Bài giảng Xác suất và Thống kê Toán (Nâng cao)

pdf

136 trang hapham 2460

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất và Thống kê Toán (Nâng cao)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_xac_suat_va_thong_ke_toan_nang_cao.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác suất và Thống kê Toán (Nâng cao)

ĐẠI HỌC DUY TÂN ĐÀ NẴNG Xác su ất v à Th ống kê Toán (Nâng Cao) TS. Trần Nhân Tâm Quyền Đ À N Ẵ N G , MÙA THU NĂM 2 0 1 3
CH ƯƠ NG 1: XÁC XU ẤT C ỦA BI ẾN C Ố §1. Bi ến c ố và quan h ệ gi ữa các bi ến cố 1.1. Phép th ử và bi ến c ố: Vi c th c hi n m t nhóm các iu ki n c b n quan sát m t hi n t ng nào ó ưc gi là m t phép th còn hi n t ưng có th xy ra hay không trong k t qu c a phép th ưc g i là bi n c . Thí d ụ: 1. Tung m t con xúc x c là m t phép th , còn vi c l t lên m t nào ó là bi n c . 2. B n m t phát súng vào bia thì vi c b n súng là phép th còn viên n trúng bia (hay tr ư c bia) là bi n c . 3. T m t lô s n ph m g m chính ph m và ph ph m. L y ng u nhiên m t s n ph m, vi c ly s n ph m là m t phép th ; còn l y ưc chính ph m (hay ph ph m) là bi n c . Nh v y ta th y r ng m t bi n c ch có th x y ra khi m t phép th g n li n v i nó c th c hi n. 1.2. Các lo ại bi ến c ố: Trong th c t ta có th g p các lo i bi n c sau ây: a) Bi ến c ố ch ắc ch ắn: Là bi n c nh t nh s x y ra khi th c hi n phép th . Bi n c ch c ch n ưc ký hi u là Ω . Thí d ụ: 1. Khi th c hi n phép th : tung m t con xúc xc, g i Ω là bi n c xúc x c xu t hi n m t có s ch m nh h ơn ho c b ng sáu thì Ω là bi n c ch c ch n. 2. G i Ω là bi n c nc sôi nhi t 100 0C, d ưi áp su t 1 atm thì Ω là m t bi n c ch c ch n. b) Bi ến c ố không th ể có: Là bi n c không th x y ra khi th c hi n phép th . Bi n c không th có ưc ký hi u là ∅ .
Thí d ụ: 1. Khi tung m t con xúc x c. G i ∅ là bi n c xu t hi n m t 7 ch m, khi ó ∅ là bi n c không th có. 2. Bi n c nc sôi nhi t 50 0C, v i áp su t 1 atm là bi n c không th có. c) Bi ến c ố ng ẫu nhiên: Là bi n c có th x y ra ho c không x y ra khi th c hi n phép th . Các bi n c ng u nhiên th ưng ưc ký hi u là A, B, C ho c là A1, A 2, , A n, Thí d ụ: Khi tung m t ng xu, g i A là bi n c xu t hi n m t Sp thì A là bi n c ng u nhiên. Tt c các bi n c ta g p trong th c t u thu c m t trong ba lo i bi n c trên. Tuy nhiên bi n c ng u nhiên là lo i bi n c th ưng g p h n c . 1.3. Mối quan h ệ gi ữa các bi ến c ố: Định ngh ĩa 1: A và B ưc g i là hai bi n c t ư ng ư ng n u A x y ra thì B c ng x y ra và ng ưc l i. Ký hi u: A = B Thí d ụ: Khi tung m t con xúc x c, g i A là bi n c xu t hi n m t 6 ch m, B là bi n c xu t hi n mt ch n l n h ơn 4 . Ta th y n u A x y ra thì B c ng x y ra và ng ưc l i n u B x y ra thì A c ng x y ra. Vy A = B. Định ngh ĩa 2: Bi n c C ưc gi là tng c a hai bi n c A và B n u C x y khi và ch khi có ít nh ất một trong hai bi n c A, B x y ra. Ký h u C = A + B ho c C= A ∪ B . Thí d ụ:
Ch n ng u nhiên t 2 l p A, B m i l p 1 sinh viên. G i A là bi n c bn ch n t l p A là nam , B là bi n c bn ch n t l p B là nam và C là bi n c ch n c sinh viên nam . Rõ ràng bi n c C x y ra khi có ít nh t m t trong hai bi n c A và B x y ra. Vy C = A + B . Định ngh ĩa 3: Bi n c A ưc g i là t ng c a n bi n c : A1, A 2, , A n nu A x y ra khi và ch khi có ít nh ất m ột trong n bi n c ó x y ra. Ký hi u là: A = A 1 + A 2 + +A n ho c AAA=1 ∪ 2 ∪ ∪ A n . Định ngh ĩa 4: Bi n c C ưc g i là tích c a hai bi n c A và B n u C x y ra khi và ch khi c A và B cùng ng th i x y ra . Ký hi u: C = A.B ho c C= A ∩ B . Thí d ụ: Hai l p A, B u có sinh viên s ng t i à N ng. Ch n ng u nhiên m i l p 1 sinh viên. Gi A là bi n c ch n c sinh viên s ng à N ng l p A , B là bi n c ch n c sinh viên s ng à N ng lp B , C là bi n c c hai sinh viên s ng à Nng . Rõ ràng C x y ra khi và ch khi c A và B cùng x y ra. V y C = A.B Định ngh ĩa 5: Bi n c A ưc g i là tích c a n bi n c A1, A 2, , A n nu A x y ra khi và ch khi t t c n bi n c y ng th i x y ra. Ký hi u là: A = A 1.A 2 A n ho c AAA=1 ∩ 2 ∩ ∩ A n . Thí d ụ: Xét phép th l y ng u nhiên l n l ưt ra 4 con h c gi y t h p có 10 con h c (trong ó có 4 con h c màu tr ng). G i Ai là bi n c ln th i l y c l y c h c tr ng (i = 1,2,3,4). A là bi n c l y ưc 4 con hc tr ng. Ta th y A x y ra khi và ch khi c 4 bi n c A1, A 2, A 3 và A 4 ng th i x y ra. V y: A = A 1.A 2.A3.A 4. Định ngh ĩa 6: Hai bi n c A và B ưc g i là xung kh c nhau n u chúng không ng th i x y ra trong mt phép th . Ngh a là
A. B = ∅ vi ∅ là bi n c không th x y ra. Thí d ụ: Xét phép ch n ng u nhiên 1 sinh viên trong l p. G i A là bi n c sinh viên c ch n là nam và B là bi n c sinh viên c ch n là n thì A và B là hai bi n c xung kh c. Định ngh ĩa 7: Nhóm n bi n c A1, A 2, , A n ưc g i là xung kh c t ng ôi nu hai bi n c b t k trong n bi n c này xung kh c v i nhau. Ngh a là AAi. j =∅ , ∀ ij ≠ . Thí d ụ: Trong m t thùng hàng có 3 s n ph m lo i I, 4 s n ph m lo i II và 5 s n ph m lo i III. L y ng u nhiên 2 s n ph m t thùng hàng. G i A là bi n c ly c 2 s n ph m lo i I , B là bi n c ly c 2 s n ph m lo i II , C là bi n c ly c 2 s n ph m khác lo i. Khi ó A, B, C là 3 bi n c xung kh c t ng ôi. Định ngh ĩa 8: Các bi n c A1, A 2, , A n ưc g i là nhóm bi n c y nu chúng xung kh c t ng ôi và t ng c a chúng là bi n c ch c ch n. Ngh a là AAi. j =∅ , ∀ ij ≠ , A1+ A 2 + + A n =Ω Thí d ụ: Xét phép th tung m t con xúc x c. G i Ai (i = 1, ,6) là bi n c xu t hi n m t i ch m. Các bi n c A1, A 2, , A 6 to nên m t nhóm các bi n c y vì chúng xung kh c t ng ôi m t và t ng c a 6 bi n c ó là bi n c ch c ch n A1+ A 2 + + A 6 =Ω . Định ngh ĩa 9: Bi n c A và B g i là hai bi n c i l p nhau (hay ph nh nhau) nu chúng t o nên mt nhóm bi n c y .
Bi n c i l p c a bi n c A ư c ký hi u là A . V y A và A lp thành m t nhóm y các bi n c . Thí d ụ: Khi tung m t con xúc x c. G i A là bi n c xu t hi n m t ch n, B là bi n c xu t hi n mt l . Rõ ràng B là bi n c i l p c a bi n c A hay B= A . Lu ật Demorgan: AA12+ ++ An = AAA 12 . n , AAA12. n= AA 12 + ++ A n . Nh ận xét: A+B = B+A; A.B = B.A A+A = A; A.A = A A.(B + C) = A.B + A.C A+ ∅ = A; A. ∅ = ∅ A+ Ω = Ω ; A. Ω = A A+ A = Ω ; A. A = ∅ §2. Định ngh ĩa c ổ điển v ề xác su ất Quan sát các hi n t ưng t nhiên ta th y có nh ng hi n t ưng th ưng x y ra, có nh ng hi n t ưng ít x y ra. Xác su t là m t i l ưng th hi n m c x y ra (th ưng xuyên hay ít khi) c a m t bi n c . Trong l ch s Toán h c ã có nhi u nh ngh a cho khái ni m xác su t. Trong ph n này, ta s xem xét m t s nh ngh a tiêu bi u. 2.1. Định ngh ĩa xác su ất c ổ điển a) Định ngh ĩa Xác su t xu t hi n bi n c A là t s gi a s các tr ng h p thu n l i bi n c A x y ra và s tr ng h p cùng kh n ng có th x y ra khi th c hi n phép th . Nu ký hi u P(A) là xác su t c a bi n c A, m là s tr ưng h p thu n li cho bi n c A, n là s tr ưng h p cùng kh n ng có th x y ra thì ta có công th c: m P( A ) = . n Thí d ụ 1 :
T 1 lô hàng có 13 chính ph m và 7 ph ph m có kích th ư c và hình d ng nh ư nhau, l y ng u nhiên 1 s n ph m. Gi A là bi n c ly c chính ph m, ta có 13 P( A ) = . 20 Gi B là bi n c ly c ph ph m, ta có 7 P( B ) = . 20 Thí d ụ 2 : Mt b bài có 52 quân, rút hú h a 3 quân. Tìm xác su t trong 3 quân rút ra có duy nh t mt quân C . Gi i: Mi cách rút 3 quân t 52 quân là m t t h p ch p 3 t 52 ph n t , do ó s tr ng hp cùng kh n ng x y ra là: 3 n= C 52 . Gi A là bi n c xy ra m t quân C ơ và 2 quân còn l i không là quân C ơ khi rút 3 quân . S tr ưng h p thu n l i cho A x y ra là: 1 2 m= C13 C 39 . Vy 38.39 m C1 C 2 13. P( A )==13 39 =2 = 0,4359. 3 50.51.52 n C 52 6 Thí d ụ 3 : Mt lô hàng có 10 s n ph m, trong ó có 8 chính ph m và 2 ph ph m. L y ng u nhiên t lô s n ph m ó 3 s n ph m. Tìm xác su t : a) C 3 s n ph m l y ra u là chính ph m. b) Trong 3 s n ph m l y ra có 2 chính ph m.
Gi i: Gi A là bi n c ly c 3 chính ph m. S k t qu cùng kh n ng x y ra trong phép th là: 3 n= C 10 = 120. S k t qu thu n l i cho bi n c A x y ra là 3 mA = C 8 = 56. Do ó 56 P( A )= = 0,4667. 120 Gi B là bi n c trong ba s n ph m l y ra có 2 chính ph m. S k t qu thu n l i cho B xy ra là: 2 1 mB = C8 C 2 = 56. Do ó 56 P( B )= = 0,4667. 120 Thí d ụ 4: Mt lô hàng 12 s n ph m trong ó có 3 s n ph m b h ng. Chia ng u nhiên 12 s n ph m ó cho 3 khách hàng, m i khách hàng 4 s n ph m. Tính xác su t c a các bi n c : i/ M i ng ư i u có m t s n ph m b h ng. ii/ Có m t ng ư i có úng 2 s n ph m b h ng. Gii: S k t qu ng kh n ng x y ra trong vi c chia 12 s n ph m cho 3 khách hàng (l y ng u nhiên 4 s n ph m trong 12 s n ph m chia cho ng ư i th nh t, l y ng u nhiên 4 s n ph m trong 8 s n ph m còn l i chia cho ng ư i th hai, và l y 4 s n ph m còn l i chia cho ng ư i th ba) 4 4 4 n= C12. C 8 . C 4 . i/ G i A là bi n c mi ng i u có m t s n ph m b h ng . Khi ó s k t qu thu n l i cho A là
31 31 31 mA = ( CC93 ).( CC 62 ).( CC 31 ). Vy 31 31 31 C9 CC 36 CC 231 C 16 P( A )=4 4 4 = . C12. C 8 . C 4 56 i/ G i B là bi n c có m t ng i có úng 2 s n ph m b h ng . Khi ó s k t qu thu n l i cho B là 122 4 4 mB = CCC393( ).( C 8 ).( C 4 ). Vy 1 2 2 4 4 CC39 C 3 C 8 C 4 36 P( A )=4 4 4 = . C12. C 8 . C 4 56 2.2. Định ngh ĩa th ống kê v ề xác su ất a) Định ngh ĩa t ần su ất: Tn sut xu t hi n bi n c A trong n phép th là t s gi a s phép th mà trong ó bi n c A xu t hi n và t ng s phép th ư c th c hi n. N u ký hi u s phép th là n, s l n xu t hi n bi n c A là k, t n su t xu t hi n bi n c A là k f( A ) = . n Cùng v i khái ni m xác su t, khái ni m t n su t là m t trong nh ng khái ni m c b n c a lý thuy t xác su t. Thí d ụ 1 : Khi kh o sát ng u nhiên 40 sinh viên ng ưi ta phát hi n ra 5 sinh viên gi i. N u g i A là bi n c xu t hi n sinh viên gi i thì t n su t xu t hi n sinh viên gi i trong s 40 SV ưc kh o sát là: 5 1 f( A ) = = . 40 8 Thí d ụ 2:
nghiên c u kh n ng xu t hi n m t s p khi tung m t ng xu, ng ưi ta ti n hành tung ng xu nhi u l n và thu ưc k t qu cho b ng d ưi ây: Ng ưi ti n S l n tung S l n ư c Tn su t f(A) hành th (n) mt s p xu t hi n (k) Thùy Nhiên 5268 2671 0,50702 Nh t Tâm 14400 7021 0,50146 Thiên H ư ng 20045 10033 0,50052 T k t qu các l n th trên ta th y khi s phép th t ng lên, t n su t xu t hi n m t s p ti n dn n 0,5 là xác su t xu t hi n m t s p khi tung ng xu. V y t n su t ti n d n n xác su t khi s phép th t ng d n n vô h n. T ó ta có nh ngh a th ng kê v xác su t: b) Đị nh ngh ĩa xác su ất theo t ần xu ất Khi s phép th t ng lên vô h n, t n su t xu t hi n bi n c ti n d n n m t s xác nh ưc g i là xác su t c a bi n c ó. Hay nói cách khác, xác su t là gi i h n c a t n su t khi s phép th t ng lên vô h n: k PA( )= lim fA ( ) = lim . n→∞ n →∞ n nh ngh a th ng kê v xác su t có ưu im l n là nó không òi h i nh ng iu ki n áp dng nh ư i v i nh ng nh ngh a c in. Nó hoàn toàn d a trên các quan sát th c t làm c s k t lu n v xác su t x y ra c a m t bi n c . Tuy nhiên trong th c t không th ti n hành vô h n phép th , nh ưng i v i s phép th l n ta có th xem xác su t x p x b ng t n su t: k P( A ) . n 2.3. Định ngh ĩa xác su ất theo hình h ọc: Khi s k t qu trong phép th là vô h n, ta không th áp d ng nh ngh a c in tính xác su t. Trong nhi u tr ưng h p, ta có th s d ng nh ngh a xác su t theo quan im hình h c nh ư sau: a) Định ngh ĩa:
Gi s m t im ưc ri ng u nhiên vào m t mi n Ω , A là m t min con c a Ω . Khi ó xác su t im r i ng u nhiên vào mi n A ưc xác nh b i công th c: mes( A ) P( A ) = . mes (Ω ) Trong ó mes(A) và mes( Ω ) là o c a mi n A và Ω (có th là dài, di n tích hay th tích tùy thu c vào mi n xét trên ưng th ng, m t ph ng hay trong không gian 3 chi u theo t ng bài toán c th ). Thí d ụ: Hai ng ưi b n h n g p nhau t i m t a im ã nh tr ưc trong kho ng th i gian t 19 n 20 gi . Hai ng ưi n ch h n c l p v i nhau và qui ưc r ng ng ưi n trưc s ch i ng ưi n sau 10 phút, nu không g p thì s i. Tính xác su t hai ng ưi có th gp nhau? Gi i: Gi A là bin c hai ng i g p nhau . Ta c n tính P(A). Gi x là s phút t i th i im ng ưi th nh t n im h n: 0 x 60. Gi y là s phút t i th i im ng ưi th hai n im h n: 0 y 60. Nu ta bi u di n s phút x theo tr c hoành và s phút y theo tr c tung thì s phút lúc n ca c hai ng ưi ưc bi u di n b ng m t im có t a (x, y) n m trong hình vuông có cnh là 60 (ta ly phút làm n v ). ó chính là mi n Ω . Ω = {(x,y): 0 x 60; 0 y 60} hai ng ưi g p nhau thì s phút lúc n x, y c a m i ng ưi ph i th a mãn iu ki n: |xy− |10 ≤ ⇔− x 10 ≤≤+ yx 10. y 60 y=x+10 10 y=x -10 x O 10 60
