Bài giảng Xác suất và thống kê - Đoàn Vương Nguyên

Nội dung text: Bài giảng Xác suất và thống kê - Đoàn Vương Nguyên

1. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK XÁC SU T VÀ TH NG KÊ (ði h c và Cao đng) Tài li u tham kh o: 1. Giáo trình Xác su t – Th ng kê và ng d ng – Nguy n Phú Vinh – NXB Th ng kê. 2. Ngân hàng câu h i Xác su t – Th ng kê và ng d ng – ðHCN TP.HCM . 3. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê – ðinh V ăn G ng – NXB Giáo d c. 4. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê tốn – Nguy n Thanh S ơn, Lê Khánh Lu n – NXBTKê . 5. Xác su t – Th ng kê – Lý thuy t và các bài t p – ðu Th C p – NXB Giáo d c. 6. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê – ðinh V ăn G ng – NXB Giáo d c. 7. Xác su t – Th ng kê và ng d ng – Lê S ĩ ð ng – NXB Giáo d c. 8. Xác su t và Th ng kê – ðng H n – NXB Giáo d c. 9. Giáo trình Xác su t và Th ng kê – Ph m Xuân Ki u – NXB Giáo d c. 10. Giáo trình Lý thuy t Xác su t & Th ng kê Tốn–Nguy n Cao V ăn–NXB Kt Qu c dân. PH N I. LÝ THUY T XÁC SU T B TÚC ðI S T H P 1. Tính ch t các phép tốn ∩ , ∪ 2. Quy t c nhân a) Tính giao hốn: Gi s m t cơng vi c nào đĩ đưc chia thành k giai A∩ B= B ∩ A , A∪ B= B ∪ A . đon. Cĩ n 1 cách thc hi n giai đon th 1, cĩ n 2 cách b) Tính k t h p: th c hi n giai đon th 2, , cĩ n k cách th c hi n giai (A∩∩ B) C= A ∩∩ (B C) , đon th k. Khi đĩ ta cĩ n = n 1.n 2 n k cách th c hi n tồn b cơng vi c. ∪∪ ∪∪ (A B) C= A (B C) . c) Tính phân ph i: 3. Quy t c c ng A∩∪ (B C)= (A ∩∪∩ B) (A C) , Gi s m t cơng vi c cĩ th th c hi n đưc k cách A∪∩ (B C)= (A ∪∩∪ B) (A C) . (tr ưng h p) lo i tr l n nhau: cách th nh t cho m 1 k t d) Tính đi ng u (De–Morgan): qu , cách th hai cho m 2 k t qu , , cách th k cho m k kt qu . Khi đĩ vi c th c hi n cơng vi c trên cho ∩ ∪ ∪ ∩ A B= A B , A B= A B . m = m 1 + m 2 + + m k k t qu . 5. Các cơng th c th ưng dùng 4. M u l p, m u khơng l p 5.1. Hốn v ðnh ngh ĩa: Hốn v c a n ph n t là m t nhĩm cĩ th t g m đ m t n ph n t đã cho. S hốn v c a n ph n − Mu khơng l p: các ph n t c a m u ch cĩ m t m t ln (các ph n t khác nhau t ng đơi m t). t đưc ký hi u là Pn , Pn = n! . − Mu cĩ l p: các ph n t c a m u cĩ th l p l i nhi u ln trong m u. 5.2. Ch nh h p l p (cĩ th t ) − Mu khơng th t : khi thay đ i v trí các ph n t khác ðnh ngh ĩa: Ch nh h p l p k c a n ph n t (k≤ n) là nhau c a m u ta khơng nh n đưc m u m i. mt nhĩm (b ) cĩ th t g m ph n k t khơng nh t thi t − Mu cĩ th t : khi thay đ i v trí các ph n t khác khác nhau ch n t n ph n t đã cho. S các ch nh h p nhau c a m u ta nh n đưc m u m i. lp k c a n ph n t là n k. 5.4. T h p (m u khơng l p, khơng cĩ th t ) 5.3. Chnh h p (m u khơng l p, cĩ th t ) ðnh ngh ĩa: T h p ch p k c a n ph n t (k≤ n) là ðnh ngh ĩa: Ch nh h p ch p k c a n ph n t (k≤ n) là mt nhĩm (b ) khơng phân bi t th t g m k ph n t mt nhĩm (b ) cĩ th t g m ph n k t khác nhau ch n khác nhau ch n t n ph n t đã cho. t n ph n t đã cho. S ch nh h p ch p k c a n ph n t k S t h p ch p k c a n ph n t ký hi u là Cn và k ký hi u là An . k n! Cn = . Quy ưc: 0! = 1. k n! k!n( − k!) An = n(n − 1) (n −+= k 1) . (n− k)! Tính ch t: k n− k k k1− k Cn= C n ; Cn= C n1− + C n1 − . Trang 1
2. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK Ch ươ ng 1. CÁC KHÁI NI M C Ơ B N C A XÁC SU T §1. BIN C NG U NHIÊN 1.1. Phép th và bi n c 1.2. Các lo i bi n c • Phép th là vi c th c hi n 1 thí nghi m hay quan sát a) Khơng gian m u và bi n c s ơ c p mt hi n t ưng nào đĩ đ xem cĩ x y ra hay khơng. • Trong m t phép th , t p h p t t c các k t qu cĩ th Hi n t ưng cĩ x y ra hay khơng trong phép th đưc g i xy ra đưc g i là khơng gian m u ký hi u là . là bi n c ng u nhiên. • M i ph n t ω ∈ khơng th phân nh thành hai bi n Bi n c ng u nhiên th ưng đưc ký hi u A, B, C c đưc g i là bi n c s ơ c p. VD 1. + Tung đng ti n lên là m t phép th , bi n c là VD 2. Xét phép th gieo 3 h t lúa. “m t s p xu t hi n” hay “m t ng a xu t hi n”. Gi A i là bi n c “cĩ i h t n y m m” (i = 0, 1, 2, 3). + Ch n ng u nhiên m t s s n ph m t m t lơ hàng đ Khi đĩ các A i là các bi n c s ơ c p và ki m tra là phép th , bi n c là “ch n đưc s n ph m = {A 0, A 1, A 2, A 3}. tt” hay “ch n đưc ph ph m”. Gi B là “cĩ ít nh t 1 h t n y m m” thì B khơng là + Gieo m t s h t lúa là phép th , bi n c là “h t lúa n y bi n c s ơ c p. mm” hay “h t lúa khơng n y m m”. b) Bi n c ch c ch n và bi n c khơng th • Trong m t phép th mà m i bi n c s ơ c p đ u đ ng • Trong m t phép th , bi n c nh t đ nh x y ra là ch c kh n ăng thì s ph n t c a khơng gian m u đưc g i ch n, ký hi u là . là s tr ưng h p đ ng kh n ăng c a phép th . • Bi n c khơng th là bi n c khơng th x y ra khi th c VD 4. hi n phép th , ký hi u ∅ . Gi ng u nhiên m t h c sinh trong l p đ ki m tra thì VD 3. mi h c sinh trong l p đ u cĩ kh n ăng b g i nh ư nhau. T m t nhĩm cĩ 6 nam và 4 n ch n ra 5 ng ưi. d) Các phép tốn Khi đĩ, bi n c “ch n đưc 5 ng ưi n ” là khơng th , • T ng c a A và B là C, ký hi u C= A∪ B hay bi n c “ch n đưc ít nh t 1 nam” là ch c ch n. C = A + B, x y ra khi ít nh t 1 trong hai bi n c A, B xy ra. c) S tr ưng h p đ ng kh n ăng VD 5. B n hai viên đn vào 1 t m bia. G i A 1: “viên th • Hai hay nhi u bi n c trong m t phép th cĩ kh n ăng nh t trúng bia”, A 2: “viên th hai trúng bia” và xy ra nh ư nhau đưc g i là đng kh n ăng. ∪ C: “bia b trúng đ n” thì C= A1 A 2 . • Tích c a A và B là C, ký hi u C= AB = A∩ B , xy • Ph n bù c a A, ký hi u: ra khi và ch khi c A và B cùng x y ra. A\A= ={ ω∈ω∉ A } . VD 6. Mt ng ưi ch n mua áo. G i A: “ch n đưc áo màu VD 8. xanh”, B: “ch n đưc áo s ơ–mi” và Bn l n l ưt 2 viên đn vào 1 t m bia. C: “ch n đưc áo s ơ–mi màu xanh” thì C = AB. Gi A i: “cĩ i viên đn trúng bia” (i = 0, 1, 2), VD 7. B: “cĩ khơng quá 1 viên đn trúng bia”. Ch n ng u nhiên 10 linh ki n trong 1 lơ ra ki m tra. G i Khi đĩ B= A 2 , A0≠ A 2 và A1≠ A 2 . Ai: “ch n đưc linh ki n th i t t” và 1.3. Quan h gi a các bi n c C: “ch n đưc 10 linh ki n t t” thì a) Bi n c xung kh c 10 • Hai bi n c và B đưc g i là xung kh c n u chúng C= A∩ A ∩ ∩ A = A . 1 2 10∩ i khơng đng th i x y ra trong m t phép th . i= 1 • H các bi n c A 1, A 2, , A n đưc g i là xung kh c VD 10. Tr ng 1 cây b ch đàn. G i A: “cây b ch đàn (hay đơi m t xung kh c) khi m t bi n c b t k ỳ trong h sng”, B: “cây b ch đàn ch t” thì A và B là đi l p. xy ra thì các bi n c cịn l i khơng x y ra. ∩ • H các bi n c {A i} (i = 1, , n) đưc g i là h đ y đ Ngh ĩa là Ai A j =∅ ,ij ∀ ≠ . các bi n c n u th a mãn 2 điu sau: VD 9. M t h p cĩ 3 viên ph n màu đ, xanh và tr ng. 1) H xung kh c, ngh ĩa là AA∩ =∅ ,ij ∀ ≠ . Ch n ng u nhiên 1 viên. G i A: “ch n đưc viên màu i j đ”, B: “ch n đưc viên màu tr ng” và C: “ch n đưc 2) Ph i cĩ ít nh t 1 bi n c trong h x y ra, viên màu xanh” thì A, B, C là xung kh c. ngh ĩa là A∪ A ∪ ∪ A = . b) Bi n c đi l p 1 2 n • Hai bi n c A và B đưc g i là đi l p nhau n u chúng VD 11. H {A, B, C} trong VD 9 là đy đ . th a mãn 2 điu sau: 1) A và B xung kh c vi nhau. Chú ý. H {A, A } là đy đ v i bi n c A tùy ý. 2) Ph i cĩ ít nh t m t trong 2 bi n c x y ra. Trang 2
3. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK §2. XÁC SU T C A BI N C 2.1. ðnh ngh ĩa xác su t d ng c đin VD 2. M t h p cĩ 10 s n ph m trong đĩ cĩ 4 ph ph m. • Trong m t phép th cĩ t t c n bi n c s ơ c p đ ng kh Ly ng u nhiên t h p đĩ ra 3 s n ph m (l y 1 l n), tính năng, trong đĩ cĩ m kh n ăng thu n l i cho bi n c A xác su t đ : xu t hi n thì xác su t c a A là: a) C 3 s n ph m đ u t t; b) Cĩ đúng 2 ph ph m. VD 3. M t l p cĩ 60 h c sinh trong đĩ cĩ 28 em gi i m Số biến cố thuận lợi cho A tốn, 30 em gi i lý, 32 em gi i ngo i ng , 15 em v a P(A) = = . n Số tất cả các biến cố có thể gi i tốn v a gi i lý, 10 em v a gi i lý v a gi i ngo i ng , 12 em v a gi i tốn v a gi i ngo i ng , 2 em gi i VD 1. M t h p ch a 10 s n ph m trong đĩ cĩ 3 ph c 3 mơn. Ch n ng u nhiên m t h c sinh c a l p. Tính ph m. Tính xác su t: xác su t: a) Ch n ng u nhiên 1 s n ph m t h p đưc ph ph m. a) Ch n đưc em gi i ít nh t 1 mơn. b) Ch n ng u nhiên 1 l n t h p ra 2 s n ph m đưc 2 b) Ch n đưc em ch gi i tốn. ph ph m. c) Ch n đưc em gi i đúng 2 mơn. Ưu đim và h n ch c a đ nh ngh ĩa d ng c đin VD 7. Hai ng ưi b n h n g p nhau t i 1 đ a đim theo • Ưu đim: Tính đưc chính xác giá tr c a xác su t mà quy ưc nh ư sau: khơng c n th c hi n phép th . – M i ng ưi đ c l p đi đn đim h n trong kho ng t 7 • H n ch : Trong th c t cĩ nhi u phép th vơ h n các đn 8 gi . bi n c và bi n c khơng đ ng kh n ăng. – M i ng ưi đ n đim h n n u khơng g p ng ưi kia thì đi 30 phút ho c đ n 8 gi thì khơng đi n a. 2.3. ðnh ngh ĩa theo hình h c Tìm xác su t đ hai ng ưi g p nhau. Cho mi n . G i đ đo c a là đ dài, di n tích, th 2.4. Tính ch t c a xác su t tích ( ng v i là đưng cong, mi n ph ng, kh i). 1) 0≤ P(A) ≤ 1 , v i m i bi n c A; Gi A là bi n c đim M∈ S ⊂ . 2) P(∅ ) = 0 ; 3) P( ) = 1 . độ đo S Ta cĩ P(A) = . 2.5. Ý ngh ĩa c a xác su t độ đo • Xác su t là s đo m c đ tin ch c, th ưng xuyên x y ra VD 6. Tìm xác su t c a đim M r ơi vào hình trịn n i ca 1 bi n c trong phép th . ti p tam giác đu c nh 2 cm. Chú ý. Xác su t ph thu c vào điu ki n c a phép th . §3. CƠNG TH C TÍNH XÁC SU T 3.1. Cơng th c c ng xác su t c) Bi n c đ i l p a) Bi n c xung kh c P A= 1 − P(A) . • A và B xung kh c thì: P(A∪ B)= P(A) + P(B) . ( ) • H {A } (i = 1, 2, , n) thì: i VD 1. M t h p ph n cĩ 10 viên trong đĩ cĩ 3 viên màu ∪ ∪ ∪ P( A12 A A n12) =P(A )+P(A )+ +P(A n ) . đ. L y ng u nhiên t h p ra 3 viên ph n. Tính xác su t b) Bi n c tùy ý đ l y đưc ít nh t 1 viên ph n màu đ. • A và B là hai bi n c tùy ý thì: P(A∪ B)= P(A) + P(B) − P(AB) . VD 2. Cĩ 33 h c sinh tham d k ỳ thi ch n h c sinh gi i • H {A } (i = 1, 2, , n) các bi n c tùy ý thì: gm 2 vịng thi. Bi t r ng cĩ 17 h c sinh thi đ vịng 1; i 14 h c sinh thi đ vịng 2 và 11 h c sinh tr ưt c hai n  n   P A = P(A ) − P(A A ) vịng thi. Ch n ng u nhiên m t h c sinh trong danh sách  ∪ i ∑ i ∑ ij  i1=  i1 = ij 0 . Xác su t cĩ điu ki n c a A v i điu ki n B Ng ưi th nh t đã b c 1 vé khơng trúng th ưng. Tính đã x y ra đưc ký hi u và đnh ngh ĩa: xác su t đ ng ưi th 2 b c đưc vé trúng thưng (m i P(AB) ng ưi ch b c 1 vé). P() A B = . P(B) b) Cơng th c nhân • Xác su t cĩ điu ki n cho phép chúng ta s d ng thơng • A và B là 2 bi n c đ c l p n u B cĩ x y ra hay khơng tin v s x y ra c a 1 bi n c đ d báo xác su t x y ra cũng khơng nh h ưng đ n kh n ăng x y ra A và ng ưc bi n c khác. li, ngh ĩa là P( A B) = P(A) và P( B A) = P(B) . • Tính ch t: 1) 0≤ PAB( ) ≤ 1 ; Khi đĩ ta cĩ P(AB)= P(A).P(B) . • V i A, B khơng đ c l p (ph thu c) thì: 2) PBB( ) = 1 ; 3) PAB( ) = 1 − PAB( ); P(AB)= P(B)P( A B) = P(A)P( B A ) . Trang 3
4. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK VD 4. M t lơ hàng cĩ 100 s n ph m trong đĩ cĩ 10 ph 3.3. Cơng th c xác sut đ y đ và Bayes. ph m. Ki m tra liên ti p khơng hồn l i 5 s n ph m, n u a) Cơng th c xác su t đ y đ cĩ ít nh t 1 ph ph m thì khơng nh n lơ hàng đĩ. Tính • Cho h các bi n c {A i} (i = 1, 2, , n) đy đ và B là xác su t đ nh n lơ hàng. bi n c b t k ỳ trong phép th , ta cĩ: VD 5. M t lơ hàng g m 12 s n ph m trong đĩ cĩ 8 s n n ph m t t và 4 ph ph m. Rút ng u nhiên 1 s n ph m t P(B)= P(A ) B A ∑ i() i . lơ hàng và khơng đ ý t i s n ph m đĩ, sau đĩ rút ti p i= 1 sn ph m th 2. Tính xác su t đ s n ph m th hai là t t. = P(A11 )P( B A) + + P(A nn )P( B A ) VD 6. Mt c u th bĩng r cĩ 4 qu bĩng đang ném tng qu vào r . N u bĩng vào r ho c h t bĩng thì c u VD 7. M t đám đơng cĩ s đàn ơng b ng n a s đàn bà. th ng ng ném. Bi t xác su t vào r c a qu bĩng th 1, Xác su t đ đàn ơng b b nh tim là 0,06 và đàn bà là 2, 3 và 4 l n l ưt là 90%, 80%, 85% và 70%. 0,0036. Ch n ng u nhiên 1 ng ưi t đám đơng, tính xác Tính xác su t c u th ném đưc bĩng vào r . su t đ ng ưi này b b nh tim. b) Cơng th c Bayes VD 9. Cĩ 3 bao lúa cùng lo i. Bao 1 n ng 20kg ch a 1% • Cho h các bi n c {A k} (k = 1, 2, , n) đy đ và B là ht lép, bao 2 n ng 30kg ch a 1,2% h t lép và bao 3 bi n c b t k ỳ trong phép th . Xác su t đ xu t hi n A k nng 50kg ch a 1,5% h t lép. Tr n c 3 bao l i r i b c sau khi đã xu t hi n B là: ng u nhiên 1 h t thì đưc h t lép. P(A )P( B A ) Tính xác su t đ h t lép này là c a bao th ba. P A B = k k . ()k n VD 10. Ba ki n hàng đu cĩ 20 s n ph m v i s s n ∑ P(Ai )P() B A i i= 1 ph m t t t ươ ng ng là 12, 15, 18. L y ng u nhiên 1 ki n hàng (gi s 3 ki n hàng cĩ cùng kh n ăng) r i t ki n VD 8. T s ơtơ t i và ơtơ con đi qua đưng cĩ tr m đĩ l y tùy ý ra 1 s n ph m. bơm d u là 5/2. Xác su t đ 1 ơtơ t i đi qua đưng này a) Tính xác su t đ s n ph m ch n ra là t t. vào b ơm d u là 10%; ơtơ con là 20%. Cĩ 1 ơtơ qua b) Gi s s n ph m ch n ra là t t, tính xác su t đ s n đưng đ b ơm d u, tính xác su t đ đĩ là ơtơ t i. ph m đĩ thu c ki n hàng th hai. Ch ươ ng II. BI N ( ðI L ƯNG) NG U NHIÊN §1. BI N NG U NHIÊN VÀ LU T PHÂN PH I XÁC SU T 1.1. Khái ni m và phân lo i bi n ng u nhiên b) Phân lo i bi n ng u nhiên a) Khái ni m • Bin ng u nhiên (bnn) đưc g i là ri r c n u các giá • M t bi n s đưc g i là ng u nhiên n u trong k t qu tr cĩ th cĩ c a nĩ l p nên 1 t p h p h u h n ho c ca phép th nĩ s nh n mt và ch m t trong các giá đm đưc. tr cĩ th cĩ c a nĩ tùy thu c vào s tác đ ng c a các • Bi n ng u nhiên đưc g i là liên t c n u các giá tr cĩ nhân t ng u nhiên. th cĩ c a nĩ l p đ y 1 kho ng trên tr c s . • Các bi n ng u nhiên đưc ký hi u: X, Y, Z, cịn các VD 2. + Bi n X trong VD 1 là bnn r i r c (t p h u h n). giá tr c a chúng là x, y, z, + G i Y là s ng ưi đi qua 1 ngã t ư trên đưng ph thì Y VD 1. là bnn r i r c (t p đ m đưc). Khi ti n hành gieo n h t đ u ta ch ưa th bi t cĩ bao VD 3. + B n 1 viên đn vào bia, g i X là “kho ng cách nhiêu h t s n y m m, s h t n y m m cĩ th là 0, 1, , t đim ch m c a viên đn đ n tâm c a bia” thì X là n. K t thúc phép th gieo h t thì ta bi t ch c ch n cĩ bao bi n ng u nhiên liên t c. nhiêu h t n y m m. G i X là s h t n y m m thì là X + G i Y là “sai s khi đo 1 đi l ưng v t lý” thì Y là bi n ng u nhiên và X = {0, 1, 2, , n}. bi n ng u nhiên liên t c. 1.2. Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên Trong đĩ: • Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên là mt n ∞ cách bi u di n quan h gi a các giá tr c a bi n ng u pi ≥ 0 ; ∑ pi = 1 ; ∑ pi = 1 (vơ h n); nhiên v i các xác su t t ươ ng ng mà nĩ nh n các giá i= 1 i= 1 tr đĩ. P(a< X < b) = ∑ p i . 1.2.1. Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên a< xi < b a) Tr ưng h p r i r c VD 4. M t lơ hàng cĩ 12 s n ph m t t và 8 ph ph m. • Cho bi n ng u nhiên r i r c X cĩ X= {x1 , x 2 , , x n } Ly ng u nhiên t lơ hàng ra 8 s n ph m. Gi X là s ph ph m trong 8 s n ph m l y ra. vi xác su t t ươ ng ng là . pi= P(X = x i ) Tìm phân ph i xác su t c a X và ch ng minh: Ta cĩ phân ph i xác su t (d ng b ng) 08 17 71 80 8 CC812+ CC 812 ++ CC 812 + CC 812 = C 20 . X x1 x2 xn P p1 p2 pn Trang 4
5. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK VD 5. Xác su t đ 1 ng ưi thi đ t m i khi thi l y b ng Chú ý lái xe là 0,3. Ng ưi đĩ thi cho đn khi đ t m i thơi. 1) Nhi u khi ng ưi ta dùng ký hi u f X(x) đ ch hàm m t Gi X là s l n ng ưi đĩ d thi. đ xác su t c a X. Tìm phân ph i xác su t c a X và tính xác su t đ ng ưi a đĩ ph i thi khơng ít h ơn 2 l n. 2) Do P(X= a) =∫ f(x)dx = 0 nên ta khơng quan b) Tr ưng h p liên t c a • Cho bi n ng u nhiên liên t c X. Hàm f(x), x ∈ ℝ tâm đn xác su t đ X nh n giá tr c th . Suy ra đưc g i là hàm m t đ xác su t c a X n u th a: P(a≤ x Xác su t trong 1 ngày làm vi c các máy đĩ h ng t ươ ng  n ng là 0,1 và 0,2. G i X là s máy h ng trong 1 ngày làm vi c. Lp hàm phân ph i xác su t c a X và v đ th c a F(x). VD 9. Tu i th X(gi ) c a 1 thi t b cĩ hàm m t đ xác 0, x 3 b) Thi t b đưc g i là lo i A n u tu i th c a nĩ kéo dài ít nht là 400 gi . Tính t l (xác su t) lo i A. a) Tìm a và hàm m t đ xác su t f(x) c a X. VD 10. Bi n ng u nhiên X cĩ hàm m t đ xác su t: < ≤ =2 +  π π  b) Tính P( 2Y 5 ) v i Y X 1 . acosx, x∈ − ;   2 2  c) V đ th c a F(x). f(x) =    .  π π  0, x∉ − ;    2 2  Tìm a và hàm phân ph i xác su t F(x). Trang 5
6. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK 1.3. Phân ph i xác su t c a hàm c a bi n ng u nhiên b) Tr ưng h p nhi u bi n • Trong th c t , đơi khi ta xét bnn ph thu c vào 1 hay VD 13. Cho b ng: nhi u bnn khác đã bi t lu t phân ph i. Y –1 0 1 X Bài tốn. Cho hàm ϕ(x) và bnn r i r c X cĩ phân ph i 1 0,1 0,15 0,05 xác su t cho tr ưc. Tìm phân ph i xác su t c a ϕ(x) . 2 0,3 0,2 0,2 a) Tr ưng h p 1 bi n Lp b ng phân ph i xác su t c a: VD 12. L p b ng phân ph i xác su t c a a) Y= 2X2 + X − 1 . Y=ϕ (X) = X2 + 2 , bi t: b) Z=ϕ (X,Y) = 2X −+ Y 5 . X –1 0 1 2 2 2 P 0,1 0,3 0,4 0,2 c) Z=ϕ (X, Y) = X − Y . 1.4. Phân ph i xác su t c a bnn 2 chi u (X, Y) r i r c b) B ng phân ph i xác su t đ ng th i c a (X, Y) a) ðnh ngh ĩa Y y1 y 2 y j y n PX • C p 2 đ i l ưng ng u nhiên r i r c đưc xét đ ng th i X (X, Y) đưc g i là 1 vector ng u nhiên r i r c. x1 p11 p 12 p 1j p 1n p1 Ký hi u bi n c (X < x).(Y < y) = (X < x; Y < y). x2 p21 p 22 p 2j p 2n p2 • Hàm phân ph i xác su t đ ng th i c a X và Y là: . F(x, y)= P(X < x; Y <∀∈ y), x, y ℝ . xi pi1 p i2 p ij p in pi • X và Y đưc g i là đc l p n u: . ℝ xm pm1 p m2 p mj p mn pm F(x, y)= FX (x).F Y (y), ∀ x, y ∈ . PY q1 q 2 q j q n 1 Chú ý Pij = P(X = xi, Y = y j) (i = 1, ,m; j = 1, ,n) là xác su t 1) Nu X, Y đ c l p thì hàm phân ph i đ ng th i c a X, m n Y đưc xác đ nh qua các hàm phân ph i c a X, c a Y. đ X = x i, Y = y j và ∑∑ pij = 1 . 2) Ch ươ ng trình ch xét hàm phân ph i biên c a X, Y. i= 1j = 1 c) Phân ph i xác su t biên (l ) Tính ch t. X và Y đc l p ⇔p = p .q , ∀ i, j . T b ng phân ph i xác su t đ ng th i c a X, Y ta cĩ: ij i j • Phân ph i xác su t biên ca X VD 14. X x x x x Cho b ng phân ph i xác su t đ ng th i ca X và Y: 1 2 i m P p p p p Y X 1 2 i m X 10 20 30 40 n n 10 0,2 0,04 0,01 0 ∑pij= ∑ p(X = x,Y i === y) j p(X x) i p i . j1= j1 = 20 0,1 0,36 0,09 0 • Phân ph i xác su t biên c a Y 30 0 0,05 0,1 0 40 0 0 0 0,05 Y y1 y 2 y i y n P q q q q Y 1 2 i n a) Tìm phân ph i biên c a X, c a Y. m m b) Xét xem X và Y cĩ đc l p khơng ? ∑pij= ∑ p(X = x,Y i === y) j p(Y y) j q j . i1= i1 = c) Tìm phân ph i xác su t c a Z = X + Y. §2. CÁC ðC TR ƯNG S (THAM S ð C TR ƯNG) C A BI N NG U NHIÊN • Nh ng thơng tin cơ đ ng ph n ánh t ng ph n v bi n 2.1. K ỳ v ng tốn ng u nhiên giúp ta so sánh gi a các đ i l ưng v i nhau 2.1.1. ðnh ngh ĩa đưc g i là các đc tr ưng s . a) Bi n ng u nhiên r i r c Cĩ ba lo i đ c tr ưng s : • Cho X = {x 1, x 2, , x n} v i xác su t t ươ ng ng là p 1, p2, , p n thì k ỳ v ng tốn (g i t t là k ỳ v ng) c a X, ký – Các đc tr ưng s cho xu h ưng trung tâm c a bnn: hi u EX hay M(X), là: Kỳ v ng tốn, Trung v , Mod, n EX= xp11 + xp 22 ++ xp nn = ∑ xp ii . – Các đc tr ưng s cho đ phân tán c a bnn: i= 1 Ph ươ ng sai, ð l ch chu n, H s bi n thiên, VD 1. M t lơ hàng g m 10 s n ph m t t và 2 ph ph m. Ly ng u nhiên 2 s n ph m t lơ hàng đĩ, g i X là s – Các đc tr ưng s cho d ng phân ph i xác su t. ph ph m trong 2 s n ph m l y ra. Lp b ng phân ph i xác su t và tính k ỳ v ng c a X. Trang 6
7. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK b) Bi n ng u nhiên liên t c VD 3. Th i gian ch mua hàng c a khách là bi n ng u +∞ nhiên liên t c T ( đơn v : phút) cĩ hàm m t đ xác su t • Bnn X cĩ hàm m t đ là f(x) thì: EX= x.f(x)dx .  4 3 ∫  t , t∈ (0; 3) −∞ f(t) = 81 . Tính th i gian trung bình VD 2. Tìm k ỳ v ng c a bi n ng u nhiên X cĩ hàm m t 0, t∉ (0; 3)    3 2 ch mua hàng c a 1 khách hàng.  (x+ 2x), x ∈ (0; 1) đ xác su t f(x) =  4 . VD 4. Cho bi n ng u nhiên X cĩ hàm m t đ xác su t  0, x∉ (0; 1)  2  ax+ bx , x ∈ (0; 1) Chú ý f(x) =  . 0, x∉ (0; 1) 1) Nu X= {x ∈ A} , X liên t c thì EX∈ A .  1  2) Nu X = {x 1, , x n} thì: Cho bi t EX = 0,6 hãy tính P X 1 −∞ −∞    Tìm ph ươ ng sai c a bi n ng u nhiên Y = 2X 2. Trang 7
8. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK 2.2.2. Ý ngh ĩa c a VarX • Do X – EX là đ l ch gi a giá tr c a X so v i trung VD 12. N ăng su t c a hai máy t ươ ng ng là các bnn X, bình c a nĩ nên ph ươ ng sai là trung bình c a bình Y ( đơ n v : s n ph m/phút) cĩ b ng phân ph i xác sut: ph ươ ng đ l ch đĩ. Ph ươ ng sai dùng đ đo m c đ phân tán c a X quanh k ỳ v ng. Ngh ĩa là: ph ươ ng sai nh thì X 1 2 3 4 đ phân tán nh nên đ t p trung l n và ng ưc l i. P 0,3 0,1 0,5 0,1 • Trong k thu t, ph ươ ng sai đc tr ưng cho đ sai s c a và thi t b . Trong kinh doanh, ph ươ ng sai đc tr ưng cho đ Y 2 3 4 5 ri ro đ u t ư. P 0,1 0,4 0,4 0,1 • Do đơ n v đo c a VarX b ng bình ph ươ ng đơ n v đo ca X nên đ so sánh đưc v i các đ c tr ưng khác ng ưi Nu ph i ch n mua 1 trong 2 lo i máy này thì ta nên ta đư a vào khái ni m đ l ch tiêu chu n ch n máy nào? σ(X) = VarX . 2.2.3. Tính ch t c a VarX – Nu X r i r c thì medX = x i vi 1) VarX≥ 0 ; VarC = 0, vi C là h ng s . 1 F(x )≤ ≤ F(x ) . 2) Var(CX) = C 2.VarX; σ(CX) = C . σ X . i2 i+ 1 3) N u a và b là h ng s thì Var(aX + b) = a 2.VarX. – Nu X liên t c thì medX = m vi 4) N u X và Y đc l p thì: m Var(X± Y) = VarX + VarY ; F(m)=∫ f(x)dx = 0,5 . −∞ 2 2 σ(X ± Y) =σ (X) +σ (Y) . 2.3. Trung v và Mod VD 13. Cho bnn X cĩ b ng phân ph i xác su t: 2.3.1. Trung v • Trung v c a bi n ng u nhiên X, ký hi u medX, là s m X 1 2 3 4 5 1 1 P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,45 th a P(X m) ≤ . 2 2 Khi đĩ ta cĩ medX = 4. VD 14. Tìm med c a bnn X cĩ b ng phân ph i xác su t: VD 16. Cho bnn X cĩ b ng phân ph i xác su t: X –1 0 1 2 P 0,25 0,15 0,30 0,30 X 0 1 2 4 5 8  4 P 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1  , x≥ 1 đ VD 15. Cho hàm f(x) =  5 . Khi ĩ ta cĩ modX = 2.  x 0, x< 1 VD 17. Tìm medX và modX v i bi n ng u nhiên X cĩ  bng phân ph i xác su t: a) Ch ng t f(x) là hàm m t đ xác su t c a bi n ng u X 20 21 22 23 24 nhiên X. P 0,30 0,25 0,18 0,14 0,13 b) Tìm medX. VD 18. Cho bnn X cĩ hàm m t đ xác su t: 2.3.2. Mod x2 1 − • ModX là giá tr x 0 mà t i đĩ X nh n xác su t l n nh t f(x)= .e2 , x ∈ ℝ . Tìm modX. (n u X r i r c) hay hàm m t đ đ t c c đ i (n u X liên 2π tc). ModX cịn đưc g i là s cĩ kh n ăng nh t. §3. M T S LU T PHÂN PH I XÁC SU T THƠNG D NG 3.1. Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên r i r c VD 1. Trong 1 c a hàng bán 100 bĩng đèn cĩ 5 bĩng 3.1.1. Phân ph i siêu b i hng. M t ng ưi ch n mua ng u nhiên 3 bĩng t c a • Xét t p cĩ N ph n t , trong đĩ cĩ N A ph n t cĩ tính hàng này. G i X là s bĩng h ng ng ưi đĩ mua ph i. ch t A. T t p đĩ l y ra n ph n t . G i X là s ph n t Lp b ng phân ph i xác su t c a X. cĩ tính ch t A thì X cĩ phân ph i siêu b i. b) Các s đ c tr ưng Ký hi u: X∈ H(N, N , n) hay X∼ H(N, N , n) . N− n A A EX= np; VarX = npq , N− 1 a) ðnh ngh ĩa NA • Phân ph i siêu b i là phân ph i c a bi n ng u nhiên r i vi p= , q = 1 − p . N rc X = {0; 1; 2; ; n} v i xác su t t ươ ng ng là: VD 2. M t r m n cĩ 20 trái trong đĩ cĩ 6 trái b hư. Ck C n− k N N− N Ch n ng u nhiên t r đĩ ra 4 trái. G i X là s trái m n p= P(X = k) = A A . k n hư ch n ph i. L p b ng phân ph i xác su t c a X và tính CN EX, VarX b ng hai cách. Trang 8
9. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK 3.1.2. Phân ph i nh th c VD 3. M t bà m sinh 2 con (m i l n sinh 1 con) v i xác a) Cơng th c Bernoulli su t sinh con trai là 0,51. G i X là s con trai trong 2 l n • Dãy phép th Bernoulli là dãy n phép th th a 3 điu sinh. Lp b ng phân ph i xác su t c a X. ki n: VD 4. M t máy s n xu t l n l ưt t ng s n ph m v i xác 1) Các phép th c a dãy đc l p v i nhau. su t 1 ph ph m là 1%. 2) Trong m i phép th ta ch quan tâm đ n 1 bi n c A, a) Cho máy s n xu t ra 10 s n ph m, tính xác su t cĩ 2 ph ph m. nghĩa là ch cĩ A và A xu t hi n. 3) Xác su t xu t hi n A trong m i phép th c a dãy luơn b) Máy c n s n xu t ít nh t bao nhiêu s n ph m đ xác là h ng s : su t cĩ ít nh t 1 ph ph m nh h ơn 3%.  3 4x , x∈ (0; 1) P(A)= p, P( A) =−= 1 p q, (0 0 (trung bình s l n xu t hi n A) n u X nh n các nh h ưng đ n xác su t xu t hi n A trong kho ng th i giá tr 0, 1, 2, , n, v i xác su t t ươ ng ng là: gian k ti p. e−λ . λk 2) S l n xu t hi n bi n c A trong 1 kho ng th i gian pk = P(X = k) = . bt k ỳ t l v i đ dài c a kho ng đĩ. k! c) Các s đ c tr ưng Khi đĩ X cĩ phân ph i Poisson, ký hi u X∈ P( λ ) v i EX= VarX =λ ; ModX = x,0 λ−≤≤λ 1 x 0 . λ=c(t2 − t 1 ) > 0 , c: c ưng đ xu t hi n A. VD 8. Trung bình c 3 phút cĩ 1 khách đ n qu y mua 3.2. Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên liên t c hàng. Tính xác su t đ trong 30 giây cĩ 2 khách đn 3.2.1. Phân ph i chu n qu y mua hàng. a) ðnh ngh ĩa VD 9. M t tr m đin tho i trung bình nh n đưc 300 • Bnn X đưc g i là cĩ phân ph i chu n v i tham s cu c g i trong 1 gi . 2 2 a) Tính xác su t đ tr m nh n đưc đúng 2 cu c g i và σ (σ > 0) , ký hi u X∈ N( , σ ) , n u hàm mt trong 1 phút. đ phân ph i xác su t c a X cĩ d ng: b) Tính xác su t đ tr m nh n đưc đúng 5 cu c g i (x− ) 2 1 − trong 3 phút. f(x)= e2σ2 , x ∈ ℝ . c) Tính xác su t đ 2 trong 3 phút liên ti p, m i phút σ2 π tr m nh n đưc nhi u nh t 1 cu c g i. VD 10. Trung bình 1 ngày (24 gi ) cĩ 10 chuy n tàu vào Các s đ c tr ưng cng Cam Ranh. Ch n ng u nhiên liên ti p 3 gi trong 1 ModX= MedX = EX = ; VarX =σ 2 . ngày. Tính xác su t đ 2 trong 3 gi y cĩ đúng 1 tàu vào c ng. Trang 9
10. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK b) Phân ph i chu n đơn gi n x t2 − 1 2 2 X − Hàm ϕ(x) = e dt ( x≥ 0 ) đưc g i là hàm • Cho X∈ N( , σ ) , đt T = thì T cĩ phân ∫ 2π σ 0 ph i chu n đơn gi n T∈ N( 0, 1 ). Laplace (giá tr đưc cho trong b ng B). • Hàm m t đ phân ph i xác su t c a T: Tính ch t c a hàm Laplace (dùng đ tra b ng) t2 1 − 1) ϕ( − x) = −ϕ (x) (hàm l ); f(t)= e 2 (giá tr đưc cho trong b ng A). 2π 2) vi x > 5 thì ϕ(x) ≈ 0,5 ; • Cơng th c xác su t: 3) P(T t α ) = α . c) Ph ươ ng pháp tính xác su t phân ph i chu n t ng VD 12. Th ng kê đim thi X ( đim) trong m t k ỳ tuy n quát sinh ði h c mơn tốn c a h c sinh c n ưc cho th y X • Cho X∈ N( , σ 2 ) , đ tính P(a , 0:limPX()( n ω− X() ω≥ε=) 0 . n→∞ • N u bi n ng u nhiên X cĩ EX và VarX h u h n thì: P VarX Ký hi u: Xn → X (n → ∞ ) . ∀ε>0:P X − EX ≥ε≤ () 2 • H bi n ng u nhiên {X i} (i = 1, 2, , n) đưc g i là ε tuân theo lu t s l n (d ng Tchébyshev) n u: hay n n  VarX  1 1  P() X− EX 0 : lim P Xi − EX i <ε= 1 2 n→∞  ∑ ∑  ε  ni1= n i1 =   Trang 10
11. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK VD (tham kh o). Thu nh p trung bình hàng n ăm c a c) ðnh lý lu t s l n Tchébyshev dân c ư 1 vùng là 700USD v i đ l ch chu n 120USD. ðnh lý Hãy xác đnh m t kho ng thu nh p hàng n ăm xung • N u h các bi n ng u nhiên {X i} (i = 1, 2, , n) đc quanh giá tr trung bình c a ít nh t 95% dân c ư vùng đĩ. lp t ng đơi cĩ EX i h u h n và VarX i b ch n trên b i Gi i. G i X(USD) là thu nh p hàng n ăm c a dân c ư hng C thì: vùng đĩ. Ta cĩ: n n   1 1  ∀ε>0 : lim P Xi − EX i ≥ε= 0 . VarX n→∞  ∑ ∑  P() X− EX <ε≥ 1 −  ni1= n i1 =  ε2 H qu 2 120 • N u h các bi n ng u nhiên {X i} (i = 1, 2, , n) đc ⇔PX700() − <ε≥− 1 = 0,95 2 ε2 lp t ng đơi cĩ EX i = và VarX i = σ thì: ⇒ ε = 536,656USD . 1 n X →P . Vy ít nh t 95% dân c ư vùng đĩ cĩ thu nh p hàng n ăm n ∑ i trong kho ng (163,344USD; 1236,656USD). i= 1 1.2. H i t y u – ðnh lý gi i h n trung tâm Ý ngh ĩa a) ðnh ngh ĩa • Th hi n tính n đ nh c a trung bình s h c các bi n • Dãy bi n ng u nhiên {X i} (i = 1, 2, , n) đưc g i là ng u nhiên đc l p cùng phân ph i và cĩ ph ươ ng sai h u hi t y u hay h i t theo phân ph i đn b.n.n X n u: hn. lim Fn (x)= F(x), ∀ x ∈ C(F) . n→∞ • ð đo 1 đ i l ưng v t lý nào đĩ ta đo n l n và l y trung Trong đĩ, C(F) là t p các đim liên t c c a F(x). bình các k t qu làm giá tr th c c a đ i l ưng c n đo. Ký hi u: X→d X hay F→d F . n n • Áp d ng trong th ng kê là d a vào m t m u khá nh đ k t lu n t ng th . Chú ý P d Nu Xn → X thì Xn → X . §2. CÁC LO I X P X PHÂN PH I XÁC SU T b) ðnh lý Liapounop (gi i h n trung tâm) 2.1. Liên h gi a phân ph i Siêu b i và Nh th c • Cho h các bi n ng u nhiên {X i} (i = 1, 2, , n) đc • N u n c đ nh, N t ăng vơ h n và n n N A →p (0 ≠ p ≠ 1) lp t ng đơi. ðt Y=∑ Xi , = ∑ EX i , i1= i1 = N k n− k n C C N N− N 2 . Nu EX , VarX h u h n và thì A A →d Ck p k q n− k . σ = ∑ VarX i i i n n i= 1 CN 3 Xp x phân ph i siêu b i b ng Nh th c n E X− EX limi i = 0 thì Y∈ N , σ 2 . • N u N khá l n và n rt nh so v i N (n < 0,05N) thì n→∞ ∑ 3 ( ) i= 1 σ N Ý ngh ĩa X∼ B(n;p), p = A . N • Dùng đnh lý gi i h n trung tâm đ tính x p x (g n VD 1. M t v ưn lan cĩ 10000 cây s p n hoa, trong đĩ đúng) các xác su t. cĩ 1000 cây hoa màu đ. Ch n ng u nhiên 20 cây lan • Xác đnh các phân ph i x p x đ gi i quy t các v n đ trong v ưn này. ca lý thuy t ưc l ưng, ki m đ nh, Tính xác su t đ ch n đưc 5 cây lan cĩ hoa màu đ. 2.2. Liên h gi a Nh th c và Poisson 2.3. ðnh lý gi i h n Moivre – Laplace • N u n→∞ , p → 0, np →λ thì: ðnh lý 1 (gi i h n đ a ph ươ ng) e−λ . λk Ck p k q n− k →d . n k! • G i p k là xác su t xu t hi n k l n bi n c A trong n Xp x phân ph i Nh th c b ng Poisson phép th Bernoulli v i P(A) = p (p khơng quá g n 0 và • Cho X cĩ phân ph i nh th c B(n, p), λ = np . Khi đĩ: npq.P (k) a) N u n l n và p khá bé (g n b ng 0) thì X∼ P(λ ) . khơng quá g n 1) thì limn = 1 . n→∞ f(x ) b) N u n l n và p c ũng khá l n (g n b ng 1) thì k ∼ x2 X P(λ ) . 1− k− np Trong đĩ, 2 h u h n. VD 2. M t lơ hàng cĩ 0,1% ph ph m. Tìm xác su t đ f(x)= e , x k = 2π npq khi ch n ra 1000 s n ph m cĩ: a) T t c đ u t t; b) Khơng quá 2 ph ph m. Trang 11
12. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK ðnh lý 2 (gi i h n Moivre – Laplace) X− np VD 3. Trong m t kho lúa gi ng cĩ t l h t lúa lai là • Cho X∈ B(n, p) và Sn = thì: 13%. Tính xác su t sao cho khi ch n 1000 h t lúa gi ng npq trong kho thì cĩ khơng quá 15 h t lúa lai. S→F N(0, 1) . n VD 4. M t khách s n nh n đ t ch c a 325 khách hàng Xp x Nh th c b ng phân ph i chu n cho 300 phịng vào ngày 1/1 vì theo kinh nghi m c a • Cho X∈ B(n, p) , n u n khá l n, p khơng quá g n 0 nh ng n ăm tr ưc cho th y cĩ 10% khách đ t ch nh ưng và 1 thì X∼ N( ; σ 2 ) v i =np, σ=2 npq . khơng đn. Bi t m i khách đ t 1 phịng, tính xác su t: Khi đĩ: a) Cĩ 300 khách đn vào ngày 1/1 và nh n phịng.   1 k −  1) P(X= k) = .f   (tra bng A, f(–x) = f(x)). σ σ  b) T t c các khách đ n vào ngày 1/1 đu nh n đưc    phịng. k2−  k 1 −  2) P(k1≤≤ X k 2 ) =ϕ −ϕ   . σ   σ  PH N II. LÝ THUY T TH NG KÊ Ch ươ ng IV. LÝ THUY T M U §1. KHÁI NI M V PH ƯƠ NG PHÁP XÁC ðNH M U Nu t h đĩ b t lên 1 con cá r i th xu ng, sau đĩ ti p 1.1. M u và t ng th ( đám đơng) tc b t con khác, ti n hành 10 l n nh ư th ta đưc m u • T p h p cĩ các ph n t là các đi t ưng mà ta nghiên cĩ hồn l i kích th ưc 10. cu đưc g i là tng th . S ph n t c a t ng th đưc • Khi m u cĩ kích th ưc l n thì ta khơng phân bi t m u gi là kích th ưc c a t ng th . cĩ hồn hay khơng hồn l i. • T t ng th ta ch n ra n ph n t thì n ph n t đĩ đưc 1.2. Ph ươ ng pháp xác đnh m u gi là m t mu cĩ kích th ưc (c m u) n . M u đưc • Mu đ nh tính là m u mà ta ch quan tâm đ n các ph n ch n ng u nhiên m t cách khách quan đưc g i là mu t c a nĩ cĩ tính ch t A nào đĩ hay khơng. ng u nhiên. VD 2. ðiu tra 100 h dân c a m t thành ph v thu VD 1. Khi nghiên c u v s cá trong m t h thì s cá nh p trong 1 n ăm. N u h cĩ thu nh p d ưi 10 tri u trong h là kích th ưc c a t ng th . T h đĩ b t lên 10 đng/n ăm là h nghèo. Thì trong 100 h đưc điu tra ta con cá thì đưc 1 mu khơng hồn l i kích th ưc là 10. quan tâm đn h nghèo (tính ch t A). • Mu đ nh l ưng là m u mà ta quan tâm đn m t y u t v l ưng (nh ư chi u dài, cân n ng, ) c a các ph n t trong m u. VD 4. Chi u cao c a cây b ch đàn là bi n ng u nhiên cĩ VD 3. Cân 100 trái d ưa gang đưc ch n ng u nhiên t 1 phân ph i chu n. ðo ng u nhiên 5 cây X 1, X 2, , X n ta cách đng là m u đ nh l ưng. đưc X 1=3,5m; X 2=3,2m; X 3=2,5m; X 4=4,1m; X 5=3m. Khi đĩ, {X 1, X 2, , X n} là m u t ng quát cĩ phân ph i • M u cĩ kích th ưc n là t p h p c a n bi n ng u nhiên chu n và {3,5m; 3,2m; 2,5m; 4,1m; 3m} là m u c th . đc l p X 1, X 2, , X n đưc l p t bi n ng u nhiên X và cĩ cùng lu t phân ph i v i X là mu t ng quát . Ti n • Xác su t nghiên c u v t ng th đ hi u v m u cịn hành quan sát (cân, đo, ) t ng bi n X i và nh n đưc th ng kê thì ng ưc l i. các giá tr c th X i = x i, khi đĩ ta đưc mu c th x 1, x2, , x n. • Xét v l ưng 1.3. S p x p s li u th c nghi m – Trung bình t ng th là = EX . 1.3.1. S p x p theo các giá tr khác nhau • Gi s m u (X , X , , X ) cĩ k quan sát khác nhau là – Ph ươ ng sai t ng th σ2 = VarX là bi u th cho m c 1 2 n X , X , , X ( k≤ n ) và X cĩ t n s n (s l n l p l i) đ bi n đ ng c a d u hi u X. 1 2 k i i • Xét v ch t vi n1+ n 2 + + n k = n . S li u đưc s p x p theo – ðám đơng đưc chia thành 2 lo i ph n t : lo i cĩ tính th t t ăng d n c a X i. ch t A đĩ mà ta quan tâm và lo i khơng cĩ tính ch t A. – G i X = 0 n u ph n t khơng cĩ tính ch t A và X = 1 VD 5. Ki m tra ng u nhiên 50 sinh viên, k t qu : nu ph n t cĩ tính ch t A, p là t l ph n t cĩ tính ch t A thì: X ( đim) 2 4 5 6 7 8 9 10 Số phần tử có tính chất A n (s SV) 4 6 20 10 5 2 2 1 X∈ B(p), p = EX = . i Số phần tử của tổng thể Trang 12
13. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK 1.3.2. S p x p d ưi d ng kho ng • Gi s m u (X 1, X 2, , X n) cĩ nhi u quan sát khác VD 6. ðo chi u cao c a n = 100 thanh niên, ta cĩ b ng nhau, kho ng cách gi a các quan sát khơng đ ng đ u s li u d ng kho ng: ho c các X i khác nhau r t ít thì ta s p x p chúng d ưi dng kho ng. Lp (kho ng) Tn s n i ni Xét kho ng ch a tồn b quan sát X . (đơ n v : cm) (s thanh niên) Tn su t (xmin , x max ) i n Ta chia (x , x ) thành các kho ng b ng nhau (cịn 148 – 152 5 0,05 min max 152 – 156 20 0,2 gi là l p ) theo nguyên t c: 156 – 160 35 0,35 S kho ng t i ưu là 1 + 3,322lgn, đ dài kho ng là: 160 – 164 25 0,25 x− x 164 – 168 15 0,15 h = max min . 1+ 3,322 lg n a+ a S d ng cơng th c x = i− 1 i ta cĩ b ng s li u VD 7. Theo dõi m c nguyên li u hao phí đ s n xu t ra i 2 mt đơn v s n ph m m t nhà máy, ta thu đưc các s dng b ng (dùng đ tính tốn): li u sau ( đơn v : gam). Hãy s p x p s li u d ưi d ng n bng? x Tn s n Tn su t i i i n 20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21; 150 5 0,05 19; 19; 20; 18; 19; 20; 20; 18; 19; 20; 20; 154 20 0,2 21; 20; 18; 19; 19; 21; 22; 21; 21; 20; 19; 158 35 0,35 20; 22; 21; 21; 22; 20; 20; 20; 19; 20; 21; 162 25 0,25 19; 19; 20; 21; 21. 166 15 0,15 Chú ý • ði v i tr ưng h p s li u đưc cho b i cách li t kê thì ta s p x p l i d ng b ng. §2. CÁC ðC TR ƯNG M U (tham kh o) 2.1. Các đc tr ưng m u • Gi s t ng th cĩ trung bình EX = , ph ươ ng sai Tính ch t 2 VarX = σ và t l p ph n t cĩ tính ch t A. a) K ỳ v ng c a t l m u b ng t l t ng th : 2.1.1. T l m u F n X+ + X  • Cho m u đ nh tính kích th ưc n, ta g i MFM= 1 n  = p . ()n   1 n 0 n  F= X, X =  là t l m u t ng quát. nn ∑ i i 1 i= 1  b) Ph ươ ng sai c a t l m u: • Cho m u đ nh tính kích th ưc n, trong đĩ cĩ m ph n t X+ + X  pq cĩ tính ch t A. Khi đĩ ta g i: VarF= Var  1 n  = n   m n  n f= f = là t l m u c th . n n (các X i cĩ phân ph i Bernoulli). 2.1.2. Trung bình m u • Trung bình m u: Chú ý n 1 X= Xn = X i . n ∑ X1+ + X n i= 1 • T l m u Fn = và trung bình m u Trung bình m u c th : n n X1+ + X n 1 Xn = khác nhau ch là trong F n, các x= xn = ∑ x i . n n i= 1 Xn ch cĩ phân ph i Bernoulli: Tính ch t 0, nếu phần tử không có tính chất A 2  σ VarX Xi =  . E Xn = = EX , Var X n = = . 1, nếu phần tử có tính chất A ( ) ( ) n n  Trang 13
14. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK 2.1.3. Ph ươ ng sai m u • Trong tính tốn ta s d ng cơng th c: 2 2 n 2 2 2 2 n ɵ ɵ 1 2 n  1 2 • Ph ươ ng sai m u: SS=n =∑() XXi − n . sn= xn −() x, n  x n = ∑ x i . n i= 1 n− 1  n i= 1 n 2.2. Liên h gi a đ c tr ưng c a m u và t ng th ɵ2 ɵ 2 1 2 Mu c th : ss=n = xx − . 2 ∑()i n • Các đc tr ưng m u F , Xn , S là các th ng kê dùng n i= 1 n n • Ph ươ ng sai m u hi u ch nh: đ nghiên c u các đ c tr ưng p, , σ 2 t ươ ng ng c a 1 n 2 tng th . T lu t s l n ta cĩ: SS2= 2 = XX − . nn− 1 ∑() i n 2 2 i= 1 Fn→ p, Xn → , S n →σ (theo xác su t). n 2 2 2 1 • Trong th c hành, khi c m u n khá l n (c hàng ch c Mu c th : ss=n =∑() xx i − n . tr lên) thì các đc tr ưng m u x p x các đ c tr ưng t ươ ng n− 1 i= 1 ɵ2 ɵ2  n− 1 ng c a t ng th : x≈ , f ≈ p, s ≈σ2 , s 2 ≈σ 2 . Tính ch t. E S  = σ 2 , E( S 2) = σ 2 .    n §3. PHÂN PH I XÁC SU T C A CÁC ð C TR ƯNG M U (tham kh o) 3.1. Phân ph i xác su t c a t l m u F σ2 pq • Do EF = p và EX= , VarX = nên: • Do EF = p và VarF = nên v i n khá l n thì: n n σ2  X −   pq  X∈ N ,  hay n ∈ N0,() 1 . F∈ N p,  .  n  σ  n  2 2 • V i m u c th kích th ưc n, t l m u f thì p≈ f . • V i m u c th kích th ưc n đ l n, thì σ ≈ s . Ta s2  X − Ta cĩ:   cĩ: X∈ N ,  hay n ∈ N0,() 1 . f(1− f)  (F − p) n  n  s F∈ N p,  hay ∈ N(0, 1) .   n  f(1− f) • Khi n < 30 và σ2 ch ưa bi t thì: 3.2. Phân ph i xác su t c a trung bình m u X − 3.2.1. Tr ưng h p t ng th X cĩ phân ph i chu n n∈ χ2 (n − 1) cĩ phân ph i Student v i n – 1 s X∈ N( , σ 2 ) bc t do. 3.2.2. Tr ưng h p X khơng cĩ phân ph i chu n b) σ2 ch ưa bi t thì: • T đ nh lý gi i h n trung tâm, ta suy ra: X−  S 2    X − d n≈ N0,() 1, X ≈ N ,  . n→ N() 0, 1 S n  σ X − n→d N() 0, 1 . 3.3. Phân ph i xác su t c a ph ươ ng sai m u s • Gi s t ng th X∈ N , σ 2 , khi đĩ: • V i n≥ 30 , ta cĩ các phân ph i x p x chu n: ( ) n 2 2 2 a) σ đã bi t thì: nɵ n1− 2 1 S= S =∑() XXi − n s cĩ phân 2  σ2 σ 2 σ 2 X −  σ  i= 1 n≈ N0,() 1, X ≈ N ,  . σ  n  ph i χ2(n − 1) . §4. TH C HÀNH TÍNH CÁC ðC TR ƯNG M U C TH 4.1. Tính t l m u f VD. Xét 10 k t qu quan sát: • Trong m u cĩ m ph n t cĩ tính ch t A mà ta quan tâm 102, 102, 202, 202, 202, 302, 302, 302, 302, 402. m 1 thì t l m u là f = . Ta cĩ: x= (102.2 + 202.3 + 302.4 + 402.1) . n 10 ɵ2 4.2. Tính trung bình m u x 4.3. Tính ph ươ ng sai m u s • M u cĩ n giá tr x i thì trung bình m u là: 2 1 1 n n • Tính x và 22 2 2 . x1+ x 2 + + x n 1 x=() x12 +++ x x n = ∑ x i x= = ∑ x i . n n i= 1 n n i= 1 ɵ2 2 2 • N u x i l p l i n i (i = 1, , k ≤ n ) l n thì trung bình • Ph ươ ng sai m u là: s= x − ( x ) . k 1 2 2 n ɵ mu là: x= ∑ xi n i . • Ph ươ ng sai m u cĩ hi u ch nh là: s= s . n i= 1 n− 1 Trang 14
15. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK S D NG MÁY TÍNH B TÚI ð TÍNH CÁC ð C TR ƯNG C A M U 1. S LI U ðƠN (khơng cĩ t n s ) VD 1. Cho m u cĩ c m u là 5: w = (12, 13, 11, 14, 11). a) Máy fx 500MS • Xĩa nh : MODE -> 3 -> = -> = • Vào ch đ th ng kê nh p d li u – MODE -> 2 (ch n SD đi v i fx500MS); MODE -> MODE -> 1 (ch n SD đ i v i fx570MS) – Nh p các s : 12 M+ 13 M+ . 11 M+ • Xu t k t qu – SHIFT -> 2 -> 1 -> = (xu t k t qu x⌢ : trung bình m u) – SHIFT -> 2 -> 2 -> = (xu t k t qu s = xσn : đ l ch chu n c a m u) – SHIFT -> 2 -> 3 -> = (xu t k t qu s = xσn − 1 : đ l ch chu n c a m u cĩ hi u ch nh) b) Máy fx 500ES • Xĩa nh : SHIFT -> 9 -> 3 -> = -> = • Vào ch đ th ng kê nh p d li u – SHIFT -> MODE -> dch chuy n m ũi tên tìm ch n m c Stat -> 3 ( ch đ khơng t n s ) – MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var) -> (nh p các s ) 12 = 13 = . 11 = • Xu t k t qu – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 1 -> = (n: c m u) – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 2 -> = ( x : trung bình m u) – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 3 -> = ( xσn : đ l ch chu n c a m u) – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 4 -> = ( xσn − 1 : đ l ch chu n c a m u cĩ hi u ch nh) 2. S LI U CĨ T N S VD 2. Cho m u nh ư sau xi 12 11 15 ni 3 2 4 a) Máy fx 500MS • Xĩa nh : MODE -> 3 -> = -> = • Vào ch đ th ng kê nh p d li u – MODE -> 2 (ch n SD đ i v i fx500MS); MODE -> MODE -> 1 (ch n SD đ i v i fx570MS) – Nh p các s : 12 -> SHIFT -> , -> 3 -> M+ 11 -> SHIFT -> , -> 2 -> M+ 15 -> SHIFT -> , -> 4 -> M+ • Xu t k t qu , làm nh ư 1a) b) Máy fx 500ES • Xĩa nh vào ch đ th ng kê nh p d li u cĩ t n s : – SHIFT -> MODE (SETUP) dch chuy n m ũi tên -> 4 -> 1 – MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var) – Nhp các giá tr và t n s vào 2 c t trên màn hình X FREQ 12 3 11 2 15 4 • Xu t k t qu , làm nh ư 1b) VD 3. ðiu tra n ăng su t c a 100 ha lúa trong vùng, ta cĩ b ng s li u sau: Năng su t (t n/ha) 3 - 3,5 3,5 - 4 4 - 4,5 4,5 - 5 5 - 5,5 5,5 - 6 6 - 6,5 6,5 - 7 Di n tích (ha) 7 12 18 27 20 8 5 3 Nh ng th a ru ng cĩ n ăng su t ít h ơn 4,4 t n/ha là cĩ n ăng su t th p. a) Tính t l di n tích lúa cĩ n ăng su t th p. b) Tính n ăng su t lúa trung bình, ph ươ ng sai và đ l ch chu n c a m u cĩ hi u ch nh. Trang 15
16. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK Ch ươ ng V. ƯC L ƯNG ð C TR ƯNG CA T NG TH ( ðÁM ðƠNG) §1. ƯC L ƯNG ðIM VD 1. 1.1. Th ng kê X1+ X 2 + + X n • M t hàm c a m u t ng quát T = T(X 1, X 2, , X n) đưc • T l m u F = là ưc l ưng gi là 1 th ng kê. n đim c a t l t ng th p. • Các v n đ c a th ng kê tốn đưc gi i quy t ch y u X+ X + + X nh vào vi c xây d ng các hàm th ng kê ch ph thu c • Trung bình m u X = 1 2 n là ưc vào m u t ng quát, khơng ph thu c các tham s . n lưng đim c a trung bình t ng th . 1.2. Ưc l ưng đim 1.3. Ưc l ưng khơng ch ch (tham kh o) • Ưc l ưng đim c a tham s θ (t l , trung bình, ɵ ɵ ɵ • Th ng kê θ(X , , X ) là ưc lưng khơng ch ch c a ph ươ ng sai, ) là th ng kê θ = θ (X , , X ) ch ph 1 n 1 n ɵ θ n u Eθ( X , , X )  = θ . thu c vào n quan sát X 1, , X n, khơng ph thu c vào θ . 1 n  VD 2. Ta cĩ: • EF = p (t l m u là ưc l ưng khơng ch ch c a t l 498.40+502.20+506.20+510.20 tng th ). x = = 502,8(gr) . 100 • E( X ) = (trung bình m u là ưc l ưng khơng ch ch D đốn ( ưc l ưng): Trng l ưng trung bình c a các sn ph m trong xí nghi p là . ca trung bình t ng th ). ≈ 502,8(gr) 2  2ɵ  2 VD 4 (tham kh o). T m u t ng quát W = (X , X ) ta • ES() = ES  = σ (ph ươ ng sai m u là ưc l ưng 1 2    xét hai ưc l ưng c a trung bình t ng th sau: khơng ch ch c a ph ươ ng sai t ng th σ2 ). 1 1 1 2 X= X + X và X′ = X + X . VD 3. Cân 100 s n ph m c a 1 xí nghi p ta cĩ b ng s 21 2 2 31 3 2 li u: x (gr) 498 502 506 510 a) Ch ng t X và X′ là ưc l ưng khơng ch ch c a . Ư ư ơ ni 40 20 20 20 b) c l ng nào hi u qu h n? Gi i 1 1   b) Var X= Var X + X  ( )  21 2 2   11  1 1   2 2 2 a) EX( ) = EX 12 += X EX() 1 + EX() 2 1 1 σ σ σ  22  2 2 =VarX() + VarX() =+= . 41 4 2 442 1 1 = + = . 1 2  2 2 Var X′ = Var X + X  ( )  31 3 2  12  1 2 ′   2 2 2 EX( ) = EX 12 += X EX() 1 + EX() 2 1 4σ 45 σ σ  33  3 3 =Var() X + Var() X =+= 91 9 2 999 1 2 = + = ⇒ ( đpcm). ⇒Var X < Var X ′ . 3 3 ( ) ( ) Vy ưc l ưng X hi u qu h ơn. §2. ƯC L ƯNG KHO NG 2.1. ðnh ngh ĩa Chú ý ɵ ɵ ɵ • Do t ng th X là bi n ng u nhiên liên t c nên: • Kho ng θ1; θ 2 c a th ng kê θ đưc g i là kho ng ( ) ɵ ɵ ɵ ɵ Pθ<θ<θ1 2 = P θ≤θ≤θ 1 2 . tin c y c a tham s θ n u v i xác su t 1 − α cho tr ưc ( ) ( ) ɵ ɵ ɵ ɵ  thì Pθ1 <θ<θ 2 = 1 −α . Do đĩ, ta cĩ th ghi θ∈ θ1; θ 2 . ( )   • Xác su t 1 − α là đ tin c y c a ưc l ưng, ɵ ɵ 2.2. Ưc l ưng kho ng cho t l t ng th p θ2 −θ 1 =2 ε là đ dài kho ng tin c y và ε là đ chính ɵ ɵ • Gi s t l p các ph n t cĩ tính ch t A c a t ng th xác c a ưc l ưng. Khi đĩ: θ∈( θ1; θ 2 ) . ch ưa bi t. V i đ tin c y 1 − α cho tr ưc, kho ng tin cy cho p là (p1 ; p 2 ) th a: • Bài tốn tìm kho ng tin c y c a θ là bài tốn ưc Pp< p < p =−α 1 . lưng kho ng . ( 1 2 ) Trang 16
17. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK m Trong th c hành v i t l m u f= f = (n: c m u; VD 1. M t tr ưng ðH cĩ 10.000 sinh viên. ðim danh n n m: s ph n t quan tâm), kho ng tin c y cho p là: ng u nhiên 1000 sinh viên th y cĩ 76 ng ưi b h c. Hãy ưc l ưng s sinh viên b h c c a tr ưng v i đ tin c y f( 1− f ) 95%. (f−ε ; f +ε ), v i ε = t . α n Trong đĩ t là m c phân v , tìm đưc t α 1 − α VD 2. ð ưc l ưng s cá trong 1 h ngưi ta b t lên ϕ(t ) = b ng cách tra b ng B. α 2 3000 con, đánh d u r i th l i xu ng h . Sau 1 th i gian Chú ý bt lên 400 con th y cĩ 60 con cĩ đánh d u. Vi đ tin c y 97%, hãy ưc l ưng s cá cĩ trong h . t2  • n=α f1f −  + 1 là kích th ưc m u c n ch n 2 ()  ε  ng v i ε , 1 − α cho tr ưc ([x] là ph n nguyên c a x). 2.3. Ưc l ưng trung bình t ng th µ VD 3. L y ng u nhiên 200 s n ph m trong 1 kho hàng • Gi s t ng th cĩ trung bình ch ưa bi t. V i đ tin th y cĩ 21 ph ph m. cy 1 − α cho tr ưc, kho ng tin c y cho là (1; 2 ) a) Ưc l ưng t l ph ph m cĩ trong kho hàng v i đ tin th a: P( <<) = 1 −α . cy 99%. 1 2 Trong th c hành ta cĩ 4 tr ưng h p sau b) Da vào m u trên, nu mu n đ chính xác c a ưc a) Tr ưng h p 1. Kích th ưc m u n≥ 30 và ph ươ ng lưng là ε = 0,035 thì đ tin c y c a ưc l ưng là bao sai t ng th σ2 đã bi t. nhiêu ? • Tính x (trung bình m u). 