 Giả sử có mẫu ngẫu nhiên cụ thể: Wx (x1 , x2 , , xn ) cỡ n . a) Nếu tần số của các xi đều bằng 1 thì sử dụng cặp công 1 n thức: X  xi (I) n i 1 n n 2 2 1 2 1 2 1 S (xi X )  xi  xi n n i 1 n i 1 Chú ý: Trong thực tế để cho tiện, ta thường sử dụng công thức: 2 n S 2 x (x)2 ; S '2 S 2 ; S S 2 ; S ' S '2 n 1 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ: Tính X ; S ; S' của một mẫu Wx = (6, 5, 1) Giải: Từ mẫu đã cho ta lập được bảng sau: 2 X Xi - X (Xi - X ) 6 (6 - 4)=2 4 5 1 1 1 -3 9 12 14 Ta có: X (1/ 3).12 4 n 3 14 S 2 (1/ 3).14 14 / 3 S '2 S 2 . 7 ; n 1 2 3 14 S 2,16 ; S = 7 2,65 3 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
b) Nếu đối với xi có tần số là ni (nói chung ni>1) thì cặp công thức (I) trở thành: 1 X  ni xi n i 2 1 1 1 2 2 2 S  ni .( xi X )  ni .xi  ni .xi (II) n n n 1 Ví dụ: Điều tra thu nhập bình quân trong 500 gia đình công nhân dệt nhận được bảng: X: thu nhập (ngàn 100 120 150 180 220 >220 đồng) ni: (số gia đình) 50 75 275 60 40 0 Hãy tính trung bình X và phương sai S2 của thu nhập của 500 gia đình công nhân dệt đã cho ở bảng trên? Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Giải: Từ số liệu đã cho, ta lập bảng tính toán sau: X(ngàn 2 n n x n . xi đồng) i i. i i 100 50 5.000 500.000 120 75 9.000 1.080.000 150 275 41.250 6.187.500 180 60 10.800 1.944.000 220 40 8.800 1.936.000 n 500 n x 74.850 2  i  i i  ni xi 11.697.500 Từ công thức (II) ta có: 1 X 74.850 149,7 ; 500 1 S 2 .11.697.500 149,7 2 885 S 885 29,75 500 500 S '2 .885 886,8 S ' 886,8 29,78 . 499
5.3. Mẫu thu gọn. Phương pháp đổi biến Trong thực tế, khi các giá trị xi rất gần nhau và các tần số ni rất lớn thì việc sử dụng các công thức trên trở nên rất khó khăn. Ta thường sử dụng mẫu thu gọn bằng cách chia nhóm sau đây: Giả sử được một mẫu kích thước n đã được xác định cụ thể (x1 , x2 , , xn ) , nó được lấy ra từ đại lượng ngẫu nhiên X. Ta phân chia các số liệu ( n số liệu): (x1 , x2 , , xn ) thành k khoảng (k < n). Các khoảng có độ dài bằng nhau (= d). Điểm giữa mỗi khoảng là ti (i 1,2, , k) . Tần số hay số liệu rơi vào các n t t h i 0 khoảng tương ứng là n1 ,n2 , , nk ,  ni n . Gọi i . Trong i 1 d t t (i 1,2, , k) đó 0 là một giá trị trong các i sao cho ứng với nó là khoảng tần số ni lớn nhất. 1 k Ta có: X ni .ti (III) n i 1 k k k 1 d ti t0 d Khi đó (III) trở thành: X  niti t0  ni t0  ni hi n i 1 n i 1 d n i 1
Ví dụ: Đo chiều cao của 1948 thanh niên tuổi 17, ta được 1948 số liệu (tính bằng cm). Ngay trong khi đo, người ta đã đặt các số liệu theo thứ tự tăng dần. ở đây chỉ cần nêu ra số liệu nhỏ nhất là 152 và số liệu lớn nhất là 175. Hãy tính số trung bình của mẫu trên? Giải: Thấy độ chênh lệch tối đa là: 175 - 152 = 23. Ta chia 1948 số liệu thành 8 khoảng (k = 8). Mỗi khoảng có độ dài là (d = 3). Căn cứ vào số liệu thu được, ta tính toán nhờ việc lập bảng sau đây: Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Tần số ti t0 TT Phạm vi khoảng thuộc hi nh d i i khoảng (ni) 1 [152,155) 263 -2 -526 2 [155,158) 460 -1 -460 3 [158,161) 540 0 0 4 [161,164) 385 1 385 5 [164,167) 204 2 408 6 [167,170) 70 3 210 7 [170,173) 20 4 80 8 [173,176) 6 5 30 8 8 n 1948  i  ni hi 127 i 1 i 1 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ta thấy [158,161) có tần số 540 là lớn nhất nên ta chọn t0 trong khoảng đó. 161 158 k 8, d 3 , t t 159,5 . Sau đó tính các số liệu vào 0 3 2 1 các cột 4 và 5 theo công thức h (t t ) ; (i 1,k ). Ví dụ: i d i 0 152 155 t 153,5 . i 2 153,5 159,5 h 2 n .h 263.( 2) 526 1 3 1 1 Tương tự, ta tính được các số liệu còn lại và thể hiện ở bảng trên. Khi đó: d k 3 X t0  ni hi 159,5 .127 159,7(cm) n i 1 1948 Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Tính phương sai mẫu gần đúng bằng phương pháp chia khoảng Với cách thu gọn mẫu như đối với kỳ vọng, ta có công thức đối với phương sai mẫu sau: 2 k k 2 2 d 2 1 S  ni hi  ni hi n i 1 n i 1 Tức là để tính gần đúng S2 ta cũng làm cho các số liệu ở mẫu nhỏ lại, nguyên và ít đi. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn
Ví dụ 2: Điều tra glucoza máu của 100 người bình thường, thu được 100 số liệu (đơn vị mg%). Trong khi đo đạc, các số liệu có được đã xếp thành một dãy thống kê tăng dần từ 70, 126. Hãy tính X ; S2; S mẫu trên? Giải: Căn cứ vào số liệu đã có, độ lệch tối đa là: 126 - 70 = 56 Dự định chia các số liệu thành 13 khoảng (k = 13), độ dài mỗi khoảng d = 5. Bài giảng XSTK – Biờn soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thỏi Nguyờn