Nh ư v y các im (x, y) thích h p cho vi c g p nhau là các im n m trong ph n A có gch chéo n m gi a hai ưng th ng y = x – 10 và y = x + 10 (nh ư hình v ). Theo công th c xác su t hình h c: mes() A 602− 50 2 11 P() A = = == 0,3056. mes ()Ω 602 36 T nh ngh a xác su t theo hình h c, ta th y r ng m t bi n c có xác su t b ng 0 v n có th x y ra. Ch ng h n, xác su t m t viên n r i trúng m t im M trên m t mi n Ω bng không (vì di n tích mes( Ω ) bng di n tích m t im M, b ng 0), nhưng bi n c ó vn có th x y ra. 2.4 Các tính ch ất c ủa xác su ất: T các nh ngh a c a xác su t ã nêu trên ta có th suy ra các tình ch t c a xác su t: 1. N u A⊂ B thì PA()≤ PB ();(\) PBA = PB () − PA () 2. N u A là bi n c b t k thì: 0 P(A) 1 3. Xác su t c a bi n c ch c ch n b ng m t: P( Ω ) = 1 4. Xác su t c a bi n c không th có b ng không: P( ∅ ) = 0 5. N u A là bi n c ph nh ( i l p) c a bi n c A thì: PA()1= − PA () 6. N u A và B là hai bi n c xung kh c thì: P(A + B) = P(A) + P(B) Nu A, B, C là ba bi n c xung kh c t ng ôi thì P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)
7. N u A, B là 2 bi n c b t k thì: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B) Tng quát, n u A, B, C là 3 bi n c b t k thì: P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A.B) – P(B.C) – P(C.A) + P(A.B.C). §3. Xác su ất có điều ki ện 3.1. Định ngh ĩa: Xác su t c a bi n c A nu bi n c B ã x y ra ưc g i là xác su t có iu ki n c a A i v i B. Ký hi u là P(A/B). Thí d ụ: Cho m t h p kín có 6 th ATM c a ACB và 4 th ATM c a Vietcombank. L y ng u nhiên ln l ưt không hoàn l i 2 th . Tìm xác su t l n th hai l y ưc th ATM c a Vietcombank nu bi t l n th nh t ã l y ưc th ATM c a ACB. Gi i: Gi A là bi n c ln th hai l y c th ATM Vietcombank, B là bi n c ln th nh t l y c th ATM c a ACB . Ta c n tìm P(A/B). Sau khi l y l n th nh t (bi n c B ã x y ra) trong h p còn l i 9 th , trong ó 4 th Vietcombank. V y 4 P(/) A B = . 9 3.2. Công th ức nhân xác su ất a) Công th ức: Xác su t c a tích hai bi n c A và B b ng tích xác su t c a m t trong hai bi n c ó v i xác su t có iu ki n c a bi n c còn l i: PAB(.)= PAPBA ().(/) = PBPAB ().(/). Ch ng minh: Gi s phép th có n k t qu cùng kh n ng có th x y ra, mA kt qu thu n li cho A, m B kt qu thu n l i cho B. Vì A và B là hai bi n c b t k , do ó nói chung s có k k t qu thu n l i cho c A và B cùng ng th i x y ra. Theo nh ngh a c in ca xác su t ta có:
k m PAB(.)= , PA () = A . n n Ta i tính P(B/A). Vi iu ki n bi n c A ã x y ra, nên s k t qu cùng kh n ng c a phép th i v i bi n B là m A, s k t qu thu n l i cho B là k. Do ó: k P( B / A ) = . mA Nh ư v y: km k PAB()= =A . = PAPBA ().(/). n n m A Vì vai trò c a hai bi n c A và B nh ư nhau. B ng cách ch ng minh t ư ng t ta c ng ư c PAB(.)= PBPA ().( / B ). Thí d ụ: 1. Trong h p có 20 n p khoen bia Tiger, trong ó có 2 n p ghi Chúc m ng b n ã trúng th ng xe BMW . B n ưc ch n lên rút th m ln l ưt hai n p khoen, tính xác su t c hai n p u trúng th ưng. Gi i: Gi A là bi n c rút np khoen u trúng th ng . B là bi n c rút np khoen th hai trúng th ng . C là bi n c c 2 n p u trúng th ưng. Ta có C = A.B và c n tính P(C). Khi b n rút th m l n u thì trong h p có 20 n p trong ó có 2 n p trúng. Do ó P(A) = 2/20. Khi bi n c A ã x y ra thì còn l i 19 n p trong ó có 1 n p trúng th ưng. Do ó: P(B/A) = 1/19. T ó ta có: 2 1 PC()= PAPB ().( / A ) = . = 0.0053. 20 19 2. Áo Vi t Ti n tr ưc khi xu t kh u sang M ph i qua 2 l n ki m tra, n u c hai l n u t thì chi c áo ó m i tiêu chu n xu t kh u. Bi t r ng bình quân 98% s n ph m làm ra qua ưc l n ki m tra th nh t, và 95% s n ph m qua ưc l n ki m tra u s ti p t c qua ưc l n ki m tra th hai. Tìm xác su t 1 chi c áo tiêu chu n xu t kh u? Gi ải: Gi A là bi n c sn ph m qua c l n ki m tra u tiên , B là biên c sn ph m qua c l n ki m tra th 2, C là bi n c tiêu chu n xu t kh u. Khi ó
PC( )== PAB ( . ) PAPB ( ). ( / A ) = 0,98.0,95 = 0,931. 3. L p Kinh t h c có 95 Sinh viên, trong ó có 40 nam và 55 n . Trong k thi môn Xác su t th ng kê có 23 sinh viên t im gi i (trong ó có 12 nam và 11 n ). G i tên ng u nhiên m t sinh viên trong danh sách l p. Tìm xác su t g i ưc sinh viên t im gi i môn Xác su t th ng kê, bi t r ng sinh viên ó là n ? Gi i: Gi A là bi n c gi c sinh viên n , B là bi n c gi c sinh viên t im gi i môn Xác su t th ng kê, C là bi n c gi c sinh viên n t im gi i. Khi ó C = B/A. Do ó 11 P() AB 11 PC()(/)= PB A = ===95 0,2. P() A 55 55 95 b) Các định ngh ĩa v ề các bi ến c ố độ c l ập: Định ngh ĩa 1: Hai bi n c g i là c l p nhau n u vi c x y ra hay không x y ra bi n c này không làm thay i xác su t x y ra c a bi n c kia và ng ưc l i. Ta có th dùng khái ni m xác su t có iu ki n nh ngh a các bi n c c l p nh ư sau: Nu P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) thì A và B c l p v i nhau. Trong tr ưng h p vi c bi n c này x y ra hay không x y ra làm cho xác su t x y ra c a bi n c kia thay i thì hai bi n c ó g i là ph thu c nhau. Thí d ụ: Trong bình có 4 qu c u tr ng và 5 qu c u xanh, l y ng u nhiên t bình ra 1 qu c u. G i A là bi n c ly c qu c u xanh . Hi n nhiên P(A) = 5/9 . Qu c u l y ra ưc b l i vào bình và ti p t c l y 1 qu c u. G i B là bi n c ln th 2 l y c qu c u xanh , P(B) = 5/9. Rõ ràng xác su t c a bi n c B không thay i khi bi n c A x y ra hay không x y ra và ng ưc l i. V y hai bi n c A và B c l p nhau. Ta chú ý r ng n u A và B c l p thì các c p bi n c A, B ho c A, B ho c A, B
cng c l p v i nhau. Trong th c t vi c nh n bi t tính c l p, ph thu c, xung kh c c a các bi n c ch y u da vào tr c giác. Định ngh ĩa 2: Các bi n c A 1, A 2, , A n, ưc g i là c l p t ng ôi n u m i c p hai bi n c b t k trong n bi n c ó c l p v i nhau. Thí d ụ: Xét phép th tung m t ng xu 3 l n. G i A i là bi n c ưc m t s p l n tung th i (i = 1, 2, 3). Rõ ràng m i c p hai trong 3 bi n c ó c l p v i nhau. V y A 1, A 2, A 3 c l p tng ôi. Định ngh ĩa 3 : Các bi n c A 1, A 2, , A n, ưc g i là c l p toàn ph n (toàn b ) nu mi bi n c c l p v i tích c a m t t ng h p b t k trong các bi n c còn l i. Ta chú ý là các bi n c c l p t ng i thì ch a ch c c l p toàn ph n. iu ki n c lp toàn ph n m nh h ơn c l p t ng ôi. c) H ệ qu ả: T nh lý trên ta có th suy ra m t s h qu sau ây: Hệ qu ả 1: Xác su t c a tích hai bi n c c l p b ng tích xác su t c a các bi n c ó: P(A.B) = P(A).P(B). Hệ qu ả 2 : Xác su t c a tích n bi n c b ng tích xác su t c a các bi n c ó, trong ó xác su t c a mi bi n c ti p sau u ưc tính v i iu ki n t c c các bi n c tr ưc ó ã x y ra: PAAA(123 ) An = PAPA ()( 121312 / APA )( / AA ) ( PAn / A 11 A n − ). Hệ qu ả 3 : Xác su t c a tích n bi n c c l p toàn ph n b ng tích xác su t c a các bi n c ó: PAAA(123 An )= PAPAPA ( 1 )( 2 )( 3 ) ( PA n ). Thí d ụ:
T l ph ph m c a m t máy là 20%. V y ph i cho máy ó s n xu t ít nh t bao nhiêu s n ph m v i kh n ng lên n 95% là s có ít nht m t chính ph m. Gi i: Gi s ph i s n xu t n s n ph m. G i A i (i = 1,2, ,n) là bi n c sn ph m th i là chính ph m. G i A là bi n c trong n s n ph m ó có ít nh t m t chính ph m. Khi ó n A= ∑ A i . i=1 Do các bi n c trên là c l p toàn ph n và theo lu t Dermorgan ta có n  n  n PA()1 PA  1 PA 1 PA 1(0,2) n =−∑ i  =−Π i  =− Π () i =− . i=1  i=1  i = 1 Ta có P( A )≥ 0,95⇒ 1− (0,2)n ≥ 0,95 ⇒ (0, 2)n ≤ 0,05 ⇒ nlog10 (0, 2)≤ log 10 (0,05) log (0,05) ⇒ n ≥10 = 1,86 log10 (0,2) ⇒ n = 2. Vy ph i cho máy ó s n xu t ít nh t 2 s n ph m th a yêu c u. 3.3. Các công th ức xác su ất a) H ệ đầ y đủ các bi ến c ố Cho m t phép th . Ta nói h g m n bi n c H 1, H 2, , H n ca phép th là y n u i) H 1, H 2, , H n xung kh c t ng ôi ii) H 1+H 2+ +H n = Ω. Thí d ụ: 1. Cho m t phép th b t k . Khi ó h A, A là y . 2. M t lô hàng có 8 s n ph m lo i I và 6 s n ph m lo i II. L y ng u nhiên 2 s n ph m t lô hàng. Khi ó h 3 bi n c sau là y : H1 = Bin c ch n c 2 s n ph m lo i I ,
H2 = Bin c ch n c 2 s n ph m lo i II , H3 = Bin c ch n c 1 s n ph m lo i I và 1 s n ph m lo i II . Chú ý: Nu H 1, H 2, , H n là h y các bi n c thì P(H 1) + + P(H n) = 1. b) Các công th ức xác su ất Cho m t phép th có H 1, H 2, , H n là h các bi n c y và A là bi n c b t k c a phép th . Khi ó i/ Công th c xác su t y (hay công th c xác su t toàn ph n) P(A) = P(H 1).P(A/H 1) + P(H 2).P(A/H 2) + + P(H n).P(A/H n). ii/ Công th c Bayès (Bây-ét) PH( ). PA ( / H ) PHA( / )=j j , ∀ j = 1,2, , n . j P( A ) Thí d ụ 1: Mt c a hàng bán m t lo i s n ph m do hai công ty A và B cung c p vi t l s n ph m ca công ty A và B có trong c a hàng t ư ng ng là 55% và 45%. Theo th ng kê t l ph ph m c a công ty A và B t ư ng ng là 2% và 3%. M t khách hàng n mua ng u nhiên 1 sn ph m c a c a hàng. a/ Tìm xác su t khách mua ư c chính ph m. b/ Gi s s n ph m khách mua là ph ph m. Khi ó kh n ng ph ph m này do công ty nào cung c p là cao h n. Gi i: G i H 1 là bi n c sn ph m khách mua do công ty A cung c p và H 2 là bi n c sn ph m khách mua do công ty B cung c p. Khi ó H 1 và H 2 là h y và P(H 1) = 0,55; P(H 2) = 0,45. a/ G i X là bi n c khách mua c chính ph m. Ta có P(X) = P(H 1).P(X/H 1) + P(H 2).P(X/H 2) = 0,55. 0,98 + 0,45. 0,97 = 0,9755. b/ Ta có
P( H1 / X ) = Xác su t ph ph m khách mua do công ty A cung c p PH( ). PX ( / H ) 0,55.0,02 = 1 1 = = 0,4489 P( X ) 1− 0,9755 P( H2 / X ) = Xác su t ph ph m khách mua do công ty B cung c p = 1- P( H1 / X ) = 0,5511. Vy kh n ng ph ph m khách mua do công ty B cung c p là cao h n. Thí d ụ 2: Xí nghi p có hai dây chuy n cùng l p ráp m t lo i s n ph m v i t l ph ph m t ư ng ng là 2% và 3%. M t khách hàng mua (l n l ư t) 2 s n ph m ca xí nghi p ó. Tìm xác su t khách hàng mua ư c: a/ 2 chính ph m b/ 1 chính ph m. Gi i: G i H 1 là bi n c khách mua c 2 s n ph m c a dây chuy n 1 ; H2 là bi n c khách mua c 2 s n ph m c a dây chuy n 2 và H3 là bi n c khách mua c 1 s n ph m c a dây chuy n 1 và 1 s n ph m ca dây chuy n 2 . Khi ó h H 1, H 2, H 3 là y và P(H 1) = 1/4, P(H 2) = 1/4, P(H 3) = 1/2 a/ G i A là bi n c khách mua c 2 chính ph m. P(A) = P(H 1).P(A/H 1) + P(H 2).P(A/H 2) + P(H 3).P(A/H 3). = (1/4). 0,98. 0.98 + (1/4).0,97.0,97 + (1/2).0,98.0,97 = 0,951. b/ G i B là bi n c khách mua c 1chính ph m và 1 ph ph m. P(B) = P(H 1).P(B/H 1) + P(H 2).P(B/H 2) + P(H 3).P(B/H 3). = (1/4). 2. 0,98. 0.02 + (1/4).2. 0,97.0,03 + (1/2). (0,98.0,03 + 0,02.0,97) = 0,04875. b) Các công Bernoulli
Cho m t phép th và A là bi n c nào ó c a phép th . Gi s ta th c hi n phép th này n ln m t cách c lp thì ta ư c m t dãy n phép th c l p. Nu P(A) = p không thay i trong m i l n th c hi n phép th thì dãy n phép th ó g i là m t l ư c Bernoulli. Ký hiu: B(n,p). Kết qu ả: Cho l ư c Bernoulli B(n,p). Xác sut trong n ln th c hi n phép th k trên bi n c A x y ra úng k ln là: kk nk− Pkn( )= Cp n (1 − p ) . Thí d ụ 1: Mt công nhân qu n lý 6 máy d t c l p nhau. Xác su t trong kho ng th i gian T m i máy d t c n s ch m sóc c a công nhân ó là 0,3. Tìm xác su t trong th i gian T: a/ Có úng 4 máy c n ch m sóc. b/ Có ít nh t 4 máy c n ch m sóc. Gi i: Bài toán th a mãn l ư c Bernoulli B(n, p) v i n = 6 và p = 0,3. ây, trong kho ng th i gian T, m i máy d t c n s ch m sóc c a cô công nhân hay không là m t ư ca m i máy d t là không i và b ng 0,3. 4 4 64− a/ Ta c n tính P 6(4) = C6 (0,3) (1− 0,3) = 0,05954 b/ Ta c n tính P 6(4) + P 6(5) + P 6(6) v i: 5 5 65− 6 6 66− P6(4) = 0,05954 , P6(5) = C6 (0,3) (1− 0,3) , P6(6) = C6 (0,3) (1− 0,3) , và do ó P6(4) + P 6(5) + P 6(6) = 0,0705. Thí d ụ 2: Th ng kê cho bi t xác su t x th b n trúng m c tiêu là 0,4. V i xác su t không nh hn 0,9 x th y cn b n ít nh t bao nhiêu l n có ít nh t m t l n trúng m c tiêu. Gi i: G i n là s l n ít nh t x th b n th a mãn bài toán. Ta c n tìm n. G i A là bi n c trong n l n b n có ít nh t m t l n trúng m c tiêu . Khi ó A là bi n c trong n l n b n không có l n nào trúng m c tiêu . Ta có
0 0n− 0 n P( A )= C n (0,4) (1 − 0,4) = (0,6) . Do ó PA( )=− 1 PA ( ) =− 1 (0,6).n Theo yêu c u c a bài toán, b t ng th c sau th a mãn P( A )≥ 0,9⇒ 1− (0,6)n ≥ 0,9 ⇒ (0,6)n ≤ 0,1 ⇒ n ≥ log0,6 0,1 ⇒ n ≥ 4,5 ⇒ n ≥ 5. Vy x th y b n ít nh t là 5 l n.