1 − α c) Da vào m u trên, nu mu n đ chính xác là 0,01 v i T 1− α ⇒ = ϕ (t) →B t . đ tin c y 97% thì c n ki m tra thêm bao nhiêu s n 2 α α ph m n a ? σ • Suy ra ∈(x −ε ; x +ε ) v i ε = tα . n VD 4. Kh o sát ng u nhiên 100 sinh viên th y đim VD 5. ðo đưng kính c a 100 tr c máy do 1 nhà máy trung bình mơn XSTK là 5,12 đim v i đ l ch chu n sn xu t thì đưc b ng s li u: 0,26 đim. Hãy ưc l ưng đim trung bình mơn XSTK ðưng kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90 ca sinh viên v i đ tin c y 97%. S tr c máy 5 37 42 16 b) Tr ưng h p 2. Kích th ưc m u n≥ 30 và ph ươ ng a) Hãy ưc l ưng đưng kính trung bình c a tr c máy sai t ng th σ2 ch ưa bi t. vi đ tin c y 97%. ⌢n ⌢ • Tính x, s2⇒ s 2 = s 2 ⇒ s ( đ l ch chu n b) Da vào m u trên, v i đ chính xác 0,006, hãy xác n− 1 đnh đ tin c y. mu hi u ch nh). c) Da vào m u trên, n u mun cĩ đ chính xác là 0,003 1 − α vi đ tin c y 95% thì c n ph i đo bao nhiêu tr c máy ? • T 1− α ⇒ = ϕ (t) →B t (b ng B) 2 α α c) Tr ưng h p 3. V i n< 30 , ph ươ ng sai t ng th σ2 s đã bi t và X cĩ phân ph i chu n thì ta làm nh ư tr ưng ⇒∈(x −ε ; x +ε ) v i ε = tα . hp 1. n d) Tr ưng h p 4. V i n< 30 , ph ươ ng sai t ng th σ2 mu ch ưa hi u ch nh là 0,04m. Tìm kho ng ưc l ưng ch ưa bi t và X cĩ phân ph i chu n. chi u dài trung bình c a lo i s n ph m này v i đ tin c y 95%. ⌢n ⌢ • Tính x, s2⇒ s 2 = s 2 ⇒ s . VD 7. N ăng su t lúa trong 1 vùng là đi l ưng ng u n− 1 nhiên cĩ phân ph i chu n. G t ng u nhiên 115 ha lúa c a T 1− α ⇒ α →C t n− 1 (b ng C) vùng này ta cĩ s li u: α Năng su t (t /ha) 40 – 42 42 – 44 44 – 46 n− 1 s Di n tích (ha) 7 13 25 • Suy ra ∈(x −ε ; x +ε ) v i ε = tα . . n Năng su t (t /ha) 46 – 48 48 – 50 50 – 52 Chú ý Di n tích (ha) 35 30 5 • Trong th c hành, n u đ bài khơng cho X cĩ phân ph i a) Hãy ưc l ưng n ăng su t lúa trung bình vùng này chu n thì ta b sung vào. vi đ tin c y 95%. VD 6. Bi t chi u dài c a 1 s n ph m là đi l ưng ng u b) Nh ng th a ru ng cĩ n ăng su t khơng quá 44 t /ha là nhiên cĩ phân ph i chu n. ðo ng u nhiên 10 s n ph m năng su t th p. Hãy ưc l ưng n ăng su t trung bình c a này thì đưc trung bình 10,02m và đ l ch chu n c a nh ng th a ru ng cĩ n ăng su t th p v i đ tin c y 99%. Trang 17
18. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK VD 8. ð nghiên c u nhu c u v lo i hàng A 1 khu 2.4. Ưc l ưng ph ươ ng sai t ng th σ2 vc ng ưi ta ti n hành kh o sát 400 trong tồn b 4000 • Gi s t ng th X cĩ phân ph i chu n v i ph ươ ng sai gia đình, k t qu : 2 Nhu c u (kg/tháng) 0–1 1–2 2–3 3–4 σ ch ưa bi t. V i đ tin c y 1 − α cho tr ưc, kho ng 2 2 2 S gia đình 10 35 86 132 tin c y cho σ là (σ1; σ 2 ) th a: Nhu c u (kg/tháng) 4–5 5–6 6–7 7–8 2 2 2 . S gia đình 78 31 18 10 P(σ1 <σ <σ 2 ) = 1 −α a) Ưc l ưng nhu c u trung bình lo i hàng A c a khu Trong th c hành ta cĩ hai tr ưng h p sau vc trên trong 1 n ăm v i đ tin c y 95%. b) V i m u kh o sát trên, n u mun cĩ ưc l ưng v i đ chính xác 4,8 t n và đ tin c y 95% thì c n kh o sát t i thi u bao nhiêu gia đình trong khu vc? a) Tr ưng h p 1. Trung bình t ng th đã bi t. b) Tr ưng h p 2. Trung bình t ng th ch ưa bi t. k • T m u ta tính ɵ2 2 • T m u ta tính n.s=∑ ni() x i − , k ≤ n . k 2 i= 1 2 x⇒−= (n 1)s∑ nxi() i − x, k ≤ n . α i= 1 • T 1 − α ⇒ , tra b ng D tìm đưc: α 2 • T 1 − α ⇒ , tra b ng D tìm đưc: α   α 2 χ21 − , χ 2   . n n   α   α 2   2 χ21 − , χ 2   . n1− n1 −   ɵ2 ɵ 2 2   2 2n.s 2 n.s 2 2 ⇒σ=1, σ= 2 . 2(n− 1)s 2 (n − 1)s α   α ⇒σ=1, σ= 2 . χ21 − χ 2   α   α n2  n  2  χ21 − χ 2   n1−2  n1 −  2  VD 9. Tr ng l ưng gĩi mì X(gr) là bnn cĩ phân ph i chu n. Cân ki m tra 15 gĩi mì cĩ s li u: VD 11. M c hao phí nguyên li u cho 1 đơn v s n ph m X(gr) 84 84,5 85 85,5 là đi l ưng ng u nhiên X (gr) cĩ phân ph i chu n. S gĩi 2 3 8 2 Quan sát 28 s n ph m này ng ưi ta thu đưc b ng s Vi đ tin c y 93%, hãy ưc l ưng ph ươ ng sai X trong li u: mi tr ưng h p sau: a) Bi t tr ng l ưng trung bình gĩi mì là 84,9gr. X (gr) 19,0 19,5 20,0 20,5 b) Ch ưa bi t tr ng l ưng trung bình gĩi mì. S s n ph m 5 6 14 3 VD 10. Kh o sát 16 sinh viên v đim trung bình c a Vi đ tin c y 90%, hãy ưc l ưng ph ươ ng sai c a m c hc k ỳ 2 thì tính đưc s 2 = 2,25 đim. Ưc l ưng hao phí nguyên li u trên trong 2 tr ưng h p: ph ươ ng sai v đim trung bình h c k ỳ 2 c a sinh viên a) Bi t EX = 20gr. vi đ tin c y 97%, bi t r ng đim trung bình X c a sinh b) Ch ưa bi t EX. viên là bi n ng u nhiên cĩ phân ph i chu n. Ch ươ ng VI. KI M ð NH GI THI T TH NG KÊ §1. KI M ð NH GI THI T V ð C TR ƯNG TNG TH ( ðÁM ðƠNG) Chú ý 1.1. Khái ni m bài tốn ki m đ nh • Mc ý ngh ĩa α gi m thì P(lo i I) gi m ⇒ P(lo i II) • Dùng các th ng kê t m u đ ch p hay bác b m t gi tăng, ngh ĩa là kh n ăng ch p nh n H t ăng. thi t H nào đĩ nĩi v t ng th g i là ki m đ nh gi thi t th ng kê. 1.2. Ki m đ nh gi thi t t l t ng th p • Khi ki m đ nh gi thi t H cĩ th x y ra 1 trong 2 sai lm sau: 1) Lo i 1: Bác b H trong khi H đúng; 2) Lo i 2: Ch p nh n H trong khi H sai. • Ph ươ ng pháp ki m đ nh là cho phép xác su t x y ra sai lm lo i 1 khơng v ưt quá m c ý ngh ĩa α. V i m c ý ngh ĩa α đã cho, ta ch p nh n H n u xác su t xy ra sai lm lo i 2 là nh nh t. Trang 18
19. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK • T m c ý ngh ĩa α⇒1 −α F− p 0 Vi t l p 0 cho tr ưc thì T= ∈ N(0; 1) và p q 1 − α B 0 0 ⇒ = ϕ(tα ) → t α . n 2 – N u t≤ t α thì ta ch p nh n gi thi t, ngh ĩa là p = p 0. Wα={ t ∈ TP(t > t) α ≤α } là mi n bác b gi thi t H. – N u t> t α thì ta bác b gi thi t, ngh ĩa là p≠ p 0 . Các b ưc gi i • ðt gi thi t H: p = p 0 (ngh ĩa là t l t ng th nh ư t l • Trong tr ưng h p bác b , n u f > p 0 thì k t lu n p > p 0 cho tr ưc). và f t α ta bác b gi thi t. b) Tr ưng h p 2. V i n≥ 30, σ 2 ch ưa bi t. Chú ý Làm nh ư tr ưng h p 1 nh ưng thay σ = s . • Trong tr ưng h p bác b : c) Tr ưng h p 3. V i n ⇒> và x t α ta bác b gi thi t. VD 7. Kh i l ưng c a m t bao g o c a 1 nhà máy là VD 6. Cân th 15 con gà tây 1 tr i ch ăn nuơi khi xu t bi n ng u nhiên cĩ đ l ch tiêu chu n là 0,3kg. Ban giám đc tuyên b kh i l ưng m i bao g o c a nhà máy chu ng ta tính đưc x= 3,62kg . Bi t tr ng l ưng gà là 50kg. Cân th 50 bao thì th y kh i l ưng trung bình là tây là bi n ng u nhiên cĩ σ2 = 0,01 . 49,97kg. V i m c ý ngh ĩa 1%, hãy ki m tra l i tuyên b trên ? a) Giám đc tr i nĩi r ng tr ng l ưng trung bình c a gà VD 8. ðim trung bình mơn tốn c a sinh viên n ăm tây là 3,5kg, v i m c ý ngh ĩa 2% hãy ki m đ nh l i nĩi tr ưc là 5,72. N ăm nay theo dõi 100sv đưc s li u: trên ? ðim 3 4 5 6 7 8 9 b) Gi s ng ưi ta dùng th c ăn m i và khi xu t chu ng S sinh viên 3 5 27 43 12 6 4 tr ng l ưng trung bình c a gà tây là 3,9 kg. V i m c ý Vi m c ý ngh ĩa 5%, ph i ch ăng đim trung bình c a ngh ĩa 3%, hãy cho k t lu n v lo i th c ăn này ? sinh viên n ăm nay cao h ơn n ăm tr ưc? Trang 19
20. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK VD 9. Chi u cao cây gi ng X(m) trong m t v ưm ươ m (n− 1)s 2 • T m u ta tính giá tr ki m đ nh χ2 = . là bi n ng u nhiên cĩ phân ph i chu n. 2 ðo ng u nhiên 25 cây ta cĩ: σ0 X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 αD  α  α  • T 1−α⇒ →χ2 , χ 2  1 −  . S cây 1 2 9 7 4 2 2n1− 2 n1 −  2  Theo quy đnh khi nào cây cao trung bình trên 1m thì đem ra tr ng. V i m c ý ngh ĩa 5%, cĩ th đem cây ra α  α • N u χ2 σ 2 thì k t lu n ph i chu n σ2 (tham kh o) 0 2 2 2 2 2 2 2 σ > σ 0 và s t α t> t α mx y n u  ; n u  . • T 2 m u ta tính f = , f = ,  ⇒px p y x y fx f y nx ny   m+ m x y VD 1. T hai t ng th X1, X 2 ti n hành 2 m u cĩ kích p0 = (t l th c nghi m chung c a hai m u). nx+ n y th ưc n 1 = 100, n 2 = 120 ta tính đưc f 1 = 0,2 và f 2 = 0,3. Vi m c ý ngh ĩa 1% hãy so sánh hai t l c a hai t ng • Tính q0= 1 − p 0 th đĩ. VD 2. Ki m tra 120 sinh viên tr ưng A th y cĩ 80 sinh fx− f y ⇒t = (giá tr ki m đ nh). viên gi i, 150 sinh viên tr ưng B cĩ 90 sinh viên gi i. 1 1   Hi t l sinh viên gi i c a 2 tr ưng nh ư nhau khơng v i p q  +  0 0   mc ý ngh ĩa là 5%?  nx n y   x− y VD 3. Ki m tra 120 s n ph m kho I th y cĩ 6 ph • T 2 mu c th ta tính ki m đnh t = và ph m. Ki m tra 200 s n ph m kho II th y cĩ 24 ph σ2 σ2 x + y ph m. Ch t l ưng hàng hai kho cĩ khác nhau khơng n n vi: 1) M c ý ngh ĩa 5% ? 2) M c ý ngh ĩa 1% ? x y so sánh v i tα . 2.2. So sánh hai trung bình µ và µ c a hai t ng th x y Tr ưng h p 2 . và 2 2 ch ưa bi t. Tĩm t t 4 tr ưng h p ( ch p nh n hay bác b gi thi t n,x n y ≥ 30 σx, σ y nh ư bài ki m đ nh trung bình ): Ta thay σ2, σ 2 b i s2 , s 2 trong tr ưng h p 1. x y x y • ðt gi thi t H: µ = µ . 2 2 x y Tr ưng h p 3 . n,x n y < 30 và σx, σ y đã bi t đ ng 2 2 Tr ưng h p 1 . n,x n y ≥ 30 và σx, σ y đã bi t. th i X, Y cĩ phân ph i chu n (nh ư tr ưng h p 1). 2 2 VD 4. Cân th 100 trái cây nơng tr ưng I ta tính đưc Tr ưng h p 4. n,x n y < 30 và σx, σ y ch ưa bi t; X, Y 2 cĩ phân ph i chu n. x= 101,2gr; sx = 571,7 và 361 trái cây nơng tr ưng II tính đưc y= 66,39gr; s2 = 29,72 . • Tính ph ươ ng sai m u chung ch ưa hi u ch nh c a 2 m u y Hãy so sánh tr ng l ưng trung bình c a trái cây 2 nơng (n− 1)s2 + (n − 1)s 2 s2 = x x y y . tr ưng v i m c ý ngh ĩa 1%. nx+ n y − 2 VD 5. ðo đưng kính 20 tr c máy do máy I s n xu t và x− y • Tính giá tr ki m đ nh t = . 22 tr c máy do máy II s n xu t ta tính đưc 1 1 2 s. + x= 251,7mm ; sx = 52,853 và y= 249,8mm ; nx n y s2 = 56,2 . Cĩ th xem đưng kính trung bình c a các n+ n − 2 y • T C x y và so sánh v i t. α → tα tr c máy 2 máy nh ư nhau v i m c ý ngh ĩa 1% khơng? Trang 20
21. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK 2.3. So sánh hai ph ươ ng sai σ2 và σ2 c a hai t ng VD 6. Kh i l ưng trung bình c a 50 trái d ưa h u do xã x y th (so sánh t l ph ươ ng sai) (tham kh o) A tr ng là 6,72kg v i s x = 0,72kg. Kh i l ưng trung bình ca 80 trái d ưa h u do xã B tr ng là 6,46kg v i s = 0,91kg. V i m c ý ngh ĩa 1% cĩ k t lu n kh i l ưng 2 2 y • ðt gi thi t H: σx = σ y . trung bình trái d ưa h u do xã A tr ng n ng h ơn khơng ? s2 • Tính giá tr ki m đ nh g = x . VD 7. Kh i l ưng trung bình c a 23 trái d ưa h u do xã 2 sy A tr ng là 6,72kg v i s x = 0,72kg. Kh i l ưng trung bình α ca 19 trái d ưa h u do xã B tr ng là 6,46kg v i • T m c ý ngh ĩa α ⇒ . sy = 0,91kg. V i m c ý ngh ĩa 1% cĩ k t lu n kh i l ưng 2 trung bình trái d ưa h u do xã A tr ng n ng h ơn khơng ? Tra b ng E ta tìm đưc f= f (n − 1, n − 1) . α x y 2 • N u g f ta bác b gi thi t. VD 9. Doanh s bán hàng ( đơ n v : tri u đ ng) c a 1 • Trong tr ưng h p bác b gi thi t: cơng ty A là bi n ng u nhiên cĩ phân ph i chu n. Cơng – N u s2> s 2 thì kt lu n σ2 > σ 2 và ng ưc l i. ty A cho ng ưi theo dõi doanh s bán hàng trong 7 ngày x y x y vùng X thì tính đưc ph ươ ng sai m u ch ưa hi u ch nh là 82,1; vùng Y trong 6 ngày thì tính đưc 25,3. VD 8. Giá c phi u là bi n ng u nhiên cĩ phân ph i Vi m c ý ngh ĩa 3%, hãy so sánh đ r i ro đ u t ư c a chu n. ðiu tra ng u nhiên giá c phi u c a cơng ty X cơng ty A hai vùng trên. trong 25 ngày tính đưc đ l ch tiêu chu n m u hi u ch nh là 7,5 ngàn đng; c a cơng ty Y trong 22 ngày là 6,2 ngàn đng. V i m c ý ngh ĩa 5%, hãy so sánh v đ ri ro c phi u c a hai cơng ty trên. Ch ươ ng VII. LÝ THUY T T ƯƠ NG QUAN VÀ HÀM H I QUY Bi u đ liên h gi a đ tu i và đ cholesterol: 1. H s t ươ ng quan gi a X và Y • ð minh h a cho v n đ , chúng ta th xem xét nghiên cu sau đây mà trong đĩ nhà nghiên c u đo l ưng đ cholesterol (Y) trong máu c a 10 đ i t ưng nam đ tu i (X). Kt qu đo l ưng nh ư sau: X 20 52 30 57 28 Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 Bi u đ trên đây g i ý cho th y m i liên h gi a đ tu i X 43 57 63 40 49 (X) và cholesterol (Y) là m t đưng th ng (tuy n tính). Y 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0 Ý ngh ĩa • ð “ đo l ưng” m i liên h này, chúng ta cĩ th s • H s t ươ ng quan đo m i quan h tuy n tính gi a x, y. dng h s t ươ ng quan: 1) −1 ≤rxy ≤ 1 . n (x− x)(y − y) 2) N u rxy = 0 thì hai bi n s khơng cĩ quan h tuy n ∑ i i xy− x.y r =i= 1 = . xy n n⌢ 22 ⌢ tính; n u rxy = ± 1 thì hai bi n s cĩ quan h tuy n tính 2 2 sx .s y ∑(xi− x) ∑ (y i − y) tuy t đ i. i1= i1 = 3) N u rxy 0 thì quan h gi a x, y là đng bi n ⌢2 ⌢ 2 ⌢ ⌢ (cĩ ngh ĩa là khi x tăng thì y c ũng t ăng). Chú ý. sx .s y cĩ sai s bé h ơn sx .s y . Trang 21
22. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK VD 1. Tính h s t ươ ng quan gi a đ tu i và cholesterol cho b ng trên. Ta cĩ: 2. ðưng th ng h i qui 1 n 1 n x =∑ xi = 43 ,9 ; y =∑ yi = 3, 56 ; • ð ti n vi c theo dõi và mơ t mơ hình, g i đ tu i cho n i= 1 n i= 1 cá nhân i là x i và cholesterol là y i, i= 1,10 . 1 xy=∑ nij x i y i = 167,2 6 ; n i= 1 – Các đim cĩ t a đ (x i; y i) t o thành đưng g p khúc j= 1 và g n v i đưng th ng cĩ d ng y = ax + b. Ng ưi ta ⌢ ⌢ 2 2 dùng đưng th ng y = ax + b đ tính x p x các giá tr y i sx = 183,29 ; sy = 0,6944 . theo x i: yi= ax i + b + ε i v i m t sai s εi , đưng xy− x.y Vy r= = 0,9729 . th ng này đưc g i là đưng th ng h i quy. xy ⌢2 ⌢ 2 sx .s y – Các thơng s a, b ph i đưc ưc tính t d li u. Ph ươ ng pháp đ ưc tính các thơng s này là ph ươ ng VD 2. ðo chi u cao X(m) và kh i l ưng Y(kg) c a 5 h c pháp bình ph ươ ng bé nh t. Phươ ng pháp bình ph ươ ng bé sinh, ta cĩ k t qu : nh t là tìm giá tr a, b sao cho t ng bình ph ươ ng sai s n n X(m) 1,45 1,6 1,5 1,65 1,55 2 2   là nh nh t. ∑εi= ∑ y i −(ax i + b)  Y(kg) 50 55 45 60 55 i1= i1 = – Ưc l ưng cho a, b đáp ng điu ki n trên là: a) Tìm h s t ươ ng quan r xy . xy− x.y b) L p ph ươ ng trình h i quy tuy n tính c a Y theo X. a=⌢ ,byax = − . c) D đốn n u m t h c sinh cao 1,62m thì n ng kho ng s2 x bao nhiêu kg? Chú ý yx − y x− x ⌢= rxy ⌢ . sy s x VD 3. S v n đ u t ư X(tri u đ ng) và l i nhu n Y(tri u VD 4. S thùng bia Y(thùng) đưc bán ra ph thu c vào đng) trong m t đơn v th i gian c a 100 quan sát là: giá bán X (tri u đ ng/ thùng). ðiu tra 100 đ i lý v 1 lo i bia trong m t đơn v th i gian cĩ b ng s li u: Y X 0,3 0,7 1,0 Y 100 110 120 1 20 10 X 2 30 10 0,150 5 15 30 3 10 20 0,160 10 25 0,165 15 a) L p ph ươ ng trình h i tuy n tính c a X theo Y. a) Tính h s t ươ ng quan r xy . b) D đốn n u mu n l i nhu n thu đưc là 0,5 tri u b) L p ph ươ ng trình h i tuy n tính c a X theo Y. đng thì c n đ u t ư bao nhiêu? c) D đốn n u mu n bán đưc 115 thùng bia thì giá bán mi thùng c bao nhiêu? 3. S d ng máy tính tìm đưng h i qui VD 5. (fx 500ES) Bài tốn cho d ng c p (x , y )nh ư sau VD 6. (fx 500ES) Bài tốn cho d ng b ng nh ư sau i i X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 X 21 23 25 Y 1,9 4 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4 Y 3 2 Tìm h s r , đưng h i qui m u y= ax + b . xy x 4 5 3 Nh p li u: 5 11 8 SHIFT -> MODE -> dch chuyn m ũi tên tìm ch n m c Nh p li u: Stat-> 2 ( ch đ khơng t n s ) SHIFT -> MODE -> dch chuy n m ũi tên tìm ch n muc MODE->2 (stat) ->2 (A+Bx) -> (nh p các giá tr c a X, Stat-> 1 ( ch đ cĩ t n s ) Y vào 2 c t) MODE->2 (stat) ->2 (A+Bx) -> (nh p các giá tr c a X, X Y Y, t n s vào 2 c t) 20 1,9 X Y FREQ 21 3 2 49 4 21 4 5 Xu t k t qu : 23 4 3 SHIFT - > 1 -> 7 ->1 (A chính là b trong ph ươ ng trình) 23 5 11 - >2 (B chính là a trong ph ươ ng trình) 25 5 8 -> 3 (r chính là rxy ). Xu t k t qu gi ng ví d trên. Ht Trang 22