Ch ươ ng 2: ĐẠ I L ƯỢ NG NG ẪU NHIÊN §1. Đị nh ngh ĩa và phân lo ại các đại l ượ ng ng ẫu nhiên a) Đị nh ngh ĩa: i l ưng ng u nhiên là i l ưng mà trong k t qu c a phép th s nh n m t và ch m t trong các giá tr có th có c a nó v i m t xác su t t ư ng ng xác nh. Trong toán h c, i l ư ng ng u nhiên ư c nh ngh a nh ư sau: Cho môt phép th có không gian m u Ω . M t ánh x X: Ω → R n ư c gi là m t i l ư ng ng u nhiên. S n g i là s chi u c a i l ư ng ng u nhiên X. Nu n = 1 ta nói X là i l ư ng ng u nhiên 1 chiu. N u n = 2 ta nói X là i l ư ng ng u nhiên 2 chi u. Các i l ưng ng u nhiên th ưng ưc ký hi u b ng ch cái l n cu i b ng ch cái: X, Y, Z ho c X1, X 2, , X n; Y1, Y 2, , Y n và dùng các ch nh ký hi u các giá tr có th có (giá tr c th ) c a chúng. Ch ng h n X nh n các giá tr x1, x 2, , x k. Chú ý r ng s d i l ưng X nào ó g i là ng u nhiên vì tr ưc khi ti n hành phép th ta ch ưa có th nói m t cách ch c ch n nó s nh n giá tr b ng bao nhiêu mà ch có th d oán iu ó v i m t xác su t nh t nh. Nói m t cách khác, vi c X nh n giá tr nào ó (X = x 1) hay (X = x 2), , (X = x n) v th c ch t là các bi n c ng u nhiên. H n n a vì trong k t qu c a phép th i l ưng X nh t nh s nh n m t và ch m t trong các giá tr có th có c a nó, do ó các bi n c (X = x 1), (X = x 2), , (X = x n) t o nên m t nhóm bi n c y . Thí d ụ 1: Tung m t con xúc x c. G i X là s ch m xu t hi n thì X là i l ưng ng u nhiên vì trong kt qu c a phép th nó s nh n m t trong 6 giá tr : 1, 2, 3, 4, 5, 6 v i xác su t t ư ng ng u b ng 1/6. Thí d ụ 2: Gi Y là s ph ph m có trong 50 s n ph m l y ra ki m tra. Y là i l ưng ng u nhiên vì trong k t qu c a phép th Y s nh n m t trong các giá tr 0, 1, 2, , 50. b) Phân lo ại các đại l ượ ng ng ẫu nhiên Trong s các i l ưng ng u nhiên th ưng g p trong th c t có th phân thành hai lo i ch y u: i l ng ng u nhiên r i r c và i l ng ng u nhiên liên t c.
Đị nh ngh ĩa 1: i l ưng ng u nhiên ưc g i là ri rc nu các giá tr có th có c a nó l p nên m t tp hp h u h n ho c m ưc. Nói cách khác i l ưng ng u nhiên s là r i r c n u ta có th li t kê ưc t t c các giá tr có th có c a nó là {x 0, x 1, x2, , x n ( )} Đị nh ngh ĩa 2: i l ưng ng u nhiên ưc g i là liên t c nu các giá tr có th có c a nó lp kín m t kho ng trên tr c s . i v i i l ưng ng u nhiên liên t c ta không th li t kê ưc các giá tr có th có c a nó. Thí d ụ 3: Mt phân x ưng có 4 máy ho t ng. G i X là s máy h ng trong m t ca. X là i l ưng ng u nhiên r i r c v i các giá tr có th có là X = 0, 1, 2, 3, 4. Thí d ụ 4: Gi X là kích th ưc c a chi ti t do m t máy s n xu t ra, X là i l ưng ng u nhiên liên tc. Thí d ụ 5: Mt x th b n m t viên n vào cái bia hình tròn tâm O và bán kính R = 30 cm. Gi s x th luôn b n trúng bia. G i X là i l ư ng ng u nhiên ch kho ng cách t tâm O n im c m c a viên n trên bia. Khi ó X là i l ư ng ng u nhiên liên t c v i t p giá tr là on [0, 30] (cm). §2. Quy lu ật phân ph ối xác su ất c ủa đại l ượ ng ng ẫu nhiên xác nh m t i l ưng ng u nhiên, tr ưc h t ta ph i bi t i l ưng ng u nhiên y có th nh n các giá tr nào. Nh ưng m t khác ta ph i bi t nó nh n các giá tr trên v i xác su t tư ng ng là bao nhiêu.
Bt k m t hình th c nào cho phép bi u di n m i quan h gi a các giá tr có th có c a i l ưng ng u nhiên và các xác su t t ư ng ng u ưc g i là quy lu t phân ph i xác su t ca i l ưng ng u nhiên y. thi t l p quy lut phân ph i xác su t c a m t i l ưng ng u nhiên ta có th dùng: bng phân ph i xác su t cho i l ư ng ng u nhiên r i r c và hàm m t xác su t cho i lư ng ng u nhiên liên t c. Tuy nhiên tr ư c h t ta nói v hàm phân ph i xác su t c a i lư ng ng u nhiên. 1. Hàm phân ph ối xác su ất c ủa đại l ượng ng ẫu nhiên rời r ạc ho ặc liên t ục: Hàm phân ph i xác su t áp d ng cho c i l ưng ng u nhiên ri r c và liên t c. Gi s X là i l ưng ng u nhiên, x là m t s th c nào ó. Xét bi n c i l ng ng u nhiên X nh n giá tr nh h ơn x . Bi n c này ưc ký hi u (X < x). Hi n nhiên là x thay i thì xác su t P(X < x) c ng thay i theo. Nh ư v y xác su t này là m t hàm s c a x. a) Định ngh ĩa: Hàm phân ph i xác su t c a i l ưng ng u nhiên X, ký hi u là F(x) hay F X(x) là xác su t i l ưng ng u nhiên nh n giá tr nh h n x, v i x là m t s th c b t k . Vy Fx( )= PX ( < x ), ∀∈ xR . Ta chú ý r ng ây là nh ngh a t ng quát c a hàm phân ph i xác su t. i v i t ng lo i i l ưng ng u nhiên hàm phân ph i xác su t ưc tính theo công th c riêng. Ch ng h n nu X là i l ưng ng u nhiên r i r c thì hàm phân ph i xác su t F(x) ưc xác nh b ng công th c F( x ) = ∑ p i . xi < x Trong ó ký hi u x i < x d ưi d u có ngh a là t ng này ưc l y theo m i giá tr xi ca i l ư ng ng u nhiên mà bé h n x và pi= PX( = x i ). Chú ý r ng, vì X là i l ư ng ng u nhiên r i r c, ta không ư c thay ràng bu c xi < x dưi d u bi ràng bu c xi ≤ x .
Thí d ụ: Ti n hành b n 3 viên n c l p. Xác su t trúng bia c a m i viên b ng 0,4. L p hàm phân ph i c a s l n trúng. Gi i: G i X là s l n trúng bia c a viên n. X có th nh n các giá tr : 0, 1, 2, 3. Theo công th c Bernoulli, các xác su t t ư ng ng là: 0 0 30− p0=== PX( 0) C 3 (0,4)(1 − 0,4) = 0,261, p=== PX( 1) C 1 (0, 4) 1 (1 − 0,4) 31− = 0,432, 1 3 2 2 32− p2=== PX( 2) C 3 (0,4)(1 − 0,4) = 0,288, 3 3 33− p3=== PX( 3) C 3 (0,4)(1 − 0,4) = 0,064. Ta có b ng, v sau ta g i là bng phân ph i xác su t c a X: X 0 1 2 3 P 0,261 0,432 0,288 0,064 Khi x ≤ 0 , bi n c (X < x) là bi n c không th có do ó F(x) = P(X < x) = P(∅ ) = 0. Khi 0<x ≤ 1 , bi n c (X < x) ch x y ra khi X = 0 nên F(x) = P(X < x) = P(X = 0) = 0,216. Khi 1<x ≤ 2 , bi n c (X < x) s x y ra khi X = 0 ho c khi X = 1. Do ó F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,216 + 0,432 = 0,643. Khi 2<x ≤ 3 , bi n c (X < x) s x y ra khi X = 0 ho c khi X = 1 ho c khi X = 2, F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,216 + 0,432 + 0,288 = 0,936. Khi 3 < x , bi n c (X < x) s x y ra khi X = 0 ho c khi X = 1 ho c khi X = 2 ho c X = 3, F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1. Vy hàm phân ph i xác su t có d ng:
0,x ≤ 0,  0,216, 0<x ≤ 1,  F( x )= 0,643, 1 < x ≤ 2,  0,936, 2<x ≤ 3, 1, 3< x . th c a F(x) ưc bi u di n trên hình sau y 1 0,936 0,648 0,216 x O 1 2 3 Nh ư v y th hàm phân ph i xác su t c a i l ưng ng u nhiên r i r c có d ng b c thang v i s im gián on chính b ng s giá tr có th có c a X. Thí d ụ: Mt x th b n m t viên n vào cái bia hình tròn tâm O và bán kính R = 30 cm. Gi s x th luôn b n trúng bia. G i X là i l ư ng ng u nhiên ch kho ng cách t tâm O n im c m c a viên n trên bia. Khi ó X là i l ư ng ng u nhiên liên t c vi t p giá tr là [0, 30](cm). Gi F là hàm phân ph i xác su t ca X. Khi ó Khi x ≤ 0 , bi n c (X < x) là bi n c không th có do ó F(x) = P(X < x) = P(∅ ) = 0. Khi 0≤x < 30 , bi n c (X < x) là bi n c ng u nhiên và π x2 x 2 Fx()= PX ( <= x ) = . π 302 900 Khi 30 <x, bi n c (X < x) là bi n c ch c ch n và
Fx()= PX ( < x )1. = Vy hàm phân ph i xác su t ca X là 0,x ≤ 0   x2 F() x= , 0 < x ≤ 30() cm 900 1, 30< x . Tính ch ất: i/ X là i l ư ng ng u nhiên bt k . Khi ó Pa(≤<= X b ) Fb ()() − Fa . ii/ c bi t khi X là i l ư ng ng u nhiên liên t c thì PXx(= ) = 0, ∀∈ xR . Do ó, khi X là i l ư ng ng u nhiên liên t c, ta có Fx()= PX ( < x ) =P( X ≤ x ), và Pa(≤<= X b )( Pa ≤≤ X b ) =Pa( < X ≤ b ) =Pa( < X < b ) =Fb( ) − Fa ( ). 2. Bảng phân ph ối xác su ất c ủa đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên rời r ạc: Bng phân ph i xác su t dùng thi t l p quy lu t phân ph i xác su t c a i l ưng ng u nhiên r i r c. Gi s i l ưng ng u nhiên r i r c X có th nh n m t trong các giá tr có th có là x 0, x1, , x n ( ) vi các xác su t t ơ ng ng là p 0, p 1, , p n. B ng phân ph i xác su t c a X có dng: X x0, x1, xn ( ) P p0, p1, pn ( ) vi
pi= PX( = x i ) . Vì các bi n c (X = x 0), (X = x 1), , (X = x n) l p thành m t h y các bi n c nên các xác su t p i (i = 0, 1, , n) ph i tho mãn các iu ki n: n 0≤pi ≤ 1 và ∑ pi = 1. i=0 Ngoài ra, hàm phân ph i xác su t F(x) t ư ng ng v i b ng phân ph i xác su t trên là: 0, khi x≤ x  1 F( x ) =  p, khi xxi< , ∀ = 1,2, n ∑ i i xi < x Thí d ụ 1 : Tung m t con xúc x c. G i X là s ch m xu t hi n. B ng phân ph i xác su t X có d ng: X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Thí d ụ 2 : Trong h p có 10 s n ph m trong ó có 6 chính ph m. l y ng u nhiên 2 s n ph m, xây dng quy lu t phân ph i xác su t c a s chính ph m (hay b ng phân ph i xác su t và hàm phân ph i xác su t) ưc l y ra. Gi i: Gi X là s chính ph m c l y ra t h p thì X là i l ưng ng u nhiên r i r c có th nh n các giá tr 0, 1, 2 v i các xác su t t ư ng ng: 2 C4 2 p0 = P(0) X ==2 = , C10 15 1 1 C6 C 4 8 p1 = P( X == 1)2 = , C10 15 2 C6 5 p2 = P(2) X ==2 = . C10 15 Vy quy lu t phân ph i xác su t c a X là: X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15
Hàm hàm phân ph i xác su t lúc này là 0, khix ≤ 0,  2  , khi0<x ≤ 1, 15 F( x ) =  2 8  +, khi1 <x ≤ 2, 15 15  2 8 5 ++=1, khi2 < x .  15 15 15 Thí d ụ 3: T l ph ph m c a m t máy là 10%. Máy s ư c em i s a ch a ngay sau khi làm ra ph ph m. Tìm quy lu t phân ph i xác su t c a s s n ph m ư c làm ra cho n khi máy em i s a. Gi i: G i X là s s n ph m ư c làm ra cho n khi máy ư c em i s a ch a. Ta có bng phân ph i xác su t c a X là: X 1 2 3 n P 0,1 0,9.0,1 0,9 2.0,1 0,9 n-1.0,1 Lưu ý r ng ∞ ∑0,1.0.9n =+ 0,1 0,1.0,9 ++ 0,1.0,9n + n=0 1− 0,9 n = lim 0,1 n→∞ 1− 0,9 0,1 = 1− 0,9 =1. Ghi chú: Khác v i i l ưng ng u nhiên ri r c, n u X là i l ư ng ng u nhiên liên t c thì hàm phân ph i xác su t c a nó liên t c, do ó th c a nó là ưng cong liên t c. Th t v y, ng ư i ta có tính ch t sau: khi X là i l ưng ng u nhiên liên t c thì hàm phân ph i xác su t F(x) liên t c t i m i im. Thí d ụ 4: Cho X là i l ưng ng u nhiên liên t c có hàm phân ph i xác su t
 0, khix ≤ 0,   π Fxkx()= sin2, khi0 π /12) . Gi i: a/ Vì F(x) là hàm phân ph i xác su t ca i l ưng ng u nhiên liên t c nên nó là hàm liên t c t i m i im. Nói riêng, nó liên t c t i im x = π / 4 . Do ó k = 1. b/ Ta có PX(0 π /12)1 =− PX ( ≤ π /12) =1 −P ( X < π /12) =1 − F (π /12) =1 − sin(π /6) =1 − 1/2 = 1/ 2. 3. Hàm m ật độ xác su ất c ủa đại l ượng ng ẫu nhiên liên t ục. Cho X là i l ưng ng u nhiên liên t c có hàm phân ph i xác su t F(x). N u t n t i hàm s f(x) không âm, kh tích trên R sao cho x Fx()=∫ ftdt (), ∀ x ∈ R −∞ thì f(x) g i là hàm m t xác su t ca i l ưng ng u nhiên X.
T nh ngh a ta có: +∞ i/ ∫ f( x ) dx = 1 . −∞ ii/ Pa(≤ 3,  = 3x2  , khi1<x ≤ 3.  26
Ngoài ra, PX(1 1, f( x ) =  axkhi0≤ x ≤ 1. a/ Tìm tham s a và hàm phân ph i xác su t F(x). b/ Th c hi n 5 phép th m t cách c l p liên k t v i i l ư ng ng u nhiên X. Tìm xác su t có 3 l n X nh n giá tr trong kho ng (1/2, 1). Gi i: a/ Vì +∞ 1 ∫ f( x ) dx = 1 nên ∫ f( x ) dx = 1 . −∞ 0 Mà 1 1 1 1 x2 a ∫f( xdx ) = ∫ axdx = a ∫ xdx = a = . 0 0 0 20 2 Do ó a = 2. Ngoài ra, ta có x Fx()=∫ ftdt (), ∀ x ∈ » . −∞ Khi x < 0 thì f(x) = 0 nên x Fx()=∫ 0 dt = 0. −∞ Khi 0≤x ≤ 1 thì
x Fx()= ∫ ftdt () −∞ 0 x =∫ftdt() + ∫ ftdt () −∞ 0 x =0 + ∫ 2 tdt 0 = x2. Tư ng t , khi x >1 thì x Fx()= ∫ ftdt () −∞ 1 = ∫ 2tdt 0 =1. Vy 0, khix < 0,  Fxx()= 2 , khi0 ≤ x ≤ 1,  1, khi1< x . b/ t bi n c A = (1/2 < X < 1). Khi ó P(A) = F(1) – F(1/2) = 3/4. Bài toán th a mãn l ư c Bernoulli B(n,p) v i n = 5 và p = 3/4. V y áp s là P(3)= C 3 (0,75) 3 (1 − 0,75) 53− 5 5 = 0, 264. 4. Khái ni ệm v ề các đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên độ c l ập: Hai i l ư ng ngu nhiên X và Y g i là c l p nhau n u các bi n c (a<X<b) và (c<Y<d) là c l p nhau, v i m i a, b,c và d. Thí d ụ: Tung hai con xúc s c. G i X là i l ư ng ng u nhiên ch s ch m xu t hi n c a con xúc xc th nh t và Y là i l ư ng ng u nhiên ch s ch m xu t hi n c a con xúc x c th hai. Khi ó X và Y là hai i l ư ng ng u nhiên c l p.
Đị nh ngh ĩa: Các i l ư ng ng u nhiên X1, X 2, , X n gi là c l p toàn b v i nhau n u các bi n c (a 1 a ) ≤ 2 2 Thì s a g i là s trung v c a i l ư ng ng u nhiên X. Ký hi u a = med(X). T nh ngh a ta có: i/ N u X là i l ư ng ng u nhiên r i rc và 1 1 ∑ pi ≤ và ∑ pi ≤ xi a 2 thì med(X) = a. ii/ N u X là i l ư ng ng u nhiên và 1a 1 Fa()= hay∫ fxdx () = 2−∞ 2 thì med(X) = a. S trung v c tr ưng cho giá tr trung tâm c a m t i l ư ng ng u nhiên. i v i i lư ng ng u nhiên ư tc ta ch có duy nh t m t s trung v a = med(X), và khi ó ư ng th ng a = med(X) chia hình ph ng ư c gi i h n bi th hàm m t f(x) và tr c hoành thành hai ph n có di n tích b ng nhau và b ng 1/2. Thí d ụ 1: Cho X là i l ư ng ng u nhiên r i r c có b ng phân ph i xác su t
X 1 2 3 4 P 0,4 0,3 0,2 0,1 Hãy tìm med(X). Gi i: Ta có 1 1 P( X 2) = 0, 2 + 0,1 ≤ . 2 2 Do ó med(X) = 2. Thí d ụ 2: Tìm med(X) c a i l ư ng ng u nhiên X có hàm phân ph i xác su t 0, khix ≤ 0,   x2 F() x= , khi0 2 900 2 ⇔a2 = 450 ⇔a = 450. Vy med(X) = 450. 2. S ố mod mod(X) . Đị nh ngh ĩa: Cho X là i l ư ng ng u nhiên r i r c. N u t n t i giá tr a c a X sao cho PXa(== ) max{ PXxi ( =i )| = 0,1,2, } thì giá tr a g i là s mod c a X.
Cho X là i l ư ng ng u nhiên liên t c có hàm m t f(x). N u hàm f t giá tr l n nh t ti a, t c là fa( )= max fx ( ) x∈ R thì s a ư c g i là s mod c a X. Ký hi u a = mod(X). Chý ý r ng s mod c a m t i l ư ng ng u nhiên có th t n t i ho c không và có th có nhi u giá tr khác nhau. Thí d ụ 1: Cho X là i l ư ng ng u nhiên r i r c có b ng phân ph i xác su t X 1 2 3 4 5 P 0,2 0,25 0,25 0,2 0,1 Hãy tìm mod(X). Gi i: Ta có PX(= 2) = PX ( = 3) . =max{PX ( = xi ) | i = 1,2,3, 4,5} Do ó mod(X) = 2 hay mod(X) = 3. Thí d ụ 2: Tìm mod(X) c a i l ư ng ng u nhiên X phân ph i Cauchy v i hàm m t 1 f( x ) = . π ()1+ x2 Gi i: Vì hàm f t giá tr l n nh t t i x = 0, 1 1 f(0)= max f ( x ) hay = max . xR∈π xR ∈ π ()1+ x2
Vy mod(X) =0. 3. K ỳ v ọng toán hay trung bình của đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên: K v ng toán c a i l ư ng ng u nhiên X ư c ký là hi u E(X) và ư c xác nh tùy theo i l ư ng ng u nhiên là r i r c hay liên t c. i/ N u X r i r c và có b ng phân ph i xác su t X x0 x1 x n ( ) P po p1 p n ( ) thì EX( )= ∑ xpi . i . i ii/ N u X liên t c và có f(x) là hàm m t thì +∞ EX()= ∫ xfxdx .() . −∞ Trong tr ưng hp t ng hay tích phân suy r ng trên phân k thì ta nói không t n t i k vng c a i l ư ng ng u nhiên X. Ý ngh ĩa: K v ng toán E(X) c a i l ư ng ng u nhiên X là giá tr i di n cho giá tr trung bình theo xác su t c a X. Trong lý thuy t kinh t và qu n tr kinh doanh, n u xét mt s l ư ng l n các phép th d ư i cùng m t nhóm iu kiên nh ư nhau, thì k v ng toán ph n ánh giá tr trung bình ca i l ư ng ng u nhiên X. Thí d ụ 1: Cho X là i l ưng ng u nhiên liên t c có hàm m t 0, khix 1, f( x ) =  2,x khi0≤ x ≤ 1. Tính trung bình ca X. Gi i: Theo công th c
+∞ EX()= ∫ xfxdx .() −∞ 1 2 =∫ x.2 xdx = . 0 3 Thí d ụ 2: Tu i th tính theo n m c a m t lo i s n ph m là i l ư ng ng u nhiên liên t c có hàm mt xác su t 0, khix < 0, f( x ) =  ke−2x , khi x ≥ 0. a/ Tính xác su t tu i th lo i s n ph m này n m trong kho ng t 1 n 2 n m. b/ Tính xác su t tu i th lo i s n ph m này ít nh t là 2 n m. c/ Tính tu i th trung bình c a lo i s n ph m này. Gi i: Vì +∞ ∞ ∫ f( x ) dx = 1 nên ∫ f( x ) dx = 1 . −∞ 0 Mà ∞ ∞ k∞ k ∫fxdx( ) = ke ∫ −2x dx =− e − 2 x = . 0 0 20 2 Do ó k = 2. G i X (n m) là i l ư ng ng u nhiên ch tu i th c a lo i s n ph m này. a/ Theo tính ch t c a hàm m t 2 P(1< X < 2) = ∫ fxdx ( ) 1 2 −2x = 2∫ e dx 1 2 = − e−2x 1 0,117. b/ Theo tính ch t c a hàm m t và d a vào k t qu lime−2x = 0, ta có x→∞
∞ PX(> 2) = ∫ fxdx () 2 ∞ −2x = 2∫ e dx 2 ∞ = − e−2x 2 0,018. c/ Ta có +∞ EX()= ∫ xfxdx .() −∞ ∞ ∞ =2.∫xe−2x dx = − ∫ xde () − 2 x 0 0 ∞ ∞ = −xe−2x + e − 2 x dx 0 ∫ 0 1 ∞ = − e−2x 2 0 1 = . 2 Thí d ụ 3: Mt ng ư i tham gia trò ch i B u-cua. Khi tham gia ng ư i ó t c ưc x ng. H i s ti n ng ư i ó nh n l i trong m i l n ch i là bao nhiêu? Gi i: G i X ( ng) là i l ư ng ng u nhiên ch s ti n ng ư i ó nh n l i trong m i l n ch i. B ng phân ph i xác su t ca X là X 0 2x 3x 4x P 125 75 15 1 216 216 216 216 S ti n trung bình ng ư i ó nh n trong m i l n ch i là 199 E(X) = x=0,9213 x < x 216
Do ó không nên tham gia trò ch i. Tính ch ất: Cho X và Y là các i l ư ng ng u nhiên. i/ N u X là i l ư ng ng u nhiên hng, t c là X = a thì E(X) = E(a) =a. ii/ Vi m i h ng s a, E(aX) = aE(X) iii/ Vi m i i l ư ng ng u nhiên X và Y E(X +Y) = E(X) + E(Y) và E(X -Y) = E(X) - E(Y). iv/ Nu X và Y là hai i l ư ng ng u nhiên c l p, thì E(X.Y) = E(X).E(Y). 4. Ph ươ ng sai c ủa đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên: Ph ư ng sai c a i l ư ng ng u nhiên X ư c ký hi u là D(X) và ư c xác nh nh ư sau D(X) = E(X – E(X)) 2 = E(X 2) – (E(X)) 2, trong ó E(X) là k v ng c a i l ư ng ng u nhiên X. Ngoài ra, E(X 2) ưc tính là: i/ N u X là i l ư ng ng u nhiên ri r c và có b ng phân ph i xác su t X x0 x1 x n ( ) P po p1 p n ( ) thì 2 2 EX( )= ∑ xpi . i . i Vy
DX()= EX ()2 − () EX () 2 2 2   =∑xpii. −  ∑ xp ii .  . i i  ii/ N u X là i l ư ng ng u nhiên liên t c và có f(x) là hàm m t thì +∞ EX(2 )= ∫ xfxdx 2 .() . −∞ Vy DX()= EX (2 )()( EX )2 +∞ +∞  2 =∫x2.() fxdx −  ∫ xfxdx .()  . −∞ −∞  Ý ngh ĩa: Trong lý thuy t kinh t và qu n tr kinh doanh, n u xét m t s l ư ng l n các phép th d ư i cùng m t nhóm iu kiên nh ư nhau, thì phư ng sai dùng o mc r i ro ca các ho t ng kinh t . Thí d ụ 1: Cho X là i l ư ng ng u nhiên liên t c có hàm m t 0, khix 1, f( x ) =  2,x khi0≤ x ≤ 1. Tính ph ư ng sai D(X) c a X. Gi i: Tr ư c h t ta tính k v ng E(X). Theo công th c +∞ EX()= ∫ xfxdx .() −∞ 1 2 =∫ x.2 x = . 0 3 Ngoài ra, ta ph i tính thêm E(X 2). Theo công th c +∞ EX(2 )= ∫ xfxdx 2 .() −∞ 1 1 =∫ x2.2 xdx = . 0 2
Vy 2 2 2 1 2  1 D(X) = E(X ) – (E(X)) = −  = . 2 3  18 Thí d ụ 2: Tính ph ư ng sai D(X) c a i l ư ng ng u nhiên X có b ng phân ph i xác su t X 0 2 3 4 P 125 75 15 1 216 216 216 216 Ta có: 125 75 15 1 199 E(X) = 0.+ 2. + 3. + 4. = 216 216 216 216 216 Ngoài ra: 125 75 15 1 451 E(X 2) = 0.2+ 2. 2 + 3. 2 + 4. 2 = 216 216 216 216 216 Vây 451 199  2 D() X = −  = 1,2392 . 216 216  Tính ch ất: Cho X và Y là các i l ư ng ng u nhiên. i/ N u X là i l ư ng ng u nhiên hng, t c là X = a thì D(X) = D(a) = 0. ii/ Vi m i h ng s a, D(aX) = a 2.D(X) iii/ Nu X và Y c l p nhau, thì DX(± Y ) = DX () + DY () .
5. Độ l ệch chu ẩn: l ch chu n c a i l ư ng ng u nhiên X ư c ký hi u là σ (X ) và ư c xác nh nh ư sau σ ()X= D () X . Thí d ụ 1: Th ng kê v tai n n giao thông cho th y t l tai n n xe máy chia theo m c nh và nng t ư ng ng là 0,001 và 0,005. M t công ty bán b o hi m xe máy v i m c phí h ng nm là 30.000 ng và s ti n ph i b o hi m trung bình 1 v là 1 tri u ng i v i tr ư ng h p nh và 3 tri u ng i v i tr ư ng h p n ng. H i l i nhu n trung bình mà công ty thu ư c i v i m i ng ư i mua b o hi m là bao nhiêu, bi t r ng ngoài thu doanh thu ph i n p là 10%, t ng t t c các chi phí khác chi m 15% doanh thu. Gi i: G i X ( ng) là li nhu n công ty thu ư c i v i m i ng ư i tham gia mua b o hi m. B ng phân ph i xác su t c a X là X - 977.500 - 2.977.500 22.500 P 0,001 0,005 0,994 T b ng trên, ta có l i nhu n công ty thu ư c i v i m i ng ư i tham gia mua b o hi m là E(X) = 6.500 ng. Thí d ụ 2: Tùy theo tình hình kinh t mà trong n m t i công ty thu ư c m c lãi (tri u ng) khi u tư vào hai ngành A và B nh ư sau: Tình hình kinh t Kém phát tri n n nh Phát tri n Mc lãi Ngành A 20 80 120 Ngành B -30 100 140 Theo d báo thì trong n m t i kh n ng n n kinh t r i vào các tình tr ng nêu trên t ư ng ư a/ M c lãi k v ng là cao h n.
b/ R i ro th p h n. Gi i: G i X A là m c lãi có th thu ư c khi u t ư vào ngành A, ta có b ng phân ph i xác su t c a X A là XA 20 80 120 P 0,3 0,5 0,2 Tư ng t , g i X B là m c lãi có th thu ư c khi u t ư vào ngành B, ta có b ng phân ph i xác su t c a X B là XB -30 100 140 P 0,3 0,5 0,2 a/ Ta có E(X A) = 70, E(X B) = 69. V y m c lãi k v ng cao h n thì nên u t ư vào ngành A. b/ Ta có D(X A) = 1300, D(X B) = 4429. V y r i ro th p h n thì nên u t ư vào ngành A. Thí d ụ 3: Khi thâm nh p vào m t th tr ư ng m i doanh nghi p ch d ki n ư c r ng doanh s hàng tháng có th t ư c t i thi u là 25 tri u ng/ tháng và t i a là 40 tri u ng/ tháng. m b o hi u qu kinh doanh thì doanh nghi p c n t ư c doanh s t i thi u 32 tri u ng/ tháng. V y có nên thâm nh p th tr ư ng ó hay không. Gi i: G i X (tri u ng/ tháng) là doanh s có th t ư c trên th tr ư ng ó. Khi ó, X là i l ư ng ng u nhiên liên t c có hàm m t xác su t k, khi25≤ x ≤ 40, f( x ) =  0, khix 40, vi k là h ng s . Theo iu ki n c a hàm xác su t +∞ 40 1=fxdx () = k dx == kx40 15. k ∫ ∫ 25 −∞ 25 1 Do ó k = . Ta có 15
+∞ EX()= ∫ xfxdx .() −∞ 1 40 = ∫ x. dx 15 25 40 1 x2 = 15 2 25 = 32,5. Vy nên thâm nh p th tr ư ng ó. §4. Quy lu ật phân ph ối xác su ất c ủa các đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên th ườ ng g ặp 1. Quy lu ật phân ph ối nhị th ức B(n, p) a) Bài toán: T t p h p g m N ph n t trong ó có M ph n t có tính ch t B nào ó, còn N - M ph n t không có tính ch t B, ta l y ng u nhiên ln l t có hoàn l i n ph n t . Nu l y theo ph ư ng th c này thì n phép th nói trên s c l p vi nhau vì vi c ly ưc ph n t có tính ch t B hay không có tính ch t B trong m i l n l y không nh h ưng n kh n ng l y ưc ph n t có tính ch t B hay không có tính ch t B các l n l y khác. Trong m i l n l y nh ư v y ch có 2 tr ưng h p i l p nhau xy ra. Ho c bi n c A x y ra (l y ưc ph n t có tính ch t B) ho c bi n c A không x y ra (l y ưc ph n t không có tính ch t B). M Xác su t cho bi n c A x y ra trong m i phép th u b ng p= P( A ) = và xác su t cho N N− M bi n c A không x y ra c ng u b ng p= PA()1 =− PA () = . N Gi X là s l n bi n c A x y ra trong n phép th , thì X là i l ưng ng u nhiên r i r c nh n các giá tr có th có 0, 1, 2, , n. Theo l ư c Bernoulli, xác su t X nh n các giá tr t ưng ng ưc tính bng công th c: ii ni− pPXiCpi=( == ) n (1 − p ) , i = 0,1,2, , n b) Định ngh ĩa: i l ưng ng u nhiên ri r c X nh n m t trong các giá tr có th có 0, 1, 2, , n vi các xác su t t ư ng ng ưc tính theo công th c Bernoulli ii ni− pPXiCpi=( == ) n (1 − p ) , i = 0,1,2, , n
gi là phân ph i theo quy lu t nh th c (hay quy lu t Bernoulli) v i các tham s n và p và ưc ký hi u là B(n, p). Lúc này ta c ng vi t X ~ B(n, p). Nói cách khác, phân ph i nh th c g n li n v i vi c l p l i n l n m t phép th có hai bi n c i l p (thành công và th t b i; x y ra và không x y ra) v i X là i l ư ng ng u nhiên ch s l n thành công (ho c th t b i). Vi c l p l i ây có ngh a là dãy phép th ư c ti n hành trong cùng iu ki n và c l p v i nhau. Nh ư v y b ng phân ph i xác su t c a i l ưng ng u nhiên X phân ph i theo quy lu t nh th c B(n, p) có d ng: X 0 1 n P po p1 p n vi ii ni− pPXiCpi=( == ) n (1 − p ) , i = 0,1,2, , n . Ví d ụ 1: Gieo 4 h t u, xác su t 1 h t cho cây ra hoa vàng là 0,75, ra hoa tr ng là 0,25. S cây u ra hoa vàng X có phân ph i nh th c B(4; 0,75). Ví d ụ 2: Mt phân x ưng có 5 máy ho t ng c l p, xác su t trong m t ngày m i máy b hng u b ng 0,1. Tìm xác su t : a/ Trong m t ngày có 2 máy h ng. b/ Trong m t ngày có không quá 2 máy h ng. Gi i: Nu coi s ho t ng c a m i máy là m t phép th , ta có 5 phép th c l p. Trong mi phép th ch có 2 tr ưng h p: ho c máy h ng ho c không hng. Xác su t h ng c a mi máy u b ng 0,1. G i X là s máy h ng trong m t ngày thì X phân ph i theo quy lu t nh th c . a/ Do ó xác su t trong m t ngày có 2 máy h ng là xác su t X = 2. Theo công th c ta có: 2 2 52− P( X== 2) C 5 (0,1) (1 − 0,1) = 0,0729 .
b/ Xác su t trong ngày có không quá 2 máy h ng là xác su t X nh n giá tr trong on [0, 2]. Ta có: P(0≤≤= X 2) PX ( =+ 0) PX ( =+ 1) PX ( = 2), vi 0 0 50− P( X== 0) C 5 (0,1) (1 − 0,1) = 0,59049, 1 1 51− P( X== 1) C 5 (0,1) (1 − 0,1) = 0,32805, 2 2 52− P( X== 2) C 5 (0,1) (1 − 0,1) = 0,0729. Vy: P(0 X 2) = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144. c) Tính ch ất: Cho i l ư ng ng u nhiên X phân ph i nh th c X ~ B(n, p). i/ Các tham s c tr ưng E(X) = np; D(X) = np(1 - p); σ (X )= np (1 − p ) . ii/ G i k = mod (X) là giá tr mà X nh n v i xác su t cao nh t. Khi ó npqknpq−≤≤ −+1; q =− 1 p . Thí d ụ 3: T l ph ph m c a m t máy là 15%. a/ Cho máy ó s n xu t 5 s n ph m. Tìm xác su t ư c không quá 1 ph ph m. b/ Cho máy ó s n xu t 10 s n ph m. Tìm xác su t s chính ph m ư c s n xu t ra sai lch so v i s chính ph m trung bình ư c s n xu t ra không v ư t quá 1. c/ N u m i t s n xu t trung bình mu n có 12 chính ph m thì ph i cho máy ó s n xu t bao nhiêu s n ph m. Gi i: Ta coi vi c s n xu t m i s n ph m là m t phép th . Trong m i phép th ch có hai kh n ng i l p nhau x y ra, ó là ho c ư c chính ph m ho c b ph ph m. Xác su t sn ph m ư c s n xu t ra là ph ph m u b ng 0,15. a/ G i X là s ph ph m ư c s n xu t ra, thì X có phân ph i nh th c B(n = 5, p = 0,15). Do ó
P(0≤≤= X 1) PX ( =+ 0) PX ( = 1) 0 0 501− 1 51 − =C5(0,15) (1 −+ 0,15) C 5 (0,15) (1 − 0,15) = 0,8352. b/ G i Y là s chính ph m ư c s n xu t ra, thì Y có phân ph i B(n = 10, p = 0,85). S trung bình E(Y) = np = 8,5. Bài toán yêu c u tính PYEY(|− ()|1 0 nu t p giá tr c a X là vô h n m ư c: 0, 1, 2, , n, vi các xác su t tư ng ng λ i pPXie=( == )−λ , i = 0,1,2, i i! Ký hi u: X ~ P(λ ) . Nu g i X là i l ư ng ng u nhiên ch s l n t ng ài 1080 nh n cu c g i n trong m t ngày hay X là i l ư ng ng u nhiên ch s khách n du l ch t i m t a im thì X có lu t phân ph i Poisson v i tham s λ nào ó. Rõ ràng s l n X mà tng ài 1080 nh n cu c g i n hay s khách X n du l ch t i m t a im ch là hu h n nh ưng ta không bi t chính xác con s l n nh t c a X, và do v y X ư c xem có lu t phân ph i Poisson. Du hi u nh n bi t i l ư ng ng u nhiên X có tuân theo quy lu t phân ph i Poisson hay không là d a vào t p giá tr ca nó: ho c là không bi t chính xác giá tr l n nh t ho c bi t chính xác là vô h n m c 0,1,2, ca nó.
b) Tính ch ất: i/ Cho i l ư ng ng u nhiên X phân ph i Poisson X ~ P(λ ) . Khi ó EX()= DX () = λ . ii/ N u i l ư ng ng u nhiên X phân ph i Poisson X ~ P(λ ) , thì mod(X) là m t s t nhiên th a mãn b t ng th c λ−≤1mod()X ∈≤ N λ . iii/ N u các i l ư ng ng u nhiên X và Y có lu t phân ph i Poisson X ~ P(λX ) và Y ~ P(λY ) , thì i l ư ng ng u nhiên X + Y c ng có lu t phân ph i Poisson vi tham s λ= λX + λ Y . Tc là X+ Y ~ P(λX+ λ Y ). Thí d ụ 1: S khách vào m t c a hàng tham quan và mua s m có m t (s khách trung bình) là 8 ng ư i m t gi . Tìm xác su t trong m t gi nào ó có h n 4 khách vào c a hàng. Gi i: G i X là s khách vào c a hàng trong 1 gi . Khi ó X có phân ph i Poisson XP∼ (),λ λ = EX () = 8. Do ó PX(> 4)1 =− PX ( ≤ 4) =−1PX ( =−− 0) PX ( = 4) e−808 e − 81 8 e − 84 8  =−1 + ++  0! 1! 4!  = 0,9. Thí d ụ 2: Ti sân bay c 15 phút l i có m t chuy n xe lo i 6 ch ng i ch khách vào trung tâm thành ph . Bi t r ng s khách ch i có m t 8 ng ư i/gi . Gi s v a có m t chuy n xe ri b n. Tìm xác su t trong chuy n xe ti p theo: a/ Không có khách nào ch i xe. b/ Xe s ch t khách. c/ Ng ư i ta s t ng thêm m t chuy n xe ch khách n a nu xác su t có h n 1 khách ph i ch chuy n xe sau n a l n h n 0,1. Vy có nên t ng thêm m t xe ch khách n a hay không.
Gi i: G i X là i l ư ng ng u nhiên ch s khách ch i xe trong 15 phút. Khi ó X có phân ph i Poisson P(λ ) vi λ = 2 . a/ Ta có e−22 0 P( X = 0) = = 0,1353. 0! b/ Theo bài ra ta c n tính PX(≥ 6)1 =− PX ( 7)1 =− PX ( ≤ 7) =−1PX ( 7) < 0,1 nên ta không tng thêm 1 xe ch khách n a. c) Xấp x ỉ: Cho X là i l ư ng ng u nhiên có phân ph i nh th c B(n, p). N u n khá l n và p khá bé ta có th xem X có phân ph i Poisson vi tham s λ = np , XP∼ (λ ), λ = np . Do ó, khi n l n và p bé, λ i Cpii(1− p ) ni− ≈ e − λ , i = 0,1,2, n i! Thí d ụ 3: Xác su t mt linh ki n in t do công ty A s n xu t b h ng khi có dòng in ch y qua là 1%. M t máy in t ư c l p ghép b i 200 linh ki n in t do công ty A s n xu t, s h ng hóc c a các linh ki n là c l p nhau.
Tính xác su t khi có dòng in ch y qua máy in t ó có không quá 3 linh ki n b hng. Gi i: G i X là i l ư ng ng u nhiên ch s linh ki n b h ng. Khi ó X phân ph i nh th c B(n, p) v i n = 200 và p = 0,01. Ta tính PX(≤= 3) PX ( =+ 0) PX ( =+ 1) PX ( =+ 2) PX ( = 3). Vì n l n và p nh nên xem X phân ph i Poisson P(λ ) vi λ =np = 2, hay ii ni− PX(= i ) = Cpn (1 − p ) λ i ≈e−λ , i = 0,1,2,3. i! Do ó e−202 e − 21 2 e − 22 2 e − 23 2 P( X ≤≈ 3) + + + 0! 1! 2! 3! ≈ 0,85712. 3. Lu ật phân ph ối siêu b ội M(N, n) a) Đị nh ngh ĩa: i l ư ng ng u nhiên ri r c X g i là có lu t phân phi siêu b i v i các tham s n, M , N vi n≤ NM, ≤ N nu t p giá tr c a X là 0, 1, 2, , n v i xác su t t ư ng ng i n− i CM C N− M pPXii ===( )i , i = 0,1,2, , n . CN Ký hi u X∼ MNn( , ). nh ngh a c a lu t siêu b i khó hình dung, tuy nhiên ta có th quan sát thí d sau hi u hn v quy lu t này. Thí d ụ 1: Mt lô hàng có N s n ph m trong ó có M s n ph m lo i I, v i M≤ N . Ch n ng u nhiên mt l n n s n ph m t lô hàng này, v i n≤ N . G i X là i l ư ng ng u nhiên ch s s n ph m lo i I ư c ch n ra. Khi ó X có t p giá tr {0, 1, 2, , n} và
i n− i CM C N− M PXi(= ) =i , i = 0,1,2, ,. n CN Vy X có lu t phân ph i siêu b i v i các tham s n≤ M ≤ N . b) Tính ch ất: Cho X có lu t phân ph i siêu b i M(N, n). i/ Khi ó M  MMNn −  EX()= n ,() DXn =  1 −   . N  NNN −1  ii/ Nu N khá l n và n khá bé (N > 10n), thì ta có th xem X có phân ph i nh th c B(n, M p) v i p = . T c là, n i n− i CM C N− M ii ni− i Cppin (1− ) , = 0,1,2, , n . CN Thí d ụ 2: Trong 20 gi y thông báo thu có 3 cái b sai sót. Nhân viên qu n tr l y ng u nhiên 5 cái ki m tra. Tìm lu t phân ph i xác su t và các tham s c tr ưng c a s gi y thông báo có l i ư c l y ra. Gi i: G i X là i l ư ng ng u nhiên ch s gi y thông báo có l i ư c l y ra. Khi ó X M 3 phân ph i siêu b i M(N, n) v i N = 20, M = 3, và n = 5. t p = = = 0,15, ta có n 20 EX( )= np = 5.0,15 = 0,75, N− n 20 − 5 DX( )=−= np (1 p ) 3.0,15.0,85. = 0,503, N −1 201 − σ (X )= D ( X ) = 0,503 = 0,709. 4. Lu ật phân ph ối đề u a) Đị nh ngh ĩa: i l ư ng ng u nhiên liên t c X g i là có lu t phân ph i u v i các tham s α β . Ký hi u
X∼ U (α, β ) . b) Tính ch ất: Cho X có lu t phân ph i u U (α, β ) . Khi ó α+ β E( X )= , 2 (α− β ) 2 D( X )= , 12 β− α σ (X )= . 2 3 Thí d ụ 1: Mt nhà kinh doanh mu n u t ư 10 tri u ng vào m t công ty mà trong n m t i n u c gi m xu ng n m c 4%. Trong khi ó n u g i ti n vào ngân hàng thì lãi su t ư c m bo 8% sau m t n m. Vy nhà kinh doanh có nên u t ư vào công ty ó hay không? Gi i: G i X là lãi su t u t ư vào công ty ó thì X có phân ph i u U (α, β ) vi α=4, β = 14. Hàm m t c a X  1  =0,1, khi 4 ≤x ≤ 14, f( x ) = β− α  0, khix 14. Ta tính +∞ 14 PX(>= 8)∫ fxdx ( ) = ∫ 0,1 dx = 0,6. 8 8 Vì P( X > 8) > 50% nên nhà kinh doanh c n u t ư vào công ty ó. Thí d ụ 2: Khi thâm nh p m t th tr ư ng m i doanh nghi p ch d ki n ư c r ng doanh s bình quân hàng tháng có th t ư c là 30 tri u ng vi l ch chu n 5 tri u.
Tìm xác su t khi thâm nh p th tr ư ng, doanh nghi p t ư c doanh s ít nh t là 32 tri u ng m t tháng. Gi i: G i X là doanh s hàng tháng có th t ư c trên th tr ư ng ó. Khi ó X có phân ph i u U (α, β ) và E(X) = 30, σ (X )= 5. T ó ta có α+ β = 30,  2 α = 2,615, ⇒  β− α β = 57,385.  = 5,   2 3 Hàm m t c a X là  1  =0,018, khi 2,615 ≤x ≤ 57,385, f( x ) = β− α  0, khix 57,385. Vy ∞ 57,385 PX(>= 32)∫ fxdx () = ∫ 0,018 dx = 0,457. 32 32 5. Lu ật phân lũy th ừa a) Đị nh nghĩa: i l ư ng ng u nhiên liên t c X g i là có lu t phân ph i l y th a v i tham s λ , n u hàm m t c a X có d ng λe−λx , khi x ≥ 0, f( x ) =  0, khix < 0. Ký hi u X∼ E (λ ) . b) Tính ch ất: Cho X có lut phân ph i l y th a E(λ ) . Khi ó 1 E( X )= , λ 1 D( X )= , λ 2 1 σ (X )= . λ
Thí d ụ 1: Th i gian ph c v m i khách hàng t i m t c a hàng là i l ư ng ng u nhiên phân ph i theo quy lu t l y th a v i th i gian trung bình 0,2 phút. Tìm xác su t th i gian ph c v mt khách hàng s không v ư t quá 0,4 phút. Gi i: G i X là gian ph c v m i khách hàng thì X có phân ph i l y th a E(λ ) . Theo bài ra, 1 E( X )= 0, 2 ⇔ = 0,2 λ ⇔λ = 5. Ta tính 0,4 0,4 PX( 2) =∫ fxdx () = ∫ 0,33 e−0,33 x dx 2 2 = 0,517. 6. Lu ật phân ph ối chu ẩn N( a ,σ 2 )
a) Đị nh ngh ĩa: i l ư ng ng u nhiên liên t c X g i là có lu t phân ph i chu n v i các tham s a và σ > 0 nu hàm m t xác su t c a X là (x− a ) 2 − 1 2 f( x ) = e 2σ . σ2 π Ký hi u: X~ N (, a σ 2 ) . Hàm phân ph i xác su t c a i l ư ng ng u nhiên phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) x x (t− a ) 2 − 1 2 Fx()=∫ ftdt () = ∫ e2σ dt . −∞σ2 π −∞ b) Các tham s ố đặ c tr ưng: Cho X là i l ư ng ng u nhiên phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) . Khi ó E( X )= a , D( X )= σ 2 , σ(X )= σ . c) Hàm Laplace: x t2 1 − Φ(x ) = ∫ edt2 . 2π 0 Ta có: i/ Φ() −x =−Φ () x 1 ii/ x> 5⇒ Φ ( x ) ≈ 2 iii/ 0≤x ≤ 5 ⇒ Giá tr c a Φ(x ) cho m t b ng s . d) Các k ết qu ả: Cho X là i l ư ng ng u nhiên phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) . i/ Công th c sau ư c th a mãn 1 x− a  F( x )= + Φ   . 2 σ  ii/ Xác su t X nh n giá tr trong m t kho ng b t k
PX(α≤ 12) = P (12 < X <∞ ) =F( ∞ ) − F (12) ∞ −8  128 −  =Φ  −Φ  10  10  12− 8  =Φ() ∞ −Φ   10  1 = − Φ ()0,4 2 =0,5 − 0,1554 = 0,3446. Kh nng r i ro c a ng ư i ó khi g i ti n vào ti t ki m là 34,46%. Thí d ụ 2: Chi u cao c a nam gi i ã tr ư ng thành m t qu c gia là i l ư ng ng u nhiên có lu t phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) vi trung bình 160 cm và l ch chu n 6 cm. a/ Tìm t l nam thanh niên tr ư ng thành b lùn qu c gia ó, bi t r ng ng ư i có chi u cao < 155 cm ư c xem là lùn.
b/ Tìm xác su t khi ch n ra ng u nhiên 4 nam thanh niên tr ư ng thành qu c gia ó thì có ít nh t m t nam thanh niên không b lùn. c/ Ch n ng u nhiên 100 nam thanh niên tr ư ng thành qu c gia ó. Tìm s trung bình ca nh ng ng ư i b lùn trong 100 ng ư i này. Gi i: G i X (cm) là i l ư ng ng u nhiên ch chi u cao c a nam thanh niên tr ư ng thành qu c gia ó. Theo gi thi t X có lu t phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) vi a = 160 cm và σ = 6 cm. a/ Ta c n tính P(0< X < 155). Ta có: 155− 160  0 − 160  P(0<< X 155) =Φ  −Φ  6  6  =Φ−( 0,83) −Φ− ( 26,6) =−Φ(0,83) +Φ (26,6) =−0,2967 + 0,5 = 0,2033. Vy t l nam thanh niên tr ư ng thành b lùn qu c gia ó là 20,33%. b/ Gi Y là i l ư ng ng u nhiên ch s ng ư i không b lùn trong 4 ng ư i ư c ch n ra. Khi ó Y phân ph i Bernoulli B(n, p) v i n = 4 và p = 1-0,2033 = 0,7967. Ta cn tính: PY(≥ 1) =− 1 PY ( < 1) =1 −P ( Y = 0) 0 0 40− =1 −C4 (0,7967) (1 − 0,7967) = 0,9983. c/ Gi Z là s ng ư i b lùn trong 100 ng ư i ư c ch n ra. Khi ó Z có phân ph i B(n, p) vi n = 100 và p = 0,2033. Do ó s trung bình c a nh ng ng ư i b lùn trong 100 ng ư i này là: E(Z) = np = 20,33. Thí d ụ 3: Tu i th c a m t thi t b in do m t nhà máy s n xu t là i i l ư ng ng u nhiên có phân ph i chu n vi trung bình 1500 gi và l ch chu n là 150 gi . N u thi t b b h ng tr ư c 1200 gi thì nhà máy ph i b o hành mi n phí. a/ Tìm t l s n ph m ph i b o hành. b/ Ph i quy nh th i gian b o hành là bao nhiêu t l b o hành d ư i 1%.
Gi i: Gi X (gi ) là i l ư ng ng u nhiên ch tu i th c a thi t b ó. Theo gi thi t X có lu t phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) vi a = 1500 gi và σ =150 gi . a/ T l s n ph m ph i b o hành P( X< 1200) = F (1200) 1 1200− 1500  = + Φ   2 150  =0,5 +Φ−= ( 2) 0,5 −Φ (2) = 0,5 − 0,4772 = 0,0228. b/ G i T (gi ) là th i gian quy nh b o hành theo yêu c u. Ta có P( X≤ T ) ≤ 0,01. 1T − 1500  PX()()()≤= T PX <= T FT =+Φ   . 2 150  Vy 1T− 1500   T − 1500  +Φ  ≤0,01 ⇔Φ   ≤− 0,49 2 150   150  1500 −T  ⇔Φ  ≥0,49 =Φ (2,33) 150  1500 −T ⇔ ≥ 2,33 150 ⇔T ≤ 1150,5. t l b o hành d ư i 1% ph i quy nh th i gian b o hành d ư i 1150,5 (gi ). e) K ết qu ả i/ Nu X là i lư ng ng u nhiên có phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) và C là h ng s , thì các i lư ng ng u nhiên CX và X ± C l n l ư t có lu t phân ph i chu n N( Ca , C 2σ 2 ) và N( a± C ,σ 2 ) . 2 ii/ Nu X 1, X 2, , X n là n i l ư ng ng u nhiên có cùng lu t phân ph i chu n N( a ,σ ) và c l p v i nhau thì i l ư ng ng u nhiên 1 X=( X + + X ) n 1 n σ 2  có lu t phân ph i chu n N a ,  . n  Thí d ụ 4:
Công ty s d ng m t dây chuyn s n xu t v i n ng su t (t n s n ph m/ ngày) có phân ph i chu n vi trung bình 120 t n và l ch chu n là 1 t n và t l chính ph m là 98%. Bán m i t n chính ph m công ty lã b l 0,9 tri u ng. Theo h ch toán c a công ty, vi c s d ng dây chuy n s n xu t s có hi u qu n u lãi ròng ph i t ư c ít nh t 9,5 tri u ng m i ngày. a/ Tìm trung bình và l ch chu n c a s lãi ròng trong ngày c a công ty. b/ Kh n ng lãi ròng sai l ch so v i lãi ròng trung bình c a công ty không v ư t quá 160 ngàn ng là bao nhiêu. c/ Có ý ki n cho r ng hi u qu s d ng dây chuy n s n xu t c a công ty là d ư i 95%. Hãy nh n xét v ý ki n trên. Gi i: Gi X (t n s n ph m/ ngày) là n ng su t c a dây chuy n s n xu t. Khi ó X∼ N( a ,σ 2 ) vi a =120,σ = 1. a/ G i Y (tri u ng) là lãi ròng trong ngày c a công ty. Ta có Y = 0,1.X.0,98 – 0,9.X.0,02 = 0,08X. Do ó EYE( )= (0,08 X ) = 0,08 EX ( ) = 0,08.120 = 9,6. DYD( )= (0,08 X ) = 0,082 DX ( ) == 0,08.1 2 2 0,0064, σ ()Y= D () Y = 0,08. 2 b/ Ta có Y∼ N( a Y ,σ Y ) vi aY=9,6,σ Y = 0,08. Do ó 0,16  P(| Y − 9,6| 9,5) = P (9,5 9,5) < 95%
nên nh n xét trên là úng. g) X ấp x ỉ Moirve-Laplace: Cho X là i l ư ng ng u nhiên có lu t phân ph i nh th c B(n, p). Khi n khá ln ta có th xem X có lu t phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) vi a= np;σ = np (1 − p ) . Thí d ụ 5: Mt công ty b o hi m bán b o hi m cho 10.000 xe máy v i giá 100.000 / 1b o hi m. Khi xy ra tai n n, trung bình công ty ph i b i th ư ng 5.000.000 / xe. Gi s xác su t x y ra tai n n i v i xe máy, theo th ng kê, là 0,6%. Tính xác su t sau m t n m ho t ng: a/ Công ty b thua l . b/ Công ty lãi ít nh t 300 tri u ng. Bi t r ng thu và các chi phí khác h t 30% doanh thu c a công ty. Gi i: Gi X là i l ư ng ng u nhiên ch s xe b tai n n, khi ó X có phân ph i nh th c B(n, p) v i n = 10.000 và p = 0,006. S ti n công ty thu ư c sau khi tr thu và các chi phí khác là 700.000.000 ng. S ti n thu ư c này b i th ư ng cho 140 xe b tai n n. 10.000 a/ Công ty b thua l khi và ch khi X > 140. Ta có t ng PX(> 140) =∑ PXi ( = ) ch a i=141 9860 th a s . Do ó vi c tính P(X > 140) theo các công th c c a lu t phân ph i nh th c là khó th c hi n ư c. Theo k t qu x p x Moirve-Laplace, X có phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) vi a== np60;σ = np (1 −= p ) 7,7226. Suy ra PX(> 140) =− 1 PX ( ≤ 140) =− 1 F (140) 140− 60  =−−Φ1 0,5  =−Φ 0,5 (10,359) =− 0,5 0,5 7,7226  = 0. Vy xác su t công ty b thua l là b ng 0. b/ Công ty lãi ít nh t 300 tri u ng khi và ch khi công ty có không quá 80 xe b tai nan. Do ó
P( X≤ 80) = F (80) 1 80− 60  =+Φ  =+Φ0,5 (2,59) =+ 0,5 0,4952 2 7,7226  = 0,9952. Vy xác su t công ty lãi ít nh t 300 tri u ng là 99,52%. h) Phân ph ối chu ẩn hóa: i l ư ng ng u nhiên U phân ph i chu n N(0,1) ư c g i là i l ư ng ng u nhiên phân ph i chu n hóa. Ký hi u U~ N (0,1) . Vy EU()= 0, DU () =σ ()1. U = Hàm m t xác su t c a U x2 1 − f( x ) = e 2 . 2π Hàm phân ph i xác su t c a U x x t2 1 − Fx()=∫ ftdt () = ∫ edt2 . −∞2π −∞ Cho U là i l ư ng ng u nhiên có phân ph i chu n hóa N(0,1) . Khi ó v i m i 0 U α ) = α . Giá tr Uα ư c cho bng phân v chu n. 7. Lu ật phân khi-bình ph ươ ng χ 2 (n ) Cho X 1, X 2, , X n là n i l ư ng ng u nhiên có lu t phân ph i chu n hóa N(0,1) . Khi ó i l ư ng ng u nhiên 2 2 2 XX=1 + X 2 + X n
gi là có lu t phân ph i khi bình ph ư ng v i n bc t do. Ký hi u X~χ 2 ( n ) . Hàm m t c a phân ph i khi bình ph ư ng X~χ 2 ( n ) là 0, khix ≤ 0,  n x  1 −1 − f( x )= 2 2 ,  n .x e , khi x > 0  n  22 Γ   2  trong ó +∞ Γ(x ) = ∫ tx−1 edt − t 0 là hàm gamma. Cho X là i l ư ng ng u nhiên có phân ph i khi bình ph ư ng X~χ 2 ( n ) . Khi ó v i m i 2 0 χα ( n )) = α . 2 2 Giá tr χα (n ) ư c cho bng giá tr phân v χα (n ) . 8. Lu ật phân Student Tn Cho X là i l ư ng ng u nhiên có phân ph i chu n hóa N(0,1) và Y i l ư ng ng u nhiên có phân ph i khi bình ph ư ng vi n b c t do χ 2 (n ) , h n n a X và Y c l p. Khi ó i lư ng ng u nhiên X nX Z = = Y Y n gi là có lu t phân ph i Student v i n bc t do. Ký hi u Z∼ T n Hàm m t c a phân ph i Student Z∼ T n
n +1  n+2 Γ  − 2  x2  2 f() x= 1 +  , x ∈ » , n  n  Γ  nπ 2  +∞ trong ó, Γ(x ) = ∫ tx−1 edt − t là hàm gamma. 0 Nu Z là i l ư ng ng u nhiên có phân ph i Student Tn . Khi ó v i m i 0 tα ( n )) = α . Giá tr tα ( n ) ư c cho bng giá tr phân v tα ( n ) . 9. Lu ật phân ph ối Fisher-Snedecor F (n, m ) . Cho X và Y là hai i l ưng ng u nhiên c l p có lu t phân ph i Khi bình ph ư ng χ 2 (n ) và χ 2 (m ) . i l ưng ng u nhiên ưc ký hi u và xác nh nh ư sau ưc g i là có lu t phân ph i Fisher-Snedecor v i n và m b c t do X mX F ()n, m =n = . Y nY m Hàm m t c a phân ph i Fisher-Snedecor 0, khix ≤ 0,  n m n+ m   2 2 n. m . Γ  n−2 n+ m f( x ) =  2  −  xmnx2 ()+2 khi x > 0, n   m   Γ . Γ    2   2  +∞ trong ó, Γ(x ) = ∫ tx−1 edt − t là hàm gamma. 0 Nu F (n, m ) là i l ư ng ng u nhiên có phân ph i Fisher-Snedecor v i n và m b c t do. (n, m ) Khi ó v i m i 0 f α ) = α .
1 Giá tr f (n, m ) ư c cho bng giá tr phân v F (n, m ) . Ta c ng chú ý r ng f ()n, m = α 1−α ()m, n fα .
CH ƯƠ NG 3: TH ỐNG KÊ M ẪU VÀ ƯỚ C L ƯỢ NG THAM S Ố §1. Th ống kê m ẫu Bài toán th ng kê nghiên c u v các c tính c a mt nhóm r ng l n các i t ư ng, gi là tng th . Chng h n nh ư nghiên c u v chi u cao trung bình c a các nam thanh niên ã tr ư ng thành Vi t Nam, nghiên c u v t l ph ph m c a m t nhà máy, nghiên c u v s s t gi m n ng su t do m t lo i sâu b nh nào ó gây ra cho v a lúa ng b ng sông Cu long, D nhiên chúng ta không th ti p c n t t c các i t ư ng c a t ng th mà ch ch n ng u nhiên ra m t s i t ư ng nào ó c a t ng th nghiên c u. Nhóm i tư ng này ư c g i là m t m u c a t ng th . S ph n t c a m u ư c ký hi u là n và g i là kích th ư c m u. Có nhi u ph ư ng pháp ch n m u khác nhau, ch ng h n nh ư ph ư ng pháp ch n m u có lp, ph ư ng pháp ch n m u không l p, ph ư ng pháp ch n m u theo nhóm Tuy nhiên thu n l i cho vi c s d ng các nh lý c a toán h c chúng ta s d ng ph ơ ng pháp ch n m u có l p. Khi ó vi c ch n m t ph n t t t ng th ư c xem là m t phép th mà không gian các k t qu ng kh n ng x y ra luôn là t ng th cho m i l n ch n. Ký hi u X là i l ng ng u nhiên liên k t v i phép th trên sao cho X c tr ng c các thông tin c n nghiên c u. 1. Mẫu ng ẫu nhiên và m ẫu th ực nghi ệm Gi s chúng ta dùng ph ư ng pháp ch n m u có l p và thu ư c m t m u kính th ư c n n) t X i, i = 1,2, , n là n i l ư ng ng u nhiên c l p nhau và có cùng lu t phân ph i v i X sao cho X i ch tác ng lên Ph n t th i và Xi(Ph n t th i) = X (Ph n t th i) := x i vi mi i = 1,2, , n. Khi ó b hàm s (X 1, X 2, , X n) ư c g i là m t mu ng u nhiên ca X. Ngoài ra, b s các giá tr (x 1, x 2, , x n) ư c g i là m t mu th c nghi m ca X.
2. Các cách th ống kê m ẫu th ực nghi ệm. a) Theo b ảng không chia l ớp Thí d ụ 1: iu tra ng u nhiên im thi môn Tri t h c c a 20 khóa XV ca i h c Duy Tân, ng ư i ta th ng kê ư c nh ư sau: im thi X 4 5 6 8 9 10 S sinh viên n i 1 3 6 5 3 2 m  n=∑ n i = 20  i=1  Tng th là t t c sinh viên i h c Duy Tân khóa XV. M u là 20 sinh viên ư c th ng kê trên. b) Theo b ảng chia l ớp Thí d ụ 2: Cân ng u nhiên 100 trái cây có trong m t kho hàng nông s n ng ư i ta th ng kê ư c nh ư sau: Tr ng l ư ng X [80;85) [85;90) [90;95) [95;100) [100;105) [105;110) (gam) S trái n i 1 2 25 43 27 2 m  n=∑ n i = 100  i=1  Tng th là t t c trái cây có trong kho hàng nông s n này. M u là 100 trái ư c th ng kê trên. Ghi chú: i v i b ng th ng kê chia l p trong Thí d 2, cho quá trình tính toán ta ư a bng v d ng sau và g i là bng chia l ớp rút g ọn:
Tr ng l ư ng X 82,5 87,5 92,5 97,5 102,5 107,5 (gam) S trái n i 1 2 25 43 27 2 m  n=∑ n i = 20  i=1  3 Các tham s ố đặ c tr ưng c ủa m ẫu. a) Trung bình hay k v ng m u ng u nhiên X+ X + X X = 1 2 n n Trung bình hay k v ng m u th c nghi m x+ x + x x = 1 2 n . n b) Ph ư ng sai m u ng u nhiên 2 2 ( XX1 −) ++ ( XXn − ) S 2 = n Ph ư ng sai m u th c nghiêm 2 2 ( xx1 −) ++ ( xxn − ) s2 = n c) Ph ư ng sai hi u ch nh m u ng u nhiên n S2= S 2 1 n −1 Ph ư ng sai hi u ch nh m u th c nghi m n s2= s 2 1 n −1 d) l ch chu n c a m u ng u nhiên S= S 2
l ch chu n c a m u th c nghi m s= s 2 e) l ch chu n hi u ch nh m u ng u nhiên 2 S1= S 1 l ch chu n hi u ch nh m u th c nghi m 2 s1= s 1 . 4. Cách tính x và s2 Cho bng th ng kê ư c s p x p theo b ng không chia l p ho c chia l p rút g n xi x1 x2 xm ni n1 n2 nm m  ∑ ni = n  i=1  Khi ó:  1 m x= ∑ ni. x i  n  i=1 1 m 2 s2= nx. 2 − x  ∑ i i ()  n i=1 c bi t, n u xxxx2132−=−== xxm − m − 1 = h , thì m  h xi − a  x= a + ∑ n i .   ni=1  h   2 ∀a 2 m 2  2 h xi − a  s=∑ ni .  −() xa −  ni=1  h  Ta th ư ng ch n
a=mod( X ) = x k vi nk=max{ ni i | = 1,2, , m }. Thí d ụ 1: Tính các tham s c tr ưng ca m u cho trong Thí d 1, m c 2.  1m 1 x=∑ ni. x i = (1.4 +++++ 3.5 6.6 5.8 3.9 2.10) = 7,1,  n 20  i=1 1m 2 1 s2= nx. 2 −= x (1.4 2222222 +++++ 3.5 6.6 5.8 3.9 2.10) −= 7,1 3,09  ∑ i i ()  n i=1 20 Suy ra, 20 s2 =3,09 = 3,2526 , s =3,09 = 1,7578, s =3,2526 = 1,8035. 1 19 1 Thí d ụ 2: Tính các tham s c tr ưng c a m u cho trong Thí d 2, m c 2. Ta có h = 5 và a = 97,5. Lp b ng 2 x n xi − a xi − a i i xi − a  ni ni   h h h  82,5 1 -3 -3 9 87,5 2 -2 -4 8 92,5 25 -1 -25 25 97,5 43 0 0 0 102,5 27 1 27 27 107,5 2 2 4 8 Tng ∑ = − 1 ∑ = 77 2 5 5 2 x =( −+ 1) 97,5 = 97,45 và s2 =77 −() 97,45 − 97,5 = 19,2475 100 100 Suy ra 2 s1 =19,4419, s = 19,2475 = 4,3872, s 1 = 4.4093 §2. Ướ c l ượ ng tham s ố Cho X là i l ư ng ng u nhiên tác ng lên t ng th sao cho giá tr c a X c tr ưng ư c các thông tin c n nghiên c u v t ng th và
(X 1, X 2, , X n) là m t m u ng u nhiên c a X, (x 1, x 2, , x n) là m t m u th c nghi m c a X. Gi t là tham s c a X c n ư c l ư ng, thông th ư ng t là E(X), D(X), hay σ (X ) 1. Ước l ượng điểm a) Ướ c l ượ ng không ch ệch: Mt hàm g = g(X 1, X 2, , X n) ư c g i là ư c l ư ng không ch ch c a tham s t c a i l ư ng ng u nhiên X n u E(g) = t. Thí d ụ 1: i/ Trung bình m u ng u nhiên X là ư c l ư ng không ch ch c a k v ng toán E(X). 2 ii/ Ph ư ng sai hi u ch nh m u ng u nhiên S1 là ư c l ư ng không ch ch c a ph ư ng sai D(X). b) Ướ c l ượ ng v ững: Mt hàm g = g(X 1, X 2, , X n) ư c g i là ư c l ư ng v ng c a tham s t c a i l ư ng ng u nhiên X n u ∀>ε0, limP g −<= t ε 1 . n→∞ ( ) Đị nh lý Trebusep: Nu hai iu ki n sau i/ E(g) = t hay limE ( g ) = t n→∞ ii/ limD ( g )= 0 n→∞ ư c th a mãn, thì g là ư c l ư ng v ng c a tham s t. Thí d ụ 2: Trung bình m u ng u nhiên X là ư c l ư ng v ng c a k v ng toán E(X).
c) Ướ c l ượ ng hi ệu qu ả: Mt hàm g = g(X 1, X 2, , X n) ư c g i là ư c l ư ng hi u qu c a tham s t c a i l ư ng ng u nhiên X n u hai iu ki n sau ư c th a mãn i/ g là ư c l ư ng không ch ch c a t, ii/ Vi m i ư c l ư ng không ch ch g’ c a t ta u có D(g’) ≥ D(g). Đị nh lý Cramer-Rao: Nu g là ư c l ư ng không ch ch c a t c a i l ư ng ng u nhiên liên t c X vi X có hàm m t f(x,t), ta luôn có 1 D( g ) ≥ . ∂(lnf ( X , t ))  2  nE    ∂t   Thí d ụ 3: Cho X là i l ư ng ng u nhiên có phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) . Trung bình m u ng u nhiên X là ư c l ư ng hi u qu c a k v ng toán E(X). d) Ước l ượ ng h ợp lý c ực đạ i (Fisher, 1912): Cho X là i l ư ng ng u nhiên liên t c và có hàm m t f(x,t). Ch n m u ng u nhiên (X 1, X 2, , X n) c a X và l p hàm s L(t) = f(X 1,t). f(X 2,t) f(X n,t) và g i là hàm h p lý cho tham s t. Nu hàm L(t) hay ln(L(t)) t c c i t i t 0 = g (X 1, X 2, , X n) thì t 0 = g (X 1, X 2, , X n) ư c g i là ư c l ư ng h p lý c c i c a tham s t. Thí d ụ 4: i/ Cho X là i l ư ng ng u nhiên phân ph i chu n N( a ,σ ) , trung bình m u ng u nhiên X là ư c l ư ng h p lý c c i c a k v ng toán E(X). ii/ Cho X là i l ư ng ng u nhiên phân ph i chu n N( a ,σ ) , phư ng sai m u mu nhiên S 2 là ư c l ư ng h p lý c c i c a ph ư ng sai D(X).
2. Ước l ượng kho ảng Cho X là i l ư ng ng u nhiên tác ng lên t ng th sao cho giá tr c a X c tr ưng ư c các thông tin c n nghiên c u. Gi t là tham s c a X c n ư c l ư ng và (X 1, X 2, , X n) là m t m u ng u nhiên c a X có kích th ư c n, (x 1, x 2, , x n) là mt m u th c nghi m c a X. Ph ư ng pháp ư c l ư ng im c a tham s cho th y r ng, n u g = g(X 1, X 2, , X n) là m t hàm ư c l ư ng (không ch ch, v ng, hi u qu , h p lý c c i) c a tham s t thì v i m t mu th c nghi m c th (x 1, x 2, , x n) ta có m t giá tr ư c l ư ng g 0 = g0(x 1, x 2, , x n) ca t. Tuy nhiên, t m t t ng th chúng ta có th ch n r t nhi u m u th c nghi m khác nhau có cùng kích th ư c n và do ó m t tham s t s có nhi u giá tr ư c l ư ng khác nhau. Câu h i: Vy giá tr ư c lư ng nào là t t nh t cho tham s t. Trong th c t chúng ta không th tr l i ư c câu h i ó. Tuy nhiên chúng ta có th tìm ư c m t kho ng th c ∆ mà xác su t t ∈ ∆ là t ư ng i l n, t c là P( t ∈∆= )γ ,0,9 ≤< γ 1. ∆ gi là kho ng ư c l ư ng c a t và γ gi là tin c y c a ư c l ư ng. a) Đị nh ngh ĩa (kho ng ư c l ư ng): Vi tin c y γ cho tr ư c, n u có hai hàm g1(X 1, X 2, , X n) và g 2(X 1, X 2, , X n) sao cho PgX( 11( , , Xn )< tgX < 21 ( , , X n )) = γ . Khi ó ( gX11( , , XgXn ); 21 ( , , X n ) ) gi là kho ng tin c y ng u nhiên ca tham s t. ng v i m u th c nghi m (x 1, x 2, , x n), kho ng s th c ∆ = ( gx11( , , xgxn ); 21 ( , , x n ) ) gi là kho ng tin c y th c nghi m ca tham s t. Hi u s
|∆ |: =gx21 ( , , xn ) − gx 11 ( , , x n ) gi là dài kho ng tin c y th c nghi m. tin c y γ trong nh ngh a trên th ư ng ư c ch n [0,9;1) . Nh n xét: Chúng ta có th tìm ư c hai hàm h 1(X 1, X 2, , X n) và h 2(X 1, X 2, , X n) sao cho PhX( 11( , , Xn )< thX < 21 ( , , X n )) = γ . T ó ng v i m t m u th c nghi m (x 1, x 2, , x n) ta có kho ng tin cy th c nghi m khác c a tham s t Π = (hx11( , , xhxn ); 21 ( , , x n )) . Khi ó Pt( ∈∆=) Pt( ∈Π=) γ . Nh ưng nói chung |∆ || ≠ Π | . Câu h i: B ng cách nào tìm ư c kho ng tin c y th c nghi m có dài nh nh t. Các kho ng tin c y mà chúng ta xây d ng ây là t i ưu theo ngh a ó. b) Ướ c l ượ ng kho ảng cho k ỳ v ọng toán E(X) b1) Tr ườ ng h ợp X có lu ật phân ph ối chu ẩn Cho X là i l ư ng ng u nhiên có lu t phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) . Khi ó E( X ) = a , D( X ) = σ 2 . Ngoài ra, X+ X + X X = 1 2 n n là k v ng m u ng u nhiên (X1 , , X n ) . ây X1, , X n có cùng lu t phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) , c l p nhau và 2 E( Xi ) = a , DX(i )=σ , ∀ i = 1,2, , n .
Tr ườ ng h ợp 1: Khi D( X ) = σ 2 ã bi t. Cho tin c y γ . t α=1 − γ , khi ó có vô s kho ng tin c y ng u nhiên ca E( X ) = a là σ σ X− U <<+ aX U . n1−α1 n 1 − α 2 Trong ó α1 và α2 là hai s th c th a mãn α= α1 + α 2 , U là i lư ng ng u nhiên có lu t phân ph i chu n hóa N(0,1) và U; U cho b ng giá tr phân v chu n. 1−α1 1 − α 2 Kho ảng tin c ậy đố i x ứng của E(X) c ủa đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên X có lu ật phân ph ối chu ẩn N( a ,σ 2 ) khi σ đã bi ết. Vì th c a i l ư ng ng u nhiên có phân ph i chu n hóa N(0,1) i x ng nhau qua tr c tung nên dài kho ng ư c l ư ng i x ng là bé nh t: σ σ X− UaXα <<+ U α . n2 n 2 Khi ó, kho ng tin c y i x ng th c nghi m ca E( X ) = a ng v i m u th c nghi m (x 1, x 2, , x n) là: σ σ x− Uaxα <<+ U α n2 n 2 x+ x + x vi x = 1 2 n là trung bình m u th c nghi m. S n σ l= 2 U α n 2 gi là dài kho ng tin c y. Thí d ụ 1: Cân ng u nhiên 36 con gà t i m t tr i ch n nuôi gà ng ư i ta tính ư c tr ng l ư ng trung bình x= 2,6 kg . Hãy ư c l ư ng tr ng l ư ng trung bình c a s gà c a tr i ch n nuôi này tin c y 99% v i kho ng tin c y i x ng. Gi s tr ng l ư ng gà c a tr i có phân ph i chu n N(a; 0,3 2).
Gi i: Ta có kho ng tin c y i x ng cho tr ng l ư ng trung bình ca s gà c a tr i ch n nuôi này σ σ x− Uaxα <<+ U α . n2 n 2 Trong ó, γ= 0,99⇒ α= 1 − γ = 0,01 . ⇒ Uα = U 0,005 = 2,576 2 Do ó 0,3 0,3 2,6− .2,576 <<+a 2,6 .2,576⇒ 2,471< a < 2,729 . 36 36 Vi tin c y 99%, tr ng l ư ng trung bình c a s gà c a tr i ch n nuôi này t 2,471 (kg) n 2,729 (kg). Kho ảng tin c ậy bên trái hay ướ c l ượ ng t ối đa của E(X) của đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên X có lu ật phân ph ối chu ẩn N( a ,σ 2 ) khi σ đã bi ết. Kho ng tin c y ng u nhiêu t i a: σ −∞<a < X + U . n α Kho ng tin c y th c nghi m t i a ng v i m u th c nghi m (x 1, x 2, , x n): σ −∞<a < x + U . n α Kho ảng tin c ậy bên ph ải hay ướ c l ượ ng t ối thi ểu của E(X) của đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên X có lu ật phân ph ối chu ẩn N( a ,σ 2 ) khi σ đã bi ết. Kho ng tin c y ng u nhiên t i thi u: σ X− U < a < +∞ . n α Kho ng tin c y th c nghi m ti ng v i m u th c nghi m (x 1, x 2, , x n):
σ x− U < a < +∞ . n α Thí d ụ 2: iu tra doanh thu c a 88 h kinh doanh v m t hàng A, thu ư c k t qu sau: Mc doanh thu 20 22 24 26 28 (tri u ng) S h n i 10 16 22 28 12 a/ Tìm ư c l ư ng không ch ch c a doanh thu trung bình. Bi t m c doanh thu c a các h tuân theo quy lu t phân ph i chu n v i l ch chu n là 0,1 tri u, khi ó kh n ng c a giá tr ư c l ư ng trên s sai l ch so v i giá tr th c không quá 20.000 ng là bao nhiêu. b/ D a vào s li u thu ư c, hãy ư c l ư ng m c doanh thu trung bình c a các h kinh doanh m t hàng A b ng kho ng tin c y i x ng v i tin c y 95%. Gi i: G i X là doanh thu c a h kinh doanh. Khi ó X có phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) vi σ = 0,1. a/ c l ư ng không ch ch c a doanh thu trung bình là trung bình m u ng u nhiên n 1 2 X= ∑ X i . Vì các X i có cùng lu t phân ph i N( a ,σ ) nên X có lu t phân ph i n i=1 σ 2  N a ,  . Ta c n tính n  0,02   0,02  PXa−≤0,02 =Φ 2 n  =Φ 2 100  =Φ 2(2) () σ  0,1  = 0,9544. b/ T b ng th ng kê ta tính ư c x=24,36, s 1 = 2,4714 . Vì l ch chu n σ = 0,1 ã bi t nên kho ng ư c l ư ng i x ng c a m c doanh thu trung bình c a các h kinh doanh m t hàng A là σ σ x− Uaxα <<+ U α . n2 n 2 Trong ó,
γ= 0,95⇒ α= 1 − γ = 0,05 . ⇒ Uα = U 0,025 = 1,96 2 Do ó 0,1 0,1 24,36− .1,96 <<a 24,36 + .1,96⇒ 24,339< a < 24,381 . 88 88 Vi tin c y 95%, m c doanh thu trung bình c a các h kinh doanh m t hàng A t 24,339 (tri u ng) n 24,381 (tri u ng). Tr ườ ng h ợp 2: Khi D( X ) = σ 2 ch ưa bi t. Cho tin c y γ . t α=1 − γ , khi ó có vô s kho ng tin c y ng u nhiên ca E( X ) = a là S S X−1 tn( −<<− 1) aX 1 tn ( − 1) . nα1 n α 2 Trong ó α và α là hai s th c th a mãn α= α + α và tn(− 1), tn ( − 1) là giá tr 1 2 1 2 α1 α 2 phân v Student t i α1; α 2 vi n – 1 b c t do và S1 là l ch chu n hi u ch nh m u ng u nhiên. Kho ảng tin c ậy đố i x ứng c ủa E(X) c ủa đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên X có lu ật phân ph ối chu ẩn N( a ,σ 2 ) khi σ ch ưa bi ết. Kho ng tin c y ng u nhiên i x ng: S1 S 1 X− tnα( −<<+ 1) aX tn α ( − 1) , n2 n 2 α vi tα ( n − 1) là giá tr phân v Student t i vi n – 1 b c t do. 2 2 Kho ng tin c y th c nghi m i x ng ng v i m u th c nghi m (x 1, x 2, , x n): s1 s 1 x− tnα( −<<+ 1) ax tn α ( − 1) . n2 n 2 dài kho ng tin c y i x ng:
s1 l=2 tα ( n − 1) . n 2 Ghi chú: Khi n > 30 ta có các công th c x p x sau tα( n− 1) ≈ U α . 2 2 Thí d ụ 3: Sau khi ki m tra ng u nhiên chi u dài c a 25 chi ti t máy do m t t h p c khí s n su t ng ư i ta tính ư c chi u dài trung bình c a chúng là 20cm và l ch chu n hi u ch nh 0,3 cm. Gi s chi u dài c a các chi ti t do t h p c khí này s n su t có lu t phân ph i chu n. Hãy tìm khong c l ng i x ng c a chi u dài trung bình các chi ti t do t hp c khí này s n su t v i tin c y 95%. Gi i: G i X (cm) là i l ư ng ng u nhiên ch chi u dài ca các chi ti t do t h p c khí này s n su t. Khi ó X phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) vi σ ch ưa bi t và a = E(X) là chi u dài trung bình các chi ti t do t h p c khí này s n su t. Ta có kho ng ư c l ư ng cho a: s1 s 1 x− tnα( −<<+ 1) ax tn α ( − 1) . n2 n 2 Trong ó x = 20 cm, s 1 = 0,3 cm, n = 25, và γ= 0,95⇒ α= 1 − γ = 0,05 . ⇒ tα ( n− 1) = t 0,025 (24) = 2,064 2 T ó 19,7862 < a < 20,1238. Vy, v i tin c y 95%, chi u dài trung bình các chi ti t do t h p c khí này s n su t t 19,7862 cm n 20,1238 cm. Thí d ụ 4. Nng su t c a m t lo i cây tr ng ư c iu tra và cho b ng s li u sau Nng su t 42,4 – 47,5 47,5 – 52,5 52,5 – 57,5 57,5 – 62,5 62,5 – 67,5 (t /ha) S im thu 2 5 14 10 5 ho ch n i a/ Hãy ư c l ư ng i x ng c a n ng su t trung bình c a lo i cây tr ng này v i tin c y 95%. b/ N u mu n chính xác c a ư c l ư ng không v ư t quá 1 thì ph i ti n hành thu ho ch thêm bao nhiêu im n a.
Gi thi t r ng n ng su t lo i cây tr ng này là i l ư ng ng u nhiên có lu t phân ph i chu n. Gi i: G i X (t /ha) là n ng su t lo i cây tr ng này. Khi ó X phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) vi σ ch ưa bi t. T b ng th ng kê trên ta tính ư c x=56,5278, s 1 = 5,3210 Ta có kho ng ư c l ư ng i x ng c a n ng su t trung bình a c a lo i cây tr ng này s1 s 1 x− tnα( − 30, và γ= 0,95⇒ α= 1 − γ = 0,05 ⇒ tnα(−≈ 1) U α = U 0,025 = 1,96. 2 2 T ó 54,8944 < a < 58,1611. Vy, v i tin c y 95%, nng su t trung bình c a lo i cây tr ng này t 54,8944 (t /ha) n 58,1611 (t /ha). b/ G i m là s im c n thu ho ch thêm. Theo yêu c u ta ph i có s1 5,3210 2U α ≤ 12 ⇔ 1,961 ≤ 1− nm+2 nm + ⇔n + m ≥ 20,8583 ⇔n + m ≥ 435,0695 ⇒ 36+m ≥ 436 ⇒ m ≥ 400. Vy ph i ti n hành thu ho ch thêm 400 im n a. Kho ảng tin c ậy bên trái hay ướ c l ượ ng t ối đa c ủa E(X) c ủa đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên X có lu ật phân ph ối chu ẩn N( a ,σ 2 ) khi σ ch ưa bi ết. Kho ng tin c y t i a ng u nhiên: S −∞<<aX +1 tn( − 1) . n α Kho ng tin c y t i a th c nghi m ng v i m u th c nghi m (x 1, x 2, , x n):
s −∞ 30 ta có các công th c x p x sau tα( n− 1) ≈ U α . Thí d ụ 5: c l ng n ng su t t i a gi ng lúa A t i m t vùng nông thôn B ng ư i ta g t ng u nhiên 100 ha ru ng c a vùng B và tính ư c n ng su t trung bình 46,06 (t /ha) và l ch chu n hi u ch nh 2,48 (t /ha). Gi s n ng su t gi ng lúa A t i m t vùng nông thôn B có lu t phân ph i chu n. Hãy ư c l ư ng n ng su t trung bình t i a gi ng lúa A t i m t vùng nông thôn B v i tin c y 95%. Gi i: G i X (t /ha) là i l ư ng ng u nhiên ch n ng su t gi ng lúa A t i m t vùng nông thôn B. Khi ó X phân ph i chu n N( a ,σ 2 ) vi σ ch ưa bi t và a = E(X) là n ng su t trung bình gi ng lúa A t i m t vùng nông thôn B. Ta có kho ng ư c l ư ng ti a s −∞ 30 nên γ= 0,95⇒ α= 1 − γ = 0,05 . ⇒ tnα(−≈ 1) U α = U 0,05 = 1,645 T ó a < 46,468 (t /ha). Vy vi tin c y 95%, nng su t trung bình t i a gi ng lúa A t i m t vùng nông thôn B không quá 46,468 (t /ha). Kho ảng tin c ậy bên ph ải hay ướ c l ượ ng t ối thi ểu c ủa E(X) c ủa đạ i l ượ ng ng ẫu nhiên X có lu ật phân ph ối chu ẩn N( a ,σ ) khi σ ch ưa bi ết. Kho ng tin c y t i thi u ng u nhiên: S X−1 tn( −<<+∞ 1) a . n α Kho ng tin c y t i thi u th c nghi m ng v i m u th c nghi m (x 1, x 2, , x n): s x−1 tn( −<<+∞ 1) a . n α
b2) Tr ườ ng h ợp X ch ưa bi ết lu ật phân ph ối. Khi i l ư ng ng u nhiên X tác ng lên t ng th mà lu t phân ph i c a nó ch ưa ư c 1 bi t, theo nh lý Lindeberg-Levi trung bình m u ng u nhiên X=( X + + X ) xp x n 1 n σ 2  lu t phân ph i chu n N a ,  khi kích th ư c m u n l n. Do v y trong tr ư ng h p n  này ta ph i ch n m u vi kích th ư c m u n l n và s d ng các công th c ư c l ư ng cho k v ng a = E(X) nh ư ã trình m c σ ch ưa bi t. c) Kho ảng tin c ậy cho hi ệu hai k ỳ v ọng toán a1 = E(X 1) và a 2 = E(X 2) của hai đạ i lượ ng ng ẫu nhiên có phân ph ối chu ẩn. 2 Gi s X 1 và X 2 là hai i l ư ng ng u nhiên có lu t phân ph i chu n N( a 1,σ 1 ) và N a ,σ 2 . Cho tin c y γ , ký hi u α=1 − γ , và các m u th c nghi m x, , x và ( 2 2 ) ( 1 n1 ) x, , x ca X và X , t ư ng ng. ( 1 n2 ) 1 2 2 2 Tr ườ ng h ợp đã bi ết σ1 và σ 2 : 2 2 2 2 σσ1 2 σσ1 2 ()xxu12−−α +<−<−+ aaxxu 1212() α + . 2 nn1 2 2 nn1 2 2 2 Tr ườ ng h ợp σ1= σ 2 nh ưng ch ưa bi ết: 1 1 1 1 ()xxtnn12−−α(2) 12 +− S σ +<−<−+ aaxxtnn 1212() α (2) 12 +− S σ + , 2 n1 n 2 2 n1 n 2 vi 2 2 (n1− 1) s 1 + ( n 2 − 1) s 2 Sσ = . n1+ n 2 − 2 2 2 Tr ườ ng h ợp σ1≠ σ 2 và chúng ch ưa bi ết: 2 2 2 2 ss1 2 ss1 2 ()xxtk12−−α () +<−<−+ aaxxtk 1212() α (), + 2 nn1 2 2 nn1 2 trong ó s b c t do k ư c tính nh ư sau
(n1− 1)( n 2 − 1) k = 2 2 (n2− 1) C +− (1 Cn ) ( 1 − 1) vi 2 s1 n C = 1 . s2 s 2 1+ 2 n1 n 2 Thí d ụ 6: Nghiên c u lãi su t ngân hàng c a nhóm 7 nư c công nghi p phát tri n G7 và 11 nư c ang phát tri n G11 trong m t n m ta thu ư c k t qu sau: Vi các n ư c G7 thì lãi su t trung bình là 17,5% và l ch chu n hi u ch nh 3,2%, còn nhóm các n ư c G11 thì lãi su t trung bình 15,3% và l ch chu n hi u ch nh 2,9%. V i tin c y 95%, lãy ư c lư ng chênh l ch v lãi su t trung bình gi a hai nhóm n ư c trên, bi t r ng lãi su t ngân hàng gi a hai nhóm n ư c có phân ph i chu n v i l ch chu n nh ư nhau. Gi i: G i X 1 và X 2 là lãi su t ngân hàng c a nhóm G7 và G11, tư ng ng. Theo gi thi t 2 2 2 2 X1 và X 2 có lu t phân ph i chu n N( a 1,σ 1 ) và N( a 2,σ 2 ) vi σ1= σ 2 nh ưng ch ưa bi t. c l ư ng kho ng cho chênh l ch v lãi su t trung bình gi a hai nhóm n ư c trên là 1 1 1 1 ()xxtnn12−−α(2) 12 +− S σ +<−<−+ aaxxtnn 1212() α (2) 12 +− S σ + , 2 n1 n 2 2 n1 n 2 vi 2 2 (n1− 1) s 1 + ( n 2 − 1) s 2 Sσ = . n1+ n 2 − 2 Theo bài ra, ta có n 1 = 7 và n 2 = 11, x1=17,5, s 1 = 3,2, x2=15,3, s 1 = 2,9, Sσ = 3,016. Ngoài ra, γ= 0,95⇒ α= 1 − γ = 0,05 ⇒ tnnα (1+−= 2 2) t 0,025 (16) = 2,120. 2
T ó ta có -0,89 < a 1 – a2 <5,29. Vi tin c y 95%, chênh l ch v lãi su t trung bình gi a hai nhóm n ư c G7 và G11 t -0,89% n 5,29%. Thí d ụ 7: ánh giá hi u qu c a m t chi n d ch qu ng cáo ng ư i ta so sánh doanh s ca công ty t i 6 khu v c th tr ư ng tr ư c và sau chi n d ch qu ng cáo và thu ư c s li u sau ( n v : tri u ng/tháng): Tr ư c khi qu ng cáo 620 600 640 630 570 600 Sau khi qu ng cáo 660 620 670 620 580 630 Vi tin c y 95%, hãy ư c l ư ng m c t ng doanh s trung bình sau chi n d ch qu ng cáo, bi t r ng doanh s c a công ty là i l ư ng ng u nhiên có phân ph i chu n. Gi i: G i X 1 và X 2 là doanh s c a công ty sau và tr ư c chi n d ch qu ng cáo, t ư ng ng. 2 2 2 2 Theo gi thi t X 1 và X 2 có lu t phân ph i chu n N( a 1,σ 1 ) và N( a 2,σ 2 ) vi σ1≠ σ 2 và ch ưa ư c bi t. Kho ng ư c l ư ng cho hi u hai doanh s trung bình c a công ty sau và tr ư c chi n d ch qu ng cáo là 2 2 2 2 ss1 2 ss1 2 ()xxtk12−−α () +<−<−+ aaxxtk 1212() α (), + 2 nn1 2 2 nn1 2 trong ó s b c t do k ư c tính nh ư sau (n1− 1)( n 2 − 1) k = 2 2 (n2− 1) C +− (1 Cn ) ( 1 − 1) vi 2 s1 n C = 1 . s2 s 2 1+ 2 n1 n 2 Theo k t qu kh o sát, ta có